1

Euklidészi gyűrűk

Definíció.

Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha olyan függvény, amelyre : R* N0, és

I. , R, 0 esetén létezik olyan , R, hogy

= + , ahol

= 0 vagy

0 és () < (),

II. valamint () max( (), ()) ,

, R* -ra.

2

Példák.

2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b Z }

a+bi G esetén

(a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi|2 = a 2 + b 2

1. Z az abszolút érték függvénnyel.

3. H a szokásos + és műveletekkel, ahol

H a b a b 2 , .Z

a b a b a b a b 2 2 2 22 2

3

Definíció.

Legyen R integritási tartomány és a, b R. a osztója b-nek, ha létezik c R, mely-re b = ac.

a | b

Könnyen belátható, hogy az oszthatóság

tranzitív, továbbá

a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül,

ha a, b, c, x, y R.

Definíció.

R integritási tartományban a R egység, ha a | r r R-re.

4

37. Tétel.

R integritási tartományban akkor és csak akkor léte-zik egységelem, ha létezik egység.

Bizonyítás.

1. : Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r minden r R esetén.

e | r minden rR esetén,

az egységelem egység is egyúttal.

2. : Tfh aR egység, és legyen rR tetszőleges.

a | a

eR : ae = a.

Ekkor e egységelem, merta | r

sR : as = r,

tehát .rsaseasaesaere

e egységelem

5

38. Tétel.

Az R egységelemes integritási tartományban a R akkor és csak akkor egység, ha a | e.

Bizonyítás.

1. Legyen a egység a | e.

2. Tfh a | e

a1R : e = aa1 és

tetszőleges r R: er = r

aa1r = r a | r

a egység.

6

39. Tétel.

Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és

E = { r | r R*, φ(r) minimális }

az egységek halmaza R-ben.

Bizonyítás.

1. Belátjuk, hogy E elemei egységek.

Legyen aE, és bR tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan c, dR :

b = ac+d, ahol a. d=0, vagy b. d0 és (d) < (a).

A b. eset nem fordulhat elő (a) minimalitása miatt

d = 0 a | b.

7

2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van.

Legyen aR egység, bE adott.

a | b b = ac.

bE, b0 a, cR*.

Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága

( ) max ( ), ( ) ,b a c a c

(b) (a).

φ(b) minimális

φ(a) is minimális,

a E

8

1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1.

2. G-ben az egységek Nullától különböző komplex szám abszolút

értéke nem nulla, a nem nulla elemek esetén előforduló legkisebb érték 1.

(a+bi)=1

(a+bi)=a2+b2=1

a=1 és b=0, vagy a=0 és b=1.

G-ben az egységek. 1, i

9

egységek: a2–2b2=1

Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van,

H-ban végtelen sok az egység. Néhány ezek közül:

H a b a b 2 , Z

a b a b 2 22 2

3.

a b

1 0

1 1

3 2

7 5

10

Definíció.

Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, bR. Azt mondjuk, hogy a és b asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt ab-vel jelöljük.

40. Tétel.

1. R egységelemes integritási tartományban az egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra csoportot alkot.

2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció.

11

Bizonyítás.

1. Csoport:

- egységek szorzata egység: e1c1 = e és e2c2 = e

e1c1e2c2 = e2 = e e1e2 | e,

- asszociatív mert R is az volt,

- e az egységelem E-ben is,

- inverz: e1e2 = e e1-1 = e2 .

12

2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció:

- reflexív: aa, hiszen a = ae minden aR esetén.

- tranzitív: ab és bc

a = be1 és b = ce2,

a = ce1e2 , azaz ac .

- szimmetrikus: ab

a = be1 / e1-1

a e1-1 = be1 e1

-1,

a e1-1 = b

ba.

13

41. Tétel.

Az R egységelemes integritási tartományban két elem asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szüksé-ges és elégséges feltétel.

1. ab a | b és b | a

2. Tegyük fel, hogy ab és ba.

Ha a és b egyike 0 a másik is az asszociáltak is.

Tfh a, bR*.

b=ac és a=bd.

b=bdc=b(dc),

be=b(dc).

b0, és nem nullosztó

e = dc d és c egységek ab.

14

Definíció.

Legyen R euklidészi gyűrű és a, bR. Azt mondjuk, hogy dR az a és b legnagyobb közös osztója, d=(a, b), ha

1. közös osztó, vagyis da és db, valamint

2. ca és cb esetén cd.

Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az, hogy (0, 0)=0.

15

Ha a és b legalább egyike, mondjuk b0, akkor el-végezhető itt is az euklidészi algoritmus:

a= bq0+r0 ha r00, akkor (r0)<(b)

b= r0q1+r1 ha r10, akkor (r1)<(r0)

...

rn–2= rn–1qn+rn ha rn0, akkor (rn)<(rn–1)

rn–1= rnqn+1

Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok lépésben.

Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk (a, b)-t, valamint léteznek olyan x, yR elemek, hogy (a, b)=ax+by.

r0 = r1q2+r2 ha r20, akkor (r2)<(r1)

16

Definíció.

R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza:

1. aR*–E felbonthatatlan, ha a = bc, (b, cR) esetén bE vagy cE.

2. aR*–E prím, ha abc, (b, cR) ab vagy ac.

Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben

egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.

17

42. Tétel.

R legyen euklidészi gyűrű és a, bR*. Ha ab, akkor

1. (a)<(b), vagy

2. (a)=(b) ha ab .

Bizonyítás.

1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt (a)(b).

18

2. Tfh ab és (a)=(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s R, amelyekre:

a = br+s, ahol a. s = 0, vagy

b. s 0 és (s)<(b)=(a).

s a b r a b r ( ) ( )

(*)

ab tR : b = at továbbá a = ae

.)( rteas

.)( saRrte

De ekkor s0

arteas ))((),(max)(

(*) miatt ez nem fordulhat elő s = 0 , ba azaz

a b.

19

Definíció.

Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E.

43. Tétel.

R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha test.

Bizonyítás.

1. Tfh R triviális euklidészi gyűrű

aR* egység

bR esetén a | b

az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test.

2. Tfh R test

az ax=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített a0 és minden b esetén

ab, s így a egység.

20

44. Tétel.

R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egysé-gektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója.

Bizonyítás.

Tfh aR*\E, és

D =

{r: rR*\E, ra és, ha sR*\E és sa (r)(s)}.

D

f D.

D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a érték minimális.

21

Indirekte tfh f nem felbonthatatlan

f = bc és b, cE ba .

bf és nem asszociáltak

42. Tétel (b)(f) (b)<(f) ,

mert ekkor b lenne D-ben f helyett.

f felbonthatatlan

22

45. Tétel.

Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a elő-állítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként.Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció).

Tfh aR*\E .

1. Tfh (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve.

44. Tétel a felbonthatatlan.

a = a

2. Legyen aR*\E, (a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz.

44. Tétel f felbonthatatlan : f | a

a = fh .

23

Lehet-e (h) = (a) ?

Ekkor h | a

a h lenne,

de f nem egység, tehát

(h) < (a).

1. eset: Tfh h egység

a felbonthatatlan.

2. eset: Tfh h nem egység

indukciós feltétel h-nak megfelelő felbontása:

h = f1f2…fr

a = ff1f2…

fr .

a = fh .

24

46. Tétel.

Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.

Megjegyzés:

Ha érvényben van egy R integritási tartományban az egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik, hogy euklidészi gyűrű.

Gyűrűk

Integritási tartományok

Faktorizációs tartományok, Gauss-gyűrűk

Euklidészi gyűrűk

Testek