Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu sistemlerdir. Turesses are a carrier system formed by the bar elements. Each bar element connects to others at its end (joints).

Kafes Sistemler Turesses

Birçok uygulama alanları vardır. Application areas of the Turesses • Çatı sistemlerinde,(roof systems) • Köprülerde, (Bridges) • Kulelerde, (Towers) • Ve benzeri bir çok yapılarda kullanılır.

Kafes Sistemler

Kafes Sistemler

Başlıca Özellikler ve Kabuller: Main properties and assumptions for turesses Bağlantı noktalarında (düğümlerde) sadece tekil

kuvvetler oluşur. Bağlantılardaki moment tepkisi ihmal edilir. (The single forces occur on the joint and reaction moments at the joint are neglected. )

Herbir çubuğa ekseni doğrultusunda kuvvet düşer. Yani tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır. (Each bar force is through the bar axis; i.e each bar is the two-force member.) Çözümlerde çubuk ağırlıkları ihmal edilir. (The

weight of the bars are neglected)

Sisteme sadece bağlantı (düğüm) noktalarından dış

kuvvetler etki eder. (The extarnal forces act on the

joints only)

Herbir bağlantı noktasına «düğüm noktası» ismi verilir.

Kafes Sistemler

Ders kapsamında amacımız: Dış kuvvetler belli iken, herbir çubuğa veya belirli çubuklara düşen kuvvetleri hesaplamaktır. Ders kapsamında sadece düzlem kafes sistemler incelenecektir. Our Aims in this chapter are Calculating the bar forces, when the extarnal forces are known. We will examine the plane trusses systems only.

1- Uzay Kafes Sistemleri: 3 Boyutlu sistemlerdir.

3 dimensions Trusses Systems

Tipleri: (Types of the Trusse)

2- Düzlem Kafes Sistemleri: 2 boyutlu sistemlerdir.

Plane Systems of Trusses

(3 boyutlu olmasına rağmen, geometri, yükleme ve dış bağlantıların

simetrikliliği söz konusu ise 2 boyutta incelenebilen sistemler de olabilir.)

Kafes Sistemler

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetler ve Hesaplama Yöntemleri :

Calculation Methods of Bar and joint forces:

• Kafes sistemlerde herbir düğüm noktasına ve çubuklara düşün

kuvvetleri daha net görebilmek için yandaki örneği inceleyelim.

• Examine this example for understanding the forces at bars and joints

• Dikkat edilirse herbir düğüme, bağlı olduğu çubukların herbirinden bir kuvvet gelir. • Çubuklara ise eşit şiddette-zıt yönde bağlı olduğu herbir düğümden bir tepki kuvveti gelir (etki-tepki). • Tüm düğüm ve çubuk kuvvetleri sistemin iç kuvvetleri olarak isimlendirilir ve toplamları sıfırdır..

• Bir çubuk kuvvetinin( örn: FAC ) doğrultusu mutlaka çubuğa paraleldir.

30kN

Püf noktası 5.1: Çubuk kuvvetinin yönü nasıl seçilmeli? Bu sorunun cevabı ise: İlk kez bu kuvvet yerleştirilirken çubukğa paralel olmak kaydıyla keyfi bir yönde (sağa-sola, yukarı aşağı) seçilir. Ancak aynı kuvvetin yönü 2., 3., yerleştirmede keyfi seçilemez. İlk yerleştirmeye bağlı

olarak seçilir. Örneğin FAC kuvveti ilk kez yerleştirilirken keyfi olarak A düğümüne sola doğru etki ettirlimiş. AC çubuğunun A ucuna mecburen

sağa olmalıdır (etki-tepki). AC çubuğunun C ucuna sola doğru olmaldır ki çubuk dengede olsun. C düğümüne ise sağa olmalıdır (etki-tepki). Hesaplar sonucu kuvvetin işareti «- » çıkarsa seçtiğimiz yönün tersine yönde olduğunu gösterir. Ancak bu durumda kuvvetin yönü çevrilmez, hesaplarda «-» işareti ile birlikte kullanılır. Çevrilirse işareti de değiştirilmelidir.

