lógico matemático 1º

CENTRO EDUCATIVO BASICO ALTERNATIVO. MATEMATICA“ INCA GARCILASO DE LA VEGA”.

AREA LOGICO MATEMATICO

INDICE

PRIMER TRIMESTRE

UNIDADES DE APRENDIZAJE

I. Conjunto de números naturales N

● Representación en la recta numérica● Relación de orden● Operaciones básicas● Propiedades de las cuatro operaciones

II. La divisibilidad

● Múltiplos y divisores● Criterios de divisibilidad● Máximo común divisor (M.C.D.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.)● Números primos y compuestos

SEGUNDO TRIMESTRE


I. Conjunto de los números enteros (Z):

● Representación en la recta numérica● Relación de orden● Valor absoluto● Operaciones básicas● Ley de signos

II. Sistema Internacional de unidades (SI)

● Unidades de medida básicas● Unidades de medida derivadas

TERCER TRIMESTRE


I. Transformación de unidades● Factores de conversiónI● Porcentaje● Regla de tres simple● Operaciones con porcentajes

1


Formas geométricas.

● Nociones básicas de geometría: punto, recta y plano● Polígonos regulares● Polígonos irregulares

Polígonos:● Perímetro● Área de polígonos regulares● Unidades de superficie

Estadística

● Conceptos básicos: población, muestra y variable● Tabla de Frecuencias● Gráficos estadísticos● Probabilidades● Cálculo de probabilidades

2


SISTEMA DE LOS NUMEROS NATURALES ( N ).

Los números naturales es el conjunto de todos los números enteros positivos.Los números naturales se representan por N. Los elementos o cifras de los números naturales, son la combinación de los elementos del sistema decimal o dígitos : N = ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Ejemplos:los números naturales pueden ser:1) de una cifra: 7; 9; 4; 1; 8 etc.2) de dos cifras: 45; 23; 89; 50; 67; 99; etc.3) de tres cifras: 568; 8 04; 307; 3 00; 108; etc.4) más de tres cifras: 2 345; 6 701; 56 302; 80 239; 342 105; 4 609 321; 34 568 091; etc.

LECTURA DE NÚMEROS NATURALES Para hacer una correcta lectura de un número natural, el número se separa de tres en tres cifras de derecha a izquierda, tal como se observa en el modelo.

Etc.. M

il

Bill

ones

Mil

Mill

one

s

Mil

Uni

dade

s

___ ,

____

____

__!! ___ ___ ___ ,

___ ___ ___!

___ ___ ___ ,

____

____

____

Ejemplo. Leer los siguientes números enteros3 0 2 0 0 2 1 0 4 3 0 0 1 0 1 0 0 9Trescientos dos mil dos billones ciento cuatro mil trescientos millones ciento un mil nueve unidades.

4 0 1 5 0 0 0 0 4 1 0 0 2 7 0 0 0

5 0 3 2 0 0 2 0 1 0 2 0 5

ESCRITURA DE NUMEROS NATURALESPara escribir números naturales utiliza el mismo modelo de lectura

Etc.. M

il

Bill

ones

Mil

Mill

one

s

Mil

Un

idad

es

___ ,

____

____

__!! ___ ___ ___ ,

___ ___ ___!

___ ___ ___ ,

____

____

____

Escribir: Ochenticinco mil trillones veinte mil ciento cinco millones dos mil quinientos ocho unidades

8 5 0 0 0 0 2 0 1 0 5 0 0 2 5 0 8Escribir: dos trillones cuarenta mil doscientos cinco millones trescientos cinco mil cinco unidades.

3


OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

Las operaciones que podemos efectuar con los números naturales son: Adición o suma de números naturales. Diferencia o resta de números naturales. Multiplicación o producto de números naturales. División o cociente de números naturales. Potenciación de números naturales. Radicación de números naturales. Operaciones combinadas.

ADICION DE NUMEROS NATURALES.

La adición de números naturales consiste en realizar la suma de dichos números.

