ﻢﻴﺣﺮﻟﺍ ﻦﻤﺣﺮﻟﺍ ﷲﺍ ﻢﺴﺑ10 f(x) = 1x = 1 (1 - 1)...

بسم اهللا الرحمن الرحيم

مقدمـة

آخر وتعديله حينًا آخر إلى املدرسي من حني الكتاب في النظر بإعادة التربية وزارة تعنى

واستبداله حينًا آخر وفق ما تقرره جلان مختصة تؤلف لهذا الغرض . وتلقى كتب الرياضيات

نصيبها الوافي من هذه العناية.

وهذا الكتاب الثاني من سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة اإلعدادية للفرع األدبي ، وقد

الثاني اللوغاريتمات، والفصل الفصل األول مبوضوع يبدأ باربعة فصول ، الكتاب رتبنا هذا

ندرس فيه موضوع املتتابعات، أما الفصل الثالث فيتناول موضوع املصفوفات واحملددات،وينتهي

الكتاب مبوضوع اإلحصاء .

لقد مت وضع هذا الكتاب وفقًا للمنهج الدراسي املقرر وحاولنا إن نستخدم الطرق التربوية

يقربها من أعيننا شرح كل مادة من مواده شرحًا املجهود واضعني نصب احلديثة فقمنا بهذا

االفهام وتوخينا اإلكثار من التمارين العملية التي يصادفها الطالب في حياته العملية ، ومتدرجة

من السهل إلى الصعب .

املدرسني أن أبنائناالطلبة ، ونرجو من إخواننا إلى خدمة وختامًا نرجو إن نكون قد وفقنا

يوافونا مبالحظاتهم حول هذا الكتاب لكي نتالفى النقص فيه والكمال هللا وحده.

املؤلفون

äÉjƒ`````````àëŸG

äÉªàjQÉZƒ∏dG : ∫h C’G π°üØdG

7 ............................................. äÉªàjQÉZƒ∏dG øY Iöüà IòÑf

9 ............................................. á«°S C’G ádGódG [1-1]

11 ........................................... á«ªàjQÉZƒ∏dG ádGódG [1-2]

12 ........................................... á«ªàjQÉZƒ∏dG ádGódG ¢UGƒN [1-3]

15 ........................................... ájöû©dG äÉªàjQÉZƒ∏dG [1-4]

16 ........................................... á«©«Ñ£dG äÉªàjQÉZƒ∏dG [1-5]

19 ........................................... áÑ°SÉ◊G ád B’G ΩGóîà°SG [1-6]

äÉ©HÉààŸG : ÊÉãdG π°üØdG

27 .......................................... áeó≤e [2-1]

32 .......................................... á©HÉààª∏d ÊÉ«ÑdG π«ãªàdG [2-2]

36 .......................................... (ájOó©dG) á«HÉ°ù◊G äÉ©HÉààŸG [2-3]

42 .......................................... á«HÉ°ù◊G •É°Sh’G [2-3-1]

43 .......................................... á«HÉ°ù◊G á©HÉààŸG OhóM ´ƒª› [2-3-2]

49 .......................................... á«°Sóæ¡dG äÉ©HÉààŸG [2-4]

53 .......................................... á«°Sóæ¡dG •É°Sh’G [2-4-1]

54 ............................ á«°Sóæg á©HÉààe OhóM øe Ú©e OóY ´ƒª› [2-4-2]

58 ájƒæ°ùdG á©aódG á∏ªLh á«dÉ◊G áª«≤dG ´ƒ°Vƒe ‘ á«°Sóæ¡dG äÉ©HÉààŸG [2-4-3]

59 .......................................... á«dÉ◊G áª«≤dG [2-4-4]


äGOóëŸGh äÉaƒØ°üŸG : ådÉãdG π°üØdG

67 ........................................ áeó≤e [3-1]

68 ........................................ É¡°UGƒNh äÉaƒØ°üŸG [3-2]

70 ........................................ áaƒØ°üŸG áÑJQ [3-3]

74 ........................................ äÉaƒØ°üŸG ´GƒfG [3-4]

75 ........................................ äÉaƒØ°üŸG ™ªL [3-5]

77 ......................................... ™ª÷G á«∏ª©d áÑ°ùædÉH áaƒØ°üŸG Ò¶f [3-6]

79 .......................................... äÉaƒØ°üŸG ⋲∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN [3-7]

81 ......................................... »≤«≤M Oó©H áaƒØ°üŸG ÜöV [3-8]

83 .............................áaƒØ°üe ‘ OóY ÜöV á«∏ª©d ¢UGƒÿG ¢†©H [3-8-1]

85 ........................................ É¡°UGƒNh äGOóëŸG [3-9]

87 ......................................... á«f B’G ä’OÉ©ŸG [3-10]

91 ........................................ á©HôŸG áaƒØ°üŸG äGOó [3-11]

¤h C’G áLQódG øe kÉ«f BG ä’OÉ©e çÓK πM ‘ äGOóëŸG ΩGóîà°SE G [3-12]

95 ......................................... ôeGôc ⋲ª°ùJh äGÒ¨àe çÓãH


AÉ°üM E’G : ™HGôdG π°üØdG

102 ....................................... áeó≤e [4-1]

103 ...................................... âà°ûàdG ¢ù«jÉ≤e [4-2]

103 ....................................... …QÉ«©ŸG ±Gôëf E’G [4-2-1]

107 ....................................... •ÉÑJQ’G [4-3]

108 ....................................... •ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4]

108 ....................................... §«°ùÑdG »£ÿG •ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4-1]

108 ....................................... ¿ƒ°SÒH •ÉÑJQ’G πeÉ©e [4-4-2]

115 ....................................... (»ÑJôdG) ¿ÉeÒÑ°S •ÉÑJQG πeÉ©e [4-4-3]

120 ....................................... QGóëf E’G [4-5]

7

a a˚

الفصل االولCHAPTER 1

اللوغاريتمـــــــات

نبذة مختصرة عن اللوغاريتماتاكتشفت اللوغاريتمات في اوائل القرن السابع عشر، الهميتها في تبسيط احلسابات املعقدة للعلوم

الطبيعية والهندسية . واللوغاريتمات اساسية في احلسابات التجارية والفكرة القائمة عليها اللوغاريتمات

هي حتويل االعداد على شكل أس والتعامل معها عوضًا عن االعداد االصلية.

وفيما يلي بعض استخدامات اللوغاريتمات:-

❍ استخدامه في قياس قوة الزلزال على مقياس ريختر.

❍ يصف الرقم الهيدروجيني للمادة (pH) درجة حموضة املادة ونحسب باستخدام اللوغاريتمات لالساس

pH = - Log (H+) 10 حيث الرقم الهيدروجيني

+H تركيز ايون الهيدروجني في املادة

❍ يستخدم في قياس شدة الصوت (L) بالديسيبل حيث

ــــــــــ L = 10 Log حيث a: شدة الصوت

˚a: اقل شدة للصوت تستطيع اذن انسان عادي ان متيزه

❍ حساب سرعة الصواريخ (V) حيث

V= - 0.0098 N + v0 Ln (R)

N: زمن اشتعال وقود احملرك

v0: سرعة انطالق البخار

R : نسبة كتلة الصاروخ محمل بالوقود الى كتلته بدون وقود

Ln : لوغاريتم الطبيعي

8

√

❍ في االحصاء يستخدم في :

حساب الفائدة املركبة املستمرة a حيث

a = M e R×N

M: املبلغ املستثمر

R: الفائدة

N: عدد السنوات

❍ حساب الوسط الهندسي

Geometric Mean = n X1 . X2 . X3 . ...... Xn

في البنود الالحقة سندرس اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

.kÉØ«¶fh kÉ«ë°U ¬∏©L ⋲∏Y πª©æ∏a ... ÒÑμdG Éæà«H áÄ«ÑdG

9

1 1 ــــ1 ـ8

ـــــ4

ـــــ2

f (x) = 2x لناخذ الدالة احلقيقية

x

الدوال األسية والدوال اللوغاريتميةExponential and Logarithmic Functions

تواصل املوضوع لقد تعرفنا فيما سبق على الدالة احلقيقية واالن سندرس انواع اخرى من الدوال مثل الدالة االسية

والدالة اللوغاريتمية

Exponential Function [1 - 1] الدالة األسية

f اجلدول (1 - 1) يعطينا بعض االزواج املرتبة لبيان الدالة

-3-2-10123x

1248f (x)

اجلدول (1 - 1)

ان كل زوج مرتب ( 2x , ) يعني نقطة في املخطط البياني للدالة f. وبتمثيل االزواج املرتبة في املستوي

االحداثي نحصل على الشكل (1 - 1) الذي ميثل جزءًا من التمثيل البياني للدالة

f (x) = 2x

املعرفة بالقاعدة f : R R+

10

f(x) = 1x = 1

الشكل (1 - 1)

من هذا الشكل ميكننا حتديد قيمة تقريبية للدالة f (x) = 2x عند اي قيمة معلومة للمتغير x، وبالعكس.

فمثًال: عندما x = 1.4 فمن الشكل جند ان 2.7 = 1.4 2 تقريبًا

واذا كان 2x = 6.2 فمن الشكل جند ان x = 2.65 تقريبًا

ان مثل هذه الدالة تسمى دالة اسية وتعرف كما يلي:

تعريف (1 - 1)اذا كان a≠1 ، > 0 فان الدالة:

f : R R+ حيث f (x) = ax ، ∀x ∈ R

a حيث تسمى الدالة األسية لالساس

سنقبل بأن الدالة األسية تقابل.

•مالحظة a ≠ 1 فان دالة ثابتة وهذا وما جعلنا نقول a = 1 اذ اكان

a

f(x) = ax

x

Y

1(ـــــــ , 1 -)2

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4

(3,8)

(2,4)

(1,2)(0,1)

11 510

5

í

لقد درسنا سابقًا الدالة األسية

a لالساس y هو لوغاريتم x ونقول انx = Loga y y = ax

x ∈R , y∈R+

y = a x

Logarithmic Function [2 - 1] الدالة اللوغاريتمية

تواصل املوضوع f: R R+ حيث f (x) = aX

f -1: R+ R Domain هو مجال Codomain هو املجال املقابل للدالة األسية ، ومجالها املقابل R+ فمجالها

الدالة األسية والتي هي تقابل ايضًا والتي تسمى بالدالة اللوغاريتمية .

تعريف (2 - 1)يرمز للدالة العكسية

بالرمز x = Loga y وميكننا ان نكتب العالقة اآلتية

حيث

مثال 1اكتب 3 5 = 125 بالصورة اللوغاريتمية.

احلل 3 5 = 125 يكافئ y = ax صورة أسية

Log 125 = 3 يكافئ x = Loga y

2

í 2 مثال اكتب Log2 32 = 5 بالصورة األسية

احلل Loga y = x يكافئ Log32 = 5 صورة لوغاريتمية

y = ax يكافئ 25 = 32 صورة أسية

!تدريـب اكتب الصورة املكافئة لكل مما يأتي:Log 10000 = 4 ، 7 3 = 343 ، Log 1/25 = -2 ، (0.01)2 = 0.0001

فإن للدالة األسية دالة عكسية

للدالة

f -1 . وهي دالة تقابل

R

ومبا أن لكل دالة تقابل دالة عكسية

12

í

[3 - 1] خواص الدالة اللوغاريتمية

من خواص الدالة اللوغاريتمية ما يلي:

(a) لكل عدد حقيقي موجب لوغاريتم، وليس لالعداد احلقيقية السالبة والصفر لوغاريتمات حقيقية.

(b) مبا ان الدالة اللوغاريتمية تقابل فان:

x = y Loga x =Loga y ، x،y ∈ R+

(c) ملا كان a > 0 ، a ≠ 1 فلكل x ، y ∈ R سنقبل القواعد االتية بدون برهان :

Loga x y = Loga x + Loga y (1)

Loga = Loga x - Loga y (2)

n ∈ R حيث ، Loga x n = nLoga x (3)

Loga a = 1 (4)

Loga 1 = 0 (5)

مثال 3 Log 2 ( ) - Log 2 ( ) + Log 2 ( أثبت ان 1 = (

احلل Log 2 ( ) - Log 2 ( ) + Log 2 ( الطرف االيسر : (

Log 2 × × =

Log 2 2 =

1 =

(و. هـ.م)

+

ــــyx

ــــــ5

17 ــــــ3ــــــ2

4534

ــــــ4534 ــــــ

322

2


94

ــــــ5

17

ــــــ5

17

الطرف االمين

2

13

مثال 4 جد مجموعة حل كل من املعادالت اآلتية :

(a) Log3 x = 4

(b) Logx 64 = 6

(c) Log5 = x

احلل(a) Log3 x = 4 x= 3 4 x = 81

∴ S = { 81}

(b) Logx 64 = 6 64 = x6 2 6 = x6 x = ∓ 2

x = 2 ∈ R+

∴ S = { 2 }

(c) Log5 = x = 5 x 5 -3 = 5 x

∴ x = - 3

∴ S = {-3}

í

ــــــــ125

1

ــــــــ125

1 ــــــــ125

1

∴

14

تمارين [1 -1]

س1/ فيما يلي عالقات غير صحيحة دائما، مثًال اعط x = a ، y = a وبني ذلك.

(a) Loga (x + y) ≠ Loga x + Loga y

(b) Loga (x - y) ≠

(c) Loga x y ≠ Loga x Loga y

(d) Loga x2 ≠ (Loga x)2

: x س2/ جد قيمة

(a) Log10 0.001 = x

(b) Logx = -3

(c) Log10 x = 5

س3/ جد قيمة ما يأتي:

(a) Log10 ( ) + 4 Log10 5 + 2 Log10 6

(b) 2Log10 8 +Log10 125 - 3 Log10 200

(c) Loga (x2 -1) -2 Loga (x -1) + Loga

(d) Log28 - Log327 - Log5625س4/ اذا كانت Log102 = 0.3010 ، Log103 = 0.4771 جد قيمة :

(a) Log100.002 (b) Log103000 (c) Log1012

س5/ حل املعادالت اآلتية:(a) Log3 (2x-1) + Log3 (x+4) = Log3 5

(b) Log2 (3x+5) - Log2 (x-5) = 3

Loga x ــــــــــــــــــ Loga y

ـــــــ81

ـــــــ9

40

(x-1)ـــــــــــــــ(x+1)

15

Decimal - Logarithms [4 - 1] اللوغاريتمات العشرية

تواصل املوضوع a > 0 ، a ≠ 1 سبق وان درسنا اللوغاريتم الي اساس

واالن سنتعرف على لوغاريتم اساسه a = 10 . يسمى اللوغاريتم العشري ( اللوغاريتم االعتيادي). وقد

Log y يكتب بشكل Log10 y اتفق على عدم كتابة االساس (10) حني استعماله. حيث

فمثًال : Log107 يكتب بشكل Log7 وكذلك Log10 0.05 يكتب بشكل Log 0.05 ومن املفيد هنا

Log 10 n = n : ان نذكر بعض اللوغاريتمات للقوى الصحيحة للعدد 10 معتمدين على

+3210-1-2-3-n

3210-1-2-3....Log10 n

..... Log 10 7 = 7 ، Log 10 4 = 4 : فمثًال

..... Log 0.01 = Log 10 -2 = -2 ، Log 0.00001 = Log 10 -5 = -5

16

n ∞n ∞

Natural Logarithms [5 - 1] اللوغاريتمات الطبيعية

تواصل املوضوع

a = 10 تعرفت على اللوغاريتمات العشرية حيث كان االساس

a = e ⋍ 2.71828 واالن سنتعرف على اللوغاريتمات التي اساسها

والتي تسمى باللوغاريتمات الطبيعية والتي تكتب بشكل

e = a ⋍ 2.71828 حيث ln y

اذا وضعنا ، a = e في تعريف (2 - 1) فنحصل على

x = ln y y = e x

•مالحظةلالطالع

e = 2.718281828459045

وميكن ايجادها بالعالقة

lim ( +1)n or lim (2 + + nــــــ ( ... +1 nــــــ


81

!n ∞n ∞

وميكن ايجادها بالعالقة

lim ( +1)n or lim (2 + + + )n( +n( +1( +1+ )ــــــ+ ) ... + nــــــــــــ1

21 ــــــ

81

17

ln e 2X - 1 = ln 8 وحسب النتيجة (1)

í

!نتيجة1ln (ex) = x ، ∀ x ∈ R

البرهانln e x = x ln e

= x × 1

= x

مثال 1 جد قيمة x اذا علمت ان

e 2x - 1 = 8

احلل

∴ 2X - 1 = ln 8

2X = 1 + ln 8

∴ X =

!نتيجة 2 (تبديل االساس)∀a > 0 ، a ≠ 1

Loga x =

أو ميكن أن يكتب بالشكل :

(1 + ln8)ـــــــــــــــــــ2

ln x ـــــــــــــــlna

Log x ـــــــــــــــLog a

Loga x =

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفني

18

البرهانالطرف االيسر

y = Loga x x = a y ..........(1)نفرض

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفي العالقة (1)

ln x = ln a y

ln x = y ln a

= y الطرف األمين

وبنفس الطريقة وبأخذ اللوغاريتم العشري لطرفي العالقة (1) نستنتج إن :

مثال 2

ما قيمة +

احلل

باستخدام نتيجة (2)

í

ln x ـــــــــــــــln a

ــــــــــــــــــــــــln15

ــــــــــــــــــــــــln15

ln15 ln15ln5ـــــــــــــ

ln15ln15ـــــــــــــ = 1

ln3ـــــــــــــ

1ــــــــــــــ

ln5

1ــــــــــــــ

ln3

1ـــــــــــــــــــLog3 15

1ــــــــــــــــــLog5 15

Log x ـــــــــــــــLog a

Loga x =

(ln 3 + ln 5)ــــــــــــــــــــــــــ

ln 15

+

+

19

í

[6 - 1] استخدام اآللة احلاسبة

تواصل املوضوع

بعد دراستنا للوغاريتمات الطبيعية والعشرية وبعض قوانني اللوغاريتمات، االن سندرس كيفية استخدام

احلاسبة Calculator اليجاد لوغاريتم عدد ولوغاريتمات االعداد املقابلة وكتطبيق كما درسناه سابقًا.

