1

乱気流の天気予報モデル解像度依存性ー新手法による厳密な解の導出ー

環境情報学部 宮本佳明 １．研究背景・目的 航空機に乗っていると、しばしば乱気流によって大きく揺れることがある。そのため航空機は、時間・燃料的に余裕がある限り、機内の安全性を保つべく事前に乱気流を予測して迂回ルートをとる。しかし、実際に多く遭遇していることからも分かる通り、その予測は非常に難しい。 航空機の巡航高度である対流圏上層（高度約10~15 km）では、基本的に大気の流れに乱れは少ないが、ジェット気流の付近など、風向・風速が急変する時、その差を解消するために乱気流が生じる。航空機に影響を与える乱気流は、大きく三つに分類される。(a)雲に伴うもの、(b)地形の影響を受けた流れによるもの、そして(c)どちらでもないが晴天域に生じるもの、の三つである（図１）。まず(a)に関しては、人工衛星の雲・水蒸気画像やレーダー画像からある程度発生を予測するが可能である（少なくとも発生しやすい領域を特定することが可能）。(b)は発生領域があまり変動しないため、注意すべき場所を予め特定することが可能である。しかし、最も予測が難しく危険性も高いのが(c)で、雲のない領域で生じる乱気流のことを晴天乱気流（Clear Air Turbulence: CAT）と呼ぶ。CATは雲を伴わないため、衛星で捉えることも難しく、また、現象の時空間スケールが小さいことが多いので天気予報モデルで予測することが難しい。

図１：三種類の乱気流の生成メカニズム（Marlton 2016）

CATは風のシアー（風速・風向の勾配）が原因で生じるKelvin-Helmholtz 不安定（K-H不安定）の結果であると考えられている。K-H不安定は古くから研究されており、理想的な環境に限れば、どのような条件で発生するかはある程度分かっている。しかし、航空機の巡航高度における気象予報モデルの鉛直解像度は粗いので、発生条件を定量的に表現することが極めて難しい（図2）。現在は、粗い予報モデルの結果から過去の経験を元に統計的にCAT

2

の出やすさを予想しているが、その精度はあまり良くない。つまり、乱気流の発生メカニズムはある程度分かっているが、それを天気予報モデル内で正確に表現することが難しいのが現状である。

図 2：天気予報モデル（離散系：左）・現実世界（連続系：右）における、乱気流を発生させる風の場の模式図。 これまでに申請者は、気象モデルの解像度に応じて現象の表現のされ方に違いがあることを解析的に示すことに成功した（Miyamoto et al. 2015）。これは、ある現象をモデルで解くために必要な解像度を定量的に示す方法である。つまりこの手法を用いれば、CATを解くために必要な気象モデルの解像度を導出することも可能である。 そこで本研究では、まず気象データを解析して乱気流がどこで生じているのかを示し、次に、これまでに申請者が開発した新手法を用いて、モデル内で乱気流がどの程度表現できるのかを明らかにする。現状ではどの地域で乱気流の予測が難しいのかも明らかになっていないので、本研究の結果を発展させることで乱気流予測の改善につながることが期待される。 2．研究手法 本研究では、まずCATの原因と考えられるK-H波の理論を改めて導出する。次に、連続的な流体を対象としたK-H波理論を基に、離散化した系での理論式を導出する。この時、連続系では波動解（ノーマルモード解）を仮定して代入し成長率の式を導出する過程があるが、今回は波動解も離散化して代入することにする。 そして、気象現象をコンピュータで解くことができる数値気象モデルを用いて、数値計算を行なった。数値気象モデルとは、大気の運動や、雲・放射・海からの水蒸気供給など一連の物理過程を解くプログラム群のことを指す。気象学の研究では幅広く利用され、天気予報で用いられるモデルと同じもので、対象とする空間を有限個の微小空間に離散化し、各微小空間での風速・風向や気温、湿度などを計算するものである。

K-H不安定の発生条件（Ri < 0.25）を満たす範囲

気象モデルでの表現 現実場

3

3．Kelvin-Helmholtz 波（K-H波） K-H 波は、密度成層を持つ流体中で、高さ方向（重力方向）に流速が異なり、ある程度の弱い安定度を持つ成層の中で発生する波動である。不安定化の条件を満たせば、K-H波は成長（振幅が増大）することができ、この流体力学的不安定をK-H不安定と呼ぶ。具体的には、次で定義されるRichardson 数（Ri 数） が 0.25 よりも小さい時に発生するとされている。ここで、は大気の成層度合い、は風のシアーを表す。つまり、大気が安定であるほど・風速が急変するほど、K-H不安定が生じやすい。K-H不安定の結果がCATとすれば、この両条件を満たすところでCATが生じていると考えられる。 ここでは水平―鉛直（x-z）二次元の空間の流体運動を考える。質量保存式、x,z 方向の運動量保存式はそれぞれ、

