Function & Basic Algebraฟังกช์ัน่และพีชคณิตเบือ้งต้น

Chapter 17

ฟังกช์ัน่และสตูรพีชคณิตเบือ้งต้นท่ีควรทราบมีอะไร?

• ตวัแปร (Variables) เป็นสญัลกัษณ์ (Symbol) หรอื

ตวัแทนของสิง่ทีก่ ำลงัพดูถงึ ซึง่อำจใชต้วัอกัษรหรอื

สญัลกัษณก็์ได้

• ตวัแปรชว่ยใหส้ำมำรถสรำ้งสตูรกำรค ำนวณ ซึง่สตูร

จะชว่ยใหค้ ำนวณค ำตอบคำ่ตำ่งๆ ตำมทีส่ตูรน ัน้ท ำได้

• ตวัแปรอำจจะเรยีกวำ่ ปจัจยั (Factor หรอื Element)

• ตวัแปรมกีำรแบง่ออกเป็นกลุม่ๆ ไดห้ลำยวธิ ีเชน่

• ตวัแปรแบบไมต่อ่เนือ่งและตอ่เนือ่ง

• ตวัแปรอสิระและไมอ่สิระ

• ฯลฯ

ตวัแปร (Variables)

ตวัแปรอสิระ (Independent Variables) เสมอืนเป็น “เหต”ุ

ตวัแปรไมอ่สิระ (Dependent Variables) เสมอืนเป็น “ผล”

“เหต”ุ ท ำใหเ้กดิ “ผล” หรอื “ผล” เกดิจำก “เหต”ุ

ตวัแปรอสิระกบัไมอ่สิระ (Independent & Dependent)

กอ่ใหเ้กดิตวัแปรอสิระ(Independent)

ตวัแปรไมอ่สิระ(Dependent)

เหตุ ผลท ำใหเ้กดิ

ผล เหตุเกดิจำก

ฟงักช์ ัน่ (Function) หมำยถงึ ควำมสมัพนัธ ์(Relationship) ระหวำ่ง

• ตวัแปรอสิระ (Independent)• ตวัแปรไมอ่สิระ (Dependent)

โดยทีต่วัแปรอสิระ 1 คำ่จะกอ่ใหเ้กดิคำ่ของตวัแปรไมอ่สิระ 1 คำ่เทำ่น ัน้

ตวัแปรอสิระ (Independent) จะมกี ีต่วัก็ไดข้ ึน้อยูก่บัควำมสมัพนัธห์รอืฟงักช์ ัน่น ัน้ๆ แตต่วัแปรไมอ่สิระจะมเีพยีงตวัเดยีว

ฟงักช์ ัน่ (Function)

ตวัอยำ่ง ก ำหนด Demand Function (ฟงักช์ ัน่กำรบรโิภค)คอื

Qx = 120 - 2Px

โดยที ่ Qx = ปรมิาณการบรโิภคสนิคา้ (Quantity of x)Px = ราคาตอ่หน่วยของสนิคา้ x (Price of x)

เขยีนไดว้ำ่ Q = f(Px)

เป็นฟงักช์ ัน่ตวัแปรเดยีว (Single Variable Function)

เนือ่งจำกมตีวัแปรอสิระหรอืปจัจยัเพยีงตวัเดยีว

หมำยควำม: ปรมิำณกำรบรโิภคสนิคำ้ x ขึน้อยูก่บั

รำคำสนิคำ้ x หรอื Px เพยีงอยำ่งเดยีวเทำ่น ัน้

กรณีหลำยตวัแปร เชน่ QA = f(PA, A, I, etc.):

• QA คอื ปรมิำณสนิคำ้ A

• QA ขึน้อยูก่บั รำคำ โฆษณำ รำยได้ ฯลฯ

ฟงักช์ ัน่พืน้ฐำนทีน่ำ่สนใจ (Function)

0X

y = a + bx + cx2 + dx3

Cubic Fn.

y = a + bx Linear Fn.

y = a + bx + cx2

Quadratic Fn.

