dördüncü bölüm, kafes sistemleri

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

KAFES SİSTEMLERİ

1.GİRİŞ

Kafes sistemler doğru eksenli çubuklardan oluşan taşıyıcı sistemlerdir. Köprüler, çatı

bağlantıları, vinç gövdesi gibi sistemler kafeslere birer örnektir. En çok kullanılan L, U, I

profilli çubuklar, borular ve özel şekillendirilmiş elemanlar, uçlarından mafsallarla,

bağlanırlar. Kafesi meydana getiren çubuklar düzlem içindelerse bunlara düzlemsel kafes

denir. En basit kafes sistem üçgen şeklinde olandır. Üç düğüm ve üç çubuktan oluşur.

Buna temel üçgen sistemi denir. Temel üçgen sistemine iki çubuk daha eklenir ve bunlar

bir düğüm noktasında birleştirilirse yeni bir kafes sistem ortaya çıkar. Basit kafes sistemler

temel üçgen sisteme; üçgenlerin eklenmesiyle oluşmuşlardır. Basit kafes sistemleri

çubuklarla birbirine birleştirilirse birleşik kafes sistemleri elde edilir. Basit ve birleşik

kafes sistemleri dışında kalan sistemlere karışık kafes sistemleri denir (Şekil 1). Kafes

sistemlerinin analizi için çeşitli grafik ve analitik yöntemler bulunmaktadır. Bu bölümde

düzlemsel kafeslerden başlanarak kafes sistemlerinin sonlu elemanlar metodu ile analizi

verilecek daha sonra 3 boyutlu kafesler için bir genellemeye gidilecektir.

Şekil 1. Basit kafes sistemi, birleşik kafes sistemi ve karışık kafes sistemleri

Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN

2. SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU

Kafes yapıları yalnızca iki yönlü yük taşıyan elemanlardan oluşmuş bir yapıdır. Yani

kafesi oluşturan bütün elemanlar yalnızca çekme yada basmaya çalışırlar. Şekil 2’de genel

bir kafes yapısı verilmiştir. Kafes sisteminde yükler birleşme yerlerinden uygulanır ve

elemanlar yalnızca uçlarından sürtünmesiz mafsallarla birbirine bağlanırlar.

Şekil 2 Kafes sisteminin sonlu eleman modeli

2.1. Düzlemsel Kafesler

Lokal ve Global Koordinat Sistemleri: Daha önce ele aldığımız tek boyutlu elemanlarla

kafesler arasındaki esas fark, kafes elemanlarının değişik yönelimlere sahip olmasıdır. Bu

farklı yönelimleri açıklayabilmek için yerel ve global koordinat sistemleri tanımlanır.

Basit bir düzlem kafes elemanı Şekil 3’te lokal ve global koordinat sistemlerinde

görülmektedir. Yerel koordinatlarda elemanın düğüm noktaları 1 ve 2 olarak

numaralandırılmıştır. Sistemde elemanın 1 düğümünden 2 düğümüne doğru giden bir x'

ekseni bulunmaktadır. (Bundan sonra yerel koordinat sisteminde verilecek bütün

büyüklüklerde ( ' ) işareti bulunacaktır.) Global x-y koordinat sistemi ise sabittir ve

elemanın doğrultusuna bağlı bağlı değildir. x, y, z koordinat sistemi, z ekseni kağıt

düzlemine dik olmak üzere sağ el kuralına uygun bir diziliş izlemektedir. Global koordinat

sisteminde her düğüm iki serbestlik derecesine sahiptir. Düğümlerin ve serbestlik

derecelerinin numaralandılmasında sistematik bir numaralandırma şekli geliştirilmiştir.

Buna göre global düğüm numarası j olan bir düğümün serbestlik derecesi 2 1j ve 2j ile,

buna karşılık gelen genel deplasmanlar ise Q2j-1 ve Qj ile gösterilmektedir (Şekil 2.)

Bölüm 4-22


q1 ve q2 lokal koordinat sisteminde 1 ve 2 düğümlerinin deplasmanı olsun. Böylece,

yerel koordinat sistemindeki elemanın deplasman vektörü;

(1)

şeklinde gösterilir. Genel koordinat sisteminde elemanın deplasman vektörü ( 4x1 )

boyutunda bir vektör olup

(2)

şeklindedir. {q}' ve {q} arasındaki bağıntı için şekil 3’e bakalım. Deforme olmuş

elemandan x' eksenine q1 ve q2 nin izdüşülerinin toplamı q1 ye eşittir. Yani,

q q Cos q Sin1 1 2' (3a)

Benzer şekilde,

q q Cos q Sin2 3 4' (3b)

Buradan l = Cos ve m = Sin şeklinde doğrultu kosinüslerini tanımlayabiliriz. Bu

doğrultu kosinüsleri yerel x' ekseninin genel x-y eksenleri ile yaptığı açıların kosinüsleridir.