Para sumar correctamente los números, ordena los números de mayor a menor número de cifras.Ejemplo:Sumar 1) 7 + 45 023 + 743 + 3 006+ 95 + 402 042 402 042 + 45 023 3 006 743 95 7 _____________

2) 581+ 4 + 5 760 005+74 089+732 105+ 92+15 + 9

PROPIEDADES DE LA SUMA

1.- Propiedad Conmutativa.-

El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplos:

1) 20 + 45 = 45 + 20 = 65

2) 9 + 7 = 7 + 9 = ...........

3) 245 + 100 =.............................. = ..............

4) 567 + 340 = ........................... = 907

5) 78 + ........ = 60 +.............. = 138

1) 38 + 40 = ............................. = ..............

2) 721 + 79 = ............................. = ..............

3) 25 + 30 = ............................. = ..............

4) ........+.........=..........+............... = ................

5) ........+ 35 = 35 + .............. = 50

4


2.- Propiedad asociativa.-

Consiste en asociar los sumandos, sin que se altere el resultado total de la suma . Ejemplos:

1) 8 + 5 + 4 = ( 8 + 5 ) + 4 = 8 + ( 5 + 4 ) = = 13 + 4 = 8 + 9 = 17

2) 20 + 35 + 12 = ( 20 + 35 ) + 12 = 20 + ( 35 + 12 ) = = + 12 = 20 + =

3) 9 + 2 + 7 = ( ) + 7 = 9 + ( ) = = = =

3.- Propiedad de Clausura.

La propiedad de clausura consiste en hallar el resultado de la suma. Ejemplos.

1) 20 + 50 = 70

2) 352 + 80 =

3) 500 + 230 =

4) 3 460 + 2560 =

4.- Propiedad del Elemento Neutro.- El elemento neutro de la suma es el cero ( 0 ), de modo que si sumamos cero ( 0 ) a un número natural, el número no varía, sigue siendo el mismo. Ejemplos:

1) 800 + 0 = 800

2) 3 560 + 0 =

3) 4 652 + 0 =

4) 521 + 0 =

5.- Propiedad de Monotonía.-

Si a los dos miembros de una igualdad o de una desigualdad se le suma el mismo número entero resultan, respectivamente, otra igualdad o desigualdad del mismo sentido. Ejemplos:

1) 20 = 20 entonces 20 + 5 = 20 + 5 25 = 25

2) a = 10 entonces a + 5 = 10 +5

3) 12 8 entonces 12 + 5 8 + 5 17 13

4) 5 9 entonces 5 + 4 9 + 49 13

5) 12 = 12 entonces 12 + 6 =....... + ....... ......... = .............

6) c = 24 entonces c + 10 = 24 + .........

7) 50 40 entonces 50 + 6 40 + ........ ........ ..............

8) 15 20 entonces 15 + 5 20 + ......... ......... ............

5


6.- Propiedad Cancelativa.- Si en los dos miembros de una igualdad o de una desigualdad figura como sumando el mismo número entero, éste se puede suprimir o cancelar. Ejemplos:

1) a + 40 = 10 + 40 entonces a = 10

2) x + 20 = 30 + 20 entonces x = ........

3) a + 15 12 + 15 entonces a 124) 8 + 10 6 + 10 entonces 8 .......

5) 20 + x 15 + x entonces ....... ........

6) 4 + 3 5 + 3 entonces 4 5

7) x + 30 20 + 30 entonces x ..........

8) 20 + a 50 + a entonces ........ .........

1) a + 25 = 10 + 25 entonces a = .........

2) x + 2 = 30 + 2 entonces x = ........

3) a + 15 1 + 15 entonces a .........

4) 8 + 15 6 + 15 entonces 8 .......

5) x + 24 15 + x entonces ....... ........

6) 8 + 16 25 + 16 entonces 8 .........

7) x + 3 20 + 3 entonces x ..........

8) 10 + a 50 + a entonces ........ .........

6


DIFERENCIA O RESTA DE NUMEROS NATURALES.

Es la operación en la cual a un número mayor llamado minuendo (M) e le resta otro número menor llamado sustrayendo ( S ). El resultado de la resta se llama Diferencia ( D ).

