fyzika polovodiˇc˚u pro optoelektroniku i -...

Fyzika polovodicu pro optoelektroniku I

Prof. Ing. Jan Franc, DrSc.

Prof. RNDr. Pavel Hoschl, DrSc.

(poslednı uprava dne 19. rıjna 2014)

Obsah

Obsah 1

Seznam obrazku 3

Seznam tabulek 5

1 Krystaly 71.1 Krystalicka struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Zavedenı Millerovych indexu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Reciproka mrızka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Difrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Laueho formulace difrakcnı podmınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Poruchova energie v priblızenı volnych elektronu . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Homogennı polovodic 162.1 Statistika elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Rozdelovacı funkce elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Elektrony ve vodivostnım pasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Vlastnosti rozdelovacı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Rozdelovacı funkce elektronu v krystalu . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5 Vypocet koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu . . . . . . . . . 22

2.2 Statistika der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Prımesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Monovalentnı donor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Monovalentnı akceptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Stanovenı Fermiho meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Podmınka elektricke neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Nedegenerovany kompenzovany N-typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Boltzmannova kineticka rovnice 343.1 Odvozenı Boltzmannovy kineticke rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Platnost Boltzmannovy kineticka rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Stanovenı nerovnovazne rozdelovacı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

OBSAH 2

3.4 Fyzikalnı vyznam relaxacnı doby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.1 Relaxacnı doba - rozptyl na podelnych akustickych fononech . . . . 423.4.2 Relaxacnı doba - rozptyl na ionizovanych prımesıch . . . . . . . . . 433.4.3 Relaxacnı doba - rozptyl na podelnych optickych fononech . . . . . 44

3.5 Resenı Boltzmannovy kineticke rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Hustota elektrickeho proudu a hustota proudu energie bez vnejsıho magne-

tickeho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Hustota elektrickeho proudu a hustota proudu energie pro magneticke pole

s jednou nenulovou slozkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Transportnı jevy 554.1 Transportnı jevy bez magnetickeho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Elektricka vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Termoelektricka sıla (Seebeckuv jev) . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.3 Tepelna vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Transportnı jevy pri nenulovem magnetickem poli . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Podelne jevy v magnetickem poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2 Prıcne jevy v magnetickem poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Polovodice se smısenou elektrickou vodivostı . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Kinetika nosicu 705.1 Rovnice kontinuity elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.1 Odvozenı rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Odvozenı balancnı rovnice hybnosti a rovnice pro proudovou hustotu . . . 73

5.2.1 Teplota nosicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 Odvozenı drift-difuznı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4 Celkova proudova hustota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5 Elektrony a dıry v nerovnovaznem stavu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5.1 Difuznı delka minoritnıch nosicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.6 Poissonova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.7 Pohyb nosicu proudu v homogennım polovodici . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.7.1 Vedenı proudu ve vakuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.7.2 Vedenı proudu v izolantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.8 Ambipolarnı pohyblivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.9 Vliv rekombinacnıch center — Schockleyuv-Readuv model . . . . . . . . . 84

6 Nehomogennı systemy 876.1 Slabe nehomogennı polovodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Prechod P–N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2.1 Voltamperova charakteristika idealnıho prechodu P–N . . . . . . . . 886.3 Kontakt kov-polovodic (M–S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3.1 Kontakt M–S s polovodicem typu N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.2 Kontakt M–S s polovodicem typu P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

OBSAH 3

7 Elektron v magnetickem poli 947.1 Klasicky pohled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.1 Elektron v magnetickem poli B 6= 0 a v elektrickem poli E⊥B . . . 987.2 Elektron v magnetickem poli — kvantove efekty . . . . . . . . . . . . . . . 102

Seznam obrazku

1.1 Millerovy indexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Indexy roviny v prıme mrızce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Vzdalenost rovin v reciproke mrızce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Braggova difrakcnı podmınka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Laueho formulace difrakcnı podmınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Difrakce na hranici Brillouinovy zony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Fermiho rozdelovacı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu-degenerovany prıpad . . . . . . 182.4 Aproximace Fermiho integralu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Energeticke schema homogennıho polovodice . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Pasove schema monovalentnıho donoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Pasove schema monovalentnıho akceptoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8 Klasifikace polovodice podle stupne dotace a odpovıdajıcı poloha Fermiho

hladiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Teplotnı zavislost polohy Fermiho hladiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Prubeh koncentrace elektronu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Elektricka vodivost — poloha vzorku v poli . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Termoelektricka sıla - schema jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Termoelektricka sıla — poloha vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Peltieruv clanek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 Ustalenı koncetrace nosicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Pohyb nosicu v homogennım elektrickem poli . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 Pasovy model rekombinace na hlubokych rekombinacnıch centrech . . . . . 85

6.1 Vznik prechodu pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Pasove schema kovu a polovodice typu N pred spojenım . . . . . . . . . . 926.3 Pasove schema kovu a polovodice typu N po spojenı . . . . . . . . . . . . . 926.4 Pasove schema kovu a polovodice typu P pred spojenım . . . . . . . . . . . 936.5 Pasove schema kovu a polovodice typu P po spojenı . . . . . . . . . . . . . 93

4

SEZNAM OBRAZKU 5

7.1 Trajektorie elektronu v magnetickem poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Kvantovanı energie elektronu v magnetickem poli . . . . . . . . . . . . . . 103

Seznam tabulek

2.1 Tabulka aproximacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6

Kapitola 1

Krystaly

1.1 Krystalicka struktura

Krystalicke latky uvazujeme jako periodicke usporadanı zakladnıch stavebnıch jednotek.Za pocatek krystalografie se povazuje experimentalnı dukaz krystalove struktury, ktery

provedl William Lawrence Bragg (1913) pomocı RTG paprsku.Zakladnım konceptem libovolneho krystalickeho telesa je Bravaisova mrızka (Auguste

Bravais), ktera specifikuje periodicke usporadanı opakujıcıch se zakladnıch stavebnıch jed-notek (atomu, molekul, iontu).

Definice Bravaisovy mrızky: Bravaisova mrızka sestava z bodu urcenych v prostoruvektory

R = n1a1 + n2a2 + n3a3, (1.1)

kde ai jsou 3 vektory nelezıcı v jedne rovine (nazyvajı se primitivnı vektory), ni jsou celacısla.

Bravaisova mrızka charakterizuje geometricke usporadanı techto jednotek nezavisle natypu jednotky (je to ciste geometricky pojem).

Primitivnı bunka je cast prostoru, ktera pri translaci pres vsechny vektory Bravaisovymrızky vyplnı cely prostor bez prekryvu a beze zbytku.

Elementarnı bunka ma vlastnosti primitivnı bunky, ale muze obsahovat vıce bodu Bra-vaisovy mrızky, tj. vyplnı prostor beze zbytku a prekryvu pro nektere vektory Bra-vaisovy mrızky.

Volba primitivnıch vektoru ani primitivnı bunky nenı jednoznacna, ale jejı objem ano.Primitivnı bunka obsahuje prave jeden bod Bravaisovy mrızky. Je-li n hustota bodu v Bra-vaisovy mrızce a v objem primitivnı bunky, pak platı: nv = 1

Primitivnı bunka nemusı mıt symetrii Bravaisovy mrızky. Proto je z praktickeho hle-diska vhodne najıt takovou zakladnı stavebnı jednotku, ktera symetrii Bravaisovy mrızkyma.

Resenım tohoto problemu je:

7

KAPITOLA 1. KRYSTALY 8

1. Vyber takove primitivnı bunky, ktera symetrii Bravaisovy mrızky ma — Wignerova-Seitzova bunka (oblast prostoru, ktera je blizsı k danemu bodu prostoru, nez k jakemukolivjinemu mrızkovemu bodu). Pro kubickou prostorove centrovanou mrızku (bcc) jeWignerova-Seitzova bunka osekany osmisten, pro kubickou plosne centrovanou mrızku(fcc) dvanactisten.

2. Definovat jako zakladnı stavebnı jednotku dane krystalove struktury vhodne zvolenouelementarnı bunku.

Koordinacnı cıslo — urcuje pocet nejblizsıch sousedu

Prıklady poctu nejblizsıch sousedu:

• kubicka prosta mrızka — 6

• kubicka prostorove centrovana mrızka (body centered cubic, bcc) — 8 (Fe, K, W)

• kubicka plosne centrovana mrızka (face centered cubic, fcc) — 12 (Au, Ag, Al, Pt,Ca)

Krystalova struktura je Bravaisova mrızka s bazı. Je to struktura zıskana identickymikopiemi stejnych fyzikalnıch jednotek zasazenych do vsech bodu Bravaisovy mrızky.

• diamantova struktura — dve kubicke plosne centrovane mrızky posunute o 1/4telesove uhloprıcky; ve vsech bodech je stejny atom (C, Si, Ge)

• sfaleritova struktura — dve kubicke plosne centrovane mrızky posunute o 1/4 telesoveuhloprıcky, body prıslusejıcı jedne fcc mrızce jsou obsazeny jednım typem atomu,body druhe druhym typem (GaAs, CdTe, InP, ZnTe, HgTe, ZnSe)

• hexagonalnı struktura — dve hexagonalnı Bravaisovy mrızky posunute takto: ver-tikalne o c/2 a horizontalne tak, ze body jedne lezı nad stredy trojuhelnıku (prvnı),tvoreny sousednımi body roviny, tretı rada koulı presne nad prvnı, atd. (kulecnıkovekoule nad sebou — ABAB. . . ) (Cd, Hg, Ti)

• struktura NaCl — kubicka plosne centrovana mrızka s bazı tvorenou dvema atomy,kazdy iont jednoho typu ma 6 nejblizsıch sousedu typu druheho (NaCl, KCl)

• struktura CsCl — kubicka prosta mrızka s bazı tvorenou dvema atomy.

Z hlediska symetrie je Bravaisova mrızka charakterizovana vsemi operacemi zachovavajıcımivzdalenosti mezi body (operacemi symetrie), ktere prevedou mrızku v sebe samu. Tentosoubor operacı se nazyva grupa symetrie Bravaisovy mrızky a sestava z

1. translace pres vektory Bravaisovy mrızky,

2. operace, ktere zachovavajı nejaky pevny bod,


3. operace slozene z prvnıch dvou.

Soubor operacı typu 2 definuje tzv. bodovou grupa Bravaisovy mrızky (rotace, reflexe,inverze). Bylo zjisteno, ze existuje celkem 7 bodovych grup, ktere Bravaisova mrızka muzemıt Temto 7 bodovym grupam pak odpovıda 7 tzv. krystalovych soustav.

Pokud se neomezujeme na bodovou grupu, ale na plne symetrickou grupu, dostaneme14 grup, ktere muze Bravaisova mrızka mıt, tj. z hlediska symetrie existuje 14 Bravaisovychmrızek (Bravais, 1845).

Prehled krystalovych soustav (cıslo v zavorce udava pocet Bravaisovych mrızek prıslusejıcıchdane soustave):

• kubicka (3)

• tetragonalnı (2)

• ortorombicka (4)

• monoklinicka (2)

• triklinicka (1)

• trigonalnı (1)

• hexagonalnı (1)

Provedenı podrobne analyzy na realne krystalove strukture. tj. pri zahrnutı baze, kteranemusı mıt maximalnı symetrii Bravaisovy mrızky, vede k vysledku, ze existuje 230 grupsymetrie (prostorovych grup). V prıpade omezenı se na netranslacnı symetrii pak existuje32 krystalovych bodovych grup.

1.2 Zavedenı Millerovych indexu

Millerovy indexy soustavy rovin (viz obrazek 1.1) jsou cısla h, k, l, pro nez platı:

h : k : l =1

m:1

n:1

p(1.2)

a h, k, l jsou nejmensı cela cısla splnujıcı tento vztah. Krome jedne nemajı zadneho spolecnehodelitele a vztahujı se k cele soustave rovin, ktere jsou v krystale ekvivalentnı.

1.3 Reciproka mrızka

Zakladnı vlastnost krystalu je periodicke usporadanı — pri posunutı krystalu o vektorRn (Rn =

∑

i niai, kde ai jsou primitivnı vektory prıme mrızky; n = (n1, n2, n3), ni ∈Z) se krystal ztotoznı sam se sebou, fyzikalnı vlastnosti se pri translaci nemenı (napr.:koncentrace elektronu, elektricky potencial V (r), V (r) = V (r +R)).


ny

mx

x

y

z

pz

Obrazek 1.1: Millerovy indexy, znacenı...

Pro periodicke funkce V (r) = V (r +R) je vyhodne (pro zkoumanı jejich vlastnostı)provest Fourierovsky rozklad:

V (r) =∑

R

Vb exp [ib · r] , (1.3)

kde b je zatım neznamy vektor zavisly na vlnovem vektoru k.

V (r +Rn) =∑

b

Vb exp [ib · (r +Rn)] = (1.4)

=∑

b

Vb exp [ib · r] exp [ib ·Rn)] =∑

b

Vb exp [ib · r] ⇒ (1.5)

⇒ exp [ib ·Rn)] = 1 = exp[i2πm]; m ∈ Z (1.6)

b ·Rn = 2πm (1.7)

n1 (b · a1) + n2 (b · a2) + n3 (b · a3) = 2πm. (1.8)

Hledame vektory bi (primitivnı vektory reciproke mrızky), splnujıcı tento vztah. Definujmenapr.

b1 = 2πa2 × a3

a1 · (a2 × a3), (1.9)

b2 = 2πa3 × a1

a1 · (a2 × a3), (1.10)

b3 = 2πa1 × a2

a1 · (a2 × a3). (1.11)

Pro zkousku musı platit bi · aj = 2πδij . Pro libovolny vektor reciproke mrızky GR tedy


platı

GR = hb1 + kb2 + lb3, (1.12)

GR ·R = 2π(hn1 + kn2 + ln3). (1.13)

Vyraz (hn1+kn2+ ln3) je cele cıslo, pokud h, k, l jsou cele cısla. Z toho plyne, ze podmınkyperiodicity jsou splneny, pokud h, k, l ∈ Z a reciproka mrızka je Bravaisova mrızka.

Vektory bi majı rozmer prevracene delky. Nekonecna periodicka mrızka sestrojena po-mocı translacnıch vektoru bi se nazyva reciproka mrızka. Platı

b1 · (b2 × b3) =(2π)3

Ω, kde Ω = a1 · (a2 × a3). (1.14)

ma1

na2a1

a2

a3

pa3

Obrazek 1.2: Indexy roviny v prıme mrızce

Hledame vektor kolmy k rovine na obrazku 1.2. Musı pro nej platit

(hb1 + kb2 + lb3) · (ma1 − na1) = (hm− kn) = 0 ⇒ (1.15)

hm = kn, hm = lp, lp = kn (1.16)

m =1

h, n =

1

k, p =

1

l(1.17)

h, k, l jsou Millerovy indexy roviny k nız je vektor Ghkl = (hb1 + kb2 + lb3) kolmy, tj.vektor Ghkl je kolmy k rovine (hkl).

Dale ukazeme, ze vzdalenost dvou sousednıch rovin systemu je dhkl =2π

|Ghkl| .


x

y

v0

Obrazek 1.3: Vzdalenost rovin v reciproke mrızce

K obrazku 1.3 (vyuzijeme definici roviny):

n0 =Ghkl

|Ghkl|, (1.18)

r · n0 = konst, (1.19)

a1

k

(hb1 + kb2 + lb3)

|Ghkl|=

2π

|Ghkl|. (1.20)

Pro kazde m je nejkratsı vektor odpovıdajıcı vzdalenosti dvou sousednıch rovin rovnya1

h= r, kde h je Milleruv index.

1.4 Difrakce

V roce 1913 W. L. Bragg pozoroval, ze krystalicke latky vykazujı charakteristicke obrazcepri odrazu RTG paprsku. Predpokladal, ze dochazı k odrazu na rovinach a ze paprskyodrazene od sousednıch rovin interferujı konstruktivne. Braggova formulace (obrazek 1.4):

sin θ =x

dhkl, (1.21)

2dhkl sin θ = nλ, (1.22)

n je rad odpovıdajıcı reflexe,

λ

2dhkl≤ 1 ⇒ λ < 2dhkl

(λ

2< dhkl

)

(1.23)

dhkl je obvykle 2 ÷ 10 A = 0,2 ÷ 1 nm a tım vlnova delka λ odpovıda RTG paprskum,elektronum nebo neutronum.


dhkl

x

θ

Obrazek 1.4: Braggova difrakcnı podmınkan

1.5 Laueho formulace difrakcnı podmınky

Predpokladejme, ze krystal se sklada z identickych mikroskopickych objektu (atomu, iontu)umıstenych v bodechR Bravaisovy mrızky. Kazdy z objektu muze vyzarit dopadajıcı zarenıv libovolnem smeru. Ostre pıky budou pozorovany pouze ve smerech a pri vlnovych delkach,pro ktere paprsky rozptylene z ruznych mrızkovych bodu budou interferovat konstruktivne.

d cos θ + d cos θ′ = d · n− d · n′ = d · (n− n′) = mλ, m ∈ Z, (1.24)

d · (k − k′) = 2πm. (1.25)

k

k′

d

k′

k

θ′θ

Obrazek 1.5: Laueho formulace difrakcnı podmınky

Obecne

R (k − k′) = 2πm, (1.26)

exp [i (k − k′) ·R] = 1, (1.27)

pro vsechny Bravaisovy vektory R. To odpovıda definici reciproke mrızky, tj. k − k′ jevektor reciproke mrızky, G = k−k′. Pokud je znama Bravaisova mrızka krystalu, lze urcitBravaisovou mrızku reciprokeho krystalu.


Pri pruznem rozptylu platı |k| = |k′| = k

k2 = k2 − 2k ·G+G2, (1.28)

G2 = 2k ·G, (1.29)(G

2

)2

= k ·(G

2

)

= |k|∣∣∣∣

G

2

∣∣∣∣cos θ =

(G

2

)2

. (1.30)

kk

G

Obrazek 1.6: Difrakce na hranici Brillouinovy zony

Toto je jina formulace difrakcnı podmınky. Kazdy vektor k vedeny z pocatku a koncıcına rovine vedene jako kolmice v polovine spojnice dvou sousednıch bodu, splnuje pripruznem rozptylu difrakcnı podmınku. Takto popsana rovina tvorı cast hranice zony. Sva-zek zarenı dopadajıcı na krystal bude difraktovany, jestlize jeho velikost a smer splnujıpodmınku

k · G2

=

(1

2G

)2

. (1.31)

Smer difraktovaneho paprsku je dan vektorem k−G. Oblast vyznacena jako prostor mezipocatkem a vyse popsanymi rovinami se nazyva Brillouinova zona. Je to vlastne Wignerova-Seitzova bunka v reciproke mrızce.

1.6 Poruchova energie v priblızenı volnych elektronu

Pomocı shora uvedene formulace difrakcnı podmınky lze vysvetlit vznik zakazanych pasuv polovodicıch. Resenı energetickeho spektra elektronu v krystale pri pouzitı metody temervolnych elektronu vede k oprave v ramci prvnıho radu poruchoveho poctu

E = − m

2π~2

∑

g 6=0

|Vg|2G2 + 2G · k . (1.32)


Tato oprava k energii volnych elektronu je mala, pokud nenı jmenovatel zlomku roven nule.Kdyz vlnovy vektor elektronu k splnuje pro nektery vektor reciproke mrıze G podmınkuG2+2k ·G = 0, je temer volny pohyb elektronu silne porusen. Tato porucha ma charakterzrcadloveho odrazu elektronove vlny od atomove roviny kolme k vektoru G (Braggovadifrakcnı podmınka).

Resenım rovnice pro priblızenı volnych elektronu dostaneme v okolı prvnı Brillouinovyzony (k = ±π

a)

Ek =~2k2

2m∗ ± |Vg| . (1.33)

Energeticke spektrum pak nabyva charakter pasu. V neporusenych mrızıch se elektronnemuze vyskytovat v zakazanem pasu.

Kapitola 2

Homogennı polovodic

2.1 Statistika elektronu

Elektrony se v tepelne rovnovaze chovajı jako soustava nabitych nerozlisitelnych castic. Nadovolenych energetickych hladinach jsou rozdeleny Fermiho statistikou.

Energeticke stavy rozlisujeme:

• spojite — kontinuum (vodivostnı pas, prımesovy pas a valencnı pas),

• diskretnı (prımesi).

2.1.1 Rozdelovacı funkce elektronu

Rozdelovacı funkce elektronu ma tvar

f0(ES) =nS

gS=

1

1 + exp[ES−EFkBT

] , (2.1)

kde nS je pocet elektronu ve stavu s energiı ES, gS pocet stavu s energiı ES, EF Fermihoenergie (chemicky potencial), kB oznacuje Boltzmannovu konstantu a T teplotu.

EEF

f0(E) 4kBT

0

1

Obrazek 2.1: Fermiho rozdelovacı funkce

16

KAPITOLA 2. HOMOGENNI POLOVODIC 17

EF ≈ 2kBT

g(E), dndEf0(E)

dndE

g(E)E

8kBT

1

Obrazek 2.2: Koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu

2.1.2 Elektrony ve vodivostnım pasu

Elektrony v tepelne rovnovaze s krystalovou mrızı se ve vodivostnım pasu chovajı jakovolne castice s efektivnı hmotnostı m∗

e . Pro rozdelovacı funkci platı

f0(Ek) =1

1 + exp[E(k)−EF

kBT

] . (2.2)

2.1.3 Vlastnosti rozdelovacı funkce

Na obr. 2.1 je znazornen prubeh rozdelovacı funkce f0(Ek) pro T = 0 a T > 0.Podle polohy Fermiho energie pri teplote T se mohou elektrony v krystalu chovat jako:

nedegenerovany elektronovy plyn definovany podmınkami

exp

(

− EFkBT

)

≫ 1, pri − EFkBT

> 4. (2.3)

V tomto prıpade Fermiho mez lezı v zakazanem pasu alespon 4kBT od vodivostnıhopasu. Fermiho rozdelenı se redukuje na Boltzmannovo rozdelenı. Tyto vztahy a dalsıvztahy v textu platı za predpokladu, ze polozıme nulu energie do dna vodivostnıhopasu EC = 0. Energie elektronu ve vodivostnım pasu jsou pak kladne, v zakazanempasu pak zaporne.

f0(Ek) = exp

[EF − E(k)kBT

]

. (2.4)

silne degenerovany elektronovy plyn vyhovujıcı vztahum

exp

( EFkBT

)

≫ 1, priEFkBT

> 10. (2.5)

Fermiho mez lezı hluboko ve vodivostnım pasu (naprıklad u kovu).


castecne degenerovany elektronovy plyn

−4 <EFkB

< 10. (2.6)

0

1

E8kBT

g(E), dndEf0(E)

EF ≈ 10kBT

dndE

g(E)

Obrazek 2.3: Koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu-degenerovany prıpad

2.1.4 Rozdelovacı funkce elektronu v krystalu

Pri stanovenı rozdelovacı funkce elektronu budeme hledat pocet rozlisitelnych zpusobu,kterym je mozne dany pocet castic rozdelit do urciteho poctu krabicek. V nasem prıpadecastice predstavujı elektrony a krabickami jsou vlastnı stavy systemu. Temi mohou bytstavy v pasu, urcene kvantovymi cısly kx, ky, kz nebo prımesove stavy, charakterizo-vane vlastnımi kvantovymi cısly. Dulezitym predpokladem je, ze elektron v jednom stavu(krabicce) musı jen slabe interagovat s elektrony v ostatnıch stavech. V takovem prıpadeje celkovy Hamiltonian systemu pouhym souctem individualnıch Hamiltonianu.

