Jean-Paul Molina 1

Dtermination de l'oprateur central principal d'inertie d'une hlice d'hlicoptre 4 pales. Soit S S S(A,x ,y , z ) un repre attach au systme dfini par la figure suivante: Chaque pale est considre comme tant rectangulaire ( 2l x a ) et d'paisseur nulle. On considrera le repre associ une pale de la faon suivante :

Jean-Paul Molina 2

Corrig L'axe Azs est un axe de symtrie du systme constitu des 4 pales homognes.

A tout point M d'une pale tel que AM (x,y,z)=uuuur

on peut faire correspondre un point M'

de la pale oppose : AM' ( x, y,z)= - -uuuuur

On appelle alors le centre d'inertie 13 1 3G G(P P )= U S k13a

AG sin2

= auuuuuur uur

24 2 4G G(P P )= U S k24a

AG sin2

= auuuuuur uur

Le centre d'inertie du systme form par les 4 pales est alors S ka

AG sin2

= auuuur uur

Occupons nous maintenant de l'oprateur d'inertie en A :

AI

A F E

F B DE D C

- - = - - - -

Du fait de la symtrie, on a dmD yz 0= = et dmE zx 0= = Examinons dm P1 P2 P3 P 4F xy F F F F= = + + + On voit que et P 2 P1 P4 P 3F F F F= - = - F = 0

Pour chaque pale, (A,i,u)r r

est identique S S(A,i , j )ur uur

On obtient facilement Ax Ay AzI I l I l1 4 m

ma m (a 4 )3 3 3

= = = +

On calcule maintenant Au AI Iu. (u)=r r

AI l

l

pale

pale

(x,y,z)

1ma F 0

3 04

(u) F m 0 cos3

sinm0 0 (a 4 )

3

- = - a - a

+

r

donc AuI lm

(asin 4 )3

= a +

On procde de mme pour SAz A

I IS Sz . (z )=uur uur

pour obtenir SAz

I lm

(acos 4 )3

= a +

On peut alors dterminer les lments principaux A, B, C :

l l1 m 1 m

A B ma (4 asin ) ma (4 asin )3 3 3 3

= = + + a + + + a

[ ]

[ ]

l

l

2A B m 4 a(1 sin )

34

C m 4 acos )3

= = + + a

= + a

Jean-Paul Molina 3

Le centre d'inertie G du systme est affect de la masse 4m, alors :

G AI I 4mAG (... AG)= - uuuur uuuur

Le dernier terme donne

S S S(x ,y ,z )

asin 0 0

4a

4m 0 sin 04

0 0 0

a

a

Et au final :

G

l

I l

l

S( , ,z )

54 a(1 sin ) 0 0

25

0 4 a(1 sin ) 02

0 0 2(4 acos )

- -

+ + a

= + + a

+ a