matematika 3. módszertani ajánlások, második...

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné

MATEMATIKA 3.

MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK

MÁSODIK FÉLÉV

Ellentétes mennyiségek

Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-

vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-

érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-

ség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és

önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.

Óra: 72{74. 80{82. 90{93.

Az ellentétes mennyiségeket pozitív és negatív számokkal jellemzünk, és a h®mérséklet

mérésével vezetjük be.

A h®mérséklet változását eszköz segítségével �gyeltessük meg. Így értelmezhetjük a

negatív számokat, a tanulók tapasztalatot szerezhetnek az egész számok nagysági

viszonyairól, gyakorolhatják a negatív mér®számok számskáláról való leolvasását, a

h®mérséklet-változások követését. El®készítjük az egész számok ábrázolását száme-

gyenesen, illetve a h®mérséklet-gra�konok vizsgálatát, készítését.

A h®mér® megismerése, a h®mérséklet mérése, a h®mérséklet alakulása a különböz®

napszakokban, illetve évszakokban mind-mind kapcsolódik a környezetismeret tananya-

gához, ezért hangoljuk össze a két tantárgy tanmenetét. Éppen amiatt célszer¶ január-

ban feldolgozni ezt a tananyagot, mert így a tanulók feljegyezhetnek és például gra�ko-

non ábrázolhatnak fagypont alatti, illetve fagypont fölötti értékeket is.

Tk. 105/Emlékeztet®: Idézzük fel a h®mér®r®l korábban szerzett ismereteket.

Tk. 105/1. kidolgozott mintapélda: A h®mérséklet változását eszköz segítségével �-

gyeljük meg. Így értelmezhetjük a negatív számokat.

Tk. 105/1. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.

Megoldás: a) + 12 �C b) { 15 �C c) { 7 �C d) + 6 �C


Megoldás: a) {3 �C b) +2 �C

c) +6 �C d) {6 �C

e) {4 �C f) +4 �C

g) +20 �C h) {2 �C


Megoldás: a)�C > 2 �C b) {5 �C < 2 �C

c) 5 �C > {2 �C d) {5 �C < {2 �C

e) 0 �C < 4 �C f) 0 �C > {4 �C

g) {3 �C < 1 �C h) {3 �C < {1 �C

196 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program

M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008


Megoldás: a) 2 �C, 3 �C, 4 �C

b) {2 �C, {1 �C, 0 �C, 1�C

c) {3, {4 �C, {5�C

d) {3 �C, {2 �C, {1 �C, 0 �C, 1 �C, 2 �C, 3 �C


Megoldás: a) {4 �C < {3 �C < {2 �C < {1 �C < 0 �C < 1 �C < 5 �C

b) {5 �C < {4 �C < {3 �C < {2 �C < 1 �C < 2 �C < 3 �C

Tk. 106/6. feladat: Beszéljük meg, ezek az állatok milyen h®mérséklet¶ területen élnek.

Megoldás: Jellemz® h®mérséklet.

0 �C-nál kisebb 0 �C-nál nagyobb

Pingvin Tigris

Jegesmedve Gólya

Fóka Majom


Megoldás: a) Legmelegebb: 13 órakor, leghidegebb: 7 órakor.

b) 9 órakor.

c) 11 órakor és 15 órakor.

d) Leh¶lt a leveg®, csökkent a h®mérséklet.

e) Felmelegedett a leveg®, n®tt a h®mérséklet.

f) 12 és 14 óra között.

g) 12 órától 14 óráig emelkedett, 14 órától 15 óráig csökkent a h®mérsék-

let.

Tk. 107/8. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket. Jó,

ha a tanulók több napon át például minden tanóra elején ténylegesen megmérik a kinti

leveg® h®mérsékletét, táblázatban rögzítik, majd gra�konon ábrázolják az adatokat. Így

statisztikai vizsgálatokat, összehasonlító elemzéseket végezhetnek.

Megoldás:

Id®pont (óra) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

H®mérséklet (�C) { 4 { 5 { 3 { 1 0 +1 +3 +5 +4 +3 0 { 3 { 2 { 1

Télen mérhette Tamás ezeket a h®mérsékleteket.

Tk. 108/2. kidolgozott mintapélda: Ismerkedés az adósság-készpénz modellel egya-

ránt szolgálja a tartalom variálásának, illetve a szemléltetés sokoldalúságának elvét. Ha

szükségesnek ítéljük, a tanulók is készítsenek hasonló cédulákat, és rakosgassanak ki

különböz® vagyonokat. Állapítsák meg az egész számok nagysági viszonyait adósság-

készpénz modell segítségével is.

Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program


197

Tk. 108/9. feladat: Ha szükséges, játsszák el játék pénzzel, adósságcédulával a tanulók

a feladatot.

Megoldás: a) 3 b) {1 c) 0 d) {7

3 a legtöbb, ({7) a legkevesebb.

Tk. 108/10. feladat: Rakják ki a tanulók a megadott értékeket. Beszéljük meg, hogy egy

számot többféleképpen kirakhatunk.

Megoldás: a) 1 1 1 1

1 1 1 1 1 { 1

1 1 1 1 1 1 { 1 { 1

1 1 1 1 1 1 1 { 1 { 1 { 1

b) 1 { 1

1 1 { 1 { 1

1 1 1 { 1 { 1 { 1

1 1 1 1 { 1 { 1 { 1 { 1

c) { 1 { 1 { 1 { 1 { 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1 1

d) { 1 { 1 { 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1

{ 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1 1 1

Tk. 108/11. feladat: Hasonló játékokat játszhatunk a gyerekekkel, így elmélyíthetjük, szi-

lárdíthatjuk az egész számokról tanultakat.

Megoldás: 1. törpének 2 a vagyona.

2. törpének 0 a vagyona.

3. törpének {3 a vagyona.

Alma Áfonya Eper Körte

1. törpe 1 0 {1 {2

2. törpe {1 {2 {3 {4

3. törpe {4 {5 {6 {7

Tk. 109/12. feladat: A számegyenesen lépegetés további szemléltetést ad az egész szá-

mok nagysági viszonyairól, el®készíti az egész számokkal végzett összeadás és kivonás

értelmezését.



Megoldás: a) 3 b) {5

c) 4 d) {7

e) 8 f) {8

g) {2 h) {5



értelmezését.

Megoldás: a) +1 d) +8

b) {4 e) {7

c) +4 f) +3



értelmezését.

Megoldás: a) Jobbra 3 b) Balra 5

c) Jobbra 3 d) Balra 4

Tk. 109/15. feladat: Tapasztalatszerzés az abszolútérték fogalmának el®készítéséhez.

Megoldás: a) {4 vagy +4 b) {6 vagy +6 c) {2 vagy +2

Tk. 109/16. feladat: A bevétel és kiadás alapján a jövedelmet kell megállapítani. Hasonló

feladatokat játszhatnak is a tanulók játék pénzzel, adósságcédulával.

Megoldás: a) Hétf®: 138 Ft Kedd: {241 Ft Szerda: 656 Ft

Csütörtök: {182 Ft Péntek: 622 Ft Szombat: {523 Ft

Gy. 105/1. feladat: Lépegetünk a h®mér®n, és ez alapján �gyeljük meg az értékeket.

Megoldás:

a) b) c)�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

�C

+10

0

{10

+7 �C > +2 �C {4 �C > {8 �C {5 �C < +2 �C



199


a) b) c)�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

�

C

+10

0

{10

+5 �C > {5 �C {9 �C < 0 �C {1 �C > {10 �C

10 �C 9 �C 9 �C

Gy. 105/3. feladat: H®mérséklet adatok rendezése csökken® sorrendbe. Ha szükséges

játék h®mér®n állítsák be az adatokat a gyerekek, s így oldják meg a feladatot.

Megoldás: +8 �C > +2 �C > 0 �C > {3 �C > {4 �C > {10 �C

Gy. 106/4. feladat: Gra�konról adatok leolvasása és táblázatba rendezése, majd táblá-

zatból adatok leolvasása és gra�kon készítése a feladat.

a)�

C

+10

0

{10

6 12 18 24 �ora

b) Id®pont (óra) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

H®mérséklet (�C) +7 +5 +3 +1 { 1 { 3 { 5 { 7 { 9 { 11


Megoldás: a) +5 �C, +5 �C, {5 �C, {4 �C, {10 �C, 0 �C, {6 �C,

Gy. 107/6. feladat: Az adósság-készpénz modellel szemléltetett értékek összehasonlí-

tása.

Megoldás: a) +2 >4{2 b) 0 = 0 c) {1 <

4+3



Gy. 107/7. feladat: Az adósság-készpénz modellel szemléltetett értékek ábrázolása

számegyenesen.

Megoldás: {10 {6 0 +6 {1 0

Gy. 107/8. feladat: Értékek szemléltetése adósság-készpénz modellel.

Megoldás: Kiegészítések: a) { 1 { 1

b) { 1

c) Nem kell kiegészíteni.

d) { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1

e) { 1 { 1

Gy. 107/9. feladat: Értékek szemléltetése adósság-készpénz modellel. Beszéljük meg,

hogy a feladatnak nagyon sok megoldása lehet.

Megoldás: a) {2 { 1 { 1 { 1 { 1 { 1 1

b) +3 1 1 1 1 1 1 1 { 1

c) 0 1 { 1 1 1 { 1 { 1

Tükrözések


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,

problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-

lem, kezdeményez®képesség, kreativitás, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, esztétikai-m¶vészeti nevelés.

Óra: 75{76. 83{84. 94{95.

Tengelyes tükrözéssel 1. és 2. osztályban is foglalkoztunk. Most felelevenítjük, és továb-

bi tapasztalatokat gy¶jtünk az alakzatok tengelyes tükörképének el®állításához. Hajtoga-

tással, papírkivágással, kirakással, rajzzal stb. (Itt jegyezzük meg, hogy amikor tükrözés-

r®l, tükrös alakzatokról beszélünk, minden esetben tengelyes tükrözésre, tengelyesen

tükrös alakzatokra gondolunk.)

A tanulók további ismereteket szereznek a tengelyesen tükrös alakzatokról. Meg�gyel-

tetjük a téglalap és a négyzet tulajdonságait. Felelevenítjük, tudatosítjuk, kiegészítjük a

2. osztályban tanultakat.

A geometriai tananyag feldolgozásával párhuzamosan folyamatosan ismételjük, áttekint-

jük, rendszerezzük az els® félév számtan, algebra anyagát. Gyakoroltatjuk az írásbeli

összeadást, kivonást és a szorzótáblát, illetve ezek alkalmazását szöveges feladatok-

ban, összetett számfeladatokban. Pótoltatjuk az esetleges hiányosságokat.

Tk. 110/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy melyik tükörkép a helyes. Azt

is �gyeltessük meg, hogy a többi tükörkép miért nem megfelel®.



201

Tk. 110/Meg�gyelések: A tengelyes tükrözésr®l korábban szerzett tapasztalatokat fo-

galmaztuk meg, összegeztük.

Tk. 110/1. feladat: A tengelyesen tükrös alakzatok kiválasztása, a tükörtengelyek ke-

resése. 3. osztályban az összes tengely megtalálását elvárjuk. Az eredményt tükörrel

ellen®riztessük.

Megoldás: a) Igen b) Igen c) Igen d) Nem

Tk. 111/2. feladat: Geometriai transzformációk közül a tengelyes tükrözés kiválasztása.

Megoldás: A második ábra készülhetett tengelyes tükrözéssel.

Típushiba, hogy azt gondolják, az els® ábra is tengelyes tükrözéssel

készült.

Tk. 111/3. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat.

Megoldás:

0 1 2 2 1 1 0


Megoldás: a) b) c) d)

e) f) g) h)



Tk. 111/5. feladat: Alakzatok tükörtengelyeinek megkeresése a feladat. Például:

Megoldás: a)

1 4

b)

1

2


Megoldás:

2 4 0 1 0

Tk. 112/7. feladat: Alakzatok tengelyes tükrözése. A tükörkép és az eredeti ábra vizs-

gálata.

Megoldás: Az a) és az e) pontban tükrösek az alakzatok.

Gy. 108/1. feladat: Tasziló típushibákat mutat meg a tanulóknak. Beszéljük meg a hibá-

kat.

Megoldás: a) A tükörkép mérete nem ugyanakkora, mint az eredeti kép.

b) A tükörkép távolabb van a tengelyt®l, mint az eredeti kép.

c) A tükörkép ugyanolyan alakú, mint az eredeti kép.

d)



203

Gy. 108/2. feladat: A sok megoldás közül csak néhányat mutatunk be.

Megoldás:

a)

b)

Gy. 109/3. feladat: A sok megoldás közül csak néhányat mutatunk be.

Megoldás: a) Egy tükrtengelye van.

b) Egynél több tükrtengelye van.

c) Nincs tükrtengelye.



Gy. 109/4. feladat: Tükörkép megrajzolása a feladat. Ha szükséges, használjanak tükröt

a tanulók.

Megoldás:

Gy. 110/5. feladat: Tükörkép megrajzolása a feladat. Ha szükséges, használjanak tükröt

a tanulók.

Megoldás:



205

Gy. 110/6. feladat: A térszemlélet alakítása a feladat célja. A tükörtengelyek megrajzo-

lásához ha szükséges, használjanak tükröt a tanulók.

Megoldás:

� � � �

�

� �

�

A szorzás tulajdonságai



vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-

tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,

�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,

kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 77{78. 85{86. 96{97.

A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszociativitás) eddig szerzett tapasztala-

tokat rendszerezzük és tudatosítjuk. A szorzótábla gyakorlását összekapcsoljuk annak

meg�gyeltetésével, hogy a szorzat változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók analóg

számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában. Fontos lépés a többjegy¶ számok

szorzásáról tanultak általánosítása (összeg szorzása egyjegy¶ számmal).

Ezeket az ismereteket egyrészt a szorzat becslésében, másrészt az írásbeli szorzás al-

goritmusának értelmezésében hasznosíthatjuk. A szorzás fogalmának mélyítését szol-

gálja, hogy kés®bb a tanultakat alkalmazzuk szöveges feladatok megoldásában is.

Tk. 113/2. kidolgozott mintapélda: A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszo-

ciativitás) eddig szerzett tapasztalatokat rendszerezzük és tudatosítjuk.



Tk. 113/Emlékeztet®: A szorzás tulajdonságairól (kommutativitás, asszociativitás) ed-

dig szerzett tapasztalatokat rendszerezzük és tudatosítjuk a m¶veleti sorrendr®l tanultak

felidézésével.

Tk. 113/3. kidolgozott mintapélda: Meg�gyelhetjük, hogy a szorzat változásairól tanul-

tak hogyan alkalmazhatók analóg számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában.

Tk. 114/1. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-

tokban is lehet®ség nyílik a szorzat változásainak meg�gyeltetésére a tényez®k változá-

sainak függvényében.

Megoldás: a) 4 + 4 + 4 = 12 3 � 4 = 12

3 + 3 + 3 + 3 = 12 4 � 3 = 12

b) 40 + 40 + 40 = 120 3 � 40 = 120

30 + 30 + 30 + 30 = 120 4 � 30 = 120

c) 400 + 400 + 400 = 1200 3 � 400 = 1200

300 + 300 + 300 + 300 = 1200 4 � 300 = 1200




Megoldás: a) 12 120 1200 1200

b) 12 120 1200 1200




Megoldás: a) 3 � 2 = 6 3 � 20 = 60 3 � 200 = 600

b) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 6 � 200 = 1200

c) 9 � 2 = 18 9 � 20 = 180 9 � 200 = 1800

Tk. 114/4. kidolgozott mintapélda: Meg�gyelhetjük, hogy a szorzat változásairól tanul-

tak hogyan alkalmazhatók analóg számításokban, kerek tízesek, százasok szorzásában.

Tk. 115/5. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a háromjegy¶ szám egyjegy¶vel

való szorzására. Ismertessük fel, hogy a számot összegalakra bontva tagonként szo-

rozhatjuk úgy, hogy a százasok, illetve a tízesek szorzásánál alkalmazzuk az analóg

számításokban meg�gyelteket.

Tk. 115/4. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶ számok, illetve háromjegy¶ ke-

rek tízesek szorzása egyjegy¶ számmal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg

számításokban.

Megoldás: 4 � 12 = 48 4 � 120 = 480 3 � 54 = 162 3 � 540 = 1620



207

Tk. 115/5. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶ számok szorzása egyjegy¶ szám-

mal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg számításokban.

Megoldás: a) 60; b) 50; c) 80; d) 70;

24; 45; 24; 42;

84; 95; 104; 112.

Tk. 115/6. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶, illetve háromjegy¶ kerek tízesek

szorzása egyjegy¶ számmal. A szorzat változásainak alkalmazása analóg számítások-

ban.

Megoldás: a) 300; b) 400; c) 500; d) 800;

120; 240; 350; 160;

420; 640; 850; 960.

e) 700; f) 800; g) 800; h) 900;

210; 480; 320; 270;

910; 1280; 1120; 1170.

Gy. 111/1. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-



Megoldás: a) 120 240 480

b) 120 140 360

c) 100 200 2000

d) 180 360 540

e) 450 900 1800

Gy. 111/2. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Ezekben a felada-



Megoldás: a) 12 120 1200

b) 15 150 1500

c) 18 180 1800

d) 18 180 1800

e) 12 120 1200

f) 14 140 1400

g) 20 200 2000

h) 16 160 1600

Gy. 111/3. feladat: A szorzótábla gyakorlása. Kétjegy¶, illetve háromjegy¶ kerek tízesek

szorzása egyjegy¶ számmal.



Megoldás: a) 3 � 160 =

300z }| {

3 � 1 0 0 +

180z }| {

3 � 6 0 = 4 8 0

b) 6 � 250 =

1200z }| {

6 � 2 0 0 +

300z }| {

6 � 5 0 = 1 5 0 0

c) 4 � 190 =

400z }| {

4 � 1 0 0 +

360z }| {

4 � 9 0 = 7 6 0

d) 5 � 280 =

1000z }| {

5 � 2 0 0 +

400z }| {

5 � 8 0 = 1 4 0 0

Gy. 112/4. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. Kétjegy¶ számok,

illetve háromjegy¶ kerek tízesek szorzása egyjegy¶ számmal.

Megoldás: a) 168 84 84

1680 840 840

b) 136 136 136

1360 1360 1360

c) 144 96 96

1440 960 960

d) 168 175 182

1680 1750 1820

e) 144 144 72

1440 1440 720

f) 180 175 140

1800 1750 1400

Gy. 112/5. feladat: Két-, illetve háromjegy¶ szám egyjegy¶ számmal való szorzásának

szemléltetése többféleképpen.

Megoldás:

a) 74 � 6 = 4 4 4

7 0 � 6| {z }

420

+ 4 � 6| {z }

24



209

b) 123 � 3 = 3 6 9

1 0 0 � 3| {z }

300

+ 2 0 � 3| {z }

60

+ 3 � 3| {z }

9

Gy. 112/6. feladat: Két-, illetve háromjegy¶ szám egyjegy¶ számmal való szorzásának

szemléltetése többféleképpen.

Megoldás:

500 10 2 � 3 =

1500z }| {

500 � 3 +

30z }| {

10 � 3+

6z}|{

2 � 3 = 1536

A szorzat becslése



vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,

induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-

tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés, egészséges

életmód.

Óra: 79. 87. 98.

A kerekítésr®l és a szorzás tulajdonságairól tanultakat alkalmazzuk a szorzat becslésére.

A tanulók többségét®l a százasra kerekített értékekkel számolt becslést várhatjuk el.

Ennek begyakorlása után célszer¶ felismertetni: a két százas szomszéd segítségével

meghatározhatjuk, hogy melyik két szám közé esik a szorzat.

Tk. 116/1. kidolgozott mintapélda: Bemutatjuk a szorzat becslésének lehet®ségeit:

százasra kerekített értékekkel történ® becslés, tízesre kerekített értékekkel történ® becs-

lés, két érték közé szorítással történ® becslés.

Tk. 116/1. feladat: Százasra kerekített értékekkel történ® becslés gyakorlására szánt

feladatsor.

Megoldás: a) 1200; b) 1600; c) 1200; d) 1600;

B < Sz B > Sz B < Sz B < Sz

e) 1800; f) 1200; g) 2000; h) 1800.

B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz



Tk. 116/2. feladat: Tízesre kerekített értékekkel történ® becslés gyakorlására szánt fel-

adatsor.

Megoldás: a) 1320; b) 1360; c) 1260; d) 1700;

B > Sz B > Sz B > Sz B > Sz

e) 1740; f) 1000; g) 1900; h) 1620.

B > Sz B < Sz B < Sz B > Sz

Tk. 116/3. feladat: Két érték közé szorítással történ® becslés gyakorlására szánt fela-

datsor.

Megoldás: a) 1200 < Sz < 1600; b) 800 < Sz < 1600;

c) 1200 < Sz < 1500; d) 1600 < Sz < 1800;

e) 1200 < Sz < 1800; f) 800 < Sz < 1200;

g) 1500 < Sz < 2000; h) 1200 < Sz < 1800.

Tk. 117/4. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére. A közelít® számításokról

tanultak alkalmazása szöveges feladatok megoldásában is.

Megoldás: a) Becslés: 4 � 140 = 560 B > Sz

Számolás: 4 � 135 = 540 20

Felfelé kerekítettünk.

b) Becslés: 3 � 250 = 750 B < Sz

Számolás: 3 � 254 = 762 12

Lefelé kerekítettünk.



Megoldás: a) 900 400 1000 800

b) 600 1000 700 1200

c) 1800 1600 1800 1500



Megoldás: Terv: ö = 18 � 23 � 5

Becslés: ö = 20 � 20 � 5 = 2000

Válasz: Körülbelül 2000 dl = 200 l leveg®t szívunk be 18 perc alatt.



Megoldás: a) Terv: b = 42 � 8

Becslés: b = 40 � 8 = 320

Válasz: Körülbelül 320 kg a barnamedve tömege.



211

b) Terv: b = 3 � 586

Becslés: százasra kerekítve: b = 3 � 600 = 1800

tízesre kerekítve: b = 3 � 590 = 1770

Válasz: Körülbelül 1800 kg (1770 kg) lehet egy bölény tömege.

Gy. 113/1. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére százasra kerekített értékek-

kel történ® számolással.

Megoldás: a) 200 � 3 = 600 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.

b) 200 � 6 = 1200 B > Sz mert felfelé kerekítettünk.

c) 400 � 4 = 1600 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.

d) 400 � 5 = 2000 B > Sz mert felfelé kerekítettünk.

e) 200 � 7 = 1400 B < Sz mert lefelé kerekítettünk.

Gy. 113/2. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére két érték közé szorítással.

Megoldás: a) 5 0 0 � 3| {z }

1500

< Sz < 6 0 0 � 3| {z }

1800

b) 1 0 0 � 8| {z }

800

< Sz < 2 0 0 � 8| {z }

1600

c) 2 0 0 � 6| {z }

1200

< Sz < 3 0 0 � 6| {z }

1800

d) 1 0 0 � 9| {z }

900

< Sz < 2 0 0 � 9| {z }

1800

Gy. 114/3. feladat: Gyakorlófeladatok a szorzás becslésére tízesre kerekített értékekkel

számolva.

Megoldás:

a) 162 � 4 � 1 6 0 � 4 = 1 0 0 � 4| {z }

400

+ 6 0 � 4| {z }

240

= 6 4 0

B < Sz, mert lefelé kerekítettünk.

b) 341 � 5 � 3 4 0 � 5 = 3 0 0 � 5| {z }

1500

+ 4 0 � 5| {z }

200

= 1 7 0 0




c) 208 � 7 � 2 1 0 � 7 = 2 0 0 � 7| {z }

1400

+ 1 0 � 7| {z }

70

= 1 4 7 0

B < Sz, mert felfelé kerekítettünk.

d) 479 � 3 � 4 8 0 � 3 = 4 0 0 � 3| {z }

1200

+ 8 0 � 3| {z }

240

= 1 4 4 0


Gy. 114/4. feladat: Tasziló ismét összegy¶jtötte a típushibákat, amelyeket megbeszélve,

kijavítva elmélyíthetjük a becslésr®l tanultakat.

Megoldás: a) 400 � 3 = 1200

b) 350 � 3 = 300 � 3 + 50 � 3 = 1050

c) 300 � 3 <900

Sz <1200

400 � 3

Írásbeli szorzás



vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,

induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-

tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-

géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,

egészséges életmód.

Óra: 80{85. 88{94. 99{106.

Az írásbeli szorzás algoritmusát a tanulás során fokozatosan nehezítjük a helyiérték-

átlépések számának növelésével és elhelyezésével (nincs; csak a legnagyobb helyiér-

téknél van; egy helyen van; több, de nem szomszédos helyen van; két szomszédos

helyen van; stb.).

A szorzás tanítása során minden órán adjunk fel szöveges feladatokat is.

Az írásbeli szorzás algoritmusával, illetve a szöveges feladatokkal kapcsolatosan esetleg

értelmezhetnénk a �szorzandó" és a �szorzó" fogalmát. Ezt továbbra sem javasoljuk a

következ®k miatt:

Nem matematikai, hanem szakmódszertani fogalmak. A tanítási folyamat tervezé-

sekor esetleg használhatjuk ezeket a fogalmakat (például az írásbeli szorzás eseté-

ben az �egyjegy¶ szorzó" fogalmát), de nem célszer¶ ezeket tanítani, tudatosítani,

a gyermekek el®tt használni. A matematikában a �tényez®" kifejezést használjuk.

A szorzásban a tényez®k felcserélhet®k. Ha megkülönböztetjük a két tényez®t, akkor

megnehezíthetjük és bizonytalanná tehetjük a helyes fogalomalkotást.



213

Ha a szöveges feladatok értelmezésekor megkülönböztetjük a �szorzandó" és a

�szorzó" fogalmát, az zavart okozhat a feladat megoldásakor. Például:

Egy gönci hordó ¶rtartalma 136 l. Mennyi az ¶rtartalma 5 gönci hordónak? A �szor-

zó" egyjegy¶, el tudjuk végezni a szorzást.

Egy kanna ¶rtartalma 5 l. Mennyi az ¶rtartalma 136 ugyanilyen kannának? A �szor-

zó" háromjegy¶, ez megzavarhatja a tanulót, és emiatt nem tudja elvégezni a szor-

zást.

Sohase tanítsunk olyat, amit kés®bb másként fogunk tanítani. A fels® tagozatban

tényez®kr®l beszélünk.

Tk. 118/1. kidolgozott mintapélda: 2. osztályban a szorzást ismételt összeadásként

értelmeztük. Itt is erre építve vezetjük be a számok írásbeli szorzását egyjegy¶ szorzóval.

Az eredményt a becsült érték és a szorzat összehasonlításával ellen®rizzük, illetve szok-

tassuk rá a tanulókat arra, hogy a szorzás elvégzése után lépésenként újra átszámolva

�gyelmesen ellen®rizzék munkájukat. Az algoritmus elsajátításának kezdetén lehet®leg

olyan feladatokat adjunk, amelyekben nincs helyiérték-átlépés.

Tk. 119/1. feladat: A szorzás algoritmusának visszavezetése ismételt összeadásra.

Megoldás: Becslés Becslés Összeadás Szorzás

százasra kerekítve: tízesre kerekítve:

a) 1200 1280 1284 642 � 2

1284

b) 1600 1600 1608 402 � 4

1608

c) 300 390 396 132 � 3

396

d) 1500 1530 1539 513 � 3

1539

e) 1000 1000 1005 201 � 5

1005

Tk. 119/2. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-

ra, begyakorlására. Ha a tanulóknak gondot jelent a szorzás elvégzése, akkor térjünk

vissza az ismételt összeadáshoz, és ott �gyeltessük meg, mit kell tennünk. A megfele-

l® szokások kialakítása és a számolási rutin fejlesztése érdekében többször írassuk le,

mondassuk el, hogyan számolunk fejben, amikor megbecsüljük az eredményt.

Megoldás: a) Becslés

tízesre kerekítve: 210 320 630 180 560 540

Számolás: 219 328 637 186 567 546

b) Becslés

százasra kerekítve: 1200 1500 1600 1800 1800 1500

tízesre kerekítve: 1280 1560 1600 1830 1860 1550

Számolás: 1284 1569 1608 1836 1866 1555



Tk. 119/3. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli szorzás gyakorlására.

Megoldás: a) Adatok: 1 könyv 4 mm

322 könyv ? mm

Terv: x = 322 � 4

Becslés: százasra kerekítve: 300 � 4 = 1200 mm

tízesre kerekítve: 320 � 4 = 1280 mm

Számolás: x = 1288 mm

Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.

Válasz: 1288 mm = 1 m 2 dm 8 cm 8 mm magas 322 db könyv

egymásra téve.

b) Adatok: 1 bögre 3 dl

421 bögre ? dl

Terv: t = 421 � 3

Becslés: százasra kerekítve: 400 � 3 = 1200 dl

tízesre kerekítve: 420 � 3 = 1260 dl

Számolás: t = 1263 dl


Válasz: 1263 dl = 126 l 3 dl tej fogyott el.

c) Adatok: 1 tojás 6 dkg,

311 tojás ? dkg

Terv: x = 311 � 6

Becslés: százasra kerekítve: 300 � 6 = 1800 dkg

tízesre kerekítve: 310 � 6 = 1860 dkg

Számolás: x = 1866 dkg


Válasz: 1866 dkg = 18 kg 66 dkg a tömege 311 db tojásnak.

d) Adatok: 1 tégla 3 kg,

523 tégla ? kg

Terv: x = 523 � 3

Becslés: százasra kerekítve: 500 � 3 = 1500 kg

tízesre kerekítve: 520 � 3 = 1560 kg

Számolás: x = 1569 kg


Válasz: 1569 kg a tömege 523 db téglának.

e) Adatok: í = 12 cm 3 mm, á <

3-szorá, á = ?

Terv: á = 3 � í á = 3 � 123



215

Becslés: százasra kerekítve: 3 � 100 = 300 mm

tízesre kerekítve: 3 � 120 = 360 mm

Számolás: á = 369 mm


Válasz: 369 mm = 3 dm 6 cm 9 mm hosszú a császármadár.

f) Adatok: b = 210 g, b <

7-szerg, g = ?

Terv: g = 7 � b g = 7 � 210

Becslés: százasra kerekítve: 7 � 200 = 1400 g

tízesre kerekítve: 7 � 210 = 1470 g

Számolás: g = 1470 g


Válasz: 1470 g = 1 kg 47 dkg a szürkegém.

Tk. 120/2. kidolgozott mintapélda: Ismételt összeadásra visszautalva �gyeltethetjük a

háromjegy¶ számok írásbeli szorzását egyjegy¶ szorzóval abban az esetben is, amikor

(még nem szomszédos helyen) van helyiérték-átlépés. Beszéljük meg a szorzás és az

összeadás kapcsolatát.

Tk. 120/4. feladat: A szorzás algoritmusának visszavezetése ismételt összeadásra.



a) 200 260 250 125 � 2

250

b) 400 560 568 142 � 4

568

c) 900 930 927 309 � 3

927


ra, begyakorlására. Ha a tanulóknak gondot jelent a szorzás elvégzése, akkor térjünk

vissza az ismételt összeadáshoz, és ott �gyeltessük meg, mit kell tennünk. A megfele-

l® szokások kialakítása és a számolási rutin fejlesztése érdekében többször írassuk le,

mondassuk el, hogyan számolunk fejben, amikor megbecsüljük az eredményt.


százasra kerekítve: 300 400 500 1000 600

tízesre kerekítve: 390 480 550 1100 640

Számolás: 378 468 530 1090 632

b) Becslés



Számolás: 456 644 429 783 768



c) Becslés



Számolás: 954 1696 1648 486 1890

Tk. 121/6. feladat: Tasziló ismét bemutatja a típushibákat, amelyek kijavítása, megbe-

szélése elmélyítheti a szorzásról tanultakat.

Megoldás: Becslés

százasra kerekítve: 1500 600 1200 1200


Számolás: 192 1506 510 1215 1264


ra, begyakorlására.

Megoldás: Becslés Becslés Számolás


a) 800 880 848

b) 1400 1540 1519

c) 1500 1550 1570

d) 1800 1860 1872

e) 1800 1890 1872

f) 1800 1920 1896

g) 1400 1470 1456

h) 0 0 0

I) 600 580 575

j) 900 850 850

k) 800 1040 1000

l) 1200 1000 1000


Megoldás: a) Adatok: 1 láda 5 kg,

142 láda ? kg

Terv: x = 142 � 5





Válasz: 710 kg eper van 142 ládában.

b) Adatok: 1 zsák 70 kg

21 zsák ? kg



217

Terv: x = 21 � 70

Becslés: tízesre kerekítve: 20 � 70 = 1400 kg



Válasz: 1470 kg búza fér 21 zsákba.

c) Adatok: 1 háló 3 kg,

182 háló ? kg

Terv: x = 182 � 3





Válasz: 546 kg hagymát tettek 182 hálóba.

d) Adatok: 1 vödör 5 l,

215 vödör ? l

Terv: x = 215 � 5

Becslés: százasra kerekítve: 200 � 5 = 1000 l

tízesre kerekítve: 220 � 5 = 1100 l

Számolás: x = 1075 l


Válasz: 1075 l-es a hordó.

e) Adatok: 1 lap 4 dm,

150 lap ? dm

Terv: x = 150 � 4

Becslés: százasra kerekítve: 200 � 4 = 800 dm

tízesre kerekítve: 150 � 4 = 600 dm

Számolás: x = 600 dm


Válasz: 600 dm = 60 m hosszú járda építhet®.

Tk. 121/3. kidolgozott mintapélda: Ismét �gyeljük meg a szöveges feladatok megol-

dásmenetét, a szorzás és osztás kapcsolatát.

Tk. 122/9. feladat: Figyeltessük meg, hogy a szorzás és az osztás kapcsolata alapján

hogyan értelmezhetjük a direkt és az indirekt szövegezés¶ feladatokat.

Megoldás: a) a = 72 � 9 = 648; a � 9 = 72 a = 8;

a = 72 : 9 = 8; a : 9 = 72 a = 648;

b) b = 250 � 5 = 1250; b � 5 = 250 b = 50;

b = 250 : 5 = 50; b : 5 = 250 b = 1250.



Tk. 122/10. feladat: A szorzás kommutativitását szemléltet® feladatsor, amely a terület-

számítást is el®készíti.

Megoldás: a) 2 � 5 = 10, illetve 5 � 2 = 10

b) 7 � 5 = 35, illetve 5 � 7 = 35

c) 217 � 5 = 1085, illetve 5 � 217 = 1085

Tk. 122/11. feladat: Írásbeli szorzás gyakorlása közben felidézünk néhány geometriai

alapfogalmat (négyzet, kör, háromszög, szakasz).

Becslés a) b) c)

százasra kerekítve: 800 mm 1600 mm 1200 mm

tízesre kerekítve: 680 mm 1680 mm 1240 mm

Számolás: 688 mm 1692 mm 1232 mm



Megoldás: A szakasz hossza: Becslés: 12 cm, Mérés: 118 mm

Becslés a) b) c)

százasra kerekítve: 300 mm 400 mm 500 mm

tízesre kerekítve: 360 mm 480 mm 600 mm

Számolás: 354 mm 472 mm 590 mm



Megoldás: Becslés a) b) c) d)


tízesre kerekítve: 420 1860 660 1260

Számolás: 432 1884 630 1260




4 kocka 6 kocka 8 kocka 9 kocka

Becslés



Számolás: 812 1218 1624 1827

Tk. 123/4. kidolgozott mintapélda: Háromjegy¶ szám egyjegy¶vel való írásbeli szorzá-

sa, egymás melletti helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. Ha eddig kell® biztonság-

gal elsajátították a tanulók az algoritmust, akkor ez a lépés már nem okozhat gondot.



219

Tk. 123/15. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosítá-

sára, begyakorlására.




Számolás: 474 944 890 837 1956

b) Becslés



Számolás: 1664 1545 1992 1988 1971

c) Becslés



Számolás: 1884 1449 1635 1896 1458

d) Becslés



Számolás: 814 1959 1548 1575 1648

e) Becslés



Számolás: 1430 1872 1946 1845 1804


Megoldás: a) Adatok: 1 sor 328 db,

6 sor x db x = ? db

Terv: x = 6 � 328

Becslés: százasra kerekítve: 6 � 300 = 1800

tízesre kerekítve: 6 � 330 = 1980

Számolás: x = 1968


Válasz: 1968 palántát ültetett a kertész 6 sorba.

b) Adatok: 1 doboz 658 Ft

3 doboz x Ft x = ? Ft

Terv: x = 3 � 658

Becslés: százasra kerekítve: 3 � 700 = 2100 Ft

tízesre kerekítve: 3 � 660 = 1980 Ft



Számolás: x = 1974 Ft


Válasz: 1974 Ft-ba kerül 3 doboz bonbon.

c) Adatok: 1 perc 178 m,

8 perc x m x = ? m

Terv: x = 8 � 178

Becslés: százasra kerekítve: 8 � 200 = 1600 m

tízesre kerekítve: 8 � 180 = 1440 m

Számolás: x = 1424 m


Válasz: 1424 m-t tesz meg Csaba 8 perc alatt.

d) Adatok: V = 395 Ft, P >

ötödeV, P = ?

Terv: P = 5 � V P = 5 � 395

Becslés: százasra kerekítve: 5 � 400 = 2000 FT


Számolás: P = 1975 FT


Válasz: 1975 Ft-ja volt Elemérnek.

e) Adatok: F = 475 Ft, F <

4-szerN, N = ?

Terv: N = 4 � F N = 4 � 475

Becslés: százasra kerekítve: 4 � 500 = 2000 Ft


Számolás: N = 1900 Ft


Válasz: 1900 Ft-ja van Flóra n®vérének.

f) Adatok: 1 nap 24 óra

1 hét = 7 nap e óra e = ? óra

4 hét = 4 � 7 = 28 nap n nap n = ? nap

Terv: e = 7 � 24

Becslés: tízesre kerekítve: 7 � 20 = 140

Számolás: e = 168 óra


Válasz: 168 óra 1 hét.

