folhetos_3_operadores
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Operadores em MQTRANSCRIPT
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= EH
Equao de valores prprios
A equao de Schrdinger uma equao de valores prprios, onde o operador Hamiltoniano o operador de
energia total que caracteriza o sistema em estudo.
Funes prprias que caracterizam o sistema
Valores prprios da propriedade observvel que resultam de medies experimentais
Operador associado a
uma observvel
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O f =o f
Como construir operadores qunticos?
A cada observvel fsica corresponde um operador hermtico linear.
Para se deduzir a expresso deste operador, escreve-se a expresso macnico-clssica em termos das coordenadas cartesianas e das correspondentes componentes do momento linear ou quantidade de movimento, e substituem-se as coordenadas x, y e z , e as componentes do momento px, py e pz pelos operadores qunticos de acordo com o quadro:
x y z px py pz
x y z x
i
yi
zi
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O que um operador linear?
Ser o operador px hermtico e linear?
O kf =k O f Com k constante
O que um operador hermtico?
fi* O f
jdx = f j* O f i dx{ }
*
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Duas funes fi e fj dizem-se ortogonais se:
1. Os valores prprios de um operador hermtico so nmeros reais.
( ) 0**** === dxffdxffdxff ijjiji
2. f(x) = sen(x) e g(x)=sen(2x) so funes prprias do operador hermtico d2/dx2. Mostrar que so funes ortogonais.
3. Em geral as funes prprias correspondentes a diferentes valores prprios de um operador hermtico linear so funes ortogonais.
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Retome-se, ento, o caso de uma partcula de massa m numa s dimenso e que representada pela funo de onda:
dxdipx =
Verifique que soluo
x
)cos(2 kxAAeAe ikxikx =+= +
Com o operador momento linear podemos saber o valor prprio associado a :
+= tex CkxAidxkxAdip )sin(2))cos(2(
Aplique-se ento este operador a :
no funo prpria do operador e portanto no pode representar um valor definido do momento linear da partcula!
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Mas: ikxikx AeAekxA + +== )cos(2
A funo no funo prpria do operador momento linear, mas uma combinao linear de 2 funes que o so, com valores prprios associados +k e -k.
ikxikx
ikxx Aekdx
AediAep ++
+ += )()(
ikxikx
ikxx Aekdx
AediAep
= )()(
x
px=-k px=+k
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Sobreposio de estados No podemos saber se a partcula se move num sentido ou no outro.
O seu estado uma sobreposio de duas funes que representam movimentos com momentos lineares opostos.
Se realizarmos experincias para medir o seu momento linear, no possvel prever o resultado: umas vezes resulta o valor px=+k e outras vezes px=-k.
Experincia conceptual do gato de Schrdinger
xpixpi xx
AeAe +
+=+=
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Sobreposio de estados
Generalizando:
=++=i
iiccc 2211
Oi=o
i
i, i = 1,2,
Funes prprias de um operador hermtico linear
Quando se efectua uma medio da grandeza observvel associada ao operador, somente um dos valores prprios oi pode ser obtido.
No possvel prever o valor que se vai obter numa medio em particular. Porm, a nvel estatstico, a probabilidade de ocorrncia de um valor ok em particular proporcional a | ck |2.
O valor esperado, ou mdia, dos valores resultantes das medies dado por:
O = D
*Od
pag 260 a 269
Sobreposio de estados
Exerccio para as aulas TP:
2211 cc +=O
1=o
1
1
O2=o
2
2
!"#
$#
Provar que o valor esperado dado por:
O = c1
2o1+ c
2
2o2
Considere um caso simples em que a funo de estado combinao linear de duas funes prprias de um operador:
o que representa uma mdia pesada dos valores possveis, o1 e o2, com probabilidade (peso) |c1|2 e |c2|2.
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A dualidade onda-partcula contraria a noo clssica de trajectria !
Uma onda caracterizada por um comprimento de onda, , possui um momento linear bem determinado: p= h / .
mas perde-se completamente a informao sobre a posio da partcula.
px h / 1
|A|2
x
A probabilidade de presena da partcula uniforme em todo o espao: ||2= |A|2.
xpiikxx
AeAe ++ ==
px=+k
pag 269 a 270
A dualidade onda-partcula contraria a noo clssica de trajectria !
2
xp
Adicionando componentes com outros valores prprios pi, ganha-se mais rigor na posio da partcula, porque a densidade de presena da partcula concentra-se numa regio mais restrita do espao.
h / 2
h / 3
h / 4
h / 5
h / 6
Werner Karl Heisenberg 1901-1976 pag 269 a 270
px h / 1
Pacotes de onda wave packet com nmero varivel de componentes.
mas perde-se no conhecimento da sua velocidade, pois numa medio de p pode resultar qualquer um dos valores pi.
Qual o modelo actual do tomo ?
Estrutura Atmica e Molecular Q222
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Os Princpios da Incerteza (Heisenberg) e da Complementaridade (Bohr)
constituem a base da Interpretao de Copenhaga da mecnica quntica.
determinismo
natureza estatstica da realidade
objectividade
realidade material depende do acto de observao/medio
Estrutura Atmica e Molecular Q222
A linguagem que utilizamos foi
concebida para descrever
fenmenos de um mundo
macroscpico que obedece s leis
da Fsica Clssica.
Mas as mais pequenas rodas do grande relgio que o Universo no
obedecem a leis deterministas. Pensar em partculas qunticas como
objectos vulgares est em contradio com a experincia.
O dilogo cientfico/filosfico
entre Einstein e Bohr ficou
famoso, e prosseguiu ao
longo das suas vidas sem
chegarem a uma concluso.
Estrutura Atmica e Molecular Q222
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Na Mecnica Quntica a
probabilidade que est
causalmente determinada
para o futuro, e no os
acontecimentos individuais.
Devido s suas profundas
convices filosficas,
Einstein nunca aceitou que
Deus jogasse aos dados ! Quino
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