integral.em

www.easymaths.hu INTEGRLS SSZEFOGLAL a matek vilgos oldala Mosczi Andrs

1

INTEGRLS SSZEFOGLAL

Ez a kis sszefoglal azokat az integrlsi mdszereket tartalmazza, amikre egy vizsgn szksg lehet. A mdszerek gy vannak csoportostva, hogy a legegyszerbbtl indulnak a bonyolultabbak fel, gy, mint valamifle hasznlati utasts. Nem mkdik a TV: Nzze meg, hogy be van-e dugva. Ha igen, nzze meg, hogy valban bekapcsolta-e, esetleg nem merlt-e le az elem a tvirnytban, j csatornt vlasztott-e, akar-e egyltaln TV-t nzni, stb.

Nos gy megy ez az integrlsnl is. Ha van egy feladat sajnos lesz amit nem tudunk megoldani, lpsrl lpsre vgig kell menni a mdszereken(lsd. 2.oldal), amg meg nem talljuk a megfelelt. Ha trtet kell integrlni, akkor pldul nem hlyesg a trtre vonatkoz mdszerekkel prblkozni, ezek a T1, T2, T3 s gy tovbb. Szorzatokra az S1, S2, stb. A mdszerek rvid ttekintse a kvetkez oldalon tallhat, mg a tovbbi oldalakon ezen mdszerek rszletes lersa szerepel majd. J szrakozst!

ALAPINTEGRLOK

11

1

nhacn

xdxx

nn

cxdxxln

1

cedxexx cxxxxdx lnln

caa

dxax

x

ln

cxxdx sincos cxtgxdx cosln

cxxdx cossin cxctgxdx sinln

ctgxdxx2cos1

cctgxdxx2sin1

carctgxdx

x21

1

cxdxx

arcsin1

1

2

cchxshxdx

carshxdxx 1

1

2

cshxchxdx

carchxdxx 1

1

2

cthxdxxch21

ccthxdxxsh21


2

INTEGRLSI SZABLYOK

I. fcfc

II. gfgf

III.

c

f

c

f

IV. szablynincsgf AZ ALBBI MDSZEREKET ALKALMAZHATJUK SZORZAT INTEGRLSRA: S1 Ha a szorzs elvgezhet, akkor vgezzk el, s utna integrljunk. S2 Ha egy fggvny meg van szorozva a sajt derivltjval, vagy a fggvny valamely hatvnya van megszorozva az eredeti fggvny derivltjval:

1

1fff

S3 Parcilis integrls:

gfgfgf S4 Ha a szorzat egyik tnyezje sszetett fggvny, a msik tnyez pedig a bels

fggvny derivltja: ))(()())(( xgFxgxgf

V. szablynincsgf

AZ ALBBI MDSZEREKET ALKALMAZHATJUK TRT INTEGRLSRA: T1 Prblkozzunk a trt fldarabolsval.

T2 Ha a szmllban a nevez derivltja szerepel, akkor: ff

fln

T3 Ha a nevez egy fggvny valamely hatvnya, a szmll pedig ezen fggvny derivltja:

1

1f

f

f

T4 A trtbl csinljunk szorzatot. Ezek utn lsd. szorzat integrlsa. gf

g

f 1

S4 Specilis esetei T5 Racionlis trtfggvnyek integrlsa Helyettestses integrls

VI. szablynincsgf S4 Ha a szorzat egyik tnyezje sszetett fggvny, a msik tnyez pedig a bels fggvny derivltja: ))(()())(( xgFxgxgf Helyettestses integrls


3

NHNY HASZNOS TIPP A MDSZEREKHEZ

AZ INTEGRLSBAN SZEREPEL: gyks iz

A gyk alatti kifejezs lineris

7

2

x

x

Ebben az esetben rdemes helyettestssel prblkozni:

tkifejezsvalami

A gyk alatti kifejezs nem lineris

xx

x

7

12

2

Ilyenkor ltalban rdemes trni a gyks izt

n

valamivalamin1

s utna mr vagy

ff

S2 vagy f

f T3

AZ INTEGRLSBAN SZEREPEL: xln vagy xalog

dxx

x

ln

trjuk a trtet

dxx

xdxx

x 1ln

ln

ami mr megoldhat, hiszen ff S2

dxx

x

ln

trjuk a trtet

dxxxdx

x

x

lnln

ami mr parcilis integrls S3.

Minden dxxxln tpus integrls

parcilis integrls.

Kivtelt jelentenek a

f1 ; f=cos2t

f1 ; f=sh2t

1f ; f=ch2t

helyettestsek


4

AZ INTEGRLSBAN

SZEREPEL: valamie

valamia valamicos valamisin

A kitev vagy az argumentum (a valami) lineris.

xex 2

xex 458 532 xex

)76sin( xx xx 2cos

)34sin( xx )3cos( xx

423 )1( xexx

Ilyenkor mindig parcilis integrlssal S3 kell integrlni.

A kitev vagy az argumentum (a valami) nem lineris.

2xex

325 xex

xe

x

1

123xex

)2cos()1(2 xxx )6sin(2 32 xxx

Ilyenkor ez biztosan nem parcilis integrls,

hanem ))(()())(( xgFxgxgf vagyis S4.

cbxax

BAx2

tpus racionlis trtfggvny integrlsa

Ha a nevezt szorzatt lehet alaktani, akkor alaktsuk szorzatt, majd bontsuk fl parcilis trtekre

dxxx

xdx

xx

x

42

22

86

222

2ln4ln32

1

4

3

xxdxxx

Ha a nevezt nem lehet szorzatt alaktani, akkor alaktsuk ki a szmllban a nevez derivltjt, aztn daraboljunk:

arctgf

f

dxxx

dxxx

x

106

4

106

2222

62x

dxxx

dxxx

x

106

4

106

6222

dx

xdx

xx

x

13

14

106

6222

)3(4106ln 2 xarctgxx


5

A LINERIS HELYETTESTS

Ha cxFdxxf )()( akkor cabaxFdxbaxf

1)()(

Itt x helyre egy lineris kifejezst helyettestettnk, ezrt hvjk a ttelt lineris helyettestsnek. Fontos megjegyeznnk, hogy a mdszer ahogyan ez a nevben is benne

van csak lineris helyettestsek esetn alkalmazhat, teht, ha a bels fggvny ax+b alak. Ha a bels fggvny nem ilyen, akkor ltalban az S4 lesz remnyteli mdszer.

