fundamentos de señales 2 tarea

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, Sede Bogot, Seales Y Sistemas II .

1

Fundamentacion (Seales y Sistemas II).

1 NUMEROS COMPLEJOS

El conjunto de los nmeros complejos se define

como el conjunto R2 con la suma y el producto

complejo definido anteriormente. Es decir, C = (R2,+,*)

.

- Adicin de Complejos

Se define: (a , b ) + (c , d ) = (a + c , b + d )

Ejemplo (2 , 3) + (3 , 8) = (2 + 3 , 3 + 8)

- Multiplicacin de Complejos

Se define: (a , b ) *(c , d ) = (a . c - b . d , a _.d + b

.c

Vamos a definir ahora los inversos para estas dos

operaciones:

- Inverso Aditivo (opuesto):

Dado (a , b ) su opuesto es: (a , - b )

Ejemplo: Entonces (2 , 5) su inverso (2 , - 5) .

Observar que:

(2 , 5) + (2 , - 5) = (0, 0)

- Sustraccin de complejos

La resta de dos complejos no es ms que sumar al

primero el opuesto del segundo

(a , b ) (c , d ) = (a , b ) + (c ,d ) = (a c , b d )

Ejemplo

(10 , 12) (8 , 15) = (10 , 12) + (8 , 15) = (2 , 3)

- Divisin de complejos

El cociente de dos complejos no es ms que multiplicar

al primero el inverso del segundo Siempre que ste no

sea nulo

Hasta ahora hemos considerado los nmeros complejos

expresados en forma de par ordenado vamos a ver otra

forma de expresar un nmero complejo. Llamemos

unidad imaginaria i = (0, 1) es fcil ver que:

(a , b ) = (a, 0) + (0, b ) = (a, 0) + (b, 0) * (0,1) = a +bi

Es fcil ver que i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (1, 0) =

1.

Importante: Para operar con nmeros complejos dados

en forma binmica se siguen las mismas reglas de las

operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i^2

= -1 .

Entonces

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i

y para la multiplicacin:

(a + bi ) (c + di ) = ac + adi + bic + bdi2

= ac bd + (ad + bc ) i

Con esta nueva notacin podemos escribir

C= {a +bi / a,b E R}

Dado un nmero complejo z = a +bi se llama parte real

de z al valor real Re(z ) = a y parte imaginaria al valor

real Im(z ) = b . Por lo tanto,

z = Re(z ) + i Im(z )

Si la parte real de un nmero complejo es cero se le

llama Imaginario puro y si es cero la parte imaginaria se

trata de un nmero real.

- Representacin grfica de nmeros

complejos

Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas

ortogonales, los nmeros complejos pueden

representarse mediante puntos de ese plano, haciendo


2

corresponder a cada nmero complejo, un punto en el

plano.

El eje x lo llamaremos Eje Real y sobre l se

representa la parte real del numero.

Al eje y lo llamaremos Eje Imaginario y sobre l

representaremos la parte imaginaria

Ilustracin 1, representacin de un numero complejo

Siguiendo con el tema de la representacin grfica de un

complejo, otra manera es la que se llama Representacin

Vectorial. A cada punto del plano le corresponde un

Vector, de origen O y extremo Z, siendo O el origen de

las coordenadas.

A cada nmero complejo le corresponde un vector y a

cada vector le corresponde un complejo

- Conjugado de un nmero complejo

Dado el nmero complejo z = x + i y su conjugado es el nmero complejo z = x yi

Se verifican las siguientes propiedades:

- Mdulo y argumento

Dado: z = a +bi llamamos mdulo de Z al nmero

real positivo:

Ilustracin 2, modulo numero complejo

Y se expresa:

Interpretacin del mdulo como distancia: Si z, w C entonces z w representa la distancia entre z y w.

Ilustracin 3, El modulo como distancia


3

Propiedades del mdulo: Si z,w .C

Por ultimo nos queda el argumento de un nmero

complejo que lo definimos como la medida del ngulo j

en radianes formado por el semieje positivo de las x y el

vector que representa al complejo

.

