lugar geomÉtrico de las raices

Lugar Geométrico de la Raíces Sistemas de Control

Por: Raúl R. Roque Y. 1

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES

Introducción

La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado

SLC, está estrechamente ligada a la ubicación de los polos del mimo.

R.W. Evans desarrolló un método para hallar las raíces del polinomio característico

del SLC , este fue denominado “Método del Lugar de Raíces”. El mismo permite

hallar todos los polos del SLC, partiendo del sistema de lazo abierto SLA ,

tomando una ganancia como parámetro, además permite seleccionar dicha

ganancia de tal forma de desplazar los polos del SLC a posiciones deseadas y

obtener cierto desempeño deseado.

El método del lugar geométrico de las raíces es aplicable a sistemas con retardo de

transporte y es extensible al uso de varios parámetros.

Lugar geométrico de las raíces

Sea el sistema representado en la figura:

+

-)(sGK

R(s) C(s)

Fig. 1 Sistema de Control

cuya función de transferencia es :

)(1)(

)()(

sKGsKG

sRsC

+= ; (1.1)

la ecuación característica o polinomio característico es:

0)(1 =+ sKG ; (1.2)



de aquí se desprende dos condiciones:

Condición de Angulo: la relación (1.2) debe cumplir con:

)12(180)12()( +°=+±=∠ kksKG π ; (1.3)

Condición de Magnitud: la relación (1.2) debe cumplir con:

1)( =sKG ; (1.4)

Los valores de s que cumplen con las condiciones de ángulo y magnitud, son las

raíces de la ecuación característica o polos del SLC. El diagrama de los puntos del

plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo constituye el lugar

geométrico de las raíces.

Se considera todos los valores positivos de K . En el limite 0→K los polos del

SLC son iguales a los polos del SLA.

La función )(sG puede ser escrita como:

nnnn

mmmm

bsbsbs

asasas

sDsNsG

++++++++==

−−

−−

11

1

11

1

......

)()()( ;

mn > ; (1.5)

donde n ym definen el órden de los polinomios )(sD y )(sN . El sistema debe tener

siempre n polos, el lugar de las raíces debe tener n ramas, cada rama inicia en un

polo de )(sG (ó raíz de )(sD ) y termina en un cero de )(sG (ó raíz de )(sN ). Si

)(sG tiene más polos que ceros (como es en la mayoría de los casos) se dice que

)(sG tiene ceros en infinito. En este caso 0)( =∞→

sGLims

.

El numero de ceros en infinito es mn − y es el número de raíces que van al infinito

(asíntotas).

Diseño analítico

Se presenta a continuación la traza del Lugar geométrico de las raíces utilizando

un método analítico y será mostrado con un ejemplo:

Sea la función de transferencia de un sistema:



)5)(3)(1)(208(54

)( 2

2

+++++++

=sssss

sssG ;

Solución.-

1.- Determinar los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, para ello se

utiliza la condición de ángulo.

Im

Re

2

1

-1

-2

-1-3-5

Fig. 2 Posible lugar de Raíces

2.- Determinar las asíntotas del Lugar Geométrico de las Raíces:

mn

k

−+°

±=)12(180

θ ; ,...2,1,0=k

con =n número de polos y =m número de ceros, entonces:

)12(603

)12(180+°=

+°±= k

kθ ;

°= 600θ , °= 1801θ , °= 3002θ

3.- Determinar la intersección de las asíntotas con el eje real.

mn

cerospolos

−

−= ∑ ∑σ ;

entonces:



67.43

1425

)22()44531(−=−=

−+−++++

=σ

Hasta aquí se tiene la siguiente grafica

Im

Re

2

1

-1

-2

-1-3-5

Fig. 3 Puntos de Intersección y asíntotas del LGR

4.- Como se tiene 2 ramas unidas sobre el eje real (lugar de raíces entre –1 y -3),

ellos quiebran en su trayectoria a °90 , el punto de quiebre se determina utilizando:

0)(

=ds

sdf , donde )(1)( sGsf +=

reemplazando se tiene:

)5)(3)(1)(208(541)(

2

2

++++++++=

ssssssssf ;

finalmente:

01700319026611269344503)()( 23456 =++++++== sssssssP

ds

sdf ;

cuyas raíces son:

7978.11 −=s ;

7044.32 −=s ;



is 1975.12363.44,3 ±= ;

is 6059.13459.16,5 ±−= ;

solo 1s pertenece al Lugar geométrico de las raíces, por tal razón el punto de

quiebre de las ramas es:

7978.1−=γ .

Se construye finalmente el Lugar Geométrico de las Raíces, mediante el uso de la

regla: El diagrama del lugar de raíces parte de los polos del SLA y terminan en los

ceros del SLA, con esto se tiene la grafica.

