Wykład 3 (22 X 2009)

Liczby zespolone — rozszerzenie.Pierwiastki wielomianów.

Treść wykładu. Wielomiany, pierwiastki wielomianów.Twierdzenie o istnieniu zespolonego pierwiastka dowolnego wielomianu o współczynnikach zespolonych.

Rozkład wielomianu na czynniki liniowe.

Pierwiastki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Rozkład wielomianu o współczynnikach rze-

czywistych.

Pierwiastki wielomianów stopnia 3 — wzory Cardano

Interpretacja mnożenia przez liczbę zespoloną o module 1 jako obrotu płaszczyzny. Mnożenie przez do-

wolną liczbę zespoloną jako przekształcenie płaszczyzny.

3.1 Wielomiany i ich pierwiastki

3.1.1 Własności ogólne

Przypomnijmy znane ze szkoły określenia wielomianu (bardziej właściwie nazywanego funkcją wielomianową)i jego pierwiastków.

Definicja 3.1 (Wielomian stopnia n) Niech będą dane liczby zespolone ai, i ∈ {0, . . . , n}, przy czym an 6=0. Funkcję zmiennej z ∈ C określoną wzorem

f(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z + a0, (3.1)

nazywamy wielomianem stopnia n o współczynnikach zespolonych, a liczby ai — współczynnikami tego wielo-mianu. Jeśli wszystkie liczby ai, i ∈ {0, . . . , n} są liczbami rzeczywistymi, to będziemy mówili, że wielomianf(z) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.

Pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu f(z) nazywamy taką liczbę w ∈ C, że f(w) = 0. Jeśli w jestpierwiastkiem f(z) i w ∈ R, to będziemy mówili, że w jest pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu f(z).

Zazwyczaj będziemy traktować wielomiany jako funkcje określone na dziedzinie równej płaszczyźnie zespo-lonej C. Dzięki utożsamieniu ciała liczb rzeczywistych R z podzbiorem płaszczyzny C możemy rozważać takżeobcięcia wielomianów do zbioru R, otrzymując w ten sposób funkcje odwzorowujące R w C. Jest to szczególniecelowe w przypadku wielomianów f(z) o współczynnikach rzeczywistych, gdyż ich obcięcie do R przyjmujetylko wartości rzeczywiste, co pozwala traktować taki wielomian jako funkcję f : R→ R.

W szkole średniej był szczegółowo omawiany problem wyznaczania pierwiastków wielomianów stopnia dru-giego, a także pewnych szczególnych przypadków wielomianów wyższych stopni(1) o współczynnikach rzeczy-wistych. Dla wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach rzeczywistych przedstawiony był pewien algo-rytm pozwalający stwierdzić, czy istnieją rzeczywiste pierwiastki tego wielomianu, a w przypadku pozytywnej

1Przypomnijmy tu o metodzie rozwiązania tzw. równań dwukwadratowych.

27

28 ALiGA — Wykład 3.

odpowiedzi pozwalający je wyrazić za pomocą odpowiednich funkcji współczynników wielomianu. Jak poka-żemy w dalszym ciągu, ten sam algorytm stosuje się do wyznaczenia zespolonych pierwiastków wielomianówkwadratowych o współczynnikach zespolonych, a w szczególnym przypadku wielomianów o współczynnikachrzeczywistych nie mających pierwiastków rzeczywistych pozwala wyznaczyć ich pierwiastki zespolone.W ogólności można postawić problem istnienia pierwiastków wielomianów o dowolnego stopnia o współ-

czynnikach zespolonych, tj. problem rozwiązalności równań algebraicznych postaci

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0, gdzie a0, a1, . . . , an ∈ C.