Es decir, el argumento del nmero complejo no nulo z =

x + yi es cualquier nmero j que verifique:

Como las funciones seno y coseno son peridicas de

periodo 2, el argumento de Z est definido salvo

mltiplos de 2 . Con otras palabras hay una infinidad

de argumentos de z, perodos cualesquiera de ellos

difiere en un mltiplo de 2. Si (-. ) se dice que

el argumento es principal.

Ilustracin 4, Argumento de un complejo.

Para poder obtener j de un nmero complejo dado en

forma binmica, tenemos que tener en cuenta el

cuadrante en el que se representa dicho nmero.

Dado: Z = x + yi su argumento se obtiene por :

Entonces (r , j) son las coordenadas polares de Z donde:

- Potencias y Races de un Nmero Complejo.

Potenciacin. Sea z un nmero complejo no nulo y n Z.

Llamaremos potencia n-sima de z y escribiremos z^n a:

Frmula de De Moivre.

Clculo de potencias. Si

es un nmero complejo no nulo y m Z, entonces:

Radicacin. Sea z un nmero complejo no nulo y n N.

Diremos que w C es una raz n-sima de z si:

Si z = 1, hablaremos de races n-simas de la unidad.


4

- Clculo de races.

Consideremos un nmero complejo no nulo,

pretendemos encontrar un

nmero complejo tal que , esto

es:

Por tanto:

Como la funcin seno y coseno son funciones peridicas

(2), de los infinitos argumentos que existen bastar

considerar , es decir, los argumentos:

para construir las n races n-simas de z distintas:

Las n races n-simas de z residen en una circunferencia

centrada en el origen y de radio y determinan los vrtices de un polgono regular de n lados (n >3). [1].

2 RESPUESTA EN FRECUENCIA

Tiene el mismo uso que en sistemas continuos:

Determinar la salida de un sistema (en estado

estacionario; cuando t ) cuando la entrada es una combinacin de sinusoides.

Alternativas a este mtodo son la convolucin y usar

Transformadas Z Y(z)=H(z)X(z) para,

posteriormente, aplicar transformadas inversas. De esta

forma se obtiene el trmino transitorio y estacionario

(para t0). Esta forma de clculo tiene una alta

complejidad.

De esta forma tenemos una forma mas sencilla de

determinar la salida de un sistema en ante cualquier

entrada en estado estacionario.

Supongamos que se se tiene un sistema L.T.I definido por la respuesta impulsional h(k) y queremos determinar

la salida de dicho sistema cuanto la entrada es la

exponencial compleja:

Aplicando convolucin:

Si se define la funcin compleja como:

Se tiene entonces:

Dado que es una funcin compleja se tiene:

La respuesta en frecuencia acta sobre la amplitud y la

fase de la seal.

La seal usada para obtener la respuesta en frecuencia

era no causal. Veamos qu ocurre con una exponencial

compleja causal.

Aplicando convolucin tenemos:


5

Jugando con la ltima expresin podemos llegar a:

En la ltima expresin hay que destacar que el primer

trmino entre corchetes desaparece si el sistema es

estable BIBO (por qu?) cuando n. Esta situacin

se corresponde con el estado estacionario del sistema

por lo que en este estado slo es necesaria la respuesta

en frecuencia para determinar la salida del sistema.

De la expresin de la respuesta en frecuencia o de su

relacin con la Transformada Z se comprueba que es

peridica de periodo 2. Adems recordando nuestro

rango de trabajo con las frecuencias digitales slo habr

que evaluarla en el rango 0 w . Es decir, hay que

evaluar la Transformada Z slo en media circunferencia.

De la relacin con la Transformada Z es inmediato

obtener la siguiente relacin:

Donde:

A estas se les conoce como transformadas de Fourier en

tiempo discreto. [2].

El anlisis frecuencial slo determina el estado estacionario del sistema. Si se quiere determinar la

evolucin total (estacionario + transitorio) hay que

aplicar mtodos temporales o Transformada Z.

