introdução a teoria dos números
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Teoria dos Número.TRANSCRIPT
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Introdu~ao a Teoria dos Numeros
(om e^nfase em Aproxima~oes Diofantinas)
Carlos Gustavo T. de A. Moreira
I M P A
Estrada Dona Castorina 110, Jardim Bota^nio
Rio de Janeiro-RJ
CEP 22.460-320 - Brasil
Correio eletro^nio: guguimpa.br
Pagina na internet: www.impa.br/ gugu
-
Conteudo
Introdu~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
PARTE I: CONGRU
^
ENCIAS E N
UMEROS PRIMOS
Captulo 1: Divisibilidade e Congrue^nias 7
1 Divis~ao eulidiana e o teorema fundamental da aritmetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Congrue^nias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 A fun~ao de Euler e o pequeno teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
4 A fun~ao de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Corpos e polino^mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Ordens e razes primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Razes primitivas em Z=(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 A lei da reiproidade quadratia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10 Extens~oes quadratias de orpos nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Captulo 2: Numeros Primos 37
1 Sobre a distribui~ao dos numeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2 Outros resultados e onjeturas sobre primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Formulas para primos e testes de primalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Testes de primalidade baseados em fatora~oes de n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
-
PARTE II: APROXIMAC
~
OES DIOFANTINAS
Captulo 3: Fra~oes Contnuas, Representa~oes de Numeros e Aproxima~oes 54
1 Reduzidas e boas aproxima~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Boas aproxima~oes s~ao reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Fra~oes ontnuas periodias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aplia~ao: a equa~ao de Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Captulo 4: Propriedades Estatstias de Fra~oes Contnuas e Aproxima~oes
Dioantinas: O Teorema de Khinthine 66
1 O Teorema de Khinthine via fra~oes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 O Teorema de Khinthine n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Ape^ndie: Aproxima~oes diofantinas n~ao-homoge^neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Captulo 5: Os Espetros de Markov e Lagrange 77
1 Deni~oes e enuniados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 Dimens~oes de Hausdor e somas aritmetias de onjuntos de Cantor
de fra~oes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Ideias das demonstra~oes dos resultados sobre os espetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
4 Espetros de Markov e Langrange dina^mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
Ape^ndie: Conjuntos de Cantos Regulares e Dimens~oes Fratais . . . . . . . . 85
1.0 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1 Conjuntos de Cantor regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.2 Distor~ao limitada e geometrias limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.3 Dimens~oes fratais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Refere^nias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
-
Introdu~ao
Estas s~ao as notas de um mini-urso que fui onvidado a dar no IMCA em novembro de 2001.
Boa parte do material aqui ontido foi adaptado das notas dos ursos \Primos de Mersenne
(e outros primos muito grandes)", em olabora~ao om Niolau Saldanha e \Conjuntos de
Cantor, Dina^mia e Aritmetia", que dei no XXII Coloquio Brasileiro de Matematia, em
1999, e do artigo \Propriedades Estatstias de Fra~oes Contnuas e Aproxima~oes Diofantinas",
publiado na Revista Matematia Universitaria.
O objetivo dessas notas e ser uma refere^nia introdutoria sobre teoria dos numeros e
aproxima~oes diofantinas, destinada a alunos de gradua~ao ou mestrado em matematia. Boa
parte do material e totalmente elementar, sendo aessvel a bons alunos do ensino medio
(em partiular aos olmpios...). Agradeo aos Professores Cesar Camaho e Roger Metzger
pelo onvite e a oportunidade de visitar o Peru e dar aulas sobre esse assunto t~ao fasinante.
Rio de Janeiro, 26 de outubro de 2001.
3
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4
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PARTE I
CONGRU
^
ENCIAS E N
UMEROS PRIMOS
5
-
6
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CAP
ITULO 1
Divisibilidade e Congrue^nias
Neste primeiro aptulo veremos os topios basios de teoria dos numeros, omo divisibili-
dade, ongrue^nias e aritmetia modulo n.
1 Divis~ao eulidiana e o teorema fundamental da
aritmetia
A divis~ao eulidiana, ou divis~ao om resto, e uma das quatro opera~oes que toda riana aprende
na esola. Sua formula~ao preisa e: dados a 2 Z, b 2 Z
existem q; r 2 Z om 0 r < jbj e
a = bq + r. Tais q e r est~ao uniamente determinados e s~ao hamados o quoiente e resto da
divis~ao de a por b. Se b > 0 podemos denir q = ba=b e se b < 0, q = da=be; em qualquer aso,
r = a bq. O resto r e as vezes denotado por a mod b; denimos a mod 0 = a. Lembramos que
bx denota o unio inteiro k tal que k x < k+1 e dxe o unio inteiro k tal que k1 < x k.
Dados dois inteiros a e b (em geral om b 6= 0) dizemos que b divide a, ou que a e um
multiplo de b, e esrevemos bja, se existir q 2 Z om a = qb. Se a 6= 0, tambem dizemos que b
e um divisor de a. Assim, bja se e somente se a mod b = 0.
Proposi~ao 1.1: Dados a; b 2 Z existe um unio d 2 N tal que dja, djb e, para todo 2 N ,
se ja e jb ent~ao jd. Alem disso existem x; y 2 Z om d = ax + by.
Esse natural d e hamado o maximo divisor omum, ou md, entre a e b. Esrevemos
d = md(a; b) ou (se n~ao houver possibilidade de onfus~ao) d = (a; b).
Dem: O aso a = b = 0 e trivial (temos d = 0). Nos outros asos, seja I(a; b) = fax+by; x; y 2
Zg e seja d = ax
0
+ by
0
o menor elemento positivo de I(a; b). Como d 2 N
, existem q; r 2 Z
om a = dq + r e 0 r < d. Temos r = a dq = a(1 qx
0
) + b(qy
0
) 2 I(a; b); omo r < d e
7
-
d e o menor elemento positivo de I(a; b), r = 0 e dja. Analogamente, djb. Suponha agora que
ja e jb; temos jax + by para quaisquer valores de x e y donde, em partiular, jd.
O algoritmo de Eulides para alular o md baseia-se nas seguintes observa~oes simples.
Se a = bq + r, 0 r < b, temos (om a nota~ao da demonstra~ao aima) I(a; b) = I(b; r),
donde (a; b) = (b; r). Denindo a
0
= a, a
1
= b e a
n
= a
n+1
q
n+2
+ a
n+2
, 0 a
n+2
< a
n+1
(ou
seja, a
n+2
e o resto da divis~ao de a
n
por a
n+1
) temos (a; b) = (a
0
; a
1
) = (a
1
; a
2
) = (a
2
; a
3
) =
= (a
n
; a
n+1
) para qualquer valor de n. Seja N o menor natural para o qual a
N+1
= 0: temos
(a; b) = (a
N
; 0) = a
N
.
Lema 1.2: Se (a; b) = 1 e ajb ent~ao aj.
Dem: Como (a; b) = 1, existem x; y 2 Z om ax + by = 1, logo aj = ax + by.
Quando (a; b) = 1 dizemos que a e b s~ao primos entre si. Um natural p > 1 e hamado
primo se os unios divisores positivos de p s~ao 1 e p. Um natural n > 1 e hamado omposto
se admite outros divisores alem de 1 e n.
Claramente, se p e primo e p - a temos (p; a) = 1. Usando o lema anterior e indu~ao temos
o seguinte resultado:
Corolario 1.3: Sejam p um numero primo e sejam a
1
; : : : a
m
2 Z. Se pja
1
a
m
ent~ao pja
i
para algum i, 1 i n.
Estamos agora prontos para enuniar e provar o teorema que diz que todo inteiro admite
fatora~ao unia omo produto de primos.
Teorema 1.4: (Teorema fundamental da aritmetia) Seja n 2 um numero natural. Podemos
esrever n de uma unia forma omo um produto
n = p
1
p
m
onde m 1 e um natural e p
1
: : : p
m
s~ao primos.
Dem: Mostramos a existenia da fatora~ao por indu~ao. Se n e primo n~ao ha o que provar
(esrevemos m = 1, p
1
= n). Se n e omposto podemos esrever n = ab, a; b 2 N , 1 < a < n,
8
-
1 < b < n. Por hipotese de indu~ao, a e b se deomp~oem omo produto de primos. Juntando
as fatora~oes de a e b (e reordenando os fatores) obtemos uma fatora~ao de n.
Vamos agora mostrar a uniidade, tambem por indu~ao. Suponha que
n = p
1
p
m
= q
1
q
m
0
;
om p
1
: : : p
m
, q
1
: : : q
m
0
. Como p
1
jq
1
q
m
0
temos p
1
jq
i
para algum valor de i, donde,
omo q
i
e primo, p
1
= q
i
e p
1
q
1
. Analogamente temos q
1
p
1
, donde p
1
= q
1
. Mas por
hipotese de indu~ao
n=p
1
= p
2
p
m
= q
2
q
m
0
admite uma unia fatora~ao, donde m = m
0
e p
i
= q
i
para todo i.
Outra forma de esrever a fatora~ao e
n = p
e
1
1
p
e
m
m
;
om p
1
< < p
m
, e
i
> 0. Ainda outra formula~ao e esrever
n = 2
e
2
3
e
3
5
e
5
p
e
p
onde o produto e tomado sobre todos os primos mas apenas um numero nito de expoentes e
maior do que zero.
Segue deste teorema o outro algoritmo omum para alular o md de dois numeros: fa-
toramos os dois numeros e tomamos os fatores omuns om os menores expoentes. Este al-
goritmo e bem menos eiente do que o de Eulides para inteiros grandes (que em geral n~ao
sabemos fatorar) mas e instrutivo saber que os dois algoritmos d~ao o mesmo resultado.
Corolario 1.5: Se (a; n) = (b; n) = 1 ent~ao (ab; n) = 1.
Dem: Evidente a partir do algoritmo desrito aima.
Teorema 1.6: (Eulides) Existem innitos numeros primos.
Dem: Suponha por absurdo que p
1
; p
2
; :::; p
m
fossem todos os primos. O numero N =
p
1
p
2
p
m
+1 > 1 n~ao seria divisvel por nenhum primo, o que ontradiz o teorema fundamental
da aritmetia.
9
-
Observe que n~ao provamos que p
1
p
2
p
m
+ 1 e primo para algum onjunto nito de
primos (por exemplo, os m primeiros primos). Alias, 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 = 59 509,
2 3 5 7 1 = 209 = 11 19, 4!+1 = 25 = 5
2
e 8! 1 = 40319 = 23 1753 n~ao s~ao primos. N~ao
existe nenhuma formula simples onheida que gere sempre numeros primos. Veja a se~ao 3.1.
2 Congrue^nias
Sejam a; b; n 2 Z. Dizemos que a e ongruente a b modulo n, e esrevemos a b (mod n), se
njb a. Como a ongrue^nia modulo 0 e a igualdade e quaisquer inteiros s~ao o^ngruos modulo
1, em geral estamos interessados em n > 1.