Böylece (3a) ve (3b) matris notasyonu ile,

{q'} = [L]{q} (4)

şeklinde yazılabilir. Burada [L] transformasyon matrisi olup,

Şekil 3. Global ve lokal koordinat sistemlerinde kafes elemanı

Bölüm 4-33


Ll m

l m

0 0

0 0(5)

şeklindedir.

l ve m 'nin hesaplanması: Düğüm koordinatları yardımıyla l ve m doğrultu kosinüslerini

hesaplamak mümkündür. Şekil 4’de görüldüğü gibi bir kafes elemanda, düğüm

koordinatları ( x1,y1 ) ve ( x2,y2 ), olmak üzere doğrultu kosinüsleri,

lx x

le

2 1

my y

le

2 1

(6)

şeklinde yazılabilir. le uzunluğu ise,

l x x y ye ( ) ( )2 12

2 12 (7)

dir.

Şekil 4. Doğrultu kosinüsleri

Elemanın Rijitlik Matrisi: Kafes elemanı lokal koordinat sisteminde bakıldığında tek

boyutlu bir çubuk elemandır. Bu nedenle burada daha önce çubuk eleman için geliştirilen

rijitlik matrisi kullanılabilir. Lokal koordinat sistemindeki bir eleman için rijitlik matrisi,

(8)

ile verilmektedir. Burada Ae elemanın kesit alanı, Ee ise elastisite modülüdür. Buradan

global koordinat sistemindeki elemanın rijitlik matrisi için, elemandaki şekil değiştirme

enerjisinden hareket edilir. Öncelikle yerel koordinatlardaki şekil değiştirme enerjisi,

(9)

dır. {q}' = [L].{q} dönüşümü ile,

Bölüm 4-44


(10)

elde edilir. Kısaca,

Ue = (11)

şeklinde yazabiliriz. Burada [k] genel koordinatlardaki elemanın rijitlik matrisi olup,

(12)

şeklinde elde edilir. (5)’teki [L] ve (8)’deki [k]' yerine konursa eleman rijitlik matrisi

(13)

elde edilir.

Gerilme Hesapları: Kafes elemanın yerel koordinatlar yalnızca çekme ve basınca çalışan

bir boyutlu çubuk eleman olduğunu yeniden hatırlanırsa, elemandaki gerilme,

(14)

dir. Şekil değiştirme, orijinal boyun birim uzunluğundaki değişiklik olduğundan,

(15)

elde edilir. {q}'=[L].{q} olduğundan,

(16)

yazılabilir. Böylece,

(17)

elde edilir. Elde edilen gerilme pozitif ise elemanın çekiye çalıştığı, negatif ise elemanın

basıya maruz olduğunu anlaşılır.

Bölüm 4-55


Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) Eleman rijitlik matrislerini, (b) Genel rijitlik matrisini, (c) Eliminasyon metodunu kullanarak deplasmanları, (d) Elemanlardaki gerilmeleri ve (e) Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

Çözüm: (a) Eleman süreklilik bilgileri ve düğüm koordinatları aşağıda verilmiştir. Eleman düğüm numaralarının sıralamasında öncelik önemli değildir. Yani 2. elemanın düğüm numarası sırasını 2-3 yazılabileceği gibi 3-2 de yazıla. Örnek olarak 3 nolu elemanın doğrultu kosinüsleri,

olarak hesaplanır. Diğer elemanların doğrultu kosinüsleri ve

eleman boyları aynı şekilde hesaplanır. Bu değerler de tabloda verilmiştir.

Eleman No Düğüm 1 Düğüm 2 le l m Düğüm No: x y1 1 2 40 1 0 1 0 02 3 2 30 0 -1 2 40 03 1 3 50 0.8 0.6 3 40 304 4 3 40 1 0 4 0 30

(b) Sistemin genel rijitlik matrisisi eleman rijitlik matrislerinin eleman süreklilik tablosu da dikkate alınarak toplanmasıyla elde edilir.