Los elementos de la resta son:Minuendo M ; es el número mayor M - Sustrayendo S ; es el número menor S

Diferencia D ; es el resultado de la resta D

Fórmulas de la resta.1) M – S =D

2 ) M = S + D

3) S = M - D Ejemplos: 1) De 56 793 Restar 7 091 M 56 793 – S 7 091 D 49 702

2) De 485 096 Restar 93 358

M 485 096 -S 93 358 D ..............

3) Determina el Minuendo

M ...................... -S 956 739 D 2 481 319

4) Determina el sustrayendo.

M 94 276 - S ............D 85 917

5) Completa las cifras para que se cumpla la resta.

M 9 .. 5 9.... 7 -S ...3.... 5 8 5 D 5 0 3 3 5 2

6) M 6 7 3 .... 4 6.... – S 2 ... 0 8 ... 3 8 D .... 4.... 6 9 2 5

7) De 92 356 Restar 8 536 M .................. – S ................ D ...................

8) De 435 216 Restar 63 328

M 435 216 -S .............. D ..............

9) Determina el Minuendo

M ...................... -S 559 534 D 5 491 217

10) Determina el sustrayendo.

M 83 256 - S ..............D 25 319

11) Completa las cifras para que se cumpla la resta.

M 5 1.... 3....5 - S 3.... 6.... 3 9 D 1 9 2 8 4 6

12) ) M 5 7 6 ... 2 0 – S 3... 8 1 9 .... D .... 1... 1 2 7

OPERACIONES COMBINADAS DE SUMA Y RESTA.

7


Para que puedas operar fácilmente, suma aparte los números que tienen el signo + y aparte suma los que tienen signo - . Finalmente resta los resultados de las sumas.Ejemplos:Halla el resultado de:

1) 456 781 – 6 57 9 587 + 7 420 432 – 245 150 + 2 457 905 – 45 894 + 10 689 – 450 + 67 – 80 + 9 – 5suma los números con signo + Suma los números con signo - Resta los resultados de las

7 420 432 + - 6 579 587 + sumas. 2 457 905 - 245 150 456 781 - 45 894 10 345 883 - 10 689 - 450 6 872 166 67 - 80 Respuesta: 3 473 717 9 - 5 10 345 883 - 6 872 166

Halla el resultado de:2) 453 – 210 + 67 - 72 + 4 - 8 + 16 794 - 15 358 + 965 782 - 959 245 + 3 450 460

................................. + .................................

.................................

.................................

.................................

.................................

.................................. + ...................................

. ..................................

..................................

..................................

..................................... – .....................................

Problemas.-Un comerciante, durante la semana de lunes a sábado tiene los siguientes ingresos y gastos: Ingresos: 5 876; 940 ; 3 580; 1 530; 895; 6 760.Gastos: 4 570 ; 1 245; 2 350; 685; 1 240; 2 950.Cuál es el saldo del comerciante al fin de la semana?.

Ingresos: ........................... + ............................ ............................ ............................ ............................ ............................

Gastos: ................................ + ................................................................................................ ..................................................................

Ingresos: .................................. –Gastos: ..................................Saldo: .................................

8


Un constructor gasta en construir tres casa las siguientes cantidades: $ 30 500; $ 15 460; $ 12 340. Y vende las tres casas en : $ 40 420; $ 14 800; $ 15 670. Cuál es la ganancia de la venta?.

Venta: ................................. + .................................. ..................................

Gastos: ............................... + ............................... ...............................

Venta: ............................. –Gastos: ..............................Ganancia: .............................

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES.

Es una operación entre dos números naturales llamados factores, uno que es multiplicado llamado multiplicando y otro que multiplica llamado multiplicador. El resultado de la multiplicación se llama producto

Ejemplo. Multiplicar los números 4 560 por 65 4 560 * Multiplicando 65 Multiplicador 22800 27360 ______________ 296400 Producto.

Multiplica los números 573 484 por 258

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN.- Propiedad conmutativa.- el orden de los factores no altera el producto. Es decir el resultado de la multiplicación es el mismo. Ejemplos:

1) 10 x 8 = 8 x 10 = 80

2) 7 x 6 = 6 x 7 = ..............

3) 15 x 20 = ................. = 300

4) 30 x 12 = .................. = ..............