と書ける。ここで、tは時間、(u, w)はそれぞれ(x,z)方向の流速、pは気圧、rは密度、gは重力加速度である。これらの式を時間方向に変化しない基本場（オーバーバー）と、そこからの偏差（プライム）に分けると、

となる。ここで、下付き文字0は計算領域で一定の値を示す。次で定義される流線関数を導入すると、

支配方程式は、

となる。ここで、N2は Brunt-Vaisala 振動数と呼ばれる物理量で、

dence of two–dimensional Rayleigh–Benard convection. Unlike the classic theory, they ana-27

lytically derived the dominant wavenumber of the convection as a function of the horizontal28

grid spacing.29

In this study, we aim to derive an analytical solution of K–H instability in a discretized30

fluid system as a function of spatial grid spacing. The solution would be able to provide31

an information on the necessary grid spacing to resolve the K–H instability. Section 232

provides the governing equation set for the two–dimensional K–H wave, and discretization33

of the equations. Analytical solution for the K–H instability is derived and the solution is34

examined in Section 3. This study is concluded in Section 4.35

2. Two–dimensional fluid model36

We consider an inviscid two–dimensional fluid system. Figure 1 shows the current exper-37

imental setup. The basic–state velocity in the x−direction u varies in the z−direction.38

a. Governing equation set39

The governing equations are40

dρ

dt= −ρ

!∂u

∂x+∂w

∂z

", (1)

du

dt= −1

ρ

∂p

∂x, (2)

dw

dt= −1

ρ

∂p

∂z− g, (3)

3

where (u, w) are the velocities in the (x, z) directions, respectively, t is time, d/dt ≡ ∂t+u∂x+41

w∂z is the total derivative, p is the pressure, ρ0 is the air density, and g is the gravitational42

acceleration, respectively.43

The equations are linearized as44

∂u′

∂x+∂w′

∂z= 0, (4)

∂u′

∂t+ u

∂u′

∂x+ w′∂u

∂z= − 1

ρ0

∂p′

∂x, (5)

∂w′

∂t+ u

∂w′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂z− ρ′

ρ0g, (6)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ w′∂ρ

∂z= 0. (7)

The bar and prime indicate the background state and its deviation, respectively. The basic–45

state velocity in the x direction is nonzero and varies in the z direction, i.e., u(z) = 0. The46

basic–state density varies in the z direction. The total derivative is rewritten in the flux47

form using (1) as dA/dt = ∂tA+ ∂x(uA) + ∂z(wA), where A is any quantity.48

(??) can be written as49

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x− ρ0N2w′

g= 0, (8)

where50

N2 = − g

ρ0

∂ρ

∂z, (9)

is Brunt-Vaisala frequency.51

Using the stream function defined as52

u′ =∂ψ′

∂zand w′ = −∂ψ

′

∂x, (10)

4

where (u, w) are the velocities in the (x, z) directions, respectively, t is time, d/dt ≡ ∂t+u∂x+41

w∂z is the total derivative, p is the pressure, ρ0 is the air density, and g is the gravitational42

acceleration, respectively.43

The equations are linearized as44

∂u′

∂x+∂w′

∂z= 0, (4)

∂u′

∂t+ u

∂u′

∂x+ w′∂u

∂z= − 1

ρ0

∂p′

∂x, (5)

∂w′

∂t+ u

∂w′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂z− ρ′

ρ0g, (6)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ w′∂ρ

∂z= 0. (7)

The bar and prime indicate the background state and its deviation, respectively. The basic–45

state velocity in the x direction is nonzero and varies in the z direction, i.e., u(z) = 0. The46

basic–state density varies in the z direction. The total derivative is rewritten in the flux47

form using (1) as dA/dt = ∂tA+ ∂x(uA) + ∂z(wA), where A is any quantity.48

(??) can be written as49

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x− ρ0N2w′

g= 0, (8)

where50

N2 = − g

ρ0

∂ρ

∂z, (9)

is Brunt-Vaisala frequency.51

Using the stream function defined as52

u′ =∂ψ′

∂zand w′ = −∂ψ

′

∂x, (10)

