Lie環（Dynkin図形）

線型リー群𝐾 = 𝑹, 𝑪,𝑯とするとき、

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = {𝐴 ∈ 𝑀(𝑛, 𝐾)|𝐴は正則}

を一般線型群という。

一般線型群の閉部分群𝐺を線型リー群という。𝑆𝐿 𝑛, 𝐶 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝐶 det𝐴 = 1 複素特殊線型群

𝑈 𝑛 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝐶 𝐴†𝐴 = 𝐸 unitary群

𝑆𝑈 𝑛 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝐶 𝐴†𝐴 = 𝐸, det𝐴 = 1 特殊unitary群

𝑂 𝑛 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝑅 𝑡𝐴𝐴 = 𝐸 直交群

𝑆𝑂 𝑛 = 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, 𝑅 𝑡𝐴𝐴 = 𝐸, det𝐴 = 1 特殊直交群（回転群）

𝑆𝑝 𝑛 = {𝐴 ∈ 𝑀(𝑛, 𝐻)|𝐴†𝐴 = 𝐸} symplectic群

リー環

𝔤 = {𝑋 ∈ 𝑀(𝑛, 𝐾)| exp 𝑡𝑋 ∈ 𝐺 𝑡 ∈ 𝑹 }

を線型リー群𝐺のリー環という。

𝐾 = 𝑹, 𝑪とする。有限次元𝐾-ベクトル空間𝔤の任意の元𝑋, 𝑌に対して𝔤の元[𝑋, 𝑌]が一意に定まり、次の４つの条件

(1) 𝑋 + 𝑌, 𝑍 = 𝑋, 𝑍 + 𝑌, 𝑍 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔤

(2) 𝜆𝑋, 𝑌 = 𝜆 𝑋, 𝑌 𝜆 ∈ 𝐾

(3) − 𝑋, 𝑌 = [𝑌, 𝑋]

(4) 𝑋, 𝑌, 𝑍 + 𝑌, 𝑍, 𝑋 + 𝑍, 𝑋, 𝑌 = 0

をみたすとき、𝔤は𝐾-リー環であるという（実リー環および複素リー環）。

イデアル• 𝐾-リー環𝔤（𝐾 = 𝑹, 𝑪）の𝐾-部分ベクトル空間𝔞が 𝔞, 𝔤 ∈ 𝔞をみたすとき𝔞を𝔤のイデアルという。

• 𝔤の次元 dim 𝔤 > 1かつ𝔤のイデアルが自分自身と{0}のみのとき𝔤を単純であるという。

• 𝔰𝔩 𝑛, 𝐶 (𝑛 ≥ 2) ,𝔬 𝑛, 𝐶 (𝑛 ≥ 3, 𝑛 ≠ 4), 𝔰𝔭(𝑛, 𝐶)(𝑛 ≥ 1)は単純。

𝔬 4, 𝐶

のイデアルである。は

の直交基底を

とする。

の行列とする。で他が列成分のみが行、第を第

は単純でない

),4(

},,{

},,,,,{

),4(

)()()()(

],[],[],[],[],[

],[

01

),4(

142324133412

142314232413241334123412

Co

GGGGGGa

GGGGGGGGGGGG

Co

GGGG

EEEEEEEE

EEEEEEEEGG

EEEE

GG

EEG

jiE

Co

ikjljlikiljkjkil

jkliiljkikljjlikjlkiikjlilkjjkil

lkjilkijkljiklijklij

ilkjjkilklij

ijji

jiijij

ij

等々。

また、

)(

],[

0

],[

0

],[

0],[

)(2

],[

)(2

],[

)(2

],[],[],[],[

],[

14234123

133412

31422413

14233412

32411423

24133412

34123412

341221433412

14232413

241331422413

14233412

142332411423

2434133424121312

24133412

GGGG

GGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGGGG

GGGG

GGGGGG

GGGG

GGGGGG

GGGGGGGG

GGGG

カルタン部分環とルート• 単純𝑪-リー環𝔤の部分集合𝔥が次の条件をみたすとき𝔥を𝔤のカルタン部分環という。1. 𝔥は𝔤の可換な𝑪-部分リー環である。（𝐻,𝐻′ ∈ 𝔥ならば 𝐻,𝐻′ = 0）2. 𝑋 ∈ 𝔤が、すべての𝐻 ∈ 𝔥に対して 𝑋,𝐻 ∈ 𝔥であるならば、 𝑋 ∈ 𝔥となる。

• すべての𝐻 ∈ 𝔥に対して 𝑋,𝐻 = 𝛼 𝐻 𝑋をみたすような𝑋 ∈ 𝔤, 𝑋 ≠ 0が存在するとき、αを𝔤の（𝔥に関する）ルートといい、𝑋をルートベクトルという。

• 𝔤のルート全体を𝔤の（𝔥に関する）ルート系という。

• すべてのルートを 𝑖=1𝑛𝑖𝛼𝑖 (𝑛𝑖はすべて0以上またはすべて０以下の整数)と表すことのできる{𝛼𝑖 , 𝑖 = 1,2, }を、基本ルート系という。

Dynkin図形

A1(sl(2,C))=B1(o(3,C))=C1(sp(1,C))

A1xA1 (sl(2,C)xsl(2,C))

