giỚi hẠn dÃy sỐ giáo viên: nguyễn tiến Đạt · bằng cách sử dụng các kí...

GIỚI HẠN DÃY SỐ

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A). TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1). ĐỊNH NGHĨA:

ĐỊNH NGHĨA 1: Ta nói dãy số nu có giới hạn là 0

nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,

đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi

đó ta viết lim 0nnu

hay lim 0nu hay 0nu khi

n . Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học,

định nghĩa trên có thể viết như sau:

0 0lim 0 0, :n nu n n n u .

Một số giới hạn đặc biệt:

a). Dãy số nu có giới hạn là 0 dãy số

nu có giới hạn là 0.

b). lim0 0 .

c). 1

lim 0, 0k

kn

.

d). Nếu 1q thì lim 0nq .

ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói dãy số nu có

giới hạn là số thực a nếu lim 0nu a .

Khi đó ta viết lim nu a hay lim nnu a

hay

nu a khi n . Dãy số có giới hạn là

số a hữu hạn gọi là dãy số có giới hạn

hữu hạn.

Nhận xét:

a). lim n nu a u a nhỏ bao nhiêu cũng

được với n đủ lớn.

b). Không phải mọi dãy số đều có giới

hạn hữu hạn.

Một số giới hạn đặc biệt:

a). limc c (c là hằng số).

b). Nếu lim nu a thì lim nu a .

c). Nếu 0,nu n thì 0a và lim nu a .

2). ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN :

Định lí 1 : Với hai dãy số nu và nv ,

nếu ,n nu v n và limv 0n thì lim 0nu .

Định lí 2 :

a). Giả sử lim nu a và lim nv b và c là hằng

số. Khi đó ta có :

lim n nu v a b

lim n nu v a b lim .v .n nu a b

lim , 0n

n

u ab

v b lim . .nc u c a .

b). Cho ba dãy số ,n nu v và nw . Nếu

,n n nu v w n và lim lim ,n nu w a a thì

lim nv a (gọi định lí kẹp).

3). TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI

VÔ HẠN:

Cho cấp số nhân nu có công bội q và

thỏa 1q . Khi đó tổng

1 2 3 nS u u u u được gọi là tổng

vô hạn của cấp số nhân và

1 11

lim lim1 1

n

n

u q uS S

q q

.

4). GIỚI HẠN VÔ CỰC:

a). Dãy số có giới hạn : Dãy số nu có

giới hạn là khi và chỉ khi với mỗi số

dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của

dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,

đều lớn hơn số dương đó. Ta viết

lim nu hoặc lim nu hoặc nu .

Ví dụ: 3

lim ,lim ,

lim ,lim , 0

n n

n n

.

b). Dãy số có giới hạn : Dãy số nu có

giới hạn là khi và chỉ khi với mỗi số

âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của

dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,

đều nhỏ hơn số âm đó. Ta viết

lim nu hoặc lim nu hoặc nu .

Chú ý:

lim limn nu u .

Các dãy số có giới hạn hoặc

được gọi chung là các dãy số có giới hạn

vô cực hay dần đến vô cực.

Nếu lim nu thì 1

lim 0nu .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Tìm giới hạn của dãy nu có giới hạn hữu hạn:

DẠNG 1: nu là một phân thức hữu tỉ dạng n

P nu

Q n

( trong đó ,P n Q n là hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho kn với kn là

lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n và Q n ( hoặc

rút kn là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n và

Q n ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về

giới hạn.

Câu 1. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 2

2

2 3 1

5 3n

n nu

n

A. 2

5. B. 1 .

C. 0. D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta thấy 2n là lũy thừa cao nhất của tử và

mẫu, nên chia cả tử và mẫu của nu cho 2n được:

2

2 2 2

22

22

2 3 1 3 12

2 3 135 35 3 5

n

n nn n n n nu

nnnn

.

Ta có 2

3 1lim 0,lim 0n n

và 2

3lim 0n

nên

2 0 0 2lim

5 0 5nu

.

Câu 2. Biết kết quả của Giới hạn dãy số (un)

là a

b với:

4 2

2

2 3

2 1 1 3 2 1n

n n nu

n n n

. Tính

a+b

A. -5. B. 1.



Có 4 2

4 2 4 4

4 3

2 3 3 12 3 2

n n nn n n n n

n n n

,

2 1 12 1 2

nn n n

n n

,

1 3 11 3 3

nn n n

n n

và

22 2 2

2 2

2 1 12 1 2

nn n n

n n

.

Từ đó

4

3

2

2

3 12

1 1 12 3 2

n

nn n

u

n n nn n n

4

3 3

4

2 2

3 1 3 12 2

1 1 1 1 1 12 3 2 2 3 2

nn n n n

nn n n n n n

Vì 3

lim 0n

, 3

1lim 0n

, 1

lim 0n

và 2

1lim 0n

.

Nên 2 0 0 1

lim(2 0)(0 3)(2 0) 6

nu

.

DẠNG 2: nu là một phân thức hữu tỉ

dạng n

P nu

Q n (trong đó ,P n Q n là các

biểu thức chứa căn của n).

