الميكانيك و الترموديناميكاالحصائي

ايدري باديس

الجزائر عنابة، مختار، باجي جامعة الفيزياء، معهد

2015 ربيع

الفهرس

3 الترموديناميك في مقدمة 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقدمة3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . عامة تعاريف6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الترموديناميكية التحويالت7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . للترموديناميك الصفر المبدأ7 . . . . . . . . . . . . . . للترموديناميك االول المبدأ و الداخلية الطاقة9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . للترموديناميك الثاني المبدأ10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . كارنو دورة12 . . . . للترموديناميك الثاني المبدأ و االنتروبي كلوسيوس، مبرهنة15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . للترموديناميك الثالث المبدأ16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الترموديناميكية الدوال19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تمارين23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . حلول

33 الميكروقانونية المجموعة الكالسيكي: االحصائي الميكانيك الي مدخل 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الميكروسكوبية الحاالت34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . العشوائي المشاء - ايزينغ نموذج مثال:36 . . . . . . . . . . . االحصائي الميكانيك مسلمات و المعلومات انتروبي41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الميكروقانونية المجموعة44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الترموديناميكي التوازن48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الكالسيكي المثالي الغاز52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اضافية مسائل56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تمارين60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . حلول

75 للغازات الحركية النظرية و القانونية المجموعة 2

2

الترموديناميك في مقدمة

مقدمة

وبالخصوص (١) ظواهريا المادة بوصف يهتم الفيزياء من فرع هو الترموديناميكو حراريا المتوازنة الماكروسكوبية الفيزيائية الجمل خصائص بدراسة يهتم: االساسيين الطاقة شكلي بين اي بينها تحدث التي الطاقة في التبادالت دراسة

الميكانيكي. العمل و الحرارة كميةالي الرجوع دون الماكرسكوبي العالم وصف في جدا ناجح الترموديناميكالحركية النظرية هي ربما االستثناء الجزيئي للديناميك (٢) االولية المباديالذرية. النظرية من مباشرة الخاصبها الترموديناميك اشتقاق يمكن التي للغازاتالترموديناميك بناء تحاول التي االساسية النظرية هو االحصائي الميكانيكاصل تعتبر فهي وبالتالي الذري و الجزيئي العالم تحكم التي الفيزياء من انطالقا

معا. ان في تفسيره و الترموديناميكالعالم و الميكروسكوبي العالم بين الوصل همزة هو اذن االحصائي الميكانيكالميكروسكوبية الجسيمات عدد الن احصائي بالضبط هو و الماكروسكوبيالكبير العدد هذا وجود جدا. كبير عدد هو فيزيائية جملة الي المشكلةواالنيقة البسيطة القوانين باشتقاق لنا يسمح الذي االصل هو الجسيمات منالمتوازنة، الماكروسكوبية الفيزيائية التيتصفخصائصالجمل للترموديناميك،

االحصائي. الميكانيك قوانين من ابتداءااالحصائي الميكانيك نؤجل و بالترموديناميك، دراستنا الفصل هذا في نبدأمعه و بها يتعامل اللذان العالم و اللغة قرب عن نعرف حتي القادمة، للفصول

تؤسسه. و تحكمه التي الرياضيات في الغوص قبل االحصائي الميكانيك

عامة تعاريف

من ماكروسكوبي جزء هي الترموديناميكية الجملة : الترموديناميكية الجملاو معزولة تكون قد الجملة هذه اعتباري. يكون قد مغلق بسطح محدود الكونهناك كان امااذا الخارجي الوسط مع لها تفاعالت اي هناك يكن لم اذا مغلوقة

مفتوحة. تسمي فالجملة الخارجي الوسط مع تفاعلمع بالمقارنة جدا كبيرة ابعاد ذات جملة هي (٣) الماكروسكوبية الجملةالمكونات هذه عدد عموما االولية. او النووية الذرية، الجزيئية، مكوناتها ابعاد

phenomenological.(١)

first principles.(٢)

macroscopic.(٣)

3

(٥) افوقادرو عدد رتبة نفس من مثال هائل عدد هو (٤) الميكروسكوبية

N = 6.021x1023. (١)

ال االحصائي الميكانيك خالف علي الترموديناميك فان اعاله اليه اشرنا كمافقط يحاول و الترموديناميكية للجملة الميكروسكوبية المكونات بهذه يهتمالحجم مثل: ماكروسكوبية متغيرات ياستعمال الماكروسكوبية الجملة وصف

.N الجسيمات عدد و T الحرارة درجة ،P الضغط ،V

تركيز كان اذا متجانسة تسمي الترموديناميكية الجملة : المتجانسة الجملتتكون المتجانسة الجملة ان اي الجملة. في اخري الي نقطة من يتغير ال مكوناتهاالجملة فان العكسية الحالة في منتظمة. طورية حالة او واحدة طورية حالة من

متجانسة. غير تسمي

ترموديناميكيتين جملتين نعتبر : التمديدية المقادير و التكثيفية المقاديرحجم داخل محتواة متجانسة جملة هي جملة كل ان نفترض .2 و 1 متماثلتينالمشكلة الجملة التوالي. علي nr ،....،n2 ،n1 موالتها عدد مركبة r من مشكلة و V2V حجمها متجانسة جملة ايضا هي البعض بعضهما الي اعاله الجملتين اضافة منالتوالي. علي 2nr،....،2n2،2n1 يساوي موالت عدد مع المركبات نفس من مشكلة وكل 2 و 1 الجملتين في X0 القيمة يأخذ الذي الفيزيائية المقادير احد X ليكن

حدة. علينقول فاننا X0 القيمة نفس 1 + 2 الكلية الجملة في يأخذ X المتغير كان اذااما تكثيفية. مقادير هي الحرارة درجة و الضغط مثال: .(٦) تكثيفي مقدار هو X انهو X ان نقول فاننا 2X0 القيمة 1 + 2 الكلية الجملة في يأخذ X المتغير كان اذا

تمديدية. مقادير هي الجسيمات عدد و الحجم مثال: .(٧) تمديدي مقدارالجملة في المادة كمية مع تتناسب التي المقادير هي التمديدية المقادير اذن

الجملة. في المادة بكمية تتعلق ال التي المقادير فهي التكثيفية المقادير اما

ترموديناميكا الماكروسكوبية الجملة حالة تعين : الماكروسكوبية الحاالتفان بالتالي .N ،T ،P ،V الماكروسكوبية للمتغيرات محددة قيم باعطاء بالكاملللمتغيرات محددة بقيمة مرفقة للجملة معينة صورة هي الماكروسكوبية الحالة

الماكروسكوبية.

حالة في الماكروسكوبية الفيزيائية الجملة تكون : الترموديناميكي التوازنالجملة لهذه الواصفة الماكروسكوبية المتغيرات كانت اذا ترموديناميكي توازنغير جملة كل متوازنة. غير الجملة تكون العكسية الحالة في الزمن. مع تتغير الالذي الزمن توازنها. حالة تبلغ ان الي باخري او بصورة الزمن في تتطور متوازنة

االسترخاء. زمن يسمي التوازن تبلغ حتي الجملة تستغرقه

microscopic.(٤)

Avogadro.(٥)

intensive.(٦)

extensive.(٧)

4

تربط عالقة هي الترموديناميكية الجملة حالة معادلة : الحالة معادلةالمتغيرات كانت اذا مثال توازنها. حالة في الترموديناميكية متغيراتها بين

الشكل من عالقة هي الحالة معادلة فان T ،P ،V هي ما لجملة الترموديناميكية

f(P, V, T ) = 0. (٢)

الجملة حالة مثلنا اذا الثالثة. بين من خطيا مستقالن فقط متغيران هناك اذنهذا في سطح تعرف الحالة معادلة فان P − V − T الثالثي الفضاء في بنقطةتوازن حالة عن عبارة هي منه نقطة كل حيث f = 0 ب بالضبط معطي الفضاء

للجملة. ممكنةبالمخطط يعرف ما يعطي P − V المستوي علي الحالة معادلة سطح اسقاط

توازن. حالة تمثل المخطط هذا من نقطة كل .P − V

التجربيبة الناحية من كمثال. المثالي الغاز مسألة هنا نأخذ المثالي: الغازالتصرف هذا .(٨) مميهة تكون عندما الشكل بنفس تتصرف الحقيقية الغازات كلجزيئاته تكون الذي الغاز هو المثالي الغاز اذن مثالي. بغاز وصفه يمكن الكوني(٩)مثالي. غاز هو منخفض ضغط تحت الهيليوم مثال مهملة. متبادلة تفاعالت ذاتالغاز حالة معادلة .N و T ،P ،V متغيرات 4 باعطاء تحدد المثالي الغاز حالة

(١٠) بويل معادلة هي المثالي

PV = nRT , PV = NkT , n =N

N , k = NR. (٣)

اللذان المثالية الغازات ثابت هو R و بولتزمان ثابت هو k الموالت، عدد هو nب يعطيان

k = 1.38x10−23J/K , R = 8.315J/Kmole. (٤)

اعطاء وبالتالي ترموماتر لتعريف المثالي الغاز حالة معادلة استخدام يمكنالحرارة. درجة لسلم كوني تعريف

مع الطاقة تتبادل الماكروسكوبية الفيزيائية الجمل : الحرارة كمية و العملالحرارة. كمية و العمل هما مختلفتين بطريقتين الخارجي الوسط

كان اذا ميكانيكي. شكل علي للطاقة ماكروسكوبي تبادل هو :W العمل •عدا ما الترموديناميكية المتغيرات في تغير عنه ينجم الطاقة في التبادل

عمل. تبادل هناك ان نقول فاننا الحرارة درجةخالل dW العمل فان T و V ، P هي الترموديناميكية المتغيرات كانت اذاب يعطي dV ب الحجم خالله يتغير الصغر في متناه ترموديناميكي تحول

dW = PdV. (٥)

اذا حراري. شكل علي للطاقة ميكروسكوبي تبادل هو :Q الحرارة كمية •ثبوت مع فقط الحرارة درجة في تغير عنه ينجم الطاقة في التبادل كانلكمية تبادل هناك ان نقول فاننا قيمها علي الترموديناميكية المتغيرات باقي

حرارة.

diluted.(٨)

universal.(٩)

Boyl.(١٠)

5

ارتفاع الي يؤدي مما متجانسة جملة قبل من الممتصة dQ الحرارة كميةب تعطي عمل باي القيام عدم مع dT ب الحرارة درجة

dQ = CdT, (٦)

الحرارية. بالسعة يسمي ما هي C حيث

بالكالوري، ايضا تقاس الحرارة كمية بالجول. الحرارة كمية و العمل نقيس1 تحت الماء من غرام 1 حرارة درجة لرفع الضرورية الحرارة كمية هو الذي

ب ويعرف مئوية، درجة 15.5 الي مئوية درجة 14.5 من جوي ضغط

1ca = 4.18J. (٧)

درجة تتغير ال ترموديناميكية جملة هو الحراري الخزان : الحراري الخزانالحرارة. لكمية منتهية قيمة الي تبادل اي تأثير تحت حرارتها

الترموديناميكية التحويالت

للحالة تغير عملية هو الترموديناميكي التحويل : الترموديناميكية التحويالت،(١١) ساكن شبه يكون ان للتحويل يمكن ترموديناميكية. لجملة الماكروسكوبيةحالة في الجملة تبقي الساكن شبه التحويل خالل .(١٣) عكسي غير او ،(١٢) عكسييمكن ساكن شبه تحويل فهو العكسي التحويل اما تقريبي ترموديناميكي توازنالذي العكسي غير التحويل عكس االبتدائية حالتها الي فيه بالجملة الرجوع دائما

االبتدائية. حالتها الي بالجملة فيه الرجوع يمكن ال

تسمي الحرارة درجة عدا ما الترموديناميكية المتغيرات : الخارجية المتغيراتجملة S لتكن ميكانيكي. عمل يولد ان يمكن فيها تغير اي و ،(١٤) الخارجية المتغيراتعن ترموديناميكي عليهاتحويل نجري ثم معينة ابتدائية حالة في ترموديناميكيةبحيث الجملة تطور كان اذا الجملة. لهذه الخارجية المتغيرات بعض تغيير طريقشبه يسمي به قمنا الذي التحويل فان ترموديناميكي توازن حالة في دائما تبقي انهااالبتدائية حالتها الي بالجملة الرجوع يمكن كان اذا ذلك الي باالضافة ساكن.ال كان اذا و عكسي. تحويل يسمي التحويل فان للجملة عكسي بتحويل بالقيام

عكسي. غير يسمي التحويل فان االبتدائية الحالة الي الرجوع يمكنالخارجية المتغيرات علي يجب العكسية و الساكنة شبه التحويالت حالة فيانظر الترموديناميكية. للجملة االسترخاء زمن مع بالمقارنة كاف ببطء تتغير ان

ادناه. المثال

جملة اي هي المعزولة الجملة فان سابقا ذكرنا كما : االدياباتيكية التحويالتتتبادل ال التي الجملة هي حراريا المعزولة الجملة الخارجي. العالم مع تتفاعل البجدار الجملة عزل عبر االمر هذا تحقيق يمكن الخارجي. العالم مع حرارة كمية

quasi− static.(١١)

reversible.(١٢)

irreversible.(١٣)

external variables.(١٤)

6

الترموديناميكية التحويالت جميع الحرارة. كمية بنقل يسمح ال (١٥) ادياباتيكيادياباتيكية. تحويالت تسمي الحالة هذه في الجملة لها تخضع التي

هناك الحرارة كمية بنقل يسمح ال الذي االدياباتيكي الجدار من العكس عليالحرارة. لكمية مثالي ناقل هو الذي (١٦) الدياتارم الجدار

الحرارة متساوية ترموديناميكية تحويالت هي (١٧) : االيزوحرارية التحويالتالحرارة. درجة نفس عند تحدث اي

ادياباتيكية اسطوانة داخل محتجز غاز نعتبر : الساكنة شبه التحويالت في العملاي بدون يتحرك مكبس عن عبارة االسطوانة قاعدتي احدي للحرارة. كاتمة ايمتغير هو و الغاز حجم فان المكبس يتحرك لما االسطوانة. جدران مع احتكاك

االن نفترض .1 الشكل الي انظر يتغير. خارجي

جدا. ضعيفة المكبس تحرك سرعة ان •هو x + dx الوضعية الي x الوضعية من االنتقال اجل من الالزم الزمن ان •الوسط مع حراري بتبادل للقيام للجملة الالزم الزمن من بكثير اكبرالجملة استرخاء زمن ان مثال افترضنا اذا التوازن. الي للوصول الخارجيقدره زمن في x + dx الي x من المكبس ينتقل ان يكفي فانه 1/1000 sec هوالنه كبيرة درجة الي ساكن شبه كأنه التحول اعتبار يمكن حتي 1/10 sec

ترموديناميكي. توازن حالة في الجملة ستكون لحظة كل في

ساكن. شبه تحول هو x+ dx الي x من التحول فان الظروف هذه تحتفان توازن حالة في الجملة الن .x الوضعية في المكبس t = 0 اللحظة فيPA هي المكبس علي تؤثر التي الكلية القوة الجهات. كل من متساو الضغطداخل الضغط فان dx مسافة المكبس يتحرك حتي المكبس. مساحة هي A حيثالغاز من المقدم العمل الخارجي. الضغط من بقليل اكبر يكون ان يجب االسطوانة

هو الخارجي الوسط من المقدم العمل اذن .PAdx هو

dW = −PdV. (٨)

للترموديناميك الصفر المبدأ

علي كل متوازنتان ماكروسكوبيتان ترموديناميكيتان جملتان 2 و 1 كانت اذافيما متوازنتان 2 و 1 فان 3 ثالثة ماكروسكوبية ترموديناميكية جملة مع حدةماكروسكوبيتين ترموديناميكيتين جملتين كل مكافئة: اخري بعبارة بينهما.

الحرارة. درجة نفس لهما متوازنتين

للترموديناميك االول المبدأ و الداخلية الطاقة

معزولة، ترموديناميكية لجملة الكلية الطاقة ان المعروف من الداخلية: الطاقةاي للحركة ثابت هي الكامنة، الطاقة و الحركية الطاقة مجموع تساوي والتي

adiabatic.(١٥)

diatherme.(١٦)

isothermic.(١٧)

7

يؤدي كوني قانون هو هذا الطاقة انحفاظ مبدأ الزمن. في منحفظة تبقي انهاالترموديناميك في للترموديناميك. االول المبدأ الي الترموديناميك في تطبيقهاجل من اذن .U ب اليها نرمز و (١٨) الداخلية بالطاقة تسمي للجملة الكلية الطاقة

اي منعدم يكون الداخلية الطاقة في التغير فان معزولة ترموديناميكية جملة

dU = 0. (٩)

الطاقة فان الخارجي الوسط مع تتفاعل انها اي معزولة غير الجملة كانت اذاتتبادل الجملة فان الترموديناميكي التحويل هذا خالل .dU بمقدار تتغير الكلية

حيث dQ حرارة كمية و dW عمل الخارجي الوسط مع

dU = dQ+ dW. (١٠)

الذي هو الخارجي الوسط فان موجبين dQ الحرارة كمية و و dW العمل كان اذاالحرارة كمية و العمل كان اذا اما الحرارة. كمية تمتص الجملة و بالعمل يقوميمتص الذي هو الخارجي الوسط و dW بالعمل تقوم التي هي الجملة فان سالبين

.dQ الحرارة كمية

للجملة الداخلية الطاقة في التغير ان علي ينص للترموديناميك: االول المبدأالحالة نفس بين تربط التي الترموديناميكية التحويالت كل اجل من نفسه هو(١٩) حالة دالة هو U ان بالخصوص يعني هذا النهائية. الحالة نفس و االبتدائيةيتعلق و نهائية حالة و ابتدائية حالة بين المتبع بالطريق يتعلق ال dU ان بمعنيهو تفاضلها U دالة توجد اخري بعبارة النهائية. و االبتدائية بالحالتين فقط

ان او تام تفاضل هو dU ان اي dU بالضبط

∫

C

dU = Uf − Ui. (١١)

النها اعاله بالخواص يتمتعان ال dQ الحرارة كمية و dW العمل ان الواضح منفقط المتبع. بالطريق يتعلقان الحرارة كمية و العمل اذن حالة. بدوال ليستالتغير بالتالي و حالة دوال الحرارة كمية او العمل فيها يكون خاصة حاالت فيمثال النهائية. و االبتدائية بالحالتين فقط يتعلق و المتبع بالطريق يتعلق ال فيهمالكمية تبادل بدون تحدث التي اي للحرارة الكاتمة االدياباتيكية التحويالت ذلك

الحالة هذه في بالتالي و الحرارة

dQ = 0 , dU = dW. (١٢)

حالة معادلة مع T و V ،P هي للجملة الترموديناميكية المتغيرات ان اعتبرنا اذاV و P هنا لنأخذ خطيا. مستقلة هي المتغيرات من فقط اثنين فان f(P, V, T ) = 0في دالة هي للجملة الداخلية الطاقة اذن خطيا. مستقلة ترموديناميكية كمتغيرات

اي V و P

U = U(P, V ). (١٣)

نحسب

dU = (∂U

∂V)P dV + (

∂U

∂P)V dP. (١٤)

internal energy.(١٨)

state function.(١٩)

8

النتيجة مباشرة لدينا فانه تام تفاضل هو dU الن

∂

∂P

[

(∂U

∂V)P

]

V

=∂

∂V

[

(∂U

∂P)V

]

P

. (١٥)

طاقة ان يعني هذا تمديدي. مقدار الداخلية الطاقة تعتبر الترموديناميك فيهي التوالي علي U2 و U1 طاقتيهما 2 و 1 جملتين من مشكلة 1 + 2 جملة

U1+2 = U1 + U2. (١٦)

ذات الماكروسكوبية للجمل بالنسبة صالح تقريب فقط هو االمر هذا لكنبالمعادلة الحقيقة في تعطي ان يجب U1+2 الطاقة الن الضعيفة التفاعالت

U1+2 = U1 + U2 + U12. (١٧)

ذات الماكروسكوبية الجمل اجل من اهمالها يمكن التي التفاعل طاقة هي U12

الضعيفة. التفاعالت(٢٠) الترموديناميكية النهاية في فقط تمديدي مقدار هي الداخلية الطاقة

ب المعرفة

N −→ ∞ , V −→ ∞ :N

V= constant. (١٨)

تصبح الطاقة ان اي الحجم. اثار امام مهملة تصبح السطح اثار النهاية هذه في.V او N الجملة ابعاد مع مباشرة طرديا متناسبة

للترموديناميك الثاني المبدأ

للترموديناميك االول المبدأ تحقق التي الترموديناميكية التحويالت بعض هناكالطبيعة. في تلقائية بصورة تحدث ان يمكن ال لكنها

الحرارة ان عادة المشاهد بارد. ماء داخل موضوع ساخن معدن نعتبر كمثالالمبدأ علي فقط االعتماد مع لكن البارد. الماء الي الساخن المعدن من تنتقليزداد بحيث الساخن الي البارد من تنتقل ان للحرارة يمكن للترموديناميك االولالثاني المبدأ الطبيعة. في مشاهد غير هذا لكن برودة. الماء يزداد و سخونة المعدن

الحرارة. فيها تنتقل التي االتجاهات توضيح الي يهدف للترموديناميك

نقل تكون الوحيدة نتيجته ترموديناميكي تحويل يوجد ال (٢١) كلوسيوس: بيانالي بارد جسم من الحرارة نقل يمكن ساخن. جسم الي بارد جسم من حرارة كمية

معين. عمل ببذل ساخن جسم

الوحيدة نتيجتها ن تكو ترموديناميكية تحويالت توجد ال (٢٢) بالنك: كلفن- بيانو ثابته حرارة درجة ذو وحيد حراري خزان من حرارة كمية استخراج هو

عمل. الي بالكامل تحويله

thermodynamical limit.(٢٠)

Clausius statement.(٢١)

Kelvin− Planck statement.(٢٢)

9

نفس عند اي حرارية ايزو عكسية بطريقة يتمدد مثالي غاز ناخذ كمثالالحرارة بدرجة اال تتعلق ال الداخلية الطاقة مثالي غاز اجل من .T الحرارة درجةهذه في اذن الحالة. هذه في ثابته T الن dU = 0 بالتالي و ( التمرينات الي انظر )يمتص الغاز ان اي dQ > 0 بالتالي و يبرد فانه يتمدد الغاز الن .−dQ = dW الحالةهو الغاز ان اي dW < 0 ان نستنتج منه و الحرارة درجة ثبات علي للحفاظ حرارةالي تحويلها تم الحرارة كمية كل الحالة هذه في انه نالحظ بالعمل. يقوم الذيفي الغاز الن الترموديناميكي التحويل لهذا الوحيدة النتيجة هذه ليس لكن عمل

اكبر. حجم يحتل النهائية حالتهكلفن- لبيان تماما مكافئ هو كلوسيوس بيان ان انفسنا نقنع ان المهم من

بالنك.