اوًال: ايجاد لوغاريتم العدد (Log) : (1) في حالة اللوغاريتمات العشرية

❍ نكتب العدد املراد إيجاد لوغاريتمه ثم نضغط على املفتاح Log فيظهر الناجت .

مثال 1 جد:

(a) Log 7 ، (b) Log 13 ، (c) Log 0.08 ، (d) Log 1.5

احلل

(a) نكتب 7 ثم نضغط على Log فيكون الناجت 0.84509804

Log 7 = 0.84509804 اي

(b) نكتب العدد 13 ثم نضغط Log فيكون الناجت 1.11394335

(c) نكتب العدد 0.08 ثم نضغط Log فيكون الناجت 1.096910013

(d) نكتب العدد 1.5 ثم نضغط Log فيكون الناجت 0.176091259

-

20

(ln):(2) في حالة اللوغاريتمات الطبيعية

❍ نكتب العدد املراد إيجاد لوغاريتمه ثم نضغط على املفتاح ln فيظهر الناجت

مثال 2 جد

(a) ln 7

(b) ln 13

(c) ln 0.08

(d) ln 1.5

احلل(a) نكتب العدد 7 ثم نضغط على ln فيكون الناجت 1.94510149

(b) نكتب العدد 13ثم نضغط على ln فيكون الناجت 2.564949357

(c) نكتب العدد 0.08 ثم نضغط على ln فيكون الناجت 2.525728644

(d) نكتب العدد 1.5ثم نضغط على ln فيكون الناجت 0.405465108

í

-

21

ثانيًا : إيجاد العدد املقابل اذا علم لوغاريتمُه(1) في حالة اللوغاريتمات العشرية:

لالســـود مغاير ويكون 2ndF مفتاح على ونضغط (املعطى) العدد لوغاريتم نكتب ❍

(اصفر ، ازرق...) ثم نضغط على مفتاح Log فيظهر العدد املطلوب.

مثال 3 جد االعداد املقابلة لالعداد التي لوغاريتماتها العشرية هي :

(a) 0.84509804

(b) 1.113943352

(c) - 1.096910013

(d) 0.176091259

احلل(a) نكتب 0.84509804 ثم نضغط على 2nd F ثم نضغط على مفتاح Log فيظهر 7

فيظهر Log مفتاح على نضغط ثم 2ndF على نضغط ثم 1.113943352 نكتب (b)

13 ≃ 12.99999999

-1.096910013 فيظهر = نضغط وثم 0.096910013 نكتب - مفتاح نضغط (c)

ثم نضغط 2nd F ثم Log فيظهر 0.08

(d) نكتب 0.176091259 نضغط على 2nd F ثم Log فيظهر 1.5

•مالحظة (قارن نتائج مثال(1) مع هذا املثال)

í

22

(ln) (2) في حالة اللوغاريتمات الطبيعية

فيظهر ln مفتاح على نضغط ثم 2ndF مفتاح على ونضغط (املعطى) العدد لوغاريتم نكتب m

العدد املطلوب.

مثال 4 جد االعداد املقابلة لالعداد التي لوغاريتماتها الطبيعية هي:

(a) 1.945910149

(b) 2.564949357

(c) 2.525728644

(d) 0.405465108

احلل(a) نكتب 1.945910149 ثم نضغط 2ndF ثم مفتاح ln فيظهر 7

(b) نكتب 2.564949357 ثم نضغط 2ndF ثم مفتاح ln فيظهر 12.99999999 ⋍ 13

(c) نضغط - نكتب 2.525728644 ثم = فيظهر 2.525728644 -

ثم نضغط 2ndF ثم ln فيظهر 0.08

(d) نكتب 0.405465108 نضغط 2ndF ثم ln فيظهر 1.5

í

-

23

í

í

í

ـــــــ7

ـــــــــــــــ Log 5

ـــــــــــــــــــ0.30100.6989

Log 2

14

امثلة تطبيقية على قواعد اللوغاريتمات (استخدم آلتك احلاسبة)

مثال1Log8 5 جد قيمة

احلل بتبديل االساسات الى اساس 10 يكون (نتيجة 2)

Log8 5 = = ⋍ 0.77397

مثال 2 ln 3 + Log 3 جد قيمة

احلل Log 3 = 0.4771 ln 3 = 1.0986

ln 3 + Log 3 1.0986 + 0.4771

= 1.5757

مثال 3 Log5 14 - Log5 7 جد قيمة

احلل Log5 14 - Log5 7

Log5

Log5 2 وباستخدام تبديل االساس

= ⋍ 0.4307

Log 5 ــــــــــــــــ Log 8

0.69897 ـــــــــــــــــــــ 0.90309

∴=

24

مثال 4 x = 3 (65.26 )2 جد قيمة

احلل

x = ( 65.26 )2/3

Log x = Log 65.26 وباستخدام اآللة احلاسبة

Log x = × 1.8147

Log x = 1.2098

x ⋍ 16.2106

مثال 5 3x = 81 حل املعادلة

احلل 3x = 81

نأخد Log7 للطرفني

Log7 7 3x = Log7 81 3x Log7 7 =

3x = باستخدام اآللة احلاسبة

3x =

3x ⋍ 2.2583

x ⋍ 0.7528

7

√

í

í

7

ـــــــ32

ـــــــ32

ــــــــــــــــــLog 7Log 81

ــــــــــــــــــLog 7Log 81

ــــــــــــــــــــ0.84511.9085

∴ S = {0.7528}

25

مثال 6 بفرض انك تستثمر (2) مليون دينار بفائدة مركبة سنوية مستمرة قدرها ٪5.5 . اوجد جملة ما

ستحصل عليه بعد (5) سنوات.

احلل a = M e R × N قانون حساب الفائدة املركبة املستمرة هو

حيث M املبلغ، R : الفائدة ، N عدد السنوات

a = 2000000 × e × 5

a = 2000000 e 0.275 باخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفني

ln a = ln 2000000 + 0.275 Ln e

ln a = 14.78365774

a ⋍ 2633061

مثال 7 جد الوسط الهندسي لالعداد : 99، 120، 110، 93، 105.

الوسط الهندسي =الوسط الهندسي = 99 × 120 × 110 × 93 × 105 5

[(Log 99 + Log 120 + Log 110 + Log 93 + Log 105 )]

(10.105881 )

2.021176

باستخدام اآللة احلاسبة اليجاد العدد املقابل جند ان

الوسط الهندسي = 104.996851

√

ـــــــــ1000

√

ـــــ51=

ـــــ51=

X1 × X2 × X3 ×...... × Xn

n

55

í

í

Geometric mean

Log (الوسط الهندسي)

=

26

√

Loga a b c Logc a b c Logb a b cـــــــــــــــــــــــــ1 ـــــــــــــــــــــــــ1ـــــــــــــــــــــــــ1

تمارين [ 2 - 1]

(استخدم آلتك احلاسبة) Log10 8 ، ، Log5 11 ، ln 20 :س1/ جد قيمة كل من

س2/ جد قيمة كل مما يأتي:(a) 2 Log4 58 - Log7 21(b) Log6 26 + Log 26 + ln 26

س3/ جد قيمة كل مما يأتي:(a) 4 0.0562 (b) (11.023)9

س4/ حل كال مما يأتي:(a) 2x = 25 (b) e 2x+1 = 10س5/ باستخدام قانون الفائدة املركبة a = M e R × N الستثمار مليون دينار بفائدة قدرها ٪ 3.5 وملدة

(3) سنوات. جد جملة ما ستحصل عليه.س 6/جد الوسط الهندسي لالعداد: 4، 82، 90، 89، 71، 60، 88، 96، 84، 93

س7/ اثبت ان :

(a) + + = 1

(b) Log 40/9 + 2(2Log 5 + Log 6) = 5

س8/ اي مقدار (مقادير) يكافئ املقدار 3Log a + Log b؟(a) Log (ab)3 (b) Log a3 b (c) Log a3 × Log b (d) Log a3 + Log b

س9/ اختر االجابة الصحيحة اذا علمت ان Log a × b هي:(a) Log a × Log b (b) Log a + Log b (c) Log (a + b) (d) ليس اي منها

27

Real Numbers

الفصل الثاني CHAPTER 2

Sequences المتتابعات

[1-2] مقدمة

مايهمنا ولكن الرياضيات مادة في السابقة السنوات في (املعلومات) املفاهيم من كثيرًا درسنا لقد

استذكاره في هذا الفصل مايأتي:

1) مجموعة االعداد الصحيحة (Integers ) املوجبة Z+={1,2,3,4,...} التي هي نفسها مجموعة

. االعداد الطبيعية عدا الصفر

2) معنى الدالة(Function ) ومتثيل بعض انواع الدوال

املقابل ومجالها ( Domain)ومجالها اقترانها قاعدة من كل ماكان متى معلومة الدالة تكون (3

(codomain ) معلومًا.

4) تسمى الدالة عددية اذا كان كل من مجالها ومجالها املقابل مجموعات جزئية غير خالية من مجموعة

. «R» االعداد احلقيقية

Z+ في هذا الفصل سندرس دواًال من شكل خاص يكون مجالها مجموعة االعداد الصحيحة املوجبة

[او نفس املعنى مجموعة االعدادالطبيعية عدا الصفر +N ] ومجالها املقابل اي مجموعة غير خالية.

N+ = {...,1,2,3,4} (Natural )

28

n

í

تعريف (2-1)كل دالة مجالها املجموعة +Z [او +N ] او مجموعة جزئية من +Z بالشكل { ,...,1,2,3 } حيث n عدد طبيعي {صحيح}موجب معني ومجالها املقابل مجموعة جزئية غير خالية تسمى

. «sequense» متتابعةفي هذا الفصل سنركز اهتمامنا على دراسة املتتابعات التي يكون مجالها املقابل مجموعات

.«R» جزئية غير خالية من

مبا إن جميع املتتابعات مجالها املجموعة +Z او مجموعة جزئية غير خالية فيها بالفعل { ,...,1,2,3}

سوف نهمل ذكر املجال ونكتفي بذكر قاعدة االقتران فقط.

امثلة

] وأن [ او نقول U1 يسمى احلد االول للمتتابعة ويرمز له U2 يسمى احلد الثاني للمتتابعة ويرمز له

U3 يسمى احلد الثالث للمتتابعة ويرمز له U4 يسمى احلد الرابع للمتتابعة ويرمز له

U5 يسمى احلد اخلامس للمتتابعة ويرمز له U6 يسمى احلد السادس للمتتابعة ويرمز له

يسمى احلد النوني (احلد n) للمتتابعة ويرمز له بالرمز Unوعليه فإن وهكذا U = {(1,-3),(2,-1),(3,1),(4,3),(5,5),...,(n,2n-5),...}

او تكتب بالشكل U = {(n,2n-5): }

ولكن كما ذكرنا اننا سوف نهمل ذكر املجال فلذلك ميكن أن نهمل مجموعة املساقط االولى ونكتفي

بكتابة مجموعة املساقط الثانية U1,U2,U3,U4,...,Un,...

U(n)= 2n-5∀ n∈Z+∀n∈N+

U(2)=2×2-5= -1U(1)=2×1-5= -3

U(6)=2×6-5 = 7U(5)=2×5-5 = 5U(4)=2×4-5 = 3U(3)=2×3-5 =1

U(n)= 2n-5

n

∀ n∈Z +

29

ولتمييزها عن املجموعات سنكتب حدود املتتابعة بني قوسني من الشكل «< >» فنكتب املثال السابق كما يأتي :

<Un>= <U1,U2,U3,U4,...,Un,...> او بالشكل

<-3,-1,1,3,...,2n-5,...>

امثلةاملثال بالشكل اعاله (كما في املتتابعة املتتابعات اآلتية ثم اكتب الستة االولى لكل من اكتب احلدود

السابق) 1) <Un> = <n2>

احلد االولاحلد الثاني

احلد الثالثاحلد الرابع

احلد اخلامساحلد السادس

<Un> = <U1,U2,U3,U4,U5,U6,...,Un,...>

= <1,4,9,16,...,n2,...>

2) <Hn> = <ــــــ>

H1 =1

H2 = ـــــ

H3 = ـــــ

H4 = ــــ

H5 = ــــ

H6 = ــــ

<Hn> = <H1,H2,H3,H4,...,Hn,...>

U1= 11=1

U6= 62=36U5= 52=25U4= 42=16

U3= 32=9U2= 22=4

í

1213141516

1n

30

•مالحظة (١)نالحظ ان املتتابعة تختلف عن املتتابعة

وهذا يعني ان [ H2≠U2 اي ان ] U2=4, H2=2 وكذلك [H1≠U1 اي ان] U1=2, H1=4 ان ترتيب حدود املتتابعة مهم ويؤثر في تغيير املتتابعة اي أن الترتيب يعتبر من اخلواص املميزة للمتتابعات

<Un>=<2,4,6,8,10,12><Hn>=<4,2,6,8,10,12>

.

= <1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...>3) <Un> = 2n+(-1)n

U1 = 2×1+(-1)1 = 2-1=1

U2 = 2×2+(-1)2 = 4+1=5

U3 = 2×3+(-1)3 = 6-1=5

U4 = 2×4+(-1)4 = 8+1=9

U5 = 2×5+(-1)5 = 10-1=9

U6 = 2×6+(-1)6 = 12+1=13

<Un> = <U1,U2,U3,...,2n+(-1)n,...> = <1,5,5,9,9,..., 2n+(-1)n,...>

4) U1 = 1 , Un+1 = (n+1) .Un

U1 = 1 U2 = 2U1 = 2 × 1 =2

U3 = 3U2 = 3 × 2 = 6 U4 = 4U3 = 4 × 6 =24

U5 = 5U4 = 5 × 24 = 120

U6 = 6U5 = 6 × 120 = 720

<Un> = <U1,U2,U3,...,(U1 =1, Un+1 = (n+1) .Un),...> = < 1,2,6,24,...,(U1 =1, Un+1 = (n+1) .Un),...>

31

•مالحظة (٢)الحظ االمثلة اآلتية

1) <Un> = <n2-n> U1 = 12 - 1 = 0 U2=22-2=2 U3 = 32 - 3= 6 U4 = 42-4 = 12

n Un=n2-n يسمى احلد الثاني، ... وان U2 حدها U1 يسمى احلد االول للمتتابعة، تعلمنا ان (النوني) للمتتابعة ويسمى ايضًا بحدها العام(General Term ) اي انه في هذا املثال :

Un=n2-n = (احلد النوني) = احلد العام

2) <Hn> = <2n-1> H1 = 21-1 = 20 = 1 , H2 = 22-1 = 2 H3 = 23-1 = 22 = 4 ...