Terv: n = 4 � 168

Becslés: százasra kerekítve: 4 � 200 = 800 óra

tízesre kerekítve: 4 � 170 = 680 óra



221

Számolás: n = 672 óra


Válasz: 672 óra 4 hét.

g) Adatok: 1 év 365 nap

1 szök®év 366 nap, 4 év x nap x = ?

Terv: x = 4 � 365 + 1

Becslés: százasra kerekítve: 4 � 400 = 1600 nap

tízesre kerekítve: 4 � 370 = 1480 nap

Számolás: x = 1461 nap


Válasz: 1461 napból áll 4 év.

Tk. 124/17. feladat: Hiányzó tényez® pótlásával a szorzás gyakorlása.

Megoldás:

a) 4 1 3 � 2

8 2 6

3 2 1 � 3

9 6 3

2 3 4 � 2

4 6 8

1 0 6 � 6

6 3 6

b) 2 0 4 � 3

6 1 2

2 1 6 � 4

8 6 4

1 3 5 � 2

2 7 0

2 1 7 � 4

8 6 8

c) 1 5 2 � 4

6 0 8

1 7 1 � 5

8 5 5

1 5 1 � 6

9 0 6

1 8 3 � 3

5 4 9

d) 3 1 1 � 5

1 5 5 5

4 3 2 � 3

1 2 9 6

4 1 2 � 4

1 6 4 8

3 0 1 � 6

1 8 0 6

Tk. 124/18. feladat: Hiányzó számjegyek pótlásával a szorzás gyakorlása.

Megoldás: a) 3 2 0 � 3

9 6 0

4 3 2 � 2

8 6 4

4 8 2 � 2

9 6 4

2 1 4 � 3

6 4 2

1 6 1 � 5

8 0 5

1 6 3 � 5

8 1 5

1 6 5 � 5

2 2 8

1 6 7 � 5

8 3 5



1 6 9 � 5

8 4 5

b) 1 2 5 � 3

3 7 5

1 8 2 � 4

7 2 8

1 8 7 � 4

7 4 8

2 2 6 � 3

6 7 8

1 7 2 � 4

6 8 8

Tk. 125/19. feladat: Az írásbeli szorzás gyakorlása. Figyeltessük meg a szorzat válto-

zásait:

Ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk, a szorzat is

ugyanannyiszorosára n®.

Ha az egyik tényez®t valahányad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk, a szor-

zat is ugyanannyiad részére csökken.

A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányszorosára növeljük, egy másik té-

nyez®jét ugyanannyiad részére csökkentjük, a többit nem változtatjuk.

A szorzat nem változik, ha egyik tényez®jét valahányad részére csökkentjük, egy másik

tényez®jét ugyanannyiszorosára növeljük, a többit nem változtatjuk.




Számolás: 232 <

116348 <

116464 <

116580 <

116696

b) Becslés



Számolás: 567 �

3570 �

3573 �

3576 �

3579

c) Becslés



Számolás: 408 = 408 = 408 = 408 = 816



223

d) Becslés



Számolás: 648 = 648 = 648 �

21376 :

2648

Tk. 125/20. feladat: Következtetés többr®l többre.

Megoldás: a) 3 kg sz®l® 126 Ft

� 2 � 2 a = 252 Ft

6 kg sz®l® 2 � 126 Ft

b) 2 csoki 122 Ft

� 4 � 4 b = 488 Ft

8 csoki 4 � 122 Ft

c) 4 jégkrém 364 Ft

� 2 � 2 c = 728 Ft

8 jégkrém 2 � 364 Ft

d) 3 kg eper 306 Ft

� 3 � 3 d = 918 Ft

9 kg eper 3 � 306 Ft

e) 2 nyalóka 162 Ft

� 3 � 3 e = 486 Ft

6 nyalóka 3 � 162 Ft

f) 2 ceruza 102 Ft

� 5 � 5 g = 510 Ft

10 ceruza 5 � 102 Ft

g) 5 toll 510 Ft

� 2 � 2 h = 1020 Ft

10 toll 2 � 510 Ft

Tk. 125/21. feladat: Következtetés többr®l többre. Használjuk föl az el®z® feladat ta-

pasztalatait.

Megoldás: 3 gyerek 3 óra 108

a) 6 gyerek 3 óra 2 � 108 = 216 szorzás

b) 3 gyerek 6 óra 2 � 108 = 216 szorzás

c) 6 gyerek 6 óra 2 � 2 � 108 = 432 szorzás



d) 6 gyerek 9 óra 2 � 3 � 108 = 648 szorzás

e) 9 gyerek 9 óra 3 � 3 � 108 = 972 szorzás

f) 3 gyerek másfél óra 108 : 2 = 54 szorzás

g) 6 gyerek másfél óra 2 � 108 : 2 = 108 szorzás

h) 9 gyerek másfél óra 3 � 108 : 2 = 162 szorzás

i) 1 gyerek 3 óra 108 : 3 = 36 szorzás

j) 1 gyerek 1 óra 108 : 3 : 3 = 12 szorzás

Tk. 125/22. feladat: A szorzat változásainak meg�gyelése. A kéttagú szorzat értéke nem

változik, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, a másikat ugyanannyiszoro-

sára csökkentjük.

Megoldás: a = 2; b = 3; c = 8; d = 9; e = 2; f = 9.

Tk. 125/23. feladat: A szorzat változásainak meg�gyelése. Ha az egyik tényez®t vala-

hányszorosára változtatjuk, a szorzat is ugyanannyiszorosára változik.

Megoldás: a = 6; b = 6; c = 436; d = 436.

Tk. 126/24. feladat: A szorzat változtatása adott feltételek alapján. Használjuk fel a ko-

rábbi feladatok tapasztalatait.

Megoldás: a = 3; b = 4; c = 3; d = 2.

Tk. 126/25. feladat: A szorzat változásait �gyeltetjük meg, a tényez®k függvényében. A

meg�gyeléseket zömében a jobb képesség¶ tanulóktól várjuk.

Megoldás: a) 132 � 2

264

+1 � 132

b) 132 � 3

396

+1 � 132

c) 132 � 4

528




378

+100 � 3

b) 226 � 3

678

+100 � 3

c) 326 � 3

978




378

�2 : 2

b) 122 � 4

678

�2 : 2

c) 244 � 2

978





225


54

�4

b) 54 � 4

218

�4

c) 108 � 8

864

Gy. 115/1. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosításá-


Megoldás: 1893 1668 1608





a) 1200 1260 1269 423 � 3

1269

b) 1500 1560 1563 521 � 3

1563

c) 1200 1280 1284 321 � 4

1284

d) 800 800 808 202 � 4

808



Megoldás: Becslés Számolás

a) 410 � 4 = 400 � 4 = 10 � 4 = 1640 B < Sz 1648

b) 620 � 3 = 600 � 3 + 20 � 3 = 1860 B < Sz 1869

c) 420 � 4 = 400 � 4 + 20 � 4 = 1680 B < Sz 1684

d) 300 � 5 = 1500 B < Sz 1505

e) 930 � 2 = 900 � 2 + 30 � 2 = 1860 B < Sz 1868






Számolás: 126 824 1236 1648

b) Becslés



Számolás: 183 963 1263 1863



c) Becslés



Számolás: 168 1608 1608 804





a) 900 930 312312

+ 312936

312 � 3

936

1200 1240 312312

312+ 3121248

312 � 4

1248

b) 800 840 211211

211+ 211844

211 � 4

844

1000 1050 211

211211211

+ 2111055

211 � 5

1055

Gy. 117/6. feladat: Írásbeli szorzás egyjegy¶ szorzóval legfeljebb két (nem szomszédos)

helyiértéken történ® átlépéssel.

Megoldás: 492 753 1570





a) 1500 1550 1570 314 � 5

1570

a) 1000 800 805 161 � 5

805



227



Megoldás: Becslés Számolás

a) 140 � 3 = 100 � 3 + 40 � 3 = 420 B < Sz 426

b) 220 � 4 = 200 � 4 + 20 � 4 = 880 B > Sz 872

c) 320 � 5 = 300 � 5 = 20 � 5 = 1600 B > Sz 1575

d) 180 � 3 = 100 � 3 + 80 � 3 = 540 B < Sz 546

e) 210 � 6 = 200 � 6 + 10 � 6 = 1260 B < Sz 1278

f) 940 � 2 = 900 � 2 + 40 � 2 = 1880 B > Sz 1876

g) 210 � 7 = 200 � 7 + 10 � 7 = 1470 B < Sz 1491






Számolás: 130 1080 1296 648

b) Becslés



Számolás: 312 304 456 608

c) Becslés



Számolás: 176 856 1256 1656

Gy. 118/10. feladat: Szöveges feladatok a szorzás értelmezésére, gyakorlására.

Megoldás: a) Terv: t = 3 � 4

Számolás: t = 12 dm

Válasz: 12 dm-re jut.

b) Terv: t = 315 � 4

Becslés: százasra kerekítve: 1200 dm B < Sz

tízesre kerekítve: 1280 dm B > Sz

Számolás: 315 � 4

1260

Válasz: 1260 dm-re jut.





Számolás: t = 30 m

Válasz: 30 m-re van.

b) Terv: t = 151 � 6

Becslés: százasra kerekítve: 1200 m B > Sz

tízesre kerekítve: 900 m B < Sz


906

Válasz: 906 m-re van.

Gy. 119/12. feladat: Egyszer¶ feladatok az írásbeli szorzás algoritmusának tudatosítá-

sára, begyakorlására.




Számolás: 224 624 780 936

b) Becslés



Számolás: 438 438 738 1038

c) Becslés



Számolás: 658 1358 1365 1372

d) Becslés



Számolás: 405 1905 1686 1267

e) Becslés



Számolás: 192 1812 1812 1359

f) Becslés



Számolás: 376 441 882 1323



229

g) Becslés



Számolás: 413 1392 1388 1384

h) Becslés



Számolás: 432 1377 1436 1295

I) Becslés



Számolás: 259 1710 1425 1140


Megoldás: a) Terv: k = 12 � 8

Számolás: k = 96

Válasz: 96 katona áll.

b) Terv: k = 124 � 8

Becslés: százasra kerekítve: 800 B < Sz

tízesre kerekítve: 960 B < Sz


992

Válasz: 992 katona áll.


Megoldás: a) Terv: á = 13 � 7

Számolás: á = 91 Ft

Válasz: 91 Ft-ba kerül.

b) Terv: á = 126 � 7

Becslés: százasra kerekítve: 700 Ft B < Sz

tízesre kerekítve: 910 Ft B > Sz


882



Megoldás: a) Terv: á = 20 � 9

Számolás: á = 180 Ft Válasz: 80 Ft-ba kerül.



b) Terv: á = 197 � 9

Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft B > Sz



1773




Számolás: t = 180

Válasz: 180 tojás fér.

b) Terv: t = 324 � 6

Becslés: százasra kerekítve: 1800 B < Sz

tízesre kerekítve: 1920 B < Sz


1944

Válasz: 1944 tojás fér.

Gy. 121/17. feladat: Direkt és indirekt szövegezés¶ feladatok, ezért nagyobb gondot

fordítsunk a szöveg értelmezésére. A feladatsorban szerepelnek olyan feladatok is, me-

lyeket az adatok alapján nem tudunk megoldani.

Megoldás: a) Adatok: P = 320, R <

4-szerP, R = ?

Terv: R = P : 4 R = 320 : 4

Számolás: R = 80

Ellen®rzés: 4 � 80 = 320 Válasz: 80 telefonkártyája van Rékának.

b) Adatok: b = 196, vagy m >

hetedeb, m = ?

Terv: m = 7 � 196

Becslés: százasra kerekítve: 1400

tízesre kerekítve: 1400

Számolás: m = 372


Válasz: 1372 matricája van Csillának.

c) Adatok: D = 212, F <

5-telD, F = ?

Terv: F = D { 5 F = 212 { 5

Számolás: F = 207

Ellen®rzés: 207 + 5 = 212

Válasz: 207 bélyege van Frigyesnek.



231

d) Adatok: E = 252, t < E, ö = ?

Terv: Nem lehet pontosan meghatározni, mert nem tudjuk, a

többinek mennyi van.

252 < m < 4 � 252

Számolás: 252 < m < 1008

Válasz: 1008-nál kevesebb matricájuk van, de legalább 252.

e) Adatok: hétf® 48 1 hét = 7 nap ? nap

Terv: Nem lehet meghatározni, mert nem tudjuk, hogy a többi

napon mennyi ültetett.

Válasz: Az adatok alapján nem tudunk válaszolni a kérdésre.

f) Adatok: 1 perc legalább 84, legfeljebb 144 5 perc ?

Terv: Nem lehet pontosan meghatározni, csak két érték közé

szorítani.

5 � 84 5 d 5 5 � 144

Számolás: 420 5 d 5 720

Válasz: Legalább 420-at, legfeljebb 720-at dobbanhat Feri szíve.

Gy. 121/18. feladat: A tanulók tervszer¶ próbálgatással keressék meg a megoldást.

Megoldás: a) Ahhoz, hogy egy szorzat a lehet® legnagyobb legyen, a tényez®knek is

a lehet® legnagyobbnak kell lenniük. Két eset merülhet föl:

321 � 4 = 1284 és 421 � 3 = 1263.

b) A legkisebb tényez®k: 234 � 1 = 234.

c) Egy szorzat akkor páros, ha van páros tényez®je.

234 � 1 = 234; 134 � 2 = 268; 124 � 3 = 372; 123 � 4 = 492;

324 � 1 = 324; 143 � 2 = 286; 142 � 3 = 426; 132 � 4 = 528;

342 � 1 = 342; 314 � 2 = 628; 214 � 3 = 642; 213 � 4 = 852;

432 � 1 = 432; 341 � 2 = 682; 412 � 3 = 1236; 231 � 4 = 924;

413 � 2 = 826; 312 � 4 = 1248;

431 � 2 = 862; 321 � 4 = 1284.

d) Egy szorzat akkor páratlan, ha minden tényez®je páratlan.

1 � 243 = 243; 1 � 423 = 423; 3 � 241 = 723; 3 � 421 = 1263.

Gy. 121/19. feladat: A térfogatszámítás el®készítése. A térszemlélet fejlesztése érde-

kében építtethetünk azonos méret¶ színesrudakból különböz® hasábokat. Számoltas-

suk meg, hány rúdból építettek egy-egy hasábot. Számíttassuk ki, hány egységkockából

építhetnék meg ugyanazt a hasábot.

Megoldás: A citromsárga rudakból álló: 5 � 5 � 5 = 125 125 kis kockából építhet® meg.

A sötétkék rudakból álló: 6 � 4 � 9 = 216 216 kis kockából építhet® meg.

A zöld rudakból álló: 5 � 4 � 12 = 240 240 kis kockából építhet® meg.



Gy. 122/20. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait.

Megoldás:

a) b)

1 5 8 � 3

4 7 4

1 5 8 � 6

9 4 8

� 2

� 2

1 2 4 � 8

9 9 2

1 2 4 � 4

4 9 6

: 2

: 2

c) d)

1 6 4 � 6

9 8 4

1 6 4 � 2

3 2 8

: 3

: 3

1 0 8 � 3

3 2 4

1 0 8 � 9

9 7 2

� 3

� 3

e) f)

1 2 6 � 3

3 7 8

2 5 2 � 3

7 5 6

� 2

� 2

1 8 6 � 5

9 3 0

9 3 � 5

4 6 5

: 2

: 2

g) h)

4 3 � 7

3 0 1

1 2 9 � 7

9 0 3

� 3

� 3

5 4 � 4

2 1 6

2 1 6 � 4

8 6 4

� 4

� 4

Gy. 122/21. feladat: Figyeljük meg a szorzat változásait.

Megoldás: a) 4 7 � 3

1 4 1 � 2

4 7 � 6

2 8 2

Megoldás: a) 4 7 � 8

3 7 6 : 2

4 7 � 4

1 8 8



233

Következtetés egyr®l többre


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-

értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-

keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,

kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód, környezettudatosságra

nevelés.

Óra: 86{87. 95{97. 107{109.

A szorzás értelmezéséhez kapcsolódnak az egyenes arányossági következtetések egy-

r®l többre. A szöveges feladatokban eddig is találkoztak a tanulók ilyen feladatokkal.

Most a következ®kben fejleszthetjük tovább a korábban tanultakat, meg�gyelteket:

Tudatosítjuk a következtetés gondolatmenetét, különös hangsúlyt fektetve az egyenes

arányosság mint függvény fogalmának el®készítésére (táblázatok kitöltése, gra�konok

vizsgálata).

Szembeállítjuk azokat a példákat, amelyek megoldásakor következtethetünk egy adat-

ról többre, és amelyekben nem végezhet® el ez a következtetés (a fogalomalkotáshoz

elengedhetetlen a példák és ellenpéldák sokaságának vizsgálata).

Az adatok kigy¶jtésénél alkalmazzuk azt a sémát, amelyet kés®bb a fels® tagozatban a

matematika-, �zika- és kémiaórákon is használunk.

Folyamatos ismétlés: az írásbeli szorzás gyakorlása, mértékegységek átváltása, gra�ko-

nok készítése, értelmezése.

Az áru mennyisége és ára közti összefüggés vizsgálata kapcsolódik a háztartástan tan-

anyagához, ezért ezt a helyi tanterv és a tanmenet tervezésekor vegyük �gyelembe.

Tk. 127/1. kidolgozott mintapélda: Már eddig is következtettek a tanulók egyr®l többre.

Az így szerzett tapasztalatokat foglaljuk össze.

Tk. 127/2. kidolgozott mintapélda: Már eddig is következtettek a tanulók egyr®l többre.

Az így szerzett tapasztalatokat foglaljuk össze.

Tk. 127/1. feladat: Figyeljük meg, mikor számítható ki az adatokból a keresett érték és

mikor nem. Beszéljük meg a tapasztalatokat.

Megoldás: a) 1 perc alatt 125 m

8 perc alatt a m a = 8 � 125, a = 1000 m

b) A megadott adatokból nem tudunk következtetni a h®mérsékletre.

Tk. 128/2. feladat: Függvények értékkészletének meghatározása.

Megoldás: a) Id® (másodperc) 1 2 5 0 9 7

Út (mm) 217 434 1085 0 1953 1519



Megoldás: b) Alkatrész (db) 1 3 8 4 10 20

Tömeg (dkg) 98 294 784 392 980 1960

Tk. 128/3. feladat: Gra�kon értelmezése. Adatok leolvasása és táblázatba foglalása. Az

egyenes arányosság el®készítése.

Megoldás:

Id® (perc) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Út (mm) 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600

Tk. 129/4. feladat: Direkt és indirekt szövegezés¶ feladatok, ezért nagyobb gondot for-

dítsunk a szöveg értelmezésére. A feladatsorban szerepelnek olyan feladatok is, melye-

ket az adatok alapján nem tudunk megoldani.

Megoldás: a) Adatok: Nem tudjuk, hogy Karcsi az iskolán kívül ment-e másho-

vá, vagy nem. Ha nem ment, akkor számítható csak ki az

eredmény. Ebben állapodjunk meg.

1 a 416 m

4 a ? m

Terv: x = 4 � 412

Becslés: százasra kerekítve: 1600 m

tízesre kerekítve: 1640 m


Válasz: 1664 m-t gyalogolt Karcsi.

b) Adatok: A feladatnak több megoldása van.

Ha egy önmagába nem záródó kerítést épít, akkor:

| {z }

225 cm

Terv: x = 225 � 8

Becslés: százasra kerekítve: 1600 cm

tízesre kerekítve: 1840 cm

Számolás: x = 1800 cm

Válasz: 1800 cm = 18 m hosszú a kerítés.

Adatok: Ha egy önmagába záródó kerítést épít, akkor:

Terv: x = 225 � 9



Számolás: x = 2025 cm.

Válasz: 2025 cm = 20 m 25 cm hosszú a kerítés.



235

c) Adatok: 1 lap 205 mm

9 lap ? mm

Terv: x = 9 � 205

Becslés: százasra kerekítve: 1800 mm

tízesre kerekítve: 1890 mm


Válasz: 1845 mm = 1 m 8 dm 4 cm 5 mm hosszú az el®szoba.

d) Adatok: Beugrató feladat.

e) Adatok: ö = 248, sz = 8, u = ?

Terv: u = ö { sz u = 248 { 8

Számolás: u = 240

Válasz: 240 utas van a hajón.

f) Adatok:� � � � � � � � � �

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

| {z }

5 � 40 cm

| {z }

4 � 40 cm

| {z }

9 � 40 cm

Terv: a = 5 � 40

Számolás: a = 200 cm

Válasz: 200 cm = 2 m a távolság az 1. és 6. árvácska között.

Terv: b = 4 � 40

Számolás: b = 160 cm

Válasz: 160 cm = 1 m 6 dm a távolság a 6. és 10. árvácska között.

Terv: c = 9 � 40

Számolás: c = 360 cm

Válasz: 360 cm = 3 m 6 dm a távolság az 1. és 10. árvácska között.

g) Adatok: A többi hajszál hosszáról nem tudunk semmit, így nem tud-

juk a hosszukat sem megmondani.

Tk. 129/5. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban.

Megoldás: a) Adatok: 1 rák 10 láb

195 rák x láb x = ?

Terv: x = 195 � 10




Válasz: 1950 lába van 195 ráknak.



b) Adatok: 1 sz 478 láb

4 sz x láb x = ?

Terv: x = 4 � 478




Válasz: 1912 lába van 4 százlábúnak.

c) Adatok: 1 sz 4 láb

190 sz x láb x = ?

Terv: x = 190 � 4



Számolás: x = 760

Válasz: 760 lába van ennek az ezerlábúnak.

d) Adatok: 1 hal 0 láb

978 hal x láb x = ?

Terv: x = 978 � 0



Számolás: x = 0

Válasz: 0 lába van 978 halnak.

e) Adatok: 1 kutya 1 fej

514 kutya x fej x = ?

Terv: x = 514 � 1



Számolás: x = 514

Válasz: 514 feje van 514 kutyának.

f) Adatok: 1 virág 5 sz

243 virág x sz x = ?

Terv: x = 243 � 5




Válasz: 1215 sziromlevele van 243 almavirágnak.

Tk. 130/3. kidolgozott mintapélda: Példa olyan szöveges feladat megoldására, ahol a

mértékváltást is gyakoroltatjuk. Figyeltessük meg újra a megoldás lépéseit, különösen a

becslést. Folyamatos ismétlésként a közelít® számításokról tanultakat beszéljük meg.



237

Tk. 130/6. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a

mértékváltásokra.

Megoldás: a) Adatok: 1 ruha 1 m 6 dm 2 cm = 162 cm

4 ruha x cm x cm x = ?

Terv: x = 4 � 162




Válasz: 648 cm anyag kell 4 ruhához.

b) Adatok: 1 masni 3 dm 25 mm = 325 mm

3 masni x mm x = ?

Terv: x = 3 � 325




Válasz: 975 mm = 9 dm 7 cm 5 mm szalagot kérjen.

c) Adatok: L = 1 dm 1 cm 5 mm = 115 mm L <

5-szörM M =?

Terv: M = 5 � L M = 5 � 115



Számolás: M = 575 mm

Válasz: 575 mm = 5 dm 7 cm 5 mm magas Miklós tornya.

d) Adatok: 1 terít® 3 m 1 dm 1 cm = 311 cm

6 terít® x cm x = ?

Terv: x = 6 � 311




Válasz: 1866 cm = 18 m 6 dm 6 cm csipke kell 6 terít® beszegésé-

hez.

e) Adatok: 1 gyerek 3 dl

452 gyerek x dl x = ?

Terv: x = 452 � 3

Becslés: százasra kerekítve: 1500 dl

tízesre kerekítve: 1350 dl

Számolás: x = 1356 dl

Válasz: 1356 dl = 135 l 6 dl kakaót készítettek.



f) Adatok: 1 üveg 2 l 3 dl 1 cl = 231 cl

8 üveg x cl x ?

Terv: x = 8 � 231

Becslés: százasra kerekítve: 1600 cl

tízesre kerekítve: 1840 cl

Számolás: x = 1848 cl

Válasz: 1848 cl = 18 l 4 dl 8 cl víz fér 8 üvegbe.

g) Adatok: 1 kanna 8 l

25 kanna x l x = ?

Terv: x = 25 � 8

Becslés: tízesre kerekítve: 240 l

Számolás: x = 200 l

Válasz: 200 l vizet locsolunk szét egy nap alatt.

h) Adatok: 1 üveg 2 l 3 dl 5 cl = 235 cl

8 üveg x cl x = ?

Terv: x = 8 � 235




Válasz: 1880 cl = 18 l 8 dl víz fér 8 üvegbe.

Gy. 123/1. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a


Megoldás: a) Adatok: 1 db 8 Ft

209 db x Ft x = ?

Terv: x = 209 � 8




Válasz: 1672 Ft-ba kerül 209 golyó.

b) Adatok: 1 db 584 Ft

3 db x Ft x = ?

Terv: x = 3 � 584

Becslés: százasra kerekítve: 1800 Ft B > Sz

tízesre kerekítve: 1740 Ft B < Sz


Válasz: 1752 Ft-ba kerül 3 könyv.



239

c) Adatok: 1 bögre 2 dl

728 bögre x dl x = ?

Terv: x = 728 � 2

Becslés: százasra kerekítve: 1400 dl B < Sz

tízesre kerekítve: 1460 dl B > Sz


Válasz: 1456 dl = 145 l 6 dl kakaót ittak meg a gyerekek.

d) Adatok: 1 db 9 Ft

216 db x Ft x = ?

Terv: x = 216�




Válasz: 1944 Ft-ba kerül 216 matrica.

e) Adatok: 1 csomag 5 dkg

384 csomag x dkg x = ?

Terv: x = 384 � 5

Becslés: százasra kerekítve: 2000 dkg B > Sz

tízesre kerekítve: 1900 dkg B < Sz


Válasz: 1920 dkg = 19 kg 20 dkg a tömege az éleszt®nek.

f) Adatok: 1 perc 4 cm

156 perc x cm x = ?

Terv: x = 156 � 4

Becslés: százasra kerekítve: 800 cm B > Sz

tízesre kerekítve: 640 cm B > Sz


Válasz: 624 cm = 6 m 2 dm 4 cm távolságra jut a csiga.

Gy. 124/2. feladat: Következtetések egyr®l többre szöveges feladatokban. Figyeljünk a


Megoldás: a) Adatok: 1 db 3 dkg

516 db x dkg x = ?

Terv: x = 516 � 3

Becslés: százasra kerekítve: 1500 dkg

tízesre kerekítve: 1560 dkg


Válasz: 1548 dkg = 15kg 48 dkg a tömege 516 vasgolyónak.



b) Adatok: 1 arasz 2 dm

295 arasz x dm x = ?

Terv: x = 295 � 2

Becslés: százasra kerekítve: 600 dm

tízesre kerekítve: 600 dm

Számolás: x = 590 dm

Válasz: 590 dm = 59 m hosszú a zsinór.

c) Adatok: 1 palack 7 dl

268 palack x dl x = ?

Terv: x = 268 � 7

Becslés: százasra kerekítve: 2100 dl

tízesre kerekítve: 1890 dl


Válasz: 1876 dl = 187 l 6 dl borral tölthet® meg 268 palack.

d) Adatok: 1 perc 356 cm

4 perc x cm x = ?

Terv: x = 4 � 356




Válasz: 1424 cm = 14 m 2 dm 4 cm-re jut a vándorhangya 4 perc

alatt.

e) Adatok: 1 perc 6 cm

178 perc x cm x = ?

Terv: x = 178 � 6




Válasz: 1068 cm = 10 m 6 dm 8 cm-re jut a csiga 178 perc alatt.

f) Adatok: 1 könyv 9 mm

185 könyv x mm x = ?

Terv: x = 185 � 9




Válasz: 1665 mm = 1 m 6 dm 6 cm 5 mm magas oszlopot kapnak.



241

g) Adatok: 1 üveg 5 cl

386 üveg x cl x = ?

Terv: x = 386 � 5




Válasz: 1930 cl = 19 l 3 dl orvosságot öntenek 386 üvegbe.

h) Adatok: 1 gyerek 3 kanál 1 kanál 3 ml

158 gyerek x ml x = ?

Terv: x = 158 � 3 � 3

Becslés: százasra kerekítve: 1800 ml

tízesre kerekítve: 1440 ml

Számolás: x = 1422 ml

Válasz: 1422 ml = 1 l 4 dl 2 cl 2 ml vitaminkészítményt kap 158

gyerek.

Gy. 124/3. feladat: Táblázat kitöltése a szöveg alapján.

Megoldás: a) Id® (másodperc) 1 2 5 0 9 7

Út (mm) 217 434 1085 0 1953 1519

b) Alkatrész (db) 1 3 8 4 10 20

Tömeg (dkg) 98 294 784 392 980 1960

c) Tömeg (kg) 1 6 4 9 5 7

Ár (Ft) 208 1248 832 1872 1040 1456

Óra: 88. 98. 110.

4. tájékozódó felmérés

A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

Írásbeli szorzás alkalmazása összetett feladatokban






tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.



Óra: 89{91. 99{101. 111{114.

Az írásbeli összeadásról, kivonásról, szorzásról; a mérésekr®l; a m¶veletek sorrendjér®l,

a zárójelek használatáról tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban és szöveges

feladatokban.

Tk. 131/1. feladat: A m¶veleti sorrend gyakorlása.

Megoldás: a) 176 + 238 � 4| {z }

952

= 1228, 176 + 238| {z }

414

�4 = 1656, 176 � 4| {z }

704

+238 � 4| {z }

952

= 1656

b) 413 { 127 � 3| {z }

381

= 31, 413 { 238| {z }

286

�3 = 858, 413 � 3| {z }

1239

{ 127 � 3| {z }

381

= 858

Tk. 131/2. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend gyakorlására. A megoldás

során alkalmazzuk a szorzat változásairól tanultakat.

Megoldás: a = 132 d = 306 g = 0

b = 108 e = 152 h = 633

c = 0 f = 622 i = 0

Tk. 132/3. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása.

Megoldás: 535 < a < 548 1432 > b > 1426

a : 536 , . . . , 547 b : 1427 , . . . , 1431

465 5 c 5 468 1155 = d = 1154

c : 465 , . . . , 468 d : 1154, 1155

788 5 e 5 789 1000 = f = 1000

e : 788, 789 f : 1000

Tk. 132/4. feladat: Szöveges feladatok, melyekhez több megoldási terv is készíthet®.

Beszéljük meg, mikor melyiket miért célszer¶ alkalmazni.

Megoldás: a) Adatok: a = 396Ft t : 1 db 298 Ft ö = ?

4 db 4 � 298 Ft

Terv: ö = 396 + 4 � 298

Becslés: százasra kerekítve: 1600 Ft

tízesre kerekítve: 1600 Ft

Számolás: ö = 1588 Ft

Válasz: 1588 Ft-ot �zetett összesen Pista.

b) Adatok: v = 1500 Ft, e : 1 kg 146 Ft m = ?

6 kg 6 � 146 Ft

Terv: m = 1500 { 6 � 146





243

Számolás: m = 624 Ft

Válasz: 624 Ft-ja maradt Jóska nagymamájának.

c) Adatok: 1 láda 38 kg, 1 konténer 4 � 38 kg

4 láda 4 � 38 kg 2 konténer x kg x = ?

Terv: x = 2 � 4 � 38

Becslés: tízesre kerekítve: 320 kg


Válasz: 304 kg alma fér 2 konténerbe.

d) Adatok: p : 1 kg 275 Ft, b : 1 kg 388 Ft k = ?

4 kg 4 � 275 Ft 4 kg 4 � 388 Ft

Terv: k = 4 � 388 { 4 � 275 k = 1552 { 1100

k = 4 � (388 { 275) k = 4 � 113



Számolás: k = 452 Ft

Válasz: 452 Ft-tal került többe 4 kg málna a boltban.

Tk. 132/5. feladat: Szöveg alapján egyenlet írása, a m¶veleti sorrend gyakorlására.

Megoldás: a) a = (276 + 149) � 4 a = 1700

b) b = (276 { 149) � 4 b = 508

c) c = 276 + 149 � 4 c = 872

d) d = 276 � 4 { 149 d = 955

Tk. 132/6. feladat: Egyenl®tlenségre visszavezethet® szöveges feladatok.

Megoldás: a) 3 � 124 < a < 4 � 124 a : 373; 374; . . . ; 494; 495

b) 4 � 105 5 b < 5 � 105 b : 420; 421; . . . ; 523; 524

c) 5 � 102 5 c 5 9 � 102 c : 510; 511; . . . ; 917; 918

d) 3 � 124 < d < 3 � 125 d : 373; 374

Tk. 133/7. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása.

Megoldás: a)

?z }| {

| {z }

1 km 895 m=1895 mJ H

Terv: t = 1895 { 8 � 175 t = 1895 { 1400




Válasz: 495 m-re van ekkor a célvonaltól Gedeon.



b) Adatok:

?z }| {

| {z }

3�162 m

| {z }

3�138 mJ H

Terv: t = 3 � 162 + 3 � 138 t = 468 + 414

Terv: t = 3 � (162 + 138) t = 3 � 300




Válasz: 900 m-re lesznek egymástól.

c) Adatok:6�158 m

z }| {

| {z }

6�138 m

| {z }

?

K

L

Terv: t = 6 � 158 { 6 � 138 t = 948 { 828

t = 6 � (158 { 138) t = 6 � 20





d) Adatok:5�147 m

z }| {

| {z }

380 m

| {z }

5�112 m

?z }| {N

M

Terv: t = 380 { (5 � 147 { 5 � 112) = 380 { (735 { 560)

t = 380 { 5 � (147 { 112) t = 380 { 5 � 35

Becslés: tízesre kerekítve: 200 m



Gy. 125/1. feladat: A m¶veleti sorrend gyakorlása.

Megoldás: a) 648

1:

� 3| {z }

1944

2:

{ 1295 = 649;

Becslés: százasra kerekítve: 600 � 3 { 1300 = 500

tízesre kerekítve: 650 � 3 { 1300 = 650

b) 1851

2:

{ 276

1:

� 6| {z }

1656

= 195;

Becslés: százasra kerekítve: 1900 { 300 � 6 = 100

tízesre kerekítve: 1850 { 280 � 6 = 170



245

c) (1352

1:

{ 816)| {z }

536

2:

� 3 = 1608;

Becslés: százasra kerekítve: (1400 { 800) � 6 = 1800

tízesre kerekítve: (1350 { 820) � 6 = 1590

d) 243

1:

� 7| {z }

1701

2:

+ 256 = 1957;

Becslés: százasra kerekítve: 200 � 7 + 300 = 1700

tízesre kerekítve: 240 � 7 + 260 = 1940

e) 628

2:

+ 156

1:

� 8| {z }

1248

= 1876;

Becslés: százasra kerekítve: 600 + 200 � 8 = 2200

tízesre kerekítve: 630 + 160 � 8 = 1910

f) (147

1:

+ 96)| {z }

243

2:

� 5 = 1215;

Becslés: százasra kerekítve: (100 + 100) � 5 = 1000

tízesre kerekítve: (150 + 100) � 5 = 1250

g) 8

2:

� (1216

1:

{ 997)| {z }

219

= 1752;

Becslés: százasra kerekítve: 8 � (1200 { 1000) = 1600

tízesre kerekítve: 8 � (1220 { 1000) = 1760

h) 1902

2:

{ 156

1:

� 9| {z }

1404

= 498;

Becslés: százasra kerekítve: 1900 { 200 � 9 = 100

tízesre kerekítve: 1900 { 260 � 9 = 460

I) 228

2:

+ 427

1:

� 4| {z }

1708

= 1936;

Becslés: százasra kerekítve: 200 + 400 � 4 = 1800

tízesre kerekítve: 230 + 430 � 4 = 1950

j) 2

2:

� (376

1:

+ 287)| {z }

663

= 1326.

Becslés: százasra kerekítve: 2 � (400 + 300) = 1400

tízesre kerekítve: 2 � (380 + 290) = 1340



Gy. 126/2. feladat: Táblázatok kitöltése. Hasonló feladatokat többször játszanak a tanu-

lók.

Megoldás:

Áru Mennyiség Egységár Érték

Kenyér 4 db 128 Ft 512 Ft

Ki i 25 db 9 Ft 225 Ft

Tej 1 doboz 216 Ft 216 Ft

Joghurt 3 doboz 96 Ft 288 Ft

Keksz 1 doboz 568 Ft 568 Ft

Végösszeg 1809 Ft

Gy. 126/3. feladat: Táblázatok kitöltése. A feladatnak több megoldása lehet. Itt csak egy

megoldást közlünk.

Megoldás:

Áru Mennyiség Egységár Érték

Autó 1 db 348 Ft 348 Ft

Könyv 1 db 628 Ft 628 Ft

Mackó 1 db 416 Ft 416 Ft

Pingpongüt® 1 db 342 Ft 342 Ft

Végösszeg 1734 Ft

Gy. 126/4. feladat: Vásárláshoz kapcsolódó szöveges feladat.

Megoldás: a = 1870 { 1 � 135| {z }

135

a = 1735 Ft 1735 Ft-ja marad.

b = 1870 { 5 � 135| {z }

675

b = 1195 Ft 1195 Ft-ja marad.

c = 1870 { 10 � 135| {z }

1350

c = 520 Ft 520 Ft-ja marad.

Gy. 127/5. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása.

Megoldás: a) Adatok: v = 1248 kg e : 1 zs 62 kg m = ?

4 zs 4 � 62 kg

Terv: m = 1248 { 4 � 62 m = 1248 { 434

Becslés: százasra kerekítve: 500 kg

tízesre kerekítve: 830 kg

Számolás: m = 814 kg

Válasz: 814 kg búza maradt.



