homcoord

Geometrijsketransformacije

Projektivnageometrija

Homogenekoordinate imatricnereprezentacije2Dtransformacija

Kompozicija2Dtransformacija

Matricnereprezentacije3Dtransformacija


Projektivna geometrija

Aksiomi:1. Postoji bar jedan pravac2. Na svakom pravcu postoje bar tri tocke3. Nisu sve tocke na istom pravcu4. Dvije razlicite tocke lee na jednom i samo jednom

pravcu5. Dva razlicita pravca sjeku se u jednoj i samo jednoj

tocki6. Postoji bijekcija realnih brojeva i svih osim jedne tocke

na pravcu








Dva paralelna pravca sjeku se u jednoj tocki, koja se zoveidealna (tocka u beskonacnosti); pojektivni pravac jeEuklidski, s ekstra tockom . Idealna tocka je ona kojaizostaje u bijekciji; postoji skup idealnih tocaka, koje cineidealni pravac. Postoji idealna tocka na idealnom pravcu,koja odgovara svakom nagibu (koeficijentu smjera) od do +. esti aksiom vrijedi stoga bez obzira da li je pravacEuklidski + idealna tocka, ili je pravac idealan.








Dualnost aksioma: (tocka i pravac zamijenjeni)1a. Postoji bar jedna tocka2a. Kroz svaku tocku postoje bar tri pravca3a. Svi pravci ne prolaze kroz istu tocku4a. Dva razlicita pravca sjeku se u jednoj i samo jednoj

tocki5a. Dvije razlicite tocke lee na jednom i samo jednom

pravcu6a. Postoji bijekcija realnih brojeva i svih osim jednog

pravca kroz tocku







Homogene koordinate

Promotrimo jednadbe (C 6= C):Ax + By + C = 0Ax + By + C = 0.

Zbog nekonzistentnosti, nema rjeenja. U projektivnojravnini znamo da je rjeenje idealna tocka. Napiimojednadbe stoga kao:

Ax + By + Cz = 0Ax + By + Cz = 0.

Rjeavanjem, (C C)z = 0. Kako je C C 6= 0 slijediz = 0. Dakle:

(x , y ,0) reprezentira idealnu tocku.







Homogene koordinate

Ako se ishodite cije su Kartezijeve koordinate (0,0) povees tockom (x , y) onda ove tocke odeduju pravac i idealnutocku (x , y ,0) na tom pravcu. Pravac ima nagib (koeficijentsmjera) y/x . Znaci, (x , y ,0) je idealna tocka koja odgovarasvim pravcima s nagibom y/x .Za Euklidske tocke elimo z = 1 tako da vrijediAx + By + C = 0. Stoga je tocka (x , y) u Kartezijevimkoordinatama reprezentirana kao (x , y ,1) u homogenim.Kako je takoder

Atx + Bty + Ct = 0

zakljucujemo da je i (tx , ty , t) homogena reprezentacijatocke (x , y). Uvijek moemo reskalirati, pa ako je rijec otocki (x , y , z) koja nije idealna (z 6= 0), tada je njenareprezentacija (xz ,

yz ,1), odn. u Kartezijevim koordinatama

(xz ,yz ).







Homogene koordinate

Definicija

Skup svih trojki (x1, x2, x3) u kojoj nisu svi xi nula suhomogene koordinate u realnoj projektivnoj ravnini, gdje su(x1, x2, x3) koordinate(a) Euklidske tocke (x , y), ako je x = x1/x3 i y = x2, x3,

x3 6= 0.(b) Idealne tocke s nagibom x2/x1, ako je x3 = 0 i x1 6= 0.(c) Idealne tocke s beskonacnim nagibom (vertikala) ako je

x1 = x3 = 0.

Ideje se lagano generaliziraju na vie dimenzionalneprojektivne ravnine.







Homogene koordinate i matricne reprezentacije2D transformacija

elimo sve transformacije prikazati na konzistentannacin, tako da se lagano kombiniraju.Za tocke izraene u homogenim koordinatama, sve tritransformacije se mogu prikazati kao mnoenja matricai vektora.Kod homogenih koordinata dodaje se treca koordinata:

(x , y) (x , y ,w)Dvije trojke homogenih koordinata (x , y ,w) i (x , y ,w )reprezentiraju istu tocku ako i samo ako za t 6= 0

(x , y ,w ) = (t x , t y , t w) ili (x , y ,w) =(

1tx , 1

ty , 1

tw )

Barem jedna od homogenih koordinata mora biti 6= 0;(0,0,0) nije dozvoljena.