Proposi~ao 2.1: Para quaisquer a; a
0
; b; b
0
; ; n 2 Z temos:
(a)
1. a a (mod n);
2. se a b (mod n) ent~ao b a (mod n);
3. se a b (mod n) e b (mod n) ent~ao a (mod n);
4. se a a
0
(mod n) e b b
0
(mod n) ent~ao a+ b a
0
+ b
0
(mod n);
5. se a a
0
(mod n) ent~ao a a
0
(mod n);
6. se a a
0
(mod n) e b b
0
(mod n) ent~ao a b a
0
b
0
(mod n).
Dem: Para o item (a) basta observar que nja a = 0. Em (b), se njb a ent~ao nja b =
(ba). Em (), se njba e njb ent~ao nja = (b)+(ba). Em (d), se nja
0
a e njb
0
b
ent~ao nj(a
0
+b
0
)(a+b) = (a
0
a)+(b
0
b). Em (e), se nja
0
a ent~ao nj(a
0
)(a) = (a
0
a).
Em (f), se nja
0
a e njb
0
b ent~ao nja
0
b
0
ab = a
0
(b
0
b) + b(a
0
a).
10
-
Os itens (a), (b) e () da proposi~ao aima dizem, nesta ordem, que a rela~ao (mod n)
(\ser o^ngruo modulo n") e uma rela~ao reexiva, simetria e transitiva. Rela~oes satis-
fazendo estas tre^s propriedades s~ao hamadas rela~oes de equivale^nia. Dada uma rela~ao de
equivale^nia sobre um onjunto X e um elemento x 2 X denimos a lasse de equivale^nia
x de x omo
x = fy 2 Xjy xg;
observe que x y se e somente se x = y. As lasses de equivale^nia formam uma parti~ao de
X, i.e., uma ole~ao de subonjuntos n~ao vazios e disjuntos de X uja uni~ao e X. O onjunto
fxjx 2 Xg das lasses de equivale^nia e hamado o quoiente de X pela rela~ao de equivale^nia
e e denotado por X= .
Apliando esta onstru~ao geral ao nosso aso, denimos o quoiente Z=( (mod n)),
hamado por simpliidade de nota~ao de Z=(n), Z=nZ ou as vezes Z
n
. Dado a 2 Z, a deni~ao
de a omo um subonjunto de Z raramente sera importante: o importante e sabermos que
a = a
0
se e somente se a a
0
(mod n). Se n > 0, a divis~ao eulidiana diz que todo inteiro a
e o^ngruo a um unio inteiro a
0
om 0 a
0
< n; podemos reesrever este fato na nosso nova
linguagem omo
Z=(n) = f0; 1; : : : ; n 1g:
Quando n~ao houver possibilidade de onfus~ao omitiremos as barras e hamaremos os elementos
de Z=(n) simplesmente de 0; 1; : : : ; n 1.
Os itens (d), (e) e (f) da proposi~ao dizem que as opera~oes de soma, diferena e produto
s~ao ompatveis om a rela~ao de ongrue^nia.
E esta propriedade que torna ongrue^nias t~ao
uteis, nos possibilitando fazer ontas modulo n. Podemos por exemplo esrever
196883 = 1 10
5
+ 9 10
4
+ 6 10
3
+ 8 10
2
+ 8 10
1
+ 3 10
0
1 1
5
+ 9 1
4
+ 6 1
3
+ 8 1
2
+ 8 1
1
+ 3 1
0
= 1 + 9 + 6 + 8 + 8 + 3
= 35
8 (mod 9);
11
-
ja que 10 1 (mod 9) (mostrando assim porque funiona o onheido riterio de divisibilidade
por 9). Uma formula~ao mais abstrata da mesma ideia e dizer que as opera~oes + e passam
ao quoiente, i.e., que podemos denir
+ : Z=(n) Z=(n)! Z=(n); : Z=(n) Z=(n)! Z=(n)
por a + b = a+ b e a b = a b. A duvida a primeira vista seria se a esolha de a e b n~ao
afeta a resposta: anal existem innitos inteiros a
0
e b
0
om a = a
0
e b = b
0
. Os itens (d)
e (f) da proposi~ao s~ao exatamente o que preisamos: eles nos dizem que nestas ondi~oes
a+ b = a
0
+ b
0
e a b = a
0
b
0
.
Proposi~ao 2.2: Sejam a; n 2 Z, n > 0. Ent~ao existe b 2 Z om ab 1 (mod n) se e
somente se (a; n) = 1.
Dem: Se ab 1 (mod n) temos nk = 1 ab para algum k, donde (a; n)jab + nk = 1 e
(a; n) = 1. Se (a; n) = 1 temos ax + ny = 1 para ertos inteiros x e y, donde ax 1 (mod n).
Dizemos portanto que a e invertvel
1
modulo n quando (a; n) = 1 e hamamos b om
ab 1 (mod n) de inverso de a modulo n. O inverso e sempre unio modulo n: se ab ab
0
1
(mod n) temos b ab
2
abb
0
b
0
(mod n).
Corolario 2.3: Se (a; n) = 1 e ab ab
0
(mod n) ent~ao b b
0
(mod n).
Dem: Basta esrever b ab ab
0
b
0
(mod n) onde e o inverso de a modulo n.
Denimos (Z=(n))
Z=(n) por
(Z=(n))
= fa; (a; n) = 1g:
Observe que o produto de elementos de (Z=(n))
e sempre um elemento de (Z=(n))
(orolario
1.5).
1
Alguns autores preferem esrever inversvel. Os interessados em disutir esta quest~ao ortograa devem
esrever para o Prof. Zoroastro Azambuja, IMPA, Estr. D. Castorina 110, Rio de Janeiro, RJ
12
-
Teorema 2.4: (Teorema Chine^s dos restos) Se (m;n) = 1 ent~ao
f : Z=(mn)! Z=(m) Z=(n)
a 7! (a; a)
e uma bije~ao. Alem disso, a imagem por f de (Z=(mn))
e (Z=(m))
(Z=(n))
.
Note que ada a na deni~ao de f e tomado em rela~ao a um modulo diferente. A fun~ao
esta bem denida pois a mod mn determina a mod m e a mod n.
Dem: Como Z=(mn) e Z=(m) Z=(n) te^m mn elementos ada, para provar que f e bijetiva
basta veriar que f e injetiva. E, de fato, se a a
0
(mod m) e a a
0
(mod n) ent~ao
mj(a a
0
) e nj(a a
0
), donde mnj(a a
0
) e a a
0
(mod mn). A imagem de (Z=(mn))
e
(Z=(m))
(Z=(n))
pois (a;mn) = 1 se e somente se (a;m) = (a; n) = 1.
Dados inteirosm
1
; m
2
; : : : ; m
r
, dizemos que estes inteiros s~ao primos entre si se (m
i
; m
j
) = 1
para quaiquer i 6= j.
Corolario 2.5: Se m
1
; m
2
; : : : ; m
r
s~ao inteiros primos entre si. Ent~ao
f : Z=(m
1
m
2
m
r
)! Z=(m
1
) Z=(m
2
) Z=(m
r
)
a 7! (a; a; : : : ; a)
e uma bije~ao.
Dem: Basta apliar o teorema anterior r vezes.
A aplia~ao mais omum deste teorema e para garantir que existe a om a a
i
(mod m
i
)
onde a
i
s~ao inteiros dados quaisquer.
Problema resolvido: Prove que dado n 2 N existe um onjunto de n elementos A N
tal que para todo B A, B 6= ?,
P
x2B
x e uma pote^nia n~ao trivial (isto e, um numero da
forma m
k
, onde m; k s~ao inteiros maiores ou iguais a 2), ou seja, A = fx
1
; x
2
; : : : x
n
g tal que
x
1
; x
2
; : : : x
n
; x
1
+x
2
; x
1
+x
3
; : : : ; x
n1
+x
n
; : : : ; x
1
+x
2
+ : : : x
n
s~ao todos pote^nias n~ao triviais.
Solu~ao: A = f4g e solu~ao para n = 1, A = f9; 16g e solu~ao para n = 2. Vamos provar a
existe^nia de um tal onjunto por indu~ao em n. Suponha que A = fx
1
; : : : ; x
n
g e um onjunto
13
-
om n elementos e para todo B A, B 6= ?,
P
x2B
x = m
k
B
B
. Vamos mostrar que existe 2 N
tal que o onjunto
~
A = fx
1
; x
2
; : : : ; x
n
; g satisfaz o enuniado.
Seja ` = mmfk
b
; B A; B 6= ?g o mnimo multiplo omum de todos os exponentes k
B
.
Para ada B A, B 6= ? assoiamos um numero primo p
B
> `, de forma que B
1
6= B
2
)
p
B
1
6= p
B
2
, e assoiamos um natural r om r
B
0 (modulo p
x
), 8X 6= B, `r
B
+1 0 (modulo
p
B
) (tal r
B
existe pelo teorema hine^s dos restos), e tomamos
=
Y
BA
B 6=?
(1 +m
k
B
B
)
`r
B
:
Como e uma pote^nia `-esima, e uma pote^nia k
B
-esima para todo B A, B 6= ?, portanto,
para B
0
fx
1
; x
2
; : : : ; x
n
g, B
0
6= ?, teremos B
0
= fx j x 2 Bg para algum B A, B 6= ?.
Logo
P
x2B
0
x sera uma pote^nia k
B
-esima.
Alem disso,
X
X2B
0
Ufg
x = (1 +m
K
B
B
) =
2
6
4
Y
XA
X 6=?;B
(1 +m
K
X
X
)
`r
X
3
7
5
(1 +m
K
B
B
)
`r
B
+1
;
que e uma pote^nia p
B
-esima, pois r
X
e multiplo de p
B
para X 6= B e `r
B
+ 1 e multiplo de
p
B
.
3 A fun~ao de Euler e o pequeno teorema de Fermat
Denimos '(n) = j(Z=(n))
j (onde jXj denota o numero de elementos de X). A fun~ao ' e
onheida omo a fun~ao de Euler. Temos '(1) = '(2) = 1, e, para n > 2, 1 < '(n) < n. Se
p e primo, '(p) = p 1; mais geralmente '(p
k
) = p
k
p
k1
pois (a; p
k
) = 1 se e somente se a
n~ao e multiplo de p e ha p
k1
multiplos de p no intervalo 0 a < p
k
.
Dizemos que os n numeros inteiros a
1
; a
2
; : : : ; a
n
formam um sistema ompleto de resduos
(ou s..r.) modulo n se fa
1
; a
2
; : : : a
n
g = Z=(n), isto e, se os a
i
representam todas as lasses
de ongrue^nia modulo n. Por exemplo, 0, 1, 2, : : : n 1 formam um s..r. modulo n.