247

b) Adatok: v = 782 l, e : 1 perc 136 l l = ?

6 perc 6 � 136 l

Terv: l = 782 + 6 � 136 l = 782 + 1088

Becslés: százasra kerekítve: 1600 l

tízesre kerekítve: 1900 l

Számolás: l = 1870 l

Válasz: 1870 l víz lett a tartályban.

c) Adatok: v = 1654 l, e : 1 perc 190 l, m = ?

6 perc 6 � 190 l

Terv: m = 1654 { 6 � 190 m = 1654 { 1140

Becslés: százasra kerekítve: 500 l

tízesre kerekítve: 510 l

Számolás: m = 514 l

Válasz: 514 l víz maradt a tartályban.

Gy. 127/6. feladat: Egyenl®tlenségek megoldása.

Megoldás: a) 389 < 126 + a < 392 a : 264, 265

b) 502 > 802 { b > 498 b : 301, 302, 303

c) 1163 5 c { 126 5 1165 c : 1289, 1290, 1291

Gy. 127/7. feladat: Ösztönözzük a tanulókat az összes megoldás megkeresésére.

Megoldás: a) Akkor a legkisebb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legkisebbek.

108 � 3 = 324

b) Akkor a legnagyobb a szorzat, ha a tényez®i a lehet® legnagyobbak.

456 � 4 = 1824

c) Akkor páros a szorzat, ha valamelyik tényez®je páros.

108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 4 = 988

319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824

d) Akkor páratlan a szorzat, ha mindegyik tényez®je páratlan.

247 � 3 = 741 319 � 3 = 957

e) Legalább 1000, azaz 1000 vagy annál több lehet a szorzat.

319 � 4 = 1276 456 � 3 = 1368 456 � 4 = 1824

f) Legfeljebb 1000, azaz 1000 vagy annál kevesebb lehet a szorzat.

108 � 3 = 324 108 � 4 = 432 247 � 3 = 741

247 � 4 = 988 319 � 3 = 957

Óra: 92. 102{103. 1115{116.

4. felmérés




Hosszúságmérés; kilométer


rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-

értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-

vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-

dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, hon- és népismeret.

Óra: 93{94. 104{105. 117{118.

A mindennapi életb®l már meglév® tapasztalatokra építve vezetjük be a kilométer fo-

galmát. A mértékváltás a számfogalom alakítását is szolgálja (például szemléleti alapot

biztosít az �ezer" fogalmának elmélyítéséhez).

Beszéljük meg a �kilo" görög szó jelentését, és azt is, hogy más mennyiség esetében is

szoktuk ezt a kifejezést használni. (A tanulók már tanulták a kilogramm fogalmát, hall-

hattak a kilowattról stb.)

Folyamatos ismétlésként, a hosszúságméréssel kapcsolatos feladatok feldolgozása so-

rán alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek számokkal végzett analóg szá-

mításokat.

Tk. 134/Jegyezd meg!: A mindennapi életb®l már meglév® tapasztalatokra építve ve-

zetjük be a kilométer fogalmát.

Tk. 134/1. kidolgozott mintapélda: A hosszúságadatokkal végzett m¶veletek során

megbeszélhetjük, hogy csak akkor adódnak össze a távolságok (additív tulajdonság),

ha egy egyenes mentén, ugyanabban az irányban mérjük fel azokat. Így a tanuló ta-

pasztalatokat szerezhet a háromszögegyenl®tlenségr®l is. Ismertessük fel azt is, hogy a

távolságok összeadása, kivonása el®tt azonos mértékegységekkel célszer¶ kifejeznünk

az adott mennyiségeket.

Tk. 135/1. feladat: El®készítjük a környezetismeretben is tanult fogalmakat (légvonal-

ban, vasútvonalon, közúton stb.).

Megoldás: 57 + 12 + 26 + 20 + 52 + 16 + 27 = 210

72 + 16 + 49 + 44 + 15 + 16 + 46 + 27 = 285

57 + 30 + 46 + 16 + 46 + 27 = 222

57 + 12 + 74 + 46 + 27 = 216

Térképen: 65 mm Valóságban: 130 km légvonalban

Tk. 135/2. feladat: Egyenes arányossági következtetések. Az analóg számításokat fej-

ben végezzék a tanulók (szükség esetén beszéljük meg a szorzat változásait).

Megoldás: A tanulóktól is megkérdezhetjük, hogyan tehet® pontosabbá a feladat. Ki

kell egészíteni az adatokat: Egy egyenes út mentén állították a villanyosz-

lopokat; vagy a villanyoszlopok mentén haladva mekkora a távolság.

a = 420 m; b = 600 m; c = 1200 m; d = 1800 m.



249

Ha nem pontosítjuk az adatokat, akkor a helyes válasz az, hogy a felsorolt

adatoknál kisebb is lehet a távolság (ha nem egyenes vonalban rakták le

az oszlopokat).

Tk. 135/3. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy egy beosztás 100 m.

Megoldás: a) 400 m, 750 m, 1150 m;

b) 600 m, 250 m, 150 m;

c) 750 m.

Tk. 135/4. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat.

Megoldás: Ház: 12 m

Ceruza 12 cm

Iskolapad 12 dm

Két város 12 km

Gomb 12 mm

Gy. 128/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a kilométer és a méter közötti kapcsolat

alkalmazása.

Megoldás: a) 1 km 400 m b) 1470 m

1 km 860 m 1050 m

1 km 80 m 1007 m

0 km 906 m 1909 m

1 km 204 m 1600 m


alkalmazása.

Megoldás: a) 220 m b) 500 m

740 m 950 m

930 m 560 m

650 m 1268 m

300 m 1540 m


alkalmazása.

Megoldás: a) 2000 m = 2 km 0 m

1600 m = 1 km 600 m

b) 1400 m = 1 km 400 m

1680 m = 1 km 680 m

c) 1555 m = 1 km 555 m

1925 m = 1 km 925 m



d) 1250 m = 1 km 250 m

200 m = 0 km 200 m


alkalmazása.

Megoldás: a) 1 km < 1300 m < 2 km 1300 m � 1 km

b) 1 km < 1500 m < 2 km 1500 m � 2 km

c) 0 km < 625 m < 1 km 625 m � 1 km

d) 1 km < 1840 m < 2 km 1840 m � 2 km

e) 0 km < 499 m < 1 km 499 m � 0 km

�rtartalommérés; hektoliter




vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fel-

adattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 95{96. 106{107. 119{120.

Az ¶rtartalom fogalmának alakítása érdekében végeztessünk minél több mérést, dolgoz-

tassunk föl minél több feladatot a tanult mértékegységek alkalmazásával.

Folyamatos ismétlésként most is alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek

számokkal végzett analóg számításokat. Az ¶rtartalmakkal végzett m¶veletek során a

tanuló tapasztalatokat szerezhet az ¶rtartalom (és így a térfogat) additív tulajdonságáról.

Figyeltessük meg, hogy a mennyiségek összeadása, kivonása el®tt azonos mértékegy-

ségekkel célszer¶ kifejezni az adott ¶rtartalmakat.

Az ebben a fejezetben található feladatok közül néhányat a további órákon, folyamatos

ismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk olyan feladatokat,

amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását.

Tk. 136/Jegyezd meg!: A hektoliter fogalmának kialakításához mutassunk be 1 hektoli-

teres (m¶anyag) hordót, 10 darab tízliteres vödröt (az el®re megtöltött vödrökb®l teletölt-

hetjük a hordót). A tankönyv szemléltetését is modellezhetjük, amellyel a térfogatmérést

készítjük el®.

Beszéljük meg a �hekto" görög szó jelentését, és azt is, hogy más (tanult) mennyiség

esetében nem szoktuk ezt a kifejezést használni (a literrel viszont a �deka" és a �kilo"

kifejezést nem szokás összekapcsolni). Tisztázzuk a �centi" és a �hekto" fogalma közti

különbséget.



251

Tk. 136/1. kidolgozott mintapélda: �rmértékekhez kapcsolódó szöveges feladat meg-

oldásmenetét mutatja be a feladat.

Tk. 136/1. feladat: Mértékváltások a tanult ¶rtartalom mértékegységeivel.

A hektoliter és a deciliter közti átváltásokat a matematikából nehezebben haladóktól ne

követeljük meg.

Megoldás: a) 50 l b) 20 l c) 10 l d) 25 l


A hektoliter és a deciliter közti átváltásokat a matematikából nehezebben haladóktól ne

követeljük meg.

Megoldás: a) 500 l b) 700 l c) 1000 l d) 1500 l e) 2000 l

Tk. 137/3. feladat: �rtartalomméréssel kapcsolatos egyenes arányossági következteté-

sek.

Megoldás: a) a = 4 � 50 l a = 200 l = 2 hl

b) b = 5 � 125 l b = 625 l = 6 hl 25 l

c) c = 20 � 16 l c = 320 l = 3 hl 20 l

d) d = 300 � 5 dl d = 1500 dl = 1 hl 50 l

e) e = 7 � 50 l e = 350 l = 3 hl 50 l

Tk. 137/4. feladat: Az ¶rtartalom becslése általában nehezebben megy a tanulóknak,

mivel kevesebb a tapasztalatuk. A biztos mennyiségfogalom, illetve az egyes mérték-

egységek fogalmának kialakulása érdekében konkrét mérésekhez kössük a feladatot.

Megoldás: Pohár: 12 cl

Kancsó: 12 dl

Sótartó: 12 ml

Vödör: 12 l

Tartály: 12 hl


Megoldás: a) 2 hl 50 l b) 146 l

15 hl 20 l 315 l

c) 1253 dl d) 1 hl 32 l 5 dl

1325 dl 1 hl 4 l 2 dl

Tk. 137/6. feladat: �rtartalomméréssel kapcsolatos egyenes arányossági következteté-

sek.

Megoldás: ö = 174 � 9| {z }

1566

+135 � 3| {z }

405

ö = 1971 dl = 1 hl 97 l 1 dl



Gy. 129/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a hektoliter és liter, deciliter közötti kap-

csolat alkalmazása.

Megoldás: a) 3 hl 20 l b) 812 l

4 hl 5 l 509 l

2 hl 92 l 698 l

16 hl 8 l 1050 l

10 hl 10 l 1978 l

c) 1454 dl d) 1 hl 68 l 4 dl

1508 dl 1 hl 25 l 0 dl

1053 dl 1 hl 30 l 8 dl

1045 dl 1 hl 0 l 1 dl

1008 dl 1 hl 1 l 3 dl



Megoldás: a) 52 l b) 50 l

50 l 5 l

195 l 100 l

60 l 150 l

98 l 1340 l



Megoldás: a) 370 l b) 250 l

300 l 180 l

606 l 300 l

1698 l 175 l

1006 l 25 l



Megoldás: a) 1 hl < 148 l < 2 hl 148 l � 1 hl

b) 3 hl < 309 l < 4 hl 309 l � 3 hl

c) 11 hl < 1150 l < 12 hl 1150 l � 12 hl

d) 0 hl < 35 l < 1 hl 35 l � 0 hl



253

Tömegmérés; tonna






pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés.

Óra: 97{98. 108{109. 121{122.

A tömeg fogalmának alakítása érdekében végeztessünk minél több mérést, dolgoztas-

sunk föl minél több feladatot a tanult mértékegységek alkalmazásával. A tonna fogal-

mának kialakítása nehezebb feladat, mert nehéz olyan konkrét tárgyakat bemutatni a

gyerekeknek, amelynek tömegét tonnában mérjük.

Folyamatos ismétlésként most is alkalmazzuk az írásbeli m¶veleteket, illetve a kerek

számokkal végzett analóg számításokat.

Tk. 138/Jegyezd meg!: A tonna fogalmának kialakítása.

Tk. 138/1. kidolgozott mintapélda: A természetismeretb®l vett példákkal próbáljuk

szemléletessé tenni a gyermekek számára a tonna fogalmát. Ha módunkban áll, ak-

kor mérjük meg az osztály tanulóinak tömegét, s azok összegét hasonlítsuk össze az 1

tonnával.

Tk. 139/1. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-

gekhez.

Megoldás: a) Adatok: b = 485 kg, b <

3-szorzs, zs = ?

Terv: zs = 3 � b zs = 3 � 485



Számolás: zs = 1455 kg


Válasz: 1455 kg = 1 t 455 kg a zsiráf tömege.

b) Adatok: zs = 1455 kg, b = 485 kg, k = ?

Terv: k = zs { b k = 1455 { 485



Számolás: k = 970 kg

Ellen®rzés: 970 + 485 = 1455

Válasz: 970 kg-mal nagyobb a zsiráf tömege.



c) Adatok: zs = 1455 kg, 2 t = 2000 kg, k = ?

Terv: k = 2000 { 1455




Ellen®rzés: 545 + 1455 = 2000

Válasz: 545 kg-mal kevesebb a zsiráf tömege 2 t-nál.

d) Adatok: zs = 1455 kg, b = 485 kg, ö = ?

Terv: ö = zs + b ö = 1455 + 485



Számolás: ö = 1940 kg


Válasz: 1940 kg = 1 t 940 kg együtt a zsiráf és a bölény tömege.

Tk. 139/2. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-

gekhez.

Megoldás: a) Adatok: v = 1 t 260 kg = 1260 kg, e = 355 kg, l = ?

Terv: l = v { e l = 1260 { 355



Számolás: l = 905 kg

Ellen®rzés: 905 + 355 = 1260

Válasz: 905 kg lehet az elefántfóka tömege a szoptatás végére.

b) Adatok: b = 3 kg, b <

125-szöra, a = ?

Terv: a = 125 � b a = 125 � 3



Számolás: a = 375 kg


Válasz: 375 kg az anyamedve tömege.

Adatok: a = 375 kg, 1 t = 1000 kg, k = ?

Terv: k = 1000 {{ 375



Számolás: a = 625 kg

Ellen®rzés: 625 + 375 = 1000

Válasz: 625 kg-mal kevesebb az anyamedve tömege 1 t-nál.



255

c) Adatok: b = 345 kg, 1 n 105 kg, ö = ?

8 n 8 � 105

Terv: ö = b + n ö = 345 + 8 � 105





Válasz: 1185 kg = 1 t 185 kg a tömege az oroszlánfóka-csapatnak.

185 kg-mal több ez az össztömeg 1 t-nál.

d) Adatok: h = 1 t 340 kg = 1340 kg, h >475 kg-mal

n, n = ?

Terv: n = h { 475 n = 1340 { 475



Számolás: n = 865 kg

Ellen®rzés: 865 + 475 = 1340

Válasz: 865 kg a n®stény narvál tömege.

Adatok: n = 865 kg, 1 t = 1000 kg, k = ?

Terv: k = 1000 { 865




Ellen®rzés: 135 + 865 = 1000

Válasz: 135 kg-mal kevesebb a n®stény narvál tömege 1 t-nál.

Gy. 130/1. feladat: Mértékváltások gyakorlása, a tonna és kilogramm közötti kapcsolat

alkalmazása.

Megoldás: a) 1 t 600 kg b) 1700 kg

1 t 450 kg 1070 kg

1 t 78 kg 1007 kg

2 t 0 kg 1549 kg

0 t 600 kg 1450 kg


alkalmazása.

Megoldás: a) 400 kg b) 900 kg

1000 kg 900 kg

1960 kg 1520 kg



c) 400 kg d) 1500 kg

650 kg 2000 kg

920 kg 1050 kg


alkalmazása.

Megoldás: a) 1800 kg = 1 t 800 kg

1460 kg = 1 t 460 kg

b) 1810 kg = 1 t 810 kg

2000 kg = 2 t 0 kg

c) 1310 kg = 1 t 310 kg

1760 kg = 1 t 760 kg


alkalmazása.

Megoldás: a) 1 t < 1200 kg < 2 t 1200 kg � 1 t

b) 0 t < 580 kg < 1 t 580 kg � 1 t

c) 1 t < 1618 kg < 2 t 1618 kg � 2 t

d) 0 t < 200 kg < 1 t 200 kg � 0 t

e) 1 t < 1500 kg < 2 t 1500 kg � 2 t

Gy. 131/5. feladat: Szöveges feladatok megoldása, kapcsolódva a tömegmértékegysé-

gekhez.

Megoldás: a) Adatok: 1 forduló 8 t

185 forduló x t x = ?

Terv: x = 185 � 8

Becslés: százasra kerekítve: 1600 t

tízesre kerekítve: 1520 t

Számolás: x = 1480 t


Válasz: 1480 t ércet szállíthat el a teherautó.

b) Adatok: 1 gép 258 kg,

6 gép x kg x = ?

Terv: x = 6 � 258







257

Válasz: 1548 kg = 1 t 548 kg a 6 gép tömege.

1548 kg > 1 t

Nagyobb teherbírású kocsit kell küldenie.

c) Adatok: v = 1 t 64 kg = 1064 kg, e = 650 kg, m = ?

Terv: m = v { e m = 1064 { 650




Ellen®rzés: 414 + 650 = 1064

Válasz: 414 kg káposzta maradt meg.

d) Adatok: v = 1 t 270 kg = 1270 kg, e : 1 zs 65 kg, m = ?

8 zs 8 � 65

Terv: m = v { e m = 1270 { 8 � 65 m = 1270 { 520




Ellen®rzés: 750 + 8 � 65 = 1270

Válasz: 750 kg kukorica maradt. Ez 250 kg-mal kevesebb 1 t-nál.

Az id® mérése






pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 99{100. 110{111. 123{124.

Az évezred, évszázad, évtized, év, évszak, hónap, hét, nap, óra, perc, másodperc mér-

tékegységekkel a tanulók gyakran találkoznak a mindennapi életben, itt els®sorban az

összefüggések meger®sítése a cél. Tudatosítsuk, hogy ezekkel a mértékegységekkel az

id®tartamot mérjük. Az �id®méréssel" kapcsolatos másik feladattípus az id®pont megha-

tározása, amely egy adott kezd®ponttól (valamely id®számítás kezdetét®l, január elsejé-

t®l, a hét els® napjától, éjfélt®l, a tanítási óra kezdetét®l stb.) számított id®tartamot adja

meg.

Az id®tartam becslése, összehasonlítása nehezebb, mint a többi mennyiségé, mivel

szubjektív tényez®k jobban befolyásolják az érzékelést. A kellemesen töltött id®tartamot

rövidebbnek érezzük a valóságosnál, a kellemetlenül töltöttet hosszabbnak.



A napok átváltása órákra, órák átváltása percekre stb. több id®t vesz igénybe, mivel a

váltószám nem 10 hatványa.

Folyamatos ismétlés az írásbeli szorzás alkalmazása a számításokban.

Az ebben a fejezetben található feladatok közül jó néhányat a további órákon, folyamatos

ismétlésként oldathatunk meg. A következ® fejezetekben is találunk sok olyan feladatot,

amelyek lehet®vé teszik az itt tanultak felelevenítését, gyakorlását, elmélyítését.

A tananyag feldolgozását hangoljuk össze a természetismeret és az életvitel tantárgy

tananyagával, követelményeivel.

Tk. 140/Jegyezd meg!: Felelevenítjük az id®mérésr®l tanultakat, új fogalomként a má-

sodpercet vezetjük be. A tanulók legyenek képesek használni az id®mérés mindennapi

eszközeit, az órát és a naptárt.

Tk. 141/1. feladat: Az óra használata, id®pontok leolvasása. Beszéljük meg az id®pontok

meghatározásakor használatos különböz® kifejezéseket.

Megoldás: a) 12 óra, b) 4 óra, c) 5 óra 15 perc

24 óra 16 óra Negyed 6

d) 6 óra 10 perc e) 8 óra 30 perc f) 11 óra 45 perc

18 óra 10 perc Fél 9 Háromnegyed 12

Tk. 141/2. feladat: Az óra használata, id®pontok leolvasása. Beszéljük meg az id®pontok

meghatározásakor használatos különböz® kifejezéseket.

Megoldás: a) 1 óra 45 perc Háromnegyed 2

b) 4 óra 30 perc Fél 5

c) 8 óra 12 perc Negyed 9 lesz 3 perc múlva

d) 10 óra 58 perc 2 perc múlva 11

e) 5 óra 12 perc Negyed 6 lesz 3 perc múlva

f) 11 óra 4 perc 11 óra múlt 4 perccel

Tk. 141/3. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc) kapcsolata, mértékváltások

gyakorlása.

Megoldás: a) 7 � 60 = 420 perc b) 10 � 60 = 600 perc

c) 4 � 60 + 45 = 285 perc d) 5 � 60 + 6 = 306 perc

Tk. 141/4. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc) kapcsolata, mértékváltások

gyakorlása.

Megoldás: a) 1 óra 8 perc b) 1 óra 15 perc

c) 2 óra 15 perc d) 5 óra 1 perc

Tk. 141/5. feladat: Id®tartam-mértékegységek (perc{másodperc) kapcsolata, mértékvál-

tások gyakorlása.



259

Megoldás: a) 3 � 60 = 180 másodperc

b) 8 � 60 = 480 másodperc

c) 20 � 60 + 42 = 1242 másodperc

Tk. 141/6. feladat: Id®tartam-mértékegységek (perc{másodperc) kapcsolata, mértékvál-

tások gyakorlása.

Megoldás: a) 2 perc 1 másodperc

b) 4 perc 10 másodperc

c) 6 perc 12 másodperc

Tk. 141/7. feladat: Következtetés egyr®l többre, mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: a) Adatok: 1 másodperc 6 m

3 perc 15 másodperc = 195 másodperc x m x = ?

Terv: x = 195 � 6





Válasz: 1170 m = 1 km 170 m-t tesz meg Albert.

b) Adatok: 1 tojás 3 perc 10 tojás ? perc

Válasz: Ha egyszerre tesszük fel, akkor 10 tojás is 3 perc alatt f®

meg.

c) Adatok: 1 lány 15 perc 3 lány ? perc

Válasz: 15 perc alatt érnek oda, ha ugyanolyan sebességgel ha-

ladnak.

Gy. 132/1. feladat: A tanulók mindennapi életéhez kapcsolódó id®tartamok meg�gyelé-

se, mérése, mértékegységek alkalmazása. A kérdésekre a tanuló a saját adataival vála-

szoljon, s beszéljük meg ezeket.

Megoldás: d) 6 hónap egy fél év.

f) 45 perc egy tanítási óra.

Gy. 132/2. feladat: Órákra a nagymutatót kell berajzolni.

Megoldás: a) 3 óra, b) 5 óra, c) 6 óra, d) 7 óra,



e) 9 óra, f) 10 óra, g) 12 óra, h) 14 óra!

Gy. 132/3. feladat: Órákra a nagymutatót kell berajzolni.

Megoldás: a) 3 óra 35 perc, b) háromnegyed 2, c) fél 3 múlt 5 perccel!

Gy. 133/4. feladat: Id®tartam-mértékegységek (óra{perc, illetve percmásodperc) kap-

csolata, mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: a) 75 perc b) 2 óra 15 perc

225 perc 4 óra 4 perc



c) 345 másodperc

615 másodperc

428 másodperc

1824 másodperc

d) 1 perc 1 perc 15 másodperc

2 perc 2 perc 30 másodperc



Gy. 133/5. feladat: Id®tartamok (óra-perc) meghatározása.

Megoldás: Ett®l eddig eltelt

a) 7 óra 45 perc 12 óra 15 perc 4 óra 30 perc

15 óra 30 perc 17 óra 50 perc 2 óra 20 perc


b) 6 óra 45 perc 9 óra 20 perc 2 óra 35 perc




261

c) 2 óra 5 perc 3 óra 20 perc 1 óra 15 perc


Gy. 133/6. feladat: Id®tartamok (perc-másodperc) meghatározása.

Megoldás: Ett®l eddig eltelt

5 perc 0 másodperc

4 perc 45 másodperc



Gy. 134/7. feladat: Id®tartamok (hónap-nap) meghatározása.

Megoldás: a) 29 + 31 + 30 + 1 = 91 nap

b) 30 + 30 + 31 + 30 + 1 = 122 nap

c) 30 + 28 + 31 + 30 + 1 = 120 nap vagy

30 + 29 + 31 + 30 + 1 = 121 nap

d) 29 + 31 + 30 + 31 + 31 + 1 = 153 nap

e) 29 + 31 + 31 + 28 + 31 + 1 = 151 nap vagy

29 + 31 + 31 + 29 + 31 + 1 = 152 nap

Gy. 134/8. feladat: Id®tartamok (hónap-nap) meghatározása.

Megoldás: Ett®l a naptól eddig a napig eltelt

1996. március 1. 1996. június 1. 92 nap,

1992. január 15. 1992. március 15. 60 nap,

1993. június 20. 1994. január 15. 209 nap,

1991. szeptember 1. 1996. szeptember 1. 1827 nap.

Gy. 134/9. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztályo-

kat vesszük �gyelembe:

Megoldás: a) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 1-et ad maradékul. Például:

áprilisban a napok sorszámát kell 7-tel osztani;

májusban a napok sorszámához hozzá kell adni 30-at, az áprilisi napok

számát, és az így kapott számot kell 7-tel osztani.

Szerda: IV. 8.; IV. 15.; IV. 22.; IV. 29.; V. 6.; V. 13.

b) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 0-t ad maradékul.

Kedd: IV. 7.; IV. 14.; IV. 21.; IV. 28.; V. 5.; V. 12.

c) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 2-t ad maradékul.

Csütörtök: IV. 2.; IV. 9.; IV. 16.; IV. 23.; IV. 30.; V. 7.

d) Az eltelt napok száma 7-tel osztva 5-öt ad maradékul.

Vasárnap: IV. 5.; IV. 12.; IV. 19.; IV. 26.; V. 3.; V. 10.



Gy. 134/10. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztá-

lyokat vesszük �gyelembe.

Megoldás: Dátum IV. 15. IV. 27 V.1. V.15. VI. 10 VI. 15

Napok száma 14 26 30 44 70 75

A hét napjai szerda hétf® péntek péntek szerda hétf®

14 : 7 26 : 7 30 : 7 44 : 7 70 : 7 75 : 72 5 2 2 0 5

Gy. 135/11. feladat: A hét napjaival kapcsolatos számításokban a 7-es maradékosztá-

lyokat vesszük �gyelembe:

Megoldás: a) 90 nap b) 6 hét 6 nap

365 nap 21 hét 1 nap

320 nap 28 hét 4 nap

Gy. 135/12. feladat: Táblázat kitöltése szöveg alapján.


Megoldás: Id® (másodperc) 10 30 120 150 240

�rtartalom (dl) 30 90 360 450 720

�rtartalom (l) 3 9 36 45 72


Megoldás: Menetid® Menetid® Megtett út

perc másodperc másodperc

1 15 75 375 m

2 8 128 640 m

3 25 205 1025 m

4 58 298 1490 m

6 40 400 2000 m

Gy. 135/14. feladat: Id®tartamok meghatározása, mértékegységek (év{hónap{hét{nap)

kapcsolata, mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: 52 hét 1 (2) nappal rövidebb 1 évnél (1 szök®évnél).

a) A következ® évben január 1-je péntek,

b) két év múlva január 1-je szombat vagy vasárnap,

c) öt év múlva január 1-je szerda.



263

Gy. 135/15. feladat: Mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: a) 60 � 9 = 540 540 cl = 5 l 4 dl 0 cl

b) 140 � 9 = 1260 1260 cl = 12 l 6 dl

c) 210 � 9 = 1890 1890 cl = 18 l 9 dl

Osztó, többszörös





ség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és

önálló

Óra: 101{103. 112{114. 125{127.

Az ebben a fejezetben feldolgozott ismeretek a tanterv szerint csak 6. osztályban válnak

követelménnyé. Ezért lehet®ségünk van arra, hogy a feldolgozás alaposságát és szín-

vonalát a tanulók képességeihez és a helyi tanterv ajánlásaihoz igazítsuk. Alapvet® cél,

hogy ezekkel a matematikában fontos szerepet játszó fogalmakkal játékos feladatokban

megismerkedjenek a tanulók. Eközben fejl®djék a számfogalmuk, logikus gondolkodá-

suk, rendszerez® és problémamegoldó képességük. Az oszthatósági vizsgálatok fejlesz-

tik az írásbeli osztás végrehajtásához nélkülözhetetlen szóbeli számolási képességeket

is.

A fejezet anyagának feldolgozásával párhuzamosan minden órán oldassunk meg összeg

osztásával kapcsolatos feladatokat, hogy minél szilárdabb alapokra építhessünk az írás-

beli osztás tanításakor.

Tk. 142/1. kidolgozott mintapélda:: Tisztázzuk, hogy az �osztója" és az �osztható" ki-

fejezések mást jelentenek. Például: A 6 osztói: 1; 2; 3; 6. A 6-tal osztható számok, a

6 többszörösei: 0; 6; 12; 18.

Beszéljük meg az"osztója", �többszöröse" kifejezések jelentését.

Tk. 143/1. feladat: Adott számok osztóinak megkeresése a szorzótábla közvetlen alkal-

mazásával.

Többféle szemléltetés egy szám összes osztójának megkeresésére. A �többszöröse" és

az �osztója" fogalmak közti kapcsolat tudatosítása a szorzás és az osztás közötti kap-

csolatról tanultak alkalmazásával (valamint a terület fogalmának el®készítése).

Megoldás: Mekegi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sorba ültetheti a káposztáit.

a) 24 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 1, 24

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 többszöröse a 24.



Tk. 143/2. feladat: Adott számok osztóinak megkeresése a szorzótábla közvetlen alkal-

mazásával.

Többféle szemléltetés egy szám összes osztójának megkeresésére. A �többszöröse" és

az �osztója" fogalmak közti kapcsolat tudatosítása a szorzás és az osztás közötti kap-

csolatról tanultak alkalmazásával (valamint a terület fogalmának el®készítése).

Megoldás: 36 osztói 3, 9, 1, 36, 12, 4, 6, 18, 2

Nem osztói 36-nak 8, 11, 5, 10, 53, 72, 0

Tk. 143/3. feladat: Kombinatorikai feladat kétjegy¶ számok oszthatóságának vizsgála-

tára. A feladat megoldására egyik lehetséges stratégia, ha felírjuk az összes esetet, és

ezekb®l válogatjuk ki az adott feltételnek megfelel®ket.

Összesen 5 � 5 = 25 eset van.

A 2-vel (és az 5-tel) osztható számok képzését kezdhetjük az egyesekkel. Például:

Az egyesek helyére kerülhet a 0, a 2 és a 4.

A tízesek helyére 5-féleképpen rakhatok le kártyát,

3 � 5 = 15 eset van.

Ebb®l el kell hagyni a két 0-val kezd®d® számsort (02, 04).

Megoldás: a) 10; 12; 14; 20; 24; 30; 32; 34; 40; 42; 50; 52; 54.

b) 12; 15; 21; 24; 30; 42; 45; 51; 54.

c) 12; 20; 24; 32; 40; 52.

d) 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50.

e) 14; 21; 35; 42.

Tk. 143/4. feladat: Számok csoportosítása egy, illetve több szempont szerint, a logi-

kai m¶veleteket jelent® kifejezések használata számok tulajdonságainak vizsgálatában.

Állítások igazságának eldöntése.

Figyeljük meg, mennyire értik és használják a tanulók az �és", �de", �is . is", �sem, .sem",

�minden", �van olyan", �van olyan ., amely nem", �egyik . sem", �csak a ." kifejezése-

ket. Ezeknek a kifejezéseknek a következetes használatával érhetjük el, hogy 4. osztály

végére a tanulók többsége értse és alkalmazni is tudja ezeket a kifejezéseket.

Tasziló állításait kell javítani, s ezek megbeszélésével elmélyíthetjük ezeknek a kifejezé-

seknek a jelentését.

Megoldás: a) igaz, b) igaz, c) hamis, d) hamis,

e) igaz, f) igaz, g) hamis.

Tk. 143/5. feladat: Beszéljük meg, azokat az értékeket keressük, amelyek 2-nek, illetve

5-nek, 10-nek, 100-nak többszörösei.

Megoldás: 2 -osra: 80 Ft, 114 Ft, 150 Ft, 700 Ft, 704 Ft;

5 -osra: 75 Ft, 80 Ft, 150 Ft, 700 Ft, 715 Ft;

10 -osra: 80 Ft, 150 Ft, 700 Ft;

100 -osra: 700 Ft



265

Tk. 143/6. feladat: A 2 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók. Ezek

felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.

Ebben az id®szakban még csak tapasztalatgy¶jtés az oktatási feladat, nem követeljük

meg az oszthatósági szabályok megfogalmazását. Ennek ellenére a tanulók (a legne-

hezebben haladók kivételével) az eddig feldolgozott feladatok alapján már eljuthatnak a

következ®k felismeréséhez:

A 2 többszörösei (a 2-vel osztható számok) pontosan a páros számok, ezek utolsó szám-

jegye páros szám.

Megoldás: a) 0; 2; 4; 6; 8.

b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0; 2; 4; 6; 8.

d) Nincs megoldás.

e) 0; 2; 4; 6; 8.

Tk. 143/7. feladat: Az 5 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók. Ezek

felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.





Az 5 többszörösei (az 5-tel osztható számok) a 0-ra vagy 5-re végz®d® számok.

Megoldás: a) 0; 5.

b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0; 5.

d) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

e) 0; 5.

Tk. 143/8. feladat: A 10, 100 többszöröseir®l már sok tapasztalatot gy¶jtöttek a tanulók.

Ezek felhasználásával oldassuk meg a feladatokat.





A 10 többszörösei (a 10-zel osztható számok) pontosan a kerek tízesek, ezek utolsó

számjegye 0.

A 100 többszörösei (a 100-zal osztható számok) pontosan a kerek százasok, ezek utolsó

két számjegye 0.

Megoldás: a) 0.

b) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

c) 0.

d) Nincs megoldás.

e) 0.



Tk. 143/9. feladat: Adott tulajdonságú számok keresése.

Megoldás: a) Ha egy szám 8-nak többszöröse, akkor 4-nek is többszöröse. Tehát 20-

nál nagyobb, 30-nál kisebb, 8-cal osztható számot keresünk.

(20 < a < 30 és 8 j a) a = 24

b) Ha egy szám 9 többszöröse, akkor 3-nak is többszöröse. Tehát 30-nál

kisebb, 9-cel osztható számokat keresünk.

(b < 30 és 9 j b) b : 0, 9, 18, 27

c) Ha egy szám 2-nek és 5-nek is többszöröse, akkor 10-nek is többszö-

röse. Tehát 80-nál nagyobb, 100-nál kisebb, 10-zel osztható számot ke-

resünk.(80 < c < 100 és 10 j c) c = 90

Tk. 143/10. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazzuk szöveges

feladatokban.

Megoldás: a) 50 Ft < P < 100 Ft

2 és 5 közös többszörösét, vagyis 10 többszörösét keressük.

P : 60 Ft, 70 Ft, 80 Ft, 90 Ft

60 Ft, 70 Ft, 8 Ft, 90 Ft lehet Norbi pénze.

b) T < 30

2-nek, 3-nak, 4-nek a közös többszörösét keressük.

T : 0, 12, 24

0, 12, 24 gyerek lehet az osztályban.

c) 100 > t

6 és 10 közös többszöröseit keressük.

t : 30, 60, 90

30, 60, vagy 90 tojást szeretne tartókba tenni Juliska néni.

Tk. 143/11. feladat: Ismét beszéljük meg az �osztó", �többszörös kifejezések jelentését.

Megoldás: 3 többszörösei: 0, 9, 60, 69, 1500, 1569

Gy. 136/1. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatokat alkalmazása.

Megoldás: a) A 4 többszörösei:

0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60.

b) Az 5-nek többszörösei:

0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60.

c) A kék vonallal és a zöld pöttyel is megjelölt számok:

0; 20; 40; 60.

d) Csak kék vonallal megjelölt számok:

4; 8; 12; 16; 24; 28; 32; 36; 44; 48; 52; 56.

e) Csak zöld pöttyel megjelölt számok:

5; 10; 15; 25; 30; 35; 45; 50; 55.



267


Megoldás: a) Igaz. b) Igaz. c) Hamis. d) Igaz.

e) Hamis. f) Hamis. g) Igaz. h) Igaz.

i) Hamis. j) Igaz. k) Igaz.

Gy. 137/3. feladat: Az oszthatóságról szerzett tapasztalatok alkalmazása a terület fogal-

mához kapcsolva.

Megoldás:

Gy. 137/4. feladat: Egy szempont szerinti válogatás, vizsgálódás a 8-cal, 9-cel osztható,

illetve nem osztható számok körében.

Megoldás: 8-cal osztható: 0, 8, 16, 40, 72, 80, 96

8-cal nem osztható: 5, 9, 12, 17, 27, 44, 45, 81, 90

9-cel osztható: 0, 9, 27, 45, 72, 81, 90

9-cel nem osztható: 5, 8, 12, 16, 17, 40, 44, 80, 96

Gy. 137/5. feladat: Tapasztalatszerzés a maradékos osztásra, a maradékosztályok vizs-

gálata. (A �maradékosztály" kifejezést ne használjuk a gyerekek el®tt, hiszen az �osztály"

fogalmát nem értelmezzük.)

Figyeltessük meg, hogy egy adott osztó esetén ugyanannyiféle maradék lehetséges,

mint amennyi az osztó.

Ha az osztó n a maradék lehet n { 1, n { 2, . . . 2, 1, és 0 ez pontosan n

Fontos, hogy a gyermekek megtapasztalják, az osztályozás tulajdonságait.

Minden szám pontosan egyféle maradékot ad;

Minden szám beletartozik valamelyik maradékosztályba.

Megoldás: A hárommal való osztás maradékait vizsgáljuk.

Szabály: Az a : 3 osztás maradéka b.

a 0 1 2 3 4 5 9 13 17 18 20 24

b 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0

Gy. 136/6. feladat: Tapasztalatszerzés a 2-vel való maradékos osztásra, a maradékosz-

tályok vizsgálata.