La DTFT tiene las mismas propiedades que la

Transformada Z (evidente por la relacin que existe

entre ellas). Para no repetir no se han expuesto aqu ya

que se tienen en el tema de Trasformada Z.

En el diseo de sistemas usando polos/ceros los polos

siempre se sitan en el interior de la circunferencia de

radio unidad (por qu?)

Teniendo libertad para los ceros; aunque es preferible

que tambin se siten en el interior (sistemas de fase

mnima).

Lo que tiene que quedar bien claro del tema es el significado y uso de una respuesta en frecuencia y lo que

supone en el anlisis de sistemas L.T.I. NO SE PUEDE

USAR SI LOS SISTEMAS NO SON L.T.I.

3 DIAGRAMAS DE BODE. Un Diagrama de Bode es una representacin grfica que

sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un

sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas,

una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y

otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del

cientfico que lo desarroll, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el anlisis

de circuitos en electrnica, siendo fundamental para el

diseo y anlisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el mdulo de

la funcin de transferencia (ganancia) en decibelios en

funcin de la frecuencia (o la frecuencia angular) en

escala logartmica. Se suele emplear en procesado de

seal para mostrar la respuesta en frecuencia de

un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de transferencia en funcin de la frecuencia (o

frecuencia angular) en escala logartmica. Se puede dar

en grados o en radianes. Permite evaluar el

desplazamiento en fase de una seal a la salida del

sistema respecto a la entrada para una frecuencia

determinada. Por ejemplo, tenemos una seal Asin(t) a

la entrada del sistema y asumimos que el sistema atena

por un factor x y desplaza en fase . En este caso, la

salida del sistema ser (A/x) sin(t ). Generalmente,

este desfase es funcin de la frecuencia (= (f)); esta

dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas

elctricos esta fase deber estar acotada entre -90 y 90.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de

Bode no pueden por lo general cambiarse de forma

independiente: cambiar la ganancia implica cambiar

tambin desfase y viceversa. En sistemas de fase mnima

(aquellos que tanto su sistema inverso como ellos

mismos son causales y estables) se puede obtener uno a

partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la funcin de transferencia es una funcin racional,

entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilneos. Estas representaciones asintticas

son tiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo

http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fase_(onda)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hendrik_Wade_Bode&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Amplificadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Decibeliohttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesado_de_se%C3%B1alhttp://es.wikipedia.org/wiki/Respuesta_en_frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_LTIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Hilbert


6

una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se

pueden predecir incluso sin dibujar la grfica).

Esta aproximacin se puede hacer ms precisa

corrigiendo el valor de las frecuencias de corte

(diagrama de Bode corregido). [3]

- Construccin del Diagrama de Bode

Escala Vertical: ganancia (dB)=20 log|Vout/Vin|

Escala Horizontal: x = log f

Para construir la grfica de Bode, primero se debe

normalizar la ecuacin de la funcin de transferencia,

esto es, escribirla de forma tal que contenga:

Constantes.

Ceros en el origen.

Polos en el origen.

Ceros finitos

Polos Finitos

Cada uno de los trminos anteriores, debe expresarse

tal que cada trmino polo o cero contengan una ganancia

DC=0

As, la funcin de transferencia debe quedar escrita de la forma normalizada, por ejemplo:

Los polos y ceros cuadrticos conjugados requieren una

notacin diferente

En una forma ms general, una ecuacin de bode queda

como:

4 ONE BIT IN 12 ATOMS

Los ltimos estudios realizados por IBM has dado

grandes resultados, actualmente para poder almacenar

un bit se necesita aproximadamente un milln de

tomos, estos estudios demuestran que es posible

almacenar un bit en 12 tomos, una gran noticia, pues en

esta poca donde se intentan implementar grandes

tecnologas en tamaos cada vez ms pequeos seria un

avance grande en lo que a almacenamiento de

informacin se refiere.