5) 9 x 10 = 10 x ........ = 90

6) 15 x 8 = ................... = ..............

7) 45 x 2 = 2 x .......... = 90

8) 25 x 4 = 4 x ........... = .............

9


Propiedad asociativa.- consiste en asociar factores de modo que al final el resultado de la multiplicación no varía. Ejemplos.

1) 6 * 7 * 2 = ( 6 * 7 ) * 2 = 6 * ( 7 * 2 ) = 84 = 42 * 2 = 6 * 14 = 84

2) 5 * 3 * 8 = ( 5 * 3 ) * 8 = 5 * ( 3 * 8 ) = 120 = * 8 = 5 * =

3) 9 * 7 * 1 = ( * ) * 1 = 9 * ( * ) = 63 = * 1 = 9 * =

4) 5 * 6 * 4 = ( * ) * 4 = * ( 6 * 4 ) = 120 = * = * =

Propiedad Distributiva.- consiste en que uno de los factores se puede desdoblar en dos sumandos de modo que al ser multiplicados por el multiplicador el resultado de la multiplicación no varía. Ejemplos:

1) 8 * 40 = 8 * ( 30 + 10 ) = 320 = 8 * 30 + 8 * 10 = 320 = 240 + 80 = 320

2) 9 * 25 = 9 * ( 10 + 15 ) = 225 = 9 * + 9 * = 225 = 90 + 135 =

Propiedad Elemento Neutro.- El elemento neutro de la multiplicación es la unidad, de modo que la multiplicar un número por 1, el resultado sigue siendo el mismo número. Ejemplos:

1) 2 345 x 1 = 2 345

2) 60 x 1 =

3) 5 x 1 =

4) 0 x 1 =

Propiedad de Clausura.- Consiste en multiplicar los números dados. Ejemplos:

1) 40 x 5 = 200

2) 45 x 20 =

3) 60 x 9 =

4) 85 x 30 =

Propiedad Cancelativa.- a) Si ambos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número este se puede cancelar. Ejemplos:

1) M x 40 = 60 x 40 . cancelando 40 en ambos miembros se tiene: M = 60

2) R x 240 = 500 x 240 R =

3) X x 30 = 40 x 30 X =

4) D x 500 = 200 x 500 D =

b) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número, este se puede cancelar y la desigualdad sigue manteniendo el mismo sentido. Ejemplos:

1) 30 x 12 40 x 12. Cancelando 12 en ambos miembros se tiene. 30 40

3) 60 x 20 35 x 20 ........ ...........

10


2) 50 x 35 25 x 35 ......... .........

3) 68 x 20 80 x 20 .......... ...........

4) A x 35 30 x 35 ............ ...........

5) 15 x R 20 x 15 ......... ............

6) 37 x 15 45 x 15 ......... ..........

7) M x 40 10 x 40 ......... ............

8) 9 x 5 24 x 5 .......... ...........

9) 40 x S 40 x 21 ......... ..............

DIVISIÓN DE NUMEROS NATURALESLa división es una operación inversa de la multiplicación, que tiene por objeto, dado el producto de dos factores y uno de ellos, hallar el otro. Ejemplo: sean los factores 40 x 32 = 1280 es el producto.Si dividimos 1280 entre 32 la respuesta es 40.Si dividimos 1280 entre 40 la respuesta es 32 Los elementos de la división son :

Dividendo D divisor d cociente c residuo. r

D = d x c + r

Ejemplo. Dividir. 5 8 5 : 18

D d 5 8 5 1 8 4 5 9 3 2 r c

POTENCIACION

Es la operación que tiene por objeto determinar la potencia de un número. La potencia de un número es el producto que resulta de multiplicar varias veces un número o factor por si mismo. El número de veces que se multiplica un número por si mismo se llama exponente.

Ejemplo: exponente la base es 5 el exponente es 4 5 x 5 x 5 x 5 = ( 5 ) 4 = 625 potencia la potencia es 625

base

Determina la potencias de:

1) ( 3 ) 5 = 3 x3 x 3 x 3 x3 = 243

2) ( 8 ) 3 =

3) ( 1 ) 6 =

4) ( 12 ) 2 =

5) ( 4 ) 4 =

6) ( 11 ) 3 =

11


LA RADICACION

Es la operación contraria o inversa de la potenciación que consiste en hallar la base o raíz de la potencia o de un número.