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri:

Calculation Methods of Bar and joint forces:

Aynı örneğe devam edersek,

Öncelikle bağlantı noktalarındaki kuvvetler tüm

sistemin dengesinde hesaplanır:

Firstly, the reaction and external forces are calculated by the equilibrium of the whole system.

𝐹𝑥=0 → −𝐸𝑥 + 𝑇. cos 30𝑜 = 0

𝐹𝑦=0 → 𝐸𝑦 + 𝑇. 𝑠𝑖𝑛 30𝑜 − 30 − 20 = 0

𝑀𝐸=0 → −𝑇. 5 + 20.5 + 30.10 = 0

T= 80kN

𝐸𝑥= 69.28kN

𝐸𝑦=10 kN

bulunur.

Püf noktası 5.2: Bazı problemlerde mesnet tepkilerini hesaplamaya gerek kalmadan, istenen çubuk kuvvetleri bulunabilir. Bu durumu görebilmek ve alışmak için bol soru çözülmesinde fayda vardır. Kesim yönteminde, mesnetlerin tümü kesimin bir tarafında kalıyorsa mesnet tepkilerini bulmaya gerek kalmaz… .kesimin diğer tarafı incelenir ve çubuk kuvvetleri bulunabilir.

Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri :

Calculation Methods of Bar and joint forces:

Şimdi iç kuvvet ismi verdiğimiz çubuk ve düğümlere

düşen kuvvetleri hesaplayacağız. Now, we are going to

calculate the forces at the bars and joints (i.e; internal forces

by using two different methods)

Bunun için 2 yöntem vardır:

1. Yöntem : Düğüm Yöntemi (The method of Joint)

• Bu yöntemde herbir düğümün dengesi yazılır ve

kuvvetler hesaplanır. In this method, the forces can be

calculated by the equlibrium of each joint

• Herbir düğüm için 𝐹𝑥=0 , 𝐹𝑦=0 olmak üzere 2

denklem yazılabilir. Tüm kuvvetler aynı noktadan

geçtiği için moment denklemi yazılamaz. Bu nedenle

bir düğümde 2 bilinmeyen olması gerekir. Çözüm

aşamasında düğüm sırası önemlidir. Örnekten bu

durum daha iyi anlaşılacaktır.

• Totaly 2 different independent equations ( 𝐹𝑥=0 , 𝐹𝑦=0 )

can be writen for each joints. The order of the joint

calculation is important.

Çözüm: A düğümünden başlanabilir. Çünkü 2 bilinmeyen kuvvet vardır. We can start at the joint A. Because there are two unknown force.

𝐹𝑥=0

𝐹𝑦=0

→ −𝐹𝐴𝐶+𝐹𝐴𝐵 cos 60𝑜=0

-30+𝐹𝐴𝐵 sin 60𝑜=0 →

→ 𝐹𝐴𝐶= 17.32𝑘𝑁, 𝐹𝐴𝐵= 34.64kN

𝐹𝑥=0 → −𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 34.64 cos 60

𝑜=0

𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 − 34.64. 𝑠𝑖𝑛 60𝑜=0

→ 𝐹𝐵𝐶= 34.64𝑘𝑁, 𝐹𝐵𝐷= 34.64kN

𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐶𝐷 cos 60

𝑜=0

𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑖𝑛 60

𝑜-20 = 0

→ 𝐹𝐶𝐷= 57.74𝑘𝑁, 𝐹𝐶𝐸= 63.51kN

Benzer şekilde E veya D düğümlerinin dengesinden 𝐹𝐷𝐸= 11.55𝑘𝑁 𝑏𝑢𝑙𝑢𝑛𝑢𝑟.

Şimdi B düğümüne geçilebilir. Çünkü B düğümünde 2 bilinmeyen kaldı

2. Yöntem : Kesim Yönetimi (the method of section)

Bu yöntem mekaniğin önemli bir prensibi olan ayırma prensibine dayanır.

