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NIVELES DE COMPLEJIDAD EN PROBLEMAS DE GEOMETRIA DINÁMICA

OMAR LOPEZ VARGAS M.Sc. LUIS FACUNDO MALDONADO GRANADOS Ph.D.

JAIME IBAÑEZ IBAÑEZ M.Sc. LUIS BAYARDO SANABRIA RODRIGUEZ M.Sc.

VÍCTOR QUINTERO SUÁREZ M.Sc.

Profesores Universidad Pedagógica Nacional

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Colección Grupo TECNICE LLAA CCOOMMPPLLEEJJIIDDAADD EENN LLAA SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS NIVELES DE COMPLEJIDAD EN PROBLEMAS DE GEOMETRIA DINÁMICA

Grupo de Investigación © Omar López Vargas (Director)

Luis Facundo Maldonado Granados Jaime Ibáñez Ibáñez Luis Bayardo Sanabria Rodríguez Víctor Quintero Suárez

Profesores Universidad Pedagógica Nacional

ISBN: 958-33-6746-X Derechos Reservados Primera Edición: año 2005. - 500 ejemplares

© Grupo TECNICE Universidad Pedagógica Nacional Calle 73 No. 11 - 86 Tel. 5941894 ext 237 - 240 www.pedagogica.edu.co Diagramación y armada Grupo TECNICE Corrección de estilo Ana Alicia Zapata Rodríguez

Azucena López

Diseño de portada Juan Carlos Estupiñán D.I. Investigación cofinanciada por la Universidad Pedagógica Nacional – UPN – Centro de Investigaciones – CIUP -

Este libro no podrá ser reproducido total o parcialmente por cualquier medio químico, mecánico u otro sistema, sea cual sea su naturaleza, sin permiso del escritor.

Printed in Colombia

II

AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOOSS

El grupo TECNICE expresa sus agradecimientos al Centro de Investigaciones CIUP de la Universidad Pedagógica Nacional, sin cuyo patrocinio no hubiera sido posible el desarrollo de esta investigación. Queremos resaltar la colaboración de los profesores y alumnos de los grados sextos de la Institución Educativa Distrital Rodrigo Lara Bonilla, por su valiosa y oportuna colaboración en la fase experimental de este trabajo. Además, deseamos hacer un reconocimiento especial a los compañeros del Centro de Informática CIDUP de la U.P.N., quienes nos dieron todo su apoyo y contribuyeron a los logros alcanzados en éste trabajo. Finalmente queremos invitar a la comunidad educativa a generar diseños de ambientes de aprendizaje basados en computador para el estudio de los procesos cognitivos y metacognitivos en la solución de problemas en el aula de clase.

III

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN El concepto de complejidad se asocia a un conjunto de partes articuladas entre sí para formar un todo; es equivalente en este sentido a la clase totalidad, estructura o conjunto; a él se atribuye habitualmente un sistema de relaciones internas, que lo convierten en un todo autónomo. En este orden de ideas, las partes constituyentes de una entidad, están asociadas y cumplen funciones específicas a través de acciones, eventos, interacciones y conexiones, que se mantienen como un todo. Otra definición de complejidad, se relaciona con sistemas en desorden, ambiguos e inciertos (Morin, 2003). En contraste con éste concepto, se presenta la “Simplicidad” la cual se define como entidades con un número único o limitado de partes. Simon (1996), define un sistema complejo como una estructura hecha de un amplio número de partes compuesta por muchas interacciones y como un todo, más que la suma de sus partes. En éste sentido afirma que a partir de las propiedades asociadas a cada una de las partes y las leyes de sus interacciones, no es fácil inferir las propiedades de la totalidad, propone para el estudio de la complejidad, los sistemas jerárquicos, los cuales están compuestos por diferentes niveles interrelacionados desde un nivel más alto hasta llegar a la parte mas elemental. La palabra jerarquía de los niveles (subsistemas) está subordinada por una relación de autoridad. En esta misma línea de pensamiento, Morin (2003), define la complejidad, como un tejido de constituyentes heterogéneos e inseparablemente asociados. Connor & Mcdermott (2000), definen un sistema, como una entidad cuya existencia y funciones se mantienen como un todo, por la interacción de sus partes. El análisis sistémico contempla el todo y sus partes, así como las conexiones entre las mismas, y estudia el todo para poder comprender las partes. Es lo opuesto al reduccionismo, es decir, la idea de que algo es simplemente la suma de sus partes.

IV

La complejidad se relaciona con los agentes naturales, en la medida que éstos se enfrentan a situaciones problemáticas que implican la articulación de diferentes variables. La solución del problema depende de la complejidad del mismo, en términos del número de dimensiones que se articulan entre sí, del conocimiento del agente natural, de las estrategias empleadas y de la toma de decisiones a la hora de dar solución al problema planteado. De esta forma, los agentes articulan diferentes cuerpos de conocimiento, información ubicada en la memoria de largo y corto plazo, los datos y reglas del problema, las metas, etc., estableciendo diferentes relaciones en la búsqueda y planteamiento de alternativas de solución. El tema de complejidad como esta planteado da origen al trabajo de investigación “Incidencia de la variedad de niveles de complejidad sobre el aprendizaje en la solución de problemas“, realizada en la Universidad Pedagógica Nacional, cuyos resultados presentamos en este libro. El contenido de esta obra se Inicia con un recorrido del estado del arte de sistemas complejos para ubicar el concepto de complejidad en el contexto de la literatura científica y continua con la concepción empírica a partir de la experimentación realizada con estudiantes que resuelven problemas de geometría dinámica. Este proceso se consolida en cada uno de los capítulos.

El primer capítulo relaciona los estudios y planteamientos de diferentes autores tanto filosófica, como científicamente de la complejidad. El capítulo segundo, explora la geometría dinámica a partir del movimiento de los cuerpos. En esta unidad se plantean conceptos básicos acerca de homotecia, rotación y translación de los objetos. El capítulo tercero, plantea un modelo metodológico de investigación basado en un ambiente de aprendizaje que lleva al individuo a identificar un número de variables necesarias, para dar solución a una situación problemática de geometría dinámica a partir de diferentes niveles de complejidad. El capítulo cuarto, presenta el diseño investigativo basado en el estudio del ambiente de aprendizaje computacional. El capítulo quinto, hace un recuento del análisis de datos y de los resultados de la investigación. El libro finaliza con la presentación de las conclusiones, producto del trabajo experimental que se traducen en un modelo del efecto de los niveles de complejidad en el proceso de solución de problemas.

V

TTAABBLLAA DDEE CCOONNTTEENNIIDDOO

Pág. 1 ESTADO DEL ARTE Y MARCO TEÓRICO……..……… 1 1. 1. Concepción de complejidad.............................................. 1 1.2. La complejidad en la solución de problemas…………….. 7 1. 3. Complejidad cognoscitiva………………………………..… 26 1. 4. Complejidad en la interacción de un observador con un

sistema………………………………………………………..

33 1. 5. El pensamiento complejo…………………………………... 39 1. 6. Pensamiento sistémico……………………………………... 40 1. 7. La autorregulación en el proceso de aprendizaje……….. 43 1.8. Solución de problemas……………………………………... 46 1.8.1. Razonamiento Lineal……………………………………….. 53 1.8.2. Cronometría mental…………………………………….…… 53 1. 9. La autorregulación del aprendizaje en el proceso de

solución de problemas………………………………………

57 1.10. Estrategias de aprendizaje……………………….………… 59 1.11. Procesamiento de la información……………………….…. 62 2 GEOMETRIA DINAMICA……………...…………………... 64 2.1. La geometría en la antigüedad…………………………….. 64 2.2. Traslación……………………………………………………. 69 2.3. Posición de una figura geométrica………………………… 70 2.4. Rotación……………………………………………………… 71 2.5. Movimiento plano……………………………………………. 72 2.6. Homotecia……………………………………………………. 74 2.7. El tangram……………………………………………………. 77 3. MODELO DE LA INVESTIGACIÓN………………………. 82 4. DISEÑO INVESTIGATIVO…………………………………. 95 4.1. Problema de Investigación…………………………………. 95 4.2. Objetivos del proyecto……………………………………… 96 4.3. Variable independiente……………………………………... 97 4.4. Variable dependiente……………………………………….. 98 4.5. Descripción del Software…………………………………… 98 5. ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS………..……… 109 5.1. Población, muestra y procedimientos experimentales…. 109 5.2. Variables…………………………………………………...… 110 5.3. Datos y resultados de la experimentación………….……. 110 5.3.1. Comparación de los grupos A, B y C en la etapa de

entrenamiento……………………………………………..…

111 5.3.1.1. Comparación por parejas de grupos……………………… 112 5.3.2. Correlación entre eficacia y eficiencia…………………….. 113

VI

5.3.3. Medidas repetidas en la etapa de entrenamiento……….. 118 5.3.3.2. Evolución de la eficiencia………………………...………… 122 5.3.4. Análisis de la eficiencia y la eficacia en la prueba de

retención……………………………………………………… 125

5.3.4.1. Comparación de los grupos A, B y C……………………... 126 5.3.4.2. Correlación entre eficacia y eficiencia…………………….. 127 6. CONCLUSIONES…………………………………………… 129 6.1. Complejidad y solución de problemas……………………. 129 6.2. Evolución de la eficacia y eficiencia………………………. 132 6.3. Correlación entre eficacia y eficiencia……………………. 135 6.4. Efecto de la eficacia y eficiencia en sesión de retención

de aprendizaje……………………………………………….

135 6.5. El efecto de la autorregulación en el proceso de

aprendizaje…………………………………………………...

136 6.6. Síntesis……………………………………………………….. 136 6.7. Proyecciones………………………………………………… 138 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………... 140

VII

11 ESTADO DEL ARTE Y MARCO TEORICO

1.1. Concepción de complejidad La concepción de complejidad y sistemas complejos, se da después de la primera guerra mundial con el término “Holismo”, dado el interés de la “Gestalt” y “la evolución creativa”. En un segundo momento, después de la segunda guerra mundial, los términos favoritos fueron: “Información”, “Realimentación”, “Cibernética” y “Sistemas Generales“. Un tercer momento, la complejidad se asocia con “caos”, “sistemas adaptativos”, “algoritmos genéticos” y “autómatas celulares” (Simon, 1996). Después de la segunda guerra mundial, el interés se enfoca en describir que el todo trasciende a la suma de sus partes, ésta concepción era fuertemente antirreduccionista. Los enfoques se orientaron en la realimentación (feedback) y la homeostasis (sensibilización autónoma) para apoyar los sistemas complejos.

• Holismo y reduccionismo El Holismo observa los objetos naturales como un todo... y mira la naturaleza de los mismos desde la perspectiva de lo discreto en los cuerpos y las cosas concretas... Estos cuerpos no son completamente desarticulados, es decir, no se pueden descomponer en sus partes y son mucho más que la suma de sus partes, ponerlos juntos mecánicamente, no produciría sus características y comportamientos inherentes a su naturaleza (Smuts, 1929). Esto significa que las partes de un sistema complejo tienen relaciones mutuas, que no existen para cada una de las partes aisladamente. Para describir un sistema complejo, se encuentran con frecuencia dificultades al introducir nuevos términos. Por ejemplo, la masa inercial en un sistema mecánico o el voltaje en la teoría de circuitos,

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son cantidades que no son directamente observables; pero que están definidas por las relaciones entre variables observables y mesurables. Ohm, establece su ley para la resistencia eléctrica, para construir un circuito teniendo una batería que conduce la corriente a través de un cable y así poder medir la fuerza magnética inducida por esa corriente. Cambiando la longitud del cable, se altera esta corriente. La ecuación que relaciona la longitud del alambre (resistencia) y la fuerza registrada por el amperímetro contiene dos constantes independientes de la longitud del alambre; pero, estas constantes cambian si se reemplaza la batería por otra. Estas constantes se denominan voltaje y resistencia interior de la batería, que son analizadas como una “caja negra”. El voltaje y la resistencia interna no son directamente medibles. Las condiciones teóricas inferidas a partir de la ley de Ohm son las que demuestran la existencia de la resistencia y la corriente. Esto implica que adherirse al reduccionismo no es una tarea fácil, debido a que la inferencia rigurosa de las propiedades de un todo, desde el conocimiento de cada una de sus partes, no es una tarea sencilla.

• Teoría de sistemas generales y cibernéticos Después de la segunda guerra mundial, una teoría surge y se define como cibernética (Wiener, 1951), dominio de conocimiento que combina la teoría servomecanisista (sistemas de control realimentados), la teoría de la información y los computadores con programas almacenados; todo esto para mirar una teoría de la complejidad. Los sistemas realimentados demuestran la forma como un control puede trabajar a través de diferentes metas y puede adaptarse a cambios del ambiente. Lo que se requiere en éste caso es la habilidad para reconocer cuál es la meta y detectar el estado inicial, el estado ideal y las acciones que se puedan generar a partir del estado inicial. Precisamente, las capacidades de un sistema hacen referencia a solucionar los problemas en general, lo que se traduce en la construcción de pequeños robots que se pueden mover libremente en ambientes. Estos sistemas podrían ser construidos con diferentes niveles de complejidad, en virtud de su capacidad para interpretar y ejecutar los programas almacenados, en este sentido se inician los estudios de la inteligencia artificial. Los robots se han desarrollado gracias al estudio de los sistemas complejos, especialmente los sistemas orientados de forma adaptativa hacia metas específicas y simultáneamente la explicación

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reduccionista de las propiedades de los sistemas en términos mecanicistas. El holismo ha generado una confrontación con el reduccionismo que no había sido posible antes, esta confrontación continúa actualmente desde una perspectiva filosófica de los sistemas artificiales. La cibernética, no es una teoría formalmente desarrollada, es un punto de vista para abordar la complejidad. En éste orden de ideas es útil revisar el comportamiento de los sistemas adaptativos en términos de la realimentación y la homeostasis, en función de aplicar estos conceptos a la teoría de la información selectiva. Los conceptos de realimentación e información proveen un rango de diferenciación al igual que las ideas de evolución, relativismo, método axiomático y operacionalismo. La principal contribución de esta tendencia en cuanto a la complejidad ha sido la inserción de conceptos más específicos que han llamado la atención de la comunidad académica; más que una idea global en la teoría general de sistemas, ésta corriente se basa en entender el contexto del mundo a través de los sistemas a gran escala y las sociedades de diferente orden. Otras ideas con respecto a la complejidad han surgido y se habla entonces de algoritmos matemáticos y computacionales, de los cuales se han desprendido categorías tales como “catástrofe”, “caos”, “algoritmos genéticos” y “autómatas celulares”.

• Teoría de la catástrofe Esta teoría aparece en 1968, fue muy interesante y quedó en escena durante pocos años, forma parte del dominio del conocimiento de las matemáticas que trabajan con la clasificación de los sistemas dinámicos no lineales. Muchos sistemas pueden tomar dos clases de estados diferentes (equilibrio estático o dinámico), pero cuando un sistema se encuentra en uno de estos estados, algún cambio en uno de sus parámetros puede llevar al sistema a que se desordene completamente y pase a un estado inestable. Dentro de esta categoría muchas situaciones complejas han sido estudiadas; por ejemplo, una población de gusanos que infesta el bosque. La rápida reproducción de éstos organismos alcanzan la densidad máxima, pero lentamente continúa creciendo en ese ecosistema, alterando gradualmente el límite de la población de los gusanos, hasta que la densidad del bosque es excedida en forma crítica y la población se

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desborda. Así como este ejemplo se pueden hacer analogías con modelos humanos.

• Complejidad y caos La teoría del caos se basa en el dominio del conocimiento matemático. Su historia se remonta a Poincaré. Los sistemas caóticos son sistemas dinámicos determinísticos con condiciones iniciales distribuidas infinitesimalmente; aunque ellos son deterministas, su comportamiento sobre el tiempo son absolutamente predecibles para perturbaciones pequeñas. Los sistemas caóticos se pueden explicar a través de modelos matemáticos y su mayor avance se apoya en la simulación a través de la utilización de computadores para mostrar y explicar éstos comportamientos. Los científicos han visto la teoría del caos desde un punto de vista técnico. En este sentido el meteorólogo Lorenz, comenzó a explorar a principios de los años 60 la posibilidad de que el clima fuera un fenómeno caótico, la posibilidad de que una mariposa en Singapur, por el aleteo de sus alas pueda causar una tormenta en New York; este fluido turbulento podría ser discutido dentro del fenómeno del caos. La atención que se ha dado al fenómeno del caos puede ser mirada en contraposición a lo que se ha denominado los sistemas dinámicos. Por mucho tiempo se ha tenido una teoría general de sistemas en ecuaciones diferenciales lineales con sus respectivas soluciones. Con sistemas de ecuaciones no lineales las soluciones fueron menos satisfactorias, pero detrás de aquellos fenómenos que se rigen por estas ecuaciones lineales, el caos es limitado a los métodos de análisis local. Las implicaciones que tienen la catástrofe o el caos, sobre los sistemas económicos, la mente humana o sistemas de ingeniería complejos no han sido demostradas con claridad. No todos los sistemas complejos que se encuentran en el mundo se comportan caóticamente, ni muy pocos lo son. El término caótico se asocia con lo inmanejable.

• Complejidad y evolución Muchos investigadores de los sistemas complejos han centrado sus investigaciones en lo que han denominado sistemas evolutivos. Al respecto, existen dos teorías computacionales relacionadas con la

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evolución: a). Algoritmos genéticos, explicada por Holland (1975) y b). Algoritmos computacionales para autómatas celulares en situaciones de simulación de “Juegos de la vida”.

• Algoritmos genéticos Desde un punto de vista evolutivo, un organismo puede representarse por una lista o un vector con rasgos genéticos. En la actualidad gracias a la programación en computadores modernos se pueden construir modelos computacionales que simulen procesos evolutivos. La simulación puede ser usada para estudiar los cambios que pueden sufrir dichos modelos, dependiendo de las variables que se puedan manipular. En estos sistemas se evidencia la evolución de los sistemas jerárquicos, que son sistemas que predominan en un mundo natural. Los autómatas celulares y el juego de la vida son simulados en computadores con diferentes niveles de abstracción, y así poder estudiar los procesos evolutivos, aspectos que se estudian después de la segunda guerra mundial, cuando Neumann basándose en algunas ideas de Stanislaw Ulam (citado por Simon, 1996), construye y define teóricamente un sistema que fuera capaz de reproducirse a si mismo (este sistema no fue implementado). La idea de Neumann fue seguida por Burks (1992), pero fue hasta en éste período que Langton (1989) creo un programa de computador capaz de simular la autorreproducción de un autómata celular. Los programas de computador pueden crear objetos simbólicos de varias clases y aplicar reglas para su reproducción y destrucción en función del medio ambiente. Esta línea de investigación está en etapa de desarrollo y depende exclusivamente de simulaciones en computadores a través de una teoría formal que la sustente. Al referirse al concepto de complejidad se hace alusión a un conjunto de partes que se articulan entre sí para formar un todo; es decir: “El conjunto complejo equivale en este sentido a la clase totalidad, estructura o conjunto; a él se atribuye habitualmente un sistema de relaciones internas, que lo convierten en un todo cerrado o autónomo”1. En este orden de ideas, las partes constituyentes de una entidad, están asociadas y cumplen unas funciones específicas a través de acciones, eventos, interacciones y conexiones, que se mantienen como un todo.

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1 Mora, J.F. Diccionario de Filosofía. Tomo I. IV, Editorial Arial, S.A., Barcelona. 2001 España.

Por otro lado, la complejidad esta asociada a sistemas en desorden, ambiguos e inciertos (Morin, 2003). Cuando el hombre trata de dar explicación a fenómenos donde intervienen varias dimensiones existe la necesidad de las ciencias naturales para dar un orden a estos fenómenos, rechazando lo incierto, el desorden, el caos; es decir, las ciencias seleccionan los elementos de orden y de certidumbre para eliminar ambigüedades, dar claridad y jerarquía a los fenómenos y leyes que gobiernan el mundo de una manera simple. En contraposición al concepto de complejidad, está la “Simplicidad” la cual se define como entidades con un número único o limitado de partes; a veces es asociada con lo indivisible cuando se dice que es un todo que no puede contener partes. Las entidades se fundamentan en la interacción de las partes que las conforman, en consecuencia, las relaciones entre éstas y su influencia mutua, hacen que sean simples o complejas de acuerdo al número de partes distintas que las componen. De esta forma la solución de problemas en los diferentes dominios de conocimiento implican diferentes variables en su solución, las cuales pueden poseer múltiples o pocas interrelaciones internas dependiendo de su naturaleza intrínseca. En este orden de ideas, la complejidad está llamada a ser la caracterización del mundo en el que vivimos y de los sistemas que cohabitan en éste. Lo nuevo al respecto en la presente actividad, no es el estudio particular de los sistemas complejos, sino el estudio del fenómeno de complejidad como tal. Algunas corrientes y puntos de vista como el caos, algoritmos genéticos, los autómatas celulares, la catástrofe y los sistemas jerárquicos entre otros, han tratado de dar razón de éste fenómeno. A continuación se abordan diferentes teorías y planteamientos, formalmente desarrollados por investigadores alrededor de la complejidad en la solución de problemas en diferentes campos de conocimiento.

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1.2. La complejidad en la solución de problemas La solución de problemas en campos de conocimiento específico, está ligada generalmente a un conjunto de dimensiones de diferente orden articulados entre sí y mediados por el contexto que los genera. Los agentes naturales cuando se enfrentan a situaciones problemáticas articulan las variables implicadas con éste, la información incompleta, las reglas del problema, tiempos, metas y planeación de actividades entre otras. La solución del problema depende de la complejidad del mismo, en términos del número de dimensiones que se articulan entre sí, del conocimiento del agente natural, de las estrategias estructuradas que emplea y de la toma de decisiones a la hora de dar solución al problema planteado. En esta medida los agentes articulan diferentes cuerpos de conocimiento, información ubicada en la memoria de largo y corto plazo, los datos y reglas del problema, estableciendo diferentes relaciones en la búsqueda y planteamiento de alternativas de solución. En este sentido, se han realizado investigaciones que dan explicación del comportamiento a nivel cognitivo, de los agentes en la solución de problemas con diferentes niveles de complejidad y dominios de conocimiento. A continuación se citan algunos planteamientos: Morris & Finkelstein (1993), proponen que la elaboración de documentos en los medios de comunicación múltiples involucra tres campos: a). técnico, b). discursivo y c). procedimental. El campo técnico es el campo de la máquina. Incorpora la traslación de medios de comunicación individuales de formas análogas a digitales; incluye la creación y manipulación digital y su almacenamiento, la recuperación y despliegue eventual y su transmisión de datos. Este campo también abarca la integración de medios de comunicación separados y la metodología de la manipulación e interacción con cualquier usuario en el desarrollo de las plataformas de hardware y software para los sistemas multimediales. En el campo de lo discursivo, las actividades del hombre se centran en la acción de ser comunicador y generador de un mensaje o receptor del mismo. La naturaleza del documento como un objeto comunicativo es un vehículo para el pensamiento humano. La

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definición del discurso puede ser tradicional y darse de varios modos: a). Narrativa, b). Descriptiva, c). Argumentativa y d). Expositiva. En el campo procedimental el diseñador, es el agente principal. Su preocupación es el diseño la actividad misma y sus partes constitutivas, el orden de producción y el contexto en el cual esta actividad tiene lugar. Este campo se relaciona estrechamente con el campo de lo discursivo porque incorpora los análisis teóricos y prácticos de las formas del discurso. Además se relaciona con el campo de la ingeniería del diseño de software, las formas de software, los métodos de diseño de interfaz y los métodos de investigación en ingeniería.

TECNICO

DISCURSIVO

PROCEDIMENTAL

Complejidad del Artefacto

Procesos cognitivosBases de DiseñoContextos de Trabajo

Figura 1.Intersección de campos de actividad y problemas de desarrollo asociados

En las intersecciones de los campos se ubican los problemas de mayor desarrollo en los medios de comunicación múltiples (ver figura 1). La complejidad del producto final constituye un grupo de problemas que combinan lo técnico y lo discursivo, nivel de interactividad, y el manejo técnico. La intersección entre lo discursivo y lo procedimental genera tres problemas mayores: conocimiento de los procesos, comprensión y producción. En este sentido, los autores reconocen que la utilización de un conjunto finito de campos está directamente relacionada con la complejidad en el diseño de piezas de software. La intersección entre el campo técnico y discursivo es la ubicación del primer problema de elaboración del producto de mayor

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complejidad. La complejidad del producto final incorpora medios de comunicación, textos, gráficos, imágenes, sonidos, videos, datos numéricos y diversidad de recursos en el computador, lo que hace que el diseño de hipertextos e hipermedios sea una actividad compleja. Chun & Yuille (1994) plantean un sistema de reconocimiento y modelación de objetos flexibles FORMS (Flexible Object Recognition Modeling System). Este sistema describe la representación y el reconocimiento de objetos animados (manos, gente, animales, peces e insectos) a través de sus siluetas. El modelo genera formas de objetos animados, los cuales dan una formalización estructurada para resolver problemas de reconocimiento de objetos. En términos de las variables implicadas para su estudio, la modelación de los objetos se basa en tres niveles de complejidad: 1. Formas Primitivas (componentes), hace referencia a cada una de las partes de los objetos, 2. Formas a través de la unión de componentes (subsistemas), los cuales son deformaciones de las partes primitivas y 3. Objetos construidos a partir de la unión de subsistemas (ver figura 2). Esta forma de reconocimiento de objetos se basa, en estudios de siluetas de bajo nivel de complejidad en cuanto al número de componentes que lo constituyen. La modelación y el reconocimiento de estos objetos son tareas muy difíciles y complejas. Esta situación es causada por los siguientes factores:

• Las siluetas de los objetos varían significativamente debido a su articulación y el punto de vista del observador, es así como, las técnicas, y las combinaciones lineales por interpolación parecen aquí inaplicables.

• Los objetos raramente contienen características que saltan a la vista, como las esquinas y líneas rectas entre otras, las cuales con frecuencia juegan un papel muy importante en el reconocimiento de objetos rígidos.

• Los objetos no poseen geometrías constantes en el tiempo, a diferencia de los objetos rígidos.

La arquitectura general de esta teoría se muestra en la figura 2. Los objetos son construidos a partir de la reunión de las partes (componentes) usando modelos estructurados. Estas partes están generadas por las deformaciones de sus componentes primitivas cuando se articulan con otras. Las deformaciones de las partes primitivas son analizadas, utilizando patrones de componentes

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principales y métodos de elementos finitos para obtener una primera representación dimensionada en su proceso de reconocimiento, la cual se va afinando en la medida que se estudia su silueta.