كارنو دورة

شبه الترموديناميكية التحويالت من متتابعة مجموعة هي (٢٣) كارنو دورةو T1 حرارة بدرجتي حراريين خزانيين فيها يستعمل التي العكسية و الساكنةاحتكاك. بدون يتحرك مكبس عن عبارة قاعدتها اسطوانة في غاز لنعتبر . T2 < T1

:( 2 الشكل الي (انظر كاالتي هو P − V المستوي في الغاز يتبعه الذي الطريق

ضغط و T1 حرارة درجة ،V1 بحجم تكون (A (النقطة للغاز االبتدائية الحالة •.P1

هو الترموستات .T1 حرارة درجة ذو بترموستات اتصال علي الجملة نضعللغاز ثابته حرارة درجة علي بالحفاظ يسمح كبير حراري خزان عن عبارة

حرارتها. درجة من يغير ال المعتبرة الجملة مع للحرارة تبادل كل النP2 الضغط يصبح حتي ايزوحرارية عكسية بطريقة الغاز حالة بتغيير نقومعلي المطبق للضغط ساكن شبه تغيير طريق عن ذلك و B النقطة عنديبرد. بالتالي و يتمدد الغاز ان اي V2 > V1 يصبح النهائي الحجم المكبس.من Q1 > 0 حرارة كمية يمتص ثابته حرارة درجة علي الغاز يحافظ حتي

الحار. المنبع

الحرارة. لكمية تبادل اي يمنع للحرارة كاتم ادياباتيكي بجدار الغاز نعزل •الحرارة درجة تصبح حتي ادياباتيكية عكسية بطريقة يتمدد الغاز بترك نقوميصبح .C النقطة عند البارد المنبع حرارة درجة هي التي T2 < T1 ل مساوية

.C النقطة عند P3 الضغط و V3 الحجم

علي نحافظ حتي T2 حرارة درجة ذو بترموستات اتصال علي الجملة نضع •الحجم الي V3 الحجم من الغاز بضغط نقوم .T2 ل مساوية حرارته درجةايضا هي العملية هذه .P4 > P3 الضغط الي P3 الضغط من و V4 < V3الغاز .T2 ل مساوية ثابتة تبقي الحرارة درجة ان اي ايزوحرارية و عكسيةعلي يجب ثابته حرارة درجة علي نحافظ حتي بالتالي و يسخن المضغوطتقع D النقطة الخارجي. الوسط الي Q2 < 0 حرارة كمية يعطي ان الغاز

.A ب المار االدياباتيكي الخط علي

.A الي D من عكسية و ادياباتيكية تكون ثابتة ضغط بعملية الدورة نغلق •.T1 الي T2 من الغاز حرارة درجة تتغير المقطع هذا خالل

للترموديناميك االول المبدأ حسب لدينا كارنو دورة خالل

∆U = 0. (١٩)

Carnot cycle.(٢٣)

10

هي كارنو دورة خالل المنقولة الحرارة كمية

Q = Q1 +Q2. (٢٠)

هو ABC خالل الخارجي الوسط و الغاز بين المتبادل العمل

W1 = −∫

ABC

PdV < 0. (٢١)

المساحة هي W1 .dV > 0 بالتالي و باستمرار يتزايد الجزء هذا خالل الحجم النبالعمل. تقوم التي هي الجملة فان W1 < 0 الن .ABC المنحني تحت

هو CDA خالل الخارجي الوسط و الغاز بين المتبادل العمل

W2 = −∫

CDA

PdV > 0. (٢٢)

المساحة هي W2 .dV < 0 بالتالي و باستمرار ينكمش الجزء هذا خالل الحجم النبالعمل. يقوم الذي هو الخارجي الوسط فان W2 > 0 الن .CDA المنحني تحت

التاليتين: الحالتين نعتبر

: االولي االمكانية •

|W1| > |W2|. (٢٣)

اي سالب هو الحالة هذه في الكلي العمل اذن

W =W1 +W2 < 0. (٢٤)

انها اي الخارجي للوسط عمل توفر اي بالعمل تقوم التي هي الجملة ان ايميكانيكي. عمل الي حرارية طاقة حولت النها حراري كمحرك تتصرف،Q

′

2 = −Q2 > 0 مع ) كالتالي للترموديناميك االول المبدأ باستعمال(W

′

1 = −W1 > 0

∆U =W +Q = 0 ⇒ −W = Q > 0. (٢٥)

ل مكافئ هذا

W′

1 −W2 = Q1 −Q′

2. (٢٦)

.Q1 > 0 و Q′

2 > 0 فان −W > 0 كان اذا انه جدا عام بشكل نبرهن ان يمكن

موجب W الكلي العمل فيها يكون التي االمكانية ايضا هناك الثانية: االمكانية •بالعمل. يقوم الذي هو الخارجي الوسط ان اي

فان Q′

2 < 0 و −W < 0 كان اذا انه جدا عام بشكل نبرهن ان ايضا يمكنمن يتخلص بينما البارد المنبع من الغاز االن يمتصها الحرارة اذن .Q1 < 0نوفر ان يجب هذا كل تحقيق اجل من و الحار للمنبع باعطائها الحرارةكارنو دورة فان الحالة هذه في انه اي الخارجي. الوسط من للغاز عملميكانيكي عمل نستعمل الننا كبراد تتصرف و المخالف االتجاه في تعمل

الحرارة. درجة في تدرج الحداث

11

به قامت الذي العمل بين النسبة هو الحراري كارنو محرك مردود ان الواضح مناي الحار المبع من المأخوذة الحرارة كمية و (الغاز) الجملة

η =W

′

1 −W2

Q1= 1− Q

′

2

Q1. (٢٧)

برهان: اي بدون المهمة النتائج بعض االن نذكر

T2 و T1 حرارة درجتي بين يعمل حراري محرك يوجد ال كارنو: مبرهنة •الحراري. كارنو محرك من فعالية اكثر هو

لها T2 و T1 حرارة درجتي بين تعمل التي كارنو دورات كل كارنو: الزمة •المردود. نفس

اقل. سيكون المردود فان عكسية غير تحويالت علي تحتوي الدورة كانت اذا •

العالقة عبر الحرارة لدرجات المطلق السلم بتعريف لنا تسمح كارنو دورةالتجريبية:

Q1

Q′

2

=T1T2. (٢٨)

التمرينات. الي انظر

للترموديناميك الثاني المبدأ و االنتروبي كلوسيوس، مبرهنة

الشكل علي اعاله (28) العالقة كتابة نعيد

Q1

T1+Q2

T2= 0. (٢٩)

كاالتي الساكنة شبه الدورات لكل المعادلة هذه تعميم يمكن∮

dQ

T= 0. (٣٠)

شبه بطريقة المتبادلة الحرارة كمية هي dQ و الدورة طول علي مأخوذ التكاملهي النتيجة هذه .T ل مساوية الحرارة درجة تكون اين الدورة نقطة في ساكنة

كلوسيوس. بمبرهنة يسمي ما من جزء

التالية المتراجحة فان O دوري ترموديناميكي تحويل اي في كلوسيوس: مبرهنةصحيحة:

∮

dQ

T≤ 0. (٣١)

فان عكسي الترموديناميكي التحويل كان اذا∮

dQ

T= 0. (٣٢)

12

الصغر في متناه تحويل n −→ ∞ الي O التحويل نقسم كاالتي. يجري البرهانفي الجملة ان نتصور اذن خطوة. كل في ثابته تقريبا الحرارة درجة تكون حيثتمتص انها اي Ti حرارة درجة ذو حراري بمخزن اتصال علي هي i خطوة كل.Ti عند الحرارة درجة ثبات علي الحفاظ اجل من خطوة كل في Qi حرارة كمية

بحيث هي Ci كل حيث C1, C2, ..., Cn لكارنو دورة n نبني

.i كل اجل من To ≥ Ti و Ti الحرارة درجتي بين تعمل .(١)

.To من Qoi الحرارة كمية تمتص .(٢)

.Ti ل Qi الحرارة كمية من تتخلص .(٣)

مشتركة i الخطوة حيث O + C1, C2, ..., Cn الترموديناميكي التحويل نعتبرالمتبادلة الكلية الحرارة كمية اذن متعاكسين. اتجاهين في لكن Ci و O بين

هي التحويل هذا خالل

Qo =n∑

i=1

Qoi . (٣٣)

يعطي الحرارة لدرجة المطلق السلم لكن

Qoi

Qi=ToTi. (٣٤)

هي المتبادلة الكلية الحرارة كمية اذن

Qo = To

n∑

i=1

Qi

Ti. (٣٥)

حولت التي و To الحراري الخزان من الممتصة الكلية الحرارة كمية هي هذهمن عمل الي بالكامل (∆U = Wo + Qo = 0) للترموديناميك االول المبد حسبكلفن- بيان حسب للترموديناميك الثاني المبدأ باستعمال اخري. نتائج دوناستخراج هو الوحيدة نتيجتها ن تكو ترموديناميكية تحويالت توجد ال بالنكفانهبالكامل تحويله و ثابته حرارة درجة ذو وحيد حراري خزان من حرارة كميةفان بالتالي و Wo > 0 ان اي عمل يوفر ان يجب الخارجي الوسط اذن عمل. الي

يكافئ هو و Qo ≤ 0

n∑

i=1

Qi

Ti≤ 0. (٣٦)

نريد. ما هذا والتحويل اجل من الخطوات نفس نعيد ان يمكننا فاننا عكسي التحويل كان اذا

علي لنحصل −Qi ب Qi فيه نعوض الذي −O العكسي

−n∑

i=1

Qi

Ti≤ 0. (٣٧)

علي مباشرة العكسية التحويالت اجل من نحصل اعاله المعادلتين من

n∑

i=1

Qi

Ti= 0. (٣٨)

كلوسيوس. مبرهنة علي البرهان يكمل هذا و

13

التكامل االنتروبي: تعريف و كلوسيوس الزمة∮

dQ

T, (٣٩)

البرهان النهائية. و االبتدائية بالحالتين فقط يتعلق و المتبع بالطريق يتعلق الB و A حالتين لنعتبر كلوسيوس. لمبرهنة مباشر تطبيق علي يعتمد جدا سهل.II ل العكسي الطريق II

′

ليكن .B و A بين مختلفين طريقين II و I ليكن ولدينا كلوسيوس مبرهنة باستعمال

∫

I

dQ

T+

∫

II′

dQ

T= 0. (٤٠)

نستنتج مباشرة اذن∫

I

dQ

T=

∫

II

dQ

T. (٤١)

التام بالتفاضل (٢٤) االنتروبي هي S جديدة حالة دالة نعرف ان اذن يمكننا

dS =dQ

T. (٤٢)

التعريف من الصغر. في متناه عكسي تحويل خالل االنتروبي تعرف العالقة هذهاي خالل االنتروبي هو A ترموديناميكية حالة اي انتروبي ان الواضح من اعالهغاية الي فقط معرف هو و A الحالة و O ابتدائية حالة بين يربط عكسي تحويل

بالعالقة كيفي تجميعي ثابت

S(A) =

∫ A

O

dQ

T. (٤٣)

بالعالقة بدقة معرف هو B و A حالتين بين االنتروبي في الفرق فان المقابل في

S(A)− S(B) =

∫ A

B

dQ

T. (٤٤)

الطاقة مثل مثله الترموديناميكية النهاية في فقط تمديدي مقدار هو االنتروبيالترموديناميكية. الجملة في الفوضي او الالنظام مقياس هو و الداخلية،

ال حراريا معزولة جملة انتروبي : اخري) (مرة للترموديناميك الثاني المبدأان اي يزيد ان اال يمكنه

∆S ≥ 0. (٤٥)

الجمل اجل من اما ∆S = 0 فان العكسية الترموديناميكية الجمل اجل من.∆S > 0 فان العكسية غير الترموديناميكية

R ليكن و B و A ترموديناميكيتين حالتين لنعتبر كاالتي. يجري البرهانالطريق اجل من .B و A الحالتين بين يربطان عكسي غير طريق I و عكسي طريق

التعريف من لدينا R

entropy.(٢٤)

14

S(B)− S(A) =

∫

R

dQ

T. (٤٦)

كلوسيوس مبرهنة باستعمال .R عكس و I من المشكل الدوري التحويل نعتبرمباشرة لدينا

∫

I

dQ

T−∫

R

dQ

T≤ 0. (٤٧)

اي

S(B)− S(A) ≥∫

I

dQ

T. (٤٨)

لدينا عامة بصفة

S(B)− S(A) ≥∫

dQ

T. (٤٩)

الوسط مع حرارة كمية اي تتبادل ال اي حراريا معزولة جملة االن اعتبرنا اذاعلي اعاله النتيجة من مباشرة نحصل بالتالي و dQ = 0 فان الخارجي

S(B)− S(A) ≥ 0. (٥٠)

ابدا. يتناقص ال حراريا معزولة جملة انتروبي اذنانتروبي فان يتزايد ان اال يمكنه ال معزولة جملة انتروبي ان من الرغم علييتم ان يمكنه ال االنتروبي تناقص ان اي يتناقص. ان يمكنه المعزولة غير الجمل

الخارجي. الوسط و الجملة بين طاقة بتبادل اال

Xلجملة الماكروسكوبية الحالة : اخري) (مرة العكسية غير و العكسية التحويالتالحجم ،E الطاقة علمنا اذا بالكامل تتعين ترموديناميكيا متوازنة و حراريا معزولةالتبسيط اجل من نفترض لها. المكونة Ni الميكروسكوبية الجسيمات عدد و V.X = (E, V,N) نكتب النوع. نفس من هي الميكروسكوبية الجسيمات كل انفضاء هو S و N ،V ،E االحداثيات ذو الرباعي الفضاء .X في دالة هو S االنتروبي

.3 الشكل الي انظر الترموديناميكية. الجملة لهذه الحالةاي الترموديناميكية. للجملة معينه توازن حالة تمثل الفضاء هذا من نقطة ايتوالي عن عبارة النه ساكن شبه ترموديناميكي تحول يمثل الفضاء هذا داخل مسارثابت بانتروبي يتم الترموديناميكي التحول كان اذا ترموديناميكية. توازن لحاالتاذا حالة في الحالة. فضاء داخل مستقيم افقي خط يوافق هو و عكسي فالتحولهو عكسي تحول كل عكسي. غير تحول فانه متزايد بانتروبي يتم التحول كان

صحيح. غير العكس لكن ساكن شبه تحوليحدث الحالة هذه في ساكنة. شبه ليست عكسية غير تحوالت توجد الواقع فيالفضاء الي تنتمي ال الحاالت هذه فان بالتالي و توازن ال حاالت بتوالي التحويلتتعلق التي Y جديدة متغيرات ندخل التحويل هذا وصف يتم حتي .(S,X) الرباعي

.(S,X, Y ) الفضاء داخل االن يتم الجملة تطور التحويل. هذا بطبيعة

للترموديناميك الثالث المبدأ

علي يعتمد A كيفية ترموديناميكية حالة انتروبي تعريف ان قليل قبل ذكرنامعادالت اجل من .O مختارة مرجعية حالة باي A تربط عكسية تحويالت وجود

15

الحاالت كل فان واحدة (٢٥) ورقة من مشكل حالة سطح تكافئ التي الحالةعلي كلها تقع النها عكسية بتحويالت بينها فيما مرتبطة تكون الترموديناميكيةفي دائما يوجد O و A يربط الذي العكسي الطريق فان اخري بعبارة الورقة. هذه

الحالة. هذهبطورين واحدة مادة او مختلفتين مادتين االخري الجهة من اعتبرنا اذاورقة من اكثر من مشكل يكون قد حالة سطح تكافي الحالة معادلة فان مختلفينO و A بين يربط الذي العكسي الطريق فان الحالة هذه في متصلة. غير واحدةاذن الحالة. هذه في تعريفه يمكن ال االنتروبي في الفرق فان وبالتالي يوجد ال قداالنتروبي في الفرق وحيدة بصورة يعين ان يمكن ال للترموديناميك الثاني المبدأطور او مادة تخص B و طور او مادة تخص A كانت اذا B و A حالتين بينتعريف يجعل ،1905 في (٢٦) نارنست صاغه الذي لالنتروبي، الثالث المبدأ اخر.المبدأ هذ انفا. المذكورة الحاالت ضمنها من و الحاالت كل في وحيد االنتروبي

االتي: علي ينصدرجة عند الصفر يساوي توازن حالة في ترموديناميكية جملة اي انتروبي

المطلق: الصفر حرارة

S(0) = 0. (٥١)

الترموديناميكية الدوال

ب المعرفة الداخلية الطاقة هي الترموديناميكية الدوال اهم و اول

dU = dW + dQ = −PdV + TdS. (٥٢)

اي N و V ،S التمديدية المقادير في دالة فهي بالتالي و تمديدي مقدار هي U

U = U(S, V,N). (٥٣)

فان مستقلة كمتغيرات V و S باعتبار و حالة دالة هي U الن

dU =(∂U

∂S

)

V,NdS +

(∂U

∂V

)

S,NdV. (٥٤)

علي نحصل بالمقارنه

T =(∂U

∂S

)

V,N, −P =

(∂U

∂V

)

T,N. (٥٥)

علي االخري الجهة من نحصل فاننا بالتغير الجسيمات لعدد ايضا سمحنا اذا

dU =(∂U

∂S

)

V,NdS +

(∂U

∂V

)

S,NdV +

( ∂U

∂N

)

V,SdN. (٥٦)

اي الجسيمات عدد في بالتغير المرفق المتغير هو انه علي الكيميائي الكمون نعرف

µ =( ∂U

∂N

)

V,S. (٥٧)

sheet.(٢٥)

Nernst.(٢٦)

16

ب العموم في يعطي الداخلية الطاقة في التغير ان اي

dU = −PdV + TdS + µdN. (٥٨)

λ حقيقي عدد اي اجل من بالتالي و 1 رتبة ذات متجانسة دالة هي الداخلية الطاقةلدينا

U(λS, λV, λN) = λU(S, V,N). (٥٩)

للطاقة (٢٧) اولر صيغة علي نحصل λ = 1 وضع ثم λ الي بالنسبة باالشتقاقالداخلية:

U(S, V,N) = −PV + TS + µN. (٦٠)

للطاقة لوجوندر تحويالت طريق عن االخري الترموديناميكية الدوال علي نحصلللطاقة لوجوندر تحويل انها علي (٢٨) لهلمولتز الحرة الطاقة نعرف الداخلية.

