finanzas i-topico 3

Finanzas ITeora de CarterasTeora de Carteras

Oscar GiustiAbril, 2014

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.

Rentabilidad esperada de un portafolio.

Desviacin estndar de un portafolio.

Frontera eficiente.

Activo libre de riesgo.

Portafolio de mercado y ratio de Sharpe.

Lnea de mercado de capitales.

2Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Repaso estadstica

Promedio: Medida de tendencia central que se calcula sumandotodos los datos y dividiendo dicha suma por el nmero total dedatos.

n

XX

n

ii

=

=1

Promedio ponderado: Es lo mismo. Solo que en lugar de sumar todoy dividirlo por el numero total, cada dato se pondera por laparticipacin porcentual. El resultado es el mismo.


nX =

=

=

n

iii wXX

1

Repaso estadstica

Promedio: Medida de tendencia central que se calcula sumandotodos los datos y dividiendo dicha suma por el nmero total dedatos.

4%

32%

27%


27%

19%

52%

46%

5%

3%

11%

43%

50%

3%

47%

39%

28%

7%

10%

Promedio = 24%

Repaso estadstica

Varianza: Medida de dispersin, mide que tan dispersos estn losdatos en torno al promedio.

( )( )XX

x

n

ii

=

==1

2

2var


( )n

x ix=

==1var

Repaso estadstica

Varianza: Medida de dispersin, mide que tan dispersos estn losdatos en torno al promedio.

4%

32%

27%


27%

19%

52%

46%

5%

3%

11%

43%

50%

3%

47%

39%

28%

7%

10%

Varianza = 3,5%

Repaso estadstica

Desviacin estndar: Raz cuadrada de la varianza.

( )( )XX

x

n

ii

=

==1

2

var


( )n

x ix=

==1var

Repaso estadstica

Desviacin estndar: Raz cuadrada de la varianza.

4%

32%

27%


27%

19%

52%

46%

5%

3%

11%

43%

50%

3%

47%

39%

28%

7%

10%

Varianza = 3,5% Desviacin estndar = 2,5%

Repaso estadstica

Covarianza: Medida de relacin existente entre dos variables.

( )( )( )

n

YYXXyx

n

iii

yx

=

==1

,,cov


nyx,

Repaso estadstica

Covarianza: Medida de relacin existente entre dos variables.

4% 40%

32% -20%

27% 19%

19% 23%

52% 46%


52% 46%

46% 48%

-5% 47%

3% 30%

11% 36%

43% 25%

50% 43%

3% 2%

47% 4%

39% 46%

28% 8%

7% 1%

10% 37%

Covarianza(X,Y) = 0,29%

Repaso estadstica

Propiedades de la Varianza

( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar ++=+( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar +=


( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar +=( ) ( )xaxa varvar 2=

( ) =+ byxavar

Repaso estadstica

Propiedades de la Varianza

( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar ++=+( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar +=


( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ,cov2varvarvar +=( ) ( )xaxa varvar 2=

( ) ( ) ( ) ( )yxabybxabyxa ,cov2varvarvar 22 ++=+

Teora de carteras

Esta teora persigue determinar cual es la composicin ptima decada activo que un inversor debiera contemplar.

Para lograr este objetivo el modelo (Makowitz) busca maximizar elretorno esperado sujeto a un nivel de riesgo.retorno esperado sujeto a un nivel de riesgo.

Lo anterior visto desde el punto dual es equivalente a buscar elportafolio que minimice el riesgo sujeto a un nivel de retornoesperado.


Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras

La rentabilidad de cualquier ttulo o cartera es una variablealeatoria cuya distribucin de probabilidad es conocida. Se aceptacomo medida de rentabilidad a la esperanza matemtica o a

la media de dicha variable.

Se acepta como medida de riesgo la dispersin, es decir ladesviacin estndar o la varianza de la variable aleatoria.


Teora de carteras


La rentabilidad puede medirse a travs de una media estadstica, esdecir un promedio. La rentabilidad media de un portafolio ser elpromedio ponderado de los retornos de cada uno de los activos.

