MATEMATIKA I. RSZLETES RETTSGIVIZSGA-KVETELMNYAz rettsgi kvetelmnyeit kt szinten hatrozzuk meg: kzpszinten a mai trsadalomban tjkozdni s alkotni tud ember matematikai ismereteit kell megkvetelni, ami elssorban a matematikai fogalmak, ttelek gyakorlati helyzetekben val ismerett s alkalmazst jelenti; az emelt szint tartalmazza a kzpszint kvetelmnyeit, de az azonos mdon megfogalmazott kvetelmnyek krben az emelt szinten nehezebb, tbb tletet ignyl feladatok szerepelnek. Ezen tlmenen az emelt szint kvetelmnyei kztt specilis anyagrszek is tallhatk, mivel emelt szinten elssorban a felsoktatsban matematikt hasznl, illetve tanul dikok felksztse trtnik.

A) KOMPETENCIKGondolkodsi mdszerek, halmazok, logika, kombinatorika, grfok - Legyen kpes a tanul adott szvegben rejl matematikai problmkat szrevenni, szksg esetn matematikai modellt alkotni, a modell alapjn szmtsokat vgezni, s a kapott eredmnyeket rtelmezni. - Legyen kpes kijelentseket szabatosan megfogalmazni, azokat sszekapcsolni, kijelentsek igazsgtartalmt megllaptani. - Lssa az eltrseket, illetve a kapcsolatokat a matematikai s a mindennapi nyelv kztt. - A matematika minden terletn s ms tantrgyakban is tudja alkalmazni a halmaz fogalmt, illetve a halmazmveleteket. - Legyen jrtas alapvet kombinatorikus gondolatmenetek alkalmazsban, s legyen kpes ennek segtsgvel gyakorlati sorbarendezsi s kivlasztsi feladatok megoldsra. - Ismerje a grfok jelentsgt, sokoldal felhasznlhatsguk nhny terlett, s legyen kpes tovbbi felhasznlsi lehetsgek felismersre a gyakorlati letben s ms tudomnygakban. - Az emelt szinten rettsgiz dik ismerje a halmazelmlet alapvet szerept a mai matematika felptsben. Szmelmlet, algebra - Legyen kpes a tanul bets kifejezsek rtelmezsre, ismerje fel hasznlatuk szksgessgt, tudja azokat kezelni, lssa, hogy mi van a betk mgtt. - Ismerje az egyenlet s az egyenltlensg fogalmt, megoldsi mdszereit (pl. algebrai, grafikus, kzelt). - Legyen kpes egy adott problma megoldsra felrni egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenltlensgeket, egyenltlensg-rendszereket. - Tudja az eredmnyeket elre megbecslni, llaptsa meg, hogy a kapott eredmny relis-e. - Az emelt szinten rettsgiz diknak legyen jrtassga az sszetettebb algebrai talaktsokat ignyl feladatok megoldsban is. Fggvnyek, az analzis elemei - Legyen kpes a tanul a krltte lev vilg egyszerbb sszefggseinek fggvnyszer megjelentsre, ezek elemzsbl tudjon kvetkeztetni valsgos jelensgek vrhat lefolysra. - Legyen kpes a vltoz mennyisgek kztti kapcsolat felismersre, a fggs rtelmezsre. rtse, hogy a fggvny matematikai fogalom, kt halmaz elemeinek egymshoz rendelse. Ismerje fel a hozzrendels formjt, elemezze a halmazok kztti kapcsolatokat. - Lssa, hogy a sorozat diszkrt folyamatok megjelentsre alkalmas matematikai eszkz, a pozitv egsz szmok halmazn rtelmezett fggvny. Ismerje a szmtani s mrtani sorozatot. - Az emelt szinten rettsgiz dik ismerje az analzis nhny alapelemt, amelyekre ms szaktudomnyokban is (pl. fizika) szksge lehet. Ezek segtsgvel tudjon fggvnyvizsglatokat vgezni, szlsrtket, grbe alatti terletet szmolni.