Equivalentemente, podemos dizer que a
1
; a
2
; : : : ; a
n
formam um s..r. modulo n se e somente
14
-
se a
i
a
j
(mod n) impliar i = j. Os '(n) numeros inteiros b
1
; b
2
; : : : ; b
'(n)
formam um
sistema ompleto de invertveis (s..i.) modulo n se
fb
1
; b
2
; : : : b
'(n)
g = (Z=(n))
;
isto e, se os b
i
representam todas as lasses de ongrue^nias invertveis modulo n. Tambem
equivalentemente, b
1
; b
2
; : : : ; b
'(n)
formam um s..i. modulo n se e somente se (b
i
; n) = 1 para
todo i e a
i
a
j
(mod n) impliar i = j.
Proposi~ao 3.1: Sejam q; r; n 2 Z, n > 0, q invertvel modulo n, a
1
; a
2
; : : : ; a
n
um s..r.
modulo n e b
1
; b
2
; : : : ; b
'(n)
um s..i. modulo n. Ent~ao qa
1
+ r; qa
2
+ r; : : : ; qa
n
+ r formam um
s..r. modulo n e qb
1
; qb
2
; :::qb
'(n)
formam um s..i. modulo n.
Dem: Se qa
i
+ r qa
j
+ r (mod n) ent~ao njq(a
i
a
j
) e a
i
a
j
(mod n), donde i = j; om
isto provamos que qa
1
+ r; qa
2
+ r; : : : ; qa
n
+ r formam um s..r..
Como (q; n) = (b
i
; n) = 1, temos (qb
i
; n) = 1. Por outro lado, se qb
i
qb
j
(mod n) temos
b
i
b
j
(mod n) (omo no paragrafo anterior) e i = j. Isto onlui a demonstra~ao.
Teorema 3.2: (Euler) Sejam a; n 2 Z, n > 0, tais que (a; n) = 1. Ent~ao a
'(n)
1 (mod n).
Dem: Seja
b
1
; b
2
; : : : :b
'(n)
um s..i. modulo n. Pela proposi~ao anterior,
ab
1
; ab
2
; : : : ab
'(n)
tambem formam um s..i. modulo n. Assim,
b
1
b
2
b
'(n)
ab
1
ab
2
ab
'(n)
(mod n)
pois modulo n os dois lados te^m os mesmos fatores a menos de permuta~ao. Mas isto pode ser
reesrito omo
a
'(n)
(b
1
b
2
b
'(n)
) 1 (b
1
b
2
b
'(n)
) (mod n)
e pelo orolario 1.9 isto implia a
'(n)
1 (mod n).
15
-
Corolario 3.3: (Pequeno Teorema de Fermat) Se p e primo ent~ao, para todo inteiro a, a
p
a
(mod p).
Dem: Se pja, ent~ao a
p
a 0 (mod p). Caso ontrario, '(p) = p 1, a
p1
1 (mod p) e
novamente a
p
a (mod p).
Outra demonstra~ao do pequeno teorema de Fermat e por indu~ao em a usando o bino^mio
de Newton e algumas propriedades de numeros binomiais. Se 0 < i < p temos
p
i
=
p!
i!(p i)!
0 (mod p)
pois ha um fator p no numerador que n~ao pode ser anelado om nada que aparea no de-
nominador. Os asos a = 0 e a = 1 do teorema s~ao triviais. Supondo valido o teorema para a,
temos
(a+ 1)
p
= a
p
+
p
1
a
p1
+ +
p
p 1
a + 1
a
p
+ 1
a+ 1 (mod p)
e a indu~ao esta ompleta.
Corolario 3.4: Se (m;n) = 1 ent~ao '(mn) = '(m)'(n).
Dem: Construimos uma bije~ao entre (Z=(mn))
e (Z=(m))
(Z=(n))
, o que garante que
estes onjuntos te^m o mesmo numero de elementos.
Corolario 3.5: Se
n = p
e
1
1
p
e
2
2
p
e
m
m
om p
1
< p
2
< : : : < p
m
e e
i
> 0 para todo i ent~ao
'(n) = (p
e
1
1
p
e
1
1
1
)(p
e
2
2
p
e
2
1
2
) (p
e
m
m
p
e
m
1
m
)
= n
1
1
p
1
1
1
p
2
1
1
p
m
:
Dem: Isto segue da formula que ja vimos para '(p
e
) e do orolario anterior.
16
-
Em partiular, se n > 2 ent~ao '(n) e par.
Problema resolvido: Exiba n 2 N tal que 2
n
tenha mais de duas mil asas deimais e tenha
entre suas 2000 ultimas asas deimais 1000 zeros onseutivos.
Solu~ao: 2
'(5
2000
)
1 (modulo 5
2000
), pelo Teorema de Euler. Portanto, existe b 2 N om
2
'(5
2000
)
= 5
2000
b + 1, e teremos 2
2000+'(5
2000
)
= 10
2000
b + 2
2000
, e portanto os 2000 ultimos
dgitos de 2
2000+'(5
2000
)
oinidem om a representa~ao deimal de 2
2000
, que tem no maximo
667 dgitos, pois 2
3
< 10 ) 2
2000
< 2
3:667
< 10
667
. Desta forma, 2
2000+'(5
2000
)
tem pelo menos
2000 667 = 1333 zeros onseutivos dentre as 2000 ultimas asas deimais, de modo que
n = 4:5
1999
+ 2000 satisfaz as ondi~oes do enuniado (pois '(5
2000
) = 4:5
1999
).
Mais adiante estudaremos equa~oes do segundo grau em Z=(p); vejamos desde ja um pequeno
resultado deste tipo que garante que os unios a que s~ao seus proprios inversos modulo p s~ao 1
e 1.
Lema 3.6: Se p e primo ent~ao as unias solu~oes de x
2
= 1 em Z=(p) s~ao 1 e 1. Em
partiular,se x 2 (Z=(p))
f1;1g ent~ao x
1
6= x em Z=(p).
Dem: Podemos reesrever a equa~ao omo (x 1)(x+1) = 0, o que torna o resultado trivial.
Teorema 3.7: (Wilson) Seja n > 4. Ent~ao (n1)! 1 (mod n) se n e primo e (n1)! 0
(mod n) se n e omposto.
Dem: Se n e omposto mas n~ao e o quadrado de um primo podemos esrever n = ab om
1 < a < b < n: neste aso tanto a quanto b apareem em (n 1)! e (n 1)! 0 (mod n).
Se n = p
2
, p > 2, ent~ao p e 2p apareem em (n 1)! e novamente (n 1)! 0 (mod n); isto
demonstra que para todo n omposto, n > 4, temos (n 1)! 0 (mod n).
Se n e primo podemos esrever (n1)! (2 3 n2) (mod n); mas pelo lema anterior
podemos juntar os inversos aos pares no produto do lado direito, donde (n1)! 1 (mod n).
17
-
4 A fun~ao de Mobius
Vejamos iniialmente uma propriedade da fun~ao '.
Teorema 4.1: Para todo natural n,
X
djn
'(d) = n:
Este teorema segue failmente da formula que provamos para '(n) na se~ao anterior. Dare-
mos entretanto uma demonstra~ao bijetiva.
Dem: Considere as n fra~oes
0
n
;
1
n
; : : : ;
n 1
n
e simplique ada uma delas: obtemos assim, para ada djn, '(d) fra~oes om denominador d,
donde segue a identidade do enuniado.
Mais formalmente, dado a 2 Z=(n), sejam d = n=(n; a) e a
0
= a=(n; a). Claramente
a
0
2 (Z=(d))
e denimos assim uma fun~ao de Z=(n) para a uni~ao disjunta dos onjuntos
(Z=(d))
, onde d varia sobre os divisores de n. A inversa desta fun~ao leva a
0
2 (Z=(d))
em a,
a = na
0
=d, donde a fun~ao e uma bije~ao.
O proesso de onstruir g a partir de f omo
g(n) =
X
djn
f(d)
e bastante omum em teoria dos numeros. Seria interessante poder inverter esta identidade
para esrever f a partir de g. O teorema anterior nos mostra que se fazemos f = ' na equa~ao
aima temos g(n) = n; invertendo esta identidade teramos uma formula para '. O objetivo
desta se~ao e mostrar omo fazer este tipo de invers~ao.
Denimos a fun~ao de Mobius : N
! Z por
(n) =
8
>
:
(1)
m
; se n = p
1
p
2
p
m
, om p
1
; p
2
; ; p
m
primos distintos,
0; se n tem algum fator primo repetido em sua fatora~ao.
18
-
Assim, (1) = (6) = (10) = 1, (2) = (3) = (5) = (7) = 1 e (4) = (8) = (9) = 0.
Lema 4.2: Para todo inteiro positivo n temos
X
djn
(d) =
8
>
:
1; se n = 1,
0; se n > 1.
Dem: O aso n = 1 e trivial. Se n > 1, seja p um divisor primo de n e seja n = p
e
n
0
om
p - n
0
. Temos
X
djn
(d) =
X
djn;p-d
(d) +
X
djn;pjd;p
2
-d
(d) +
X
djn;p
2
jd
(d)
=
X
djn
0
(d) +
X
d
0
jn
0
(pd
0
) + 0
=
X
djn
0
(d)
X
d
0
jn
0
(d
0
)
= 0:
Teorema 4.3: (Formula de invers~ao de Mobius) Se para todo n > 0 temos
g(n) =
X
djn
f(d)
ent~ao
f(n) =
X
djn
(n=d)g(d):
Observe que a formula do orolario 1.16 para '(n) segue failmente dos dois teoremas aima.
Dem: Basta provar que
f(n) =
X
djn
(n=d)
0
X
d
0
jd
f(d
0
)
1
A
:
Mas, esrevendo d
00
= n=d e m = n=d
0
temos
X
djn
(n=d)
0
X
d
0
jd
f(d
0
)
1
A
=
X
mjn
0
X
d
00
jm
(d
00
)
1
A
f(n=m) = f(n):
19
-
Teorema 4.4: (Segunda formula de invers~ao de Mobius) Sejam f e g fun~oes reais om
domnio (0;+1) tais que f(t) = g(t) = 0 para todo t < 1. Se
g(x) =
1
X
k=1
f
x
k
=
bx
X
1=k
f
x
k
para todo x ent~ao ent~ao
f(x) =
1
X
k=1
(k)g
x
k
=
X
1=k
bx(k)g
x
k
:
Dem: Basta provar que
f(x) =
1
X
k=1
(k)
1
X
r=1
f
x
kr
!
;
mas, tomando m = kr a ultima soma e igual a
1
X
m=1
0
0
X
kjm
(k)
1
A
f
x
m
1
A
que pelo lema e igual a f(x).
Apesar de n~ao estar relaionada om o resto da nossa disuss~ao, n~ao podemos deixar de
menionar a seguinte onjetura.
Conjetura 4.5: (Hipotese de Riemann) Se > 1=2 ent~ao
lim
n!1
1
n
n
X
1m
(m) = 0:
Esta e uma das formula~oes da famosa hipotese de Riemann, um dos problemas em aberto
mais importantes da matematia.
