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B-Splines Aufgabe 1: B-Splines Aufgabe 2: Zweifacher DeCasteljau Implementierung

Ubungsstunde 3 zu Computergrafik 3

Kevin Keul

Institut fur ComputervisualistikUniversitat Koblenz

01. Juli 2013

Kevin Keul Arbeitsgruppe Computergrafik



Inhaltsverzeichnis

1 B-SplinesWiederholungErweiterung: Nicht uniforme Knotenvektoren (NURBS)Erweiterung: GewichteErweiterung: Flachen

2 Aufgabe 1: B-SplinesB-Splines und NURBS

3 Aufgabe 2: Zweifacher DeCasteljauAllgemeinesAufgabe 2

4 Implementierung




Wiederholung

B-Splines (Basis-Splines) bieten eine einfache, aber machtigeReprasentation von Kurven und Freiformflachen

Bezier-Kurven sind ein Spezialfall von B-Splines

Lokale Kontrolle (Kontrollpunkte andern Kurven nur lokal)

Anzahl der Kontrollpunkte beeinflusst nicht die Komplexitatder Kurve




Wiederholung

Frage

Wann ist ein B-Spline eine Bezier-Kurve?

Antwort

Wenn der Knotenvektor nur aus Nullen und Einsen besteht, also n= k gilt.




Wiederholung

B-Splines: Formale Definition

Formel

C (t) =∑n

i=1 BiNi ,k(t)

n = Anzahl der Kontrollpunkte

k = Ordnung

Bi sind die Kontrollpunkte

Ni ,k(t) sind die Basisfunktionen (Cox-de-Boor-Rekursion)

Basisfunktionen

Ni ,k =(t−xi )Ni,k−1(t)

xi+k−1−xi+

(xi+k−t)Ni+1,k−1(t)xi+k−xi+1

Ni ,1(t) =

{1 wenn xi ≤ t < xi+1

0 sonst




Wiederholung

Frage

Wie ist nun das genaue Vorgehen fur das Rendern eines B-Splines?

Antwort

1 Benutzer definiert Kontrollpunkte.

2 Grad des Splines wird definiert (entweder durch Benutzer oderintern)

3 Definition, ob geschlossene oder offene Kurve

4 Automatische Berechnung des uniformen Knotenvektors(offen oder periodisch)

5 Automatische Berechnung des gultigen Parameterbereichs

6 Schleife uber Parameter t im gultigen Parameterbereich,Werte der Basisfunktionen fur jedes t werden bestimmt

7 Punkt auf der Kurve ergibt sich mit Hilfe der Kontrollpunkte(P(t) = ...)




Erweiterung: Nicht uniforme Knotenvektoren (NURBS)

Durch Ordnung und Wahl von offenem oder perdiodischemTyp ist ein uniformer Knotenvektor eindeutig definiert

Knotenvektoren konnen aber auch ungleichmaßige(nicht-uniforme) Abstande haben: [0 0.2 0.9 2.6 2.7 2.7 2.7 3]

Die geometrische Deutung ist schwierig

Der Knotenvektor beeinflusst die Basisfunktionen, diesewiederum das Aussehen der Kurve





Uniformer Knotenvektor





Nicht-uniformer Knotenvektor




Erweiterung: Gewichte

Warum Gewichte?

Gewichte erhohen die Flexibilitat

Jedem Kontrollpunkt kann ein Gewicht zugewiesen werden

Aber: Wenig Verwendung in der ”echten Welt”

Eigenschaften von Gewichten

Alle Gewichte = 1 → Normales B-Spline

Ein Gewicht zwischen 0 und 1 reduziert den Einfluss desPunktes, ein Wert > 1 zieht die Kurve naher an den Punkt





Rationale B-Splines

C (t) =∑n

i=1 Bhi Ni ,k(t)

Projektion in 3D

C (t) =∑n

i=1 BihiNi,k (t)∑ni=1 hiNi,k (t)

Selbe Basisfunktionen wie B-Splines

Negative Gewichte sind moglich, aber ”bose”

Eselsbrucke: Rationale Zahlen: Bruche




Erweiterung: Flachen

Zusatzliche parametrische Richtung

S(u, v) =∑n

i=1

∑mj=1 B

hi ,jNi ,k(u)Mj ,l(v)

n × m Kontrollpunkte

Der Grad kann fur jede parametrische Richtung einzelnfestgelegt werden




Erweiterung: Flachen




B-Splines und NURBS

Wdh.: Grad und Ordnung

Grad beeinflusst die Anzahl der Kontrollpunkte, die aktiv aneinem bestimmten Punkt Einfluss ausuben

Achtung: Ordnung k = Grad + 1

Maximal: k = n

Maximaler Grad: Anzahl Kontrollpunkte - 1




B-Splines und NURBS




B-Splines und NURBS

Offene Knotenvektoren

n+k Elemente

monoton steigend

k Wiederholungen der Werte am Anfang und Ende

Beispiel

k = 1: [0 1 2 3]k = 2: [0 0 1 2 2]k = 3: [0 0 0 1 1 1]




B-Splines und NURBS

Periodische Knotenvektoren

k - 1 Elemente am Anfang und Ende ”gelten” nicht.