Câu 3. Tìm giới hạn của dãy nu biết:

2

2 1

2 3n

n nu

n n

.

A. 1

2. B.

1

2

.

C. 0. D. 2.

Hướng dẫn giải: Chọn C

(cosx)'

22

2 2

22

2 12 12 1

2 32 3 2 3 1n

n nn n nnnu

n n n nnn nn

.

Mà 2

lim 0,n

2

1lim 0n

, 2

lim 0,n n

2

3lim 0n

.

DẠNG 3: nu là một phân thức hữu tỉ dạng

n

P nu

Q n (trong đó ,P n Q n là các biểu thức

chứa hàm mũ , ,n n na b c ,…. Chia cả tử và mẫu cho na với a là cơ số lớn nhất ).

Câu 4. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 2 4

4 3

n n

n n nu

.

A. 1

2. B. .

C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có

22 4 2 4 12 4 44 4 4

4 3 4 34 3 31

4 4 4 4

nn n n n

n n n n n

n n n n n nn n

n n n

u

Ta có 2

lim 04

n

và 3

lim 04

n

.

Nên 0 1

lim 11 0

nu

.

Câu 5. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 2 1

1 3

4 6

5 2.6

n n

n n nu

.

A. 1

72. B. .

C. 0. D. 1.


Ta có 2

2 1 2

1 31 3 1 3

2

1 3

4 .4 6 .64 6 4 .4 6 .6 6

5 .5 2.6 .65 2.6 5 .5 2.6 .6

6

4 .4 6 .6

6 65 .5 2.6 .6

6 6

n n

n n n n n

n n nn n n n

n

n n

n n

n n

n n

u

2

1 3

44 6

6

55 2.6

6

n

n

.

Ta có 4

lim 06

n

và 5

lim 06

n

.

Do đó 2

1 3

4 .0 6 1lim

5 .0 2.6 72nu

.

DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:

PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công

thức nhân lượng liên hợp sau:

2 2

2 2

2 2

a ba b

a ba b a b a b

a ba b

a b

2 2

2 2

( )( )a b a b a b

a ba b a ba ba ba b

a ba ba ba b

a ba b

3 3

2 2

a ba b

a ab b

3 3

2 2

a ba b

a ab b

.

2 23 3 3 3 3 3

3 32 2

3 3 3 3

2 23 3 3 3

.

.

.

a b a a b ba b

a a b b

a b

a a b b

.

2 23 3 3 3 3 3

3 32 2

3 3 3 3

2 23 3 3 3

.

.

.

a b a a b ba b

a a b b

a b

a a b b

Câu 6. Tìm giới hạn của dãy nu biết 2 3 5nu n n n .

A. 3

2. B. .



2 2

2

2

2

3 5 3 53 5

3 5

3 5

3 5

n

n n n n n nu n n n

n n n

n

n n n

Và có 3 5 5

3 5 3n

n n nn n

và

22 2

2 2

3 5 3 53 5 1

n nn n n n

n n n

.

Do đó

2 2

5 53 3

3 5 3 51 1 1

n

nn nu

n nn n n n

,

vì 5

lim 0,n

3

lim 0n

và 2

5lim 0n

.

Nên 3

lim2

nu .

Tại sao phải nhân lượng liên hợp ?

Quay lại ví dụ thông thường ta đặt kn

làm nhân tử chung nhưng sao lại phải

nhân lượng liên hợp. Bây giờ ta thử làm

lại câu a) theo phương pháp đặt kn trong

căn thức thử xem sao ,và sau đó rút ra

nhận xét.

Ta có 2

2 2

2

3 53 5n

n nu n n n n n

n

2

3 51n nn n

2

3 51 1nn n

. Vì

2

3 5lim lim 0n n

nên 2

3 5lim 1 1 0

n n

và

limn do đó lim .0nu (đây là dạng

vô định).

Nên cách làm này không là không được

rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân

lượng liên hợp để khử vô định sau đó

cách làm hoàn toàn như dạng 1.

Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp :

Để nhận biết một bài tập có nhân lượng liên hợp

hay không các bạn chỉ chú ý tới n có mũ cao nhất

sau đó đưa ra ngoài dấu căn thức, nếu chúng trừ

nhau bằng 0 thì bài này ta phải nhân lượng liên

hợp. Cụ thể ta làm lại câu a) 2 3 5nu n n n

biểu thức trong căn thức có 2n là cao nhất và ta

quan tâm đến « nó », những thừa số sau bỏ hết có

nghĩa xem 2 0nu n n n n (nên các bạn phải

nhân lượng liên hợp).

Chúng ta xem thử bài này có nhân lượng liên hợp

hay không 22 3 5nu n n n chúng ta cũng

quan tâm đến số hạng có chứa mũ có nhất đó là 22n

, có nghĩa nu được viết lại

22 2 2 1nu n n n n n ta có 2 1 0

nên bài này được làm trực tiếp không cần nhân

lượng liên hợp, rút bậc cao nhất ra là làm được.