Formas de objetos

Partes de los objetos

Primitivas

Deformación

UniónEstructura basado en

la segmentación

Proyección

Base de datos del modelo

Gramáticaprobabilistica

Probabilidades dedeformación

MODELAMIENTO

Dato

s de

repr

esen

taci

ón Gráficos de laestructura

Descripción departes

Operadores dela estructura

Residuales

Figura 2. Modelo de reconocimiento de objetos con base en tres niveles de complejidad: Primitivas, Formas (subsistemas) y Objetos Construidos.

Simon (1996), define un sistema complejo como una estructura hecha de un amplio número de partes compuesta por muchas interacciones y como un todo, más que la suma de sus partes. En éste sentido afirma que a partir de las propiedades asociadas a cada una de las partes y las leyes de sus interacciones, no es fácil inferir las propiedades de la totalidad. Simon, propone para el estudio de la complejidad, los sistemas jerárquicos, los cuales están compuestos por diferentes niveles interrelacionados, cada uno de ellos respectivamente en una estructura, desde un nivel más alto hasta llegar a la parte mas elemental. La física hace uso del concepto de partícula elemental, aunque las partículas tienen una tendencia de no parecer elementales, solo un par de generaciones atrás, los átomos por si mismos eran partículas elementales, ahora en la física nuclear, estos átomos ya son sistemas complejos. Para ciertos propósitos de la astronomía las estrellas, las galaxias pueden ser miradas como subsistemas elementales.

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La palabra jerarquía de los niveles (subsistemas) está subordinada por una relación de autoridad al sistema al cual pertenece, más exactamente, en una organización jerárquica cada sistema contiene una autoridad mayor. En un conjunto de sistemas subordinados, cada uno de los subsistemas tiene su propio jefe, que es el subordinado inmediato de un jefe superior en ese sistema. La complejidad de los sistemas es analizable en un conjunto sucesivo de subsistemas, se habla de jerarquía formal cuando se quiera referir a conceptos más especializados. En algunos sistemas físicos, la estructura jerárquica es clara. A nivel microscópico se encuentran partículas elementales como átomos, moléculas y macromoléculas y a nivel macroscópico se puede hablar de sistemas satelitales, sistemas planetarios y galaxias. En este sentido se define como campo de control, al número de subsistemas en los cuales está particionado o dividido el sistema en estudio. Como un ejemplo de sistemas de producción simbólica humana, consideremos un libro conformado por una jerarquía. El libro está generalmente dividido en capítulos, los capítulos en secciones las secciones en párrafos, los párrafos en oraciones, las oraciones en frases y estas a su vez en palabras. Se puede decir que las palabras son las unidades elementales, pero aun así, se pueden dividir en unidades más pequeñas como los fonemas y los morfemas. Si el libro es de carácter narrativo se puede dividir en episodios en lugar de secciones. Estas divisiones se pueden dar sin importar el tipo de libro. Rauterberg & Aeppi (1996), llevaron a cabo una investigación para medir la complejidad cognitiva en procesos de aprendizaje en entornos hombre-máquina. Un campo de trabajo que permite conceptuar la medida de la complejidad del comportamiento (BC), complejidad del sistema (SC) y complejidad de la tarea (TC). La complejidad cognitiva (CC) está definida como CC=SC+TC-BC. En un experimento de aprendizaje desarrollado para investigar el desarrollo de las estructuras mentales en la solución de problemas, se concluyó que la medición de la complejidad es una representación simbólica de los sistemas de información. Ésta consistía en los siguientes elementos: 1). Objetos (Cosas a ser operadas), 2). Operaciones (símbolos y su sintaxis) y 3). Estados (estados del sistema).

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En la investigación, seis sujetos fueron cuidadosamente instruidos para operar una base de datos de un sistema de gerencia (DBMS- database management system). El conocimiento a largo plazo del DBMS y la experiencia en el computador fueron medidas y determinadas a través de un cuestionario al iniciar la experiencia. En las tres semanas siguientes los sujetos tenían que resolver la misma tarea en dos ocasiones en una sesión individual. Existían seis posibles soluciones del problema. Al principio de cada una de las tres sesiones individuales, el conocimiento a corto plazo acerca de la tarea y del programa fue medido con un cuestionario utilizando un programa especial de análisis AMME. Esta estructura lógica estaba dada por una red neuronal PETRI. La complejidad cognitiva (CC) se derivó de la medida de la complejidad (BC), en forma empírica. En la investigación Rauterberg & Aeppi, definen como incoherencia los comportamientos humanos, en situaciones caracterizadas por la ausencia sensorial. Situación que aumenta la complejidad del contexto por la percepción de éste. Cuando la complejidad de un modelo mental (complejidad cognitiva) es menos compleja que la complejidad del contexto, se denomina incoherencia positiva (Rauterberg, 1995). El comportamiento individual se denomina incoherencia negativa, y está asociado a la “suspensión sensorial”. En este orden de ideas se ha definiendo incoherencia, de una manera más precisa, como la diferencia entre la complejidad interna y la complejidad externa (ver figura 3).

Com

plej

idad

Incoherencia Negativa

Incoherencia PositivaSC Sistema 2

SC Sistema 1

CC Memoria 1

Apr

endi

zaje

Sistema(Externo)

Usuario(Interno)

Figura 3. La diferencia entre la complejidad externa e interna se denomina

incoherencia.

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En la interacción hombre-computador, la complejidad del comportamiento humano se puede medir a través de actividades exploratorias. En este caso, la complejidad del usuario tomada como un modelo mental y la complejidad del contexto (estructura interna del software interactivo) son susceptibles de ser medidas. El aprendizaje es un proceso permanente, que reestructura el conocimiento ubicado en la memoria de largo plazo de los sujetos. La estructura de la memoria de largo plazo cambia a mayores niveles de complejidad y abstracción, es decir, el aprendizaje implica abstracción y un incremento constante en la complejidad del modelo mental. La complejidad del comportamiento observado en novatos es mayor que la complejidad de expertos. Se concluye, que la complejidad del comportamiento tiene correlación negativa con la complejidad del modelo mental. Aun así, es posible calcular la complejidad cognitiva basada en la medida de la complejidad del comportamiento, la medida de la complejidad del sistema y la medida de la complejidad de la tarea. Los resultados de esta operación se traducen en lo siguiente:

1. La complejidad del comportamiento BC decreció y la complejidad cognitiva CC aumenta.

2. El tiempo de estructuración en el aprendizaje presenta una correlación positiva con la complejidad del comportamiento BC y tiene correlación negativa con la complejidad cognitiva CC.

3. El conocimiento generado a través de la información en la memoria de largo plazo y corto plazo presenta un incremento de poder predictivo, pero no es igual en la complejidad del comportamiento BC y la complejidad cognitiva CC.

Aufschnaiter & Aufschnaiter (1997), plantean que el desarrollo cognoscitivo de los estudiantes depende de tres dimensiones: contenidos, complejidad y tiempo. El desarrollo cognoscitivo de los aprendices es discutido con respecto al desarrollo de conocimiento de expertos (cambio conceptual o crecimiento). Para el estudio tomaron 9 grupos de grado 11, conformados por tres estudiantes cada uno. Los alumnos trabajaron en tareas de laboratorios de física durante tres sesiones dobles. El desarrollo de significados depende de los cambios de contexto, así como en la ontogénesis de las estructuras cognoscitivas relacionadas. El desarrollo individual de estructuras cognoscitivas,

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como consecuencia del desarrollo de significados, depende de la articulación significado – contexto. En este sentido se tiene: • El número de contenidos que desarrollan los aprendices. Esta

dimensión se refiere a los contenidos enseñados en el aula, teniendo en cuesta lo que los estudiantes pueden o tienen que aprender.

• El nivel de complejidad que se alcanza en las construcciones de significado. En este punto se deben describir los conceptos a desarrollar dependiendo de su dinámica de complejidad. Los niveles de complejidad bajos están asociados a la descripción de propiedades constantes de los objetos ante diferentes situaciones, mientras que los niveles de complejidad altos están asociados a la construcción y combinación de propiedades variables.

• El tiempo que necesita un aprendiz para alcanzar un nivel de satisfacción especifica. Se refiere al tiempo necesario para producir conocimiento de un contenido temático complejo. En muchas situaciones de aprendizaje y sobre todo en exámenes, se necesita producir conocimiento en una cantidad mínima de tiempo.

El desarrollo de la dimensión tiempo, se caracteriza por aprendices que requieren menos tiempo para desarrollar su conocimiento en relación a contenidos y complejidad. Por ello, algunos estudiantes pueden generar conocimiento en un ancho de banda más grande y/o complejidad más alta en un determinado intervalo de tiempo en relación con otros.

Jong, Ainsworth, Dobson & Otros (1998), llevaron a cabo una investigación usando representaciones múltiples con ambientes de aprendizaje computarizados. Ellos concluyeron, que los aprendices en la educación moderna, están llamados a construir su propio conocimiento, a partir de situaciones reales del contexto, junto con la interacción de otras personas (aprendizaje colaborativo). La tecnología juega un rol muy importante en la implementación de estas nuevas tendencias en la educación. El constructivismo se apoya en ambientes computacionales, tales como: hipertextos, mapas conceptuales, simulación y herramientas de modelación (Jong & Van Joolingen, 1996). Uno de los efectos de estas tendencias, es que el proceso de aprendizaje es consultado por múltiples fuentes de información (programas de computador, libros,

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profesor, salón de clase, artículos, etc.) y en diferentes formatos de representación. La tarea de los estudiantes consiste en evaluar, hacer una selección de éstos formatos e integrarlos a su proceso de construcción de conocimiento. El objetivo principal de la investigación, es estudiar las diferentes representaciones en el proceso de aprendizaje, con el objeto de apreciar las virtudes de estas representaciones y evaluar el uso de representaciones múltiples en ambientes de aprendizaje computacional, para los dominios de conocimiento de las ciencias y la matemática. La ciencia y la matemática, son dominios en los cuales las representaciones múltiples son consideradas prerrequisitos para el aprendizaje de éstos cuerpos de conocimiento. Las dimensiones de las representaciones se describen como: perspectiva, precisión, modalidad, especificidad y complejidad. La perspectiva se refiere particularmente al punto de vista teórico, la precisión se refiere al nivel de exactitud en la descripción, la modalidad es la representación formal, por ejemplo, proposicional o figural, la especificidad concierne a la información económica de una representación y finalmente la complejidad que se refiere a la cantidad de información presente en una representación. La información puede ser presentada en diferentes niveles de complejidad, referida ésta como la cantidad de información presentada en una situación problemática. La complejidad de la información para éste caso particular se basa en dos dimensiones: la dirección y la magnitud, más allá de estas, las representaciones pueden abordarse separada o simultáneamente. Esto interesa cuando se consideran sistemas multirepresentacionales, porque permiten obtener diferentes niveles de información, por ejemplo en la representación se puede expresar solamente magnitud, mientras que en las otras se pueden expresar magnitud y dirección. Los ambientes de aprendizaje de simulación se basan en modelos que son de naturaleza simple, pero ellos ocultan internamente modelos de complejidad altos, por ejemplo, el ambiente de aprendizaje del cuerpo humano de Coleman & Randall (1986) contiene más de 200 variables. En estos ambientes, la presentación de la información al aprendiz debe ser parcial, primero la información debe ser puesta allí y gradualmente introducida a los aprendices a través de diferentes materiales. Los modelos complejos pueden ser presentados a los aprendices a través de modelos discretos (paso a

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paso), llevando una secuencia natural para mostrar el modelo complejo que subyace en estos ambientes. Existen dos formas de modelos progresivos, éstos incrementan su complejidad en la medida en que el aprendiz avanza. El primero es un modelo real de progresión que se refiere a la evolución de la complejidad. El segundo tipo de modelo permanece constante, no cambia, pero el acceso al aprendizaje se incrementa de igual manera, es decir, paso a paso (Withe & Frederiksen, 1990). Como un ejemplo del segundo tipo de modelo progresivo, se referencia un estudio elaborado por White (1984), donde los aprendices eran confrontados con una simulación en mecánica newtoniana en la cual, ellos podían aplicar fuerzas o impulsos para mover los objetos. Inicialmente a los aprendices se les restringía los impulsos que eran aplicados solamente a cuatro direcciones. Desde el punto de vista real no hubo diferencias para los aprendices entre los dos métodos. Muchos estudios han mostrado, que los efectos que presentaron los aprendices en una secuencia incremental de variables, progresivamente pueden abordar niveles de mayor complejidad. Quinn & Alessi (1994), desarrollaron también un estudio donde los estudiantes tenían acceso a una simulación (propagación o disminución de una población) con cuatro variables de entrada. Un grupo comenzó teniendo acceso a cuatro variables de entrada, otro grupo trabajo con tres variables antes de llegar a la simulación completa y el ultimo grupo tenia acceso solamente a dos variables, posteriormente a tres y finalizando con cuatro. El modelo progresivo, probó ser significativamente menos exigente para proveer a los estudiantes directamente de la complejidad total de los fenómenos físicos. Las variables del modelo no interactuaron entre ellas. En otro estudio de simulación de un multímetro, Alessi (1995) encontró que incrementar gradualmente el nivel de complejidad de la interfase fue beneficioso para el aprendizaje inicial y la transferencia de conocimiento; además Rieber & Parmley (1995) encontraron en el área del movimiento newtoniano, que el aprendizaje de los sujetos en ambientes de simulación presenta incremento sobre el control de las variables involucradas. A través de un ejemplo de los modelos de complejidad utilizado en la experimentación, se pueden resumir tres ambientes de aprendizaje de simulación de la familia SMISLE: SETCOM, COLLISION y TeEl.SETCOM, que cumplen el tópico de las oscilaciones armónicas ilustradas por la situación de una masa colgando de un resorte. El

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sistema incluye cuatro niveles de complejidad (ver figura 4). El nivel mas simple es la oscilación libre, el siguiente nivel mide el grado de oscilación con un amortiguador, el tercer nivel de complejidad es el que mide la fuerza externa que se le aplica al sistema, el cuarto nivel es un modelo que combina los tres primeros niveles, sistemas mecánicos para ser simulados con el software SETCOM.

k

m

k

m

c

k

m

c

F(t)k

F(t)

c

sistema masa - resorte sistema masa - resorte- amortiguador

sistema masa - resorte -amortiguador - fuerza externa

sistema masa - resorte -amortiguador - fuerza externa

Figura 4. Cuatro niveles de complejidad, para simularse en SETCOM.

Inherente a la presentación de la información, en niveles múltiples de complejidad, se presenta una secuencia de lo simple a lo complejo. Existen muchas maneras para decidir cuando se pasa de un nivel al siguiente, los niveles de progresión están disponibles para el proceso de aprendizaje. Los modelos de progresión en el aprendizaje pueden clasificarse así:

• Modelo libre, donde el sujeto que esta aprendiendo, es el que decide cuando pasar a otro nivel independiente.

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• Modelo controlado de aprendizaje, cuando los sujetos solamente pueden ir de un nivel, al siguiente nivel de complejidad.

• Modelo temporizado, que se activa después de cierta cantidad de tiempo, para pasar al siguiente nivel.

Rushby (1999), plantea el uso de “Modelos mentales de comprobación”, en el diseño de sistemas automatizados como respuesta a la complejidad de sus diseños, debido a que ha encontrado que el comportamiento de los sistemas reales con respecto al “modelo mental” del diseño, no se ajusta en cuanto a los estados de transición de éstos. Este modelo, pretende identificar los imprevistos o riesgos potenciales y las áreas precisas, para realizar las respectivas revisiones en cuanto a materiales y procedimientos pertinentes en el diseño. Por otro lado, plantea que la complejidad cognoscitiva en el diseño de sistemas automatizados, está relacionada con la articulación de cada uno de los subsistemas que lo componen, a la hora de dar solución a una situación problemática en el diseño de sistemas tecnológicos. Por ejemplo, un avión, tiene un subsistema de vuelo, un subsistema de descenso inicial, un subsistema de aterrizaje, y así sucesivamente. En este sentido, plantea una excelente oportunidad de los diferentes dominios de conocimiento que intervienen en el diseño de dispositivos (diseño, psicología de la aviación, ergonomía y factores humanos) en la solución de problemas de sistemas automatizados. Rushby, propone el uso de modelos matemáticos de representación formal que puedan ser simulados en computadora, que permitan la “comprobación” de todas las posibles conductas de los sistemas de automatización ante diferentes situaciones y a la vez, puedan ser evaluados experimentalmente a través de un prototipo. Bruce (1999), define la complejidad como una propiedad que tiene un modelo, donde su comportamiento en general es difícil de explicar con un lenguaje adecuado, incluso teniendo toda la información sobre sus componentes y sus interrelaciones. Esta es una definición general, que recoge las interpretaciones en diferentes contextos. Relaciona la dificultad en la formalización de los fenómenos a través de un lenguaje apropiado.

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Los aspectos importantes de esta aproximación son: • La complejidad se aplica a modelos de los sistemas

naturales. • La complejidad se caracteriza por la ignorancia. • La complejidad es relativa al lenguaje del modelado en que se

exprese. • La complejidad es relativa a la identificación de componentes

y su comportamiento global. • La complejidad es una característica global de un modelo. • La complejidad representa una brecha entre el conocimiento

de los componentes y el conocimiento global del sistema. Bruce, concluye que la complejidad usualmente se distingue como la probabilidad de exactitud (cantidad de error en sus predicciones) y la especificidad del modelo. Un tipo de dificultad está asociado al lenguaje de modelado en ambas situaciones. La complejidad no necesariamente corresponde a la falta de “simplicidad”, o entre el orden y el desorden. Cuando el modelado se hace por agentes con limitación de recursos, se aceptan relaciones e intercambios entre complejidad, error y especificidad. Meza & Concari (2000), realizaron una investigación en la cual se planteo la siguiente hipótesis: “Los alumnos que han participado en el seguimiento de sus propios avances, a través de actividades de evaluación, adquieren una mayor capacidad para afrontar situaciones problemáticas nuevas, empleando conocimientos ya adquiridos que aquellos que no lo hicieron”. Se trabajó con alumnos del curso regular de física básica. Los resultados obtenidos a través de la prueba t Student indicaron que no existe diferencia significativa entre los dos grupos. Para el estudio se consideraron las siguientes variables: a). Manejo de herramientas matemáticas: que define las destrezas matemáticas mínimas necesarias para el estudio riguroso de la física, b) Preconcepciones: identifican las ideas previas que tiene el alumno sobre el tema elegido para el estudio, c). Nivel de complejidad: Define las capacidades implicadas en los procesos de resolución de problemas, contempla un análisis cualitativo de la situación, planteamiento del problema, tentativa de formulación de hipótesis y empleo adecuado de estrategias de resolución, conceptos, símbolos y destrezas matemáticas. Para el análisis de datos se asignaron las siguientes variables:

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Nivel 1. Corresponde a aquellas resoluciones, en las que se realiza un empleo mecánico de fórmulas matemáticas, asignando valores a las variables sin ningún tipo de análisis cualitativo o discusión de la situación planteada. Nivel 2. Corresponde a resoluciones de problemas, realizando un análisis cualitativo de la situación previa a la asignación de valores a las variables en juego. Nivel 3. Corresponde a aquellas resoluciones en las que se realizan un estudio cualitativo, se esboza el planteo de hipótesis y se establecen diversas estrategias de resolución. Nivel 4. Corresponde a aquellas resoluciones, que además del análisis cualitativo y elaboración de hipótesis, realizan un análisis de los resultados obtenidos a la luz de las hipótesis planteadas.

El nivel de complejidad alcanzado por los alumnos en la resolución de problemas, se determinó a través del análisis de las tareas de resolución, presentando los enunciados de los dos problemas abiertos y su valor estuvo dado no sólo por la cantidad, sino también por la calidad de las etapas asumidas en la resolución de los mismos.

White (2000), realizó una investigación sobre el análisis elemental en sistemas dinámicos alimenticios, para ello de valió de un estudio de causalidad con base en los sistemas físicos complejos. Cuando los sujetos realizan juicios sobre redes alimenticias elementales a causa de perturbaciones sobre estos sistemas, el número de juicios entre las relaciones causa-efecto aumenta, debido a que el número de conexiones o enlaces es bajo y decrece, cuando el número de conexiones aumenta. Los juicios sobre el comportamiento de la red alimenticia tienden a ser menores, cuando el número de especies está más alejado del nodo padre en una estructura arbórea. Se han llevado a cabo diferentes investigaciones para revelar los procesos de comprensión a través de algunos sistemas simples, (Brickman & Wortman, 1975; Nelly, 1983; kempton, 1986; Kunt, 1988, 1991; Luna & Livingstone, 1991; White, 1992 a 1995), articulando las complejidades y las características individuales de los sistemas. Puede significar que estos hallazgos tienden a ser limitados e inciertos. Sin embargo, una serie de experimentos ha involucrado un fenómeno que refleja una característica general para entender los sistemas físicos complejos. Este se ha denominado efecto de dispersión (White, 1999).

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El efecto de dispersión ha sido estudiado a través de juicios hechos en redes dinámicas alimenticias. Una red alimenticia es una estructura, un mapa de conexiones entre las especies de acuerdo a sus relaciones alimenticias (Ricklefs, 1993). El efecto de una perturbación en una red completa, obedece a un cambio significativo de una parte de este mapa y es mediado por características estructurales de esa red. Los investigadores han encontrado dificultad para predecir los efectos de tales perturbaciones, debido a que el grado de complejidad esta determinado por las posibles interacciones, pues estas redes alimenticias pueden mostrar comportamientos caóticos, dependiendo de la perturbación que se esté dando. Las redes alimenticias naturales tienden a ser estables, en razón a las relaciones que se dan entre predador y depredador y por ende, en la red alimenticia como un todo. White (1999), encontró que el cambio mayor, puede ser observado en las especies cercanas a la perturbación. Este efecto se denomina el efecto de dispersión. La distancia entre la perturbación está definida en términos de la estructura de la red alimenticia. La distancia de una especie a la perturbación es el número mínimo de vínculos que pueden ser conseguidos desde la perturbación hasta las especies. Esto puede ser explicado con la ayuda de un modelo de red alimenticia representado en la figura 5, la cual ha sido utilizada por White (1997).

PLANTA P1 PLANTA P2

HERBIVORO H1 HERBIVORO H2 HERBIVORO H3

CARNIVORO C1 CARNIVORO C2 CARNIVORO C3 CARNIVORO C4

Figura 5. Modelo de red alimenticia usado por White (1997).

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En esta red alimenticia hay dos especies de plantas. Una especie prefiere condiciones calidas y las otras condiciones de humedad, y las dos especies compiten por el espacio. Existen tres herbívoros que consumen las plantas y cuatro carnívoros que comen los herbívoros. La figura 5 muestra las diferentes relaciones alimenticias que se forman entre las nueve (9) especies. Suponga que existe una

perturbación que afecta el carnívoro C1. Entonces el herbívoro H1 está a una línea de distancia a la planta P1 y el carnívoro C2, los dos están a una misma distancia, la planta P2 y el herbívoro H2 están en un tercer vínculo de distancia y así sucesivamente. En algunas redes alimenticias existe más de una posibilidad de rutas entre las especies, en cada caso las distancias están definidas por la distancia más corta posible (White, 1998). En uno de los problemas, los participantes de White (1997), dijeron que en un periodo de años, el cambio de clima viene a ser más cálido y mucho más seco. Esta es una perturbación que afecta directamente a las dos especies de plantas, las cuales están a la misma distancia de la perturbación. Dada la estructura de la red alimenticia según la figura 5, todos los herbívoros están a dos vínculos de distancia y todos los carnívoros a tres vínculos de distancia de la perturbación. Los participantes estimaron el efecto del cambio de clima en las poblaciones de todas las especies: Los efectos estimados, más grandes, se encontraron para las dos especies de plantas. Los cambios menos significativos fueron estimados para los carnívoros, los efectos aumentan para las especies que se comen a los herbívoros, que a su vez se comen las plantas, que a su vez están beneficiadas por el cambio de clima y viceversa para los otros. Así se juzgó el efecto de dispersión del cambio en el clima para una situación específica de la perturbación. En el estudio inicial, White (1997), presenta cuatro problemas involucrando perturbaciones de diferentes clases en las redes alimenticias, mostradas en la figura 5 y encontró evidencia de la dispersión en todos ellos. Sugiere que el efecto de dispersión puede ser una característica general de los juicios, dependiendo de la complejidad de los sistemas físicos.

PLANTA P1 PLANTA P2

ANIMAL A1 ANIMAL A2 ANIMAL A3

ANIMAL A4 ANIMAL A5 ANIMA A6/HUMANOS

ANIMAL A7

Figura 6. Modelo de red alimenticia usada en el experimento 1.

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El efecto de dispersión mostró, que estaba asociado con la estructura de red alimenticia y no con una cadena de longitud causal. Los resultados de todas estas mediciones se encuentra en la figura 7. El número de cambio de juicios tiende a decrecer con el incremento y el número de vínculos; porque en algunos problemas no hubo especies o números muy largos de vínculos de distancia entre unos y otros. Con esto hay suficiente evidencia para estudiar el efecto de dispersión para lo cual se ha establecido. White encontró que el número de juicios dependía única y exclusivamente de las redes alimenticias estructuradas.

0

60

50

40

30

20654321

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ia e

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cam

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No de vínculos

Figura 7. Número de juicios emitidos contra el número de vínculos.

Detectar el efecto que es contrario a la dispersión e identificar las causas es muy difícil, porque la complejidad de las interacciones aún en pequeñas redes alimenticias es incalculable y porque sus efectos son contrarios a una expectativa elemental.

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Cheng (2002), llevó a cabo una investigación sobre el aprendizaje de la electricidad con sistemas de representación complejos. En este sentido, identificó seis características de los sistemas de representación utilizados en el aprendizaje conceptual, en éste dominio de conocimiento. Las representaciones complejas deberían: (1). Integrar niveles de abstracción, (2). Articular los conceptos de representación local y global, (3). Integrar diferentes perspectivas en el dominio de conocimiento, (4). Apoyar el manejo y comprensión de expresiones propias del dominio de conocimiento, (5). Poseer procedimientos compactos y (6). Tener procedimientos uniformes.

