matematika-math1440-lekcija 1

1

06-11102008 1

Универзитет Американ Колеџ - СкопјеUniversity American College - Skopje

Курс Математика

Реални броеви експоненти корени рационални алгебарски изрази

Слајдовите ги подготвил проф Ѓорѓи ЈованчевскиПредавач (прилагодил за 20082009) доц Вено Пачовски

06-11102008 2Negativnibroevi

Nula

Pozitivni broevi

Celi broevi

Racionalni broevi

Iracionalnibroevi

Realni broevi

РЕАЛНИ БРОЕВИ

N - природни броеви 12345hellipZ - цели броеви hellip -32--201234hellipQ - рационални броеви можат да се изразат како однос на два цели броја

каде m и n се цели броеви и nne0(Потсетете се дека делење со 0 не е дозволено)

I - Ирационални броеви реални броеви кои не можат да се изразат како однос на два целиброја На пример

Унија на множествата Q и I е множество на реални броеви и се означува со R

3113 512372

ππminus

nmr =

Систем на реални броеви

МАТЕМАТИКАПредавање 01

2

06-11102008 3

Реалните броеви можат да се претстават на реална оска

Точката O која одговара на реалниот број 0 се нарекува координатен почеток O

Реалните броеви се подредени Велиме дека altb a е помало од b

bgta b е поголемо од aaleb a е помало или еднакво на bageb a е поголемо или еднакво на b


06-11102008 4

Интервали Подмножество од множеството реални броеви се нарекува интервалТиповиинтервали

[-4 -1)Множествотоброеви xa le x lt b

[a b)

ПримерСликаОписИнтервал

(-3 1]Множествотоброеви x

a lt x le b

(a b]

Полуотворен

(-1 5)

(исклучени крајните точки)

Множествотоброеви xa lt x lt b

(a b)Отворен

[0 10]

(вклучени крајните точки)

Множествотоброеви x

a le x le b

[a b]Затворен


3

06-11102008 5


(- infin + infin)Множеството нареалните броеви

(- infin + infin)

(- infin b)Множеството броеви xx lt b

(- infin b)

(- infin 0]Множеството броевиx

x le b

(- infin b]

(-3 + infin)Множеството броеви xa lt x

(a + infin )

[0 + infin )Множеството броеви xa le x

[a + infin )

Бесконеченинтервал


06-11102008 6

множеството на негативните броевиене е(- infin 0)Q5

множеството на позитивните броевиене е[0+ infin )Q4

најголем цел број во (-5 2)ене е1Q3

елемент од [-5 2)ене е

-5Q2

елемент од (-5 2)ене е2Q1

Вежби (Заокружете го точниот одговор)


4

06-11102008 7

Операции со реални броеви

Има пет основни операции со реални броеви и тоа собирање одземање множење делење степенување

ldquoСтепенување значи подигање на еден реален број на некој степенНа пример 23 = 2 22 = 8

Собирање c = a+b ab ndash собироци c ndash збир (сума)Одземање c = a-b = a+(-b) -b ndash спротивен на b c - разликаМножење c = ab ab ndash множители c ndash производ

01nesdot== b

ba

bacДелење a ndash броител

b ndash именител c ndash количник

- реципрочна вредност на b b1


06-11102008 8

Својства на реалните броеви

за собирање за множењезатвореност a+b е пак реален број ab е пак реален број

комутативност a+b = b+a ab = ba

асоцијативност (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

неутрален број постои единствен број 0 постои единствен број 1така да важи a+0 = 0+a така да важи a 1 = 1 a

инверзен број за секој реален број a постои за секој реален број a постоиединствен реален број ndasha таков единствен реален број 1a таковда важи да важи

a+(-a) = (-a)+a=0

дистрибутивност

111=sdot=sdot a

aaa


a(b+c) = ab + ac

5

06-11102008 9

Редослед на операциите

При пресметување на некој израз користиме правила за редоследот на извршување наоперациите