A2 (sl(3,C))

B2(o(5,C))=C2(sp(2,C))

G2

𝔰𝔩 𝑛, 𝐶

𝔥 = {𝜆1 00 −𝜆1

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶}

𝔰𝔩 2, 𝐶 のカルタン部分環は であり、𝔥に関するroot系は、±𝜆1基本root系は𝛼1 = 𝜆1

2

1

𝔥 = {

𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶,

1

3

𝜆𝑖 = 0}

𝔰𝔩 3, 𝐶 のカルタン部分環はであり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3

6

2

𝔥 = {

𝜆1 0

𝜆20

0𝜆3 00 𝜆4

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶,

1

4

𝜆𝑖 = 0}

𝔰𝔩 4, 𝐶 のカルタン部分環はであり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)基本root系は,𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3 − 𝜆4

12

3

𝔬 𝑛, 𝐶

𝔥 = {0 𝜆1 0−𝜆1 0 00 0 0

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶}

𝔬 3, 𝐶 のカルタン部分環は であり、𝔥に関するroot系は、±𝜆1基本root系は𝛼1 = 𝜆1

2

1

𝔥 = {

0 𝜆1−𝜆1 0

0

00 𝜆2−𝜆2 0

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶}

𝔬 4, 𝐶 のカルタン部分環は

であり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2)±(𝜆1+𝜆2)基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆1 + 𝜆2

2

2

2

単純でない（半単純である）

𝔬 𝑛, 𝐶

𝔥 = {

0 𝜆1−𝜆1 0

0 0

00 𝜆2−𝜆2 0

0

0 0 0

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶}

𝔬 5, 𝐶 のカルタン部分環は

であり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2)±(𝜆1+𝜆2)±𝜆1, ±𝜆2基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2

2

2

4

10𝔬 6, 𝐶 のカルタン部分環は

2

𝔥 = {

0 𝜆1−𝜆1 0

0 0

00 𝜆2−𝜆2 0

0

0 00 𝜆3−𝜆3 0

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶}

であり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆3),

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆2 + 𝜆3

6

6

3

15

𝔬 𝑛, 𝐶

𝔬 7, 𝐶 21±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆3)±𝜆1, ±𝜆2, ±𝜆3基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3

𝔬 8, 𝐶 28±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆1+𝜆4), ±(𝜆2+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆4), ±(𝜆3+𝜆4)

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3−𝜆4, 𝛼4 = 𝜆3+𝜆4

𝔤2

𝔥 = {

𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶,

1

3

𝜆𝑖 = 0}

𝔤2のカルタン部分環はであり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)±𝜆1, ±𝜆2, ±𝜆3基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2

6

2

6

𝔥 = {

𝜆1 0 00 𝜆2 00 0 𝜆3

|𝜆𝑖 ∈ 𝐶,

1

3

𝜆𝑖 = 0}

𝔰𝔩 3 のカルタン部分環はであり、𝔥に関するroot系は、±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3

6

2

𝔬 7, 𝐶 21±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆3)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆3)±𝜆1, ±𝜆2, ±𝜆3基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3

𝔣4𝔬 9, 𝐶 36±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆1+𝜆4), ±(𝜆2+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆4), ±(𝜆3+𝜆4)±𝜆1, ±𝜆2, ±𝜆3, ±𝜆4基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3−𝜆4, 𝛼4 = 𝜆4

𝔣4 52±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆1+𝜆4), ±(𝜆2+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆4), ±(𝜆3+𝜆4)±𝜆1, ±𝜆2, ±𝜆3, ±𝜆41

2(±𝜆1 ± 𝜆2 ± 𝜆3 ± 𝜆4)

基本root系は

𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3 , 𝛼4 =1

2−𝜆1 − 𝜆2 − 𝜆3 + 𝜆4

𝔬 10, 𝐶 , 𝔰𝔩 5, 𝐶

𝔰𝔩 5, 𝐶 24±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)±(𝜆1−𝜆5), ±(𝜆2−𝜆5), ±(𝜆3−𝜆5), ±(𝜆4−𝜆5)

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3−𝜆4, 𝛼4 = 𝜆4−𝜆5

20

4

𝔬 10, 𝐶 45±(𝜆1−𝜆2), ±(𝜆1−𝜆3), ±(𝜆1−𝜆4), ±(𝜆2−𝜆3), ±(𝜆2−𝜆4), ±(𝜆3−𝜆4)±(𝜆1−𝜆5), ±(𝜆2−𝜆5), ±(𝜆3−𝜆5), ±(𝜆4−𝜆5)±(𝜆1+𝜆2), ±(𝜆1+𝜆3), ±(𝜆1+𝜆4), ±(𝜆2+𝜆3), ±(𝜆2+𝜆4), ±(𝜆3+𝜆4)±(𝜆1+𝜆5), ±(𝜆2+𝜆5), ±(𝜆3+𝜆5), ±(𝜆4+𝜆5)

基本root系は𝛼1 = 𝜆1 − 𝜆2, 𝛼2 = 𝜆2 − 𝜆3, 𝛼3 = 𝜆3−𝜆4, 𝛼4 = 𝜆4−𝜆5 , 𝛼5 = 𝜆4+𝜆5

20

20

5