Hn = 2 n-1 واحلد العام للمتتابعة هو

•مالحظة (٣){ ,...,1,2,3} مرتبة وبالشكل «Z+» املتتابعة التي يكون مجالها مجموعة جزئية غير خالية منتصاعديًا ابتدًا بالعدد (1) الى العدد املعّني (n) تسمى متتابعة منتهية( Finite Sequence ) اما التي

.( In�nite Seqence ) تسمى متتابعة غير منتهية «Z+» مجالها

امثلة1) U : {1,2,3,4,5,6} R

معّرفة كما يأتي تكتب بذكر حدودها بالشكل

< Un > = < -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 > = < U1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 >

n = 6 وعدد حدودها U6 = 3 وحدها االخير U1 = -7حيث حدها االول

Un= 2n-9

n

í

32

1,2,3,4

Hn = ــــــــــn+1n

1+1ــــــــــ 1


5+15

ــــــــــ

9+19


7+17


4ــــــــــ 365


109


87




6+16


10+110


8+18





1110


98





76

ــــــــــ 1110






2) H : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Rمعّرفة كما يأتي

H1 = = 2 H2 = =

H3 = = H4 = =

H5 = = H6 = =

H7 = = H8 = =

H9 = = H10 = =

< Hn > = < H1 , H2 ,H3 ,H4 , H5 , H6 , H7 , H8 , H9 , H10 >

= < 2 , , , , , , , , , >

H1 = 2 حدها االول

H10 = حدها االخير

n = 10 عدد حدودها

[ 2 - 2] التمثيل البياني للمتتابعة:

بالشكل مجموعة او Z+ أما مجالها عددية دوال هي دراستنا موضوع املتتابعات ان مبا { n ,... , } بشرط أن (n) عددًا صحيحًا موجبًا معني وإنه ميكن متثيل املتتابعات باشكال

بيانية وكما موضح في االمثلة اآلتية :

1110


33

أمثلةمثل االشكال البيانية لكل من املتتابعات االتية:

1) <Un > = < 7 - 3n >لتمثيل املتتابعة بيانيا نكتب عددًا معقوًال من حدودها ابتداءًا من احلد االول ثم نرسم محوري االحداثيات [محور السينات x - axis ومحور الصادات y - axis] ونعني املجال على محور السينات ونعتبر املجال

املقابل «R» [اذا لم يذكره] والذي يعني على محور الصادات فنقول:U1 = 4 , U2 =1 , U3 = -2 , U4 = -5 , U5 = -8

ونعني النقط( 1 , 4 ) , ( 2 , 1) , ( 3 , -2) , (4 , -5 ) , ( 5 , -8 )

2) < Hn > = < (-1)n> H1 = -1 , H2 = 1 , H3 = -1 , H4 = 1 , H5 = -1 , H6 =1

ونعني النقط(1,-1) , (2,1) , (3,-1) , (4,1) , (5,-1) , (6,1)

í

Y

X(2,1) (4,1) (6,1)

(1,-1) (3,-1) (5,-1)

Y

X

(1,4)

(2,1)

(3,-2)

(4,-5)

(5,-8)

34

(1,0)

Y

X

3(ـــــــ ,2)2



5(ـــــــ ,4)4 7(ـــــــ ,6)

6

(1,-4)

Y

X(2,-2)

(3,0)

(4,2)

(5,4)

(6,6)

(7,8)

3) < Gn > = < 1 + >

G1 = 1-1 = 0 G2 = =

G3 = = G4 = =

G5 = = G6 = =(1 , 0 ) ، ( 2 , ) ، ( 3 , ) ، ( 4 , ) ، ( 5 , ) ، ( 6 , نعني النقاط (

4) < Hn > = < -4 ,-2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8 >نالحظ ان هذه املتتابعة هي متتابعة منتهية وعليه نرسم حدودها بتعيني النقط

(1,-4) ، (2,-2) ، (3,0) ، (4,2) ، (5,4) ، (6,6) ، (7,8)

13

ــــــــــ -1



54




15

ــــــــــ -1

12

ــــــــــ +1

14


16


32


54


76



23


(-1)n

n ــــــــــ

35

{

تمارين [1- 2]

لكل من املتتابعات االتية اكتب احلدود السبعة االولى ثم مثلها بيانيًا:

1) < Un> = <1+(-1)n >

2) < Hn > = <1 / n2+1>

3) < Hn > = <n2 -3>

4) < Un > = <10 -2n>

5) < Gn > = <4>

عندما n عدد فردي 3

6) Un =

عندما n عدد زوجي 3-

7) < Mn > = < -3 (-1)n>

8) < Gn > = <3 n-1>

9) < Mn > = < >

10) < Un > = < >

1-2nـــــــــــــn

ــــــ8n

{

< Hn > = <n2 -3>

< Un > = <10 -2n>

< Gn > = <4>

{ { عدد فردي 3 n عندما

Un = {= {

-{

-{

عدد زوجي 3 n عندما

36

í

Hn+1 - Hn = -5

Arithmetic Sequences (العددية) [3-2] املتتابعات احلسابية

أمثلة

لنالحظ االمثلة االتية:1) < Un > = < 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 >2) < Hn > = < 30 , 25 , 20 , 15 , 10 , 5 , 0 , -5 , -10 , -15 >3) < Gn > = < 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 >

نالحظ في املثال االول ان U2 - U1 = 3 , U3 - U2 = 3 , U4 - U3 = 3 , U5 - U4 = 3 ...

Un+1-Un =3 ان اي ثابت مقدار وهو مباشرة =3 يليه الذي احلد من حد كل طرح ناجت وهكذا [عدد(مقدار)ثابت].وفي املثال الثاني فان

H2 - H1 = -5 , H3 - H2 = -5 , H4 -H3 = -5 , H5 - H4 = -5 , H6 - H5 = -5

وهكذا ناجت طرح كل حد من احلد الذي يليه مباشرة = 5- وهو عدد(مقدار) ثابت أي أن:

اما في املثال الثالث فان :G2 - G1 = 3 , G3 - G2 = 5 , G4 - G3 = 7 , G5 - G4 = 9

نالحظ ان ناجت طرح كل حد من احلد الذي يليه مباشرة متغير لذا فإنها ليست متتابعة حسابية، املتتابعات [ d نفرض العدد الثابت] Un+1-Un = التي كما في املثالني (1)، (2) والتي حتقق الشرط عدد ثابت

تسمى متتابعة حسابية.

تعريف (2-2) Un+1-Un = حسابية اذا كان ، مقدار ثابت <Un> تسمى املتتابعة

Un+1= Un+d ونفس املعنى Un+1-Un = d اي ان (d) وليكن∀n∈Z+

37

حيث العدد الثابت d يسمى اساس املتتابعة وعليه لو كانت <Un> متتابعة حسابية وحدها االول U1 = a واساسها = d فإن :

U1 = a , U2 = a + d , U3 = a+ 2d , U4 = a + 3d , U5 = a + 4d

ويكون حدها العام (احلد النوني)

Un = a + (n-1) d

وعليه تكون املتتابعة <Un> = < a , a + d , a + 2d , ... , a + (n-1) d , ... >

امثلة

اكتب احلدود الستة االولى لكل من املتتابعات احلسابية اآلتية:

d = 2 واساسها H1 = -7 1) حدها االول< Hn > = < -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , ... >

d = -1 واساسها U1 = 2) حدها االول< Un > = < , , , , , , ... >

d = -3 واساسها M1 = 10 3) حدها االول<Mn > = < 10 , 7 , 4 , 1 ,-2,-5,...>

í

5ــــ25

ــــ2

3ــــ2

1ــــ2

-1ــــ2

-3ــــ2

-5ــــ2

38

امثلة

1) اكتب احلد الثامن للمتتابعة احلسابية التي حدها االول = 3- واساسها (7) Un = a + (n-1) d لدينا قانون احلد العام

في هذا املثال لدينا n = 8 , d = 7 , a = -3 (ترتيب احلد املطلوب) U8 = -3 + (8-1) . 7 وبالتعويض نحصل

احلد الثامن 3+49- = = 46

2) اكتب احلد العاشر للمتتابعة احلسابية التي حدها االول (12)واساسها (3-)

احللUn = a+(n-1).d

a = 12 ,d = -3 , n = 10U10 = 12+(10-1) .-3

=12-27 =-15

3) استؤجر عامل في اول سنة براتب قدره (200000)دينار على ان يعطى زيادة ثابتة في نهاية كل شهر مبلغًا مقداره (15000) دينار فكم يبلغ راتبه في نهاية السنة ؟

نالحظ ان راتب الشهر االول = 200000 دينار راتب الشهر الثاني = 215000 بعد الزيادة للشهر االول

راتب الشهر الثالث = 230000 بعد الزيادة للشهر الثاني راتب الشهر الرابع = 245000 بعد الزيادة للشهر الثالث

d = 15000 اساسها a = 200000 نالحظ ان مبالغ الرواتب تكون متتابعة حسابية حدها االولواملطلوب ايجاد الراتب في نهاية السنة الذي هو(Hn) حيث n = 12 [السنة (12) شهرًا]

Hn = a+(n-1)d H12 = 200000+(12-1).15000 فيكون

=200000+165000 =365000

دينار راتبه الشهري في نهاية السنة

í

39

4) متتابعة حسابية حدها االول=7 وحدها السادس= 8- جد اساسها واكتب احلدود اخلمسة االولى منها

Un = a+(n-1).d

a = 7,U6 = -8, n = 6-8 = 7+(6-1)(d)

-8 -7 = 5d

-15 = 5d

d = -3

U1 = 7 , U2 = 4 , U3 = 1 , U4 = -2 , U5 = -5

5) في املتتابعة احلسابية < ...,42,39,36> جد رتبة احلد الذي قيمته (6-) واي حد فيها يساوي صفر

Un = a+(n-1).d

Un = -6 , a = 42

d=U2-U1= 39 - 42 = -3

-6 = 42 +(n-1)(-3)-6 = 42- 3n+3

3n = 42 + 6 + 3 = 51

n = = 17 رتبة (ترتيب) احلد الذي قيمته (6-) هو U17 = -6 اي ان

n املطلوب ايجاد Un = 0 , a = 42 , d = -3 اذا كان =0

42-3n+3=0

3n = 45

n = =15

اي ان احلد اخلامس عشر = صفر

U15 = 0

51ـــــ3

45ـــــ3

42+(n-1)(-3)

40

6) اذا كان احلد العاشر في متتابعة حسابية يساوي (62) واساسها يساوي (5) اكتب املتتابعة مبتدًا من

احلد االول

Un = a + (n-1) . d

U10 = 62 , d = 5 , n = 10 , a = ?

62 = a + (10-1)(5)

62 = a + 45

a = 17 احلد االول

< Un > = < 17 , 22 , 27 , 32 , ... >

7) جد املتتابعة احلسابية التي حدها التاسع = 5 وحدها الثالث عشر = 3-

Un = a + (n-1).d

U9 = 5 , U13 = -3 , a = ? , d = ?

5 = a + (9-1) d

(1 ....... 5 = a + 8d

-3 = a + (13-1)d

(2 ...... -3 = a + 12d

5 = a 8d

-8 = 4d

d = -2 االساس

5 = a + 8 (-2)

5 + 16 = a

a = 21 احلد االول

< ... , Un > = < 21 , 19 , 17 , 15 > املتتابعة

بالطرح± ± ±

تعوض في (١)

41

< Un > = < 3n + 1 > 8) املتتابعة

توجد اربع اجابات واحدة منها صحيحة . اختر االجابة الصحيحة :

أ) اساسها = 3 وحدها اخلامس = 15

ب) اساسها = 3- وحدها الرابع = 13

جـ) اساسها = 4 وحدها االول = 6

د) اساسها = 3 وحدها الثالث = 10

احلل

< Un > = < 3n + 1> املتتابعة

<Un > = < 4 , 7 , 10 , 13 ,16 >

حدها االول = 4 اساسها = 3

الفرع أ خطأ ، الفرع ب خطأ ، الفرع جـ خطأ

الفرع د صحيح

42

í

Arithmetic Means [1-3-2] االوساط احلسابية

<a,b,c,g,...,k> بحيث يكون b,c,g , ... وادخلنا بينها االعداد املرتبة k,a اذا كان لدينا العددان

متتابعة حسابية ، االعداد ... , b,c,g تسمى اوساط حسابية للعددين a,k وبذلك يكون :

عدد حدود املتتابعة = عدد االوساط احلسابية+ 2

k = وحدها االخير a = واحلد االول للمتتابعة

مثال أدخل ستة اوساط حسابية بني 2,37

عدد احلدود = 6+2=8

U8=37 , a=2

Un=a+(n-1).d

37=2+7d

35=7d

d=5

<Un > = <2,7,12,17,22,27,32,37 > : املتتابعة هي

االوساط هي : 7,12,17,22,27,32

43

í

[2-3-2] مجموع حدود املتتابعة احلسابية

a = حدها االول (d) متتابعة حسابية اساسها <Un> لتكن <Un> = < U1, U2 , U3 , U4 , ...>

= <a , a+d , a + 2d , a+3 d ,...> ولنرمز ملجموع (n) من احلدود من هذه املتتابعة بالرمز (Sn) ابتداًء من احلد االول فإن :

Sn = a+(a+d)+(a+2d)+...+(Un-2d)+(Un-d)+Un.....(1)وميكن كتابة املجموع ( Sn) بالشكل :

Sn = Un+(Un-d)+(Un-2d)+...+(a+2d)+(a+d)+a ......(2)وبجمع املعادلتني (1)، (2) نحصل على :

2Sn = (a+Un)+(a+Un)+ ... + (a+Un)عدد املقدار Un هو n من املرات فيكون :

2Sn = n(a+Un)Sn = (a+Un).....1

Un = an عدد احلدود ابتداًء من احلد االول وبالترتيب الى احلد (n) حيثومبا ان Un = an وان Un = a+(n-1)d وبالتعويض في (1) نحصل على ان:

Sn = [2a+ (n-1).d] d =االساس ، a = احلد االول ، n= حيث عدد احلدود

امثلة

1) جد مجموع احلدود العشرة االولى من املتتابعة

<Un> = < 17 , 22 , 27 , 32 , ... >Sn = [2a+ (n-1).d]n =10 , a =17 , d =22-17=5S10 = [2×17+(10-1)×5]S10 = 5 [ 34 + 45 ] = 5×79 = 395

ـــ2n

ـــ2n

ـــ2

10

ـــ2n

44

او بطريقة اخرى

a =17 ,n =10 ,d = 22-17 = 5

Un = a+(n-1).d

U10 = 17+(10-1)×5

= 17+45 = 62

Sn = [a+ Un]

= [ 17+62] = 5×79 = 395

2) بّني نوع املتتابعة التي حدها العام <Hn>=<2n-7 > وأوجد مجموع احلدود اخلمسة عشر االولى

منها

Hn = 2n-7

H1 = 2×1-7 = -5 احلد االول

H2 = 2×2-7= -3 احلد الثاني

H3 = 2×3-7 = -1 احلد الثالث

H4 = 2×4-7 = 1 احلد الرابع

فيها حسابية املتتابعة تكون وعليه 2= ثابت مقدار مباشرة وسابقه حد كل بني الفرق ان نالحظ

H1 = -5

d = (-3) - (-5) =2

n = 15

S15 = [2×(-5)+(15-1)(2)]

S15 = [-10+28]

= × [18] = 135

ـــ2n

ـــ2

10

ـــ2

15

ـــ2

15

ـــ2

15

45

3) جد عدد االعداد الصحيحة احملصورة بني (100) ، (1000) والتي تقبل القسمة على (9) بدون باٍق

ثم جد مجموعها.

فتقول (9) على (100) نقسم (100) بعد باق بدون (9) على القسمة يقبل عدد اول اليجاد

11= والباقي 1 ولكي يكون الباقي يقبل القسمة على (9) بدون باقي نضيف له (8) فيكون اول

عدد بعد (100) يقبل القسمة على (9) وبدون باق هو (108).

وأليجاد آخر عدد يقبل القسمة على (9) بدون باق قبل (1000) نقسم (1000) على (9) فنقول

111= والباقي (1) وعليه يكون اخر عدد يقبل القسمة على (9) بدون باق 999 = 1000-1

وعليه االعداد الصحيحة احملصورة بني (100)، (1000) والتي تقبل القسمة على (9) بدون باق تكون

متتابعة حسابية هي:

<Un> = <108,117,126,135,...,999>

اآلن لدينا:

a =108 , d = 9 , Un = 999 , n = ?

Un = a+(n-1).d

999 =108+(n-1)(9)

999 =108+9n-9

999 - 99 = 9n

n = = 100

ــــــــ9

100

ـــــــــــ9

1000

ــــــــ9

900

999 =108+(n-1)(9)

999 =108+9n-9

999 - 99 = 9n

900 = =9 = =9 = =ــــــــ = =ــــــــ100 = =

46

مجموع االعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على (9)بدون باق ومحصورة بني (100)، (1000)

Sn = [a+Un]

n = 100 , a = 108 , Un = 999

S100 = [108+999]

S100 = [108+999]

= (50) (1107) = 55350

4) جد عدد االعداد الصحيحة املوجبة الفردية التي اقل من (200) ثم جد مجموعها.

االعداد الفردية الصحيحة املوجبة التي اقل من (200) هي 199 , ... , 1,3,5,7,9

a =1 , d = 2 , Un =199 : تكون متتابعة حسابية فيها

Un = a+(n-1).d

199 =1+(n-1) (2)

199 = 1+2n-2

200 = 2n

n = = 100 عدد االعداد

Sn = [a+Un]

S100 = [1+199]

S100 = 50×200 = 10000 مجموع االعداد

ــــــــ2

100

ــــــــ2

200

ـــ2n

ـــ2n

ــــــــ2

100

ــــــــ2

100

47

تمارين [2- 2]

1) لكل مما يأتي اربع اجابات واحدة منها فقط صحيحة. اختر اجلواب الصحيح

<10-5n > أ) املتتابعة1) اساسها (5) وحدها العاشر = 40- 2) اساسها (5-) وحدها العاشر = 40

3) اساسها (5-) وحدها العاشر = 40- 4) ليس ايًا مما ذكر .