Y

• ตวัแปรยิง่มกี ำลงัสงู กรำฟยิง่มจีดุสงูสดุ-ต ำ่สดุ-เปลีย่นเวำ้มำก• กำรแกส้มกำรดว้ยพชีคณิต ยิง่ก ำลงัสงูย ิง่ยุง่ยำก

ฟงักช์ ัน่ก ำลงั 2 (Quadratic Function)

• จัดรูปสมการตามมาตรฐานแบบหน่ึงของ Quadratic Fn. คือ

y = ax2 + bx + c(ระวัง รูปแบบไม่เหมือนที่ผ่านมา)

• ที่จุดต ่าสุด/สูงสุด (x, y) คือ

• จุดตัดแกน x (ค่า y = 0) คือ

0 X

Y

• กรำฟของสมกำรก ำลงั 2 เรยีกวำ่ Parabola• a > 0 รปูกรำฟคว ำ่ a < 0 หงำย

( ,b2a- -b2 + 4ac4a )

(-b + b2 - 4ac2a , 0)

ควรลองใช ้Calculus วเิครำะหค์ำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุ รปูคว ำ่/หงำย

สมกำรของ Total Costs: TC = f(Q) ควำมหมำย TC ขึน้อยูก่บั Q (ปรมิำณกำรผลติ) a, b คอื คำ่คงที่ ก ำหนดให้ TC = a + bQ

คำ่คงทีป่รำกฏในสมกำร

a คอื คำ่ตวัเลขคงที่ (ไมม่ตีวัแปรอยู)่ ให้Q = 0 คำ่ TC = a a อำจเรยีกวำ่เป็นคำ่ Initial of TC (Q=0, Fixed Costs) a มคีำ่ + หรอื – และตวัเลขมำกหรอืนอ้ยจะมผีลตอ่ TC เร ิม่ตน้

b คอื สปส. (ตวัคณู) หรอื slope ของ Q b = – คอื TC เปลีย่นแบบตรงขำ้มกบั Q (Q เพิม่, TC ลด) b = + คอื TC เปลีย่นแบบเดยีวกบั Q (Q เพิม่, TC เพิม่) ขนำดของ b (ตวัเลข) มำกหรอืนอ้ย บอกใหรู้ว้ำ่เมือ่ Q เปลีย่นไป 1 หนว่ย TC จะเปลีย่นเทำ่กบั b หนว่ย

สมัประสทิธิใ์นสมกำรบอกอะไร

กำรกระจำยผลคณู คอื ทกุตวัจะคณูกนัหมด เชน่

• (x - 1)(x2 - 1) = (x - 1)x2 - (x - 1) หรอื(x - 1)(x2 - 1) = x(x2 - 1) - (x2 - 1)

• (x2 – 1)2(x – 1)= [(x2 – 1)(x2 – 1)](x – 1) = [(x2 – 1)x2 – (x2 – 1)](x – 1) = ( x4 – x2 – x2 + 1)(x – 1) = (x4 – 2x2 + 1)(x – 1)= (x4 – 2x2 + 1)x – (x4 – 2x2 + 1)= (x5 – 2x3 + x) – x4 + 2x2 – 1= x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1

สตูรพชีคณติ-ตวัประกอบ (Factors)

สตูรทำงพชีคณติพืน้ฐำนทีน่ำ่สนใจ• (x y)2 = x2 2xy + y2

• (x y)3 = x3 3x2y + 3xy2 y3

• (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

“สตูรเหลำ่นี ้ใชก้ระจำยกำรคณูหรอืรวมตวัประกอบยกก ำลงั 2”

สตูรพชีคณติ-ตวัประกอบ (Factors)

วธิกีำรกระจำยโดยใชห้ลกัพืน้ฐำน เชน่• (x y)2 = (x y)(x y)

= (x y)x (x y)y= x2 xy xy + y2

= x2 2xy + y2

สตูรพชีคณติ-ตวัประกอบ (ตอ่)