4

the governing equations are written as53

∂

∂t

∂ψ′

∂z+ u

∂

∂x

∂ψ′

∂z− ∂u

∂z

∂ψ′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂x, (11)

− ∂

∂t

∂ψ′

∂x− u

∂

∂x

∂ψ′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂z− ρ′

ρ0g, (12)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (13)

Taking spatial derivatives for (?? the tendency equation are written as54

∂η′

∂t+ u

∂η′

∂x+∂ψ′

∂x

∂2u

∂z2= − g

ρ0

∂ρ′

∂x, (14)

(15)

η′ = −∇2ψ′, (16)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+∂ψ′

∂x

∂ρ

∂z= 0. (17)

The boundary condition for the lateral boundaries is periodic, while quantities at the55

vertical boundaries satisfy the following conditions:56

Figure ?? shows the basic–state vertical profiles of velocity u and density ρ. The density57

constantly increases with height, i.e., constant Blunt–Vaisala frequency in the domain. The58

horizontal velocity is −10 m s−1 at the bottom, rapidly increases, and is +10 m s−1 at the59

top. The vertical wind shear is largest at the middle of domain. The vertical profile of Ri60

shown in Fig. ?? is less than 0.25 between −1 < z < 1. Thus the necessary condition for61

the K–H instability is satisfied in the basic–state profile.62

b. Discretization63

? analytically showed unstable solutions of Rayleigh–Benard convection in a discretized64

5

4

と定義される。これらの式に、ノーマルモード解を仮定して代入する。例えば密度に関しては

と仮定する。ここで、ハットは各変数の代表的な値、mは x方向の波数、cは位相速度を示す。得られた式をまとめると

という Taylor-Goldstein の方程式が導出できる。境界条件として、上下端の境界で鉛直速度wが 0とする。残念ながら、この式を解析的に解くことは難しい。そこで、解の不安定条件を求める。解が不安定、つまり物理量が時間方向に指数関数的に成長する時は、定義から位相速度cが複素数成分を持てば良い。この式から、今考えた線形のシステムでは、Ri < 0.25 の時に不安定条件を満たすことが分かる。Ri 数が小さくなるためには、分子である大気成層が強く、分母である鉛直シアーが大きいことが求められる。 4．離散化した系における理論の導出 次に、本研究の主目的である離散系した系での理論の再導出を行う。Miyamoto et al. (2015)の方法に従って、各変数をノーマルモードで展開し、

という形を考える。ここで、ティルダが付いた量は物理量rの代表的な値、Dx は格子間隔、下付き文字 j は格子点番号である。本研究では、空間方向の離散化のみを考えるため、一階微分の項を中心差分で近似すると

と書ける。ここで、aは任意の物理量で、一行目から二行目へは、物理量 aを変数 Fxは差分の近似精度で決まる定数で、２次・4次・６次の時それぞれ

である。 次に二階微分の項をまとめると、

となる。

where (u, w) are the velocities in the (x, z) directions, respectively, t is time, d/dt ≡ ∂t+u∂x+41

w∂z is the total derivative, p is the pressure, ρ0 is the air density, and g is the gravitational42

acceleration, respectively.43

The equations are linearized as44

∂u′

∂x+∂w′

∂z= 0, (4)

∂u′

∂t+ u

∂u′

∂x+ w′∂u

∂z= − 1

ρ0

∂p′

∂x, (5)

∂w′

∂t+ u

∂w′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂z− ρ′

ρ0g, (6)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ w′∂ρ

∂z= 0. (7)

The bar and prime indicate the background state and its deviation, respectively. The basic–45

state velocity in the x direction is nonzero and varies in the z direction, i.e., u(z) = 0. The46

basic–state density varies in the z direction. The total derivative is rewritten in the flux47

form using (1) as dA/dt = ∂tA+ ∂x(uA) + ∂z(wA), where A is any quantity.48

(??) can be written as49

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x− ρ0N2w′

g= 0, (8)

where50

N2 = − g

ρ0

∂ρ

∂z, (9)

is Brunt-Vaisala frequency.51

Using the stream function defined as52

u′ =∂ψ′

∂zand w′ = −∂ψ

′

∂x, (10)

4

the governing equations are written as

∂

∂t

∂ψ′

∂z+ u

∂

∂x

∂ψ′

∂z− ∂u

∂z

∂ψ′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂x, (11)

− ∂

∂t

∂ψ′

∂x− u

∂

∂x

∂ψ′

∂x= − 1

ρ0

∂p′

∂z− ρ′

ρ0g, (12)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (13)

Taking spatial derivatives for (??

