isak karabegovic - dinamkia i oscilacije (poglavlje 13)

7/23/2019 Isak Karabegovic - Dinamkia i Oscilacije (Poglavlje 13)

http://slidepdf.com/reader/full/isak-karabegovic-dinamkia-i-oscilacije-poglavlje-13 1/30

UVOD

Udar kao pojava vrlo je est u tehnikoj praksi i zato je bitno poznavanjedinamikih zakona koji se mogu primijeniti pri prouavanju ove pojave. Udar se javlja pri

tehnološkim operacijama obrade materijala, kao što je sluaj kod kovanja; ali isto tako i u

više mašinskih sklopova (reduktor, mjenja itd.).Sve mehanike veliine koje su do sada korištene u mehanici (sila, brzina, ubrzanje, ugaona

brzina itd.) bile su neprekidne funkcije vremena. Me#utim, kod udara se one naglomijenjaju što sam udar ini specifinim.

Udar predstavlja takvu mehaniku pojavu pri kojoj se u veoma kratkom

vremenskom intervalu brzina materijalne take promijeni za konanu veliinu. Shodnotome javljaju se sile koje traju vrlo kratko i imaju vrlo velike intenzitete; to su tzv. udarne

sile.Udar kao pojava okarakterisana je sljede$im veliinama:

-

Vrijeme udara τ predstavlja vremenski interval u kome se udar odvija. Vrlo jekratko tako da se kre$e negdje oko hiljaditog dijela sekunde.

-

Udarna sila koja se javlja na mjestu udara sa vrlo velikim intenzitetom. U toku

udara ona mijenja intenzitet (i pravac) i predstavlja vektorsku veliinu.

-

Udarni impuls koji nastaje kao posljedica udarne sile F tj.

∫ =τ

dt F I rr

Kako je vrijeme udara τ vrlo mala veliina, a intenzitet sile F vrlo velika to udarni

impulsima konanu vrijednost; pa su projekcije impulsa I na ose Descartesovog

koordinatnog sistema

Teorija udara



∫

∫

∫

=

=

=

τ

τ

τ

0

0

0

dt F I

dt F I

dt F I

z z

y y

x x

gdje su F x, F y i F z projekcije sile F na osi koordinatnog sistema, koje su tako#er funkcije

vremena, tj.

F x = F x(t )

F y = F y(t )

F z = F z (t )

Na osnovu gornjih jednaina mogu se definisati srednje vrijednosti projekcija udarne sile naslijede$i nain

τ

τ

τ

τ

τ

τ

z z z

y y y

x x x

F dt F I

F dt F I

F dt F I

==

==

==

∫

∫

∫

0

0

0

Impuls neudarnih sila koje imaju konanu veliinu u toku udara u vremenskom intervalu τ,

može da se zanemari. Tako, naprimjer, impuls težine G u intervalu τ je:

0 je jer0 ≈≈= ττG I G

Zbog toga $e u daljnjim djelovima ovog poglavlja, pri prouavanju problema udara u obzirdolaziti samo udarne sile i udarni impulsi. Isto tako treba napomenuti da se pomjeranja svihtaaka u toku vremena prilikom udara mogu zanemariti, pošto udar traje vrlo kratko. Još jedna od osnovnih karakteristika udara je ta da se on odvija u jednom položaju, pa se možezakljuiti da se zakon o promjeni kinetike energije, koji podrazumjeva izraunavanje rada

sila, ne može primjenjivati. Ve$ina rezultata do kojih se dolazi u teoriji udara proizišli su naosnovu zakona o promjeni koliine kretanja i momenta koliine kretanja.

13.1. DEJSTVO UDARNIH SILA NA MATERIJALNU TAKU

Ako iz sistema materijalnih taaka izdvojimo proizvoljnu materijalnu taku Mi mase mi, na koju

dejstvuje istovremeno sistem udarnih sila

n F F F F ,...,,, 321 , i primjenimo zakon o promjeni

koliine kretanja take za vrijeme trajanja udara,

osnovna jednaina teorije udara $e za tu takuglasiti:

R

u

i

s

iiiiii I I I I vmvm

rr=+==− Σ' (13.1.)

x

A

r

iv

′ivr

1 F2

F

3 F

i Fn F

R F

Slika 13.1. Istovremeno dejstvo sistemaudarnih sila na materijalnu ta ku



gdje su:

−iv brzina take prije udara

−'

iv brzina take poslije udara

− s

i I rezultuju$i udarni impuls spoljašnjih udarnih sila

−u

i I rezultuju$i udarni impuls unutrašnjih udarnih sila

∫ −==τ

Σ0

dt F I I Ri R

rrrrezultuju$i udarni impuls

Projektovanjem jednaine (13.1.) na ose x, y, z , dobijaju se skalarne jednaine

Rz iz z z

Ryiy y y

Rxix x x

I I mvmv

I I mvmv

I I mvmv

==−

==−

==−

Σ

Σ

Σ

'

'

'

(13.2.)

jednaina (13.1.) predstavlja izraz zakona o promjeni koliine kretanja materijalne take priudaru tako da možemo re$i:

-

Promjena koliine kretanja materijalne take za vrijeme udara jednaka je udarnom

impulsu koji dejstvuje na taku.Ako se mjerenjem utvrde projekcije brzine na osu x prije i poslije udara, kao i vrijeme

trajanja udara τ, može se odrediti srednja vrijednost projekcije rezultuju$e udarne sile naosu x; tako da na sonovu jednaine (13.2.) imamo:

τ

τ

x x Rx

x x Rx Rx

mvmv F

mvmv F I

−=

−=='

'

(13.3.)

Ako razmotrimo promjenu momenta koliine kretanja take; odnosno množe$i vektorsku

jednainu (13.1.) vektorom položaja r dobijamo:

Ri I

A

I

A A A

Ri

M M L L

I xr I xr v xmr v xmr rr rrrr

rrrrrr

==−

==−

'

'

'

Σ

Σ (13.4.)

gdje su:

− A A L L i' momenti koliine kretanja take za taku A prije i poslije udara, pri

uslovu r = const. u toku udara

−i I

A M

r

moment udarnog impulsa i-te sile za taku A.

Na osnovu ovog možemo zakljuiti:

Promjena koliine kretanja materijalne take na ose nepokretnog sistemareferencije jednaka je projekcijama na te ose udarnog impulsa; tj.

Ri

Ri

Ri

I

z

I

z z z

I

y

I

y y y

I

x

I

x x x

M M L L

M M L L

M M L L

rr

rr

==−

==−

==−

Σ

Σ

Σ

'

'

'

(13.5.)

Ako se desi da je pri udaru R I

A M

r

= 0, onda je A A

L L =' tj. važi zakon o održanju momenta

koliine kretanja take za taku A.



13.2. PRAVI UDAR KUGLE O NEPOMINU POVRŠINU

Kugla mase m kre$e se translatorno brzinom v i udari o nepominu površ, što je prikazano na slici 13.2. Eksperiment

pokazuje da $e se kugla nakon udara odbitiu pravcu normale na površinu brzinom v',koja je nešto manja od brzine v.

Promjena koliine kretanja tijela bit $e jednaka impulsu udarne sile

u

u

u

I vvm

I vvm

I vvm

=−

=−=−

'(

)'(

)( '

(13.6.)

a) prije udara b) poslije udara

Slika 13.2. Pravi udar kugle o nepomi nu površ

Do razlike brzina prije i poslije sudara dolazi zbog elastinih svojstava materijala. U prvoj

fazi udara tijela o nepokretnu plou, brzina tijela se smanjuje na nulu. Tijelo se pri tomedeformiše i njegova kinetika energija prelazi u unutrašnju potencijalnu energijudeformiranog tijela. U drugoj fazi sudara (restitucija) tijelo pod djelovanjem unutrašnjih

elastinih sila nastoji da vrati svoj prijašnji oblik. Njegova unutrašnja potencijalna prelazi ukinetiku energiju. Kako tijelo nije idealno elastino, to se dio energije izgubi na trajnudeformaciju, a dio na zagrijavanje tijela u sudaru i njihove okoline. Zbog toga $e brzina v'

poslije udara biti manja od brzine v prije sudara.

