Curso de Estadística y diseño de experimentos

Norbey Marín Arredondo

DISEÑO DE MEZCLAS

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Los diseños de mezclas son utilizados cuando los factores experimentales a serestudiados son ingredientes o componentes de una mezcla.

Las características de calidad de la mezcla dependen de las proporciones con las queparticipan los factores y no en la cantidad absoluta de ellos.

Las proporciones deben sumar una cantidad fija, generalmente 1 o 100%, los factores nose pueden variar independientemente sobre algún otro.

INTRODUCCION

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Objetivos

Determinar cuales los ingredientes de la mezcla o interacciones entre ellos tienen mayor influencia sobre una o varias respuestas de interés

Modelar las respuestas de interés en función de las proporciones de los componentes de la mezcla

Usar dichos modelos para determinar en que porcentaje deben participar cada uno de los ingredientes para lograr que la formula tenga las propiedades deseadas

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Mezcla

Se presupone que la respuesta depende solamente de las proporciones de los componentes en la mezcla.

Variable del proceso de mezcla

Son los factores de un experimento que no forman parte de la mezcla, pero que podrían afectar las propiedades de combinación de la mezcla.

Xi es la proporción del factor i

0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 1

𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2…+𝑥𝑞=1

Región experimental y restricciones

Región experimental en q=2 factores

Región experimental en q=3 factores

Región experimental en q=4 factores

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Vertices: mezclas puras, un solo ingrediente

Lados o aristas: mezclas binarias, tienen dos ingredientes

Zona interior: mezclas ternarias, se presentan los tres ingredients(0.3, 0.5, 0.2)

A

B C(0,1,0) (0,0,1)

(1,0,0)

(0.5, 0, 0.5)

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Lo que muestra el sistema triangular de coordenadas

grado de un retículoEl grado de un retículo determina dónde se colocan los puntos (vértices, bordes o caras) en un diseño de mezcla. En un diseño reticular simplex, los puntos se ubican de manera uniforme (reticular).

Sin ampliación - Grado de retículo

simplex 1

Permite ajustar un modelo lineal.

Sin ampliación - Grado de retículo

simplex 2

Permite ajustar hasta un modelo cuadrático.

Sin ampliación - Grado de retículo

simplex 3

Permite ajustar hasta un modelo cúbico completo.

Ampliado - Grado de retículo

simplex 1

Permite ajustar parcialmente hasta un modelo cuadrático.

Ampliado - Grado de retículo

simplex 2

Permite ajustar parcialmente hasta un modelo cúbico especial.

Ampliado - Grado de retículo simplex 3

Permite ajustar hasta un modelo cúbico completo.

Cuando necesite elegir un diseño, deberá completar los siguientes pasos:

1. Identificar los componentes, las variables del proceso y las cantidades de mezcla que son de interés.

2. Determinar el modelo que desea ajustar.

3. Asegurar una cobertura adecuada de la región experimental de interés.

4. Determinar el impacto que tienen otras consideraciones en la elección de un diseño. Ejemplos de otras consideraciones son el costo, el tiempo, la disponibilidad de las instalaciones y las restricciones de los límites inferior y superior.

Para cubrir adecuadamente la superficie de respuesta, se recomienda usar un diseño que contenga puntos interiores. De manera predeterminada, para ampliar un diseño, Minitab le agrega puntos interiores (agrega puntos axiales y un punto central si no está incluido aún en el diseño base).

Estos puntos se utilizan principalmente para examinar la falta de ajuste de un modelo. Además, un diseño con estos puntos interiores proporciona información sobre la porción interior de la superficie de respuesta y permite modelar una curvatura más complicada

Cada punto axial se agrega a medio camino entre un vértice y el centro del diseño

No ampliadoAmpliado

Un diseño simplex es un diseño de mezcla en el cual los puntos de diseño están organizados de manera uniforme (o reticular) en un L-simplex. Un diseño L-simplex es similar al siguiente triángulo y tiene los lados paralelos al mismo:

Diseño simplex

Para los diseños centroide simplex y reticular simplex, se puede agregar puntos al interior del espacio de diseño. Estos puntos proporcionan información sobre el interior de la superficie de respuesta, mejorando de ese modo la cobertura del espacio de diseño.