ρ′ = ρ exp {im (x− ct)} (14)

the tendency equation are written as

∂η′

∂t+ u

∂η′

∂x+∂ψ′

∂x

∂2u

∂z2= − g

ρ0

∂ρ′

∂x, (15)

(16)

η′ = −∇2ψ′, (17)

∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+∂ψ′

∂x

∂ρ

∂z= 0. (18)

The boundary condition for the lateral boundaries is periodic, while quantities at the48

vertical boundaries satisfy the following conditions:49

Figure ?? shows the basic–state vertical profiles of velocity u and density ρ. The density50

constantly increases with height, i.e., constant Blunt–Vaisala frequency in the domain. The51

horizontal velocity is −10 m s−1 at the bottom, rapidly increases, and is +10 m s−1 at the52

top. The vertical wind shear is largest at the middle of domain. The vertical profile of Ri53

shown in Fig. ?? is less than 0.25 between −1 < z < 1. Thus the necessary condition for54

the K–H instability is satisfied in the basic–state profile.55

5

−ikc∂ψ

∂z+M1i

(u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

)= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

Combining the equations yields the Taylor–Goldstein equation.

(u− m

M1c

)(∂2ψ

∂z2−M2ψ

)+

⎛

⎜⎝N2

u− m

M1c− ∂2u

∂z2

⎞

⎟⎠ ψ = 0, (35)

The equation contains some differences from the Taylor–Goldstein equation of a continuous

system,

(u− c)

(∂2ψ

∂z2− k2ψ

)+

(N2

u− c− ∂2u

∂z2

)ψ = 0. (36)

Thus, discretization of the system changes the phase velocity c intom

M1c and also changes71

the squared wavenumber k2 into M2. At the top and bottom boundaries, w = 0 and hence72

∂xψ = 0, and ψ(0) = ψ(H) = 0.73

The analytical solution of (36) does not exist. Hence, the stability of (36) is examined by74

considering integral constraint. As the terms necessary for the integral constraint are N2/−75

3. Solutions depending on spatial resolution76

The solution of (35) for c can be obtained as

c = (u− c)

(∂2ψ

∂z2− k2ψ

)+

(N2

u− c− ∂2u

∂z2

)ψ,

= ±√S, (37)

8

b. Discretization56

? analytically showed unstable solutions of Rayleigh–Benard convection in a discretized57

fluid system. They conducted a linear stability analysis for a discretized system and obtained58

an analytical solution for the dominant wavenumber depending on horizontal grid spacing.59

The results showed that the dominant wavenumber decreases with increasing grid spacing,60

i.e., coarser resolution results in broadened structure of convection, which is consistent with61

that often observed in numerical simulations with coarse resolution. They also showed that62

the discretized governing equation set should be discretized before combining the equations63

into a single one. Then the discretized equations are combined into a single one and the nor-64

mal mode analysis is conducted. This is different from what typically done for a continuous65

fluid.66

The governing equation set (11) – (17) are discretized in spatial directions, while the

temporal differential is not discretized. The quantities are represented as normal modes:

ρ′j = ρ exp {im (∆xj − ct)} (18)

where the tilde indicates a representative value, ∆x is distance in the x direction, and c is67

phase speed.68

The first–order differential is discretized as

∂a

∂x≈ Fχ

aj+1,k − aj−1,k

2∆x, (19)

=2

∆xsin (m∆x)Fχiaj,k, (20)

= M1iaj,k, (21)

6

fluid system. They conducted a linear stability analysis for a discretized system and obtained65

an analytical solution for the dominant wavenumber depending on horizontal grid spacing.66

The results showed that the dominant wavenumber decreases with increasing grid spacing,67

i.e., coarser resolution results in broadened structure of convection, which is consistent with68

that often observed in numerical simulations with coarse resolution. They also showed that69

the discretized governing equation set should be discretized before combining the equations70

into a single one. Then the discretized equations are combined into a single one and the nor-71

mal mode analysis is conducted. This is different from what typically done for a continuous72

fluid.73

The governing equation set (11) – (17) are discretized in spatial directions, while the74

temporal differential is not discretized. The quantities are represented as normal modes:75

!ρ′j"