Retorno del portafolio

Retorno del activo i

Participacin porcentual del activo i


nnp RwRwRwRwR ++++= ...332211

=

=

n

iiip RwR

1

=pR=iR=iw

Teora de carteras

Para cada activo i se tiene una distribucin de retornos, larentabilidad ser la esperanza, o la media (el promedio) de losretornos.

100

120En el ejemplo del grfico el promedio sera de un 5%.


0

20

40

60

80

-

1

.

2

%

-

0

.

6

%

0

.

1

%

0

.

7

%

1

.

3

%

2

.

0

%

2

.

6

%

3

.

2

%

3

.

9

%

4

.

5

%

5

.

2

%

5

.

8

%

6

.

4

%

7

.

1

%

7

.

7

%

8

.

3

%

9

.

0

%

9

.

6

%

1

0

.

2

%

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

sera de un 5%.

El retorno esperado (promedio) es de un 5%.

5%=iR

Teora de carteras


7.00%

8.00% En el ejemplo del grfico el promedio sera de un 5%.


0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

-

1

.

2

%

-

0

.

6

%

0

.

1

%

0

.

7

%

1

.

3

%

2

.

0

%

2

.

6

%

3

.

2

%

3

.

9

%

4

.

5

%

5

.

2

%

5

.

8

%

6

.

4

%

7

.

1

%

7

.

7

%

8

.

3

%

9

.

0

%

9

.

6

%

1

0

.

2

%

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

sera de un 5%.


5%=iR

Teora de carteras


7.00%

8.00% En el ejemplo del grfico el promedio sera de un 5%.

7.00%

8.00%


0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

-

1

.

2

%

-

0

.

6

%

0

.

1

%

0

.

7

%

1

.

3

%

2

.

0

%

2

.

6

%

3

.

2

%

3

.

9

%

4

.

5

%

5

.

2

%

5

.

8

%

6

.

4

%

7

.

1

%

7

.

7

%

8

.

3

%

9

.

0

%

9

.

6

%

1

0

.

2

%

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

sera de un 5%.


5%=iR

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

-

1

.

2

%

-

0

.

6

%

0

.

1

%

0

.

7

%

1

.

3

%

2

.

0

%

2

.

6

%

3

.

2

%

3

.

9

%

4

.

5

%

5

.

2

%

5

.

8

%

6

.

4

%

7

.

1

%

7

.

7

%

8

.

3

%

9

.

0

%

9

.

6

%

1

0

.

2

%

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras


La desviacin estndar de un portafolio corresponde a la raz de lavarianza del portafolio. La varianza del portafolio corresponde ala suma de las varianzas de los activos ponderadas al cuadrado porel porcentaje de participacin, ms todas las combinaciones de lascovarianzas entre los activos, ponderadas por sus respectivoscovarianzas entre los activos, ponderadas por sus respectivosporcentajes. Es decir:

Desviacin estndar del portafolio

Participacin porcentual del activo i en el portafolio.

Covarianza entre los activos i y j23Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

= =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,

=p

=iw

=ji,

Teora de carteras


Supongamos una cartera con dos activos.

Varianza del activo 1.


==2

11,1 ==

222,2 Varianza del activo 2.

Covarianza de los activos 1 y 2.

Participacin del activo 1.


Ahora apliquemos la frmula


= =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,

== 22,2

== 1,22,1

=1w

=2w

Teora de carteras


Supongamos una cartera con dos activos.



==2

11,1 ==

222,2 Varianza del activo 2.

Covarianza de los activos 1 y 2.




= =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,

== 22,2

== 1,22,1

=1w

=2w

Teora de carteras


Ahora apliquemos la frmula = =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,


1,2122,1212

22

22

12

1 +++= wwwwwwp

2,1212

22

22

12

1 2 ++= wwwwp

Teora de carteras


Ahora apliquemos la frmula = =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,


1,2122,1212

22

22

12

1 +++= wwwwwwp

2,1212

22

22

12

1 2 ++= wwwwp

( ) 2,1212222212122211 2var ++==+ wwwwawaw p2,121

22

22

21

21 2 ++= wwwwp

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras

Veamos un ejemplo: Supongamos dos activos que tienen lossiguientes retornos histricos.