ب المعرف T ↔ S للمتغيرات الداخليةبالنسبة

F = F (T, V,N) = U(S, V,N)− TS = −PV + µN. (٦١)

dF = dU − dT.S − T.dS = −PdV + µdN − SdT. (٦٢)

تحويل انها علي (٢٩) لجيبس الحرة) الطاقة (او الترموديناميكي الكمون نعرفب المعرف P ↔ V للمتغيرات بالنسبة لهلمولتز الحرة للطاقة لوجوندر

G = G(T, P,N) = F (T, V,N) + PV = µN. (٦٣)

dG = −SdT + V dP + µdN. (٦٤)

للمتغيرات بالنسبة الداخلية للطاقة لوجوندر تحويل انه علي (٣٠) االنتالبي نعرفب المعرف P ↔ V

H = H(S, P,N) = U(S, V,N) + PV = TS + µN. (٦٥)

dH = dU + dP.V + P.dV = TdS + V dP + µdN. (٦٦)

التالية: المفيدة بالمبرهنات الفصل هذا نختم

الطاقة فان ثابته حرارة درجة عند ميكانيكيا معزولة جملة اجل من :1 مبرهنةالطاقة فيها تكون التي الحالة هي التوازن حالة ابدا. تتزايد ال لهلمولتز الحرة

اصغرية. لهلمولتز الحرةA ترموديناميكيتين حالتين بين ايزوحراري تحويل نعتبر يلي. كما البرهان

لدينا الثاني المبدأ من .B و∫ B

A

dQ

T≤ S(B)− S(A). (٦٧)

Euler.(٢٧)

Helmholtz free energy.(٢٨)

.Gibbs thermodynamic potential.(٢٩)

enthalpy.(٣٠)

17

بالتالي و ثابته T فان ايزوحراي التحويل الن

∆Q

T≤ ∆S. (٦٨)

لدينا االول المبدأ من لكن التحويل. خالل الممتصة الحرارة كمية هي ∆Q

−∆W = −∆U +∆Q ≤ −∆U + T∆S = −∆F. (٦٩)

نحصل اذن لهلمولتز. الحرة الطاقة هي F و الجملة به قامت الذي العمل هو ∆Wعلي

∆F ≤ ∆W. (٧٠)

بالتالي و ∆W = 0 لدينا ميكانيكيا المعزولة التحويالت اجل من

∆F ≤ 0. (٧١)

(اي التوازن حالة في و الحالة هذه في ابدا تتزايد ال لهلمولتز الحرة الطاقة اذن.∆F = 0 فان العكسية) التحويالت اجل من

فان ثابت ضغظ و ثابته حرارة درجة عند محفوظة جملة اجل من :2 مبرهنةيكون التي الحالة هي التوازن حالة ابدا. يتزايد ال لجيبس الترموديناميكي الكمون

اصغري. لجيبس الترموديناميكي الكمون فيهالدينا ثابته حرارة درجة اجل من جدا. سهل البرهان

∆F ≤ ∆W. (٧٢)

علي مباشرة نحصل ثابت ضغط اجل من

∆G ≤ 0. (٧٣)

18

تمارين

:1 تمرين

الحجم من الفراغ في الحر بالتمدد مثالي لغاز نسمح (٣١) جول تجربة في •تجريبيا .T2 الحرارة درجة و V2 > V1 الحجم الي T1 الحرارة درجة و V1بدرجة اال تتعلق ال مثالي لغاز الداخلية الطاقة ان بين .T1 = T2 ان نالحظ

الحرارة.

.(T2, V2) الحالة الي (T1, V1) الحالة من عكسي ايزوحراري تمدد االن نعتبر •االنتروبي. في الفرق احسب

تجربة في االنتروبي في الفرق احسب عكسي. تحويل هو جول تمدد هل •جول.

كاالتي معطاة هي ثابت ضغط او حجم تحت النوعية الحراة :2 تمرين

Cv = (dQ

dT)V , Cp = (

dQ

dT)P . (٧٤)

عن عبر ثم dQ ال معادالت استخرج للترموديناميك االول المبدأ باستعمال •.T الحرارة درجة و U الداخلية الطاقة بداللة Cp و Cv

المثالية للغازات (٣٢) ماير عالقة برهن •

Cp − Cv = nR. (٧٥)

و T2 حرارة درجة عند Q′

2 > 0 حرارة كمية تمتص كارنو دورة :3 تمرينالكلية الحرارة كمية .T1 < T2 الحرارة درجة عند Q

′

1 حرارة كمية من تتخلصالمردود ان اي W = −Q هو الكلي العمل فان بالتالي و Q = Q

′

2 −Q′

1 هي المتبادلةهو

η =W

Q′

2

= 1− Q′

1

Q′

2

. (٧٦)

التجريبية بالعالقة يعطي المطلقة الحرارة درجة تعريف

Q′

1

Q′

2

=T1T2. (٧٧)

او اكبر دائما هي المطلقة الحرارة درجة فان 0 ≤ η ≤ 1 الن انه الواضح منالصفر. من يساوي

W العمل نفس كلها تؤدي التي كارنو دورات من سلسلة باستعمال انه بينالسابقة الدورة منها تتخلص التي الحرارة كمية دورة كل فيها تمتص والتي

المطلقة. الحرارة لدرجات منتظم سلم علي الحصول يمكن

Joule.(٣١)

Mayer.(٣٢)

19

اي دياتارم، مغلقة اسطوانة داخل محتوي مثالي غاز من مول 1 نعتبر :4 تمريننضع متحرك. مكبس عن عبارة قاعدتيها احدي للحرارة، مثالية ناقلة جدران ذات

.T حرارته درجة بسائل مملوء كبير خزان داخل االسطوانه

يتمدد الغاز نترك .V1 يساوي حجمه و P1 يساوي الغاز ضغط البداية في •المقدم العمل احسب .P2 ضغطه و V2 حجمه يصبح حتي ساكنة شبه بطريقة

الخارجي. الوسط الي الغاز من

الغاز ضغط تغيير يتم اين عكسية غير بطريقة كان التمدد ان االن لنفترض •الحالة. هذه في العمل احسب بغته. P2 القيمة الي P1 من

الضغط الي P1 الضغط من اوال عكسية غير بطريقة كان التمدد ان لنفترض •الحالة. هذه في العمل احسب .P2 < P3 الضغط الي P3 الضغط من ثم P3 < P1

.P3 = 2 atm ،P2 = 1 atm ،P1 = 3 atm مثال خذ تستنتج. ان يمكنك ماذا

و للحرارة، مثالية عازلة اي ادياباتيكية، االسطوانة جدران ان االن لنفترض •و الضغط بين العالقة اوجد عكسي. تحول عبر يتم الغاز تمدد ان نفترض

استخدم التحول. هذا في الحجم

γ =Cp

Cv. (٧٨)

.γ = 7/5 فان بالتالي و (٣٣) الذرة ثنائي غاز هو المثالي الغاز ان لنفترض •احسب االبتدائي، حجمه نصف و مرة يساوي للغاز النهائي الحجم كان اذامثال خذ .T1 االبتدائية الحرارة درجة بداللة T2 النهائية الحرارة درجة

.T1 = 300 K

:5 تمرين

ان يجب الذي الشرط هو ما .V و T في دالة هي جملة الي الداخلية الطاقة •دالة S = S(T, V ) االنتروبي يكون حتي (∂U/∂V )T الجزئية المشتقة تحققه

حالة.

المثالي. الغاز اجل من نستنتجه ان يمكن ماذا •المثالي. الغاز حالة في S(T, V ) احسب •

:6 تمرين

مكبس عن عبارة غطاء ذات شاقولية اسطوانة داخل مثال) (ماء سائل نضع •يمتلئ المكبس و السائل بين الفراغ فان المكبس علي نجذب لما متحرك.غير. ال فقط السائل حرارة بدرجة يتعلق المشبع البخار ضغط مشبع. ببخاردرجة ذو ترموستات في تغمر مكبس زائد سائل الترموديناميكية الجملةااليزوحراريات اي الثابته الحرارة درجة ذات المنحنيات صف .T حرارة

.P − V الفضاء داخل بخار زائد سائل للجملة

الوقت. نفس في السائل و البخار يتواجد اين الحرارة درجات بمجال نهتم •U2 و U1 لتكن و الكتل وحدة في البخار و السائل حجمي V2 و V1 ليكنتابعة دوال هي Ui ،Vi ،P المقادير الكتل. وحدة في البخار و السائل طاقتيهي االسطوانة داخل المحتواة للمادة الكلية الكتلة فقط. الحرارة لدرجةكتلة اثناءه في الصغر في متناه ايزوحراري تحويل نعتبر .m = m1 +m2

تتبخر. السائل من dm

diatomic.(٣٣)

20

للجملة. الكلية الطاقة في dU التغير و الحجم في dV التغير احسب من حدة و تبخر اجل من الالزمة λ = dQ/dm الحرارة كمية استنتج

السائل. كتلة.V2 و V1 ،λ ،T ،P بين تربط التي (٣٤) كالبيرون معادلة استنتج

V2 >> V1 ان باعتبار مثالي. غاز هو البخار و ماء هو السائل ان افترض .T و λ ،P بين الرابط القانون استخرج

:7 تمرين

فان حالة بمعادلة بينها فيما مرتبطة z و y ،x كانت اذا انه بين •

(∂x

∂y)z(

∂y

∂x)z = 1 , (

∂x

∂y)z(

∂y

∂z)x = −(

∂x

∂z)y. (٧٩)

ان بين المتغيرات. من فقط اثنين في دالة f لتكن •

(∂x

∂y)f (

∂y

∂z)f = (

∂x

∂z)f . (٨٠)

:8 تمرين

استخرج االولي dQ ال معادلة في للترموديناميك الثاني المبدأ باستعمال •العالقة

(∂P

∂T)V =

1

T

[

P + (∂U

∂V)T

]

. (٨١)

العالقة. هذه باستعمال االولي dQ ال معادلة كتابة اعد

هكذا نحصل الخطوات. نفس عبر بالمرور الثانية dQ ال معادلة كتابة اعد •.TdS ال بمعادالت يسمي ما علي

االنضغاطية ،αالحراري التمدد باستعمالمعامالت TdSمعادالتال اعدكتابة •ب المعرفة κS االدياباتيكية االنضغاطية و κT االيزوحرارية

α =1

V(∂V

∂T)P , κT = − 1

V(∂V

∂P)T , κS = − 1

V(∂V

∂P)S . (٨٢)

تجريبيا. تقاس التي هي المعامالت هذه

.γ = Cp/Cv و Cp − Cv احسب •

:9 تمرين

استخرج dU = −PdV + TdS للترموديناميك االول المبدأ من انطالقا •ماكسويل عالقات

(∂U

∂V)S = −P , (

∂U

∂S)V = T. (٨٣)

،dF = −PdV − SdT لهلمولتز الحرة الطاقة في التغير تعريف من انطالقا •االنتالبي في التغير و dG = −SdT +V dP الترموديناميكي الكمون في التغير

االخري. الستة ماكسويل عالقات استخرج dH = TdS + V dP

Clapeyron.(٣٤)

21

التالية بالخواص مادة تتميز :10 تمرين

ب يعطي T0 ايزوحراري تحويل خالل العمل •

W = −RT0 lnV

V0. (٨٤)

ب يعطي االنتروبي •

S = RV

V0

( T

T0

)a. (٨٥)

ثوابت. a و V0 ،T0 حيث

لهلمولتز. الحرة الطاقة احسب •

الحالة. معادلة احسب •

كيفي. T ايزوحراري تحويل اجل من العمل احسب •

22

حلول

:1 تمرين

بداية منذ صفر عليه الضغط فان الفراغ في حر بشكل يتمدد الغاز الن •اي ينعدم العمل فان بالتالي و التحول

∆W = 0. (٨٦)

الخارجي الوسط مع المتبادلة الحرارة فانكمية تتغير ال الحرارة درجة الناي تنعدم

∆Q = 0. (٨٧)

اذن

∆U = 0 ↔ U1 = U2. (٨٨)

من نفسها هي U الن و ،V و T ب فقط تتعلق ان يمكن حالة دالة هي U الن.T ب فقط تتعلق و V ب تتعلق ال U فان (T2 = T1, V2 > V1) و (T1, V1) اجل

االيزوحراري التحويل خالل فانه بالتالي و U = U(T ) فان مثالي الغاز الن •اذن نحسب .∆Q = −∆W اي ∆U = 0 لدينا

∆W = −∫

PdV = −RT lnV2V1

⇒ ∆Q = RT lnV2V1. (٨٩)

ب يعطي هو الغاز انتروبي في الفرق فان ايزوحراري عكسي التحويل الن

(∆S)gas =

∫

dQ

T=

∆Q

T= R ln

V2V1. (٩٠)

الحرارة كمية هي −∆Q ان اي الغاز من الممتصة الحرارة كمية هي ∆Qهو الحراري الخزان انتروبي في الفرق .T الحراري الخزان يفقدها التي

اذن

(∆S)reservoir =

∫

dQ

T= −∆Q

T= −R ln

V2V1. (٩١)

يمكن عكسي. لتحويل بالنسبة يجب كما ينعدم الكلي االنتروبي في الفرقالتحويل. لعكس مثال، نابض في تخزينه يمكن الذي المقدم، العمل استخدام

العالقة تطبيق يمكن ال بالتالي و عكسي غير تحويل هو جول تمدد •بالحالتين اال تتعلق ال حالة دالة هو االنتروبي الن لكن .dS = dQ/T

ب يعطي زال ما الغاز انتروبي في الفرق فان النهائية و االبتدائية

(∆S)gas = R lnV2V1. (٩٢)

انتروبي فان الخزان و الغاز بين حراري تبادل يوجد ال النه الحالة هذه فياي يتعدم الخزان

(∆S)reservoir = 0. (٩٣)

ب يعطي الصفر من اكبر الكلي االنتروبي

(∆S)total = R lnV2V1. (٩٤)

عكسي. التحويل الن W العمل كمية تضييع تم

23

الحجم و الحرارة بدرجة يتعلق تمديدي مقدار هي الداخلية الطاقة :2 تمريناي

U = U(T, V ). (٩٥)

اذن

dU = (∂U

∂T)V dT + (

∂U

∂V)TdV. (٩٦)

ايضا لدينا

dU = dW + dQ = −PdV + dQ. (٩٧)

نستنتج المعادلتين هاتين من

dQ = (∂U

∂T)V dT +

[

P + (∂U

∂V)T

]

dV. (٩٨)

علي نحصل ثابت حجم تحت االولي. dQ ال معادلة هي هذه

dQ = (∂U

∂T)V dT. (٩٩)

اذن

Cv = (dQ

dT)V = (

∂U

∂T)V . (١٠٠)

فاننا V و T عوض الداخلية الطاقة في مستقلة كمتغيرات P و T اخترنا اذاعلي نحصل

dU = (∂U

∂T)P dT + (

∂U

∂P)T dP

= −PdV + dQ

= −P[

(∂V

∂T)P dT + (

∂V

∂P)TdP

]

+ dQ. (١٠١)

اذن

dQ =

[

(∂U

∂T)P + P (

∂V

∂T)P

]

dT +

[

(∂U

∂P)T + P (

∂V

∂P)T

]

dP. (١٠٢)

ثابت ضغط تحت الثانية. dQ ال معادلة هي هذه

dQ =

[

(∂U

∂T)P + P (

∂V

∂T)P

]

dT. (١٠٣)

اذن

Cp = (dQ

dT)P = (

∂U

∂T)P + P (

∂V

∂T)P . (١٠٤)

الشكل علي المعادلة هذه كتابة يمكن

Cp = (dQ

dT)P = (

∂H

∂T)P . (١٠٥)

24

االنتالبي هو H

H = U + PV. (١٠٦)

لنجد الطريقة بنفس االخيرة dQ ال معادلة استخراج يمكن

dQ = (∂U

∂P)V dP +

[

P + (∂U

∂V)P

]

dV. (١٠٧)

لدينا المثالية للغازات بالنسبة

PV = nRT ⇒ V =nRT

P. (١٠٨)

(∂V

∂T)P =

nR

P⇒ P (

∂V

∂T)P = nR. (١٠٩)

بالتالي

Cp − Cv = (∂U

∂T)P + P (

∂V

∂T)P − (

∂U

∂T)V

= nR, (١١٠)

اي مثالي غاز الي بالنسبة الحرارة بدرجة اال تتعلق ال الداخلية الطاقة الطاقة الن

(∂U

∂T)P = (

∂U

∂T)V . (١١١)

:n دورة كل في لدينا مباشرة :3 تمرين

−W = Q′

n+1 −Q′

n. (١١٢)

ايضا

Q′

n+1

Q′

n

=Tn+1

Tn⇒ Tn+1

Q′

n+1

=TnQ′

n

= x. (١١٣)

علي نحصل االولي العالقة في االخيرة العالقة باستخدام .n ب يتعلق ال x

Tn+1 = Tn − xW. (١١٤)

المطلقة. الحرارة لدرجة منتظم سلم علي نحصل xW = −1 K و T1 = 0 K باختيار

:4 تمرين

لدينا مثالي غاز اجل من •

PV = RT. (١١٥)

هو ايزوحراري عكسي تحويل عن عبارة هي التي االولي الحالة في العمل

W = −∫

PdV = −RT∫ V2

V1

dV

V= −RT ln

V2V1

= RT lnP2

P1. (١١٦)

25

تغيير يتم عكسي غير تحويل عن عبارة هي التي الثانية الحالة في العمل •كل خالل P2 يساوي الضغط فان بالتالي و P2 الي P1 من بغته فيه الضغط

هو التحويل

W = −∫

PdV = −P2

∫ V2

V1

dV = RT (P2

P1− 1). (١١٧)

لدينا اذن الثاني. بالتحويل شبيهين تحويلين نركب الثالثة الحالة في •

P1 −→ P3 : W = RT (P3

P1− 1)

P3 −→ P2 : W = RT (P2

P3− 1). (١١٨)

هو الثالثة الحالة في الكلي العمل اذن

W = RT (P3

P1− 1) +RT (

P2

P3− 1). (١١٩)

العكسي. الساكن شبه التحويل في اعظمي هو المطلقة بالقيمة العمل

اي ادياباتيكي عكسي تحويل هي الرابعة الحالة •

dQ = 0 ⇒ dU = dW = −PdV. (١٢٠)

مثالي غاز اجل من

U = U(T ) , dU = CvdT = CvV

RdP + Cv

P

RdV. (١٢١)

علي نحصل اعاله المعادلتين من

V dP = −P (1 + R

Cv)dV = −PγdV. (١٢٢)

مباشرة تعطي المكاملة

PV γ = constant. (١٢٣)

مباشرة لدينا •

P1Vγ1 = P2V

γ2 ⇒ T1V

γ−11 = T2V

γ−12 . (١٢٤)

اذن

T2 = T1

(

V1V2

)γ−1

. (١٢٥)

26

:5 تمرين

من ننطلق •

dU = dW + dQ = −PdV + TdS ⇒ dS =1

T(∂U

∂T)V dT +

1

T

(

P + (∂U

∂V)T

)

dV.

(١٢٦)

لدينا يكون ان يجب حالة دالة S تكون حتي

(∂S

∂T)V =

1

T(∂U

∂T)V ⇒ ∂2S

∂V ∂T=

1

T

∂2U

∂V ∂T. (١٢٧)

(∂S

∂V)T =

1

T

(

P + (∂U

∂V)T

)

⇒ ∂2S

∂T∂V= − 1

T 2

(

P + (∂U

∂V)T

)

+1

T

(

(∂P

∂T)V +

∂2U

∂T∂V

)

.(١٢٨)

العالقة علي نحصل اعاله المعادلتين بمقارنة

(∂U

∂V)T = −P + T (

∂P

∂T)V . (١٢٩)

الحالة معادلة لدينا المثالي الغاز اجل من •

P =RT

V⇒ T (

∂P

∂T)V = P. (١٣٠)

اذن

(∂U

∂V)T = 0 ⇒ U = U(T ). (١٣١)

حرارته. بدرجة اال تتعلق ال مثالي لغاز الداخلية الطاقة

المثالي الغاز اجل من نحسب •

(∂S

∂T)V =

1

T(∂U

∂T)V =

Cv

T. (١٣٢)

(∂S

∂V)T =

1

T

(

P + (∂U

∂V)T

)

=P

T=R

V. (١٣٣)

بالتالي

dS =Cv

TdT +

R

VdV

= Cvd lnT +Rd lnV. (١٣٤)

علي مباشرة نحصل و سهلة هنا المكاملة

S = S0 + Cv lnT +R lnV

= S0 + Cv lnTVRCv

= S0 + Cv lnTVγ−1. (١٣٥)

27

:6 تمرين

من البخار و السائل بين التوازن يوافق المستقيم الخط .4 الشكل الي انظر •الي يؤدي ال الحجم تناقص فان التوازن هذا خالل معينه. حرارة درجة اجلمعين حجم تحت السائل. كتلة في تغير الي فقط يؤدي لكن الضغط في تغيرالي يؤدي هنا الحجم في تناقص اي و االسطوانة في السائل اال يتبقي ال فانهاي و االسطوانة في بخار اال يوجد ال فانه معين حجم فوق الضغط. في تزايد

الضغط. في تناقص الي يؤدي هنا الحجم في تزايدالخط يضيق و يزداد المشبع البخار ضغط فان الحرارة درجة زدنا اذاحرجة حرارة درجة T الحرارة درجة تعدت اذا للتوازن. الموافق المستقيم

الحجم. كان مهما االسطوانة في يتبقي الذي هو فقط البخار فان Tc

بالمعادالت يعطيان الكلية الداخلية الطاقة و الكلي الحجم •

V = m1V1 +m2V2. (١٣٦)

U = m1U1 +m2U2. (١٣٧)

االيزوحراري التحويل تبخرتخالل التي السائل هيكتلة dmكانت اذاالداخلية الطاقة في التغير و الحجم في التغير فان الصغر في المتناه

ب يعطيان

V + dV = (m1 − dm)V1 + (m2 + dm)V2 ⇒ dV = (V2 − V1)dm.(١٣٨)

U + dU = (m1 − dm)U1 + (m2 + dm)U2 ⇒ dU = (U2 − U1)dm.(١٣٩)

ب اذن تعطي الكتل وحدة في الحرارة كمية

λ =dQ

dm=

dU

dm+ P

dV

dm

= U2 − U1 + P (V2 − V1). (١٤٠)

مباشرة لدينا اعاله النتائج من

dU = (U2 − U1)dm =U2 − U1

V2 − V1dV ⇒ (

∂U

∂V)T =

U2 − U1

V2 − V1. (١٤١)