Elektrony v systemu prichazejı z valencnıho pasu nebo z donorovych stavu. Tyto elek-trony mohou byt distribuovany mezi stavy ve valencnım pasu, vodivostnım pasu a mezidonorova a akceptorova centra.

Vodivostnı pas rozdelme na energeticke useky ∆EC. Kazdy tento usek obsahuje velkemnozstvı stavu, ale velikostne je mensı nez ∆E charakterizujıcı presnost merenı.Predpokladejme, ze i-ty usek (∆ECi

) obsahuje nCielektronu rozmıstenych do NCi

stavu.Pocet rozlisitelnych zpusobu, jak rozdelit nCi

elektronu do NCistavu je

WCi=

(NCi

nCi

)

=NCi

!

nCi!(NCi

− nCi)!. (2.7)

Pocet rozlisitelnych zpusobu, jak rozmıstit vsechny vodivostnı elektrony je

WC =∏

i

WCi=∏

i

NCi!

nCi!(NCi

− nCi)!. (2.8)


Analogicky pro valencnı pas platı

WV =∏

j

WVj=∏

j

NVj!

nVj!(NVj

− nVj)!. (2.9)

Zavedenı prımesı do statistiky je relativne jednoduche za predpokladu, ze kazda prımesma jen jeden stav v zakazanem pasu (toto omezenı v pozdejsım vykladu jiz nebudeuplatnovano). To znamena, ze obsahuje-li konkretnı atom na + 1 elektronu, je potrebaenergie EIk k excitaci jednoho z elektronu (EIk < Eg). Obsahuje-li atom na elektronu, jepotreba k excitaci jednoho elektronu energie vetsı nez Eg. Bez degenerace je pocet moznychpermutacı. (

NIk

nIk

)

=NIk !

nIk !(NIk − nIk)!. (2.10)

Zde NIk je celkovy pocet atomu prımesi typu k, z nichz nIk obsahuje na + 1 elektronu azbytek na elektronu. Navıc prıslusne elektrony (na nebo na + 1) na kazdem atomu mohoubyt permutovany g zpusoby, kde g je degenerace prıslusneho stavu. Naprıklad mame-li tri ekvivalentnı elektrony v orbitalu, ktery muze obsahnout celkem elektronu sest, jedegenerace g = 6!

3!3!= 20. Predpokladame, ze g1 je degenerace stavu s na+1 elektrony a g0

degenerace stavu s na elektrony. Pak dıky tomu, ze stavy obsahujıcı o jeden elektron navıc

jsou obsazeny nIk elektrony a pocet stavu s na elektrony je NIk − nIk , mame gnIk1 g

(NIk−nIk

)

0

extra permutacı, takze nakonec

WIk =gnIk1 g

(NIk−nIk

)

0 NIk !

nIk !(NIk − nIk)!. (2.11)

Mame-li vıce prımesı (donoru ci akceptoru), je vysledny pocet jejich obsazenı

WI =∏

k

WIk . (2.12)

Celkovy pocet rozlisitelnych zpusobu, jak rozdelit elektrony v systemu, je

W = WCWVWI. (2.13)

Veta: (plynoucı z teorie pravdepodonosti)Prepdokladame-li, ze kazda permutace, jejımz vysledkem je stejna celkova energie, je

stejne pravdepodobna, pak nejpravdepodobnejsı rozdelenı mezi energeticke useky je to, ktere

maximalizuje W .

Nynı spolu se Stirlingovym vzorcem lnN ! = N lnN − N tuto vetu aplikujeme na nasprıpad. Vzhledem ke stejne monotonii Wi i lnW muzeme studovat jednodussı linearizova-


nou zavislost lnW . Po rozepsanı dostaneme

lnW =∑

i

NCilnNCi

− nCilnnCi

− (NCi− nCi

) ln(NCi− nCi

)+

+∑

j

NVjlnNVj

− nVjlnnVj

− (NVj− nVj

) ln(NVj− nVj

)+

+∑

k

NIk lnNIk − nIk lnnIk − (NIk − nIk) ln(NIk − nIk)+

+ nIk ln g1k + (NIk − nIk) ln g0k. (2.14)

Pri maximalizaci lnW musı byt zachovan celkovy pocet elektronu a celkova energie. Mametedy dve podmınky

F1(n) =∑

i

nCi+∑

j

nVj+∑

k

nIk = Ne, (2.15)

F2(n, E) =∑

i

nCiECi

+∑

j

nVjEVj

+∑

k

nIkEIk = Et (2.16)

potrebne k uzitı metody Lagrangeovych multiplikatoru

∂

∂nelnW + α[Ne − F1(n)] + β[EF − F2(n, E)] = 0. (2.17)

Necht’ je postupne ne = nCe, nVe

, nIe , kde index e oznacuje vybrany elektron. Pak

∂ lnW

∂nCe

= − lnnCe− 1 +

NCe

NCe− nCe

+ ln(NCe− nCe

)− nCe

NCe− nCe

=

= ln(NCe− nCe

)− 1− lnnCe+ 1 = ln(NCe

− nCe)− lnnCe

, (2.18)

∂

∂nCe

α[Ne − F1(n)] = 0− α∂F1(n)

∂nCe

= −α, (2.19)

∂

∂nCe

β[Et − F2(n, E)] = −βECe. (2.20)

Tedy celkem

∂

∂nCe

lnW + α[Ne − F1(n)] + β[Et − F2(n, E)] =

= ln(NCe− nCe

)− lnnCe− α− βECe

= 0. (2.21)

Analogicky dostaneme

ln(NVe− nVe

)− lnnVe− α− βEVe

= 0 (2.22)


aln(NIe − nIe)− lnnIe + ln g1e − ln g0e − α− βEIe = 0. (2.23)

Z techto vztahu zrejme plyne

nCe=

NCe

1 + exp(α + βECe), (2.24)

nVe=

NVe

1 + exp(α + βEVe)= NVe

− NVe

1 + exp[−(α + βEVe)], (2.25)

nIe =NIe

1 + g0g1exp(α+ βEIe)

. (2.26)

Lze ukazat, ze pro multiplikatory α a β platı

α = − EFkBT

, β =1

kBT. (2.27)

V obecnem prıpade necht’ nklm je pocet centerm-teho excitovaneho stavu l-teho nabojovehostavu k-te prımesi nebo energetickeho useku vodivostnıho nebo valencnıho pasu. Nulty stavrezonuje s valencnım pasem, tj. k excitaci elektronu z tohoto stavu do vodivostnıho pasuje potrebna energie vetsı nez Eg. At’ lk je pocet nabojovych stavu (hladin) v zakazanempasu pro k-te centrum l = 0, 1, . . . , lk, kde l je pocet ionizovatelnych elektronu. Pro danel je mkl pocet excitovanych stavu (ml = 0, 1, . . . , mkl). Necht’ gklm je degenerace klm-tehostavu, pak

W =∏

k

lk∏

l=0

mkl∏

m=0

(gklm)nklmNk!

nklm!. (2.28)

Hledanı maxima teto funkce je omezeno podmınkami

• zachovanı poctu elektronu na k-te prımesi∑

l,m

nklm = Nk. (2.29)

Prıslusny Lagrangeuv multiplikator oznacıme γk.

• zachovanı celkoveho poctu elektronu (kazda prımes ve stavu klm ma l ionizovatenychelektronu)

∑

k,l,m

nklml = Ne, (2.30)

kde Ne je celkovy pocet elektronu. Zde Lagrangeuv multiplikator oznacıme α.

• zachovanı celkove energie∑

k,l,m

nklmEklm = EF, (2.31)

pricemz β bude odpovıdajıcı Lagrangeuv multiplikator.


Konecne muzeme psat

∂

∂nklm

lnW + γk[Nk − F1k(n)] + α[Ne − F1(n)] + β[EF − F2(n, E)] =

= ln gklm − lnnklm − γk − αl − βEklm = 0. (2.32)

Ve specialnım prıpade l = 0 a m = 0 mame

ln gk00 − lnnk00 − γk − βEk00 = 0. (2.33)

Kombinacı rovnic (2.32) a (2.33) zıskame

nklm =gklmgk00

nk00e−lα−β(Eklm−Ek00) =

gklmgk00

nk00e−lηF−(ηklm−ηk00), (2.34)

kde zavadıme redukovanou energii

ηklm =EklmkBT

. (2.35)

Pro pocet elektronu na k-te prımesi dostavame

Nk =∑

l,m

nklm =nk00

gk00

∑

l,m

gklme−lηF−(ηklm−ηk00) =

= nklm

(

1 +∑

l 6=l′

∑

m6=m′

nkl′m′

nklm

)

=

= nklm

(

1 +∑

l′ 6=l

∑

m6=m′

gkl′m′

gklmeηklm−ηkl′m′−(l−l′)ηF

)

, (2.36)

z cehoz pro pocet elektronu ve stavu klm plyne

nklm =Nk

1 +∑

l′ 6=l

∑

m6=m′

gkl′m′

gklmeηklm−ηkl′m′−(l−l′)ηF

. (2.37)

2.1.5 Vypocet koncentrace elektronu ve vodivostnım pasu

Od teto chvıle budeme normalizovat pocty castic na jednotkovy objem, takze se z nichstanou hustoty castic

n =∑

l∈(vod. pas)nCl

=∑

l

Nel

1 + exp[El−EFkBT

]=∑

l

g(El)∆E1 + exp[El−EF

kBT], (2.38)

kde g(E) je hustota stavu ve vodivostnım pasu, pro kterou se zapoctenım spinu platı

g(E) = 4π(2m∗e)

3/2

h3

√E . (2.39)


Pak prechodem k integraci, tj. ke spojitemu rozdelenı energiı , dostavame

n =

ECmax∫

ECmin

g(E)dE1 + exp[E−EF

kBT]=

4π(2m∗e)

3/2

h3

∞∫

0

√EdE

1 + exp[E−EFkBT

]=

∞∫

0

f0(E)g(E)dE . (2.40)

V poslednı uprave jsme predpokladali, ze na dne vodivostnıho pasu je E = 0 a vzhledemk tomu, ze Fermiho funkce efektivne pada k nule uz jen nekolik kBT nad EF, je mozne hornımez integrace polozit rovnou nekonecnu, coz znacne usnadnı resenı integralu. V nekterychucebnicıch se do funkce g(E) nezapocıtava faktor 2 spinove degenerace — pak je

n = 2

∞∫

0

f0(E)g′(E)dE . (2.41)

Pouzijeme-li vyse zavedenou redukovanou energii x = EkBT

a redukovanou Fermiho energii

η = EFkBT

,muzeme odvodit

n =

∞∫

0

f0(E)g(E)dE =

√2(m∗

e)3/2

π2~3

∞∫

0

√EdE

1 + exp[E−EFkBT

]= (2.42)

=

√2(m∗

ekBT )3/2

π2~3

∞∫

0

x1/2

ex−η + 1dx. (2.43)

Tento vysledek lze take zapsat pomocı tzv. Fermiho integralu F∗r (η) definovaneho vztahem

F∗r (η) =

∞∫

0

xr

ex−η + 1dx (2.44)

jako

n =

√2(m∗

ekBT )3/2

π2~3F∗

1/2(η). (2.45)

Jestlize nynı vezmeme

NC = 2(2πm∗

ekBT )3/2

h3(2.46)

jako tzv. efektivnı hustotu stavu elektronu, je mozne koncentraci elektronu n napsatv jeste prehlednejsım tvaru

n =2√πNCF∗

1/2(η). (2.47)

Vedle prave ukazaneho zpusobu zavedenı Fermiho integralu existuje i alternativnı postup:

n =1

3π2

∞∫

0

(

−∂f0∂E

)

k3(E)dE =1

3π2

(2m∗e)

3/2

~3

∞∫

0

(

−∂f0∂E

)

E3/2dE , (2.48)


nebot’

k3 =(2m∗

e)3/2

~3E3/2. (2.49)

Pak po dosazenı redukovane energie, redukovane Fermiho energie a efektivnı hustoty stavumame

n =4

3√πNC

∞∫

0

(

−∂f0∂x

)

x3/2dx, (2.50)

kde vyraz

Fr(η) =

∞∫

0

(

−∂f0∂x

)

xrdx (2.51)

je tzv. Fermiho-Diracuv integral. Konecne koncentrace elektronu n nabyva prehledneho

23η

32

4

10

1

0,1

-2 0 2

F∗12

(η)

√π2eη

η

Obrazek 2.4: Aproximace Fermiho integralu

zapisu

n =4

3√πNCF3/2(η). (2.52)

Mısto Fr(η) se nekdy rovnez zavadı

Fr =Fr(η)

Γ(r + 1), (2.53)

pricemz Γ(r + 1) je znama Γ-funkce s nasledujıcımi vlastnostmi :

Γ(r + 1) = rΓ(r), Γ(j + 1) = j!, Γ(1/2) =√π, (2.54)


takze pro koncentraci elektronu platı

n =4

3√πNCF3/2(η) =

4

3√πNC

3

2Γ

(3

2

)

F3/2(η) =

=4

3√πNC

3

2

1

2

√πF3/2(η) = NCF3/2(η). (2.55)

Pro nektere oblasti je mozne Fermiho integraly nahradit analytickou funkcı, naprıklad F∗1/2

lze nahradit dle tabulky nıze uvedene.

Aproximujıcı Oblast Relativnıfunkce platnosti chyba

√π2eη η < −4 1 %

√π2eη (1− 0, 3eη + 0, 06e2η) η < 0 0, 75 %

√π2eη 1

1+0,27eηη < 1, 25 3 %

23η3/2

(

1 + π2

8η2

)

η > 1, 25 1 %

23η3/2 η > 10 1, 5 %

Tabulka 2.1: Tabulka aproximacı

Tyto aproximace pouzijeme pro dva limitnı prıpady:

nedegenerovany polovodic , kde η < −4

Koncentraci elektronu lze pak vyjadrit

n =2√πNCF∗

1/2(η) =2√πNC

√π

2eη = NCe

η, (2.56)

silne degenerovany polovodic , pro ktery je η > 10

Koncentrace elektronu ma potom tvar

n =2√πNCF∗

1/2(η) =2√πNC

2

3η3/2 =

4

3√πNCη

3/2, (2.57)

pricemz zavadıme

EF0 = ~2

2m∗e(3π2n)2/3, kF0 = (3π2n)1/3. (2.58)

Namısto zapocıtavanı poctu elektronu ve valencnım pasu se ukazuje jako vyhodne pocıtats chybejıcımi elektrony (ktere se v dusledku excitacı nachazejı na energetickych hladinachv zakazanem pasu nebo ve vodivostnım pasu). Tyto chybejıcı elektrony ve valencnım pasulze popsat jako mısta s kladnym nabojem, tzv. dıry.


2.2 Statistika der

Rozdelovacı funkce pro dıry je

f0h(E) = 1− f0(E) = 1− 1e(x−η)+1

= e(x−η)+1−1e(x−η)+1

=

= e(x−η)

e(x−η)+1= 1

1+e−(x−η) .(2.59)

Aby byly vztahy pro elektrony a dıry obdobne, je nutne provest transformaci

E ′ = −E − Eg, x′ = −x− 1

β, (2.60)

E ′F = −EF − Eg, ⇒ η′ =

E ′F

kBT, (2.61)

β =kBT

Eg, η′ = −η − 1

β. (2.62)

Pak

f0h(x) =1

1 + e−(x−η)=

1

ex′+ 1

β−η′− 1

β + 1= (2.63)

=1

1 + e(x′−η′)= f0(x

′), (2.64)

kde E ′F je Fermiho mez pro dıry odecıtana od vrcholu valencnıho pasu (viz obr. 2.5).

Ev = −EgE ′ > 0

EFE ′F < 0

EgEF < 0

Ec = 0E > 0

Obrazek 2.5: Energeticke schema homogennıho polovodice

Prejdeme-li tedy plne k dıram, tj.

x −→ x′, η −→ η′, m∗e −→ m∗

h, (2.65)

zıskame pro koncentraci der

p =

∞∫

0

f0(E ′)g(E ′)dE ′ =2√πNVF∗

1/2(η′) =

4

3√πNVF3/2(η

′) = NVF3/2(η′), (2.66)


kde

NV = 2(2πm∗

hkBT )3/2

h3.= 4, 84.1015

(m∗

h

m0

)3/2

T 3/2 cm−3 (2.67)

je efektivnı hustota stavu ve valencnım pasu..

2.3 Prımesi

Nynı odvodıme konkretnı vztahy pro obsazenı prımesovych hladin monovalentnıch akcep-toru a donoru. Z obecneho vztahu (2.37) pri zanedbanı excitovanych stavu dostavame

nkl =Nk

1 +∑

l′ 6=lgkl′gkl

eEkl−E

kl′

kBT− EF

kBTl−l′

, (2.68)

kde k oznacuje typ centra (akceptor, donor), l nabojovy stav (pocet ionizovatelnych donoru)a gkl je stupen degenerace daneho stavu. Ekl je energie potrebna k prenesenı l elentronu zvrcholu valencnıho pasu na energeticky stav prımesi.

2.3.1 Monovalentnı donor

Zde je l=0 (zadny elektron na centru, donor je ionizovan) nebo l=1 (elektron je na cen-tru, donor je elektricky neutralnı). Potom, polozıme-li nulovou hladinu energie na dnovodivostnıho pasu je Ek1 = ED. Dale platı ED0 = 0 (k prenesenı 0 elektronu nenı potrebnazadna energie), tedy

nD0 =ND

1 + gD0

gD1e

ED−EFkBT

. (2.69)

Vzhledem k tomu, ze

gD0 =2!

0!2!= 1, gD1 =

2!

1!1!= 2, gD2 =

2!

2!= 1 ⇒ gD1

gD0

= 2, (2.70)

platı pro nD0

nD0 =ND

1 + 2e−ED+EF

kBT

(2.71)

a pro nD1

nD1 =ND

1 + 12e

ED−EFkBT

. (2.72)


nD0nD1

ED

−Eg

Ec = 0

Obrazek 2.6: Pasove schema monovalentnıho donoru

2.3.2 Monovalentnı akceptor

V zakladnım (elektricky neutralnım) stavu chybı na akceptoru jeden elektron. V prıpadel=1 (l′=0) je elektron na akceptoru (akceptor je ionizovan). Vztahneme-li nulu energiıke dnu vodivostnıho pasu je EA1 = EA. Stejne jako v prıpade monovalentnıho donoru jeED0 = 0.

nA1 =NA

1 + gA0

gA1e

EA−EFkBT

. (2.73)

Vzhledem k tomu, ze vrchol valencnıho pasu je dvakrat degenerovany (prıtomny lehkei tezke dıry), muze byt obsazen ctyrmi elektrony. Neionizovany akceptor obsahuje tri elek-trony, zatımco ionizovany ctyri. Potom

gA0 =4!

3!1!= 4, gA1 =

4!

4!0!= 1, ⇒ gA0

gA1= 4. (2.74)

Pocet elektronu na akceptoru nA1 je roven poctu der ve valencnım pasu vzniklych v dusledkuprechodu elektronu z valencnıho pasu na akceptor. Celkem tedy mame

nA1 =NA

1 + 4eEA−EFkBT

. (2.75)

Za predpokladu l=0 (l′=1) nenı na akceptoru zadny elektron, je tedy v neutralnım stavu.Pak pri ponechanı EA0 = 0 a EA1 = EA plyne pro pocet elektronu na akceptoru

nA0 =NA

1 + 14e− EA+EF

kBT

. (2.76)


EA

EA

−EgnA1 nA0

Ec = 0

NA

Obrazek 2.7: Pasove schema monovalentnıho akceptoru

2.4 Stanovenı Fermiho meze

Uvazujme vlastnı polovodic: podmınka elektricke neutrality dava

p = n, (2.77)

4

3√πNVF3/2(η

′) =4

3√πNCF3/2(η), (2.78)

(m∗h)

3/2F3/2(η′) = (m∗

e)3/2F3/2(η). (2.79)

Tuto rovnici lze vyresit pouze numericky nebo aproximativne naprıklad pro nedegenerovanypolovodic

(m∗h)

3/2F∗1/2(η

′) = (m∗e)

3/2F∗1/2(η), (2.80)

√π

2(m∗

h)3/2eη

′

=

√π

2(m∗

e)3/2eη, (2.81)

(m∗h)

3/2e−η−βg = (m∗e)

3/2eη; βg =EgkBT

, (2.82)

e2η = e−βg

(m∗

h

m∗e

)3/2

, (2.83)

ηidef= η = −1

2

EgkBT

+3

4ln

(m∗

h

m∗e

)

. (2.84)

Tımto jsme definovali tzv. intrinsickou Fermiho mez ηi. Je proto mozne rozeznavat polo-vodice typu N a P:

N-typ η > ηi,

P-typ η < ηi.