Geometria, koordintageometria, trigonometria - Tudjon a tanul skban, illetve trben tjkozdni, trbeli viszonyokat elkpzelni, tudja a hromdimenzis valsgot - alkalmas skmetszetekkel - kt dimenziban vizsglni. - Vegye szre a szimmetrikat, tudja ezek egyszerst hatsait problmk megfogalmazsban, bizonytsokban, szmtsokban kihasznlni. - Tudjon a feladatok megoldshoz megfelel brt kszteni. - Tudjon mrni s szmolni hosszsgot, terletet, felsznt, trfogatot, legyen tisztban a mrsi pontossg fogalmval. - Ismerje a geometria szerept a mszaki letben s bizonyos kpzmvszeti alkotsokban. - Az emelt szinten rettsgiz dik tudja szabatosan megfogalmazni a geometriai bizonytsok gondolatmenett. Valsznsg-szmts, statisztika - rtse a tanul a statisztikai kijelentsek s gondolatmenetek sajtos termszett. - Ismerje a statisztikai lltsok igazolsra felhasznlhat adatok gyjtsnek lehetsges formit, s legyen jrtas a kapott adatok ttekinthet szemlltetsben, klnbz statisztikai mutatkkal val jellemzsben. - Az emelt szinten rettsgiz dik tudjon egyszerbb vletlenszer jelensgeket modellezni s a valsznsgi modellben szmtsokat vgezni. - Emelt szinten ismerje a vletlen szerept egyszer statisztikai mintavteli eljrsokban.

B) VIZSGAKVETELMNYEK 1. Gondolkodsi mdszerek, halmazok, logika, kombinatorika, grfokE tmakrt (klnsen a gondolkodsi mdszereket, a halmazokat s a matematikai logikt) elssorban nem nllan szmon krhet ismeretanyagknt kell elkpzelni, hanem olyan szemlletforml, a matematikaoktats egszt tszv mdszerek, illetve eszkzk sszessgeknt, amely szinte teljes egszben megjelenik minden tovbbi tmakrben is. TMK 1.1. Halmazok VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Ismerje s hasznlja a halmazok megadsnak klnbz mdjait, a halmaz elemnek fogalmt. Definilja s alkalmazza gyakorlati s matematikai feladatokban a kvetkez fogalmakat: halmazok egyenlsge, rszhalmaz, res halmaz, vges s vgtelen halmaz, komplementer halmaz. Ismerje s alkalmazza gyakorlati s matematikai feladatokban a kvetkez mveleteket: egyests, metszet, klnbsg. Tudjon koordinta-rendszerben brzolni egyszerbb ponthalmazokat. Vges halmazok elemeinek szma. Ismerjen pldt vges, megszmllhatan vgtelen s nem megszmllhatan vgtelen halmazra. Tudjon egyszer matematikai szvegeket Alkalmazza tudatosan a nyelv logikai rtelmezni. elemeit. Ismerje s alkalmazza megfelelen a kijelents (llts, tlet) fogalmt. rtse s egyszer feladatokban alkalmazza az llts tagadsa mveletet.

1.1.1. Halmazmveletek

1.1.2. Szmossg, rszhalmazok 1.2. Matematikai logika

TMK

1.2.1. Fogalmak, ttelek s bizonytsok a matematikban

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Ismerje az s, a (megenged) vagy logikai jelentst, tudja hasznlni s sszekapcsolni azokat a halmazmveletekkel. rtse s hasznlja helyesen az implikcit s az ekvivalencit. Hasznlja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. Tudjon defincikat, tteleket pontosan Ismerje az albbi bizonytsi tpusokat s megfogalmazni. tudjon pldt mondani alkalmazsukra: direkt s indirekt bizonyts, skatulyaelv. Hasznlja s alkalmazza feladatokban Tudja megfogalmazni konkrt esetekben helyesen a szksges, az elgsges s a ttelek megfordtst. szksges s elgsges felttel fogalmt. Tudjon egyszer sorbarendezsi, kivlasztsi Ismerje, bizonytsa s alkalmazza a s egyb kombinatorikai feladatokat permutcik, varicik (ismtls nlkl s megoldani. ismtlssel), kombincik (ismtls nlkl) kiszmtsra vonatkoz kpleteket. Tudja kiszmolni a binomilis egytthatkat. Ismerje s alkalmazza a binomilis ttelt. Definilja a kvetkez fogalmakat: pont, l, Tudjon konkrt szitucikat szemlltetni, s fok, t, kr, sszefgg grf, fa. egyszer feladatokat megoldani grfok Ismerje az egyszer grf pontjainak foka s segtsgvel. leinek szma, valamint a fa pontjai s lei szma kztti sszefggst.