ان نعرف لكننا

(∂U

∂V)T = T (

∂P

∂T)V − P. (١٤٢)

علي نحصل اذن

U2 − U1

V2 − V1= T

dP

dT− P ⇒ dP

dT=

1

T

λ

V2 − V1. (١٤٣)

كالبيرون. معادلة هي هذه

28

نحصل V2 >> V1 اي السائل حجم من بكثير اكبر البخار حجم كان اذا علي

dP

dT=

1

T

λ

V2. (١٤٤)

فان مثالي غاز هو البخار ان ايضا افترضنا اذا

V2 =nRT

P. (١٤٥)

اذن

dP

P=

λ

nR

dT

T 2⇒ P = P0 exp(−

λ

nRT). (١٤٦)

:7 تمرين

المستقلة المتغيرات هي V و T نأخذ .z = P و y = V ،x = T نعتبر كمثال •بالتالي بداللتهما. P عن ونعبر

dP = (∂P

∂T)V dT + (

∂P

∂V)T dV

= (∂P

∂T)V

(

(∂T

∂V)P dV + (

∂T

∂P)V dP

)

+ (∂P

∂V)TdV. (١٤٧)

اذن نستنتج

(∂P

∂T)V (

∂T

∂P)V = 1 , (

∂P

∂T)V (

∂T

∂V)P = −(

∂P

∂V)T . (١٤٨)

نحصل .y و f في كدالة x نأخذ .f = f(x, y) لدينا .f = S نعتبر كمثال •العالقات علي مباشرة

(∂f

∂x)y(

∂x

∂f)y = 1. (١٤٩)

(∂x

∂f)y(

∂f

∂y)x = −(

∂x

∂y)f . (١٥٠)

بداللة y عن نعبر ان يجب فانه z و x في دالة f اعتبرنا اذا االخري الجهة منالعالقة علي نحصل .z و x

(∂f

∂y)x(

∂y

∂z)x = (

∂f

∂z)x. (١٥١)

االن نحسب

(∂x

∂y)f (

∂y

∂z)f (

∂z

∂x)f = −(

∂f

∂y)x(

∂z

∂f)x.(

∂f

∂z)y(

∂x

∂f)y.(

∂f

∂x)z(

∂y

∂f)z

= −(∂z

∂y)x.(

∂x

∂z)y .(

∂y

∂x)z

= 1. (١٥٢)

29

:8 تمرين

ب تعطي االولي dQ ال معادلة •

dQ = (∂U

∂T)V dT +

[

P + (∂U

∂V)T

]

dV

TdS = CvdT +

[

P + (∂U

∂V)T

]

dV. (١٥٣)

مباشرة لدينا فانه حالة دالة هو االنتروبي الن

∂

∂V T

Cv

T=

∂

∂T V

[

P + (∂U

∂V)T

]

. (١٥٤)

علي نحصل

(∂P

∂T)V =

1

T

[

P + (∂U

∂V)T

]

. (١٥٥)

تصبح االولي dQ ال معادلة فان بالتعويض

TdS = CvdT + T (∂P

∂T)V dV. (١٥٦)

هي الثانية dQ معادلة •

dQ =

[

(∂U

∂T)P + P (

∂V

∂T)P

]

dT +

[

(∂U

∂P)T + P (

∂V

∂P)T

]

dP

TdS = CpdT +

[

(∂U

∂P)T + P (

∂V

∂P)T

]

dP. (١٥٧)

ان نبين ان يمكن الخطوات نفس عبر بالمرور

−T (∂V∂T

)P = (∂U

∂P)T + P (

∂V

∂P)T . (١٥٨)

الشكل تأخذ الثانية dQ ال معادلة اذن

TdS = CpdT − T (∂V

∂T)PdP. (١٥٩)

α الحراري التمدد معامل بداللة مباشرة عليها نعبر الثانية dQ ال معادلة •كالتالي

TdS = CpdT − αTV dP. (١٦٠)

السابق. التمرين نتائج باستعمال اكثر عمل الي تحتاج االولي dQ معادلةلدينا

(∂P

∂T)V = −(

∂P

∂V)V (

∂V

∂T)V

=α

κT. (١٦١)

α الحراري التمدد معامل بداللة عليها نعبر ان يمكن االولي dQ معادلة اذنكالتالي االيزوحرارية االنضغاطية معامل و

TdS = CvdT +α

κTTdV. (١٦٢)

30

علي مباشرة نحصل اعاله dQ ال معادلتي بمساواة •

CpdT − αTV dP = CvdT +α

κTTdV. (١٦٣)

المعادلة الي نصل .V و P مستقلة كمتغيرات نأخذ(

(Cp − Cv)(∂T

∂V)P − α

κTT

)

dV +

(

(Cp − Cv)(∂T

∂P)V − αTV

)

dP = 0.(١٦٤)

ان نستنتج منه

Cp − Cv =α2

κTTV. (١٦٥)

االدياباتيكية التحويالت اجل من لدينا فانه االخري الجهة من

Cp = αTV (∂P

∂T)S , Cv = −αT

κT(∂V

∂T)S . (١٦٦)

لدينا اذن

γ =Cp

Cv

= −V κT (∂P

∂T)S(

∂T

∂V)S

= −V κT (∂P

∂V)S

=κTκS. (١٦٧)

:10 تمرين

ب تعطي لهلمولتز الحرة الطاقة •

dF = −PdV − SdT

= dW − SdT. (١٦٨)

لدينا T0 االيزوحراري التحويل خالل

dF = dW ⇒ F (T0, V ) =W = −RT0 lnV

V0. (١٦٩)

لدينا V0 الثابت الحجم تحت التحويل خالل اخري جهة من

dF = −SdT = −R V

V0

( T

T0

)adT ⇒ F (T, V ) = − R

a+ 1

V

V0T0

( T

T0

)a+1+ f(V ).

(١٧٠)

علي نحصل االخيرة المعادلة في T = T0 ب بالتعويض

F (T0, V ) = − R

a+ 1

V

V0T0 + f(V ). (١٧١)

31

علي نحصل السابقة بالمعادلة بالمقارنة

f(V ) = −RT0 lnV

V0+

R

a+ 1

V

V0T0. (١٧٢)

بالمعادلة اذن الحرة الطاقة تعطي

F (T, V ) = −RT0 lnV

V0+

R

a+ 1

V

V0T0

(

1− T a+1

T a+10

)

. (١٧٣)

ماكسويل عالقة من عليها نحصل ان يمكن الحالة معادلة •

−P = (∂F

∂V)T

= −RT01

V+

R

a+ 1

T0V0

(

1− T a+1

T a+10

)

. (١٧٤)

بالعالقة كالعادة مباشرة يحسب كيفية T ثابتة حرارة درحة اجل من العمل •

W = −∫

PdV

=

∫[

−RT01

V+

R

a+ 1

T0V0

(

1− T a+1

T a+10

)

]

dV

= −RT0 lnV

V0+

R

a+ 1

T0V0

(V − V0)(

1− T a+1

T a+10

)

. (١٧٥)

32

االحصائي الميكانيك الي مدخلالمجموعة الكالسيكي:

الميكروقانونية

الميكروسكوبية الحاالت

اعطاء طريق عن ترموديناميكية جملة حالة الماكروسكوبي المستوي علي نحددالحالة يحدد ما هذا و خطيا المستقلة الترموديناميكية المتغيرات لكل محددة قيمعدد تقابل الواحدة الماكروسكوبية الحالة هذه للجملة. (٣٥) الماكروسكوبيةتحديد منها واحدة كل في يتم التي للجملة (٣٦) الميكروسكوبية الحاالت من هائلدرجات باستعمال الجملة لهذه اوالنووية الذرية او الجزئية المكونات كل حالةانه رغم الكمي، الميكانيك باستعمال اي الكمية، االعداد باسم المعروفة الحرية

كافية. الكالسيكية الحرية درجات تكون القليلة االحيان بعض فيلدراسة االحصائية التقنيات استعمال فان جدا كبير الذرية المكونات عدد النلماذا بوضوح تقريبا نري ان يمكن ايضا و منه البد امر الميكروسكوبية الحاالتواحدة. ماكروسكوبية حالة يقابل ان الميكروسكوبية الحاالت من كبير لعدد يمكنالماكروسكوبية الحالة تقابل التي Ω(E) الميكروسكوبية الحاالت عدد فان مثالفي حرية درجة n هناك ان بافتراض ،E تساوي الجملة طاقة فيها تكون التي

التقريبية بالعالقة يعطي الجملة،

Ω(E) ∼ En. (١٧٦)

.n = 3N فان مكعبة علبة داخل حر سلمي جسيم N من مشكلة جملة اجل منالجسيمات طبيعة علي بقوة و ايضا يتعلق Ω(E) الميكروسكوبية الحاالت عددهو هل الجسيمات هذه سبين علي ايضا و ال ام متطابقة هي هل للجملة المكونةدور يلعب العدد هذا و (فرميونات)، صحيح نصف عدد او (بوزونات) صحيح عددليست عملية هو حسابه ان كما االحصائي، الميكانيك في سنري كما جدا مهم

عموما. بالبسيطة

macrostate.(٣٥)

microstates.(٣٦)

33

العشوائي المشاء - ايزينغ نموذج مثال:

شبكة علي 1/2 سبين ذات ذرة N من يتشكل واحد بعد في (٣٧) ايزينغ نموذجللسبين S3 المركبة تكون ان احتمال فان خارجي مغناطيسي حقل غياب في خطية.الحاالت عدد التوالي. علي q = 1/2 و p = 1/2 هو −1/2 و +1/2 ل مساوية

هو للجملة الكلي الميكروسكوبية

Ω(N) ∼ 2N . (١٧٧)

سبينها التي الذرات عدد هو n2 و علوي سبينها التي الذرات عدد هو n1 كان اذاهي الكلية السبين مركبة فان سفلي

S3 =N∑

i=1

S3,i =1

2(n1 − n2) =

1

2(2n1 −N). (١٧٨)

مسألة في x = (n1 − n2)l االنتقال دور نفس تلعب هذه الكلية السبين مركبةفي محددة للجملة الماكروسكوبية الحالة الحقا. سنري كما العشوائي المشاء

ب تعطي S3 بداللة n1 عبارة .S3 بقيمة الحالة هذه

n1 =2S3 +N

2. (١٧٩)

يمكننا التي الطرق عدد الي يساوي S3 سبين لها التي الميكروسكوبية الحاالت عددN ! الكلي التبديالت بعدد يعطي العدد هذا سبين. N ال بين من سبين n1 اختيار فيهاالسبينات بين الترتيب الن n2! و n1! الجزئيين التبديالت عددي جداء علي مقسوم

اذن مهم. غير بينها فيما السفلية او العلوية

Ω(n1, N) = CNn1

=N !

n1!n2!=

N !

n1!(N − n1)!. (١٨٠)

سبين n2 و علوي سبين n1 علي تحتوي التي الميكروسكوبية الحاالت عدد هو هذااحتمال هو p الن pn1qn2 بالضبط هو الحاالت هذه من واحدة كل احتمال سفلي.نحصل ان احتمال اذن سفلي. السبين يكون ان احتمال هو q و علوي السبين يكون ان

هو سبين N ال بين من علوي سبين n1 علي

WN (n1) =N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1 . (١٨١)

الخاصية الي راجعة التسمية هذه الحد. ثنائي االحتمال توزيع هو هذا

N∑

n1=0

WN (n1) = (p+ q)N = 1. (١٨٢)

ان نالحظ

Ω(n1, N) = Ω(N)WN (n1). (١٨٣)

Ising model.(٣٧)

34

واحد. بعد في العشوائي المشاء مسألة علي بالكامل و ايضا تطبق اعاله النتائجخطوة اليمين الي اما x = 0 من انطالقا مستقيم خط علي يتحرك جسيم نعتبر.q باحتمال −a تساوي واحدة خطوة اليسار الي او p باحتمال +a تساوي واحدةمن .N = n1 + n2 و m = n1 − n2 حيث x = ma هو المشاء موضع خطوة N بعدالحالة العكس. و زوجي N كان اذا زوجي m وان −N ≤ m ≤ +N ان الواضحالخطوة اعطاء فتقابل الميكروسكوبية الحالة اما ثابت m تقابل الماكروسكوبيةخطوة. اخر غاية الي وهكذا يسار او يمين الثانية: الخطوة يسار، او يمين االولي:اليسار الي جطوة n2 و اليمين الي خطوة n1 فيها التي الميكروسكوبية الحاالت عددالي خطوة n2 و اليمين الي خطوة n1 ب المشاء يقوم ان احتمال و Ω(n1, N) هو

.WN (n1) هو اليسارالمتوسط في (٣٨) التفاوت او التشتت ،< n1 > المتوسطة القيمة االن نحسب

لدينا .σn1المعياري االنحراف و < ∆n2

1 >

< n1 > =∑

n1

WN (n1)n1

=∑

n1

N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1n1

= p∂

∂p

∑

n1

N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1

= p∂

∂p(p+ q)N

= Np. (١٨٤)

التالية المتوسطة القيم ايضا نستنتج مباشرة

< n2 > = Nq. (١٨٥)

< x > = N(p− q)a , < S3 >= N(p− q)1

2. (١٨٦)

ب معرف التفاوت او التشتت

< ∆n21 > = < (n1− < n1 >)

2 >

= < n21 > − < n1 >

2 . (١٨٧)

n1 المتغير قيم له تخضع الذي االحتمال توزيع عرض مربع يقيس التشتتالقيمة حول n1 المتغير فيم تشتت مدي يقيس

√

< ∆n21 > اذن .WN (n1) اي

اي للتشتت التربيعي الجذر هذا بالضبط هو المعياري االنحراف المتوسطة.

σn1=

√

< ∆n21 >. (١٨٨)

نحسب

< n21 > = (p

∂

∂p)2

∑

n1

N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1

= Np(Np+ q). (١٨٩)

dispersion or variance.(٣٨)

35

اذن

σ2n1

= Npq. (١٩٠)

ب اذن يعطي WN (n1) االحتمال لتوزيع النسبي العرض

σn1

< n1 >=

√Npq

Np=

√

q

p

1√N. (١٩١)

هي المتوسطة القيمة ان اي .1/√N مثل الصفر من يقترب النسبي العرض اذن

N −→ ∞ النهاية في اكثر بسهولة االمر هذا رؤية يمكن احتماال. االكثر القيمةان يمكن لالحتمال. غوس توزيع الحدين ثنائي االحتمال توزيع فيها يصبح التي

التشتتات ايضا نحسب

σ2x = 4Npqa2 , σ2

S3= Npq. (١٩٢)

االحصائي الميكانيك مسلمات و المعلومات انتروبي

او لنا المتوفرة غير المعلومات كمية يقيس انتروبي هو المعلومات: انتروبياحتمالية. جملة حالة عن الناقصة

عن تعبر الكرة واحدة. كرة و علبة N من مشكلة جملة ملموس كمثال نأخذان نفترض الجسيم. فيها يتواجد ان يمكن التي الحاالت تمثل العلب و مثال جسيم

االمرين: احد صحيحا يكون ان يمكن العلب. احدي في بالضرورة موجودة الكرة

العلب احدي في الكرة وجود احتمال ان اي .(٣٩) االحتمال متساوية العلب كل •.1/N هو

بداخلها. الكرة وجود علي تدل عالمة عليها الكرة بداخلها توجد التي العلبة •

اما الثانية. الحالة في الجملة حالة حول اكثر معلومات لدينا انه جدا الواضح منمن الكرة فيها توجد التي بالعلبة يقينية معرفة عن قصورنا فان االولي الحالة فيدالة هو I المعلومات انتروبي الجملة. عن معلوماتنا نقص يعكس امكانية N ال بينيجب االنتروبي هذا الجملة. عن الناقصة المعلومات كمية بالضبط تقيس ارتياب

االتي: يحقق ان

اي N في دالة يكون ان يجب I اوال: .(١)

I = I(N). (١٩٣)

الناقصة المعلومات كمية الن يزداد I االرتياب فان العلب عدد زاد اذا ثانيا: .(٢)الجملة عن المعروفة المعلومات كمية فان اخري بعبارة يزداد. الجملة عن

اذن تتناقص.

I(M) > I(N) , M > N. (١٩٤)

equiprobable.(٣٩)

36

ان اي الجملة. عن شيء كل نعرف فاننا واحدة علبة هناك كانت اذا ثالثا: .(٣)اي الحالة هذه في صفر تساوي الناقصة المعلومات كمية

I(1) = 0. (١٩٥)

االجمال في فانه االحتمال متساوية خانة M الي علبة كل قسمنا اذا رابعا: .(٤)المعلومات كمية الحالة هذه في االحتمال. متساوية حجرة NM لدينا يكون

.I(NM) ب تعطي الجملة عن الناقصةكما الكرة. بها التي الخانة ثم العلبة نجد ان باالمكان كان اخري ناحية منالتي العلبة معرفة محاولتنا عند الناقصة المعلومات كمية فان سابقا قلنامحاولتنا عند الناقصة المعلومات كمية فان بالمثل .I(N) هي الكرة بهاكمية ان افترضنا اذا .I(M) يكون ان يجب الكرة بها التي الخانة معرفةهو الكلية الناقصة المعلومات كمية فان (٤٠) اضافي مقدار هي المعلوماتيعني اضافي مقدار هي المعلومات كمية كون .I(N) + I(M) المجموعكمية فان تكرار بدون فشيئا شيئا بجملة الخاصة المعلومات عرفت اذا انهعليها المحصل المعلومات كميات مجموع الي تساوي االجمالية المعلوماتالمعلومات انكمية االولي المرحلة في عرفنا المثال هذا في مرحلة. فيكلالثانية المرحلة في الناقصة المعلومات كمية ان عرفنا ثم I(N) هي الناقصةالمجموع هي الكلية الناقصة المعلومات كمية فان بالتالي .I(M) هي

.I(N) + I(M)

الحهة من و I(NM) هي الناقصة المعلومات كمية ان وجدنا جهة من اذننستنتج .I(N) + I(M) هي الناقصة المعلومات كمية ان وجدنا االخري

ان مباشرة

I(NM) = I(N) + I(M). (١٩٦)

يعطي ان يجب المعلومات انتروبي ان نستنتج ان يمكننا اعاله االربعة المعادالت منبالعالقة

I(N) = C lnN. (١٩٧)

يصبح I المعلومات انتروبي فان بولتزمان، ثابت هو k حيث ،C = k اخذنا اذاالحاالت عدد هو N حيث S االحصائي االنتروبي الحقا، سنبين كما بالضبط،

الجملة. فيها تكون ان يمكن التي الميكروسكوبية

في : مختلفة علبة r علي مختلف جسم N توزيع الميكروسكوبية- الحاالت عدد حسابغير العلب ان االن لنفترض االحتمال. متساوية العلب كل ان افترضنا اعاله المثال

لدينا .1 ≤ i ≤ N العلبة الكرة تحتل ان احتمال Pi ليكن االحتمال. متساوية

Pi ≥ 0 ,

N∑

i=1

Pi = 1. (١٩٨)

حيث متطابقة جملة N لدينا انه نعتبر التالية. المجموعة في Pi االحتماالت تعرفعدد Ni لتكن علبة. N بين من علبة في موضوعة كرة عن عبارة هي جملة كل

لدينا N −→ ∞ لما انه الواضح من .i العلبة في الكرة فيها تكون التي الجمل

Pi =Ni

N. (١٩٩)

additive.(٤٠)

37

لدينا .i العلبة في الكرة فيها تكون التي الجمل عدد هو Ni = NPi اي

N∑

i=1

Ni =

N∑

i=1

NPi = N. (٢٠٠)

الشروط تحقق التي المختلفة الميكروسكوبية الحاالت عدد تحديد عليناتوزيع لمسألة مكافئة المسألة هذه . ثابتة = Ni و ثابت = N الماكروسكوبيةهنا مختلفة، علبة r = N علي اعاله، المعتبرة جملة N ال هنا مختلف، جسم Nيكون ان دون من الوضعية، نفس في الكرة فيها التي الجمل مجموعة تقابل العلبة

اهمية. اية العلبة داخل للترتيبالكرة فيها جملة Ni = NPi لكن جملة. N لل مختلفة تبديلة N ! لدينا اوالNi! ال اذن . اهمية اي للترتيب ليس اي متطابقة جمل فهي بالتالي و i العلبة فيالحاالت عدد الميكروسكوبية. الحالة نفس الي كلها تؤدي الجمل لهذه تبديلة

اذن هو الميكروسكوبية

N =N !

∏ri=1Ni!

. (٢٠١)

عن الناقصة المعلومات كمية بالتالي و االحتمال متساوية هي الحاالت هذه كلهي جملة N ال مجموع

IN = k lnN !

∏Ni=1(NPi)!

= k

(

lnN !−N∑

i=1

ln(NPi)!