Câu 7. Tìm giới hạn của dãy nu biết: 3 23 3nu n n n .

A. 3

2. B. .



23 3 33 2 3 2 3 2 2

3 3 2

23 33 2 3 2 2

3 3 . 3

3

3 . 3n

n n n n n n n n n

u n n n

n n n n n n

2

23 2 3 2 23 3

3

3 . 3

n

n n n n n n

.

Ta có 3 2

3 2 33 333

3 33 . 1

n nn n n n

n n

.

Do đó

2

2

2 2 23 3

2

3 3

3

3 31 . 1

3

3 31 1 1

n

nu

n n nn n

n n

,

ta có 3

lim 0n

. Nên lim 1nu

Câu 8. Tìm giới hạn của dãy biết: 2

2 33

2 4

4n

n n nu

n n n

.

A. 1

2. B. .

C. 3

16 . D. Đáp án khác.

nu


2

33

2 4lim

4

n n n

n n n

Ta có 22 4n n n

2 2

2 2

2 4 2 4 1

12 4 2 4 2 4

n n n n n n n

n n n n n nn

và

2 33 4n n n

22 3 2 2 3 2 33 3 3

22 2 3 2 33 3

4 . 4 4

. 4 4

n n n n n n n n n

n n n n n n

2 2

2 22 3 2 3

2 2 22 3 3 3 33 3

3 3

4 4

4 44 4 . 1 1.

n n

n n n n n n nn n n nn nn n

2

22

2 3 33 3

4 4

4 44 41 1 11 1 1

n

nn nn n

Do đó

2

3 34 4

1 1 13

lim lim161

4 2 4

n

n nu

n

.

Câu 9. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào

có giá trị bằng 2 1. ?

A. 4

2

2 3 2lim

2 3

n n

n n

.

B. 2

2 1lim

2 9 1

n

n n

.

C. 2 2

limn n

n

.

D.

2 1 3lim

1 2

n n n

n n

.


22

2 2lim lim

n nnn n

n n

22

limn n

n

n

22 1

lim

nn

n

2lim 2 1 2 1.

n

DẠNG 5: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:

Câu 10. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào

có giá trị bằng ?

A. 4 3lim 2 5 7n n n . B. 33lim 1 2n n .

C. 3lim 2 3 5n n . D. 2 2 3lim 2 cos 4n n n


Ta có

3

3 3

3

3

2 3

2 3 5L lim 2 3 5 lim

3 5lim 2

n nn n n

n

nn n

Do 2

3lim 0n

và 3

5lim 0n

nên

2 3

3 5lim 2 2

n n

(1), ngoài ra 3limn (2).

Từ (1) và (2) có L .

Ta có 4 3

4 3 4 2

4 3

2n 5n 7n 5 7L lim 2n 5n 7n lim n limn 2

nn n

Do 5

lim 0n

, 3

7lim 0n

nên 3

5 7lim 2 2

n n (1)

và 2limn (2). Từ (1) và (2) suy ra L

Ta có 3

3 3 3 333 3 2

1 2 1 2L lim 1 2 lim lim . 1

n nn n n n

n n n

.

Ta có 3

1lim 0n

, 2

2lim 0n

nên

33 2

1 2lim 1 1

n n

(1) và limn (2).

Từ (1) và (2) suy ra L .

2 2 3

2 2 3 3

3

23

2 cos 4L lim 2 cos 4 limn

coslimn 2. 4

n n nn n n

n

n

n

.

Ta có 2cos 1 1n

n n n mà

21 coslim 0 lim 0

n

n n

do đó 2cos

lim 2. 4 4n

n

(1), ngoài ra

3limn (2). Từ (1) và (2) có L .

DẠNG 8: NHỮNG DẠNG KHÁC

Câu 11. Tìm giới hạn của dãy biết: 1 1 1

1.2 2.3 ( 1)nu

n n

.

A. 1. B. 0.

C. . D. 3.

nu


Ta có

1 1 1 1 1

, 1,2,...,1 1 1 1 1

k k k kk n

k k k k k k k k k k

Từ đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 11.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1 1

nun n n n n

Nên 1 1

lim lim 1 lim1 lim 1 0 11 1

nun n

.

Câu 12. Tìm giới hạn của dãy biết: 1 1 1 1

1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1)nu

n n

.

A. . B. .

C. 1

3. D. Đáp án khác.

nu

1

2


1 1 (3 1) (3 2)

(3 2) 3 1 3 (3 2) 3 1

1 3 1 3 2

3 (3 2) 3 1 (3 2) 3 1

k k

k k k k

k k

k k k k

1 1 1

, 1,2,3...,3 3 2 3 1

k nk k

.

Từ đó 1 1 1 1

1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1)nu

n n

1 1 1 1 1 1 1 11

3 4 4 7 7 10 3 2 3 1

1 11

3 3 1

n n

n

,

có 1

lim 03 1n

.

Do đó 1 1

lim 1 03 3

nu .

giỚi hẠn dÃy sỐ giáo viên: nguyễn tiến Đạt · bằng cách sử dụng các kí...

Documents