Odnos ovih brzina se naziva koeficijent restitucije pri sudaru, tj.

k = v'/v 0 ≤ k ≤ 1 (13.7.)

Koriste$i jednaine (13.6.) (13.7.) dobijamo

m(v' – v) = I u

mv' – m(-v) = I u

mv' + mv = I u I u = m(1 + k ) v (13.8.)

Ako oznaimo sa I'u, Inu veliinu udarnih impulsa u prvom i drugom periodu, tj. u

vremenskim intervalima 0 - τ1 i τ1 - τ, onda se na osnovu jednaine (13.2.) dobija

k I

I

dt F I mv

dt F I mv

u

u

nu

nu

=

==−+

+=+=+

∫

∫

'

''

''0'

'0

1

1

0τ

τ

τ

(13.9.)

Na osnovu ovog možemo zakljuiti, da veliina udarnog impulsa zavisi od koeficijenta

restitucije k . Veliina koeficijenta restitucije k može se odrediti eksperimentalno. Pustimokuglicu da pada bez poetne brzine sa visine H iznad površi (slika 13.3.).

Am

v=0

v

n n

linija udara

v ′

n F

v'=0A(m)



Mjerenjem utvrdimo visinu h do koje $e se

kuglica vratiti nakon sudara s ploom.Znamo, da je iz jednaine za slobodni padtijela

12

2'

2' i 2

<===

==

H

h

gH

gh

v

vk

ghv gH v

(13.10.)

Slika 13.3.

MATERIJAL k

U slijede$oj tabeli su dati koeficijentirestitucije pri sudaru tijela razliitih materijala

za brzine sudara manje od 3m/s.Treba napomenuti da pri ovakvom odre#ivanjukoeficijenta k nije uzet u obzir otpor vazduha.

Drvo o gumuDrvo o drvo

&elik o elikSlonovaa o slonovauStaklo o staklo

0,260,50

0,550,890,94

Tabela 13.1. Koeficijent restitucije

13.3.

KOSI UDAR KUGLE U NEPOMINU POVRŠINU

Razmotrimo sluaj kada idealno glatka kugla masem, kre$u$i se translatornom brzinom v udari o

nepominu masivnu površ pod uglom α u odnosu na

normalu n , što je prikazano na slici. Potrebno je

odrediti veliinu v' brzine poslije udara i ugao izme#u brzine v' i normale. Polaze$i od pretpostavke da je površ idealno glatka, u toku udara $e na kuglu

dejstvovati normalna sila n F iji impuls u I ima

pravac normale n. Pošto nema trenja, a time nitangencijalnih sila, nema ni momenata sila za središte

kugle, pa $e i ona poslije udara nastaviti translatornokretanje.

Slika 13.4. Brzinu v' $emo odrediti pomo$u jednaine:

u I vmvm rr

=−' koju $emo projektovati na pravac tangente t i pravac normale n.

u I mvmvn

mvmvt

=−−=−

)cos(cos' :

0sinsin' :

αβ

αβr (13.11)

Iz predhodnih jednaina, tj. projekcija na tangentni pravac vidimo da se tangencijalnakomponenta brzine pri udaru ne mijenja. Pošto u gornjem sistemu jednaina imamo tri

n

v ′

v

v

H

h

( ) m

n

v v ′

u I

n F

t



nepoznate veliine v', ) I u, potrebna je još jedna jednaina. Ona proizilazi iz definicije

koeficijenta restitucije k udara tj.:

α

β

cos

cos''

v

v

v

vk

n == (13.12)

Rješenjem ovog sistema jednaina, dobivamo

α

αα

αβ

cos)1(

cossin'

1

222

k mv I

k vv

tg k

tg

+=+=

=

(13.13)

Iz datih rezultata se vidi da je ) ≥ α i v' ≤ v.

Pri nepotpuno elastinom udaru k < 1 pa slijedi da je ) > α tj. odbojni ugao ) je ve$i od

upadnog α. U sluaju potpuno elastinog udara k = 1 pa je ) = α tj. odbojni ugao ) je

jednak upadnom α.

13.4. TEORIJA UDARA SISTEMA MATERIJALNIH TAAKA

Posmatrajmo sistem koji se sastoji od n materijalnih taaka i pretpostavimo da je u položaju prikazanom na slici 13.5. došlo

do udara. Kažemo da je do udara došloako barem u jednoj taki dejstvuju udarne

sile. Uzrok udara može biti spoljašnji –uslijed dejstva tijela van sistema na sistem,ili unutrašnji – uslijed me#usobnog sudarataaka ili tijela posmatranog sistema.

Ovdje treba napomenuti da uslijedme#usobne povezanosti tijela i taakasistema (unutrašnje – mehanike veze)

dejstvo udarnih sila na jednom elementusistema izaziva udarne sile i na drugimelementima sistema.

Slika 13.5. Dejstvo udara na sistemmaterijalnih ta aka

Na primjer, ako je izme#u dva zupanika prenosnika došlo do naglog zahvatanja, udarniefekat se prenosi i na ostale zahva$ene zupanike.Po analogiji sa ranijom klasifikacijom sila sistema na spoljašnje i unutrašnje, treba

razlikovati i spoljašnje i unutrašnje udarne impulse.

Obilježimo sa u s I I 11 i rezultuju$i spoljašnji i rezultuju$i unutrašnji udarni impuls koji

dejstvuju na prvu materijalnu taku, sa u s I I 22 i - odgovaraju$e impulse za drugu taku,...,

itd., sa u

n

s

n I I i za n-tu materijalnu taku. Svi ovi impulsi dejstvuju u istom vremenskom

intervalu τ u datom položaju sistema.

m1

1v

1v′

u I 1

s I 1

m2

2v

2v′

u I 2

s I 2

mn

nv′

nvu

n I s

n In

r

2r 1r

C rC

C v

C v′

K

K ′

x



Primijenimo zakon o promjeni koliine kretanja za pojedine materijalne take. Tako se

dobije sistem jednainau s I I vmvm

111111'

rr+=−

.

.

.u

n

s

nnnnn I I vmvm

rr+=−' (13.14)

gdje su sann

vvvv ,...,sai',...,'11

obilježene brzine pojedinih taaka poslije i prije udara.

Ako se gornje jednaine saberu dobit $emo

u

i

s

iiiii I I vmvm

rrΣΣΣΣ +=−' (13.15)

Unutrašnje sile imaju iste osobine kao i neudarne unutrašnje sile: javljaju se u parovima injihova rezultanta jednaka je nuli. Odavde proizilazi da je rezultuju$i impuls unutrašnjihsila jednak nuli, tako da drugi zbir na desnoj strani jednaine (13.15.) otpada. Zbirovi na

lijevoj strani jednaine predstavljaju koliinu kretanja sistema K K i' - poslije i prije udara,tako da se može pisati

s

i I K - K Σ=' (13.16)

Ova jednaina izražava zakon o promjeni koliine kretanja sistema:

Promjena koliine kretanja sistema pri udaru jednaka je vektorskom zbiru spoljašnjihudarnih impulsa.Jednaina (13.16.) može se napsiati u obliku

s

iC C I v M v M

rr

Σ=−' (13.17)

gdje su C C vv i' brzine središta masa C poslije i prije udara, a M -masa sistema.