Megoldás: a) 32 : 2 = 16 Igen. 16 db 2 és 0 db 1

0



b) 29 : 2 = 14 Nem. 14 db 2 és 1 db 1

1

c) 30 : 2 = 15 Igen. 15 db 2 és 0 db 1

0

Gy. 138/7. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradékosz-


Megoldás: a) 43 : 5 = 8 Nem. 8 db 5 és 3 db 1

3

b) 45 : 5 = 9 Igen. 9 db 5 és 0 db 1

0

c) 40 : 5 = 8 Igen. 8 db 5 és 0 db 1

0

Gy. 138/8. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradékosz-


Megoldás: Kék: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61;

Zöld: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57;

Fekete: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58;

Barna: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59;

Piros: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60.

A pirossal jelölt számok 5-tel osztva 0 maradékot adnak, vagyis 5

többszörösei.

Gy. 138/9. feladat: Tapasztalatszerzés az 5-tel való maradékos osztásra, a maradék-

osztályok vizsgálata. El®ször írják be a megfelel® számokat a táblázatba a tanulók.

Megoldás:

5-tel osztva a maradék0 1 2 3 4

0; 5;

10; 15;

20

1; 6;

11;

16

2; 7;

12;

17

3; 8;

13;

18

4; 9;

14;

19

0 5 10 15 20

5

� � � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

Gy. 139/10. feladat: Tapasztalatszerzés a 10-zel való maradékos osztásra, a maradék-

osztályok vizsgálata.

Megoldás: a) 46 : 10 = 4 Nem. 4 db 10 és 6 db 1

6

b) 50 : 10 = 5 Igen. 5 db 10 és 0 db 1

0



269


Megoldás: a) Igaz. b) Hamis. c) Igaz.

d) Igaz. e) Hamis. f) Igaz.

Gy. 139/12. feladat: Tapasztalatszerzés a 6-tal való maradékos osztásra, a maradék-

osztályok vizsgálata. El®ször írják be a megfelel® számokat a táblázatba a tanulók.

Megoldás:

6-tal osztva a maradék0 1 2 3 4 5

0; 6;

12;

18

1; 7;

13;

19

2; 8;

14;

20

3;

9;

15

4;

10;

16

5;

11;

17

0 5 10 15 20

5

� � � �

� � � �

� � � �

� � �

� � �

� � �

Az osztás tulajdonságai





ség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavég-

zés.

Óra: 104{105. 115{116. 128{129.

Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról tanultakat rendsze-

rezzük a �téglalapmodell" segítségével. Vetessük észre, hogy az osztásnak két �fordított

m¶velete" van:

az osztó és a hányados ismeretében szorzással kapjuk meg az ismeretlen osztan-

dót;

az osztandó és a hányados ismeretében osztással kapjuk meg az ismeretlen osztót.

Figyeltessük meg a hányados változásait az osztó, illetve az osztandó változásainak

függvényében. Ezzel el®készítjük az analóg számításokat, az összeg osztását, végül az

írásbeli osztás algoritmusának tudatos elsajátítását.

Tk. 145/1. kidolgozott mintapélda: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osz-

tás közti kapcsolatról tanultakat rendszerezzük a �téglalapmodell" segítségével. Vetessük

észre, hogy az osztásnak két �fordított m¶velete" van:

az osztó és a hányados ismeretében szorzással kapjuk meg az ismeretlen osztan-

dót;

az osztandó és a hányados ismeretében osztással kapjuk meg az ismeretlen osztót.



Tk. 145/1. feladat: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról

tanultakat rendszerezzük a �téglalapmodell" segítségével.

Megoldás: 5 � 30 = 150 10 � 30 = 300 20 � 30 = 600

30 � 5 = 150 30 � 10 = 300 30 � 20 = 600

150 : 5 = 30 300 : 10 = 30 600 : 20 = 30

150 : 30 = 5 300 : 30 = 10 600 : 30 = 20

Tk. 146/2. kidolgozott mintapélda: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás

közti kapcsolatról tanultakat rendszerezzük.

Tk. 146/2. feladat: Az osztás tulajdonságairól, a szorzás és az osztás közti kapcsolatról

tanultakat rendszerezzük.

Megoldás: a) 8 � 5 = 40 b) 20 � 2 = 40

5 � 8 = 40 2 � 20 = 40

40 : 5 = 8 40 : 2 = 20

40 : 8 = 5 40 : 20 = 2

c) 8 � 50 = 400 d) 20 � 20 = 400

50 � 8 = 400 400 � 20 = 20

400 : 8 = 50

400 : 50 = 8

e) 24 � 50 = 1200 f) 10 � 200 = 2000

50 � 24 = 1200 200 : 10 = 2000

1200 : 50 = 24 2000 � 10 = 200

1200 : 24 = 50 2000 � 200 = 10

g) 4 : 500 = 2000

500 : 4 = 2000

2000 � 4 = 500

2000 : 500 = 4

Tk. 147/3. feladat: Az analóg számítások kapcsán szerzett tapasztalatok alkalmazása

szöveges feladatok megoldása során. A feladatok feldolgozásakor a tanulók tapasztala-

tot szereznek az osztás különböz® értelmezéseivel kapcsolatosan:

Az osztás mint a szorzás inverz m¶velete.

Az osztás mint az osztás inverz m¶velete.

Az osztás mint bennfoglalás.

Az osztás mint részekre osztás.

Megoldás: a) Adatok: 6 zsák 120 kg,

1 zsák x kg x = ?

Terv: x = 120 : 6

Számolás: x = 20

Ellen®rzés: 6 � 20 = 120

Válasz: 20 kg gesztenye volt egy zsákban.



271

b) Adatok: 5 unoka 1500 Ft,

1 unoka x Ft x = ?

Terv: x = 1500 : 5

Számolás: x = 300

Ellen®rzés: 5 � 300 = 1500

Válasz: 300 Ft-ot kapott egy unoka.

c) Adatok: x db 5 450 Ft x = ?

Terv: x = 450 : 5

Számolás: x = 90

Ellen®rzés: 90 � 5 = 450

Válasz: 90 db 5 -ost tett a perselyébe.

d) Adatok: 1 tégla 6 kg,

x tégla 1800 kg x = ?

Terv: x = 1800 : 6

Számolás: x = 300

Ellen®rzés: 300 � 6 = 1800

Válasz: 300 db téglát pakoltak fel.

e) Adatok: 400 Ft x 50 x = ?

Terv: x = 400 : 50

Számolás: x = 8

Ellen®rzés: 8 � 50 = 400

Válasz: 8 db 50 -sa lett.

f) Adatok: 1 láda 30 kg

x láda 1800 kg

Terv: x = 1800 : 30

Számolás: x = 60

Ellen®rzés: 60 � 30 = 1800

Válasz: 60 ládára volt szükség.

g) Adatok: 600 db 1 kg 20 dkg = 120 dkg = 1200 g

1 db x g x = ?

Terv: x = 1200 : 600

Számolás: x = 2 g

Ellen®rzés: 600 � 2 = 1200

Válasz: 2 g egy csavar tömege.

Tk. 147/4. feladat: Az írásbeli osztás el®készítése az összeg osztásáról korábban meg-

�gyeltek felelevenítésével, tudatosításával, kiterjesztésével a 2000-es számkörre.



Megoldás: a) 840 : 4 = 210 210 Ft kerül egy részbe.

b) 462 : 2 = 231 231 Ft kerül egy részbe.

c) 600 : 5 = 120 120 Ft kerül egy részbe.

d) 1269 : 3 = 423 423 Ft kerül egy részbe.

Tk. 147/3. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, az osztás úgy is elvégezhet®,

hogy az osztandót összegalakban felírjuk, az osztást tagonként végezzük el, majd a

hányadosokat összegezzük. Mindig beszéljük meg az osztandó, osztó és a hányados

változásait.

Gy. 140/1. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására, a hányados változásairól

tanultak alkalmazásával.

Megoldás: a) 12 : 3 = 4 120 : 3 = 4 0 1200 : 3 = 4 0 0

b) 16 : 8 = 2 160 : 8 = 2 0 1600 : 8 = 2 0 0

c) 12 : 2 = 6 120 : 2 = 6 0 1200 : 2 = 6 0 0

d) 15 : 5 = 3 150 : 5 = 3 0 1500 : 5 = 3 0 0

e) 20 : 4 = 5 200 : 4 = 5 0 2000 : 4 = 5 0 0

f) 10 : 2 = 5 100 : 2 = 5 0 1000 : 2 = 5 0 0

Gy. 140/2. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására, a hányados változásairól

tanultak alkalmazásával.

Megoldás: a) 24 : 4 = 6 35 : 7 = 5 48 : 6 = 8

240 : 4 = 6 0 350 : 7 = 5 0 480 : 6 = 8 0

b) 54 : 9 = 6 72 : 8 = 9 28 : 4 = 7

540 : 9 = 6 0 720 : 8 = 9 0 280 : 4 = 7 0

c) 42 : 7 = 6 21 : 3 = 7 56 : 8 = 7

420 : 7 = 6 0 210 : 3 = 7 0 560 : 8 = 7 0

d) 27 : 3 = 9 30 : 6 = 5 32 : 4 = 8

270 : 3 = 9 0 300 : 6 = 5 0 320 : 4 = 8 0

e) 36 : 9 = 4 40 : 5 = 8 63 : 9 = 7

360 : 9 = 4 0 400 : 5 = 8 0 630 : 9 = 7 0

f) 45 : 5 = 9 81 : 9 = 9 36 : 6 = 6

450 : 5 = 9 0 810 : 9 = 9 0 360 : 6 = 6 0



273

Gy. 140/3. feladat: Analóg számítások az osztás gyakorlására táblázat kitöltésével.

Megoldás: Szabály: a : b = c, a : c = b, b � c = a, c � b = a.

a 160 300 100 540 250 490 320 560 240 480

b 4 5 2 6 5 7 4 8 8 6

c 40 60 50 90 50 70 80 70 30 80

Írásbeli osztás






tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.

Óra: 106{111. 117{123. 130{137.

Korábban az egyjegy¶ osztóval való írásbeli osztást 3. osztályban tanították. Azért tér-

tünk vissza ehhez a gyakorlathoz mert így több id® áll rendelkezésre az egyjegy¶ illetve

a kétjegy¶ számmal való írásbeli osztás begyakorlására. Az ötödikes program épít erre

a számolási rutinra és így zökken®mentesebb lesz az átlépés az alsó és a fels® tagozat

között.

Tk. 148/1. kidolgozott mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk be

szemléletre alapozva. A hányados becslése a m¶veletvégzés els® lépése. Kétfélekép-

pen végezhetjük vagy két érték közé szorítjuk vagy meghatározzuk az els® jegyet és azt

hogy hány jegy¶ a hányados. A m¶veletvégzés során a tanulócsoport képességeit®l füg-

g®en írásban vagy fejben végeztethetjük a kivonást. Az írásbeli osztást minden esetben

ellen®riztessük szorzással.

Tk. 149/1. feladat: Az osztás gyakorlása.

Megoldás: Becslés Hányados Maradék

a) 200 < H < 300 231 2

200 < H < 300 215 2

300 < H < 400 325 1

100 < H < 200 116 4

300 < H < 400 347 1

b) 100 < H < 200 124 4

100 < H < 200 119 4

200 < H < 300 241 1



100 < H < 200 169 3

100 < H < 200 142 4

c) 200 < H < 300 256 0

200 < H < 300 213 0

100 < H < 200 133 4

100 < H < 200 121 5

100 < H < 200 139 0

d) 100 < H < 200 197 1

300 < H < 400 380 1

100 < H < 200 138 2

100 < H < 200 136 0

100 < H < 200 121 5

Tk. 149/2. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados ma-

radék) mélyítjük el.

Megoldás: a) a : 6 = 9 a = 9 � 6 + 5 = 59 59 az osztandó.

b) 45 : 7 = b b = 63 6 a hányados.

Tk. 150/2. kidolgozott mintapélda: A zöld alapon az osztás algoritmusát mutatjuk be

abban az esetben amikor az osztandó els® számjegyében nincs meg az osztó illetve 0

is szerepel a hányadosban.

Tk. 150/3. feladat: Tasziló típushibákra hívja föl a �gyelmünket.

Megoldás: a) Becslés: 100 < H < 200

Számolás: 317 : 3 = 105017

2

Ellen®rzés: 105 � 3

315

315 + 2 = 317

b) Becslés: 200 < H < 300

Számolás: 963 : 4 = 2401603


960

960 + 3 = 963



275

c) Becslés: 100 < H < 200

Számolás: 576 : 4 = 14417160


576

Tk. 150/4. feladat: Az osztás gyakorlása.

Megoldás: Becslés Hányados Maradék

a) 300 < H < 400 305 1

90 < H < 100 92 7

90 < H < 100 94 0

200 < H < 300 209 7

200 < H < 300 217 4

b) 80 < H < 90 82 1

100 < H < 200 134 3

100 < H < 200 134 3

200 < H < 300 294 3

400 < H < 500 407 0

c) 80 < H < 90 89 4

100 < H < 200 121 4

100 < H < 200 120 3

200 < H < 300 210 7

400 < H < 500 493 3

Tk. 151/5. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait. Az osztandó változtatásá-

val a hányados egyenes arányban változik.

Megoldás: a) 208 b) 104 c) 52

Tk. 151/6. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait. Az osztó változtatásával a

hányados fordított arányban változik.

Megoldás: a) 988 b) 494 c) 247

Tk. 151/7. feladat: Figyeltessük meg mikor nem változik a hányados.

Megoldás: a) 232 b) 232 c) 232

Tk. 151/8. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait.

a) 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 600 < Sz < 700

237 : 3 = 79 474 : 3 = 158 948 : 3 = 316 1896 : 3 = 6320 0 0 0



b) 20 < Sz < 30 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400 900 < Sz < 1000

72 : 3 = 36 216 : 2 = 108 648 : 2 = 324 1944 : 2 = 9720 0 0 0

c) 70 < Sz < 80 70 < Sz < 80 100 < Sz < 200 300 < Sz < 400

234 : 3 = 38 468 : 6 = 78 936 : 6 = 156 1872 : 6 = 3120 0 0 0

Tk. 151/9. feladat: Figyeltessük meg a hányados változásait.

a) 300 < Sz < 400 100 < Sz < 200 600 < Sz < 700 200 < Sz < 300

945 : 3 = 315 945 : 9 = 105 1890 : 3 = 630 1890 : 9 = 2100 0 0 0

b) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 80 < Sz < 90 100 < Sz < 200

774 : 3 = 258 774 : 6 = 129 774 : 9 = 86 1548 : 9 = 1720 0 0 0

c) 600 < Sz < 700 300 < Sz < 400 400 < Sz < 500 200 < Sz < 300

1872 : 3 = 624 1872 : 6 = 312 1872 : 4 = 468 1872 : 8 = 2340 0 0 0

Tk. 152/10. feladat: Szöveges feladatok megoldása során �gyeljük meg mennyire tudják

a tanulók önállóan értelmezni a szöveget megtalálni a megoldási tervet!

Megoldás: a) x = 642 � 3 x = 1926, y � 3 = 642 y = 214,

b) x = 462 : 3 x = 154, y : 3 = 462 y = 1386,

c) x = 428 � 4 x = 1712, y � 4 = 428 y = 107,

d) x = 248 : 4 x = 62, y : 4 = 248 y = 992.

Tk. 152/11. feladat: Folyamatos ismétlésként a megoldás el®tt idézzük föl a téglalapról

ezen belül a négyzetr®l eddig tanultakat.

Megoldás: a) 624 : 4 156 cm

b) 372 : 4 93 m

c) 816 : 4 204 dm 1632 : 4 408 cm

Tk. 152/12. feladat: Szöveges feladatok melyek megoldásakor alkalmazni kell a mér-

tékváltásról tanultakat.

Az adatok kigy¶jtésekor a mennyiségeket olyan mértékegységre kell átváltatnunk

amellyel a számolás könnyen elvégezhet®.

A szöveges válaszban �gyeljenek a tanulók arra hogy az eredmény mikor darabszám

illetve mikor mértékegységgel adott mennyiség!

Megoldás: a) Adatok: 1 cs® 6 m

x cs® 1 km 82 m = 1082 m x = ?

Terv: x = 1082 : 6

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 180 maradék 2



277

Ellen®rzés: 180 � 6 + 2 = 1082

Válasz: 180 db 6 m-es csövet használnak fel és 2 m-es az utolsó

cs®.

b) Adatok: 6 tartály 5 hl 64 l = 564 l

1 tartály x x = ?

Terv: x = 564 : 6

Becslés: 90 < x < 100

Számolás: x = 94

Ellen®rzés: 6 � 94 = 564

Válasz: 94 l üzemanyag jut egy tartályba.

c) Adatok: 1 palack 7 dl

x palack 1 hl 5 l = 105 l = 1050 dl x = ?

Terv: x = 1050 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 150

Ellen®rzés: 150 � 7 = 1050

Válasz: 150 db 7 dl-es palack tölthet® meg.

d) Adatok: 1 adag 4 g

x adag 48 dkg = 480 g x = ?

Terv: x = 480 : 4

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 120

Ellen®rzés: 120 � 4 = 480

Válasz: 120 adag savanyúsághoz elég 48 dkg f¶szerkeverék.

e) Adatok: 7 rész 1 kg 80 dkg = 180 dkg = 1800 g

1 rész x kg x = ?

Terv: x = 1800 : 7

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 257 g és marad 1 g

Ellen®rzés: 257 � 7 + 1 = 1800

Válasz: 257 g jut egy adagba és marad 1 g.

f) Adatok: 1 perc 9 m

x perc 1 km 350 m = 1350 m x = ?

Terv: x = 1350 : 9

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 150 perc

Ellen®rzés: 150 � 9 = 1350

Válasz: 150 perc = 2 óra 30 perc alatt ér a hídhoz a labda.





Megoldás: a) Adatok: A = 468 Ft G <

4-szerA G = ?

Terv: G = A : 4 G = 468 : 4

Becslés: 100 < G < 200

Számolás: G = 117

Ellen®rzés: 117 � 4 = 468

Válasz: 117 Ft-ot költött el Gábor.

b) Adatok: k = 384 Ft p >negyede

k p = ?

Terv: p = 4 � k p = 4 � 384



Számolás: p = 1536

Ellen®rzés: 1536 : 4 = 384

Válasz: 1536 Ft-ja volt Bandinak.

c) Adatok: v = 480 Ft v <

ötödef f = ?

Terv: f = v : 5 f = 480 : 5

Becslés: 90 < x < 100

Számolás: x = 96

Ellen®rzés: 5 � 96 = 480

Válasz: 96 Ft-ot költött fagyira Csaba.

d) Adatok: 1347 db 1 ? 5 és ? 1

Terv: x = 1347 : 5

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 269 maradék: 2

Ellen®rzés: 269 � 5 + 2 = 13472

Válasz: 269 db 5 -ost kapott és 2 db 1 -osa maradt Dezs®nek.

Tk. 153/14. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: a = 936, b = 312, c = 78, d = 13,

e = 624, f = 156, g = 26, h = 13,

i = 468, j = 78, k = 39, l = 13,

m = 312, n = 156, o = 52, p = 13.

Tk. 153/15. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados

maradék) mélyítjük el.



279

Megoldás: Osztandó 501 374 895 764 771 995 984 753

Osztó 5 3 7 4 6 9 8 2

Hányados 100 124 127 191 128 110 123 376

Maradék 1 2 6 0 3 5 0 1

Tk. 153/16. feladat: Az osztásban használt elnevezéseket (osztó osztandó hányados

maradék) mélyítjük el.

Megoldás: a) 1598 : 7 = a Ellen®rzés: 1598 : 7 = 22819582

a = 228 és a maradék 2

228 � 7 + 2 = 1598

b) b : 8 = 236 Ellen®rzés: 1895 : 8 = 23629557

7

b = 1895

c) 1802 : c = 300 c = (1802 { 2) : 300 Ellen®rzés: 1802 : 6 = 3000002

2

c = 6

Tk. 154/17. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása az id®méréshez kapcsolva.

Megoldás: a) 1068 : 7 = 15236184

A kismadár 152 hetes és 4 napos

1086 : 7 = 15538361

A mókus 155 hetes és 1 napos.

1608: 7 = 22920685

A nyuszi 229 hetes és 5 napos.

1680 : 7 = 24028000

A papagáj 240 hetes és 0 napos.

1806 : 7 = 25840560

A cica 258 hetes és 0 napos.

1860 : 7 = 26546405

A kutya 265 hetes és 5 napos.

b) 5 év = 5 � 365 + 1 = 1826 nap, vagy

5 év = 5 � 365 + 2 = 1827 nap

A kutyusnak ünnepelte meg Cili az 5. születésnapját.



c) Amennyiben feltesszük, hogy a 4. év a szök®év, akkor

1 év 365 vagy 366 nap

2 év 730 vagy 731 nap

3 év 1095 vagy 1096 nap

4 év 1461 nap

5 év 1826 vagy 1827 nap

A mókusnak lesz 10 nap múlva a születésnapja. (1086 + 10 = 1096)

Tk. 154/18. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása szöveges feladatban.

Megoldás: p = 1920 : 6 1920 : 6 = 3201200p = 320

320 m-re vannak a padok egymástól.

k = 1920 : 3 1920 : 3 = 6401200k = 640 m

640 m-re van az es®háztól a kilátó.

f = 1920 : 3 � 2 640 � 2

1280f = 1280 m

1280 m-re van az es®háztól a forrás.

b = 1280 : 4 1280 : 4 = 3200800b = 320 m

320 m-re van a forrástól a barlang.

Á = 1920 : 2 1920 : 2 = 9601200Á = 960 m

960 m-re van az út fele.

Igen talál ott padot Ági.

Gy. 141/1. feladat: A szemléletre alapozva az összeg osztásáról szerzett tapasztalatok

felhasználásával oldassuk meg a feladatot.

Megoldás: 960 : 3 = 900 : 3 + 60 : 3 = 3 0 0 + 2 0 = 3 2 0

Gy. 141/2. feladat: Az összeg osztásáról szerzett tapasztalatok felhasználásával oldas-

suk meg a feladatot.

Megoldás:

a) 840 : 4 = 8 0 0 : 4 + 4 0 : 4 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0

b) 630 : 3 = 6 0 0 : 3 + 3 0 : 3 = 2 0 0 + 1 0 = 2 1 0

c) 650 : 5 = 5 0 0 : 5 + 1 5 0 : 5 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0

d) 450 : 3 = 3 0 0 : 3 + 1 5 0 : 3 = 1 0 0 + 5 0 = 1 5 0



281

e) 910 : 7 = 7 0 0 : 7 + 2 1 0 : 7 = 1 0 0 + 3 0 = 1 3 0

f) 960 : 8 = 8 0 0 : 8 + 1 6 0 : 8 = 1 0 0 + 2 0 = 1 2 0

Gy. 141/3. feladat: Figyeltessük meg az osztó és a hányados változásait (fordított ará-

nyosság).

Megoldás: a) 360 : 9 = 4 0 360 : 6 = 6 0 360 : 3 = 1 2 0

b) 480 : 8 = 6 0 480 : 4 = 1 2 0 480 : 2 = 2 4 0

c) 900 : 9 = 1 0 0 900 : 3 = 3 0 0 900 : 6 = 1 5 0

d) 660 : 6 = 1 1 0 660 : 3 = 2 2 0 660 : 2 = 3 3 0

Gy. 141/4. feladat: Vetessük észre hogy egy feladaton belül az els® két sorban szerepl®

osztandók összege kerül a harmadik sorba az osztandó helyére. Ezért az els® két sorban

kapott hányados összege megegyezik a harmadik sor hányadosával.

Megoldás: a) 120 : 4 = 3 0 b) 150 : 3 = 5 0 c) 140 : 7 = 2 0

8 : 4 = 2 6 : 3 = 2 7 : 7 = 1

128 : 4 = 3 2 156 : 3 = 5 2 147 : 7 = 2 1

1200 : 4 = 3 0 0 1500 : 3 = 5 0 0 1400 : 7 = 2 0 0

80 : 4 = 2 0 60 : 3 = 2 0 70 : 7 = 1 0

1280 : 4 = 3 2 0 1560 : 3 = 5 2 0 1470 : 7 = 2 1 0

Gy. 142/5. feladat: Az osztás gyakorlása.

Megoldás:

a) B: 200 < Sz < 300 b) B: 100 < Sz < 200

80 40 70 : 4 = 2 1 1

0 4

0 7

3

E:

E sz t e sz t e

E sz t e

2 1 1 � 4

8 4 4

+ 3

8 4 7

60 70 10 : 5 = 1 3 4

1 7

2 1

1

E:

E sz t e sz t e

E sz t e

1 3 4 � 5

6 7 0

+ 1

6 7 1



c) B: 100 < Sz < 200 d) B: 200 < Sz < 300

90 70 80 : 8 = 1 2 2

1 7

1 8

2

E:

E sz t e sz t e

E sz t e

1 2 2 � 8

9 7 6

+ 2

9 7 8

80 50 20 : 3 = 2 8 4

2 5

1 2

0

E:

E sz t e sz t e

E sz t e

2 8 4 � 3

8 5 2

+ 0

8 5 2


Megoldás: a) 200 < Sz < 300 b) 100 < Sz < 200

576 : 2 = 288 813 : 7 = 1160 1

c) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

649 : 4 = 162 395 : 3 = 131 825 : 6 = 1371 2 3

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

734 : 5 = 146 902 : 8 = 1124 6

d) 300 < Sz < 400 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

735 : 2 = 367 879 : 7 = 125 654 : 4 = 1631 4 2

100 < Sz < 200 200 < Sz < 300

929 : 8 = 116 764 : 3 = 2541 2

e) 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200

642 : 3 = 214 507 : 2 = 253 936 : 8 = 1170 1 0

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

812 : 7 = 116 593 : 5 = 1180 3

f) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

716 : 6 = 119 928 : 7 = 132 653 : 4 = 1632 4 1

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

810 : 6 = 135 314 : 2 = 1570 0



283


Megoldás: a) 100 < Sz < 200 b) 100 < Sz < 200

695 : 6 = 115 724 : 5 = 1445 4

c) 300 < Sz < 400 d) 100 < Sz < 200

928 : 3 = 309 817 : 6 = 1361 1

e) 100 < Sz < 200 f) 400 < Sz < 500

672 : 4 = 168 913 : 2 = 4560 1

g) 100 < Sz < 200 h) 100 < Sz < 200

957 : 7 = 136 896 : 8 = 1125 0

I) 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

817 : 5 = 163 623 : 4 = 155 978 : 8 = 1222 3 2

100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

735 : 5 = 147 807 : 7 = 1150 2

j) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

623 : 3 = 207 676 : 6 = 112 911 : 7 = 1302 4 1

100 < Sz < 200 300 < Sz < 400

839 : 6 = 139 725 : 2 = 3625 1


Megoldás: a) 50 < H < 60 b) 200 < H < 300

314 : 6 = 52142

52 � 6312

+ 2314

1428 : 7 = 20402280

204 � 61428+ 01428

c) 90 < H < 100 d) 200 < H < 300

486 : 5 = 97361

97 � 5485

+ 1486

1428 : 7 = 20400090

201 � 91809+ 01809


Megoldás: a) 100 < Sz < 200 b) 100 < Sz < 200

657 : 8 = 82 1216 : 2 = 6081 0



c) 80 < Sz < 90 70 < Sz < 80 80 < Sz < 90

752 : 9 = 83 602 : 8 = 75 514 : 6 = 855 2 4

70 < Sz < 80 80 < Sz < 90

295 : 4 = 73 263 : 3 = 873 2

d) 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300 200 < Sz < 300

1916 : 8 = 239 1879 : 9 = 208 1537 : 7 = 2194 7 4

200 < Sz < 300 300 < Sz < 400

1643 : 6 = 273 1912 : 5 = 3825 2

e) 50 < Sz < 60 70 < Sz < 80 400 < Sz < 500

326 : 6 = 54 514 : 7 = 73 1243 : 3 = 4142 3 1

800 < Sz < 900 300 < Sz < 400

1628 : 2 = 814 1472 : 4 = 3680 0

f) 80 < Sz < 90 90 < Sz < 100 200 < Sz < 300

412 : 5 = 82 653 : 7 = 93 802 : 4 = 2002 2 2

400 < Sz < 500 100 < Sz < 200

1429 : 3 = 476 1054 : 6 = 1751 4


Megoldás: a) 70 < Sz < 80 b) 400 < Sz < 500

356 : 5 = 71 1425 : 3 = 4751 0

c) 50 < Sz < 60 d) 400 < Sz < 500

497 : 9 = 55 1672 : 4 = 4182 0

e) 90 < Sz < 100 f) 300 < Sz < 400

297 : 3 = 93 1716 : 5 = 3430 1

g) 90 < Sz < 100 h) 300 < Sz < 400

385 : 3 = 96 1839 : 6 = 3431 3



285

I) 60 < Sz < 70 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

435 : 7 = 62 416 : 4 = 104 518 : 5 = 1031 0 3

200 < Sz < 300 200 < Sz < 300

1229 : 6 = 204 1625 : 8 = 2035 1

j) 200 < Sz < 300 100 < Sz < 200 100 < Sz < 200

624 : 3 = 208 835 : 5 = 167 679 : 6 = 1130 0 1

200 < Sz < 300 200 < Sz < 300

1602 : 8 = 200 1410 : 7 = 2012 3

Gy. 146/11. feladat: Az osztás gyakorlása szöveges feladat megoldásával.

Megoldás: B: 60 < x < 70

E:

3 70 80 : 6 = 6 3

1 8

0

6 3 � 6

3 7 8

A:

xz }| {| {z }

378 cm

T: x = 378 : 6 (cm)

V: 1 lépése 63 cm hosszú.


Megoldás:

A: 105 és fél m = 1055 dm B: 100 < v < 200

| {z }7 dm

E:

1 00 50 50 : 7 = 1 5 0

3 5

0 5

5 1 5 0 � 7

1 0 5 0

+ 5

1 0 5 5

T: v = 1055 : 7 (dm)

V: 150 db vezetéket tud levágni,

és 5 dm-es darab marad.




Megoldás:

A: 5 virág 1406 Ft B: 200 < x < 300

1 virág x Ft

E:

1 40 00 60 : 5 = 2 8 1

4 0

0 6

1 2 8 1 � 5

1 4 0 5

+ 1

1 4 0 6

T: x = 1406 : 5

V: 1 szál virág 281 Ft.

Gy. 147/14. feladat: Analóg szöveges feladatok az osztás gyakorlására.

Megoldás:

a) A: 12 m hosszú:

12 mz }| {| {z }

x m

T: x = 12 m : 4

Sz: 12 : 4 = 3

V: 3 m készült el.

b) A: 792 m hosszú: Sz:

E:

70 90 20 : 4 = 1 9 8

3 9

3 2

0 1 9 8 � 4

7 9 2

792 mz }| {| {z }

x m

T: x = 792 m : 4

B: 800 : 4 = 200

V: 198 m készült el.

Gy. 147/15. feladat: Analóg szöveges feladatok az osztás gyakorlására.

Megoldás:

a) A: 16 l víz volt:

T: x = 16 l : 8

16 l

8>>><>>>:

x l

Sz: 16 : 8 = 2

V : 2 l-t öntöttek ki.



287

b) A: 1576 l víz volt:Sz:

E:

1 50 70 60 : 8 = 1 9 7

7 7

5 6

0 1 9 7 � 8

1 5 7 6

1576 l

8>>><>>>:

x l

T: x = 1576 l : 8

B: 100 < x < 200

V: 197 l-t öntöttek ki.

Gy. 148/16. feladat: Szöveges feladatok. Hívjuk föl a tanulók �gyelmét arra hogy a meg-

oldás során ne feledkezzenek meg egyetlen lépésr®l sem (adatok terv becslés számolás

ellen®rzés szöveges válasz)!

Megoldás: a) Adatok: t = 1464 t >

harmadan n = ?

Terv: n = t : 3 n = 1464 : 3

Becslés: 400 < n < 500

Számolás: n = 488

Ellen®rzés: 3 � 488 = 1464

Válasz: 488 gyerek jár napközibe ebben az iskolában.

b) Adatok: t = 1464 t >

hatodas s = ?

Terv: s = t : 6 s = 1464 : 6

Becslés: 200 < s < 300

Számolás: s = 244

Ellen®rzés: 6 � 244 = 1464

Válasz: 244 gyerek tagja a sportkörnek ebben az iskolában.

c) Adatok: t = 1464 t >negyede

ü ü = ?

Terv: ü = t : 4 ü = 1464 : 4

Becslés: 300 < ü < 400

Számolás: ü = 366

Ellen®rzés: 4 � 366 = 1464

Válasz: 366 gyerek táborozott a nyáron.

d) Adatok: t = 1464 t >nyolcada

k k = ?

Terv: k = t : 8 k = 1464 : 8

Becslés: 100 < k < 200

Számolás: k = 183



Ellen®rzés: 8 � 183 = 1464

Válasz: 183 gyerek jár könyvtárba ebben az iskolában.

Gy. 148/17. feladat: Szöveges feladatok. Hívjuk föl a tanulók �gyelmét arra hogy a meg-

oldás során ne feledkezzenek meg egyetlen lépésr®l sem (adatok terv becslés számolás

ellen®rzés szöveges válasz)!

Megoldás: a) Adatok: p = 648 Ft p >nyolcada

m m = ?

Terv: m = p : 8 m = 648 : 8

Becslés: 80 < m < 90

Számolás: m = 81 Ft

Ellen®rzés: 8 � 81 = 648

Válasz: 81 Ft-ért vásárolt matricát Aladár.

b) Adatok: B = 648 Ft B >negyede

F F = ?

Terv: F = B : 4 F = 648 : 4

Becslés: 100 < F < 200

Számolás: F = 162 Ft

Ellen®rzés: 4 � 162 = 648

Válasz: 162 Ft-ja volt Ferinek.

c) Adatok: C = 648 Ft L <6-szor

C L = ?

Terv: L = C : 6 L = 648 : 6

Becslés: 100 < L < 200

Számolás: L = 108 Ft

Ellen®rzés: 6 � 108 = 648

Válasz: 108 Ft-ja volt Laurának.

d) Adatok: D = 648 Ft G >

feleD G = ?

Terv: G = 2 � D G = 2 � 648

Becslés: Százasra kerekítve: 1200 Ft

Tízesre kerekítve: 1300 Ft

Számolás: G = 1296 Ft

Ellen®rzés: 1296 : 2 = 648

Válasz: 1296 Ft-ja volt Gézának.

e) Adatok: k = 648 Ft p >

harmadak p = ?

Terv: p = 3 � k p = 3 � 648

Becslés: Százasra kerekítve: 1800 Ft

Tízesre kerekítve: 1950 Ft



289

Számolás: p = 1944

Ellen®rzés: 1944 : 3 = 648

Válasz: 1944 Ft-ja volt Eszternek.

f) Adatok: p = 648 Ft t <

3-szorp t = ?

Terv: t = p : 3 t = 648 : 3

Becslés: 200 < L < 300

Számolás: t = 216

Ellen®rzés: 3 � 216 = 648

Válasz: 216 Ft van Feri pénztárcájában.

g) Adatok: G = 648 Ft G >

kilencedeÖ Ö = ?

Terv: Ö = G : 9 Ö = 648 : 9

Becslés: 70 < L < 80

Számolás: Ö = 72

Ellen®rzés: 9 � 72 = 648

Válasz: 72 Ft-ot kapott Gedeon öccse.

h) Adatok: k = 648 Ft k >

felep, m >

negyedev, v = ?

Terv: v = k : 2 : 4 v = 648 : 2 : 4

Becslés: 80 < v < 90

Számolás: v = 81

Ellen®rzés: 81 � 4 � 2 = 648

Válasz: 81 Ft-ba került a virág.

Gy. 149/18. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatát �gyeltetjük meg.

Megoldás:

a)

344

: 88

� 8

4 3 688

: 88

� 8

8 6 1376

: 88

� 8

1 7 2

b)

427

: 77

� 7

6 1 854

: 77

� 7

1 2 2 1708

: 77

� 7

2 4 4



Gy. 149/19. feladat: Az osztandó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.

Megoldás: 760 m-t: x = 760 : 4 x = 190 másodperc

380 m-t: y = 380 : 4 y = 95 másodperc

1520 m-t: z = 1520 : 4 z = 380 másodperc

Gy. 149/20. feladat: Az osztó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.

Megoldás:

4 m utat tesz meg:4 m

a = 1768 : 4 a = 442 másodperc


b = 1768 : 2 b = 884 másodperc


c = 1768 : 8 c = 221 másodperc

Gy. 149/21. feladat: Az osztó és a hányados változásait �gyeltethetjük meg.

Megoldás:

Fele 1 negyede 1 nyolcada 1 harmada 1 hatoda 1 kilencede

576 288 144 72 192 96 64

1152 576 288 144 384 192 128

648 324 162 81 216 108 72

1296 648 324 162 432 216 144

Következtetés többr®l egyre

Kompetenciák fejlesztési feladatok:

számlálás számolás rendszerezés relációszókincs fejlesztése szövegértés szövegértel-

mezés szöveges-feladatmegoldás rész-egész észlelése becslés induktív következteté-

sek problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdemé-

nyez®képesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság koope-

ratív és önálló munkavégzés egészséges életmód.

Óra: 112{114. 124{126. 138{141.

Az osztás értelmezésekor, illetve az osztás és a szorzás kapcsolatának tudatosítása

során korábban is találkoztak a tanulók olyan egyenes arányossági következtetésekkel,

amelyekben több mennyiséghez tartozó értéket adtunk meg, és ebb®l kellett következ-

tetni az egy mennyiséghez tartozó értékre.



291

Tk. 155/1. kidolgozott mintapélda: A mintapéldában a megoldás menetére ezen belül

az adatkigy¶jtésre mutatunk be egy jól áttekinthet® sémát.