1.3. Kombinatorika

1.4. Grfok

2. Szmelmlet, algebraAz algebra tantsnak egyik f clja annak felfedeztetse s megrtetse, hogy egymstl tvol llnak tn problmk ugyanazon matematikai, algebrai struktrval rendelkeznek, ezrt megoldsuk sorn hasonl eljrsokat, gondolatmeneteket alkalmazhatunk, s lersuk formlisan azonos mdon trtnik. (Pldul klnbz tmakrkbl vett msodfok egyenletre vezet feladatok.) Fontos a szmols sorn megismert mveleti szablyok absztrahlsa, a jrtassg megszerzse a betkifejezsekkel vgzett mveletekben. Meg kell mutatni a szmfogalom bvtsnek szksgessgt s folyamatt. El kell juttatni a tanulkat a permanencia-elv fontossgnak felismershez. VIZSGASZINTEK Kzpszint Tudjon alapmveleteket biztonsgosan 2.1. elvgezni (zsebszmolgppel is). Alapmveletek Ismerje s hasznlja feladatokban az alapmveletek mveleti azonossgait (kommutativits, asszociativits, disztributivits). 2.2. A termszetes Ismerje, tudja definilni s alkalmazni az szmok halmaza, oszthatsgi alapfogalmakat (oszt, tbbszrs, prmszm, sszetett szm). szmelmleti ismeretek Tudjon termszetes szmokat prmtnyezkre bontani, tudja adott szmok legnagyobb kzs osztjt s legkisebb kzs tbbszrst kiszmtani; tudja mindezeket egyszer szveges (gyakorlati) feladatok megoldsban alkalmazni. TMK Emelt szint

TMK

2.2.1. Oszthatsg

2.2.2. Szmrendszerek

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Definilja s alkalmazza feladatokban a relatv prmszmokat. Tudja a szmelmlet alapttelt alkalmazni Tudja pontosan megfogalmazni a feladatokban. szmelmlet alapttelt. Ismerje a 10 hatvnyaira, illetve a 2, 3, 4, 5, Oszthatsgi feladatok. 6, 8, 9 szmokra vonatkoz oszthatsgi szablyokat, tudjon egyszer oszthatsgi feladatokat megoldani. Tudjon ms szmrendszerek ltezsrl. Tudja a szmokat trni 10-es alap szmrendszerbl 2 alap szmrendszerbe s viszont. Helyirtkes rsmd. Tudja definilni a racionlis szmot s ismerje az irracionlis szm fogalmt. Tudja a szmokat trni 10-es alap szmrendszerbl n alap szmrendszerbe s viszont. Bizonytsa, hogy irracionlis szm.

2.3. Racionlis s irracionlis szmok

Adott n (n N) esetn tudja eldnteni, hogy irracionlis szm-e. 2.4. Vals szmok Ismerje a vals szmkr felptst (N, Z, Q, Q*, R), valamint a vals szmok s a

Tudja, hogy mit rtnk adott mveletekre zrt szmhalmazokon.