Projektovanjem jednaina (13.16.) i (13.17.) na ose koordinatnog sistema, naprimjer, osu x;dobijaju se skalarne jednaine

s

ixCxCx

s

ix x x I Mv Mv I K K ΣΣ =−=− ' ;' (13.18)

Slini izrazi se dobijaju projektovanjem gornjih vektorskih jednaina na bilo koju osu. Na osnovu svega ovoga možemo zakljuiti da unutrašnje udarne sile ne utiu na promjenukoliine kretanja. U sluaju kada je vektorski zbir spoljašnjih udarnih impulsa jednak nuli,

koliina kretanja sistema i brzina središta, pri udaru ostaje nepromijenjena:

C C vv K K

rr== ' ;' (13.19)

što predstavlja zakon o održanju koliine kretanja sistema.

Posmatrat $emo sada promjenu momenta koliine kretanja sistema pri udaru. Momentikoliine kretanja pojedinih taaka, tj. za taku A poslije udara, su

.

11111111

;'''

,..., ;'''

nnn Annnn An

A A

vmr Lvmr L

vmr Lvmr L

rrrrrr

rrrr

×=×=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

×=×=



Momenti koliine kretanja sistema poslije i prije sudara za taku A, su:

iii Aiii A vmr Lvmr L rrrr ×=×= ΣΣ ;'' (13.20)

Množe$i prvu od jednaina (13.14.) vektorski sa ,1r drugu san

r nr satu,...,2 − dobit $emo

sistem jednaina

u

nn

s

nnnnnnn

u s

I r I r vmr vmr

I r I r vmr vmr

rrrrrrrr

rrrrrr

×+×=×−×

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

×+×=×−×

1

1111111111

'

'

(13.21)

Ako gornje jednaine saberemo dobit $emo

u

ii

s

iiiiiiii I r I r vmr vmr rrrrrr ×+×=×−× ΣΣΣΣ '

Zadnji zbir u gornjoj jednaini jednak je nuli zbog osobine unutrašnjih sila da im jerezultuju$i moment za bilo koju taku jednak nuli. Tako da uzimaju$i u obzir jednainu(13.22.), dobijemo

si I

A A A M L L

rrrrΣ=−' (13.22)

gdje je: si I

A M

rr- moment spoljašnjeg udarnog impulsa za taku A.

Jednaina (13.22.) definiše zakon o promjeni momenta koliine kretanja sistema pri udaruza neku taku:

Promjena momenta koliine kretanja sistema, pri udaru za neku taku A, jednaka je

vektorskom zbiru momenata spoljašnjih udarnih impulsa za istu taku A.Ako jednainu (13.22.) projiciramo na neku od osa Descartesovog koordinatnog sistema

dobit $emo promjenu momenta koliine kretanja za osu:

si I

x x x M L Lrrrr

Σ=−' (13.23)

Ako je zbir momenata spoljašnjih udarnih sila jednak nuli važit $e zakon o održanjumomenta koliine kretanja za tu taku, tj.:

A A

I

A L L M si

r

=⇒= '0Σ (13.24)

Analogno i za osu:

x x

I

x L L M si =⇒= '0r

Σ (13.25)

13.5. UPRAVNI CENTRALNI SUDAR DVIJE KUGLE

Upravnim centralnim sudarom dvaju tijela nazivamo onaj sudar kada zajednika normalana površi tijela u taki dodira prolazi kroz središte masa tijela i kada brzine u poetkusudara imaju pravac te normale.

Posmatrajmo sada upravni centralni sudar dvaju tijela masa m1 i m2 koja se kre$utranslatorno, što je prikazano na slici 13.6a.



Slika 13.6. Upravni centralni sudar dvaju tijela

Na slikama 13.6. prikazani su svi sluajevi sudara tj. Položaj kugli prije, za vrijeme i poslijesudara.

U prvom periodu sudara (slika 13.6b.) brzina kugle Av1 se smanjuje do sv1 koja predstavlja

istu brzinu u toku sudara za obje kugle (slika 13.6c.), tj. s s vv 21 = . U ovom periodu djeluju

impulsi s s I I 21 i . Razlika brzina prije sudara i poslije sudara naziva se restitucioni period .

Ako posmatramo prvu kuglu mase m1 i primjenimo zakon o promjeni koliine kretanja u

poetku sudara (slika 13.6b.) dobit $emo

s s A A s I vmvm I vmvm 1111111111 '' ;' −=−−=− (13.26)

Promatranjem procesa sudara za drugu kuglu, dolazi se do analognih jednaina

s s A A s I vmvm I vmvm 2222222222 '' ;' −=−−=− (13.27)

Vode$i rauna da je I 1 = I 2, I 1 s = I 2 s, v1 s = v2 s = v' imamo sistem od etiri jednaine sa pet

nepoznatih veliina. Ovom sistemu možemo dodati jednainu (13.2.) tako da dobijamo

I '' = k I ', I ' = I 1 = I 2 ; I '' = I 1 s = I 2 s (13.28)

Tako da je konano rješenje za brzinu udara, tj. Brzina koju imaju obje kugle u toku sudara

21

2211'mm

vmvmv A A

++

= (13.29)

Množenjem prve od jednaina sistema (13.26.) sa k i oduzimanjem od druge, a zatim

množenjem prve sa k i oduzimanjem od druge jednaine sistema (13.27.) uz korištenje(13.28.) dolazi se jednaina

'')'( i '')'(2211

vvvvk vvvvk A A A A −=−−=− (13.30)

odakle se može dobiti

A A

A A

vv

vvk

21

21 ''

−−

−= (13.31)

Na osnovu ovog izraza možemo zakljuiti da k predstavlja odnos izme#u relativnih brzina u pravcu normale na površi sudara.Zamjenom izraza za v' iz jednaine (13.29.) u sistem jednaina (13.30.) dobit $emo brzine

tijela poslije sudara

Av

1 A

v2

1v 2v

1 I

2 I

s I

1

s I

2

s svv

21 =

Av1′ Av2

′

a)

b) c)

d)



)( )1('

)( )1('

12

21

122

2121

1

11

A A A A

A A A A

vvmm

mk vv

vvmm

m

k vv

−+

+−=

−++−= (13.32)

Ukupan impuls I = I ' + I '' koji se dobije sabiranjem jednaina (13.27.)

)( )1( 21

21

21 A A vv

mm

mmk I −

++= (13.33)

Brzine na kraju sudara i odgovaraju$i impulse u prethodnim jednainama izraunati su pod pretpostavkom da se sudar tijela vrši sa koeficijentom restitucije 0 < k < 1.

Prouimo sluajeve kad je koeficijent restitucije jednak nuli odnosno jedinici za sudar dviju

kugli (A).

13.5.1. APSOLUTNO PLASTI&AN (NEELASTI&AN) SUDAR (k = 0)

U ovom sluaju potpuno plastinog sudara iz sistema jednaina (13.32.) za k = 0imamo slijede$e

21

221121 ''

mm

vmvmvv A A

A A ++

== (13.34)

što znai da se oba tijela poslije ovog sudara kre$u istom brzinom kao jedno tijelo. Ukoliko je do udara jedno tijelo bilo u stanju mirovanja, npr. (v2A = 0) onda je

A A A vmm

mvv 1

21

121 ''

+== (13.35)

Ukoliko se tijela kre$u jedno drugom u susret istim brzinama, tj. istim intenzitetom brzina(v'1A = v'2A) i ako su istih masa m1 = m2 = m, onda na osnovu jednaine (13.36.) dobijamo

v'1A – v'2A = 0 (13.37)

što znai da tijela poslije sudara ostaju nepokretna.