Ejemplo: índice

Si ( 5 ) 4 = 625 , entonces la raíz cuarta de 625 es 5. Es decir: 4 625 = 5 base o raíz.

Potencia

Indica las raíces de los siguientes ejemplos.

5

1) Si ( 2 ) 5 = 32 entonces 32 = 2

4 2) ( 3 ) 4 = 81 entonces 81 =

3) ( 12 ) 2 = 144 entonces 144 =

4) Si ( 25 ) 2 = 625 entonces 625 =

5) ( 7 ) 3 = 343 entones 3 343 =

6) ( 1 ) 9 = 1 entonces 9 1 =

Cualquier número elevado a exponente 0, la potencia es 1.0 = 1 ( 25 ) 0 = 1 ( 1 ) 0 = 1 ( 10 ) 0 = 1

Cualquier número elevado a exponente 1 ,la potencia sigue siendo el mismo número. Ejemplos:

( 345 ) 1 = 345 ( 10 ) 1 = 10 ( 1 ) 1 = 1 ( 25 ) 1 = 25

Extracción de la raíz por descomposición de factores primos.- Por este método se procede de la siguiente manera:1) Descomponemos el número en sus factores primos.2) Los factores iguales los agrupamos en una cantidad según indica el índice.3) De cada grupo se toma uno de ellos como raíz, multiplicándolos finalmente.

Ejemplos:

Raíz Cuadrada.- Extraer la raíz cuadrada deun número consiste en buscar un número que multiplicado por si mismo dos veces, el producto es el número al cual se le extrae la raíz cuadrada.

12


1) 1 = 1 porque 1 x 1 = 1

2) 4 = 2 porque 2 x 2 = 4 3) 9 = 3 porque .............. = ......

4) 16 = 4 porque ............. = ........

5) 25 = 5 porque ............. = .........

6) 36 = 6 porque ............ = ........

Radicación por descomposición de factores primos:

1) 3600 = 2 x 2 x 3 x5 = 60

3 6 0 0 2 2 1 8 0 0 2 9 0 0 2 4 5 0 2 2 2 2 5 3 7 5 3 3 2 5 5 5 5 5 1 2) 11025 = =

1 1 0 2 5

3) 2 1 3 4 4 4 = .................... = ...........

2 1 3 4 4 4

4) 4 3 5 6 = .......................... = .........

4 3 5 6

OPERACIONES COMBINADAS

13


En las operaciones combinadas, tenemos sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación. En la solución de las operaciones combinadas debemos seguir un orden.1) los signos + y – separan pequeñas operaciones en las cuales debemos resolver

las potencias, raíces, divisiones y multiplicaciones.2) Finalmente sumamos o restamos los resultados de esas pequeñas operaciones.

Ejemplos: resolver las siguientes operaciones combinadas.

1) 3 27 + 16 : 4 x 2 - 3 2 : 9 x 2 - 16 3 + 8 - 2 - 4 = 5

2) 81 : 3 x 5 - 144 : 4 x 5 + 53 : 25 - 50 0

3) 80 : 10 x5 + 144 : 16 x 9 0 - 30 : 6 x 100 0 - 38 1

4) 80 : 2 : 4 : 5 + 100 1 : 25 : 5 1 - 3 6 + ( 40 x 5 ) 0 + 4 : 2 x 1

5) 60 : 10 x 3 : 9 + 100 : 20 : 5 x 2 x3 - 64 + 64 0 x 1 + 11000

6) 3 27 x 3 8 + 3 100 : 3 25 - 3 64 + 710

Raíz cuadrada por método general1. Separar el número de dos en dos cifras de derecha a izquierda.2. extraer la raíz cuadrada del primer par de cifras.3. duplicar la primera raíz.4. bajar el siguiente par de cifras y el número formado dividir entre la primera raíz

duplicada 5. Repetir los pasos 3 y 4 y así sucesivamente hasta el final. Ejemplo: extraer la raíz cuadrada por el método general de los siguientes números.1. 2. 2 0 2 5 4 5 1 5 3 7 6 1 6 4 2 5 8 5 x 5 4 2 5 0

3. 2 0 3 4 0 1 4. 5 3 8 2 4

14


5. 5 3 8 2 4 6. 9 8 0 1

7. 9 8 0 1 8. 2 7 2 2 5

DIVISIBILIDAD

15


Cuando hablamos de divisibilidad nos referimos a números que son divisibles exactamente entre otros números, donde no hay residuo ( residuo = 0 ).