Las características, fueron reconocidas a través del análisis y evaluación de diagramas de representación novedosos, para el apoyo de estudiantes, en la comprensión de la electricidad usando diagramas AVOW (Amperios, voltios, Ohmios, Watts). La experiencia consistía en presentar una tarea de análisis, para demostrar que la solución de problemas, utilizando los métodos algebraicos convencionales demanda mayor esfuerzo, que la utilización de los diagramas AVOW (figura 8). En otro experimento se compararon dos grupos de aprendices. El grupo que utilizó diagramas AVOW aprendió más que el grupo que utilizó ecuaciones y desarrollaron más habilidades estructuradas en el momento de solucionar problemas, lo cual demostró que la utilización de la representación compleja por medio de diagramas AVOW, fue estructurada en la solución de problemas específicos (electricidad). El análisis de protocolos de reportes verbales y el trabajo mostrado por los aprendices a través de diagramas AVOW, mostró que adquirieron una red de conceptos organizados coherentemente, en comparación con el grupo que utilizó ecuaciones convencionales. Los procedimientos en la solución de problemas, fueron aprendidos de manera efectiva y los aprendizajes fueron más consistentes en el proceso de aprendizaje. Los diagramas AVOW, muestran que son un apoyo significativo en el aprendizaje en dominios muy específicos. Hacer una buena representación, puede mejorar la comprensión de dominios de conocimiento específicos y le da posibilidad a la ciencia cognitiva, de estudiar más a fondo el razonamiento en la solución de problemas y el proceso de aprendizaje. La combinación de diferentes representaciones y problemas pueden hacer que la resolución de un problema sea más difícil de lo que parece (Kotovsky, Hayes & Simón, 1985). Los diagramas, son con frecuencia muy buenos para la resolución de problemas de razonamiento (Glasgowq, Narayanan & Chandrasekaran, 1995; Peterson, 1996). Larkin & Simón (1998), proponen los beneficios de los diagramas sobre las representaciones en forma de modelos matemáticos (ecuaciones). Las representaciones elaboradas por los expertos, permiten mejorar el conocimiento integrado y organizado en la MCP de los aprendices para la solución de problemas (Glaser & Farr, 1988; Ericsson & Smith, 1991). Koedinger & Anderson (1990), muestran que la base para incrementar el desempeño, de quienes solucionan problemas en geometría, reside en el uso de esquemas de configuración

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diagramático. Stenning & Oberlander (1995), argumentan que la especificidad de una representación es importante en la explicación de su efectividad y por otro lado, exponen que los diagramas a menudo son mejores, debido a que estos son sistemas con una abstracción limitada que no los hacen ni muy abstractos, ni muy específicos. La comprensión, solución de problemas y el aprendizaje de la electricidad con apoyo de los diagramas AVOW (Cheng, 2000), versus el método algebraico convencional, muestran que los diagramas AVOW son un sistema de representación complejo efectivo para la comprensión, solución y análisis de problemas de circuitos en niveles de escolaridad avanzados.

Figura 8. Conocimientos básicos de electricidad en términos de las dos

representaciones. (Tomado de Cognitive Science, Pág. 698, Vol., 26,2002)

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Los diagramas AVOW pueden soportar diferentes perspectivas de trabajo para el aprendizaje de la electricidad (Sheng, 2001). El método de ecuaciones convencionales, considera el planteamiento de relaciones basadas en los métodos de sustitución e igualación formal, pero no provee un soporte natural para las otras perspectivas de trabajo. Las tareas de análisis, para resolver problemas de electricidad, se presentan introduciendo los diagramas AVOW, con el objeto de revisar las representaciones algebraicas convencionales y empezar a revisar las diferentes propiedades, de los dos sistemas de representación complejos y su impacto en los procesos de comprensión y aprendizaje de dominios de conocimiento específicos. Ibáñez (2002), estudió la relación entre la formulación de juicios de metamemoria y el aprendizaje, medido a través de la eficacia y eficiencia en la solución de problemas. Encontró que se presenta una dinámica estrechamente asociada entre la previsión de juicios y el comportamiento; quienes se equivocan al comienzo en la formulación del juicio, amplían la tolerancia de las metas y si al comienzo se cumplen la meta, reducen la predicción. Por lo tanto, es el propio sujeto quien genera la regulación de su aprendizaje, al fijarse metas, a partir de su desempeño. Igualmente en la relación entre la complejidad y la autorregulación, se observa cómo en los juegos más fáciles existe un mejor ajuste de metas, mientras que en los juegos más difíciles, requiere de más etapas para lograr este ajuste, es decir, cuando se logra obtener una progresión gradual en el aprendizaje, se tiene una progresión gradual en la fijación de metas.

1.3. Complejidad cognoscitiva

En la solución de situaciones problemáticas, la complejidad cognoscitiva, Brooks & Krishnan (1999) la definen como: a) Un grado de diferenciación en la estructuración de los sistemas. Esto es, una tendencia de abordar de manera multidimensional los problemas y b). Una estructura que indica cómo sus componentes individuales interactúan entre sí. Los componentes de la complejidad cognoscitiva se han clasificado de la siguiente forma: • Orden – relación, que es la habilidad para priorizar

jerárquicamente o integrar los "contextos variantes en el tiempo” durante la toma de decisiones.

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• Las estructuras funcionalmente Independientes, es el grado de separación o independencia de las estructuras simples dentro de la estructura del sistema total.

La complejidad cognoscitiva está relacionada con la habilidad para predecir y controlar óptimamente un sistema. Una alta fragmentación en la estructura de un sistema puede llevar a la desorganización, ambigüedad e incertidumbre en la información. Una ventaja de usar la complejidad cognoscitiva es que define variables, dependiendo de las dimensiones estructurales de un sistema en particular. Una persona que pueda manejar varias dimensiones de juicio, construye un nivel cognoscitivo más estructurado y complejo que una persona que articula menos dimensiones de juicio. Existen tres niveles de problemas que miden la estructura cognoscitiva: 1. Relaciones entre conceptos. 2. Selección de modelos e instrumentos específicos. 3. Derivación de modelos específicos. La complejidad cognoscitiva se asocia con los procesos mentales, como un sistema complejo. Antes de examinar las perspectivas de los sistemas complejos asociados a la complejidad cognoscitiva, se estudian los esquemas y la misma complejidad en sí, lo cual puede mostrar que ésta se asocia con rasgos de la personalidad. Loevingier (citado por Brooks & Krishnan, 1999), presenta algunas categorías para entender la complejidad cognoscitiva, éstas incluyen: 1) La complejidad cognoscitiva, es una evaluación de la conducta intelectual real de los sujetos y está relacionada directamente con los estilos cognoscitivos de éstos. 2) La complejidad no es sinónimo de confusión, así como la simplicidad no significa elegancia. La habilidad de tratar un conjunto de variables simultáneamente es complejidad, y la simplicidad es esa misma incapacidad. 3) Alguien que es capaz de operar en un nivel alto de complejidad cognoscitiva, no opera de forma completamente consistente a ese nivel. Una de las funciones de la complejidad es ordenar. Este proceso se define, como la habilidad de diferenciar entre esas tareas que requieren un alto nivel de orden y esas tareas que no lo requieren.

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Los sistemas complejos reconocen lo caótico (Goertzel, 1997). En la psicología cognoscitiva, se distinguen varios tipos de complejidad. Desde ésta perspectiva se han dado varias definiciones. Kelly (1995), la define como una parte de la teoría de la personalidad, sirviendo como base para las construcciones personales. La dimensión del modelo mental de las personas es entendida como complejidad cognoscitiva. Por ejemplo, si una persona asigna a todos sus amigos atributos positivos y a sus enemigos atributos negativos, tendría un modelo mental uní-dimensional. Todos los atributos se organizan en una escala bueno/amigo – malo/enemigo. Tales personas son “cognoscitivamente simples”. Una persona que indica que algunos de sus amigos y enemigos eran buenos y malos tendría un modelo bidimensional. Estas personas tendrían en cuenta más relaciones y se llamarían “cognoscitivamente complejas”. Así a nivel cognoscitivo, la complejidad, indica el número de relaciones potenciales entre varios atributos. Kolen & Pollack (1993), plantean que muchos investigadores en inteligencia artificial y ciencia cognitiva, creen que la complejidad refleja la descripción del comportamiento, en el procesamiento de la información. Por ello, proponen dos tipos de juicios de complejidad, que pueden ser aplicadas a estas descripciones. Kolen & Pollack demuestran, cómo el cambio del método de observación, cambia radicalmente el número de estados aparentes y la descripción del comportamiento de un sistema. En este sentido, se puede afirmar que la observación puede sugerir explicaciones computacionales negativas a fenómenos físicos e incluso a la cognición. Las descripciones pueden tomar muchas formas. Una lista de movimientos describe la conducta del ajedrecista, una trascripción graba la conducta lingüística de una conversación, un protocolo de introspección describe los estados durante la resolución del problema y una secuencia (x,y), localiza movimientos en el tiempo. Cada uno de estos ejemplos es una descripción del comportamiento. La creación de representaciones simbólicas discretas de los eventos físicos en el mundo, la identificamos como un proceso de simbolización. Imagine intentar describir la conversación entre dos personas en la esquina de una calle. La información generada es infinita en un número grande de dimensiones, tales como: el movimiento, sonido, tiempo, etc. Podemos evitar estas complicaciones, simbolizando la acción física en secuencias de

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eventos, que pueden ser medidos como los fonemas, palabras, y frases. Durante la simbolización se puede perder información valiosa. Una forma de entender un sistema complejo, se basa en algunas intuiciones sobre ciertas comparaciones relativas, en éste sentido se apela al sentido común, que juzga la complejidad de un sistema por el número de partes internas en movimiento. Así, un sistema es más complejo si tiene un número más grande de estados interiores que generan su comportamiento. La segunda aproximación de juicio de complejidad es más sutil. Imagine una secuencia de sistemas especificados dentro de una estructura fija, con una complejidad creciente. Cuando la complejidad del sistema aumenta, su comportamiento futuro alcanza un límite en complejidad determinada por su estructura. Este límite sólo puede aumentar o puede disminuir con las modificaciones de la estructura. El trabajo de Chomsky (1957-1965) en lingüística, contribuye a la fundamentación de la ciencia de la computación. Los seguidores de este trabajo han propuesto cuatro clases de lenguajes formales, cada uno con su estructura computacional diferente: regular, sin contexto, contexto-sensible y recursivo. Los lenguajes están separados por los límites en sus gramáticas subyacentes de especificación y forma. Además, ellos se correlacionan armónicamente con otras familias, usan el término “clase generadora”, por el hecho de que esta teoría de complejidad surgió en los lenguajes formales. La complejidad computacional no puede ser una propiedad intrínseca de un sistema físico, surge de la interacción de los estados dinámicos del sistema y las medidas establecidas por un observador. La clase –complejidad- de un sistema, es un aspecto de la propiedad llamada la complejidad computacional. Esta definición mira la noción tradicional de complejidad del sistema, en términos de la complejidad computacional bien definida. Considere el caso de una esfera pintada de rojo en un lado y azul al otro lado. Dependiendo del ángulo, un observador informará que la pelota es roja, azul, o de color dual. Esto es un error, sin embargo, lo “rojizo”, es la exclusión de lo “azuloso”, es una propiedad intrínseca de la pelota. Más bien, “el color” es una propiedad de la pelota y lo “rojizo” y “azuloso” es un aspecto de esta propiedad. Burleson & Scott (1996), proponen que no debe verse la complejidad cognoscitiva como un rasgo asociado a la personalidad, en este sentido, es mejor predisponer o motivar a los individuos, para actuar

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de una forma en particular. Los individuos que poseen una malla conceptual más densa (diferencian, articulan e integran) tienen mayor información que procesar y de hecho son expertos en un dominio de conocimiento particular. En estudios que tratan de comparar la complejidad cognoscitiva de los individuos se encuentran analogías entre experto y novato. Las comparaciones para establecer diferencias entre experto y novato (Daly, Campanilla, Glenn, & Lawrence, 1985; Ericsson & Smith, 1991; Hoffman, 1992), muestran que los expertos tienen esquemas cognoscitivos más abstractos (Hintzman, 1986), compactos ( Fiske & Dyer, 1985) y diferenciados (Linville, 1982). Los expertos tienen estructuras bien desarrolladas, contienen más conexiones entre los elementos y una organización más compleja (Fiske & Taylor, 1991, Chi & Koeske, 1983, McKiethen, Reitman, Rueter, & Hirtle, 1981). Obviamente, esta representación de las estructuras cognoscitivas de expertos es muy similar a la conceptualización de individuos cognoscitivamente complejos debido a que diferencian, articulan, e integran sistemas de estructuras personales. Investigaciones que comparan a los expertos y novatos con una variedad de problemas, donde es necesario procesar información, encontraron que los expertos son capaces de alcanzar: a). Un desarrollo detallado, discriminando representaciones de fenómenos (Lurigio & Carroll, 1985); b). Articulan rápidamente la información de la memoria de largo plazo con la de corto plazo (Smith, Adams, & Schorr, 1978); c). Una organización rápida de la información en esquemas consistentes (Pryor & Merluzzi, 1985); d). Localización de información incoherente para la solución del problemas (Bargh & Thein, 1985; Borgida & DeBono 1989); e). Identificar las diferencias entre la información en esquemas consistentes e incoherentes (Fiske & Larter, 1983) y f). Usar dimensiones múltiples en la resolución de los problemas. Estas diferencias entre el experto y el novato coinciden estrechamente, con aquellos sujetos que son cognoscitivamente más complejos. Mallot (1997), afirma que para entender el comportamiento complejo de los seres humanos, se requiere de un esfuerzo multidisciplinar de la neurociencia, la psicología, el comportamiento biológico y de las ciencias de la computación. El tópico principal de su estudio, es el comportamiento, orientado hacia la cognición en términos de sus representaciones. La palabra cognición, se refiere a una amplia

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variedad de los procesos mentales, incluyendo la atención, el reconocimiento de objetos y lugares, la planeación, el razonamiento, entendimiento del lenguaje y de pensamiento. Tradicionalmente, estos fenómenos, han sido estudiados por el método de la introspección. Los tópicos principales han sido los estados mentales y la representaciones mismas, más que las funciones comportamentales de la cognición. La teoría del comportamiento complejo se pregunta entonces:

1. Cuál es el mecanismo y la representación más simple requerida para explicar el comportamiento observado?.

2. Cuál es el comportamiento más simple que se requiere para un tipo de representación mental dado?

Se ha demostrado que comportamientos aparentemente complicados, como la orientación visual y la navegación, tienen explicaciones más simples en términos de estímulo – respuesta, enfatizando la importancia de la pregunta número 1. La figura 9, muestra un esquema básico del ciclo complejo acción - percepción, desde los diferentes niveles:

• Homeostasis en la regulación interna del organismo, que es una realimentación entre efectores y sensores, que no involucran el comportamiento en sí, sin embargo es completamente interno al organismo.

• Comportamiento adquisitivo, que es una parte del comportamiento, producido para mejorar la adquisición de información a través de los órganos de los sentidos, involucra movimiento del organismo, más no cambios al contexto (visón activa, movimiento de los ojos, etc.).

• Interacciones con el contexto, que se constituye en un tipo de realimentación más compleja, involucrando acciones que cambian el contexto bajo un sensor de control, incluye interacciones con otros seres vivientes, como el comportamiento social y las comunicaciones.

El punto de vista de la acción - percepción de las funciones cognitivas del cerebro difieren en número en cuanto a las más tradicionales; éstas están basadas en las nociones del “pensamiento”.

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Procesamiento Central

EfectoresCensores

Ambiente

Organismo

(a)

(b)

(c)

Figura 9. Complejidad en la interacción de los sensores y efectores de un organismo con otro y con el contexto: a. Regulación interna u Homeostasis

(temperatura del cuerpo, presión de la sangre), b. Comportamiento adquisitorio, como el movimiento de los ojos que es una realimentación

directa con el contexto c. Ciclos propios de acción-percepción que involucra cambios del contexto y el monitoreo que trae estos cambios a través de los

sentidos. Davinson & Bar-Yam (1999), investigaron la complejidad medioambiental, como un factor que influye en la función cognoscitiva y en el bienestar de los ancianos. Se partió del supuesto, de que un ambiente complejo mantiene la función cognitiva. Los investigadores sustentaron el trabajo en estudios anteriores, realizados por otros autores (Berlyne 1971; Lawton 1981; Mandell & Schlesinger 1990), afirman, que una cantidad moderada de complejidad, contribuye en la capacidad de los ancianos, para mantenerlos activos y mentalmente alerta. Mandell & Schlesinger (1990), encontraron que con el envejecimiento de las personas, hay una disminución de las neuronas activas en la raíz reticular del cerebro, que generan decrecimiento en la rica variedad de impulsos vistos en personas jóvenes y sugieren que el ambiente, podría ser una fuente para mantener un alto grado de complejidad neuronal y de funcionamiento cognitivo. La hipótesis se basa, en que un ambiente suficientemente complejo, ofrece la opción de prolongar una alta calidad de vida.

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Davinson & Bar-Yam (1997), desarrollaron el concepto de complejidad, como una medida cuantitativa de ambientes, medida que puede ser aplicada en el campo de las ciencias sociales y en el mundo de la observación. La complejidad fue encontrada como una cualidad estética de ambientes independientes. La investigación se realizó con dos grupos de personas mayores, uno grupo vivía en un albergue y el otro en un grupo comunitario. El estudio caracterizó el ambiente físico de personas mayores y relata la caracterización de las funciones cognitivas y de bienestar. La complejidad se determinó mediante el cálculo de un número de ambientes visuales distintos, conformados por los objetos que integran dichos ambientes. El total de información para especificar la localización de los objetos se calcula mediante la siguiente ecuación:

Log2. (n2)= 2Log2 n. En general, la complejidad del ambiente se obtiene de sumar la complejidad de cada uno de los objetos. En consecuencia, la complejidad del ambiente es típicamente deducida por un simple contador del número de objetos, esa es la concepción intuitiva que ellos tienen de complejidad ambiental. La complejidad del cuarto donde vive uno de los participantes, es igual a la suma de todos los tipos de objetos. Los investigadores encuentran que un ambiente ordenado es simple, mientras que un ambiente desordenado es complejo. 1.4. Complejidad en la interacción de un observador con

un sistema En respuesta a este problema Casti (1986), ha enfatizado que la complejidad sólo tiene sentido, cuando se considera relativa a la observación. Esto establece dividir el “sistema complejo” y la “complejidad del observador” (ver figura 10). La complejidad del sistema, está dada en términos del número de componentes e interacciones del sistema observado y la complejidad del observador esta dada en función del observador dentro del sistema.

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OBSERVADOR

SISTEMA OBJETO

Efectos/control

Observar/ es afectado por

Figura 10. El observador y el sistema. Se puede mirar este análisis de dos maneras: extrínsecamente e intrínsecamente. En el primero, no hay ninguna diferencia esencial entre los dos sistemas; desde un punto de vista externo, se ven dos sistemas actuando recíprocamente. En el segundo, se está describiendo la situación desde el punto de vista de los observadores. Si se toma la interpretación extrínseca, no hay nada especial sobre el sistema observado. El bucle en el diagrama está mostrando cómo se pueden dar interacciones entre los dos sistemas y entre el sistema objeto y el observador. En este caso, sólo se trata de un sistema compuesto por el sistema objeto y el observador. El observador y el objeto pueden o no pueden ser fácilmente separables. Se trata de la descomposición de un sistema en particular. Así el observador y el sistema complejo se vuelven un sub-sistema complejo con respecto al resto. Desde el punto de vista del análisis se observa:

1. Es difícil atribuir un significado útil a la complejidad del observador, a menos que el sistema también sea un observador; por otra parte, el observador es inadvertido y para la complejidad indefinido de la misma forma que el de los sistemas naturales.

2. En la complejidad del sistema, el observador varía, según el

aspecto del sistema observado, estado considerando por el

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observador. El observador podría referirse a un aspecto en particular, es decir, el individuo podría usar varias representaciones internas para modelar el sistema y puede actuar recíprocamente, según cada momento. De forma tal que éstos pueden ser considerados juntos como un modelo compuesto que regresa. Situación ilustrada en la figura 11.

Efectos/control

Observar/ es afectado por

Modelos delsistema objeto

Sistema

Observador

Figura 11. Observador-sistema con múltiples modelos.

Puede decirse, que los modelos separados están actuando recíprocamente con el sistema (a través del observador), o puede decirse que los modelos interiores forman alguna clase de modelo compuesto. En el caso anterior, los modelos separados no calificarían como los observadores separados; entonces, los problemas de complejidad son variantes según el punto de vista particular escogido. Grassberger (1989), plantea que la complejidad a nivel visual, es el punto medio entre el orden y el desorden. Considera tres modelos para su explicación.

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Figura 12. Orden completo, Caos y desorden completo En la figura 12, se observa que tanto el primero como el último modelo son simples y el que está en la mitad es relativamente complejo, como resultado de la percepción visual. La complejidad del modelo de la derecha, se interpreta como una representación sin reglas, es decir al azar. El modelo de la izquierda, se puede considerar uniforme. En la siguiente gráfica se puede interpretar el nivel de complejidad en función del orden y desorden.

Figura 13. Orden contra complejidad

Darsa, Costa & Barnicéis (1996), llevaron a cabo una investigación en ambientes de navegación estáticos tridimensionales, usando la simplificación de imagen–espacio y transformaciones espaciales. Presentan una técnica basada en z-representaciones, relacionando imagen–espacio, lo cual permite la navegación en ambientes estáticos complejos en términos de las escenas. La escena, es convertida en una representación de complejidad limitada en el espacio de la imagen. El desempeño en tiempo real, se logra usando una relación imagen-espacio y transformaciones afines con el

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hardware. El método propuesto, simula el efecto de profundidad y oclusión, lo cual permite observar la información que no es visible, combinando el ambiente de las z-representaciones desde diferentes puntos de vista. Las aproximaciones tradicionales a la aceleración de los gráficos, para la navegación de un ambiente tridimensional involucra:

• Reducir la complejidad de la geometría de la escena, utilizando niveles de detalle jerarquizados (Turk, 1992; Schroeder, Zarge & Lorensen, 1992; Rossignac & Borrel, 1993).

• Reducir la transformación de la complejidad, utilizando la textura de la representación gráfica de la escena (Blinn & Newell, 1976, Blinn, 1978), usando diferentes niveles de complejidad y combinando modelos oscuros e iluminados de objetos (Bergman, 1986).

Sin embargo, la complejidad de la relación objeto-espacio tridimensional, ha aumentado más allá de las representaciones imagen-espacio bidimensional. Con relación a este planteamiento, ha empezado a surgir como una alternativa viable, la planeación geométrica tridimensional convencional, en dominios de aplicación específicos de inmersión sensorial. La imagen-espacio, basada en representaciones ha sido usada para navegar (con libertad limitada), en ambientes moldeados con imágenes digitales del mundo real (Chen, 1995; Szeliski; 1996; McMillan & Obispo, 1995). Los autores describen la complejidad de las representaciones tridimensionales, basándose en la visibilidad de los objetos. Cuando un observador se desplaza o rota libremente por un ambiente, la simulación puede lograrse usando diferentes vistas de las escenas necesarias para crear el ambiente. En esta tarea, los autores asocian los puntos de vista de un observador, con nodos para la construcción de mapas del ambiente con profundidad, dependiendo de la dirección. Esto es, esencialmente una extensión de la técnica de plenoptic, que también asocia la información de profundidad. Cada nodo asocia información limitada sobre el ambiente, dependiendo de la dirección y el punto de vista del observador. En este sentido, la visibilidad de los objetos seria restringida con un sólo nodo, de tal manera, que combinando, tanto la rotación como la traslación se puede crear una imagen, haciendo las transformaciones

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(Morphing) necesarias y de esta forma dar la sensación de profundidad por medio de las vistas originales, a través de funciones de trazado.

Figura 14. La visibilidad: a). Rotación, b). Traslación.

En este sentido, la técnica de transformación basada en imágenes para la navegación en contextos de tres dimensiones, utilizan diferentes puntos de vista, tanto dependientes como independientes. El método combina un conjunto de mapas cúbicos que son pre-transformados de una colección de puntos de vista, que están interrelacionados dentro de un modelo virtual. Cada punto de vista dado, se representa por un nodo, que consiste en un mapa de ambiente cúbico y una triangulación 3D, donde se asocian las seis caras del mapa, que facilita la navegación, combinando la información de nodos múltiples (ver figura 15).

Figura 15. La transformación (morphing) de un mapa del ambiente.

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1.5. El pensamiento complejo Morin (2003), plantea la necesidad de tener un pensamiento complejo, a la hora de dar explicación del comportamiento de los fenómenos naturales. Define la complejidad, como un tejido de constituyentes heterogéneos e inseparablemente asociados. Presenta la paradoja de lo uno y lo múltiple. Para él, la complejidad es efectivamente, un tejido de eventos, acciones, interacciones, retroalimentaciones, determinaciones y azares. Estos elementos conforman un mundo fenoménico. En este orden de ideas, la complejidad se presenta con rasgos de inextricable enredo, desorden, ambigüedad e incertidumbre, etc. De ahí la necesidad del conocimiento, de dar orden a los fenómenos naturales eliminando el desorden, lo incierto y lo inexplicable. En esta dimensión se seleccionan elementos de orden y certidumbre, con el objeto de eliminar ambigüedades, clarificar, distinguir y jerarquizar. Esto, con el fin de dar explicación y revelar el orden impecable del mundo, su determinismo absoluto y perfecto. Por lo tanto, su obediencia a una ley única. En este sentido, las ciencias de la naturaleza, en la actualidad, se han abierto a estudiar la complejidad del mundo real con todas sus interacciones, enfrentando lo entramado que pueden ser los fenómenos entre sí. En función de los desarrollos de la auto-organización, dada en términos de la autonomía, individualidad, riquezas de relaciones con el ambiente, actitudes para el aprendizaje, inventiva y creatividad, Morin plantea tres modelos de complejidad a saber: a) modelos de baja complejidad b) mediana complejidad y c) alta complejidad. A través de la historia, ha primado el paradigma de simplicidad, en contraposición al problema de la complejidad. En este sentido, el paradigma de simplicidad pone orden en el universo, y persigue el desorden. El orden se reduce a una ley, a un principio. La simplicidad ve a lo uno, pero no puede ver las conexiones e interrelaciones de lo múltiple o de lo complejo. El principio de simplicidad, o bien, separa lo que está ligado (disyunción) o bien, unifica lo que es diverso (reducción).

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Para hacer un análisis más detenido de la complejidad, se parte del siguiente ejemplo: Se tiene una tela contemporánea, fabricada de múltiples fibras: lino, seda, algodón, lana y de colores variados. Para conocer las propiedades intrínsecas de esta tela, sería conveniente conocer las leyes y los principios que gobiernan cada uno de los tipos de fibras. Sin embargo, la suma de los conocimientos sobre cada uno de los tipos de fibras es insuficiente, es decir, las cualidades y las propiedades de sus componentes no son suficientes para conocer la textura, forma y configuración de la tela en su conjunto. Con este ejemplo se plantean tres etapas de la complejidad a saber:

⇒ Primera etapa: se tiene un conocimiento que no ayuda a determinar con exactitud y precisión las propiedades del conjunto. En este sentido, la tela es más que la suma de las fibras que la constituyen. En consecuencia, la primera etapa, se plantea en términos de: “un todo es mas que la suma de las partes que la constituyen”.