ب) اذا كانت < x,y,9,11,13 ,...> متتابعة حسابية فان : Y= -7 , X=-5(1

Y= -7 , X=5 (2Y= 7 , X=-5 (3

Y= 7 , X= 5 (4

2) جد احلد الثالث عشر من املتتابعة < ... , 12, 4 , 4- >

3) جد عدد احلدود واالساس للمتتابعة املنتهية التي حدها االول =9 وحدها االخير = 6- ومجموع حدودها .24 =

4) جد عدد االعداد الصحيحة احملصورة بني (100)، (1000) والتي تقبل القسمة على (12) بدون باق ثم جد مجموعها .

5) رتبت مقاعد قاعة في (25) صفًا يحتوي الصف االول على (20) مقعدًا والثاني على (21) مقعدًا والثالث على (22) مقعدًا فما عدد املقاعد في القاعة ؟

6) جد مجموع االعداد الصحيحة غير السالبة التي اقل من (500).

48

ثم جد حدها d = -4 وأساسها االول=7 التي حدها احلسابية للمتتابعة االولى الستة احلدود اكتب (7

اخلامس عشر ومجموع احلدود العشرة الثانية منها.

8) ضع ثمانية اعداد صحيحة بني 38 , 2 لتتكون لديك متتابعة حسابية حدها االول = 38 وحدها االخير=2

ثم جد مجموع هذه االعداد.

9) اذا بدأ بالعدد 5 فان االعداد القابلة للقسمة على (5) بدون باقي هي ...,5,10,15 ما مجموع اول

(30)عددًا منها .

10) كم من االعداد يجب ان تأخذ من املتتابعة <...,1,2,3,4> لتحصل على مجموع يساوي (5050)؟

11) جد عدد حدود املتتابعة <61،..., 14-,17-, 20-> ثم جد مجموع حدودها.

12) جد املتتابعة احلسابية التي حدها اخلامس=8 وحدها الثامن عشر =31- ثم جد مجموع احلدود العشرة

االولى منها.

13) ادخل عشرة اوساط حسابية بني 3,36

-740 = حدودها ومجموع -3 = االخير قبل ما وحدها -71= الثاني حدها حسابية متتابعة (14

جد املتتابعة.

49

Geometric Sequences [4-2] املتتابعات الهندسية

لنالحظ املتتابعات اآلتية:

1) < 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , ... >

2) < 64 , -32 , 16 , -8 , 4 , -2 , ... >

3) < 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ... >

نشاهد في املثال االول ان:

= = = = ... = 3

اي ان ناجت قسمة اي حد على احلد السابق له مباشرة مقدار ثابت (او عدد ثابت) هو (3) في هذا املثال

وفي املثال الثاني ان:

= = = = = ...=

)كل اي ان ناجت قسمة اي حد على احلد السابق له مباشرة مقدار (عدد) ثابت في هذا املثال هو (

التي يكون املتتابعة الهندسية هي املتتابعة املثالني تسمى متتابعة هندسية اي ان التي مثل هذين املتتابعات

فيها ناجت قسمة اي حد فيها على احلد السابق له مباشرة مقدار (عدد) ثابت يسمى اساس املتتابعة ونرمز له

باحلرف (r) وبشرط ال يوجد حد فيها قيمته صفر

اما املثال الثالث فال ميثل متتابعة هندسية ألن ≠

ـــــ2

-1

6ــــ 2

18ــــ 6

54ــــ 18

162ــــــــ 54

-32ـــــــ64

16ـــــ

-32

-8ــــــ16

4ــــ-8

-2ـــــ4

-1ـــــ2

7ــــ5

9ــــ7

50

U2ــــــU1

U3ــــــU2

U4ــــــU3

UnـــــــــــــUn-1

تعريف (2-3) املتتابعة <Un> تسمى متتابعة هندسية اذا حتقق الشرط

= = = ... = = r عدد ثابت

nZ + لكل Un≠0 يسمى اساس املتتابعة وبشرط

وعليه يكون في املتتابعة الهندسية

نرمز للحد االول للمتتابعة الهندسية <Un> بالرمز «a» واالساس بالرمز (r) فان

<Un > = < U1 , U2 , U3 , U4 , ..., Un , ...>

= < a , ar , ar2 , ar3 , ... , arn-1 , ...>

ألن كل حد في املتتابعة الهندسية = احلد السابق له مباشرة × االساس

اي ان احلد العام (احلد النوني) للمتتابعة الهندسية

Un = r.Un-1

Un = arn-1

امثلة1) اكتب احلدود الستة االولى للمتتابعة الهندسية التي حدها االول = 64 واساسها ( )

U1= 64

U2 = = 64 × = -16

U3 = = -16 × = 4

U4 = = 4 × = -1

U5 = = -1 × =

U6 = = × =

íـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1 ـــــ16ـــــ1-

41

ـــــ41

∈ = rUnـــــــــــــUn-1

U1.r

U2.r

U3.r

U4.r

U5.r

51

ــــــ7

14

او بطريقة ثانية

U1 = a = 64

U2 = ar = 64 × = -16

U3 = ar2 = 64 × ( )2 = 4

U4 = ar3 = 64 × ( )3 = -1

U5 = ar4 = 64 × ( )4 =

U6 = ar5 = 64 × ( )5 =

2) جد احلد السادس في املتتابعة الهندسية <..., 7,14,28>

a=7 ,r= =2 ,n=6

Un = a r n-1

U6=7×25=7×32 = 2243) متتابعة هندسية حدها االول = 3 وحدها اخلامس = 48 جد حدها الثامن

Un = arn-1

U5 = ar4 3r4 = 48

r4 = 16 r = ±2

وهذا يعني وجود جوابني [اي متتابعتني حتققان شروط السؤال]

االولى: حدها االول = 3 واساسها = 2 U8 = 3 × 27 = 3 × 128 = 384 فيكون احلد الثامن

الثانية: حدها االول = 3 واساسها = 2-

U8 = 3(-2)7 = 3×-128 = -384 فيكون احلد الثامن

ـــــ16ـــــ1-

4-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ4

-1

ـــــ41

52

4) اي حد في املتتابعة الهندسية <...,2,10,50,250> يساوي 781250 r= = 5 Un = arn-1

781250 = 2 × (5)n-1 2 وبالقسمة على 5n-1 = 390625 5n-1 = (5)8

n-1 = 8 n = 9 رتبة (ترتيب) احلد

5) جد املتتابعة الهندسية التي حدها السابع (625) وحدها الرابع (5-) Un = arn-1

U7 = ar6 = 625 ......(1) احلد السابع U4 = ar3 = -5 .......(2) احلد الرابع

بقسمة طرفي املعادلة (1) على املعادلة (2) نحصل على: ـــــــــــــ = ـــــــــــــ

r3 = -125

r = -125 = -5 االساس

وبالتعويض في املعادلة (2) نحصل على

-5 = a . ( -5 )3

a = =

∴ < Un > = < , , 1 , -5 , ... >

ــــ2

10

ar6

ar3625-5

√3

ـــــــــ-125

-5 ـــــــــ251

ـــــــــ251 ـــــــــ

5-1

53

í

Geometric Means [1-4-2] االوساط الهندسية

<a,b,c,g,...,h> بحيث يكون b,c,g،... وادخلنا بينها االعداد املرتبة a,h اذا كان لدينا العددانمتتابعة هندسية ، االعداد ...،b,c,g تسمى اوساط هندسية للعددين a,h وبذلك يكون :

عدد حدود املتتابعة = عدد االوساط + 2 a = احلد االول للمتتابعة

h = وحدها االخير

امثلة

1) ادخل ستة اوساط هندسية بني 640،5

عدد احلدود = 2 + 6 = 8

Un = U8 = 5

U1 = a = 640

Un = arn-1

5 = 640 × r8-1

r7 = = = ( )7

∴ r =

<Un> = <640,320,160,80,40,20,10,5> املتتابعة

االوساط هي 320,160,80,40,20,10


5 ـــــــــ128

1 ــــــ21

ــــــ21

54

[2-4-2] مجموع عدد معني من حدود متتابعة هندسية

تعلمنا ان املتتابعة الهندسية التي حدها االول = a واساسها = r هي:<Un> = <a,ar,ar2,...,arn-1,...> : هي منتهية متتابعة املختارة املتتابعة فتكون االول احلد من ابتداءًا حدًا (n) اخذنا واذا

<a , ar , ar2 , ... , arn-1> ولو رمزنا بالرمز Sn ملجموع هذه احلدود يكون :Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... +arn-1 ........(1)

وبضرب طرفي املعادلة (1) في (r) نحصل على r Sn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 +arn ........(2)

وبطرح املعادلة (2) من املعادلة (1) نحصل على

Sn - r Sn = a - a rn

( 1-r ) Sn = a (1-rn)

Sn = r ≠1 بشرط

Sn = na ويكون < a , a , a , ... a > هي (n) تكون املتتابعة املنتهية التي عدد حدودها r = 1 وعندما

امثلة 1) جد مجموع احلدود الستة االولى من املتتابعة الهندسية <..., 3,9,27,81>

a = 3 ، r = = 3 ، n = 6

Sn =

S6 =

S6 =

S6 = 3× = 1092

ــــ39

ــــــــــــــــــــ (1-r)

a (1-rn)

ــــــــــــــــــــ (1-r)

a (1-rn)

3(1-36) ــــــــــــــــــــ (1-3)

-2ــــــــــــــــــــــــ (1-729)3

ــــــــــــــــــ (728-)-2

í

55

2) ما مجموع حدود املتتابعة الهندسية التي حدها االول = 3 وحدها االخير = 48 واساسها = 2

Un = ar n -1

48 = 3 ×2n -1 2n-1 = 16 = 24 n-1 = 4

n = 5

Sn =

S5 = =

S5 = (-3).(-31) = 93

3) اذا كان مجموع احلدود الستة االولى من متتابعة هندسية يساوي تسعة امثال مجموع احلدود الثالثة االولى منها فما اساس املتتابعة ؟

Sn =

S6 =

S3 =

= 9 × ( 1-r) بالضرب في

a(1-r6) = 9a (1-r3) (1-r6) وحتليل a بالقسمة على

(1-r3) بالقسمة على(1-r3) (1+r3) = 9 (1-r3) 1+r3 = 9 r3 = 9-1 r3= 8 r = 2 االساس

a(1-rn)ـــــــــــــــــــ (1-r)

(1-2)ـــــــــــــــــــــ(1-25)3 ـــــــــــــــــــــ

-13(1-32)

a(1-rn)ـــــــــــــــــــ (1-r)

(1-r)a(1-r6)ـــــــــــــــــــ

(1-r)a(1-r3)ـــــــــــــــــ



56

4) متتابعة هندسية مجموع احلدود الثالثة االولى منها (26) ومجموع احلدود الثالثة التالية لها (702)

فما هي املتتابعة ؟

Sn =

S3 = = 26 .....(1)

مجموع احلدود الستة االولى 728 = 26+702

S6 = = 728 ........(2)بقسمة املعادلة (2) على املعادلة (1)

÷ =

× = 28

1+r3 = 28 r3 = 27 r = 3

نعوض في املعادلة (1) نحصل

26 =

26 =

-52 = -26a

a = 2

<Un> = < 2,6,18,54,...> املتتابعة

a(1-rn)ـــــــــــــــــــــ(1-r)





26 ـــــــــــــ728

a(1-r3)(1+r3)ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ(1-r) a(1-r3)

(1-r)ــــــــــــــــــــ

(1-3)a(1-33)ـــــــــــــــــــ

-2a(1-27)ـــــــــــــــــــ

57

a+ar+ar2ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ar3+ar4+ar5

a(1+r+r2) ــــــــــــــــــــــــــــــــ ar3(1+r+r2)

26ــــــــ702

a(1+r+r2) ــــــــــــــــــــــــــــــar3(1+r+r2)

1ـــــــ27

طريقة ثانية

a + ar + ar2 = 26 مجموع احلدود الثالثة االولى

مجموع احلدودالثالثة التالية:

ar3 + ar4 + ar5 = 702

= = =

r3 = 27 r = 3

a(1+3+9) = 26 13 a = 26 a = 2

58

[3-4-2] امثلة تطبيقية على املتتابعات الهندسية في موضوع القيمة احلالية وجملة الدفعة السنوية

الرموز املستخدمة :

املبلغ (Amount) يرمز له «A» السعر (Price) ميثل ربح املئة في سنة واحدة يرمز له «P» الربح

. «T» يرمز له (Time) الزمن (Pr) ويرمز له (Pro�t)

اجلملة هي ( املبلغ + الربح) [ Wholesale] وهي مايؤول اليه املبلغ املوضوع بسعر معني بعد فترة

من الزمن .

(Simple pro�t) والربح اما يكون بسيطًا «C» ويرمز له [Current Value ] القيمة احلالية

. (Compound pro�t) او مركبًا

الربح البسيط يرمز له (S.pr) ويحسب على رأس املال (املبلغ) فقط وفق القانون:

S.pr =

اما الربح املركب يرمز له (C.pr) يحسب على رأس املال وعلى الربح ايضًا وميكن حساب جملة املبلغ

الذي يحسب له ربحًا مركبًا وفق القانون :

W = A(1.0P)T

وقد تضاف االرباح في كسور من السنة فمثًال قد تضاف االرباح في نهاية كل ستة اشهر اي مرتني في

السنة او كل اربعة اشهر اي ثالث مرات في السنة وهكذا فيكون القانون بالشكل:

W = A [ 1 + ]n

حيث (n) عدد املرات تضاف االرباح في السنة

100 A.T.Pـــــــــــــــــ

0.0Pــــــــــــn

حيث ان A املبلغ ، T الزمن ، P الربح

59

í

Current value [4-4-2] القيمة احلالية

في بعض القضايا التجارية قد يحتاج البعض احلصول على املال قبل موعد االستحقاق لدفع املبلغ في مثل هذه االحوال يعمدون الى تنزيل قيمة املبلغ وعندئذ يخصم من املبلغ مقدارًا من املال يسمى عمولة (او تنزيل

داخلي).

فمثًال :اذا كان لدى احدهم كمبيالة قيمتها (A) تستحق الدفع بعد (t) من الزمن بالسنني واراد ان ينزلها عند احد املصارف فإن املصرف يأخذ عليها عمولة وهذه العمولة هي عبارة عن ربح املبلغ املعطى لصاحب الكمبيالة بحيث لو وضع بالربح املركب ملدة (t) من السنني وبسعر(P%) تصبح جملة (A) وهكذا املبلغ املعطى لصاحب الكمبيالة يسمى القيمة احلالية (C) بينما (A) يسمى القيمة الالسمية للكمبيالة وعلى هذا فإن القيمة احلالية ملبلغ معني هي املبلغ الذي تعير جملته في نهاية املدة مبقدار املبلغ املعني وعليه يكون:

A = C . (1.0P)t

C =

C = A.(1.0P)-t امثلة

1) لدى رجل كمبيالة مببلغ (3) ماليني دينار تستحق الدفع بعد مرور (5) سنوات ولكنه اراد ان يستلم قيمتها االن فإذا كان سعر الربح املركب 5 % في السنة فما مقدار ما يستلمه ؟

C = A.(1.0P)-t

A= 3000000 , P = %5 , t = 5C = 3000000(1.05)-5

اليجاد قيمة «C» سنستخدم اللوغارمتات (استخدم آلتك احلاسبة) كمال تعلمت من الفصل السابق فيكون:

Log C = Log [3000000(1.05)-5]Log C = Log 3000000 + Log(1.05)-5

Log C = Log 3000000 -5 Log(1.05)

Aــــــــــــــــــ(1.0P)t

60

Log C = 6.4771 -(5)×(0.0212)

حيث:

Log 105 = 2.0212

Log C = 6.4771 - 0.1060

Log C = 6.3711 C = 2351000

•مالحظة جند اللوغاريتمات اما باستخدام احلاسبة او اجلداول اللوغاريتمية او تعطى في السؤال .