Ejemplos:1) el número 43 560 es divisible exactamente entre 2, 3, 5, 6, 10 , 11, .......... .

comprueba dividiendo el número entre estos números y veras que las divisiones son exactas, no hay residuo ( residuo = 0 ).

2) Comprueba que el número 7700 es divisible entre 2, 5, 7, 10 y 25.7 7 0 0 2 7 7 0 0 5 7 7 0 0 7 7 7 0 0 25

Divisibilidad por 2.

Un número es divisible por 2, si el número termina en 0 o en cifra par: Ejemplos:a) 348670 b) 34588 c) 23400 d) 199992 e) 14446 f) 24356784da otros ejemplosa)............... b)................ c)................... d)..................

e).....................f).........................


Un número es divisible por 3 si la suma de las cifras del número es 3 o múltiplo de 3. Ejemplos:a) 663 b) 100101 c) 285 d) 2991 e) 400239 f) 2235Da otros ejemplos:a)................ b) .................. c) .................... d) .................. e) ..................

f) ......................


Un número es divisible por 5, si el número termina en 0 o en 5. Ejemplos:a) 2345610 b) 555995 c) 11770 d) 48542115 e) 45515 f) 1113330da otros ejemplos:a) ................. b) .................. c) ....................d) .................... e) ................

f) .......................


Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplos:

a) 43 710 b) 33 312 c) 516 d) 8 910 e) 9930 f) 510da otros ejemplos.

a) ................ b) .................. c) ..................d).....................e)....................f) .................................


16


Un número es divisible por 10 si la última cifra del número es un cero ( 0). Ejemplos:a) 8970 b) 11700 c) 590 d) 37900 e) 1110

f) 55500a otros ejemplos:a) ............... b) ....................c) .................... d) ................ e) ..................

f) .......................


Un número es divisible por 11, si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan los lugares impares ( primera, tercera, quinta, sétima cifra, etc ) con la suma de las cifras que ocupan los lugares pares ( segunda, cuarta, sexta, octava cifra, etc ), es 0 u 11. Ejemplos:a) 9 2 3 1 5 3 es divisible por 11, porque ( 9 +3 +5 ) – ( 2 + 1+ 3 ) = 17 - 6 = 11b) 6 8 3 6 5 es divisible por 11 porque ( 6 + 3 + 5 ) - ( 8 + 6 ) = 14 – 14 = 0da otros ejemplosa) .....................................................................................................................................

..............b) ....................................................................................................................................

..............c) .....................................................................................................................................

..............

Números primos.-

Los números primos son aquellos que son divisibles solamente entre 1 y entre sí mismos y entre nadie más. Los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc y todos aquellos que no están en la tabla de multiplicar como resultado de la multiplicación.

Descomposición de números en sus factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos debemos hacerlo en órden, es decir, ver si el número tiene:

Mitad 2Tercia 3Quinta 5Sétima 7Onceava 11Treceava 13, etc.

Ejemplo. Descomponer en sus factores primos los siguientes números.2520 2 4 6 2 0 1 3 8 6 0 1260 2630 2315 3105 335 57 71

Determinación de todos los divisores de un número.

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Para hallar todos los divisores de un número, procedemos de la siguiente manera: descomponemos el número en sus factores primos. Confeccionamos la lista de todos los divisores con los factores primos, tomando

primero los factores simples y multiplicando los factores entre sí.

Ejemplos.1) determinar todos los divisores de 60

6 0 2 todos los divisores de 60 son:3 0 2 60 = ( 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ).1 5 3 5 5 1

1) determina todos los divisores de 420

4 2 0 2 todos los divisores de 420 son: 2 1 0 2 1 0 5 3 420 = ( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 35 5 70, 84, 105, 210, 420 ) 7 7 1


8 0 todos los divisores de 80 son: 8 0 = (........................................................................................................)


