integraalrekening 2 les 4 dt gv alst
TRANSCRIPT
Doelen
• Paragraaf 7.4: breuksplitsing: vervolg.• Paragraaf 7.5: overzicht van de methoden
die we tot nu toe gehad hebben.
Elke les: 5 minuten met 5 vragen over standaardafgeleiden en standaardintegralen
• 1. Wat is de afgeleide van ?• 2. Bereken de afgeleide van • 3. Wat is de primitieve van ?• 4. Wat is de primitieve van ?• 5. Wat is de primitieve van ?
Par. 7.3 (2)
• We hebben nu een voorbeeld van de eerste substitutie gezien. De andere twee substituties doen we niet.
De techniek van breuksplitsing.
• Stel waarbij en polynomen zijn.• Dan:• 1. Als de graad van P groter of gelijk is
aan de graad van Q: deel dan uit.• 2. Zoek de nulpunten van Q(x) en ontbind
Q(x) zoveel als mogelijk is.• We onderscheiden verschillende gevallen.
De techniek (2)
• Geval 1: Q(x) is product van verschillende lineaire factoren.
• Geval 2: Q(x) is product van lineaire factoren, maar er zitten dezelfde tussen.
• Geval 3: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele (enkelvoudige) kwadratische factoren.
• Geval 4: Q(x) is product van lineaire factoren en irreducibele meervoudige kwadratische factoren. Dit geval hoeven jullie niet te kennen.
Voorbeelden:
• Geval 1: Q(x)=(x-2)(x+3).• Geval 2: Q(x)=x2(x+4).• Geval 3: Q(x)=(x-1)(x+1)(x2+1). Een
irreducibele factor is een factor zonder dat die verder te ontbinden is: x2+1 heeft geen nulpunten (ga na!), en is dus niet verder te ontbinden.
• Geval 4: Q(x)=(x2+1)3.
Geval 2.
• Bijvoorbeeld: Q(x)=x(x-1)2.• Dan: .• Daarna verder uitwerken: A, B, C vinden. • Dan kunnen we de gevonden functie
integreren.
Geval 3.• Bijvoorbeeld: • Dan Q(x)=x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1).• Dan: .• Daarna verder uitwerken en A,B,C,D
vinden: • Uitwerken of getallen invullen (-1,0,1,2
bijv).
Geval 3, vervolg.
• Er volgt als je uitwerkt (en niet invult):• 0=A+B+C, • 0=A-B+D,• 4=A+B-C,• 12=A-B-D.• Hieruit volgt: A+B=-C invullen:C=-2, en • A-B=-D invullen: D=-6. Dan volgt: A=4 en
B=-2.
Uitleg.
• We kijken naar: en naar.• We zien dat zowel als niet te ontbinden
zijn (geen nulpunten, discriminant is negatief).
• Hoe kunnen we deze integralen berekenen?
Paragraaf 7.5 (2)
• 1. Vereenvoudig of schrijf anders. Bijvoorbeeld: of
• 2. Kijk of je substitutie kunt toepassen. Bijv.
• 3. Kijk naar de vorm:– waarbij en polynomen zijn: volg de
procedure uit paragraaf 7.4.
Paragraaf 7.5 (3)
• Vervolg “kijk naar de vorm”:– : volg de procedure uit paragraaf 7.2 (blz. 473)– Indien er in de integraal staat en substitutie is
niet mogelijk: probeer dan – Kijk of partiële integratie mogelijk is.
• Indien het niet gelukt is, kan “herschrijven, anders schrijven” misschien helpen. Zie voorbeelden boek.
• P.S. er zijn ook functies die simpelweg niet integreerbaar zijn!