1 Загради и дробни црти- пресметување на изразите во загради

(користејќи стандарден редослед на операциите од лево кон десно)- се почнува од највнатрешната заграда - при пресметување на дропка прво се пресметуваат броителот и именителот посебно а потоа се врши делење

2 ЕкспонентиСе подигаат сите броеви на означените степени

3 Множење и делењеСе извршуваат сите множења и делења од лево на десно

4 Собирање и одземањеНа крајот се извршуваат собирањата и одземањата од лево на десно


06-11102008 10

(Заокружете го точниот одговор)

Q1 Прв чекор при пресметување на изразот (23 - 4) 5 е

c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5

Q2 Пресметајте (23 - 4) 5 =

d) 42c) 36b) -12a) 20

Вежби

е __________Вредноста на изразотQ1


2

5432 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

3

2

359414

)()(

minusminusminus

Задачи


6

06-11102008 11

исто соене е

Вредноста на изразот 323+1Q2

исто соене еВредноста на изразот 232-5Q1

Во компјутерските апликации се користат посебни знаци и тоазнакот (ѕвезда) за множењезнакот ^ (капа) за степенување Примери 3 x 5 се запишува како 35

32 се запишува како 3^2Сите загради во изразите се мали загради

На пример се запишува како 2(1+(32-5))


е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ5

е еднакво на __________ако x = 2 тогашQ4 2(1+01)^2x

(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12

Експоненти целирационални

Целобројни експонентиa) Позитивни експоненти

Ако а е некој реален број и n е некој позитивен цел број тогаш an значи

Бројот а се нарекува база а бројот n се нарекува експонент

a1 = a a2 = aa a5 = aaaaa

Примери32 = 9 база 3 експонент 2 104 - база 10 експонент 405 = 0 0 на секој позитивен експонент е 0 те 0n = 0(-1)3 =(-1)(-1)(-1)=-1

-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13

МАТЕМАТИКА

Идентите со експоненти

ПримерПравило

2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman

am-n if m gt n and a ne 0 =am

an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3

(m и n се цели броеви)

Производ на степени

Количник на степени

Степен на степен

Степенување на производ

Степенување на количник

Предавање 01

06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15

b) Негативни експоненти и експонент нула

Ако а е реален број различен од нула и n е некој позитивен цел број тогаш

Секој реален број на степен 0 е еден

Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(

)x( ==== minusminusminus

cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17

КорениДефиниција

Ако а е некој ненегативен реален број тогаш постои реален број b таков да важи b2 =a Велиме дека бројот b е квадратен корен од a

На пример 42 = 16 и квадратен корен од 16 е 4 Тоа се запишува соДруг пример (-2)4 = 16 и четврти корен од 16 е -2 Тоа се запишува со

Слично се дефинира шести корен осми корен итн Бидејќи b2 и (-b)2 се еднакви b4 и (-b)4 се еднакви итн bk и (-b)k се еднакви тогаш

Слично

Општо непарните корени имаат знак како и поткорената величина

Многу важно

416 =

2164 minus=

pareniza minuslt k0aak

pareniza minusgeplusmn= k0abak


nepareniza minusge+= k0abak

nepareniza minusltminus= k0abak

не е реален број

06-11102008 18

Ознака Име Примери

a

3 a

4 a 189212216381 444 ===

3271128 333 =minus=minusminus=minus

11416 ==

1minusКвадратен корен од а

Кубен корен од а

Четврти корен од а

4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516

n a n-ти корен од а




10

06-11102008 19

Својства на корените

Производна корени

Количникна корени

Коренувањена корен

nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =

ПримериПравило

10100012586369494 333 minus=minus=minusminus==sdot=

2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==

32343412 =sdot=sdot=

523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33

е еднаков наQ3 381minus 22

21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21

Рационални експоненти

Корените можат да се изразат со дробни (рационални) експоненти

Ознака сокорени

Ознака соекспоненти Примери

a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331

3 minus=minus=minus=minus ))(()(

32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22

Идентитети со експоненти

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)