Tk. 155/1. feladat: A rajzról szöveges feladat megfogalmazása s ez alapján a feladat

megoldása. Figyeljük meg képesek-e a tanulók az összefüggéseket felismerni a rajz

alapján.

Megoldás: a) Egy kislány 7 perc alatt egyenletesen haladva 420 m-t tesz meg. Mek-

kora utat tesz meg 1 perc alatt?

A: 7 perc 420 m

1 perc x m x = ?

T: a = 420 : 7

Sz: a = 60 m

E: 7 � 60 = 420

V: 60 m-t tesz meg 1 perc alatt.

b) Egy kerékpáros 1 perc alatt egyenletesen haladva 215 m-t tesz meg.

Mekkora utat tesz meg 9 perc alatt?

A: 1 perc 215 m

9 perc b m

T: b = 215 � 9

Sz: b = 1935 m

V: 1935 m = 1 km 935 m-t tesz meg 9 perc alatt.

Tk. 155/2. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a tanu-

lók a feladatokat.

Megoldás: a) Adatok: 4 jegy 1980 Ft

1 jegy x Ft x = ?

Terv: x = 1980 : 4

Becslés: 400 < m < 500

Számolás: x = 495

Ellen®rzés: 4 � 495 = 1980

Válasz: 495 Ft-ba került egy jegy.

b) Adatok: 5 perc 1950 mm

1 perc x mm x = ?

Terv: x = 1950 : 5

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 390

Ellen®rzés: 5 � 390 = 1950

Válasz: 390 m-t tesz meg a csiga 1 perc alatt.

Tk. 156/3. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a tanu-

lók a feladatokat.



Megoldás: a) Adatok: 4 léc 1348 mm

1 léc x mm x = ?

Terv: x = 1348 : 4

Becslés: 300 < x < 400


Ellen®rzés: 4 � 337 = 1348

Válasz: 337 mm = 3 dm 3 cm 7 mm hosszú egy léc.

b) Adatok: 8 pohár 1264 ml

1 pohár x x = ?

Terv: x = 1264 : 8

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 158

Ellen®rzés: 8 � 158 = 1264

Válasz: 158 ml = 1 dl 5 cl 8 ml víz fért egy pohárba.

c) Adatok: 5 golyó 1105 g

1 golyó x x = ?

Terv: x = 1105 : 5

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 221

Ellen®rzés: 5 � 221 = 1105

Válasz: 221 g = 22 dkg 1 g a tömege egy golyónak.

d) Adatok: 9 km 5perc 42 másodperc = 342 másodperc

1 km x x = ?

Terv: x = 342 : 9

Becslés: 30 < x < 40

Számolás: x = 38 másodperc

Ellen®rzés: 5 � 38 = 342

Válasz: 38 másodperc alatt tesz meg 1 km-t.

Tk. 156/4. feladat: A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg.

Megoldás: Szabály: Ö : 5 = E, 5 � E = Ö, E � 5 = Ö, Ö : E = 5.

Összköltség 1540 975 1000 1375 1900 1635 925

Egy gyerekre jut 308 195 200 275 380 327 185

Tk. 157/5. feladat: Figyeltessük meg melyek a szükséges és melyek a felesleges adatok

mely feladatoknál hiányoznak adatok.

Megoldás: a) Adatok: 10 kg 1580 Ft

1 kg x x = ?



293

Terv: x = 1580 : 10

Becslés: 100 < x < 200


Ellen®rzés: 10 � 158 = 1580

Válasz: 158 Ft-ba került 1 kg alma.

b) Adatok: 10 különféle csoki 1200 Ft

1 csoki x Ft x = ?

Válasz: Nem lehet meghatározni mivel különböz® csokikat vett így

nem tudjuk a csokik árát.

c) Adatok: 9 éves 27 kg

1 éves x kg x = ?

Válasz: Nem lehet meghatározni mert az életkorral nem egyenesen

arányos a tömeg változása.

d) Adatok: 3 gyerek 9 perc

1 gyerek x perc x = ?

Válasz: Felesleges adat: 540 m hosszú táv.

9 perc alatt teszi meg egy gyerek is a távot.

e) Adatok: 3 barát 9 nap

1 barát x nap x = ?

Felesleges adat: 540 m hosszú

Terv: x = 3 � 9

Számolás: x = 27 nap

Válasz: 27 nap alatt festette volna be a kerítést egy munkás.

f) Adatok: 5 dinnye 8 kg 60 dkg = 860 dkg

1 dinnye x dkg x = ?

Válasz: Nem lehet tudni mert nem minden dinnye tömege egyenl®.

Annyi biztos hogy 8 kg 60 dkg-nál kevesebb.

g) Adatok:8 m 60 cm = 860 cmz }| {j j j j j|{z}?

Terv: x = 860 : 4

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 215

Ellen®rzés: 4 � 215 = 860

Válasz: 215 cm = 2 m 1 dm 5 cm a két szomszédos oszlop távol-

sága.

Tk. 157/6. feladat: Tasziló állításairól kell eldönteni igaz vagy hamis. Idézzük fel az id®-

mértékekr®l (hét-nap) tanultakat.



Megoldás: a) Igaz. 25: 7 = 34

b) Igaz. 154: 7 = 220

c) Hamis. (teniszezni fog) 206: 7 = 293

d) Hamis. (focizni fog) 1400: 7 = 2000

e) Igaz. (focizni fog) 1589: 7 = 2270

Gy. 150/1. feladat: Szöveges feladatok. Egyre nagyobb önállósággal oldják meg a ta-

nulók a feladatokat.

Megoldás: a) A: 1 sor 5 cs T: x = 30 : 5

x sor 30 cs Sz: 30 : 5 = 6

V: 6 sorba fér el 30 csempe.

b) A: 1 sor 5 cs

E:

1 90 70 50 : 5 = 3 9 5

4 7

2 5

0 3 9 5 � 5

1 9 7 5

x sor 1975 cs

T: x = 1975 : 5

B: 300 < x < 400

V: 395 sorba fér el.



Megoldás: a) A: 1 katica 7 p T: x = 21 : 7

x katica 21 p Sz: 21 : 7 = 3

V: 3 katicabogárnak van 21 pettye.

b) A: 1 katica 7 p

E:

90 20 40 : 7 = 1 3 2

2 2

1 4

0 1 3 2 � 7

9 2 4

x katica 924 p

T: x = 924 : 7

B: 100 < x < 200

V: 132 katicabogár.



Megoldás: a) Adatok: 1 pók 8 láb

x 864 láb x = ?

Terv: x = 864 : 8



295

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 108

Ellen®rzés: 108 � 8 = 864

Válasz: 108 póknak van 864 lába.

b) Adatok: 1 tartó 6 tojás

x tartó 1932 tojás x = ?

Terv: x = 1932 : 6

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 322

Ellen®rzés: 322 � 6 = 1932

Válasz: 322 tojástartó kell 1932 tojás becsomagolásához.



Megoldás: a) Adatok: 8 unoka 1160 Ft

1 unoka x Ft x = ?

Terv: x = 1160 : 8

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 145

Ellen®rzés: 8 � 145 = 1160

Válasz: 145 Ft-ot kapott egy unoka.

b) Adatok: 6 jegy 1980 Ft

1 jegy x x = ?

Terv: x = 1980 : 6

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 330

Ellen®rzés: 6 � 330 = 1980

Válasz: 330 Ft-ba került egy vonatjegy.

c) Adatok: 4 jegy 1020 Ft

1 jegy x Ft x = ?

Terv: x = 1020 : 4

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 255

Ellen®rzés: 4 � 255 = 1020

Válasz: 255 Ft-ba került egy mozijegy.





Megoldás: a) Adatok: 7 sor 602 db

1 sor x db x = ?

Terv: x = 602 : 7


Számolás: x = 86

Ellen®rzés: 7 � 86 = 602

Válasz: 86 palánta került egy sorba.

b) Adatok: 7 sor 840 db

1 sor x db x = ?

Terv: x = 840 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 120

Ellen®rzés: 7 � 120 = 840


Megoldás: a) Adatok: 7 sor 1064 db

1 sor x db x = ?

Terv: x = 1064 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 154

Ellen®rzés: 7 � 154 = 840




Megoldás: a) Adatok: 1 sor 4 ülés

x sor 216 ülés x = ?

Terv: x = 216 : 4


Számolás: x = 54

Ellen®rzés: 54 � 4 = 216

Válasz: 54 sor ül®hely van ezen a repül®gépen.

b) Adatok: 7 sor 1792

1 sor x x = ?

Terv: x = 1792 : 7

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 256

Ellen®rzés: 7 � 256 = 1792

Válasz: 256 sz®l®t®két ültettek egy sorba.



297

c) Adatok: 1 alátét 5 Ft

x alátét 1050 Ft

Terv: x = 1050 : 5

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 210

Ellen®rzés: 210 � 5 = 1050

Válasz: 210 alátétet vásárolhatunk 1050 Ft-ért.



Megoldás: a) Adatok: 3 doboz 726 Ft

1 doboz x Ft x = ?

Terv: x = 726 : 3

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 242

Ellen®rzés: 3 � 242 = 726

Válasz: 242 Ft-ba került 1 doboz vízfesték.

b) Adatok: 4 doboz 1372 Ft

1 doboz x x = ?

Terv: x = 1372 : 4

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 343

Ellen®rzés: 4 � 343 = 1372

Válasz: 343 Ft-ba került 1 doboz zsírkréta.

c) Adatok: 5 doboz 1025 Ft

1 doboz x x = ?

Terv: x = 1025 : 5

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 205

Ellen®rzés: 5 � 205 = 1025

Válasz: 205 Ft-ba került 1 doboz színes ceruza.





A: 3 f 13 m 50 cm = 1350 cm Sz:

E:

1 30 50 00 : 3 = 4 5 0

1 5

0 0

0 4 5 0 � 3

1 3 5 0

1 f x

T: x = 1350 cm : 3

B: 400 cm < x < 500 cm

V: 450 cm = 4 m 50 cm

hosszú anyag kell egy ablakra.



A: 1 ü 7 dl Sz:

E:

1 70 50 : 7 = 2 5

3 5

0

2 5 � 7

1 7 5

x ü 17 és fél l = 175 dl

T: x = 175 dl : 7 dl

B: 20 < x < 30

V: 25 üveget töltött meg.



A: 5 cs 14 kg 45 dkg = 1445 dkg Sz:

E:

1 40 40 50 : 5 = 2 8 9

4 4

4 5

0 2 8 9 � 5

1 4 4 5

1 cs x

T: x = 1445 dkg : 5

B: 200 dkg < x < 300 dkg

V: 289 dkg = 2 kg 89 dkg

a tömege egy cs®nek.



Megoldás: a) Adatok: 5 hl 16 l = 516 l x doboz x = ?

2 l 1 doboz

Terv: x = 516 : 2

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 258

Ellen®rzés: 258 � 2 = 516

Válasz: 258 doboz gyümölcslevet készítettek.



299

b) Adatok: 6 l 2 dl 4 cl = 624 cl = o o >negyede

v v = ?

Terv: x = 624 : 4

Becslés: 100 < x < 200


Ellen®rzés: 4 � 156 = 624

Válasz: 156 cl = 1 l 5 dl 6 cl vegyszer van az edényben.

c) Adatok: 3 dl 1 és fél cl = 31, 31 és fél cl = 315 ml = v

sz >

3-szorv sz = ?

Terv: sz = 315 : 3

Becslés: 100 < sz < 200

Számolás: sz = 105

Ellen®rzés: 3 � 105 = 315

Válasz: 105 ml = 1 dl 5 ml szörpöt öntöttek az üvegbe.

d) Adatok: 6 perc 1 hl 48 l 8 dl = 1488 dl

1 perc x dl x = ?

Terv: x = 1488 : 6

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 246

Ellen®rzés: 6 � 246 = 1488

Válasz: 246 dl = 24 l 6 dl víz folyt a tartályba 1 perc alatt.



Megoldás: a) Adatok: 5 dm 2 cm 4 mm = 524 mm = cs

cs >negyede

p p = ?

Terv: p = 524 : 4

Becslés: 100 < p < 200

Számolás: p = 131

Ellen®rzés: 4 � 131 = 524

Válasz: 131 mm = 1 dm 3 cm 1 mm a piros papírcsík.

b) Adatok: 14 m 36 cm = 1436 cm 4 abrosz

x cm 1 abrosz x = ?

Terv: x = 1436 : 4

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 359

Ellen®rzés: 4 � 359 = 1436



Válasz: 359 cm = 3 m 5 dm 9 cm anyagot használt fel egy abrosz-

hoz édesanya.

c) Adatok: 1 km 50 m = 1050 m 7 perc

x m 1 perc x = ?

Terv: x = 1050 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 150

Ellen®rzés: 7 � 150 = 1050

Válasz: 150 m-t tett meg 1 perc alatt a kerékpáros.

d) Adatok: 6 m 3 dm 2 cm = 632 cm = cs k <

4-szercs k = ?

Terv: k = 632 : 4

Becslés: 100 < k < 200

Számolás: k = 158

Ellen®rzés: 4 � 158 = 632

Válasz: 158 cm = 1 m 5 dm 8 cm csövet használt fel a kerti csaphoz

a szerel®.



Megoldás: a) Adatok: 87 dkg 5 g = 875 g 7 doboz

x g 1 doboz x = ?

Terv: x = 875 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 125

Ellen®rzés: 7 � 125 = 875

Válasz: 125 g = 12 dkg 5 g kakaópor került egy dobozba.

b) Adatok: 18 kg 45 dkg = 1845 dkg = a, a >

kilencedel l = ?

Terv: l = 1845 : 9

Becslés: 200 < l < 300

Számolás: l = 205

Ellen®rzés: 9 � 205 = 1845

Válasz: 205 dkg = 2 kg 5 dkg egy láda tömege.

c) Adatok: 1 t 36 kg = 1036 kg 7 db

x t 1 db x = ?

Terv: x = 1036 : 7

Becslés: 100 < x < 200

Számolás: x = 148



301

Ellen®rzés: 7 � 148 = 1036

Válasz: 148 kg a tömege egy betongerendának.

d) Adatok: 8 léc 19 kg 92 dkg = 1992 dkg

1 léc x dkg x = ?

Terv: x = 632 : 4

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 249

Ellen®rzés: 8 � 249 = 1992

Válasz: 249 dkg = 2 kg 49 dkg a tömege 1 falécnek.



Megoldás: a) Adatok: 6 óra 25 perc = 385 perc 7 nap

x perc 1 nap x = ?

Terv: x = 385 : 7


Számolás: x = 55

Ellen®rzés: 7 � 55 = 385

Válasz: 55 percig olvasott naponta Petra.

b) Adatok: 1 hét 7 nap

x hét 1974 nap x = ?

Terv: x = 1974 : 7

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 282

Ellen®rzés: 7 � 282 = 1974

Válasz: 282 hetes Réka kishúga.

c) Adatok: 9 nap 12 óra = 228 óra = u u >

hatodav v = ?

Terv: v = 228 : 6

Becslés: 30 < v < 40

Számolás: v = 38

Ellen®rzés: 6 � 38 = 1228

Válasz: 38 órát utaztak hajón Samuék.

d) Adatok: 1 év 52 hét, meg 1 vagy 2 nap

5 év x hét x = ?

Terv: x = 5 � 52 + (1 + 1 + 1 + 2 + 2) : 7

Számolás: x = 261

Válasz: 261 hetes volt Ubul az 5. születésnapján.



5. tájékozódó felmérés

Óra: 115. 127. 142.


Írásbeli m¶veletek alkalmazása



mezés szövegesfeladat-megoldás rész-egész észlelése becslés induktív következteté-

sek problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdemé-

nyez®képesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság koope-

ratív és önálló munkavégzés egészséges életmód környezettudatosságra nevelés.

Óra: 116{118. 128{131. 143{147.

Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a mérésekr®l tanultakat

alkalmazzák összetett számfeladatokban szöveges feladatok megoldásában geometriai

számításokban szöveggel táblázattal adott függvények vizsgálatában oszthatósági vizs-

gálatokban.

Tk. 158/1. kidolgozott mintapélda: Idézzük fel a m¶veletek sorrendjér®l tanultakat.

Tk. 158/1. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a

m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett számfeladatokban.

Megoldás: a) 175

2:

+ 1228

1:

: 4| {z }

307

= 482, 1065

2:

+ 385

1:

: 5| {z }

77

= 1142,

1764

1:

: 6| {z }

294

3:

+ 238

2:

� 3| {z }

714

= 1008,

b) 1417

2:

{ 927

1:

: 9| {z }

103

= 1314, 527

1:

� 3| {z }

1581

2:

{ 618 = 963,

213

1:

� 9| {z }

1917

3:

{ 1351

2:

: 7| {z }

193

= 1724,



303

Tk. 159/2. kidolgozott mintapélda: Idézzük fel a m¶veletek sorrendjér®l a zárójel sze-

repér®l tanultakat.



a) 1975

2:

{ 305

1:

: 5| {z }

61

= 1914, (1975

1:

{ 305| {z }

1670

)

2:

: 5 = 334, 1975

1:

: 5| {z }

395

2:

{ 305 = 90

b) 1672

2:

+ 268

1:

: 4| {z }

67

= 1739, (1672

1:

+ 268| {z }

1940

)

2:

: 4 = 485, 1672

1:

: 4| {z }

418

2:

+ 268 = 686

Tk. 160/3. feladat: Figyeltessük meg az osztó osztandó illetve a hányados változásait!

Megoldás: a) 752 : 4 = 188 = 1504 : 8 = 188

b) 496 : 2 = 248 > 496 : 4 = 124

c) 576 : 6 = 96 < 1142 : 3 = 384

d) 372 : 2 = 186 = 1488 : 8 = 186

e) 735 : 7 = 105 < 735 : 5 = 147

Tk. 160/4. feladat: Di�erenciálásra szánt feladat. Figyeltessük meg az osztó osztandó

illetve a hányados változásait majd ez alapján határozzák meg a jobb képesség¶ tanulók

a bet¶k értékét.

Megoldás: a = 103, d = 372,

b = 112, e = 391,

c = 366, f = 448.



Megoldás: a) Adatok: k = 492 cm k >negyede

n n = ?

Terv: n = 492 : 4

Becslés: 100 < n < 200

Számolás: n = 123 cm

Ellen®rzés: 4 � 123 = 492

Válasz: 123 cm anyag kell egy nadrághoz.

b) Adatok: cs = 492 cl cs <4-szer

k k = ?

Terv: k = 4 � 492



Számolás: k = 1968




Válasz: 1968 cl = 19 l 6 dl 8 cl víz van a kannában.

c) Adatok: g = 492 dkg g >4 kg = 400 dkg

s s = ?

Terv: s = 492 { 400



Számolás: s = 92

Ellen®rzés: 92 + 400 = 492

Válasz: 92 dkg a tömege egy sárgadinnyének.

d) Adatok: a = 492 Ft v >

4 Ft-tala ö = ?

Terv: ö = 492 + 492 + 4


Számolás: tízesre kerekítve: 980 Ft

Válasz: ö = 988 Ft

988 Ft-ba kerül egy kis autó és egy kis vonat együtt.

Tk. 160/6. feladat: A szövegértelmez® képesség fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) a = 248 + 8 a = 256 b) b + 8 = 248 b = 240

c) c = 248 { 8 c = 240 d) d { 8 = 248 d = 256

e) e = 248 : 8 e = 31 f) f : 8 = 248 f = 1984

g) g = 248 � 8 g = 1984 h) h � 8 = 248 h = 31

Tk. 161/7. feladat: A szöveg alapján a megfelel® megoldási tervet kell kiválasztani a

tanulóknak.

Megoldás: a) 456 � 3 = 1368 1368-an laknak Kisréten.

b) 456 : 3 = 152 152-en laknak Nagydombon.

c) 456 + 3 = 459 459-en laknak Óriásváron.

d) 456 + 3 = 459 459-en laknak Kiskövesen.



Megoldás: a) é = (1204 + 784) : 2 é = 1988 : 2 é = 994 Ft

é = 1204 : 2 + 784 : 2 é = 602 + 392 é = 994 Ft

994 Ft-ba került személyenként az étkezés.

b) k = (1204 { 784) : 2 k = 420 : 2 k = 210 Ft

k = 1204 : 2 - 784 : 2 k = 602 - 392 k = 210 Ft

210 Ft-tal került többe személyenként az ebéd mint a vacsora.



305


m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett szöveges feladatokban.

Megoldás: a) Adatok: 3 f + 4 l 1547 Ft 1 gy = ? (Ft)

Felesleges adat: 42 személyes busz

Terv: e = 1547 : (3 + 4)

Becslés: 200 < e < 300

Számolás: e = 221

Ellen®rzés: 7 � 221 = 1547

Válasz: 221 Ft-ba került egy gyerek jegye.

b) Adatok: 1 forduló 4 l + 5 l

x forduló 540 l x = ?

Felesleges adat: 1200 l-es kád

Terv: f = 540 : (4 + 5)

Becslés: 60 < f < 70

Számolás: f = 60

Ellen®rzés: 60 � 9 = 540

Válasz: 60-szor kellett fordulnia Csabának.

c) Adatok: 2 + 3 = 5 gy �zetett 870 Ft + 1035 Ft

1 gy e Ft e = ?

Felesleges adat: 5 könyv 3 könyv

Terv: e = (870 + 1035) : (2 + 3) e = 1905 : 5

Becslés: 300 < e < 400

Számolás: e = 381

Ellen®rzés: 5 � 381 = 1905

Válasz: 381 Ft-ot adott egy gyerek.

Tk. 162/10. feladat: Szöveges feladatok megoldása a kreativitás képi gondolkodás

összefüggéslátás fejlesztésére.

Megoldás: a) Adatok: v = 1347 mm l = 456 mm m >

harmadae e = ?

Terv: e = (1347 { 456) : 3

Becslés: 200 < e < 300

Számolás: e = 297

Ellen®rzés: 3 � 297 + 456 = 1347

Válasz: 297 mm = 2 dm 9 cm 7 mm hosszú darabokat kapott.

b) Adatok: v = 1 l 2 dl = 120 cl b: 1 p 25 cl l = ?

5 p 5 � 25 cl

Terv: l = 120 + 5 � 25 l = 120 + 125





Számolás: l = 245 cl

Válasz: 245 cl = 2 l 4 dl 5 cl víz lesz a fazékban.

c) Adatok: 6g = 2g + 248 dkg 1 g ?

4g = 248 dkg

Terv: g = 248 : 4

Becslés: 60 < g < 70

Számolás: g = 62

Ellen®rzés: 6 � 62 = 2 � 62 + 248

372 = 372

Válasz: 62 dkg egy golyó tömege.

d) Adatok: p = 1 km 864 m = 1864 m, m = 288 m

8 perc 1864 { 288

1 perc x x =?

Terv: e = (1864 { 288) : 8

Becslés: 100 < e < 200

Számolás: e = 197 m

Válasz: 197 m-t tesz meg 1 perc alatt.

Tk. 163/11. feladat: Oszthatósági vizsgálatok.

Megoldás: Összesen 6 különböz® számot tudunk képezni a megadott kártyákból.

A százasok helyére 3-, a tízesekére 2-, az egyesekére 1-féleképpen vá-

laszthatunk.

Azaz 3 � 2 � 1 = 6 eset.

1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320

a) 1032; 1230; 1302; 1320.

4 szám osztható 2-vel.

b) 1023; 1032; 1203; 1230; 1302; 1320.

Mindegyik szám osztható 3-mal.

c) 1032; 1320.

2 szám osztható 4-gyel.

d) 1230; 1320.

2 szám osztható 5-tel.

e) 1230; 1320.

2 szám osztható 10-zel.



307

Tk. 163/12. feladat: Osztás gyakorlása adatok leolvasása gra�konról.

Megoldás: Zsiráf: 504 cm magas a zsiráf. 504 � 500

Bölény: 504 : 3 = 168 168 cm magas a bölény. 168 � 170

Farkas: 504 : 9 = 56 56 cm magas a farkas. 56 � 60

Hiúz: 504 : 8 = 63 63 cm magas a hiúz. 63 � 60

Medve: 504 : 4 = 126 126 cm magas a medve. 126 � 130

Strucc: 504 : 2 = 252 252 cm magas a strucc. 252 � 250

Vadkan: 504 : 6 = 84 84 cm magas a vadkan. 84 � 80

Zerge: 504 : 7 = 72 72 cm magas a zerge. 72 � 70

Gra�konon: 1. medve 2. zerge, 3. strucc, 4. vadkan, 5. hiúz, vagy a farkas,

6. bölény, 7. zsiráf, 8. farkas, vagy a hiúz.

Tk. 163/12. feladat: Számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.

Megoldás: 678 786 697 867 796

789 876 967 689 896

968 698 897 976 768

978 769 879 986 679

798 869 987 687

Gy. 158/1. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a


Megoldás:

a) 624

1:

: 4| {z }

156

2:

+ 356 = 512 624

2:

+ 356

1:

: 4| {z }

89

= 713 (624

1:

+ 356| {z }

980

)

2:

: 4 = 245

b) 1248

1:

: 8| {z }

156

2:

{ 6 = 150 1248

2:

: (8

1:

{ 6| {z }

2

) = 624 1248

1:

: 6| {z }

208

2:

{ 8 = 200

c) 176

1:

� 8| {z }

1408

2:

: 4 = 352 176

2:

� (8

1:

: 4| {z }

2

) = 352 176

1:

: 4| {z }

44

2:

� 8 = 352

d) 2000

1:

: 8| {z }

250

2:

: 2 = 125 2000

2:

: (8

1:

: 2| {z }

4

) = 500 2000

1:

: 2| {z }

1000

2:

: 8 = 125

e) 1200

1:

{ 548| {z }

652

2:

: 365 = 1017 1200

2:

{ (548

1:

+ 365| {z }

913

) = 287 1200

2:

+ (548

1:

{ 365| {z }

183

) = 1017



f) 450

2:

{ 145

1:

� 3| {z }

435

= 15 (450

1:

{ 145| {z }

305

)

2:

� 3 = 915 (450

1:

� 3| {z }

1350

)

2:

{ 145 = 1205

g) 1624

2:

{ 372

1:

: 4| {z }

93

= 1531 (1624

1:

{ 372| {z }

1252

)

2:

: 4 = 313 1624

1:

: 4| {z }

406

3:

{ 372

2:

: 4| {z }

93

= 313

h) 972

2:

+ 591

1:

: 3| {z }

197

= 1169 (972

1:

+ 591| {z }

1563

)

2:

: 3 = 521 972

1:

: 3| {z }

324

3:

+ 591

2:

: 3| {z }

197

= 521

Gy. 158/2. feladat: Számolási rutin fejlesztése játékos feladattal.

Megoldás:

1416: 2 : 3

7 0 8

: 6

2 3 6 1976: 4 : 2

4 9 4

: 8

2 4 7

Gy. 158/3. feladat: Az írásbeli összeadásról kivonásról szorzásról és osztásról illetve a

m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása összetett szöveges feladatokban.

Megoldás: a) 615 és 348 összegének a harmadrésze:

a = (615 + 348) : 3 a = 963 : 3

a = 321

b) 615 és 348 különbségének a háromszorosa:

b = (615 - 348) � 3 b = 267 � 3

b = 801

c) 615-nek és 348 harmadrészének a különbsége:

c = 615 - 348 : 3 c = 615 - 116

c = 499

d) 615 harmadrészének és 348-nak az összege:

d = 615 : 3 + 348 d = 205 + 348

d = 553

Gy. 159/4. feladat: Szöveges feladatok melyek megoldásakor alkalmazni kell a mérték-

váltásról tanultakat. Az adatok kigy¶jtésekor a mennyiségeket olyan mértékegységre kell

átváltatnunk amellyel a számolás könnyen elvégezhet®. A szöveges válaszban �gyelje-

nek a tanulók arra hogy az eredmény mikor darabszám illetve mikor mértékegységgel

adott mennyiség!

Megoldás: a) Adatok: 9 m 24 cm = 924 cm

1 db 12 dm 4 cm = 124 cm m = ?

4 db 4 � 124 cm



309

Terv: m = 924 { 4 � 124 m = 924 { 496



Számolás: m = 428 cm

Ellen®rzés: 428 + 4 � 124 = 924

Válasz: 428 cm = 4 m 2 dm 8 cm hosszú szalag maradt.

b) Adatok: v = 6 és fél hl = 650 l, b = 22 l 1 kanna 8 l ? kanna

Terv: k = (650 + 22) : 8 k = 672 : 8

Becslés: 80 < k < 90

Számolás: k = 84

Ellen®rzés: 84 � 8 = 650 + 22

Válasz: 84 öntöz®kanna vizet locsoltak szét.

Gy. 160/5. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-

lesztésére.

Megoldás: a) Adatok: v = 572 Ft e: 1 db 128 Ft m = ?

4 db 4 � 128

Terv: m = 572 { 4 � 128 m = 572 { 512



Számolás: m = 60

Ellen®rzés: 60 + 4 � 128 = 572

Válasz: 60 Ft-ja maradt Aladárnak.

b) Adatok: v = 572 Ft e: B + 3 f® 128 Ft m = ?

B 128 : 4

Terv: m = 572 { 128 : 3 m = 572 { 32

Becslés: 540 Ft

Számolás: m = 540

Válasz: 540 Ft-ja maradt Barnának.

c) Adatok: v = 572 Ft k: 1 testvér 128 Ft l = ?

4 testvér 4 � 128 Ft

Terv: l = 572 + 4 � 128 l = 572 + 512



Számolás: l = 1084

Ellen®rzés: A számított érték összhangban van a becsült értékkel.

Válasz: 1084 Ft-ja lett Cilinek.



d) Adatok: v = 572Ft k: 4 gyerek 128 Ft l = ?

Dóra 128 : 4

Terv: l = 572 + 128 : 4 l = 572 + 32

Becslés: 600 Ft

Számolás: l = 604


Válasz: 604 Ft-ja lett Dórának.


lesztésére.

Megoldás: a) Adatok: v = 572 Ft, k = 128 Ft, l >negyede

a a = ?

Terv: a = (572 + 128) : 4 a = 700 : 4

Becslés: 100 < a < 200

Számolás: a = 175


Válasz: 175 Ft-ba került a könyv.

b) Adatok: v = 572 Ft, e = 128 Ft, m = 4 db autó, 1 autó ?

Terv: a = (572 { 128) : 4 a = 444 : 4

Becslés: (570 { 130) : 4 = 110 Ft

Számolás: a = 111


Válasz: 111 Ft-ba került 1 kis autó.

c) Adatok: v = 572 Ft, k = 128 Ft, b >negyede

m b = ?

Terv: b = (572 { 128) � 4 b = 444 � 4

Becslés: (570 { 130) � 4 = 1760 Ft

Számolás: b = 1776


Válasz: 1776 Ft-ja van Gedeon bátyjának.


lesztésére.

Megoldás: a) Adatok: B = 325 Ft, B >

5-szörA Ö = ?

Terv: Ö = 325 + 325 � 5 Ö = 325 + 1625

Ö = 325 � 6



Számolás: Ö = 1950



311


Válasz: 1950 Ft-ja van a két lánynak együtt.

b) Adatok: p = 1345, f >

5-szörp ö = ?

Terv: ö = 1345 + 1345 : 5 ö= 1345 + 269



Számolás: ö = 1614

Ellen®rzés: 1614 - 1345 : 5 = 1345

Válasz: 1614 tulipán van összesen.

c) Adatok: T = 405, T >

ötödeU U = ?

Terv: U = 405 : 5

Becslés: 80 < U < 90

Számolás: U = 81

Ellen®rzés: 5 � 81 = 405

Válasz: 81 matricája van Ulriknak.

d) Adatok: v = 1405 Ft, v >

ötödea a = ?, m = ?

Terv: a = 1405 : 5

Becslés: 200 < a < 300

Számolás: a = 281

Ellen®rzés: 5 � 281 = 1405

Válasz: 281 Ft-ba került az ajándék.

Terv: m = 1405 { 281



Számolás: m = 1124

Ellen®rzés: 1124 + 281 = 1405

Válasz: 1124 Ft-ja maradt Zolinak.

Óra: 119. 132{133. 148{149.

5. felmérés




Ismerkedés a törtekkel



mezés szövegesfeladat-megoldás rész-egész észlelése induktív következtetések prob-

lémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése �gyelem kezdeményez®ké-

pesség metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság kooperatív és

önálló munkavégzés.

Óra: 120{125. 134{140. 150{156.

El®ször az egységtörteket (a számláló 1) értelmezzük. Egységtörtekr®l már vannak ko-

rábbi tapasztalataik a tanulóknak. Esetleg ismerik a fél, harmad, negyed, � (1 ketted, 1

harmad, �) kifejezéseket.

Csak az egységtörtek fogalmának kialakítása és megszilárdítása után foglalkozzunk

olyan törtekkel, amelyekben a nevez® tetsz®leges szám. A fogalom alakításának id®-

szakában a számlálót számjeggyel, a nevez®t bet¶vel írjuk. Jobb csoportban hamar át-

térhetünk, és használhatjuk a matematikában megszokott írásmódot.

A fogalom tapasztalati megalapozásához állíttassuk el® rajzzal, hajtogatással, kirakás-

sal, kiméréssel stb. különböz® mennyiségek (hosszúságok, területek, id®tartamok, tö-

megek, ¶rtartalmak) törtrészeit.

Tk. 165/Figyeld meg!: Az egységtörteket (a számláló 1) értelmezzük szemléltet® rajz

segítségével.

Tk. 166/1. feladat: Az egységtörtekr®l tanultak közvetlen alkalmazása.

Megoldás: a) Ha 6 egyenl® részre osztjuk a tortát akkor egy gyerek a torta 1 hatod

részét kapja.

b) Ha mindegyiknek 1 heted rész jutott akkor 7 egyenl® részre osztották a

mogyoróskalácsot.

c) Nem egyenl® részre osztották a kenyeret így nem igaz az állítás.

Tk. 166/2. feladat: El®ször állapítsák meg a tanulók, hány egyenl® részre osztottuk az

egészet, majd azt, hogy hány részt színeztünk ki.

Ha úgy ítéljük, hogy a tanulócsoportban az egységtört fogalmát kell®képpen elmélyítet-

tük, vizsgálhatjuk azt is, hogy:

hány részt nem színeztünk ki,

a ki nem színezett rész hányada az egésznek,

egy ábrában a kiszínezett és a ki nem színezett részek összege egyenl® az

1 egésszel.

Megoldás: a) 1 nyolcad b) 1 negyed c) 1 heted d) 1 nyolcad

e) 1 negyed f) 1 negyed g) 1 ketted h) 1 harmad

Tk. 166/3. feladat: Figyeltessük meg azt is hogy ha több részre osztjuk az 1 egészet

akkor kisebb lesz a törtrész.



313

Megoldás: a)1

2, b)

1

3, c)

1

4, d)

1

6, e)

1

12.

Tk. 167/4. feladat: Tudatosítsuk a törtrész meghatározásának gondolatmenetét. A ne-

vez®nek megfelel® egyenl® részre osztjuk a mennyiséget, és számlálónyit veszünk a

részekb®l. Egységtörteknél nevez®nyi részekb®l 1-et veszünk.

Hasonlítsuk össze nagyság szerint is az egyes törtrészeket.

Megoldás: a)1

2, b)

1

4, c)

1

8, d)

1

2:

Tk. 167/5. feladat: A törtrészek tanításakor jól használható a színesrúdkészlet. Tetsz®-

leges rudat egységül választva meghatározhatjuk a többi értékét.

Megoldás: a) világoskék, rózsaszín, fehér,

b) citromsárga, rózsaszín, fehér,

Tk. 167/6. feladat: Vetessük észre hogy az egység adott törtrésze többféleképpen is

el®állítható. Nagyság szerint is hasonlítsuk össze az egyes törtrészeket.

Megoldás: a) 1., 7.; b) 5.; c) 2., 8.; d) 3.; e) 4.; f) 6.

Tk. 168/7. feladat: A törtrészek tanításakor jól használható a színesrúdkészlet. Tetsz®-

leges rudat egységül választva meghatározhatjuk a többi értékét.

Megoldás: a) 6 kis négyzetet kell kiszínezni.

b) 2 kis négyzetet kell kiszínezni.

c) 3 kis négyzetet kell kiszínezni.

d) 4 kis négyzetet kell kiszínezni.

e) 12 kis négyzetet kell kiszínezni.

f) 1 kis négyzetet kell kiszínezni.

Tk. 168/8. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.

Megoldás: a)1

2, b)

1

3, c)

1

4, d)

1

6, e)

1

8, f)

1

12.


Megoldás: 1 dm = 100 mm

a) 50 mm, b) 20 mm, c) 10 mm, d) 25 mm.


Megoldás: 1 m = 10 dm

a) 5 dm, b) 2 dm, c) 1 dm, d) 2 és fél dm.

Tk. 168/11. feladat: �rtartalomméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.



Megoldás: 1 l = 10 dl

a) 5 dl, b) 15 dl, c) 2 dl, d) 1 dl.

Tk. 169/12. feladat: Id®méréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.

Megoldás: 1. óra: 30 perc, 2. óra: 15 perc, 3. óra: 10 perc, 4. óra: 6 perc.

Tk. 169/13. feladat: Id®méréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.

Megoldás: 1. óra:1

3óra, 2. óra:

1

12óra, 3. óra:

1

5óra, 4. óra: 1 óra.

Tk. 169/14. feladat: Területméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l.

Megoldás: a)1

2részét, b)

1

4részét, c)

1

8részét.

Tk. 169/15. feladat: Sok tevékenység alapján gy®z®djenek meg a tanulók arról, hogy

egyenl® törtrészekb®l mikor kapunk pontosan egy egészet. Például: a papírcsíkot 12

egyenl® részre osztom, és 12 részt veszek. (Ha a számláló és a nevez® megegyezik,

akkor a tört értéke 1 egész.)