Ako je w 6= 0 tada (x , y ,w) reprezentira istu tocku kao i(x/w , y/w ,1):

x/w i y/w nazivamo kartezijevim koordinatamahomogene tocke.

Tocke sa w = 0 se nazivaju se tockama ubeskonacnosti.Sve trojke (tx , ty , tw), t 6= 0 koje reprezentiraju istutocku, cine pravac u 3D prostoru.Ako homogeniziramo trojke u pravcu (podijelimo ih saw koordinatom), dobit cemo tocke oblika (x , y ,1).Homogenizirane tocke oblikuju ravninu s jednadbomw = 1 u (x , y ,w)-prostoru.







-

6

tt

x

w

y

P

ravnina w = 1

Slika: xyw homogeni koordinatni sustav, sa ravninom w = 1 itockom P(x , y ,w) projektiranom na ravninu.







Translacija u homogenim koordinatama

x y 1

= 1 0 dx0 1 dy

0 0 1

xy

1

P = T (dx ,dy ) P, gdje je T (dx ,dy ) =

1 0 dx0 1 dy0 0 1

Za P = T (dx1,dy1) P i P = T (dx2,dy2) P imamo

P = T (dx2,dy2) T (dx1,dy1) Pvrijedi 1 0 dx20 1 dy2

0 0 1

1 0 dx10 1 dy1

0 0 1

= 1 0 dx1 + dx20 1 dy1 + dy2

0 0 1

T (dx2,dy2) T (dx1,dy1) = T (dx1 + dx2,dy1 + dy2)







Skaliranje u homogenim koordinatama

x y 1

= sx 0 00 sy 0

0 0 1

xy

1

P = S(sx , sy ) P, gdje je S(sx , sy ) =

sx 0 00 sy 00 0 1

Za P = S(sx1, sy1) P i P = S(sx2, sy2) P imamo

P = S(sx2, sy2) S(sx1, sy1) Pvrijedi sx2 0 00 sy2 0

0 0 1

sx1 0 00 sy1 0

0 0 1

= sx1sx2 0 00 sy1sy2 0

0 0 1

S(sx2, sy2) S(sx1, sy1) = S(sx1 sx2, sy1 sy2)







Rotacija u homogenim koordinatama

x y 1

= cos sin 0sin cos 0

0 0 1

xy

1

P = R() P, gdje je R() =

cos sin 0sin cos 00 0 1

Za P = R(1) P i P = R(2) P imamo

P = R(2) R(1) Pvrijedi

cos 2 sin 2 0sin 2 cos 2 0

0 0 1

cos 1 sin 1 0sin 1 cos 1 0

0 0 1

=

cos(1+2) sin(1+2) 0sin(1+2) cos(1+2) 0

0 0 1

R(2) R(1) = R(1 + 2)







Kompozicija 2D transformacija

Matrica nastala kao produkt proizvoljnog niza matricatranslacije, skaliranja i rotacija je oblika

M =

q11 q12 txq21 q22 ty0 0 1

M je reprezentacija afine transformacije, i ima svojstva

cuva paralelnost pravacane cuva duljine i kuteve

M je reprezentacija transformacije krutog tijela ako je

2 2 podmatrica[

q11 q12q21 q22

]ortogonalna, i ima

svojstvaM je nastala kao produkt proizvoljnog niza matricatranslacije i rotacijacuva duljine i kuteve







Kompozicija transformacija translacije, skaliranja irotacija se efikasno implementira mnoenjemodgovarajucih matrica, odgovarajucim redoslijedom iprimijenom produkta matrica na tocke.Redoslijed mnoenja je bitan jer mnoenje matricaopcenito nije komutativno.







Primjer

Rotiranje i skaliranje kucice sa centrom transformacija u P1,i smjetajavanje centra u P2.