примерПравило

apaq = ap+q

= apminusq if ane0 ap

aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =

(p и q се рационални броеви)

( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21

2222424 =sdot=sdot=sdot

34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24

Множење на алгебарски изрази

Еден од најважните математички закони за множење алгебарски изрази едистрибутивниот закон за реални броеви

Ако a b и c се реални броеви тогашa(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ndash ac(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc

Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3

c) (1 - y)(1 + y + y2)=(1 - y)(1) + (1 - y)(y) + (1 - y)(y2)=1 - y + y - y2 + y2 - y3=1 - y3


13

06-11102008 25

Побрз начин за множење на алгебарски изрази е наречен ldquoПНВП метода Пример

x2 - 2x + x - 2 = x2 - x - 2Потоа ги собираме

1(-2) = -2Множење на Последните членовиП1x = xМножење на Внатрешните членовиВ

x(-2) = -2xМножење на Надворешните членовиНxx = x2Множење на Првите членовиП

(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26

примерите Q3 Q4 и Q5 сепознати како идентитети

(1 - 3x)2 = 1 - 6x + 9x2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2Квадрат на разлика(3 + 2r)2 = 9 + 12r + 4r2(a + b)2 = a2 + 2ab + b2Квадрат на збир(3 - 2x)(3 + 2x) = 9 - 4x2(a + b)(a - b) = a2 - b2Разлика на квадрати

Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи

(a3b + 2ab)(a4 ndash2a3) =Q6

(x2y ndash xy2 )(x3 +x2y) =Q5


14

06-11102008 27

Факторизација на алгебарски изрази

Факторизација на алгебарски изрази се врши со примена на дистрибутивниот закон воспротивен редослед

На пример 2x2 + x = x(2x + 1) Прв чекор при факторизација е одредување на заедничкиот фактор ndash тоа е членот кој се

јавува како фактор во сите изрази било да се собираат или одземаат На пример x е заеднички фактор во 2x2 + x бидејќи е фактор и во 2x2 и во x

ене е

ене е

ене е

ене еQ1 заеднички фактор во

Q2 заеднички фактор во



Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери

1 Изразот 2x3 - x2 + x има заеднички фактор х 2x3 -x2 + x = x(2x2 - x + 1)

2 2x2 + 4x има заеднички фактор 2х2x2 + 4x = 2x(x + 2)

3 2x2y + xy2 - x2y2 има заеднички фактор ху2x2y + xy2 - x2y2 = xy(2x + y - xy)

2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29

Рационални алгебарски изрази

Рационален израз е алгебарски израз со форма каде Qne0 QP

11+x 13

22

3

+minus

xxxy 1023 25 minus+minus xxx

ПримериP

Q

Правила за рационални изрази

Множење

Собирање со ист именител

Општо правило за собирање(ист или различен именител)

QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1

Одземање со ист именител

Општо правило на одземање(со ист или различен именител)

Реципрочна вредностна дропка

Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1

Двојна дропка

Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31

Ви благодарам на вниманието

Прашања коментари


2

06-11102008 3

Реалните броеви можат да се претстават на реална оска

Точката O која одговара на реалниот број 0 се нарекува координатен почеток O

Реалните броеви се подредени Велиме дека altb a е помало од b

bgta b е поголемо од aaleb a е помало или еднакво на bageb a е поголемо или еднакво на b


06-11102008 4

Интервали Подмножество од множеството реални броеви се нарекува интервалТиповиинтервали

[-4 -1)Множествотоброеви xa le x lt b

[a b)


(-3 1]Множествотоброеви x

a lt x le b

(a b]

Полуотворен

(-1 5)

(исклучени крајните точки)

Множествотоброеви xa lt x lt b

(a b)Отворен

[0 10]

(вклучени крајните точки)

Множествотоброеви x

a le x le b

[a b]Затворен


3

06-11102008 5



(- infin + infin)


(- infin b)


x le b

(- infin b]


(a + infin )


[a + infin )