PLDK:

PL.1. cxdx

x 2

132ln

32

1 mert cxdxx

ln1

PL.2. cedxe xx

3

15353 mert cedxe

xx

PL.3. cxdxx 61

)56sin()56cos( mert cxxdx sincos

PL.4. cxtgdx

x 5

1)25(

)25(cos

12

mert ctgxdxx2cos1

PL.5. cedxe xx

2

122 mert cedxe

xx

PL.6.

cx

dxx6

1

8

)56()56(

87

mert cx

dxx8

87

PL.7 cedxexx

444 mert cedxexx

PL.8

cedxe

xx

2

33

52

3

52

mert cedxexx


6

SZORZATOK INTEGRLSA

S1 Ha a szorzs elvgezhet, akkor vgezzk el, s utna integrljunk

PL.1. dxxxxxxdxxxxx )2()1()(2345232

PL.2. dxxxxxxdx

xxx )

11()1

1()1( 23532

S2 Ha egy fggvny meg van szorozva a sajt derivltjval, vagy a fggvny valamely hatvnya van megszorozva az eredeti fggvny derivltjval, akkor:

1

1fff

Vannak olyan esetek, amikor ez rnzsre ltszik.

PL.1. cx

dxx

x2

ln1ln

2

PL.2. cx

dxx

x4

ln1ln

43

PL.3. cxx

dxxxxx

5)1(

)23()1(523

2423

s vannak olyan esetek is, amikor bele kell fektetnnk egy kis energit, hogy a feladat

1

1fff alakot ltsn.

Ennek rdekben konstansokkal oszthatunk, vagy szorozhatunk. Itt van pldul ez:

dxxxxx )()32( 2423 Beazonostjuk, hogy ki lehet az f tnyez, megllaptjuk, hogy 423 )32( xxf gy

23 32 xxf s xxf 66 2 Ltszik, hogy a feladatban nem ezzel van szorozva, viszont

az is ltszik, hogy kell neki egy 6-os szorz s mr j is.

cxx

dxxxxxdxxxxx

5)32(

6

1)()32()()32(

52324232423

666

1

PLDK:

PL.1. cxx

dxxxxxdxxxxx

10)64(

12

1)()64()()64(

102329232923

121212

1

PL.2. cex

dxexexdxexexx

xxxx

5

6

)103(

3

1)()103()(103

5

6

325

1

325 3 333

1

PL.3. cex

dxexcdxexexx

xxx

8)7(

5)2()(5)510()7(82

772


7

S3 PARCILIS INTEGRLS

gfgfgf

Tipikusan parcilis integrlssal kiszmthat integrlok azok, ahol x-hatvny van megszorozva egy hres fggvnnyel, vagyis:

xex

xex2 xx sin xx cos xx ln xexx )1( 3

xx 5 xxx 4)( 2

xxx ln)(67

Ezeken kvl tipikusan parcilis integrls az is, amikor a hres fggvny egy lineris

helyettestse van szorozva x hatvnnyal, vagyis:

xex 2

xex 4 532 xex )76sin( xx xx 2cos )34sin( xx )3cos( xx

423 )1( xexx

xx 5 xx 23

327 xx xxx 32 4)(

Ugyanakkor tipikusan nem parcilis integrlsok azok, ahol a helyettests nem lineris, vagyis

2xex

xxx 22

5)1( x

ex

1

123xex )2cos()1(

2 xxx )sin( 2 xx

ezekben az integrlsokban a bels fggvny nem lineris. Ilyenkor sosem vezet clra a parcilis integrls, ltalban az S4 a clravezet. Vagyis jegyezzk meg, hogy a

valamiehatvnyx )(

va l a miahatvnyx )( )cos()( valamihatvnyx stb. esetekben az dnti el, hogy parcilisan integrlunk-e vagy sem, hogy a kitev, vagy az argumentum a valami lineris kifejezs-e vagy sem. Ha lineris, akkor parcilisan integrlunk, ha nem, akkor ltalban S4-gyel.

SZEREPOSZTS:

A parcilis integrlsnl gy kell kiosztani a szerepeket, hogy a szorzatban szerepl x hatvnyt kell f-nek nevezni s a msikat g-nek. A parcilis integrls sorn gy az x hatvny foka eggyel cskken. Emiatt van az, hogy a siker rdekben mindig annyiszor kell

parcilisan integrlni egy kifejezst, amekkora abban az x hatvnyok kzl a legnagyobbnak a kitevje. Fontos kivtel azonban, ha a szorzatban lnx, logax arctgx, arcsinx, arccosx szerepel.

Ilyenkor ugyanis az eddigiekkel ellenttben azt kell f-nek nevezni!

Plda parcilis integrlsra

cexedxexedxexedxex xxxxxxx 1 f=x

g=ex

f=1 g=ex

Ha persze a szorzatban pldul lnx szerepel, az kivtel:

cx

xx

dxx

xx

dxx

xx

xxdxx 4

ln22

ln22

1ln

2ln

22222

xf ln xg

xf

1

2

2xg


8

A kivtelben megemltett fggvnyeket szintn parcilisan lehet integrlni, mghozz gy, hogy

xln1 xalog1 arctgx1 xarcsin1 pldaknt nzznk meg egyet:

cxxxdxxxdxxxxxxdxxdx ln1ln

1lnln1ln

Hasonl a helyzet ezekkel is:

x2ln x

3ln xarctg2

x4arcsin

Ezeket is mind gy kell felrni, hogy )(1 fggvnya

A felsoroltakon kvl akkor rdemes mg parcilis integrlssal prblkozni, ha olyan szorzattal llunk szemben, aminek egy rszt tudjuk integrlni.