Im

Re

2

1

-1

-2

-1-3-5

7978.1−=γ6667.4−=σ

Fig. 4 Lugar Geométrico de las Raíces

Con el anterior ejemplo se dio a conocer los pasos necesarios para realizar el

trazado del Lugar geométrico de la Raíces.

A continuación se utiliza el método , en el diseño de sistemas de control. Primero

se lo realiza de forma analítica y luego utilizando la herramienta computacional

MATLAB.



Ejemplo 2.-

Sea el SLA, con función de transferencia:

)6)(2)(6(56

)( 2

2

+++++

=sss

sssG ; (2.1)

Trazar el Lugar Geométrico de las Raíces, diseñar K de tal manera que el sistema

tenga como polos dominantes a is 824.9571.02,1 ±−= .

Solución.- El comportamiento del SLA a una entrada escalón es:

Tiempo (sec.)

Am

plitu

d

Respuesta en e l t iempo de G(s)

0 2 4 6 8 10 12-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Fig. 5 Respuesta en el Tiempo

Como se muestra en la figura anterior, el sistema es oscilante y mediante la

elección de la ganancia K , se mejorar el desempeño del SLC.

1.- Primero se identifica los polos y ceros de la función de transferencia, con esto se

determina los posibles lugares de las raíces.

Polos : is 62,1 ±= , 23 =s , 64 =s .

Ceros: 11 =z , 52 =z .

De esa manera se tiene :



Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

Fig. 6 Posible Lugar Geométricos de Raíces

2.- Determinación de las asíntotas de los lugares geométricos:mn

kk −

+°±=

)12(180θ ;

)12(9024

)12(180+°±=

−+±

= kk

kθ ; (2.2)

Las asíntotas tiene ángulos : °= 900θ , °= 2701θ ;

3.- Determinación del Punto de intersección de las asíntotas con el eje real.

mn

cerospolos

−−

= ∑ ∑σ ;

24)15()6662(

−+−−++

=ii

σ ; (2.3)

El punto de intersección de las asíntotas y el eje real se produce en :

1=σ ;

4.- Determinación del puntos de quiebre de las ramas. Nótese que en este ejemplo

no se tiene la unión de dos ramas (polos).



0)()()(

=== sPds

sdG

ds

sdf ; (2.4)

01152384116262)( 345 =−−++= sssssP ; (2.5)

cuyas raíces son:

012.21 =s ;

is 101.227.53,2 ±−= ;

is 971.123.25,4 ±−= ;

ninguno de estas soluciones pertenece al Lugar de Raíces, entonces quiere decir

que no hay puntos de quiebre.

5.- Determinación de los ángulos con que el lugar de raíces deja a los polos:

∑∑ ∠+∠−+°= cerospolosotroskk )12(180ω ;

°=°+°+°+°+°−°= 110)7232()905727(1801ω ; (2.6)

como los polos son conjugados:

°−=°=°−°−+°−°−°−−= 110250)7232()905727(1802ω . (2.7)

La mediciones se muestran en la figura siguiente.

Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

27 32 57 72

Fig. 7 Medición de ángulos



6.- El valor de K se halla reemplazando el polo deseado (este polo debe estar en el

LGR), y cumple con:

1.6456

)128)(36(

)(1

824.9571.0

2

22

=++

+++==

+−= isss

sss

sGK . (2.8)

Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

Fig. 8 Lugar geométrico de la Raíces

El sistema de Lazo cerrado es ahora es:

+

-)(sG1.64

R(s) C(s)

Fig. 9 Sistema de Lazo cerrado

el comportamiento en el tiempo se muestra en la figura 10.



T ime (sec . )

Am

plitu

deStep Response

0 2 4 6 8 1 00

0.2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1.2

1 .4

From: U(1)

To:

Y(1

)

Es importante aclarar que el sistema en lazo abierto era oscilatorio, en cambio con

el uso de método del Lugar Geométrico de las raíces se ha encontrado una

ganancia la misma que hace que el sistema de lazo cerrado tenga mayor

desempeño, aunque con un sobre paso bastante grande.

El diseño anterior puede ser resuelto utilizando algunas herramientas

computacionales. Ahora se presenta el desarrollo del diseño utilizando rutinas de

MATLAB.

El Lugar Geométrico de Raíces es trazado mediante la función rlocus, , se utiliza

el siguiente script para generar tal grafica:

> num=[1 6 5];

> den=[1 8 48 288 432];



> sisla=tf(num,den);

> rlocus(sisla);

Generando :

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

Real Axis

Imag

Axi

s

mediante la función rlocfind se busca los polos deseados:

> z=0.057;

>wn=9.84;

> sgrid(z,wn);

> rlocfind(sisla);



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

1 0

2 0

3 0

4 0

Real Axis

Imag

Axi

s

esta función determina la ganancia K para obtener los polos deseados, el resultado

fue el siguiente:

» rlocfind(sisla)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-0.59447004608295 + 9.59064327485381i

ans =

59.81092426934112.

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