)

. (٢٠٢)

(٤١) ستيرلينغ عالقة نستعمل

lnn! = n lnn− n , n −→ ∞. (٢٠٣)

علي نحصل

IN = k

(

N lnN −N −N∑

i=1

NPi lnNPi +

N∑

i=1

NPi

)

= −kNN∑

i=1

Pi lnPi. (٢٠٤)

الناقصة المعلومات كمية فان االحتمال متساوية هي جملة N ال من جملة كل الناي IN/N هي جملة لكل

I = −kN∑

i=1

Pi lnPi. (٢٠٥)

اين الحالة يوافق االحصائي التوازن االحصائي: االنتروبي و االحصائي التوازنالحالة هذه في االحتمال. متساوية الميكروسكوبية الحاالت جميع تكون

Pi =1

Ω(E), (٢٠٦)

Stirling.(٤١)

38

من اذن نحصل .E طاقة لها التي الميكروسكوبية الحاالت عدد هو Ω(E) حيثلالنتروبي مساو I معلومات انتروبي علي احصائيا متوازنة معزولة جملة اجل

ب الحقا، سنبين كما المعرف، S االحصائي

S = k lnΩ(E). (٢٠٧)

الترموديناميكي االنتروبي نفسه هو االحصائي االنتروبي ان الحقا ايضا سنبينحالة في اال يعرف ال االحصائي االنتروبي الن السابق. الفصل في عرفناه الذيللوضعيات االحصائي لالنتروبي تعميم اذن هو المعلومات انتروبي فان التوازن

التوازن. عن الخارجة

ان بدون السابقة، الفقرة في استخدمنا : االحصائي للميكانيك االولي المسلمةاالن. نناقشها التي االحصائي للميكانيك االولي المسلمة صراحة، ذلك نذكر

الميكروسكوبية الحاالت كل فان احصائي توازن حالة في معزولة جملة اجل من النص:االحتمال. متساوية هي بها المسموح

الشرط تحقق التي الميكروسكوبية الحاالت عدد هو Ω(E) كان اذا اذنالجملة تكون ان احتمال فان الجملة طاقة هي E حيث ثابت = E الماكروسكوبيمعرفتنا مع الن جدا منطقي هذا .1/Ω(E) هو الميكروسكوبية الحاالت احديهذه فيما ميكروسكوبية حالة نفضل يجعلنا مسبق سبب اي يوجد ال فقط الجملة لطاقةسوف و توازن حالة في ليست الجملة فان االمر هذا يتحقق لم اذا اخري. علي

التوازن. تبلغ ان الي الزمن في تتطورانتروبي او الناقصة المعلومات كمية بداللة المسلمة هذه صياغة يمكنالحالة احتالل احتمال Pi ليكن و معزولة جملة نعتبر كالتالي. I المعلومات

ب معرف الجملة لهذه المعلومات انتروبي .i الميكروسكوبية

I = −k∑

i

Pi lnPi. (٢٠٨)

الشرط تحقق Pi االحتماالت∑

i

Pi = 1. (٢٠٩)

اجراء اجل من اعاله. االحتمال انحفاظ شرط مع I ل العظمي القيمة ايجاد نريدب F الدالة نعرف الغرانج. مضروبات طريقة نستخدم العملية هذه

F = I − λ(∑

i

Pi − 1)

= −k∑

i

Pi lnPi − λ(∑

i

Pi − 1). (٢١٠)

اعظمية، او اصغرية القصوي، القيم شرط الغرانج. مضروب بالضبط هو λ المتغيرب كالعادة يعطي Pi للمتغير بالنسبة

∂F

∂Pi=

∂I

∂Pi− λ

= −k lnPi − k − λ

= 0 ⇒ Pi = exp(−1− λ). (٢١١)

الغرانج مضروب قيمة علي نحصل االحتمال انحفاظ قانون االن باستخدام

exp(1 + λ) = Ω(E). (٢١٢)

39

ان اي

Pi = exp(−1− λ) =1

Ω(E). (٢١٣)

الميكروسكوبية الحاالت كل بالتوازن: الخاص االحتمال توزيع علي اذن نحصلان ايضا نالحظ االحتمال. متساوية

∂2F

∂P 2i

=∂2I

∂P 2i

< 0. (٢١٤)

المعلومات كمية فان وبالتالي اعظمي المعلومات انتروبي فان التوازن عند اياالنتروبي ان و اعظمي الالنظام او الفوضي ان نقول اصغرية. الجملة عن المتوفرة

الفوضي. مقياس هو

في ايضا استخدمنا : االرجودية الفرضية االحصائي- للميكانيك الثانية المسلمةللميكانيك الثانية المسلمة صراحة، ذلك نذكر ان بدون ايضا و السابقة، الفقرةنتناولها التي و (٤٢) االرجودية الفرضية مسمي تحت ايضا تعرف التي االحصائي

. بالنقاش االنمع تتغير زمنية لحظة اي في الجملة فيها تتواجد التي الميكروسكوبية الحالةالجملة الحظنا اذا الجملة. لها تخضع التي التفاعالت بسبب الزمن في الجملة تطورهو ميكروسكوبية حالة كل في الجملة تقضيه الذي الزمن فان منته غير لزمن

اعاله. االولي المسلمة مقتضي هو و الحاالت لكل بالنسبة نفسهيكون قد امر هو و الزمن خالل تطورها تتبع و واحدة جملة اعتبار عوضمعينة. لحظة في المتطابقة الجمل من مجموعة نعتبر فاننا واضحة السباب صعباالمتطابقة الجمل هذه احد علي الحصول احتمال ان بحيث المجموعة هذه تشكلاذا الميكروسكوبية. الحالة كانت مهما نفسه هو معينة ميكروسكوبية حالة فيالجمل عدد هو N/Ω(E) فان متطابقة جملة N −→ ∞ من مشكلة المجموعة كانتهو ميكروسكوبية حالة اي علي الحصول احتمال الن ميكروسكوبية حالة اي فيتنص االرجودية الفرضية االحتمال. متساوية الحاالت :1/Ω(E) ب معطي نفسه

االتي. عليمجموعة علي مأخوذ المتغير هذا متوسط يساوي ما لمتغير الزمن في المتوسط النص:

اعاله. المذكورة الخواص لها التي المتطابقة الجمل منالمتوسط و الزمن في سط المتو فان الدراسة قيد المتغير هو y = y(t) كان اذاالتوالي علي يعطيان t اللحظة في متطابقة جملة N من مشكلة مجموعة علي

التالية بالعالقات

< y >= limt′−→∞1

t′

∫ t′

0

y(t′

)dt′

. (٢١٥)

< y >t=1

N

N∑

i=1

yi(t). (٢١٦)

لدينا يكون ان يجب فانه االرجودية الفرضية حسب

< y >=< y >t . (٢١٧)

ergodic hypothesis.(٤٢)

40

الميكروقانونية المجموعة

احتمال تساوي علي تنص التي االحصائي للميكانيك االولي المسلمة : تعريفتوازن حالة في معزولة جملة اي ان الي مباشرة تؤدي الميكروسكوبية الحاالتهذه ثابت. باحتمال مميزة احصائية مجموعة الي تنتمي ان يجب ترموديناميكيالمجموعة استعمال ان .(٤٣) الميكروقانونية المجموعة يعرفباسم ما هي المجموعةتقريبات مكانها نستعمل فاننا بالتالي و عموما معقد التطبيق في الميكروقانونية

الكبري. القانونية المجموعة و القانونية المجموعة مثلبالضرورة. ثابته الطاقة، هذه E0 لتكن و معزولة، جملة طاقة ان المعلوم من.δE << E0 بالخطا معطي الطاقة قيمة معرفة في ارتياب دائما هناك العموم فيالي راجع هو ايضا لكن و التجريبية االخطاء الي راجع االرتياب هذا ان الواضح منلهايزنبرغ االرتياب مبدأ مثل الكمي الميكانيك عن الناجمة الفيزيائية التأثيراتالمدة مع عكسا متناسب الطاقة في االرتياب ان علي بنوده احد في ينص الذي (٤٤)

بين مجال في اذن هي الجملة طاقة الجملة. علي القياس فيها يجري التي المحددةطاقة لها التي فهي للجملة بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت اما E0+ δE و E0

حيث E

E0 ≤ E ≤ E0 + δE , δE << E0. (٢١٨)

نعتبر الزمن في تطورها اتباع و واحدة جملة اعتبار عوض السابق في فعلنا كماال الماكروسكوبية الناحية من االصلية الجملة مع المتطابقة الجمل من مجموعةمن جملة كل الماكروسكوبية. المقادير علي قياسات باجراء بينها التمييز يمكنالتوازن نفترض اعاله. الشرط تحقق ميكروسكوبية حالة في هي المجموعة هذههذه االحتمال. متساوية هي الميكروسكوبية الحاالت كل بالتالي و االحصائي

الميكروقانونية. المجموعة تسمي االحصائية المجموعة.E + δE و E بين طاقة لها التي الميكروسكوبية الحاالت عدد Ω(E) ليكن

بالمعادلة يعطي الجملة انتروبي

S = k lnΩ(E). (٢١٩)

من .E من تساوي او اقل طاقة لها التي الميكروسكوبية الحاالت عدد Φ(E) ليكنالفرق لكن متقطع متغير العموم في هي الكمي الميكانيك في الطاقة ان المعروفنفترض ان اذن يمكننا .∆E << δE << E بحيث هو مستويين بين ∆E الطاقة فيمستمرة. دالة هي Φ(E) فان بالتالي و مستمر متغير هو E ان ممتاز تقريب هو والحاالت كثافة نعرف ان ايضا يمكننا .E مع شديدة بسرعة تتزايد الدالة هذه

بالعالقة الطاقة حدة و في الحاالت عدد اي الميكروسكوبية

ρ(E) =dΦ(E)

dE. (٢٢٠)

ان اي

Φ(E) =

∫ E

0

dE′

ρ(E′

). (٢٢١)

تحت السطح مساحة هي Φ(E) الطاقة. مع بشدة تترايد دالة Ω(E) مثل ρ(E)

فان δE << E الن .E′

= E المحور و E′

= 0 المحور بين ρ(E′

) الدالة منحني

microcanonical ensemble.(٤٣)

Heisenberg uncertainty principle.(٤٤)

41

ρ(E) الميكروسكوبية الحاالت كثافة يساوي Ω(E) الميكروسكوبية الحاالت عدداي δE في مضروبة

Ω(E) = ρ(E)δE. (٢٢٢)

حرية درجة اجل من المتوسطة الطاقة ǫ و الجملة حرية درجات عدد n ليكنبالعالقة اذن تعطي E الطاقة واحدة.

E = nǫ. (٢٢٣)

اذن لدينا

S = k

[

ln ρ(E)ǫ + lnδE

ǫ

]

. (٢٢٤)

كاالتي E بالطاقة Ω(E) الميكروسكوبية الحاالت عدد يتعلق العموم في

Ω(E) ∼ En. (٢٢٥)

مثل اعاله االنتروبي في االول الحد يتصرف بالتالي و En مثل يتصرف ρ(E) اذناالول الحد فان جدا كبير n الن اذن .lnn مثل يتصرف فانه الثاني الحد اما ،n lnE

العالقة علي اذن نحصل االنتروبي. قيمة علي بالكامل يهيمن االنتروبي في

S = k ln ρ(E). (٢٢٦)

علي تحتوي جملة كل الميكروقانونية المجموعة في : الترموديناميك اشتقاقالميكانيك ان افترضنا اذا .E + δE و E بين طاقة و V حجم لها و جسيم Nطاقة لها التي Ω(E)δE الميكروسكوبية الحاالت عدد فان للتطبيق قابل الكالسيكيالميكروقانونية المجموعة تحتله الذي الحجم مع متناسب هو E + δE و E بين

اي الطوري الفضاء في

Ω(E) ∼ Γ(E) =

∫

E≤H≤E+δE

d3Npd3Nq. (٢٢٧)

من تساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E) الميكروسكوبية الحاالت عدد فان بالمقابلالطاقة ذو الطاقة سطح داخل المحتوي الطوري الفضاء في الحجم مع متناسب E

اي E

Φ(E) ∼ Σ(E) =

∫

H≤E

d3Npd3Nq. (٢٢٨)

ان الواضح من

Γ(E) = Σ(E + δE)− Σ(E). (٢٢٩)

الحاالت كثافة االن نعرف حيث Γ(E) = δEρ(E) علي نحصل δE −→ 0 اجل منبالعالقة ρ(E)

ρ(E) =∂Σ(E)

∂E. (٢٣٠)

42

العالقات باحدي االنتروبي نعرف ان يمكن اعاله بينا كما

S = k ln Γ(E). (٢٣١)

S = k ln ρ(E). (٢٣٢)

االنتروبي الي التمرينات، في سنبين كما يؤدي، االحصائي لالنتروبي التعريف هذاالثاني المبدأ و التمديدية الخاصية مثل المعروفة خواصه بكل الترموديناميكي

للترموديناميك.الميكرقانونية المجموعة من انطالقا الترموديناميك كل اشتقاق االن يمكنناالتحويالت تعريف الي اوال نحتاج كاالتي. لالنتروبي التعريف هذا باستعمالالتغيرات هنا تقابل التحويالت هذه االطار. هذا في الساكنة شبه الترموديناميكيةالخارجي. الوسط مع الجملة تفاعالت عن الناجمة الحجم و الطاقة في جدا البطيئةالنقاط من بمجموعة تمثل الميكروقانونية المجموعة فان التحويالت هذه خاللالفضاء في شديد ببطء يتحرك حجم في االحتمال) تساوي مسلمة ) بانتطام موزعةفي المتناه التغير ميكروقانونية. مجموعة لدينا لحظة كل في حيث الطوري

ب يعطي الترموديناميكية التحويالت هذه خالل االنتروبي في الصغر

dS(E, V ) =( ∂S

∂E

)

VdE +

( ∂S

∂V

)

EdE. (٢٣٣)

بالعالقات الضغط و الحرارة درجة نعرف

( ∂S

∂E

)

V=

1

T,( ∂S

∂V

)

E=P

T. (٢٣٤)

للترموديناميك االول المبدأ علي مباشرة نحصل

dE = −PdV + TdS. (٢٣٥)

نتبع الميكروقانونية المجموعة من انطالقا الترموديناميك علي للحصول اذنالتالية: الخطوات

الهاميلتونية. من انطالقا ρ(E) الحاالت كثافة احسب •

العالقة باستعمال االنتروبي احسب •

S = k ln ρ(E). (٢٣٦)

هي النتيجة .V و S بداللة E حساب اجل من S = S(E, V ) الدالة اقلب •اي الداخلية الطاقة بالضبط

U = E(S, V ). (٢٣٧)

العالقات باستعمال الترمودياميكية المقادير باقي احسب •

T =(∂U

∂S

)

V. (٢٣٨)

P = −(∂U

∂V

)

S. (٢٣٩)

43

F = U − TS. (٢٤٠)

G = U + PV − TS. (٢٤١)

Cv =(∂U

∂T

)

S. (٢٤٢)

الترموديناميكي التوازن

الحاالت تصيح اين توازنها حالة تبلغ ان الي الزمن في تتطور معزولة جملة كلالمعلومات- انتروبي االنتروبي- يصبح و االحتمال متساوية الميكروسكوبيةحالته في للترموديناميك الثاني المبدأ عليه ينص ما هو هذا اعظمي.هو الجملة في الالنظام مقياس هو الذي االحصائي االنتروبي الميكروسكوبية.اعظمي يصبح الالنظام اذن الميكروسكوبية. الحاالت عدد لوغاريتم مع متناسباعظمي يصبح للجملة بها المسموح الحاالت عدد ان به المقصود و التوازن عند

التوازن. عندفي هو ماكروسكوبية لجملة بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد

اي الجسيمات عدد في و الحجم في ايضا و الطاقة في دالة العموم

Ω = Ω(E, V,N). (٢٤٣)

بالتالي

S = S(E, V,N). (٢٤٤)

،V1 ،E1 هي الترموديناميكية المتغيرات .2 و 1 ماكروسكوبيتين جملتين نعتبرهي 1 + 2 الكلية الجملة .2 للجملة بالنسبة N2 ،V2 ،E2 و 1 للجملة بالنسبة N1

كلها N0 جسيمات عدد و V0 حجم ،E0 طاقة لها ادياباتيكية بجدران معزولة جملةبها المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد ΩT (E0, V0, N0) ليكن ثابتة. متغيراتبعين نأخذ اننا اي 2 و 1 الجملتين علي قسرية شروط اي بدون 1 + 2 للجملة

.2 و 1 للجملتين الممكنة التمثيالت كل االعتبار

دياتارم بجدار مفصولتين 2 و 1 الجملتين ان اوال نفترض الحراري: التوازنتبادل هناك لكن ثابتة تبقي V2 ،V1 ،N2 ،N1 اذن . (٤٥) للجسيمات نفاذ غير و ثابتهي 2 و 1 الجملتين بين التفاعل طاقة ان نفترض .2 و 1 الجملتين بين للحرارةيعطي الطاقة انحفاظ مبدأ اذن .E2 و E1 الداخلية الطاقات مع بالمقارنة مهملةالميكروسكوبية الحاالت عدد ان مباشرة نستنتج ايضا .E0 = E1 + E2 مباشرة

هو الكلية للجملة بها المسموح

Ω(E0, E1) = Ω1(E1)Ω2(E2) = Ω(E1)Ω2(E0 − E1). (٢٤٥)

ان يمكن 2 او 1 الجملتين من الي ميكروسكوبية حالة كل ان الي راجع الجداءالحاالت عدد االخري. للجملة بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت بكل يرفق

هو الكلية للجملة بها المسموح الكلي الميكروسكوبية

ΩT (E0) =∑

E1

Ω(E0, E1). (٢٤٦)

impermeable.(٤٥)

44

هو E1 تساوي 1 الجملة طاقة تكون حتي P (E1) االحتمال اذن

P (E1) =Ω(E0, E1)

ΩT (E0). (٢٤٧)

هو Ω(E0, E1) الحاالت بعدد المرفق االنتروبي

S(E0, E1) = k lnΩT (E0)

= S1(E1) + S2(E0 − E1). (٢٤٨)

الترموديناميك. عليه ينص كما و يجب كما تمددي مقدار هو االنتروبي اذنتوازن يحصل ان غاية الي الدياتارم الجدار عبر الحرارة تتبادالن 2 و 1 الجملتانP (E1) االحتمال يكون لما او اعظمي S(E0, E1) او Ω(E0, E1) يصبح لما اي حراري

لدينا اعظمي.

dS

dE1=

dS1

dE1+dS2

dE2

dE2

dE1

=dS1

dE1− dS2

dE2

= 0 ⇒ dS1

dE1=dS2

dE2. (٢٤٩)

السعة ايجابية باستعمال اعظمية قيمة هي القصوي القيمة هذه ان نبين ان يمكنعامة بصفة .1/T = dS/dE ب المطلقة الحرارة درجة نعرف الحرارية.

(∂S

∂E)V,N =

1

T. (٢٥٠)

اي 2 و 1 الجملتين حرارة درجة تساوي علي نحصل الحراري التوازن عند اذن

T1 = T2. (٢٥١)

للترموديناميك. الصفر المبدأ هو هذاعدد من يتغير الميكروسكوبية الحاالت عدد فان الزمن في الجملة تطور عندكان اذا و عكسي غير التحول فان Ωf > Ωi كان اذا .Ωf نهائي عدد الي Ωi ابتدائي

عكسي. التحول فان Ωf = Ωi

دائما تبقي الكلية الجملة ان اي الصغر، في متناه ساكن شبه تحويل نعتبرعدد و الحجم يبقي ايضا حيث عكسي، تحويل خالل مثال احصائي توازن حالة فيعمل يوجد ال التحويل هذا خالل انه الواضح من ثابتا. جملة كل في الجسيماتمن المتبادلة. الحرارة كمية هي Q1 حيث ∆E1 = Q1 فان بالتالي و ميكانيكياذن الصغر. في متناه التحول الن ثابتة تبقي T1 الحرارة درجة فان االخري الجهة

∆S1 =∆E1

T1=Q1

T1. (٢٥٢)

التوازن الي ادي الذي التحول خالل فانه للترموديناميك الثاني المبدأ حسباي معزولة الجملة الن يزداد ان اال يمكن ال الكلي االنتروبي فان الترموديناميكي

dS

dt> 0 ⇒ (

1

T1− 1

T2)dE1

dt> 0. (٢٥٣)

1 الجملة الي 2 الجملة من تنتقل الحرارة ان اي dE1/dt > 0 فان T2 > T1 كان اذاالبارد. الي الساخن من اي

45

بجدار مفصولتين 2 و 1 الجملتين ان االن نفترض الميكانيكي: الحراري التوازنو للحرارة تبادل هناك اذن . للجسيمات نفاذ غير و احتكاك بدون متحرك دياتارمثابتة تبقي االتية المقادير ان نفترض .2 و 1 الجملتين بين الميكانيكي للعمل ايضا

الجملتين: بين تحدث التي التبادالت خالل

E0 = E1 + E2 , V0 = V1 + V2 , N0 = N1 +N2. (٢٥٤)

للدالة القصوي القيمة ثابتين. N2 و N1 فان نفاذ غير الجدار الن ايضاالشرطين تحقق S(E0, E1, V1, N1)

∂S

∂E1= 0 ,

∂S

∂V1= 0. (٢٥٥)

لكن

S(E0, E1, V1, N1) = S1(E1, V1, N1) + S2(E2, V2, N2). (٢٥٦)

علي مباشرة نحصل السابقة الفقرة من الخطوات نفس عبر بالمرور

(∂S1

∂E1)V1,N1

= (∂S2

∂E2)V2,N2

⇒ 1

T1=

1

T2. (٢٥٧)

(∂S1

∂V1)E1,N1

= (∂S2

∂V2)E2,N2

⇒ P1

T1=P2

T2. (٢٥٨)

اذن اعظمية. قيمة هي القصوي القيمة هذه ان نبين ان يمكن السابق في كماو 1 الجملتين ضغط و الحرارة درجة بتساوي يعطي الميكانيكي الحراري التوازن

اي 2

T1 = T2 , P1 = P2. (٢٥٩)

من ننطلق كاالتي. الداخلية الطاقة بداللة الضغط عن نعبر ان يمكن الضغط:من اي dE(S, V,N) = 0

(∂E

∂S)V,N

dS

dV= −(

∂E

∂V)S,N . (٢٦٠)

بالتالي

P = (∂S

∂V)E,N (

∂E

∂S)V,N = −(

∂E

∂V)S,N . (٢٦١)

الجسيمات- عدد و االنتروبي ثبات مع للحجم بالنسبة للطاقة الجزئية المشتقة اذنهذه نري ان المستحسن من الضغط. ناقص تساوي هي عكسي- ادياباتيكي تحول

مثال. خالل من ايضا النتيجةاللحظة في .A سطح ذي بمكبس مغلقة اسطوانة داخل مثالي غاز نعتبرخالل من رأينا .E = ǫi طاقة ذات i ميكروسكوبية حالة في الغاز يكون االبتدائيةيحتله الذي بالحجم تتعلق ميكروسكوبية حالة اي طاقة ان المكعبة العلبة مثالبكمية الغاز حجم يزداد للمكبس موجب dx انتقال اجل من .ǫi = ǫi(V ) ان اي الغازادياباتيكي تحويل هو الترموديناميكي التحويل ان بحيث هي الحركة شروط .dV

46

عمل شكل علي تكون الطاقوية التبادالت كل و للحرارة تبادل يوجد ال اي عكسينفس في تبقي بالتالي و االحتالل اعداد نفس عل تحافظ اذن الجملة ميكانيكي.

