MA34B Seccin 02 - Gua de Ejercicios

Resueltos Control 1

12 de Abril 2006

Profesor ctedra: Rodrigo Abt B.

Auxiliar: Julio Deride

P1) En clase, se indic que una forma natural de estimar el parmetro des-

conocido de la densidad conjunta (o funcin de verosimilitud) de una m.a.s.

X1, . . . , Xn de X f(x/) es maximizando la misma, es decir, resolviendo:

max

f(x1, . . . , xn/) =n

i=1

f(xi/)

Despejando del problema de maximizacin anterior se obtiene el EstimadorMximo Verosmil (EMV) de .

a) Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de X con ley f(x/), tal que las dos primerasderivadas de f(x/) existen y que f(x/) > 0. Sea L = ln f(x1, . . . , xn/),muestre que el problema anterior es equivalente a resolver:

max

L

b) Aplique el resultado anterior para encontrar el EMV de en el caso deuna m.a.s. de una v.a. X Poisson().Solucin:

a) En efecto, al derivar se tiene que:

L

=

ln f(x1, . . . , xn/) =

f (x1, . . . , xn/)f(x1, . . . , xn/)

= 0 f (x1, . . . , xn/) = 0

1

b) Encontremos la funcin de verosimilitud f(x1, . . . , xn/):

f(x1, . . . , xn/) =n

i=1

f(xi/) =en

xi

xi!

De donde, L = ln f(x1, . . . , xn/) = n+(

xi)ln ln xi!Derivando e igualando a cero:

n+xi

= 0 =Xin

= X

El estimador EMV para es = X.

P2) Una mquina produce un cierto componente electrnico una vez al dia.

La mquina puede fallar durante el dia con probabilidad p. El operario dela mquina desea estimar esta probabilidad de falla a partir de un registro

detallado de los dias transcurridos para cada mes de funcionamiento hasta

la primera falla.

a) Si Xi representa el nmero de dias transcurridos del mes i hasta que quefalla la mquina. Qu distribucin sigue Xi?b) Si se toma una muestra aleatoria simple de n meses, encuentre el EMVpara p. Es insesgado este estimador?c) Un estudio estadstico posterior del problema arroj que la variable Xsegua una distribucin exponencial de parmetro p. Encuentre el EMV parap en este caso y comprelo con el obtenido en la parte anterior. Comente.

Solucin:

a) Se puede ver que Xi sigue una distribucin geomtrica, ya que:

no falla dia 1 x no falla dia 2 x . . . x no falla dia k-1 x falla dia k

= (1 p) (1 p) . . . (1 p) p = (1 p)k1p

b) Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de X, se tiene que:

2

f(x1, . . . , xn/p) =n

i=1

f(xi/p) = (1 p)

xinpn

De donde se obtiene que el EMV de p es p = X1.

c) Si X exp(p), se tiene que los estimadores coinciden en frmula. Si bienambas distribuciones sirvern para modelar fenmenos de falla de materiales,

en el primer caso, la distribucin es discreta, mientras que si X es continua,entonces es ms apropiado el segundo anlisis.

P3) La talla en metros X de los alumnos de la Escuela de Ingeniera sigueuna distribucin Normal(, 2). Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de X.

a) Muestre que el EMV de 2 es la varianza muestral. Es insesgado esteestimador?.

b) Muestre que S2n1 =1

n1(Xi X)2 es insesgado.c) Sea T = c

(XiX)2 otro estimador para 2. Obtenga el valor de c tal que

T tenga el menor error cuadrtico medio. Hint( Si Y sigue una distribucin2n, entonces E(Y ) = n y V ar(Y ) = 2n.)

Solucin:

a) Como es usual, se construye la funcin de verosimilitud, se aplica logarit-

mo, se deriva, se iguala a 0 y se despeja:

f(x1, . . . , xn/, 2) =

ni=1

f(xi/, 2) =

(1

2pi2

)n/2exp

{ 122

(xi )2

}

ln f(x1, . . . , xn/, 2) = n

2ln 2pi2 1

22

(xi )2 (1)

De donde, 2 = S2n =1

n

(XiX)2, que en clase se vio que era SESGADO.

b) Fcilmente se puede vericar que:

E(S2n1) = E(

n

n 1S2n

)=

n

n 1E(S2n) =

n

n 1 n 1n

2 = 2 es insesgado

3

c) Para este caso se tiene que T = cnS2n, de donde, el ECM es:

ECM(T ) = (2 E(T ))2 + V ar(T ) = (2 E(cnS2n))2 + V ar(cnS2n)= (2 c2E(nS

2n

2))2 + c24V ar(

nS2n2

)

= 4(1 c(n 1))2 + c24 2(n 1)

Derivando e igualando a 0 se obtiene que c =1

n+ 1.