Nynı jeste odvodıme intrinsickou koncentraci nosicu.

ni =2√πNCF∗

1/2(η) =2√πNC

π√2eηi = (2.85)

= NCeηi = NCe

−βg2

(m∗

h

m∗e

)3/4

= (NCNV)1/2e−

βg2 . (2.86)


Pro nedegenerovany polovodic tedy platı

n2i = np. (2.87)

2.5 Podmınka elektricke neutrality

Pro extrinsicky polovodic ma podmınka elektricke neutrality tvar

p+ nD0 = n+ pA1 p+N+D = n+N−

A , (2.88)

2√πNVF∗

1/2(η′) +

ND

1 + 2eE∗

D+η=

2√πNCF∗

1/2(η) +NA

1 + 4eE∗

A+η′, (2.89)

kde

η′ = −η − E∗g , (2.90)

E∗g =

EgkBT

, (2.91)

E∗D =

EDkBT

, (2.92)

E∗A =

EA

kBT. (2.93)

Resenım teto rovnice dostaneme vzdy Fermiho mez η, resp. EF.

2.5.1 Nedegenerovany kompenzovany N-typ

Jako prıklad ukazeme nynı vypocet Fermiho meze pro nedegenerovany kompenzovany po-lovodic typu n. Jak jsme uvedli vyse, vyjdeme z podmınky elektricke neutrality

2√πNVF∗

1/2(η′) +

ND

1 + 2 exp [E∗D + η]

=2√πNCF∗

1/2(η) +NA

1 + 4 exp [E∗A + η′]

,

p+ pD = n+ nA. (2.94)

Z vlastnostı uvazovaneho polovodice plyne

p→ 0, n = NCeη, nA = NA. (2.95)

Dostavame tedy

NCeη =

ND

1 + 2eE∗

D+η−NA,

NCeη(1 + 2eE

∗

Deη) = ND −NA(1 + 2eE∗

Deη). (2.96)


Upravou zıskame

NCeη + 2NCe

E∗

De2η −ND +NA + 2NAeE∗

Deη = 0,

e2η.2NCeE∗

D + eη(NC + 2NAe

E∗

D)− (ND −NA) = 0,

N2Ce

2η +NCeη

︸︷︷︸

n

(

NA +1

2NCe

−E∗

D

)

− 1

2NC(ND −NA)e

−E∗

D = 0,

n2 + n

(

NA +1

2NCe

−E∗

D

)

︸︷︷︸

b

−1

2NC(ND −NA)e

−E∗

D

︸︷︷︸

c

= 0. (2.97)

Stacı jen vyresit tuto kvadratickou rovnici v promenne n. Spocıtame-li diskriminant D =b2 − 4ac (a = 1), muzeme pro koreny psat

n = − b2+

√(b

2

)2

− c =b

2

√

1− c(b2

)2 − 1

, (2.98)

n = NCeη =

1

4

(2NA +NCe

−E∗

D)

[(

1 +8(ND −NA)NCe

−E∗

D

(2NA +NCe−E∗

D)2

)1/2

− 1

]

. (2.99)

Tento obecny vztah budeme diskutovat ve trech limitnıch prıpadech

a) Slabe kompenzovany polovodic (NA ≪ ND) za nızkych teplot.

Dosazenım predpokladu

2NA ≪ NCe−E∗

D ≪ 8ND, NA ≪ n≪ ND (2.100)

muzeme odvodit

n =1

4NCe

−E∗

D

[(

1 +8NDNCe

−E∗

D

N2Ce

−2E∗

D

)1/2

− 1

]

=1

4NCe

−E∗

D

[(

1 +8ND

NCe−E∗

D

)1/2

− 1

]

=1

4NCe

−E∗

D

(8ND

NCe−E∗

D

)1/2

==

(NCND

2

)1/2

e−E∗D2 . (2.101)

b) Kompenzovany polovodic (NA < ND) za nızkych teplot.

Ze vztahuNCe

−E∗

D ≪ 2NA < 2ND (2.102)

platneho pro takovyto polovodic plyne

n =ND −NA

2NANCe

−E∗

D . (2.103)


c) Kompenzovany polovodic (NA < ND) za vysokych teplot.

PouzitımNCe

−E∗

D ≫ 8(NA −ND) (2.104)

dostaneme konstantnı hustotu elektronu

n = ND −NA. (2.105)

ND (cm−3)

p+p++

Ecp n n+ n++

ND,A ≪ ni EFEi

NA = ni

Ev1020 1018

NA

0 1018 1020

ND = ni

Obrazek 2.8: Klasifikace polovodice podle stupne dotace a odpovıdajıcı poloha Fermihohladiny


1 2 3

b

a

c

typ N

0

EEc

Ei

Ev

EF ND

Ei

T

Obrazek 2.9: Teplotnı zavislost polohy Fermiho hladiny pro polovodic s jednım typemprımesı (typu N)

logn

1/T

n = ND

ND

∼ ED/2

∼ Eg/2

123

b

c

a

0

Obrazek 2.10: Prubeh koncentrace elektronu pro polovodic s jednım typem prımesı

Kapitola 3

Boltzmannova kineticka rovnice

Vedle popisu rovnovaznych stavu ma znacny vyznam studium vodivostnıch elektronu ader v nerovnovaznem stavu, kdy se pohybujı krystalem pod vlivem vnejsıch polı (elek-trickeho, magnetickeho, teplotnıho). Takove jevy, spojene s premıst’ovanım elektronu a derse nazyvajı transportnı nebo kineticke.

3.1 Odvozenı Boltzmannovy kineticke rovnice

V termodynamicke rovnovaze jsou elektrony popsany funkcı

f0(x) =1

1 + ex−η(3.1)

kde η = EFk0T

a x = Ek0T

. System elektronu, ktery nenı v termodynamicke rovnovaze jepopsan funkcı (nejprve uvazujeme volne elektrony)

f(vx, vy, vz, x, y, z, t) dvx dvy dvz dx dy dz = f(v, r, t) d3v d3r (3.2)

kde strany rovnice vyjadrujı pocet elektronu, ktere jsou v case t, v bode r a s rychlostı x,ktere souradnice lezı postupne v intervalech (vx, vx + dvx), (vy, vy + dvy) a (vz, vz + dvz),v objemu d3r = dx dy dz. Zname-li f(v, r, t), lze urcit hustotu proudu v bode r a v caset.

Pocet elektronu s rychlostı v uvnitr valce je f(v, r, t) d3v vx dt. Tyto elektrony se zacas dt premıstı ve smeru osy x o vzdalenost vx dt. Tedy

dt

∫∫∫ ∞

−∞f(v, r, t)vx dvx dvy dvz

je celkovy pocet elektronu vsech rychlostı, ktere projdou ploskou za cas dt. Pak proud vesmeru osy x je dan vztahem:

jx = −e∫∫∫ ∞

−∞f(v, r, t)vx dvx dvy dvz (3.3)

f(v, r, t) = f0(E) + f1(v, r, t)

34

KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKA ROVNICE 35

kde f0(E) je suda (zavisı na v2x). Proto f0vx je licha funkce dle dvx. Tım padem

∫

f0vx dvx = 0.

Potom rovnice (3.3) prechazı na tvar:

jx = −e∫∫∫ ∞

−∞f1(v, r, t)vx dvx dvy dvz (3.4)

Prostudujeme zmenu poctu elektronu s rychlostı v za cas dt v dusledku jejich pohybuv prostoru. Levou stenou dy dz elektrony prichazejı, pravou odchazejı (predpokladamevx > 0). Pocet elektronu za cas dt vstupujıcıch levou stenou je f(v, x, y, z, t) d3v dy dz vx dt,pocet elektronu vystupujıcıch pravou stenou je f(v, x+ dx, y, z, t) d3v dy dz vx dt. Zvysenıpoctu elektronu s rychlostı v v objemu d3r je

f(v, x, y, z, t) d3v dy dz vx dt− f(v, x+ dx, y, z, t) d3v dy dz vx dt =

= −vxf(v, x+ dx, y, z, t)− f(v, x, y, z, t) dy dz d3v dt = −v∂f∂x

dx dy dz d3v dt

Pri zahrnutı vsech sten dostavame

−(

vx∂f

∂x+ vy

∂f

∂y+ vz

∂f

∂z

)

d3v d3r dt = −v · ∇r f d3v d3r dt = −v

∂f

∂rd3v d3r dt

Analogicky lze urcit zmenu poctu elektronu s rychlostı v v objemu d3v = dvx dvy dvzv dusledku jejich pohybu ve v prostoru, tj. v dusledku zrychlenı

−v∂f

∂vd3v d3r dt = − 1

m(F∇v f) d

3v d3r dt

protoze v = Fm, kde F (r, t) je sıla pusobıcı na elektron v bode r a v case t. Pocet elektronu

s rychlostı v se rovnez zmenı nasledkem srazek. Elektron s rychlostı v se v dusledku srazkydostane z objemu d3v, v dusledku zmeny jeho rychlosti. Budeme sledovat pouze pruznesrazky, tj. v = v′. Pravdepodobnost, ze se elektron s rychlostı v za cas dt rozptylı a stanese z nej elektron s rychlostı v′ je W (v, v′) d3v′ dt.

Celkovy pocet elektronu, s rychlostı v ktere ubudou za cas dt nasledkem srazek je roven

−∫

(v′)

f(v, r, t)W (v, v′) d3v d3r d3v′ dt (3.5)

Pocet elektronu s rychlostı v bude rust, pokud se elektrony s rychlostı v′ zmenı vlivemsrazek v elektrony s rychlostı v

∫

(v′)

f(v′, r, t) d3v′ d3rW (v′, v) d3v dt (3.6)


uhrnna zmena elektronu s rychlostı v vlivem srazek je tedy

d3v d3r dt

∫

v′

(f(v′, r, t)W (v′, v)− f(v, r, t)W (v, v′)) d3v′ (3.7)

Zvysenı poctu elektronu s rychlostı v za cas dt lze psat jako

f(v, r, t+ dt) d3v d3r − f(v, r, t) d3v d3r =∂f

∂td3v d3r dt

Potom muzeme napsat Boltzmannovu kinetickou rovnici ve tvaru

∂f

∂t= −v · ∇r f − 1

mF (∇v f) +

∫

(f(v′, r, t)W (v′, v)− f(v, r, t)W (v, v′)) d3v′ (3.8)

3.2 Platnost Boltzmannovy kineticka rovnice

Protoze Boltzmannova kineticka rovnice predstavuje zakladnı vychodisko pro popis trans-portnıch jevu v polovodicıch, je dulezite pochopit jejı omezenı. Boltzmannova rovnice jepriblizna, nebot’ se jedna o jednocasticovy popis mnohacasticoveho systemu. Korelace mezicasticemi nejsou uvazovany. Dalsı aproximacı je semiklasicky popis nosicu jako castic po-hybujıcıch se podle Newtonovych zakonu.

Rozdelovacı funkce definuje nejpravdepodobnejsı stav systemu nosicu. Takovy statis-ticky popis je vhodny, pokud je pocet castic velky1. Vzhledem k tomu, ze castice reagujıprostrednictvım elektrickych polı, existuje korelace mezi casticemi. K urcenı pravdepodobnostiobsazenı nejakeho stavu je tedy principialne nutne znat, jak jsou obsazeny ostatnı stavy.K statistickemu popisuN -casticoveho systemu je tedy nutnaN -casticova rozdelovacı funkce.V prıpade nızkych koncentracı nosicu jsou ale vzajemne interakce slabe a mısto N -casticoverozdelovacı funkce je mozno pouzıt funkci jednocasticovou. Vliv ostatnıch nosicu je zapoctenpres self -konzistentnı elektricke pole.

BTR je rovnez priblizna proto, ze popisuje nosice jako castice podlehajıcı Newtonovymzakonum. Kvantova mechanika je pouzita pouze pro popis srazek. To ze pouzitı rozdelovacıfunkce je klasicky koncept je zrejme z toho, ze urcuje jak souradnici tak hybnost v jednomcasovem okamziku. Vzhledem k principu neurcitosti

∆p∆r ≥ ~ (3.9)

∆p ≃√

2m∗k0T

⇒ ∆r ≥ ~√2m∗k0T

= λB

Vzhledem k tomu, ze vlnova delka nosice v tepelne rovnovaze je λB = ~√2m∗k0T

, platı∆r ≫ λB. Tento vysledek nam rıka, ze k tomu abychom mohli nosice popisovat jako

1Extremne male soucastky mohou obsahovat tak male mnozstvı nosicu, ze statisticky popis nenıopravneny.


castice, je nutne, aby nosic byl lokalizovan vzhledem k λB (ktera je typicky 10− 20 nm pripokojove teplote). Rovnice je splnena, jestlize se potencial menı pomalu ve srovnanı s λB.V prıpade rychle se menıcıho potencialu je treba resit vlnovou rovnici.

Dalsı omezenı BTR vyplyva z dalsı obmeny principu neurcitosti, a to

∆E∆t ≥ ~

ktery rıka, ze nosic musı zustat v danem stavu dostatecne dlouho, aby mel dobre defino-vanou energii.

Predpokladejme, ze ∆t ≈ τ (doba mezi srazkami) a ∆E ≈ k0T . Pak τ ≫ ~

k0T, a

vynasobenım vT dostavame l = vT τ ≫ ~vTk0T

≈ λB. Tento vztah rıka, ze strednı volna drahamusı byt mnohem delsı, nez de Broglieho vlnova delka, aby platila BTR.

τ ≫ ~

k0T⇒ ω ≪ k0T

~· 2π

Proto za pokojove teploty musı byt ω ≪ 6 · 1012 Hz. V soucastkach v soucasnostivyrabenych je tato podmınka splnena s dostatecnou rezervou. Clen

(∂f

∂t

)

P

= −v∇r f − 1

m(F · ∇v f)

se nazyva polnı. Clen(∂f

∂t

)

S

=

∫

f(v′, r, t)W (v′, v)− f(v, r, t)W (v, v′) d3r′

se nazyva srazkovy. Ve stacionarnım prıpade

0 =

(∂f

∂t

)

=

(∂f

∂t

)

P

+

(∂f

∂t

)

S

(3.10)

dostavame

v · ∇r f +1

mF∇v f =

∫

f(v′, r, t)W (v′, v)− f(v, r, t)W (v, v′) d3v′ (3.11)

Nynı prejdeme od volnych elektronu k elektronum v krystalu.

F = mdv

dt⇒ F = ~

dk

dt(3.12)

E =~2k2

2m∗ = m∗v2

2(3.13)

Impuls nahradıme kvaziimpulsem

v =~k

m∗ =1

~∇k E(k) =

1

~

∂E(k)∂k

(3.14)


Za sılu F dosadıme Lorentzovu sılu

F = −e [E + (v ×B)] (3.15)

a dostaneme (∂f

∂t

)

S

=∂f

∂t+ v(k)∇r f − e

~∇k f [E + v ×B] (3.16)

Ve stacionarnım prıpade je ∂f∂t

= 0, tedy:

(∂f

∂t

)

S

= +v · ∇r f − e

~∇k f · [E + v ×B] (3.17)

Srazkovy clen pak lze psat jako(∂f

∂t

)

S

=∑

k

W (k′,k)f(k′) (1− f(k))−W (k,k′)f(k) (1− f(k′)) (3.18)

kde jsme na rozdıl od volnych elektronu prihledli k Pauliho principu.Z principu detailnı rovnovahy plyne, ze pocet elektronu prichazejıcıch ze stavu k do

stavu k′, a naopak, se musı rovnat poctu ve stavu statisticke rovnovahy.

W (k′,k)f0(E ′)[1− f0(E)] =W (k,k′)f0(E)[1− f0(E ′)] (3.19)

tedy

W (k′,k)eE

k0T =W (k,k′)eE′

k0T (3.20)

pri pruznem rozptylu je E = E ′, a proto

W (k′,k) =W (k,k′) (3.21)

Potom platı(∂f

∂t

)

S

=∑

k′

W (k′,k)f(k′)−W (k,k′)f(k) =∑

k′

W (k,k′)(f(k′)− f(k)) (3.22)

3.3 Stanovenı nerovnovazne rozdelovacı funkce

f(k) = f0(E) + f1(k) (3.23)

f1(k) = −∂f0∂E χ(E)k (3.24)

f(k′)− f(k) = f0(E ′) + f1(k′)− f0(E)− f1(k) = f1(k

′)− f1(k) = −∂f0∂E χ(k′ − k) =

=∂f0∂E χ(E)(k − k′) =

∂f0∂E χ(E)k(1− cos θ) = −f1(k)(1− cos θ) (3.25)


kde θ je uhel mezi k a k′. Dale muzeme psat

(∂f

∂t

)

S

=∑

k′

W (k,k′) −f1(k)(1− cos θ) = −f1(k)∑

k′

W (k,k′)(1− cos θ) (3.26)

Zavedeme tzv. relaxacnı dobu

τ(k) =

(∑

k′

W (k,k′)(1− cos θ)

)−1

(3.27)

Potom (∂f

∂t

)

S

= −f1(k)τ(k)

= −f − f0τ

(3.28)

3.4 Fyzikalnı vyznam relaxacnı doby

Predpokladejme, ze v case t = 0 zrusıme vsechny vnejsı pole. Pak

(∂f

∂t

)

S

= −∂(f − f0)

∂t= −f − f0

τ(3.29)

d(f − f0)

f − f0= −dt

τ⇒ ln(f − f0) = − t

τ+ C

pro t = 0, ln(f − f0)t=0 = C ⇒ ln(f − f0)

(f − f0)t=0= − t

τ

(f − f0) = (f − f0)t=0e− t

τ ⇒ pro t = τ,(f − f0)t=τ

(f − f0)t=0

=1

e(3.30)

τ je tedy doba, za kterou se rozdıl (f − f0) ze zmenı e-krat.Budeme uvazovat

• rozptyl na podelnych akustickych kmitech mrıze LA

• rozptyl na podelnych optickych kmitech mrıze LO (jen v prıpade, kdy je pruzny)

• rozptyl na ionizovanych prımesıch NI = D• + A′

• rozptyl na neutralnıch prımesıch NN = Dx+Ax odpovıdajıcı PP prechodu elektronuz k do k′ za 1 s

Budeme mıt tedy postupne tyto pravdepodobnosti: WLA(k,k′), WLO(k,k

′), WI(k,k′) a

WN(k,k′). Vzhledem k tomu, ze rozptylove procesy jsou alternativnı (bud’ jeden nebo


druhy), muzeme napsat tzv. Matthiesenovo pravidlo

1

τ=∑

k′

W (k,k′)(1− cos θ) =

=∑

k′

WLA(k,k′)(1− cos θ) +

∑

k′

WL0(k,k′)(1− cos θ)+

+∑

k′

WI(k,k′)(1− cos θ) +

∑

k′

WN(k,k′)(1− cos θ) (3.31)

ktere muzeme zapsat take ve tvaru

1

τ=

1

τLA+

1

τLO+

1

τI+

1

τN(3.32)

Zbyva stanovit jednotlive relaxacnı doby.Dale budeme predpokladat, ze se pri srazce nemenı spin. Prejdeme od secıtanı k inte-

graci1

τi=

V

(2π)3

∫

k′

Wi(k,k′)(1− cos θ) dk′ (3.33)

kde i = LA,LO, I,N. Objem na jeden stav je (2π)3

V. Pocet stavu k v elementu dk′ se rovna

dk′

(2π)3

V

= V(2π)3

dk′, kde dk′ = k′2 sin θ dθ dϕ dk′

1

τi=

V

(2π)3

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ ∞

0

Wi(k,k′)k′2 dk′(1− cos θ) sin θ dθ dϕ (3.34)

Oznacme

Wi(k, θ) =V

(2π)3

∫ ∞

0

Wi(k,k′)k′2 dk′ (3.35)

Fermiho zlate pravidlo vuzijeme

Wi(k,k′) =

2π

~|Mi(k,k

′)|2 δ (E(k)− E(k′)) (3.36)

kde |Mi(k,k′)| je maticovy element poruchoveho potencialu Ui pri prechodu ze stavu k do

stavu k′

Mi(k,k′) =

∫

ψ∗k′(r)Uiψk′(r) dr (3.37)

• ψk(r) — vlnova funkce elektronu a rozptyloveho centra

ψk(r) = ψ(r)φ(r)

• φ(r) — vlnova funkce rozptyloveho centra

• ψ(r) — vlnova funkce elektronu


Wi(k, θ) =V

(2π)32π

~

∫ ∞

0

|Mi(k,k′)|2 δ(E(k)− E(k′))k′2 dk′ (3.38)

E =~2k2

2m∗e

, dE =~2k dk

m∗e

dk

dE =m∗

e

~2k⇒ m∗

e

~2= k

dk

dE

g(E) dE =(2m∗

e)3/2E1/2

2π2~3=m∗

ek

π2~2=k2 dk

π2(3.39)

Wi(k, θ) =V

4π

∫ ∞

0

|M(k,k′)|2 g(E ′) δ(E(k)− E(k′)) dE ′ =V

4πg(E) |M(k,k′)|2 (3.40)

kde g(E) je hustota stavu ve vodivostnım pasu

1

τi=πV

2~g(E)

∫ 2π

0

|M(k,k′)|2 (1− cos θ) sin θ dθ (3.41)

Pro rozptyl na podelnych akustickych fononech LA platı

|MLA(k,k′)|2 = E2

1ck0T1

ρa〈ne〉2V(3.42)

Pro rozptyl na podelnych optickych fononech LO platı

|MLO(k,k′)|2 = e2~ωLO

2V E0

(1

E∞− 1

ES

)1

k2

nq

nq + 1

Fq (3.43)

kde nq je pocet fononu ve stavu q (prıpad absorpce fononu) a nq + 1 je pro prıpad emisefononu.

nq =1

e~ωqkT − 1

. (3.44)

Pro rozptyl na ionizovanych prımesıch platı

|MI(k,k′)|2 = NI

(Ze2

E0ErV

)2

·(

1

R2S

+ |k − k′|2)−2

(3.45)

kde

nq =1

e~ωLOkT − 1

(3.46)

F±q =

(k

q±

)2

·(

1

1 + tq

)2

, tq =1

qRS

(3.47)

RS =ne2

2E0E∞k0T·F∗

−1/2(η)

F1/2(η)(3.48)

q2 = k′2 + k2 − 2kk′ cos θ


• E1,c — deformacnı potencial vodivostnıho pasu

• ρa — hustota

• 〈ne〉 — strednı rychlost sırenı akustickych vln

〈ne〉 =(Vaσπ2

)1/3

ωLA (3.49)

kde V je objem krystalu a VA je objem elementarnı bunky.