2.5. Hatvny, gyk, logaritmus

2.6. Betkifejezsek 2.6.1. Nevezetes azonossgok

szmegyenes kapcsolatt. Tudjon brzolni szmokat a szmegyenesen. Tudja az abszoltrtk defincijt. Ismerje adott szm normlalakjnak felrsi mdjt, tudjon szmolni a normlalakkal. A hatvnyozs rtelmezse racionlis kitev Permanencia elv. esetn. Irracionlis kitevj hatvny rtelmezse szemlletesen. Ismerje s hasznlja a hatvnyozs Bizonytsa a hatvnyozs azonossgait egsz azonossgait. kitev esetn. fogalmt. Definilja s hasznlja az Ismerje s alkalmazza a ngyzetgykvons Bizonytsa a ngyzetgykvons azonossgait. azonossgait. Definilja s hasznlja feladatok Bizonytsa a logaritmus azonossgait. megoldsban a logaritmus fogalmt, valamint a logaritmus azonossgait. Tudjon ttrni ms alap logaritmusra. Ismerje a polinom fokszmt, fokszm szerint rendezett alakjt. Tudja alkalmazni feladatokban a kvetkez Tudja alkalmazni feladatokban az an-bn, kifejezsek kifejtst, illetve szorzatt illetve az a2m+1 + b2m+1 kifejezs szorzatt alaktst: (a + b)2; (a - b)2; (a + b)3; (a - b)3; alaktst. a2 - b2; a3 - b3; Tudjon algebrai kifejezsekkel egyszer mveleteket vgrehajtani, algebrai kifejezseket egyszerbb alakra hozni (sszevons, szorzs, oszts, szorzatt alakts kiemelssel, nevezetes azonossgok alkalmazsa).

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Tudja az egyenes s a fordtott arnyossg 2.7. Arnyossg defincijt s grafikus brzolsukat. Tudjon arnyossgi feladatokat megoldani. 2.7.1. Szzalkszmtssal kapcsolatos feladatok Szzalkszmts megoldsa. Ismerje az alaphalmaz s a megoldshalmaz 2.8. Egyenletek, egyenletrendszere fogalmt. Alkalmazza a klnbz egyenletmegoldsi k, egyenltlensgek, mdszereket: mrlegelv, grafikus megolds, ekvivalens talaktsok, egyenltlensgkvetkezmnyegyenletre vezet talaktsok, rendszerek j ismeretlen bevezetse stb. 2.8.1. Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Tudjon elsfok, egyismeretlenes Tudjon paramteres elsfok egyenleteket Elsfok egyenleteket megoldani. megoldani. egyenletek, Ktismeretlenes elsfok egyenletrendszer Kt- s hromismeretlenes elsfok egyenletrendszerek megoldsa. egyenletrendszerek megoldsa. Egyszer ktismeretlenes lineris Alkalmazza az egyenleteket, paramteres egyenletrendszer megoldsa. egyenletrendszereket szveges feladatok megoldsban. Msodfok Ismerje az egyismeretlenes msodfok egyenletek, egyenlet ltalnos alakjt. egyenletrendszerek Tudja meghatrozni a diszkriminns fogalmt. Ismerje s alkalmazza a megoldkpletet. Igazolja a msodfok egyenlet megoldkplett. Hasznlja a teljes ngyzett alakts mdszert. Alkalmazza feladatokban a gyktnyezs Igazolja s alkalmazza a gykk s alakot. egytthatk kztti sszefggseket. Msodfok paramteres feladatok Tudjon trtes egyenleteket, msodfok megoldsa. egyenletre vezet szveges feladatokat megoldani. Msodfok egyenletrendszerek megoldsa. Magasabb fok Egyszer, msodfokra visszavezethet Tudjon msodfokra visszavezethet egyenletek egyenletek megoldsa. egyenletrendszereket megoldani. rtelmezsi tartomny, illetve rtkkszletvizsglattal, valamint szorzatt alaktssal megoldhat feladatok, sszetett feladatok megoldsa. Tudjon kt ngyzetre emelssel megoldhat Ngyzetgyks tpus Tudjon egyenleteket megoldani. egyenletek egyenleteket megoldani. 2.8.2. Nem algebrai egyenletek Abszoltrtkes egyenletek algebrai Abszoltrtkes Tudjon |ax + b| = c tpus egyenleteket megoldsa. egyenletek algebrai s grafikus mdon, valamint |ax + b| = cx + d tpus egyenleteket megoldani.