Diseño centroide simplex Sin puntos axiales

Con puntos axiales

Diseño reticular simplex

retículo = 1 retículo = 2

retículo = 1 no ampliado

No ampliado Ampliado

Centroide simplex

Le permite ajustar hasta un modelo cúbico especial.

Le permite ajustar parcialmente hasta un modelo cúbico completo.

Reticular simplex grado 1

Le permite ajustar un modelo lineal.

Le permite ajustar parcialmente hasta un modelo cuadrático.

No ampliado Ampliado

Reticular simplex grado 2

Le permite ajustar hasta un modelo cuadrático.

Le permite ajustar parcialmente hasta un modelo cúbico especial.

Reticular simplex grado 3

Le permite ajustar hasta un modelo cúbico completo.

Le permite ajustar hasta un modelo cúbico completo.

diseño de vértices extremos

Los diseños de vértices extremos son diseños de mezclas que abarcan solo una subporción o un espacio más pequeño dentro del simplex. Estos diseños deben utilizarse cuando el espacio de diseño elegido no es un diseño reticular simplex. La presencia de restricciones de límite inferior y límite superior sobre los componentes suele crear esta condición.

La meta de un diseño de vértices extremos es elegir puntos de diseño que abarquen adecuadamente el espacio de diseño. La siguiente figura muestra los vértices extremos para dos diseños de tres componentes con restricciones superiores e inferiores

Restricciones en los componentes de una mezcla

Por razones técnicas y/o económicas de alguno de los componentes de un experimento de mezclas se restringen de la siguiente manera

Las restricciones delimitan la región experimental factible a una zona o región del simplex

0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖 ≤ 1

Diferencia hay entre las restricciones lineales y los límites de componente en un diseño de mezcla

Las restricciones lineales son los límites superior e inferior para una función de componentes en un diseño de mezcla. Establecer estos límites ayuda a definir el espacio de diseño y permite hacer el mejor uso de los recursos de prueba para el experimento.

Por el contrario, un límite de componente establece límites superior e inferior para cada componente.

Para especificar una restricción lineal, debe establecer los siguientes valores: El límite inferior

El límite superior

El coeficiente para cada uno de los componentes de la mezcla

Coeficientes

CondiciónValor inferior A B C D

Valor superior

A + B > 10 y A + B < 20 10 1 1 20

5A + 3B + 8D < 0.1 5 3 8 0.1

0.5B + 0.8D > 0.9 0.9 0.5 0.8

Seudocomponentes

Cuando se tienen restricciones en los componentes de las mezclas es recomendable reescalar las proporciones mediante seudocomponentes. En experimentos con mezclas son como las variables codificadas en los diseños factoriales. En ocasiones, facilitan la construcción del diseño y ayudan a disminuir problemas de multicolinealidad entre las proporciones, que son frecuentes en la diseños de mezclas con restricciones. Si las componentes originales se denotan con 𝑥𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑞 , los seudocomponentes 𝑧𝑖se definen con la transformación:

𝑧𝑖 =𝑥𝑖 − 𝑎𝑖

1 − 𝑖=1𝑞𝑎𝑖; 𝑖 = 1,2, . . , 𝑞

Donde 𝑎𝑖 es la cota inferior del componente 𝑥𝑖

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Grafico de trazas

Es una forma de evaluar la importancia de los componentes de una mezcla. Inicia con una mezcla referencia (usualmente el centroide de la región experimental) y va mostrando como la respuesta (Y) se modifica conforme uno de los componentes aumenta a disminuye su participación en la mezcla. Cuando uno de los componentes cambia, el resto se incrementa o disminuye en forma proporcional. De esta manera el gráfico de trazas muestra la importancia relativa de los componentes.

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DISEÑOS MIXTOS

Además de estudiar el efecto de los componentes de la mezcla se pueden investigar variables de proceso.

A través de un experimento mixto se pueden se estudian los efectos combinados de las variables de proceso (factores) y los componentes de una mezcla sobre una determinada respuesta.

Por ejemplo, si se tienen tres componentes de mezcla y dos variables de proceso, se podrían probar las siete mezclas de un diseño simplex con centroide en un factorial 22

de los dos factores de proceso. Es decir, se tienen 28 tratamientos para correr en forma aleatoria

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