3.4.1 Relaxacnı doba - rozptyl na podelnych akustickych fono-

nech

Dale provedeme vypocet relaxacnı doby pro rozptyl na podelnych akustickych fononechτLA

1

τLA=πV

2~g(E)

∫ π

0

|M(k,k′)|2 (1− cos θ) sin θ dθ (3.50)

1

τLA=πV

2~· 2m

∗3/2e

2π2~3E1/2E2

1ck0T1

ρa〈ne〉2V

∫ π

0

(1− cos θ) sin θ dθ (3.51)

1

τLA=

(m∗e)

3/2

√2~4π

· E21ck0T

ρa〈ne〉2E1/2

∫ π

0

(1− cos θ) sin θ dθ (3.52)

s vyuzitım rovnosti

g(E) = (2m∗e)

3/2

2π2~3

√E (3.53)

Dale uvazenım substituce cos θ = x dostavame

∫ π

0

(1− cos θ) sin θ dθ = −∫ −1

1

(1− x) dx =

∫ 1

−1

(1− x) dx = [x]1−1 −[x2

2

]1

−1

= 2− 0 = 2

(3.54)

1

τLA=

√2(m∗

e)3/2E2

1c

~4ρa〈ne〉2π1

k0TE1/2 (3.55)

τLA =π~4ρa〈ne〉2√2(m∗

e)3/2E2

1c

(k0T )E−1/2 (3.56)

τLA = τ 0LAE−1/2 (3.57)


3.4.2 Relaxacnı doba - rozptyl na ionizovanych prımesıch

Pro relaxacnı dobu v prıpade rozptylu na ionizovanych prımesıch τI platı

1

τI=πV

2~· (2m

∗e)

3/2

2π2~3E1/2

∫ π

0

NI

(Ze2

E0ErV

)2

· (1− cos θ) sin θ dθ((

1R2

s

)2

+ |k − k′|2)2 (3.58)

Definujeme:

nI =NI

V(3.59)

1

τI=

(m∗e)

3/2

√2π~4

E1/2nIZ2

(e2

E0Er

)2 ∫ π

0

(1− cos θ) sin θ dθ(

1R2

s+ |k − k′|2

)2 (3.60)

|k − k′|2 = (k − k′)(k − k′) = 2k2(1− cos θ) =4m∗

e

~2E(1− cos θ) (3.61)

(1

R2S

+ (k − k′)2)2

=

(1

RS

+4m∗

e

~2E(1− cos θ)

)2

=

=

(4m∗

eE~2

)2(~

4m∗e

· 1

ER2s

+ 1− cos θ

)2

(3.62)

pricemz~

4m∗e

· 1

ER2s

= b (3.63)

Tedy(

1

R2S

+ (k − k′)2)2

=

(4m∗

e

~2

)2

(b+ 1− cos θ)2 (3.64)

Potom dostaneme

1

τ + I=nIZ

2

π√2·(

e2

E0Er

)2

· 1

16m∗1/2e

· E−3/2

∫ 2

0

t dt

(b+ t)2(3.65)

kde vnitrek integralu oznacıme jako αI,

t = 1− cos θ

dt = sin θ dθ

αI =

b

t + b+ ln(t+ b)

2

0

=b

2 + b+ ln(2 + b)− 1− ln b =

=b

2 + b− 1 + ln

(b+ 2)

2=b+ b− 2

b+ 2+ ln

(b+ 2)

b= − 2

b+ 2+ ln

b+ 2

2(3.66)

Konecne1

τI=nIZ

2

π√2·(

e2

E0Er

)2

· 1

16m∗1/2e

E−3/2αI, τI = τI0E3/2 (3.67)


3.4.3 Relaxacnı doba - rozptyl na podelnych optickych fononech

Pro vysoke teploty lze rozptyl na podelnych optickych fononech povazovat priblizne zapruzny, tj. k = k′. T ≫ Θ, Θ = ~ωLO

k.

Zanedbame dale stınenı

F (q) =k2

q2(3.68)

dostavame tedy

|MLO(k,k′)|2 = ±

(e2~ωLO

2V E0

)(1

E∞− 1

E0

)1

k2Fq

nq

nq + 1

=

= ±(e2~ωLO

2V ǫ0

)(1

E∞− 1

E0

)1

q2

nq

nq + 1

(3.69)

kde nq odpovıda absorpci a nq + 1 emisi.

1

τI=πV

2~

(2m∗e)

3/2

2π2~3

√E∫ π

0

e2~ωLO

2V E0

(1

E∞− 1

ES

)nq

nq+1

1

q2(1− cos θ) sin θ dθ (3.70)

q = k − k′ q2 = k2 + k′2 − 2kk′ cos θ = 2k2(1− cos θ)

E =~2k2

2m∗1

q2=

1

2k21

1− cos θ=

~2

4m∗eE

1

1− cos θ

1

τLO=V (m∗

e)3/2E1/2

√2π~2

(e2~ωLO

2V E0

)(1

E∞− 1

ES

)~2

4m∗eE

∫ π

0

1− cos θ

1− cos θsin θ dθ =

=m

∗1/2e√2π~2

E−1/2

(e2~ωLO

2E0

)(1

E∞− 1

ES

)1

42(2nq + 1) =

=m

∗1/2e√2π~2

(e2~ωLO

2E0

)(1

E∞− 1

ES

)

nqE−1/2 (3.71)

Platı2nq + 1 ≈ 2nq

z toho plyne

τLO =2√2π~2E0

m∗1/2e e2~ωLO

(1

E∞− 1

ES

)−1 (

eΘT−1)

(3.72)

kde

Θ =~ωLO

k(3.73)

Pro T ∼ Θ nelze resit BTR v aproximaci relaxacnı doby — je nutne numericke resenı.


3.5 Resenı Boltzmannovy kineticke rovnice

Stacionarnı prıpad:

Boltzmannovu rovnici budeme resit pro slaba pole

v · ∇r f − e

~[E + v ×B]∇k f = −f − f0

τ= −f1

τ=

1

τ

∂f0∂E (χ · k) , (3.74)

kde

v =1

~∇k E (k) =

1

m∗hk (3.75)

f1 (k) =

(

−∂f0∂E

)

· (χ · k) . (3.76)

f = f (k, r) = f0(E) + f1 (k) , f0(E) =(

exp

[E − EFk0T

+ 1

])−1

(3.77)

Takze muzeme psat

f (k) = f0 (k −∆k) = f0 (k) +∂f0∂E

∂E∂k

(−∆k) =

= f0 (k)−∂f0∂E

~2

m∗∆k · k = f0 (k)−∂f0∂E (χ · k)

χ =~2∆k

m∗e

(3.78)

Zde ∆k, resp. χ reprezentujı odchylku od rovnovahy v dusledku sıly, a to pro slaba pole(1. rad Taylorova rozvoje).

∇r f = ∇r f0(E) +∇r f1(k), (3.79)

f0(E , EF, T ), E = E (k) = E (k) , EF = EF (r) , T = T (r) (3.80)

∇r f0 = −∂f0∂E ∇r EF +

∂f0∂T

· ∇r T (3.81)

∂f0∂EF

= −∂f0∂E =

1

kBT

exp[E−EFkBT

]

(

exp[E−EFkBT

]

+ 1)2 (3.82)

∂f0∂T

=E − EFkBT 2

exp[E−EFkBT

]

(

exp[E−EFkBT

]

+ 1)2 = −E − EF

T

∂f0∂E (3.83)


kde kB je Boltzmannova konstanta.

⇒ ∇r f0 =∂f0∂E

EF − ET

∇r T −∇r EF

(3.84)

∇r f1 = ∇r

(

−∂f0∂E

)

χ (k) · k = − ∂

∂E (∇r f0)χ (k) · k =

= − ∂

∂E

[∂f0∂E

EF − ET

∇r T −∇r EF]

χ (k) · k =

= −∂2f0∂E2

EF − ET

∇r T −∇r EF

+∂f0∂E

∇r T

Tχ (k) · k (3.85)

Prvnı clen muzeme zanedbat, protoze i na prave strane Boltzmannovy kineticka rovnicepocıtame s presnostı do prvnıho radu.

∇r f ≈ ∂f0∂E

EF − (E − (χ · k))T

∇r T −∇r EF

(3.86)

χ · k =~2

2m∗e

2 (k ·∆k) , χ · k ≪ E =~2k2

2m∗e

(3.87)

V prvnım radu tedy mame

∇r f =∂f0∂E

−(E − EF)T

∇r T −∇r EF

= ∇r f0

∇k f = ∇k f0(E) +∇k f1(k),

∇k f0 =∂f0∂E ∇k E =

∂f0∂E ~v

∇k f1 = ∇k

(

−∂f0∂E (χ · k)

)

=

= ∇k

(

−∂f0∂E

)

(χ · k)− ∂f0∂E ∇k (χ · k) =

=∂2f0∂E2

∇k E (χ · k)− ∂f0∂E χ− ∂f0

∂E

(

k · ∂χ∂E

)

∇k E =

=∂2f0∂E2

v · (χ · k)− ∂f0∂E χ− ∂f0

∂E

(

k · ∂χ∂E

)

~v (3.88)

− e~E + v ×B∇k f ≈ − e

~E · v∂f0

∂E ~− e

~[v ×B]

(

−∂f0∂E

)

χ =

=∂f0∂E e∇rϕ · v +

∂f0∂E

e

~[v ×B] · χ =

=∂f0∂E e

(

∇rϕ+e

~[v ×B]

)

· χ (3.89)


Aproximace byla provedena pro cleny s E s presnostı do prvnıho radu a s vyuzitım vztahu[v ×B] · v = 0. Dosazenım do Boltzmannovy kineticke rovnice dostaneme :

∂f0∂E

EF − ET

∇r T −∇r (EF − eϕ) +e

~[B × χ]

· v =1

τ

∂f0∂E χ · vm

∗e

~(3.90)

⇒ χ = − ~

m∗e

τ (k)

EF − ET

∇r T −∇r (EF − eϕ) +e

~[B × χ]

(3.91)

Pro χ mame vektorovou rovnici typu

χ = a+ [b× χ] (3.92)

jejız resenı je

χ =a+ [b× χ] + (a · b) b

1 + b2(3.93)

χ = − ~τ

m∗e

−E−EF

T∇r T +∇r (EF − eϕ)

1 +(

eτm∗

eB

)2 +

+

eτm∗

e

[B ×

−E−EF


]

1 +(

eτm∗

eB

)2 +

+

(eτm∗

e

)2 [B ·

−E−EF


]B

1 +(

eτm∗

eB

)2

(3.94)

Pro zjednodusenı si zavedeme oznacenı

χ = − ~e

m∗e

χ∗ (3.95)

P =EF − EeT

∇r T +∇r

(Ee− ϕ

)

(3.96)

γ =e

m∗e

(3.97)

χ∗ =τP + γτ 2 [B × P ] + γ2τ 3 (B · P )B

1 + (γτB)2(3.98)

Analogicky vztahy platı pro dıry po provedenı nasledujıcı transformace

E → E ′

m∗e → m∗

h

EF → E = −EF − Eg−e→ +e (3.99)


Pri prechodu do bezrozmernych velicin

x =EkBT

, η =EFkBT

(3.100)

P (x) =kBe(x− η)∇rT +

kBT

e∇r η −∇r ϕ (3.101)

ϕ je vnejsı napetı.

3.6 Hustota elektrickeho proudu a hustota proudu

energie bez vnejsıho magnetickeho pole

Pocet elektronu ve stavu k pripadajıcıch na 1 cm3 je

1

V2f (k, r, t)

dk(2π)3

V

=1

4π3f (k, r, t) dk, (3.102)

kde poslednı zlomek je pocet stavu v dk, jeho jmenovatel oznacuje objem na jeden stav,dvojnasobek udava pocet spinu a tım pocet elektronu v kazdem stavu, a (k, r, t) udavastrednı pocet elektronu ve stavu k (distribucnı funkce). Pri prechodu od sumace k integracije nutne vydelit integral objemem k prostoru pripadajıcım na 1 stav, tj. vynasobit faktorem1

4π3 (viz. 3.102). Elektricky proud lze psat

j =1

V2∑

k

f (k, r, t) v(−e) = − e

4π3

∫

f (k) v · dk =

= − e

4π3

∫

f0v · dk − e

4π3

∫

f1 (k)v · dk =

= − e~

4π3m∗e

∫

f1 (k)k · dk. (3.103)

Integral∫f0v · dk je roven nule v dusledku lichosti funkce f0v. Tok energie lze psat

w =1

V2∑

k

f (k, r, t) v (E − eϕ) = w =~

4π3m∗e

∫

f1 (k) (E − eϕ)k · dk (3.104)

j = − e~

4π3m∗e

∫ (

−∂f0∂E

)

(χ · k)k · dk (3.105)

Vıme, ze ∂f0∂E je funkcı k a take χ = χ(k). V souradne kartezskem systemu souradnic a uhlu

platı

kx = k sinϑ cosϕ

ky = k sinϑ sinϕ

kz = k cosϑ

(3.106)

k = |k| (3.107)


χ · k = χk cosϑ (3.108)

dk = d3k = k2 dk sin ϑ dϑ dϕ (3.109)

∫

−(∂f0∂E

)

(χ · k)k · dk =

=

∫

−(∂f0∂E

)

χ [i0k sinϑ cosϕ+ j0k sinϑ sinϕ+ k0k cosϕ]×

×k3 dk cosϑ sin ϑ dϑ dϕ (3.110)

Slozky s vektory i0 a j0 jsou rovny 0 (integruje se podle ϕ a uvedene cleny obsahujı cosϕnebo sinϕ), zbude pouze slozka s k0

∫

−(∂f0∂E

)

(χ · k)k · dk =

=

∫

−(∂f0∂E

)

χk0k4 dk

4

3π =

4

3π

∫ ∞

0

(

−∂f0∂E

)

χk4 dk (3.111)

protoze∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

cos2 ϑ sinϑ dϑ =4

3π (3.112)

j = − e~

4π3m∗e

∫ (

−∂f0∂E

)

(χ · k)k · dk = − e~

4π3m∗e

∫ ∞

0

χ

(

−∂f0∂E

)

k4 dk (3.113)

E =~2k2

2m∗e

⇒ k4 =2 (m∗

e)2

~4E2,

dE =~2

2m∗e22k dk dk =

m∗e

~2

1

kdE =

m∗e

~2

~

(2m∗e)

12

E− 12 dE (3.114)

k4 dk =(2m∗

e)2

~4E2 (m

∗e)

12

~

1√2E− 1

2 dE =2

32m∗

e

52

~5E 3

2 dE (3.115)

j = − e~

3π2m∗e

232m∗

e

52

~5

∫ (

−∂f0∂E

)

χE 32 dE = −e (2m

∗e)

32

3π2~3

∫ ∞

0

(

−∂f0∂E

)

χE 32 dE =

=2

32 e2 (2m∗

e)12

3π2~3

∫ ∞

0

(

−∂f0∂E

)

χ∗E 32 dE =

(2kBT )32 e2 (2m∗

e)12

3π2~3

∫ ∞

0

(

−∂f0∂E

)

χ∗x32 dx

(3.116)

Definujme strednı hodnotu funkce χ∗, funkci 〈χ∗〉.

〈χ∗〉 =∫∞0

(−∂f0

∂E)χ∗E 3

2 dE∫∞0

(−∂f0

∂E)E 3

2 dE=

∫∞0

(−∂f0

∂x

)χ∗x

32 dx

∫∞0

(−∂f0

∂x

)x

32 dx

=

∫∞0

(−∂f0

∂x

)χ∗x

32 dx

F 32(η)

(3.117)


Dale budeme potrebovat

〈χ∗x〉 =∫∞0

(−∂f0

∂x

)χ∗x

52 dx

∫∞0

(−∂f0

∂x

)x

32 dx

(3.118)

Platı

−∂f0∂E =

(

−∂f0∂x

)dx

dE = −∂f0∂x

1

kBT⇐⇒ x =

EkBT

(3.119)

E 32 dE = (kBT )

32x

32 (kBT ) dx = (kBT )

52x

32 dx (3.120)

n =4

3√πNCF 3

2(η) =

2√2NCF∗

12(η) NC = 2

(2πm∗

ekBT

~2

) 32

(3.121)

w =~

4π3m∗e

∫

f1 (k) (E − eϕ)k · dk =

=~

4π3m∗e

∫

f1 (k) kBT (x−eϕ

kBT)k · dk (3.122)

Na zaver vychazı pomerne jednoduchy vztah:

j =e2n

m∗e

〈χ∗〉 = (−e)(−e)nm∗

e

〈χ∗〉 (3.123)

w = −enkBTm∗

e

〈χ∗x〉 − eϕ

kBT〈χ∗〉

= −enkBTm∗

e

〈χ∗x〉+ jϕ (3.124)

Prechod pro dıry

x→ x′

η → η′ = −η − EgkBT

m∗e = m∗

h

n → p

−e→ +e

NC → NV (3.125)

Obecne platı

j = je + jh

w = we +wh (3.126)

To vse platı pro prıpad kulovych isoenergetickych ploch, E = ~2k2

2m∗ .


3.7 Hustota elektrickeho proudu a hustota proudu

energie pro magneticke pole s jednou nenulovou

slozkou

V dalsım textu polozıme bez ujmy na obecnosti magneticke pole do osy z, B = (0, 0, B).Pak

χ∗ =τP + γτ 2 [B × P ] + γ2τ 3 (B · P )B

1 + (γτB)2(3.127)

P (x) =kBe(x− η)∇r T +

kBT

e∇r η −∇r ϕ =

kBe(x− η)∇r T −

(

∇r ϕ− kBT

e

)

(3.128)

V homogennım vodici je

• ϕ elektrostaticky potencial a

• EFe

=kBTη

echemicky potencial

• ϕ∗ = ϕ− kBTη

eelektrochemicky potencial

• ∇r ϕ∗ = E∗ intenzita elektrickeho pole ve vzorku

• ∇r ϕ = E intenzita elektrickeho pole vnejsıho

Takze

P (x) = E∗ +kBT

e(x− η∇r T ) (3.129)

Dale si definujemeν = γτB (3.130)

Pro vektorovy soucin bude platit

B × P =

∣∣∣∣∣∣

i0 j0 k0

0 0 BPx Py Pz

∣∣∣∣∣∣

= i0(−BPy) + j0(−1)3(−BPx) = −i0BPy + j0BPx (3.131)

(B · P )B = BPzB = k0PzB2 (3.132)


χ∗ =1

1 + ν2i0(τPx − τ 2γBPy) +

+ j0(τPy + τ 2γBPx) + k0(τPz + τ 3γ2B2Pz)=

=1

1 + ν2i0(τPx − τνPy) + j0(τPy + τνPx) + k0τPz(1 + ν2)

χ∗x =

τ

1 + ν2E∗

x −τν

1 + ν2E∗

y +k0e

(x− η)τ

1 + ν2∇xT − k0

e

(x− η)τν

1 + ν2∇yT

χ∗y =

τν

1 + ν2E∗

x +τ

1 + ν2E∗

y +k0e

(x− η)τν

1 + ν2∇xT +

k0e

(x− η)τ

1 + ν2∇yT

χ∗z = τE∗

z +k0e(x− η)τ∇zT (3.133)

j =e2n

m∗e

〈χ∗〉 = (jx, jy, jz) (3.134)

Po dosazenı 3.132 do 3.133 dostaneme

jx = σxxE∗x − σxyE

∗y − βxx∇xT + βxy∇yT (3.135)

jy = σxyE∗x + σxxE

∗y − βxy∇xT − βxx∇yT (3.136)

jz = σzzE∗z − βzz∇zT (3.137)

kde

σxx =e2n

m∗e

⟨τ

1 + ν2

⟩

σxy =e2n

m∗e

⟨τν

1 + ν2

⟩

σzz =e2n

m∗e

〈τz〉 (3.138)

βxx = −enk0m∗

e

⟨τ(x− η)

1 + ν2

⟩

βxy = −enk0m∗

e

⟨τν(x− η)

1 + ν2

⟩

βzz = −enk0m∗

e

〈τ(x− η)〉 (3.139)

Vsimneme si, ze

σxx = f(B) σxy = f(B) σzz 6= f(B)

βxx = f(B) βxy = f(B) βzz 6= f(B) (3.140)

Zavislost elektrickeho proudu tekoucıho vzorkem na vnitrnım elektrickem poli a gradientuteploty muzeme psat

j = σ ·E∗ + β∇r T (3.141)

kde

σ =

σxx −σxy 0σxy σxx 00 0 σzz

β =

−βxx βxy 0−βxy −βxx 00 0 −βzz

(3.142)


Platı

ϕ∗ = ϕ− k0T

eη

k0T

eϕ∗ =

k0T

eϕ− η

k0T

eϕ =

k0T

eϕ∗ + η

(3.143)

w = −enk0Tm∗

e

〈χ∗x〉+ ϕj (3.144)

Znacku stredovanı 〈·〉 dale psat nebudeme

wx = −enk0Tm∗

e

τx

1 + ν2E∗

x +enk0T

m∗e

τxν

1 + ν2E∗

y−

− nk20T

m∗e

x(x− η)τ

1 + ν2∇xT +

nk20T

m∗e

x(x− η)τν

1 + ν2∇yT+

+

(

ϕ∗ +k0T

eη

)e2n

m∗e

E∗x −

e2n

m∗e

τν

1 + ν2E∗

y

+

+enk0m∗

e

(x− η)τ

1 + ν2∇xT − enk0

m∗e

(x− η)τν

1 + ν2∇yT =

= −enk0Tm∗

e

τ(x− η)

1 + ν2E∗

x +enk0T

m∗e

τν(x − η)

1 + ν2E∗

y−

− nk20Tτ

m∗e

(x− η)2τ

1 + ν2∇xT +

nk20T

m∗e

(x− η)2τν

1 + ν2∇yT + ϕ∗jx (3.145)

wx = TβxxE∗x − TβxyE

∗y − (κxx + κϕ)∇xT + κxy∇yT + ϕ∗jx (3.146)

wy = TβxyE∗x + TβxxE

∗y − κxy∇xT − (κxx + κϕ)∇yT + ϕ∗jy (3.147)

wz = TβzzE∗z − (κzz + κϕ)∇zT + ϕ∗jz (3.148)

Zde κϕ predstavuje tepelnou vodivost krystalove mrızky. Tuto velicinu jsme do vztahudoplnili dodatecne, nebot’ predchozı odvozenı se tykalo pouze systemu volnych nosicu (vtomto prıpade elektronu). Dale

κxx =n

T

(k0T )2

m∗e

⟨τ(x− η)2

1 + ν2

⟩

(3.149)

κxy =n

T

(k0T )2

m∗e

⟨τν(x− η)2

1 + ν2

⟩

(3.150)

κzz =n

T

(k0T )2

m∗e

⟨τ(x− η)2

⟩(3.151)


Obecne je tedy hustota toku energie prenasena elektrony a dırami:

w = Tβ ·E∗ + κ∇r T + ϕ∗j (3.152)

κ =

−κxx − κϕ κxy 0κxy −κxx − κϕ 00 0 −κzz − κϕ

(3.153)

kde κϕ je mrızkova tepelna vodivost, ktera je zpusobena proudenım fononu z mıst svyssı teplotou na mısta s s nizsı teplotou. Elektronova slozka tepelne vodivosti pochazıod volnych elektronu, ktere difundujı z mıst s vyssı teplotou na mısta s nizsı teplotou.Elektrony pritom transportujı jak naboj, tak i energii.