تصبح الميكروسكوبية الحالة طاقة لكن .i الميكروسكوبية الحالة

ǫi(V + dV ) = ǫi(V ) + (∂ǫi∂V

)S,NdV. (٢٦٢)

ب يعطي للغاز الداخلية الطاقة في التغير

∆E = E(V + dV )− E(V )

= ǫi(V + dV )− ǫi(V )

= (∂ǫi∂V

)S,NdV. (٢٦٣)

تساوي اي المكبس من المقدم العمل تساوي الطاقة هذه

W = −PiAdx = −PidV. (٢٦٤)

عكسي التحويل يكون حتي المكبس يمين علي تطبيقه يجب الذي الضغط هو Pi

علي مباشرة نحصل اعاله المعادلتين بمطابقة ادياباتيكي.

Pi = −(∂ǫi∂V

)S,N . (٢٦٥)

علي للحصول .i الميكروسكوبية بالحالة الخاصة الضغط قيمة تعطي العبارة هذهنأخذ ان علينا الماكروسكوبي المستوي علي فعليا نقيسه الذي P الضغط قيمة

كاالتي. المتوسطة القيمةالجمل من M مجموعة نعتبر متعددة مرات السابق في فعلنا كماالحالة علي الحصول احتمال Pi ليكن الماكروسكوبي. المستوي علي المتطابقة

هي M المجموعة علي المتوسطة الطاقة .i الميكروسكوبية

< E >=∑

MPiǫi. (٢٦٦)

المتوسطة القيمة حول E الطاقة (٤٦) تقلبات فان ماكروسكوبية الجملة الناالكثر القيمة ايضا هي المتوسطة القيمة هذه مهملة. الغالب في هي < E >

علي نحصل و E ≃< E > اذن احتماال.

E =∑

MPiǫi. (٢٦٧)

فان بالمثل

P ≃ < P >

=∑

MPiPi. (٢٦٨)

اي في التواجد احتمال فان ثابتة االحتالل اعداد ان اي ادياباتيكي التحويل الن لكنبالتالي و ثابت هو i ميكروسكوبية حالة

dE =∑

MdPiǫi +

∑

MPidǫi

fluctuations.(٤٦)

47

=∑

MPidǫi

= −∑

MPiPidV

= −PdV. (٢٦٩)

المعروف. و المطلوب هو هذا و

الكالسيكي المثالي الغاز

يتصرف الغاز فان المطلق الصفر عن بعيدة مثالي غاز حرارة درجة تكون عندماالميكانيك قوانين تطبيق الحالة هذه في يمكننا اذن كالسيكية. بطريقة تقريباحيز داخل ذرة، او جزئ جسيم، N من المشكلة المثالي الغاز جملة علي الكالسيكيضعيفة المثالي الغاز جسيمات بين التفاعل فان بالتعريف .V حجمه الفضاء منالحركية الطاقة عليها تهيمن الجملة طاقة فان وبالتالي اهمالها يمكن و جدا

ب الحالة هذه في تعطي الهاميلتونية للجسيمات.

H =

N∑

i=1

~p2i2m

. (٢٧٠)

بالتالي و سلمية جسيمات هي الغاز ذرات ان ايضا ونفترض الغاز ذرات كتلة mهيفيه تعطي بعد 6N ذو هو اذن الطوري الفضاء ينعدم. بها الخاص السبين فانالحاالت عدد Ω(E0) لتكن .~pi الحركة كمية اشعة و ~ri الموضع باشعة المحاورالميكانيك من المعروف من .E0 + δE و E0 بين طاقة لها التي الميكروسكوبيةخلية، تحتل بنقطة الطوري الفضاء في تمثل ميكروسكوبية حالة كل ان الكمي

هو حجمها ، (٤٧) هايزنبرغ بخلية تعرف

Vcell = hn/2, (٢٧١)

مبدأ الي ترجع القيمة هذه الحرية. درجات عدد هو n و (٤٨) بالنك ثابت هو h حيثحاصل هو Ω الميكروسكوبية الحاالت عدد اذن .∆x∆p ∼ h لهايزنبرغ االرتيابلها التي الميكروسكوبية الحاالت تحتله الذي الطوري الفضاء في الحجم قسمة

اذن نكتب واحدة. هايزنبرغ خلية حجم علي .E0 + δE و E0 بين طاقة

Ω(E0) =ν

h3N

=1

h3N

∫

E0≤H≤E0+δE

d3N~rd3N~p. (٢٧٢)

d3N~r =N∏

i=1

dxidyidzi , d3N~p =

N∏

i=1

dpxidpyidpzi. (٢٧٣)

Heisenberg cell.(٤٧)

Planck.(٤٨)

48

في حجم الي ينقسم اعاله التكامل فان الحركة بكميات اال تتعلق ال الطاقة الناي ~p ال فضاء في حجم و ~r ال فضاء

Ω(E0) =1

h3N

∫

d3N~r

∫

E0≤H≤E0+δE

d3N~p

=V N

h3N

∫

E0≤H≤E0+δE

d3N~p. (٢٧٤)

من تساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E0) الميكروسكوبية الحاالت عدد اوال نحسببالتكامل يعطي العدد هذا ان نجد اعاله الخطوات نفس عبر بالمرور .E0

Φ(E0) =V N

h3N

∫

H≤E0

d3N~p

=V N

h3N

∫

∑

N

i=1

~p2i

2m≤E0

N∏

i=1

d3~pi. (٢٧٥)

لكن

N∑

i=1

~p2i2m

= E0 (٢٧٦)

مركبات تلعب حيث بعد 3N في R =√2mE0 قطر نصف ذات كرة معادلة هي

هي اذن المسألة الكرة. هذه علي الديكارتية االحداثيات دور الحركة كمياتيعطي ابعاد ثالث في الحجم ان نعرف نحن بعد. 3N في كرة حجم حساب مسألة

ب

V3 =

∫

x2

1+x2

2+x2

3≤R2

dx1dx2dx3 =4

3πR3. (٢٧٧)

ب الحجم يعطي بعد n في

Vn =

∫

x1

1+x2

2+...+x2

n≤R2

dx1dx2dx3...dxn. (٢٧٨)

اي Rn مع متناسب يكون ان يجب الحجم هذا ان الواضح من

Vn = CnRn. (٢٧٩)

علي نحصل منه

dVn = dx1dx2dx3...dxn = nCnrn−1dr. (٢٨٠)

التكامل من نبدأ .Cn نحسب ان االن علينا∫

e−x2

dx =√π. (٢٨١)

علي لنحصل n للقوة المعادلة هذه طرفي نرفع∫

e−∑

n

i=1x2

i dx1...dxn = πn/2. (٢٨٢)

49

اي∫

e−r2nCnrn−1dr = πn/2. (٢٨٣)

علي لنحصل y = r2 المتغير تغيير نجري

n

2Cn

∫

yn2−1e−ydy = πn/2. (٢٨٤)

المعروف التكامل نستخدم ان االن يمكننا∫

yαe−ydy = Γ(α+ 1) = α!. (٢٨٥)

و الصحيحة غير و السالبة للمتغيرات المعاملي لدالة تعميم هي غاما الدالةα! بالضبط يعطي اعاله التكامل فان α للوسيط صحيحة قيم اجل من المركبة.من معرف اعاله التكامل لكن .α ل الصحيحة القيم اجل من Γ(α + 1) = α! ان ايمركبة او حقيقية صحيحة، غير او صحيحة سالبة، او موجبة :α قيم جميع اجلالمجاالت. هذه لكل المعاملي تعمم التي غاما الدالة بالتعريف هو التكامل ناتج و

مباشرة لدينا بالفعل بسهولة. Cn الثابت علي نحصل غاما الدالة باستخدام

n

2CnΓ(

n

2) = πn/2 ⇒ n

2Cn(

n

2− 1)! = πn/2. (٢٨٦)

الخاصية يحقق المعاملي فان الصحيحة غير القيم اجل من حتي

n

2(n

2− 1)! = (

n

2)!. (٢٨٧)

عدد و بعد، n في الكرة حجم ،Cn الثابت ،n الحرية درجات عدد ان الخالصةب اذن تعطي E0 من تساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E0) الميكروسكوبية الحاالت

n = 3N. (٢٨٨)

Cn =πn/2

(n2 )!. (٢٨٩)

Vn = (2mE0)n/2 πn/2

(n/2)!. (٢٩٠)

Φ(E0) =V n

h3N(2mE0)

n/2 πn/2

(n/2)!. (٢٩١)

جسيمات كونها وهي اهمالها يمكن ال اخري كمية خاصية لها الغاز جسيماتالجسيمات لهذه ممكنة تبديلة N ! هناك فان متطابق جسيم N لدينا النه متطابقة.حصلنا التي الميكروسكوبية الحاالت عدد ان اي للجملة. متطابقة تمثيلة N ! توافقمختلفة. فعال هي التي الميكروسكوبية الحاالت عدد من مرة N ! ب اكبر هو عليهاهو E0 من تساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E0) الميكروسكوبية الحاالت عدد اذن

ب معطي الواقع في

Φ(E0) =1

N !

V n

h3N(2mE0)

n/2 πn/2

(n/2)!. (٢٩٢)

50

للتأثيرات راجعة معامالت هي h3N و N ! المعامالت اعاله االخيرة المعادلة فيمن ايضا فقط. الكالسيكي الميكانيك علي باالعتماد عليها الحصول يمكن ال الكميةV حجمها مكعبة علبة داخل حر واحد جسيم من مشكلة جملة تكميم ان المعروف

ب تعطي بفسحة للطاقة مكممة قيم الي يؤدي

ǫ0 =π2h2

2mV 2/3. (٢٩٣)

علي نحصل Φ(E) الحاالت عدد في بالتعويض

Φ(E0) =1

N !

π3N/2

23N(3N/2)!

(E0

ǫ0

)3N/2. (٢٩٤)

يلي كما ρ(E0) الميكروسكوبية الحاالت كثافة علي نحصل باالشتقاق

ρ(E0) =dΦ(E0)

dE0

=1

N !

π3N/2

23N(3N/2− 1)!

(E0

ǫ0

)3N/2 1

E0. (٢٩٥)

Ω(E0) الميكروسكوبية الحاالت عدد علي نحصل ان يمكن الكثافة هذه باستخداميلي كما δE بارتياب E0 طاقة لها التي

Ω(E0) = ρ(E0)δE

=1

N !

π3N/2

23N (3N/2− 1)!

(E0

ǫ0

)3N/2 δE

E0. (٢٩٦)

لدينا المثالي. الغاز انتروبي االن نحسب

S

k= lnΩ(E0)

= ln ρ(E0)δE

= ln

(

1

N !

π3N/2

23N (3N/2− 1)!

(E0

ǫ0

)3N/2 δE

E0

)

= − lnN !− ln(3N/2− 1)! + (3N/2) lnπ/4 + (3N/2) ln(E0/ǫ0) + ln δE/E0.

(٢٩٧)

ان ايضا نالحظ

ln ρ(E0) = − lnN !− ln(3N/2− 1)! + (3N/2) lnπ/4 + (3N/2) ln(E0/ǫ0) + ln 1/E0.

(٢٩٨)

lnΦ(E0) = − lnN !− ln(3N/2)! + (3N/2) lnπ/4 + (3N/2) ln(E0/ǫ0).

(٢٩٩)

يمكن ln ρ(E0) و lnΩ(E0) عبارتي في االخيرة الحدود فان جدا كبير N الناالتية سابقا ذكرناها التي النتيجة علي اذن نحصل و اهمالها

S

k= lnΩ(E0) ≃ ln ρ(E0) ≃ lnΦ(E0). (٣٠٠)

51

هذا تحت Φ(E0) المساحة لوغاريتم الي يساوي ρ(E0) المنحني لوغاريتم ان ايالقيمة حول المرتكزة Ω(E0)δE المساحة لوغاريتم الي يساوي هو و المنحنياعاله العالقة لتبسيط ستيرلينغ عالقة االن نستخدم .E0 للطاقة احتماال االكثر

كاالتي لالنتروبي

S =3Nk

2ln

2E0

3Nǫ0+ α+NS0 = S(E0, V,N). (٣٠١)

S0 =3k

2(1 + ln

π

4) , α = k(−N lnN +N). (٣٠٢)

تعلق الجسيمات. تطابق عن الناجمة االنتروبي قيمة في المساهمة هو α الثابت.ǫ0 الطاقوية الفسحة في محتوي بالحجم االنتروبي

الغاز لجملة الداخلية الطاقة علي نحصل السابقة الفقرة في شرحنا كمابسيط حساب بعد .S = S(E0, V,N) العالقة قلب طريق عن الكالسيكي المثالي

علي نحصل

E0 =3h2

4πm

N5/3

V 2/3exp

( 2S

3Nk− 5

3

)

. (٣٠٣)

ب تعطي المثالي الغاز حرارة درجة

T = (∂E0

∂S)V,N

=2E0

3NK⇒ E0 =

3

2NkT. (٣٠٤)

ب تعطي ثابت حجم تحت الحرارية السعة

Cv = (∂E0

∂T)V,N

=3Nk

2. (٣٠٥)

ب يعطي المثالي الغاز ضغط

P = −(∂E0

∂V)S,N

=2E0

3V⇒ PV = NkT. (٣٠٦)

المعروفة. المثالي الغاز حالة معادلة علي اذن نحصل النهاية في

اضافية مسائل

ب يعطي لالحتمال الحدين ثنائي التوزيع لالحتمال: غوس توزيع

WN (n1) =N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1 . (٣٠٧)

52

القيم اجل من . لالحتمال (٤٩) غوس توزيع علي نحصل اين N −→ ∞ بالنهاية نهتمعلي n1 المستمر للمتغير مستمرة دالة اعتبارها يمكن WN (n1) فان n1 ل الكبيرة

فيزيائي. معني اي تحمل التي فقط هي n1 ل الصحيحة القيم ان من الرغم

العشوائي. المشاء حركة اجل من N و n1 ،q ،p لالعداد الفيزيائي المعني بين •.WN (n1) ل الفيزيائي المعني ايضا بين

المشتقة و B1 = d lnWN (n1)/dn1 االولي المشتقة ،lnWN (n1) الدالة احسب •.B2 = d2 lnWN (n1)/dn

21 الثانية

اعظمي. WN (n1) االحتمال توزيع عندها يكون التي n1 = n1 القيمة احسب •

.WN (n1) االحتمال احسب ثم من و lnWN (n1) للدالة تايلور تحليل احسب •

ب المعرف P (x) لالحتمال غوس توزيع احسب •

P (x)dx =Wn(n1)dn1. (٣٠٨)

العشوائي المشاء خطوة طول هو l ان و N = n1+n2 ،m = n1−n2 ان تذكرالعشوائي. المشاء موضع هو x = ml بينما

لالحتمال الحدين ثنائي التوزيع اخري مرة نعتبر لالحتمال: بواسون توزيعب المعطي

WN (n1) =N !

n1!(N − n1)!pn1qN−n1 . (٣٠٩)

نحصل اين n1 ل الصغيرة القيم اجل من p −→ 0 و N −→ ∞ النهاية االن نعتبرلالحتمال. (٥٠) بواسون توزيع علي

من p −→ 0 و N −→ ∞ النهاية في Cn1

N = N !/n1!(N − n1)! المعامل احسب •.n1 << N اي n1 ل الصغيرة القيم اجل

هذه في WN (n1) االحتمال احسب ثم qN−n1 = e−Np النهاية هذه في انه بين •الحالة.

المتوسط في التشتت احسب ثم < n21 > و < n1 > المتوسطة القيم احسب •

.σ2 =< n21 > − < n1 >

2 ب المعرف

التعريف ان بين للترموديناميك: الثاني المبدأ و االحصائي االنتروبي

S = k ln Γ(E) (٣١٠)

المعروفة خواصه بكل الترموديناميكي االنتروبي الي يؤدي االحصائي لالنتروبيالثاني المبدأ يحقق االنتروبي −2 و تمديدي مقدار هو االنتروبي −1 مثل

ب تعطي الحرارة درجة ان ايضا بين للترموديناميك.

1

T=∂S

∂E. (٣١١)

Gauss.(٤٩)

Poisson.(٥٠)

53

داخل m كتلة و صفر سبين ذو جسم نأخذ للطاقة: المتساوي التقسيم مبرهنة.E + δE و E بين طاقة ذات معزولة الجملة .V حجمها علبة

عدد ماهو الجملة. هاميلتونية اكتب الحالة. هذه في الطوري الفضاء عرف •.pi∂H/∂pi احسب للجملة. بها المسموح Ω(E) الحاالت

الشكل علي تكتب pi∂H/∂pi ل المتوسطة القيمة ان بين

< pi∂H

∂pi>=

ddE

∫

H≤Epi

∂H∂pi

d3xd3p

ddE

∫

H≤E d3xd3p

. (٣١٢)

ان بين

∫

H≤E

pi∂(H − E)

∂pj= V δij

∫

H≤E

(E −H)d3p. (٣١٣)

ان برهن

d

dα

∫ g(α)

f(α)

F (α, x)dx =

∫ g(α)

f(α)

∂

∂αF (α, x)dx +

∂g(α)

∂αF (α, g(α)) − ∂f(α)

∂αF (α, f(α)).(٣١٤)

من اقل طاقة لها التي Φ(E) الحاالت عدد بداللة < pi∂H/∂pi > احسب عبر .< H > للطاقة المتوسطة للقيمة بالنسبة نستنتج ان يمكن ماذا .E

الحرارة. درجة بداللة ثم االنتروبي بداللة < H > عنالتوافقي. الهزاز حالة الي بالنسبة نستنتج ان يمكن ماذا

جيبس: تناقض

ب يعطي االنتروبي فان مثالي لغاز بالنسبة •

S =3Nk

2ln

2E

3Nǫ0+NS0 + α. (٣١٥)

االتية المعادلة النتيجة هذه من استخرج

S = Nk lnV ǫ3/2 +NS′

0 + α(N), (٣١٦)

ان تذكر الغاز. من واحد جزئ طاقة هي ǫ حيث

S0 =3k

2(1 + ln

π

4) , α = k(−N lnN +N). (٣١٧)

التالية العالقة ايضا برهن .S′

0 و α(N) تعطي التي العالقات ايضا استخرج( (٥١) تترود - ساكور (معادلة

S = Nk lnV

Nǫ3/2 +

3

2Nk(

5

3+ ln

4πm

3h2). (٣١٨)

ايضا استخدم

ǫ0 =π2h2

2mV 2/3. (٣١٩)

Sakur −Tetrode equation.(٥١)

54

مفصولين غازين من مشكلة الخارجي الوسط عن معزولة جملة نأخذ •جزيئات كتل ان و T1 = T2 = T اي ثابتة الحرارة درجة ان نفترض بحاجز.بداللة S2 االنتروبي و S1 االنتروبي احسب .m1 = m2 = m اي متساوية الغازالفاصل الحاجز ان نفترض .N2 و N1 الجزيئات اعداد و V2 و V1 الحجمين

تستنتج. ماذا االنتروبي. في التغير احسب فترة. بعد يرفع

احسب الثاني. الغاز جزيئات مع متطابقة االول الغاز جزيئات ان نفترض •تستنتج. ماذا الحالة. هذه في االنتروبي في التغير

55

تمارين

:1 تمرين

حل .L ضلعها طول مكعبة علبة داخل يتحرك m كتلة ذو جسيم نعتبر •الشروط افترض بها. المسموح الطاقة قيم اليجاد (٥٢) شرودينغر معادلة

الجدران. علي الموجة دالة فيها تنعدم التي الحدية

االولي. 10 ال الطاقوية المستويات انحالل درجة احسب •

درجة و P = 105 pa الضغط العلبة. داخل الهيليوم من مول واحد نضع •ذرة كتلة و L أحسب مثالي. غاز الهيليوم ان نفترض .T = 273 K الحرارة

.ǫ0 الطاقوية الفسحة احسب الهيليوم. من واحدةهي الغاز من واحدة لذرة المتوسطة الطاقة االحصائية: النتيجة استخدمالكمية االعداد عظم لرتبة تقريبي تقدير اعطاء اجل من < E >= 3kT/2

.nz و nx, ny

الحرارة كمية و الميكانيكي العمل بين الفرق اعاله المثال اطار في وضح •الميكروسكوبية. الناحية من

الجملة طاقة ان بحيث المكعب داخل جسيمات ثالث لدينا انه االن نفترض •الحاالت في للجملة بها المسموح الطاقوية التمثيالت ماهي .18ǫ0 الي تساوي

التالية:

متمايزة. الجسيمات صفر. يساوي سبين ذات متطابقة بوزونات عن عبارة الجسيمات واحد. يساوي سبين ذات متطابقة بوزونات عن عبارة الجسيمات

نصف. يساوي سبين ذات متطابقة فرميونات عن عبارة الجسيمات

بها. المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد مرة كل في احسب

:2 تمرين

في واقعين عاكسين حائطين بين واحد بعد في يتحرك جسيم طاقة ماهي •.x = L و x = 0

بين واحد بعد في تتحرك بينها فيما متفاعلة غير جسيمات ثالث نعتبر •.x = L و x = 0 في واقعين عاكسين حائطين

لها الجسيمات كانت اذا للجملة الميكروسكوبية الحالة تميز كيف التوالي. علي s3 و s2،s1 سبينات

ماهي .ǫ0 = π2h2/2mL2 حيث E = 27ǫ0 تساوي الجملة طاقة لتكن الجملة. فيها تكون ان يمكن التي الطاقوية التمثيالت

بدون متمايزة الجسيمات كانت اذا الميكروسكوبية الحاالت عدد احسب سبين.