%) في 2) يودع رجل في نهاية كل سنة مبلغ (5) خمسة ماليني دينار ليربح ربحًا مركبًا بسعر(4

السنة فما مقدار رصيده عند ايداعه املبلغ العاشر؟

احللالرصيد هو عبارة عن جملة عدة مبالغ متساوية ،وضعت ملدة مختلفة وعليه يكون:

الرصيد للمبلغ االول = W1 = جملة (5) ماليني دينار وضعت ملدة تسع سنوات اي ان :

W1=5000000(1.04)9

الرصيد للمبلغ الثاني = W2 = جملة (5) ماليني دينار وضعت ملدة ثمان سنوات اي ان :

W2=5000000(1.04)8

الرصيد للمبلغ الثالث = W3 = جملة (5) ماليني دينار وضعت ملدة سبع سنوات اي ان :

W3=5000000(1.04)7

وهكذا كما في الشكل :

Log 3 = 0.4771

61

بداية السنة األولى

W1= 5000000 (1.04)9

W2= 5000000 (1.04)8

W3= 5000000 (1.04)7

W10 = 5000000

إيداع املبلغ العاشر

ولو فرضنا ان:W=W1+W2+W3+...+W10

فان :W= 5000000[(1.04)9+ (1.04)8+ (1.04)7+...+1]

[اخذ االول=1 اعتبار حدها هندسية ميكن متتابعة أنه جند القوسني بني احملصور املقدار الى نظرنا ولو

املجموع من اليسار]واساسها = 1.04 وعدد حدودها (10) فيكون:

W= 5000000 [ ]

W= 5000000 [ ]وباستخدام اللوغارمتات جند قيمة (1.04) فنقول :

X = (1.04)10

Log X = 10.Log1.04Log X = 10× 0.017Log X = 0.17∴ X = 1.479

(1-1.04)ــــــــــــــــــــــــــــــــــ(10(1.04)-1)1

-0.041-(1.04)10

ــــــــــــــــــــــــــ

62

1 [(1.06)20-1](1.06-1)

للحصول على اللوغارمتات نستخدم اجلداول او احلاسبة او تعطى في السؤال :

∴W = 5000000 ×

W = 5000000 ×

W = 59875000 3) أمن رجل على حياته مببلغ (10) ماليني دينار لدى احدى شركات التأمني على ان يدفع قسطًا سنويًا التعاقد بعد االول القسط ويدفع وملدة (20) سنة اول كل سنة في يدفع دينار قدره (350000) مع (% بربح مركب سعـــــــــره (6 اموالها استثمرت اذا املدة نهاية في الشركة ربح فما مباشرة

. Log1060 = 3.0253 , Log(0.32.6) =1.506 , Log2396 = 3.3790 العلــــــم اناحلل

اذا كانت الشركة تستثمر االقساط بالربح املركب بسعر 6 % في السنة . W1 = فإن : القسط االول في نهاية املدة يصبح جملة القسط ملدة (20) سنة W2 = والقسط الثاني في نهاية املدة يصبح جملة القسط ملدة (19) سنة

W3 = والقسط الثالث في نهاية املدة يصبح جملة القسط ملدة (18) سنة وهكذا ويكون :

W = W1+W2+W3+...+W20 ويكون:

W1= 350000(1.06)20

W2 = 350000(1.06)19

W3 = 350000(1.06)18

W20= 350000(1.06)وباجلمع يكون:

W = 350000[(1.06)20+ (1.06)19+(1.06)18+...+(1.06)] = 350000(1.06)[(1.06)19+(1.06)18+...+1]

املقدار الذي داخل القوس متتابعة هندسية فيكون:

W = 350000.(1.06)× ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

-0.07ـــــــــــــــــــــــــ(1-1.479)

ـــــــــــــــ0.4790.04

63

350000.(1.06)0.06

W = [(1.06)20-1]ـــــــــــــــــــــــــــ

W = [(1.06)20-1]جند 20(1.06) باستخدام اللوغاريتمات ليكن:

x = (1.06)20 Log x = 20.Log(1.06)Log x = 20×0.253Log x = 0.5060 x = 3.206

∴ W = [3.206-1]

W = × 2.206

W = 13640430 فيكون ربح الشركة :

13640430-10000000 =3640430 دينار ربح الشركة

ــــــــــــــــــــــــ371000006



×

64

تمارين [3- 2]

1) جد مجموع حدود كل من املتتابعات الهندسية االتية :

a) < 1 , 2 , 4 , ... 128 >

b) < 3 , -6 , 12 , ... , -512 >

c) < , , , ... , >

2) جد املتتابعة الهندسية التي حدها االول = 16- ومجموع احلدود الثالثة االولى منها يساوي (48-)

3) جد احلد العاشر من املتتابعة الهندسية التي يكون مجموع احلدود السبعة االولى منها (547) واساسها

(-3)

4) متتابعه هندسية حدها االول = 256 واساسها ( ) ومجموع (n) من حدودها ابتداءًا من احلد االول

يساوي 170 فما قيمة (n)؟

5) من املعلوم ان عدد مربعات رقعة الشطرجن = 64 مربعا فلو اراد شخص ان يضع على املربع االول حبة

حنطة واحدة وعلى املربع الثاني حبتني وعلى املربع الثالث (4) حبات وعلى املربع الرابع (8) حبات

وهكذا فما عدد احلبوب التي ميكن وضعها على املربع االخير وما مجموع احلبوب على الرقعة [استعن

باللوغاريتمات اليجاد النتائج]

6) عّني املتتابعة الهندسية التي حدها االول هو (16-) ومجموع احلدود الثالثة االولى منها يساوي (48-)

7) اذا كانت النسبة بني مجموع احلدود االربعة االولى ملتتابعة هندسية الى مجموع احلدود الثمانية االولى

منها كنسبة فما اساس املتتابعة ؟

8) متتابعة هندسية حدها الثاني (128) وحدها السابع (4) فما مجموع احلدود التسعة االولى منها؟

9) يودع رجل في بداية كل سنة مبلغ (5) ماليني دينار في مصرف ليربح ربحًا مركبًا بسعر 5 % فما مقدار

رصيده في نهاية السنة السادسة مع العلم ان Log(105)=2.0212 , Log3767=3.5767؟

10) وضع رجل مبلغ (500000) دينار في مصرف بحساب الربح املركب بسعر (4 %) ملدة 20) سنة فما

جملة املبلغ مع العلم ان Log(104)=2.0170 , Log500=2.6990 , Log1094=3.0390؟

ـــــ21 ــــــــــ

256ـــــ1

4-1 ـــــ

81

ـــــ2

-1

ـــــ21

ـــــــ171

65

10

<x,7,...,y,25>

تمارين عامة على الفصل

1) لكل مما يأتي توجد اربع اجابات واحدة منها فقط صحيحة. اختر االجابة الصحيحة :أ) اذا كانت <...،x ، 0 ، -5 ، > متتابعة حسابية فان :

x = -5 (2 واحلد السادس = 10- x = 5 (1x = -5 (3 4) ليس ايًا مما ذكر

ب) متتابعة حسابية حدها الثامن = 28 وحدها احلادي والعشرين = 67 فان:وحدها االول = 7- 1) اساسها = 3

وحدها االول = 7- 2) اساسها = 3- وحدها االول = 7 3) اساسها = 3

وحدها االول = 7 4) اساسها = 3- جـ) عدد االعداد الصحيحة احملصورة بني (1000) ، (2000) ويقبل القسمة على (7) بدون باق هو

285 (4 144 (3 143 (2 142 (1د) رتبة احلد الذي قيمته في املتتابعة <..., , , > هي :

(4 (3 -8 (2 8 (1

2) يوجد (n) من االوساط العددية بني 36،3 ونسبة الوسط الثاني الى الوسط الذي ترتيبه (n-1) هي

فما قيمة (n)؟

3) اوجد مجموع االعداد الصحيحة التي اكبر من 100 واصغر من 1000 والتي التقبل القسمة على 5

بدون باق

4) ثالثة اعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها = 14 وحاصل ضربها = 64 فما هذه االعداد ؟

5) اذا كان الزيت املستهلك من احد اخلزانات في كل يوم = ما يستهلك منه في اليوم السابق مباشرة

فإذا استهلك منه في اليوم االول (243) لترًا فبعد كم يوم يستهلك منه (665) لترًا؟

املتتابعة حدود عدد جد y = 5x + 2 وكانت حسابية متتابعة 6) اذا كان

ومجموعها.


ـــــ 16ـــــ 1

3ـــــ 1

32

ـــــ8ـــــ 1

21

ـــــ310

ـــــ23

66

7) اي العبارات االتية صائبة واي منها خاطئة

U5 = r2.U3 فان <Un> اساس املتتابعة الهندسية (r) أ) اذا كان

ب) اساس املتتابعة الهندسية <...,1-,1,1-, 1> هو (1)

. a =- 8 متتابعة هندسية فان ،- جـ) اذا كانت <...،

x = -8 متتابعة هندسية فان < , x ,16> د) اذا كانت

x = 59 فان هـ) في املتتابعةحسابية

و) متتابعة حسابية حدها الثالث = 9 وحدها السابع = 3- فان حدها العاشر = 12- .

7) متتابعة حسابية مجموع احلدود السبعة االولى منها وحدودها االول والثالث والسابع تكون متتابعة

هندسية جد املتتابعة الهندسية.

8) كم حدًا يلزم اخذها ابتداءًا من احلد االول للمتتابعة الهندسية <..., 64,96,144> ليكون مجموعها

2059

املتتابعة جد هندسية متتابعة تكون والثامن والرابع الثاني وحدودها (3) اساسها حسابية متتابعة (9

الهندسية.

10) ما عدد االوساط الهندسية بني (1536)، (3) اذا كان الوسط الرابع (48) .

< 32 ,a ,2

4

< 3,7,11,...,x,63>

ـــــــ352

ــــ12

67

الفصل الثالثCHAPTER 3

املصفوفات واحملددات

[1-3] مقدمــة

تلعب املصفوفات دورًا مهمًا في علم الرياضيات وعلم االحصاء وعلم االقتصاد واملجاالت االخرى مثًال

احلاسبات، وهندسة الكهرباء واالتصاالت والعلوم االخرى.

اكتشاف في الفضل (1693) ليبنز االملاني والعالم (1683) كووا سيكي الياباني للعالم وكان

املعادالت اآلنية عن طريق القدماء في حل العمل بطريقة الصينيني املصفوفات واحملددات وذلك من خالل

استخدام اعواد من البوص ووضعها في مربعات بتنظيم معني مشابه لطريقة حساب محددة املصفوفة. لقد

نشر ليبنز اول مثال عن املصفوفات واحملددات بعد ذلك بعشر سنوات.

أما العالم كيلي (1821) فقد قدم سنة (1857) نوعًا آخر من اجلبر هو جبر املصفوفات.

وفي عام 1750 طور كرامر طرق حل املعادالت اخلطية بأستخدام احملددات، ان للمحددات واملصفوفات

تطبيقات كثيرة في الرياضيات. كهندسة التحويالت النقطية. والهندسة املستوية وهندسة الفضاء. وامتد

هذا االهتمام ليشمل مجاالت عدة مثل: مجاالت التخطيط والتجارة واالقتصاد والصناعة والزراعة وعلوم

الفيزياء واالحياء وغيرها.

بالبيانات االلي احلاسب لتزويد رئيسيًا اسلوبًا كونها للمصفوفات احلديثة االستخدامات أهم ومن

وكذلك تبسيطها اساليب عمله الى حد كبير وفي هذا الفصل سنعرف املصفوفة وبعض العمليات عليها.

ونعرف محدد املصفوفة وكيفية استخدامه في حل املعادالت االتية بطريقة كرامر.

68

Matrices and their properties [2 - 3] املصفوفات وخواصها

في اغلب مجاالت الرياضيات واالحصاء والعلوم االخرى يتم تبويب وتنظيم البيانات حيث ترتب بشكل قاعدة منظمة من البيانات.

مثًال في اجلدول اآلتي اعداد تبني ترتيب أول أربعة فرق في الدوري العراقي لكرة القدم سابقًا بعد مرور 10 مباريات من بدء الدوري املمتاز .

النقط اخلسارة التعادل عدد الفوز اسم الفريق

63121الزوراء

52317اجلوية

51416الطلبة

43315الشرطة

لو اخذنا االعداد فقط واهملنا التسميات حلصلنا على اجلدول اآلتي:

6 3 1 21 5 2 3 17 5 1 4 16 4 3 3 15

نالحظ ان العمود االول ميثل اعداد املباريات التي فاز فيها كل فريق والصف االول يحتوي على اعداد متثل نتائج فريق الزوراء من فوز وتعادل وخسارة وعدد النقط.

الطلبة والعمود نادي نتائج الثالث ميثل فأن الصف الطلبة نادي مثًال عندما نسأل عن عدد تعادالت الثاني ميثل عدد التعادالت فالعدد املوجود في الصف الثالث والعمود الثاني هو 1 ميثل عدد تعادالت نادي

الطلبة.وبنفس الطريقة جند عدد الفوز لنادي الشرطة والذي هو في الصف الرابع والعمود االول والعدد هو 4.

69

. Matrix وهذا التنظيم العددي للبيانات وبهذا الشكل يسمى باملصفوفةمثال : البيانات اآلتية تبني املعدل (الوسط احلسابي) لدرجات الطالب في احدى الثانويات في مادتي اللغة االنكليزية والرياضيات لالمتحانات الوزارية للمرحلتني املتوسطة واالعدادية (العلمي فقط) للسنوات

2006 - 2007 - 2008

السنة الرياضيات اللغة االنكليزية

االعدادي املتوسطة االعدادي املتوسطة

200658636169

200756656467

200862696871

لو اخذنا املعدالت فقط دون ذكر التفاصيل نحصل على اجلدول اآلتي:

58 63 61 69 56 65 64 67 62 69 68 71

الرياضيات الثالث مثًال متثل درجات 2006 ومعدالت العمود اعداد الصف االول متثل معدالت للعام للمرحلة املتوسطة. وهكذا لبقية الصفوف واالعمدة.

.Matrix فالتنظيم العددي للبيانات بهذا الشكل املستطيل يسمى باملصفوفة

تعريف (1 - 3) املصفوفة عبارة عن ترتيب لالعداد على شكل مستطيل مرتبة بشكل صفوف (rows) عددها

m واعمدة (columns) عددها n حيث m , n اعداد صحيحة موجبة.B أو A وهكذا وتقرأ املصفوفة B أو A يرمز للمصفوفة باحلرف الكبير

70

ــــ23

مثًال 1 4- 2 1- A =

0 3 B

=

1 0 2

2 × 2 2 × 3

.n وعدد االعمدة m نالحظ عند كتابة املصفوفة نضع االعداد بني قوسني كبيرين وعدد الصفوف

Order of a matrix [3 - 3] رتبة املصفوفة

m × n وتكتب ثانيًا االعمدة عدد ثم أوًال الصفوف بعدد تتمثل رتبة مصفوفة لكل n عدد االعمدة , m حيث عدد الصفوف

40 31 45 رتبتها 3 × 2

مثًال A =

30 41 36

B = 1 3 6 1 × 3 رتبتها

-2 3 1

5 -4 6

C = 3

2 × 1 D = 7 1×1 J = 7 -2 1 4×3

8 3 0

(Elements) االعداد املوجودة في املصفوفة تدعى بعناصر املصفوفةمثًال

1 -2 1 A = 16 4 5

15 8 9 رتبتها 3 × 3

a 1 2 = -2 ؟ يعني العنصر املوجود في الصف االول والعمود الثاني a 1 2 ماذا يعني

-2

√

71

وكذلك a23 يعني العنصر املوجود في الصف الثاني والعمود الثالث a23 = 5

وهكذا لبقية العناصر i = 1 , 2 , 3 , ... m حيث

A = [a

ijوميكن الكتابة بالصورة [

j = 1 , 2 , 3 , ... n

تعريف (2 - 3 ) تساوي مصفوفتني يقال للمصفوفتني انهما متساويتني اذا وفقط اذا حتقق الشرطان:

1 - املصفوفتان لهما نفس الرتبة.2 - عناصر املصفوفة االولى تساوي نظائرها من عناصر املصفوفة الثانية.