13.5.2. APSOLUTNO ELASTI&AN SUDAR (k = 1)

U sluaju apsolutno elastinog sudara dva tijela na osnovu izraza (13.32.) za k = 1dobit $emo slijede$e vrijednosti brzina poslije sudara:

)(2

'

)(2

'

21

21

122

21

21

211

A A A A

A A A A

vvmm

mvv

vvmm

mvv

−+

+=

−+

−= (13.38)

Ako imamo sluaj da su mase oba tijela jednake, tj. m1 = m2 iz jednaina (13.38.) dobit

$emo v'1A = v2A ; v'2A = v1A što znai da $e tijela pri ovom apsolutno elastinom sudaru

razmijeniti brzine.



Ako je drugo tijelo bilo u stanju mirovanja, tj. (v2A = 0), a prvo udari u njega brzinom v1A,

onda pri jednakim masama tijela poslije sudara bit $ev'1A = 0 ; v'2A = v1A

tj. drugo tijelo $e poslije sudara pre$i u kretanje brzinom koja je jednaka brzini prvog tijelado udara, a prvo ostaje u stanju mirovanja.

13.5.3. GUBITAK KINETI&KE ENERGIJE PRI SUDARU

Posmatrat $emo promjenu odnosno gubitak kinetike energije na prethodnom primjeru sudara dvaju kugli (A) i radi jednostavnosti uzet $emo da se radi o idealno plastinom sudaru tj. k = 0.

)'(

2

1)'(

2

1'

222

2

111vvmvvm E E E

A A Ak k k −+−==− ∆ (13.39)

gdje su E k i E 'k – kinetike energije sistema prije i poslije sudara. Ovo je tzv. Karnoova jednaina (L. Carnot, 1753-1823., francuski matematiar i mehaniar) koji se iskazuje kao

teorema.Gubitak kinetike energije pri idealno plastinom sudaru jednak je onoj kinetikoj energijikoju bi sistem imao kre$u$i se izgubljenim brzinama.

Ako je tijelo mase m2 prije sudara bilo u stanju mirovanja, a sudar idealno plastian, ondase može dobiti kinetika energija poslije sudara, E 'k

k k E mm

m E

21

1'+

= (13.40)

Ako je masa m1 tijela koja se kre$u znatno ve$a od mase m2, onda iz jednaine (13.40.)

možemo vidjeti da je E 'k ≈ E k tj. gubitak kinetike energije je jednak nuli. Primjer ovakvogsluaja je udaranje eki$a o ekser. U obratnom sluaju kad je m2 >> m1, E 'k ≈ 0, što znai dase sva kinetika energija pretvara potpuno u energiju metala gdje nakovanj ima mnogo ve$umasu od eki$a.

13.6. KOSI CENTRALNI SUDAR DVIJE KUGLE

Pretpostavimo da se dvije idealno glatke kugle masa m1 i m2 kre$u brzinama 21 i vv i koje

zaklapaju uglove α1 i α2 uodnosu na normalu na površsudara (osa x) (slika 13.7.). Sobzirom da su kugle idealno

glatke površine to znai da $eudarna sila me#usobnogdejstva imati pravac normale

na površ sudara, a time $e i

udarni impuls I imati pravacose x.

Slika 13.7. Kosi centralni sudar dvije kugle

m1 m

1

#1 #1 #2

m2

x

1v 1v

2v

1v ′

xv

1′

yv1′

2v ′

xv

2′

yv1′

n I

xv1′

yv1′

a) b)



Osnovni zadatak jeste da se odrede projekcije brzina v'1 x, v'1 y, v'2 x, v'2 y, poslije sudara i

udarni impuls I .Ako iz sistema izuzmemo kuglu mase m1 i sistem zamijenimo vezom dobit $emo

0'

'

1111

1111

=−−=−

y y

x x

vmvm

I vmvm (13.41)

αsin' 111 vvv y y ==⇒ (13.42)

Analognim postupkom se dobija da se i projekcija brzine v2' na osu y ne mijenja tj:

αsin22

'

2 vvv y y == (13.43)

Na osnovu zakona o promjeni koliine kretanja sistema s obzirom na (13.41.), dobija se

0)('2211

'

2211 =+−+vmvmvmvm

rrrr

pa kad projektujemo ovu jednainu na osu x dobit $emo:

0)(' 2211

'

2211 =+−+ vmvmvmvm x x

rrrr (13.44)

vezom ove jednaine i jednaine koja definiše koeficijent restitucije (13.32.)

2211

'

2

'

1

21

'

2

'

1

coscos αα vv

vv

vv

vvk x x

x x

x x

−−

=−+

= (13.44)

Tako, da imamo sistem jednaina od dvije nepoznate v1 x' v2 x' ija su rješenja

).coscos( )1(cos'

),coscos( )1(cos'

1122

21

1222

2211

21

1

111

ααα

ααα

vvmm

mk vv

vvmm

mk vv

x

x

−+

+−=

−+

+−=

(13.45)

Na osnovu ovih jednaina i jednaina (13.41.) može se odrediti udarni impuls I

).coscos()1(

,cos ;

2211

21

2

111'1111

αα

α

vvmm

mk I

vvvmvm I x x x

−+

+=

=−= (13.46)

13.7.

DEJSTVO UDARNE SILE NA TIJELO KOJE SE OBR #E OKONEPOMINE OSE. CENTAR SUDARA

Posmatrajmo djejstvo udarne sile na kruto tijelo koje se obr $e oko nepokretne ose i koje jeu taki A vezano radijalno aksijalnim ležištem, a u taki B cilindrinim ležištem (sl.13.8.).Pretpostavimo da se tijelo mase M obr $e oko ose z i neka je ugaona brzina tijela prije udara

jednaka ω. Neka na tijelo u nekoj taki D ( xD, yD, z D) u nekom trenutku djeluje spoljašnjiudarni impuls I ije su projekcije na ose koordinatnog sistema I x, I y, I z , tada $e se u takamaA i B tijela pojaviti reaktivni udarni impulsi I A i I B.

Da bismo odredili reaktivne impulse koristit $emo osnovne zakone teorije udara, tj. zakon o promjeni koliine kretanja središta masa sistema pri udaru i zakon o promjeni kinetikogmomenta pri udaru u odnosu na nepokretne ose.



Brzina središta (težišta)C

v

tijela paralelna je sa osom A x. Sobzirom da tijelo za vrijemeudara smatramo nepokretnim to

$e i brzina težišta tijela C v ' i na

kraju sudara biti paralelna osi

A x.Primjenom zakona o promjenikoliine kretanja središta masa i

zakona o promjeni momentakoliine kretanja u odnosu nadati utvr #eni sistem referencijeimamo:

Slika 13.8. Dejstvo udarne sile na tijelo koje se obr $e oko nepomi ne ose

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=−

=−

=−

=−

=−

n

i

I

Ay Ay Ay

n

i

I

Ax Ax Ax

n

iiz Cz Cz

n

iiyCyCy

n

iixCxCx

i

i

M L L

M L L

I vvm

I vvm

I vvm

1

'

1

'

1

'

1

'

1

'

)(

)(

)(

r

r

∑=

=−n

i

I

Az Az Az i M L L

1

'r

(13.47)

Vode$i rauna da su: koliina kretanja tijela K = MyCω - vektor u negativnom smjeru x-ose;momenti koliine kretanja za ose x, y, z odre#eni jednainama

ωωω z Az yz Ay xz Ax J L J L J L =−=−= ; ;

gdje su: J xz , J yz , J z , momenti inercije tijela.Projekcije vektora brzine težišta tijela i vektora ugaone brzine tijela na koordinatne ose su

prije udara:

. ;0

0 ,0 ;

