2015年上海市文科试题（注：点击下载或全屏查看效果更好）一．填空题（本大题共 14小题，满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数 的 最小正周期为 【答案】

【解析】因为 ，所以 ，所以函

数 的最小正周期为 .

【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.

2.设全集 .若集合 ， ，则 【答案】

【考点定位】集合的运算.

3.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则

【答案】

xxf 2sin31)(

xx 2cos1sin2 2 xxxf 2cos

23

21)2cos1(

231)(

)(xf

22

RU }4,3,2,1{A }32|{ xxB )( BCA U

}4,1{

z izz 13 i z

i21

41

【考点定位】复数的概念，复数的运算.

4.设 为 的反函数，则

【答案】

【 解 析 】 因 为 为 的 反 函 数 ， ， 解 得 ， 所 以

.【考点定位】反函数，函数的值.

5.若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 【答案】16

【 解 析 】 由 题 意 ， 是 方 程 组 的 解 ， 所 以 ， 所 以.

【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.

6.若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 【答案】4

【解析】依题意， ，解得 .

【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.

7.抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为 1，则 【答案】2

【解析】依题意，点 为坐标原点，所以 ，即 .

)(1 xf 12

)(

xxxf )2(1f

32

)(1 xf 12

)(

xxxf 2

12

xx

32

x

32)2(1 f

02

13

2

1

cc

53

yx

21 cc

53

yx

2

132cy

cyx

521

2

1

cc

1652121 cc

a 316 a

31623

21

aaa4a

)0(22 ppxy Q p

Q 12

p

2p

【考点定位】抛物线的性质，最值.

8. 方程 的解为 【答案】2

【考点定位】对数方程.

9.若 满足 ，则目标函数 的最大值为 【答案】3

【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.

10. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则

2)23(log)59(log 12

12 xx

yx,

020

yyxyx

yxz 2

不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.

【答案】120

【考点定位】组合，分类计数原理.

11.在 的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.

【答案】240

【解析】由 ，令 ，所以 ，所以常数项为 .

【考点定位】二项式定理.[来源:学科网]

12.已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 的方程为

【答案】

62 )12(x

x

rrrrrrr xC

xxCT 366

626

61 2)1()2(

036 r 2r

2402426 C

1C 2C 1C1

42

2

yx2C

1C 2C

144

22

yx

【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.

13.已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大值是 【答案】

【考点定位】平向量的模，向量垂直.

14.已知函数 .若存在 ， ， ， 满足 ，且，则 的最

小值为 【答案】8

【 解 析 】 因 为 函 数 对 任 意 ， ，，

a b c ba }3,2,1{|}||,||,{| cba || cba

53

xxf sin)( 1x 2x mx 60 21 mxxx

12|)()(||)()(||)()(| 13221 mm xfxfxfxfxfxf ),2( Nmm m

xxf sin)( ix jx ),,3,2,1,( mji

2)()(|)()(| minmax xfxfxfxf ji

欲 使 取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 的 让 取 得 最 高 点 ， 考 虑，

按 下 图 取 值满足条件，所以 的最小值为 8.

【考点定位】正弦函数的性质，最值.

二．选择题（本大题共 4小题，满分 20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）.

A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A

【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.

m ),,3,2,1( mixi

60 21 mxxx

12|)()(||)()(||)()(| 13221 mm xfxfxfxfxfxf ),2( Nmm

m

1z C2z 1z 2z 21 zz

16. 下列不等式中，与不等式 解集相同的是（ ）.

A. B.

C. D. 【答案】B

【 解 析 】 因 为 ， 可 能 是 正 数 、 负 数 或 零 ， 所 以 由

可 得 ， 所 以 不 等 式 解 集 相 同 的 是，选 B.

【考点定位】同解不等式的判断.

17. 已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原 点 逆时针旋转 至 ，则点 的纵坐标为（ ）.

A. B. C. D. 【答案】D

【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.

232

82

xx

x

2)32)(8( 2 xxx )32(28 2 xxx

82

321

2

xxx 21

8322

xxx

022)1(32 22 xxx 8x

)32(28 2 xxx 232

82

xx

x 232

82

xx

x

)32(28 2 xxx

A )1,34( OA O 3

OB B

233

235

211

213

18. 设 是直线 与圆 在第一象限的交点，则极限

( ) .

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为 是直线 与圆 在第一象限的交点，

而 是经过点 与 的直线的斜率，由于点 在圆 上.因为

，所以 .