Activo 1 Activo 2

4% 40%

32% -20%

27% 19%

19% 23%

52% 46%

26%

1%

22%

21%

48%

Ahora armemos unportafolio con un 40%del activo 1 y un 60%


52% 46%

46% 48%

-5% 47%

3% 30%

11% 36%

43% 25%

50% 43%

3% 2%

47% 4%

39% 46%

28% 8%

7% 1%

10% 37%

Promedio 24% 26%

Varianza 3% 4%

Desv. Estndar 19% 20%

Covarianza 0,29%

47%

26%

19%

26%

32%

46%

2%

21%

43%

16%

3%

26%

Promedio 25%

Varianza 2%

Desv. Estndar 14%

del activo 2.

W1 = 40%

W2 = 60%

Debera esperar un portafolio con un retorno esperado de 25% y una varianza de un 2%.

Teora de carteras

Veamos un ejemplo: Supongamos dos activos que tienen lossiguientes retornos histricos.

Activo 1 Activo 2

4% 40%

32% -20%

27% 19%

19% 23%

52% 46%

2211 RwRwRp +=

%26%60%24%40 +=pR


52% 46%

46% 48%

-5% 47%

3% 30%

11% 36%

43% 25%

50% 43%

3% 2%

47% 4%

39% 46%

28% 8%

7% 1%

10% 37%

Promedio 24% 26%

Varianza 3% 4%

Desv. Estndar 19% 20%

Covarianza 0,29%

%26%60%24%40 +=pR

%25=pR

2,1212

22

22

12

1 2 ++= wwwwp

%29,0%60%402%4%60%3%40 2222 ++=p

%14=p

Teora de carteras

Hasta ahora hemos calculado el retorno esperado de un portafolio ysu desviacin estndar.

Para lograr esto hemos tenido que recordar algunas propiedadesestadsticas.

La teora de portafolio o teora de carteras nos seala que existeventaja al diversificar. Para poder graficar esta ventaja vamos aconsiderar algunos ejemplos.


Teora de carteras

Supongamos que invertimos todo en el activo 1.

25,6%

25,8%


24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)

Activo 1

Teora de carteras

Supongamos ahora que invertimos todo en el activo 2.

25,6%

25,8%

Activo 2


24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)

Activo 1

Teora de carteras

Que pasa si vemos el conjunto de todas combinaciones posiblesentre los activos 1 y 2.

25,6%

25,8%

Activo 2


24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)

Activo 1

25,6%

25,8%

Teora de carteras

Que pasa si vemos el conjunto de todas combinaciones posiblesentre los activos 1 y 2.

Activo 2

24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)


Activo 1

25,6%

25,8%

Teora de carteras

La diversificacin me permite obtener una frontera eficiente.

Cul es la frontera eficiente en la figura?

Activo 2

24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)


Activo 1

25,6%

25,8%

Teora de carteras

La diversificacin me permite obtener una frontera eficiente.

Cul es la frontera eficiente en la figura?

Activo 2

24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

25,4%

1,8% 2,3% 2,8% 3,3% 3,8% 4,3%

Retorno

Varianza (Riesgo)

La curva azul representa la frontera eficiente.37Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

Activo 1

Cmo puede ser posible?

Recordemos otro concepto estadstico:

El coeficiente de correlacin.

Relacin negativa

Teora de carteras

1= Relacin negativa

Relacin neutra

Relacin positiva

La correlacin mide lo mismo que la covarianza pero se mueve desde -1(relacin lineal negativa, si uno sube el otro baja), pasando por cero(cuando no existe relacin lineal entre ambos activos), hasta 1 (perfectarelacin lineal positiva, si uno sube el otro tambin sube)


( )yx

yxyx

,cov

,=

1,

=yx

0,

=yx

1,

=yx

La diversificacin es posible solo si existe una correlacin distinta a 1

Teora de carteras

25,4%

25,6%

25,8%


24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%

Retorno

Varianza (Riesgo)


Teora de carteras

25,4%

25,6%

25,8%


24,4%

24,6%

24,8%

25,0%

25,2%

0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%

Retorno

Varianza (Riesgo)

La diversificacin es posible si existe una correlacin diferente de

1.