ωωωω

ω

===

==−=

z y x

Cz CyC Cx vv yv

Tako da se dobija na osnovu izraza (13.47.) slijede$i izraz:

Az z

By Ay y

Bx Ax xC C

I I

I I I

I I I My My

+=

++=++=+−

0

0

' ωω

B

h

x D

D

xC C

x

i

j

x I 1

Ay I

Az I

Dx I

Dy I Dz I

C v

&

&'

D

C

C D

k A



∑=

=⋅+⋅−=+−

⋅−⋅−⋅−=+−

−⋅+⋅−=+−

n

i

I

Az D y D x z z

Bx D z D x yz yz

By D z D y xz xz

i M x I y I J J

h I x I z I J J

h I y I z I J J

1

'

'

'

r

ωω

ωω

ωω

(13.48)

Iz zadnje jednaine 13.48.) dobijamo izraz koji odre#uje ugaonu brzinu poslije sudara

z

n

i

I

Az

J

M i∑=+= 1'

r

ωω (13.49)

Na osnovu ovako izraunate ugaone brzine ω' nalazimo sve ostale komponente udarnih

impulsa B A I I i , što je slino odre#ivanju dinamikih reakcija.

Na osnovu svega potrebno je ispitati uslove koji moraju biti ispunjeni da se pri udaru ne javljaju udarne reakcije u ležištima A i B. To $emo izraunati ako u izraze (13.48.) stavimo

da je:

0

0

==

===

By Bx

Az Ay Ax

I I

I I I

Iz druge i tre$e jednaine nalazimo I y = I z = 0, što znai da udarni impuls mora biti okomitna ravan koju ine osa obrtanja i središte C, te se sistem jednaina (13.48.) svodi na:

D z

D yz

xz

x yC

y I J

z I J

J

I I M

⋅−=−

⋅=−=−

==−

)'(

)'(

0)'(

)'(

ωω

ωω

ωω

ωω

(13.50)

Iz prve gornje jednaine nalazimo

C y M

I

⋅= ωω' (13.51)

Iz druge jednaine imamo I xz = 0Iz tre$e jednaine dobijamo koordinatu z D

C

yz

xz D y M

J

I J z

⋅=

−=

)'( ωω (13.52)

Iz etvrte koordinata yD:

C

z D

y M

J y

⋅= (13.53)

Na osnovu ovog možemo zakljuiti da su uslovi za nuliranje reaktivnih udarnih impulsaslijede$i:

1. Spoljašnji udarni impuls mora biti normalan na ravan A yz koja prolazi kroz težištetijela i obrtnu osu.

2.

Centrifugalni moment inercije tijela za obrtnu osu i osu normalnu na ravan koja prolazi kroz težište tijela i obrtnu osu mora biti jednak nuli.

3. Dvije koordinate yD z D take D u kojoj dejstvuju spoljašnji udarni impuls morajuzadovoljiti uslove (13.52.) i (13.53.) dok tre$a koordinata xD take D može da ima

bilo koju vrijednost.



RJEŠENI ZADACI IZ POGLAVLJA 13.

Zadatak 13.1.

Kugla pada iz stanja mirovanja sa visine H 1 i

udara od pod; odbije se pa ponovo pada itd.Pretpostavljaju$i da je koeficijent restitucije k ,odrediti vrijeme poslije kojeg $e se kuglazaustaviti.

Rješenje:

Sa visine H 1 kugla $e pasti za vrijeme Slika uz zadatak 13.1.

g

H t 11

2=

kada se odbije popet $e se na visinu H 2 za vrijeme

g

H t 22

2=

i za to vrijeme ponovo pasti. Zatim za vrijeme t 3 $e se popeti na neku visinu H 3, pa pasti itd.

g

H t 33

2=

Pošto je brzina kojom kugla udari padaju$i sa visine H1

11 2 gH v =

a brzina s kojom se mora odbiti da bi se popela na visinu H2

1

222 i 2

v

vk gH v ==

imamo

1

2

H

H k =

Iz gornjih izraza za t, s obzirom na zadnji izraz, dobijamo: t 2 = t 1k ; t 3 = t 2k = t 1k 2; t 4k =

t 1k 3,...,itd.Ukupno vrijeme za koje $e se kugla zaustaviti bit $e

H 1

H 2 H 3



nn

t t t t t t T 22...22214321 ++++++= −

Vrijednosti vremena t i; i = 1,2,...,n uzeli smo dva puta, jer je vrijeme penjanja jednakovremenu padanja.

Na osnovu prethodne dvije jednaine dobijamo

)...1(21 32

1 ++++++= k k k k t T

Izraz u maloj zagradi je zbir beskonano opadaju$e geometrijske progresije. S obzirom da je k < 1

g

h

k

k

k

k T 12

1

1

1

21

+−

=−

+=

Zadatak 13.2.

&elina kugla težine G = 10N pada s visine H = 3m na masivnu elinu plou. Izraunati

udarni impuls i srednju veliinu udarne sile ako je vrijeme udara τ = 0,0005 s.

Rješenje:

Iz tabele 13.1. nalazimo da je koeficijent restitucije za elik po eliku k = 0,55. Poetna brzina pri sudaru je

sm gH v /7,7381,9220 =⋅⋅==

Brzina kugle nakon sudara

smvk v /3,40 =⋅=

Udarni impuls nalazimo iz izraza (13.8.)

Nsvk m I u 127,7)55,01(81,9

10)1( 0 =+=⋅+=

Srednja vrijednost udarne sile

N I

F u sr 24000

0005,0

12===

τ



Zadatak 13.3.

Materijalna taka je izbaena

brzinom0

v pod uglom α u

odnosu na horizont u bezvazdušni prostor. U trenutku

vremena g

vt

αsin01 = taka

poga#a kosi zid koji je nagnut pod uglom ) u odnosu nahorizont. Zid je idealno gladak, audar je potpuno elastian. Takase odbija od zida i poga#a

horizont u takiSlika uz zadatak 13.3.

0;

8

2sin3

2

0

g

v B

α

Ako je horizontalna podloga idealno glatka, a koeficijent uspostavljanja, pri udaru u taki

B, k = 5/3 , odrediti:

a) ugao α pri kojem se materijalna taka ponovo vra$a u prvobitni položaj; b) brzinu kojom se taka vra$a u taku O. Dato je ) = 600.

Napomena: v0 je poetna brzina, a

α ugao nagiba poetne brzine.

Rješenje:

Kretanje materijalne take posmatrat $emo u Descartesovom pravouglom koordinatnomsistemu x0 y. Kao što ve$ znamo, zakoni kretanja materijalne take u bezvazdušnom prostoru glase:

,2

sin ;cos2

00

gt t v yt v x −== αα (1)

dok je jednaina trajektorije

αα 22

0

2

cos2v

gx

xtg y −= (2)

Komponentne brzine materijalne take su

gt v y

v x

−⋅=⋅=

α

α

sin

cos

0

0

& (3)

A

B

0 x#

0v



Ako vrijeme g

v

t

αsin0

1 = uvrstimo u

izraz (3) vidjet $emo da tada takadostiže svoj maksimum na trajektorij,što odgovara tjemenu parabole (2).Taka $e prije udara imati brzinu

αcos0)(1 v xv tA == (4)

U taki A nastaje udar. Udarni impulsu taki A je normalan na kosi zid jer je zid idealno gladak (sl.13.3.a.)

Slika uz rješenje zadatka 13.3.