สตูรทำงพชีคณติพืน้ฐำนส ำหรบัแยกตวัประกอบ

• x2 - y2 = (x + y)(x - y)

• x3 y3 = (x y)(x2 xy + y2)

• ax bx = x(a b) หรอื (a b)x

+

หำกกระจำยกำรคณูดำ้นขวำมอื จะไดเ้ทำ่กบัทำงซำ้ยมอื

สตูรเหลำ่นีเ้ป็นเครือ่งมอืส ำหรบัใชแ้กส้มกำรพชีคณติและเรยีนรูข้บวนกำรหำสตูรในกำรค ำนวณ

หลกักำรแกส้มกำรทำงพชีคณิตเบือ้งตน้ สมกำรตวัแปรเดยีว มกัจะใช้ Factor ชว่ยในกำรคดิ สมกำรตวัแปรหลำยตวัตอ้งมหีลำยสมกำร ท ำให้ตวัแปรเหลอืเพยีงตวัเดยีวใหไ้ดค้ ำตอบตวัแรกกอ่นจงึจะหำตวัตอ่ไปได้

กำรแกส้มกำร (Algebra Equation Solving)

วธิกีำรแกส้มกำรในชวีติจรงิมหีลำยวธิีเชน่ ใชค้อมพวิเตอรไ์ดห้ลำยรปูแบบท ัง้โปรแกรมเฉพำะดำ้นและส ำเร็จท ัว่ไป ขึน้อยูก่บัควำมถนดัและลกัษณะของขอ้มลู

หลกักำรยำ้ยขำ้งในสมกำรของพชีคณิต

• สมกำร หมำยถงึ กำรเทำ่กนัท ัง้ขำ้งซำ้ยและขำ้งขวำ• ถำ้เปลีย่นสมกำรท ัง้ขำ้งซำ้ยและขำ้งขวำเหมอืนกนัสมกำรจงึมกีำรเปลีย่นแปลงไปอยำ่งถกูตอ้ง

ตวัอยำ่ง แกส้มกำร 30 + 3x = 90

หลกักำร: ท ำใหข้ำ้งซำ้ยเหลอืแต่ x ก็จะไดค้ ำตอบทีต่อ้งกำร

• ยำ้ย 30 ไปดำ้นขวำ 3x = 90 – 30 = 60

[เป็นกำรลบ 30 ท ัง้ 2 ขำ้ง 30 + 3x – 30 = 90 – 30]

• ยำ้ย 3 ไปดำ้นขวำ x = 60/3 = 20

[เกดิจำกหำร 3 ท ัง้ 2 ขำ้ง 3x/3 = 60/3]

ตวัอยำ่งกำรแกส้มกำร

1. ก ำหนดสมกำรตน้ทนุรวม TC = 5Q + 30 (พนับำท)

ใหห้ำตน้ทนุรวม (TC) ทีไ่มม่กีำรผลติและทีก่ำรผลติ 20 ชิน้

2. ใหห้ำจดุคุม้ทนุ (Break-even) จำก

TR = 10Q และ TC = 5Q + 30

แกโ้จทย์

1. จำก TC หรอื TC(Q) = 5Q + 30

ถำ้ไมม่กีำรผลติ Q = 0 จะมตีน้ทนุรวม คอื

TC(0) = 5Q + 30 = 50 + 30 = 30 (พนับำท)

ทีก่ำรผลติ Q = 20 ชิน้ จะมตีน้ทนุรวม คอื

TC(20) = 5Q + 30 = 520 + 30 = 130 (พนับำท)

2. กำรหำจดุคุม้ทนุ คอื หำคำ่จดุตดัของ

เสน้รำยได้ (TR) และ ตน้ทนุรวม (TC)

[เป็นกำรแกส้มกำรของ TR และ TC โดยให้ TR = TC]