Bölüm 4-66


Şekilden görüldüğü gibi 1 ve 4 düğümlerinde her iki serbestlik derecesi 2 düğümünde ise y yönündeki serbestlik derecesi sıfırdır. Bunlar da Q1, Q2, Q4, Q7 ve Q8 deplasmanlarına karşılık gelmektedir. Böylece indirgenmiş sonlu eleman denklemi,

olur. Denklemlerin çözümü ile

elde edilir. Genel deplasman vektörü,

(d) Elemanlardaki gerilmeler (17)’den hesaplanır. 1. Elemanın deplasman vektörü,

olup elemanlardaki gerilmeler

=20 kN/cm²

=-21.9 kN/cm²

ve benzer şekilde s3 = 5.21 kN/cm² s4 =4.2 kN/cm² olarak hesaplanır.

(e) Son olarak mesnet reaksiyonları {R}=[K]{Q}-{F} yardımıyla hesaplanır. Bu mesnet tepkilerini bulmak için formülasyonda [K] nın mesnetlere karşılık gelen satır ve sütunları yeterlidir. Tutulu düğümlere karşılık gelen serbestlik dereceleri 1,2,4,7 ve 8 olduğundan ve bu düğümlerde kuvvet bulunmadığından

Bölüm 4-77


elde edilir. Buradan da

1

2

4

7

8

=

-15833

3126

21879

- 4167

0

N

R

R

R

R

R

bulunur. Kafes sisteminin serbest cisim diyagramı şekilde verilmiştir.

2.2. Sıcaklığın Etkisi

Daha önce lokal koordinatlarda kafes elemanının çubuk eleman olarak ele alınabileceğini

görmüştük. Buna göre, çubuk elemandaki sıcaklık yükü,

(18)

idi. Buradaki sıcaklık değişiminin neden olduğu başlangıç şekil değişimi;

(19)

dir. Herhangi bir yapıda başlangıç şekil değişimi yalnızca sıcaklık sebebiyle değil çeşitli

şekillerde (ön gerilme, fabrikasyon hataları vb) ortaya çıkabilir.

Bölüm 4-88

0 25 000 N

4 167 N

15 833 N 20 000 N

3 126 N 21 879 N


Sıcaklık yük vektörünün genel koordinat sistemindeki ifadesi için, potansiyel enerji yerel

veya genel koordinat sistemlerinde büyüklük olarak aynı olduğundan,

(20)

şeklinde yazılabilir. Diğer taraftan {q}'=[L].{q} olduğundan

(21)

elde edilir. Görüldüğü gibi yerel koordinatlardaki yük vektörü ile global koordinatlardaki

yük vektörü doğrultu kosinüsleri ile orantılı olmaktadır. Yani,

(22)

Ya da,

(23)

olarak elde edilir. Sıcaklık yükü, uygulanan diğer kuvvetlerle toplanarak genel yük vektörü

elde edildikten sonra bilinen tarzda deplasmanlar elde edilir. Gerilmeler ise,

(24)

ifadesinden elde edilmektedir. (17)’yi ve eşitliğini de kullanarak,

(25)

açık bir şekilde elde edilir.

Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ısıl genleşme katsayısı =6.7 10-6 1/0C ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) 2 ve 3 numaralı elemanların sıcaklıklarında 500C lık bir artış olması durumunda eliminasyon yaklaşımını kullanarak gerilme ve deplasmanları hesaplayınız. (b) 2 düğümünün verilen

Bölüm 4-99


yükler altında 0.12 cm’lik bir hareketine müsaade edildiğine göre penaltı yaklaşımını kullanarak denge denklemlerini elde ediniz.

Çözüm: (a) Eleman rijitlik matrisleri önceki örnekte elde edilmişti. Burada yalnızca sıcaklık yük vektörü elde edilecektir. (23) kullanılarak 2 ve 3 elemanlarındaki sıcaklık yükleri,

olur. Genel yük vektörü elde edildikten sonra eliminasyon yaklaşımına göre tutulu serbestlik derecelerine karşılık gelen satır ve sütunlar silinerek denge denklemi,

elde edilir. Buradan genel deplasman vektörü, elde edilir. Elemanlardaki gerilmeler

(25)’den hesaplanır. Örnek olarak 2. Elemandaki gerilme,

=8631 N/cm²

elde edilir. Diğer gerilmeler aynı şekilde s1 = 0, s3 = -3643 N/cm² , s4 =2914 N/cm² olarak hesaplanır.