Zakon o promjeni koliine kretanja glasi:

I vmvm =− 12 (5)

Projekcije vektorske jednaine (5) na pravac tangente t 1

0cossin 12 =− βδ vv (6)

odnosno

βδ cossin12

vv = (7)

S obzirom da je udar potpuno elastian, odnosno koeficijent restitucije k = 1, imamo:

1sin

cos

1

2 ==β

δ

v

vk (8)

ili

βδ sincos 12 vv = (9)

Iz izraza (7) i (9) bit $e:

tg * = ctg ) (10)

S obzirom da je β = 600, slijedi iz (10) da je * = 300.Uvrštavaju$i ) = 30

0 u (7) dobija se

v2 = 2 v1 cos ) (11)

Kretanje materijalne take od take A do B posmatrat $emo u pravouglom Descartesovomkoordinatnom sistemu x1, A y1. U ovoj fazi kretanja poetna brzina je v2 koja gradi ugao ) sa

osom A x1.Jednaine kretanja su:

x1 = v2 t cos )

A

B0 x#

0v

x1

1

( (

3v

5v

4v

2v

1n I

1v

)

1t



2

21 2sin t

g t v y

+= β (12)

a jednaina trajektorije je:

ββ

221

21

11cos2v

gxtg x y += (13)

Komponente brzine su:

gt v y

v x

+==

β

β

sin

cos

21

21

& (14)

Odredimo koordinate take A: prema izrazu (1) za g

vt A

αsin0= bit $e:

g

v y

D

g

v x

A

A

2

sin22

2sin

22

0

20

α

α

=

==

Koordinate take B u koordinatnom sistemu x1, A y1 su

αα

tg D

g

v y

D D D x x x

B

B A B

42

sin

88

3

222

01

1

==

=−=−= (15.)

Da bismo dobili vrijeme za koje taka pre#e iz položaja A u položaj B uvrstimo (15) u (13.)

i bit $e:

88

cossin2

coscos4284

2

0

22

0

4

D

g

v

v

g tg

Dtg

D αα

αββα

⋅+=

pa je:

9

32=αtg (16.)

Iz izraza (12.) za g

v D x

4

cossin

8

2

0 αα== dobija se

αβα

αα

sin2coscos

4

cossin

0

0

20

g

v

v

g

v

t B ==

(17.)

pa su komponente brzine u taki B neposredno prije udara

)sincos3(2

)( ;cos2

1)( 0

101 ααα +==v

yv x B B &&

ili

01017

5

2

1)( ;

7

3

2

1)( v yv x B B == && (18.)



Komponente brzine na kraju djejstva udarnog impulsa su, prema zakonu o promjeni

koliine kretanja pri udaru i koeficijentu restitucije,

0)(1 =− B B

xm xm (19.)

B B yk y )( 1= (20.)

pa je

0

0

7

3

2

1

7

3

2

1

v y

v x

B

B

=

=

&

&

(21.)

Ugao + je:

0

451 =⇒== γ γ B

B

x

y

tg &

Iz zakona o promjeni kinetike energije primjenjenog za putanju BO , dobija se brzina

materijalne take kada se po drugi put na#e u položaju 0

22

45 B B y xvv && +==

odnosno

057

6

2

1vv =

Zadatak 13.4.

Kuglica M, zanemarljivih dimenzija, poinje kretanje iz stanja mirovanja bez poetne brzine sa visine h od horizontalne podloge, po idealno glatkoj kosoj ravni nagnutoj za ugao

α = 300 u odnosu na horizontalnu ravan.Kuglica udara o hrapavu kosu ravan koja je tako#e nagnuta u odnosu na horizontalnu ravan

za ugao α. Koeficijent trenja kuglice o hrapavu ravan je 31=µ

Ako je udar takav da kuglica ne napušta vezu i ako je veza na mjestu udara idealno glatka,odrediti:a) Odnos visine h i h1 da bi kuglica na jednom dijelu svoje putanje bila slobodna

materijalna taka. b) Odnos visine h i h1 da bi kuglicanastavila kretanje u žljebu

nagnutom za ugao α u odnosu nahorizontalnu ravan ako je

h L20

3=

Slika uz zadatak 13.4.

M0

h

l

h1# # #



Rješenje:

a) Brzinu kuglice neposredno prije udara odredit $emo primjenom zakona o promjenikinetike energije za materijalnu taku

mghmv

=2

21 (1)

U taki A nastupa udar. Kuglicase ne$e odvojiti, od podloge jer je

udar potpuno neelastian pa $e sekuglica kretati po podlozi AB.Kako je podloga na mjestu udara

A idealno glatka, udarni impuls $eimati samo normalnukomponentu, što ima za

posljedicu nepromijenjenukoliinu kretanja u pravcu brzine

2v (sl.13.4.)

Slika uz rješenje zadatka 13.4.

Shodno tome primijenimo zakon o promjeni koliine kretanja pri udaru:

I vmvm rr

=− 12 (2.)

Projekcija vektorske jednaine (2) na pravac tangente t je

02cos12 =− αmvmv (3)

Iz izraza (3) dobija se brzina na završetku udara

v2 = v1 cos 2α (4)

Za odre#ivanje brzine kuglice u taki B primijenit $emo zakon o promjeni kinetikeenergije za materijalnu taku

αµ ctg mghmgh

mvmv

22 11

22

23

−−=− (5)

Vode$i rauna da je: F µ = µ F n; F n = mg cos α

rad sile trenja αµα

αµ

αµµ

ctg nghmghh

F A F 111

sin

cos

sin−=−=−=

Iz jednaine (5) imamo

)1(2 1

2

2

2

3 αµctg ghvv +−== (6)

a iz jednaine (4) i (1) dobija se

M0

h

h1# # #

n t

I

n F

2v v′

1v µ F

G

3v

A

B C



α2cos2 12 ghv = (7)

Uvrštavanjem izraza (7) u (6) dobit $emo:

)1(22cos2 1

22

3 αµα ctg gh ghv +−=

odnosno za date vrijednosti µ = 1/3 i α = 300

)8(2

113

hh g v −= (8)

Iz posljednjeg izraza vidimo da bi kuglica na jednom dijelu svoje putanje postala slobodna

materijalna taka, potrebno je i dovoljno da je v3 > 0, tj.

h – 8h1 > 0, odnosno

h > 8h1 (9)

b) Da bi kuglica prošla kroz žljeb C, neophodno je potrebno da žljeb bude nagnut pod

uglom α u odnosu na horizont. Kuglica $e se kretati po zakonu kosog hica od take B

do take C ako je ispunjen uslov (9), pa je dužina L, prema teoriji kosog hica, dometkoji je odre#en poetnim uslovima, tj.

g

v L

α2sin2

3= (10.)

odnosno:

)8(4

31

hh L −= (11.)

za h L20

3= iz izraza (11), dobit $emo h = 10h1.

Zadatak 13.5.

Dvije kugle A i B mase m1 i m2, prikazane naslici 13.5. vise na paralelnim koncima dužine L1 i L2, tako da se njihova središta nalaze naistoj horizontali, a kugle se dodiruju. Ako kuglu

A pomjerimo iz njenog ravnotežnog položajatako da konac dužine L1 gradi sa vertikalnim

pravcem ugao α, pa je pustimo bez poetne brzine, ona $e udariti kuglu B koja miruje.Kugla B se poslije udara pomjeri u položaj

odre#en graninim uglom ) prema vertikali.Odrediti odnos dužine konca ( L1/ L2) za postavljeni režim kretanja sistema.


L1 L2

1v 2v

02 =v 00 =v

#



Rješenje:

Kretanje $emo posmatrati u dvije faze:

a) kretanje kugle A iz položaja α, do trenutka kada udari u kuglu B, b) kretanje kugle B od tog trenutka, koje je uslovljeno udarom kugle A, do trenutka kada

do#e u granini položaj B.