S4 Ha a szorzat egyik tnyezje sszetett fggvny, a msik tnyez pedig a bels fggvny derivltja, az remnyteli:

))(()())(( xgFxgxgf

Ez a ttel tulajdonkppen az sszetett fggvnyek integrlsrl szl, m ez mg sincs teljesen gy. Az a helyzet, hogy pusztn maguknak az sszetett fggvnyeknek az integrlsa elg remnytelen vllalkozs. Nem rendelkezik pldul elemi primitvfggvnnyel az albbi integrlokban szerepl fggvnyek kzl egyik sem:

2xe

xx 225 13xe )cos(

2x )sin( 2 x )2cos(2 xx

A helyzetnk akkor vlik remnyteliv, ha ezek a fggvnyek meg vannak szorozva a bels fggvnyeik derivltjval, ekkor ugyanis a fenti ttel hasznlhat.

PLDK:

PL.1. CxxdxxxxS

2cos2sin)22(2

42

PL.2. CdxxxS

x

7ln7

7314

12

3

3

PL.3. CxxdxxxxS

)sin()cos()13(3

432

PL.4.

Cxarctgxdx

xdx

x

x S

)(2

1

1

1

2 24

224

S4 nhny specilis esete

ff efe aa

faf

f

ln

arctgff

f

21

ff

farcsin

1 2


9

PL.5. Cedxex xxxx 33 2232

PL.6. Cedxex xx 33 7723

PL.7. CdxxxxS

xx

5ln5

514

2

224

2

PL.8.

Cxarctgdxx

xdx

x

x S

)(

3

1

1

3

3

1

1

34

23

2

6

2

PL.9. Cxarctgxx

dxx

x S

)(sincos

sin1

1

sin1

cos 4

22

PL.10.

Cxarctgx

xxdxx

x S

)(sin

sin1

cossin2

sin1

2sin 24

224

Itt is termszetesen elfordulhat, hogy bele kell fektetnnk nmi munkt az

))(()())(( xgFxgxgf alak elrshez. ltalban kt lehetsg van. A knnyebbik, amikor csak konstansban tr el az integrland fggvny a remnyteli llapottl, a msik,

amikor mr x-et tartalmaz tnyezk is eltrnek.

Ha csak konstansbeli eltrs mutatkozik, az knnyen megoldhat: PLDK:

PL.1. cedxexdxex xxxxxx 222 222

2

1)()1( 22

2

1

PL.2. cdxxdxxx

xx

7ln7

4

177

11313

4

44

44

1

PL.3. cedxexdxex xxx

222

2

12

2

1

A msik lehetsg, ha a bels fggvny derivltja nem csak konstansban tr el a vrttl,

hanem x-et tartalmaz tagban is. Ilyenkor alkalmazhatjuk a parcilis integrlst nha a helyettestses integrlst. Nzznk egy pldt!

dxex x 23

esetben pldul a bels fggvny derivltja 2x, m sajnlatos mdon a szorz

x3. Alaktsuk ht gy, hogy a szorz valban 2x legyen. A maradkot termszetesen nem

vihetjk ki az integrl el, hiszen az x-et is tartalmaz, de itt jn segtsgnkre a parcilis integrls.

dxx

dxex x

2

23 2

2xe2x

A vastagtott rszt direkt gy csinltuk, hogy alkalmazhassuk r az S4-et, gy a parcilis integrls sorn ez a rsz lesz majd, amit integrlunk, mg a maradk az, amit derivlunk:

2

2xf

2

2 xxeg

xf 2xeg

dxexex

dxx

dxex xxx 222

22

223 2x

e2x a megmarad integrls szintn S4, ha x

helyett 2x van:

ce2

1e

2

xdxe2x

2

1e

2

x 2222 xx2

xx2

dxexex

dxx

dxex xxx2222

22ex2

22x3


10

Egy msik plda, amikor S4 alkalmazshoz elbb jelents talaktsokat kell vgezni

dxe x

Itt a bels fggvny x aminek a derivltja x2

1 s ezzel kne legyen megszorozva

xe .

De mivel nincs, ezrt gondoskodunk rla, hogy legyen:

dxxdxe x 2 x

ex2

1

A kapott szorzatot parcilisan integrljuk. Az integrls sorn a vastagtott rszt nevezzk g-nek, hiszen ezt szeretnnk integrlni, mg a msikat f-nek. A szerepek:

xf 2 xex

g2

1

xf

1

xeg

dxex

exdxxdxe xxx 1

22xex2

1

ahol a maradk integrls ppen S4:

Kedxex

dxex

xxx 22

12

1

NHNY TRKKS ESET:

I. cxarctgdxx

xdxxxx

ln1ln

1

ln

122

II. cearctgdxe

e xx

x

21

III.

carctgdxdx xx

X

X

X

22ln

1

21

2ln2

2ln

1

41

22

IV.

cxtgarctgdxxtg

xtgx

dx

x

x

x

x

dxxx

xx

2

22

2

4

4

3

441

cos

12

1cos

sin

cos

sin2

cossin

cossin2

V.

cxdx

x

xdx

x

x

3

23

2

6

2

arcsin3

1

1

3

3

1

1

VI. ctgxdxxtg

xdxxtgx

arcsin1

cos

1

1cos

1

2

2

22


11

TRTEK INTEGRLSA

T1 Prblkozzunk a trt fldarabolsval.

A trt fldarabolsa ltalban akkor hasznos, ha a nevez egyetlen tagbl (szorzat lehet, csak a tagok szma legyen egy) ll, de nha elfordulhat, hogy tbb tagbl ll nevez esetn is mkdik a mdszer.

PLDK:

PL.1. cxxx

dxx

xxdxxx

x

x

xdx

x

xx

ln23

1)

1(

1 2322323

PL.2. cex

dxexdxex

dxex

x

ex

edx

ex

xe xxxxx

x

x

x

211 23

33

3

33

3

PL.3. cxtgxdxxx

dxxx

x

xx

xdx

xx

xx

ln

1

cos

1

cos

cos

coscos

cos22

2

22

2

ltalnostva:

d

c

d

b

d

a

d

cba

NHNY TRKKS ESET:

I.

dcx

bax tpus integrlok

I.A cxxdxx

dxx

dxdxx

x

2ln42

141

2

44

2

6

2x

2x

2x

2x

I.B cxxdxx

dxx

dxdxx

x

2

132ln2

32

12

32

121)(2

32

54

32x

3)(2x

32x

32x

I.C3

113ln

3

17

3

4

13

1

3

17

3

4

13

3

17)(

3

4

3

17)(

3

4

13

74

xxdxx

dxx

dxdxx

x

13x

13x

13x

13x

II.