Beispiel

k = 1: [0 1 2 3], gultig fur 0 ≤ t < 3k = 2: [ 6 0 1 2 3 6 4], gultig fur 1 ≤ t < 3k = 3: [ 6 0 6 1 2 3 6 4 6 5], gultig fur 2 ≤ t < 3




B-Splines und NURBS

A 1.1

Berechnen Sie N1,2, N2,2, N3,2 fur den Bereich 2 ≤ t < 3!

Basisfunktionen

Ni ,k =(t−xi )Ni,k−1(t)

xi+k−1−xi+

(xi+k−t)Ni+1,k−1(t)xi+k−xi+1

Ni ,1(t) =

{1 wenn xi ≤ t < xi+1

0 sonst

Knotenvektor

k = 2: [ 6 0 1 2 3 6 4], gultig in 1 ≤ t < 3




B-Splines und NURBS

Welches Ergebnis wurden wir erwarten? Dies konnen wir durchSkizzieren der Basisfunktionen beantworten.




B-Splines und NURBS

A 1.1

Berechnen Sie N1,2, N2,2, N3,2 fur den Bereich 2 ≤ t < 3!

N1,2

N1,2 =(t−x1)N1,1

x2−x1+

(x3−t)N2,1

x3−x2

N1,2 = (t−0)01 + (2−t)0

1 = 0

N2,2

N2,2 =(t−x2)N2,1

x3−x2+

(x4−t)N3,1

x4−x3

N2,2 = (t−1)01 + (3−t)1

1 = 3− t

N3,2

N3,2 = (t−2)11 + (4−t)0

1 = t − 2




B-Splines und NURBS

A 1.2

Bestimmen Sie den Punkt P(t) auf der Kurve fur t = 2.

Berechnete Basisfunktionen

N1,2(t) = 0

N2,2(t) = 3− t

N3,2(t) = t − 2

Einsetzen in die B-Spline-Gleichung

Gleichung: P(t) = B1N1,2(t) + B2N2,2(t) + B3N3,2(t)




B-Splines und NURBS

A 1.2

Bestimmen Sie den Punkt P(t) auf der Kurve fur t = 2.

Berechnete Basisfunktionen

N1,2(t) = 0

N2,2(t) = 3− t

N3,2(t) = t − 2

Einsetzen in die B-Spline-Gleichung

Gleichung: P(t) = B1N1,2(t) + B2N2,2(t) + B3N3,2(t)

B10 + B2(3− t) + B3(t − 2)

Fur t=2: P(2) = B2(3− 2) + B3(2− 2) = B2




B-Splines und NURBS

A 1.3 NURBS-Punktevaluation

Evaluation an gleicher Stelle, aber B2 wird mit w2 = 10 gewichtet.

NURBS-Gleichung

P(t) =w1B1N1,2(t)+w2B2N2,2(t)+w3B3N3,2(t)

w1N1,2(t)+w2N2,2(t)+w3N3,2(t)

Eingesetzt

P(t) =B1N1,2(t)+10B2N2,2(t)+B3N3,2(t)

10

= 10B210 = B2




B-Splines und NURBS

A 1.4

Wieso kommt bei gleichem Parameterwert, aber verschiedenenGewichten das selbe Ergebnis raus?

Uberlegungen

Ordnung 2 → Grad ist linear, also simple Verbindung derKontrollpunkte

Ein Gewicht > 1 zieht die Kurve naher an den Kontrollpunkt

Dies macht im linearen Fall keinen Unterschied

Auch ein Gewicht < 1 wurde die Kurve im linearen Fall nichtandern

Folglich: Gewichte spielen bei Ordnung 2 keine Rolle




B-Splines und NURBS

A 1.5

Gewicht von 0

Kann das Gewicht eines Punktes auch 0 sein?

NURBS-Gleichung

P(t) =w1B1N1,2(t)+w2B2N2,2(t)+w3B3N3,2(t)

w1N1,2(t)+w2N2,2(t)+w3N3,2(t)




B-Splines und NURBS

A 1.5

Gewicht von 0

Eliminiert den Einfluss eines Punktes

Erzeugt ggf. Singularitat (undefinierter Punkt)

w2 = 10→ 10B2

10 = B2

w2 = 0→ 0B2

0 = . . .