P4) Si el tiempo de espera de una micro en minutos X para una persona estal que:

f(x/) =1

e

1

x

x > 0

Y sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de X:

a) Encuentre el E.M.V. de . Calcule su esperanza y varianza.b) Encuentre la cota de Cramer-Rao para . Es eciente?.c) Si se observan los valores 2 2,4 3 4,5 3,0 encuentre el valor de .d) Plantee la distribucin exponencial de esta forma:

f(x/) = ex x > 0

Resuelva los puntos anteriores, y encuentre el EMV . Discuta. (HINT: SiXi exp() Xi Gamma(n, )).Solucin:

a) La funcin de verosimilitud es:

f(x1, . . . , xn/) =n

i=1

f(xi/) =(1

)ne1

xi

Aplicado logaritmo natural, derivando e igualando a cero, se tiene:

n

+1

2

xi = 0 = X

4

E() = E(X) = E(X) = es insesgadoV ar() = V ar(X) =

V ar(X)

n=

2

n

b) Calculando la segunda derivada de la funcin de verosimilitud se tiene la

informacin de Fisher:

In() = E[2f(x1, . . . , xn/)

2

]= E

[n

2 2

xi

3

]= n

2+2

E(Xi)

3=

n

2

Y como es insesgado, la cota de Cramer-Rao es In()1, cumplindose la

igualdad de la varianza de con la cota, por lo que el estimador es eciente.

c) En este caso solo basta reemplazar, y se obtiene = X = 2, 98.d) Esta parte es anloga a la parte b):

f(x1, . . . , xn/) =n

i=1

f(xi/) = ne

xi

De donde al aplicar logaritmo natural, derivar e igualar a 0 se obtiene que

= X1. Ahora bien, se debe tener cuidado al calcular la esperanza de esteestimador, ya que NO es cierto que:

E[] = E[1

X

]=

1

E[X]

En este caso, se debe considerar que si X exp(), entonces T = Xi sigueuna Gamma(n, ), luego:

E[] = E[1

T

]=T

1

t

n

(n)tn1etdt =

T

n1(n 1)(n 1)t

n2etdt

=

n 1 es sesgado

P4) Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X con distribucin de Pareto:

5

f(x/) =c

x+1c = constante

Encuentre el EMV de .

Solucin:

f(x1, . . . , xn/) =n

i=1

f(xi/) =n cnx+1i

Aplicando logaritmo natural, derivando e igualando a 0:

n

+ nln c ln xi = 0 = n

nln c ln XiP5) Una gran compaa de energticos ofrece al dueo de un terreno $120.000

por los derechos de explotacin de gas natural en un sitio determinado y un

bono adicional de $1.380.000 que se podr cobrar solo si se encuentra gas

durante la etapa de exploracin. El propietario, considerando que el inters

de la compaa energtica es una buena indicacin de que existe gas, est

tentado a desarrollar l mismo el campo. Para hacer esto, deber contratar

equipos con experiencia en exploracin y desarrollo. El costo inicial es de

$400.000, los que se perdern si no se encuentra gas. Sin embargo, si des-

cubre gas, el propietario estima un benecio neto de $2.000.000. Sea d1 ladecisin de aceptar la oferta de la compaa, y d2 la decisin de explorar ydesarrollar por cuenta propia.

a. Contruya la matriz de benecios asociada al problema, indicando todos

los elementos que la componen.

b. Suponga que el propietario estima que la probabilidad de encontrar gas es

de 0,6. Determine la decisin recomendable a priori.

c. El propietario tiene la opcin de realizar pruebas de sonido al terreno.

La prueba, eso s, no es perfecta: el%30 de las veces la prueba indicar que

no hay gas cuando en realidad haba gas, y un%90 de las veces la prueba

indicar que no hay gas cuando realmente no haba. Con estas condiciones

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determine la poltica de decisin adecuada, y determine el precio que debera

pagar el propietario por la prueba.

d. Suponga que NO se encuentra gas. Cul sera la decisin a posterio-

ri?