Neka su brzine v1 i v2, brzine kugli na poetku, a v'1 i v'2 odgovaraju$e brzine na kraju

udara. Kugla A je iz položaja α, puštena bez poetne brzine, (v0 = 0), dok $e kugla B u položaju ) promijeniti smjer brzine, tj. bit $e v2 = 0.Koliina kretanja na poetku i na kraju udara ostaje nepromijenjena te je stoga

'' 22112211 vmvmvmvm +=+ (1)

Koeficijent udara k je odre#en odnosom

12

21 ''

vv

vvk −−= (2)

Kako je v2 = 0 iz izraza (1) i (2) dobivamo

'' 221111 vmvmvm += (3)

iv2' – v1' = kv1 (4)

Iz jednaina (3) i (4) odre#ujemo brzinu kugle B na kraju udara, tj.

)1('21

112 k

mm

vmv +

+= (5)

Me#utim, mi brzinu v1 još ne znamo. Odredit $emo je primjenom zakona o promjenikinetike energije, na pomjeranju iz položaja α do trenutka udara. Bit $e dakle

=

−=

2sin2

odnosno),cos1(2

11

11211

α

α

gLv

gLmvm

(5)

Ako sada primijenimo zakon o promjeni kinetike energije na pomjeranje kugle B odtrenutka udara dok do#e u položaj ), imat $emo:

)cos1(2' 22

2

22

2

22 β−−=− gLmvmvm

Pošto je v2 = 0, slijedi

=

2sin2' 22 β gLv (6)

Upore#uju$i vrijednosti za v2' odre#ene sa (5) i (6), a obzirom na rezultat koji odre#uje

brzinu v1, dobijamo traženi odnos dužine konca za postavljeni režim kretanja sistema

+

+= −

2sin

2sin

)1(12

2

2

2

1

2

2

1

α

β

k m

m

L

L (7)



Zadatak 13.6.

Homogena ploa mase M oblika jednakostraninog trougla (slika 13.6.) može se obrtati okohorizontalne ose z , koja je okomita na ravan ploe i prolazi kroz jedno njeno tjeme O.

Ako se ploa pusti bez

poetne brzine iz položaja ukojem je visina koja prolazikroz taku O horizontalna,

ona u trenutku kada ovavisina zauzme vertikalni položaj, udari u tijelo Amase m, koje miruje nahorizontalnoj hrapavoj ravni.Koeficijent trenja klizanja

tijela A o ravan je µ.Slika uz zadatak 13.6.

Kakav mora biti odnos izme#u mase m tijela A, i mase M ( M /m), da bi se tijelo A poslije

sudara zaustavilo na rastojanju h (jednakom visini ploe) od polaznog položaja.Pretpostaviti da je udar potpuno neelastian.

Rješenje:

Izaberimo koordinatni sistem O xyz , tako da je z -osa okomita na ravan ploe, osa y-

orijentisana vertikalno naniže, a osa x neka je horizontalna. Ploa iz horizontalnog položaja polazi pod dejstvom sopstvene težine i pri tom izvrši rad na pomjeranju težišta. To pomjeranje jednako je 2h/3 gdje je h-visina trouglaste ploe. Primjenom teoreme o

priraštaju kinetike energije na ovom pomjeranju lako je odrediti brzinu kojom $e ploaudariti tijelo A. To je brzina na poetku udara. Bit $e dakle,

Gk k A A E E ==− Σ0

01 (1)

Mgh J z

4

32

1 =ω (2)

odnosno

z J

Mgh

3

421 =ω (3)

gdje je: J z – moment inercije u odnosu na osu z okomitu na ravan ploe.Brzina na poetku sudara je

v = h , ω1 (4)

Po pretpostavci je udar neelastian, pa su brzina tijela A i take ploe koja se nalazi narastojanju h od ose obrtanja (tanije projekcije brzine take ploe koja udari o tijelo na pravac pomjeranja tijela) jednake i iznose

v = h , ω2 (5)

gdje je: ω2 – ugaona brzina ploe na kraju sudara.Kako su momenti spoljašnjih udarnih impulsa u odnosu na osu z jednaki nuli (jer su impulsikoji se javljaju u taki udara unutrašnji, a impulsi u taki 0 za osu z , koja prolazi kroz tu

0C x

2/3h

h

01 =v

v



taku imaju momente jednake nuli) važi zakon o održanju momenta impulsa za osu z , pa je

stoga L2 z – L1 z = 0 (6)

L1 z = J z , ω1 (7)

h

vmh J hmv J L

z z z

')(' 2

22 +=+= ω (8)

gdje su: L1 z i L2 z momenti koliine kretanja za z -osu na poetku i na kraju udara, tako da je

brzina na kraju udara:

12

1)(' −+= mh J h J v

z z ω (9)

Izrazom (9) data je brzina kojom tijelo A poinje kretanje. S obzirom na pretpostavku ohrapavosti podloge tijelo $e se zaustaviti na rastojanju h (prema uslovu zadatka) pa je

primjenom teoreme o priraštaju kinetike energije na ovom pomjeranju lako dobiti.

v' 2

= 2 gh µ (10)

Iz (10), (9) i (3) proizilazi

)2(3

2 42222 hmmh J J h MJ z z z ++= µ (11)

Moment inercije J z jednak je zbiru momenata inercije J x i J y u odnosu na ose koje se sjeku

sa z -osom u taki 0 i na nju su okomite.

2

22

9

5

18

1 ,

2

1

Mh J J J

Mh J Mh J

y x z

y x

=+=

==

(12)

Na osnovi (12) jednaina (11) svodi se na

08190)2530( 22 =−⋅−− mm M M µµµ (13)

Ako jednainu (13) podjelimo sa m2 dobijamo kvadratnu jednainu po nepoznatoj M /m, tj.

08190)2530(2

=−−

− µµµ

m

M

m

M (14)

ije je rješenje

≠−+

= 5

6

;56

305

5

9

µµ

µµ

m

M

(15)



Zadatak 13.7.

Obrtni oroz (na puški) AD u trenutkuudara po obarau B (slika 13.7.) ima

ugaonu brzinu obrtanja ω0.Odrediti brzinu obaraa na kraju udara i

impulsni pritisak na osu A. Masa M i m oroza i obaraa, momenti inercije J A oroza za osu A i rastojanje a i b su poznata (taka C je središte masa

oroza).


Rješenje:

Oznaimo impulse udarnih sila koje djeluju na oroz i obara pri udaru sa .i 21 I I Tada za

oroz i obara, uzimaju$i u obzir, da je I 1 = I 2 = I , vB = 0, dobijamo

i I

A A A M L L

r

Σ=− 01

I mvb I J B A =⋅−=− '

01 ;)( ωω (1)

Moment I , b ima znak (-) iz razloga što je ovaj moment usmjeren, suprotno smjeru obrtanja

oroza. Osim toga kako je za taku D oroza v0 = bω0, a v'0 = bω1, (v0 – brzina na poetkuudara, v'0 – brzina na kraju udara) to se prema izrazu za koeficijent restitucije dobiva

)( 0''0 B B vvk vv −−=− (2)ili

0

'

1 ωω kbvb B −=−

Ako unesemo u ovu jednainu izraze za ω1 i I iz jednaina (1), na$i $emo brzinu obaraa nakraju udara:

02

' )1(ω

mb J

k b J v

A

A B +

+= (3)

Da bi smo odredili impulsnu reakciju A I kojom osa djeluje na oroz, postavimo jednaine

koliine kretanja u obliku projekcija na ose A x i A y, tako da je

1

'

100

; ωω ⋅==⋅== Ma Mv K Ma Mv K Cx xCx x

(3)

Dobijamo

0 ; )( 01 =+−=− Ay Ax I J I Ma ωω (4)

Me#utim iz jednaina (1) proizilazi da je

'01

' , B

A

B v J

mbmv I −=−= ωω (5)

pa $e impulsni pritisak na os A biti:

0)1( ωk mb Mab J

Mab J I

A

A Ax +

+−

= (6)

B

D

b

a

A

C

x Ax I

2 I 1 I

&0



Zadatak 13.8.