Podemos reenuniar esta onjetura assim: seja f : (0;+1) ! R denida por f(t) = 0 se
t < 1 e
1
X
k=1
f(t=k) = 1; se t 1
20
-
ent~ao, para todo > 1=2,
lim
t!1
f(t)
t
= 0:
De fato, pela segunda formula de invers~ao de Mobius temos
f(t) =
bt
X
m=1
(m):
5 Bases
A nota~ao usual para naturais e a hamada base 10, om algarismos 0; : : : ; 9. Isto signia,
por exemplo, que
196883 = 1 10
5
+ 9 10
4
+ 6 10
3
+ 8 10
2
+ 8 10
1
+ 3 10
0
:
O teorema abaixo mostra omo esrever qualquer natural em qualquer base d.
Teorema 5.1: Seja n 0 e d > 1. Ent~ao existe uma unia seque^nia a
0
; : : : ; a
k
; : : : om as
seguintes propriedades:
(a)
1. para todo k, 0 a
k
< d,
2. existe m tal que se k m ent~ao a
k
= 0,
3. n =
P
k
a
k
d
k
.
Dem: Esrevemos n = n
0
= n
1
d + a
0
, 0 a
0
< d, n
1
= n
2
d + a
1
, 0 a
1
< d, e em geral
n
k
= n
k+1
d + a
k
, 0 a
k
< d. Nossa primeira arma~ao e que n
k
= 0 para algum valor de
k. De fato, se n
0
< d
m
ent~ao n
1
< d
m1
e mais geralmente, por indu~ao, n
k
< d
mk
; fazendo
k m temos n
k
< 1 donde n
k
= 0. Segue da que a
k
= 0 para k m. A identidade do item
() e failmente demonstrada por indu~ao.
Para a uniidade, suponha
P
k
a
k
d
k
=
P
k
b
k
d
k
. Se as seque^nias a
k
e b
k
s~ao distintas existe
um menor ndie, digamos j, para o qual a
j
6= b
j
. Podemos esrever a
j
+
P
k>j
a
k
d
kj
=
b
j
+
P
k>j
b
k
d
kj
donde a
j
b
j
(mod d), o que e uma ontradi~ao.
21
-
As vezes e interessante onsiderar expans~oes n~ao apenas em outras bases mas om outros
onjuntos de algarismos (veremos um exemplo disso no ultimo aptulo). Por exemplo, podemos
preferir algarismos negativos pequenos a algarismos positivos grandes e assim um bom onjunto
de algarismos na base 10 seria
4;3;2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5:
Desta forma, esrevemos 13 = 1 10+3 mas esrevemos 9 = 1 10 1 e 64 = 1 10
2
4 10+4.
Generalizando, os algarismos na base d seriam os inteiros a om d=2 < a d=2, ou seja,
a = b(d 1)=2;b(d 1)=2+ 1; : : : ;1; 0; 1; : : : ; bd=2 1; bd=2:
Este onjunto de algarismos nos permite enuniar um teorema analogo ao anterior, om a
diferena que agora numeros negativos n~ao preisam ser tratados em separado.
Teorema 5.2: Seja n 2 Z e d > 2. Ent~ao existe uma unia seque^nia a
0
; : : : ; a
k
; : : : om as
seguintes propriedades:
(a)
1. para todo k, d=2 < a
k
d=2,
2. existe m tal que se k m ent~ao a
k
= 0,
3. n =
P
k
a
k
d
k
.
Dem: Esrevemos n = n
0
= n
1
d + a
0
, d=2 < a
0
d=2, n
1
= n
2
d + a
1
, d=2 < a
1
d=2,
e em geral n
k
= n
k+1
d + a
k
, d=2 < a
k
d=2. Novamente, nossa primeira arma~ao e que
n
k
= 0 para algum valor de k. De fato, se
d
m
=2 < n
0
d
m
=2
ent~ao, por indu~ao,
d
mk
=2 < n
k
d
mk
=2;
fazendo k m temos n
k
= 0. Segue da que a
k
= 0 para k m. A identidade do item () e a
uniidade s~ao demonstradas omo no teorema anterior.
22
-
Pode-se estudar representa~oes na base d om outros onjuntos X de algarismos. Algumas
ondi~oes mnimas para que X seja um onjunto de algarismos interessante s~ao que 0 2 X, que
X seja um sistema ompleto de resduos e que o md dos elementos de X seja 1.
6 Corpos e polino^mios
Um grupo e um onjunto G munido de uma opera~ao : G G ! G e um elemento e 2 G
om as seguintes propriedades:
1. para quaisquer a; b; 2 G, a (b ) = (a b) .
2. para qualquer a 2 G, a e = e a = a,
3. para qualquer a 2 G existe b 2 G om a b = b a = e.
Se alem disso tivermos a b = b a para quaisquer a; b 2 G dizemos que o grupo e omutativo
ou abeliano. Quando a opera~ao se hama + dizemos que G e um grupo aditivo e hamamos
o elemento neutro e de 0. Se a opera~ao se hama hamamos G de grupo multipliativo e
denotamos o elemento neutro e por 1. Assim, Z=(n) e um grupo abeliano aditivo e (Z=(n))
e
um grupo abeliano multipliativo.
Um anel omutativo om unidade e um grupo abeliano aditivo A munido de uma segunda
opera~ao : AA! A satisfazendo a (b ) = (a b) , a (b+ ) = (a b)+ (a ), a b = b a
para quaisquer a; b; 2 A e um elemento 1 2 A om 1 a = a para todo a 2 A. Assim, Z=(n) e
um anel omutativo om unidade.
Um orpo e um anel omutativo om unidade onde para todo a 2 K om a 6= 0 existe
b 2 K om a b = 1. Repetindo ent~ao, K e munido de duas opera~oes + : K K ! K e
: K K ! K, de uma fun~ao : K ! K e dois elementos espeiais distintos hamados 0 e
1 satisfazendo as seguintes propriedades:
a + (b+ ) = (a + b) +
a+ 0 = a
23
-
a + (a) = 0
a + b = b + a
a(b+ ) = ab + a
a(b) = (ab)
a1 = a
ab = ba
e onde para todo a 2 K, a 6= 0 existe b 2 K om
ab = 1:
Os exemplos mais onheidos de orpos s~ao Q , R e C . Vimos no aptulo anterior que Z=(p)
tambem e um orpo se p e primo; veremos a seguir outros exemplos de orpos nitos.
Dado um orpo K, denimos o anel omutativo om unidade K[x omo sendo o onjunto
das express~oes da forma P = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
, hamados de polino^mios om
oeientes em K. Observe que x e um smbolo formal e n~ao um elemento de K; apesar disso,
ada polino^mio dene uma fun~ao polinomial
P : K ! K
7! P () = a
0
+ a
1
+ a
2
2
+ + a
n
n
tambem hamada de P . A distin~ao entre um polino^mio e uma fun~ao polinomial e bem
ilustrada pelo polino^mio P = x
p
x 2 (Z=(p))[x: este polino^mio e n~ao nulo pois seus oe-
ientes s~ao n~ao nulos mas para todo x 2 Z=(p) temos P (x) = 0 pelo pequeno teorema de
Fermat.
Se P =
P
a
i
x
i
e Q =
P
b
i
x
i
s~ao polino^mios denimos P +Q =
P
(a
i
+ b
i
)x
i
e PQ =
P
i
x
i
onde
k
=
P
i+j=k
a
i
b
j
. Denimos o grau degP de um polino^mio P = a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+ +a
n
x
n
omo sendo n se a
n
6= 0 mas a
m
= 0 para m > n; denimos ainda o grau do polino^mio 0 omo
sendo 1.
Lema 6.1: Para quaisquer polino^mios P e Q temos deg(PQ) = deg(P ) + deg(Q) e
deg(P +Q) maxfdeg(P ); deg(Q)g.
Dem: Fail.
24
-
Observe que denimos 1 < n e (1) + (1) = 1 + n = 1 para todo n. Temos
uma forma de divis~ao om resto em K[x.
Teorema 6.2: Sejam A;B 2 K[x, B 6= 0. Ent~ao existem unios polino^mios Q;R 2 K[x
om A = QB +R e degR < degB.
Dem: A demonstra~ao e feita por indu~ao no grau de A. Se deg(A) < deg(B), tomamos
Q = 0, R = A. Caso ontrario, sejam n e m os graus de A e B e sejam a e b os oeientes
de mais alto grau destes polino^mios. Podemos esrever A = (a=b)x
nm
B +A
1
, om deg(A
1
) 0 e irredutvel se seus divisores todos te^m grau 0 ou n (assim generalizando o oneito de
numero primo). O oneito de md tambem se generaliza, omo indiado na proposi~ao abaixo.
Proposi~ao 6.4: Dados polino^mios n~ao nulos A;B 2 K[x existe um unio D 2 K[x (a
menos de multiplia~ao por onstante) tal que DjA, DjB e, para todo C 2 K[x, se CjA e CjB
ent~ao CjD. Alem disso existem E; F 2 Z om D = AE +BF .
25
-
Dem: Denimos I(A;B) = fAE+BF ;E; F 2 K[xg e tomamos D de grau mnimo dentre os
elementos n~ao nulos de I(A;B); o resto da demonstra~ao e analoga a da proposi~ao 1.1.
Polino^mios irredutveis s~ao omo numeros primos: um produto de polino^mios so e multiplo
de um polino^mio irredutvel se um dos fatores o for.
Proposi~ao 6.5: Sejam P um polino^mio irredutvel e sejamA
1
; : : : A
m
2 K[x. Se P j(A
1
A
m
)
ent~ao P jA
i
para algum i, 1 i n.
Dem: Analoga a do orolario 1.3.
Temos tambem um teorema de fatora~ao unia.
Teorema 6.6: Todo polino^mio pode ser fatorado omo um produto de polino^mios irredutveis;
esta fatora~ao e unia a menos da ordem dos fatores.
Dem: Analoga a do teorema fundamental da aritmetia, usando a proposi~ao aima e fazendo
indu~ao no grau do polino^mio.
Os exemplos mais evidentes de polino^mios irredutveis s~ao os da forma x a, a 2 K.
Quando estes s~ao os unios polino^mios irredutveis dizemos que o orpo e algebriamente
fehado. Polino^mios de grau 2 e 3 s~ao irredutveis se e somente se n~ao te^m razes.
O pequeno teorema de Fermat tambem admite uma formula~ao em termos de polino^mios.
Teorema 6.7: Seja p primo; em (Z=(p))[x temos
x
p
x = x(x 1)(x 2) (x (p 1)):
Dem: Os dois polino^mios dos dois lados da equa~ao te^m grau p e o oeiente de x
p
e 1 nos
dois asos. Assim, a diferena tem grau menor do que p mas se anula em p pontos: 0, 1, : : :
p 1. Pelo orolario anterior, esta diferena deve ser o polino^mio zero.
26
-
A partir do teorema aima temos uma nova prova do teorema de Wilson: x
p1
1 =
(x 1)(x 2) (x (p 1)) em (Z=(p))[x, mas o oeiente independente e 1 do lado
esquerdo e (p 1)! do lado direito.