1 2 0 todos los divisores de 120 son:

120 = (..........................................................................................)

Determinar los divisores comunes de dos o más números.

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Dado dos o más números debemos determinar los divisores comunes, al mayor de ellos se le conoce como el Máximo Común Divisor ( M. C. D ). Procedemos de la siguiente manera: descomponemos los números en sus factores primos. Determinamos todos los divisores de los números . Tomamos todos los divisores comunes de los números ( los que se repiten),

señalando al mayor de todos, que es el M.C.D.

Ejemplos:1) Determinar los divisores comunes de los siguientes números : 60, 210 y 990 .

Indicar el Máximo Común Divisor ( M.C.D).

Descomponemos los números en sus factores primos.

6 0 2 2 1 0 2 9 9 0 23 0 2 1 0 5 3 4 9 5 31 5 3 3 5 5 1 6 5 3 5 5 7 7 5 5 5

1 1 1 1 11 1

Los divisores de los números son:

60 = ( 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ) 210 = ( 2, 3, 5, 7, 10, 15, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210). 990 = ( 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990)

Observamos que los divisores comunes son: ( 2, 3, 5, 10, 15, 30 ), donde el mayor divisor común es 30, es decir el Máximo Común Divisor es 30. ( M .C.D = 30 ).

Comprobamos que el Máximo Común Divisor por el método práctico es:

6 0 2 10 9 9 0 2 M: C. D = 2 x 3 x 5 = 30 3 0 1 0 5 4 9 5 31 0 3 5 1 6 5 5 2 7 5 3

2) Determina los divisores comunes de los números e indica el M.C.D de dichos números. Descomponemos los números en sus factores primos:

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8 4 1 2 6 1 4 0

Comprueba el M.C.D por el método práctico

84 126 140

M.C.D = ..............................

Los divisores de los números son:84=(...........................................................................................................................)

126=(..........................................................................................................................)

140=(......................................................................................................................... )

Los divisores comunes son: (................................................)

El M.C.D es = ................

El Mínimo Común Múltiplo.

Dado dos o más números el Mínimo Común Múltiplo consiste en determinar el menor múltiplo común de dichos números.

Múltiplos de un Número.

Para determinar los múltiplos de un número multiplica el número por los números naturales:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, etc .........................................Ejemplos:1) Los diez primeros múltiplos de 15son: 15 = ( 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, ...................................)

2) Halla los quince primeros múltiplos de 20:

20=(...........................................................................................................................................)

3) Halla los diez primeros múltiplos de 12: 12=( ………..............................................................................................................................)

Determinar los múltiplos comunes de dos o más números.

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Dado dos o más números determinamos los múltiplos de dichos números, hasta encontrar por lo menos dos múltiplos comunes, indicando el menor múltiplo común, el cual se le conoce como el Mínimo Común múltiplo. ( M.C.M ).Ejemplos:1) Dado los números 4, 6 y 12 determinar los múltiplos de dichos números, indicando

el menor múltiplo común. Los múltiplos de los números son: 4= ( 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ............................)

6= ( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, ...........................)

12 =( 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120...........................)

Observamos que los múltiplos comunes son: ( 12, 24, 36, 48, 60, ............etc ). Donde el menor múltiplo común es 12, es decir M.C.M = 12

Ahora comprobamos por el método práctico que el Mínimo Común múltiplo es 12. M.C.M = 12

4 6 12 2 entonces: M.C.M = 2 x 2 x3 = 12 2 3 6 2 1 3 3 3

1 1

2) Determina los múltiplos de 4, 8 y 10 . determina los múltiplos comunes indicando el Mínimo Común Múltiplo de los números.

Los múltiplos de los números son: 4=(..................................................................................................................................) 8=(...................................................................................................................................) 12=( .................................................................................................................................)

Los múltiplos comunes son: ( .........................................). entonces el M.C.M = ..............

Comprueba por el método práctico: 10 8 4 Entonces: M.C.M=....................

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lógico matemático 1º

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