1ln1

21

1

2

1

1

1

21

1

12

1

1 2222

2

2

2

2

2

2

2

xxdxx

xdx

x

x

x

xdx

x

xxdx

x

xxdx

x

x


12

T2 Ha a szmllban a nevez derivltja szerepel, akkor: ff

fln

PLDK:

PL.1. cxxdxxx

x

4ln4

12 22

PL.2. 6ln6

1

x

x

x

exdxex

e

PL.3. cxdxx

xctgxdx sinlnsin

cos vagy cxdx

x

xdxx

xtgxdx

coslncos

sin

cos

sin

Megeshet, hogy a szmll nem a nevez derivltja, de majdnem. Ilyen esetekben, hogy ihletet mertsnk, derivljuk le a nevezt, s hasonltsuk ssze a szmllval, hogy

kiderljn, mit kell tennnk az f

f alak elrshez.

PLDK:

PL.1. dxxx

x

42

12

esetben a nevez derivltja 2x+2, ezrt a szmllt az integrlon bell szorozni kvl meg osztani kell 2-vel:

cxxdxxx

xdx

xx

x

42ln2

1

4242

1 222

22

2

1

PL.2. dxxx

x

73

962

esetben viszont a nevez derivltja 2x+3, gy a szmllbl ki kell vinni 3-mat:

cxxdxxx

xdx

xx

x

73ln373

323

73

96 222

RDEMES MEGJEGYEZNI NHNY TRKKS ESETET:

I. cxdxx

xdxxx

f

f

lnlnln

1

ln

1

II. carctgxdxarctgx

xdxarctgxx

f

f

ln1

1

)1(

1 2

2

III. ctgxdxtgx

xdxtgxx

f

f

lncos

1

cos

1 2

2


13

T3 Ha a nevez egy fggvny valamely hatvnya, a szmll pedig ezen fggvny derivltja:

1

1f

f

f

PLDK:

PL.1.

c

xxdx

xx

x

245

45

5222

32

PL.2.

c

xxdx

xx

xdx

xx

x

21

97

97

72

97

722

1

21

2

22

PL.3. cx

dxx

x

3sin

sin

cos 3

4

PL.4. cx

dx

x

xdx

x

x

3

21

)(sin

)(sin

cos

sin

cos3

2

32

1

3 2

Itt is megeshet persze, hogy bizonyos konstansokkal alaktunk kicsit a szmlln. PLDK:

PL.1.

c

xxdx

xx

xdx

xx

x

476

2

1

76

62

2

1

76

342

5252

PL.2.

c

xxdx

xx

xxdx

xx

xx

4

11

89

3

1

89

183

3

1

89

64

1

41

123

23

3

4 23

2

Pl.3.

c

xdx

x

xdx

x

x

5

11

9

2

7

9

2

2

7

9

7 51

12

25 2 5

1

Pl.4.

c

exdx

ex

exdx

ex

ex x

x

x

x

x

62122

2

1622

722

2

722

2

Elfordulhat az is, hogy parcilis integrlssal kell kombinlni. Ilyen pldul a kvetkez:

dxx

x

4 2

3

3 A szmllba ugyanis x

3 helyett elegend volna x is, pontosabban 2x.

Felbontjuk ht az x3-t kt rszre:

dxx

xxdx

x

xxdx

x

x

4 22

4 2

2

4 2

3

3

2

2

1

3

2

2

1

3


14

A kapott szorzatot parcilisan fogjuk integrlni. A szerepek vilgosak, 4 23

2

x

x

-et direkt gy

alaktottuk, hogy integrlhassuk, ezt nevezzk ht g-nek, mg x2-et f-nek. 2xf

4 23

2

x

xg

xf 2

43

3

3

2

3

24

3

41

2

24 2

xdx

x

xdx

x

xg

dxxxx

xdxx

xx

xdxx

xx

43

43

43

43

22

222

2

4 2

2 323

4

43

3

43

32

43

3

3

2

ahol a maradk integrls mr knny, hiszen S2 szerint cxdxxx

14

1

332

14

3

43 2

2

NHNY TRKKS ESET:

I.

cx

dxx

xdxxx

f

f

1ln

ln

1

ln

11

22

II.

cx

dxx

xdxxx

f

f

2ln

ln

1

ln

12

33

III.

c

xdx

x

xdxxx

f

f

2

11

ln

ln

1

ln

12

1

21

1

IV.

c

xdx

x

xdxxx

f

f

5

11

ln

ln

1

ln

15

1

51

1

5

V.

c

xdx

x

xdxxx

f

f

341ln

ln

1

ln

14

3

43

1

4 3

VI.

ctgx

dxxtg

xdxxtgx

f

f

2cos

1

cos

12

3

2

32

VII.

ctgx

dx

tgx

xdxxtgx

f

f

4

31)(

cos

1

cos

1 431

2

4 32 43

VIII. cctgx

dx

ctgx

xdxxctgx

f

f

3

21)(

sin

1

sin

1 321

2

3 22 32


15

IX.

carctgx

dxxarctg

xdxxarctgx

f

f

11

1

)1(

11

2

2

22

X.

c

arctgxdx

arctgx

xdxarctgxx

f

f

2

11

1

)1(

12

1

21

2

2

XI.

carctgx

dx

x

xdxxarctgx

f

f

3

1)(arcsin

1

1

)1(

13

1

32

2

3 22

XII.

carctgx

dx

arctgx

xdxxx

f

f

3

1)(

1

1

arcsin1

13

1

32

2

3 22

T4 A trtbl csinljunk szorzatot. Ezek utn lsd. szorzat

integrlsa. gf

g

f 1

PLDK:

dxx

xdxx

x

1ln

ln ami mr S2 vagy dx

xxdx

x

x

1ln

ln 44

ami szintn S2,

de hasonlan intzhetk el:

cx

dxx

xdxx

xdxx

x S

2/3

)7(ln17ln

17ln

7ln 2322

1

vagy

ctgx

dxx

tgxdxx

tgx S 3/4

)(

cos

1

cos

3/42

23

1

2

3

vagy

dxexdxe

xdxe

x xxx

2

22

1

ami mr nmi talakts utn S4 segtsgvel integrlhat.