ذات متطابقة الجسيمات كانت اذا الميكروسكوبية الحاالت عدد احسب .s = 0, 1, 1/2 سبين

Schrodinger equation.(٥٢)

56

مفصولين عاكسين حائطين بين واحد بعد في متحرك جسيم نعتبر :3 تمرين.L بمسافة

الحاالت عدد و E من يساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E) الحاالت عدد احسب •كمية. الجسيم حركة كانت اذا δE بارتياب E طاقة لها التي Ω(E)

كالسيكية. الجسيم حركة ان بافتراض السابق السؤال اعد •

حر جسيم لجملة بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد احسب :4 تمرينيتحرك صفر سبين ذو الجسيم ان افترض .V حجم ذو مكعب داخل متحركعدد ماهو نصف. سبين ذو الجسيم كان اذا الحاالت عدد ماهو كالسيكية. بصورة

واحد. سبين ذو الجسيم كان اذا الحاالت

مسافة علي عاكسين حائطين بين حرة جسيمات ثالثة حركة نعتبر :5 تمرينفانه بالتالي و كالسيكية حركة هي الجسيمات حركة ان نفترض .L تساوي

الجسيمات. تطابق نهمل ان يمكننا

الهاميلتونية. اكتب و للجملة الطوري الفضاء صف •

.E من تساوي او اقل طاقة لها التي Φ(E) الحاالت عدد احسب •

.δE بارتياب E طاقة لها التي Ω(E) الحاالت عدد احسب •

الحاالت عدد يصبح فماذا فرميونات عن عبارة هي الجسيمات ان افترضنا اذا •.Ω(E)

.s سبين ذات الجسيمات كانت اذا الحاالت عدد يصبح ماذا •

متطابقة. الجسيمات ان االن افترضنا اذا Ω(E) الحاالت عدد ماهو •

المعادلة من تحقق :6 تمرين

N =N !

∏ri=1Ni!

(٣٢٠)

الميكروسكوبية. الحاالت مرة كل في عين .N = 3 و N = 2 اجل من صراحة

في المتوسط بين العالقة ناقش نرد. حجر عن عبارة جملة نعتبر :7 تمرينالحالة. هذه في االحصائية المجموعة علي المتوسط و الزمن

جسيمات N = 3 من مشكلة كالسيكي مثالي غاز جملة نعتبر :8 تمرينالحاالت عدد احسب .L طولها مستقيمة قطعة علي واحد بعد في تتحرك حرةالطاقة عبارة اشتق . االنتروبي عبارة اشتق و Ω(E) و Φ(E) الميكروسكوبيةكذا و الضغط و الحرارة درجة مثل الترموديناميكية المقادير باقي و E الداخلية

الحالة. معادلة

57

:9 تمرين

بداللة الهزاز حركة سعة احسب و واحد بعد في توافقي هزاز حركة صف •الطاقة.

من تساوي او اقل طاقة لها التي للهزاز الميكروسكوبية الحاالت عدد احسب •.E

.δE بارتياب E طاقة لها التي الميكروسكوبية الحاالت عدد هو ما •

احسب •

p∂H

∂p+ x

∂H

∂x, (٣٢١)

ان بين ثم

∫ E

0

Hdpdx =

∫ E

0

(E −H)dpdx. (٣٢٢)

الميكروسكوبية الحاالت علي مأخوذة f ديناميكي لمتغير المتوسطة القيمة •بالعالقة يعطي δE بارتياب E طاقة لها التي

< f >=ddE

∫ E

0 fdpdx

ddE

∫ E

0 dpdx. (٣٢٣)

.< H > المتوسطة القيمة احسب

ادياباتيكي جدار عبر ملتصقين مكعبين من مشكلة مغلقة جملة :10 تمرينادياباتيكي. بجدار الخارجي الوسط عن معزولة المكعبين جملة للحرارة. كاتم

متطابقين غير جسيمين علي يحتوي االول المكعب االبتدائية الحالة في •واحد جسيم علي يحتوي الثاني المكعب و EI = 12ǫ0 تساوي كلية بطاقةالمسموح الميكروسكوبية الحاالت احسبعدد .EII = 9ǫ0 تساوي كلية بطاقة

للجملة. بها

نحصل المكعبين. بين الفاصل االدياباتيكي الحاجز نرفع النهائية الحالة في •تساوي اجمالية بطاقة اسطح متوازي داخل حرة جسيمات ثالث علي اذنعدد احسب الحالة. هذه في للجملة بهل المسموح الطاقات هي ما .E = 21ǫ0

تستنتج. ماذا و الحاالت

:11 تمرين

واحد كل ضلع طول متالصقين مكعبين من مشكلة معزولة جملة نعتبر •للجسيمات. نفاذ غير و للحرارة كاتم بجدار مفصوالن المكعبان .L هو منهماالثاني المكعب و EI = 12ǫ0 طاقتهما جسيمين علي يحتوي االول المكعبالجسيمات ان نفترض .EII = 18ǫ0 طاقتهما جسيمين علي ايضا يحتوي

متمايزة.عدد و االول للمكعب بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد احسبالحاالت عدد هو ما الثاني. للمكعب بها المسوح الميكروسكوبية الحاالت

الكلية. للجملة بها المسموح االجمالية

58

للجسيمات نفاذ غير جدار هو المكعبين بين الفاصل الجدار ان االن نفترض •الكلية الجملة المكعبين. بين الطاقة بتبادل يسمح فانه بالتالي و دياتارم لكنهان يمكنها مكعب كل طاقة فان بالتالي و ترموديناميكيا متوازنة غير تصبحالتحول هذا كل خالل جديد. من التوازن الكلية الجملة تبلغ ان الي تتغيران لها يمكن و منحفظة دائما تبقي E = EI + EII = 30ǫ0 الكلية الطاقة فان

مختلفة. بطرق المكعبين علي تتوزع

الممكنة. الطاقوية التمثيالت ماهي كل في للجملة بها المسموح الميكروسكوبية الحاالت عدد احسب

للحاالت. الكلي العدد هو ما طاقوية. تمثيلةهو ما وجدناها. التي الحاالت من اي في الجملة تكون ان احتمال هو ما

.15ǫ0 و 12ǫ0 ،9ǫ0 ،6ǫ0 تساوي االول المكعب طاقة تكون ان احتمال

بالتكامل تعرف غاما دالة :12 تمرين

Γ(t) =

∫ ∞

0

xt−1e−xdx. (٣٢٤)

.Γ(t+ 1) = tΓ(t) لدينا موجب t اجل من انه بين •

.Γ(n+ 1) = n! فان t = n اي t ل طبيعية قيم اجل من انه بين •

الخ. ،(3/2)! قيمة استنتج ثم اعاله التكامل باجراء (1/2)! احسب •

بالتكامل المعطي بعد n في الكرة حجم احسب •∫

x2

1+...+x2

n≤R2

dx1...dxn. (٣٢٥)

59

حلول

للطاقة: المتساوي التقسيم مبرهنة

تعطي .~p = (p1, p2, p3) ،~r = (x1, x2, x3) ابعاد: ستة الطوري الفضاء •ب الهاميلتونية

H =p212m

+p222m

+p232m

. (٣٢٦)

ب يعطي للجملة بها المسموح Ω(E) الحاالت عدد

Ω(E) =1

h3

∫

E≤H≤E+δE

d3xd3p

=dΦ(E)

dE.δE

=d

dE

(

1

h3

∫

H≤E

d3xd3p

)

.δE

=V

h3d

dE

(∫

H≤E

d3p

)

.δE. (٣٢٧)

ايضا نحسب

∑

i

pi∂H

∂pi= 2H. (٣٢٨)

علي محسوبة الحركة بكمية فقط تتعلق f لدالة المتوسطة القيمة ب يعطي δE بارتياب E طاقة لها التي الميكروسكوبية الحاالت

< f > =

∫

E≤H≤E+δE f(p)d3xd3p

∫

E≤H≤E+δEd3xd3p

. (٣٢٩)

ان السابق السؤال نتيجة باستعمال و التعريف هذا من اذن الواضح من

< f > =

ddE

∫

H≤Ef(p)d3p

ddE

∫

H≤E d3p

. (٣٣٠)

نحسب ∫

H≤E

pi∂(H − E)

∂pjd3xd3p = V

∫

H≤E

[

∂

∂pj(pi(H − E))− (H − E)

∂pi∂pj

]

d3p

= V δij

∫

H≤E

(E −H)d3p. (٣٣١)

الدالة نعتبر

G(f(α), g(α), α) =

∫ g(α)

f(α)

F (α, x)dx. (٣٣٢)

60

اذن

d

dα=

∂G

∂α+∂G

∂f

∂f

∂α+∂G

∂g

∂g

∂α

=

∫ g(α)

f(α)

∂

∂αF (α, x)dx +

∂g(α)

∂αF (α, g(α)) − ∂f(α)

∂αF (α, f(α)).

(٣٣٣)

لدينا

< pi∂H

∂pj> =

ddE

∫

H≤Epi

∂H∂pj

d3p

ddE

∫

H≤Ed3p

=

ddE

∫

H≤E pi∂(H−E)

∂pjd3p

ddE

∫

H≤Ed3p

=−δij d

dE

∫

H≤E(H − E)d3p

ddE

∫

H≤Ed3p

. (٣٣٤)

نحسب ان يجب اذن

d

dE

∫

H≤E

(H − E)d3p =1

2m

d

dE

∫

0≤p2≤2mE

(p2 − 2mE)p2dpdΩ

=1

2

d

dα

∫ α

0

(x− α)√xdxdΩ. (٣٣٥)

علي نحصل g(α) = α و f(α) = 0 حيث السابق السؤال نتيجة باستعمال

d

dE

∫

H≤E

(H − E)d3p =1

2

∫ α

0

(−1)√xdxdΩ

= −∫

H≤E

d3p. (٣٣٦)

علي نحصل اعاله المعادلة في بالتعويض

< pi∂H

∂pj> =

δijddE

∫

H≤E d3p

ddE

∫

H≤Ed3p

=δijΦ(E)

dΦ(E)/dE. (٣٣٧)

نستنتج مباشرة

< 2H >=3

d lnΦ(E)/dE=

3k

2dS/dE=

3

2kT. (٣٣٨)

لدينا التوافقي للهزاز بالنسبة

H =1

2m

∑

i

p2i +k

2

∑

i

x2i . (٣٣٩)

61

اذن

< 2H > =∑

i

(< pi∂H

∂pi> + < xi

∂H

∂xi>). (٣٤٠)

علي االن نحصل

< 2H > = 6kT. (٣٤١)

جيبس: تناقض

ب يعطي مثالي غاز انتروبي •

S =3Nk

2ln

2E

3Nǫ0+NS0 + α. (٣٤٢)

ب تعطي مثالي لغاز الداخلية الطاقة فان االخري الجهة من

E =3

2NkT. (٣٤٣)

هي واحد جزئ طاقة مباشرة

ǫ =E

N=

3

2kT. (٣٤٤)

االتية المعادلة بسهولة اذن نستخرج ان يمكن

S = Nk lnV ǫ3/2 +NS′

0 + α(N), (٣٤٥)

S′

0 = S0 +3

2k ln

4m

3π2h2=

3k

2(1 + ln

4πm

3h2) , α(N) = α = k(−N lnN +N).(٣٤٦)

تترود - ساكور معادلة بسهولة نستخرج ان ايضا يمكن

S = Nk lnV

Nǫ3/2 +

3

2Nk(

5

3+ ln

4πm

3h2). (٣٤٧)

فان متساوية الكتل الن و ǫ1 = ǫ2 = ǫ فان متساوية الحرارة درجات الن •االنتروبيات علي اذن نحصل االبتدائية الحالة في .(S

′

0)1 = (S′

0)2 = S′

0

S1 = N1k lnV1ǫ3/2 +N1S

′

0 + α(N1). (٣٤٨)

S2 = N2k lnV2ǫ3/2 +N2S

′

0 + α(N2). (٣٤٩)

ب يعطي االنتروبي .N = N1 +N2 و V = V1 + V2 فان النهائية الحالة في

S = Nk lnV ǫ3/2 +NS′

0 + α(N). (٣٥٠)

62

الجسيمات تطابق عن ناجم المعامل هذا الن α(N) = α(N1)+α(N2) نالحظانو الثاني) الجزئ عن يختلف االول الجزئ (الن N1!N2! عن اي كمي) (تأثير

اذن .(N1 +N2)! عن ليس

S = N1k lnV ǫ3/2 +N1S

′

0 + α(N1) +N2k lnV ǫ3/2 +N2S

′

0 + α(N2). (٣٥١)

هو االنتروبي في التغير

∆S = N1k lnV

V1+N2k ln

V

V2> 0. (٣٥٢)

عكسي. غير التفاعل الن ∆S > 0 . (٥٣) الخلط انتروبي يسمي هذاالغازات اجل من لكن المختلفة. الغازات اجل من تجريبيا مؤكدة النتيجة هذهالغاز من خليط انتروبي جيبس: بتناقض يسمي ما الي تؤدي فانها المتطابقةو اعاله بالمعادلة معطي الصفر عن مختلف هو متطابقة جسيمات من مشكلهذا فان صحيح هذا كان اذا اخري جهة من و للتجربة، مخالف جهة من هذااالنتروبي يكون ان ممكنا كان لما و بتاريخه يتعلق الغاز انتروبي ان يعنيفي الجملة. فيها تتواجد التي الترموديناميكية بالحالة فقط تتعلق دالةتصور يمكننا النه الحالة هذه في اصال االنتروبي تعريف يمكن ال الحقيقةبالتالي و الغاز يحتوي الذي االناء داخل الفاصلة الحواجز من كيفي عدد

نريده. كبير عدد اي يكون ان يمكن الغاز انتروبي فان

الحالة هذه في متطابقان. الثاني الجزئ و االول الجزئ ان االن نفترض •هذه في عكسي هو التفاعل يحدث. شيئ ال فان الفاصل الحاجز نلغي عندمافي التغير فان بالتالي و α(N) = α(N1 +N2) الحالة هذه في بالفعل الحالة.

هو االنتروبي

∆S = N1k lnV

V1+N2k ln

V

V2+N1k ln

N1

N+N2k ln

N2

N. (٣٥٣)

لكن

V1N1

=V2N2

=V

N=kT

P. (٣٥٤)

اذن

∆S = 0. (٣٥٥)

:1 تمرين

ب تعطي شرودينغر معادلة •[

− h2

2m

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

+ V (x, y, z)

]

ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z). (٣٥٦)

اي المتغيرات فصل نستخدم .V = 0 اذن المكعب داخل حر الجسمالحلول و المعادالت علي مباشرة نحصل .ψ(x, y, z) = ψx(x)ψy(y)ψz(z)

E = Ex + Ey + Ez =h2

2m(Ω2

x +Ω2y +Ω2

z). (٣٥٧)

entropy of mixing.(٥٣)

63

d2ψx

dx2+Ω2

xψx = 0 ⇒ ψx(x) = A cosΩxx+B sinΩxx , Ω2x =

2mEx

h2.(٣٥٨)

d2ψy

dy2+Ω2

yψy = 0 ⇒ ψy(y) = A cosΩyy +B sinΩyy , Ω2y =

2mEy

h2. (٣٥٩)

d2ψz

dz2+Ω2

zψz = 0 ⇒ ψz(z) = A cosΩzz +B sinΩzz , Ω2z =

2mEz

h2. (٣٦٠)

،ψy(0) = ψy(L) = 0 ،ψx(0) = ψx(L) = 0 الحدية الشروط افترضنا اذاالزاوية التواترات علي مباشرة نحصل فاننا ψz(0) = ψz(L) = 0

Ωx =πnx

L, Ωy =

πny

L, Ωz =

πnz

L. (٣٦١)

اذن هي بها المسوح الطاقة قيم

E =h2π2

2mL2(n2

x + n2y + n2

z). (٣٦٢)

ب الطاقوية الفسحة نعرف •

ǫ0 =h2π2

2mL2. (٣٦٣)

كاالتي هي االولي العشرة الطاقوية المستويات

.(1, 1, 1) الحالة يوافق E = 3ǫ0 .(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) حاالت الثالث يوافق E = 6ǫ0 .(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1) حاالت الثالث يوافق E = 9ǫ0

.(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1) حاالت الثالث يوافق E = 11ǫ0 .(2, 2, 2) الحالة يوافق E = 12ǫ0

. تبديالتها و (1, 2, 3) حاالت الست يوافق E = 14ǫ0 .(2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2) حاالت الثالث يوافق E = 17ǫ0 .(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1) حاالت الثالث يوافق E = 18ǫ0 .(1, 3, 3), (3, 1, 3), (3, 3, 1) حاالت الثالث يوافق E = 19ǫ0

. تبديالتها و (1, 2, 4) حاالت الست يوافق E = 21ǫ0

نحسب PV = nRT الحالة معادلة من •

L =

(

RT

P

)1/3

=

(

8.315.273

105

)1/3

= 0.3m. (٣٦٤)

من واحدة ذرة كتلة فان بالتالي و غرام 4 هو الهيليوم من مول واحد كتلةهي الهيليوم

m =4.10−3

6.022.1023. (٣٦٥)

64

ب تعطي الطاقوية الفسحة

ǫ0 =h2

8mL2=

(6.63.10−34)2

8.m.(0.3)2= 91.91.10−42m

2kg

s2. (٣٦٦)

هي واحدة هيليوم لذرة المتوسطة الطاقة

< E >=3

2kT = 565.11J. (٣٦٧)

ب اذن تعطي nz و nx, ny الكمية االعداد عظم رتبة

nx, ny, nz ∼√

< E >

ǫ0∼ 1021. (٣٦٨)

الفسحة في تغير الي يؤدي الذي V الحجم في تغير يوافق الميكانيكي العمل •العكس. و تكبر الطاقوية الفسحة فان V الحجم تناقص اذا بالفعل الطاقوية.المستويات تغير عبر الجملة طاقة في تغير الي يؤدي الحجم في التغير اذن

ثابتة. (٥٤) االحتالل اعداد علي الحفاظ مع الطاقويةالجملة، طاقة في تغير الي يؤدي االنتروبي في التغير فان االخري الجهة منالحفاظ مع االحتالل اعداد تغير عبر حرارة، كمية عن هنا عبارة هو الذي

ثابتة. الطاقوية المستويات علي

الطاقوية المستويات علي الجسيمات توزريع عند امكانيات ثالث لدينا •:E = 18ǫ0 الطاقة علي للحصول المختلفة

علي الثاني الجسيم ،E = 3ǫ0 المستوي علي االول الجسيم وضع يمكن .E = 9ǫ0 المستوي علي الثالث الجسيم و E = 6ǫ0 المستوي

علي الثاني الجسيم ،E = 3ǫ0 المستوي علي االول الجسيم وضع يمكن .E = 12ǫ0 المستوي علي الثالث الجسيم و E = 3ǫ0 المستوي

علي الثاني الجسيم ،E = 6ǫ0 المستوي علي االول الجسيم وضع يمكن .E = 6ǫ0 المستوي علي الثالث الجسيم و E = 6ǫ0 المستوي

سبين و طبيعة علي يتعلق المختلفة الميكروسكوبية الحاالت عدد االنكاالتي: الجسيمات

: متمايزة الجسيمات

E = 9ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متمايزة جسيمات ثالث توزيع عند راجعة امكانية 1.3.3 و للجسيمات مختلفة و ممكنة تبديلة 3! لدينا فانهميكروسكوبية حالة 6.9 = هناك54 اذن الطاقوية. المستويات انحالل الي