= {ρ} exp {im (∆xj − ct)} (18)

where the tilde indicates a representative value, ∆x is distance in the x direction, and c is76

phase speed.77

The first–order differential is discretized as78

∂a

∂x≈ Fχ

aj+1,k − aj−1,k

2∆x, (19)

=2

∆xsin (m∆x)Fχiaj,k, (20)

= M1iaj,k, (21)

where aj,k is a quantity at a grid point (j, k) in the x and z directions,79

M1 =2

∆xsin (m∆x)Fχ, (22)

6

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

5

以上から、支配方程式を離散化すると、

と書ける。これらの式はそれぞれ、x方向の運動量保存式、z方向の運動量保存式、質量保存式で連続系のそれらと定性的には全く同じである。離散化した影響は、係数M1、M2がDx の関数になっており、Dx の値で両係数の値が変化することで解も変化する。定義からも分かるように、 の極限で、 、 となる。 これらをまとめると、離散化した系におけるTaylor-Goldstein の式が導出される。

連続系の時の式と比べると、係数M1、M2が入ってる点が異なるが、 の極限で連続系の式と一致する。つまり、この式を解くことで、解像度（Dx）に依存した解が導出できる。 5．シミュレーションの結果 次に、非静力学完全圧縮系の大気運動を解く数値モデルを用いて、空間解像度を系統的に変えた一連の数値計算を実行した。モデルの領域は、水平・鉛直の準二次元系で、流れ方向、スパン方向、鉛直方向（x, y, z）をそれぞれ120 x 10 x 10 km3とし、空間解像度（Dx, Dy, Dz）を 500, 500, 500 mとした。Dzを変えた計算を行った。初期値には、z > 6 kmで風速が50 m/s、z < 4 kmで風速が0 m/s とし、4 < z < 6 kmで風速が線形に変わる層を入れた。また、温位も z > 6 kmで 301 K、z < 4 kmで 300 K とした。x, y 方向には周期境界条件とした。 まずコントロール計算として、Dz = 500 mの結果得られた風速と温位の x-z 断面図を図４に示す。計算開始から時間が経つとシアーの部分に波状の分布が生じ（t = 2100 s）、その振幅が増大していき、やがて砕波する。t = 3000 s には、既に低温位の領域が高温位域に入り込み、砕波の兆候が見て取れる。駆動されたK-H波の流れ方向の波長は約20 kmで、波が形成された時には、高度方向に約2 km程度の幅を持つ。時間が経っても波長は変わらず、その一方で振幅が増大して行くことが分かる。K-H波の水平・鉛直スケールや、成長の速度などは先行研究（例えば、黒木・中西 2011）とも整合的である。 次に、鉛直方向の空間解像度を系統的に変えて（2000, 1000, 500, 200, 100, 50 m）、実験を行った。図４に各実験での領域平均した運動エネルギー密度の時間発展を示す。コントロールランである解像度が500 mの場合、0.5 h くらいから増加を始め、0.8 h 付近で最大となる。鉛直方向の格子間隔が500 m以下であれば、同様な時間発展をするが、1000 mの時は、それほど成長せずゆっくりと増加する。さらに2000 mの時は（つまりシアー層を１層で表現した時は）、増加することなく減衰した。つまり、この一連の計算の結果から、鉛直方向の解像度が500 m程度あれば、K-H不安定を計算するには十分と考えられる。これはシアー層の4分の 1（2000/500）、つまりシアー層を4点で表現することができれば、K-H不安定による波の発達過程を表現することができることが分かった。

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

Combining the equations yields the Taylor–Goldstein equation.86

(u− m

M1c

)(∂2ψ

∂z2−M2ψ

)+

⎛

⎜⎝N2

u− m

M1c− ∂2u

∂z2

⎞

⎟⎠ ψ = 0, (35)

The equation contains some differences from the Taylor–Goldstein equation of a continuous87

system,88

(u− c)

(∂2ψ

∂z2− k2ψ

)+

(N2

u− c− ∂2u

∂z2

)ψ = 0. (36)

Thus, discretization of the system changes the phase velocity c intom

M1c and also changes89

the squared wavenumber k2 into M2. At the top and bottom boundaries, w = 0 and hence90

∂xψ = 0, and ψ(0) = ψ(H) = 0.91

The analytical solution of (36) does not exist. Hence, the stability of (36) is examined by92

considering integral constraint. As the terms necessary for the integral constraint are N2/−93

3. Solutions depending on spatial resolution94

The solution of (35) for c can be obtained as95

c = (u− c)