Cedxexdxex xxx

222

2

12

2

1


16

HELYETTESTSES INTEGRLS

A helyettestses integrls lnyege, hogy egy kifejezst t-vel helyettestnk annak remnyben, hogy gy majd meg tudjuk oldani a feladatot. Tipikusan helyettestses integrls, ha a gyk alatt valamilyen lineris kifejezs szerepel. Nzznk erre egy pldt!

?3

52

dx

x

x

Az ilyen esetekben az egsz gyks kifejezst rdemes elnevezni t-nek.

tx 3 Ebbl kifejezzk x-et: 23 tx s gy 32 tx eddig minden rendben is van. De sajna van itt mg egy aprsg. Az, hogy a dx-et is le kell cserlni, mgpedig a kvetkezkppen. A kifejezett x-et derivljuk t szerint:

32 tx teht tx 2 amit azonban gy runk, hogy tdt

dx2

Rges-rgen ugyanis az emberek mg nem a jl ismert f jellst hasznltk a derivlsra,

hanem azt, hogy

dx

df

Ksbb aztn egyszerstettk a jellseket, de valamilyen rejtlyes okbl itt a helyettestses integrlsnl mgis megmaradt az si mdszer. Lehetne ezt picit mskpp is csinlni, akit rdekel majd olvassa el a kvetkez oldalon lesz rla sz, de valamirt ez a dx-es bvszkeds maradt az ltalnosan elterjedt eljrs.

Szval trdjnk bele, hogy a kifejezett x-nek a derivltja tdt

dx2 amibl dttdx 2 .

Most jn a helyettests, x helyre megy 32 tx a gyk helyre tx 3 s a dx-et is le

kell cserlni: dttdx 2 .

ttdttdttdttt

tdtt

t

tdx

x

x12

341242622

622

32

3

52 32222

Az integrls vgn visszahelyettestjk t helyre, hogy ki is valjban. Ekkor a megolds:

Cxx

tt

3123

3412

34

33

Nzznk egy msik hasonlan izgalmas pldt is.

?24

dxx

x

Megint az egsz gyks kifejezst nevezzk t-nek:

tx 4 ekkor 24 tx vagyis 42 tx teht tx 2 amit gy runk, hogy tdt

dx2


17

Most jn a helyettests:

24

3242222

2

222

2

4

24

232

2 ttdtttdtttdtt

t

ttdtt

t

tdx

x

x

Vgl t helyre visszarakjuk a gyks izt.

Cxxtt

2

44

3

42

24

32

2323

me egy picit ms megkzeltse a helyettestsnek. Ha az integrland fggvnyben ugyanaz a kifejezs tbbszr is elfordul, akkor prblkozhatunk annak elnevezsvel.

Hagyomnyosan t szokott lenni az j vltoz. Fontos azonban ltnunk, hogy a helyettests sorn az integrland kifejezs ltalban megvltozik. Ezt a vltozst rja le az gynevezett

integrl-transzformcis formula: dtttfdxxf )())(()( Az integrl-transzformcis formula azt mondja, hogy ha a kiintegrland fggvnyben x

helyre egy (t) fggvnyt helyettestnk, akkor az gy kapott kifejezst mg meg kell szorozni a (t) helyettests derivltjval, vagyis (t)-vel. Nzznk erre egy pldt!

dxeee

eexxx

xx

1

1232

2

sszernek tnik az ex=t helyettests. Ekkor mi is az a bizonyos (t) fggvny? Mivel ex=t

ezrt ebbl az x-et kifejezve x=lnt. Vagyis ez van az x helyre helyettestve, teht (t)=lnt s

gy (t)=1/t. Az integrl-transzformcis formula szerint dtttfdxxf )())(()( teht:

dt

ttt

ttdx

eee

eexxx

xx

t

1

11

123

1

123

2

2

2

2

itt a vastagon szedett 1/t a (t)-vel val szorzs. Folytatva az integrlst:

KeeeKtttdtttt

ttdt

ttt

tt xxxf

f

)1ln()1ln(1123

11

123 232323

2

2

2

t

1

A kztudatban furcsa mdon nem a (t) bels fggvnyes gondolatmenet van elterjedve, hanem a mr korbban ltott dx-es dt-s bvszkeds, amely lnyegt tekintve ugyanez, mindssze jellsbeli klnbsgek vannak.

Helyettesteni nem csak akkor grkezik gymlcsz vllalkozsnak, ha sokszor ismtld kifejezssel tallkozunk. Akkor is rdemes helyettestssel prblkozni, ha gyks kifejezsek vannak, vagy olyan sszetett fggvnyek, amelyek a helyettests utn mr nem sszetettek. Itt van mg egy plda a gyks kifejezsek helyettestsre:

dxx

x

13

56

Ilyenkor a nevezben lv gyks kifejezst rdemes elnevezni t-nek,

teht 13 xt gy 132 xt s 3

12 t

x . Ez utbb lesz a (t) fggvny,

vagyis 3

1)(

2 t

t s 3

2)(

tt .


18

A helyettestst elvgezve feladatunk a kvetkezkppen alakul:

c

tt

dtt

dtt

t

tdt

t

t

t

dxx

x

3

63

4

3

64

3

2522

3

25

3

16

13

56

3

22

2

Itt mg t helyre vissza kell helyettesteni ezt mi most nem tesszk meg.