الحالة. هذه فيE = 12ǫ0 و E = 3ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متمايزة جسيمات ثالث توزيع عند امكانية 1.1.1 و للجسيمات مختلفة و ممكنة تبديلة 3!/2! لدينا فانهحاالت 3.1 = 3 هناك اذن الطاقوية. المستويات انحالل الي راجعة

الحالة. هذه في ميكروسكوبيةE = 6ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 6ǫ0 علي متمايزة جسيمات ثالث توزيع عند امكانية 3.3.3 و للجسيمات مختلفة و ممكنة تبديلة 3!/3! لدينا فانهحالة 1.27 = 27 هناك اذن الطاقوية. المستويات انحالل الي راجعة

الحالة. هذه في ميكروسكوبية

occupation numbers.(٥٤)

65

: متطابقة بوزونات الجسيمات

E = 9ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة بوزونات ثالث توزيع عند االن التبديالت الن 3! علي سابقا المحصل العدد نقسم ان علينا فانهحالة 54/6 = 9 علي نحصل اذن متطابقة. الجسيمات ان بسبب مهمة غير

مختلفة. ميكروسكوبيةE = 12ǫ0 و E = 3ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة بوزونات ثالث توزيع عند غير االن التبديلة الن 3 علي سابقا المحصل العدد نقسم ان علينا فانهحالة 3/3 = 1 علي نحصل اذن متطابقة. الجسيمات ان بسبب مهمة

الحالة. هذه في ميكروسكوبيةE = 6ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 6ǫ0 علي متطابقة بوزونات ثالث توزيع عند من سابقا. عليها حصلنا التي ميكروسكوبية حالة 27 ال من ننطلق فانناهي مختلفة فعال هي التي الميكروسكوبية الحاالت االمكانيات هذه بينالمستوي علي الكمية الحالة نفس علي تقع الجسيمات كل يلي. كماالكمية الحالة نفس علي يقعان جسيمان حاالت. 3 :E = 6ǫ0 الطاقويمختلفة حالة علي يقع جسيم كل حاالت. 6 :E = 6ǫ0 المستوي علي

مختلفة. حاالت 10 هناك اذن واحدة. حالة :E = 6ǫ0 المستوي علي

لدينا الحالة هذه في : واحد يساوي سبين ذات متطابقة بوزونات الجسيماتاالتي: لدينا اذن مرة. كل مختلفة سبين حاالت ثالث

E = 9ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة بوزونات ثالث توزيع عند يصبح السبين اضافة عند مختلفة. ميكروسكوبية حاالت 9 لدينا فانه

ميكروسكوبية. حالة 9.3.3.3 = 243 الحاالت عددE = 12ǫ0 و E = 3ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة بوزونات ثالث توزيع عند الجسيمين فان السبين اضافة عند واحدة. ميكروسكوبية حالة لدينا فانهالجسيم اما مختلفة سبين حاالت 6 لهما E = 3ǫ0 المستوي عليحالة 6.3 = 18 لدينا يصبح اذن مختلفة. سبين حاالت 3 له فان االخر

ميكروسكوبية.و E = 6ǫ0 ،E = 6ǫ0 علي موزعة متطابقة بوزونات ثالث اجل من الثالث االمكانيات اجل من امكانيات. 3 + 6 + 1 = 10 لدينا كان E = 6ǫ0حاالت)، (ثالث السبين نفس لها يكون ان الجسيمات لكل يمكن االوليمختلف سبين له جسيم كل او حاالت) (ست السبين نفس لهما جسيمانالتالية الستة االمكانيات اجل من حالة. 3.10 تصبح 3 اذن واحدة). (حالةحاالت 6 لهما الكمية الحالة نفس علي يقعان اللذين الجسيمين فان6 اذن مختلفة. سبين حاالت 3 فله الثالث الجسيم اما مختلفة سبينمختلفة. سبين حالة 3.3.3 لدينا االخيرة االمكانية اجل من .6.3.6 تصبحميكروسكوبية. حالة 3.10+ 6.3.6 + 1.3.3.3 = 165 االجمال في لدينا اذن

لدينا الحالة هذه في : نصف يساوي سبين ذات متطابقة فرميونات الجسيماتنفس تحتل ان يمكن ال الفرميونات ايضا مرة. كل مختلفة سبين حالتي

االتي: لدينا اذن . (٥٥) لباولي االستبعاد مبدأ الكمية الحالة

E = 9ǫ0 و E = 6ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة فرميونات ثالث توزيع عند يصبح السبين اضافة عند مختلفة. ميكروسكوبية حاالت 9 لدينا فانه

ميكروسكوبية. حالة 9.2.2.2 = 72 الحاالت عدد

.Pauli(٥٥)

66

E = 12ǫ0 و E = 3ǫ0 ،E = 3ǫ0 علي متطابقة فرميونات ثالث توزيع عند الجسيمين فان السبين اضافة عند واحدة. ميكروسكوبية حالة لدينا فانهان يجب السبين الن واحدة سبين حالة لهما E = 3ǫ0 المستوي عليله فان االخر الجسيم اما لباولي االستبعاد مبدأ حسب هنا مقترنا يكونميكروسكوبية. حالة 1.2 = 2 لدينا يصبح اذن مختلفتين. سبين حالتي

و E = 6ǫ0 ،E = 6ǫ0 علي موزعة متطابقة فرميونات ثالث اجل من االمكانيات اجل من امكانيات. 6 + 1 = 7 لدينا يكون ان يمكن E = 6ǫ0لهما الكمية الحالة نفس علي يقعان اللذين الجسيمين فان االولي الستةحسب هنا مقترنا يكون ان اال يمكن ال السبين الن واحدة سبين حالةمختلفتين. سبين حالتي فله الثالث الجسيم اما لباولي االستبعاد مبدأسبين حالة 2.2.2 لدينا االخيرة االمكانية اجل من .6.2 تصبح 6 اذنميكروسكوبية. حالة 6.2 + 1.2.2.2 = 20 االجمال في لدينا اذن مختلفة.

:2 تمرين

•

E = ǫ0n2 , ǫ0 =

h2π2

2mL2. (٣٦٩)

•

|n1s1m1 > |n2s2m2 > |n3s3m3 > . (٣٧٠)

.|25ǫ0 > |ǫ0 > |ǫ0 > (B) ، |9ǫ0 > |9ǫ0 > |9ǫ0 > (A) امكانيتان: توجد كما هو الحاالت عدد فان سبين بدون متمايزة الجسيمات كانت اذا

.3 (B) ، 1 (A) يلي:هو الحاالت عدد فان s = 0 سبين ذات متطابقة الجسيمات كانت اذا

.1 (B) ، 1 (A) يلي: كماهو الحاالت عدد فان s = 1 سبين ذات متطابقة الجسيمات كانت اذالهما جسيمان ،(3) السبين نفس لها الجسيمات كل :10 (A) يلي: كمامختلفة كلها الجسيمات سبينات ،(6) مختلف االخر و السبين نفسسته لهما المستوي نفس علي يقعان اللذان الجسيمان :18 (B) ، (1)

سبين. حاالت ثالث له االخير الجسيم و سبين حاالتهو الحاالت عدد فان s = 1/2 سبين ذات متطابقة الجسيمات كانت اذااللذان الجسيمان :2 (B) ، لباولي االستبعاد مبدأ :0 (A) يلي: كماله االخير الجسيم و احدة و سبين حالة لهما المستوي نفس علي يقعان

سبين. حاالتي

:3 تمرين

ب تعطي الطاقة ان نعرف •

E =π2h2n2

2mL2. (٣٧١)

ب يعطي الحاالت عدد مباشرة

Φ(E) = n =L

πh

√2mE. (٣٧٢)

67

اذن

Ω(E) =dΦ

dEδE = n =

L

2πh

√

2m

EδE. (٣٧٣)

لدينا الكالسيكي الميكانيك في •

Φ(E) =1

h

∫

H≤E

dxdp

=2L

h

∫ p≤√2mE

0

dp

=2L

h

√2mE. (٣٧٤)

الكمي. الميكانيك في عليها حصلنا التي العبارة نفس هذه

نحسب :4 تمرين

Φ(E) =1

h3

∫

H≤E

dxdydzdpxdpydpz

=V

h3

∫

p2x+p2

y+p2z≤2mE

dpxdpydpz

=V

h34

3π(2mE)3/2. (٣٧٥)

Ω(E) =dΦ(E)

dEδE. (٣٧٦)

.2s+ 1 ب الحاالت عدد نضرب فاننا s سبين اضافة عند

:5 تمرين

ب تعطي الهاميلتونية .x1, p1, x2, p2, x3, p3 هي ابعاد سته له الطوري الفضاء •

H =p212m

+p222m

+p232m

. (٣٧٧)

•

Φ(E) =1

h3

∫

H≤E

dx1dx2dx3dp1dp2dp3

=L3

h3

∫

p2

1+p2

2+p2

3≤2mE

dp1dp2dp3

=L3

h34

3π(2mE)3/2. (٣٧٨)

•

Ω(E) =dΦ(E)

dEδE

=4πL3m

h3(2mE)1/2δE. (٣٧٩)

68

اثنين. في نضرب •

.2s+ 1 في نضرب •

.3! علي نقسم •

علي نحصل :8 تمرين

Φ(E) =L3

h34

3π√8m3E3/2 =

π

6(E/ǫ0)

3/2. (٣٨٠)

Ω(E) = 4πL3

h3

√2m3E1/2δE =

π

4(E/ǫ0)

1/2δE/ǫ0. (٣٨١)

العبارة من االنتروبي نحسب ان يمكننا بحيث كبير عدد N = 3 ان نتصور

S

k= lnΦ ⇒ S = k ln

π

6+

3k

2lnE

ǫ0. (٣٨٢)

بالعبارة تعطي الداخلية الطاقة

E = ǫ0e− 2

3ln π

6 e2S3k . (٣٨٣)

الترموديناميكية المقادير نحسب

T = (∂E

∂S)V,N =

2

3kE ⇒ E =

3

2kT. (٣٨٤)

P = −(∂E

∂V)S,N = −(

∂ǫ0∂V

)S,N1

ǫ0.E =

2

LE ⇒ PL = 2E = 3kT. (٣٨٥)

:9 تمرين

الهاميلتونية .p و x ب معطاة باحداثيات 2 هو الطوري الفضاء ابعاد عدد •ب تعطي

H =p2

2m+

1

2kx2. (٣٨٦)

هاميلتون معادالت

∂H

∂p=

p

m= x. (٣٨٧)

∂H

∂x= kx = −p. (٣٨٨)

زاوي بتواتر دورية الحركة اذن

Ω =

√

k

m. (٣٨٩)

69

بالحلول صراحة تعطي دورية الحركة

x = A cos(Ωt+ φ) , p = mx = −mAΩ sin(Ωt+ φ). (٣٩٠)

بالتالي نحسب

H =A2k

2⇒ A =

√

2H

mΩ2. (٣٩١)

•

Φ(E) =1

h

∫

H≤E

dxdp

=1

h

∫

p2/b2+x2/a2≤1

dxdp. (٣٩٢)

محاور بانصاف ناقص قطع مساحة علي اذن نحصل

a =

√

2E

k, b =

√2mE. (٣٩٣)

كاالتي تحسب x2/a2 + y2/b2 = 1 الناقص القطع مساحة

S =

∫ a

−a

dx

∫ b√

1−x2/a2

−b√

1−x2/a2

dy

= 2ba

∫ a

−a

dx

a

√

1− x2/a2

= 2ab

∫ π/2

−π/2

cosφdφ

= abπ. (٣٩٤)

هو الحاالت عدد اذن

Φ(E) =E

hΩ. (٣٩٥)

•

Ω(E) =δE

hΩ. (٣٩٦)

•

p∂H

∂p+ x

∂H

∂x= 2H. (٣٩٧)

اذن∫ E

0

2Hdpdx =

∫ E

0

p∂H

∂pdpdx+

∫ E

0

x∂H

∂xdpdx

=

∫ E

0

p∂(H − E)

∂pdpdx+

∫ E

0

x∂(H − E)

∂xdpdx

= −2

∫ E

0

(H − E)dpdx. (٣٩٨)

70

اذن

< H > =ddE

∫ E

0 Hdpdx

ddE

∫ E

0 dpdx

=ddE

∫ E

0(E −H)dpdx

ddE

∫ E

0dpdx

=

∫ E

0dpdx

ddE

∫ E

0 dpdx

=Φ

dΦ/dE

=1

d lnΦ/dE

=k

dS/dE

= kT. (٣٩٩)

العالقة اعاله استخدمنا

d

dx

∫ h(x)

0

f(x, y)dy =

∫ h(x)

0

∂

∂xf(x, y)dy + h

′

(x)f(x, h(x)). (٤٠٠)

:10 تمرين

ب تعطي مكعب داخل الطاقة •

E = ǫ0(n2x + n2

y + n2z). (٤٠١)

طاقويتان: تمثيلتان هناك االول للمكعب بالنسبة

منحل المستوي هذا الن .E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي الجسيمان : A ممكنة. ميكروسكوبية حالة 3.3 = 9 اذن لدينا مرات ثالث

المستوي علي االخر و E = 3ǫ0 المستوي علي الجسيمان احد : B لدينا مرات ثالث منحل E = 9ǫ0 و منحل غير E = 3ǫ0 الن .E = 9ǫ0

. الجسيمات تمايز الي راجع 2 حيث ميكروسكوبية حالة 3.2 = 6

.ΩI = 9 + 6 = 15 هو االول المكعب في الميكروسكوبية الحاالت عددثالث هناك اذن .E = 9ǫ0 المستوي علي يغع الجسيم الثاني للمكعب بالنسبة

.ΩII = 3 اي ميكروسكوبية حاالت.ΩI .ΩII = 15.3 = 45 هو الكلي الحاالت عدد فان ادياباتيكي الفاصل الجدار الن

االن تعطي الطاقة اسطح. متوازي يصبح الحجم فان الفاصل الجدار ننزع لما •ب

E =π2h2

2m(n2

x/L2x + n2

y/L2y + n2

z/L2z)

= ǫ0(n2x/4 + n2

y + n2z). (٤٠٢)

النه و 4 علي القسمة يقبل ال طبيعي عدد p حيث ǫ0p/4 تساوي طاقات هناك.21ǫ0 ل تجمع ان يمكن ال الطاقات هذه فان فردي) (عدد جسيمات ثالث لدينا

التالية: الطاقات لنا يتبقي

71

.(nx, ny, nz) = (2, 1, 1) :E = 3ǫ0 .(nx, ny, nz) = (2, 1, 2), (2, 2, 1), (4, 1, 1) :E = 6ǫ0 .(nx, ny, nz) = (2, 2, 2), (4, 1, 2), (4, 2, 1) :E = 9ǫ0

.(nx, ny, nz) = (2, 3, 1), (2, 1, 3) :E = 11ǫ0 .(nx, ny, nz) = (4, 2, 2) :E = 12ǫ0

.(nx, ny, nz) = (2, 3, 2), (2, 2, 3) :E = 14ǫ0

.(nx, ny, nz) = (2, 4, 1), (2, 1, 4) :E = 18ǫ0

ممكنة: طاقوية تمثيالت ثالث هناك اذن

المستوي علي االخر و E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيمان : A امكانيات، ثالث له E = 9ǫ0 المستوي علي الجسيم .E = 9ǫ0 الطاقويالجسميات تمايز امكانياتو تسعة Eلهما = 6ǫ0 المستوي علي الجسيمانحالة 3.9.3 = 81 هناك اذن ثالثة. يساوي ضرب معامل الي يؤدي

ممكنة. ميكروسكوبيةE = 6ǫ0 المستوي علي الثاني الجسيم ،E = 3ǫ0 المستوي علي جسيم : B E = 3ǫ0 المستوي علي الجسيم .E = 12ǫ0 المستوي علي الثالث وامكانيات، ثالث له E = 6ǫ0 المستوي علي الجسيم واحدة، امكانية لهالجسيمات تمايز و واحدة امكانية له E = 12ǫ0 المستوي علي الجسيم

ميكروسكوبية. حالة 6.1.3.1 = 18 لدينا اذن .3! الي يؤديالمستوي علي االخر و E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيمان : C تسعة لهما E = 9ǫ0 المستوي علي الجسيمان .E = 3ǫ0 الطاقويتمايز و واحدة امكانية له E = 3ǫ0 المستوي علي الجسيم امكانيات،3.9.1 = 27 هناك اذن ثالثة. يساوي ضرب معامل الي يؤدي الجسميات

ممكنة. ميكروسكوبية حالة

الحاجز رفع عند يزداد الحاالت عدد .81+ 18+ 27 هو االجمالي الحاالت عدداالدياباتيكي.

:11 تمرين

المستوي علي الجسيمان (A) طاقويتان: تمثيلتان لدينا االولي للعلبة بالنسبة •ميكروسكوبية. حالة 3.3 = 9 هناك اذن مرات. ثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقويجسيم و مرات ثالث المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم (B)3.2 = 6 هناك اذن المنحل. غير E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي عليهو االول للمكعب بالنسبة االجمالية الحاالت عدد ميكروسكوبية. حالة

.ΩI = 9+ 6 = 15

علي الجسيمان (A) طاقويتان: تمثيلتان ايضا لدينا الثانية للعلبة بالنسبةحالة 3.3 = 9 هناك اذن مرات. ثالث المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستويثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم (B) ميكروسكوبية.هناك اذن المنحل. غير E = 12ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم و مراتالثاني للمكعب بالنسبة االجمالية الحاالت عدد ميكروسكوبية. حالة 3.2 = 6

.ΩII = 9 + 6 = 15 هوميكروسكوبية. حالة Ω = ΩI .ΩII = 15.15 = 225 هو الكلي الحاالت عدد

العكس. و EII = 24ǫ0 ، EI = 6ǫ0 (A) يلي: كما الطاقة تتوزع ان يمكن •و EII = 18ǫ0 ، EI = 12ǫ0 (C) العكس. و EII = 21ǫ0 ، EI = 9ǫ0 (B)

.EII = 15ǫ0 ، EI = 15ǫ0 (D) العكس.

72

(حالة E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي الجسيمان االولي: العلبة :(A) E = 12ǫ0 الطاقوي المستوي علي الجسيمان الثانية: العلبة واحدة).ثالث المنحل E = 18ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم واحدة)، (حالةثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي االخر الجسيم و مراتالمنحل E = 21ǫ0 الطاقوي المستوي عي جسيم حاالت)، (تسعة مراتحالة). 12) E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي االخر الجسيم و مرات ستة

حالة. ΩA = Ω1.Ω2.2 = 1.31.2 = 62 هناك اذنو E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم االولي: العلبة :(B)

ستة ) مرات ثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيمجسيم و E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم الثانية: العلبة حاالت).حاالت)، (ستة مرات ثالث المنحل E = 18ǫ0 الطاقوي المستوي عليالجسيم و مرات ثالثة المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي عي جسيمهناك اذن حاالت). (ستة E = 12ǫ0 الطاقوي المستوي علي االخر

حالة. ΩB = Ω1.Ω2.2 = 6.12.2 = 144

جسيم و E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم االولي: العلبة :(C)حاالت)، ستة ) مرات ثالث المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي علي(تسعة مرات ثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي الجسيمانجسيم و E = 12ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم الثانية: العلبة حاالت).حاالت)، (ستة مرات ثالث المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي(تسعة مرات ثالثة المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي عي الجسيمان

حالة. ΩC = Ω1.Ω2.2 = 15.15.2 = 450 هناك اذن حاالت).المنحل E = 6ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم االولي: العلبة :(D)ثالث المنحل E = 9ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم و مرات ثالثعلي جسيم و E = 3ǫ0 الطاقوي المستوي علي جسيم حالة)، 18 ) مراتاذن التعداد. نفس الثانية: العلبة (حالتان). E = 12ǫ0 الطاقوي المستوي

حالة. ΩD = Ω1.Ω2 = 20.20 = 400 هناكهو الميكروسكوبية للحاالت االجمالي العدد

Ω = ΩA +ΩB +ΩC +ΩD = 62 + 144 + 450 + 400 = 1056. (٤٠٣)

حالة اي علي الحصول احتمال فان االحتمال تساوي مسلمة حسبهو ميكروسكوبية

P = 1/1056. (٤٠٤)

االحتماالت ايضا نحسب

P (EI = 6ǫ0) = 31/1056 , P (EI = 9ǫ0) = 72/1056

P (EI = 15ǫ0) = 400/1056 , PI(EI = 12ǫ0) = 225/1056.

(٤٠٥)

:12 تمرين

بالتجزئة. المكاملة •

السابق. السؤال في عليها برهنا التي الخاصية استخدم •

73

العالقات الي يؤديان x = az2 المتغير تغيير و بالتجزئة المكاملة •

(1/2)! = Γ(3/2) =1

2

∫ ∞

0

x−1/2e−xdx

= −a3/2 dda

∫ +∞

−∞dze−az2

= −a3/2 dda

(√πa−1/2)

=1

2

√π. (٤٠٦)

اذن

(3/2)! = (1/2)Γ(1/2) =√π/4. (٤٠٧)

المحاضرة. الي انظر •

74

النظرية و القانونية المجموعةللغازات الحركية

75