⇒ Segunda etapa: el hecho de que hay una tela, hace que las

cualidades de X tipos de fibras, no pueda explicarse plenamente a partir de la totalidad. Esas cualidades son inhibidas o virtualizadas. En Consecuencia, la segunda etapa de complejidad propone:”el todo es, entonces, menos que la suma de las partes que la constituyen”.

⇒ Tercera etapa: esta etapa muestra habilidades para el

entendimiento, con base en la construcción mental de los objetos y se planeta en términos de “El todo es más y, al mismo tiempo, menos que la suma de las partes que lo constituyen”, por lo anterior, se puede afirmar que los fenómenos naturales perceptibles y cognoscibles a los agentes naturales, no pueden ser explicados mediante leyes simples. Más bien, obedece a un conjunto de interacciones internas de un sistema complejo.

1.6. Pensamiento sistémico Connor & Mcdermott (2000), describen el pensamiento sistémico como una estrategia metodológica, en la resolución de problemas. Definen sistema, como una entidad cuya existencia y funciones se mantienen como un todo, por la interacción de sus partes. El pensamiento sistémico contempla el todo y sus partes, así como las

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conexiones entre las mismas, y estudia el todo para poder comprender las partes. Es lo opuesto al reduccionismo, es decir, la idea de que algo es simplemente la suma de sus partes. Ellos hacen un planteamiento de los sistemas, basándose en la interacción de sus partes y los divide en sistemas simples y complejos. Todo sistema se fundamenta en sus interacciones. En consecuencia, las relaciones entre sus partes y su influencia mutua son más importantes que la cantidad de partes que lo constituyen o el tamaño de las mismas. Por lo tanto, hay dos formas distintas para determinar si algo es complicado. Se piensa que algo es complejo, cuando está compuesto de muchas partes distintas, esto se denomina complejidad de detalle (puzzles). Otro tipo, es la llamada complejidad dinámica, es aquella en que las partes se relacionan unas con otras de formas distintas, es decir, cada parte puede tener diferentes estados. En consecuencia, resulta erróneo, determinar la complejidad por el número de sus partes, en lugar de las posibles formas de combinación. No es cierto que cuanto menor sea el número de partes, más fácil será manejarlas y comprenderlas, todo dependerá del grado de complejidad dinámica de las partes que constituyen un sistema. Las nuevas conexiones, entre las partes de un sistema, añaden complejidad al agregar una pieza que crea muchas conexiones nuevas. Cuando se añade una pieza nueva a un sistema, el número de conexiones posibles no se incrementa proporcionalmente, sino exponencialmente. Los sistemas más simples son los que se componen de pocas partes, tienen unos cuantos estados y unas cuantas relaciones simples entre las partes. La primera enseñanza del pensamiento sistémico es saber si se trata de una complejidad simple o dinámica, es decir, un puzzle o una partida de ajedrez. Los sistemas complejos tienden a ser estables, por los vínculos que pueden establecerse en sus partes. Cuantas más partes contenga, mayor complejidad tendrá el sistema. Cuanto más cambien de estado las partes y formen alianzas y cuantas más conexiones haya entre las partes, mayor será la complejidad dinámica del sistema.

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Un sistema complejo se puede asociar a una telaraña, en este sentido, se plantean las posibles interrelaciones y vínculos que se pueden establecer en un sistema con once elementos, (ver figura 16).

Opinión pública

Ministerio de Hacienda

Ministerio de Defensa

Proximidad de elecciones

Presidente

Ministerio de Agricultura

Asesor de imagen Gabinete

Presupuesto

Ministerio de asuntos Ext.

Ministerio de Sanidad

Figura 16. El gobierno de Distopia. (Tomado de Joseph O´Connor & Ian McDermott. 2000)

La estabilidad de un sistema depende de muchos factores: el tamaño, la cantidad y diversidad de los sistemas que abarquen y el tipo y grado de colectividad que exista en cada una de ellas. El pensamiento sistémico se basa en círculos, más que en trayectorias de línea recta. Todas las partes de un sistema están conectadas directa o indirectamente, de modo que al cambiar una de esas partes, el efecto se propaga en todas las demás, experimentando un cambio que a la vez termina afectando la parte original (ver figura 17).

El cambio en una parte del sistema

El cambio en una segunda parte

del sistema

GeneraGenera

Figura 17. Bucle de realimentación

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El termino realimentación “Feedback”, puede utilizarse como significado de respuesta, pero lo importante es que se trata de un retorno de los efectos de una acción que influye en un siguiente paso. La realimentación es un bucle, en consecuencia, el pensamiento es función de la realimentación, es un pensamiento en círculos. La realimentación es fundamental en algunos sistemas, sin realimentación no hay sistema. Los bucles de realimentación son básicamente de dos tipos:

Realimentación de refuerzo. Cuando los cambios en todo el sistema se realimentan para amplificar el cambio original, es decir, el cambio ocurre en todo el sistema produciendo más cambios en la misma dirección.

Realimentación de compensación. Se da cuando los cambios

en todo el sistema se oponen al cambio original para amortiguar el efecto.

1.7. La autorregulación en el proceso de aprendizaje

La autorregulación es la capacidad que una persona adquiere para orientar su propia conducta. En el aprendizaje, la autorregulación consiste básicamente en formular o asumir metas concretas, planificar las actividades para su actuación, observar su propio desempeño, evaluarse de acuerdo a sus metas y criterios fijados con el fin de valorar el estado de su aprendizaje. La comparación de las metas con las actuaciones reales, está dirigida a generar acciones para ajustar o reformular metas.

Markus & Wurf (1987), definen la autorregulación como la manera en que una persona en su actuación en el entorno que la rodea, controla y dirige su conducta. A su vez, Kuhl (1992), se refiere a un equilibrio, flexible y sensible al contexto, entre planificación, implementación y mantenimiento por una parte, y desacoplamiento por otra. Kuhl, considera que para lograr un elevado grado de eficacia autoreguladora, el individuo necesita planificar, iniciar y mantener intenciones realistas (adecuadas al contexto), y desecharlas si dejan de serlo, para iniciar nuevas actividades y concentrarse en ellas. En el mismo sentido, para Karoly (1993), la autorregulación se sintetiza en aquellos procesos, internos y transituacionales que posibilitan al individuo a guiar su propia actuación dirigida por metas, a lo largo del tiempo y en diferentes circunstancias o contextos.

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En el estudio de la autorregulación del aprendizaje, Bandura (1970), inicialmente plantea su interés centrado en el autocontrol, entendido como la capacidad para ejercer un dominio sobre las propias acciones en ausencia de limitaciones externas inmediatas. Más adelante, el autor introduce el término autorregulación, que implica el establecimiento de una meta previa, la presencia de la autoevaluación, y la administración de su propio esfuerzo; además de la ejecución de la respuesta aprendida. Finalmente, resalta la importancia de la seguridad de poder ejecutar con éxito la conducta requerida para producir ciertos resultados. Las investigaciones actuales sobre el aprendizaje autorregulado, estudian la forma en que los sujetos ponen en marcha y mantienen sus procesos de aprendizaje.

El aprendizaje autorregulado se sitúa en la intersección de varios campos de investigación: aprendizaje, motivación, cognición, metacognición. Cada uno de los cuales presenta a su vez problemas de definición. De esta forma, recogiendo la definición más frecuentemente citada por Zimmerman (1989), Zimmerman (1994), en términos actuales, los alumnos pueden considerarse autoregulados en la medida en que sean -desde un punto de vista metacognitivo, motivacional y conductual- participantes activos en su propio proceso de aprendizaje. McCombs (1989), considera que la autorregulación en el aprendizaje se da cuando el estudiante es capaz de formular o elegir sus metas, planificar su actuación, seleccionar sus estrategias, ejecutar sus proyectos y evaluar su actuación. Schunk (1989), Schunk (1994), considera que el aprendizaje de un sujeto es autorregulado, cuando éste genera sus propias actuaciones, sistemáticamente encaminadas a alcanzar las metas de aprendizaje, previamente formuladas o elegidas. Meece (1994), hace referencia al aprendizaje autoregulado, a los procesos mediante los cuales los sujetos ejercen el control sobre su propio pensamiento, el afecto y la conducta durante la adquisición de conocimientos o destrezas. Por su parte, Winne (1995), asegura que el aprendizaje autorregulado exige del alumno, la toma de conciencia de las dificultades, que pueden impedir el aprendizaje, la utilización deliberada de procedimientos (estrategias), encaminados a alcanzar sus metas, y el control detallado de las variables afectivas y cognitivas.

Boekaerts (1997), Schunk & Zimmerman (1994), proponen algunas características comunes de los estudiantes que autoregulan su aprendizaje. Estas son enunciadas como: ser conscientes de la

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utilidad del proceso de autorregulación de cara a potenciar el éxito académico; conceder gran importancia a la utilización de estrategias de aprendizaje; supervisar la eficacia de sus métodos y estrategias de aprendizaje y responder a esta información de diversas formas. Este proceso puede ir desde la modificación de sus propias percepciones hasta la sustitución de una estrategia por otra que se considere más eficaz, teniendo motivos para implicarse en la puesta en marcha de procesos, estrategias o respuestas autorreguladas. Además, se asume que la autorregulación puede enseñarse, ya que ésta no se adquiere de una vez para siempre, sino que se va adquiriendo en las distintas etapas, mediante la instrucción y la práctica repetida, a través de múltiples experiencias en diferentes contextos.

En el proceso de autorregulación del aprendizaje se diferencian varias fases, debido a la dificultad que entraña un abordaje global del tema. Con todo, no existe unanimidad en la cantidad, ni en los términos empleados para designar esas sub-etapas del proceso autoregulador. Markus & Wurf (1987), afirman que la autorregulación implica formulación de metas, planificación, observación, evaluación y reacción. Kuhl (1992), propone tres subsistemas que interactúan estrechamente: preferencias cognitivas (intenciones o auto-obligaciones); preferencias emocionales (deseos) y preferencias procedimentales (hábitos y esquemas de actuación dominantes). De forma análoga, Karoly (1993), considera que la autorregulación incluye cinco fases interrelacionadas e iterativas: selección de metas, conocimiento de las metas, mantenimiento del esfuerzo con una determinada orientación, cambio de dirección o repriorización, y consecución de las metas. Ertmer & Newby (1996), aseguran que el aprendiz experto autorregulado, pone en marcha tres procesos: planificación, observación y evaluación. Hacker (1998), contrapone la supervisión, en la que el nivel metacognitivo adquiere información sobre el cognitivo mediante monitoreo, frente al control, por el que el nivel metacognitivo incide sobre el cognitivo modificándolo.

Por su parte, Bandura (1986), considera que las variables que condicionan la autorregulación de la conducta pueden estar referidas al yo, a la actuación y al entorno en el que ésta ocurre; entre las de actuación, destaca los procesos evaluativos, la observación y reacción, así mismo (Bandura, 1991). En este marco se sitúa también el modelo propuesto en repetidas ocasiones por Zimmerman (1989), Zimmerman (1990), al diferenciar tres tipos de determinantes del aprendizaje autorregulado: personales como la motivación, los

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conocimientos previos o las estrategias; conductuales como la observación, la evaluación y la reacción de los procesos del sujeto mismo; y contextuales como el modelado o el feedback externo.

El proceso de autorregulación del aprendizaje comienza con la formulación de metas concretas, próximas, y de un nivel de dificultad apropiado a las características del sujeto, complementándose con una planificación realista. Continúa con el monitoreo que comprende la observación de la propia conducta tendiente a la consecución de esas metas, frecuentemente ayudada por algún sistema de registro de la misma; sigue con la evaluación de la propia actuación, a la luz de unos criterios predeterminados, para comprobar en qué medida se acerca o se aleja del objetivo prefijado; y concluye con el control o reacción del sujeto, en cuanto al ajuste entre las metas propuestas y la actuación concreta.

1.8. Solución de problemas Con el propósito de hacer claridad sobre la temática de solución de problemas, se presenta un acercamiento en las diversas concepciones que se han planteado en los últimos cincuenta años. Meyer (1986), considera que en cualquier definición de problema se deben considerar tres ideas básicas: 1- El problema presenta un estado actual, determinado por condiciones (Datos, reglas, trozos de información etc.). 2- Se desea que el problema esté en otro estado o estado terminal, el objetivo es lograr que el pensamiento transforme el problema, desde el estado inicial dado al estado terminal. 3- No hay una vía directa u obvia para realizar el cambio (ver Figura 18).

Figura 18. Estados del problema. Simon (1978) y Simon (1979), sugirió que toda discusión sobre la resolución de problemas por computador debe tener en cuenta tres componentes principales:

• A quien resuelve el problema se le llama sistema de procesamiento de información.

• Al problema se le denomina entorno de la tarea

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• La representación del problema se le denomina espacio del problema.

Figura 19. Componentes en la solución de problemas La resolución de un problema se produce, cuando el agente que resuelve el problema, lo traduce en una representación interna y luego busca un camino, a través del espacio del problema desde el estado inicial dado hasta el estado final. Los componentes de Simon se definen como sigue:

• El que resuelve el problema. En una situación de resolución de problemas, quien resuelve el problema, articula diversos cuerpos de conocimiento (Lindsay & Norman, 1972):

Hechos. Proposiciones básicas, que son inmediatamente accesibles al sujeto, por cuanto este, maneja en términos absolutos el conocimiento necesario para resolver el problema. Por ejemplo sumar: 456.57 + 67.89 implica que quien resuelve el problema tenga la certeza de dar una respuesta correcta. Algoritmos. Se relacionan con un conjunto de reglas específicas, que automáticamente generan respuestas. Totales. Planes generales de acción o estrategias. Ernest & Newell (1969), consideran que las técnicas de resolución de problemas que generan una solución, son el resultado de traducir un problema, por parte del solucionador en una representación interna, que comprende el estado inicial, los estados intermedios y el estado final.

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• El espacio del problema: es la representación que el sujeto hace de la tarea. El ambiente de la tarea, está conformado por aquellos elementos que se presentan en el entorno, como estímulos externos y que proveen un escenario de transformaciones, para que el sujeto represente la tarea. Estos estímulos consisten en: un objetivo, el problema y otros factores externos relevantes (Newell & Simon, 1972).

Según Newell & Simon, el espacio del problema se define a partir de tres componentes:

• Una codificación mental de la situación del problema, conocida como estado inicial.

• Una serie de acciones o habilidades cognoscitivas, llamadas operadores, que pueden ser usadas para procesar el problema.

• Una especificación de lo que se considera como una respuesta al problema, llamado criterio de terminación u objetivo.

El espacio del problema, es la representación que el sujeto hace de la tarea. Es una estructura cambiante, a lo largo del proceso de solución de un problema; comprende todas las situaciones llamadas estados, que se pueden derivar desde el estado inicial, mediante aplicaciones sucesivas de operadores, hasta que ningún operador sea aplicado; es decir, hasta que se aplique el criterio de terminación (Newell & Simon, 1972). El estado en que se aplica el criterio de terminación se denomina estado final. Ernest & Newell (1969), Simon (1978) señalan, que el espacio del problema, es el conjunto de todos los estados o secuencias posibles de operadores, conocidas por quien resuelve el problema. Resolver un problema, se concibe como encontrar el camino o ruta correcta a lo largo del estado del problema.

Figura 20. Secuencia de operadores en la solución de problemas

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El espacio del problema, se determina seleccionando uno o más estados, aplicando operadores a uno de éstos. De esta forma, se generan y reconocen nuevos estados, hasta llegar al estado final. La función de la estrategia para solucionar un problema, sirve para especificar las posibles alternativas validas para explorar el espacio del problema. Polya (1968), Wickelgren (1974), proponen algunas técnicas, para reducir el espacio del problema y hacerlo más sencillo, este es el mayor aporte dado por el enfoque de resolución de problemas en el campo del procesamiento de información.

Figura 21. Técnicas de resolución de problemas (Polya, 1968)

• Macroacciones: Consisten en organizar una secuencia o un

conjunto de acciones pequeñas, en unidades más grandes llamadas “macroacciones”, que luego se usan para reducir el espacio del problema.

• Sub-objetivos: El espacio del problema se divide en sub-objetivos o pequeños espacios del problema.

• Operando retroactivamente: El espacio del problema se reduce, si se empieza a operar desde el estado final hasta el estado inicial.

• Espacios de problemas relacionados: El espacio del problema se reduce, si se aplican estrategias exitosas, aplicadas anteriormente en otros problemas similares.

Greeno (1973), propuso un modelo de la memoria para la resolución de problemas, conformado por tres componentes básicos en la solución de problemas (memoria a corto plazo, memoria a largo plazo y memoria operativa). En la MCP se ingresa la descripción interna del problema que incluye el estado inicial, los operadores legales y el estado final. En la MLP se guardan las experiencias

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pasadas, acerca de cómo resolver problemas y en la memoria operativa (MO) se da la interacción entre la información aportada por la memoria a corto plazo (MCP) y la aportada por memoria de largo plazo (MLP), se genera y verifica la solución. En la memoria operativa se produce la representación interna del problema, se construyen los nexos entre datos y se utiliza la experiencia pasada para modificar su estructura.

Almacenamioento sensorio a corto plazo

memoria operativaMemoria a corto plazo (MCP)

Memoria a largo plazo (MLP), conocimiento fáctico, algorítmico y estratégico

ESTÍMULO

COMPONENTES DE LA MEMORIA

Figura 22. Componentes de la memoria (Greeno, 1973). La estrategia de solución de un problema se identifica mediante la abstracción de reglas, tal que éstas reproducen tantos pasos como caminos de solución posibles. La colección de reglas es una hipótesis de la estrategia. Después de los procesos mentales, el acercamiento del espacio del problema, reduce él diagnostico del problema a una representación de tres sub-problemas:

• Hallar el espacio del problema. • Hallar el camino de solución. • Hallar la estrategia de solución del problema.

Una estrategia se define con los eventos que son repetitivos. En la solución de un problema, el manejo de operadores sobre operandos, conlleva a una transición de estados. El espacio de decisión se define por el número de eventos posibles para la solución. Los eventos y los estados de solución se pueden representar a través de grafos dirigidos. El paso de un estado a otro es determinado por un evento, que puede repetirse varias veces. Greeno (1978), sugirió una trilogía tripartita de problemas así: a). Problemas de estructura inductora, en estos se dan varias instancias y quien resuelve el problema, debe descubrir la norma o modelo implícito para resolverlo. b). Problemas de transformación, se da un

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estado inicial y quien resuelva el problema debe hallar la secuencia de operaciones que produzcan el estado final. c). Problemas de ordenamiento, se dan todos los elementos y quien resuelva el problema, debe ordenarlos, de forma tal que resuelva el problema.

Figura 23. Trilogía de Problemas

Meyer (1986), no establece diferencia entre los términos pensamiento, resolución de problemas y cognición. Aclara que pensamiento es el proceso que se da en la resolución de un problema, desde un estado inicial, hasta un estado final. En esta dimensión, Jonson (1972), define el pensamiento como resolución de problemas y Polya (1968), sugiere que la resolución de problemas está basada en procesos cognitivos, que tienen como resultado, encontrar una salida a una dificultad. Por otro lado, la teoría de la Gestalt, define el pensamiento, como la reestructuración o relación de los elementos del problema, con una forma nueva y al proceso de resolver problemas, como la comprensión estructural, que surge del intento de relacionar una situación problemática con otra. Esto implica reorganizar los elementos, de forma tal, que resuelvan el problema. Otro aporte de la Gestalt, es el concepto de fijeza funcional, que se refiere, a que la experiencia anterior, puede tener efectos negativos en situaciones nuevas de resolución de problemas. Los Gestalistas afirman, que una experiencia amplia no específica, junto a cierto aprendizaje previo, representa un repertorio esencial, que debe estar disponible, para ser reestructurado en las nuevas situaciones conflictivas que lo requieran. Sin embargo, el pensamiento productivo es imposible, si el sujeto está encadenado al pasado y en consecuencia, no rompe sus propios esquemas, para pensar o imaginar nuevas soluciones.

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Restle & Davis (1962), intentó estudiar el concepto de estadios en la resolución de problemas. Los autores pedían a los sujetos, que informaran en voz alta, lo que iban pensando durante el proceso de solución. Esto, les permitió concluir, que la solución de un problema avanza por estadios, desde las soluciones más generales, hacia las soluciones específicas y que el solucionador, a medida que avanza en el proceso, reformula continuamente el problema. Ellos plantean algunos supuestos básicos en la solución de un problema:

1- Resolver un problema implica completar una secuencia de estadios. Cuando se completa un estadio, el sujeto pasa a trabajar en el siguiente.

2- Cada estadio es independiente. 3- Cada estadio es igualmente difícil. El tiempo medio para

avanzar de un estadio a otro es una constante.

Figura 24. Transición de estadios en la solución de un problema Restle & Davis (1962)

Bruner, Goodnow & Austin (1956), encontraron que los sujetos utilizaban ciertas estrategias en el aprendizaje de conceptos así: a). Estrategia total, el sujeto memoriza todos los atributos comunes a aquellas instancias en que la respuesta era correcta e ignoraba todo lo demás. b). Estrategia parcial, el sujeto enfoca una hipótesis y la mantiene si es pertinente, si no funciona construye una nueva basándose en experiencias pasadas. Los autores concluyen, que la estrategia total tiene un mayor rendimiento en el aprendizaje. Simon & Katovsky (1963), descubrieron que cuando los sujetos se enfrentan a problemas de un patrón serial (un problema de patrón serial consiste en que primero se soluciona una parte, luego otra y así sucesivamente, hasta alcanzar la solución final) tienden a confiar en las reglas mas obvias o más simples para solucionar el problema, basándose en experiencias anteriores y no cambian dicha regla por otra más compleja, a menos que la primera fracase. También encontraron que las reglas que planteaban grandes exigencias de memoria inmediata, eran especialmente difíciles. 52

1.8.1. Razonamiento Lineal Tareas o problemas MOVE. Los problemas MOVE tienen un estado inicial y final bien definido y un conjunto determinado de operadores o movimientos permitidos. Los problemas MOVE incluyen aspectos de los problemas de transformación y de los problemas de ordenamiento de Greeno (1978). Simon (1978), ha señalado, que la simulación de estrategias de computadora para resolver problemas, ha sido particularmente exitosa en los problemas bien definidos y no con los problemas débilmente definidos, como los que se presentan en la vida diaria. El pensamiento por simulación de computador, presupone que quien resuelve un problema, lo hace aplicando operadores a los diferentes estados del problema. Un operador, es cualquier movimiento considerado legal, por quien resuelve el problema. El operador puede ser aplicado físicamente y el estado del problema, es una descripción de los elementos del problema. Resolver un problema, consiste en una secuencia de procesos u operaciones mentales, realizadas sobre la información disponible en la memoria de un sujeto, con el propósito de avanzar progresivamente hacia el estado meta. La simulación en computador, es la estrategia utilizada por un agente, para generar una serie de movimientos, tendientes a solucionar el problema. Dicha estrategia, ha sido definida previamente con mucha precisión, por parte de quien simula el problema. En cierta medida, la simulación en computadoras, es un refinamiento de la teoría asociacionista, por cuanto, en la resolución de un problema, se aplican una serie de movimientos o respuestas jerarquizadas, hasta que el problema queda resuelto; sin embargo, la simulación en computadoras no es una teoría, sino un método, para describir las estrategias utilizadas en el proceso de resolución de problemas.

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1.8.2. Cronometría mental Donders (1969), en experimentos realizados encontró, que la resolución de problemas, requiere una serie de operaciones mentales, a las que llama estadios. Tales operaciones o estadios son: tiempo de percepción motriz, tiempo de discriminación y tiempo de elección. El tiempo al que se refiere Donders, lo llama tiempo de reacción y tiene que ver con el lapso que transcurre entre la percepción de un estímulo (problema) y la ejecución de la respuesta.

• Tiempo de reacción motriz. Es el tiempo necesario para ejecutar una tarea simple, requiere entre 50 y 250 milisegundos en ejecutar la respuesta.

• El tiempo de discriminación. Resulta de restar del tiempo

de la tarea de discriminación y el tiempo de la tarea simple, requiere percibir el estímulo y discriminar entre varias alternativas posibles (variables) para ver cual respuesta corresponde. El tiempo de reacción es mayor.

• El tiempo de elección. Tiempo de la tarea de elección

menos tiempo de discriminación, requiere percibir el estímulo, discriminar el estímulo entre varias alternativas posibles, identificar y elegir la respuesta acertada que corresponde al estímulo percibido. Obviamente, el tiempo de reacción es mayor que en las dos anteriores.

Posner (1978), llamó a la técnica de Donders “Cronometría mental”, por estudiar el tiempo necesario para realizar operaciones cognitivas elementales. Este enfoque se basa en varios supuestos:

• Componentes. Cualquier tarea puede ser descrita como un conjunto de procesos mentales separados y elementales.