1. GYKS KIFEJEZSEK HELYETTESTSE

dxdcxbax )(

dx

dcx

bax

dx

fexdcx

bax

dx

dcx

bax

dxdcx

fexbax

dx

dcx

bax

kifejezslinerisvalami vagy dcx

bax

esetekben mindig az egsz gyks kifejezst kell

elnevezni t-nek. Ha 3 4 stb. van, akkor is mindig az egsz gyks kifejezst kell t-nek

nevezni. Ha viszont a gykjel alatt nem lineris kifejezs van, akkor ms mdszer kell!

f1 esetn f=cos2t

f1 esetn f=sh2t

1f esetn f=ch2t

2. SSZETETT FGGVNYEK INTEGRLSA HELYETTESTSSEL ( HA LEHET) Vannak olyan sszetett fggvnyek, amelyek mivel nincsenek megszorozva a bels fggvny derivltjval S4 segtsgvel nem integrlhatak. Ilyenkor rdemes azzal

prblkozni, hogy a bels fggvnyt elnevezzk t-nek. Pldul az

dxe x

esetben teht a xt , vagyis 2tx gy 2)( tt helyettestst alkalmazzuk, tt 2)( .

A helyettestssel integrlsunk a kvetkezkppen alakul:

tdtedxe tx 2 ami mr egy egyszer parcilis integrls. Szintn rdemes helyettestssel prblkozni ennl az sszetett fggvnynl, hogy

xdxlnsin A helyettests legyen xt ln , vagyis tex gy tet )( helyettestst alkalmazzuk, ahol

tet )( . A helyettestst elvgezve a feladat a kvetkezkppen alakul:

dtetxdx t sinlnsin Ezt pedig parcilisan tudjuk integrlni, a megolds a trigonometrikus fggvnyek integrlsa IV. pontjban tallhat.


19

RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA

dxxq

xp )(

)( racionlis trtfggvny integrl kiszmolst azzal kell kezdennk, hogy

ellenrizzk, teljesl-e a deg(p(x))


20

A nevezben teljes ngyzetet alaktunk ki:

dx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

Edx

a

cx

a

bx

a

Edx

cbxaxE

22

22

2

2222

111

Itt a nevezben megjelenik a teljes ngyzet. A mgtte ltrejv tagot az egyszersg

kedvrt elnevezzk D-nek.

dx

Da

bx

a

Edx

a

b

a

c

a

bx

a

E222

2

1

22

1

Vgs lpsknt a D-t is kiemeljk a nevezbl:

dx

Da

bx

D

aD

Edx

a

bx

D

aD

Edx

Da

bx

a

E

12

1

1

12

1

1

2

1222

Az gy kapott integrl arctgx-nek egy lineris helyettestse:

KDDa

bx

Darctg

aD

Edx

Da

bx

D

aD

E

2

1

12

1

12

PLDK: Oldjunk meg egy feladatot:

dxxxx

xx

54

514523

2

Elsknt ellenrizzk, hogy a szmll foka kisebb-e mint a nevez. Esetnkben ez most teljesl. Utna a nevezt elsfok s tovbb nem bonthat msodfok tnyezk szorzatra

kell bontanunk. Elszris x3+4x

2+5x=x(x

2+4x+5) itt azonban a zrjelben lv msodfok

mr nem bonthat tovbb. Negatv ugyanis a diszkriminnsa. Ksz van ht a szorzatt alakts:

dx

xxx

xxdxxxx

xx

54

5145

54

51452

2

23

2

A nevezben lv tnyezk lesznek a parcilis trtek nevezi. Most mg csak a nevezket ismerjk. A felbonts valahogy gy nz teht ki:

dx

xxxdx

xxx

xxdxxxx

xx

5454

5145

54

514522

2

23

2

Most ki kell tallnunk a szmllkat. Egyelre nem a konkrt szmllkat, csak a paramteres alakjukat. Mit is jelent ez? Azt, hogy trtnket a mr korbban definilt elemi trtekre szndkozunk felbontani. Elemi trtbl mrpedig ktfle van. Az I. tpus elemi trt olyan, hogy nevezje elsfok, mg a II. tpus elemi trt olyan, hogy a nevezje msodfok, s nem bonthat elsfok tnyezk szorzatra. A felbonts sorn teht mindig a nevezkbl indulunk ki! Az els trt nevezje szemmel lthatan elsfok, gy ez

minden bizonnyal csak egy I. tpus elemi trt lehet. A szmll teht valami A. Msodik

trtnk nevezje viszont x2+4x+5 ami egy msodfok kifejezs, gy ht ez a trt

szksgkppen II. tpus, ekknt szmllja AX+B alak, m A mr foglalt, teht legjobb

lesz, ha Bx+C lesz a szmll. Innen kapjuk, hogy

dxxx

CBx

x

Adx

xxx

xxdxxxx

xx

5454

5145

54

514522

2

23

2


21

Vilgos, hogy ekkor

54545145

22

2

xx

CBx

x

A

xxx

xx

Amibl keresztbeszorzssal: 5x2+14x+5=A(x

2+4x+5)+x(Bx+C)

Vagyis sszevonva a jobb oldalt: 5x2+14x+5=(A+B)x

2+(4A+C)x+5A

A klnbz x-hatvnyok egytthati a kt oldalon meg kell, hogy egyezzenek, ezrt ht

5=A+B

14=4A+C

5=5A

Megoldva az egyenletrendszert kapjuk, hogy A=1; B=4; C=10. Ekkor:

dx

xx

xdxx

dxxx

x

xdx

xxx

xxdxxxx

xx

54

1041

54

1041

54

5145

54

5145222

2

23

2

Az els tag nyilvnvalan lnx lesz, mg a msodik tag esetben elszr f/f alakot kell kihozni, majd a maradkbl arcustangens lesz:

dx

xxdxdx

xx

xdx

xx

x

54

12

12

54

522

54

104222

54xx

42x

54xx

42x22

dxxx

dx54

12

254xx

42x2

Az els tag clunknak megfelelen f/f, mg a msodik tag arcustangensre vezet.

K

)( 54xxlndx54xx

42x 22

Kxarctgdx

xdx

xx)2(

12

1

54

122

Nzznk egy msik pldt is:

dxxxx

xx

286

2121423

2

A nevezt szorzatt alaktjuk. Elsknt kiemelnk x-et: 6x3+8x

2+2x=x(6x

2+8x+2). Most

megvizsgljuk, a msodfok tnyez tovbb bonthat-e. a msodfok egyenlet megold

kplete alapjn vannak gykei, vagyis igen: 6x3+8x

2+2x=x(6x

2+8x+2)=x(2x+2)(3x+1).