Solucin:

a. La matriz de pagos asociada al problema es la siguiente:

d1 d21 1500 20002 120 400

Donde 1 es el evento "Hay gas", mientras que 2 corresponde al evento "Nohay gas".

b. Del enunciado se tiene que (1) = P (1) = 0,6, por lo que (2) = P (2) =1 P (1) = 0,4. Los benecios esperados a priori son los siguientes:

1 = E[L(d1, )] =2

i=1

L(d1, i)(i) = 1500 0,6 + 120 0,4 = 948

2 = E[L(d2, )] =2

i=1

L(d2, i)(i) = 2000 0,6 + (400) 0,4 = 1040

Como 2 > 1, entonces elijo d2.

c. Sea

X =

{1 Si la prueba revela que hay gas0 Si no

Del enunciado se tienen las siguientes probabilidades:

P (X = 0|1) = 0,3 P (X = 1|1) = 0,7P (X = 0|2) = 0,9 P (X = 1|2) = 0,1

7

Para X = 0:

(1|X = 0) = P (X = 0|1)P (1)P (X = 0|1)P (1) + P (X = 0|2)P (2) =

1

3

(2|X = 0) = 1 (1|X = 0) = 23

Para X = 1:

(1|X = 1) = P (X = 1|1)P (1)P (X = 1|1)P (1) + P (X = 1|2)P (2) =

21

23

(2|X = 1) = 1 (1|X = 1) = 223

Por lo que los benecios a posteriori son:

Para X = 0:

1(X = 0) = E[L(d1, |X = 0)] =2

i=1

L(d1, i)(i|X = 0) = 1500 13+ 120 2

3

= 580

2(X = 0) = E[L(d2, |X = 0)] =2

i=1

L(d2, i)(i|X = 0) = 2000 13+ (400) 2

3

= 400

Luego, elijo d1.

Para X = 1:

1(X = 1) = E[L(d1, |X = 1)] =2

i=1

L(d1, i)(i|X = 1) = 1500 2123

+ 120 223

= 1380

2(X = 1) = E[L(d2, |X = 1)] =2

i=1

L(d2, i)(i|X = 1) = 2000 2123

+ (400) 223

= 1791

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Luego, elijo d2.

La poltica de decisiones correspondiente es:

(X) =

{d1 Si X = 0d2 Si X = 1

El benecio esperado de esta poltica es entonces:

() = E[EY [L((Y ), )]] =i=1,2

j=1,2

L((Y ), i)P (Y = Y (dj)|i)P (i)

= 1500 0,3 0,6 + 120 1 0,4 + 2000 0,7 0,6 + (400) 0,1 0,4 = 1137Y por ende, el valor de la informacin es entonces:

V I = () priori

= 1137 1040 = 97

Luego, el propietario debe estar dispuesto a desembolsar $97.000 por contar

con la informacin derivada de la prueba de sonido.

3.4 Si no se encuentra gas (X = 0), el benecio esperado por cada decisines:

1(X = 0) = E[L(d1, |X = 0)] =2

i=1

L(d1, i)(i|X = 0) = 1500 13+ 120 2

3

= 580

2(X = 0) = E[L(d2, |X = 0)] =2

i=1

L(d2, i)(i|X = 0) = 2000 13+ (400) 2

3

= 400

Luego, elijo d1.

P6) Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. X N(, 1). Dada unadistribucin N(a, 1) a priori para , determine el estimador de Bayes bajoprdida cuadrtica.

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Solucin:

Observemos el aquella parte del producto fn(x/) pi() que depende de :

fn(x/) pi() exp{12

ni=1

(xi )2} exp{12( a)2}

De donde:

exp{12

ni=1

(xi)2} exp{12(a)2} exp{1

2{(n+1)22(nx+a)}}

= (n+ 1)2

exp

{2 2(nx+ a)

n+ 1

}= 1

2 (

1n+1

)exp{2 2(nx+ a)n+ 1

}

De donde por inspeccin, dentro de la exponencial, se reconoce parte del

desarrollo del cuadrado del binomio (nx+a)n+1, por lo que (/X) es una

distribucin Normal con media

(nx+a)n+1y varianza

1n+1. El estimador de Bayes

es entonces:

B = E[|X] = (nx+ a)n+ 1

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