จำก TR = 10Q

และ TC = 5Q + 30

ให้ TR = TC

ดงัน ัน้ 10Q = 5Q + 30

10Q - 5Q = 30

QBE = 6 ชิน้

ตวัอยำ่ง 3. ก ำหนดสมกำรก ำไร = 3Q2 - 7Q – 6ใหห้ำจดุคุม้ทนุ

กำรหำจดุคุม้ทนุจำกสมกำรก ำไร () คอื กำรหำจดุที่ก ำไรมคีำ่เป็นศนูย์

จำก = 3Q2 - 7Q - 6

ให้ = 0

ดงัน ัน้ 3Q2 - 7Q - 6 = 0(3Q + 2)(Q - 3 ) = 0

QBE = 3[คำ่ -2/3 ไมใ่ช]้

ตวัอยำ่ง สมกำรตน้ทนุกำรผลติสนิคำ้ชนดิหนึง่มลีกัษณะเป็นแบบเสน้ตรงตำมสมกำร TC = 100 + 30Q โดย TC (Total Costs) มีหนว่ยเป็นพนับำท และ Q มหีนว่ยเป็นชิน้

• สมกำร (Equation) หมำยถงึ กำรเทำ่กนั (=) ระหวำ่งซำ้ยกบัขวำ

• วำดกรำฟเสน้ตรง ใหค้วำมหมำยวำ่ ทกุจดุทีอ่ยูบ่นเสน้ตรง คำ่ Q, TCเกดิจำกควำมสมัพนัธต์ำมสมกำร

TC = 100 + 30Q

• หำกน ำคำ่ Q, TC บนเสน้ตรงทีจ่ดุใดก็ได ้ เมือ่น ำไปแทนคำ่ในสมกำรดงักลำ่วจะท ำให ้คำ่ดำ้นซำ้ยและดำ้นขวำของสมกำรเทำ่กนั

1000

0 30 Q

TC

100

(30, 1000)

(x1000 บาท)

สมกำร (Equation)

ตวัอยำ่ง จำกสมกำร TC > 100 + 30Q (หนว่ย: TC พนับำท, Q ชิน้)

อสมกำร (Inequation)

• อสมกำร (Inequation) หมำยถงึ กำรไมเ่ทำ่กนัของดำ้นซำ้ยกบัขวำโดยใชเ้ครือ่งหมำยทำงคณติศำสตร์

• มำกกวำ่ >• มำกกวำ่หรอืเทำ่กบั >• นอ้ยกวำ่ <• นอ้ยกวำ่หรอืเทำ่กบั <

• เมือ่วำดกรำฟเสน้ตรงตำมสมกำรTC = 100 + 30Q

จะท ำใหแ้บง่กรำฟเป็น 3 สว่น• เหนอืเสน้ตรง (TC > 100 + 30Q)• บนเสน้ตรง (TC = 100 + 30Q)• ใตเ้สน้ตรง (TC < 100 + 30Q)

(=)(x1000 บาท)

1000

0 Q

TC

100

(30, 1000)

30

ตวัอยำ่ง วำดกรำฟ (หนว่ย: TC พนับำท, Q ชิน้)1) TC > 100 + 30Q 2) TC > 100 + 30Q

( X1000 บาท)TC

0 Q

100

0 Q

100

( X1000 บาท)TC

อสมการ 2) คือ ทุกจุดในพืน้ที่แลเงาสีเหลืองรวมถงึเส้นตรงสีด าด้วย

อสมการ 1) คือ ทุกจุดในพืน้ที่แลเงาสีเหลือง

ตวัอยำ่ง วำดกรำฟ (หนว่ย: TC พนับำท, Q ชิน้)3) TC < 100 + 30Q 4) TC < 100 + 30Q

( X1000 บาท)

0 Q

TC

100

( X1000 บาท)

0 Q

TC

100

อสมการ 3) คือ ทุกจุดในพืน้ที่แลเงาสีเขียว

อสมการ 4) คือ ทุกจุดในพืน้ที่แลเงาสีเขียวรวมถงึเส้นตรงสีด าด้วย