Ekkor:

dxxxx

dxxx

dxxxx

xx

13221)2)(3xx(2x

21214

286

21214 2

23

2

A szmllkat most is a nevezkbl kvetkeztetjk ki. Mivel mindhrom nevez elsfok,

mindhrom trt I. tpus elemi trt, gy a szmllk A, B, C lesz.

dxx

C

x

B

x

Adx

xxdx

xxx

xx

13221)2)(3xx(2x

21214

286

21214 2

23

2

Az elz pldban ltott mdon, keresztbeszorzssal kapjuk A, B, C rtkt, ezttal A=1,

B=2 C=1, teht


22

Kxxxdxxxx

dxxx

dxxxx

xx

3

113ln

2

122ln2ln

13

1

22

21

1)2)(3xx(2x

21214

286

21214 2

23

2

Itt egy harmadik plda:

dxxxx

xx

)7152)(12(

152062

2

A nevezt ezttal is elsfok s tovbb nem bonthat msodfok tnyezk szorzatra kell

bontani. Mivel 2x2+15x+7 tovb bonthat, hiszen 2x

2+15x+7=(2x+1)(x+7) ezrt a nevez

szorzatt bontsa a kvetkez:

dx

xxx

xxdx

xxx

xx

)7)(12)(12(

15206

)7152)(12(

15206 2

2

2

Most jn az elemi trtekre bonts. Mint ltjuk, a nevezben az egyik elsfok tnyez ktszer is szerepel. Ilyenkor gy bontunk elemi trtekre, hogy az egyik elemi trt nevezje (2x+1), a msik (2x+1)

2 , mg a harmadik (x+7). Ha egy adott tnyez hromszor fordulna

el a nevezben, akkor az elemi trtekre bontsnl analg mdon lenne egy els egy msodik s egy harmadik hatvnya, s gy tovbb.

dx

x

C

x

B

x

Adx

xxx

xxdx

xxx

xx

7)12()12()7)(12)(12(

15206

)7152)(12(

152062

2

2

2

A, B, C rtkt a szokott mdon talljuk ki:

7)12()12()7)(12)(12(

152062

2

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

amibl keresztbeszorzssal

6x2+20x+15=A(2x+1)(x+7)+B(x+7)+C(2x+1)

2

s flbontva a zrjeleket:

6x2+20x+15=(2A+4C)x

2+(15A+B+4C)x+7A+7B+C

s gy

6=2A+4C

20=15A+B+4C

15=7A+7B+C

Amibl A=1; B=1; C=1 s gy

dxxxx

dxxxx

xxdx

xxx

xx

7

1

)12(

1

)12(

1

)7)(12)(12(

15206

)7152)(12(

152062

2

2

2

Kxx

xdxx

xx

7ln1)12(

2

112ln

7

1)12(

)12(

1 12

Vgl mg egy plda:

dxx

x 41

2

Mindenekeltt a nevezt elsfok vagy tovbb mr nem bonthat msodfok tnyezk szorzatra kell bontani. A felbonts egyltaln nem trivilis, ugyanis a neveznek vals gyke nincsen. A szorzat alak:


23

)12)(12(1 224 xxxxx

dxxxxx

xdx

x

x

)12)(12(

2

1

2224

A nevezben lv tnyezk lesznek a parcilis trtek nevezi. Mivel mindkt tnyez tovbb nem bonthat msodfok kifejezs, a jelek szerint kt II. tpus elemi trt sszegt kapjuk:

dx

xx

DCx

xx

BAxdx

xxxx

xdx

x

x

1212)12)(12(

2

1

222224

Rtrnk A, B, C, D meghatrozsra.

1212)12)(12(

22222

xx

DCx

xx

BAx

xxxx

x

Beszorzunk:

)12()12()12)(12(2 2222 xxDCxxxBAxxxxxx majd talaktunk

DBxxCADBxCAx )2D2BC(A2 23 )22()(

vgl jn a szoksos egyenletrendszer:

DB

DBCA

CADB

CA

0

222

220

0

A megoldsok: 2

1,0,

2

1,0 DCBA , gy

dxxxxx

dxxxxx

dxxxxx

x

12

1

12

1

2

1

12

2

1

12

2

1

)12)(12(

2222222

A kt trtet kln-kln fogjuk integrlni. Az els trt:

dxxx

12

12

Ebbl arctgx-nek egy lineris helyettestse lesz:

Kxarctgdx

xdx

x

dxxx

122112

12

2

1

2

1

1

12

1222

A msodik trt szimmetriai okok miatt:

Lxarctgdxxx

12212

12

A feladat megoldsa az elbbiekben kapott kifejezsek sszege:

Mxarctgxarctgdxx

x

1212

1

24


24

Ne feledjk azonban, a racionlis trtfggvnyek integrlsnak mdszert csak akkor rdemes alkalmazni, ha mr semmilyen ms mdszer nem bizonyul hasznlhatnak. Ezt az imnti feladatot nmileg gyorsabban S4 segtsgvel mr korban megoldottuk!

cxarctgxdx

xdx

x

x S

)(2

1

1

1

2 24

224

TRIGONOMETRIKUS KIFEJEZSEK INTEGRLSA

A trigonometrikus kifejezsek integrlsnak ttekintse nem knny. Kzel sem treksznk teljeskr ttekintsre, csupn nhny fontosabb esetet emltnk meg.

I. A tangens ikszfeles helyettests

dxCxBxA

cxbxa

cossin

cossin

Ha a trtben sinx s cosx egyarnt csak els fokon szerepel, akkor alkalmazzuk az gynevezett tangens ikszfeles helyettestst.

tx

tg 2

helyettestsnl 21

2sin

t

tx

2

2

1

1cos

t

tx

s arctgtt 2)( amibl

21

2)(

tt

.