Homogena pravougaona ploa težine G1 masem1 može se okretati oko vertikalne nepomineose AB, koja leži u njenoj ravnini na

udaljenosti a/4 od njenog ležišta S. U stanjumirovanja plou pogodi metak težine G2, brzinom v1 okomito na ravninu ploe, tano u

težište S. Odrediti na osnovu slike 13.8.:

a) veliinu impulsnih reakcija u sfernom A icilindrinom B ležaju, ako je udar neelastian

b) centar sudara da bi impulsne reakcije bile jednake nuli


Rješenje:

a) Postavimo koordinatni sistem O xyz prema slici 13.8. tako da se osi x, y okre$u zajedno sa ploom. Udarni impuls metka je

j I I y ⋅= (1)

Pretpostavljene impulse reakcije ležaja A i B su:

j I i I I

k I j I i I I

By Bx B

Az Ay Ax A

rrr+−

++= (2)

Ugaona brzina na kraju udara bit $e:k

z

rωω = (3)

Zadatak ima sedam nepoznanica. Postavimo jednadžbe koriste$i se teoremama o promjenikoliine kretanja i promjeni kinetikog momenta ploe.

)(

0

)(

0

)(

0

011

011

011

)(

)(

)(

i

i

i

I

z z z

I

y y y

I

x x x

z s sz z i

y s sy yi

x s sx xi

M K K

M K K

M K K

vmvm I

vmvm I

vmvm I

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

=−

=−

=−

−=

−=−=

(4)

U našem sluaju je

z z z z y yz x xz z

z yz z yz y y x xy y

z xz z xz y yx x x x

y x z y x

z sy sz sx z s y s x s

J J J J K

J J J J K

J J J J K

K K K

avvvvvv

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωω

ω

=+−−=

−=−+−=

−=−−=

=====

======

0 ;0

4 ,0 ;0

000

000

(5)

B

h

h

b0

a

-= -z

By I

Bx I

I

k j

i

Ay I

Az I

Ax I

A

S x

x



S obzirom da je osa y – okomita na plou, onda je J yz = 0, a os x – centralna os, onda je i J xz

= 0, pa slijedi K x = K y = 0; K z = J z ω z U skladu sa ovim i jednainama iz (4) imamo:

4 0

0 4

0 0

1

a I J I

h I h I a

m I I I

h I h I I I

z z Az

Bx Ax z By Ay

By Ay Bx Ax

⋅=⋅=

=⋅+⋅−=++

=⋅−⋅=+

ω

ω (6)

Budu$i da ne znamo niti veliinu impulsa I niti ω z primijenit $emo teorem o promjeni

koliine kretanja za metak. Uz pretpostavku da je odnos impulsa metka i ploe pl m I I −=¸ ,

dobijamo

m2v2 – m2v1 = - I (7)

Udar je elastian, pa su brzine težišta ploe v sy i brzina metka v2 na kraju udara iste:

z sy

avv ω

42 == (8)

Uvrštavanjem (8) u (7) imamo:

I vma

m z −=− 1224ω (9)

Moment inercije za plou je

2121

2

1

2

1

48

7

48

7

412a

g

Ga

mam

am J z == += (10)

Iz jednadžbi (6) i (9) dobivamo

1

12

21

1

12

21

1

12

2

)73(

2

0 ;0

)73(

7

)73(

12

v g GG

GG I I

I I I

v g GG

GG I

vaGG

G

By Ay

Az Bx Ax

z

+−==

===

⋅+

⋅=

⋅+

=ω

(11)

Predznak (-) znai da je smjer ovih impulsnih reakcija suprotan od pretpostavljenih.

b) Koordinate položaja centra udara K, da bi se izbjegle impulsne reakcije I A y i I B y:

a y

a g

aG

ym

J y

K

s

z K

12

7

4

7 2

1

1

=

⋅==

(12)



ZADACI ZA RJEŠAVANJE IZ POGLAVLJA 13.

Zadatak 13.9.

Kugla mase m, kre$e se na visini h = 39,2 m,

paralelno horizontalnoj površini brzinom v =9,8 m/s i udara od stijenu nagnutu pod uglom

α = 450 ka horizontu. Smatrati udar apsolutno

elastinim i ubrzanje sile teže g = 9,8 m/s2.Odrediti kroz koje vrijeme t odbivši se od

stijenu kugla pada na horizontalnu ravan.Otpore sredine zanemariti

Rješenje:

t = 2 s Slika uz zadatak 13.9.

Zadatak 13.10.

Homogena prizma u obliku kocke dužine ivice L=1m kliže se bez poetne brzine po glatkoj

površini nagnutoj ka horizontu pod uglom α =450 i prelazi rastojanje L = 1,16m do sudara sa

ivicom B. Smatraju$i sudar apsolutno

neelastinim odrediti ugaonu brzinu ω obrtanjakocke odmah poslije sudara.

Rješenje:

ω = 3rad/s Slika uz zadatak 13.10.

Zadatak 13.11.

Disk mase m i poluprenika R, kotrlja se bezklizanja po horizontalnoj ravni pri emu je

brzina centra inercije diska konstantna i jednakav0. Disk udari o hrapavi vertikalni zid priemu koeficijent trenja zadovoljava uslov da nedo#e do proklizavanja, a koeficijent

uspostavljanja je 3/3=k .Odrediti rastojanje mjesta od vertikalnog zidagdje $e disk ponovo dodirnuti horizontalnu

ravan (slika 13.11.).

Rješenje: Slika uz zadatak 13.11.

g

v R D

2

0

9

3+=

m

h

# v

L

B

#

D

u

ω

0v



Zadatak 13.12.

Na kraj homogene poluge OB dužine L i mase M udara kugla mase m = M .Odrediti minimalnu brzinu vmin pri kojoj $e se

poluga zaokrenuti za ugao α = 1800 u odnosu na

svoj poetni položaj.

Rješenje:

Slika uz zadatak 13.12. gl v 22min =

Zadatak 13.13.

Fiziki zamajac u obliku homogenog diska obješen je o oslonac 0. On se sastoji od dva diska prenika D i d što je prikazano na slici 13.13., gdje je d =

0,16 D. Na kom rastojanju L ispod težišta C diska jeneophodno nanijeti udar da bi horizontalna reakcija

u osloncu 0 bila jednaka nuli?

Slika uz zadatak 13.13. Rješenje: L = 0,34 D

Zadatak 13.14.

Homogeni cilindar, težine G, poluprenika R ivisine H , obr $e se konstantnom ugaonom brzinom

ω0 oko vertikalne ose AB. Osa AB je za R/2

)2/( ROC = udaljena od podužne ose cilindra.

U nekom trenutku na cilindar djeluju dva udaraimpulsa I 1 = I 2 = I u takama M i N koje su središta baza cilindra. Impulsi su upravni na ravan koja prolazi kroz centar inercije cilindra i obrtnu osu.

Odrediti promjenu ugaone brzine obrtanja cilindra iimpulsne reakcije u osloncima A i B.

Dato je h AB 2= (sl. 13.14.).


Rješenje:

−

−=−=− 0,0,

3

2 ;0,0,

3

2 ;

3

40 I I I g

GR

I Aωω .

0 (

Bm v

LC

F

Dd

B

M R H

H

C0

N

-0

n I

2 I

i j

k

A x

isak karabegovic - dinamkia i oscilacije (poglavlje 13)

Documents