0.1 - مثًال 0.5- A = -4 0.75 2 ×2 B = -4 2×2

•نالحظ: 1: ان املصفوفتني A, B لهما نفس الرتبة 2×2 b21 = a21 = -4 b12 = a12 = -0.5 = - :2

B يساوي نظيره في املصفوفة A اي انه كل عنصر في املصفوفة B = A ∴

مثال 1 بني هل ان املصفوفتني

6 6 A =

0.25 B =

متساويتان؟

í

احلل نالحظ ان املصفوفتني A , B لها نفس الرتبة 2 × 2 وكذلك

a11 = b11 = 6 a12 = b12 = = b21 = a21 = = a22 = b22 = 0.25 =

A = B متساويتان ويقال A , B املصفوفتان

√

ـــــ110 ـــــ3

4

ـــــ12

ـــــ12

ـــــ14

ـــــ1ـــــ21

2

ـــــ12 ـــــ1

4√ـــــ12

πــــــــsin 6πـــــــــــ4

cos

πــــــــــ4

cos

πــــــــsin 6

72

مثال 2هل ان املصفوفتني متساويتان في كل مما يأتي؟

2 3 1 3 A = 4 -2 B = 4 -2

0.8 5

A = 5 3 , B = 7 4 1 4 1

احللa- ∵ العنصر في الصف االول العمود االول في املصفوفة A هو 2 العنصر في الصف االول العمود االول في املصفوفة B هو 1

A ≠ B لذلك a11 ≠ b11 اي انهb - ∵رتبة املصفوفة A هي 2 × 2 ورتبة املصفوفة B هي 3 × 1 B املصفوفة ≠ A املصفوفة ∴

مثال 3 جد قيم y , x حيث x , y ∈ R في كل مما يأتي:

3 7 3

y+8 1 12 1

2x 5 1 5 5y-1 2 4x 2

x+1 -4 y-2 -4 3x 0 y-1

(1)

(2)

(3)

í

2x-1

í

0

a)

b)

=

=

=

ـــــ102

ـــــ45

73

احلل ∵ املصفوفتان متساويتان ∴ العناصر املتناظرة في املصفوفتني متساويتني

∴ 2x - 1 = 7 كذلك y + 8 = 12 2x = 7 + 1 y = 12 - 8 2x = 8 y = 4

x = 4 ∵املصفوفتان متساويتان ∴ العناصر املتناظرة في املصفوفتني متساويتني

∴2x = 1 ∴x = 5y -1 = 4x كذلك 5y = 1 + 4 . ⇒ 5y = 1 +2 ⇒ 5y = 3 ⇒ y =

∵املصفوفتان متساويتان ∴ x + 1 = y - 2 3x = y - 1 x - y = - 3 .........1 3x - y = -1 ............2 x - y = - 3 ∓3x y = 1 -2x = -2 ∴x = x = 1

x نعوض في املعادلة (1) عن 1 - y = -3 - y = - 4 y = 4

(2)

2

(1)

وكذلك

بالطرح∓∓

ــــــ2--2

ــــ35

ــــ12

ــــ12

74

مصفوفة مربعة مصفوفة مربعة 3×3

[4 - 3] انواع املصفوفات

فيما يلي بعض انواع املصفوفات 1 - املصفوفة املربعة Square Matrix : هي مصفوفة تكون فيها عدد الصفوف m مساوي لعدد

االعمدة n اي انه m = n وتكون رتبة املصفوفة بالشكل m × m أو n × n مثًال :

5 -1 -3 0 4

A = 8 7

2×2 B = 5 2 -1 8 9 11

2 - مصفوفة الصف Row Matrix : وهي مصفوفة تتكون من صف واحد فقط أي m = 1 مثًال: B = -4 5 7 2 1 × 4 A = 3 2 1×2 n = 1 : وهي مصفوفة تتكون من عمود واحد فقط أي : Colum Matrix 3 - مصفوفة العمود

مثًال: -1 1

2 ×1

A = 8

B = 4

4 3 × 1

4 - املصفوفة الصفرية Zero Matrix : وهي مصفوفة جميع عناصرها مساوية للصفر مثًال:

0 0 0 0 0 C = 0 0 0 1 × 3 A = 0 0 0 2 × 3 B = 0 0 2 × 2

5 - مصفوفة الوحدة Unit Matrix : هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها صفرًا عدا عناصر القطر الرئيسي تساوي 1

[ a11 , a22 , a33 ,...... عناصر القطر الرئيسي هي]

مثًال 1×1 1 = 0 1 0 0 0 1 0 = 0 1 2 ×2

A =

0 0 1 3×3

BC1

75

í

Addition of Matrix [5 - 3] جمع املصفوفات

الحظ املثال االتي : لدينا ثالث طالب متفوقني اشتركوا في اختبارات ألسئلة الذكاء وهي اسئلة علمية واسئلة رياضية واسئلة ثقافية وكانت درجاتهم في االختبارات كاآلتي:

اسئلة علمية اسئلة ثقافية اسئلة رياضية الطالب االول 7 الطالب االول 6 الطالب االول 8 الطالب الثاني 9 الطالب الثاني 7 الطالب الثاني 9 الطالب الثالث 8 الطالب الثالث 9 الطالب الثالث 7

ملعرفة اي من الطالب الثالث فاز باالختبارات وحصل على أعلى الدرجات جنمع الدرجات وكاآلتي : 21 8 + 6 + 7 8 6 7 25 = 9 + 7 + 9 = 9 + 7 + 9 24 7 + 9 + 8 7 9 8

يراد جمع لذلك عندما الفائز، 25 ويعتبر الدرجات وهي اعلى الثاني حصل على الطالب ان نالحظ مصفوفتني يقتضي ان تكون لهما نفس الرتبة ثم جنمع كل عنصر في املصفوفة االولى مع نظيره في املصفوفة

الثانية.

تعريف (3-3) m × n مصفوفتني لهما نفس الرتبة B = bij , A = aij اذا كانت

A + B = aij + bij فان

مثال 4 جد ناجت ما يلي :

1 - 3 -1 1 8

5 4 + 2 -2

2 -

0.5 0.3 + 0.4 0.01

3 - 2 -3 2 2 -1

8 3 + 5 4 3

ـــــ12

ـــــ32

ـــــ13

ـــــ73

76

احللAddition of Matr جمع املصفوفات 3 - 5 1 - 3 -1 1 8 3 +1 -1+8 4 7 5 4

+ 2 -2

= 5+2 4 + (-2) = 7 2

2 - 1/3 2

0.5 0.3 + 0.4 0.01 = 0.5 + 0.4 0.3 + 0.01 = 0.9 0.31 = 0.9

3 - 2 -3 2 2 -1 3 2 -4

8 3 +

5 4 3 =

13 5 3

مثال 5اذا علمت ان 6 7 2 4 3 5

+ -1 3

= 4 2

x , y حيث x , y جد قيمتي

احلل 3 + 4 + 2 7 6 5 - 1 + 3

= 4 2

x + 2 = 6 وكذلك y + 3 = 2 x = 6 - 2 وكذلك y = 2 - 3 x = 4 وكذلك y = -1

íyx

xy

∈ R

ـــــ42

ـــــ13

ـــــ12

ـــــ32

ـــــ73

ـــــ13

ـــــ73

ـــــ12

ـــــ32

ـــــ83

ـــــ83

++

0.31

77

1

í6 مثالاذا كانت:

-3 5 1 -2 0 8

A =

2 -1 , B =

4 7 , C =

4 3

- A+B 2 - A + C 3 - B + C : جد كل من

احلل - 3 5 1 -2 - 3 + 1 5 +(-2) -2 3

1-

A + B = 2 -1

+ 4 7

= 2 + 4 - 1 + 7

= 6 6

-3 5 0 8 -3 + 0 5 + 8 - 3 13 2-

A + C = 2 -1

+ 4 3

= 2 + 4 -1 + 3

= 6 2

1 - 2 0 8 1 6 3-

B + C = 4 7

+ 4 3

= 8 10

[6 - 3] نظير املصفوفة بالنسبة لعملية اجلمع

A تسمى بالنظير اجلمعي للمصفوفة - A = - aij فأن A = aij اذا كانت املصفوفةمثًال اذا كانت A 2× 2 مصفوفة فأن A 2× 2 - تسمى نظير املصفوفة A بالنسبة لعملية اجلمع حيث

0 0

A + ( -A ) = ( - A ) + A = 0 0

نظير هي املصفوفتني احدى ان فيقال صفرية مصفوفة هو مصفوفتني جمع ناجت كان إذا انه اي عملية في احملايدة باملصفوفة الصفرية املصفوفة وتسمى اجلمع لعملية بالنسبة االخرى املصفوفة

.(Neutral Matrix ) اجلمع

78

مثال 7ما هو النظير اجلمعي للمصفوفات اآلتية؟

- 0.8 2 - 2 5 1 1)

A = 3 1

2)

B = 3 - 4

احلل- 0.8 2 ∵/ 1

A =

3 1 - A بالنسبة لعملية اجلمع هي املصفوفة A نظير املصفوفة∴

0.8 - 2 - A = - 3 - 1

النه 0 0 (2-) + 2 0.8 + 0.8-

A + (-A) = 3 + (- 3) - 1 + 1 = 0 0

= B -2/ ∵ املصفوفة 1 5 2- فأن نظيرها اجلمعي 1- 5- 2 - 3 4 -

B = 3 -4

النه (1-) + 1 (5-) + 5 2 + 2 - B + ( -B) =

3 +(-3) -4 + 4 (- )

0 0 0 = 0 0 0

وكذلك 0 0 0 - B + B = 0 0 0

í

•مالحظة1 - عند ايجاد النظير اجلمعي ألي مصفوفة نغير اشارة كل عنصر في املصفوفة اي انه نأخذ النظير اجلمعي

لكل عنصر في املصفوفة.A - B = A + ( - B) مصفوفتان لهما نفس الرتبة فأن A , B 2 - اذا كانت

ــــ12

ــــ12

ــــ12

ــــ12

ــــ12

+

79

[7 - 3] خواص عملية اجلمع على املصفوفات

1 - عند جمع مصفوفتني لهما نفس الرتبة m × n فالناجت هو مصفوفة لها نفس الرتبة m × n مثًال: -2 1 3 3 -2 4 1 -1 7 4 -2 5 2×3 + 5 6 -7 2×3 = 9 4 -2 2×3

2 - عملية جمع مصفوفتني تتمتع بخاصية االبدال (Commutative) اذا كان A, B مصفوفتان لهما نفس الرتبة m × n فان A + B = B + A النه :

A + B = aij + bij = aij + bij aij , bij ∈ R∴ A + B = B + A = bij + aij = bij + aij وتتمتع بخواص جمع االعداد احلقيقية

مثال 8 ليكن 7 4- 2 3

A =

1 0 , B =

5 8

نالحظ 9 1- 7 + 2 (4-) + 3

A + B = 1 + 5 0 + 8

= 6 8

وكذلك 9 1- 2 + 7 3 + 4 -

B + A = 5 + 1 8 + 0

= 6 8

A + B = B + A اي انه 3 - عملية جمع املصفوفات تتمتع بخاصية التجميع ( Associative ) اذا كانت A , B , C مصفوفات

لها نفس الرتبة m × n فأن :( A + B ) + C = A + ( B + C )

مثال 9 لتكن 1 4- 2- 0 2 4-

A = 5 1 ,

B = 3 7 ,

C = -3 8

جد :1/ ( A + B ) + C 2/ A + (B + C)

í

í

80

= C + (A+B)احلل 1 4- (2-) + 2 0 + 4- 5 + 3 1 + 7

+ -3 8

-4 0 -4 1 -4 + (-4) 0 + 1 -8 1

= 8 8

+ -3 8

= 8 + (-3) 8 + 8

= 5 16

-4 2 0 + (-4) -2 + 1 A + (B+C) = 5 1

+ 3 + (-3) 7 + 8

-4 2 -4 -1 -4 + (-4) 2+(-1) -8 1 5 1

+ 0 15

= 5 + 0 1 + 15

= 5 16

( A + B ) + C = A + ( B + C ) : نالحظ من 2 ، 1 أن4 - وجود املصفوفة احملايدة في عملية اجلمع وهي املصفوفة الصفرية :

لتكن A مصفوفة من الرتبة m×n توجد مصفوفة صفرية من الرتبة m×n فأن A + m×n املصفوفة الصفرية = m×n املصفوفة الصفرية + A = A

مثًال لتكن 0 0 - 5 4

A = 6 -2 نالحظ ان املصفوفة 0 0 محايدة 0 0 5 1

- 5 4 0 0 - 5 + 0 4 + 0 - 5 4 6 -2 + 0 0 = 6 + 0 -2 + 0 = 6 -2 5 1 0 0 5 + 0 1 + 0 5 1

وكذلك 0 0 - 5 4 - 5 4 0 0 + 6 -2 = 6 -2 0 0 5 1 5 1

: (Additive Inverse) 5 - وجود النظير اجلمعي للمصفوفةاذا كانت A مصفوفة من الرتبة m×n توجد مصفوفة A - من نفس الرتبة m×n تسمى بالنظير m×n حيث , 0 مصفوفة صفرية من الرتبة A اجلمعي للمصفوفةA +(-A) = (-A )+ A = 0

81

í

تعريف (3-4) k ∈ R و m × n مصفوفة من الرتبة A = a ij اذا كانت

k . A = k . a ij فإن

مثال10 3 جد ناجت 7 2-

4 احلل

-2 7 3 × (-2) 3 × 7 -6 21 3

4 =

3 × 3 × 4 =

1 12

[8 - 3] ضرب املصفوفة بعدد حقيقي

الحظ عزيزي الطالب هذا املثال محل لبيع املرطبات وضع قائمة متثل االسعار (باأللف دينار) النواع واحجام املرطبات التي يبيعها وهي

كاآلتي: قدح كبير قدح وسط قدح صغير

بالكاكاو 5 3.5 2.5 مشكل 4.5 3 2 حليب بالفستق 6 4 3

اراد ان يرفع اسعار املرطبات. اقترح ان يضرب هذه االسعار بالعدد 1.5 فحصل على اجلدول اآلتي: قدح كبير قدح وسط قدح صغير

بالكاكاو 7.5 5.25 3.75 مشكل 6.75 4.5 3

حليب بالفستق 9 6 4.5 اي انه ضرب كل عدد في القائمة بالعدد 1.5 وحصل على هذه االسعار.

ــــ13

ــــ13

ــــ13

82

مثال11 A = 3 2 5 , L = -2 ، K = 2 اذا كان

1 2 جد :

1 / K . A 2/L . A 3/ K L . Aاحلل

1/ 3 2 5 2 × 3 2 2 × 5 6 5 2

K . A = 2 1 2

= 2 × 1 2 × 2

= 2 2

2/ 3 2 5 -2 × 3 2 -2 × 5 -6 2 -10

L . A = -2 1 2

= -2 × 1 -2 × 2

= -2 -2 2

3/ 3 2 5 -2 2×3 2 -2 2 × 5 -12 -10 2

K L . A = 2×(-2)

1 2 =

-2 2×1 -2 2 × 2 =

-2 2 -4

í

‹ Éæª°†àd áÄ«ÑdG ájÉªM ‘ ÉªgÉ°S .. »eGh »HG ¤EG

.π°†aG πÑ≤à°ùe

83

[1- 8 - 3] بعض اخلواص لعملية ضرب عدد في مصفوفة

K , L ∈ R . مصفوفتني لهما نفس الرتبة A , B ليكن1/ K [ A + B ] = K A + K B 2/ (K L) A = K (L A) 3/ (K + L) A = K A + L A 4/ K A = K B K ≠ 0 فأن A = B 5/ K A = فأن مصفوفة صفرية K = 0 أو A مصفوفة صفرية

مثال12 جد املصفوفة A اذا علمت ان

-5 ( A - 1 1 ) = -6 A + 3 1 -1 0 -1 5

احلل

-5 A + 5 1 1 = -6 A + 3 1 -1 0 -1 5

-5 A + 5 5 = -6 A + 3 1 -5 0 -1 5

6A - 5A = 3 1 - 5 5 -1 5 -5 0 A = 3 1 - 5 5 -1 5 -5 0 A = 3 1 + -5 -5 -1 5 5 0 A = 3 + (-5) 1 + (-5) -1 + 5 5 + 0 A = -2 -4 4 5

í

84

تمارين [1 - 3]

س1: جد قيمتي x , y حيث x , y ∈ R في كل مما يأتي:1) 3x + y 0.2 8 3 2 x - y

= 3 2 0

2) sin x 3 0.5 3 -2 cos x

= -2

3) x2 6 9 6 y2 - y 4

= 15 4

س2: جد ناجت ما يلي: 1) 3 1 0 -2 4 6 5 -2 1

+ -11 2 3

2) 4 - 3 -2 1 2 -1

+ 0 3

3) 3 5 - - 5 2 - 3 + 2 3 3 2 5 3 -24) 3 1 -0.4 -1 + 2 -2 + 3 1.6 0.9 2

س3: جد املصفوفة x في كل مما يأتي:1) 2x + 5 -2 = 8 7 4 1 -5 32) 3 4 -1 -2 7 5 0 0 0 x - 5 2 -3 + 6 8 -2 = 0 0 0 6 -1 7 -4 3 2 0 0 0س4: اذا كانت A = 1 -2 5 , B = -4 3 -2 , C = 0 7 2 جد املصفوفات

االتية: 1) 2A + 3 B + C 2) A - B + 5C 3) 3A + B + C 4) -A + 2B - C

ــــ18

ــــ15

ـــــــ12

ــــ12

ــــ14

ــــ14

85

ــــ14 ــــ3

2

í

Determinants and their properties 9 - 3 احملددات وخواصها

�: هو عدد حقيقي يستخرج من املصفوفة املربعة. e Determinant of A Matrix محدد املصفوفة

تعريف املصفوفة A = a b فأن a b يسمى محدد املصفوفة ويرمز له ∆ وأن

c d c d

∆ = a b = ad - b c عدد حقيقي

مثال13 جد قيمة كل مما يأتي:

1) 4 1 2) 2 -3 3) 3 4) 3 5 -2 3 2 3 2 1 6 10

احلل1) 4 1

-2 3 = 4 × 3 - 1 × (-2) = 12 + 2 = 14

2) 2 -3

2 3 2 = 2 × 3 2 - (-3) × 2 = 6 + 6 = 12

3) 3

1 = × - 3 × 1 = - 3 = 3 - 24 = -

4) 3 5

6 10 = 3 × 10 - 5 × 6 = 30 - 30 = 0

•مالحظة (Singular Matrix) اذا كان محدد مصفوفة ما يساوي صفرًا فتسمى املصفوفة باملصفوفة املنفردة

c d

8ــــ218

ــــــ38

ــــ32

ــــ14

ــــ14 ــــ3

2

لتكن

86

مثال14 h ∈ R في كل مما يأتي h جد قيمة

1) 2h+3 -1 2 h

= 1

احلل (2h+3)× h - (-1)× 2 = 1 2h2 + 3 h + 2 = 1 2h2 + 3 h + 2 - 1 = 0 2h2 + 3 h + 1 = 0 (2h + 1)(h + 1) = 0 ∴2h + 1 = 0 or h + 1 = 0 2h = -1 h = - 1 h = -