A tangens ikszfeles helyettests egyszer racionlis trtfggvnyeket csinl a trigonometrikus kifejezsekbl. Pldul:

Kx

tgKtdtt

dtt

dtt

t

tdxx

)2ln(ln

1

2

2

1

2

1

2

1

sin

12

2

A mdszer bonyolultabb kifejezseknl is jl bevlik:

dttttt

tdt

t

t

t

t

t

t

t

dxxx

x222

2

2

2

2

2

2

2

1

2

112

1

1

2

11

1

1

2

1

1

1cossin

cos

Kttdtt

tdt

tdt

t

tdt

tt

tdt

tt

t

)1ln(2

1arctg

1

2

2

1

1

1

1

1

)1)(1(

1

1

2

22

1 22222

2

2

2

Ha a trtben sinx vagy cosx magasabb fokon is szerepel, akkor a mdszer egyre kevsb vezet sikerre.

II. xdxx cossin

Ha s kzl van amelyik pratlan, akkor visszavezethet ff alak integrlsra. Az

ltalnos eljrs helyett nzznk egy konkrt pldt:

xdxx36 cossin

A megolds sorn a pratlan kitevs tnyezt fogjuk felbontani msodfok, s egy darab elsfok tnyezk szorzatra.

xdxxxxdxxxxdxx cos)sin1(sincoscossincossin262636


25

Elvgezve a beszorzst mr csak xdxxn cossin alak kifejezsek addnak, amik mind f

f

alakak.

Ha cosx kitevje magasabb fok, az sem jelent problmt:

xdxxxxdxxxxxxdxx cos)sin1(sincoscoscoscossincossin326222474

Elvgezve a beszorzst itt is csak xdxxn cossin alak kifejezsek addnak, amik mind f

f

alakak. Ha s kzl mindkett pros, akkor ez a mdszer nem mkdik. Ilyenkor linearizljunk.

2

2cos1sin 2

xx

s

2

2cos1cos 2

xx

III. dxxx

cos

sin vagy dxx

x

sin

cos

Elegend szimmetriai okokbl csak az egyik esettel foglalkoznunk, legyen ez mondjuk az

els. Elszr azt az esetet vizsgljuk, amikor =+2. Ilyenkor:

Kxtg

dxx

xtgdxxx

xdx

xx

xdx

x

x

1cos1

cos

1

cos

sin

coscos

sin

cos

sin 1

2222

Ha nincs ilyen szerencsnk, akkor az albbi mechanizmussal rhetnk clt:

dx

x

xxdx

x

x

cos

sinsin

cos

sin 1

Itt a msodik tnyezt tudjuk T3 alapjn integrlni, az els tnyezt meg tudjuk derivlni, vagyis parcilis integrls kell.

1

cos

cos

sincossin)1(

cos

sinsin

12

1

xdx

x

xgxxf

x

xgxf

dxx

xxx

xdxx

xxdx

x

x parcilis

1

coscossin)1(

1

cossin

cos

sinsin

cos

sin 121

11

Itt a maradvny integrllal kell tovbb foglalkoznunk.

dxx

xdxxxdx

xxx

2

222

12

cos

sin

1

1cossin

1

1

1

coscossin)1(

Az eljrs sorn teht mindkt kifejezs kitevje kettvel cskkent. Ugyanezt ismtelgetve elbb-utbb valamelyik kitev el fogja rni a nullt, vagy az egyet. sszesen ngy lehetsg van:


26

a) xdxdxx

x

sincos

sin0

ez mr knnyen integrlhat, lsd II.

b) dxxx

1cos

sin itt a szmllban lv kifejezsbl 2 esetn levlasztunk egy msodfok

tnyezt:

dxx

xxxdx

x

xxdx

x

xxdx

x

x

cos

cossinsin

cos

)cos1(sin

cos

sinsin

cos

sin 2222222

1

xdxxdxx

xdx

x

xxdx

x

xdx

x

xx

x

xcossin

cos

sin

cos

cossin

cos

sin

cos

cossin

cos

sin 22222222

itt az els integrls szintn b), mg a msodik ff ami integrlhat. Ha


27

Ezt tekinthetjk gy, mint egy egyenletet xdxex cos -re. Ha rendezzk, akkor kapjuk,

hogy:

xexexdxe xxx cossincos2 s gy

2

cossincos

xexexdxe

xxx

Newton-Leibniz formula Ha f(x) integrlhat az [a,b] intervallumon, s ltezik primitv fggvnye, akkor

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

A ))(),...(),(),(()( 321 txtxtxtxt n paramteres grbe derivlt-vektora, vagy

sebessgvektora ))('),...('),('),('()()( 321 txtxtxtxtvt n .

A )(t grbe vhossza a paramtertartomny [a,b] intervallumn

dttxtxtxtxdttvtb

a

n

b

a

b

a

22

3

2

2

2

1 )('...)(')(')(')()(

Ha az f(x) fggvnyt, mint (x,f(x)) paramteres grbt tekintjk, akkor az a s b helyek kzt a grafikonjnak vhossza:

dxxfxfgrafb

a

b

a

2

)('1))((

Az f Rn Rk fggvny (t) [a,b]Rn grbn vett vonalintegrlja

b

a

dtttff )())((

ha ltezik f-nek primitvfggvnye, akkor

b

a

tFf ))((

FORGSTEST TRFOGATA S FELSZNE Az f fggvny x tengely krli megforgatsval kapott forgstest trfogata s felszne:


28

b

a

b

a fV2

b

a

b

a ffA212

Integrl-transzformcis formula:

)det()( ff

POLRKOORDINTS HELYETTESTS

Ha f R2R fggvny, akkor

x1=rcos x2=rsin

a helyettest fggvny (r,)=(rcos, rsin) gy det()=r

rrrfxxf )sin,cos(),( 21

Ha f R3R fggvny, akkor

x1=rcoscos x2=rcossin x3=rsin a helyettest fggvny

(r,, )=( rcoscos, rcossin, rsin) gy det()=-r2cos

)cos()sin,sincos,coscos(),,(2

321 rrrrfxxxf

mm

NORMLTARTOMNYON VETT INTEGRL

D

x

x

x

x

dydxyxff2

1

2

1

)(

)(

),(

SZEKTOR SZER TARTOMNYON VETT INTEGRL


29

Dr

drdrrff2

1

)(

0

)sin,cos(

r

integral.em

Documents