• Tiempo. Cada proceso elemental requiere una cantidad determinada y medible de tiempo

• Serie. Lo procesos se realizan en orden y uno cada vez. • Adición – Sustracción. El tiempo de los procesos

componentes puede ser legítimamente sumado o restado. La cronometría mental, como teoría sobre la resolución de problemas, se basa en la idea de que la resolución de problemas implica una serie de operaciones mentales, tales como manipular y 54

operar con información en la memoria. El objetivo de este enfoque consiste, en determinar las operaciones mentales elementales, que se utilizan en las tareas cognitivas básicas y de esta forma, establecer el catálogo de los elementos constitutivos del pensamiento humano. Postner y sus colaboradores (Posner, 1969; Postner, 1978; Postner & Mitchel, 1967; Posner, Lewis & Conrad, 1972; Sostener, Boies, Eichelhan & Taylor, 1969) crearon cuatro tareas cognitivas para aplicar el enfoque de la cronometría mental: hacer coincidir letras, barrido de memoria, rotación de imágenes y verificación. La tarea de hacer coincidir letras, la crearon los autores, con el propósito de medir la velocidad de los procesos mentales implícitos en ellas. Fueron básicamente dos: tarea de concordancia física, que consiste en encontrar letras que sean físicamente idénticas y la tarea de concordancia de nombres, que se relaciona con encontrar letras que tengan el mismo nombre. Postner y sus colaboradores encontraron, que los procesos cognitivos necesarios en la tarea de concordancia física implican codificar, comparar y responder; mientras la concordancia de nombres implica descubrir el nombre de cada letra en la memoria de corto plazo. El tiempo empleado en realizar la tarea de concordancia física (555 milisegundos), es menor que el empleado en la tarea de concordancia de nombres (674), lo cual significa, que el tiempo empleado en buscar el nombre de una palabra simple, en la memoria de corto plazo es de 119 milisegundos. Las características físicas de los estímulos como color, tamaño, contraste, etc. tienen fuertes efectos sobre las tareas de coincidencia física, mientras que la familiaridad con las palabras, ejerció una fuerte influencia sobre la tarea de concordancia de nombres. Sternberg (1966), Utilizó la tarea de barrido de memoria para estudiar los procesos cognitivos en la memoria de corto plazo. La experiencia consiste en mostrar durante 2 segundos seis dígitos para que el sujeto los memorice, se espera dos segundos, se le presenta un digito de prueba y se le pregunta, si el número de la prueba concuerda con alguno de los dígitos del conjunto memorizado, luego se van aumentando los dígitos de prueba hasta completar seis. Los procesos cognitivos implícitos serán: codificar y recordar el conjunto memorizado, comparar el número de prueba con cada dígito memorizado y finalmente responder. El tiempo de respuesta aumenta con cada dígito adicional en aproximadamente 38 milisegundos. Al

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proceso de comparar secuencialmente, el número de prueba con cada digito memorizado, se le llama procesamiento serial, e implica un aumento en el tiempo de respuesta a medida que aumenta el conjunto memorizado. En tanto que al proceso de comparar el número de prueba, con varios dígitos del conjunto memorizado simultáneamente, se le llama procesamiento en paralelo y el tiempo de respuesta, se mantiene uniforme, con el aumento del conjunto memorizado. Los datos observados son más consistentes en el procesamiento serial. La tarea de rotación mental, se aplicó exitosamente, al estudio de cómo la gente manipula las imágenes visuales en la memoria. Cooper & Shepard (1973a, 1973b), plantean que la tarea de rotación mental, consiste en presentarle a los sujetos un solo dígito o una sola letra de manera normal, o una imagen especular (vista posterior); además, cada letra o dígito se presenta de manera normal, o rotado cada 60 grados según las agujas del reloj. El trabajo consistía, en determinar si la letra o dígito era normal, o se veía por detrás. Los procesos mentales implícitos en esta tarea serían: codificar el estímulo, es decir, representárselo en la memoria de corto plazo, rotar la representación hasta que tengan una orientación vertical (0o), decidir, si la letra o dígito es normal o posterior y finalmente ejecutar la respuesta. El tiempo promedio es más bajo, cuando se presenta el estímulo en forma normal y más alto, cuando se presenta en forma especular o rotado. Bransford & Jhonson (1972), mostraron que una lectura fuera de contexto y sin un tema aparente es muy difícil de comprender. Brensford (1979), creó el esquema lógico (dibujo que ilustra un tema particular) y concluyó que un esquema lógico, aporta una estructura general, en la lectura de un tema en particular y permite al lector reunir la información en una organización general. La teoría de los esquemas lógicos, encara la resolución de problemas, como un proceso de comprensión. Comprender implica la construcción de un esquema y la asimilación de la información entrante al esquema. Un esquema, es una estructura general del conocimiento, utilizada para la comprensión. Un esquema sirve para seleccionar y organizar la información entrante, en un marco integrado y con sentido. Un esquema contiene los siguientes puntos:

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• General. Un esquema puede ser utilizado en una amplia gama de situaciones para enmarcar la comprensión de la información entrante.

• Conocimiento. Un esquema existe en la memoria como algo que la persona conoce.

• Estructura. Un esquema está organizado alrededor de un tema.

• Comprensión. Un esquema contiene huecos que son llenados por la información específica del pasaje.

1.9. La autorregulación del aprendizaje en el proceso de solución de problemas

El proceso de autorregulación, se evidencia en la capacidad que tiene el aprendiz de dirigir y controlar su proceso de aprendizaje, a partir de plantearse metas. Ertmer & Newby (1996), consideran la autorregulación, como el proceso que se evidencia en el curso de la interacción de un aprendiz, cuando éste razona en una etapa posterior, acerca de una acción que ha realizado, en la solución de un problema, utilizando la información que constituye el contexto de tal acción. El contexto de la acción puede incluir varias cosas: información acerca de los requerimientos de la tarea, ejemplos, trabajo previo o alguna clase de información relevante, para la tarea que se esté realizando, de tal forma, que sirva como ayuda en el proceso de monitoreo y evaluación (Akhras & Self, 1997). A partir de esta perspectiva, el aprendizaje autorregulado, se relaciona con los tres procesos mencionados anteriormente: planeación, monitoreo y evaluación.

El mecanismo de autorregulación, en la solución de problemas, incluye una serie de procesos cognitivos y metacognitivos. Los procesos metacognitivos establecen dos campos: los juicios de metamemoria y las estrategias. En esta dimensión, un individuo que resuelve un problema, se plantea metas que se hacen evidentes, en la aplicación de conocimiento declarativo, en el proceso de solución. La transición de estados, genera nuevas estrategias, que llevan al individuo a reformular sus metas. El proceso se evalúa con la efectividad y el éxito en la etapa de transición. Esta evolución del espacio del problema se manifiesta a través de la aplicación de operadores.

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Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Conocimientodeclarativo

Reformula

estrategias

METAS

Juicios demetamemoria

Estrategiasnuevas

Conocimientoprocedimental

Proceso de Solución

Problema

Figura 25. Proceso de autorregulación en la solución de problemas.

El modelo de la figura 25, muestra el planteamiento de metas, a partir de la elaboración de juicios de metamemoria, con respecto a un problema. Un individuo, que se enfrenta a la solución de un problema, elabora juicios, acerca del estado inicial del problema. A partir de la valoración de su conocimiento, plantea metas que intenta cumplir, en la medida que resuelve el problema. El proceso de solución, evidencia la aplicación de estrategias (conocimiento declarativo), que se comprueban con el acercamiento del individuo al estado final, en la solución de un problema. Las estrategias nuevas resultan de la búsqueda de la solución. La aplicación de nuevas estrategias lleva al individuo a reformular sus metas. Cada vez que el sujeto avanza hacia un nuevo estado, se plantean nuevas metas o modifican las ya formuladas. En la medida en que el individuo es consciente de lo que va aprendiendo, regula su proceso de aprendizaje. Un ambiente de aprendizaje se caracteriza por la posibilidad de generar un contexto, donde el estudiante pueda hacer predicciones, formular metas, aprender nuevas estrategias, analizar y elaborar juicios acerca de su aprendizaje. A continuación se procede a dar un enfoque de los ambientes de aprendizaje utilizados como entornos de autorregulación.

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1.10. Estrategias de aprendizaje Estrategia, es un conjunto de procedimientos, que se instrumentan y se llevan a cabo, para lograr algún objetivo, plan, fin o meta. Aplicado al aprendizaje, es una secuencia de procedimientos, que se aplican para lograr aprender. El término “estrategia”, se relaciona con “táctica”, “destreza”, “estilo”, “orientación” y “proceso”, sin llegar a un consenso general (Zimmerman & Palmer, 1988; McCormick, Miller & Pressley, 1989; Schneider & Weinert, 1990; Weinstein & Meyer, 1991). Las diferentes definiciones que se han dado de estrategias cognitivas y/o estrategias de aprendizaje, coinciden en que se trata de: “un conjunto de procesos mentales, empleados por un agente, en una situación particular de aprendizaje y de esta forma, facilitar la adquisición de conocimiento” (Derry & Murphy, 1986); otro planteamiento considera las estrategias de aprendizaje como “Todas las actividades y operaciones mentales en las cuales se involucran los aprendices durante el proceso de aprendizaje y que tienen por objeto, influir en el proceso de codificación de la información” (Weinstein & Meyer, 1986). Por otro lado, Borkowski et. al. (1990), encontraron tres (3) elementos presentes en al proceso de aprendizaje de los estudiantes: a). Deben ser estratégicos para construir conexiones entre el nuevo conocimiento y el previo, que se tenga sobre un contenido temático o problema a resolver, b). Deben utilizar la metacognición para autorregularse en función de metas y c). Deben creer que son responsables de su proceso de aprendizaje (Seifert & Wheeler, 1994, citado en Schunk, 1991). Una característica de las estrategias de aprendizaje implica la planeación de actividades mentales por parte de los agentes, ya sea para “adquirir”, “conservar” o “extraer” diversas clases de conocimiento (Rigney, 1978). Estas estrategias se ha clasificado como cognoscitivas, en el sentido en que pueden articular actividades tales como: adquirir, ordenar y seleccionar información, relacionar el conocimiento de la MCP con la MLP, retener y codificar información en la base de conocimiento del agente.

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En este orden de ideas, las estrategias metacognitivas implican actividades cognoscitivas tales como: controlar, vigilar, planear, y predecir (Brown, 1987). En este sentido, la estrategia de aprendizaje incluye estrategias cognoscitivas y metacognoscitivas. La psicología cognoscitiva, en lo referente a las estrategias de aprendizaje, ha contribuido significativamente en el diseño educacional (Yu-Ping Hsiao, 1997). Brown & Campione (1978), indican que el desempeño, en la solución de problemas, pueden mejorarse enseñando a los sujetos una serie explícita de consejos y preguntas metacognitivas, que se deben revisar antes de empezar a resolver el problema. Estas indicaciones están en concordancia con los juicios de valoración y la estrategia que tiene que utilizar el sujeto antes de dar solución al problema. En la solución de problemas, el agente toma decisiones en cada uno de los estados. Estas son acciones fundamentales para desarrollar estrategias de aprendizaje, las cuales pueden estar afectadas por juicios subjetivos que pueden o no facilitar el aprendizaje de una tarea en especial. Las estrategias de aprendizaje, generalmente, tienen un carácter individual y en este sentido, se deben tener en cuenta los siguientes elementos: a). Los objetivos. Son los propósitos y expectativas que se pretenden obtener como producto, con relación al trabajo ha desarrollar; b). Los conocimientos previos. ¿Qué sé sobre el tema? ¿Qué ignoro? ¿Qué puedo hacer para obtener la información?; c). Los recursos personales. Ser consciente del tiempo disponible y de las capacidades que se requieren para desarrollar el trabajo. También el dominio personal de habilidades, técnicas de estudio y estrategias de aprendizaje; d). El interés. Manifestar motivaciones e intereses personales sobre el tema que se está tratando; e). El auto-esquema. Análisis interno sobre autoimagen, autoeficacia y autoestima y, f). La explicitación de fortalezas y debilidades para resolver una situación problemática particular.

Sternberg (1990), en su modelo de inteligencia, propone que los sujetos planean lo que harán, se autorregulan monitoreando lo que están haciendo y evalúan lo que hicieron. Esto contribuye a tener una mayor eficiencia y eficacia en el procesamiento de la información. La autovaloración se lleva a cabo, tanto al comienzo como al término de la solución del problema. La metacognición en los sujetos se va mejorando en la medida en que los agentes avanzan en su proceso de aprendizaje. 60

Merril & Tensión (1995), consideran que las estrategias cognitivas tienen procedimientos mentales para atender, organizar, elaborar, manipular y recuperar el conocimiento; éstas incluyen técnicas de aprendizaje. En general, las estrategias de aprendizaje comprenden:

• Análisis de los requerimientos de la tarea de aprendizaje. • Análisis de la propia habilidad para ejecutar dicha tarea. • Elegir o inventar una estrategia apropiada y explicarla. • Evaluar su efectividad e incluir modificaciones.

El aprendizaje de los sujetos se ve afectado por el uso o sugerencia de estrategias, tanto cognitivas como metacognitivas, debido a que procesos mentales básicos como la atención, observación y discriminación, traducen y potencian la elaboración, generación, organización, integración y evaluación de información tendientes a su resolución. La utilización de estrategias fuertes se puede implementar, en la medida en que éstas, se han estudiado, estructurado y codificado; almacenándolas en la memoria de largo plazo MLP de cada sujeto.

A continuación se esbozan, de forma general, algunas estrategias cognitivas, para el procesamiento de la información, que pueden ser utilizadas por los agentes, en la solución de situaciones problemáticas específicas (Rubio, 2000): Observar. Dar una orientación intencional a nuestra percepción. Esto implica entre otras cosas, atender, fijarse, concentrarse, identificar, buscar y encontrar datos, que previamente han sido establecidos. Analizar. Señalar los elementos importantes de la información, situación que implica también comparar, subrayar, distinguir, resaltar. Ordenar. Colocar de forma sistemática un conjunto de datos a partir de una cualidad determinada. Implica entre otras, reunir, agrupar, listar, seriar. Clasificar. Disponer un conjunto de datos por categorías. Representar. Acción que implica, simular, modelar, dibujar, reproducir. Memorizar. Proceso de codificación y almacenamiento de datos, hecho que supone entre otras, retener, conservar, archivar, evocar, recordar.

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Interpretar. Hace referencia a: razonar, argumentar, deducir, explicar, anticipar.

Evaluar. Valorar un producto, frente a unos objetivos y un proceso. Habilidad que implica, entre otras, examinar, criticar, estimar, juzgar.

1.11. Procesamiento de la información El sistema de almacenamiento de la información en la memoria tiene dos niveles: memoria de trabajo (también llamada memoria a corto plazo, MCP) y memoria a largo plazo (MLP) (Atkinson & Shiffrin, 1968, Atkinson & Shiffrin, 1971). Cuando un estímulo se percibe por cualquier tipo de canal, la información se transfiere a la memoria de trabajo, ésta puede guardar una cantidad de información limitada por un período de tiempo corto; sin embargo, si la nueva información se relaciona con el conocimiento previo en la memoria a largo plazo, ésta puede ser asimilada en dicha memoria (MLP). El proceso de aprendizaje implica la integración de los nuevos elementos en la memoria a largo plazo de manera significativa. Mientras la memoria a corto plazo posee las funciones de retener en forma temporal la información recibida y realizar un proceso de repetición de información durante la realización de una tarea, la memoria a largo plazo se considera como un almacén organizado y permanente de conocimientos. Para codificar nueva información, el agente que está aprendiendo, conduce el registro sensorial a la memoria de trabajo; luego, activa el conocimiento previo que está en su memoria de largo plazo, para que se relacione con la nueva información y de esta forma, construye conexiones que generan un nuevo conocimiento para comenzar con el proceso de solución de una situación problemática. En otros términos, integra y recupera la información en la MLP para encontrar la estrategia más eficaz y eficiente de solución (Schunk, 1991). En esta dimensión, los psicólogos cognoscitivos han identificado tres tipos de conocimiento: conocimiento declarativo, procedimental y condicional. Cada tipo de conocimiento requiere una función diferente del sistema de memoria. Así, el conocimiento declarativo trata del "saber que" e implica el conocer información en general; el conocimiento procedimental hace referencia al "saber" y se relaciona con procedimientos, reglas, y principios y, el conocimiento condicional, está ligado al "saber cuándo y porqué" e implica la toma de decisión para seleccionar y utilizar procedimientos, reglas y principios específicos.

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Las estrategias cognoscitivas se pueden referir como conocimiento declarativo y procedimental (Rubio, 2000); pues articulan la información en memoria de largo plazo para la resolución de una situación problemática. Las estrategias metacognoscitivas, por otra parte, hacen que el conocimiento condicional funcione como "control" en el uso de estrategias de aprendizaje. Los sujetos, al estar atentos a sus procesos de almacenamiento y recuperación de información, aplican estrategias de forma autónoma, para procesar información con éxito y así, afinan estrategias fuertes en la solución de problemas.

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22 GEOMETRIA DINÁMICA

A nivel general, se plantean algunos conceptos básicos sobre geometría, tendientes a la elaboración y diseño de la pieza de software, como ambiente computacional para la experimentación, teniendo en cuenta diferentes niveles de complejidad, dados en términos de las variables inmersas en lo referente a traslación, rotación, homotecia y movimiento plano de figuras geométricas básicas respecto a un plano. La geometría apareció como ciencia hace miles de años y desde entonces ha sido fundamental para el desarrollo de todas las civilizaciones. En la antigüedad, los egipcios tenían dominio de conocimiento en geometría, como lo demuestra la construcción de las pirámides y los gravados contenidos en ellas. Por otro lado, los griegos como Tales o Pitágoras, aportaron a la geometría teoremas sobre las proporciones de triángulos y rectas entre otras. La geometría, como parte de las matemáticas, trata de las propiedades, medidas y relaciones entre elementos lineales, planos y espaciales. La geometría estudia las propiedades de las figuras, independientemente de su posición en el plano y en el espacio. Ésta es fundamental para la construcción de edificios, medios de transporte o para calcular con precisión y exactitud la órbita que sigue un planeta; así como para establecer orientaciones y posiciones con respecto a puntos de referencia especiales. 2.1. La geometría en la antigüedad Desde la antigüedad las civilizaciones se han preocupado por realizar mediciones de longitudes, ayudados de la construcción de artefactos de relativa sencillez o apoyados de la creatividad y de la utilización de los recursos que tenían a su disposición en su entorno. El sabio griego Falos, en el siglo VI a.c. realizó la medición de la altura de las pirámides de Egipto, aprovechando la sombra de las

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pirámides y la él. Para esto, Falos eligió el día en que la proyección de su sombra era igual a su estatura, deduciendo de ahí que en ese mismo momento, la altura de la pirámide debía ser igual a la de su sombra. Para llegar a este grado de conocimiento, se deben conocer algunas características geométricas de los triángulos. En este sentido Falos, fue el primero que enunció los siguientes principios: 1. Los ángulos sobre la base de un triángulo isósceles, son iguales, e inversamente, los lados, opuestos a los ángulos iguales del triángulo isósceles, son iguales. 2. La suma de los ángulos de cualquier triángulo (el triángulo rectángulo es un caso particular), es igual a dos ángulos rectos. Falos utilizó la relación de triángulos para determinar la altura de los objetos de gran tamaño (ver figura 26).

bcBC

abAB

=

Esto se deduce de la semejanza geométrica de los triángulos ABC y abc .

Figura 26. Medición de la altura de un árbol por su sombra (Tomado de Natalía A. & Otros. www.geometriarecreativa)

Por otro lado, Julio Verne en su novela, “La Isla misteriosa” describe la forma de medir objetos altos. Se transcribe el fragmento correspondiente: –Hoy vamos a medir la altura de una plazoleta de la Vista Lejana, –dijo el ingeniero. – ¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert. –No hace falta. Lo haremos de otra

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manera, más fácil y más segura. El joven, aplicadamente sigue detrás bajándose desde el muro hasta la orilla. Cogiendo una pértiga de 12 pies de longitud, el ingeniero lo hizo exacto, comprobándolo con su estatura, la cual sabía muy bien. Gebert le trajo una plomada, dada por el ingeniero; fue una piedra atada al extremo de una cuerda. Acercándose 500 pies al muro granítico y vertical, el ingeniero clavó la pértiga, verticalmente con la ayuda de la plomada, en la arena. Un poco después se alejó tanto de la pértiga, que tumbándose pudo ver el extremo de la pértiga y la cresta de montaña sobre una línea recta (ver figura 27). Este punto lo marcó con un palito. –¿Tienes algunas nociones geométricas?–preguntó a Gebert. –Sí. –¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes? – Sus lados análogos son proporcionales. –Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. El cateto del pequeño sea la pértiga, el otro cateto, sea la distancia desde el palillo hasta el pie de la pértiga; la hipotenusa, es la línea de mi vista. En el triángulo mayor los catetos son la muralla, la altura que queremos medir, y la distancia desde el palillo hasta el pie de la muralla; hipotenusa es la línea de mi vista, uniéndose con la hipotenusa del triángulo menor. –¡He entendido! – exclamó el joven. El trayecto del palillo hasta la pértiga corresponde así al trayecto desde el palillo hasta el pie de la muralla, como la altura de la pértiga a la altura de la muralla. –Exactamente. Sigamos, si medimos las dos distancias primeras, y sabiendo la altura de la pértiga, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es la altura de la muralla.

Figura 27. Cómo encontraban la altura de una escala los personajes de Julio Verne. (Tomado de Natalía A. & Otros. www.geometriarecreativa)

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Otro ejemplo, de la aplicación de la geometría, la podemos observar, en la medición de la velocidad de la corriente de un río. La medición se realiza con dos personas; una con un reloj y otra con una boya o una botella bien sellada. Se elige el trozo de río rectilíneo y se colocan, a lo largo de este tramo, dos mojones o puntos de referencia A y B a una distancia de diez (10) metros (ver figura 28). Sobre las líneas, perpendiculares al AB, colocan otros mojones que serán los C y D. Uno de los observadores, con el reloj se ubica detrás del mojón D. El otro, con la boya o botella sellada, va hacia arriba del mojón A, tira la boya al agua y se pone detrás del mojón C de inmediato. Ambos observan a lo largo de los sentidos CA y DB sobre la superficie del agua. En el momento en que la boya está cruzando sobre la prolongación de la línea CA, el primer observador levanta la mano. Con esta señal, el otro observador empieza a cronometrar el tiempo y detiene la medición cuando la boya cruza la línea de referencia DB. Vamos a tener como ejemplo, que la diferencia de tiempo fue de 20 segundos, entonces la velocidad de corriente del río se calcularía de la siguiente forma:

10 / 20 = 0,5 metros / segundo.

Figura 28. Medición de la velocidad de la corriente de un río (Tomado de Natalía A. & Otros. www.geometriarecreativa)

Es preferible, en estos casos, realizar varias mediciones, tirando la boya en puntos diferentes de la superficie del río. Luego se suman las velocidades y se divide en la cantidad de medidas realizadas. Esto determina la velocidad media que lleva la superficie del río. Se debe observar, que las capas más profundas corren más despacio y

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que la velocidad mediana de todo el torrente es equivalente a 4/5 de la velocidad superficial, en nuestro caso, sería: 0,4metros / segundo. La geometría también se preocupó por encontrar el valor del número pi (π), pues no era igual entre los egipcios y los romanos; los primeros afirmaban que el perímetro de la circunferencia era mas largo que su diámetro en 3,16 veces, mientras que los romanos en 3,12. La proporción correcta es 3,14159..... Los matemáticos egipcios y romanos determinaron la proporción de la longitud sobre su radio, no de un modo geométrico, sino empíricamente. Lo anterior por la dificultad de no contar con instrumentos de medición precisos, en este sentido, el valor de pi, oscilaba entre 313/ 101 y 315 / 99, es decir, en fracciones decimales entre 3,09 y 3,18. En el mundo antiguo, no conocían con exactitud y precisión la longitud de la circunferencia, tomando como dato de entrada el diámetro. Sólo hasta que el genio Arquímedes encontró que el valor de π = 3 1/7, sin ningún tipo de validación experimental, sino a partir de la reflexión. En álgebra, un matemático árabe llamado Magamed –ben –Musa, estableció que la mejor manera de calcular la longitud de una circunferencia era multiplicar su diámetro por 3 1/7. Un matemático del siglo XVI, Ludolf de Leuden, determinó el valor del número pi con 35 decimales y su deseo fue grabarlo sobre su lápida cuando falleciera (ver figura 29). Este número es el siguiente:

3,14159265358979323846264338327950288… Por otro lado, Shenx, en 1873 obtuvo un valor para el número pi, el cual, después de la coma iba en 707 decimales. En 1946 –1947, Ferguson y Wrench, de las universidades de Manchester y Washintong, respectivamente, calcularon 808 decimales para el número pi, quienes encontraron errores en los cálculos de Shenx a partir del decimal 528.

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Figura 29. Grabación matemática encima de la lápida. (Tomado de Natalía A. & Otros. www.geometriarecreativa)

En esta parte del documento, se trata sobre las relaciones, que existen entre las diferentes posiciones, que pueden tomar las figuras geométricas básicas, dependiendo del tipo de movimiento y de la trayectoria que éstas puedan tener en un plano. 2.2. Traslación El movimiento de traslación se presenta en el plano, cuando cualquier línea recta de una figura geométrica permanece en la misma dirección, durante el movimiento de ésta. Se puede evidenciar que en una traslación, todas las partículas que forman la figura geométrica se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, es una traslación rectilínea; si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea (ver figura 30). Vale la pena aclarar, que las figuras Geométricas, siempre tienen la misma posición durante el movimiento, es decir, no tienen ningún tipo de rotación.

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Figura 30. Traslación rectilínea y curvilínea

2.3. Posición de una figura geométrica Las localizaciones de los puntos A y B en la figura geométrica se definen a partir del marco de referencia fijo x,y,z, usando vectores de posición y . El sistema coordenado en traslación x´,y´,z´ esta fijo en el cuerpo y tiene su origen localizado en A (punto base). La posición de B con respecto de A se denota mediante el vector de posición relativa . La suma vectorial en la figura se relaciona mediante la ecuación que a continuación se transcribe (ver figura 31):

Ar Br

ABr /

ABAB rrr /+=

Figura 31. Vectores de posición en un movimiento de traslación

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2.4. Rotación Uno de los tipos más sencillos, de movimiento plano de figuras geométricas, es la rotación alrededor de un eje fijo. En este movimiento, las partículas que forman las figuras geométricas, se mueven en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje de rotación (ver figura 32). La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo, la figura plana mostrada en la figura 33ª, está en traslación curvilínea, con todas sus partículas en movimiento, a lo largo de cada uno de los círculos paralelos; mientras que la figura plana, mostrada en la figura 33b, está en rotación, con todas las partículas en movimiento, a lo largo de círculos concéntricos. En el primer caso, cualquier línea recta, trazada sobre la figura, permanecerá en la misma dirección, mientras que en el segundo caso, el punto O permanece fijo.

Figura 32. Movimiento de rotación

Figura 33. Traslación curvilínea y rotación.

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Considérese una figura geométrica irregular, que gira con respecto a un punto fijo AA´, sea P un punto de la figura y r su vector de posición, con respecto al sistema de referencia fijo, centrado en el punto O y sobre AA´ y a su vez, el eje z coincide con AA´(ver figura 33). Sea B la proyección del punto P sobre AA´, B describirá un círculo de centro en B y de radio φrsen , donde φ representa el ángulo formado por r y AA´.

Figura 33. Rotación con respecto a un eje.

La posición de P y de todo el cuerpo, está definida completamente por el ángulo θ que forma la línea BP con el plano zx. El ángulo θ es conocido como la coordenada angular de la figura. La coordenada angular, se define positiva, cuando va en sentido contrario a las manecillas del reloj, vista desde A; se expresa en radianes (rad) y ocasionalmente, también en grados (°) o revoluciones (rev). De la gráfica se observa que la longitud del arco descrito por P cuando gira un

s∆θ∆ es:

θφθ ∆=∆=∆ )()( rsenBPs 2.5. Movimiento plano

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Es un tipo de movimiento en el plano, que no es ni una rotación, ni una traslación y se le llama movimiento plano en general. Este tipo de movimiento se evidencia, cuando una figura geométrica

experimenta una combinación de una traslación y una rotación. La traslación se da dentro de un plano de referencia y la rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia. Un ejemplo de movimiento plano se da en la figura 34, que representa a la figura geométrica rectangular, cuyas extremidades se deslizan a lo largo de una vía vertical y una horizontal. Este movimiento puede sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una rotación respecto de A; o por una traslación en una dirección vertical y una rotación con respecto a B.