Problem ten pochłonął wiele wysiłku ze strony matematyków XVII i XVIII wieku i doczekał się pozytywnegorozwiązania dopiero na przełomie XVIII i XIX wieku — D’Alembert i Gauss. Decydującą okolicznością okazałasię możliwość rozszerzenia dziedziny wielomianu ze zbioru liczb rzeczywistych R do całej płaszczyzny zespolonejC. W ten sposób wielomiany, które podobnie jak wielomian x2 + 1 nie mają pierwiastów w zbiorze liczbrzeczywistych, „odnajdują” swoje pierwiastki w wiekszym zbiorze, jakim jest płaszczyzna zespolona C. Faktemo pierwszorzędnym znaczeniu jest to, że ciało liczb zespolonych C zawiera pierwiastki wielomianów dowolnegostopnia, przy czym zarówno tych o współczynnikach rzeczywistych, jak i tych o współczynnikach zespolonych.Ta własność ciała liczb zespolonych C jest określana jako algebraiczna domkniętość.Sformułowane poniżej twierdzenie, często nazywane podstawowym twierdzeniem algebry, jest więc zwień-

czeniem trwających przez kilka stuleci starań rozstrzygnięcia problemu rozwiązalności równań algebraicznych.Dodajmy jednak, że twierdzenie to nie daje sposobu wyznaczenia pierwiastków dla tych równań — pod tymwzględem sprawa jest dużo bardziej złożona, gdyż w ogólności dla równań stopnia wyższego niż cztery nieistnieją czysto algebraiczne metody wyznaczania ich pierwiastków.

Twierdzenie 9 (Twierdzenie D’Alemberta–Gaussa)Dowolny wielomian f(z) stopnia n ­ 1 o współczynnikach zespolonych (w szczególności rzeczywistych) mapierwiastek zespolony.

A zatem, jeśli z1 jest pierwiastkiem wielomianu f(z), to wobec Twierdzenia Bezout możemy ten wielomianprzedstawić w postaci iloczynu

f(z) = h(z)(z − z1),gdzie h(z) jest wielomianem stopnia n− 1. Wyznaczając nastepnie pierwiastek wielomianu h(z) i kontynuującto rozumowanie (w istocie stosujemy indukcję względem stopnia wielomianu f(z)) możemy wywnioskować, żekażdy wielomian da się przedstawić w postaci iloczynu stałej an i dwumianów stopnia 1 o postaci (z − zi).Mamy zatem następujący wniosek.

Wniosek 3 Dowolny wielomian f(z) stopnia n ­ 1 o współczynnikach zespolonych można zapisać w postaci

f(z) = an(z − z1)k1(z − z2)k2 · · · (z − zp)kp (3.2)

gdzie zi, i ∈ {1, . . . , p}, są pierwiastkami wielomianu f(z), a liczby naturalne ki, i ∈ {1, . . . , p} spełniajązależność k1 + k2 + . . . + kp = n. Jeśli pierwiastki zi są parami różne (zi 6= zj dla i 6= j), to liczby ki sąjednoznacznie wyznaczone i nazywane są krotnościami odpowiednich pierwiastków.

Na podstawie tego wniosku możemy zatem powiedzieć, że każdy wielomian stopnia n o współczynnikach zespo-lonych ma dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami.

3.1.2 Równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych

Rozważmy równanie postaci

ax2 + bx+ c = 0, gdzie a 6= 0 i a b, c ∈ C. (3.3)

Stosując jak w przypadku rzeczywistym metodę uzupełniania do kwadratu możemy je zapisać w postaci

a

[(

x+b

2a

)2

− b2 − 4ac4a2

]

= 0,

A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 6 listopada 2009 roku) 29

skąd wynika równość(

x+b

2a

)2

=b2 − 4ac4a2

.

W ten sposób zagadnienie wyznaczenia pierwiastków równania kwadratowego (3.3) zostało sprowadzone do

wyznaczenia pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonejb2 − 4ac4a2

. Podobnie jak w przypadku rzeczywistym

wyrażenie b2 − 4ac nazywamy wyróżnikiem równania (3.3) i oznaczamy ∆ = b2 − 4ac.Sformułujemy teraz następujący lemat.