La diversificacin permite acceder a carteras de inversin con

mayor retorno dado un nivel de riesgo.

Teora de carteras

mayor retorno dado un nivel de riesgo.

Dicho de otro modo, la diversificacin me permite disminuir el

riesgo accediendo dado un nivel de retorno.


La frontera eficiente se defini como el conjunto de puntos querepresentaban el mayor retorno posible dado un nivel de riesgo.

Tambin se puede definir desde el punto de vista dual: Es el conjuntode puntos que representa el menor riesgo dado un nivel de retorno.

Teora de carteras

de puntos que representa el menor riesgo dado un nivel de retorno.

En la clase supusimos dos activos, pero en la realidad hay muchos.Supongamos por ejemplo 3 activos cuyos parmetros son lossiguientes.


Si graficamos estos puntos en un grfico riesgo-retorno como el quevimos la clase pasada, se obtiene un grfico de esta forma:

Teora de carteras

Act 1 Act 2 Act 3

Promedio 0,08 0,11 0,17

Desv. Est. 0,423 0,393 0,433

vimos la clase pasada, se obtiene un grfico de esta forma:


0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

R

e

t

o

r

n

o

Desviacin Estndar (Riesgo)

Si ahora buscamos las combinaciones que generan el mayor retorno,dado un nivel de riesgo, lo que se obtiene es lo siguiente.

Teora de carteras

Act 1 Act 2 Act 3

Promedio 0,08 0,11 0,17

Desv. Est. 0,423 0,393 0,433

dado un nivel de riesgo, lo que se obtiene es lo siguiente.


0,075

0,085

0,095

0,105

0,115

0,125

0,135

0,145

0,155

0,165

0,175

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

R

e

t

o

r

n

o


La figura muestra la frontera eficiente, que son todas las carteras oportafolios que maximizan el retorno dado un nivel de riesgo.

Es evidente la ganancia en retorno dado un nivel de riesgo.

Esto es gracias a la diversificacin. Lo que es posible cuando lacorrelacin entre los retornos de los diferentes activos es distinta de

Teora de carteras

correlacin entre los retornos de los diferentes activos es distinta de1.


0,075

0,085

0,095

0,105

0,115

0,125

0,135

0,145

0,155

0,165

0,175

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

R

e

t

o

r

n

o


Teora de carteras


La rentabilidad puede medirse a travs de una media estadstica, esdecir un promedio. La rentabilidad media de un portafolio ser elpromedio ponderado de los retornos de cada uno de los activos.


Retorno del activo i

Participacin porcentual del activo i


nnp RwRwRwRwR ++++= ...332211

=

=

n

iiip RwR

1

=pR=iR=iw

Teora de carteras


La desviacin estndar de un portafolio corresponde a la raz de lavarianza del portafolio. La varianza del portafolio corresponde ala suma de las varianzas de los activos ponderadas al cuadrado porel porcentaje de participacin, ms todas las combinaciones de lascovarianzas entre los activos, ponderadas por sus respectivoscovarianzas entre los activos, ponderadas por sus respectivosporcentajes. Es decir:

Desviacin estndar del portafolio

Participacin porcentual del activo i en el portafolio.

Covarianza entre los activos i y j50Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

= =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,

=p

=iw

=ji,

Teora de carteras

Volvamos al caso de dos activos

Activo A

Retorno Esperado 10%

Desv. Estandar 10%

Activo B


Desv. Estandar 20%


Desv. Estandar 10%

Varianza 0,01

Desv. Es tandar 20%

Varianza 0,04

Correlacin 20%

Covarianza 0,004

Teora de carteras


Utilizando la frmula de retorno de la cartera (o portafolio) y lafrmula de la desviacin estndar de la cartera.

n


=

=

n

iiip RwR

1

= =

=

n

i

n

jjijip ww

1 1,

Teora de carteras


Calculamos el retorno esperado y la desviacin estndar para todaslas combinaciones posibles de estos dos activos.