- - - - -

6 6 6 6 6 @@t @@

tP1

P2

originalnakucica

translacija P1u ishodite

skaliranje rotacija translacijaishodita u P2

T (x2, y2) R() S(sx , sy ) T (x1,y1)







Matricne reprezentacije 3D transformacija

3D transformacije se mogu reprezentirati pomocu 4 4matrica u homogenim koordinatama:

(x , y , z) (x , y , z,w)Dvije cetvorke homogenih koordinata (x , y , z,w) i(x , y , z ,w ) reprezentiraju istu tocku ako i samo akoza t 6= 0

(x , y , z ,w ) = (t x , t y , t z, t w) ili

(x , y , z,w) =(

1tx , 1

ty , 1

tz , 1

tw )

(0,0,0,0) nije dozvoljena.Standardna reprezentacija tocke (x , y , z,w) sa w 6= 0je (x/w , y/w , z/w ,1) homogenizirane tocke.







Tocke za koje je w = 0 se nazivaju tockama ubeskonacnosti.Svaka tocka u 3D prostoru moe se reprezentiratipravcem kroz ishodite 4D prostora.Homogenizirane reprezentacije tocke cine hiperravninudefiniranu jednadbom w = 1.







Mi cemo razmatrati desne 3D koordinatne sustave

-

6

? x

y

z

Pozitivne rotacije su u smjeru suprotnom od kazaljke nasatu kada se gleda du pozitivne koordinatne osiprema ishoditu.







Translacija u homogenim koordinatama

T (dx ,dy ,dz) =

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

T (dx ,dy ,dz)

xyz1

=

x + dxy + dyz + dz

1







Skaliranje u homogenim koordinatama

S(sx , sy , sz) =

sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

S(sx , sy , sz)

xyz1

=

sx xsy ysz z

1







Rotacija u homogenim koordinatama

rotacija oko osi z

Rz() =

cos sin 0 0sin cos 0 0

0 0 1 00 0 0 1

rotacija oko osi x

Rx() =

1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1

rotacija oko osi y

Ry () =

cos 0 sin 0

0 1 0 0 sin 0 cos 0

0 0 0 1







Kompozicija 3D transformacija

Matrica nastala kao produkt proizvoljnog niza matricatranslacije, skaliranja i rotacija je oblika

M =

q11 q12 q13 txq21 q22 q23 tyq31 q32 q33 tz0 0 0 1

3 3 podmatrica Q =

q11 q12 q13q21 q22 q23q31 q32 q33

je rezultatrotacija i translacija.

T = txty

tz

je rezultat uzastopnih translacija.Sve tri transformacije imaju inverze:

T (dx ,dy ,dz)1 = T (dx ,dy ,dz)S(sx , sy , sz)1 = S(s1x , s1y , s1z ), za sx 6= 0, sy 6= 0, sz 6= 0R()1 = R()T = R()







ZadatakIzracunajte 4 4 matricu transformacije S(su) koja skalirafaktorom su du pravca zadanim sa u = (ux ,uy ,uz), pricemu je u2 = 1 . Koordinate ux , uy , i uz su kosinusikuteva izmedju pravca i koordinatnih osi x, y, i z.

ZadatakIzracunajte 4 4 matricu transformacije Ru() koja rotira zakut oko proizvoljne osi zadane pomocu vektora smjerau = (ux ,uy ,uz), sa u2 = 1.







S(su) =

1 + (su 1)u2x (su 1)ux uy (su 1)uzux 0(su 1)ux uy 1 + (su 1)u2y (su 1)uy uz 0(su 1)uzux (su 1)uy uz 1 + (su 1)u2z 0

0 0 0 1

Ru() =

u2x + cos (1 u2x ) ux uy (1 cos ) uz sin uz ux (1 cos ) + uy sin 0

ux uy (1 cos ) + uz sin u2y + cos (1 u2y ) uy uz (1 cos ) ux sin 0uz ux (1 cos ) uy sin uy uz (1 cos ) + ux sin u2z + cos (1 u2z ) 0

0 0 0 1

Projektivna geometrijaHomogene koordinate i matricne reprezentacije 2D transformacijaKompozicija 2D transformacijaMatricne reprezentacije 3D transformacijaKompozicija 3D transformacija

homcoord

Documents