Megoldás: a) 5, b) 7, c) 6, d) 10, e) 8, f) 9.

Tk. 170/1. kidolgozott mintapélda: Miután az egységtörtek fogalmát kialakítottuk és

megszilárdítottuk foglalkozhatunk olyan törtekkel amelyekben a nevez® tetsz®leges

szám.

A mintapélda többféleképpen szemlélteti a tört fogalmát (a számláló már nem csak 1).

Hangsúlyozzuk hogy az 1 egészet hány egyenl® részre osztjuk és hányat veszünk a

részekb®l. Például a dinnye 2 harmad részét úgy állítjuk el® hogy három egyenl® részre

osztjuk és abból veszünk 2 részt.

Tk. 170/2. kidolgozott mintapélda: Ugyanúgy mint az egységtörtek esetében itt is állít-

sanak el® a tanulók különböz® mennyiségeket: hosszúságokat területeket id®tartamokat

tömegeket ¶rtartalmakat rajzzal hajtogatással kiméréssel stb.

Tk. 170/16. feladat: Gyakorlófeladatok a törtrész meghatározására.

Nagyság szerint is hasonlíttassuk össze egy-egy mennyiség különböz® törtrészeit.

Megoldás: a) Zöld:1 nyolcad b) Zöld:2 nyolcad

Lila: 7 nyolcad Lila: 6 nyolcad

c) Zöld:3 nyolcad d) Zöld:4 nyolcad

Lila: 5 nyolcad Lila: 4 nyolcad



Megoldás: a)2

3, b)

2

4=1

2,



315

c)4

6=2

3, d)

5

12,

e)2

2= 1, f)

3

4.



Megoldás: a) 3 negyed b) 1 ketted

1 negyed 1 ketted

c) 2 harmad d) 5 hatod

1 harmad 1 hatod

e) 4 ötöd f) 8 kilenced

1 ötöd 1 kilenced



Megoldás: a) 1 ketted d) 6 nyolcad (3 negyed)

b) 1 negyed e) 5 nyolcad

c) 1 nyolcad f) 3 nyolcad



Megoldás: a) Világoskék b) Lila

c) Rózsaszín d) Piros

e) Fehér f) Rózsaszín

g) Piros h) Citromsárga

Tk. 170/3. kidolgozott mintapélda: Tasziló segítségével olyan törtekkel foglalkozhatunkamelyekben a nevez® tetsz®leges szám és a számláló nem csak 1.

Tk. 172/21. feladat: Adott mennyiségeknek a különböz® törtrészeit hasonlítjuk össze

nagyság szerint.

Megoldás: a)1

8,

3

8,

7

8,

4

8,

2

81

8<

2

8<

3

8<

4

8<

7

8

b)1

4,

1

3,

1

8,

1

2,

1

51

8<

1

5<

1

4<

1

3<

1

2



Tk. 172/22. feladat: Testek építése kockából. A térfogat törtrészének megépítése.

Törtrészb®l az egység megépítése testek térfogatának összehasonlítása. A tanulók tér-

szemléletének fejlesztése érdekében építsék meg a különböz® testeket a színesrúdkész-

let fehér kockáiból.

Megoldás: a) 2 nyolcad b) 3 nyolcad c) 4 nyolcad

1 negyed 2 negyed

1 ketted

d) 6 nyolcad e) 5 nyolcad f) 1 nyolcad

3 negyed

Tk. 172/23. feladat: Testek építése kockából. A térfogat törtrészének megépítése. Tört-

részb®l az egység megépítése testek térfogatának összehasonlítása. A tanulók térszem-

léletének fejlesztése érdekében építsék meg a különböz® testeket a színesrúdkészlet

fehér kockáiból.

Megoldás: a) b)

c) d)

e)

Tk. 173/4. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg hogy egy-egy tört sokféle alakban

felírható. Különböz® tevékenységekkel szerezzenek tapasztalatot err®l a tanulók (színe-

zés kirakás színesrudakkal papírhajtogatás stb.). Ezzel el®készítjük a törtek b®vítését

egyszer¶sítését.



Megoldás: a) 1 negyed b) 2 negyed

1 ketted

c) 3 negyed d) 1 ketted

e) 1 nyolcad f) 2 nyolcad

1 negyed



317

g) 3 nyolcad h) 4 nyolcad

2 negyed

1 ketted

i) 1 tizenhatod j) 6 tizenhatod

3 nyolcad

k) 12 tizenhatod l) 6 nyolcad

6 nyolcad 3 negyed

3 negyed

Egyenl®: a és f;

b d és h;

c k és l;

g és j.



Megoldás: a) 2 harmad b) 3 negyed

4 hatod = 2 harmad 6 nyolcad = 3 negyed

6 kilenced = 2 harmad 9 tizenketted = 3 negyed

Tk. 174/5. kidolgozott mintapélda: Itt is mennyiségek törtrészét számíttatjuk ki ahol

következtetni kell többr®l egyre majd egyr®l többre a szorzásról és az osztásról tanultak

alkalmazásával. �Ugyeljünk a szöveges feladat lépéseinek betartására.

Az ilyen típusú feladatokat els®sorban di�erenciálásra tehetségfejlesztésre használhat-

juk fel.

Tk. 174/26. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.

Megoldás: 1 dm = 100 mm

a) 10 mm, b) 20 mm, c) 60 mm, d) 7 mm,

e) 40 mm, f) 60 mm, g) 50 mm, h) 100 mm.


Megoldás: 1 km = 1000 mm

a) 500 m, b) 1000 m, c) 250 m, d) 750 m,

e) 200 m, f) 800 m, g) 100 m, h) 200 m.


Megoldás: 1 kg = 1000 g

a) 500 g, b) 500 g, c) 1000 g, d) 1500 g,

e) 400 g, f) 400 g, g) 10 g, h) 1 g.




Megoldás: 1 hl = 100 l

a) 50 l, b) 50 l, c) 10 l, d) 50 l,

e) 25 l, f) 50 l, g) 50 l, h) 100 l.


Megoldás: a) 72 mm b) 96 mm

c) 36 mm d) 48 mm

e) 216 mm f) 192 mm

g) 180 mm h) 144 mm

Tk. 175/31. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.

Megoldás: a) Adatok:

160Ftz }| {

| {z }

b

| {z }

m

Terv: m = 160 { 160 : 4 m = 160 { 40

m = 160 : 4 � 3 m = 40 � 3

Számolás: m = 120Ft

Ellen®rzés: 120 + 160 : 4 = 160

Válasz: 120 Ft-ja maradt Petinek.

b) Adatok:

145z }| {

| {z }

B

| {z }

N

Terv: n = 145 { 145 : 5 n = 145 { 29

n = 145 : 5 � 4 n = 29 � 4

Számolás: n = 116

Ellen®rzés: 116 + 145 : 5 = 145

Válasz: 116 képeslap nem a Balatont ábrázolja.

c) Adatok:

273z }| {

| {z }

n

| {z }

x

Terv: x = 273 { 273 : 3 x = 273 { 91

x = 273 : 3 � 2 x = 91 � 2

Számolás: x = 182

Ellen®rzés: 182 + 273 : 3 = 273

Válasz: 182 bélyege van albumban.



319

Tk. 175/32. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.

Megoldás: a) H = 720 : 3 H = 240 m

Hz }| {

| {z }

I

I = 720 : 6 � 2 I = 240 m

Ugyanakkora távot futottak.

b) N = 720 : 6 � 2 N = 480 m

Nz }| {

| {z }

O

O = 720 : 6 � 5 O = 600 m

Ottó futott többet, és 120 m-rel megel®zte Nórit.

c) P = 720 : 3 P = 240 m

Pz }| {

| {z }

K

R = 720 : 2 R = 360 m

Robi futott többet, és 120 m-rel megel®zte Pannit.

d) J = 720 : 3 � 2 J = 480 m

Jz }| {

| {z }

K

K = 720 : 4 � 3 K = 540 m

Karcsi futott többet, és 60 m-rel megel®zte Janit.



Gy. 162/1. feladat: Itt is tudatosítsuk a törtrész meghatározásának algoritmusát.

A nevez®nek megfelel® egyenl® részekre osztjuk a mennyiséget és számlálónyit veszünk

a részekb®l.

Megoldás:

a) 1 ketted 1 negyed 1 harmad 1 hatod 1 tizenketted

b) 2 ketted 2 negyed 2 harmad 2 hatod 2 tizenketted

c) 3 nyolcad 3 negyed 3 harmad 3 hatod 3 tizenketted

d) 4 nyolcad 4 negyed 4 tizenketted 6 hatod 6 tizenketted

Gy. 162/2. feladat: Törtrészb®l az 1 egész meghatározása.

Megoldás:

a) 1 ketted része: b) 1 harmad része: c) 1 negyed része:

Jobb csoportokban beszéljük meg, hogy hányad részek adnak ki egy egészet.

1

2+1

2= 1

1

3+2

3= 1

1

4+3

4= 1



321

d) 1 ketted része: e) 1 hatod része: f) 1 ötöd része:

1

2+1

2= 1

1

6+5

6= 1

1

5+4

5= 1

Gy. 163/3. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l

illetve egész rész meghatározása a törtrészb®l.

Megoldás: a) 1 ketted

2 ketted

b) 1 harmad

2 harmad

c) 1 hatod

4 hatod

d) 1 kilenced

4 kilenced

Gy. 163/4. feladat: Hosszúságméréshez kapcsolódóan törtrész el®állítása az egészb®l

illetve egész rész meghatározása a törtrészb®l.

Megoldás:

a)

b)

c)

d)

Gy. 163/5. feladat: Törtrész meghatározása. Tudatosítsuk a tört el®állításának az algo-

ritmusát: hány egyenl® részre osztjuk a mennyiséget hányat veszünk a részekb®l.

Megoldás: a) 18 virágot kell körülkeríteni.

b) 10 virágot kell körülkeríteni.

c) 12 virágot kell körülkeríteni.

d) 36 almát kell körülkeríteni.

e) 18 körtét kell körülkeríteni.

f) 24 epret kell körülkeríteni.

Gy. 164/6. feladat: Figyeltessük meg mikor kisebb mikor egyenl® és mikor nagyobb a

tört értéke 1 egésznél.



Megoldás: a) 1 ketted 2 ketted 3ketted

b) 1 harmad 2 harmad 3 harmad 4harmad

c) 1 negyed 2 negyed 4 negyed 5negyed

d) 1 hatod 2 hatod 6 hatod 8hatod

e) 1 tizenketted 4tizenketted 12tizenketted 16tizenketted

Gy. 164/7. feladat: Az eddig szerzett tapasztalatok alapján a tanulók már képesek meg-

állapítani egy törtr®l hogy kisebb nagyobb-e egy egésznél vagy egyenl®-e egy egésszel.

Mivel a törtet valamely mennyiség részeként értelmeztük a megoldást a pozitív termé-

szetes számok halmazán keressük.

Megoldás: a ketted < 1 egész a : 0; 1

b ketted = 1 egész b : 2

c ketted > 1 egész c : 3; 4; . . .

d hatod < 1 egész d : 0; 1; 2; 3; 4; 5

e hatod = 1 egész e : 6

f hatod > 1 egész f : 7; 8; . . .

Gy. 165/8. feladat: Törtrész meghatározása.

Megoldás: a = 15 négyzetet kell kiszínezni.

b = 12 négyzetet kell kiszínezni.

c = 15 négyzetet kell kiszínezni.

Gy. 165/9. feladat: Törtrész kiegészítése egy egésszé.

Megoldás:

a) 2 harmad része: b) 3 negyed része: c) 4 ötöd része:


Megoldás:

a)

1 ketted + 1 ketted = 1 1 harmad + 2 harmad = 1

b)

1 negyed + 3 negyed = 1 2 harmad + 1 harmad = 1



323

c)

1 negyed + 3 negyed = 1 2 harmad + 1 harmad = 1


Megoldás: a) 2 ötöd + 3 ötöd = 1

b) 3 negyed + 1 negyed = 1

c) 2 hatod + 4 hatod = 1

d) 5 nyolcad + 3 nyolcad = 1

e) 3 tized + 7 tized = 1

f) 5 heted + 2 heted = 1


Megoldás:

a) b)

4 nyolcad + 4 nyolcad =1; 4 negyed + 0 negyed = 1;

c) d)

1 harmad + 2 harmad = 1; 1 hatod + 5 hatod = 1;

e) f)

4 tized + 6 tized = 1; 4 ötöd + 1 ötöd = 1


Megoldás:

a) b) 3 negyed = 6 nyolcad

b) c) 1 harmad = 2 hatod

d) e) 1 harmad = 3 kilenced

Gy. 167/14. feladat: Törtrész megállapítása összehasonlítása.

Megoldás: a) 2 harmad > 2 hatod b) 2 nyolcad < 2 negyed

c) 3 hatod > 2 hatod d) 6 nyolcad = 3 negyed

e) 4 ötöd > 4 hatod f) 4 tized < 5 tized

g) 2 harmad = 4 hatod h) 5 kilenced > 4 nyolcad

i) 2 negyed = 3 hatod j) 5 nyolcad < 4 hatod

k) 5 huszad = 2 nyolcad l) 3 nyolcad < 4 heted

Gy. 168/15. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása.

Megoldás: a) fél m = 5 dm = 50 cm = 500 mm;

b) 1 ötöd m = 2 dm = 20 cm = 200 mm;



c) 1 tized m = 1 dm = 10 cm = 100 mm;

d) 3 negyed m = 75 cm = 750 mm;

e) 7 tized m = 7 dm = 70 cm = 700 mm.


Megoldás: a) fél dl = 5 cl = 50 ml; d) 2 negyed dl = 5 cl = 50 ml;

b) 1 ötöd dl = 2 cl = 20 ml; e) 4 tized dl = 4 cl = 40 ml;

c) 1 tized dl = 1 cl = 10 ml; f) 3 ötöd dl = 6 cl = 60 ml.


Megoldás: a) fél kg = 50 dkg = 500 g;

b) 1 negyed kg = 25 dkg = 250 g;

c) 1 tized kg = 10 dkg = 100 g;

d) 3 negyed kg = 75 dkg = 750 g;

e) 2 ötöd kg = 40 dkg = 400 g.


Megoldás: a) fél óra = 30 perc; f) 5 hatod óra = 50 perc;

b) 1 negyed óra = 15 perc; g) 3 negyed óra = 45 perc;

c) 1 tized óra = 6 perc; h) 7 tized óra = 42 perc;

d) 1 harmad óra = 20 perc; i) 2 harmad óra = 40 perc;

e) 1 hatod óra = 10 perc; j) 3 ketted óra = 90 perc.


Megoldás: a) 1 negyed nap = 6 óra; d) 2 negyed nap = 12 óra;

b) 1 harmad nap = 8 óra; e) 2 harmad nap = 16 óra;

c) fél nap = 12 óra; f) 3 ketted nap = 36 óra.

Gy. 169/20. feladat: Szöveges feladatokban a törtrészt kell meghatározni.


12z }| {

| {z }

A

| {z }

m

Terv: m = 12 : 6 � 4

Számolás: m = 8

Válasz: 8 diós ki i maradt.

4 hatod = 2 harmad része ez az egésznek.

b) Adatok:

16z }| {

| {z }

B

Terv: B = 16 : 8 � 3



325

Számolás: B = 6

Válasz: 6 süteményt evett Bogi.

5 nyolcad része maradt meg az egésznek.

c) Adatok:

18Ftz }| {

| {z }

C

Terv: C = 18 : 9 � 5

Számolás: C = 10

Válasz: 10 Ft-ot költött el Cili.

4 kilenced része maradt meg a pénzének.

d) Adatok:

20z }| {

| {z }

D

Terv: D = 20 : 10 � 3

Számolás: D = 6

Válasz: 6 matricát kapott Dani.

7 tized részt kapott a többi gyerek.

e) Adatok:

45 percz }| {

| {z }

f

Terv: f = 45 : 9 � 2

Számolás: f = 10 perc

Válasz: 10 percig futottak a gyerekek.

Terv: l = 45 { 10

Számolás: l = 35 perc

Válasz: 35 percig labdáztak a gyerekek.

f) Adatok:

30 napz }| {

| {z }

e

Terv: e = 30 : 5 � 2

Számolás: e = 12 nap

Válasz: 12 nap volt es®s áprilisban.

Ez 3 nappal kevesebb a hónap felénél.

A hónap 3 ötöd részében nem esett az es®.


366napz }| {

| {z }

t

| {z }

n

Terv: n = 366 : 6 � 3



Számolás: n = 183 nap

Válasz: 183 napig nem f¶töttek ebben az évben.

1 ketted része ez az egész évnek.

1

2=2

4=3

6=4

8=

5

10

Nagyítás, kicsinyítés


rész-egész észlelése térbeli viszonyok meg�gyelése térlátás induktív következtetések

problémaérzékenység problémamegoldás emlékezet fejlesztése feladattartás �gyelem

kezdeményez®képesség kreativitás meg�gyel®képesség összefüggéslátás pontosság

csoportos páros egyéni munkavégzések esztétikai-m¶vészeti nevelés.

Óra: 126{127. 141{142. 157{158.

A �nagyított", �kicsinyített" képek segítségével a hasonló (ugyanolyan alakú), illetve az

egybevágó (ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶) fogalmakkal ismerkednek a tanu-

lók.

Szerezzenek minél több tapasztalatot nagyított, illetve kicsinyített kép el®állításában raj-

zolással rácson, vetítéssel, építéssel stb. Adjunk feladatokat nem hasonlósági transzfor-

mációkra (�zsugorításra", �nyújtásra", �torzításra") is. Figyeltessük meg a nagyítással és

a kicsinyítéssel, illetve a �nyújtással", �zsugorítással" el®állított képek közti különbséget.

Szerezzenek tapasztalatot arról, hogy az egybevágóság a hasonlóság speciális esete

(az ugyanolyan alakú alakzat ugyanolyan méret¶ is). Vetessük észre, hogy a tengelyes

tükrözéssel is hasonlósági transzformációt határozunk meg.

Tk. 176/Emlékeztet®: A �nagyított", �kicsinyített" képek segítségével a hasonló (ugyano-

lyan alakú) illetve az egybevágó (ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶) fogalmakkal

ismerkednek a tanulók.

Tk. 176/1. kidolgozott mintapélda: Tasziló olyan típushibákra hívja fel a �gyelmet ame-

lyet a tanulók gyakran elkövetnek. Ezek megbeszélésével elmélyíthetjük az ismereteket.

Tk. 177/1. feladat: Kancsók képét kell összehasonlítani s az ugyanolyan alakú kancsókatkikeresni.

Megoldás: Három különböz® alakú kancsó képe látható.

Azok �ugyanolyan alakúak" amelyek egymásnak pontosan kicsinyített

nagyított vagy ugyanolyan méret¶re lemásolt képei.

Tk. 177/2. feladat: Kacsák képét kell összehasonlítani s megkeresni az ugyanolyan ala-

kúakat.

Megoldás: Az eredeti rajzhoz Anna, Bea, Cili, Eta, Feri rajza hasonló.

Anna az eredeti rajz tükörképét rajzolta le,



327

Eta a felére kicsinyítette,

Cili a kétszeresére nagyította,

Feri a felére kicsinyítette és tükrözte az eredeti rajzot.

Anna és Bea rajza egybevágó az eredetivel.

Tk. 178/3. feladat: Indirekt di�erenciálásra alkalmas feladat.

Megoldás: Figyeljük meg ki hányféle különböz® szabályt tud alkalmazni.

Tk. 178/4. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalom elmélyítésére szánt feladat.

Megoldás: a) Ugyanolyan alakú a két háromszög.

b) Ugyanolyan alakú a két háromszög.

c) Ugyanolyan alakú a két háromszög.

d) Nem ugyanolyan alakú a két háromszög.

e) Ugyanolyan alakú a két háromszög.

f) Ugyanolyan alakú a két háromszög.

Tk. 178/5. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalom elmélyítésére szánt feladat.

Megoldás: a) Ugyanolyan alakú a két négyszög.

b) Nem ugyanolyan alakú a két négyszög.

c) Ugyanolyan alakú a két négyszög.

d) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.

e) Ugyanolyan alakú a két négyszög.

f) Nem ugyanolyan alakú a két négyszög.

g) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.

h) Ugyanolyan alakú a két négyszög.

i) Ugyanolyan alakú és nagyságú a két négyszög.

Gy. 170/1. feladat: Geometriai transzformációk végrehajtása különböz® rácsok segít-

ségével. A megoldása során a tanulók szerezzenek tapasztalatot az ugyanolyan alakú

(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok ki-

választásában vizsgálatában.

Megoldás:

� � �

�

� � �

�





(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok ki-

választásában vizsgálatában.

Megoldás:

a) b) c)

d) e) f)

A b kacsára igaz hogy ugyanolyan alakú mint az eredeti kacsa.



(hasonló) illetve az ugyanolyan alakú és ugyanolyan méret¶ (egybevágó) alakzatok kivá-

lasztásában vizsgálatában. Idézzük fel a mer®legességr®l párhuzamosságról tanultakat.

Megoldás: a) b)

c) d)



329

e) f) g)

Gy. 172/4. feladat: Kerestessünk a rajzok közül ugyanolyan alakúakat, ugyanolyan alakú

és méret¶eket. Egy rajzon belül mer®leges illetve párhuzamos egyenespárokat. Figyel-

tessük meg hogy ezek a transzformációk szakasz- és szögtartók.

Megoldás: Hasonló az eredeti rajzzal az e és f rajz.

Hasonló egymással a b és c.

Hasonló egymással az a és d.

Gy. 172/5. feladat: A feladatsornak több megoldása is lehet.

a)

b)

c) d)



Gy. 173/6. feladat: Figyeljük meg ki hány különböz® szabály alapján tudja transzformálni

az adott ábrát. Megtalálják-e az eredetihez hasonlót illetve az eredetivel egybevágót?

Kerestessünk mer®leges, illetve párhuzamos egyenespárokat.

Megoldás: a) b)

c) Feladatna több megoldása van, attól függ®en, hogy hol veszük fel a

tükörtengelyt. Például:

tt

t



331

d) e)

Gy. 174/7. feladat: Az �ugyanolyan alakú" fogalmának elmélyítésére szánt feladat.

Megoldás: A-jel¶ hatszög ugyanolyan alakú mint az eredeti.


Megoldás: a) B-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.

b) A-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.

c) C és D-jel¶ téglalap ugyanolyan alakú mint az eredeti.


Megoldás:

Mindegyik négyszögben a szemben lev® oldalak párhuzamosak (paralelogrammák).

Az A-nak kétszeresére nagyított képe a H.

A B és a C négyszögnek mind a négy oldala egyenl® (rombuszok), és a megfelel® szö-

geik megegyeznek.

A D és az F azonos alakúak és azonos méret¶ek (egybevágó paralelogrammák), csak

az elhelyezésük más.

Például a D és a H nem ugyanolyan alakú. Egyik oldaluk hosszúsága megegyezik, a

másiké nem. (Megfelel® oldalaik aránya nem egyezik meg, az egyik �megnyúltabb".)

Az E és a G síkidomok (nem hasonló) téglalapok. A szomszédos oldalak mer®legesek.



Alaprajzok, térképek




kezdeményez®képesség kreativitás metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslá-

tás pontosság csoportos páros egyéni munkavégzések.

Óra: 128{129. 143{144. 159{160.

A téma szorosan kapcsolódik a környezetismerethez és a technikához. A helyi tan-

tervben illetve a tanmenetben is hangoljuk össze a különböz® tantárgyakban ennek az

anyagrésznek a feldolgozását. Ha a fenti tantárgyak valamelyikével esetleg a testneve-

léssel is több órás összevont foglalkozást tartunk akkor lehet®ségünk nyílik arra hogy

kimozduljunk a tanteremb®l. Térképezzük fel az iskolaudvart vagy egy közeli parkot; ki-

rándulás túra alkalmával tájékozódjanak a tanulók a terepen térkép segítségével ismerjék

meg a világtájakat.

Tk. 179/Figyeld meg!: Egy szoba alaprajzát mutatjuk be. Ennek kapcsán beszéljük meg

mit jelent az alaprajz térképvázlat térkép. Készítsünk minél több alaprajzot térképet ezzel

is gyakorolva a becslést megmérést kimérést.

Tk. 180/1. feladat: A feladat lehet®séget teremt a magyar illetve az idegen nyelvvel való

koncentrációra. Meséljenek a szobájukról.

Megoldás: a) Otthon készítsék el a tanulók a szobájuk alaprajzát.

Tk. 180/2. feladat: Világtájak segítségével tájékozódunk a térképen. Beszéljük meg a

kicsinyítés mértékét.

Megoldás: a) 2 m a valóságban.

b) Északi irányban van a kert bejárata.

c) Rajzon: Valóságban:

Hossza: 55 mm 11 m

Szélessége: 25 mm 5 m

d) Dél 2 m

Nyugat: 6 m

Dél: 14 m

Kelet: 4 m

Tk. 180/3. feladat: Világtájak segítségével tájékozódunk a térképen. Beszéljük meg a

kicsinyítés mértékét.

Megoldás: Kimegy a kertb®l a süni.

Gy. 175/1. feladat: Egy iskolának és környékének térképvázlatán kell tájékozódni a ta-

nulóknak. Hasonló térképvázlatot készítsenek a tanulók a saját iskolájuk és annak kör-

nyékér®l.



333

Megoldás: a)A téglalap 1 2 3 4 5 6

A rajzon hosszúsága (mm) 128 59 20 46 10 80

szélessége (mm) 80 20 15 30 10 30

A valóságban hosszúsága (m) 128 59 20 46 10 80

szélessége (m) 80 20 15 30 10 30

b) A sportudvar távolsága a tornateremt®l a rajzon: 10 mm

a valóságban: 10 m.

Gy. 176/2. feladat: A gyermek környezetében található tárgyak alaprajza nézeti rajza.

Az alaprajzról a nézeti rajzról a tárgy felismerése.

Megoldás: Be kell rendezni a szobát a bútorokkal. Beszéljük meg mire kell ügyelnünk

a bútorok elhelyezésekor.

c) Ruhásszekrény: 60 cm és 120 cm

Íróasztal: 80 cm és 140 cm

Szék: 40 cm és 40 cm

Könyvszekrény: 80 cm és 20 cm

Ágy: 80 cm és 160 cm

Szoba: 360 cm és 240 cm

Ablak: 100 cm

Ajtó: 80 cm

Kerület





csoportos páros egyéni munkavégzések.

Óra: 130{131. 145{146. 161{162.

Tényleges mérések alapján minél több sokszögnek (asztallapnak teremnek képnek ud-

varnak) határozzák meg a kerületét a tanulók hogy kell®en megszilárduljon ez a fogalom.

Az alsó tagozatban nem célunk képletek tanítása.

A kerületszámítással kapcsolatos feladatok megoldása során az írásbeli m¶veleteket is

gyakoroljuk.

Tk. 181/1. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a sokszög kerületének kiszámítá-

sára.



Tk. 181/Figyeld meg!: Figyeltessük meg hogy ha nagyobb az egység akkor arányosan

kisebb a mér®szám.

Tk. 181/1. feladat: Sokszög kerületének kiszámítása.

Megoldás: a) K = 18 + 53 + 18 + 53K = 144m

K = 2 � 18 + 2 � 53

K = (18 + 53) � 2

144 m hosszú a téglalap alakú kert kerítése.

b) K = 32 + 32 + 32 + 32K = 128m

K = 4 � 32

128 m hosszú a négyzet alakú kert kerülete.

c) K = 25 + 60 + 75K = 160m

160 m hosszú a háromszög alakú kert kerülete.

Tk. 182/2. feladat: Téglalap kerületének kiszámítása.

Megoldás: a) Hosszúsága: 65 mm

Szélessége: 40 mm

b) K = (65 + 40) � 2

K = 210mm

210 mm utat tesz meg a hangya.

Tk. 182/3. feladat: Alaprajzról valóságos méretet majd kerületet kell meghatározni.

Megoldás: a) Tizedrészére kicsinyítettük a képet.

b) Hosszúsága: 46 cm

Szélessége: 33 cm

c) K = (46 + 33) � 2

K = 158mm

158 mm hosszú zöld vonal keríti körül az ábrát.

d) 158 cm hosszú léc szükséges a kép keretének elkészítéséhez.


Megoldás: a) Az alaprajzon a szélesség 32 mm a hosszúság 50 mm a valóságban a

szélesség 32 dm a hosszúság 50 dm.

b) Az alaprajzon az ajtó 10 mm az ablak 10 mm széles a valóságban az

ajtó 10 dm az ablak 10 dm széles.

c) Az ajtóban nem raknak szeg®lécet az ablak alatt igen.

h = 32 + 50 + 32 + (50 { 10)

h = 154dm

154 dm = 15 m 4 dm szeg®lécet használtak fel.



335


Megoldás: a = 45 dm b = 35mm

K = (35 + 45) � 2

K = 160dm

160 dm = 16 m hosszú fal határolja a medencét.

Gy. 177/1. feladat: Sokszög kerületének kiszámítása alkalmi mértékegységgel. Figyel-

tessük meg a mér®szám és a mértékegység közötti kapcsolatot.

Megoldás: a) K = 14 K = 7 K = 2

b) K = 20 K = 10 K = 5

c) K = 12 K = 6 K = 4

K = 3 K = 2

Gy. 177/2. feladat: A sokszögek oldalait sorban mérjük rá a félegyenesre majd határoz-

zuk meg a kerületet.

Megoldás: a) K = 97 mm = 9 cm 7 mm

b) K = 80 mm = 8 cm 0 mm

c) K = 72 mm = 7 cm 2 mm

Terület





csoportos páros egyéni munkavégzések.

Óra: 132{133. 147{148. 163{165.

Tevékenységre alapozva szemléletet fejlesztve készítjük el® a területszámítást. Minél

több sokszöget fedessünk le különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Hívjuk föl a tanulók

�gyelmét arra hogy egy rétegben és hézagmentesen fedjék le az egységekkel az alak-

zatokat.

Vetessük észre hogy bizonyos esetekben könnyebben meg tudjuk határozni a területet

ha átdaraboljuk a síkidomot.

Figyeltessük meg hasonlítsuk össze hasonló síkidomok kerületét illetve területét.

Tk. 183/1. feladat: Négyszögek lefedése lapokkal a terület fogalmának el®készítése.

Megoldás: a) 15 tégla > b) 14 tégla



Tk. 183/2. feladat: Négyszögek lefedése lapokkal a terület fogalmának el®készítése.

Megoldás: Frédi: 7 � 6 = 42

Gréti: 8 � 5 = 40

Frédi használt fel több négyzetlapot.

Frédi terít®jével fedhet® le nagyobb terület.

Tk. 183/3. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keressenek

a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.

Ugyanazt a területet mérve nagyobb mértékegységgel kisebb mér®számot kapunk. (El®-

készítés: A mértékegység és a mér®szám között fordított arányosság áll fenn ha a

mennyiség változatlan.)

Ugyanazzal a mértékegységgel nagyobb területet mérve nagyobb mér®számot kapunk.

(El®készítés: A mennyiség és a mér®szám között egyenes arányosság van ha azonos

mértékegységgel mérünk.)

Megoldás: a) 48 darab

b) 24 darab

c) 12 darab

Tk. 184/1. kidolgozott mintapélda: Példát mutatunk a téglalap területének kiszámítá-

sára. A módszerrel már találkoztak a tanulók (például a szorzótáblák tanulásánál).

Tk. 184/Figyeld meg!: A terület fogalmának értelmezése.

Tk. 184/4. feladat: Területszámítás el®készítése tevékenységhez kapcsolva. Ha szük-

séges rajzolják le a csempéket a tanulók.

Megoldás: Hosszúsága: 8 dm

Szélessége: 6 dm

T = 8 � 6

T = 48

48 csempével fedték le a falrészt.



Megoldás: T = 8 � 12 = 96 csempe;

sz = 80 cm,

h = 120 cm.



Megoldás: A falrész négyzet alakú. T = 7 � 7 = 49 csempe;

sz = 105 cm

h = 105 cm.



337



Megoldás: A betonlapok 40 sorba rakhatók.

Egy sorba 40 betonlap fér.

1600 betonlappal fedhet® le az udvar.

Tk. 185/8. feladat: Sokszögek kerületének területének meghatározása.

Megoldás: K1 = 12 cm, K2 = 14 cm, K3 = 14 cm, K4 = 14 cm.

T1 = 8 , T2 = 8 , T3 = 8 , T4 = 6 .

K5 = 14 cm, K6 = 8 cm, K7 = 22 cm, K8 = 12 cm.

T5 = 8 , T6 = 3 , T7 = 24 , T8 = 5 .

Tk. 185/9. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Figyel-

tessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.

Megoldás: Ka = 6 , Kb= 12 , Kc = 18 , K

d= 24 , Ke = 30 .

Ta = 2 , Tb= 8 , Tc = 18 , T

d= 32 , Te = 50 .

Tk. 186/10. feladat: Hasonló síkidomok kerületének területének összehasonlítása. Fi-

gyeltessük meg hogy az oldalak változtatásával hogyan változik a kerület illetve a terület.


d= 20 .

Ta = 3 , Tb= 12 , Tc = 27 , T

d= 48 .




d= 32 , Ke = 40 .

Ta = 3 , Tb= 12 , Tc = 27 , T

d= 48 , Te = 75 .

Tk. 186/12. feladat: Beszéljük meg hogy a hézagmentes lefedéshez esetleg fel kell da-

rabolnunk néhány járólapot.

Megoldás: a) 96 területegység;

b) 48 területegység;

c) 32 területegység;

d) 16 területegység.

a fele b

a harmada c

a nyolcada d

b harmada d

c fele d



Tk. 187/13. feladat: Területek összehasonlítása. Figyeltessük meg hogy átdarabolva

nem változik meg az alakzat területe.

Megoldás: A három alakzat területe megegyezik. Az alakzatok átdarabolt változatai

egymásnak.

Tk. 187/14. feladat: Egyes alakzatok többféleképpen is átdarabolhatók téglalappá. Az

utolsó alakzat az els®höz hasonlóan darabolható.

Megoldás:

T = 8 te T = 16 te T = 16 te T = 8 te T = 8 te



Megoldás: A terület mindig a kétszeresére n®. (1; 2; 4; 8; 16; 32 .)

Gy. 178/1. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keresse-

nek a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.

Megoldás: a) 24 12 16 32

b) 12 6 8 16

c) 6 3 4 8

d) 6 3 6 3

4 8 4 8

Gy. 179/2. feladat: Sokszögek lefedése különböz® alakú és méret¶ lapokkal. Keresse-

nek a tanulók összefüggést a mér®szám és a mértékegység között.

Megoldás: a) b) c) d) e) f) g)

16 24 32 24 32 32 40

Gy. 179/3. feladat: Figyeljük meg hogy többféleképpen feldarabolva az alakzatot a te-

rülete nem változik.



339

Megoldás:

a) ekkora: b) ekkora: c) ekkora:

60 db 30 db 15 db



Megoldás:

Hány kis négyzet a területe a négyzetnek? 36

Hány kis négyzet a területe a téglalapnak? 36



Megoldás:

T = 1 6



1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

4

4

1

1

2

23

3

4

4

5

5T = 2 4



Megoldás:

1

1

2

2

3

3

4

4



Megoldás:

a) b) b) c)

d) e)

A d alakzat nem alakítható át a kívánt hatszöggé.

Gy. 181/8. feladat: A feladatok megoldása során átismételhet®k a legfontosabb geomet-

riai fogalmak.

Megoldás: a) K = 8 egység b) K = 16 egység c) K = 32 egység

T = 3 egység T = 12 egység T = 48 egység



341

A hosszúság mértékegysége felére majd negyedére csökken ezért a

kerület mér®száma 2-szeresére majd 4-szeresére n®.

A terület mértékegysége negyedére majd tizenhatodára csökken ezért

a kerület mér®száma 4-szeresére majd 16-szorosára n®.

Gy. 181/9. feladat: Adott terület¶ téglalapok el®állítása vizsgálata.

Megoldás: a) 1-szer 6-os, K = 14 egység, 2-szer 3-as, K = 10 egység.

b) 1-szer 24-es, K = 50 egység, 2-szer 12-es, K = 28 egység,

3-szor 8-as, K = 22 egység, 4-szer 6-os, K = 20 egység.

Ugyanolyan alakú: az 1-szer 6-os és a 2-szer 12-es, illetve a 2-szer 3-as

és a 4-szer 6-os téglalap.

Gy. 181/10. feladat: Adott kerület¶ téglalapok el®állítása vizsgálata.

Megoldás: a) 1-szer 5-ös, T = 5 egység, 2-szer 4-es, T = 8 egység.

3-szor 3-as, T = 9 egység.

b) 1-szer 11-es, T = 11 egység, 2-szer 10-es, T = 20 egység,

3-szor 9-es, T = 27 egység, 4-szer 8-as, T = 32 egység,

5-ször 7-es, T = 35 egység, 6-szor 6-os, T = 36 egység.

Ugyanolyan alakú: az 1-szer 5-ös és a 2-szer 10-es, a 2-szer 4-es és a

4-szer 8-as, illetve a 3-szor 3-as és a 6-szor 6-os téglalap.

A megfelel® téglalapok esetén 2-szeres nagyításról van szó, ezért a na-

gyobb téglalap területe mindig 4-szerese a kisebbének.

Az azonos kerület¶ téglalapok közül a négyzet területe a legnagyobb.

Testek építése, ábrázolása




kezdeményez®képesség kreativitás metakogníció meg�gyel®képesség összefüggéslá-

tás pontosság csoportos páros egyéni munkavégzések.

Óra: 134{135. 149{150. 166{168.

A térszemlélet fejlesztése érdekében minél többször építsenek különböz® testeket a ta-

nulók. Készítsék el ezek alaprajzát. Értelmezzenek nézeti rajzokat építsék meg a hozzá-

juk tartozó testeket.