Kapitola 4

Transportnı jevy a transportnıkoeficienty

Transportnı jevy jsou takove jevy, pri nichz dochazı k transportu naboje a prenosu energiev krystalu.

4.1 Transportnı jevy bez magnetickeho pole

V tomto prıpade je homogennı vodive prostredı charakterizovano tremi kinetickymi koefici-enty — elektrickou vodivostı, termoelektrickou silou a tepelnou vodivostı. Tyto tri prıpadypostupne oddelene probereme.

4.1.1 Elektricka vodivost

Po prilozenı vnejsıho elektrickeho pole ve smeru x vznika v temz smeru elektricky proudcharakterizovany proudovou hustotou j. Empiricky zakon (Ohmuv zakon) znı

j = σ0E, (4.1)

kde pro vodivost σ0 z experimentu plyne

σ0 =1

ρ0=I

U

S

l, (4.2)

kde S je plocha steny vzorku ve tvaru kvadru, l je jeho delka, U je prilozene napetı a Iproud tekoucı vzorkem. Nebot’ pro elektricky odpor R platı

R = ρ0l

S=U

I. (4.3)

Budeme predpokladat (viz obr. 4.4)

55

KAPITOLA 4. TRANSPORTNI JEVY 56

E = (E, 0, 0)

z

y

x

Obrazek 4.1: Elektricka vodivost — el. proud tece ve smeru prilozeneho elektrickeho napetı

E = (E, 0, 0),

B = (0, 0, 0) ⇒ ν = 0,

∇r T = 0,

∇r η = 0 (homogennı polovodic). (4.4)

Vzhledem k tomu je pro vnejsı pole E a pole ve vzorku E∗ splneno

E = E∗. (4.5)

Za ucinenych predpokladu z Boltzmannovy rovnice plyne

j = σ ·E, (4.6)

j = σxx(0)E =e2n

m∗e

〈τ〉︸︷︷︸

σ0

E = σ0E, (4.7)

protoze

σ0 =e2n

m∗e

〈τ〉. (4.8)

Dale zavedeme tzv. driftovou pohyblivost µ.

σ0 = enµ ⇒ µ =e

m∗e

〈τ〉, (4.9)

kde µ charakterizuje transport elektronu elektrickym polem.Dale definujeme driftovou rychlost vd

j = envd = enµE ⇒ vd = µE, (4.10)

coz znamena, ze pohyblivost odpovıda strednı rychlosti v jednotkovem elektrickem poli.


4.1.2 Termoelektricka sıla (Seebeckuv jev)

Je znamo, ze rozdelenı volnych nosicu v polovodici zavisı na teplote. Proto jestlize podelvzorku existuje gradient teploty, pak je rozdelenı rychlostı nosicu na teplem a chladnemkonci rozdılne.Jelikoz se system snazı dostat do rovnovahy, vznika v polovodici difuznıproud umerny gradientu teploty. V dusledku difuze vznikne mezi obema konci vzorkukoncentracnı rozdıl a s nım spojene elektricke pole. Vysledny elektricky proud pak vyrovnadifuznı proud v dusledku gradientu teploty a ve vzorku se ustavı stacionarnı stav.Empiricky zakon (viz obr. 4.2) rıka

U = α(0)∆T. (4.11)

Vychozı situace (viz obr. 4.2):

T U

T −∆T

Obrazek 4.2: Termoelektricka sıla - schema jevu

difuze

y

x

z

∆T

Obrazek 4.3: Termoelektricka sıla — v dusledku gradientu teploty dochazı k difuzi a tımk vzniku termoelektrickeho napetı

∇r T = (∇xT, 0, 0),

B = (0, 0, 0) ⇒ ν = 0,

∇r η 6= 0,

j = (0, 0, 0). (4.12)


Z Boltzmannovy kineticke rovnice (3.134) dostavame

jx = σxx(0)E∗x − βxx(0)∇xT = 0, (4.13)

E∗x =

βxx(0)

σxx(0)∇xT, (4.14)

−∇x

(

ϕ− k0T

eη

)

=βxx(0)

σxx(0)∇xT, (4.15)

∇x

(k0T

eη − ϕ

)

︸︷︷︸

Merene napetı

=βxx(0)

σxx(0)∇xT, (4.16)

dU =βxx(0)

σxx(0)∇xT, (4.17)

U =βxx(0)

σxx(0)∆xT. (4.18)

Pro termoelektrickou sılu pak platı

α(0) =βxx(0)

σxx(0)= −enk0

m∗e

m∗e

e2n

〈τ(x− η)〉〈τ〉 = −k0

e

(〈τx〉〈τ〉 − η

)

. (4.19)

K Seebeckovu jevu, t.j. vytvorenı gradientu elektrickeho potencialu nasledkem teplotnıhogradientu existuje opacny Peltieruv jev, t.j. vytvorenı tepelneho proudu o hustote w

nasledkem elektrickeho proudu o hustote j. Matematicky je jev popsan pomocı rovnice(4.41), ktera bude odvozena v dalsı casti.

Na obr.4.4. je znazorneno schema Peltierova clanku, t.j. termoelektrickeho clanku,kterym proteka elektricky proud z vnejsıho zdroje, takze na jednom konci polovodicovychclanku dochazı k ochlazenı, na druhem k oteplenı.

∆T

ochlazenı

oteplenıI+ -

kov PN

Obrazek 4.4: Peltieruv clanek


4.1.3 Tepelna vodivost

Dalsım jevem ,ktery vznika v dusledku pohybu naboje, je tepelna vodivost.Empiricky zakon rıka, ze tok tepla je prımo umerny gradientu teploty.

w = −κ∇T, (4.20)

kde κe = L0σ(0)T (L0 je tzv. Lorentzovo cıslo) je tepelna vodivost elektronu, ke ktere jenutno pripocıtat tepelnou vodivost fononu κϕ.

Predpokladame-li

∇r T = (∇xT, 0, 0),

B = (0, 0, 0) ⇒ ν = 0,

E∗ = (E∗x, 0, 0),

w = (wx, 0, 0),

j = (0, 0, 0), (4.21)

pak z Boltzmannovy kineticke rovnice (3.134) dostavame

jx = σxx(0)E∗x − βxx(0)∇xT = 0, (4.22)

wx = Tβxx(0)E∗x − (κxx(0) + κφ)∇xT = 0, (4.23)

E∗x =

βxx(0)

σxx(0)∇xT, (4.24)

wx =

Tβ2xx(0)

σxx(0)− κxx(0)− κφ

∇xT. (4.25)

Pro tepelnou vodivost κ tedy platı

κ = κφ + κxx(0)− Tβ2xx(0)

αxx(0)= κφ + L0σ(0)T = κφ + κe, (4.26)

kde

L0 =

(k0e

)2(〈x2τ〉〈τ〉 − 〈xτ〉2

〈τ〉2)

. (4.27)

Zatımco clen κφ ∝ 1T, je clen κe ∝ T . Vysledna tepelna vodivost vznikne souctem κφ a κe,

pro polovodic je vsak vzdy splneno κφ ≫ κe.

4.2 Transportnı jevy pri nenulovemmagnetickem poli

Zatım jsme odvodili tenzorove vyjadrenı pro j a w

j = σ ·E∗ + β · ∇r T, (4.28)

w = Tβ ·E∗ + κ · ∇r T + ϕ∗j. (4.29)


Toto vyjadrenı vsak pro porovnanı s experimentalne zjistenymi zakony nenı prılis prakticke,protoze casto merıme E∗ a w v zavislosti na j a ∇r T . Proto provedeme transformaci vyseuvedenych tenzoru tak, abychom zıskali zavislosti

E∗ = f(j,∇r T ), (4.30)

w = f(j,∇r T ). (4.31)

Vyjdeme-li z Boltzmannovy kineticke rovnice, muzeme prıslusnymi operacemi vyloucitE∗ a w

E∗ = (σ)−1 · j − (σ)−1 · β · ∇r T, (4.32)

w =[−Tβ · (σ)−1 + ϕ∗I

]· j +

[κ + Tβ · (σ)−1 · β

]· ∇r T. (4.33)

Po algebraicke uprave dostaneme vztahy

E∗x = ρxxjx + ρxyjy + αxx∇xT + αxy∇yT,

E∗y = −ρxyjx + ρxxjy − αxy∇xT + αxx∇yT,

E∗z = ρzzjz + αzz∇zT, (4.34)

wx = (πxx + ϕ∗)jx + πxyjy + (λxx + κφ)∇xT + λxy∇yT,

wy = −πxyjx + (πxy + ϕ∗)jy − λxy∇xT − (λxx + κφ)∇yT,

wz = (πzz + ϕ∗)jz − (λzz + κφ)∇xT, (4.35)

kde pro slozky tenzoru specifickeho elektrickeho odporu ρ, absolutnı termosılyα, Peltierovajevu π a tepelne vodivosti λ platı

ρxx =σxx

σ2xx + σ2

xy

, ρxy =σxy

σ2xx + σ2

xy

, ρzz =1

σzz, (4.36)

αxx = ρxxβxx + ρxyβxy =σxxβxx + σxyβxy

σ2xx + σ2

xy

,

αxy = ρxyβxx − ρxxβxy =σxyβxx − σxxβxy

σ2xx + σ2

xy

,

αzz = ρzzβzz =βzzσzz

, (4.37)

πxx = Tαxx = Tσxxβxx + σxyβxy

σ2xx + σ2

xy

,

πxy = Tαxy = Tσxyβxx − σxxβxy

σ2xx + σ2

xy

,

πzz = Tαzz = Tβzzσzz

,

(4.38)


λxx = κxx − πxxβxx − πxyβxy = κxx − Tσxx(β2xx − β2

xy

)+ 2σxyβxxβxy

σ2xx + σ2

xy

,

λxy = κxy − πxxβxy + πxyβxx = κxy − Tσxy(β2xy − β2

xx

)+ 2σxxβxxβxy

σ2xx + σ2

xy

,

λzz = κzz − πzzβzz = κzz − Tβ2zz

σzz. (4.39)

Obecne

E∗ = ρ · j +α · ∇r T, (4.40)

w = π · j + λ · ∇r T, (4.41)

kde

ρ =

ρxx −ρxy 0ρxy ρxx 00 0 ρzz

, (4.42)

α =

αxx αxy 0−αxy αxx 00 0 αzz

, (4.43)

π =

πxx + ϕ∗ πxy 0−πxy πxx + ϕ∗ 00 0 πzz + ϕ∗

, (4.44)

λ =

−(λxx − κφ) λxy 0−λxy −(λxx − κφ) 00 0 −(λzz − κφ)

. (4.45)

Transportnı jevyadiabaticke — vzorek odizolovan od prostredı (T6= konst.)isotermicke — vzorek a okolı na stejne teplote (T=konst.)

4.2.1 Podelne jevy v magnetickem poli

Nejdrıve se budeme zabyvat specialnım prıpadem, kdy magneticke pole B a elektrickyproud j nebo gradient teploty ∇r T , popr. tepelny tok w majı tentyz smer.


Zmena elektrickeho odporu v podelnem magnetickem poli

Predpokladame :

∇r T = (0, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, j),

(4.46)

Z rovnice (4.40) plyne

E∗z = ρzz(B)jz + αzz∇zT,

E∗z = ρzz(B)j,

ρzz(B) =Ez

j. (4.47)

Elektricky odpor ρzz(B) se tedy v magnetickem poli nemenı.

Zmena termosıly v podelnem magnetickem poli

Vychozı situace :

∇r T = (0, 0,∇zT ),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, 0),

(4.48)

Dle (4.40)

E∗z = αzz∇zT, (4.49)

Ez =βzzσzz

∇zT. (4.50)

Vzhledem k tomu, ze βzz, σzz nezavisejı na ν, tedy nejsou funkcemi magnetickeho pole B,platı

∆α‖ = αzz(B)− αzz(0) = 0, (4.51)

coz znamena, ze pro standardnı zonu (E = ~2k2

2m∗ ) se termosıla v podelnem magnetickempoli nemenı.


Zmena tepelne vodivosti

Ponechme usporadanı stejne jako v predeslem prıpade, tj.:

∇r T = (0, 0,∇zT ),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, 0), (4.52)

Vzhledem k (4.40) pro tepelny tok dostavame

wz = (πzz + ϕ∗)jz − (λzz + κφ)∇zT, (4.53)

wz = −(λzz + κφ)∇zT. (4.54)

Protoze

λzz = κzz − Tβ2zz

σzz(4.55)

a pro standardnı zonu jsou κzz, βzz, σzz nezavisle na magnetickem poli B, platı

∆κ‖ = λzz(B)− λzz(0) = 0. (4.56)

V podelnem magnetickem poli tedy nepozorujeme zmenu tepelne vodivosti. Je-li experi-mentalne pozorovana napr. podelna magnetorezistence, tj. zmena elektrickeho odporu, pakje to projev nestandardnı zony.

4.2.2 Prıcne jevy v magnetickem poli

O prıcnych jevech hovorıme tehdy, je-li magneticke pole B kolme na elektricky proud j

nebo gradient teploty ∇r T , popr. tepelny tok w. Delıme je na galvanometricke a termo-

magneticke.

Halluv jev

Jestlize umıstıme homogennı polovodic, ve kterem tece podel osy x elektricky proud, doprıcneho magnetickeho pole (ve smeru osy z, budou se nosice vlivem Lorentzovy sılyodklanet podle znamenka naboje k jedne z hran vzorku kolmych k ose y. Dıky tomu sebudou na jedne ze sten hromadit naboje jednoho typu, pricemz na opacne stene zustanounezkompenzovane naboje opacneho znamenka. To vede ke vzniku prıcneho elektrickehopole Ey. Proces hromadenı naboje na jedne ze sten bude pokracovat tak dlouho, dokudpole Ey nevyrovna vliv Lorentzovy sıly. Pak se ustavı rovnovazny stav charakterizovanypodmınkou jy = 0 Experiment ukazuje, ze

Ey ∝ jB, (4.57)


proto muzeme definovat Hallovu konstantu RH

RH =Ey

jB, (4.58)

protozeEy = RHjB. (4.59)

Predpokladejme tedy:

∇r T = (0, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (j, 0, 0). (4.60)

Potom z (4.40) plyne

Ey = −ρxyj, (4.61)

Ey

j= −ρxy, (4.62)

RH = −ρxy1

B, (4.63)

RH = − σxyσ2xx + σ2

xy

1

B. (4.64)

Po dosazenı


xy

1

B= −m∗

e

e2n

1

D

1

B

⟨τν

1 + ν2

⟩

, (4.65)

kde

D =

⟨τ

1 + ν

⟩2

+

⟨τν

1 + ν

⟩2

. (4.66)

Definujeme Halluv faktor rH vztahem

RH = −rH1

en, (4.67)

takze

rH =m∗

e

e

1

D

1

B

⟨τν

1 + ν2

⟩

, (4.68)

a Hallovu pohyblivost µH vztahem

µH = |RHσ0|, (4.69)

ktery po dosazenı σ0 = enµD dava

µH = rH1

enenµD = rHµD, (4.70)


kde µD je driftova pohyblivost elektronu. Bezne se Halluv faktor priblizne pohybuje v roz-mezı 0,8− 1,8.

Halluv jev pro dva typy nosicu: elektrony a dıry.Pro jeden typ nosicu jsme odvodili


xy

1

B. (4.71)

Pri zapoctenı obou typu nosicu ma Hallova konstanta tvar

RH = − 1

B

σ(1)xy + σ

(2)xy

(

σ(1)xx + σ

(2)xx

)2

+(

σ(1)xy + σ

(2)xy

)2 . (4.72)

Oznacme

R1 = − 1

B

σ(1)xy

(

σ(1)xx

)2

+(

σ(1)xy

)2 , (4.73)

R2 = − 1

B

σ(2)xy

(

σ(2)xx + σ

(2)xy

)2 , (4.74)

σ1 =

(

σ(1)xx

)2

+(

σ(1)xy

)2

σ(1)xx

, (4.75)

σ2 =

(

σ(2)xx

)2

+(

σ(2)xy

)2

σ(2)xx

. (4.76)

Po uprave dostaneme pro Hallovu konstantu

RH =1

D0

[R1σ

21 +R2σ

22 +B2R1R2σ

21σ

22(R1 +R2)

], (4.77)

kdeD0 = (σ1 + σ2)

2 +H2σ21σ

22(R1 +R2)

2. (4.78)

V slabem magnetickem poli (priblizne do 1 T) se tento vyraz znacne redukuje

RH0 =R1σ

21 +R2σ

22

(σ1 + σ2)2 . (4.79)

Navıc pro prıpad elektronu a der

RHn = −rHne, RHp =

rHpe, (4.80)


RH0 =RHnσ

2n +RHpσ

2p

(σn + σp)2 , (4.81)

RH0 =rHe

pµ2p − nµ2

n

(pµp + nµn)2 . (4.82)

Prıcna magnetorezistence (zmena elektrickeho odporu v magnetickem poli)

Transversalnı magneticke pole ma vliv na drahy pohybujıcıch se nosicu. Tım se menıpodmınky rozptylu a elektricka vodivost se zmenı.

Definujme magnetorezistenci jako

∆ρ⊥ρ(0)

=ρ(B)− ρ(0)

ρ(0). (4.83)

Oznacıme-li ρ = ρxx a uvazujeme-li stejnou situaci jako vyse :

∇r T = (0, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (j, 0, 0), (4.84)

vychazı z rovnice (4.40)

ρxx(B) =Ex

jx=

σxxσ2xx + σ2

xy

, (4.85)

σxy = 0 ⇒ ρxx(0) =Ex

jx=

1

σxx. (4.86)

Pro magnetorezistenci pak mame

∆ρ⊥ρ0

=ρxx(B)− ρxx(0)

ρxx(0)=ρxx(B)

ρxx(0)− 1 = (4.87)

=σ2xx

σ2xx + σ2

xy

− 1 = −σ2xy

σ2xx + σ2

xy

= (4.88)

= − 1

D

1

B

⟨τν

1 + ν2

⟩2

. (4.89)

Pri zapnutı prıcneho magnetickeho pole je tedy mozne pozorovat zmenu elektrickeho od-poru.

Nernst-Ettingshausejuv jev

Tento jev je analogem Hallova jevu. Jestlize umıstıme vzorek, podel jekoz osy x existujegradient teploty, do prıcneho magnetickeho pole ve smeru osy z, vznikne elektricke pole vesmeru osy y. Z experimentu plyne, ze

E∗y ∝ B∇xT, (4.90)


lze tedy definovat faktor Q

Q = −E∗

y

B∇xT, (4.91)

protozeE∗

y = −QB∇xT. (4.92)

Uvazujme proto vychozı situaci :

∇r T = (∇xT, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, 0). (4.93)

Podle rovnice (4.40) se na vzorku objevı slozka E∗y

E∗y = −αxy∇xT, (4.94)

E∗y

∇xT= −αxy, (4.95)

Takze pro faktor Q platı

Q = αxy1

B=σxyβxx − σxxβxy

σ2xx + σ2

xy

1

B(4.96)

Vedle Hallova napetı do merenı prıcneho napetı tedy jeste vstupuje teplotnı (Nernst-Ettingshausenovo) napetı. Vysledky experimentu ukazujı, ze velikost tohoto jevu se v jed-notlivych materialech radove lisı. Zatımco v kovech a degenerovanych polovodicıch jeNernst-Ettinghausenuv jev zanedbatelny, v nedegenerovanych polovodicıch muze mıt znacnyvliv.

Zmena termosıly v prıcnem magnetickem poli

Zmenu termosıly v prıcnem magnetickem poli je mozno vyjadrit jako

∆α = α(B)− α(0). (4.97)

Vychozı situace :

∇r T = (∇xT, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, 0). (4.98)


Ze vztahu (4.40) plyne

E∗x = αxx∇xT, (4.99)

αxx =E∗

x

∇xT, (4.100)

a pro zmenu termosıly tudız platı

∆α = αxx(B)− αxx(0) =σxxβxx + σxyβxy

σ2xx + σ2

xy

− βxxσxx

(4.101)

Termosıla se tedy v prıcnem magnetickem poli zmenı, narozdıl od prıpadu podelneho pole.