Figura 34. Movimiento plano de objetos

En general, considerando un pequeño desplazamiento que trae dos partículas, A y B, de una figura geométrica plana, que se representa en la gráfica como A1 y B1 hasta A2 y B2 (figura 35); el desplazamiento puede dividirse en dos partes: una en el que las partículas se mueven hasta A2 y B1´, mientras que la línea AB mantiene la misma dirección y, otro en el que B se mueve hasta B2 mientras A permanece fija. La primera parte del movimiento, es una traslación y la segunda parte es una rotación, con respecto a A.

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Figura 35. La traslación y la rotación en el movimiento plano 2.6. Homotecia Es una transformación en el plano, que conserva la forma de las figuras (sus ángulos), pero no las distancias. Es de aclarar, que la homotecia no es un movimiento de las figuras en el plano. Una homotecia de centro O y razón r, es aquella que al aplicarla sobre un punto P, se obtiene otro punto P´, que satisface:

P´ se encuentra sobre la proyección de la recta OP. La distancia de P´ a O es r –veces la longitud del segmento

OP (ver figura 36).

Figura 36. El centro y la relación en una homotecia.

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OP´ = r * OP

Cuando la razón r<1, el punto P' queda situado entre O y P, es decir, las dimensiones de la figura geométrica disminuyen; en consecuencia, la homotecia depende de dos variables de entrada, es decir, el centro O y la razón r.

La homotecia se construye, tomando como punto de referencia, el punto O que corresponde al centro y trazando líneas de proyección, desde el punto O hacia cada uno de los vértices de la figura geométrica (ver figura 37).

Figura 37. Líneas de proyección

El centro de la homotecia puede quedar, dentro o fuera de la figura geométrica, dependiendo de la ampliación o reducción que se quiera lograr, a partir de dicho centro de referencia.

Una de las aplicaciones de las homotecias, es el cálculo de distancias, a partir de unos datos conocidos. Por ejemplo, para calcular la profundidad de un pozo, se dispone de un aparato sencillo como el que se muestra en la figura 38. Los triángulos ABC y AB’C’ son homotécicos, en consecuencia, es igual la razón entre lados homólogos.

Como los lados AB, BC y B’C’ son fáciles de medir, podemos despejar la longitud AB’. Sólo hay que restarle la altura del aparato para conocer la profundidad del pozo.

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Figura 38. Aplicación de la homotecia

En la figura 39 se muestra una homotecia (de razón r= 3) de un rectángulo (A,B,C,D) de lados 2 y 3 centímetros respectivamente y con centro O.

Figura 39. Líneas de proyección para un rectángulo

El movimiento en el plano, de figuras geométricas, son transformaciones, que dejan invariantes las distancias entre los puntos.

En la figura 40, de muestran otras posibles relaciones, en el movimiento de figuras geométricas, tales como la simetría central y axial.

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CONSTRUCCIÓN CON "REGLA Y

COMPÁS". IMAGEN DE UNA

FIGURA

Simetría axial

Simetría central

Traslación

Rotación

Figura 40. Movimientos de figuras geométricas.

2.7. El Tangram En el diseño del ambiente computacional, se optó por representar el modelo del tangram Chino con la posibilidad de simular movimientos en el plano; éste permite variedad en el manejo de variables tales, como: desplazamiento, rotación, aumento o reducción proporcional del tamaño de figuras geométricas básicas y composición de sistemas geométricos. El tangram es un juego que consta de siete figuras geométricas o piezas simples: un cuadrado, cinco triángulos rectángulos (dos grandes, dos pequeños y uno mediano) y un romboide (ver figura 41). Con esas siete piezas se pueden construir numerosas siluetas identificables, que representan animales, objetos, personas y signos entre otros.

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Figura 41. Componentes del tangram

Históricamente no existe evidencia para determinar con seguridad quien inventó el juego, ni en qué periodo apareció. Las primeras publicaciones de la cultura china en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época en la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos", "tabla de sabiduría" o "tabla de sagacidad" haciendo referencia a las habilidades y destrezas que el juego requiere para configurar cualquier polígono irregular con un conjunto de figuras básicas (Elffers & Schuyt, 1999).

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre (www.uv.es/~buso/tangram).

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Personajes como Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena (http://redescolar.ilce.edi.mx).

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En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos (ver figura 42). En el año de 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900 configuraciones posibles. Actualmente se pueden realizar con el tangram alrededor de 16000 figuras distintas como: animales, casas y flores, junto a una escasa representación de formas abstractas. A lo largo del siglo XIX aparecieron diversos libros de tangram chinos, que fueron copiados por las editoriales europeas. A partir de 1818 se publicaron libros de tangram en USA., Inglaterra, Francia, Alemania, Australia e Italia.

Figura 42. Ejemplos de figuras realizadas con el tangram.

En cuanto al número y alusión de las figuras, la mayor parte de las publicaciones occidentales copiaron las configuraciones chinas originales, que ascendían a algunos cientos. Al principio el tangram fue publicado en forma de libro, hacia el año de 1870 se concedía más atención al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el tangram era producido y vendido como un objeto: piezas de marfil, tarjetas con las siluetas y envoltorio en forma de caja.

En 1973, los diseñadores Holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición en rústica con 750 figuras nuevas, alcanzando así un total de más de 1600. La edición de 1973 ha vendido hasta la fecha más de un millón de ejemplares en todo el mundo (http://tangram.ca).

En la actualidad, el tangram además de entretenimiento se usa para el desarrollo de habilidades en la construcción de una variedad de figuras y formas geométricas. De la misma forma se utiliza en psicología, diseño, filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el tangram es empleado para

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introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños. Éste permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas. Además, se pueden plantear muchas más actividades relacionadas con ángulos, distancias, proporcionalidad, semejanza, movimientos, relaciones espaciales y estrategias para resolver problemas (Stewart, 1991).

En la lógica del tangram tradicional conformado por siete elementos, existe un conjunto de juegos basados en los mismos principios, pero con distinto número de piezas. Generalmente a este tipo de rompecabezas se les conoce con el mismo nombre. A continuación se muestran algunos de los más populares en el mercado (www.arrakis.es):

Tangram de ocho piezas: La figura geométrica de base es un triangulo isósceles, el cual esta compuesto por diferentes polígonos irregulares (ver figura 43).

Figura 43. Tangram de ocho piezas.

Tangram de cinco piezas: Este rompecabezas divide un cuadrado en cinco figuras básicas (cuatro triángulos y un paralelogramo), con los cuales se pueden representar diferentes siluetas (Figura 44).

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Figura 44. Tangram de cinco piezas.

Tangram de Fletcher: Este juego esta compuesto por siete

figuras geométricas (ver figura 45), las cuales se obtienen a partir de un cuadrado. El número de figuras es igual al tangram chino, pero posee otras figuras básicas (dos cuadrados, cuatro triángulos y un paralelogramo).

Figura 45. Tangram de Fletcher.

Tangram ruso: Este rompecabezas tiene 12 piezas; sus componentes tienen como figura base un rectángulo, cuyo ancho es el doble del alto (ver figura 46).

Figura 46. Tangram ruso.

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33 MODELO DE LA INVESTIGACIÓN

El modelo para llevar a cabo la investigación, es un planteamiento que busca abordar los aspectos cognitivos de los agentes, en la solución de problemas de geometría dinámica, con diferentes niveles de complejidad; dada ésta, en términos del número de variables (Morin, 2003), las cuales se articulan entre sí, para dar solución a una situación problemática planteada. El escenario computacional, posee una serie de figuras geométricas planas básicas, con diferentes posibilidades de movimiento y combinaciones para construir sistemas geométricos más complejos en el plano (Connor & Mcdermott, 2000). La investigación toma como referencia los planteamientos de Simon (1996), quien propone para el estudio de los sistemas complejos, las relaciones de jerarquía de los diferentes niveles (subsistemas), con base en las interacciones que se desprenden de éstos. Los estudios referentes a la caracterización de la complejidad, toman como base la cantidad de información presente en las representaciones, proponiendo modelos de aprendizaje progresivo (paso a paso), para la solución de problemas con mayor grado de complejidad. Los resultados obtenidos por Cheng (2002), en cuanto a los sistemas de representación compleja, por medio de gráficos para la comprensión, análisis y solución de problemas y los planteamientos de Jong, Ainsworth, Dobson & otros (1998), permitirán identificar e implementar estrategias fuertes, en la solución de problemas de geometría dinámica en el plano, de acuerdo con diferentes niveles de complejidad, en función de abordar de manera multidimensional los problemas. La solución de problemas de geometría dinámica en el plano, articulada con diferentes niveles de complejidad, se lleva a cabo, cuando el agente identifica el número de dimensiones (variables), necesarias para manipular las figuras geométricas, tomando como

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datos de entrada: un sistema de referencia, una serie de figuras simples con la localización del centroide, iconos con diferentes posibilidades de movimiento y un estado meta. Esta forma de identificar la información le permite al agente determinar, sí se trata de un sistema geométrico simple o complejo, dada en términos de las interacciones de las variables y de las relaciones de jerarquía en la construcción de figuras geométricas irregulares (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000). La forma de identificar el número de variables necesarias, para dar solución a una situación problemática de geometría dinámica, permite establecer en el ambiente de aprendizaje, basado en computador, varios niveles de complejidad:

Nivel 1 A este nivel de complejidad le corresponde el cambio de tamaño. Esto se explica, con el establecimiento de la relación de escala R para aumentar o disminuir, proporcionalmente, esta dimensión de las figuras geométricas planas. El agente identifica la variable R que puede manipular, para llegar al estado meta de una situación problemática. En esta condición, el manejo de la información, para resolver el problema es simple considerando el número de dimensiones que involucra y se puede categorizar como un sistema de baja complejidad.

RELACION R>1 Aumenta R<1 Disminuye

Tabla 1. Relación de escala R para el tamaño de la figura.

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Figura 47. Relación de escala R para aumentar o disminuir proporcionalmente el tamaño de las figuras geométricas planas

Nivel 2

A este nivel de complejidad, le corresponde la combinación de la traslación, más el tamaño de las figuras geométricas en el plano. El proceso consiste, en permitir el desplazamiento horizontal (derecha o izquierda) y vertical (arriba o abajo), con base en el sistema de referencia y el centroide de la imagen, así como la relación de escala R para aumentar o disminuir proporcionalmente el tamaño de las figuras. En un sistema de coordenadas X, Y se pueden ejecutar desplazamientos, de la forma como aparece en la tabla 2.

DESPLAZAMIENTOS Horizontal -X +X

vertical -Y +Y Tabla 2. Variables en el movimiento de traslación

En este nivel de complejidad, el agente puede manipular una, dos o tres variables para llegar al estado meta a través de un desplazamiento horizontal, uno vertical o viceversa y luego el tamaño. La solución del problema, también se puede lograr con un solo desplazamiento, en cualquiera de las dos direcciones (X,Y) más el cambio de tamaño, dependiendo de la situación problemática planteada. En esta condición el manejo de la información (variables) para resolver el problema, igual que el nivel 1 es relativamente sencillo y se puede categorizar como un sistema de baja complejidad.

Figura 48. Desplazamientos en X,Y más tamaño de las

figuras geométricas planas

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Nivel 3 A este nivel de complejidad le corresponde el movimiento plano, que es una combinación del movimiento de traslación y rotación de las figuras planas. En esta situación, el agente opera cognitivamente y puede realizar primero, el desplazamiento y posteriormente, la rotación o viceversa; dependiendo de los datos de entrada y del estado meta. En consecuencia, el sujeto puede manipular desplazamientos en dirección horizontal, vertical y rotaciones, dependiendo del sistema de referencia. En esta etapa se construye un nivel cognitivo más estructurado, pues articula varias dimensiones para solucionar el problema (Meg Brooks & Krishnan A., 1999). La rotación de las figuras geométricas puede ser en sentido horario (positivo) ó antihorario (negativo). La ubicación de la figura puede estar en el origen del sistema de referencia (r=0) ó alejado de éste (r>0).

ROTACIÓN Radio r=0, r>0 Angulo (+), (-)

Tabla 3. Variables en el movimiento de rotación.

Figura 49. Movimiento de rotación de las figuras geométricas planas

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MOVIMIENTO PLANO Traslación Horizontal (-X, +X) Vertical (-Y,+Y) Rotación r=0,r>0,Angulo (+) r=0,r>0,Angulo (-)

Tabla 4. Variables en el movimiento plano.

Figura 50. Combinación de rotación y traslación

de las figuras geométricas planas

Nivel 4 En este nivel, el estado de complejidad está determinado por la combinación de los tres primeros niveles; es decir, se articula el tamaño, traslación y rotación en la solución de problemas de geometría dinámica en el plano. En esta situación, el agente relaciona un número mayor de variables y opera en un plano cognitivo de mayor complejidad con respecto a los anteriores, pues tiene que abordar de manera multidimensional el problema (Meg Brooks & Krishnan, 1999), en el sentido de la representación gráfica compleja (Cheng, 2002), para ir del estado inicial al estado meta. En este nivel, el sujeto articula relaciones de escala (R) para aumentar o disminuir el tamaño de la figura, realiza desplazamientos horizontales y verticales, o de rotación en sentido horario o antihorario. En estas condiciones, el sistema es más complejo al tener un número mayor de estados (Kolen J. & Pollack J., 1993). Las variables implicadas se muestran en la tabla 5.

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MOVIMIENTO COMPLEJO

Traslación Horizontal (-X, +X) Vertical (-Y,+Y) Rotación r=0,r>0,Angulo (+) r=0,r>0,Angulo (-

) Tamaño R > 1 R < 1

Tabla 5. Variables en el movimiento complejo.

Figura 51. Combinación de rotación, traslación y tamaño de las figuras

geométricas planas

Nivel 5 Este estado de complejidad, se basa en la construcción de sistemas geométricos planos, con dos o más componentes de la misma naturaleza. Es decir, se construye una figura geométrica irregular (sistema), a partir del uso de componentes (subsistemas) de la misma forma geométrica simple (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000). Para la construcción del sistema, cada uno de los componentes puede combinar los tres primeros niveles; es decir, se combina el tamaño con la traslación y la rotación. El agente relaciona un número mayor de variables y, en términos de la solución del problema, resulta de mayor complejidad. Debido a la cantidad de información necesaria para resolver el problema, éste contiene un número mayor de variables, con respecto a los anteriores niveles (Jong, Ainsworth, Dobson & otros, 1998).

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SISTEMA COMPLEJO 1 Traslación Horizontal (-X, +X) Vertical (-Y,+Y) Rotación r=0,r>0,Angulo (+) r=0,r>0,Angulo (-) Tamaño R > 1 R < 1

Condición 1. Construir un sistema a partir de figuras geométricas simples.

2. No superponer ninguna figura simple

Tabla 6. Variables implicadas para construir el sistema complejo 1 En este nivel de complejidad, el sujeto puede configurar el sistema geométrico con base en el plano de referencia y los diferentes movimientos que se pueden efectuar con las figuras geométricas (una por una). El estado meta, constituye un sistema de representación compleja (Cheng, 2002), debido a que se esquematiza la silueta de una polígono irregular. La condición para la construcción del sistema geométrico, está dada, por la no superposición de las figuras simples; es decir, cada uno de los componentes debe encajar en el lugar que le corresponde.

Figura 52. Construcción de un sistema geométrico con base en figuras

simples

Nivel 6 Este último estado de complejidad se basa en la construcción de sistemas geométricos planos con dos o más componentes de diferente naturaleza; es decir, se hace otra figura geométrica irregular, a partir de la selección de diferentes figuras simples

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(componentes), (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000). Para la construcción del sistema, cada uno de los componentes puede combinar los tres primeros niveles. El estado meta, se constituye en una representación gráfica compleja (Cheng, 2002). La condición para la construcción del sistema geométrico, es igual que en el nivel anterior; es decir, no se pueden superponer las figuras simples. Cada uno de los componentes, debe tener los movimientos precisos, para encajar dentro de la silueta. En este sentido, la cantidad de información, contenida en la representación del estado meta, es de mayor complejidad (Jong, Ainsworth, Dobson, & otros, 1998). En este nivel de complejidad, se requiere que el agente manipule e integre un número mayor de variables, para llegar al estado meta, generándose de hecho, un número mayor de estados intermedios (Kolen & Pollack, 1993).

SISTEMA COMPLEJO 2 Traslación Horizontal (-X, +X) Vertical (-Y,+Y) Rotación r=0,r>0,Angulo (+) r=0,r>0,Angulo (-) Tamaño R > 1 R < 1

Condición 1. Construir sistema combinando tres formas geométricas simples

2. No superponer ningún tipo de figura simple

Tabla 7. Variables implicadas para construir el sistema complejo 2

Figura 53. Construcción de un sistema complejo con base en la

combinación de diferentes figuras básicas

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Con base en la descripción de los diferentes niveles de complejidad, ya definidos, se plantea un modelo para la investigación (ver figura 54), que articula la solución de problemas de geometría dinámica, con varios niveles de complejidad. El ambiente de la tarea y el espacio del problema, se constituyen en una metodología estructurada, que le permite a los agentes implementar estrategias fuertes, en la resolución de problemas. Estas estrategias, implican desplazamientos de figuras geométricas planas y la construcción de sistemas geométricos irregulares, a partir de componentes simples. El modelo está constituido por las siguientes partes:

Ambiente de la tarea Se fundamenta en los planteamientos de Newell & Simón (1972), se forma a partir de un escenario computarizado, en el que se indican diferentes posibilidades de movimientos en el plano, asociados con un sistema de referencia, establecido para solucionar problemas de geometría dinámica. En este escenario, el agente natural identifica la situación problemática, definida en términos de la construcción de sistemas geométricos irregulares, a partir de los siguientes elementos: selección y movimiento de figuras geométricas básicas (rectángulo, cuadrado, triangulo y media circunferencia entre otros), posibilidades de movimiento en el plano, sistema de referencia y condiciones para la configuración de sistemas geométricos complejos (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000). Por otro lado, se plantea un objetivo (estado meta), definido en términos de eficiencia y eficacia (Maldonado & otros, 1999), referidos al tiempo y número de eventos necesarios para llegar al estado final, donde el agente hace uso de su MCP y MLP, identificando las figuras geométricas básicas, con sus respectivos centroides, para su manipulación, con respecto al sistema coordenado. El ambiente, posee un sistema de ayuda, sobre los conceptos de movimientos que se pueden ejecutar en el escenario (tamaño, rotación, traslación, etc.), esenciales en la construcción de sistemas geométricos de mayor nivel de complejidad (Connor & Mcdermott, 2000; Morin, 2003). También provee las condiciones que se han de tener en cuenta, para la construcción de polígonos irregulares, a partir de las combinaciones de figuras básicas. De la misma forma, el ambiente computarizado presenta al agente diferentes niveles de complejidad progresiva (nivel 1 hasta el nivel 6). Este entorno incluye sistemas de representación compleja (Cheng,

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2002) para la construcción de polígonos irregulares (siluetas), los cuales se obtienen a partir de las posibles combinaciones, de las figuras geométricas básicas, que configuran sistemas geométricos más complejos (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000).

Espacio del problema Esta definido a partir de la representación mental, que el agente se hace del problema y el conjunto de estrategias de movimientos que utiliza y que va actualizando permanentemente, a medida que avanza en la solución de los problemas planteados, con diferentes niveles de complejidad. El espacio del problema se relaciona estrechamente, con el desarrollo de las etapas de cada nivel, que presenta el ambiente de aprendizaje. Desde esta perspectiva de conjunto, el proceso comprende los pasos que realiza el agente, desde que inicia la solución en el primer nivel de complejidad hasta que termina el último nivel. En el espacio del problema, se analizan las siguientes fases, relacionadas con el proceso de solución del problema:

a. Conjunto de variables. Son afines con los niveles de complejidad, en términos de los movimientos, que pueden realizar las figuras geométricas básicas en el plano y las posibles combinaciones de éstas (triángulo, rectángulo, paralelogramo y cuadrado), para llegar a la construcción de sistemas geométricos complejos. A medida que el agente avanza en la solución del problema, adiciona información a su base de conocimiento, con el objeto de manipular, operar y validar, a nivel cognitivo, el proceso que sigue en la solución del problema. La información que adicionan las variables, se configura en un nuevo estado del problema. La representación interna que el sujeto se hace del problema, le permite planear anticipadamente, las posibles acciones de movimiento, para usar eficientemente los conocimientos almacenados en la memoria de corto plazo (MCP) y en la memoria de largo plazo (MLP); esto le permite determinar claramente los movimientos que le son permitidos en cada nivel de complejidad, desde el estado inicial hasta el estado final. En esta etapa, el agente va construyendo un nivel cognitivo más estructurado. Esto se evidencia cuando articula varias dimensiones para solucionar el problema (Brooks &

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Krishnan, 1999). El ambiente permite al usuario visualizar, planear y evaluar diversas alternativas de solución, situación que va evolucionado en el tiempo.

b. Proceso de selección. El agente al observar el estado meta,

selecciona la figura geométrica básica, que le permitirá a través del sistema de referencia y del centroide de la figura, realizar los respectivos movimientos en el plano. Con esta situación, el agente tiene una visión clara del espacio disponible, donde puede decodificar, interpretar, analizar y prever cómo debe realizar las rotaciones, desplazamientos lineales y tamaño en la composición y representación de sistemas geométricos complejos (Simon, 1996; Connor & Mcdermott, 2000; Cheng, 2002), a partir de un conjunto de figuras geométricas simples.

c. Estrategia de movimiento. Después de seleccionar la figura

geométrica básica y con base en el sistema de referencia y el estado meta, el agente opera cognitivamente, en función de evaluar las posibles rutas a seguir en la solución del problema. Este proceso consiste, en elegir la ruta que considere óptima para alcanzar la meta, ponerla a prueba y evaluar sus resultados. El proceso se repite con cada uno de los niveles de complejidad. Bajo estas condiciones, el sistema es más complejo, al presentar un mayor número de estados intermedios, para llegar al estado meta (Kolen & Pollack, 1993). El escenario computarizado, le permite al agente, tener completo control sobre éste y la retroalimentación se da a través de canales visuales (interfase), en la medida en que él se acerca al estado final.

d. Sistema geométrico. Cuando se trata de construir sistemas

geométricos, a partir de la combinación de figuras geométricas básicas, de la misma o diferente naturaleza, el agente selecciona una a una las figuras y, a través de los diferentes movimientos, va configurando el estado meta (polígono irregular), poniendo en evidencia preferencias en términos de estrategias y del orden de acoplamiento de los diferentes componentes (Simon, 1996, Connor & Mcdermott, 2000). En este contexto, el agente no sólo razona bajo cierta evidencia objetiva, sino que también, lo hace basado en las inferencias que se desprenden de los estados intermedios (Kolen & Pollack, 1993). En los sistemas de mayor

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complejidad, la cantidad de información, necesaria para resolver la situación problemática, aumenta significativamente (Jong, Ainsworth, Dobson & otros, 1998), y de hecho, la base de conocimiento del agente se incrementa.

e. Estado meta. Estado que representa la síntesis del manejo

de toda la información, utilizando como criterio de terminación del problema, la ubicación precisa de la(s) figura(s) geométrica(s), en el lugar indicado. En la configuración de los sistemas geométricos complejos, el criterio de terminación, se constituye en la ubicación precisa de cada uno de los componentes, sin ningún tipo de superposición de las figuras geométricas simples. La definición del estado final del problema (Goel & Pirolli, 1992), se da cuando la figura geométrica inicial, es igual en posición y tamaño al estado meta.

La transición de estados permite a los agentes llegar a la solución del problema. Esta forma identifica una metodología estructurada y controlada, donde la adición, verificación y evaluación de la información aumenta la base de conocimiento de los sujetos. El proceso conduce a los sujetos a ser más eficaces y eficientes a la hora de solucionar problemas de geometría dinámica simple o compleja. Este tipo de problemas está dado en términos del número de variables y figuras necesarias para la construcción de sistemas geométricos irregulares a partir de formas básicas.

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Figura 54. Modelo representativo de la investigación.

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44 DISEÑO INVESTIGATIVO

4.1. Problema de Investigación

El trabajo está centrado en el desarrollo de ambientes de aprendizaje basados en computador. La función de estos ambientes se relaciona con el estudio y comprensión a nivel cognitivo de las estrategias seguidas por estudiantes, en la solución de problemas matemáticos con diferentes niveles de complejidad. Los niveles de complejidad se presentan, en términos del número de variables involucradas para la solución de un problema; de modo que posibiliten e impulsen el desarrollo e implementación de nuevos modelos pedagógicos para superar dificultades en el proceso de aprendizaje. Investigaciones recientes han mostrado la importancia de la eficacia y la eficiencia en la solución de problemas (Maldonado, Sanabria, Ibáñez, Fonseca, Macias & Ortega, 1999), así como la identificación de estrategias de aprendizaje que pueden ser implementadas en el aula de clase. Su impacto a nivel de habilidades cognitivas y metacognitivas (Maldonado, López, Ibáñez, Sarmiento, 2000), se reflejaría en la búsqueda de alternativas que propicien en los estudiantes el desarrollo de estrategias fuertes en la solución de problemas en al área de matemáticas.

Estudiar y analizar estrategias de aprendizaje, posibilita trazar caminos o rutas acordes a las necesidades pedagógicas de los estudiantes en el acceso al conocimiento. En este orden de ideas, la investigación busca aportarle a la comunidad académica, bases empíricas que orienten, en el aula de clase, el orden de contenidos temáticos en los diferentes niveles de escolaridad.

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El trabajo propuesto en este proyecto, busca aportar a la sociedad del conocimiento nuevos elementos que puedan servir como base para futuras innovaciones pedagógicas e investigaciones educativas en campos de la metacognición, el aprendizaje autónomo y la solución de problemas.

Los anteriores planteamientos llevan a plantear el problema sobre el cual se orienta el presente trabajo de investigación: ¿Existen diferencias, en cuanto a eficiencia y eficacia, en la solución de problemas de geometría dinámica en tres grupos de estudiantes que interactúan en un ambiente computacional configurado en varios niveles de complejidad: el primer grupo, se entrena con niveles de complejidad presentados en forma ascendente, el segundo grupo, es entrenado con niveles presentados en forma descendente, y el último grupo, se entrena con niveles seleccionados libremente?

El proceso de investigación plantea dos hipótesis generales:

H1: No existe diferencia significativa, en cuanto a eficacia y eficiencia en una prueba de retención de conocimientos, entre los estudiantes que fueron entrenados en la resolución de problemas de geometría dinámica, donde varía la secuencia de presentación de niveles de complejidad ascendente, descendente y libre.

H2: Los estudiantes que son entrenados en la solución de problemas de geometría dinámica, en la condición de niveles de complejidad ascendente, son más eficaces y eficientes en etapa de entrenamiento, que los que son entrenados en niveles de complejidad descendente y en selección libre del orden en los niveles de complejidad.