(b) Penaltı yaklaşımında tanımlı serbestlik derecelerine karşlık gelen diyagonal elemanınan büyük bir C sayısının eklendiğini ve bunun genel rijitlik matrisinin en büyük elemanının 104 katı kadar alınabileceğini görmüştük. Aynı şekilde a tanımlı deplasman olmak üzere kuvvet vektörüne de Ca sayısının eklendiğini biliyoruz. Burada 4 numaralı serbestlik derecesinin deplasmanı 0.12 cm olduğundan 4 numaralı kuvvet elemanına 0.12C’nin eklenmesi gerekecektir. Bu durumda düzeltilmiş sonlu eleman denklemi

elde edilir. C=1.2 1010 =(24.3x29.5x106/600)104 alınarak denklemin çözülmesiyle bilinmeyen deplasmanlar ve gerilmeler

Bölüm 4-1010


bulunur.

3. ÜÇ BOYUTLU KAFESLER

Üç boyutlu kafes elemanı, yukarıda anlatılan düzlemsel kafes elemanının genelleştirilmiş

şeklidir. Bir üç boyutlu kafes elemanı için yerel ve genel koordinat sistemleri (Şekil 5)'de

gösterilmektedir. Burada da yerel kooordinat sistemi eleman doğrultusundaki x eksenidir.

Yerel koordinatlarda düğüm deplasmanları vektörü,

(26)

dir. Genel koordinatlarda ise düzlem kafes elemanında 4 olan eleman sayısı her düğümde

üçer elemandan 6 ya çıkmıştır.

(27)

Şekil 5’den görüleceği gibi yerel ve genel koordinat sistemleri arasında

(28)

şeklinde bir transformasyon ilişkisi bulunmaktadır. Burada l, m ve n sırasıyla x, y ve z

eksenlerine göre ve x ekseninin doğrultu kosinüsleri olmak dönüşüm matrisi [L];

(29)

dir. Global koordinatlarda elemanın rijitlik matrisi (12)’de verilmiş olup üç boyutlu kafes

elemanı için

Bölüm 4-1111


Şekil 5. Yerel ve genel koordinat sistemlerinde üç boyutlu bir kafes eleman

(30)

olarak elde edilir. Doğrultu kosinüsleri Şekil 5’ten

(31) dir. Bir elemanın uzunluğu ise,

l x x y y z ze ( ) ( ) ( )2 12

2 12

2 12 (32)

ile hesaplanır.

Bölüm 4-1212


4. GENEL RİJİTLİK MATRİSİNİN BANT FORMUNDA TOPLANMASI

Genel rijitlik matrisinin simetrik olduğunu ve iyi bir düğüm numaralandırması ile bant

formunda elde edildiğini görmüştük. Bilgisayar hafızasının verimli kullanılabilmesi ve

çözüm zamanının kısaltılabilmesi için belirli prosedürler geliştirilmiştir. Elde edilen

eleman rijitlik matrisleri genel rijitlik matrisinde yerleştirilirken bant dışında kalan sıfır

değerli matris elemanlarının işleme sokulmaması için bant çözüm yöntemi geliştitilmiştir.

Bir düzlemsel kafes elemanını ele alalım. Elemanın süreklilik bilgileri aşağıdaki gibi olsun.

Eleman 1 2 Lokal düğüm nunarası

e i j Global düğüm numarası

Buradan eleman rijitlik matrisi ve karşılık gelen serbestlik dereceleri

(33)

şeklindedir. [k]e nin asıl diyagonali bant şeklindeki genel rijitlik matrisi [K] nin ilk

sutununa yerleştirilecektir. İkinci diagonal ikinci sütunda, üçüncü diyagonal 3. sütunda son

diyagonal ise 4. sütunda yerine konur. Böylece [k]e ve [K] elemanları arasındaki uygunluk,

(34)

olarak yazılabilir. Burada ve1, 2, 3, 4 değerlerini alan lokal serbestlik derecelerini p

ve q da 2i-1, 2i, 2j-1, 2j değerlerini alan genel serbestlik derecelerini göstermektedir.

Örnek:

(35)

Simetri nedeniyle eleman rijitlik matrisinin yalnızca üst üçgen elemanları alınmaktadır.

Dolayısıyla verilen yerleştirme ifadeleri q ³ p için geçerlidir.

Bölüm 4-1313

dördüncü bölüm, kafes sistemleri

Documents