Podemos denir ongrue^nias em K[x:
A B (mod P ) () P j(B A):
As propriedades basias de ongrue^nias podem ser traduzidas para este novo ontexto e pode-
mos denir um quoiente K[x=(P ) da mesma forma omo denimos Z=(n); demonstra-se que
K[x=(P ) e um orpo exatamente quando P e irredutvel.
Prometemos que veramos outros exemplos de orpos nitos alem de Z=(p): o paragrafo
aima ensina que podemos onstruir tais orpos omo (Z=(p))[x=(P ) onde P 2 (Z=(p))[x e
irredutvel. Por exemplo, o polino^mio x
2
+ x+ 1 e irredutvel em (Z=(2))[x o que nos permite
onstruir um orpo de 4 elementos: 0, 1, x e x+1. As opera~oes em Z=(2) e a rela~ao x
2
= x+1
denem as opera~oes neste orpo (denotamos x + 1 por x
0
):
+01xx
001xx
110xx
xxx01
xxx10
*01xx
00000
101xx
x0xx1
x0x1x
De fato existem em (Z=(p))[x polino^mios irredutveis de qualquer grau e todo orpo nito
pode ser onstruido desta forma. Enuniaremos sem demonstra~ao um teorema que lassia
os orpos nitos.
Teorema 6.8: Existe um orpo nito om q elementos se e somente se q e da forma p
n
para
algum primo p e algum inteiro positivo n. Alem disso, dados dois orpos nitos K
1
e K
2
om o
mesmo numero de elementos existe uma unia bije~ao f : K
1
! K
2
om f(a+ b) = f(a)+ f(b)
e f(ab) = f(a)f(b) para quaisquer a; b 2 K
1
.
Uma bije~ao omo a desrita aima e hamada de isomorsmo e dois orpos s~ao ditos
isomorfos se existe entre eles um isomorsmo; a ideia e que orpos isomorfos s~ao iguais a menos
dos nomes dos elementos. Veremos mais tarde outras formas mais onretas de onstruir orpos
nitos.
27
-
7 Ordens e razes primitivas
Dados n; a 2 Z om n > 0 e (a; n) = 1, denimos a ordem de a modulo n, denotada por ord
n
a,
omo sendo o menor inteiro positivo t om a
t
1 (mod n). Analogamente, se K for um orpo
nito e a 2 K, a 6= 0, denimos a ordem de a em K, denotada por ord
K
a, omo sendo o menor
inteiro positivo t om a
t
= 1 2 K; temos ord
p
a = ord
Z=(p)
a.
Claramente a
e
a
e
0
(mod n) se e somente se e e
0
(mod ord
n
a); pelo teorema de Euler,
ord
n
aj'(n).
Dizemos que a e uma raiz primitiva modulo n se ord
n
a = '(n). Analogamente, dizemos
que a e uma raiz primitiva em K se ord
K
a = q 1, onde q = jKj e o numero de elementos
de K. Por exemplo, 2 e raiz primitiva modulo 5 mas 2 n~ao e raiz primitiva modulo 7 (2
3
1
(mod 7)). Tambem e fail veriar que n~ao existe raiz primitiva modulo 8 pois se x e mpar
ent~ao x
2
1 (mod 8). Podemos tambem dizer que a e raiz primitiva se a fun~ao
Z=('(n))! (Z=(n))
r 7! a
r
ou
Z=(q 1)! K
r 7! a
r
e injetora. Como o domnio e ontradomnio s~ao onjuntos nitos om o mesmo numero de
elementos, a fun~ao e injetora se e somente se ela e sobrejetora. Podemos assim dizer que a e
uma raiz primitiva modulo n se e somente se para todo b 2 (Z=(n))
(ou para todo b 2 K
)
existe r om a
r
= b.
Um orolario desta arateriza~ao de razes primitivas e que se a e raiz primitiva modulo n
e mjn ent~ao a e raiz primitiva modulo m. O objetivo da proxima se~ao e araterizar os valores
de n para os quais existe uma raiz primitiva modulo n. Nesta se~ao mostraremos que todo
orpo nito admite raiz primitiva; em partiular existe raiz primitiva modulo p para qualquer
primo p.
Preisamos primeiro de uma vers~ao do pequeno teorema de Fermat para orpos nitos:
28
-
Teorema 7.1: Se K e um orpo nito e q = jKj ent~ao a
q
a = 0 para todo a 2 K.
Dem: Se a = 0 o teorema vale; vamos supor a partir de agora a 6= 0. Sejam b
1
; : : : b
q1
os
elementos n~ao nulos de K. Os elementos ab
1
; : : : ab
q1
s~ao todos n~ao nulos e distintos, logo s~ao
os proprios b
1
; : : : b
q1
, apenas permutados. Assim
b
1
b
2
b
q1
= (ab
1
)(ab
2
) (ab
q1
)
= a
q1
(b
1
b
2
b
q1
)
e a
q1
= 1.
Segue deste teorema que ord
K
ajq 1, analogamente ao que ja sabiamos para Z=(n). A
partir do que vimos sobre polino^mios temos tambem que
x
q
x = x(x b
1
) (x b
q1
)
em K[x.
Teorema 7.2: Se K e um orpo nito ent~ao existe raiz primitiva em K.
Dem: Seja d um divisor de q 1: denimos N(d) omo o numero de elementos de K
de
ordem d. Claramente
P
djq1
N(d) = q 1.
Se N(d) > 0, seja a
d
um elemento de K om ord
K
a
d
= d: os elementos 1; a
d
; a
2
d
; : : : a
d1
d
s~ao
razes do polino^mio x
d
1 = 0. Como este polino^mio tem no maximo d razes, estas s~ao todas
as razes. Assim, os elementos de K de ordem d s~ao preisamente a
r
d
, r 2 (Z=(d))
. Assim os
unios valores possveis para N(d) s~ao 0 e '(d). Mas omo
P
djq1
N(d) =
P
djq1
'(d) = q 1,
temos N(d) = '(d) para todo djq 1. Em partiular N(q 1) > 0 e existem razes primitivas.
Apesar de existirem razes primitivas modulo p para todo primo p n~ao existe uma formula
simples para obter uma raiz primitiva. Por outro lado, onjetura-se que todo inteiro que n~ao
e um quadrado e raiz primitiva para innitos valores de p (onjetura de Artin).
Corolario 7.3: Dados x 2 K
e um inteiro positivo k existe y 2 K
om y
k
= x se e somente
se x
(q1)=md(k;q1)
= 1, onde q = jKj.
29
-
Dem: Se x = y
k
ent~ao x
(q1)=md(k;q1)
= (y
q1
)
k=md(k;q1)
= 1 pois y
q1
= 1. Suponha
agora que x
(q1)=md(k;q1)
= 1. Sejam a uma raiz primitiva de K e r 2 Z om x = a
r
.
Temos (a
r
)
(q1)=md(k;q1)
= 1 donde md(k; q 1) j r e portanto existem inteiros u; v om
ku+ (q 1)v = r. Assim x = a
r
= a
ku+(q1)v
= (a
u
)
k
(a
q1
)
v
= y
k
onde y = a
u
.
8 Razes primitivas em Z=(n)
Nesta se~ao araterizaremos os inteiros n para os quais existe raiz primitiva modulo n.
Lema 8.1: Sejam p um numero primo e a 2 Z uma raiz primitiva modulo p. Ent~ao a ou
a
0
= a+ p e raiz primitiva modulo p
2
.
Dem: Pelo bino^mio de Newton, a
0
p
= (a + p)
p
a
p
(mod p
2
). Sem perda de generalidade,
podemos supor a
p
6 a (mod p
2
) ou a
p1
6 1 (mod p
2
), donde ord
p
2
a 6= p 1. Como p 1 =
ord
p
a j ord
p
2
a j '(p
2
) = p(p 1) isto implia em ord
p
2
a = p(p 1).
Lema 8.2: Se p e um numero primo mpar e a e raiz primitiva modulo p
2
ent~ao a e raiz
primitiva modulo p
k
para todo k > 2, k 2 Z.
Dem: Temos a
p1
1 (mod p), mas a
p1
6 1 (mod p
2
), donde a
p1
= 1 + b
0
p om b
0
6 0
(mod p). Vamos mostrar por indu~ao que a
p
j
(p1)
= 1+ b
j
p
j+1
om b
j
b
0
(mod p). Podemos
esrever
a
p
j+1
(p1)
= (a
p
j
(p1)
)
p
= (1 + b
j
p
j+1
)
p
= 1 + pb
j
p
j+1
+
p
2
b
2
j
p
2j+2
+ + b
p
j
p
pj+p
= 1 + b
j
(1 +
p
2
b
j
p
j
+ b
p1
j
p
(p1)j+p2
)p
j+2
= 1 + b
j+1
p
j+2
om b
j+1
b
j
(mod p) pois o pare^ntesis na penultima linha e da forma 1+ um multiplo de p.
Esta ultima arma~ao segue da positividade dos expoentes de p exeto no aso j = 0; neste
aso o expoente do primeiro termo n~ao trivial e zero mas temos
p
2
0 (mod p) pois p > 2
30
-
(e neste ponto que preisamos da hipotese de p ser mpar). O lema segue de a
(p1)p
k2
6 1
(mod p
k
) por indu~ao, pois teremos (p 1)p
k2
= ord
p
k1 a j ord
p
k a j '(p
k
) = (p 1)p
k1
,
donde ord
p
k
a = (p 1)p
k1
.
Exemplo: 2 e raiz primitiva modulo 5
k
, 8 k 2 N . De fato, 2 e raiz primitiva modulo 5, e, omo
2
4
= 16 6= 1 (modulo 25), 2 e raiz primitiva modulo 25 = 5
2
(omo no Lema 8.1). Portanto,
pelo Lema 8.2, 2 e rais primitiva modulo 5
k
, 8 k 2 N .
Problema resolvido: Mostre que existe n natural tal que os mil ultimos dgitos de 2
n
per-
tenem a f1; 2g.
Solu~ao: Observamos iniialmente que para todo k 2 N existe um numerom
k
de k algarismos,
todos 1 ou 2, divisvel por 2
k
. De fato, m
1
= 2 e m
2
= 12 satisfazem o enuniado.
Seja m
k
= 2
k
r
k
, r
k
2 N . Se r
k
e par, tome m
k+1
= 2 10
k
+m
k
= 2
k+1
(5
k
+ r
k
=2), e se r
k
e mpar, tome m
k+1
= 10
k
+m
k
= 2
k+1
(5
k
+ r
k
)=2.
Como m
1000
2 (modulo 10), 5 n~ao divide r
1000
= m
1000
=2
1000
. Como 2 e raiz primitiva
modulo 5
1000
, existe k 2 N om 2
k
r
1000
(modulo 5
1000
). Logo 2
k
= b 5
1000
+ r
1000
, para
algum b 2 N . Portanto, 2
k+1000
= b 10
1000
+ 2
1000
r
1000
= b 10
1000
+m
1000
, e as 1000 ultimas
asas de 2
k+1000
s~ao as 1000 asas de m
1000
, que pertenem todas a f1; 2g.