Tk. 188/Figyeld meg!: Példát mutatunk egy test elöl-, felül- és oldalnézeti képér®l.

Tk. 188/1. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék

meg az alaprajzukat.



Mindegyik test alaprajza: A testek 8; 12; 11 egységkockából építhet®k fel.


meg az alaprajzukat elöl-, felül- és oldalnézetüket.

Megoldás: Alaprajz: Elölnézet: Felülnézet: Oldalnézet:

a) 1

2

1

1

2

1

8 kocka

b) 2

2

2

1

1

1

9 kocka

c) 2

1

1

1

1

1

7 kocka



Megoldás: a) b) c)



Megoldás: Elölnézet: Felülnézet: Oldalnézet:

Tk. 189/5. feladat: A gyermek környezetében található tárgyak alaprajza nézeti rajza.

Az alaprajzról a nézeti rajzról a tárgy felismerése.

Megoldás: a) Magasság: 6 dm

Szélesség: 8 dm

Mélység: 4 dm

Gy. 182/1. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék




343

Megoldás:

a)2 2 1

1 1 1

1 1 1

b)3 2 1

2 1 1

1 1 1

c)3 2 2

2 1 1

1 1

Gy. 182/2. feladat: Építsék meg a tanulók csoportmunkában a testeket és úgy �gyeljék

meg az alaprajzukat felül-, elöl- és oldalnézetüket.

Felülnézet Alaprajz Elölnézet Oldalnézet

a)2 2

1 1

b)2 1

1 2

c)2 1 1

1 1

d)1

1 2 1

1



Ismétl® feladatok


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöve-

gértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-


kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-

tív és önálló munkavégzés.

Óra: 136{138. 151{154. 169{172.

Az átlagos képesség¶ osztályokban a Hányféleképpen?, a Biztos, lehetséges, lehetetlen

és a Kitekintés 10 000-ig cím¶ fejezetek anyagának feldolgozása el®tt célszer¶ össze-

foglalni a számtan, algebra, illetve a függvények, sorozatok témakörben tanultakat. Tár-

juk fel és küszöböljük ki az esetleges hiányosságokat. Az átlagosnál jobb képesség¶

osztályokban el®ször dolgozzuk fel az említett három fejezetet, így magasabb szinten

rendszerezhetjük, foglalhatjuk össze a tanultakat.

Tk. 194/1. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,

rendezésük különböz® szempontok szerint. Tudatosítsuk a számjegyek �alaki-", �helyi-"

és �tényleges értékének" a fogalmát.

Megoldás: a) 1352 b) 1205 c) 1033 d) 1140




Megoldás: 1805 1805 1805 1805

Alakiérték 8 5 1 0

Helyiérték sz e E t

Tényleges 800 5 1000 0




Megoldás: a) 615 b) 901 c) 1650

d) 207 e) 1010 f) 1101




Megoldás: a) 425 452 1402

b) 190 1009 911

c) 742 714 1074



345




Megoldás: a) 1038 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 3 � 10 + 8 � 1 =

= 1000 + 30 + 8 = 1 E + 0 sz + 3 t + 8 e =

= ezerharmincnyolc

1308 = 1 � 1000 + 3 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 =

= 1000 + 300 + 8 = 1 E + 3 sz + 0 t + 8 e =

= ezerháromszáznyolc

218 = 2 � 100 + 1 � 10 + 8 � 1 =

= 200 + 10 + 8 = 2 sz + 1 t + 8 e =

= kétszáztizennyolc

b) 1950 = 1 � 1000 + 9 � 100 + 5 � 10 =

= 1000 + 900 + 50 = 1 E + 9 sz + 5 t =

= ezerkilencszázötven

195 = 1 � 100 + 9 � 10 + 5 � 1 =

= 100 + 90 + 5 = 1 sz + 9 t + 5 e =

= százkilencvenöt

1095 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 9 � 10 + 5 � 1 =

= 1000 + 90 + 5 = 1 E + 0 sz + 9 t + 5 e =

= ezerkilencvenöt

c) 1009 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 9 � 1 =

= 1000 + 9 = 1 E + 0 sz + 0 t + 9 e =

= ezerkilenc

1900 = 1 � 1000 + 9 � 100 + 0 � 10 + 0 � 1 =

= 1000 + 900 = 1 E + 9 sz + 0 t + 0 e =

= ezerkilencszáz

1090 = 1 � 1000 + 0 � 100 + 9 � 10 + 0 � 1 =

= 1000 + 90 = 1 E + 0 sz + 9 t + 0 e =

= ezerkilencven

Tk. 195/6. feladat: Számok rendezése tulajdonságaik szerint.

Elevenítsük fel a �háromjegy¶", �négyjegy¶", �páros", �osztható 10-zel" fogalmakról tanul-

takat.

Megoldás: a) 0 < 54 < 100 < 630 < 1002 < 1500

b) 807 > 630 > 100

c) 0 < 100 < 630 < 1500

Tk. 195/7. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Számok nagy-

sági viszonyainak meghatározása, rendezésük adott szempont szerint.



Kiegészíthetjük a feladatokat az egyes, tízes, százas, páros, páratlan számszomszédok

felsoroltatásával.

Megoldás: a = 486 b = 504 c = 524

d = 260 e = 420 f = 580 g = 740

h = 410 i = 460 j = 510

k = 512 l = 548 m = 588

Tk. 195/8. feladat: Ismételjük át a számok szomszédairól, a kerekítésr®l tanultakat.

Megoldás: Tízes szomszéd Százas szomszéd Kerekítés

kisebb nagyobb kisebb nagyobb tízesre százas

348 340 350 300 400 350 300

45 40 50 0 100 50 0

997 990 1000 900 1000 1000 1000

1909 1900 1910 1900 2000 1910 1900

1990 1980 2000 1900 2000 1990 2000

Tk. 195/9. feladat: Ismételjük át a számok kerekítésér®l tanultakat.

Megoldás: 4; 36; 50; 95; 172; 600; 999; 1050; 1500; 1846.

a) 0; 40; 50; 100; 170; 600; 1000; 1050; 1500; 1850.

b) 0; 0; 100; 100; 200; 600; 1000; 1100; 1500; 1800.

c) 0; 0; 0; 0; 0; 1000; 1000; 1000; 2000; 2000.

Tk. 199/22. feladat: A számok bontásáról, képzésér®l tanultak gyakorlása.

Megoldás: 920

900

1002

1290

902 1902 1020

2000 1000 1029

1920 1009



347

Tk. 200/23. feladat: Az összeadás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti

tulajdonságok felelevenítése. Írásbeli összeadás (becslés, számolás, ellen®rzés).

Megoldás: 456+363820

Tk. 200/24. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-

donságok felelevenítése.

Írásbeli kivonás elvégzése (becslés, számolás, ellen®rzés).

Megoldás: 723{435288



Írásbeli kivonás elvégzése (becslés, számolás, ellen®rzés).

Megoldás: 527{333194

Tk. 200/26. feladat: Figyeljük meg a tagok, illetve az összeg változásait.

Megoldás: ö = 476 + 859 476+8591335

ö = 1335 Ft

1335 Ft-ja van Bélának.

a) 200 Ft-tal több pénze, 1525 Ft-ja lenne.

476 + 859 + 200

b) 300 Ft-tal kevesebb, 1035 Ft-ja lenne.

476 + (859 - 300)

c) 1335 Ft-ja lenne, mert nem változna.

(476 + 500) + (859 - 500)



Megoldás: a) 947+7491696

b) 947{749198

Az összeg 1696. A különbség 198.

Tk. 201/28. feladat: Figyeljük meg a kisebbítend®, kivonandó, illetve különbség változá-

sait.

Megoldás: k = 1325 - 458 1325{ 458

867l = 867 Ft

867 Ft-ja maradt Dezs®nek.



a) 200 Ft-tal kevesebb, 667 Ft-ja maradna.

(1325 - 200) - 458

b) 200 Ft-tal több, 1067 Ft-ja maradna.

1325 - (458 - 200)

c) 300 Ft-tal több, 1167 Ft-ja maradna.

(1325 + 300) - 458

d) 300 Ft-tal kevesebb, 567 Ft-ja maradna.

1325 - (458 + 300)

e) 867 Ft-ja maradna.

(1325 + 400) - (458 + 400)

Tk. 201/29. feladat: Szöveggel adott egyenl®tlenség megoldása, majd az egyenl®tlen-

séghez kapcsolódó állítások logikai értékének eldöntése.

Megoldás: x + 900 < 1000; x < 100.

a) Igaz. b) Hamis.

c) Igaz. d) Igaz.

Tk. 201/30. feladat: A feladatot próbálgatással oldják meg a tanulók. Több megoldás

lehetséges.

Megoldás: a) 105 + 348 = 453,

145 + 308 = 453,

108 + 345 = 453,

148 + 305 = 453.

b) 841 + 530 = 1371,

840 + 531 = 1371,

831 + 540 = 1371,

830 + 541 = 1371.

A c) és a d) feladat megoldáshalmazának uniója kiadja az összes lehet-

séges esetet.

Hat számkártyából kell hármat-hármat kiválasztani úgy, hogy ne legyen is-

métl®dés.

Háromjegy¶ szám nem kezd®dhet 0-val. Az els® szám százas helyiértékére

5-féleképpen, a második szám százas helyiértékére 4-féleképpen választ-

hatunk. Az els® szám tízes helyiértékére 4-féleképpen, egyes helyiértékére

3-féleképpen, a második szám tízes helyiértékére 2-féleképpen, egyes he-

lyiértékére 1-féleképpen választhatunk számot.

5 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 4 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 480 eset van.

c) 301 + 845 = 1146 341 + 805 = 1146

305 + 841 = 1146 345 + 801 = 1146

501 + 834 = 1335 531 + 804 = 1335



349

504 + 831 = 1335 534 + 801 = 1335

304 + 851 = 1155 354 + 801 = 1155

301 + 854 = 1155 351 + 804 = 1155

d) 103 + 458 = 561 153 + 408 = 561

108 + 453 = 561 158 + 403 = 561

104 + 358 = 462 154 + 308 = 462

108 + 354 = 462 158 + 304 = 462

105 + 348 = 453 145 + 308 = 453

108 + 345 = 453 148 + 305 = 453

Tk. 201/31. feladat: A feladatot tervszer¶ próbálgatással oldják meg a tanulók. Több

megoldás lehetséges.

Megoldás:

a) A százasok helyén álló számjegyek különbsége a lehet® legkisebb, 1 legyen. 4 { 3

vagy 5 { 4 lehet. Ha a tízesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel,

mint a kisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a különbség két számjegy¶

lesz. Ha az egyesek helyén a kivonandóban nagyobb számjegy szerepel, mint a

kisebbítend®ben, vagy a kisebbítend®ben 0 áll, a tízesátlépés miatt 1-gyel csökken

a tízesek száma.

401 { 385 = 16

b) Két szám különbsége akkor a legnagyobb, ha a kisebbítend® a lehet® legnagyobb,

a kivonandó a lehet® legkisebb.

854 { 103 = 751

c) Nem követeljük meg minden tanulótól az összes megoldást. Az összes megoldás

megkeresésére jó stratégia lehet a következ®: A kisebbítend® legyen a lehet® leg-

nagyobb, a kivonandó a maradék három kártyából képzett szám. A kisebbítend®t

fokozatosan csökkentjük, egészen addig, amíg a feltételnek eleget tesz a különb-

ség.

854 { 103 = 751 , 854 { 130 = 724 , 854 { 310 = 544 , 854 { 301 = 553;

853 { 104 = 749 , 853 { 140 = 713; 851 { 304 = 547 , 851 { 340 = 511;

850 { 134 = 716 , 850 { 143 = 707 , 850 { 314 = 536 , 850 { 341 = 509;

845 { 103 = 742 , 845 { 130 = 715 , 845 { 301 = 544 , 845 { 310 = 535;

843 { 105 = 738 , 843 { 150 = 693; 841 { 305 = 536; 840 { 135 = 705 ,

840 { 153 = 687 , 840 { 315 = 525;

835 { 104 = 731 , 835 { 140 = 695;

834 { 105 = 729 , 834 { 150 = 684;

830 { 145 = 685 , 830 { 154 = 676;

815 { 304 = 511; 814 { 305 = 509;

805 { 134 = 671 , 805 { 143 = 662;

804 { 135 = 669 , 804 { 153 = 651;

803 { 145 = 658 , 803 { 154 = 649:



d) Mivel a megoldást a természetes számok halmazán keressük, a kisebbítend®nek

nagyobbnak kell lennie a kivonandónál.

853 { 401 = 452 , 853 { 410 = 443;

851 { 403 = 448 , 851 { 430 = 421;

850 { 431 = 419 , 850 { 412 = 438;

843 { 501 = 342 , 843 { 510 = 333;

841 { 305 = 536 , 841 { 350 = 491 , 841 { 503 = 338 , 841 { 530 = 311;

840 { 351 = 489 , 840 { 513 = 327 , 840 { 531 = 309;

835 { 401 = 434 , 835 { 410 = 425;

834 { 501 = 333 , 834 { 510 = 324;

831 { 405 = 426 , 831 { 450 = 381 , 831 { 504 = 327 , 831 { 540 = 291;

830 { 415 = 415 , 830 { 451 = 379 , 830 { 514 = 316 , 830 { 541 = 289;

815 { 340 = 475 , 815 { 403 = 412 , 815 { 430 = 385;

814 { 350 = 464 , 814 { 503 = 311 , 814 { 530 = 284;

813 { 405 = 408 , 813 { 450 = 363 , 813 { 504 = 309 , 813 { 540 = 273;

810 { 345 = 465 , 810 { 354 = 456 , 810 { 435 = 375 , 810 { 453 = 357 ,

810 { 534 = 276 , 810 { 543 = 267;

805 { 314 = 491 , 805 { 341 = 464 , 805 { 413 = 392 , 805 { 431 = 374;

804 { 315 = 489 , 804 { 351 = 453 , 804 { 513 = 291 , 804 { 531 = 273;

803 { 415 = 388 , 803 { 451 = 352 , 803 { 514 = 289 , 803 { 541 = 262;

801 { 345 = 456 , 801 { 354 = 447 , 801 { 435 = 366 , 801 { 453 = 348 ,

801 { 534 = 267 , 801 { 543 = 258;

584 { 103 = 481 , 584 { 130 = 454 , 584 { 301 = 283 , 584 { 310 = 274;

583 { 104 = 479 , 583 { 140 = 443 , 583 { 401 = 182 , 583 { 410 = 173;

581 { 304 = 277 , 581 { 340 = 241 , 581 { 403 = 178 , 581 { 430 = 151;

580 { 134 = 446 , 580 { 143 = 437 , 580 { 314 = 266 , 580 { 341 = 239 ,

580 { 413 = 167 , 580 { 431 = 149;

548 { 103 = 445 , 548 { 130 = 418 , 548 { 301 = 247 , 548 { 310 = 238;

543 { 108 = 435 , 543 { 180 = 363;

541 { 308 = 233 , 541 { 380 = 161;

540 { 138 = 402 , 540 { 183 = 357 , 540 { 318 = 222 , 540 { 381 = 159;

538 { 104 = 434 , 538 { 140 = 398 , 538 { 401 = 137 , 538 { 410 = 128;

534 { 108 = 426 , 534 { 180 = 354;

531 { 408 = 123 , 531 { 480 = 51;

530 { 148 = 382 , 530 { 184 = 346 , 530 { 418 = 112 , 530 { 481 = 49;

518 { 304 = 214 , 518 { 340 = 178 , 518 { 403 = 115 , 518 { 430 = 88;

514 { 308 = 206 , 514 { 380 = 134;

513 { 408 = 105 , 513 { 480 = 33;

510 { 348 = 162 , 510 { 384 = 126 , 510 { 438 = 72 , 510 { 483 = 27;

508 { 134 = 374 , 508 { 143 = 365 , 508 { 314 = 194 , 508 { 341 = 167 ,



351

508 { 413 = 95 , 508 { 431 = 77;

504 { 138 = 366 , 504 { 183 = 321 , 504 { 318 = 186 , 504 { 381 = 123;

503 { 148 = 355 , 503 { 184 = 319 , 503 { 418 = 85 , 503 { 481 = 22;

501 { 348 = 153 , 501 { 384 = 117 , 501 { 438 = 63 , 501 { 483 = 18;

485 { 103 = 382 , 485 { 130 = 355 , 485 { 301 = 184 , 485 { 310 = 175;

483 { 105 = 378 , 483 { 150 = 333;

481 { 305 = 176 , 481 { 350 = 131;

480 { 135 = 345 , 480 { 153 = 327 , 480 { 315 = 165 , 480 { 351 = 129;

458 { 103 = 355 , 458 { 130 = 328 , 458 { 301 = 157 , 458 { 310 = 148;

453 { 108 = 345 , 453 { 180 = 273;

451 { 308 = 143 , 451 { 380 = 71;

450 { 138 = 312 , 450 { 183 = 267 , 450 { 318 = 132 , 450 { 381 = 69;

438 { 105 = 333 , 438 { 150 = 288;

435 { 108 = 327 , 435 { 180 = 255;

430 { 158 = 272 , 430 { 185 = 245;

418 { 305 = 113 , 418 { 350 = 68;

415 { 308 = 107 , 415 { 380 = 35;

410 { 358 = 52 , 410 { 385 = 25;

385 { 104 = 281 , 385 { 140 = 245;

384 { 105 = 279 , 384 { 150 = 234;

380 { 145 = 235 , 380 { 154 = 226;

358 { 104 = 254 , 358 { 140 = 218;

354 { 108 = 246 , 354 { 180 = 174;

350 { 148 = 202 , 350 { 184 = 166;

348 { 105 = 243 , 348 { 150 = 198;

345 { 108 = 237 , 345 { 180 = 165;

340 { 158 = 182 , 340 { 185 = 155;

308 { 145 = 163 , 308 { 154 = 154;

305 { 148 = 157 , 305 { 184 = 121;

304 { 158 = 146 , 304 { 185 = 119:

Tk. 202/32. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak értelmezése. A szóbeli

és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.

Megoldás: 452 � 3

1356

Tk. 202/33. feladat: Az osztásnak mint a szorzás fordított m¶veletének értelmezése. A

szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.



Megoldás: 736 : 4 = 184 184 � 4

73633160

184 palántát ültetett egy sorba a kertész.

Tk. 202/34. feladat: Az osztás értelmezése, a m¶velet elvégzése, ellen®rzése. A szóbeli


Megoldás: a) Hányados: 12, Maradék: 2;

b) Hányados: 54, Maradék: 4;

c) Hányados: 106, Maradék: 4.

Tk. 202/35. feladat: Az összeadás, kivonás, szorzás, osztás értelmezése, a m¶velet

elvégzése, ellen®rzése. A szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.

Megoldás: a) a = 378 + 596 a = 974

b) b = 1012 { 658 b = 354

c) c = 456 � 3 c = 1368

d) d = 1627 : 4 d = 406, és marad 3

Tk. 202/36. feladat: Az összeadás, kivonás értelmezése, a m¶velet becslése kerekített

értékekkel történ® számolással.

Megoldás: a) 400 + 700 = 1100,

b) 1550 { 550 = 1000.

Tk. 203/37. feladat: Idézzük föl a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a feladatsor megoldása

el®tt.

Megoldás: a) 956

1:

{ 78| {z }

878

2:

+ 34 = 912 (956

1:

{ 78)| {z }

878

2:

+ 34 = 912

956

2:

{ (78

1:

+ 34)| {z }

112

= 844

b) 612

1:

{ 95| {z }

517

2:

{ 56 = 461 (612

1:

{ 95)| {z }

517

2:

{ 56 = 461

612

2:

{ (95

1:

{ 56)| {z }

39

= 573



353

c) 128

1:

: 4| {z }

32

2:

� 2 = 6461 (128

1:

: 4)| {z }

32

2:

� 2 = 6461

128

2:

: (4

1:

� 2)| {z }

8

= 16

d) 492

2:

{ 108

1:

� 4| {z }

432

= 60 492

1:

� 4| {z }

1968

2:

{ 108 = 1860

(492

1:

{ 108)| {z }

384

2:

� 4 = 1536

e) 792

1:

: 6| {z }

132

2:

+ 72 = 204 792

2:

+ 72

1:

: 6| {z }

12

= 804

(792

1:

+ 72)| {z }

864

2:

: 6 = 144

f) 240

1:

: 3| {z }

80

2:

+ 2 = 82 240

1:

: 2| {z }

120

2:

+ 3 = 123

240

2:

: (2

1:

+ 3)| {z }

5

= 48

Tk. 202/38. feladat: Idézzük föl a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a feladatsor megoldása

el®tt.

Megoldás: a) Igaz.

b) Hamis.

c) Hamis.

d) Igaz.

Tk. 203/39. feladat: Összetett szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fej-

lesztésére.

Megoldás: a) Adatok: sz = 516, sz >negyede

V, v >

harmadaF, m = ?



Terv: m = sz { V { F m = 516 { 516 : 4 { 516 : 3

Becslés: 200

Számolás: m = 516 { 129 { 172 m = 215

Ellen®rzés: 215 + 129 + 172 = 516

Válasz: 215 szalvétája marad Lillának.

b) Adatok: 5 autó 775 Ft

6 autó x Ft x = ?

Terv: x = 775 : 5 � 6 x = 155 � 6

Becslés: 1000 Ft


Ellen®rzés: 775 + 775 : 5 = 930

Válasz: 930 Ft-ot �zetett Nándi.

c) (954 + 768)| {z }

1722

: 3 = a >

16(954 { 768)| {z }

186

�3 = b

a = 547 b = 558

Gy. 189/1. feladat: Számok írása olvasása, bontása többféleképpen, összehasonlításuk,



Megoldás: T E sz t e Számmal

4 százas + 2 tízes + 7 egyes 4 2 7 427

1 ezres + 3 tízes + 5 egyes 1 0 3 5 1035

1 ezres + 6 százas + 4 tízes 1 6 4 0 1640

16 százas + 61 egyes 1 6 6 1 1661




Megoldás: a) T E sz t e Számmal

6 � 100 + 5 � 10 + 9 � 1 6 5 9 659

1 � 1000 + 4 � 100 + 0 � 10 + 2 � 1 1 4 0 2 1402

1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 6 � 1 1 0 7 6 1076

1 � 1000 + 9 � 100 + 8 � 10 + 0 � 1 1 9 8 0 1980

1 � 1000 + 0 � 100 + 6 � 10 + 0 � 1 1 0 6 0 1060



355

b) 800 + 60 + 9 8 6 9 869

1000 + 500 + 4 1 5 0 4 1504

1000 + 10 + 8 1 0 1 8 1018

1000 + 800 + 50 1 8 5 0 1850

1000 + 1 1 0 0 1 1001




T E sz t e Számmal

Kilencszázkilenc 9 0 9 909

Ezerötvenegy 1 0 5 1 1051

Ezerhatszáznégy 1 6 0 4 1604

Ezerkilenc 1 0 0 9 1009

Ezerhétszázötvennyolc 1 7 5 8 1758

Kétezer 2 0 0 0 2000

Gy. 189/4. feladat: Számok nagysági viszonyainak elemzése.

Megoldás: a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .

Gy. 189/5. feladat: Számok nagysági viszonyainak elemzése.

Megoldás: a) 9 8 7 9 8 7 , b) 4 5 4 5 3 2 , c) 1 1 0 0 3 4 5 .

Gy. 189/6. feladat: Számok képzése adott szempont szerint.

Megoldás: a) A számjegyek összege 3: 102; 111; 120; 201; 210; 300.

Gondoljuk át, mely számok összege lehet 3: 1+1+1 = 3; 1+2+0 = 3;

0 + 0 + 3 = 3. Ezekb®l a számjegyekb®l állítjuk el® a megoldáshalmazt.

b) A számjegyek szorzata 4: 114; 122; 141; 212; 221; 411.

Három szám szorzataként a 4-et a következ®féleképpen írhatjuk fel: 1 �

1 � 4 = 4; 1 � 2 � 2 = 4. Ezek permutációja adja a megoldást.

c) A számjegyek összege 5: 104; 113; 122; 131; 140; 203; 212; 221;

230; 302; 311; 320; 401; 410; 500.

0 + 1 + 4 = 5; 0 + 2 + 3 = 5; 1 + 1 + 3 = 5; 1 + 2 + 2 = 5 alakban állítható

el® az 5 három szám összegeként.

d) A számjegyek szorzata 6: 123; 132; 213; 231; 312; 321; 116; 161;

611.

Mert 1 � 1 � 6 = 6; és 1 � 2 � 3 = 6.



Gy. 189/7. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Számok nagy-

sági viszonyainak meghatározása, rendezésük adott szempont szerint.

Megoldás:

200

a h d

300

400

c l e g j

450

600

b f i k

1000

Gy. 190/8. feladat: Számok egyes, tízes, százas szomszédai; kerekítés tízesre, százas-

ra, ezresre.

Megoldás:

a) b)

Szám Tízes szomszédai Tízesre

kisebb nagyobb kerekítés

4 0 10 0

28 20 30 30

95 90 100 100

105 100 110 110

341 340 350 340

450 440 460 450

500 490 510 500

996 990 1000 1000

1000 990 1010 1000

1245 1240 1250 1250

Szám Százas szomszédai Százasra

kisebb nagyobb kerekítés

4 0 100 0

28 0 100 0

95 0 100 100

105 100 200 100

341 300 400 300

450 400 500 500

500 400 600 500

996 900 1000 1000

1000 900 1100 1000

1245 1200 1300 1200

Gy. 191/11. feladat: Idézzük fel az írásbeli összeadásról tanultakat (becslés, számolás

ellen®rzés).

Megoldás: a) Becslés: Számolás: 264+ 528792

százasra kerekítve: 300 + 500 = 800

tízesre kerekítve: 260 + 530 = 790

b) Becslés: Számolás: 61742

+ 12941953

százasra kerekítve: 600 + 1300 = 1900

tízesre kerekítve: 620 + 40 + 1290 = 1950



357

Gy. 191/12. feladat: Idézzük fel az írásbeli összeadásról tanultakat (becslés, számolás

ellen®rzés).

Megoldás: a) Becslés:



Számolás: 779 777 1704 954

b) Becslés:



Számolás: 1680 1655 1563 1980

c) Becslés:



Számolás: 986 1584 1435 1738

d) Becslés:



Számolás: 1576 1874 1447 1652

Gy. 192/13. feladat: Idézzük fel az írásbeli kivonásról tanultakat (becslés, számolás el-

len®rzés).

Megoldás: Becslés Becslés Számolás


a) 200 250 241

b) 600 620 627

c) 500 510 508

d) 600 640 642

e) 200 230 227

f) 100 110 109

g) 0 30 33

h) 900 940 944

i) 600 610 607

Gy. 192/14. feladat: Összeadásnál a hiányzó tag, kivonásnál a hiányzó kisebbítend®

illetve kivonandó pótlása.

Megoldás:

6 4 8

+ 3 7 6

1 0 2 4

1 4 7

+ 1 2 5 7

1 4 0 4

9 1 3

{ 7 3 8

1 7 5

1 0 5 0

{ 4 8 7

5 6 3



Gy. 193/15. feladat: Az összeadás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti

tulajdonságok felelevenítése.

Megoldás: a) Becslés: Számolás: 1048485

+ 751608

százasra kerekítve:1000 + 500 + 100 = 1600


Válasz: 1608 Ft-ot �zettünk.

b) Becslés: Számolás: 980465

+ 3551800

százasra kerekítve:1000 + 500 + 400 = 1900


Válasz: 1800 Ft-ot �zettünk.

Gy. 193/16. feladat: A kivonás értelmezése, a tanultak rendszerezése, a m¶veleti tulaj-


Megoldás: a) Becslés: Számolás: 655{ 275380

százasra kerekítve: 700 { 300 = 400

tízesre kerekítve: 660 { 280 = 380

Válasz: 380 Ft-unk maradt.

Megoldás: a) Becslés: Számolás: 1430{ 845585

százasra kerekítve: 1400 { 800 = 600

tízesre kerekítve: 1430 { 850 = 580

Válasz: 585 Ft-unk maradt.

Gy. 194/17. feladat: Összeadásnál a hiányzó tag pótlása.

a) 376 + 8 7 2 = 1248; b) 578 + 469 + 6 4 3 = 1690;

c) 6 2 0 + 796 = 1416; d) 9 4 8 + 444 + 529 = 1921;

Gy. 194/18. feladat: Összeadás, kivonás gyakorlása összetett számfeladatokban.

Megoldás: a) Becslés:

százasra kerekítve: 700 300 1700

tízesre kerekítve: 680 300 1660

Számolás:

részeredmény 541 913 1891

végeredmény 779 303 1653

b) Becslés:

százasra kerekítve: 1200 1200 800

tízesre kerekítve: 1210 1210 710



359

Számolás:

részeredmény 1681 246 231

végeredmény 1202 1202 710

Gy. 194/19. feladat: Szöveges feladatok megoldása az összefüggéslátás fejlesztésére.

Idézzük fel a szöveges feladat megoldásmenetér®l tanultakat.

Megoldás: a) Adatok: f = 348, l = 316 ö = ?

Terv: ö = f + l, ö = 348 + 316 348





Válasz: 664 gyerek volt összesen a táborban.

b) Adatok: ö = 417, l = 188 f = ?

Terv: f = ö { l f = 417 { 188



Számolás: f = 229

Ellen®rzés: 229 + 188 = 417

Válasz: 229 �ú vett részt a kerékpár-kiránduláson.

c) Adatok: f = 227, f >

43-mall l = ?

Terv: l = f { 43 l = 227 { 43



Számolás: l = 184

Ellen®rzés: 184 + 43 = 227

Válasz: 184 lány vett részt az akadályversenyen.

d) Adatok: l = 234, f >

109-cell f = ?

Terv: f = l + 109 f = 234 + 109234



Számolás: f = 343

Ellen®rzés: 343 { 109 = 234

Válasz: 343 �ú vett részt a versenyen.

Adatok: l = 234, f = 343 ö = ?

Terv: ö = l + f ö = 234 + 343234







Válasz: 577-en vettek részt összesen a versenyen.

e) Adatok: j = 664, e = 385 m = ?

Terv: m = j { e m = 664 { 385



Számolás: m = 279

Ellen®rzés: 279 + 385 = 664

Válasz: 279 gyerek maradt ott délután a táborban.

Gy. 194/20. feladat: Figyeltessük meg a kérdés szempontjából szükséges, illetve feles-

leges adatokat.

Megoldás: a) Adatok: f = 647, l = 708 ö = ?

Felesleges adat: tanár = 56, szül® = 128

Terv: ö = f + l ö = 647 + 708





Válasz: 1355 tanuló nyaralt a táborban.

b) Adatok: gy = 647 + 708, f = 56 + 128, k = ?

Terv: k = gy { f k = (647 + 708) { (56 + 128)



Számolás: k = 1355 { 184 k = 1171

Ellen®rzés: 1171 + 56 + 128 = 647 + 708

Válasz: 1170-gyel több gyerek nyaralt, mint feln®tt.

c) Adatok: v = 647 + 708 + 56 + 128, e = 185 + 248 + 65

m = ?

Terv: m = v { e m = (647 + 708 + 56 + 28) { (185 + 248 + 65)



Számolás: m = 1539 { 498 m = 1041

Ellen®rzés: 1041 + 498 = 1539

Válasz: 1041-en maradtak a táborban.



361

Gy. 194/21. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján.

Megoldás:

a) A + 280-at, illetve a { 175-öt jelent.

4 6 5+105

5 7 0 6 7 5 7 8 0

7 4 5+105

8 5 0 9 5 5 1 0 6 0

Gy. 195/22. feladat: A szorzásnak mint ismételt összeadásnak az értelmezése. A szóbeli


Megoldás:

a)

1 � 3 5 0 = 3 5 0

b)

3 5 0 + 3 5 0 = 2 � 3 5 0 = 7 0 0

c)

3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 3 � 3 5 0 = 1 0 5 0

d)

3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 + 3 5 0 = 4 � 3 5 0 = 1 4 0 0

Gy. 195/23. feladat: Analóg számítások a szorzótábla gyakorlására. A szorzótábla kiter-

jesztése a 2000-es számkörig.

Megoldás: a) 12 120 1200 1200

b) 14 140 1400 1400

Gy. 195/24. feladat: Idézzük fel az írásbeli szorzásról tanultakat. (A becslés, a számolás

és az ellen®rzést is.)

Megoldás: a) Becslés százasra kerekítve: 1000 1400 1600 1800


Számolás: 865 1211 1384 1557

b) Becslés százasra kerekítve: 2100 1800 1500 1200


Számolás: 1974 1674 1374 1074



c) Becslés százasra kerekítve: 1400 1800 1800 1500


Számolás: 1715 1875 1956 1545

d) Becslés százasra kerekítve: 1600 2000 2000 1800


Számolás: 1800 1800 1998 1998

Gy. 195/25. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt.

(esetleg többféle alakban).

Megoldás: I � 30 = U

Id® (óra) 1 4 7 6 10 20 24 48 50 56

Út (km) 30 120 210 180 300 600 720 1440 1500 1680

Gy. 196/26. feladat: Az osztás értelmezése. Az algoritmus elvégzése (becslés, számí-

tás, ellen®rzés).

Megoldás: a) Becslés: 200 < H < 300 200 < H < 300

Hányados: 382 256

Maradék: 2 3

b) Becslés: 400 < H < 500 300 < H < 400

Hányados: 405 360

Maradék: 3 2

c) Becslés: 300 < H < 400 200 < H < 300

Hányados: 321 284

Maradék: 0 0

d) Becslés: 100 < H < 200 100 < H < 200

Hányados: 177 182

Maradék: 0 3

Gy. 196/27. feladat: Az osztás értelmezése. Az algoritmus elvégzése (becslés, számí-

tás, ellen®rzés).

Megoldás: Becslés: Hányados: Maradék:

200 < H < 300 224 0

100 < H < 200 163 1

100 < H < 200 134 0

100 < H < 200 189 4

100 < H < 200 147 6

800 < H < 900 871 0



363

Gy. 197/28. feladat: A szóbeli és az írásbeli algoritmusok gyakorlása.

Megoldás:

a) B: 3 8 0 � 4 = 3 0 0 � 4 + 8 0 � 4 = 1 5 2 0

3 7 5 � 4

1 5 0 0

b) B: 2 7 0 � 4 = 2 0 0 � 4 + 7 0 � 4 = 1 0 8 0

2 6 5 � 4

1 0 6 0


Megoldás: a) Adatok: 5 szál 1325 Ft

1 szál x Ft x = ?

Terv: x = 1325 : 5 1325 : 5 = 265

Becslés: 200 < x < 300

Számolás: x = 265

Ellen®rzés: 5 � 265 = 1325

Válasz: 265 Ft-ba kerül 1 szál rózsa.

b) Adatok: 6 db 1860 Ft

1 db x Ft x = ?

Terv: x = 1860 : 6 1860 : 6 = 310

Becslés: 300 < x < 400

Számolás: x = 310

Ellen®rzés: 6 � 310 = 1860

Válasz: 310 Ft-ba kerül 1 db teniszlabda.

c) Adatok: 3 db 1860 Ft

1 db x Ft x = ?

Terv: x = 1860 : 3 1860 : 3 = 620

Becslés: 600 < x < 700

Számolás: x = 620

Ellen®rzés: 6 � 620 = 1860

Válasz: 620 Ft-ba kerül 1 db zokni.

d) Adatok: 2 db 1860 Ft

1 db x Ft x = ?

Terv: x = 1860 : 2 1860 : 2 = 930

Becslés: 900 < x < 1000



Számolás: x = 930

Ellen®rzés: 2 � 930 = 1860

Válasz: 930 Ft-ba kerül 1 db trikó

e) Adatok: 4 db 1860 Ft

1 db x Ft x = ?

Terv: x = 1860 : 4 1860 : 4 = 465

Becslés: 400 < x < 500

Számolás: x = 465

Ellen®rzés: 4 � 465 = 1860

Válasz: 465 Ft-ba kerül 1 db törülköz®.

Gy. 195/30. feladat: M¶veletek gyakorlása szöveges feladat megoldásával.

Megoldás: a) Adatok: P = 1 km 375 m = 1375 m P >

648 m-relR R = ?

Terv: R = P { 648 R = 1375 { 648



Számolás: R = 727

Ellen®rzés: 727 + 648 = 1375

Válasz: 727 m-re lakik Robi az iskolától.

b) Adatok: S = 375 m, S >

3-szorT, T = ?

Terv: T = 3 � 375



Számolás: T = 1125

Ellen®rzés: 1125 : 3 = 375

Válasz: 1125 mre lakik Tóni az iskolától.

c) Adatok: U = 648 m, V >

3-szorU, V = ?

Terv: V = 648 : 3 648 : 3 = 216

Becslés: 200 < V < 300

Számolás: V = 216

Ellen®rzés: 3 � 216 = 648

Válasz: 216 m-re lakik Vanda az iskolától.

d) Adatok: X = 648 m, Z >

375 m-relX, Z = ?

Terv: Z = 648 + 375



365



Számolás: Z = 1023

Ellen®rzés: 1023 { 375 = 648

Válasz: 1023 m-re lakik Zénó az iskolától.

Óra: 139. 155. 173.

6/I. felmérés


Ismétl® feladatok





kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-

tív és önálló munkavégzés.

Óra: 140{142. 156{159. 174{177.

A hosszóság-, tömeg, ¶rtartalom- és id®mérésr®l tanultak átismétlése. Elevenítsük fel az

ellentétes mennyiségekr®l, mennyiségek törtrészér®l tanultakat.

Tk. 196/10. feladat: A hosszúság-, tömeg, ¶rtartalom- és id®mérés mértékegységeinek

áttekintése.