Zmena tepelne vodivosti v prıcnem magnetickem poli

Experimentalne∆κ = κ(B)− κ(0). (4.102)

Predpokladejme

∇r T = (∇xT, 0, 0),

B = (0, 0, B),

∇r η = 0 ⇒ E∗ = E,

j = (0, 0, 0). (4.103)

Uzitım rovnic (4.40) dostavame

wx = −(λxx + κφ)∇xT, (4.104)

λxx + κφ = − wx

∇xT= κ(B), (4.105)

a pro zmenu tepelne vodivosti tedy platı

∆κ = κ(B)− κ(0) = λxx(B) + κφ − λxx(0)− κφ = λxx(B)− λxx(0) =

= κxx(B)− Tσxx(β2xx − β2

xy

)+ 2σxyβxxβxy

σ2xx + σ2

xy

− κxx(0) + Tβ2xx(0)

σxx(0)(4.106)

4.3 Polovodice se smısenou elektrickou vodivostı

Pro proudovou hustotu j a hustotu toku energie w v polovodici se smısenou elektrickouvodivostı platı:

j = j(e) + j(h) = σ ·E∗ + β · ∇r T, (4.107)

w = w(e) +w(h) = Tβ ·E∗ + κ · ∇r T + ϕ∗j, (4.108)


σxx = σ(e)xx + σ(h)

xx , σxy = σ(e)xy + σ(h)

xy ,

βxx = β(e)xx + β(h)

xx , βxy = β(e)xy + β(h)

xy ,

κxx = κ(e)xx + κ

(h)xx , κxy = κ

(e)xy + κ

(h)xy . (4.109)

Vztahy pro σ(e)ik , β

(e)ik ,κ

(e)ik jsme odvodili, vyrazy pro σ

(h)ik , β

(h)ik ,κ

(h)ik dostaneme, provedeme-li

prechod od elektronu k dıram :

x −→ x′, −e −→ +e, τe −→ τh, NC −→ NV, (4.110)

η −→ η′ = −η − Egk0T

, n −→ p, νe −→ −νh, m∗e −→ m∗

h, (4.111)

tedy

σ(h)xx =

e2p

m∗h

⟨τh

1 + ν2h

⟩

, σ(h)xy = −e

2p

m∗h

⟨τhνh1 + ν2h

⟩

,

β(h)xx =

epk0m∗

h

⟨τh(x

′ − η′)

1 + ν2h

⟩

, β(h)xy = −epk0

m∗h

⟨τhνh(x

′ − η′)

1 + ν2h

⟩

,

κ(h)xx =

p

T

(k0T )2

m∗h

⟨τh(x

′ − η′)2

1 + ν2h

⟩

, κ(h)xy = − p

T

(k0T )2

m∗h

⟨τhνh(x

′ − η′)2

1 + ν2h

⟩

, (4.112)

V prıpade nuloveho magnetickeho pole se vztahy vyrazne zjednodussı

σ(h)zz =

e2p

m∗h

〈τh〉, (4.113)

β(h)zz =

epk0m∗

h

〈τh(x′ − η′)〉, (4.114)

κ(h)zz =

p

T

(k0T )2

m∗h

〈τh(x′ − η′)2〉. (4.115)

Kapitola 5

Kinetika nosicu

5.1 Rovnice kontinuity elektronu

Resenı Boltzmannovy kineticka rovnice (Boltzmannova kineticka rovnice) je znacne obtızne,proto se casto pouzıvajı jednodussı prıstupy, tzv. balancnı rovnice odvozene z puvodnı Bol-tzmannovy kineticka rovnice. Naprıklad rovnice kontinuity elektronu

∂n

∂t= −∇ · Jn +Gn − Rn =

1

e∇ · j +Gn − Rn, (5.1)

kde n znacı koncentraci elektronu, Jn elektronovy tok, zatımco j = −eJn elektricky proud.Rovnice kontinuity elektronu rıka, ze zmena koncentrace elektronu v danem objemu je danatokem elektronu do objemu a z objemu a zmenou koncentrace v dusledku jejich generacea rekombinace. Predpokladejme, ze Φ(k) je obecne nejaka funkce k na case nezavisla.Hodnota nejake fyzikalnı veliciny spjate s funkcı Φ(k) je dana jako

nΦ(r, t) =1

V

∑

k

Φ(k)f(k, r, t), (5.2)

tj. jedna se o vazeny prumer pres vsechny stavy. Tok teto veliciny lze rovnez definovat

F Φ(r, t) =1

V

∑

k

Φ(k)vf(k, r, t), (5.3)

kde v oznacuje rychlost. Pri vhodne volbe Φ(k) reprezentuje nΦ(r, t) naprıklad koncentracielektronu, jejich hybnost nebo energii:

• Φ(k) = 1 — koncentrace elektronu,

• Φ(k) = ~k = p — hybnost,

• Φ(k) = E(k) — energie.

70

KAPITOLA 5. KINETIKA NOSICU 71

Abychom nalezli nΦ(r, t) vynasobıme Boltzmannovu kineticka rovnici Φ(k) a sectemepres vsechna k (integrace a normalizace na V)

∂

∂tf + v · ∇r f +

(−e~

)

E · ∇k f = S(r,k, t) +

(∂

∂tf

)

srazky

/

· Φ(k)V

/∑

k

,

1

V

∑

k

Φ(k)∂

∂tf +

1

V

∑

k

Φ(k)v · ∇r f +

(−e~

)1

V

∑

k

Φ(k)E · ∇k f =

=1

V

∑

k

Φ(k)S(r,k, t) +1

V

∑

k

Φ(k)

(∂

∂tf

)

Srazky

.

(5.4)

Ctvrty clen teto rovnosti muzeme interpretovat jako zdroj (source) nebo zanik (sink)elektronu 1. Nynı budeme jednotlive cleny rovnosti upravovat:

1. clen Vzhledem k tomu, ze Φ(k) nezavisı na case, muzeme psat

1

V

∑

k

Φ(k)∂

∂tf =

∂

∂t

1

V

∑

k

Φ(k)f

︸︷︷︸

nΦ(r,t)

=∂nΦ(r, t)

∂t. (5.5)

2. clen Protoze jak Φ(k), tak v jsou nezavisle na souradnici, platı pro tento clen

1

V

∑

k

Φ(k)v · ∇r f = ∇r ·(

1

V

∑

k

Φ(k)vf

)

︸︷︷︸

FΦ(r,t)

= ∇ · F Φ(r, t), (5.6)

kde F Φ(r, t) je tok spojeny s velicinou nΦ(r, t). Je-li naprıklad nΦ(r, t) koncentracenosicu, je F Φ(r, t) tok nosicu.

3. clen(−e

~

)1

V

∑

k

Φ(k)E · ∇k f =

(−e~

)1

VE ·∑

k

∇k [Φ(k)f ] +( e

~

) 1

VE ·∑

k

f∇k Φ(k)

(5.7)S vyuzitım vztahu

∇k (fΦ(k)) = f∇k Φ(k) + Φ(k)∇k f (5.8)

Druhy clen teto rovnosti lze zanedbat, protoze funkce f(k, r, t) rychle klesa k nules rostoucım k. Dale definujme generacnı clen

GΦ =e

~

1

VE ·

∑

k

f∇k Φ(k). (5.9)

1V dusledku vnejsıho pusobenı (napr. generace volnych elektronu v dusledku ozarenı vzorku zdrojemsvetla)


Tato definice byla zvolena proto, ze elektricke pole zvysuje hybnost nosicu, a tımi nΦ(r, t). Generacnı clen tohoto typu tedy neprinası nove nosice.

4. clen Krome generace vlivem elektrickeho pole se nΦ(r, t) zvysuje i v dusledku generacenosicu (jineho nez polnıho, naprıklad optickeho) a snizuje v dusledku jejich rekom-binace. Tyto zmeny popisuje velicina

SΦ(r, t) =1

V

∑

k

Φ(k)S(r,k, t). (5.10)

5. clen Srazky destruujı hybnost a pusobı proti odchylkam od rovnovahy, proto definujemevelicinu popisujıcı ztraty nosicu pouze zmenami v energii, pritom pocet castic zustavanezmenen

RΦ(r, t) = − 1

V

∑

k

Φ(k)

(∂

∂tf

)

Srazky

=

⟨⟨1

τΦ

⟩⟩[nΦ(r, t)− n0

Φ(r, t)], (5.11)

kde n0Φ(r, t) je rovnovazna hodnota nΦ(r, t) a

⟨⟨1τΦ

⟩⟩

je relaxacnı doba souboru nosicu.

Dale budeme hledat⟨⟨

1τΦ

⟩⟩

:

Necht’ W (k′,k) udava pravdepodobnost rozptylu z pocatecnıho stavu k′ do koncovehostavu k a predpokladejme rozptyl nosicu do volnych stavu (tj. zanedbame faktor (1−f(k))u jednotlivych scıtancu), pak po zamene volnych scıtacıch indexu k′ a k v prvnım scıtancina prave strane, dostaneme

∑

k

Φ(k)

(∂

∂tf

)

Srazky

=∑

k′,k

Φ(k′)W (k′,k)f(k)− Φ(k)W (k,k′)f(k) =

=∑

k

Φ(k)f(k)∑

k′

(Φ(k′)

Φ(k)− 1

)

W (k,k′)

= −∑

k

Φ(k)f(k)

τΦ(k), (5.12)

kde1

τΦ(k)=∑

k′

(

1− Φ(k′)

Φ(k)

)

W (k,k′) (5.13)

je mıra prechodu z k do k′ vazena zlomkovou zmenou Φ(k) a sectena pres vsechny stavyk′, do kterych se nosic muze rozptylit. Pri uprave jsme pouzili vysledku detailnı rovnovahy,W (k′,k) = W (k,k′).

Z predchozıch rovnic plyne, ze⟨⟨

1

τΦ

⟩⟩[nΦ(r, t)− n0

Φ(r, t)]=

1

V

∑

k

Φ(k)f(k)

τΦ(k), (5.14)


takze⟨⟨

1

τΦ

⟩⟩

=

1V

∑

k

Φ(k)f(k)τΦ(k)

[nΦ(r, t)− n0Φ(r, t)]

, (5.15)

pricemz u 1τΦ(k)

zalezı jen na fyzikalnıch procesech rozptylu danychW (k,k′), zatımco⟨⟨

1τΦ

⟩⟩

zavisı jak na fyzice rozptylu, tak na tom, jake je rozlozenı nosicu (na hladinach) z hlediskak.

Po sectenı predeslych clenu muzeme konecne psat

∂nΦ(r, t)

∂t= −∇ · F Φ +GΦ − RΦ + SΦ, (5.16)

kde GΦ odpovıda generaci vlivem pole, RΦ ubytku vlivem srazek a SΦ jinemu typu generacenebo rekombinace.

5.1.1 Odvozenı rovnice kontinuity

V dalsım budeme predpokladat Φ(k) = 1.Pro tok veliciny Φ(k) v tomto prıpade dostavame

F Φ =1

V

∑

k

vf = nvD = −je

e, (5.17)

vD oznacuje prumernou rychlost elektronu a je elektricky proud.Vzhledem k tomu, ze ∇k Φ(k) = ∇k (1) = 0, je GΦ = 0, a ze

1

τΦ(k)=∑

k′

(

1− Φ(k′)

Φ(k)

)

W (k,k′) =∑

k′

(

1− 1

1

)

W (k,k′) = 0, (5.18)

je

RΦ(r, t) =

⟨⟨1

τΦ

⟩⟩[nΦ(r, t)− n0

Φ(r, t)]= 0. (5.19)

Rovnice kontinuity elektronu ma pak jednoduchy tvar

∂nΦ(r, t)

∂t= −∇ · F Φ +GΦ −RΦ + SΦ =

je

e+ SΦ. (5.20)

5.2 Odvozenı balancnı rovnice hybnosti a rovnice pro

proudovou hustotu

Budeme se zabyvat z-ovou slozkou pz hybnosti. V dalsım proto zamenıme index k za indexp. Za funkci Φ(p) dosadıme pz, pro nΦ(r, t) tedy dostaneme

nΦ(r, t) =1

V

∑

p

pzf = Pz = nm∗evDz, (5.21)


kde Pz je z-ova slozka celkove hybnosti P a vDz je z-ova slozka prumerne rychlosti.Pro tok z-ove slozky hybnosti platı

FΦi =1

V

∑

p

vipzf = 2Wiz, i = 1, 2, 3. (5.22)

Tımto jsme zavedli tenzor kineticke energie W .Protoze elektricke pole urychluje nosice, generuje hybnost. Prıslusny clen ma pak tvar

GΦ = −eE · 1

V

∑

p

f∇p Φ(p) = −eE · 1V

∑

p

f∇p pz = −enEz , (5.23)

nebot’ ∇p pz = 1.Srazky zpusobujıcı rozptyl hybnosti charakterizujeme velicinou RΦ, pro niz v tomto

prıpade dostavame

RΦ =

⟨⟨1

τm

⟩⟩

Pz. (5.24)

Dosadıme-li tyto vysledky do rovnice 5.16 a predpokladame-li SΦ = 0, muzeme psat

∂nΦ(r, t)

∂t= −∇ · F Φ +GΦ −RΦ + SΦ, (5.25)

∂Pj

∂t= − ∂

∂xi2Wij − neEj −

⟨⟨1

τm

⟩⟩

Pj , (5.26)

kde Wij =12V

∑

p

vipjf definuje ij-tou slozku tenzoru kineticke energie W .

Rovnice toku hybnosti tedy znı

∂P

∂t= −2∇ ·W − neE −

⟨⟨1

τm

⟩⟩

P . (5.27)

Stopa tenzoru ma jasny fyzikalnı vyznam

Wii =∑

i

Wii =∑

i

1

V

∑

p

1

2m∗

ev2i f(p) = nu =W, (5.28)

kde W je strednı hodnota kineticke energie a u je strednı kineticka energie pripadajıcı najeden nosic. Pro standardnı zonu, kdy m∗v = ~k = p, lze psat

je = −envD = − ep

m∗e

. (5.29)

Tım dostavame rovnici pro proudovou hustotu

∂je∂t

=2e∇ ·Wm∗

e

+ne2E

m∗e

−⟨⟨

1

τm

⟩⟩

je. (5.30)


5.2.1 Teplota nosicu

Pro ii-tou slozku tenzoru W platı

Wii =1

2V

∑

p

pivif =m∗

e

2V

∑

p

v2i f =nm∗

e

2

⟨v2i⟩. (5.31)

Vzhledem k tomu, ze v = vD+c, kde vD je driftova rychlost, tj. rychlost spojena s vnejsımpolem a c je tepelna rychlost, ktera souvisı s nahodnym pohybem nosicu, pro stopu tenzoruW plyne

Wii =∑

i

(1

2nm∗

e

⟨v2Di

⟩+

1

2nm∗

e

⟨c2i⟩)

=

=1

2nm∗

ev2D +

1

2nm∗

e

⟨c2⟩, (5.32)

nebot’ 〈ci〉 = 0. Protoze W je tenzor, definujeme pomocı vztahu

Wij =1

2nm∗

evDivDj +1

2nm∗

e〈cicj〉 =

=1

2nm∗

evDivDj +1

2nkTij (5.33)

tenzor teploty T charakterizujıcı tepelny pohyb nosicu. Platı pro nej

1

2nkTij =

1

2nm∗

e〈cicj〉. (5.34)

Tenzor W pak muzeme psat ve tvaru

Wij = Kij +nk

2Tij , (5.35)

kde slozku Kij =nm∗

e

2vDivDj lze pro slaba pole zanedbat. Tım je tenzor kineticke energie W

rozlozen do souctu tenzoru K, spojenym se strednım pohybem nosicu ve vnejsım poli,a tenzoru teploty T , ktery je urcen nahodnym pohybem nosicu. Celkem tedy mame

∂P

∂t= −∇ · (2K + nkT )− neE −

⟨⟨1

τm

⟩⟩

P . (5.36)

5.3 Odvozenı drift-difuznı rovnice

Nejprve upravıme drıve odvozenou rovnici

∂je∂t

=2e∇ ·Wm∗

e

+ne2E

m∗e

−⟨⟨

1

τm

⟩⟩

je, (5.37)

je +

⟨⟨1

τm

⟩⟩∂je∂t

=ne2E

m∗e

⟨⟨1τm

⟩⟩ +2e∇ ·Wm∗

e

⟨⟨1τm

⟩⟩ . (5.38)


Definujeme pohyblivost nosicu jako

µe =e

m∗e

⟨⟨1τm

⟩⟩ . (5.39)

Poznamenejme, ze obecne ⟨⟨1

τm

⟩⟩

6= 1

〈〈τm〉〉. (5.40)

Lze rozumne predpokladat, ze proud se silne nemenı za relaxacnı dobu momentu hybnosti,tj. zanedbame druhy clen na leve strane ve vyse odvozene rovnici. Pak dostavame

je = eµenE + 2µe∇ ·W . (5.41)

Dale zanedbame (v aproximaci Boltzmannovy kineticka rovnice zcela opravnene) driftovouslozku W a predpokladame, ze tento tenzor je diagonalnı (naprıklad pro kubicky krystal)

Wij =nk0TC

2δij =

W

3δij, (5.42)

pricemz W = 32nk0TC je hustota energie za predpokladu, ze driftova slozka je mala, a TC

je teplota nosicu. Oznacıme-li I tenzor identity, lze psat

je = eµenE + 2µe∇ ·W =

= eµenE + µe∇ · 2W =

= eµenE + µe∇ · nk0TCI. (5.43)

Drift-difuznı rovnice tedy znı

je = eµenE + µek0TC∇n + µek0n∇TC. (5.44)

Prvnı clen odpovıda driftu elektrickym polem, zatımco druhy je dusledek difuze. Tretıclen odpovıda pohybu v dusledku gradientu teploty. V souvislosti s touto rovnicı se zavadıdifuznı koeficient De

De =k0TCe

µe (5.45)

a Soretuv koeficient S

S = nµe

(k0e

)

. (5.46)

5.4 Celkova proudova hustota

Nynı zapocıtame do nasich uvah krome elektronu jeste dıry, dostavame

jedrift = enµeE, jhdrift = epµhE, (5.47)

jedif = −eJe = eDe∇r n, jhdif = eJh = −eDh∇r p. (5.48)


Z poslednıch dvou vztahu plyne prvnı Fickuv zakon pro elektrony

Je = −De∇r n (5.49)

a pro dıryJh = Dh∇r p. (5.50)

Pro celkovou proudovou hustotu platı

j = je + jh, (5.51)

pricemz

je = eµenE + eDe∇n, (5.52)

jh = eµhpE − eDh∇p. (5.53)

V prıpade nehomogennıho polovodice, ve kterem existuje vnitrnı pole E∗ (kompenzovanegradientem koncentrace nosicu), je celkovy proud nulovy. Pak

eµenE∗ + eDe∇n = 0. (5.54)

Vyjadrıme-li ∇r n v zavislosti na E∗, tj. odvodıme-li Einsteinuv vztah vyjadrujıcı ekvi-valenci koncentracnıho gradientu a elektrickeho pole, tedy

∇xn =dn

dx= NCe

EFkTdEFdx

1

kT=ne

kT

dUF

dx= − ne

kTE∗

x, (5.55)

muzeme x-ovou slozku rovnice (5.54) psat jako

eµenE∗x + eDe∇xn = 0, (5.56)

eµenE∗x −

ne2De

kTE∗

x = 0, (5.57)

De =kT

eµe. (5.58)

Podobne muzeme postupovat i v prıpade der. Pak dostaneme

Dh =k0TCe

µh. (5.59)

To je zcela v souladu s puvodnımi definicemi difuznıch koeficientu.

5.5 Elektrony a dıry v nerovnovaznem stavu

Jestlize je v termodynamicke rovnovaze koncentrace elektronu n0 a der p0, muzeme docılitodchylky od teto rovnovahy vnejsım zpusobem (napr. absorbcı svetla), pricemz je za-chovana elektricka neutralita. Fotoelektricka generace znamena vytrzenı elektronu z va-lencnıho pasu do vodivostnıho pasu, pricemz vznikajı pary elektron-dıra bez porusenı elek-tricke neutrality. Pri konstantnım osvetlenı se po urcite dobe vytvorı novy rovnovazny


stav s nadbytecnou koncentracı nosicu. Pro odchylku od termodynamicke rovnovahy prizachovanı nabojove neutrality platı

∆n = n− n0 n = n0 +∆n,

∆p = p− p0 p = p0 +∆p, (5.60)

kde

n0, p0 — rovnovazny stav

∆n,∆p — odchylka od rovnovahy

a ∆n = ∆p, naprıklad v dusledku absorpce svetla.Nejdrıv se zamerıme na rekombinaci. Necht’ g vyjadruje vzdy prıtomnou termickou

generaci. Nadbytecna koncentrace nosicu se casem zmenı zvysenou rekombinacı R > g.

−d∆n

d t= R− g = rnp− rn0p0 = r(np− n2

i ),

−d∆n

d t= r[(n0 +∆n)(p+∆p)− n2

i ] =

= r[(n0p0 + n0∆p+ p0∆n+∆n∆p)− n2i ], (5.61)

kde ni je intrinzicka koncentrace (v rovnovaze). Predpokladame polovodic typu P. Zde jep0 ≫ n0 > ∆n = ∆p (v prıpade slabe generace). Z toho vidıme

−d∆n

d t= rp0∆n,

ln∆n = −rp0t+ C,

n = ∆n(0) exp

[

− t

τc

]

, τc =1

p0r, (5.62)

τc je doba zivota nadbytecnych minoritnıch nosicu proudu. Je zrejme, ze navrat k termo-dynamicke rovnovaze probıha podle exponencialnı funkce, a to ihned po skoncenı vnejsıhovlivu, ktery odchylku od rovnovahy zpusobil. Hovorıme o dobe zivota nadbytecnych mino-ritnıch nosicu proudu, ackoliv po celou dobu platı ∆n = ∆p. Duvodem je to, ze odchylkaod rovnovahy je pro majoritnı nosice zanedbatelna ve srovnanı s rovnovaznou koncentracıa v experimentech se nikterak neprojevı. Jestlize vnejsı vliv zpusobujıcı odchylku od rov-novahy pusobı trvale (stacionarnı stav), vytvorı se novy rovnovazny stav. V tomto prıpadeale soucin n.p > n2

i a Fermiho energie prestava mıt vyznam strednı energie spolecnehosouboru elektronu a der. Pro popis takoveho systemu je treba zavest tzv. zdanlive (kvazi)Fermiho energie zvlast’ pro soubor elektronu a der. Tyto kvazienergie pak vystupujı v drıveodvozenych vztazıch pro koncentrace nosicu.