Lema 8.3: Seja n > 1. O numero de solu~oes para a ongrue^nia x
2
1 (mod n) e:
1. 1 se n = 2,
2. 2 se n = 4,
3. 4 se n = 2
k
, k > 2,
4. 2 se n = p
k
, p um primo mpar,
5. 2
m+i
se n = 2
k
p
e
1
1
p
e
m
m
, onde i = 0 se k 1, i = 1 se k = 2 e i = 2 se k > 2.
Dem: Os itens (a) e (b) s~ao veriaveis diretamente. As quatro solu~oes no item () s~ao 1,
2
k1
1, 2
k1
+ 1 e 2
k
1. De fato, e fail veriar que estes quatro valores s~ao solu~oes da
31
-
ongrue^nia. Por outro lado, para que a seja solu~ao da ongrue^nia devemos ter 2
k
j(a+1)(a
1) = a
2
1; portanto a deve ser mpar. Um dentre a 1 e a+1 deve ser da forma 2b, b mpar.
Assim o outro deve ser multiplo de 2
k1
, o que diz que a deve ter um dos quatro valores aima.
Analogamente para o item (d), apenas um dentre a1 e a+1 e multiplo de p, o que so permite
as solu~oes 1 e n 1.
Para o item (e) usamos os itens anteriores e o teorema hine^s dos restos: a e solu~ao da
ongrue^nia aima se e somente se a satisfaz a
2
1 (mod 2
k
) e a
2
1 (mod p
e
i
i
) para ada i.
Assim, o numero de solu~oes modulo n e o produto do numero de solu~oes modulo 2
k
, p
e
1
1
, : : : ,
p
e
m
m
, o que nos da a formula do item (e).
Teorema 8.4: Um inteiro n > 1 admite raiz primitiva se e somente se n = 2, n = 4 ou n e
da forma p
k
ou 2p
k
, onde p e um primo mpar, admite raiz primitiva.
Dem: Os asos n = 2 e n = 4 podem ser veriados diretamente. A existe^nia de uma raiz
primitiva modulo p
k
(p um primo mpar) segue dos dois primeiros lemas desta se~ao. Para o
aso 2p
k
, seja a uma raiz primitiva modulo p
k
: a ou a+ p
k
, aquele que for mpar, sera uma raiz
primitiva modulo 2p
k
pois '(2p
k
) = '(p
k
).
Se n n~ao for de uma destas formas, o lema anterior garante que a ongrue^nia x
2
1
(mod n) admite mais de duas solu~oes. Por outro lado, a existe^nia de uma raiz primitiva
a modulo n garante que a ongrue^nia x
2
1 (mod n) so tem as solu~oes 1 e n 1. De
fato, qualquer solu~ao pode ser esrita da forma a
k
para algum k e nossa ongrue^nia torna-se
a
2k
1 (mod n) ou 2k 0 (mod '(n)), que so tem as solu~oes k = 0 (a
k
= 1) e k = ('(n))=2
(a
k
n 1 (mod n)).
Outra demonstra~ao, sem usar o lema anterior, onsiste em observar que se n n~ao for de uma
destas duas formas ent~ao n = n
1
n
2
, om n
1
; n
2
3 e md(n
1
; n
2
) = 1. Temos ent~ao a
'(n)=2
1
(mod n) para todo a inteiro om md(a; n) = 1, pois '(n
1
) j '(n)=2 e '(n
2
) j '(n)=2.
9 A lei da reiproidade quadratia
A lei de Gauss de reiproidade quadratia arma que se p e q s~ao primos ha uma rela~ao direta
entre p ser quadrado modulo q e q ser quadrado modulo p. Este teorema fornee um rapido
32
-
algoritmo para determinar se a e quadrado modulo p onde a e um inteiro e p um numero primo.
Deni~ao 9.1: Seja p um primo e a um inteiro. Denimos o smbolo de Lagrange (
a
p
) por
a
p
=
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
0 se p divide a
1 se a n~ao e quadrado modulo p
1 se p - a e a e quadrado modulo p:
Proposi~ao 9.2: Seja p um primo mpar e a 2 Z tal que p - a. Ent~ao
a
p
a
p1
2
(mod p).
Dem: Sabemos que se p - a ent~ao a
p1
1 (mod p), ou seja, X
p1
1 tem omo razes
1; 2; : : : ; p 1 em Z=(p). Por outro lado, X
p1
1 = (X
p1
2
1)(X
p1
2
+ 1). Se existe b 2 Z
tal que a b
2
(mod p) ent~ao a
1
2
b
p1
1 (mod p); ou seja,
a
p
= 1 a
p1
2
(mod p).
Como X
2
Y
2
(mod p) , X Y (mod p), ha pelo menos
p1
2
quadrados em (Z=(p))
,
logo os quadrados s~ao exatamente as razes de X
p1
2
1 em Z=(p), donde os n~ao quadrados s~ao
exatamente as razes de X
p1
2
+ 1, ou seja, se (
b
p
) = 1 ent~ao b
p1
2
1 (mod p).
Corolario 9.3: Se p e primo mpar ent~ao (
1
p
) = (1)
p1
2
.
Vamos agora reinterpretar a Proposi~ao 1. Seja a 2 (Z=(p))
. Para ada j = 1; 2; : : : ;
p1
2
esrevemos a j omo "
j
m
j
om "
j
2 f1; 1g e m
j
2 f1; 2; : : : ;
p1
2
g. Se m
i
6= m
j
temos
a i = a j ou a i = a j; a primeira possibilidade implia i = j e a segunda e impossvel.
Assim, se i 6= j temos m
i
6= m
j
donde fm
1
; m
2
; : : : ; m
p1
2
g = f1; 2; : : : ;
p1
2
g. Assim
a
p
a
p1
2
=
(a 1)(a 2) (a
p1
2
)
1 2
p1
2
"
1
"
2
"
p1
2
m
1
; m
2
; : : : ; m
p1
2
1 2
p1
2
= "
1
"
2
"
p1
2
(mod p) (1)
donde (
a
p
) = "
1
"
2
: : : "
p1
2
, pois ambos pertenem a f1; 1g. Assim, (
a
p
) = (1)
m
onde m e o
numero de elementos j de f1; 2; : : : ;
p1
2
g tais que "
j
= 1. Como primeira onseque^nia deste
fato temos o seguinte resultado.
33
-
Proposi~ao 9.4: Se p e um primo mpar ent~ao
(
2
p
) = (1)
p
2
1
8
=
8
>
:
1; se p 1 (mod 8);
1; se p 3 (mod 8):
Dem: Se p 1 (mod 4), digamos p = 4k + 1, temos
p1
2
= 2k. Como 1 2j
p1
2
para
j k e
p1
2
< 2j p 1 para k + 1 j 2k, temos
(
a
p
) = (1)
k
=
8
>
:
1; se p 1 (mod 8);
1; se p 5 (mod 8):
Se p 3 (mod 4), digamos p = 4k + 3, temos
p1
2
= 2k + 1. Para 1 j k temos
1 2j
p1
2
e para k + 1 j 2k + 1 temos
p1
2
< 2j p 1, donde
(
a
p
) = (1)
k+1
=
8
>
:
1; se p 3 (mod 8);
1; se p 7 (mod 8):
Teorema 9.5: (Lei de reiproidade quadratia) Sejam p e q primos mpares. Ent~ao (
p
q
) =
(1)
(p1)(q1)=4
(
q
p
).
Dem: Na nota~ao aima, om a = q, para ada j 2 P , onde
P = f1; 2; : : : ; (p 1)=2g;
temos que "
j
= 1 se e so se existe y 2 Z tal que (p 1)=2 qj py < 0. Tal y deve
pertener a Q, onde
Q = f1; 2; : : : ; (q 1)=2g:
Assim, temos que (
q
p
) = (1)
m
onde m = jXj e
X = f(x; y) 2 P Q j (p 1)=2 qx py < 0g ;
34
-
note que qx py nuna assume o valor 0. Analogamente, (
p
q
) = (1)
n
, onde n = jY j e
Y = f(x; y) 2 P Q j 0 < qx py (q 1)=2g :
Da segue que (
p
q
)(
q
p
) = (1)
k
onde k = m+ n = jZj onde
Z = f(x; y) 2 P Q j (p 1)=2 qx py (q 1)=2g
pois qx py nuna assume o valor 0. Temos k = jCj jAj jBj onde C = P Q,
A = f(x; y) 2 C j qx py < (p 1)=2g;
B = f(x; y) 2 C j qx py > (q 1)=2g:
Como jCj = (p 1)(q 1)=4, basta mostrar que jAj = jBj. Mas f : C ! C denida por
f(x; y) = (((p+ 1)=2) x; ((q + 1)=2) y) dene uma bije~ao entre A e B.
10 Extens~oes quadratias de orpos nitos
Sejam p primo e d um inteiro que n~ao seja quadrado perfeito. O anel (Z=(p))[
p
d e o onjunto
fa+ b
p
d; a; b 2 Z=(p)g
onde
(a+ b
p
d) + (~a+
~
b
p
d) = (a+ ~a) + (b +
~
b)
p
d
(a+ b
p
d)(~a+
~
b
p
d) = (a~a+ db
~
b) + (a
~
b + ~ab)
p
d:
Por deni~ao,
a+ b
p
d = ~a+
~
b
p
d, a = ~a; b =
~
b:
Como grupo aditivo, (Z=(p))[
p
d = Z=(p)Z=(p). Vamos investigar a estrutura multipliativa
de (Z=(p))[
p
d. Observemos iniialmente que, se d e um quadrado modulo p ent~ao (Z=(p))[
p
d
n~ao pode ser um orpo, pois se a
2
= d em Z=(p) ent~ao (a+
p
d)(a
p
d) = 0 em (Z=(p))[
p
d.
A proxima proposi~ao e uma reproa deste fato:
35
-
Proposi~ao 10.1: Se (
d
p
) = 1 ent~ao (Z=(p))[
p
d e um orpo.
Dem: De fato, se (a; b) 6= (0; 0), (a+ b
p
d)
1
= (a b
p
d)=(a
2
db
2
). Temos que a
2
db
2
2
(Z=(p))
, pois d n~ao e quadrado mod p, logo, se b 6= 0, a
2
db
2
= 0, que equivale a d = (a=b)
2
seria uma ontradi~ao e, se b = 0, a
2
db
2
= a
2
6= 0 pois (a; b) 6= (0; 0)) a 6= 0) a
2
6= 0.
Problemas:
1) Sejam a; n > 1 inteiros. Prove que
i) Se a
n
1 e primo ent~ao a = 2 e n e primo.
ii) Se a
n
+ 1 e primo ent~ao n = 2
k
para algum inteiro k.
2) Prove que existem innitos numeros primos ongruentes a 3 modulo 4.