【考点定位】圆的切线，极限.

三．解答题（本大题共 5题，满分 74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分 12 分）如图，圆锥的顶点为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中点， 为劣弧 的中点.已知 ， ，求三棱锥 的体积，并求异面直线 与 所成角的大小.

),( nnn yxP )(1

2

Nnnnyx 222 yx

11lim

n

n

n xy

1 21

1 2

),( nnn yxP )(1

2

Nnnnyx 222 yx

11

n

n

xy

),( nnn yxP )1,1(A )1,1(A 222 yx

1OAk 11lim

n

n

n xy

11

OAk

P AB C AB

E CB 2PO 1OA AOCP

PA OE

【答案】

【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.

20.（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.

已知函数 ，其中 为实数.

（1）根据 的不同取值，判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）若 ，判断函数 在 上的单调性，并说明理由.

1010arccos

xaxxf 1)( 2

a

a )(xf

)3,1(a )(xf ]2,1[

【答案】（1） 是非奇非偶函数；（2）函数 在 上单调递增.

【考点定位】函数的奇偶性、单调性.

21.（本小题 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.

如图， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 8 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地； 时，乙到达 地.

（1）求 与 的值；

)(xf )(xf ]2,1[

QPO ,, 5OQ 3OP 4PQ

O Q t )(tf

OQ OPQ Q

1tt P

1t )( 1tf

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 时，求 的表达式，并判断在 上得最大值是否超过 3？说明理由.

【答案】（1） ， 千米；（2）不超过了 3 千米.

【 解 析 】 （ 1 ） 根 据 条 件 知 ， 设此时 甲 到达 A 点 ， 并连接 ， 如 图 所 示 ， 则

，所以在 中，由余弦定理得

（千米）.

（2）可求得 ，设 小时后，且 ，甲到达了B 点，乙到达了C 点，如图所示，

所以 ， ，

21 ttt )(tf

)(tf ],[ 21 tt

h83

8413

所以在 中，

由余弦定理 ，

所以 ， ，

设 ， ，

因为函数 的对称轴为 ，且 ， ，

所以 得最大值为 ，此时 的最大值为 ，所以 在 上得最大值不超过 3.

【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.

22.（本题满分 14 分）本题共 3个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.

已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，设的面积为 .

（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明；[来源:学。科。网]

（2）设 ， ， ，求 的值；（3）设 与 的斜率之积为 ，求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变.

【答案】（1）详见解析；（2） 或 ；（3） .

],[ 21 tt

12 22 yx 1l 2l A B C D

AOC S

),( 11 yxA ),( 22 yxC A C C 1l

||2 1221 yxyxS

kxyl :1)

33,

33(C

31

Sk

1l 2l m m 1l 2l S

1k 51

k21

m

（3）设 ，则 ，设 ， ，

由 ，的 ，

同理 ，

kxyl :1x

kmyl :2 ),( 11 yxA ),( 22 yxC

12 22 yx

kxy2

21 21

1k

x

22

2

2

22 2)(21

1mk

k

km

x

由（1）知，[来源

:Z.xx.k.Com]

，整理得 ，由题意知 与 无关，

则 ，解得 .

所以 .

【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

23.（本题满分 16 分）本题共 3 小题.第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分.

已知数列 与 满足 ， .

（1）若 ，且 ，求数列 }{ na 的通项公式 ； （2）设 }{ na 的第 项是最大项，即 ，求证：数列 的第 项是最大项；

（3）设 ， )N( n ，求 的取值范围，使得对任意 ， ，，且

.

【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） .

||||||

21||

21||

21

21

2

1211

1221 xxkmkkxx

kmxxyxyxS

222

2

2212

||

mkk

mk

0)18()2164()18( 22222242 mSkmmSSkS

S k

02164

018222

2

mmSS

S

21812

m

S

21

m

Nn

)0,41(

【解析】（1 ）因为 )(2 11 nnnn bbaa ， 53 nbn ，所以 )(2 11 nnnn bbaa ，所以 }{ na 是等差数列，首项为 ，公差为 6，即 .

（2）由 ，得 ，所以 为常数列， ，即 ，因为 ， ，所以 ，即 ，所以 的第 项是最大项.

)(2 11 nnnn bbaa nnnn baba 22 11

}2{ nn ba 11 22 baba nn 11 22 baba nn

nn aa 0

Nn

1111 22220

babbab nn nn bb 0

}{ nb 0n

【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.