Lemat 1 Każda różna od zera liczba zespolona z ma dwa różne pierwiastki kwadratowe. Są one dane wzorami:

√z = ±

±√Re z dla Im z = 0, Re z ­ 0,

±i√−Re z dla Im z = 0, Re z < 0,

±(

√

Re z+|z|2+ i sgn(Im z)

√

−Re z+|z|2

)

dla (Im z) 6= 0.(3.4)

Liczba 0 ma tylko jeden pierwiastek, którym jest 0.

Ten lemat pozwala zapisać pierwiastki równania kwadratowego (3.3) w postaci znanego wzoru

x1 =−b+

√∆

2a, x2 =

−b−√∆

2a(3.5)

gdzie√∆ jest ustaloną jedną z dwóch możliwych wartości

√∆ danych wzorem (3.4).

Przykład 3.1.1 Dla wyznaczenia pierwiastków kwadratowych z liczby z = 3 + 4i rozwiążemy równanie

w2 = 3 + 4i równoważne warunkom (Rew)2 − (Imw)2 = 3, 2(Rew)(Imw) = 4.

Z drugiego warunku wynika, że (Imw) = 2/(Rew)), skąd otrzymujemy dla t = (Rew)2 równanie kwadratowe

t2 − 3t− 4 = 0, o pierwiastkach t1 = 4, t2 = −1.

Ujemny pierwiastek t2 należy odrzucić, gdyż nie może być równy kwadratowi liczby rzeczywistej Rew. Z warunku t = 4 = (Rew)2

otrzymujemy dwie wartości ±2 dla Rew i wyznaczając odpowiadające im wartości Imw otrzymujemy dwa rozwiązania równaniaw2 = 3 + 4i, a mianowicie w = ±(2 + i). Otrzymany wynik zapisuje się często w postaci

√3 + 4i = ±(2 + i).

Pisząc to należy jednak pamiętać, że symbol√z nie oznacza jednej liczby, lecz zbiór dwóch liczb, dlatego właściwszy byłby zapis

√3 + 4i = {(2 + i), −(2 + i)}.

3.1.3 Pierwiastki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych

Zacznijmy od spojrzenia z „zespolonej” perspektywy na dobrze znaną sytuację wielomianów o współczynnikachrzeczywistych stopnia drugiego. Jak wiadomo, trójmian kwadratowy w(x) = ax2 + bx + c o współczynnikachrzeczywistych ma pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik ∆ = b2− 4ac jest nieujemny.W przeciwnym przypadku możemy wyróżnik zapisać w postaci

∆ = −δ2, gdzie δ ∈ R, δ 6= 0

(kwadrat różnej od zera liczby rzeczywistej jest dodatni), skąd wynika, że zespolone pierwiastki trójmianu w(x)są dane wzorami

x1 =−b+ iδ2a; x2 =

−b− iδ2a. (3.6)

A zatem w tym przypadku pierwiastki trójmianu są do siebie sprzężone, x1 = x2. Tę obserwację możemysformułować w postaci następującego wniosku.

30 ALiGA — Wykład 3.

Wniosek 4 Jeśli liczba zespolona z o części urojonej Im z 6= 0 jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego owspółczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona z jest także pierwiastkiem tego trójmianu.Inaczej mówiąc, albo oba pierwiastki takiego trójmianu są liczbami rzeczywistymi (2), albo są parą liczb

zespolonych do siebie sprzężonych.

Przykład 3.1.2 a) Pierwiastkami wielomianu z2 + 1 są liczby z1 = i, z2 = −i, a zatem rozkład (3) ma postać

z2 + 1 = (z − i)(z + i).

b) Na podstawie wzorów uproszczonego mnożenia otrzymujemy dla z3 − 1 rozkład

z3 − 1 = (z − 1)(z2 + z + 1).

Obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego z2 + z + 1 daje

z1 = −12+i√3

2; z2 = −1

2− i√3

2, a więc z2 + z + 1 =

(

z +1

2− i√3

2

)(

z +1

2+i√3

2

)

.