06-11102008 6





-5Q2




4

06-11102008 7





01nesdot== b

ba





06-11102008 8







a+(-a) = (-a)+a=0


111=sdot=sdot a

aaa


a(b+c) = ab + ac

5

06-11102008 9









06-11102008 10



c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5


d) 42c) 36b) -12a) 20

Вежби



2

5432 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

3

2

359414

)()(

minusminusminus

Задачи


6

06-11102008 11










(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12







-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




3

06-11102008 5



(- infin + infin)


(- infin b)


x le b

(- infin b]


(a + infin )


[a + infin )



06-11102008 6





-5Q2




4

06-11102008 7





01nesdot== b

ba





06-11102008 8







a+(-a) = (-a)+a=0


111=sdot=sdot a

aaa


a(b+c) = ab + ac

5

06-11102008 9









06-11102008 10



c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5


d) 42c) 36b) -12a) 20

Вежби



2

5432 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

3

2

359414

)()(

minusminusminus

Задачи


6

06-11102008 11










(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12







-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




4

06-11102008 7





01nesdot== b

ba





06-11102008 8







a+(-a) = (-a)+a=0


111=sdot=sdot a

aaa


a(b+c) = ab + ac

5

06-11102008 9









06-11102008 10



c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5


d) 42c) 36b) -12a) 20

Вежби



2

5432 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

3

2

359414

)()(

minusminusminus

Задачи


6

06-11102008 11










(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12







-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




5

06-11102008 9









06-11102008 10



c) 23 - 20b) (8 - 4) 5a) (6 - 4) 5


d) 42c) 36b) -12a) 20

Вежби



2

5432 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛minus

3

2

359414

)()(

minusminusminus

Задачи


6

06-11102008 11










(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12







-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




6

06-11102008 11










(2-64-2)^x

Вежби

532

3 minus

)( 1323 +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ minus+ 52312


06-11102008 12







-23 = (-2)3 = -24 = (-2)4 =

43421патиn

n aaaaaminus

sdotsdotsdotsdot=

Вежби


7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




7

06-11102008 13




2322 = 25 = 32

(e)

(d)

(c)

(b)

(a)am+n=aman


an 43-2 = 41 = 4 =43

42

anm=(an)m 26 = 64=(23)2

anbn=(ab)n 4222 = 64=(42)2

an

bn=na

b169=42

32=24

3








06-11102008 14

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)4(-2)2 (-2) = 75

73

3212

= 1 2

(xy3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x2y)3 = xy

x9

= x

(x2)3

x4y5

= xy

(xy2)2

Q4(x2y)3

= xy

(x4y3)2

Задачи


8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




8

06-11102008 15




Примери

43421patiminus

minus

sdotsdotsdotsdot==

n

nn

aaaa1

a1a

10 =a

xx 11 =minus

22 1

yy =minus 5

5

5 111 x

xx

==minus

2

3

3

2

3

2

1

1

xy

y

xyx

==minus

minus 6

62

3

2323

11

111 x

x)

