MAKALAH

METODE TRANSFORMASI

Disusun oleh :

KELOMPOK 3

1. (5150711122) Muhammad Ade Irawan2. (5150711096) Fariz Saputra3. (5150711127) Ervandi Putra AS4. (5150711108) Marlon Setio Nugroho5. (5150711119) Irfan Widanarko6. (5150711129) Iqbal Fajar Syahbana7. (5150711133) Duwi Sulistiyono

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA

2016

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan ke-hadirat Tuhan, karena atas berkat

rahmat dan karuniaNyalah, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Adapun

tujuan makalah ini adalah untuk menjelaskan deret fourier jangkauan setengah

dan deret fourier fungsi eksponensial.

Dengan membuat makalah ini, di harapkan mampu untuk memberikan

masukan mengenai deret fourier, sehingga dapat menghasilkan proses

pembelajaran yang lebih baik .

Dalam menyelesaikan makalah ini, terdapat beberapa kesulitan yang

dialami, namun berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, akhirnya karya

tulis ini dapat terselesaikan dengan cukup baik. Untuk itu kami banyak

mengucapkan banyak terima kasih.

Disadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya, sehingga

diharapkan adanya kritik yang membangun dan saran yang bersifat positif, guna

terciptanya makalah yang lebih baik lagi ke depannya.

Adapun harapan kami, semoga makalah yang sederhana ini, dapat

memberi masukan yang baik bagi kampus kita yang tercinta.

1

DAFTAR ISI

SAMPUL

KATA PENGANTAR........................................................................... 1

DAFTAR ISI ........................................................................................ 2

BAB I PENDAHULUAN.................................................................... 3

A. Latar Belakang ............................................................ 3

BAB II PEMBAHASAN ................................................................... 6

A. Deret Fourier Jangkauan Setengah .............................. 6

B. Deret Fourier Eksponensial........................................... 10

BAB III PENUTUP ............................................................................ 14

A. Kesimpulan .................................................................... 14

B. Saran .............................................................................. 14

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean Baptiste Joseph

Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal

periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret Fourier yang merupakan

deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya)

mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi tinggi &

daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi dari t, maka akan

diperoleh fungsi periodik f(t).

Catatan :

1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang dengan

bentuk yang sama dalam setiap periode, maka sinyal tersebut

dikatakan sebagai sinyal periodik.

2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan

frekuensi tertentu.

3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah nada

dengan frekuensi 2, 3, 4, ... kali frekuensi dasar.

4. Frekuensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.

5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkuensi dasar, maka 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi.

6. Kombinasi antara frekuensi dasar & harmoniknya membentuk

fungsi periodik dengan periode dasar.

3

7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan

dari sinyal-sinyal harmonik.

8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal periodik

dinyatakan dalam Deret Fourier.

Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik dengan periode T,

jika untuk setiap x berlaku :

𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode terkecil

atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan periode T didapat

dengan menggambarkan grafik fungsi dasarnya secara berulang seperti

gambar berikut :

1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 adalah 2𝝅

2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 2𝝅

3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭an 𝒙 adalah 𝝅

4

Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang

terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)= f(x + T), maka

fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut :

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien-

koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integral

sebagai berikut :

5

BAB II

PEMBAHASAN

A. DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH

Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan

dalam suatu selang positif; 0 < x < l. Oleh karena itu seringkali perlu untuk

memperluasnya ke seluruh sunbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun ke

arah sumbu x negatif.

Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak genap

dengan periode T = l; dan selang dasarnya 0 < x < l, dengan l

sembarang positif.

2. Selang dasar 0 < x < l diperluas ke selang negatif secara simetris

terhadap sumbu x = 0 menjadi – l < x < l, dan fungsi f(x) diperluas

menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2l.

Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x)

sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x).

Contoh: Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah:

Nyatakan fungsi ini dalam:

a. Deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap)

b. Deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil)

c. Deret Fourier fungsi cosinus-sinus (fungsi tidak genap-tidak ganjil)

6

Pemecahan:

a. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier kosinus (fungsi genap)

Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas

diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas

menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode T = 4 (L = 2)

seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut:

Maka diperolah uraian deret Fourier cosinus untuk f(x), sebagai berikut :

7

b. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil)

Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas

diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas

menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan periode T = 4 ( L =

2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:

Maka diperoleh uraian deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai berikut:

c. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-

tidak genap)

8

Untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri

dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1) seperti pada gambar

berikut :

Koefisien-Koefisien Fourrier a0, an dan bn dapat ditentukan sebagai

berikut :

Sehingga pernyataan deret Fouriernya adalah :

9

B. DERET FOURIER EKSPONENSIAL

Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula dibangun dari

fungsi eksponensial, dengan menggunakan hubungan Euler sebagai berikut:

Dengan menyisipkan :

dan

ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik, sebagai berikut:

Di dapat:

10

Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulang dengan –n. Jika

didefinisikan :

Maka di dapat pernyataan fungsi periodik dalam deret Fourier eksponensial

sebagai berikut :

Koefisien Cn dapat di cari dengan persamaan integral berikut :

Dan

11

Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodik sebagai

berikut:

Pemecahan :

12

Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :

Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai berikut :

13

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam penggunaan deret fourier jangkauan setengah diperlukan

penyelesaian dengan menggunakan pemecahan fungsi genap(cos), fungsi

ganjil(sin) dan fungsi tidak genap-fungsi tidak ganjil(cos-sin). Sedangkan

dalam penggunaan deret fourier eksponensial diperlukan penyelesaian

dengan menggunakan pemecahan dari fungsi periodik dengan

menggunakan hubungan Euler.

B. Saran

Dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan dan

kendala yang kita hadapi diharapkan teman-teman dan juga dosen pembina

dapat memberikan masukan sehingga bisa menjadikan makalah ini

menjadi lebih baik.

14

15