Allgemeines

Uberlegungen

Evaluationen auf Bezier-Patches konnen mit demDeCasteljau-Algorithmus berechnet werden

Prinzip: Mehrfache Anwendung dieses Algorithmus

S(u, v) =∑n

i=0

∑mj=0 Bi ,jNni (u)Mmj(v)

anders hingeschrieben:S(u, v) =

∑ni=0Nni (u)

∑mj=0 Bi ,jMmj(v)




Allgemeines

Was bedeutet das?

Erst Punkte auf allen Kurven in v-Richtung berchnen

Dann zwischen diesen berechneten Punkten in der eigentlichgewunschten u-Richtung rechnen

Die Reihenfolge der Richtung ist egal!




Aufgabe 2

A 2.1

Gegeben: Alle Kontrollpunkte fur ein 3× 3 Bezier-Patch

Gesucht: Funktionswerte an den Stellenu = 0.5, v = 0.5u = 0.75, v = 0.75




Aufgabe 2

A 2.1

u-Richtung




Aufgabe 2

Die Ergebnisse der letzten Schritte liefern die Kontrollpunkteeiner neuen Bezier-Kurve

Selbes Verfahren noch einmal auf sie anwenden.

Anmerkung: Der Algorithmus wurde nur anhand des Hohenwertesdemonstriert. Tatsachlich mussen Punkte verwendet werden (hier:(2.0, 1.875, 2.0)).




Aufgabe 2

A 2.1

Nun fur u = 0.75 und v = 0.75.

Was bedeutet das?

0.25 ·Wertlinks + 0.75 ·Wertrechts




Aufgabe 2




OpenGL bietet die Moglichkeit, Bezier-Patches zu rendern

Nur Triangulierung

D. h.: An die Grafikhardware gehen nach wie vor nur Dreiecke

Vorgehen

1 Datenstruktur fur Kontrollpunkte anlegen

2 Initialisierung der OpenGL-Umgebung (Evaluator anlegen)

3 Zeichnen des Patches




Datenstruktur: 2D-Array von 3D-Vektoren

GLfloat points[NUMX][NUMZ ][3] = {

{ {1,2,1}, {1,0,2}, {1,2,3} },

{ {2,0,1}, {2,6,2}, {2,0,3} },

{ {3,0,1}, {3,0,2}, {3,2,2} }

};

Ein Zugriff auf points[1,1,1] ist beispielsweise die y-Koordinatedes mittleren Punktes (6).

OpenGL erwartet die Punktdaten in einem solchen Format

Bei Laden von externen Daten mussen sie ggf. in ein solchesArray kopiert werden




Vorgehen in OpenGL

2D Evaluator initialisieren

glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3 , 0, 1, 3, 3, 0, 1,

3*3, 3, &points [0][0][0]);

Signatur:

void glMap2f(GLenum target , GLfloat u1 ,

GLfloat u2 , GLint ustride , GLint uorder ,

GLfloat v1 , GLfloat v2 , GLint vstride , GLint

vorder , const GLfloat *points);

Definiert wie Punkte auf einer Oberflache berechnet werden.Das ”Ergebnis” eines Evaluators sind normaleOpenGL-Befehle, z. B.: glVertex, glNormal, glTexCord,glColor




void glMap2f(GLenum target , GLfloat u1 , GLfloat

u2 , GLint ustride , GLint uorder ,

GLfloat v1 , GLfloat v2 , GLint vstride , GLint

vorder , const GLfloat *points);

target: Format, in dem die Punkte vorliegen

u1, u2: Parameterbereich

uStride: Anzahl Float-Werte bis zum nachsten Kontrollpunkt

uorder: Ordnung d. Basisfunktion

Analog fur v

points: zeigt auf Array der Kontrollpunkte




Evaluator und automatische Normalberechnung

glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);

glEnable(GL_AUTO_NORMAL);

Parameterpaare fur (u,v) erzeugen, die der Evaluator als Eingabebenutzt

glMapGrid2f (30, 0, 1, 30, 0, 1);




void glMapGrid2f(GLint un , GLfloat u1 , GLfloat

u2 , GLint vn , GLfloat v1, GLfloat v2);

Evaluator allgemein

un: Anzahl der Stellen, an denen ein Punkt evaluiert wird

u1: Beginn des Parameterbereiches

u2: Ende des Parameterbereiches

Analog fur v




Nun muss in der display() noch gezeichnet werden:

glEvalMesh2(GL_FILL , 0, 30, 0, 30);

glEvalMesh2 ruft Evaluator auf, welcher mit den vorhergesetzten Parametern Dreiecke generiert und an dieGrafikhardware ubergibt

Mit GL POINT, GL LINE oder GL FILL wird bestimmt, wiegezeichnet wird

Damit lassen sich auch B-Splines oder NURBS rendern



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