3) Determine todos os n naturais tais que (2
n
1)=n e inteiro.
4) Determine todos os n naturais que (2
n
+ 1)=n
2
e inteiro.
5) Prove que se a e b s~ao naturais e (a
2
+ b
2
)=(ab + 1) e inteiro ent~ao (a
2
+ b
2
)=(ab + 1) e
quadrado perfeito.
6) Sejam a; n 2 N
. Considere a seque^nia (x
n
) denida por x
1
= a, x
k+1
= a
x
k
, 8 k 2 N .
Mostre que existe N 2 N tal que x
k+1
x
k
(modulo n), para todo k N .
Obs.: Os Problemas 4 e 5 foram propostos na 31
a
e na 29
a
Olimpada Internaional de
Matematia (1990 e 1988) respetivamente.
36
-
CAP
ITULO 2
Numeros Primos
1 Sobre a distribui~ao dos numeros primos
Ja vimos que existem innitos primos; o teorema dos numeros primos da uma estimativa de
quantos primos existem ate um inteiro x, ou seja, desreve a distribui~ao dos primos. Dena
(x) omo sendo o numero de primos p om 2 p x.
Teorema 1.1: (Teorema dos numeros primos)
lim
x!1
(x)
x= logx
= 1:
Observe que aqui e em todo o livro log denota o logaritmo natural. Este resultado foi
onjeturado por varios matematios, inlusive por Legendre e Gauss, mas a demonstra~ao
ompleta so foi enontrada em 1896, por de la Vallee Poussin e Hadamard (independente-
mante). N~ao demonstraremos este teorema: as demonstra~oes elementares onheidas s~ao
todas bastante difeis (lembramos que uma demonstra~ao e dita elementar quando n~ao usa
ferramentas avanadas: muitas demonstra~oes elementares s~ao longas e sostiadas). Daremos
uma demonstra~ao da seguinte proposi~ao (devida a Thebyhe) que e laramente uma vers~ao
fraa do teorema dos numeros primos.
Proposi~ao 1.2: Existem onstantes positivas < C tais que
x
log x
< (x) < C
x
logx
para todo x 2.
Dem: Observemos iniialmente que
2n
n
=
(2n)!
n!n!
e multiplo de todos os primos p que satisfazem
n < p 2n. Como
2n
n
0 existe C > 0 tal que,para todo x,
j(x) Li(x)j C
x
(log x)
k
;
o que mostra que Li(x) (e mesmo x=(log x 1)) e uma aproxima~ao de (x) bem melhor do
que x= logx.
A hipotese de Riemann, ja menionada, equivale a dizer que para todo " > 0 existe C om
j(x) Li(x)j Cx
1=2+"
;
ninguem sabe demonstrar que esta estimativa seja orreta sequer para algum valor de " < 1=2.
A hipotese de Riemann tambem implia que existe C om
j(x) Li(x)j Cx
1=2
logx;
o que daria uma estimativa para o tamanho deste erro muito melhor de que as que se sabe
demonstrar. Por outro lado, sabe-se demonstrar que n~ao pode existir nenhuma estimativa
muito melhor do que esta para j(x) Li(x)j: existe uma onstante C > 0 e inteiros x
1
e x
2
arbitrariamente grandes om
(x
1
) Li(x
1
) < C
p
x
1
log log log x
1
log x
1
;
(x
2
) Li(x
2
) > C
p
x
2
log log logx
2
logx
2
:
40
-
2 Outros resultados e onjeturas sobre primos
Nesta se~ao veremos o enuniado de alguns resultados lassios sobre numeros primos. Tambem
veremos varios problemas em aberto famosos.
Teorema 2.1: (Dirihlet) Dados naturais a; d om md(a; d) = 1, existem innitos primos da
forma a+ dn (om n natural).
A demonstra~ao usual deste teorema usa variaveis omplexas. Muitos asos partiulares
admitem demonstra~oes elementares mais ou menos simples. O leitor n~ao deve ter diuldade
em demonstrar, por exemplo, que existem innitos primos da forma 4n + 3 ou 6n+ 5.
Existem varios renamentos onheidos do teorema de Dirihlet. Denimos
d;a
(x) omo
sendo o numero de primos da forma a+ dn no intervalo [2; x. De la Vallee Poussin provou que
lim
x!+1
d;a
(x)
(x)
=
1
'(d)
;
isto e, todas as possveis lasses modulo d te^m aproximadamente a mesma propor~ao de primos.
Por outro lado, Thebyhe observou que para valores pequenos de x
3;2
(x)
3;1
(x) e
4;3
(x)
4;1
(x) s~ao positivos. Um teorema de Littlewood, entretanto, demonstra que estas
fun~oes mudam de sinal innitas vezes. Em 1957, Leeh demonstrou que o menor valor de x
para o qual
4;3
(x)
4;1
(x) = 1 e 26861 e em 1978 Bays e Hudson demonstraram que o
menor valor de x para o qual
3;2
(x)
3;1
(x) = 1 e 608981813029.
Seja p(d; a) o menor primo da forma a+ dn, n inteiro e
p(d) = maxfp(d; a) j 0 < a < d;md(a; d) = 1g:
Linnik (1944) provou que existe L > 1 om p(d) < d
L
para todo d suientemente grande. A
melhor estimativa onheida para L e L 5; 5, devida a Heath-Brown (1992), que tambem
onjeturou que
p(d) Cd(log d)
2
:
Por outro lado, n~ao se sabe demonstrar que existam innitos primos da forma n
2
+1; alias,
n~ao existe nenhum polino^mio P em uma variavel e de grau maior que 1 para o qual se saiba
41
-
demonstrar que existem innitos primos da forma P (n), n 2 Z. Por outro lado, existem muitos
polino^mios em mais de uma variavel que assumem innitos valores primos: por exemplo, prova-
se failmente que todo primo da forma 4n+1 pode ser esrito tambem na forma a
2
+b
2
, a; b 2 Z.
Por outro lado, Friedlander e Iwanie provaram reentemente um resultado muito mais difil:
que existem innitos primos da forma a
2
+ b
4
.
Um dos problemas em aberto mais famosos da matematia e a onjetura de Goldbah: todo
numero par maior ou igual a 4 e a soma de dois primos. Chen demonstrou que todo numero
par suientemente grande e a soma de um primo om um numero om no maximo dois fatores
primos. Vinogradov demonstrou que todo mpar suientemente grande (por exemplo, maior
do que 3
3
15
) e uma soma de tre^s primos.
Quando p e p + 2 s~ao ambos primos, dizemos que eles s~ao primos ge^meos. Conjetura-se,
mas n~ao se sabe demonstrar, que existem innitos primos ge^meos. Brun, por outro lado, provou
que primos ge^meos s~ao esassos no seguinte sentido: se
2
(x) e o numero de pares de primos
ge^meos ate x ent~ao
2
(x) 1000 oorre para
p
n
= 1693182318746371, quando d
n
= 1132, o que foi desoberto reentemente por T. Niely e
D. Nyman.
Sierpinski provou que existem innitos numeros naturais k tais que k 2
n
+1 e omposto para
todo natural n e Riesel provou o mesmo resultado para k 2
n
1. Conjetura-se que os menores
valores de k om as propriedades aima s~ao respetivamente 78557 e 509203. Ha um projeto
ooperativo, que onsiste em prourar primos grandes, para demonstrar estas onjeturas (veja
http://vamri.xray.ufl.edu/proths/).
O leitor interessado em aprender mais sobre problemas em aberto em teoria dos numeros
pode onsultar [Guy.
43
-
3 Formulas para primos e testes de primalidade
Menionamos na introdu~ao deste aptulo que n~ao se onhee nenhuma formula simples para
gerar primos arbitrariamente grandes. Uma palavra impreisa mas importante nesta frase e
\simples". Existem formulas que geram numeros primos, mas que s~ao t~ao ompliadas que n~ao
ajudam muito nem a gerar numeros primos expliitamente nem a responder perguntas teorias
sobre a distribui~ao dos primos. Um exemplo de formula para p
n
, o n-esimo primo, e
p
n
=
6
6
6
4
1
1
log 2
log
0
1
2
+
X
djP
n1
(d)
2
d
1
1
A
7
7
7
5
;
onde P
n1
= p
1
p
2
p
n1
; deixamos a demonstra~ao a argo do leitor. Outra formula e
p
n
= b10
2
n
10
2
n1
b10
2
n1
;
onde
=
1
X
n=1
p
n
10
2
n
= 0:0203000500000007 : : : :
A inutilidade desta ultima formula vem do fato que para alular devemos enontrar todos os
primos; a formula se tornaria mais interessante se existisse outra interpreta~ao para o numero
real , o que paree muito improvavel. Por outro lado, existe um numero real a > 1 tal que
ba
3
n
e sempre primo.
Um tipo de formula para primos, de erta forma mais intrigante, s~ao polino^mios de o-
eientes inteiros em S variaveis om a seguinte propriedade quase magia: a interse~ao da
imagem de N
S
om N e exatamente o onjunto dos numeros primos. Note que se tomarmos
um ponto de N
S
\ao aaso", o valor do polino^mio neste ponto quase ertamente sera negativo;
assim, e difil usar o polino^mio para gerar primos. A ttulo de uriosidade, vejamos um exem-
plo de polino^mio om estas propriedades; aqui N = 26, o valor do polino^mio e P , as variaveis
44
-
hamam-se a; b; : : : ; z e A;B; : : : ; N s~ao express~oes auxiliares:
P = (k + 2)(1 A
2
B
2
C
2
N
2
);
A = wz + h+ j q;
B = (gk + 2g + k + 1)(h+ j) + h z;
C = 16(k + 1)
3
(k + 2)(n+ 1)
2
+ 1 f
2
;
D = 2n+ p+ q + z e;
E = e
3
(e+ 2)(a+ 1)
2
+ 1 o
2
;
F = (a
2
1)y
2
+ 1 x
2
;
G = 16r
2
y
4
(a
2
1) + 1 u
2
;
H = ((a+ u
2
(u
2
a))
2
1)(n+ 4dy)
2
+ 1 (x + u)
2
;
I = (a
2
1)l
2
+ 1m
2
;
J = ai + k + 1 l i;
K = n + l + v y;
L = p+ l(a n 1) + b(2an + 2a n
2
2n 2)m;
M = q + y(a p 1) + s(2ap+ 2a p
2
2p 2) x;
N = z + pl(a p) + t(2ap p
2
1) pm:
Algumas observa~oes simples: a unia forma de P ser positivo e se A = B = = N = 0;
neste aso seu valor sera k + 2. Vemos assim que para produzir um numero primo P om
este polino^mio devemos antes de mais nada tomar k = P 2. As express~oes auxiliares viram
equa~oes: omo A = 0 temos q = wz + h + j. Assim, dado k para o qual k + 2 e primo,
preisamos prourar valores para as outras letras que satisfaam estas equa~oes. Estes valores
de erta forma enodiam uma demonstra~ao de que P = k + 2 e primo.