4.2. Objetivos del proyecto

Objetivo General Determinar la incidencia de los niveles de complejidad en la etapa de entrenamiento sobre el aprendizaje, en la solución de problemas de geometría dinámica.

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Objetivos Específicos

• Desarrollar un software en el área de geometría dinámica configurable en varios niveles de dificultad para la solución de problemas.

• Comparar el aprendizaje alcanzado por tres grupos de estudiantes: el primero que es entrenado en la solución de problemas de geometría dinámica, incrementando el nivel de complejidad, el segundo que es entrenado disminuyendo dicho nivel y tercer grupo que soluciona problemas, seleccionando libremente el nivel de complejidad.

• Determinar si el orden, en el grado de dificultad, incide en la generación de estructuras fuertes en la solución de problemas de geometría dinámica.

Con el objeto de dar respuesta a la pregunta de investigación planteada, se diseña un ambiente computacional que incluye problemas de geometría dinámica de diferente nivel de dificultad, en tres versiones:

Problemas presentados con niveles de complejidad de menor a mayor.

Problemas presentados con niveles de complejidad de mayor a menor.

Problemas presentados con niveles de complejidad para ser seleccionados libremente por los estudiantes.

Esta estrategia permite la conformación de tres grupos experimentales:

Grupo A. Sujetos que solucionan problemas de menor a mayor nivel de complejidad.

Grupo B. Sujetos que solucionan problemas de mayor a menor nivel de complejidad.

Grupo C. Sujetos que solucionan problemas seleccionado el nivel de complejidad libremente.

4.3. Variable independiente La variable independiente está constituida por las diferentes condiciones experimentales, es decir, el orden en cuanto al nivel de complejidad en que se solucionan los problemas de geometría dinámica.

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4.4. Variable dependiente Como variables dependientes se toman la eficiencia y la eficacia (Maldonado, Ibáñez, Fonseca, Sanabria, Macias & Ortega, 1999), en la solución de problemas, definidas éstas de la siguiente manera:

Eficiencia: es la relación que existe entre la cantidad de eventos exitosos y el total del tiempo empleado en la solución de un problema.

Eficiencia = Eventos exitosos /Tiempo empleado.

Eficacia: es la relación que existe entre la cantidad de eventos exitosos y el total de eventos realizados en la solución del problema.

Eficacia = Eventos Exitosos / Total de eventos realizados.

En la siguiente tabla se muestra la organización de los grupos de acuerdo con las condiciones experimentales atendiendo las variables dependientes e independientes.

VARIABLE INDEPENDIENTE VARIABLE DEPENDIENTE

EFICACIA PROBLEMAS DE MENOR A MAYOR NIVEL

DE COMPLEJIDAD

PROBLEMAS DE MAYOR A

MENOR NIVEL DE

COMPLEJIDAD

PROBLEMAS DE SELECCIÓN

LIBRE DEL NIVEL DE

COMPLEJIDAD

GRUPO A GRUPO B GRUPO C EFICIENCIA

Tabla 8. Relación entre la variable independiente y dependientes.

4.5. Descripción del Software El software se elaboró en el lenguaje de programación orientado a objetos OpenScript de Toolbook Instructor 2004. En la primera pantalla, la pieza de software, presenta el logotipo institucional y un botón en donde el estudiante debe digitar su código de acceso y

nombre para ser registrados en una base de datos para el posterior análisis de éstos (ver figura 55).

Figura 55. Pantalla de entrada al software.

La figura 56, muestra un escenario relacionado con figuras geométricas, haciendo alusión específica al juego del tangram, el cual tiene como finalidad familiarizar al estudiante con los problemas de geometría dinámica a resolver.

Figura 56. Escenario experimental de bienvenida.

99

La figura 57, muestra a los estudiantes representaciones icónicas, para la interacción con el ambiente de aprendizaje. En esta pantalla se explica al usuario, la forma de activar o desactivar, las diferentes herramientas que debe utilizar, para ubicar diferentes figuras geométricas, básicas en un área de trabajo específica.

Nuevo Juego. Genera un nuevo problema,

Seleccionar figura. Muestra el menú de figuras básicas que pueden ser seleccionadas por el usuario.

Tamaño. Muestra la herramienta que permite modificar el tamaño de la figura geométrica básica.

Traslación. Muestra la herramienta que permite mover una figura geométrica en el plano cartesiano.

Rotar. Muestra la herramienta que permite rotar una figura geométrica dentro del plano cartesiano, bien en sentido horario o antihorario.

Ver Regla Horizontal. Muestra u oculta la regla horizontal.

Ver Regla Vertical. Muestra u oculta la regla Vertical.

Ver Ejes. Muestra u oculta ejes.

E. Inicial. Regresa la figura geométrica básica a las condiciones iniciales del problema.

Eliminar último movimiento. Deshace la última jugada.

Instrucciones. Muestra la pagina de instrucciones.

Figura 57. Instrucciones del manejo del software.

A continuación, se explicará la información que brinda cada uno de los botones (íconos) del software al usuario y la forma de ser utilizados para la solución de los problemas:

100

NNuueevvoo JJuueeggoo

Con el botón Nuevo Juego, el software selecciona una silueta geométrica al azar, de tal forma que el usuario identifique la imagen que hace falta y la ubique en el lugar indicado.

Figura 58. Explicación Botón Nuevo Juego

SSeelleecccciioonnaarr FFiigguurraa

El botón Seleccionar Figura muestra u oculta una paleta de figuras geométricas. Ésta, contiene cinco grupos de figuras, las cuales se encuentran numeradas en la parte superior, para que el usuario seleccione la que desee ubicar. La figura muestra sus diversos componentes.

Figura 59. Explicación Botón Seleccionar Figura

101

TTaammaaññoo

El botón Tamaño permite aumentar o disminuir la dimensión, en forma proporcional, de una figura geométrica básica.

Figura 60. Explicación Botón Tamaño.

TTrraassllaacciióónn Este botón muestra u oculta una paleta, que el usuario puede manipular, para desplazar horizontal (derecha o izquierda), y verticalmente (arriba o abajo), las figuras geométricas. Ésta se puede mover en el área de trabajo.

Figura 61. Explicación Botón Traslación.

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RRoottaarr Este botón muestra u oculta una paleta, que el usuario puede manipular, para permitir rotar en sentido horario (positivo), o antihorario (negativo), las figuras geométricas. Ésta se puede mover en el área de trabajo.

Figura 62. Explicación Botón Rotar.

VVeerr rreeggllaa hhoorriizzoonnttaall,, vveerrttiiccaall

Este botón muestra u oculta una regla vertical u horizontal, en el área de trabajo, como ayuda para el movimiento de las figuras geométricas.

Figura 63. Explicación Botón Ver Reglas.

VVeerr EEjjeess Este botón muestra u oculta un sistema de referencia (ejes), en el área de trabajo, como ayuda para el movimiento de las figuras geométricas. El sistema de referencia es móvil y el usuario lo puede mover, dependiendo del problema a resolver.

Figura 64. Explicación Botón Ver Ejes.

103

EEssttaaddoo IInniicciiaall

Este botón permite regresar la figura geométrica al estado inicia,l después de una serie de movimientos, si el usuario lo desea.

Figura 65. Explicación Botón Estado Inicial.

EElliimmiinnaarr ÚÚllttiimmoo

MMoovviimmiieennttoo Este botón permite eliminar el último movimiento realizado en una figura, si el usuario lo desea en el momento de realizar los desplazamientos, o el cambio del tamaño, de la misma.

Figura 66. Explicación Botón Eliminar Último Movimiento.

La situación problemática planteada a los sujetos, consiste en colocar las imágenes que faltan en el tangram, para completar una silueta que representa diferentes formas (ver figura 67). El software selecciona al azar la silueta de un conjunto de gráficas generadas por el mismo sistema, y a su vez, selecciona nuevamente al azar uno o varios componentes de la silueta, ocultándolo(s), dependiendo del nivel de complejidad en el cual se encuentra el usuario. Cuando el software oculta dos o más componentes de una gráfica, genera un grado de dificultad mayor, ya que el agente tiene que identificar y ubicar la figura geométrica correspondiente, para realizar la composición final.

104

Figura 67. Ejemplo de conjunto de siluetas del software.

El agente debe seleccionar y ubicar la figura colocando una, dos o tres figuras geométricas básicas, dependiendo del nivel de complejidad en el cual se encuentra. Para ello, se debe seleccionar la figura a través de la paleta correspondiente y por medio de movimientos de rotación, traslación o cambio de tamaño, ubicarla en el sitio correspondiente mediante el uso de las herramientas adecuadas (ver figura 68).

Figura 68. Ambiente de la tarea, compuesto por: 1). Figura geométrica, 2). Figura compuesta por tres componentes, 3). Paleta de

rotación, 4). Ejes y 5). Regla vertical y horizontal.

105

Para la solución del problema, el usuario pude utilizar herramientas como los ejes, que se muestran u ocultan, cuando él mismo lo requiera. Los ejes son un sistema de referencia, que tiene la posibilidad de ser desplazado, colocando su centro, en el lugar que se desee el estudiante. Además, tiene su complemento en las reglas horizontal y vertical, las cuales están graduadas en centímetros y milímetros, condición que le permite al sistema de referencia, ajustarse a la posición de los ejes, de modo que los ceros coincidan con los ejes tanto vertical como horizontal. Al igual, las reglas están mostrando permanentemente la posición del Mouse. Estas herramientas resultan útiles para precisar los movimientos, especialmente, el de traslación y el de tamaño.

La figura 69, muestra el proceso de solución, que consiste básicamente, en generar un problema, a partir de las siluetas del tangram, en donde el sujeto selecciona figuras geométricas básicas, que son manipuladas mediante movimientos de traslación, rotación o cambio de tamaño para ubicarlas en el lugar correspondiente, con el fin de hallar la solución del problema planteado. En el caso de no corresponder a la solución, el usuario tiene la opción de seleccionar otra figura y repetir el proceso.

Figura 69. Proceso de solución.

106

Para la resolución de los problemas de geometría dinámica, el software cuenta con diferentes niveles de ayuda, los cuales están disponibles para que el usuario los consulte en el momento que crea conveniente. El ambiente de aprendizaje cuenta con tres niveles de ayuda para cada uno de los movimientos, es decir, tamaño, traslación y rotación de figuras geométricas básicas.

Tamaño: Nivel de ayuda que le informa al sujeto como realizar el cambio de tamaño de una figura geométrica.

Figura 70. Pantalla de ayuda para cambiar el tamaño de una figura.

Traslación: Nivel de ayuda que le informa al sujeto como realizar movimientos verticales u horizontales de una figura geométrica.

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Figura 71. Pantalla de ayuda para realizar traslaciones de una figura.

Rotación: Nivel de ayuda que le informa al usuario como realizar las rotaciones de una figura geométrica.

Figura 72. Pantalla de ayuda para realizar rotaciones de una figura

geométrica.

108

55 AANNÁÁLLIISSIISS DDEE DDAATTOOSS YY RREESSUULLTTAADDOOSS

5.1. Población, muestra y procedimientos experimentales

El escenario experimental se probó con 85 estudiantes de grado sexto (6) de educación básica del Instituto Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. Los estudiantes se distribuyeron aleatoriamente en tres (3) grupos, clasificados de la siguiente forma (ver tabla 9):

GRUPO DESCRIPCION

A Resuelven problemas con niveles de complejidad, en condición ascendente (del nivel 1, al nivel 6).

B Resuelven problemas con niveles de complejidad, en condición descendente (del nivel 6, al nivel 1).

C Resuelven problemas con niveles de complejidad, en condición de selección libre.

Tabla 9. Condiciones experimentales de los grupos.

Los estudiantes resuelven tres problemas en cada uno de los niveles de complejidad, requisito para pasar o seleccionar el siguiente nivel (ver tabla 10). Las sesiones de trabajo fueron simultáneas para todos los grupos y en el mismo colegio.

NIVEL DE COMPLEJIDAD

NUMERO DE PROBLEMAS

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3

TOTAL 18

Tabla 10. Número de problemas en cada nivel de complejidad.

109

El sistema registró para cada estudiante las siguientes variables en cada uno de los problemas propuestos en los diferentes niveles de complejidad durante toda la experimentación (ver tabla 11).

Código Grupo

Nivel de complejidad Tiempo total empleado

Figura seleccionada Eventos de rotación

Eventos de traslación PRO

BLE

MA

n

Eventos de cambio de tamaño

Tabla 11. Variables controladas en el escenario experimental.

5.2. Variables Se tomó como variable independiente Grupo, que toma tres valores, los cuales se encuentran definidos en la tabla No. 1. Como variables dependientes se tomó la eficiencia, definida como la relación entre el número mínimo de eventos requeridos para la solución del problema y el tiempo empleado para la solución del mismo. Y la eficacia, definida como la relación entre el número mínimo de eventos requeridos para la solución del problema y el total de eventos empleados para la solución del problema.

La experimentación se realizó en dos momentos diferentes, a saber: a) Etapa de entrenamiento, en la cual, los sujetos resolvían dieciocho (18) problemas distribuidos en seis (6) niveles de complejidad, y b) Etapa de retención, en la cual, los estudiantes resolvían un problema de nivel seis (6) de complejidad, después de ocho (8) días de la etapa de entrenamiento.

5.3. Datos y resultados de la experimentación El tratamiento de datos aplica el método análisis de varianza para evaluar las diferencias entre las medias tanto en eficiencia como en eficacia de los grupos A, B y C. Los datos fueron procesados usando el programa de computador Statistics de StatSoft Inc, versión 5.5.

110

5.3.1. Comparación de los grupos A, B y C en la etapa de

entrenamiento. La tabla 12 muestra los valores globales del análisis de varianza mediante la prueba F. Al tomar como variable independiente el grupo y como variable dependiente la eficacia total (TOTEFICA) el valor F es igual a 4,48315716, con una probabilidad de error de p < 0,01419918; si se toma como variable independiente la eficiencia total (TOTEFICI), el valor F es igual a 8,69346523, con una probabilidad de error de p< 0,00037659. En consecuencia, estos resultados muestran que el desempeño de un sujeto, tanto en la eficiencia como la eficacia en la solución del problema, depende del grupo al cual pertenece (Nivel de complejidad ascendente, descendente o de selección libre).

MAIN EFFECT: GRUPO (datos-anova-a-b-c.sta) 1-GRUPO

Mean sqr Effect

Mean sqr Error

F(df1,2) 2,82 p-level

TOTEFICA 0,00247692 0,00055249 4,48315716 0,01419918 TOTEFICI 9,5353E-05 1,0968E-05 8,69346523 0,00037659 Tabla 12. Valores de la Prueba F en el Análisis de Varianza para la variable grupo frente a la Eficiencia y la Eficacia en la etapa de

entrenamiento. La tabla 13 muestra las medias en eficacia como en eficiencia de los grupos A, B y C. El mayor promedio en eficacia lo alcanzó el grupo C; la media del grupo A es similar al grupo C, mientras que la más baja la obtuvo el grupo B. Un comportamiento similar se dio con la eficiencia, es decir, el valor de la eficiencia del grupo A y C son semejantes y la eficiencia del grupo B es la más baja.

Means (datos-anova-a-b-c.sta) Rao R (4,162)=4,86; p<,0010

Grupo TOTEFICA TOTEFICI A 0,08536553 0,01103336 B 0,06961972 0,00738136 C 0,08630231 0,00966406

Tabla 13. Valores de las medias de la Eficiencia y la Eficacia en la etapa de entrenamiento.

111

5.3.1.1. Comparación por parejas de grupos Para un análisis más fino en eficacia y eficiencia se realizan las comparaciones entre parejas de grupos de la siguiente forma:

Pareja No 1: Grupo A vs Grupo B. La tabla 14 muestra los valores del análisis de varianza mediante la prueba F. Al tomar como variable independiente el grupo (A y B) y como variable dependiente la eficacia y la eficiencia, en ella se observa un valor F = 5,63242435 para la eficacia con una probabilidad de error de p < 0,02121959, indicando diferencias significativas entre los grupos. Un comportamiento similar se presenta sobre la variable eficiencia, obteniendo un valor F = 16,4428005, con una probabilidad de error de p< 0,00016222, esto significa que el desempeño de los sujeto de los grupos A y B tanto en la eficiencia como la eficacia en la solución del problema, depende del orden seleccionado en los niveles de complejidad.

MAIN EFFECT: GRUPO (datos-anova-a-b.sta) 1-GRUPO

Mean sqr Effect

Mean sqr Error

F(df1,2) 1,54 p-level

TOTEFICA 0,00347102 0,00061626 5,63242435 0,02121959 TOTEFICI 0,00018672 1,1356E-05 16,4428005 0,00016222 Tabla 14. Valores de la Prueba F al comparar los grupos A y B en

Eficiencia y la Eficacia en la etapa de entrenamiento.

Pareja No 2: Grupo A vs Grupo C. La tabla 15 muestra los valores de análisis de varianza de la prueba F. Al tomar como variable independiente el grupo (A y C) y como variable dependiente la eficacia y la eficiencia, en ella se observa un valor F= 0,01930937 para la eficacia con una probabilidad de error de p < 0,88999081, situación que indica que no existen diferencias significativas entre los dos grupos. La variable eficiencia, tiene un valor F = 1,7514261, con una probabilidad de error de p< 0,19117269, esto significa que el desempeño de los sujeto de los grupos A y C tanto en la eficiencia como la eficacia no tienen diferencias significativas, es decir, en la solución de problemas de geometría dinámica, el comportamiento de los sujetos en el nivel de complejidad ascendente y selección libre es similar.

112

MAIN EFFECT: GRUPO (datos-anova-a-c.sta)

1-GRUPO

Mean sqr Effect

Mean sqr Error

F(df1,2) 1,55 p-level

TOTEFICA 1,2501E-05 0,00064743 0,01930937 0,88999081 TOTEFICI 2,671E-05 1,5251E-05 1,7514261 0,19117269 Tabla 15. Valores de la Prueba F para el grupo A y C frente a la

Eficiencia y la Eficacia en la etapa de entrenamiento.

Pareja No 3: Grupo B vs Grupo C La tabla 16 muestra los valores de análisis de varianza de la prueba F. Al tomar como variable independiente el grupo (B y C) y como variable dependiente la eficacia y la eficiencia, en ella se muestra un valor F= 10,0382862 para la eficacia con una probabilidad de error de p < 0,00250342. Igualmente, sobre la variable eficiencia, se tiene un valor F = 11,7721825, con una probabilidad de error de p< 0,00114784, esto significa que existen diferencias significativas en el desempeño de los sujetos de los grupos B y C tanto en la eficiencia como la eficacia en la solución del problema.

MAIN EFFECT: GRUPO (datos-anova-b-c.sta) 1-GRUPO

Mean sqr Effect

Mean sqr Error

F(df1,2) 1,55 p-level

TOTEFICA 0,00396468 0,00039496 10,0382862 0,00250342 TOTEFICI 7,423E-05 6,3056E-06 11,7721825 0,00114784 Tabla 16. Valores de la Prueba F para el grupo B y C frente a la

Eficiencia y la Eficacia en la etapa de entrenamiento. 5.3.2. Correlación entre eficacia y eficiencia A continuación se muestran la existencia de correlación entre las variables dependientes, es decir, eficiencia y eficacia en la solución de problemas de geometría dinámica.

Grupos A, B y C El análisis de correlación, permite identificar sí existe una relación significativa entre los conjuntos de datos de las variables eficacia y eficiencia total de los grupos A, B y C (ver figura 73), con su respectivo diagrama de dispersión.

113

Figura 73. Resultados del análisis de regresión tomando como variable

independiente la eficiencia y como variable dependiente la eficacia. La figura 73, muestra que la eficiencia es predictor de la eficacia con una correlación de 0.69, lo cual se asocia con un porcentaje de varianza explicado (R2) de 47.51. El nivel de asociación entre las dos variables es altamente significativo (F(1,83)=77.04485, p<0.000000). Esto permite decir que las dos mediciones son equivalentes y que, por tanto, los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia (ver figura 74).

Figura 74. Diagrama de dispersión entre eficiencia y eficacia

para los grupos A, B y C. Enseguida se analiza la intensidad de la correlación en cada uno de los grupos, para evidenciar, cual de éstos tiene el coeficiente de correlación β más alto, entre las variables eficacia y eficiencia. La tabla 17, muestra los valores de los coeficientes para los grupos A, B y C.

114

Correlations (datos-grupos-a-b-c.sta)

TOEFICAA TOEFICAB TOEFICAC TOEFICIA 0,69104295 -0,02610768 -0,00331005 TOEFICIB 0,12428664 0,58403915 0,17605674 TOEFICIC 0,2953065 0,04304601 0,70657582

Tabla 17. Tabla de correlaciones de los grupos A, B y C, para las variables eficiencia y eficacia. Las correlaciones en

negrilla son significativas con p<0,05 La tabla 17 muestra los coeficientes de correlación β entre las variables eficacia y eficiencia. Se evidencia que el grupo C tiene el valor más alto de correlación (β =0,70657582) y el grupo B, tiene el valor de correlación más bajo (β = 0,58403915), pero los tres grupos tienen valores de correlación significativos, como se indica a continuación en un análisis por separado para cada uno de los grupos.

Correlación de eficiencia y eficacia para el grupo A La figura 75 y 76 dejan ver que la eficiencia es predictor de la eficacia con una correlación de 0.691, lo cual se asocia con un porcentaje de varianza explicado (R2) de 47.74. Esto indica que el nivel de asociación entre las dos variables es significativo (F(1,26)=23.76461, p<0.000047). En consecuencia, las dos mediciones son equivalentes y que, por tanto, los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia.

Figura 75. Resultados del análisis de regresión tomando como variable independiente la eficiencia y como variable dependiente la eficacia en el

grupo A.

115

Figura 76. Diagrama de dispersión para el grupo A.

Correlación de eficiencia y eficacia para el grupo B La figura 77 y 78 evidencia que la eficiencia es predictor de la eficacia con una correlación de 0.584, lo cual se asocia con un porcentaje de varianza explicado (R2) de 31,5759. El nivel de asociación entre las dos variables es significativo (F(1,26)=13.45981, p<0.001102). Estos resultados permiten decir que las dos mediciones son equivalentes y que, por tanto, los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia.

Figura 77. Resultados del análisis de regresión tomando como variable independiente la eficiencia y como variable dependiente la eficacia en el

grupo B.

116

Figura 78. Diagrama de dispersión para el grupo B.

Correlación de eficiencia y eficacia para el grupo C La figura 79 y 80 revelan que la eficiencia es predictor de la eficacia con una correlación de 0.707, lo cual se asocia con un porcentaje de varianza explicado (R2) de 47,9989. El nivel de asociación entre las dos variables es altamente significativo (F(1,26)=25,92205, p<0.000026), lo cual quiere decir que las dos mediciones son equivalentes y que, por tanto, los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia.

Figura 79. Resultados del análisis de regresión tomando como variable independiente la eficiencia y como variable dependiente la eficacia en el

grupo C.

117

Figura 80. Diagrama de dispersión para el grupo C.

.3.3. Medidas repetidas en la etapa de entrenamiento

n el

.3.3.1. Evolución de la eficacia. 8 la eficacia que tuvieron los

Summary of all Effects; design:

df

Effect MS

E Error Error F p-level

5En las siguientes figuras y tablas se realiza un análisis edesempeño de los estudiantes tanto de la eficacia como de la eficiencia de los grupos A, B y C, con base en los datos obtenidos en la experimentación. 5La figura 1 representa la evolución deestudiantes de los grupos A, B y C, a través de los seis (6) niveles de complejidad, de acuerdo con las condiciones experimentales.

1-GRUPO, 2-EVOEFICA

ffectdf MS

1 0, 9 0,0 5 11,9285736 2,8369E2 1033377 82 086630 -05 2 5 0,2006923 10 0,26857558 0,74724698 0,60623217 12 1 0 40 ,26857558 10 0,0049926 53,7947578 0.00000000

Tabla R os e s 18. esumen de l fecto del análisis de varianza de medidas repetidas en la eficacia.

La tabla 18 resume los efectos pri l análisis de varianza de ncipales demedidas repetidas. La varianza de la eficacia asociada con la variable grupo es alta y significativa (11.9285736), situación que indica que la variable grupo tiene un efecto fuerte sobre la eficacia.

118

En tanto la varianza asociada con la variable sucesión de medidas es baja y no es significativa (0.74724698). La interacción entre las dos variables, es significativa (F=53,7947578, p<0.0000), lo cual muestra que dependiendo del grupo, hay diferencia en las mediciones sucesivas de la variable dependiente.

Los promedios obtenidos en cada uno de los niveles de complejidad

Means (datos-anova-a-b-c-final.sta)

A 1 72604

y en cada grupo se muestran en la tabla 19.

Rao R (10,156)=17,95; p<,0000 Depend. Var.1

0,2292A 2 0,079142094A 3 0,103716128A 4 0,113935694A 5 0,076257303A 6 0,102518849B 1 0,042210184B 2 0,100311764B 3 0,121296309B 4 0,136989743B 5 0,154523551B 6 0,446209848C 1 0,240902469C 2 0,120835371C 3 0,09417706C 4 0,137383163C 5 0,111276932C 6 0,128631189

Tabla 19. Medias de la eficacia en los niveles de complejidad.

Grupo A De fi evidencia que el valor más alto de eficacia se logra la gura 81 se en el nivel de complejidad 1, primer conjunto de juegos seleccionados. En los niveles siguientes su comportamiento es decreciente, presentando variaciones que oscilan entre los valores de 0.07625 a 0.11393, intervalo, sobre el cual se estabiliza.

119

Grupo B

En f ica que el valor más alto de eficacia se logra en el la igura 81 indnivel de complejidad 1, es decir, en el último conjunto de juegos seleccionado. La curva muestra un comportamiento creciente con pendiente positiva.

Grupo C La ece que el valor más alto de eficacia se logra en el figura 81 establnivel de complejidad 1. En los niveles siguientes su comportamiento es decreciente, presentando variaciones que oscilan entre los valores de 0,09417706 a 0,137383163. El desempeño de los sujetos es similar a los del grupo A (curva paralela), aunque sus puntuaciones son levemente mayores. El grupo tiene diferentes series y modalidades de organización, en este sentido, se muestran las series en el orden seleccionado en los niveles de complejidad utilizadas por los sujetos. Se observa que tienen tendencia a seguir el orden del grupo A, es decir, siguen la condición ascendente en un 58.62% (ver tabla 20).