(∂2ψ

∂z2− k2ψ

)+

(N2

u− c− ∂2u

∂z2

)ψ,

= ±√S, (37)

If c has an imaginary part and is positive, perturbations in the normal mode solution (18)96

exponentially grow in time, i.e., the solution is unstable. Hence, when97

0 > S, (38)

the phase velocity (37) contains an imaginary part. The condition can be rewritten as98

0 > S. (39)

8

and80

F02 =1

2, (23)

F04 =8

12− 2

12cos (m∆x) , (24)

F06 =45

60− 18

60cos (m∆x) +

1

60

!3− 4 sin2 (m∆x)

". (25)

M1 → m as ∆x → 0.81

The second–order differential is discretized as82

∂2a

∂x2≈ 2

∆x2{cos (m∆x)− 1} aj,k, (26)

= −M2aj,k. (27)

where83

M2 =2

∆x2cos (m∆x− 1) , (28)

and M2 → m2 as ∆x → 0.84

The discretized equations are85

−ikc∂ψ

∂z+

2

∆xsin (m∆x)Fχi

#u∂ψ

∂z− ψ

∂ψ′

∂x

$= − 1

ρ0

2

∆xsin (m∆x)Fχip, (29)

ikc2

∆xsin (m∆x)Fχiψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (30)

−ikcρ∂ρ′

∂t+ u

∂ρ′

∂x+ρ0N2

g

∂ψ′

∂x= 0. (31)

−ikc∂ψ

∂z+M1i

#u∂ψ

∂z− ψ

∂u

∂x

$= − 1

ρ0M1ip, (32)

−kcKψ + uM2ψ = − 1

ρ0

∂p

∂z− ρ

ρ0g, (33)

−ikcρ+M1iρu+ρ0N2

gM1iψ = 0. (34)

7

6

7

図３：コントロール計算の結果得られた、風速（ベクトル）・温位（陰影）の x-z断面図。

図４：解像度Dx を系統的に変えた一連の計算結果で、領域平均した運動エネルギーの時間変化図。 6．まとめ 本研究では、航空機の安全運航に影響を与える乱気流を、気象モデルで再現するために必要な空間解像度を調査した。乱気流がKelvin-Helmholtz（K-H）不安定によって生じると考え、K-H波の線形理論の方程式を離散化した。申請者が考案した方法で、離散化したノーマルモード解を代入することで、水平・鉛直方向の空間解像度の関数とした成長率の方程式を導出した。つまりこの系では、擾乱の成長率が、本来は依存するべきでない空間解像度に依存する形で表される。今回導出した式は、空間解像度が高く（格子間隔が狭く）なると（Dx -> 0）、連続系の式と同じになることが確かめられた。 また、数値気象モデルを用いて、鉛直解像度を系統的に変えた計算を行った。その結果、コントロールランでは既往研究と同様の結果が得られた。そして、解像度を変えた一連の計算の結果、鉛直格子間隔が1000 m以上のときはK-H不安定が生じなかった（500 m以下の時は生じた）。これは、初期値において風速が線形に変化するシアー層2000 mを 4点以上で表現できる時に相当する。この結果から、K-H不安定による乱気流を計算するためには、シアー層を４点程度の格子点で解像する必要があることが分かった。 航空機に影響を与えるスケールの乱気流を考えると、鉛直格子間隔が200 m程度は必要であることが示唆される。これは現在の天気予報モデルの対流圏上層の鉛直格子間隔よりも4~5倍細かい値であり、現在の予報モデルで乱気流の予測が難しい主たる理由の一つと考えることができる。 今回は、乱気流の解像度依存性を調べた最初の研究であったため、乱気流を表現する簡単な二次元の系を考えた。現実世界では、当然ながら三次元の流れが存在するため、今後研究して行く必要がある。 参考文献

0 0.5 1 1.5t (h)

25

26

27

28

K (m

2 s-2

)

2000m1000m0500m0200m0100m

8

1. 黒木祐樹・中西幹郎, 2011: Kelvin-Helmholtz 波の遷移メカニズム, 第 25回すうち流体シンポジウム.

2. Marlton, G. J. 2016: On the development, characterisation and applications of a balloon-borne atmospheric turbulence sensor. Ph.D. thesis, University of Reading.

3. Miyamoto, Y., J. Ito, S. Nishizawa, and H. Tomita, 2015: A linear thermal stability analysis of discretized fluid equations, Theoretical and Comp. Fluid Dyn. 29, 155-169.