2) 3h -2 3 h

= 9

احلل 3h2 + 6 = 9 3h2 = 9 - 6 h2 = h2 = 1∴h = ∓1

í

ــــــ33

ــــ12

87

a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 اعدادحقيقية

Simultaneous Equations [ 10 - 3 ] املعادالت اآلنية

تستخدم احملددات في حل معادلتني من الدرجة االولى ذات متغيرين حيث a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

a1 x + b1 y = c1 × b2 a2 x + b2 y = c2 × b1

نحصلa1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2 ∓a2 b1 x ∓ b1 b2 y = ∓c2 b1 بالطرح a1 b2 x - a2 b1 x = c1 b2 - c2 b1 x [ a1 b2 - a2 b1 ] = c1 b2 - c2 b1 x = c1 b2 - c2 b1 / a1 b2 - a2 b1

a1 b2 - a2 b1 = a1 b1 = ∆ لكن

a2 b2

وميثل محدد مصفوفة معامالت املتغيرين x , y في املعادلتني . وكذلك

c1 b2 - c2 b1 = c1 b1 = ∆ x c2 b2

وميثل محدد مصفوفة املعامالت املطلقة (الطرف االيسر) ومعامالت املتغير y في املعادلتني . لذلك :

c1 b1

∆ x c2 b2 x = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ ∆ a1 b1 a2 b2

وبنفس الطريقة السابقة يكن ان ضرب املعادلة االولى باملعامل a2 واملعادلة الثانية باملعامل a1 ونكمل احلل a1 c1 بالطرح نحصل على :

a2 c2 y = ــــــــــــــــــــــــــــــ a1 b1 a2 b2

88

c1 b1 3 -2

∆ x c2 b2 3 1 3 + 6 9 x = 3 = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

∆ a1 b1 5 -2 5 - 2 3 a2 b2 -1 1

مثال16جد قيمتي x ، y التي حتقق حل املعادلتني اآلنيتني بطريقة كرامر:

3x + 5y = -1 x + 2y = 0

احلل نالحظ ان املعادلتني مرتبتني: c1 b1 -1 5

∆ x c2 b2 0 2 -1 ×2 - 5×0 -2-0 -2 x = 2- = ـــــــ = ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــ

∆ a1 b1 3 5 3×2 - 5×1 6-5 1 a2 b2 1 2

í

مثال17حل املعادلتني اآلتيتني آنيًا بطريقة كرامر :

5x - 2y -3 = 0 , y - 3 = x احلل نرتب املعادلتني

5x - 2y = 3 -x + y = 3

a1 c1 3 -1

∆ y a2 c2 1 0 3 × 0 - (-1) ×1 0 + 1 y = 1 = ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

∆ a1 b1 3 5 1 1 a2 b2 1 2

∴ x = -2 , y = 1 í

a1 c1 5 3 ∆ y a2 c2 -1 3 15 - (-3) 18

y = 6 = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ ∆ a1 b1 5 - 2 3 3 a2 b2

∴ x = 3 , y = 6

a1 c1 = ∆yويسمى

a2 c2

∴y =

نالحظ قبل تطبيق القانون يجب ان تكون املعادلتني مرتبتني بحيث تكون احلدود التي فيها املتغيريــــــن

x ، y في الطرف االيسر واملتشابهة احدهما حتت االخر والعدد اخلالي من املتغيرين (العدد املطلق) في

الطرف االمين.

مثال15حل املعادلتني اآلنيتني بطريقة احملددات (كرامر)

5x - 2y - 11 = 0 , 2x + 3y = 12

احللنرتب املعادلتني اوًال وكما يلي:

5x - 2y = 11

2x + 3y = 12

∆ =

a1 b1 =

5 -2 = 5 × 3 - (-2) × 2 = 15 + 4 = 19

a2 b2 2 3

∆ x =

c1 b1 =

11 -2 = 11 × 3 - (-2) × 12 = 33 + 24 = 57

c2 b1 12 3

∆ y =

a1 c1 =

5 11 = 5 × 12 - 11 × 2 = 60 - 22 = 38

a2 c2 2 12

∴ x = = = 3

y = = = 2

∴ x = 3 , y = 2

í

جند

∆yــــــ∆

∆xــــــ∆

∆yــــــ∆

ـــــــ3819

ــــــ5719

(وتسمى هذه الطريقة بطريقة كرامر)

89

c1 b1 3 -2

∆ x c2 b2 3 1 3 + 6 9 x = 3 = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

∆ a1 b1 5 -2 5 - 2 3 a2 b2 -1 1

مثال16جد قيمتي x ، y التي حتقق حل املعادلتني اآلنيتني بطريقة كرامر:

3x + 5y = -1 x + 2y = 0

احلل نالحظ ان املعادلتني مرتبتني: c1 b1 -1 5

∆ x c2 b2 0 2 -1 ×2 - 5×0 -2-0 -2 x = 2- = ـــــــ = ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــ

∆ a1 b1 3 5 3×2 - 5×1 6-5 1 a2 b2 1 2

í

مثال17حل املعادلتني اآلتيتني آنيًا بطريقة كرامر :

5x - 2y -3 = 0 , y - 3 = x احلل نرتب املعادلتني

5x - 2y = 3 -x + y = 3

a1 c1 3 -1

∆ y a2 c2 1 0 3 × 0 - (-1) ×1 0 + 1 y = 1 = ــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

∆ a1 b1 3 5 1 1 a2 b2 1 2

∴ x = -2 , y = 1 í

a1 c1 5 3 ∆ y a2 c2 -1 3 15 - (-3) 18

y = 6 = ـــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ ∆ a1 b1 5 - 2 3 3 a2 b2

∴ x = 3 , y = 6

90

a1 c1 2 12 ∆ y a2 c2 4 10 2 . 10 - 12 . 4 20 - 48 -28

y = 2 = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ ∆ -14 - 14 - 14 -14 -14

∴ x = 1 , y = 2

× ×

مثال18

حل املعادلتني آنيًا بطريقة كرامر:2x + 5y = 12 , 4x + 3y = 10

احلل نالحظ ان املعادلتني مرتبتني ، جند : c1 b1 12 5 ∆ x c2 b2 10 3 12 × 3 - 5 × 10 36 - 50 -14

x = 1= ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ ∆ a1 b1 2 5 2 × 3 - 5 × 4 6 - 20 -14 a2 b2 4 3

í

91

[11 - 3] محددات املصفوفة املربعة 3×3

ميكن ايضًا ايجاد محدد املصفوفة املربعة 3×3 وبالشكل :a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

والتي هي:a1 b1 c1 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 = a1 - b1 + c1 a3 b3 c3 b3 c3 a3 c3 a3 b3

مثال19جد قيمة 4 5 2-

3 1 2 4 -3 0

احلل -2 5 4 1 2 3 2 3 1 3 1 2 = (-2) - 5 + 4 4 -3 0 -3 0 4 0 4 -3

= -2 [ 1 × 0 - 2 × (-3) ] - 5 × [ 3 × 0 - 2 × 4 ] + 4 × [ 3 × (-3) - 1 × 4 ]

= -2 [ 0 + 6 ] - 5 [ 0 - 8 ] + 4 [ -9 - 4]

= -12 + 40 - 52 = - 24

í a1 c1 2 12 ∆ y a2 c2 4 10 2 . 10 - 12 . 4 20 - 48 -28

y = 2 = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ ∆ -14 - 14 - 14 -14 -14

∴ x = 1 , y = 2

× ×

مثال18

حل املعادلتني آنيًا بطريقة كرامر:2x + 5y = 12 , 4x + 3y = 10

احلل نالحظ ان املعادلتني مرتبتني ، جند : c1 b1 12 5 ∆ x c2 b2 10 3 12 × 3 - 5 × 10 36 - 50 -14

x = 1= ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ ∆ a1 b1 2 5 2 × 3 - 5 × 4 6 - 20 -14 a2 b2 4 3

í

92

توجد طريقة أخرى اليجاد محدد املصفوفة 3×3 وكما يلي:

1/ نكرر كتابة العمودين االول والثاني a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3

نحدد االقطار الرئيسية بأسهم وبلون يختلف عن لون االقطار املعاكسة

a1 b2 c3 , b1 c2 a3 , c1 a2 b3 :2/ جند حاصل ضرب عناصر االقطار الرئيسية الثالث والتي هي

a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3

3/ جند H1 الذي ميثل مجموع النواجت الثالث :H1 = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3

4/ جند حاصل ضرب عناصر االقطار املعاكسة الثالث والتي هي:

c1 b2 a3 , a1 c2 b3 , b1 a2 c3 5/ جند H2 وميثل مجموع النواجت الثالث:

H2 = c1 b2 a3 + a1 c2 b3 + b1 a2 c3

واخيرًا: a1 b1 c1 a2 b2 c2 = H1 - H2

a3 b3 c3 سنحل املثال السابق بالطريقة الثانية:

-2 5 4 -2 5 3 1 2 3 1 4 -3 0 4 -3

93

í

جند H1 حيث :H1 = [ ( -2 × 1 × 0 ) + ( 5 × 2 × 4 ) + ( 4 × 3 × (-3))] = 0 + 40 - 36 = 4 H2 = [( 4 × 1 × 4 ) + ( (-2) × 2 × (-3) ) + ( 5 × 3 × 0) ] = 16 + 12 + 0 = 28

-2 5 4 ∴ 3 1 2 = H1 - H2 = 4 - 28 = - 24 4 -3 0

•مالحظةسوف نعتمد في ايجاد قيمة محدد املصفوفة 3×3 على الطريقة الثانية

مثال20 جد قيمة :

3 -2 4 6 4 -8 -5 2 8

احلل 3 -2 4 3 -2 6 4 -8 6 4 -5 2 8 -5 2

H1 = [( 3 × 4 × 8 ) + ( (-2) × (-8) × (-5) ) + ( 4 × 6 × 2) ] = 96 - 80 + 48 = 64

H2 = [ (4 × 4 × (-5) ) + ( 3 × (-8) × 2 ) + ( (-2) × 6 × 8 ) ] = - 80 -48 -96 = -224

94

í

3 -2 4 ∴ 6 4 -8 = H1 - H2 = 64 - (-224) = 288 -5 2 8

مثال21جد قيمة

1 2 3 -2 -3 0 3 2 5

احلل 1 2 3 1 2 -2 -3 0 -2 -3 3 2 5 3 2

H1 = ( 1 × (-3) × 5 ) + ( 2 × 0 × 3 ) + ( 3 × (-2) × 2 ) جند = - 15 + 0 - 12 = - 27 H2 = ( 3 × (-3) × 3 ) + ( 1 . 0 . 2 ) + ( 2 × (-2) × 5 ) = -27 + 0 -20 = -47

1 2 3 ∴ -2 -3 0 = H1 - H2 = ( -27 ) - ( -47 ) = - 27 + 47 = 20 3 2 5

× ×

95

[12 - 3] استخدام احملددات في حل ثالث معادالت آنيًا من الدرجة االولى بثالث متغيرات وتسمى طريقة كرامر

تعلمنا سابقًا حل معادلتني آنيًا وبطريقة احملددات (كرامر) وفي موضوعنا هذا سنتعلم كيفية حل ثالث معادالت من الدرجة االولى وبثالث متغيرات بأستخدام احملددات وكما يلي:

a1 x + b1 y + c1 z = h1

a2 x + b2 y + c2 z = h2

a3 x + b3 y + c3 z = h3

ميكن بعد ضرب املعادالت مبعامالت عددية وبطريقة احلذف كما سبق في حل املعادلتني اآلنيتني ميكن x , y , z احلصول على القوانني اآلتية اليجاد قيم

هي محدد مصفوفة معامالت x , y , z في الطرف االمين

h1 b1 c1

h2 b2 c2

∆ x h3 b3 c3 x = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

x هي مشابه محدد ∆ بحيث حتل املعامالت العددية في الطرف االيسر بدًال من عمود معامالت∆x

y هي مشابه محدد ∆ بحيث حتل املعامالت العددية في الطرف االيسر بدًال من عمود معامالت∆y

a1 h1 c1

a2 h2 c2

∆ y a3 h3 c3 y = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

96

í

z∆ هي محدد املصفوفة التي متثل مصفوفة ∆ بحيث حتل املعامالت العددية في الطرف االيسر بدًال من z عمود معامالت

a1 b1 h1

a2 b2 h2

∆ z a3 b3 h3 z = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

•مالحظةحتتوي التي واحلدود االمين الطرف في العددية املعامالت بحيث املعامالت حدود ترتيب يجب -1

z , y ، x في الطرف االيسر ومرتبة بنفس الطريقة في املعامالت الثالث .. R 2- إذا كانت قيمة = صفر في حل معادلتني آنيًا أو ثالث معادالت فإن املعادالت ليس لها حل في

مثال22حل املعادالت الثالث وبطريقة احملددات في كل مما يأتي:

1) x + 4y + 3z 2x + 5y + 4z x - 3y - 2z

h1 b1 c1 1 4 3 1 4 h2 b2 c2 4 5 4 4 5 ∆ x h3 b3 c3 5 -3 -2 5 -3 x = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1 1 4 3 1 4 a2 b2 c2 2 5 4 2 5 a3 b3 c3 1 -3 -2 1 -3

∆

= 1= 4= 5

97

[ -10 +80 - 36 ] - [ 75 +(_12 )-32 ] 34 -31 3 x = = = = 3 [-10 + 16 - 18 ] - [15 - 12 - 16 ] -12 +13 1

a1 h1 c1 1 1 3 1 1 a2 h2 c2 2 4 4 2 4 ∆y a3 h3 c3 1 5 -2 1 5 y = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1 1 4 3 1 4 a2 b2 c2 2 5 4 2 5 a3 b3 c3 1 -3 -2 1 -3

[ -8 +4 + 30 ] - [ 12 + 20 - 4 ] 26 -28 -2 y = 2- = ـــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ [-10 + 16 - 18 ] - [15 - 12 - 16 ] -12 +13 1

a1 b1 h1 1 4 1 1 4 a2 b2 h2 2 5 4 2 5 ∆z a3 b3 h3 1 -3 5 1 -3 z = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1 ∆ a2 b2 c2 a3 b3 c3

[ 25 + 16 - 6 ] - [ 5 - 12 + 40 ] 35 - 33 z = 2 = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

1 1 x = 3 , y = -2 , z = 2

98

احلل نرتب املعادالت الثالث وكاآلتي: -2x + y - z = -3 3x - 2y + 2z = 4 x + y + z = 9

اوًال جند قيمة ∆ حيث -2 1 -1 -2 1 ∆ = 3 -2 2 3 -2 1 1 1 1 1

∆ = [ 4 + 2 + (-3) ] - [ 2 + (-4) + 3 ] = 3 - 1 = 2

h1 b1 c1 -3 1 -1 -3 1 h2 b2 c2 4 -2 2 4 -2 ∆x h3 b3 c3 9 1 1 9 1∴ x = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ 2 2

[ 6 + 18 + (-4) ] - [ 18+ (-6) + 4] 20 - 16 4 ∴ x = 2 = ــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 2 2

a1 h1 c1 -2 -3 -1 -2 -3 a2 h2 c2 3 4 2 3 4 ∆y a3 h3 c3 1 9 1 1 9 y = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ 2 2

[ -8 +(-6) + (-27) ] - [ (-4) + (-36) + (-9) ] -41 + 49 8 y = 4 = ــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 2 2

2) y - 2x + 3= z , 3x - 4 = 2y - 2z , x + y + z = 9

99

a1 b1 h1 -2 1 -3 -2 1 a2 b2 h2 3 -2 4 3 -2 ∆z a3 b3 h3 1 1 9 1 1 z = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ a1 b1 c1 2 a2 b2 c2 a3 b3 c3

[36 + 4 + (-9) ] - [ 6 + (-8) + 27 ] 31 - 25 6 z = 3 = ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 2 2

∴ x = 2 , y = 4 , z = 3

3) 2x - 4y + 5z = 5 , x + 3y - 2z + 10 = 0 , -3x - 2y - 4z + 6 = 0احلل

نرتب املعادالت أوًال وكما يلي : 2x - 4y + 5z = 5 x + 3y - 2z = - 10 -3x - 2y - 4z = - 6

جند a1 b1 c1 2 -4 5 2 - 4 ∆ = a2 b2 c2 = 1 3 -2 1 3 a3 b3 c3 -3 -2 -4 -3 -2

∆ = [ -24 + (-24) + (-10) ] - [ - 45 + 8 + 16 ] = [-58 ] - [ -21 ] = -37 ثم جند كًال من x و y و z وكما يلي:

100

5 - 4 5 5 - 4 -10 3 -2 -10 3 ∆x - 6 -2 -4 - 6 -2 x = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ -37

[ -60+(-48)+100 ] - [-90+20+(-160) ] [-8 ] - [-230 ] 222 x = 6- = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