SERIE NUMERO1- 6 2-3-4-5- 17 1-2-3-5-6-4 1 1-2-4-6-3-5 1 1-2-5-3-4-6 1 1-2-5-6-4-3 1 1-2-6-3-4-5 1 2-1-3-4-5-6 1 2-3-6-5-4-1 1 3-1-4-6-5-2 1 3-2-1-4-5-6 1 3-6-2-1-4-5 1 6-2-3-5-4-1 1 6-5-4-3-2-1 1

Tabla 20. Orden de niveles de complejidad

seleccionado en el grupo C

120

Figura 81. Evolución de la eficacia en los seis niveles

de complejidad de los grupos A, B y C.

e observa que la evolución de la eficacia para el grupo A (orden Sascendente), en el primer nivel de complejidad (tamaño de las figuras geométricas), resulto ser el de más alta eficacia (0,2292726), y el de más baja eficacia correspondió al quinto nivel de complejidad. Para el análisis de la eficacia se tendrá en cuenta no solamente el nivel de complejidad sino los aprendizajes generados en cada uno de éstos. La eficacia en el nivel dos, disminuyó significativamente con respecto al nivel uno, situación que se explica debido no solo al aumento de la complejidad (desplazamiento de figuras planas en dirección X e Y) sino también al cambio en el tipo de problema presentado a los sujetos. En el nivel de complejidad tres (traslación de figuras más rotación en el plano), la eficacia tiene un ligero aumento, lo cual se explica en razón a que el sujeto utiliza los aprendizajes adquiridos en el nivel inmediatamente anterior, es decir, los desplazamientos en los ejes X - Y, para la solución del problema. En el nivel cuatro (traslación, rotación y tamaño), se presenta una situación similar, es decir, hay nuevamente un ligero aumento de la eficacia, debido a la utilización de los aprendizajes alcanzados en los niveles anteriores. En el nivel cinco (traslación, rotación, tamaño y composición), que corresponde a una figura compuesta por dos figuras del nivel cuatro, la eficacia decreció considerablemente. Este nivel tiene un problema

121

nuevo con respecto al nivel anterior, el cual consiste en descubrir las dos figuras básicas para conformar la figura geométrica requerida como estado meta, al parecer, este hecho genero un nivel de dificultad mayor, generando un impacto negativo sobre la eficacia. En el nivel seis el problema era similar al anterior, con la diferencia de combinar tres figuras básicas para solucionar el problema, en éste nivel la eficacia aumento con respecto al nivel cinco, en razón a la transferencia de los aprendizajes alcanzados en los anteriores niveles. En el grupo B (orden descendente), la figura muestra que el nivel de

n el grupo C (orden libre), la gráfica muestra que el primer nivel de

.3.3.2. Evolución de la eficiencia

a figura 82 resume los efectos principales del análisis de varianza

más eficacia se logra en el nivel de complejidad uno, que corresponde al último conjunto de ejercicios. La eficacia presento un aumento gradual a lo largo de todos los niveles de complejidad, situación que se explica, en razón a la aplicación de los conocimientos alcanzados en las etapas anteriores y la disminución de los grados de dificultad en la solución de los problemas. Ecomplejidad (tamaño de las figuras), es el de más alta eficacia (0,240902469), y el de más baja eficacia correspondió al tercer nivel de complejidad (0,09417706). El análisis de la eficacia muestra un comportamiento similar al grupo A, se evidencia que el desempeño es mejor, aunque no es significativo. La curva del comportamiento del grupo C tiene una tendencia paralela al grupo A, solo en el tercer grupo de problemas, se muestra una puntuación mayor en eficacia en el grupo A, en los demás conjuntos de problemas (niveles), las puntuaciones del grupo C son mayores. 5 Lde medidas repetidas. La varianza de la eficiencia asociada a la variable grupo es alta y significativa (14,6199007). En tanto la varianza asociada con la variable sucesión de medidas es baja y no es significativa (1,19147551). La interacción entre las dos variables, es significativa (F=14,6199007, p<3,7128E-06), lo cual muestra que dependiendo del grupo, hay diferencia en las mediciones sucesivas de la variable dependiente.

122

Summary of all Effects; design:

df

ct MS

t or p-level

1-GRUPO, 2-EVOEFICI

Effe Effecdf MS Err Error F

1 0237 5064 ,6199007 E-06 2 0,0022 82 0,0001 14 3,71282 5 0,00270711 10 0,00227206 1,19147551 0,37905976 12 1 40 0,00227206 10 6,7753E-05 33,534668 0,00000000

Tabla los to s d21. Resumen de efec s del análisi de varianza e medidas repetidas en la eficiencia.

La tabla 21 sintetiza los efectos p s del análisis de varianza

rincipalede medidas repetidas. La varianza asociada con la eficiencia es alta compara con el efecto de la variable grupo. La variable niveles de complejidad muestran interacción alta (33.534668), debido a la dinámica seguida por del grupo B. El comportamiento en eficiencia fue semejante al de la eficacia.

Grupo A De f evidencia que el valor más alto de eficiencia se la igura 82 selogra en el nivel de complejidad 1 y 4. Pero en general, la eficiencia presenta variaciones que oscilan entre los valores de 0,010022862 a 0,017739188, intervalo, sobre el cual se estabiliza. En este sentido, el desempeño de los sujetos en la eficiencia tiende a ser constante en los diferentes niveles de complejidad.

Figura 82. Evolución de la eficiencia en los seis niveles de complejidad de

los grupos A, B y C.

123

Means al.sta)

Rao R (10,156)=11,16; p<,0000

A 188

(datos-anova-a-b-c-fin

Depend. Var.1 1 0,017739

A 2 767430,0106A 3 0,013164146A 4 0,016120847A 5 0,010022862A 6 0,013867971B 1 0,004154291B 2 0,01215829B 3 0,016274095B 4 0,019409519B 5 0,018863291B 6 0,049731072C 1 0,015122418C 2 0,011785412C 3 0,010637856C 4 0,016097227C 5 0,014457573C 6 0,016595444Tabla 22. Medias de la efic

eles de complejiencia en los

niv idad

Grupo B La figura 82 e el valor más alto de eficiencia se logra en el nivel de complejidad 1, es decir, en el último grupo de problemas

muestra qu

resueltos. La curva muestra un comportamiento creciente con pendiente positiva, el cual va aumentando progresivamente en pequeñas proporciones desde el inicio, este comportamiento se dio de la misma forma también en la eficacia.

Grupo C De la figura 82 indica que el comportamiento del grupo es muy sim r do por el grupo A, es decir, presenta pequeñas

grupo A se tendrá en uenta no solamente el nivel de complejidad sino los aprendizajes

ila al presentaoscilaciones en las puntuaciones (0,010637856 a 0,016595444), tendiendo a estabilizarse en este intervalo. En síntesis, para el análisis de la eficiencia del c

124

generados en cada uno de éstos. La eficiencia en el nivel dos disminuyo con respecto al nivel uno, situación que obedece al aumento de la complejidad del problema y al tipo de problema presentado. En el nivel de complejidad tres, la eficiencia tiene una ligera disminución, lo cual se explica en razón a que el sujeto se enfrenta a otro tipo de problema y a un nivel de complejidad mayor que el nivel dos. En el nivel cuatro se presenta un aumento de la eficiencia, debido a la transferencia de los aprendizajes alcanzados en los niveles anteriores. En el nivel cinco, que corresponde a una figura compuesta por dos figuras del nivel cuatro, la eficiencia decreció ligeramente. Este nivel presenta un problema nuevo con respecto al nivel anterior, el cual consiste en reconocer las dos figuras básicas para estructurar una nueva figura geométrica compuesta (polígono irregular), este hecho genero un nivel de dificultad mayor. El nivel seis presenta problemas similares al nivel anterior, con la diferencia de combinar tres figuras básicas para solucionar el problema, en éste nivel la eficiencia aumento ligeramente con respecto al nivel cinco. En el grupo B, los datos muestran que la eficiencia presento un

mento gradual a lo largo de todos los niveles de complejidad,

portamiento imilar al grupo A, se evidencia que el desempeño es muy similar. La

sis de la eficiencia y la eficacia en la prueba de retención.

de entrenamiento. La prueba consiste en solucionar un problema del

ausituación que se manifiesta, en razón a la transferencia de aprendizajes alcanzados en las etapas inmediatamente anteriores, ya que los problemas contienen las mismas variables para solucionarlo, y su nivel de complejidad va disminuyendo. En el grupo C, el análisis de la eficiencia muestra un comscurva del comportamiento del grupo C tiene una tendencia análoga al grupo A, situación que muestra niveles de desempeño análogo, y en este sentido no se evidencian diferencias significativas entre éstos dos grupos.

5.3.4. Análi

La prueba de retención se realiza ocho (8) días después de la etapa

nivel de complejidad 6, para medir la retención de conocimientos en la solución de problemas de geometría dinámica.

Para el análisis se comparan las medias mediante el procedimiento ANOVA. Se utiliza la variable eficacia y eficiencia de cada grupo, de

125

tal forma que la prueba F muestra si existen o no diferencias significativas entre los tres grupos, pasado este periodo de tiempo.

5.3.4.1. Comparación de los grupos A, B y C

l tomar como ariable independiente el grupo y como variable dependiente la

(evafinal-anova-a-b-c.sta) 1-GRUPO

Effect 2,82 vel

La tabla 23 muestra los valores de la prueba F. Aveficacia y la eficiencia, en ella se observa un valor F, que no es significativo, esto indica que el desempeño de los sujetos tanto en eficiencia como la eficacia en la solución del problema, fue semejante.

MAIN EFFECT: GRUPO

Mean sqr Mean sqr F(df1,2) p-leError EFICA_EV 0 1 0, 5 ,00229642 0,0022742 ,00976837 3687876EFICI_EV 2,4 5 5,1 5 0,4 13 0,6239 8 242E-0 106E-0 74348 873Tabla 23. Valores de la Pr u

fi e cueba F para la variable gr po frente a

la E ciencia y la Eficacia en la tapa de reten ión.

a tabla 24 indica las medias en eficacia como en eficiencia de los rupos A, B y C, el mayor promedio en eficacia lo alcanzo el grupo C,

Means (evafinal-anova-a-b-c.sta)

Rao R (4,162) ,60; p<,6633

Lgseguido del grupo A y B, pero las diferencias no son significativas, mientras que la eficiencia más alta la obtuvo el grupo A, seguida del grupo C y B respectivamente, donde tampoco se observaron diferencias significativas.

=

EFICA_EV EFICI_EV A 0,11055004 0,01501076 B

126

0,09247412 0,0131533 C 0,10249577 0,01417958 Tabla 24 as me

icienc en la. Valores de l dias de la

Ef ia y la Eficacia etapa de retención.

5.3.4.2. Correlación entre eficacia y eficiencia

ón entre las ariables dependientes (eficiencia y eficacia) en la solución de

A continuación se muestra la existencia de correlacivproblemas en la etapa de retención.

Grupos A, B y C

A c ti la existencia de una relación significativa ntre los conjuntos de datos de las variables eficacia y eficiencia total

on nuación se identifica

ede los tres grupos A, B y C (ver figura 82), con su respectivo diagrama de dispersión.

Figura 82. Resultados del análisis de regresión múltiple con variable

dependiente eficacia y variable independientes grupo y eficiencia. La f la

ficacia con una correlación de 0.893, lo cual se asocia con un igura 82 y 83 muestran que la eficiencia es predictor de

eporcentaje de varianza explicado (R2) de 79,57999. El nivel de asociación entre las dos variables es altamente significativo (F(1,83)=328.3612, p<0.000000). Esto permite decir que las dos mediciones son equivalentes y que, por tanto, los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia en la prueba de retención

127

Figura 83. Diagrama de dispersión entre eficiencia y eficacia

para los grupos A, B y C.

La tabla 25 muestra los coeficientes de correlación β entre las variables eficacia y eficiencia. Se evidencia que el grupo B tienen el valor más alto de correlación (β =0,94396141) y el grupo A, tiene el valor de correlación más bajo (β = 0,82894421), pero los tres grupos tiene valores de correlación significativos.

Correlations (eva-t-stud.sta)

EFICA_A_EV EFICA_B_EV EFICA_C_EV

EFICI_A_EV 0,82894421 0,06674552 -0,05938932 EFICI_B_EV -0,03238254 0,94396141 -0,09718047 EFICI_C_EV -0,00311179 -0,23622808 0,91549876

Tabla 25. Tabla de correlaciones de los grupos A, B y C, para las variables

eficiencia y eficacia en la etapa de retención.

128

66 CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS

6.1. Complejidad y solución de problemas El escenario computacional, diseñado para el estudio de la complejidad, se orienta a la solución de problemas de geometría dinámica en el plano. Los problemas son distribuidos en seis (6) niveles, de acuerdo con el número de variables implicadas para su solución (Morin E., 2003). En cada nivel de complejidad, el software presenta a los usuarios tres problemas seleccionados aleatoriamente, los cuales deben ser solucionados como requisito para pasar al siguiente nivel.

Figura 84. Problema: Mueva la figura del estado inicial hasta ubicarla en el

estado final.

129

La estrategia utilizada por los estudiantes en la solución de problemas de geometría dinámica (ver figura 84) es el siguiente:

Primer estado. Seleccionar la imagen geométrica del menú de figuras, de acuerdo con el problema planteado, constituyéndose esta posición en el estado inicial del problema y como punto de referencia para realizar los diferentes movimientos orientados a ubicar la figura en el estado meta.

Segundo estado. Realizar movimientos de traslación. Los

sujetos reducen el espacio del problema, realizando primero movimientos en el eje X y posteriormente en el eje Y, hasta ubicar la figura en una posición cercana al estado meta. En la medida en que los estudiantes desarrollan los problemas de los diferentes niveles, mejoran la precisión de los movimientos, ajustándolos simultáneamente a los ejes X - Y; se observa que el nivel de precisión se incrementa simultáneamente en las dos direcciones, hasta lograr una estrategia, consistente en desplazar directamente la figura al sitio de ubicación y ajustar su posición, reduciendo significativamente el espacio del problema.

Tercer estado. Realizar rotaciones. Una de las etapas finales

en la solución del problema consiste en perfeccionar el nivel de precisión para lograr la ubicación de la figura. Las acciones realizadas se refieren a la rotación en sentido horario o antihorario, seguidas por la repetición del ajuste incluido en la estrategia anterior.

Cuarto Estado. Evaluación del tamaño. Como etapa final de la

estrategia, los sujetos evalúan el tamaño de la figura, realizando comparaciones con su silueta. De esta forma, actúan aumentando o reduciendo el tamaño de la figura, hasta lograr el máximo nivel de precisión, que corresponde con la solución del problema (ver figura 85).

130

Estos pasos de la estrategia evidencian, la maduración progresiva de la curva de aprendizaje (Maldonado, Fonseca, Ibáñez, Macias, Rubio, Sanabria & Ortega, 1999).

Figura 85. Estrategia en la solución del problema.

Cuando los sujetos construyen sistemas geométricos planos más complejos, a partir de la combinación de dos o más componentes simples (Simon H., 1996, Connor J. & Mcdermott I., 2000), el estado meta, se constituye en una representación gráfica compleja (Cheng P. 2002), dado que se tienen que identificar las figuras básicas que componen la silueta (polígono irregular). Bajo esta condición, los estudiantes aplican su estrategia para ubicar la figura. Típicamente, seleccionan del menú de figuras una silueta; en seguida, realizan los movimientos de traslación, rotación y cambio de tamaño; luego, evalúan, si efectivamente la figura seleccionada se ubica con exactitud dentro del polígono irregular, de no ser así, seleccionan otra figura y repiten la estrategia para cada una de las figuras geométricas simples (ver figura 86). Los sujetos muestran preferencias en términos de estrategias y orden del acoplamiento de los diferentes componentes. Esta tendencia hace que aumente el

131

nivel de complejidad, ya que las alternativas son múltiples. Esta situación aumenta el número de subproblemas que tiene que resolver el estudiante para llegar al estado meta (Kolen J. & Pollack J., 1993).

Figura 86. Sistema complejo con tres figuras geométricas simples.

6.2. Evolución de la eficacia y eficiencia La evolución del aprendizaje, se evidencia por medio de los niveles de eficacia y eficiencia alcanzados por los estudiantes en la solución de problemas de geometría dinámica, en la etapa de entrenamiento y retención. Los datos se registraron en los seis niveles de complejidad, para cada uno de los tres grupos.

Grupo A: Problemas con niveles de complejidad presentados en forma ascendente (nivel 1 al nivel 6).

Grupo B: Problemas con niveles de complejidad presentados en forma descendente (nivel 6 al nivel 1).

Grupo C: Problemas con selección libre del nivel de complejidad por parte de los estudiantes.

El análisis de varianza mostró que la variable grupo incide significativamente sobre las variables dependientes eficacia y eficiencia, lo cual significa que hay un efecto fuerte del orden de los niveles de dificultad. Por otra parte, la medición repetida de estas variables muestran diferencias, dependiendo del grupo, es decir, que 132

la curva de aprendizaje evoluciona de manera diferente; especialmente el grupo B, con problemas de complejidad descendente, se comporta de manera diferente a la de los otros dos grupos (A y C), los cuales son muy similares. Podríamos inferir, con base en los datos del Grupo C que la tendencia natural de los sujetos, al enfrentar el aprendizaje de la solución de problemas, es de lo más simple a lo más complejo. En este sentido, este grupo tiende a ser semejante al Grupo A. Cuando los sujetos enfrentan la solución de problemas de lo más complejo a lo más simple, su curva de aprendizaje es creciente en sus diferentes momentos, y muestra en las últimas etapas un rendimiento más alto que los otros grupos. Las diferencias, entre la estrategia de aprendizaje descendente en complejidad en contraposición con el aprendizaje ascendente en complejidad, se hacen evidentes en las primeras y en las últimas etapas, en contraste con las etapas intermedias donde no son notorias. Para entender la dinámica del aprendizaje se presentan las gráficas 87 y 88. Allí se muestra la incorporación de variables al espacio del problema de acuerdo a la etapa del aprendizaje. Esto indica que la evolución del espacio del problema es diferente para el Grupo de complejidad descendente, comparado con los Grupos de complejidad ascendente o de selección libre. Mientras que para los dos últimos, el espacio del problema evoluciona con una carga cognitiva creciente, el grupo de complejidad descendente inicia con una carga cognitiva alta y finaliza con una carga cognitiva baja. Con base en los datos podemos inferir que los sujetos trabajan mejor con carga cognitiva baja. Los sujetos del grupo B al enfrentarse a la solución de problemas, de forma descendente, deben identificar todas las variables implicadas para resolver el problema; Esta situación hace que el esfuerzo cognitivo de los sujetos sea máximo en las primeras etapas. Posteriormente, la carga cognitiva disminuye en razón a la transferencia de los aprendizajes y a la disminución del nivel de complejidad.

133

TAMAÑO TRASLACION ROTACION COMPOSICION 1 COMPOSICION 2

NIVEL 1

NIVEL 6NIVEL 5NIVEL 4

NIVEL3NIVEL 2

CONVENCIONES

TRANSFERENCIA DEAPRENDIZAJE

ETAPA DE DESCUBRIMIENTO

Figura 87. Relación entre etapa de descubrimiento y transferencia de aprendizaje del grupo A. Las flechas continuas indican

que una variable es incorporada al espacio del problema por primera vez. La flecha discontinua muestra la variable señalada ya entrado al

espacio del problema en etapas anteriores.

TAMAÑO TRASLACION ROTACION COMPOSICION 1 COMPOSICION 2

NIVEL 6

NIVEL 1NIVEL 2NIVEL 3

NIVEL 4NIVEL 5

CONVENCIONES

TRANSFERENCIA DEAPRENDIZAJE

ETAPA DE DESCUBRIMIENTO

Figura 88. Relación entre etapa de descubrimiento y transferencia de aprendizaje del grupo B. Las flechas continuas indican

que una variable es incorporada al espacio del problema por primera vez. La flecha discontinua muestra la variable señalada ya entrado al

espacio del problema en etapas anteriores. 134

La influencia de la transferencia de aprendizaje, afecta positivamente tanto la eficiencia como la eficacia en la solución de problemas, mientras que el grado de dificultad (niveles de complejidad), afecta negativamente estas variables. 6.3. Correlación entre eficacia y eficiencia La investigación muestra que existe una correlación significativa entre la eficiencia y la eficacia, en la etapa de entrenamiento para los tres grupos: los sujetos de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia en la solución de problemas de geometría dinámica. Al interior de los grupos se observa que los sujetos del grupo C tienen el valor más alto de correlación en eficacia y eficiencia, es decir, los estudiantes que seleccionan libremente los niveles de complejidad, autorregulan más su desempeño, en términos del ajuste de las metas que se proponen, al seleccionar el grado de dificultad de acuerdo a los resultados obtenidos y se vuelven más precisos en el manejo del tiempo y en el número de movimientos utilizados para la solución del problema. Los datos muestran que los estudiantes que se autorregulan, de acuerdo con los logros obtenidos en los diferentes niveles de complejidad, desarrollan altos niveles de autonomía en el aprendizaje. En consecuencia, podemos inferir que permitir la posibilidad para que los sujetos organicen y decidan el orden de los contenidos, potencia la autonomía en el aprendizaje. 6.4. Efecto de la eficacia y eficiencia en sesión de retención de aprendizaje El rendimiento de los tres grupos de estudiantes fue muy semejante, en una prueba de retención de aprendizajes, después de un periodo de tiempo (8 días), tanto en eficiencia como eficacia, en la solución del problema de geometría dinámica. Se puede afirmar, en consecuencia, que todos los estudiantes alcanzaron niveles de aprendizaje similares y que la diferencia radica en la cantidad de tiempo empleado para lograrlo. De la misma forma, los sujetos que actúan en el grupo B, realizan un mayor esfuerzo cognitivo en cuanto a cantidad de trabajo en término de la cantidad de variables manejadas a través del espacio del problema.

135

La prueba de retención evidencia que existe una correlación fuerte entre la eficiencia y la eficacia para los tres grupos, es decir, los estudiantes de mayor eficiencia son también los de mayor eficacia. Al parecer, los niveles de comprensión conceptual sobre los problemas, es similar en todos los estudiantes; sin embargo, quienes alcanzan mayores niveles de precisión, son los que muestran mejor desempeño, en términos de economía, tanto de tiempo como de de trabajo; mientras los otros realizan mayor número de transición de estados para precisar la solución. 6.5. El efecto de la autorregulación en el proceso de aprendizaje La investigación muestra, que el ambiente de aprendizaje basado en computador, posibilita la formación de la autonomía en el aprendizaje, Los estudiantes en la condición C, logran avanzar en el proceso de autorregulación de su comportamiento, frente a la solución de problemas. Las metas propuestas, al seleccionar los niveles de complejidad, en función de los logros obtenidos en cada uno de estos, les permiten realizar ordenaciones razonables, en la solución de los problemas. En este sentido, se fijan objetivos posibles de alcanzar y susceptibles de controlar, en la medida de las metas logradas en cada nivel de dificultad seleccionado. Los datos muestran que los estudiantes que se autorregulan, se orientan por objetivos, ajustan sus metas de acuerdo a los resultados obtenidos y se vuelven más precisos a la hora de ejecutar los diferentes movimientos para llegar al estado meta propuesto por el ambiente. En este sentido, los sujetos se vuelven más eficaces y eficientes. En síntesis, los estudiantes son conscientes de sus logros, formulan metas más realistas y alcanzables, transfieren las soluciones aplicadas de un problema a nuevas situaciones problemáticas. 6.6. Síntesis

a) En la prueba de retención de aprendizaje, realizada 8 días después de la etapa de entrenamiento, se observa que no existe diferencia entre quienes aprenden partiendo de lo simple a lo complejo, entre quienes aprenden de lo complejo a lo simple y entre quienes escogen libremente el proceso de solución de los problemas. De esta forma, se puede afirmar

136

que después de transcurrido un intervalo corto de tiempo, los estudiantes alcanzan niveles de aprendizaje similares, independiente del orden, en cuanto al nivel de complejidad, en que solucionan los problemas.

b) El aprendizaje que parte de lo simple a lo complejo, requiere menor esfuerzo en tiempo y trabajo, a diferencia de aquel que parte de lo complejo a lo simple. Igualmente se observa, que tener la posibilidad de seleccionar libremente la forma de acceder a los problemas, permite la regulación del aprendizaje. En consecuencia, en términos de economía del esfuerzo humano se recomienda trabajar con sistemas adaptativos.

c) Los aprendizajes previos influyen positivamente en la eficiencia y la eficacia en la solución de problemas y la cantidad de variables o relaciones que se establecen en este proceso, influye negativamente aumentando el esfuerzo cognitivo en los estudiantes.

d) Desde el punto de vista sistémico, en los problemas de composición de figuras simples para formar una compleja, se percibe que considerar el todo como un sistema y no como el conjunto de las partes, disminuye tanto de la eficacia como de la eficiencia. Esto concuerda con los planteamientos de Simon, 1996 y Connor & Mcdermott, 2000.

Los resultados de este trabajo, se sintetizan en un modelo que incluye los efectos de niveles de complejidad en el proceso de solución de problemas de geometría dinámica, con posibilidad de generalización en otros dominios (ver figura 89). El modelo representa un sistema de aprendizaje que tiene dos (2) entradas; por un lado los aprendizajes previos con respecto al dominio de conocimiento en estudio, y por otro, el número de variables necesarias que intervienen en la solución del problema. Los conocimientos previos disminuyen el esfuerzo cognitivo, mientras que en el caso de las variables el esfuerzo cognitivo tiende a aumentar o disminuir dependiendo del orden de dificultad en que se presenten los problemas como ya se explicó anteriormente. La salida es el aprendizaje que es independiente del orden de dificultad de los problemas.

137

SIMPLECOMPLEJO

SIMPLE COMPLEJO

CONJUNTO DE PROBLEMAS

NÚMERO DE VARIABLES

APRENDIZAJES PREVIOS

ESFUERZO COGNITIVO

ACCIONESTIEMPO

+

-

-

NIVEL DEAPRENDIZAJE

Figura 89. Modelo de los efectos de niveles de complejidad en el proceso

de solución de problemas

6.7. Proyecciones

Sería de gran importancia en investigaciones posteriores:

a) Estudiar el fenómeno de la complejidad a partir del efecto del

esfuerzo cognitivo a diferencia de la novedad en la solución de problemas.

b) Diseñar un sistema en el cual se puedan definir varias clases de eficacia, asociada con cada nivel de complejidad para el estudio de la consolidación de aprendizajes.

c) Comparar la evolución del nivel de experticia desarrollada en la solución de problemas en relación al nivel de complejidad.

d) Determinar, cual de los tres tipos de movimientos en el plano (Rotación, traslación u homotecia) resulta de mayor esfuerzo cognitivo de aprender, lo cual seria importante para el aprendizaje de la geometría.

138

e) Comparar el impacto cognitivo en la solución de diferentes tipos de problemas en relación con la construcción del espacio del problema.

f) Pedagógicamente, se podría pensar que existe un gran potencial en el aprendizaje, al abordar problemas de mayor complejidad, situación que merece una mayor exploración a nivel cognitivo.

139

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