Zatem poszukiwany rozkład wielomianu z3 − 1 ma postać

z3 − 1 = (z − 1)(

z +1

2− i√3

2

)(

z +1

2+i√3

2

)

. (3.7)

Wyznaczone w ten sposób liczby

z0 = 1

z1 = −12+i√3

2

z2 = −1

2− i√3

2

spełniają równanie z3 = 1 i z tego względu są nazywane zespolonymi pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki. Liczby te odgrywajądużą rolę przy wyznaczaniu pierwiastków równania sześciennego, co krótko przedstawimy w dalszej części tego wykładu.

Powyższe obserwacje odnoszące się do szczególnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych możnarozszerzyć obejmując nią wielomiany o współczynnikach rzeczywistych dowolnego stopnia n > 1.

Twierdzenie 10 Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu f(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . . + a1z + a0 są licz-bami rzeczywistymi i w ∈ C jest jego pierwiastkiem, f(w) = 0, to także liczba w sprzężona do w jest jegopierwiastkiem. Co więcej, krotności tych pierwiastków są jednakowe.

Korzystając z tego twierdzenia można wykazać, że wielomiany o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyćna iloczyn wielomianów pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych w następujący sposób.

Twierdzenie 11 Dowolny wielomian f(x) = anxn+an−1x

n−1+. . .+a1x+a0 o współczynnikach rzeczywistychmożna przedstawić w postaci iloczynu

f(x) = an(x− x1)k1 · · · (x− xr)kr(x2 + β1x+ γ1)l1 · · · (x2 + βqx+ γq)lq (3.8)

gdzie x1, . . . , xr są wszystkimi rzeczywistymi pierwiastkami wielomianu f(x), a k1, . . . , kr odpowiednio ichkrotnościami. Występujące w tym rozkładzie trójmiany kwadratowe nie mają rzeczywistych pierwiastków i sądane przez

x2 + βsx+ γs = (x− ws)(x− ws), βs = −2Rews, γs = |ws|2,przy czym liczby w1, w1, . . . , wq, wq przebiegają wszystkie pary wzajemnie sprzężonych pierwiastków zespolo-nych wielomianu f(x), a liczby l1, . . . , lq są ich krotnościami.

W odróżnieniu od rozkładu (3.2) zastosowanego w przypadku wielomianu o współczynnikach rzeczywistych,w rozkładzie (3.8) występują tylko wielomiany o współczynnikach rzeczywistych. Dodajmy, że rozkładu te-go nie można „polepszyć” w tym sensie, żeby otrzymany rozkład zawierał tylko czynniki o współczynnikachrzeczywistych niższego (tj. pierwszego) stopnia.

Zadanie 3.1.1 Przedstawić wielomian x4+x2+1 jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych możliwienajniższego stopnia analogicznie do rozkładu przedstawionego w powyższym twierdzeniu.

2Tu zaliczamy też przypadek rzeczywistego pierwiastka podwójnego odpowiadający trójmianowi będącemu pełnym kwadratem.

A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 6 listopada 2009 roku) 31

3.2 Pierwiastki wielomianów stopnia 3 — wzory Cardano

W pierwszej połowie XVI wieku włoscy matematycy opracowali metodę rozwiązywania równań algebraicznychtrzeciego stopnia, ale ponieważ historia tego odkrycia jest mocno zagmatwana przez kłótnie o pierwszeństwo iwzajemne oskarżenia o kradzież tego odkrycia, nie jest możliwe precyzyjne ustalenie autorstwa tej metody. Poraz pierwszy opublikował ją drukiem Girolamo Cardano w 1545 roku i dlatego znana jest pod jego nazwiskiem.Pierwszy krok tej metody polega na redukcji ogólnego równania stopnia 3 (możemy dla ustalenia uwagi

przyjąć, że współczynniki a, b, c, d w równaniu są liczbami zespolonymi),

ax3 + bx2 + cx+ d = 0, a 6= 0, (3.9)

do tzw. postaci zredukowanej (inaczej kanonicznej)

y3 + py + q = 0, (3.10)

w której nie występuje wyraz proporcjonalny do drugiej potęgi niewiadomej.