-37 -37 -37

2 5 5 2 5 1 -10 -2 1 -10 ∆y -3 -6 -4 -3 -6 [80+30+(-30)] - [150+24+(-20)] y = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ ∆ - 37 -37

80 - 154 -74y = 37 - 37 - 2 = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ

2 -4 5 2 -4 1 3 -10 1 3 ∆z -3 -2 -6 -3 -2 [-36 +(-120)+(-10)] - [-45+40+24] z = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ ∆ - 37 -37

-166 - 19 -185 z = 5 = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ

- 37 - 37

∴ x = -6 , y = 2 , z = 5

101

5 - 4 5 5 - 4 -10 3 -2 -10 3 ∆x - 6 -2 -4 - 6 -2 x = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ ∆ -37

[ -60+(-48)+100 ] - [-90+20+(-160) ] [-8 ] - [-230 ] 222 x = 6- = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

-37 -37 -37

2 5 5 2 5 1 -10 -2 1 -10 ∆y -3 -6 -4 -3 -6 [80+30+(-30)] - [150+24+(-20)] y = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ ∆ - 37 -37

80 - 154 -74y = 37 - 37 - 2 = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ

2 -4 5 2 -4 1 3 -10 1 3 ∆z -3 -2 -6 -3 -2 [-36 +(-120)+(-10)] - [-45+40+24] z = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ ∆ - 37 -37

-166 - 19 -185 z = 5 = ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ

- 37 - 37

∴ x = -6 , y = 2 , z = 5

تمارين [1 - 3]

س1: جد قيمة كل مما يأتي وبني اي منها هو محدد ملصفوفة منفردة:

1) cos x sin x 2) 3) 2 2 3

sin x -cos x 5 3 2

4) 4 3

5) 1 5 2

6) 1 2 3

-6 -8 -2 4 3 4 5 6 3 1 1 -1 0 1

س2: حل املعادالت اآلتية وجد قيمة x في كل مما يأتي:

1) 3x 3 2) x x 3)

x 2 -1 9 4x

= 0 x -1 x - 5 = 8 1 0 6 = 3 5 -1 8

س3: حل املعادلتني االنيتني في كل مما يأتي وبطريقة كرامر:

1) 5x + 3 = 4y , 3x + y = 5

2) 2x - 3 = 3y , x - 1 = 2y

3) 4y + 2x = 0 , 3x + 5y = -1

4) 2x + 3y = 6 , x + y = 1

س4: حل املعادالت الثالث بايجاد قيم x , y , z وبطريقة احملددات في كا مما يأتي:

1) 3x + y - z = 2 , 2x + 3y + z = 11 , x - y + 3z = 8

2) 4y + z = 0 , 2x + z = -8 , 5x + 6y = 2z + 4

3) x + 3y = 2z - 2 , 4x + 2y = z -3 , 2x - y + z = 0

4) 3x + y - z = -1 , 5x + 2y + z = 8 , x - 3y - 4z = -5

ــــ12

ــــ13

ــــ16

102

الفصل الرابع CHAPTER 4

Statistics االحصـــاء

[1-4] مقدمـــة

كلمة اإلحصاء تعني علم جمع البيانات وحتليلها وتفسيرها، ولعلم االحصاء مجاالن رئيسان: (االحصاء

الوصفي) الذي يهتم بوصف البيانات و(االحصاء االستداللي) الذي يهتم بتفسير البيانات وحتليلها بهدف

الوصول الى استنتاجات او تنبؤات منها.

لالحصاء دور مهم وفعال في حل كثير من املشاكل : االدارية واالقتصادية واحلياتية والطبية وغيرها.....

والهمية هذا الدور يتوجب علينا دراسته وفهم حقيقته.

لقد استخدم البابليون (1800 قبل امليالد) الواحًا من الطني كسجالت للغالل الزراعية وما يجنونه من

بيعها كما ان املصريون القدماء جمعوا بيانات عن اعداد مواطنيهم وثرواتهم قبل بناءهم لالهرامات نحو

القرن احلادي والثالثون قبل امليالد.

وكان للحضارة الرومانية اول حكومة قامت بجمع البيانات وحتليلها حول اعداد السكان ومساحات

املناطق التي تقع حتت سيطرة الرومان والثروات احليوانية والزراعية واملعدنية املتوفرة فيها.

103

∑ (x -x)2

n

∑ (x -x)2

n∑ x 2

n-(x)2 √أو

Measures of Disperssion [2-4] مقاييس التشتت

(مراجعة)

او منه بالقرب رمبا تكون مجتمعة املجموعة اعداد هذه وان االعداد وسطًا حسابيًا لكل مجموعة من مبتعدة عنه فاذا كانت هذه االعداد متجمعة بالقرب من وسطها احلسابي فان مقدار تشتتها ضئيل . واذا

كانت هذه االعداد مبتعدة عن وسطها احلسابي فان تشتتها كبير . (Standard Deviation) املعياري واالنحراف ، (Range)املدى التشتت مقاييس ومن

واالنحراف املتوسط والتباين. وسندرس االنحراف املعياري

Standard Deviation [1-2-4] االنحراف املعياري

يعرف االنحراف املعياري بانه اجلذر التربيعي ملتوسط مجموع انحرافات قيم املتغير عن وسطها احلسابي . (S) وسنرمز لالنحراف املعياري بالرمز (Arithmetic Mean)

حساب االنحراف املعياري

1) نستخرج الوسط احلسابي(x)لتلك القيم

(x-x)2) نستخرج انحراف كل قيمة عن وسطها احلسابي

(x-x)2 3) نربع االنحرافات

∑ (x-x)2 4) نستخرج مجموع مربع االنحرافات

5) نقسم الناجت على عدد القيم ـــــــــــــــــــــــــ

6) ناخذ اجلذر التربيعي املوجب للناجت االخير في حالة عدم وجود تكرار

S = ـــــــــــــــــ S = ــــــــــــــــــــــــــــــ

7) في حالة وجود تكرارات.

√

106

تمارين (1 - 4 )

س1/جد الوسط احلسابي للقيم التالية 12 ، 11 ، 9 ، 8 ، 5

س2/من اجلدول التالي .احسب الوسط احلسابي

العمر121198

عدد االشخاص2453

س3/إحسب االنحراف املعياري للقيم 3،2،1،4،5

س4/لدينا اجلدول التالي

الفئة-48-4440-36-32-28-24-20

التكرار81268574

اوجد الوسط احلسابي واالنحراف املعياري

107

correlation [3-4] االرتباط

املقدمة

لقد استخدمنا سابقًا الطرق واالساليب املختلفة في جمع وتصنيف وتبويب البيانات وكذلك إستخراج

هذه إن التشتت ومقاييس املركزية النزعة مقاييس مثل اكثر وضوحًا فكرة تعطي التي املقاييس بعض

الطرق واالساليب إستندت على البيانات املجمعة من متغير واحد فقط سواء كانت هذه البيانات مبوبة في

توزيع تكراري ام غير ذلك وفي أحوال كثيرة نحتاج دراسة متغيرين او اكثر في ان واحد.

Linear correlation [1-3-4] االرتباط اخلطي

إن مفهوم االرتباط اخلطي يقترن بحالة وجود متغيرين أو اكثر تقترن مع بعضها بعالقات خطية معينة

على سبيل املثال العالقة بني طول الشخص (cm) وكتلته (Kgm). العالقة بني حتصيل الطالب املتخرج

من الكلية واملستوى املعاشي السرته .العالقة بني نسبة الشفاء من مرض معني وكمية اجلرعة التي تناولها

من الدواء.

او زيادة الى يؤدي احدهما في نقصان او زيادة اي االجتاه بنفس يتغيران املرتبطني املتغيرين إذا كان

نقصان في االخر ويقال ان االرتباط موجب (طردي) على سبيل املثال زيادة طول شخص يتوقع ان يقابلها

كان اذا أما السلع. بعض على أنفاقه في إنخفاض منه يتوقع الفرد دخل في وانخفاض وزنه. في زيادة

املتغيرين املرتبطني يتغيران باجتاه معاكس زيادة او نقصان في احدهما يؤدي الى نقصان أو زيادة في االخر

عندئذ يقال ان االرتباط بينهما سالب (عكسي) وعلى سبيل املثال. زيادة في سعر الوحدة من سلعة معينة

يتوقع ان يؤدي إلى انخفاض في الطلب على تلك السلعة . وان إنخفاض في درجات احلرارة يتوقع ان يؤدي

الى زيادة الطلب على الوقود . ويقال إن االرتباط بني متغيرين تام (perfect ) إذا كان التغير في احدهما

متناسب مع التغير في االخر ومثال على ذلك . االرتباط بني درجة احلرارة املئوية ودرجة احلرارة الفهرنهايتية

هو ارتباط تام .

114

معامل االرتباط (+١) طردي تام معامل االرتباط (-١) عكسي تام

×

×

×

× ×

××

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

××

××

××

××

×

×

×

×

×

×

×

×

×

××

×

××

×

××

×

×

×

×

××

×

×

×

×

×

×

×

× ×

××

× ×

××

×

طردي (موجب) عكسي (سالب)

اليوجد ارتباط

X

X

Y

Y

Y

Y

XX

X

116

í مثالكانت تقديرات ستة طالب في مادة االحصاء والرياضيات كما يلي :تقدير درجة االحصاء : جيد، متوسط، ضعيف، مقبول، جيد جدًا، ممتاز

تقدير درجة الرياضيات: متوسط، جيد، مقبول، ضعيف، ممتاز، جيد جدًا

جد معامل االرتباط البسيط بني تقدير الطالب في امتحان االحصاء وتقديره في امتحان الرياضيات.

احللرتبًا من تنازلي وليكن ترتيب تصاعدي ثم نخصص او التقديرات وفق ترتيب تصاعدي بترتيب نبدأ

االعداد الطبيعية.

X: ضعيف، مقبول، متوسط، جيد، جيد جدًا، ممتاز Y: ضعيف، مقبول، متوسط، جيد، جيد جدًا، ممتاز

ثم تعود لتخصيص هذه الرتب والتقديرات االصلية كما هو موضح في اجلدول التالي.

6

التسلسل x y رتبx

رتبy

d d2

123456

جيدمتوسطضعيفمقبول

جيد جدًاممتاز

متوسطجيد

مقبولضعيف

ممتازجيد جدًا

431256

342165

1-1-11

-11

111111

⑥ ⑤ ④ ③ ② ①

118

تمارين [4-2]

س1/ جد معامل االرتباط بني y, x من اجلدول التالي :

x 1 2 3

y 2 4 6

y, x س2/ جد معامل االرتباط بني

x 4 8 12

y 2 4 6

y, x س3/ جد معامل االرتباط بني

x 3 4 5 6 7

y 6 8 10 12 14

y, x س4/ جد معامل االرتباط البسيط بني املتغيرين

x 2 5 7 8 6 9 8 10 4 5 11 9

y 1 3 5 6 4 6 7 9 3 4 9 8

y, x س5/ جد معامل االرتباط البسيط للمتغيرين

x 1.5 1.3 2.5 3.3 4.2 1.2 3.8 2.6

y 3 2 4 6 8 1 7 5

119

س6/ من اجلدول التالي جد معامل ارتباط سبيرمان x : 50,70,80,40,30,60,65,70,75,55

y : 45 ,60,65,30,20,55,60,60,65,50

قاعدة ومساحة (x) الصنوبر الشجار العددية الكثافة متثل التالي اجلدول في املعطاة البيانات س7/ (y)االشجار

x : 307,79,71,192,122,404,55,82

y :13.5,20.1,14.8,19.6,19.5,17.4,26.1,21.1

املطلوب ايجاد معامل ارتباط سبيرمان بني كثافة االشجار ومساحة قاعدة االشجار.

121

مثالعينة تتألف من سبعة افراد وكانت نتائجهم كما يلي:

x 12 11 5 10 13 13 12

y 11 14 11 13 15 14 12

x على y أحسب معادلة انحدار

احللنريد التبؤ بتقدير قيمة (y) أي درجات اآلختبار لالفراد في االختبار الثاني من معرفة درجات االختبار

.(x) االول

í

x y xy x2

12 11 132 144

11 14 154 121

5 11 55 25

10 13 130 100

13 15 195 169

13 14 182 169

12 12 144 144

76 90 992 املجموع 872

123

مثال البيانات التالية متثل الكمية املطلوبة من (y) من سلعة معينة وسعر الوحدة الواحدة منها (x) واملطلوب

:(x) على (y) معادلة

احلل

××

10

5

15( 5 , 10 . 98 )

( 10 , 12 , 58 )

X

Y

5 10 15

í

x y xy x2

11 3 33 1218 5 40 647 6 42 498 4 32 646 6 36 369 4 36 815 9 45 255 8 40 254 9 36 167 6 42 49

70 60 382 530

x 11 8 7 8 6 9 5 5 4 7

y 3 5 6 4 6 4 9 8 9 6

املجموع

125

تمارين [ 3 ـ 4]

س1/ في جتربة حقلية لدراسة أثر زيادة كمية السماد العضوي على كمية احملصول من احلنطة مت احلصول على النتائج التالية:

108685274931012كمية السماد

x

753421325267كمية احملصول

y

(X) على كمية السماد (Y) احسب مــعادلة انحدار كمية احملصول

س2/ إذا كان عدد االهداف التي سجلها فريق بكرة القدم في عشرة مباريات خاضها مع فرق أخرى مقرونة بعدد ضربات الزاوية املمنوحة لهذا الفريق في تلك املباريات كاألتي

126954158879عدد ضربات x الزاوية

3221042104عدد االهداف

y

(x) على عدد ضربات الزاوية (y) احسب معادلة انحدار عدد االهداف

س3/ البيانات التالية متثل درجات (12) طالب وان درجة االمتحان القصوى من (10) درجات واملطلوب (x) على (y) معادلة انحدار

درجة الرياضيات1063651078932x

درجة االحصاء014463957720y

äÉë∏£°üŸG ∫hóL

…õ«∏μfG »HôY



á«°S’G ádGódG

á«“QÉZƒ∏dG ádGódG

ájöû©dG äÉªàjQÉZƒ∏dG

á«©«Ñ£dG äÉªàjQÉZƒ∏dG

ájhó«dG áÑ°SÉ◊G

»°Sóæ¡dG §°SƒdG

äÉ©HÉààŸG

áë«ë°üdG OGóY’G

á«©«Ñ£dG OGóY’G

ádGódG

ádGódG ∫É›

πHÉ≤ŸG ∫ÉéŸG

á«≤«≤◊G OGóY’G

(á«HÉ°ù◊G) ájOó©dG äÉ©HÉààŸG

á«HÉ°ù◊G •É°Sh’G

á«°Sóæ¡dG äÉ©HÉààŸG

á«°Sóæ¡dG •É°Sh’G

≠∏ÑŸG

ô©°ùdG

íHôdG

øeõdG

á∏ª÷G

á«dÉ◊G áª«≤dG

§«°ùÑdG íHôdG

‐1‐2‐3‐4‐5‐6‐7‐8‐9

‐10‐11‐12‐13‐14‐15‐16‐17‐18‐19‐20‐21‐22‐23‐24

Exponential FunctionLogarithmic FunctionDecimal ‐LogarithmsNatural LogarithmsCalculatorGeometric meanSequenceIntegersNaturalFunctionDomainCodomainReal NumbersArithmetic SequensArithmetic meansGeometric SequencesGeametric means AmountPricePro�tTimeWholesaleCurrent ValueSimple pro�t

ÖcôŸG íHôdG

á«¡àæe á©HÉààe

á«¡àæe ÒZ á©HÉààe

ΩÉ©dG ó◊G

‐25‐26‐27‐28‐29‐30‐31‐32‐33‐34‐35‐36‐37‐38‐39‐40‐41‐42‐43‐44‐45‐46

Compound Pro�tFinite SequenceIn�nite SequenceGeneral Term



äÉaƒØ°üŸG

∞°üdG

Oƒª©dG

áaƒØ°üŸG áÑJQ

á©HôŸG áaƒØ°üŸG

ájôØ°üdG áaƒØ°üŸG

IóMƒdG áaƒØ°üe

ájOÉM’G áaƒØ°üŸG

äÉaƒØ°üŸG ™ªL

áaƒØ°üª∏d »©ª÷G Ò¶ædG

äGOóëŸG

á«f’G ä’OÉ©ŸG

âà°ûàdG ¢ù«jÉ≤e

…QÉ«©ŸG ±Gôëf’G

•ÉÑJQ’G

»£ÿG •ÉÑJQ’G

•ÉÑJQ’G πeÉ©e

QGóëf’G

MatricesRowColumnOrder of amatrixSquare MatrixZero MatrixUnit MatrixSingular MatrixAddition of MatrixAdditive InversDeterminantsSimultaneou EquationsMeasures of DisperssionStandard devintionCorrelationLinear Correlation Correlation coe�cientRegression

ﻢﻴﺣﺮﻟﺍ ﻦﻤﺣﺮﻟﺍ ﷲﺍ ﻢﺴﺑ10 f(x) = 1x = 1 (1 - 1)...

Documents