0 t

∆n(0)

n0

n

Obrazek 5.1: Ustalenı koncetrace nosicu

5.5.1 Difuznı delka minoritnıch nosicu

Pri zvysenı koncentrace nadbytecnych nosicu v tenke vrstve u povrchu polovodice se tytosırı difuzı do hloubky. Samotna trvala generace od fotonu (G) probıha jen u povrchu. Vevzorku je jen termicka generace (g).

∂n

∂t= G− R−∇ · je = G− R +

1

e∇ · je. (5.63)

V objemu polovodice (tedy mimo povrchovou vrstvu) je G = g, R = R0 + R′, R0 = g =rn0p0, R

′ je prıspevek rekombinace nadbytecnych nosicu

R′ = rp0∆n =∆n

τpro typ P, (5.64)

∂n

∂t= −∆n

τ+

1

e∇ · je. (5.65)

Ve stacionarnım stavu (za staleho svıcenı) je ∂n∂t

= 0

∆n

τ=

1

e∇ · je =

1

e

d jed x

, (5.66)

je(x) = eDedn

d xprvnı Fickuv zakon, (5.67)

⇒ ∆n

τ= Dn

d2 n

d x2difuznı rovnice. (5.68)

Z toho lze spocıst mıstnı rozlozenı koncentrace minoritnıch nosicu.Resenı je ve tvaru

∆n = C1 exp

(x√Deτe

)

+ C2 exp

( −x√Deτe

)

,

∆n = 0, x→ ∞ (tlusty vzorek) ⇒ C1 = 0,

∆n0 = konst ⇒ C2 = ∆n0,

∆n = ∆n0 exp

( −x√Deτe

)

. (5.69)


Nadbytecna koncentrace elektronu klesa exponencialne z povrchu do hloubky.Velicina

Le =√

Deτe (5.70)

se nazyva difuznı delka elektronu v polovodicıch typu P (obdobne pro typ N — Lh =√Dhτh). Vzdy se vztahuje k minoritnım nosicum.Pusobı-li soucasne elektricke pole E, pohybujı se elektrony rychlostı vDe = µeE —

driftova rychlost

vD =l

t(5.71)

Je-li v dobe t = τ , l(x) = µEτ — driftova delka.

5.6 Poissonova rovnice

Je to dalsı rovnice jejız resenı potrebujeme brat v uvahu, jestlize se v polovodici nachazıprostorovy naboj (dalsı jsou: rovnice kontinuity a drift-difuznı rovnice).

V prıpade vstrikovanı majoritnıch nosicu do polovodice nebo v prıpade existence nepo-hyblivych nekompenzovanych naboju ionizovanych prımesı se vytvorı oblast prostorovehonaboje a s nı spojene elektricke pole.

Zakladnı vztah spojujıcı naboj Q s elektrickym polem E je

D = ε0εrE D =Q

A, (5.72)

kde A je plocha.V mıste x mejme naboj Q(x) na plose A, v mıste x+ dx je pak naboj Q(x+ dx). Pro

zmenu D ve smeru x pak platı

D(x+ d x)−D(x)

(x+ d x)− x=

1

A

Q(x+ d x)−Q(x)

(x+ d x)− x, (5.73)

dD

d x=

1

A

dQ

d x=

∆Q

∆V= ρ, (5.74)

kde ρ je hustota prostoroveho naboje

ρ = −e(p− n +N−A −N+

D ) (5.75)

dD

d x= ε0εr

dE

d x= ρ. (5.76)

Obecne

∇ ·D = ρ, (5.77)

∇ · ∇r ϕ = − ρ

ε0εr= ∆ϕ. (5.78)


Elektricke pole spojene s prostorovym nabojem hustoty ρ zpusobı jeho rozplynutı∼ exp[ tτrel

],kde τrel je tzv. dielektricka relaxacnı doba.

τrel — vybıjecı doba kondenzatoru (kapacity C). Uvazujme jej jako krychlicku o hranea:

RC =1

σ

a

a2ε0εr

aL

a=ε0εrσ

= τrel. (5.79)

C = Sε0a, S = a2 (5.80)

5.7 Pohyb nosicu proudu v homogennım polovodici

Intenzita elektrickeho pole E je definovana jako zaporny gradient potencialu

C = Sε0a, S = a2 (5.81)

E = −∇r φ, (5.82)

a sıla pusobıcı na elektron jeF = −eE, (5.83)

Celkova energie elektronu je dana souctem kineticke a potencialnı energie; potencial jeurcen az na libovolnou aditivnı konstantu.

w =p2

2me− eU, (5.84)

Pro snazsı zapamatovanı je mozne si osvojit nasledujıcı nazornou predstavu (obr. 5.2):

• elektrony jsou kulicky, ktere se koulejı po naklonene plose dolu;

• dıry jsou bublinky, ktere plavou v kapaline po naklonene plose nahoru;

• kladny smer potencialu je smerem dolu(!).

Smer elektrickeho pole je od plus k minus. tj. smer pusobıcı sıly je pro zaporny elektronopacny nez smer pole E. Mıstnı rozdıl EF na koncıch polovodice odpovıda prilozenemunapetı, EF = eU .

5.7.1 Vedenı proudu ve vakuu

Ackoliv elektron ve vakuu nenı brzden srazkami jako v polovodici, je v dusledku pusobenıoblasti prostoroveho naboje vodivost v tomto prıpade jeste mensı nez v polovodici. Z resenıPoissonovy rovnice plyne Schottky-Langmuiruv zakon

I =8

9Aε0

( e

2m

) 12 U

32

w2, (5.85)

kde w je vzdalenost mezi anodou a katodou.


homogennı PV

++

+

−−−−+ E

I

U

EF

Ev

Ec eU

Obrazek 5.2: Pohyb nosicu v homogennım elektrickem poli

5.7.2 Vedenı proudu v izolantu

V izolantu dochazı na rozdıl od vakua navıc ke srazkam, takze

vx = µEx =w

t(5.86)

t =w

µEx=w2

µU, ⇐ U = Exw (5.87)

kde w je delka krystalu. Preneseny naboj je tedy

Q = CU = ε0εrA

wU, (5.88)

I =Q

t= ε0εr

A

wUµU

w2= ε0εrAµ

U2

w3, (5.89)

⇒ I ∼ U2

w3je tzv. Childuv zakon (5.90)

5.8 Ambipolarnı pohyblivost

Upravami drift-difuznı a Poissonovy rovnice je mozne dospet k definici tzv. ambipolarnıpohyblivosti a ambipolarnı difuznı delky. Tyto veliciny popisujı situaci, kdy polovodic nenıani silny p-typ ani n-typ, tj. proud je ovlivnovan i minoritnımi nosici. Drift-difuznı rovnice:

je = enµeE + eDe∇r n, (5.91)

jh = enµhE − eDh∇r n. (5.92)

Rovnice kontinuity:

∂n

∂t= G−R +

1

e∇ · je, (5.93)

∂p

∂t= G−R− 1

e∇ · jh. (5.94)


Po dosazenı (je, jh vyloucıme)

∂n

∂t= G− R + µe∇ · (nE) +De∇ · ∇r n, (5.95)

∂p

∂t= G− R− µh∇ · (pE) +Dh∇ · ∇r p, (5.96)

∆n = ∆p (5.97)

Dale studujeme jen nadbytecnou koncentraci, ∇ · (nE) = ∇r nE + n∇ ·E

∂∆n

∂t= G−R + µeE∇r (∆n) + µe∆n∇ ·E +De∇ · ∇r (∆n), (5.98)

∂∆n

∂t= G−R− µhE∇r (∆n)− µh∆n∇ ·E +Dh∇ · ∇r (∆n), (5.99)

∇ ·E =

(∂∆n

∂t−G− R− µeE∇r (∆n)−De∇ · ∇r (∆n)

)

·(

1

µen

)

, (5.100)

∇ ·E =

(∂∆n

∂t−G+R − µhE∇r (∆n)−Dh∇ · ∇r (∆n)

)

·(

− 1

µhp

)

, (5.101)

porovnanım dostavame

∂∆n

∂t=

1(

1µen

+ 1µhp

) ·[(

1

µen+

1

µhp

)

(G− R) +1

nE∇r (∆n)

− 1

pE∇r (∆n) +

1

µenDe∇ · ∇r (∆n) +

1

µhpDh∇ · ∇r (∆n)

]

=

= G− R +(p− n)µeµh

µhp+ µenE · ∇r (∆n) +

µhpDe + µenDh

µhp+ µen∇ · ∇r (∆n) =

= G− R + µ∗E · ∇r (∆n) +D∗∇ · ∇r (∆n), (5.102)

kde

D∗ =(p+ n)DeDh

Dhp +Den, (5.103)

n∗ =(p− n)µeµh

µhp+ µen, (5.104)

Dh =kT

eµh, (5.105)

De =kT

eµe, (5.106)

(5.107)

µ∗ je ambipolarnı pohyblivost a D∗ ambipolarnı difuznı konstanta.


5.9 Vliv rekombinacnıch center— Schockleyuv-Readuv

model

Ucinnost rekombinace pres prımesove centrum je primarne urcena pravdepodobnostı zachytuelektronu nebo dıry tımto centrem. Tato pravdepodobnost vsak neurcuje pravdepodobnostrekombinace jednoznacne. Pro zachyceny elektron (dıru) mohou nastat dve moznosti —bud’ muze rekombinovat s volnou dırou (elektronem), nebo muze byt vracen zpet do vodi-vostnıho (valencnıho) pasu termalnım pohybem. V prıpade, ze zachytne prurezy elektronua der jsou blızke, centrum se chova jako rekombinacnı, protoze elektron nemusı cekat nadıru a naopak a dojde rychle k jejich rekombinaci. V prıpade, ze jsou zachytne prurezyvyrazne odlisne, chova se centrum jako past. Je-li napr zachytny prurez pro elektrony vetsınez pro dıry, je vetsı pravdepodobnost, ze se elektron vratı termalnım pohybem do vo-divostnıho pasu, nez ze rekombinuje s dırou. Takove centrum se chova jako elektronovapast.

Zavedeme nektere pojmy potrebne pro kvantitativnı popis uvedeneho modelu:

• Se — zachytnı prurez pro elektrony, [cm2]

• Sh — zachytnı prurez pro dıry, [cm2]

• Et — energie centra, [eV]

• Nt — koncentrace center, [cm−3]

• nt — koncentrace elektronu na centrech, [cm−3]

Mıra zachytu elektronu na centru je

γe(Nt − nt)n, [(cm s)−1], γe = Seve [cm3 s−1], (5.108)

ve je rychlost elektronu. Mıra zachytu dıry na centru je (zachycujı se na centrech obsazenychelektrony)

γh(Nt − nt)n, γh = Shvh (5.109)

vh je rychlost dıry.Doba zivota volneho elektronu z pohledu zachytu na centru

τet =1

γe(Nt − nt), [s] (5.110)

To same pri pohledu na dıry

τht =1

γh(Nt − nt)(5.111)

Dale uvazujeme termodynamickou rovnovahu, n0 — koncentrace rovnovaznych elek-tronu

dn0

d t= αent0 − γen0(Nt − nt0) (5.112)


+

6

5

4

3

21

++

− −

Ev

Et

Ec

−−

Obrazek 5.3: Pasovy model rekombinace s hlubokymi rekombinacnımi centry 1-vnejsı gene-race, 2-zachyt elektronu na centru, 3-zachyt dıry na centru, 4-uvolnovanı elektronu z centra,5-uvolnovanı dıry z centra, 6-mezipasova rekombinace

αe je pravdepodobnost uvolnenı elektronu z centra do vodivostnıho pasu, γe(Nt − nt) jepravdepodobnost zachytu elektronu na centru.

V rovnovaze dn0

dt= 0

nt0 =Nt

αe

γen0+ 1

(5.113)

soucasne platı

nt0 = Ntf =Nt

1 + exp[Et−EF

kT

] , (5.114)

⇒ αe = γen0 exp

[Et −EF

kT

]

, n0 = Nc exp

[EF

kT

]

, (5.115)

αe = γeNc exp

[Et

kT

]

, (5.116)

αent = γentNc exp

[Et

kT

]

= γentn1, (5.117)

αh(Nt − nt) = γh(Nt − nt)Nv exp

[−Et + Eg

kT

]

= γh(Nt − nt)p1. (5.118)

Dale platı

dn

d t= G+ γentn1 − γn(Nt − nt), (5.119)

d p

d t= G+ γh(Nt − nt)p1 − γpnt, (5.120)

dn

d t= γen(Nt − nt)− γentn1 + γh(Nt − nt)p1 − γhpnt, (5.121)

∆n+∆nt = ∆p (5.122)

Dle zachytneho prurezu rozeznavame

• Se ≈ Sh — rekombinacnı centrum


• Se > Sh — past pro elektrony

• Se < Sh — past pro dıry

Vsechny hladiny pod Fermiho mezı jsou obsazene a proto pusobı jako pasti der. Hladinynad Fermiho mezı jsou prazdne, a proto majı vysokou pravdepodobnost zachytu elektronu(elektronova past).

Kapitola 6

Nehomogennı polovodicove systemya polovodicove struktury

6.1 Slabe nehomogennı polovodic

Doposud jsme predpokladali existenci homogennıho polovodice, kde rozlozenı prımesı bylov objemu studovaneho vzorku rovnomerne. Dale se zamerıme na situaci, kdy rozlozenıprımesı je funkcı prostorove souradnice.

Predpokladejme, ze se koncentrace donoru menı podel osy x. Pak platı

n(x) = Nceη ni = Nce

ηi ,

η =EF

kTηi =

Ei

kT,

n(x) = nieη−ηi ,

lnn

ni= η − ηi =

EF −Ei

kT= Ψ,

⇒ U =kT

eΨ, (6.1)

Ψ je tzv. redukovany potencial. Definujme si: n/ni = n — redukovana koncentrace (po-dobne p = p/ni)

Ψ = lnn = − ln p (6.2)

Tato rovnice vyjadruje tzv. Boltzmannovu rovnovahu elektronu a der. Pro elektricke poleplatı

E = −kTe∇r Ψ =

kT

e

1

n∇r n =

kT

e

1

p∇r p (6.3)

V kazdem nehomogennım polovodici tedy existuje vnitrnı elektricke pole. Elektricky proudpritom netece, protoze Fermiho energie je vsude stejna. Elektricke pole tedy kompenzujedifuznı proud, ktery by mel byt prıtomen v dusledku gradientu koncentrace. (Protoze setam vyrovnava difuznı a driftovy proud.)

87

KAPITOLA 6. NEHOMOGENNI SYSTEMY 88

V prıpade existence prostoroveho naboje pak podle Poissonovy rovnice platı

∆U = − Q

ε0εr⇒ ∆Ψ = − Q

ε0εr

e

kT= − 1

L2i

(p− n+N), (6.4)

kde

N =ND −NA

nia L2

i =ε0εrkT

e2ni(6.5)

je tzv. intrinzicka Debyeova delka.

6.2 Prechod P–N

Krystal ma oblast s vodivostı typu N, na kterou navazuje oblast s vodivostı typu P(obr. 6.1). Fermiho energie (EF ) v krystalu typu N je vyse nez v typu P. Po spojenı(myslenkovem) musı byt EF vsude stejna - proud netece. Toho se dosahne tım, ze

1. cast elektronu z typu N prejde do typu P (gradient koncentrace);

2. cast der z typu P prejde do typu N (gradient koncentrace);

3. v dusledku techto prechodu vznika kladny prostorovy naboj v typu N (nekompenzo-vane donorove ionty) a zaporny v typu P (??? akceptorove ionty);

4. vznikle elektricke pole zabrani dalsı difuzi nosicu;

5. v dusledku vyrovnanı EF vznika mezi castı N a castı P potencialovy schod eVD, kdeVD je tzv. difuznı napetı.

U =kT

eΨ+ konst =

kT

elnn + konst, (6.6)

VD = U2 − U1 =kT

e(lnn2 − n1) =

kT

elnnn0

np0=kT

elnpp0pn0

. (6.7)

6.2.1 Voltamperova charakteristika idealnıho prechodu P–N

Po prilozenı vnejsıho zdroje napetı na prechod P–N (kladne napetı na P, zaporne na N)dojde ke snızenı difuznıho napetı na hodnotu (VD − U). V dusledku toho se zvysı difuznıproudy elektronu na stranu P a der na stranu N. Oblast prostoroveho naboje je zaplavenanosici a proud prochazı v prımem smeru. V zavernem smeru (kladne napetı na N, zapornena P) jsou majoritnı nosice odpuzovany od prechodu a proud temer neprochazı.

1. Propustny smer (”+”na typ P, ”-”na typ N)

• elektrony z N jsou pretazeny do P;


+

− − −

+ + + +

−−−−

+++

−

+++ +

+++

− − −

−−−−−

+

xb

eVD

EF

jp dif jp drift

jn difjn drift

NP

c)b)a)

NP

EF

Ei

Ec

EvEF

EiEi

Obrazek 6.1: Vznik prechodu pn

• dıry z P jsou pretazeny do N;

• dochazı k injekci nosicu;

• oblasti prostoroveho naboje jsou zaplaveny nosici;

• injektovane nosice jsou mensinove (elektrony v P, dıry v N);

• rekombinujı s majoritnımi nosici

• zijı prumerne cas τ , coz je doba zivota mensinovych nosicu;

• pronikajı prumerne do vzdalenosti difuznı delky.

2. Zaverny smer

• elektrony v N i dıry v P jsou odpuzovany od prechodu, prochazejı pouze proudyminoritnıch nosicu (elektrony z P do N, dıry z N do P);

V rovnovaze (bez vnejsıho napetı) je difuznı napetı rovno

VD =kT

eln

(nn0

np0

)

=kT

elnpp0pn0

. (6.8)


V prımem smeru platı

VD − U =kT

elnp1p2, (6.9)

p1p2

= exp

[e(VD − U)

kT

]

=pp0pn0

exp

(eU

kT

)

, (6.10)

p1 = pp0 +∆p1, (6.11)

p2 = pn0 +∆p2, (6.12)

p2p1

=pp0 +∆p2pn0 +∆p1

=pn0pp0

exp

(eU

kT

)

, (6.13)

pp0 ≫ ∆p1 ⇒ p2 = pn0 exp

(eU

kT

)

, (6.14)

∆p2 = pn0

[

exp

(eU

kT

)

− 1

]

(6.15)

Analogicky dostavame

∆n2 = np0

[

exp

(eU

kT

)

− 1

]

(6.16)

Koncentrace injektovanych nosicu zavisı na napetı na prechodu a na rovnovazne koncent-raci mensinovych nosicu, kam se vstrikujı.

Za prechodem se mensinove nosice pohybujı difuzı. 1. Fickuv zakon rıka

je = −eDe∇r (∆n) = −eDed (∆n)

d x, (6.17)

∂n

∂t= G−R +

1

e∇ · je. (6.18)

Ve stacionarnım stavu je ∂n∂t

= 0 i G = 0. Je tedy R = ∆nτ

a

1

e

∆je∆x

=∆n

τ(6.19)

Z toho dostaneme difuznı rovnici

∆n

τ= De

d2 n

d x2⇒

∆n = Deτd2 n

d x2= L2

e

d2 n

d x2,

Le =√

Deτe. (6.20)

Resenı difuznı rovnice pro tlusty krystal je

∆n = ∆n1 exp

(

− x

Le

)

,

je = −eDed (∆n)

d x=eDe

Le∆n1 exp

(

− x

Le

)

=eDe

Le∆n. (6.21)


Pro dıry platı analogicke vztahy. Celkove je proudova hustota

j = je + jh = e

[De

Le∆n +

Dh

Lh∆p

]

= e

[De

Lenp0 +

Dh

Lhpn0

] [

exp

(eU

kT

)

− 1

]

,

⇒ I = A · j = I0

[

exp

(eU

kT

)

− 1

]

(6.22)

Tato rovnice je voltamperovou charakteristikou diody.

6.3 Kontakt kov-polovodic (M–S)

Kontakt kov-polovodic predstavuje zakladnı strukturu pri kazde konstrukci polovodivychsoucastek. Obecne delıme kontakty do dvou skupin - usmernujıcı a ohmicke. Ohmickekontakty neomezujı na rozdıl od usmernujıcıch proud v zavislosti na jeho smeru. Naprotitomu usmernujıcı (Schottkyho) kontakty obsahujı potencialove bariery generujıcı oblastprostoroveho naboje v polovodici, a tak branı toku proudu v jednom smeru. To vede kasymetricke V-A charakteristice kontaktu.

Kontakt kov-polovodic:Usmernujıcı kontakt—Pozorovan 1874 (Braun). Teorii navrhli v roce 1938 Schottky,

Mott a Davis.

Pro pochopenı teorie je nutne zavest tyto velicny:

1. Kov

• φM — vystupnı prace elektronu z kovu

2. Polovodic

• χ — Elektronova afinita — prace potrebna k prenesenı elektronu na lokalnıhladinu vakua Evac

• φS — Vystupnı prace elektronu z polovodice

• φB = φM − χ — Potencialova bariera

• φK — Difuznı potencial. Vytvoren pot. nabojem sırky χB a zakrivenım pasupro zachovanı podmınky el. neutrality.

φK = eVD

φK = φM − φ = φ− (χ+ εF )


Ec

EFS

Ev

EF

ΦS − χΦM

ΦSχEvac

PVkov

Obrazek 6.2: Pasove schema kovu a polovodice typu N pred spojenım

6.3.1 Kontakt M–S s polovodicem typu N

V prıpade, zeφM > φS (6.23)

∆ESM — energeticka bariera z kovu do polovodice. Je definovana jako energetickyrozdıl mezi EFM na rozhranı a nejvyssı hodnotou EC (pro n-typ), resp. nejnizsı hodnotouEV (pro p-typ) v polovodici.

−

−

−

+

++

E ′v

Evac

2 – ΦM − ΦS

2E ′

c

1 – ∆EMS = ΦM − χ

1

ΦSχ

ΦS − χ

Ec

Ev

kov PVEvac

ΦM

EF

EFS

Obrazek 6.3: Pasove schema kovu a polovodice typu N po spojenı

∆EMS — energeticka bariera z polovodice do kovu. Definujeme ji jako energeticky rozdılmezi nejnizsı a nejvyssı hodnotou EC (pro n-typ), resp. nejnizsı a nejvyssı hodnotou EV

(pro p-typ)∆ESM = φM − φS > 0

∆EMS = φM − χ > 0

Elektrony tecou z polovodice do kovu. Jedna se o Schottkyho diodu. V prıpade, ze

φM < φS (6.24)


prechazejı elektrony z kovu do polovodice. V dusledku toho vznika vrstva elektronu podkontaktem. Mezi polovodicem a kovem nenı zadna bariera a vznika ohmicky kontakt.