x()x(


cbda

dcba

sdotsdot

=


06-11102008 16

Вежби

Q4=Q3

= 7 = Q2=Q1 (-2)-4(-2)-

2 (-2) = 7-5

7-3

-3212

= 1 2

(xy-3)2 = xx

Q3

Q2Q1 (4x-2y)3 = xy

x-9

= x

(x2)-3

x-4y-5

= xy

(xy-2)2

Q4(x-2y)-3

= xy

(x-4y-3)-2

Задачи


9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




9

06-11102008 17





Слично



416 =

2164 minus=







06-11102008 18


a

3 a

4 a 189212216381 444 ===


11416 ==




4 2minus

=25

Вежби

=minus 25 =minus7 1

=minus3 125 =41

=+ 2516





10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




10

06-11102008 19





nnn abba =

nn

n

ba

ba=

nmn m aa =



2321

321

3221

41

164

164 55

5

5minus=minus=

minus=

minus===

26464 63 ==


523

125227

125227

12554

12554 3

3

33

3

3

3

33 =

sdot=

sdot==

2446464 2 244 312 ====


06-11102008 20

е еднаков наQ1 12 102238234 ++

е еднаков наQ2 3 24 61243232 33


21

21

minusminusminus

Q32720

Вежби

Задачи

Q1 312 sdot Q2 3

3

2724

Q4 3 8 Q54520

Q6 3

15403 sdot


11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




11

06-11102008 21





a

3 a

n a

21

a

31

a

na1

23

21

3321

21

21

21

21

5554343121233 ==sdot=sdot=== )()(

332727 31

331


32

31

23 231

3 55511 ==minus=minus )()(

nm

n m aa =

Општо

3351

5351

53

5 3 22323232 ==== ))(())(()(


06-11102008 22


(e)

(d)

(c)

(b)

(a)


apaq = ap+q


aq

= apq(ap)q

(ab)p = apbp

ap

bp

pab =


( ) 4

4

334

31

3

4

31

34

31

35

2228888 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

minus

31

9

19999

21

212

23

2

23

====minusminus

( ) 4161616 21

42

41

2 ===

( ) 23

21

21

21

21


34

9

169

16

21

21

21

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛







12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




12

06-11102008 23

Q1

12

=23

4 Q2 =32

125 Q3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 35

81

Q1 ( ) =minus 75

1 Q2 x

x=

34

31

Q3 x

)x(=

31

35

2

Q4 Q5 yx

yx=

minusminus

23

23

23

21

Q6 yx

y=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛minus

minus

minus2

25

21

21

2yx

yx=

minusminus

minusminus

21

3

12

Вежби

Задачи


06-11102008 24




Примери

a) x(x + 1) = xx + x1 = x2 + x

b) (y - 2x)x2 = yx2 - 2xx2 = x2y - 2x3



13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




13

06-11102008 25





(x+1)(x-2)

(-x + 2)(2x - 1) =Q2

(4x - 3)(2x + 5) =Q1

Задачи

(a + b)(a - b) =Q5

(x - y)2 =Q4

(x + 3)2 =Q3


06-11102008 26



Пример

(x - y)(x2 + xy + y2) = Q4

(x - 1)3 = Q3

(x2 ndash 4x + 1)(2x + 5) =Q2

(x + 1)(x2 + 3x - 4) =Q1 Задачи




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




14

06-11102008 27





ене е

ене е

ене е





Вежби2x

x

3x

xx3

342 43 xxx +minus

21

25

23

21 xxx minusminus

33 52

xx minus

xxx 22 36 minus


06-11102008 28

Примери




2x2 - 6x3 + 8x4 =

Задачи

Q1

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

(x2+1)(x2+5) - (x2+1)(2x2) =(x- 3)5(x + 2)6 + (x -3)6(x + 2)5

= xxx minus+23

6x5 - 4x3 + 2x2 =

10x(x2+1)4(x3+1)5 + 15x2(x2+1)5(x3+1)4 =


15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




15

06-11102008 29



11+x 13

22

3

+minus


ПримериP

Q


Множење



QSPR

SR

QP

=times

QSRQPS

SR

QP +

=+

QRP

QR

QP +

=+


06-11102008 30

1




Кратење

QRP

QR

QP minus

=minus

QSQRPS

SR

QP minus

=minus

RS

SR =1

QP

QXPX

= QRPS

RS

QP

SRQ

P

SRQP

=sdot=sdot=1


Примери

xyxyx

xy)x(xy

yx

xy minus+

=minus+

=minus

+222 11

)yxxy(x)y(yxy)y(x

yxy

yx 2222

11

1minus+

=+minus+

=+

minus2

1

3)yx(yx

yxxy

)yx(xyxx

yxyx

+minusminus

=+minusminus

=minus

+3

33

3

311

Вежби

1

2

3

=+minus

minusminus 1

11 x

xx

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

minusminus y

xy

)x(xy 32

1

2

=

minus

+minus

minus

yxy

yxyx11


16

06-11102008 31




16

06-11102008 31




matematika-math1440-lekcija 1

Documents