4 Testes de primalidade baseados em fatora~oes de n 1
Proposi~ao 4.1: Seja n > 1. Se para ada fator primo q de n 1 existe um inteiro a
q
tal
que a
n1
q
1 (mod n) e a
(n1)=q
q
6 1 (mod n) ent~ao n e primo.
45
-
Dem: Seja q
k
q
a maior pote^nia de q que divide n 1. A ordem de a
q
em (Z=(n))
e um
multiplo de q
k
q
, donde '(n) e um multiplo de q
k
q
. Como isto vale para todo fator primo q de
n 1, '(n) e um multiplo de n 1 e n e primo.
Proposi~ao 4.2: (Poklington) Se n 1 = q
k
R onde q e primo e existe um inteiro a tal que
a
n1
1 (mod n) e md(a
(n1)=q
1; n) = 1 ent~ao qualquer fator primo de n e ongruo a 1
modulo q
k
.
Dem: Se p e um fator primo de n ent~ao a
n1
1 (mod p) e p n~ao divide a
(n1)=q
1, donde
ord
p
a, a ordem de a modulo p, divide n 1 mas n~ao divide (n 1)=q. Assim, q
k
j ord
p
ajp 1,
donde p 1 (mod q)
k
.
Corolario 4.3: Se n 1 = FR, om F > R e para todo fator primo q de F existe a > 1 tal
que a
n1
1 (mod n) e md(a
(n1)=q
1; n) = 1 ent~ao n e primo.
Dem: Seja q um fator primo de F e q
k
a maior pote^nia de q que divide F ; pela proposi~ao
anterior, todo fator primo de n deve ser o^ngruo a 1 modulo q
k
. Como isto vale para qualquer
fator primo de F , segue que qualquer fator primo de n deve ser o^ngruo a 1 modulo F . Como
F >
p
n, isto implia que n e primo.
De fato, basta onheer um onjunto de fatores primos ujo produto seja maior do que
(n 1)
1=3
para, usando o resultado de Poklington, tentar demonstrar a primalidade de n (o
que deixamos omo exerio). Os seguintes riterios lassios s~ao onseque^nias diretas das
proposi~oes aima.
Fermat onjeturou que todo numero da forma F
n
= 2
2
n
+ 1 fosse primo e veriou a
onjetura para n 4. Observe que 2
n
+ 1 (e em geral a
n
+ 1 om a 2) n~ao e primo se
n n~ao e uma pote^nia de 2: se p e um fator primo mpar de n, podemos esrever a
n
+ 1 =
b
p
+1 = (b+1)(b
p1
b
p2
+ + b
2
b+1) onde b = a
n=p
. Euler mostraria mais tarde que F
5
n~ao e primo (temos F
5
= 4294967297 = 641 6700417) e ja se demonstrou que F
n
e omposto
para varios outros valores de n; nenhum outro primo da forma F
n
= 2
2
n
+ 1 e onheido, mas
se onheem muitos primos (alguns bastante grandes) da forma a
2
n
+ 1, que s~ao onheidos
omo primos de Fermat generalizados. O teste a seguir mostra omo testar eientemente a
primalidade de F
n
.
46
-
Corolario 4.4: (Teste de Pepin) Seja F
n
= 2
2
n
+1; F
n
e primo se e somente se 3
(F
n
1)=2
1
(mod F
n
).
Dem: Se 3
(F
n
1)=2
1 (mod F
n
) ent~ao a primalidade de F
n
segue da Proposi~ao 4.1. Por
outro lado, se F
n
e primo ent~ao 3
(F
n
1)=2
(
3
F
n
) = (
F
n
3
) = (
2
3
) = 1 (mod F
n
).
Corolario 4.5: (Teorema de Proth; 1878) Seja n = h 2
k
+ 1 om 2
k
> h. Ent~ao n e primo
se e somente se existe um inteiro a om a
(n1)=2
1 (mod n).
Dem: Se n e primo, podemos tomar a qualquer om (
a
n
) = 1; ou seja, metade dos inteiros
entre 1 e n 1 serve omo a. A reproa segue do Corolario 4.3 om F = 2
k
.
Corolario 4.6: Se n = h q
k
+ 1 om q primo e q
k
> h. Ent~ao n e primo se e somente se
existe um inteiro a om a
n1
1 (mod n) e md(a
(n1)=q
1; n) = 1.
Dem: Se n e primo, podemos tomar a qualquer que n~ao seja da forma x
q
modulo n; ou seja,
uma propor~ao de (q 1)=q dentre inteiros entre 1 e n 1 serve omo a. A reproa segue do
Corolario 4.3 om F = q
k
.
Uma expressiva maioria entre os 100 maiores primos onheidos est~ao nas ondi~oes do
teorema de Proth (ver tabelas). Isto se deve ao fato de primos desta forma serem frequentes
(mais frequentes do que, por exemplo, primos de Mersenne) e que sua primalidade e failmente
demonstrada usando este resultado.
5 Primos de Mersenne
Um numero de Mersenne e um numero da forma M
p
= 2
p
1. Os 5 maiores numeros primos
onheidos atualmente s~ao primos de Mersenne. O maior deles e 2
13466917
1, desoberto em
14/11/2001. Este e um dos dois primos onheidos om mais de um milh~ao de dgitos. O
outro e 2
6972593
1 (tambem primo de Mersenne). Ambos foram desobertos pelo GIMPS (veja
www.mersenne.org). O riterio de Luas-Lehmer, que apresentaremos nesta se~ao, e um dos
fatores para que isso oorra pois fornee um teste de primalidade bastante rapido para numeros
de Mersenne. Vejamos primeiramente que 2
p
1 so tem hane de ser primo quando p e primo.
Proposi~ao 5.1: Se 2
n
1 e primo ent~ao n e primo.
47
-
Dem: Se n = ab om a; b 2 ent~ao 1 < 2
a
1 < 2
n
1 e 2
n
1 = 2
ab
1 = (2
a
)
b
1 1
b
1 = 0
(mod 2
a
1) e 2
n
1 e omposto.
Por outro lado, n~ao se sabe demonstrar nem que existam innitos primos de Mersenne nem
que existem innitos primos p para os quais M
p
e omposto. Conjetura-se, entretanto, que
existam innitos primos p para os quais M
p
e primo e que, se p
n
e o n-esimo primo deste tipo,
temos
0 < A 0 e b mpar, um numero perfeito par. Temos (n) =
2n = (2
k
)(b) donde 2
k+1
b = (2
k+1
1)(b) (2
k+1
1)(b + 1), valendo a igualdade apenas
se b for primo. Desta desigualdade temos b 2
k+1
1. Por outro lado, omo (2
k+1
1)j2
k+1
b
e (2
k+1
1; 2
k+1
) = 1, temos (2
k+1
1)jb e 2
k+1
1 b. Assim b = 2
k+1
1 e 2
k+1
b =
(2
k+1
1)(b + 1), donde b e primo. Pela proposi~ao 3.9, p = k + 1 e primo, b = M
p
e
n = 2
p1
M
p
.
Por outro lado, um dos problemas em aberto mais antigos da matematia e o da existe^nia
de numeros perfeitos mpares. Sabe-se apenas que um numero perfeito mpar, se existir, deve
ser muito grande (mais de 300 algarismos) e satisfazer simultaneamente varias ondi~oes om-
pliadas.
Conjetura 5.3: N~ao existe nenhum numero perfeito mpar.
Nosso proximo resultado e o riterio de Luas-Lehmer, a base dos algoritmos que testam
para grandes valores de p se 2
p
1 e ou n~ao primo:
Teorema 5.4: Seja S a seque^nia denida por S
0
= 4, S
k+1
= S
2
k
2 para todo natural k.
Seja n > 2; M
n
= 2
n
1 e primo se e somente se S
n2
e multiplo de M
n
.
Dem: Observemos iniialmente que
S
n
= (2 +
p
3)
2
n
+ (2
p
3)
2
n
para todo natural n. A demonstra~ao por indu~ao e simples: laramente S
0
= 4 = (2+
p
3)
2
0
+
(2
p
3)
2
0
e
S
k+1
= S
2
k
2 = ((2 +
p
3)
2
k
+ (2
p
3)
2
k
)
2
2
= ((2 +
p
3)
2
k
)
2
+ 2 (2 +
p
3)
2
k
(2
p
3)
2
k
+ ((2
p
3)
2
k
)
2
2
= (2 +
p
3)
2
k+1
+ (2
p
3)
2
k+1
:
49
-
Suponha por absurdo que M
n
j(2+
p
3)
2
n2
+(2
p
3)
2
n2
e que M
n
seja omposto, om um
fator primo q om q
2
< M
n
. Teremos (2+
p
3)
2
n2
+(2
p
3)
2
n2
0 (mod q) donde, no grupo
multipliativoG = (Z=(q)[
p
3)
, temos (2+
p
3)
2
n2
= (2
p
3)
2
n2
: Como 2
p
3 = (2+
p
3)
1
esta equa~ao pode ser reesrita omo (2 +
p
3)
2
n1
= 1 (ainda em G), o que signia que a
ordem de 2 +
p
3 em G e exatamente 2
n
. Isto e um absurdo, pois o numero de elementos de
G e apenas q
2
1 < 2
n
. Fia portanto demonstrado que se S
n2
e multiplo de M
n
ent~ao M
n
e
primo.
Suponha agora M
n
primo, n > 2. Lembramos que n e um primo mpar. Por reiproidade
quadratia temos (
3
M
n
) = (
M
n
3
) = 1, pois 3 M
n
1 (mod 4) e M
n
1 (mod 3).
Assim, 3 n~ao e um quadrado em Z=(M
p
) e K = Z=(M
p
)[
p
3 e um orpo de ordem M
2
n
. Alem
disso, 3
m
n
1
2
= (
3
M
n
) = 1 em K. Queremos provar que (2 +
p
3)
2
n2
+ (2
p
3)
2
n2
0
(mod M)
p
, ou seja, que e igual a 0 em K. Isto equivale a demonstrarmos que temos (2 +
p
3)
2
n2
= (2
p
3)
2
n2
em K, o que pode ser reesrito omo (2 +
p
3)
2
n1
= 1; devemos
portanto provar que a ordem de 2 +
p
3 e exatamente 2
n
. Note que 2
n
= M
n
+ 1 donde
(2 +
p
3)
2
n
= (2 +
p
3)
M
n
(2 +
p
3) = (2
p
3)(2 +
p
3) = 1 (note que, em K, (2 +
p
3)
M
n
=
(2
M
n
+
p
3)
M
n
= 2 + 3
M
n
1
2
p
3 = 2
p
3); assim e laro que a ordem de 2 +
p
3 e um divisor
de 2
n
.
Como K
tem M
2
n
1 = 2
n+1
(2
n1
1) elementos, devemos provar que 2 +
p
3 n~ao e uma
quarta pote^nia em K. Note que (2 +
p
3)
2
n
= 1 demonstra que 2 +
p
3 e um quadrado, o