Megoldás: Hosszúság Tömeg �rtartalom Id®

kilométer tonna hektoliter év

méter kilogramm liter hónap

deciméter dekagramm deciliter hét

centiméter gramm centiliter nap

milliméter milliliter óra

perc

másodperc

Tk. 196/11. feladat: Tasziló által összegy¶jtött hibák javításával gyakoroltathatjuk a mér-

tékegységek közti kapcsolatokat.

Megoldás: a) 1 dm = 10 cm b) 1 dkg = 10 g

1 km = 1000 m 1 t = 1000 kg

1 cm = 10 mm 1 kg = 100 dkg



c) 1 hl = 100 l d) 1 év = 12 hónap

1 dl = 10 cl 1 óra = 60 perc

1 l = 1000 ml 1 nap = 24 óra

Tk. 196/12. feladat: A mértékegységekr®l tanultak rendszerezése.

Megoldás: a) 10 dm 2 mm < 1 m 2 cm < 12 dm < 10 m 2 dm < 1 km 2 m

b) 10 dkg 5 g < 15 dkg < 1 kg 50 dkg < 10 kg 5 dkg < 500 kg

c) 1 dl 3 ml < 13 cl < 1 l 3 cl < 10 l 3 dl < 1 hl 3 l

d) 1 óra 15 perc < 115 perc < 11 óra 5 perc < 1 nap 15 óra < 115 óra

Tk. 196/13. feladat: A kerületr®l és területr®l tanultak ismétlése.

Megoldás: K = 20 K = 20 K = 24 K = 22

T = 24 T = 20 T = 20 T = 24

Tk. 197/14. feladat: Gra�kon értelmezése, adatok leolvasása, összehasonlítása.

Megoldás: Írott-k® 882 m, Kab-hegy 600 m,

Badacsony 438 m, Öreg-k® 375 m,

Zeng® 680 m, János-hegy 529 m,

Dobogó-k® 700 m, Galya-tet® 964 m,

Gellért-hegy 220 m, Tokaji-hegy 516 m,

Kékes 1014 m, K®ris-hegy 704 m

Istállós-k® 959 m

Beszéljük meg: melyik hegy a legmagasabb, legalacsonyabb; valamelyik

hegynél melyek alacsonyabbak, magasabbak; valamelyik hegynél hány ala-

csonyabb, magasabb hegy van; stb.

Tk. 197/15. feladat: A mértékegységekr®l tanultak rendszerezése.

Megoldás: a) 8 cm b) 2 dl c) 20 dkg d) 5 perc

Tk. 197/16. feladat: Az ellentétes mennyiségekr®l tanultak rendszerezése.

Megoldás: a) +4�

C b) +9�

C c) 0�

C d) { 6�

C e) { 2�

C

Tk. 198/17. feladat: Az ellentétes mennyiségekr®l tanultak rendszerezése.

Megoldás: Aladár: +1 Balázs: { 1 Cili: 0 Dávid: +1

Tk. 198/18. feladat: A törtekr®l tanultak rendszerezése.

Megoldás: a)1

6,5

6;

2

6,4

6;

3

6,3

6;

4

6,2

6;

b)1

8,7

8;

2

8,6

8;

3

8,5

8;

4

8,4

8;



367

c)1

2,1

2;

1

3,2

3;

1

4,3

4;

d)1

2,1

2;

2

4,2

4;

4

8,4

8.

Tk. 198/19. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása, összehasonlítása.

Megoldás: a) Hamis. b) Igaz.

Hamis. Igaz.

c) Hamis. d) Hamis.

Hamis. Igaz.

Tk. 198/20. feladat: Mennyiségek törtrészének meghatározása, összehasonlítása.

Megoldás: a) 240 : 4 � 3 = 180 240 : 6 � 5 = 200 180 cm <

20200 cm

b) 160 : 8 � 5 = 100 160 : 2 = 80 100 dkg >

2080 dkg

c) 300 : 6 � 3 = 150 300 : 5 � 3 = 180 150 l <

30180 l

d) 180 : 3 � 2 = 120 180 : 6 � 4 = 120 120 perc = 120 perc

Tk. 198/21. feladat: Törtrészr®l következtetés az egészre.




Tk. 204/40. feladat: Írásbeli m¶veletek gyakorlása játékos feladattal.

Megoldás:

a = 1910

á = 736

b = 1749

c = 1912

d = 1928

e = 1540

é = 1547

f = 1160 g = 809 j = 43

i = 19 í = 1 j = 6

k = 1000 l = 805 m = 1689

n = 915 o = 1000 ó = 334

ö = 54 ® = 1 p = 126

q = 0 r = 138 s = 3

Tk. 205/41. feladat: M¶veletek gyakorlása szöveges feladat megoldásával.

Megoldás: a) Adatok: sz = 35 dkg, gy = 11 kg 65 dkg = 1165 dkg l = ?

Terv: l = sz + gy l = 35 + 1165



Számolás: l = 1200

Ellen®rzés: 1165 + 35 = 1200

Válasz: 1200 dkg = 12 kg a vándoralbatrosz �óka tömege 220 na-

pos korában.

b) Adatok: 1 merülés 16 rák1 rák 1 gyerek

20 merülés x rák x = ? ö = ?

Terv: ö = 20 � 16 � 1

Becslés: tízesre kerekítve: 400



Válasz: 320 g = 32 dkg táplálékot gy¶jt az örvös pingvin.

c) Adatok: 1 másodperc 195 cm

8 másodperc x cmx = ?

Terv: x = 8 � 195



369





Válasz: 1560 cm = 15 m 6 dm mélyre merül a tengerbe az arany-

bóbitás pingvin.

d) Adatok: 900 merülés, 10. merülésre 1 kalmár,

1 kalmár 15-20 dkg, ö = ? dkg

Terv: 900 : 10 � 15 < it ö < 900 : 10 � 20

Becslés: 1800

Számolás: 1800 < it ö < 1800


Válasz: Legalább 1350 dkg = 13 kg 50 dkg, legfeljebb 1800 dkg =

18 kg ennivalót gy¶jt a királypingvin.

e) Id® (nap) 5 10 50 100

Veszteség (dkg) 100 200 1000 2000

f) Adatok: sz = 1500 kg, gy:1 nap 20 kg

x nap 2000 kg x = ?

Terv: x = (2000 { 1500) : 20

Becslés: 25

Számolás: x = 25

Ellen®rzés: 1500 + 25 � 20 = 2000

Válasz: 25 nap múlva lesz a szürkebálna tömege 2000 kg.

Gy. 190/9. feladat: 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság vizsgálata.

Megoldás:

A szám páros páratlan

5-tel osztható 100; 0; 900; 5; 1215;

1000; 60; 1780 1605

5-tel nem 352; 834; 909; 217;

osztható 78 13

Gy. 190/10. feladat: 2-vel, 5-tel, 10-zel oszthatóság vizsgálata.

Megoldás: a) Minden kerek tízes osztható 2-vel. I

b) Van olyan páros szám, amely 5-re végz®dik. H

c) Minden 5-tel osztható szám kerek tízes. H

d) A 0 osztható 2-vel és 5-tel is. I



e) A 217 nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. I

f) A kerek tízesek oszthatók 2-vel és 5-tel is. I

Gy. 199/31. feladat: Beszéljük meg, hogy a sorozat többféleképpen folytatható, itt azon-

ban olyan megoldást kell keresnünk, amely illeszkedik a keresztrejtvénybe.

Megoldás: a) Vízszintes: b) Függ®leges:

a: 1875, 1867, 1859, 1851 a: 297, 99, 33, 11

e: 1855, 1715, 1575, 1435 b: 106, 212, 424, 848

f: 779, 807, 835, 863 c: 266, 356, 446, 536

g: 530, 558, 586, 614 d: 24, 96, 384, 1536

i: 860, 1014, 1168, 1322 h: 880, 440, 220, 110

m: 16, 64, 256, 1024 i: 764, 894, 1024, 1154

n: 500, 516, 532, 548 j: 790, 628, 466, 304

o: 808, 404, 202, 101 k: 1299, 942, 585, 228

p: 5, 25, 125, 625 l: 648, 216, 72, 24

r: 69, 207, 621, 1863 o: 450, 810, 1170, 1530

s: 1955, 1970, 1985, 2000 p: 1055, 930, 805, 680

u: 904, 659, 414, 169 q: 1040, 780, 520, 260

x: 6, 36, 216, 1296 r: 324, 108, 36, 12

z: 15, 75, 375, 1875 t: 1480, 1357, 1234, 1111

v: 1054, 912, 770, 628

w: 538, 691, 844, 997

y: 520, 260, 130, 65

a b c d i j k l

e m

f n

gh

o t

p q u v w

r x y

s z

1 8 5 1 1 3 2 2

1 4 3 5 1 0 2 4

8 6 3 5 4 8

6 1 4

1

1 0 1

6 2 5 1 6 9

1 8 6 3 1 2 9 6

2 0 0 0 1 8 7 5

Gy. 199/32. feladat: Id®mérésr®l tanultak ismétlése.

Megoldás: 30 perc 12 óra 6 hónap

15 perc 6 óra 3 hónap



371

Gy. 200/33. feladat: A törtekr®l tanultak rendszerezése, ismétlése.

Megoldás: a) 1. 1 ketted 2. 5 nyolcad 3. 4 hatod 4. 4 nyolcad

2 harmad 1 ketted

5. 2 harmad 6. 2 negyed 7. 3 hatod 8. 5 kilenced

1 ketted 1 ketted

b) Az 1. téglalappal egyenl® részt színeztünk ki a 4., 6., 7. téglalapnál.

c) Az 5. téglalappal egyenl® részt színeztünk ki a 3. téglalapnál.

Gy. 200/34. feladat: Törtrészek összehasonlítása.

Megoldás: a) 3 hatod > 3 tized b) 3 nyolcad < 5 nyolcad

3 negyed = 6 nyolcad c) 4 nyolcad > 5tizenketted

Gy. 200/35. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veletek gyakorlására.

Megoldás:

a) 564

2:

{ 169

1:

� 3| {z }

507

= 57 (564

1:

{ 169)| {z }

395

2:

� 3 = 1185 564

1:

� 3| {z }

1692

2:

{ 169 = 1523

b) 314

2:

+ 168

1:

� 4| {z }

672

= 986 (312

1:

+ 168)| {z }

480

2:

� 4 = 1920 314

1:

� 4| {z }

1256

2:

+ 168 = 1424

c) 1670

2:

{ 295

1:

: 5| {z }

59

= 1611 (1670

1:

{ 295)| {z }

1375

2:

: 5 = 275 1670

1:

: 5| {z }

334

2:

{ 295 = 39

d) 918

2:

+ 792

1:

: 6| {z }

132

= 1050 (918

1:

+ 792)| {z }

1710

2:

: 6 = 285 918

1:

: 6| {z }

153

2:

+ 792 = 945



Gy. 201/36. feladat: Idézzük fel a m¶veletekben szerepl® elnevezéseket.

Megoldás: a) Vízszintes:a b c d i j k

e l

f m

gh

n r

o s t

p u v

q x

1 2 2 1 1 3 4 4

1 0 7 6 2 5

6 3 2 5

6 4 0

1

1 7 1

7 5 9 2

3 4 3 7 2 7

1 2 4 9 1 8 7 5

a: 642 és 579 összege: 1221

e: 642 és 6 hányadosa: 107

f: 642 és 579 különbsége: 63

g: 423 és 217 összege: 640

i: 168 és 8 szorzata: 1344

l: 125 és 5 szorzata: 625

m: 125 és 5 hányadosa: 25

n: 513 és 3 hányadosa: 171

o: 375 és 5 hányadosa: 75

p: 796 és 453 különbsége: 343

q: 796 és 453 összege: 1249

s: 217 és 125 különbsége: 92

u: 402 és 325 összege: 727

x: 375 és 5 szorzata: 1875

b) Függ®leges:

b: A hányados, ha az osztandó 168, és az osztó 8: 21

c: A különbség, ha a kisebbítend® 423, és a kivonandó 217: 206

d: A szorzat, ha a tényez®k 217 és 8: 1736

h: A kisebbítend®, ha a kivonandó 46, és a különbség 371: 417

i: Az osztandó, ha az osztó 6, és a hányados 270: 1620

j: A kivonandó, ha a kisebbítend® 371, és a különbség 46: 325

k: Az egyik tényez®, ha a másik tényez® 6, és a szorzat 270: 45

n: Az osztandó, ha az osztó 3, és a hányados 513: 1539

o: Az összeg, ha a tagok 388 és 356: 744

p: Az egyik tag, ha a másik tag 356, és az összeg 388: 32

r: A szorzat, ha a tényez®k 219 és 9: 1971

t: A kisebbítend®, ha a különbség 9, és a kivonandó 219: 228

v: A kivonandó, ha a különbség 325, és a kisebbítend® 402: 77



373

Gy. 202/37. feladat: Gra�kon vizsgálata, adatok leolvasása, táblázatba rendezése.

Megoldás:

1. o. 2. o. 3. o. 4. o. 5. o. 6. o. 7. o. 8. o. Összesen

Fiú 22 28 15 26 27 29 25 24 196

Lány 26 21 24 26 24 28 30 27 206

Összesen 48 49 39 52 51 57 55 51 402

| {z }

188

| {z }

214

a) 10-zel több lány jár az iskolába.

b) 26-tal több fels® tagozatos tanuló jár ebbe az iskolába.

c) 6. osztályba jár a legtöbb gyerek.

d) 3. osztályba jár a legkevesebb gyerek.

e) Hasonlítsák össze az adatokat a saját iskolájuk adataival.

Gy. 203/38. feladat: Mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: a) 700 dkg b) 6 kg 40 dkg

660 dkg 9 kg 4 dkg

802 dkg 4 kg 0 dkg

310 dkg 1 kg 1 dkg

c) 50 dm = 500 cm d) 50 dm = 5 m

15 dm = 150 cm 150 dm = 15 m

105 cm 1 m 3 dm 2 cm

562 cm 15 m 3 dm 2 cm

75 cm 10 m 0 dm 2 cm

e) 30 dl = 300 cl g) 20 dl = 2 l

35 dl = 350 cl 200 dl = 20 l

305 cl 4 l 3 dl 5 cl

352 cl 14 l 0 dl 5 cl

15 dl 10 l 2 dl 0 cl

g) 1056 m h) 125 perc

1 km 305 m 54 óra

i) 1560 kg j) 156 l

1 t 350 kg 13 hl 5 l

Gy. 203/39. feladat: Mértékekr®l tanultak ismétlése, gyakorlása.

Megoldás: a) 2 kg <98 dkg

298 dkg <2 dkg

3 kg b) 4 kg <50 dkg

450 dkg <50 dkg

5 kg

c) 7 kg <19 dkg

719 dkg <81 dkg

8 kg d) 9 kg <99 dkg

999 dkg <1 dkg

10 kg



e) 8 kg <45 dkg

845 dkg >55 dkg

9 kg f) 3 kg <7 dkg

307 dkg <93 dkg

4 kg

Gy. 204/40. feladat: Kerület, terület fogalmáról tanultak gyakorlása.

Megoldás: a) 1. ágyás:K = 22 m b) 2. ágyás:K = 22 m

T = 22 T = 28

22 bokor van. 28 bokor van.

Gy. 204/41. feladat: Tengelyes tükrözésr®l tanultak gyakorlása.

Megoldás:

Gy. 204/42. feladat: Testek építésér®l tanultak gyakorlása.

Megoldás: 1 test: 2. test: 3. test:

7 kockából áll. 11 kockából áll. 8 kockából áll.

A 3 test összesen: 7 + 11 + 8 = 26 kockából áll.

A nagyobb kocka: 3 � 3 � 3 = 27 kockából áll.

Hiányzik 1 kocka.

Gy. 205/43. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" fogalmáról tanultak gyakorlása

játékos feladattal.

Megoldás: A B esemény bekövetkezésének nagy a valószín¶sége.

A C esemény a biztos esemény.

A D esemény a lehetetlen esemény.

Az A esemény bekövetkezésének kicsi az esélye.

Gy. 205/44. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" fogalmáról tanultak gyakorlása

játékos feladattal.

Megoldás: Itt is �gyeltessük meg, mely esemény bekövetkezésének kicsi, illetve nagy

a valószín¶sége.

Óra: 143{144. 160{161. 178{179.

6/II. felmérés




375

Hányféleképpen?


rendszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következ-

tetések, kombinativitás, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-


géslátás, pontosság, egyéni, páros, csoportos munkavégzés.

Óra: 145{146. 162{163. 180{181.

Kombinatorikai feladatokat a tanulók képességeinek megfelel® szinten dolgozzunk fel.

A feladatokat megoldathatjuk a tanév során különböz® órákon is.

Tk. 190/1. kidolgozott mintapélda: Négy gyerek közül kell kett®t úgy kiválasztanunk,

hogy számít a sorrend. Ez 4 elem másodosztályú ismétlés nélküli variációja. Hívjuk

fel a tanulók �gyelmét arra, hogy fagráf vagy táblázat segítségével rendezni tudjuk a

megoldásokat úgy, hogy ne maradjon ki egy megoldás sem, illetve egyet se számítsunk

többszörösen.

Az els® helyre 4-féleképpen, a másodikra 3-féleképpen választhatunk a négy gyerekb®l.

Összesen 4 � 3 = 12 eset van.

Tk. 190/1. feladat: Beszéljük meg, hogy nem volt holtverseny. Azt is vizsgáljuk meg,

hányféle eredmény lehet, ha van holtverseny.

Megoldás: 1. hely A A B B C C

2. hely B C A C A B

3. hely C B C A B A

3 � 2 � 1 = 6 Az 1. helyre 3, a 2. helyre 2, a 3. helyre 1 gyerek közül választ-

hatunk. 6-féleképpen érhetnek a célba.

Tk. 190/2. feladat: Játsszák el a tanulók a feladatot, s így állapítsák meg a lehet®sége-

ket.

Megoldás: Úszás A A A A B B B B C C C C D D D D

Dobás A B C D A B C D A B C D A B C D

Az úszásnál is 4, a dobásnál is 4 gyerek közül választhatunk: 4 � 4 = 16

16-féle lehet az eredmény.

Tk. 191/3. feladat: Beszéljük meg, hogy itt nem számít a sorrend. Játsszák is el a tör-

ténete a tanulók.

Megoldás: Kiválasztott tanulók: A { B, A { C, A { D, B { B, B { D, C { D,

6-féleképpen választható ki 4 gyerek közül a 2 t¶zrakó.

Tk. 191/4. feladat: Vetessük észre, hogy a gyerekek egymáshoz viszonyított helyzete

nem változik, ha a forgó elfordul.



Megoldás:

A

B

C

D

A

B

D

C

A

C

B

D

A

C

D

B

A

D

B

C

A

D

C

B

Gy. 183/1. feladat: Próbálják tervszer¶en az összes lehet®séget megkeresni a tanulók.

a) P P P K K K

S Z B S Z B

b)

P P P P P P P P P K K K K K K K K K

F F F N N N L L L F F F N N N L L L

S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B S Z B

Gy. 183/2. feladat: Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harmadik helyre 1-féleképpen

választhatunk a gyerekek közül.

Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 eset.

Megoldás:

A B C A C B B A C B C A C A B C B A




Megoldás: 2 5 8 2 8 5 5 2 8 5 8 2 8 2 5 8 5 2




Megoldás: P B B M M L L

R M L B L B M

S L M L B M B

Gy. 184/5. feladat: Több feltétel együttes teljesülését kell �gyelni a megoldáshalmaz

el®állításához.

Megoldás: a) Beszéljük meg:

hogy minden számkártyából csak 1 darab áll rendelkezésünkre,

nullával nem kezd®dik háromjegy¶ szám,

az egyesek helyére csak 0 kerülhet.



377

A százasok helyére 3-féle szám kerülhet: 1, 2, 4. A tízesek helyére pedig

2-féle, mivel a 0-t és még egy számot már felhasználtunk.

1 2 0 1 4 0 2 1 0 2 4 0 4 1 0 4 2 0

b) Beszéljük meg, hogy az egyesek helyére csak 1-es kerülhet, valamint,

hogy a szám legnagyobb helyiértékére nem kerülhet 0.

1 2 1 4 1 2 0 1 2 4 1 4 0 1

4 2 1



Megoldás: a) Az egyesek helyére 1-es vagy 3-as számjegy kerülhet.

Ha 1-es kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 2, illetve 3.

Ha 3-as kerül, akkor a tízesek helyén állhat: 1, 2, illetve 3. Így összesen

5 megoldás lehetséges.

2 1 3 1 1 3 2 3 3 3

b) Az egyesek helyére csak a 2-es számjegy kerülhet.

Ha 1-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 2, illetve 3.

Ha 2-es kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, illetve 3.

Ha 3-as kerül a tízesek helyére, a százasok helyén állhat: 1, 2, illetve 3.

Így összesen 7 megoldás lehet

2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2

1 3 2 2 3 2 3 3 2

Gy. 184/7. feladat: Vetessük észre, hogy a gyerekek egymáshoz viszonyított helyzete

nem változik, ha a forgó elfordul.

Megoldás:

a) b) c) d) e)

2 különböz® elhelyezkedés lehetséges. Az A-ból a B-be az óramutató járásával mege-

gyez®, illetve ellentétes irányban juthatunk el. Ugyanaz az elhelyezkedés az a), b), d),

illetve a c), e) forgón.

Gy. 184/8. feladat: Az elforduló forgókat nem tekintjük különböz® megoldásoknak. Álta-

lában próbálgatással várjuk a megoldásokat. Tehetségesebb gyerekek eljuthatnak stra-

tégiák fölállításához is. Az összes eset megtalálásához jó ötlet lehet a következ®: Rög-

zítsünk egy színt. Mondjuk bal oldalt a pirosat. Három színünk marad a három helyre.



(Három elem ismétlés nélküli permutációja.) Az els® helyre 3-, a másodikra 2-, a harma-

dikra 1-féleképpen választhatunk színt. Ez összesen 3 � 2 � 1 = 6 megoldás.

Megoldás:



Megoldás: Szemet 2-, orrot 2-, szájat 3-féleképpen választhatunk. Ez összesen 2 � 2 �

3 = 12-féle arc.



Megoldás: a) Az egyesek, tízesek és a százasok helyére is 2-féleképpen választha-

tunk számjegyet.

Ez összesen 2 � 2 � 2 = 8 szám.111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.

b) Az egyesek és a tízesek helyére is 3-féleképpen választhatunk számje-

gyet. Ez összesen 3 � 3 = 9 szám.

33; 32; 31; 23; 22; 21; 13; 12; 11.

Jobb csoportokban kib®víthetjük a feladatot a háromjegy¶ számokra,

amikor

3 � 3 � 3 = 27 lehetséges eset van.

111; 121; 131; 211; 221; 231; 311; 321; 331;

112; 122; 132; 212; 222; 232; 312; 322; 332;

113; 123; 133; 213; 223; 233; 313; 323; 333.

Gy. 185/11. feladat: A feladatok arról szólnak, hogyan lehet kiválasztani öt elemb®l kett®t

úgy, hogy nem számít a sorrend. (Öt elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációja.)

A feladatok arról szólnak, hogyan lehet kiválasztani öt elemb®l kett®t úgy, hogy nem

számít a sorrend. (Öt elem másodosztályú ismétlés nélküli kombinációja.)

a) Ugyanis ha a kétágyas szobába kiválasztottunk két kislányt, akkor meghatároztuk

a másik szoba lakóit is. Az els® helyre 5-, a másodikra 4-féleképpen választhatunk.

Ez összesen 5 �4 = 20, így minden esetet kétszer számoltunk. Ha A kerül az els®, B

a második helyre, az ugyanaz az eset, mint ha B kerül az els®, A pedig a második

helyre. Tehát az összes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.



379

AB

CDE

AC

BDE

AD

BCE

AE

BCD

BC

ADE

BD

ACE

BE

ACD

CD

ABE

CE

ABD

DE

ABC

b) Egy kislány 4 másikkal játszik. Öt kislány 5 � 4 = 20-szor játszana, de így minden

esetet kétszer számoltunk, mert ha A játszik B-vel, akkor B is játszik A-val. Tehát az

összes lehetséges eset száma 5 � 4 : 2 = 10.

A

E B

D CMás szemléltetést is választhatunk:

Párosítást:

A | B A | C A | D A | E

B | C B | D B | E

C | D C | E

D | E

Fadiagramot:�

A B C D

B C D E C D E D E E

Mátrixot, ahol a játszmákat jelöljük X-szel:

A B C D E

A X X X X

B X X X

C X X

D X

E

Táblázatot:

A A A A B B B C C D

B C D E C D E D E E



Biztos, lehetséges, lehetetlen


rendszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következ-

tetések, kombinativitás, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-


géslátás, pontosság, egyéni, páros, csoportos munkavégzés.

Óra: 147{148. 164{165. 182{183.

A tanulók matematikai szemléletét ezen a téren csak úgy fejleszthetjük, ha a valószín¶-

ségi kísérleteket játékos formában ténylegesen elvégeztetjük. Az így szerzett tapaszta-

latokra építve tudják értelmezni a következ® kifejezéseket: �kísérlet", �a kísérlet kimene-

tele", �esemény", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen esemény", �biztos esemény",

�lehetséges, de kicsi a valószín¶sége", �nem biztos, de nagy a valószín¶sége".

Tk. 192/1. kidolgozott mintapélda: Ismerkedjünk meg a következ® kifejezésekkel: �kí-

sérlet", �a kísérlet kimenetele", �esemény", �lehetséges, de nem biztos", �lehetetlen ese-

mény", �biztos esemény", �lehetséges, de kicsi a valószín¶sége", �nem biztos, de nagy

a valószín¶sége".

Tk. 192/2. kidolgozott mintapélda:: A valószín¶ségi játékok tényleges elvégzése után

(kés®bb esetleg már a játékok elvégzése el®tt) kombinatorikus eszközökkel felfedeztet-

hetjük, hogy kiknek van nagyobb esélyük a gy®zelemre. Persze ez nem jelenti azt, hogy

tényleg ®k is gy®znek.

Tisztázzuk, hogy nem azok az igazi nyertesek, akik abba a csoportba tartoznak, amely

a legtöbb pontot kapja, hanem azok, akik jól tippelnek.

Tk. 193/1. feladat: A valószín¶ségi játékok tényleges elvégzése után (kés®bb esetleg

már a játékok elvégzése el®tt) kombinatorikus eszközökkel felfedeztethetjük, hogy kik-

nek van nagyobb esélyük a gy®zelemre. Persze ez nem jelenti azt, hogy tényleg ®k is

gy®znek.

Tisztázzuk, hogy nem azok az igazi nyertesek, akik abba a csoportba tartoznak, amely

a legtöbb pontot kapja, hanem azok, akik jól tippelnek.

Megoldás: A tanulók könnyen felismerik, hogy a zöld lap húzásának van legnagyobb

esélye.

Tk. 193/2. feladat: A biztos esemény fogalmának elmélyítését szolgálja.

Megoldás: Biztosan legyen piros: 3 zöld + 1 kék + 1 piros = 5 lap.

5 lapot kell kihúzni.

Tk. 193/2. feladat: Adjunk fel további hasonló feladatokat, amelyek a tanulók mindennapi

életével kapcsolatosak, a tanulók számára konkrétak és jól áttekinthet®k.

Megoldás: Egy osztálykirándulás el®tt tippeljük meg az események bekövetkezésének

valószín¶ségét, majd a kirándulás után értékeljük tippjeinket.



381

Gy. 186/1. feladat: Ha minden tanuló részt vesz a játékban, akkor a pénzérméket átlát-

szó fedel¶ m¶anyag dobozba célszer¶ rakni, így nem gurulnak el az érmék.

Megoldás: Négy lehetséges kimenetel van: K K, Í Í, Í K, K Í.

Ezért az F esemény bekövetkezésének van a legnagyobb esélye.

Gy. 186/2. feladat: Adjunk fel további hasonló feladatokat, amelyek a tanulók minden-

napi életével kapcsolatosak, a tanulók számára konkrétak és jól áttekinthet®k.

Megoldás: A tippelést a dolgozat megíratása el®tt végeztessük el.

Gy. 186/3. feladat: A biztos esemény fogalmának elmélyítését szolgálja.

Megoldás: a) 2 sárga + 1 kék + 1 zöld = 4

4 lapot kell kivenni.

b) 4 zöld + 1 (sárga vagy kék) = 5


c) 1 zöld + 1 sárga + 1 kék + 1 (zöld vagy sárga) = 4


d) 4 zöld + 1 (sárga vagy kék) = 5


e) 4 zöld + 2 sárga + 1 kék = 7


Gy. 187/4. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" esemény fogalmának elmélyí-

tését szolgálja.

Megoldás: P: Hamis, az összeg lehet 3.

R: Igaz, az összeg lehet például 3 + 2 + 5 = 10.

S: Igaz, az összeg legfeljebb 18 lehet.

T: Hamis, a 33 semmiképpen nem állítható el® a dobott számok szorzata-

ként.U: Hamis, mindhárom kockán lehet 1.

V: Igaz. Például: 6 � 6 � 6 = 216

Gy. 187/5. feladat: A �biztos", �lehetséges", �lehetetlen" esemény fogalmának elmélyí-

tését szolgálja.

Megoldás: A: Lehetséges, de nem biztos esemény. Nagy a valószí n¶sége.

B: Biztos esemény, ha mindhárom kockával 6-ost dobunk, akkor a szorzat

216.C: Lehetetlen esemény, a dobott számok között nem lehet 7.

D: Lehetséges, de nem biztos esemény.

E: Lehetséges, de nem biztos esemény. Kicsi a valószín¶sége.



Kitekintés 10 000-ig

Jobb csoportban

Óra:{. 166. 184{185.

A fejezet anyagát többféleképpen építhetjük be a tanulási folyamatba:

Jobb csoportban az év végi összefoglalás el®tt dolgoztatjuk föl, és az év végi ismét-

lést, rendszerezést már a b®vebb számkörhöz kapcsolódva, magasabb színvonalon

hajtjuk végre.

Átlagos képesség¶ csoportban az év végi összefoglalással megteremtjük azt az

alapot, amely már biztosítja ennek a fejezetnek a sikeres feldolgozását, és a ta-

nulócsoport képességeinek megfelel® szinten foglalkozunk ezekkel a feladatokkal.

Gyengébb csoportban csak 4. osztályban foglalkozzunk vele.

A számokról tanultakat terjesztjük ki a 10 000-es számkörre. Foglalkozhatunk a 2000-

nél nagyobb számnevek írásával, az írásbeli m¶veletekkel. Tudatosítjuk, hogy az eddig

megismert m¶veleti tulajdonságok a b®vebb számkörben is érvényben maradnak.

Amennyiben sikerült a 2000-es számkörben tanultakat alaposan elsajátítaniuk a tanulók-

nak, akkor ez a témakör sem okozhat különösebb gondot ebben az életkorban.

Tk. 206/Figyeld meg!: A számkör b®vítése 10 000-ig.

Tk. 206/1. feladat: Figyeltessük meg a számegyenesen az analógiát az egyesek, kerek

tízesek, százasok, ezresek között.

Megoldás: p r s t u

1 3 6 8 9

10 30 60 80 90

100 300 600 800 900

1000 3000 6000 8000 9000

Tk. 207/1. kidolgozott mintapélda: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 je-

gy¶ számok írásának többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10

000-es számkörre. Játék pénzzel megadott értékeket kell meghatározni. Figyeljük meg,

tudnak-e ügyelni a helyiértékekre a tanulók.

Tk. 207/2. feladat: A biztos számfogalom kialakítását segít® feladat. Figyeltessük meg

a szorzat változását.

Megoldás: a) 30 Ft, 300 Ft, 3000 Ft, 1500 Ft.

b) 50 Ft, 500 Ft, 5000 Ft, 1000 Ft.

Tk. 207/3. feladat: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 jegy¶ számok írásá-

nak többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10 000-es számkörre.

Megoldás: 2436 = 2 E + 4 sz + 3 t + 6 e = 2000 + 400 + 30 + 6 =

= 2 � 1000 + 4 � 100 + 3 � 10 + 6 � 1 =

= kétezer-négyszázharminchat



383

3024 = 3 E + 0 sz + 2 t + 4 e =

= 3000 + 20 + 4 =

= 3 � 1000 + 0 � 100 + 2 � 10 + 4 � 1 =

= háromezer-huszonnégy

4203 = 4 E + 2 sz + 0 t + 3 e

= 4000 + 200 + 3 =

= 4 � 1000 + 2 � 100 + 0 � 10 + 3 � 1 =

= négyezer-kétszázhárom

Tk. 208/4. feladat: Analóg számítások a 10000-es számkörben.

Megoldás: a) v = 4 � 700 + 5 � 350

v = 2800 + 1750

v = 4550 Ft

4550 Ft-ba került a két családnak a vonatjegy.

b) k = (2 � 1100 + 3 � 550) { (2 � 1200 + 2 � 600)

k = 3850 { 3600

k = 250 Ft

250 Ft-tal �zetett kevesebbet a Víg család.

c) f = 2 � 450l = 3 � 300

f = 900Ftl = 900 Ft

Igaz, hogy a �úk jegye ugyanannyiba került, mint a lányoké.

d) f = 2 � 1000 + 2 � 500l = 2 � 600 + 3 � 300

f = 3000 Ft l = 2100 Ft

Elég volt mindkét helyen 3000 Ft.

e) m = 4 � 800 + 5 � 400 { 5000

m = 200 Ft

200 Ft-ot kell még odaadniuk a pénztárosnak.

f) Többféle megoldást várunk a tanulóktól.

Gy. 206/1. feladat: 2000-es számkörben már jól begyakoroltuk a 4 jegy¶ számok írásá-

nak többféle formáját. Most a korábban tanultakat kiterjesztjük a 10 000-es számkörre.

Megoldás: a) 1453 Ft, 4453 Ft, 6453 Ft.

b) 1506 Ft, 3056 Ft, 8560 Ft.



Gy. 206/2. feladat: Adott értékeket kell játék pénzzel lerajzolniuk a tanulóknak.

Megoldás: A szám Ezresek Százasok Tízesek Egyesek

2456

3125

4051

Gy. 206/3. feladat: Bontott alakú számok leírása számjegyekkel. Idézzük föl az alaki-,

helyi- és a tényleges értékr®l tanultakat.

Megoldás: T E sz t e Számmal

3 ezres + 5 százas + 2 tízes + 8 egyes 3 5 2 8 3528

7 ezres + 2 százas + 6 tízes 7 2 6 0 7260

8 � 1000 + 3 � 100 + 9 � 10 + 1 � 1 8 3 9 1 8391

4 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 8 � 1 4 0 5 8 4058

6000 + 400 + 30 + 7 6 4 3 7 6437

9000 + 600 + 4 9 6 0 4 9604

Ötezer-hatvannégy 5 0 6 4 5064

Gy. 207/4. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Vetessük észre

az egyes feladatok közötti analógiát. A biztos számfogalom kialakításához szükséges,

hogy a tanulók egységes rendszerben lássák a számkör felépítését.

Megoldás: a) p = 1130, r = 1170, s = 1185, t = 1230, u = 1255, v = 1280,

b) p = 5130, r = 5170, s = 5185, t = 5230, u = 5255, v = 5280,

c) p = 9130, r = 9170, s = 9185, t = 9230, u = 9255, v = 9280.

Gy. 207/5. feladat: Számok helyének megkeresése a számegyenesen. Vetessük észre

az egyes feladatok közötti analógiát. A biztos számfogalom kialakításához szükséges,

hogy a tanulók egységes rendszerben lássák a számkör felépítését.

Megoldás:

900 2000

a bcd ef

4900 6000

g hij kl



385

Gy. 207/6. feladat: A 10 000-es számkör bejárása a sorozat elemeinek el®állításával.

Megoldás: a) 800; 1000; 1200; 1400; 1600; 1800; 2000; 2200; 2400.

b) 4800; 5000; 5200; 5400; 5600; 5800; 6000; 6200; 6400.

c) 300; 600; 900; 1200; 1500; 1800; 2100; 2400; 2700.

d) 6300; 6600; 6900; 7200; 7500; 7800; 8100; 8400; 8700.

e) 3200; 2800; 2400; 2000; 1600; 1200; 800; 400; 0.

f) 9200; 8800; 8400; 8000; 7600; 7200; 6800; 6400; 6000.

g) 2500; 2300; 2100; 1900; 1700; 1500; 1300; 1100; 900.

h) 9500; 9300; 9100; 8900; 8700; 8500; 8300; 8100; 7900.

Gy. 207/7. feladat: Figyeltessük meg a sorok közötti analógiát.

Megoldás: a = 1800, b = 1600, c = 2200, d = 1300, e = 2000,

f = 4800, g = 4600, h = 5200, i = 4300, j = 5000,

k = 8800, l = 8600, m = 9200, n = 8300, o = 9000.

Gy. 208/8. feladat: Játékos feladat a kreativitás, képi gondolkodás, összefüggéslátás fej-

lesztésére. Pálcikákból rakják ki a tanulók a feladatot, s úgy próbálkozzanak a megoldás

megkeresésével.

Megoldás: a) b) c)

Gy. 208/9. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére.

Megoldás: M = 0

M + A = 1000 A = 1000

A + T = 3000 T = 2000

T + E = 5000 E = 3000

E + K = 7000 K = 4000

Megoldás: M + A + T + E + K = 10 000

0 + 1000 + 2000 + 3000 + 4000 = 10 000

Gy. 208/10. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére.

Megoldás:

2000 1000 4000

3000 5000

8000

2000 3000 1000

5000 4000

9000

Gy. 208/11. feladat: Játékos feladat a kreativitás, összefüggéslátás fejlesztésére. Több

megoldás lehetséges, csak olyan megoldásokat közöltünk, amelyekben minden forma

különböz® és az alakzat értéke is különböz®.



Megoldás:

1500

2500

3000

1000

2500

3000

2000

2500

3000

6000 7000 6500 7500

1500 2500

2000

1000

2000 3000

15002500

2000 3000

2500

1000

7000 9000 8500



387

matematika 3. módszertani ajánlások, második...

Documents