Segn publica el sitio Techweekeurope.es, el hallazgo

est "jugando" con la Ley de Moore, que habla de

duplicar el nmero de transistores en un circuito

integrado cada dos aos, se dice que est jugando con

esta ley pues este hallazgo podra no solo duplicar el

nmero de transistores podra dar resultados muchsimo

mas altos, permitiendo tener procesadores y dispositivos

de almacenamiento mucho ms poderosos que los que se

tienen en la actualidad.

El responsable de la investigacin, Andreas Huiriche,

cree que el final de la ley est cerca y ese momento

llegara con el almacenamiento en un slo tomo. Al

hablar de esto estamos hablando ir al lmite de la

miniaturizacin lo cual cambiaria rpidamente la

tecnologa actual de manera drstica, la tecnologa

celular y los computadores actuales serian mucho ms

potentes pues se lograran mayores capacidades y

mejores velocidades.

Un disco duro convencional necesita una gigantesca

cantidad de tomos para guardar un nico bit. Pero lo

que han logrado Heinrich y su equipo es almacenar ese

mismo bit en apenas doce tomos. El equipamiento

necesario para este experimento y las condiciones para

el mismo son ciertamente extremos. En IBM utilizaron

un microscopio de efecto tnel para manipular una

estructura de doce tomos de hierro sobre un sustrato de

cobre, todo bajo una temperatura de un grado Kelvin. Lo

que define al estado del bit es el anti ferromagnetismo.

Un disco duro utiliza ferromagnetismo (alineamiento de

los espines), pero en el antiferromagnetismo, los espines de los tomos se encuentran en direcciones opuestas.

Cambia el espn de un tomo, y el resto le seguir. De

esta forma, en una posicin es 0, y cuando se cambia,

pasa a ser 1, tal y como el vdeo lo muestra.

Muchos han catalogado este como el final de la lay de

moore que aunque ya se estaba anticipando con el

cambio brusco de los tamaos y capacidades alcanzadas

en los ltimos aos. Segn Heinrich y su equipo aun

estn lejos de alcanzar una solucin practica a todos los

problemas que se presentan y que requiere aun entre 5 y

http://www.techweekeurope.es/noticias/ibm-lleva-el-almacenamiento-de-datos-a-niveles-atomicos-18246


7

10 aos de trabajo para lograr hacer una especie de disco

antiferromagnetico que les permita usar este

almacenamiento por tomos, otro problema que se

presenta es que el almacenamiento es estable a 1 grado

kelvin y solo con pocas variaciones se generan cambios en los resultados, en estos momentos IBM calcula que

para lograr los mismos resultados a temperatura

ambiente es decir 25 grados celcius aproximadamente

requieren 150 atomos, muchos mas que los que se

esperaban, por lo tanto son problemas que se deben

resolver, por el momento parece que un plazo de 10

aos parece muy poco para resolver los problemas que

se encuentran en la investigacin, por el momento se

debe esperar a que IBM , Heinrich y su equipo logren

resolver los problemas que por el momento dejan a 149

tomos de su meta.

5 REFERENCIAS

[1] Gafohe. (s.f.). Recuperado el 9 de Febrero de 2013, de Bloque 1, Numeros Complejos: disponible en :

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdf

[2] Soria, R. (2011). Recuperado el 9 de Febrero de 2013, de

respuesta en Frecuancia: disponible en : http://www.uv.es/~soriae/tema_4_pds.pdf

[3] Rodriguez, P. (23 de Enero de 2006). Diagramas de bode. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de: http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Diagramas%20de%20Bode.p

df

[4] UNAL. ( febrero de 2011). ASIGNATURAS, ACTIVIDADES

ACADMICAS Y CRDITOS, EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Recuperado el 9 de febrero de 2009, de: http://www.unal.edu.co/diracad/formatos/Cuadernillo%20asignaturas_febrero%2015%20de%202011_b.pdf

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdfhttp://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejos.pdfhttp://www.uv.es/~soriae/tema_4_pds.pdf

fundamentos de señales 2 tarea

Documents