Zadanie 3.2.1 Wykazać, że można tak dobrać stałą α ∈ C w podstawieniu postaci

x = y + α,

aby równanie (3.9) sprowadziło się do postaci zredukowanej (3.10). Wyznaczyć także zależność między współczynnikamitych równań.

Podamy teraz sposób rozwiązania równania trzeciego stopnia w postaci zredukowanej (3.10). Przyjmując, żep 6= 0 (przypadek p = 0 daje się rozwiązać przez bezpośrednie zastosowanie wzorów na pierwiastkowanie)dokonajmy podstawienia

y = u− p3u, (3.11)

co prowadzi do równania (sprawdzić stosując wzory dwumianowe Newtona!)

u3 −(

p

3u

)3

+ q = 0.

Teraz podstawienie t = u3 sprowadza nasze równanie do równania kwadratowego dla niewiadomej t, zwanegorównaniem rozwiązującym,

t2 + qt−(

p

3

)3

= 0.

Pierwiastki równania rozwiązującego są dane wzorami

t1 = −q

2+

√

q2

4+p3

27, t2 = −

q

2−√

q2

4+p3

27.

Dla każdego z pierwiastków ti, i = 1, 2 równania rozwiązującego równanie

u3 = ti,

ma trzy pierwiastki u1, u2, u3 i u′1, u′2, u′3. Po podstawieniu tych pierwiastków do równania (3.11) otrzymujemy

sześć liczb, wsród których są tylko trzy różne i te dają rozwiązania równania (3.10).Dobrym ćwiczeniem dla czytelnika byłaby próba zastosowanie powyższej metody do rozwiązania (skądinąd

znanego) równania z3 − 1 = 0. My zilustrujemy naszkicowaną metodę innym prostym przykładem.

Przykład 3.2.1 a) Rozwiążemy metodą Cardano równanie

z3 − 18z − 35 = 0.

Jest ono podane od razu w postaci zredukowanej 3.10, przy czym p = −18, q = −35. Równanie rozwiązujące ma postać

t2 − 35t + 6 = 0,

32 ALiGA — Wykład 3.

którego pierwiastkami są liczby t1 = 8, t2 = 27. W Przykładzie 2.1.3 wyznaczyliśmy pierwiastki trzeciego stopnia z liczby 8, którymisą liczby

u1 = 2, u2 = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = −1 + i√3, u3 = 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = −1− i

√3.

Analogicznie, pierwiastkami sześciennymi z liczby 27 są

u′1 = 3, u′2 = 3(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = −3

2+ i3√3

2, u′3 = 3(cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = −

3

2− i3√3

2.

Podstawienie do równania (3.11) liczb u1, u2, u3 daje

z1 = u1 − p3u1= 2− −18

6= 5, (3.12)

z2 = u2 −p

3u2= −1 + i

√3 +

6

−1 + i√3= −52+ ii√3

2, (3.13)

z3 = u3 − p3u3= −1− i

√3 +

6

−1− i√3= −52− i i√3

2. (3.14)

Pozostawiamy czytelnikowi trud dokończenia obliczeń przez podstawienie do wzoru (3.11) liczb u′1, u′

2, u′

3 i sprawdzenie, żeprowadzi to do tych samych rozwiązań.b) Rozwiązać tą samą metodą równanie

z3 + 3z + 2i = 0

i pokazać, że pierwiastkami tego równania są z1 = 2i, z2 = z3 = −i.

Na tym zakończymy tę pobieżną dyskusję równania trzeciego stopnia odsyłając zainteresowanego czytelnikado literatury, gdzie można znaleźć przedstawienie tego zagadnienia i to na różnym poziomie trudności.