This method rely on the separation principle.

Ayrıma prensibi: dış kuvvetlerin etkisindeki bir sistem dengede ise, hayâli

bazda ayırdığımız bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisiyle ayrı ayrı

dengededir.

I - I kesiminde sol tarafın SCD si ve dengesi

𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 − 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐴𝐶=0

𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜-30 = 0

𝑀𝐶=0 → 𝐹𝐵𝐷. 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜-30x5= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷=− 34.64𝑘𝑁,

işaretinin negatif «-» çıkması seçtiğimiz yönün tersine olduğunu gösterir.

Kuvvet yönleri ilk defa keyfi seçilir. 3 denklemden 3 bilinmeyen bulanabileceği için genelde ilk kesimde 3 çubuk kesilir..

I - I kesiminde sağ tarafın SCD si ve dengesi

𝐹𝑥=0 → − 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 𝐹𝐴𝐶 - 69.28 + 80. cos 30𝑜 =0

𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 80. sin 30𝑜 − 20 + 10 = 0

𝑀𝐸=0 → 𝐹𝐵𝐷 . 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 + 𝑇. 5 − 20.5 + 𝐹𝐵𝐶 . sin 60𝑜= 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷= − 34.64𝑘𝑁,

Diğer çubuk kuvvetlerini bulmak için II-II kesimi yapılabilir

II

II

İncelediğimiz örnekteki kafes sistem dış kuvvetlerin etkisi ile

dengededir. O halde hayali olarak yaptığımız I-I kesiminden

sonra sol veya sağ parçası da dengededir.

Bu parçalara, kesilen bölgeden çubuk kuvvetleri dış kuvvet gibi

etki ettirilir. Ve 3 denge denklemi ( 𝐹𝑥=0, 𝐹𝑦=0, 𝑀𝐸=0 )

yardımıyla bu çubuk kuvvetleri bulunur.

Örnek Problem: Verilen kafes sistemindeki çubuk

kuvvetlerini düğüm metodunu kullanarak bulunuz.

(Calculate all bar forces at this system)

𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 = 𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.3

5

𝑆𝐴𝐷.𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 20 = 𝑆𝐴𝐷.4

5 − 20

𝑆𝐷𝐸 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 + 𝑆𝐷𝐵 Sin 𝜃 = 𝑆𝐷𝐸 − 25.3

5+𝑆𝐷𝐵

3

5

−𝑆𝐴𝐷.Cos 𝜃 +𝑆𝐷𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 25.4

5+𝑆𝐷𝐵

4

5

Örnek: Şekildeki kafes sistemde GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz. Find the forces at the bars GE, GC and BC

Çözüm: a

a

G

BC

BC

M 0

300(4) 400(3) F (3) 0

F 800 N (T)

C

GE

GE

GE

M 0

300(8) F (3) 0

F 800 N

F 800 N (C)

y

GC

GC

F 0

3300 F 0

5

F 500 N (T)

Örnek: CF çubuğundaki kuvveti bulunuz. Find the force at the bar CF

Çözüm:

Mesnet tepkileri bulunur. a

a

O

o

CF

CF

M 0

F sin45 12m 3kN 8 m 4.75kN 4m 0

F 0.589kN C

a-a kesimi

Örnek: EB çubuğundaki kuvveti bulunuz. Find the Force at the Bar EB

a

a b

b

B

oED

ED

ED

M 0

1000(4) 3000(2) 4000(4)

F sin 30 (4) 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

x

o oEF

EF

EF

y

o oEF EB

EB

F 0

F cos30 3000cos30 0

F 3000 N

F 3000 N (C)

F 0

F sin 30 3000sin 30 1000 F 0

F 2000 N (T)

a-a kesimi

b-b kesimi

Alttaki Kafes Sistemlerde Soru işareti olan çubuklardaki kuvvetleri hesaplayınız. (Cevapları soruların yanında verilmiştir. Yöntem Serbesttir.)

BC = P/2

1.

2.

3.

4.

5.

6.