16,00%


6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

16,00%

0,000% 5,000% 10,000% 15,000% 20,000% 25,000%

R

e

t

o

r

n

o

Riesgo (Desviacin Estndar)

Activo A

Activo B

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras


Introduciremos un nuevo concepto: Activo libre de riesgo.

Activo libre de riesgo es simplemente un activo cuya rentabilidad es Activo libre de riesgo es simplemente un activo cuya rentabilidad escompletamente cierta. Dicho de otro modo, su riesgo (varianza) escero.


Teora de carteras


Activo A


Desv. Estandar 10%

Activo B


Desv. Estandar 20%


Desv. Estandar 10%

Varianza 0,01

Desv. Es tandar 20%

Varianza 0,04

Correlacin 20%

Covarianza 0,004

Activo libre de riesgo 7%

Teora de carteras


En la figura queda representado por

15,00%

16,00%


6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

0,000% 5,000% 10,000% 15,000% 20,000% 25,000%

R

e

t

o

r

n

o


Activo

Libre de

Riesgo

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras


Introduzcamos un nuevo concepto: El portafolio de mercado.

El Portafolio de mercado es aquella combinacin de activos que El Portafolio de mercado es aquella combinacin de activos que

produce el mayor Ratio de Sharpe.

El Ratio de Sharpe se define como:

Ratio de Sharpe

Retorno esperado del portafolio

Retorno libre de riesgo

Desv. Estndar del portafolio59Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

( )p

Fpr

RRES

=

=rS( )=pRE=FR=p

Teora de carteras


Entendiendo esta definicin, se busca el portafolio o cartera conmayor Ratio de Sharpe:

En este ejemplo es aquel que posee un 56% en el activo 1 y un 44% En este ejemplo es aquel que posee un 56% en el activo 1 y un 44%en el activo 2.

Retorno esperado de ese portafolio:

Desviacin estndar del portafolio:


%2,12%15%44%10%56 =+=pR

%34,11%4,0%44%562%20%44%10%56 2222 =++=p

Teora de carteras


Por lo tanto el Ratio de Sharpe:

( ) Fp RRES = Queda definido por:


( )p

FprS

=

46,0%34,11

%7%2,12=

=rS

Teora de carteras


Lo que en la figura queda representado por:


6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

16,00%

0,000% 5,000% 10,000% 15,000% 20,000% 25,000%

R

e

t

o

r

n

o


Activo

Libre de

Riesgo

Portafolio

de

mercado

Contenidos

Repaso estadstica.

Teora de carteras.



Frontera eficiente.





Teora de carteras


La lnea que une el activo libre de riesgo con el portafolio demercado representa las combinaciones posibles entre ambasopciones de inversin.opciones de inversin.


6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

16,00%

0,000% 5,000% 10,000% 15,000% 20,000% 25,000%

R

e

t

o

r

n

o


Activo

Libre de

Riesgo

Portafolio

de

mercado

Teora de carteras


Aquella lnea se denomina lnea de mercado de capitales.


6,00%

7,00%

8,00%

9,00%

10,00%

11,00%

12,00%

13,00%

14,00%

15,00%

16,00%

0,000% 5,000% 10,000% 15,000% 20,000% 25,000%

R

e

t

o

r

n

o


Activo

Libre de

Riesgo

Portafolio

de

mercado

Teora de carteras


La ecuacin de la lnea de mercado de capitales es:

( ) ( ) Fm RRERRE +=


Retorno del portafolio de mercado

Retorno libre de riesgo

Desv. Estndar del portafolio de mercado

Desv. Estndar del portafolio67Oscar Giusti - Finanzas I04/15/2013

( ) ( ) pm

FmFp

RRERRE

+=

( ) =mRE=FR=m

( )=pRE

=p

Finanzas ITeora de CarterasTeora de Carteras

Oscar GiustiAbril, 2014

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