6.3.2 Kontakt M–S s polovodicem typu P

φM > φS (6.25)

kov PVEvac χ ΦS

ΦM

EFEv

EFS

EcEg

Obrazek 6.4: Pasove schema kovu a polovodice typu P pred spojenım

Nastava stejna situace jako pro N-typ pri φM < φS. Vznika ohmicky kontakt.

φM < φS (6.26)

2

kov PVEvac

χ ΦSΦM

EF

Ev

EFS

EcEg1

1 – ∆EMS = ΦM − (χ+ Eg)

2 – ∆ESM = (χ+ Eg)− ΦS

+

Obrazek 6.5: Pasove schema kovu a polovodice typu P po spojenı

Nastava stejna situace jako pro N-typ pri φM > φS. Vznika Schottkyho dioda.

Kapitola 7

Elektron v magnetickem poli

7.1 Klasicky pohled

Vyjdeme nynı z Newtonova zakona:

m∗e

dv

dt= −e [v ×B] (7.1)

kde m∗ev = ~k a E(k) = ~2k2

2m∗e. Dale pak v = 1

~∇k E(k) a |ez| = 1. Uvazujeme magneticke

pole ve smeru osy z. Tedy B = (0, 0, B). Potom:

~dkzdt

= ez (vxBy − vyBx) = 0 (7.2)

Z cehoz plyne ze kz = konst a

dE(k)dt

= ∇k E · dkdt

= ∇k E · 1~(−e [v ×B]) = 0 (7.3)

Tedy E(k) = konst.V k prostoru se pohybuje elektron po krivce (kruznice), kterou dostaneme jako prusecık

plochy konstantnı energie (koule) s rovinou kz = konst. (tj. v rovine || s (kxky)). V rovine(kxky) pro jednoduchost volıme kz = 0. Pak:

~dl

dt= −evB (7.4)

kde v =√v2x + v2y . Pro kruznici je vy = vx.

Jestlize trajektorie je uzavrena krivka, potom pro periodu obehu elektronu Te platı

Te =

∮

dt =~

eB

∫dl

v(7.5)

S =

∫∫

dkxdky =

∫∫

dldk⊥ (7.6)

94

KAPITOLA 7. ELEKTRON V MAGNETICKEM POLI 95

0

k = 1~(2m∗

cE0)1/2

E0 = konst

B

kx

ky

kz

Obrazek 7.1: Trajektorie elektronu v magnetickem poli

kde dk⊥ je element normaly kdl. Ze vztahu

v =1

~

dEdk

(7.7)

si vyjadrıme dk:

dk =1

~vdE (7.8)

Po dosazenı do (7.6) dostavame

S =1

~

∫∫1

vdldE =

1

~

∫

dE∮

dl

v(7.9)

Tedy

dS =1

~dE∮dl

v(7.10)

Upravou a porovnanım s (7.5) dostavame

~dS

dE =

∮dl

v= Te

eB

~(7.11)

Platı S = πk2 = π · 2m∗e

~2E , tedy dS

dE = π · 2m∗e

~2

Porovnanım s (7.11) dostavame

π · 2m∗e

~2=TeeB

~2(7.12)

Z (7.12) plyne

m∗e =

TeeB

2π(7.13)


Pokud si definujeme ωc vztahem ωc =2πTe

dostaneme vysledny vztah

ωc =eB

m∗e

(7.14)

Pro m∗e = −0.1m0 a B = 15 je cyklotronova frekvence f = 2.78× 1011Hz

Jestlize urcıme ωc muzeme stanovis m∗e . Merenım m∗

e pri libovolnem disperznım zakoneE = E(k) a pri ruznych orientacıch magnetickeho pole B vuci krystalu lze stanovit tvarplochy E(k) = konst.

Cely problem resıme pro prıpad, ze oprava k rozdelovacı funkci elektronu je velmi mala:f1 << f0. Proto je system po vypnutı polı v rovnovaze jiz po nekolika srazkach (popsanfunkcı f0). Znamena to, ze relaxacnı doba τ je radove rovna dobe volneho pohybu elektronumezi srazkami τ0.

Pro strednı volnou drahu elektronu tedy platı

< l > =< v > τ0 (7.15)

τ0 ≈ τ = τ(v) = τ(E) (7.16)

< v > je strednı tepelna rychlost elektronu.

< v >=

∫∞0(−∂f0

∂x)vx3/2dx

∫∞0(−∂f0

∂x)x3/2dx

(7.17)

kde

x =Ek0T

a

E =~2k2

2m∗e

tedy

x =~2

2m∗ek0T

· k2

Vyjadrıme k:

k2 =2m∗

ek0T

~2· x

pak

k =

√

2m∗ek0T

~2· x1/2

Ze vztahu pro rychlost m∗ev = ~k pak dostaneme

v =

√

2k0T

m∗e

· x1/2 (7.18)


Dosazenım do (7.17) dostavame

< v >=

√

2k0T

m∗e

·∫∞0

(−∂f0

∂x

)x2dx

∫∞0

(−∂f0

∂x

)x3/2dx

(7.19)

Coz je

< v >=

√

2k0T

m∗e

· F2(η)

F3/2(η)(7.20)

Pro prıpad nedegenerovaneho plynu

(−∂f0∂x

) = eη−x = eηe−x

f0 = eη−x

Potom

< v >=

√

2k0T

m∗e

· eη

eη·∫∞0x2e−xdx

∫∞0x3/2e−xdx

(7.21)

S uvazenım

Γ(r) =

∫ ∞

0

xr−1e−xdx

Γ(r + 1) = rΓ(r)

Γ(1/2) =√

(π)

Γ(j + 1) = j!

a dosazenım do (7.21) dostavame

< v >=

√

2k0T

m∗e

· Γ(3)

Γ(5/2)=

232· 12· √π ·

√

2k0T

m∗e

(7.22)

< v >=8

3·√

2k0T

m∗e

=4

3

√

8k0T

πm∗e

(7.23)

< v >= 2,62 · 106√Tcm/s (7.24)

Coz je vztah pro strednı tepelnou tychlost elektronu.

< v > = 5,24 · 106 cm/s pro T = 4 K

< v > = 4,54 · 107 cm/s pro T = 300 K


7.1.1 Elektron v magnetickem poli B 6= 0 a v elektrickem poli

E⊥B

Elektron pohybujıcı se v mrızi = volny elektron s efektivnı hmotoum∗e na ktery pusobı stala

sıla trenı F R smerujıcı proti jeho pohybu. Tato sıla zahrnuje srazky elektronu s rozpty-lovymi centry. Urcıme ji podle toho, jak rychle po vypnutı pole zrelaxuje rychlost elektronu.

Predp. ze rychlost v zrelaxuje jako funkce f1 (oprava k rozdelovacı funkci).

v = v0e− t

τ

v0 v case t = 0.dv

dt= −v

τ

Sıla trenı je dana vztahem

F r = m∗e

dv

dt= −m∗

e

v

τ(7.25)

Pri zapoctenı vlivu B a E

m∗e

dv

dt= −m∗

e

v

τ+ e (E + v ×B) (7.26)

ωc =eB

m∗e

Polozıme elektricke pole ve smeru osy x

E = E0eiωt

v = veiωt

x : m∗e(iω +

1

τ)vx = eEx + evyB

y : m∗e(iω +

1

τ)vy = −evxB

vy =1

eB[−eEx +m∗

evx(iω +1

τ)] (7.27)

vy =−evxB

m∗e(iω + 1

τ)

(7.28)

Dale pouzijeme nasledujıcıch vztahu pro elektricky proud

j = σEx = nevx

σ =nevxEx


ωc =eB

m∗e

eB = ωcm∗e

a upravıme

1

ωcm∗e

· [−eEx +m∗

evxτ

(1 + iωτ)] = − ωcm∗evxτ

m∗e(1 + iωτ)

eEx

ωcm∗e

− m∗evx

m∗eωcτ

(1 + iωτ) =vxωcτ

1 + iωτ

eEx

ωcm∗e

(1 + iωτ) = vx[ωcτ +1

ωcτ(1 + iωτ)2]

vxEx

=e

ωcm∗e

· 1 + iωτ1

ωcτ[ω2

cτ2 + (1 + iωτ)2]

vxEx

=eτ

m∗e

· 1 + iωτ

ω2cτ

2 + 1 + 2iωτ − (ωτ)2

vxEx

=eτ

m∗e

· 1 + iωτ

1 + (ω2c − ω2)τ + 2iωτ

σ =ne

Exvx =

ne2τ

m∗e

· 1 + iωτ

1 + (ω2c − ω2)τ + 2iωτ

σ = σ0 ·1 + iωτ

1 + (ω2c − ω2)τ 2 + 2iωτ

(7.29)

kde σ0 =ne2τm∗

e= neµ, µ = eτ

m∗e

Realna cast σ je dana vztahem

σRe = σ0 ·1 + ν2 + ν2c

(1 + ν2c − ν2)2 + 4ν2(7.30)

kde ν = ωτ , νc = ωcτ = µBAbsorbcnı koeficient elektromagnetickeho pole α je pak umerny α ∼ σRe

σ0

Pokud νc = ν pak nastava rezonance.Aby bylo mozno sledovat cyklotronovou rezonanci, musı byt splneno

< l >≫ r

vτ0 ≫v

ωc

τ0 ≫1

ωc

=m∗

e

eB


Z toho plyne podmınka

ωc < τ >≫ 1 tj. νc ≫ 1 (7.31)

a tedyµB ≫ 1 (7.32)

Silne magneticke pole

Ukazuje se, ze stacı, aby ωc < τ >≈ 3. Dale platı pro specialnı prıpady

1. E = E0 stejnosmerne pole; B = 0.Pak

σ = σ0

2. νc ≫ ν;νc ≪ 1 (nızkofrekvencnı pole E, slabe pole B)

σRe ≈ σ0(1− ν2c )

1

1 + ν2c≈ 1− ν2c

3. ν ≫ 1;νc = 0 (vysokofrekvencnı pole E, B = 0)

σRe = σ01

ν2

koeficient absorbce je umerny 1ν2

4. ν = νc ≫ 1;(cyklotronova rezonance, silne pole B)

σRe ≈ σ0 ·1

2

Elektricka vodivost je polovicnı.

Obecne je efektivnı hmota tenzor

mdv

dt+

mv

τ= e (E + v ×B) (7.33)

za predp. E = E0eiωt a v = veiωt

(

−iω +1

τ

)

mv = e (E + v ×B) (7.34)

Definujeme ω′ = ω + i 1τ

Pro jednoduchost predpokladejme (platı pro Ge,Si), ze efektivnı hmota ma pouze dia-gonalnı slozky.


[1

m

]

=

1m1

0 0

0 1m2

0

0 0 1m3

a B = (Bx, By, Bz) = B(α, β, γ)Potom

iω′m1vx + e(vyBz − vzBy) = 0

iω′m2vx + e(vzBx − vxBz) = 0

iω′m3vx + e(vxBy − vxBx) = 0

za predpokladu, ze E = 0Z toho dostavame, ze ∣

∣∣∣∣∣

iω′m1 eBγ −eBβ−eBγ iω′m2 eBαeBβ −eBα iω′m3

∣∣∣∣∣∣

= 0

Pro podmınku jasne rezonance (ωcτ ≫ 1) platı ω′ ≈ ωc. Muzeme proto polozit ω = ω′ = ω0.Z toho plyne

ωc =eB

m∗ = eB

√

m1α2 +m2β2 +m3γ2

m1m2m3(7.35)

kde m∗ je tzv. cyklotronova hmota.Promerenı cyklotronove rezonance v zavislosti na magnetickem poli a na smeru B

slouzı k analyze pasove struktury. Jak z merenı cyklotronove rezonance, tak z teoretickychvypoctu bylo zjisteno, ze minima vodivostnıho pasu Ge se nachazejı v L bode (smer <111 >, hranice BZ), minima vodivostnıho pasu Si jsou v ∆ bode (15% od X bodu — smer< 100 >).

Pokud tyto osy vezmeme jako hlavnı osy k — vektoru a polozıme k = 0 na dnovodivostnıho pasu, dostaneme

E =~2

2mt· (k2x + k2y) +

~2

2mek2z (7.36)

Pomocı kp aproximace se zapoctenım spin — orbitalnı interakce dostaneme

E(k) = − ~2

2m0[Ak2 ∓

√

B2k4 + C2(k2xk2y + k2xk

2z + k2yk

2z)] (7.37)

kde A,B,C jsou konstanty, ktere lze zıskat teoreticky i experimentalne. Izoenergetickeplochy nejsou koule — nazyvajı se deformovane koule.

Pri volbe polarnı osy ve smeru kz a po vystredovanı uhlovych zavislostı dostaneme

E1 ≈ −~2k2

2m0(A∓

√

B2 +C2

5) (7.38)


coz lze psat jako

E1(k) ≈ −~2k2

2m1

(7.39)

E2(k) ≈ −~2k2

2m2

(7.40)

kde efektivnı hmoty

m1 = mhh∗ = −A−√

B2 +C2

5

pro tezke dıry a

m2 = mhh∗ = −A +

√

B2 +C2

5

pro lehke dıry.

7.2 Elektron v magnetickem poli — kvantove efekty

Dale se budeme zabyvat prıpadem silneho magnetickeho pole — νc ≫ 1 a µB ≫ 1Platı νc = ωcτ a ωc = eB

m∗e. Pak tedy ωc > k0T a eB

m∗ek0

> T . Pro m∗e = 0.1m0 pak

B > 4.2T . Pohyb elektronu v magnetickem poli na zaklade kvantove mechaniky vysetrilv roce 1930 Landau.

Pro kvantovy popis vyjdeme ze zakladnıch vztahu kvantove mechaniky.

Hψ = Eψp = i~∇r

aB = ∇×A

Hamiltonian je dan vztahem( neuvazujeme spin)

H =1

2m∗e

(p+ eA)2 (7.41)

Zde A je vektorovy potencial magnetickeho pole B = (0, 0,B). Zvolıme kalibraci A =(0, Bx, 0).

Po upravach operatoru H dospejeme k rovnici

ψ(r) = ϕ(x)e−i(kyy+kzz) (7.42)

− ~2

2m∗e

d2ϕ

dx2+

1

2m∗

eω2c (x− x0)

2ϕ = ENϕ (7.43)

kde x0 = − ~kyωcm∗

ea EN = E − ~

2k2z2m∗

eCoz je rovnice linearnıho harmonickeho oscilatoru.


N = 0

0

E0 = konst

B

N = 1

kx

ky

kz

Obrazek 7.2: Magneticke kvantovanı sfericke plochy konstantnı energie v k-prostoru nadiskretnı, koncentricke valce s osami paralelnımi se smerem magnetickeho pole

Platı

rotxA =∂Ax

∂y− ∂Ay

∂z

rotyA =∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

rotzA =∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

Jelikoz A = (0, Bx, 0) a B = rotA platı

B =∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y=∂Ay

∂x(7.44)

Potom

ϕ(x− x0) =1√RB

HN

(x− x0R

)

exp

[

−1

2

(x− x0R

)2]

(7.45)

Kde HN je Hermituv polynom stupne N, EN =(N + 1

2

)~ωc a R =

(~

eB

)1/2je tzv. magne-

ticka delka. x0 = −R2kyUvazujme standartnı zonu pro elektrony.

v r-prostoru platı

B = (0, 0, B) (7.46)


E⊥ =1

2m∗

ev2⊥ =

1

2m∗

eω2cr

2

E = (N +1

2)~ωc +

~2

2m∗e

k2z

E⊥ = (N +1

2)~ωc

1

2m∗

eω2cr

2 = (N +1

2)~ωc

PotomrN = (2N + 1)1/2R,N = 0.1.2

r0 = R,r1 =√3R, r2 =

√5R.

Rovina z = konst.. Ve smeru osy z je elektron volny. vz =~

m∗ekz.

V rovine (xy) jsou elektrony na orbite r0 az rmax. Pri prechodu z orbity na orbitu jetreba dodat energii ~ωc.

v k-prostoru platı

B = 0 vsechny elektrony v kouli s polomerem k = 1~(2m∗

e + E0)1/2B 6= 0

• klasicky — vsechny elektrony se pohybujı na kruznicıch kz = konst.

E = konst.

E =~2

2m∗e

k2z +~2

2m∗e

k2⊥

• kvantove — ne vsechny drahy jsou povoleny

E =~2k2z2m∗

e

+ (N +1

2)~ωc

E⊥ = (N +1

2)~ωc =

~2

2m∗e

k2⊥ =~2

2m∗e

(k2x + k2z)

k⊥ → k⊥N = (2N + 1)1/2 · 1R, N = 0, 1, 2

k⊥(N = 0) =1

R

Vsechny elektrony se pohybujı na koaxialnıch valcıch s osou rovnobeznou s kz a vyscekzN (obr. 7.2).

kzN = 2√

k20 − k2⊥N


tedy

kzN =

[

2(2m∗e)

1/2 1

~

]

·[

E0 − (N +1

2~ωc

]1/2

(7.47)

Zadny valec nemuze vybehnout z koule. Proto existuje maximalnı pocet valcu

Nmax =

(

E0 − ~ωc

2

~ωc

)

(7.48)

Spinove rozstepenı Landauovych hladin

Mejme oprerator spinu σ = ±12. Potom

E(N, kz, σ) =(

N +1

2

)

~ωc +~2k2z2m∗

e

+ σg0µ0B (7.49)

predstavujı energie tzv. Landauovych hladin a g0 je faktor spektralnıho rozstepenı. Vyjadrımekz z rovnice (7.49)

kz(E , N, σ) =√

2m∗e

~

√

E − (N +1

2)~ωc − σg0µ0B (7.50)

K urcenı degenerace Landauovych hladin predpokladejme, ze system je uzavren v pravouhlemboxu o rozmerech Lα, α = x, y, z. Pocet dovolenych hodnot Kα, |α = x, y, z| je

Kα

2πLα

= Lα · Kα

2π(7.51)

Hodnoty ky jsou navıc povolene pouze v prıpade, ze stred orbity x0 lezı uvnitr boxu, tj.

−Lx

2≤ x0 ≤

Lx

2

ωc =eB

m∗e

−Lx

2≤ ~kyωcm∗

e

≤ Lx

2

−Lx

2

ωcm∗e

~≤ ky ≤

Lx

2

ωcm∗e

~

−eBLx

2~≤ ky ≤

eBLx

2~

Pocet stavu v Landauove hladine (pri pevnem kz) je

LyKy

2π=LyLxeB

2π~(7.52)


Vlnovy vektor ve smeru z kz je dan

kz =2π

Lz, (n = 0;±1;±2; ...) (7.53)

Σkz =Lz

2π

∫ k0

−k0

dkz (7.54)

kde k0 =2πLz

(N2

).

ΣKz=Lz

π

∫ k0

0

dkz =Lz

πK0Lx

√2m∗Ek0π~

E ′ = E − (N +1

2)~ωc =

~2k2z2m∗

e

Z toho

kz =

√

2m∗eE ′

~

dkz =1

2

√

2m∗e

~E ′−1/2dE ′ =

Lz

2π~·√

2m∗e ·

1√E ′dE ′

Celkovy pocet elektronovych stavu pro elektron v magnetickem poli je dan soucinempoctu stavu v Landauove hladine pri pevnem z a poctem stavu ve smeru z, tj.

N(E ′) =LxLyLzeB

2π~·√2m∗

e

2π~

1√E ′

=LxLyLzeB

√2m∗

e

(2π~)2√E ′

(7.55)

Hustota stavu g(E , Bz) na jednotkovy objem v intervalu energiı E a E+dE je dan vyrazem

g(E , Bz) =eBz

√2m∗

e

(2π~)2

∑

n

1√

E − (n+ 12)~ωc

(7.56)

kde se scıta, pokud je vyraz pod odmocninou kladny.

Rejstrık

cıslokoordinacnı, 8

akceptor, 27divalentnı, 30monovalentnı, 28

Bragg, W. L., 7Bravais, A., 7bunka

elementarnı, 7primitivnı, 7Wignerova-Sietzova, 14

difrakce, 12Braggova, 12von Laueho, 13, 14

dobarelaxacnı, 41

donor, 27divalentnı, 29monovalentnı, 27

energieFermiho, 16, 17poruchova, 14redukovana, 22

funkcerozdelovacı, 17der, 26elektronu, 16nerovnovazna, 40

grupabodova, 9

plne symetricka, 9symetrie, 8

hladinaprımesi, 27

hmotnostefektivnı, 17

hustotaprouduelektrickeho, 50, 53energie, 50, 53

stavu, 23stavu, efektivnı, 27tokuenergie, 56

hustota stavu, 22

indexMilleruv, 9

integralFermiho, 23Fermiho-Diracuv, 24

jevtransportnı, 57

koncentraceder, 26elektronu, 24, 25

krystalografie, 7krystaly, 7

mezFermiho, 30intrinsicka, 31

mrıze

107

REJSTRIK 108

Bravaisova, 7reciproka, 10

operace symetrie, 8

plynelektronovydegenerovany silne, 17degenerovany castecne, 18nedegenerovany, 17

podmınkaneutralityelektricke, 30–32

polovodicdegenerovany silne, 25extrinsicky, 31homogennı, 16nedegenerovany, 25typu N, 31kompenzovany nedegenerovany, 32

typu P, 31potencial

chemicky, 16elektrostaticky, 53

proudelektricky, 50

pasvalencnı, 26, 28valencny, 19vodivostnı, 22vodivostny, 17, 18

prımes, 19

rovniceBoltzmannova kineticka, 36, 38, 47Braggova, 12

schemaenergetickehomogennıho polovodice, 26

statistikaFermiho, 16

statistika elektronu, 16stav

energeticky, 16excitovany, 21

stavyenergeticke, 16diskretnı, 16spojite, 16

hustota, 22struktura

krystalova, 8

transport, 57

zonaBrilliounova, 14

fyzika polovodiˇc˚u pro optoelektroniku i -...

Documents