TMK

TMK Exponencilis s logaritmikus egyenletek Trigonometrikus egyenletek 2.8.3. Egyenltlensgek, egyenltlensgrendszerek

VIZSGASZINTEK Kzpszint Tudjon defincik s azonossgok kzvetlen alkalmazst ignyl feladatokat megoldani. Tudjon defincik s azonossgok kzvetlen alkalmazst ignyl feladatokat megoldani. Ismerje az egyenltlensgek alaptulajdonsgait (mrlegelv alkalmazsa).

Emelt szint

Tudjon megoldani sszetett feladatokat.

2.9. Kzprtkek, egyenltlensgek

Egyszer els- s msodfok Tudjon egyszer ngyzetgyks, egyenltlensgek s egyszer egyismeretlenes abszoltrtkes, exponencilis, logaritmikus egyenltlensg-rendszerek megoldsa. s trigonometrikus) egyenltlensgeket megoldani. Kt pozitv szm szmtani s mrtani Ismerje a szm szmtott kzprtkeit kzepnek fogalma, kapcsolatuk, hasznlatuk. (aritmetikai, geometriai, ngyzetes, harmonikus), valamint a nagysgrendi viszonyaikra vonatkoz tteleket. Bizonytsa, hogy kplet , ha a, b R+. Tudjon megoldani feladatokat szmtani s mrtani kzp kztti sszefggs alapjn.

3. Fggvnyek, az analzis elemeiA tmakr (hasonlan a geometria, illetve a valsznsg-szmts, statisztika fejezetekhez) klnsen alkalmas annak szemlltetsre, hogy egy problma matematikai megoldsa hrom lpsben trtnik: a matematikai modell megalkotsa, a matematikai feladat megoldsa a modellen bell, s az eredmny rtelmezse. Fontos terlet a fggvnybrzols alkalmazsa egyenletek s egyenltlensgek megoldsban. TMK 3.1. A fggvny VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint A fggvny matematikai fogalma. Ismerje a Tudja az alapvet fggvnytani fogalmak fggvnytani alapfogalmakat (rtelmezsi pontos defincijt. tartomny, hozzrendels, kphalmaz, helyettestsi rtk, rtkkszlet) Tudjon szvegesen megfogalmazott Ismerje s alkalmazza a fggvnyek fggvnyt kplettel megadni. megszortsnak (leszktsnek) s kiterjesztsnek fogalmt. Tudjon helyettestsi rtket szmtani, illetve tudja egyszer fggvnyek esetn f(x) = c alapjn az x-et meghatrozni. Ismerje az egy-egyrtelm megfeleltets fogalmt. Ismerje s alkalmazza a fggvnyeket gyakorlati problmk megoldsnl. Az inverzfggvny fogalmnak szemlletes rtelmezse (pl. az exponencilis s a logaritmus fggvny vagy a geometriai transzformcik). sszetett fggvny fogalma.

TMK 3.2. Egyvltozs vals fggvnyek

3.2.1. A fggvnyek grafikonja, fggvnytranszfor mcik

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Ismerje, tudja brzolni s jellemezni az Ismerje s tudja brzolni az x xn; n N albbi hozzrendelssel megadott (alapvet) fggvnyt. fggvnyeket: Tudjon a kzpszinten felsorolt x ax + b; x x2; x x3; fggvnyekbl sszetett fggvnyeket x ax2 + bx + c; x x; x |x|; kpezni. x a/x; x sin x; x cos x; x tg x; x ax; x log x. a Tudjon rtktblzat s kplet alapjn fggvnyt brzolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonrl. Tudjon nhny lpses transzformcit ignyl fggvnyeket fggvnytranszformcik segtsgvel brzolni [(x) + c; (x + c); c (x); (xc)] Egyszer fggvnyek jellemzse (grafikon alapjn) rtkkszlet, zrushely, nvekeds, fogys, szlsrtk, periodicits, parits szempontjbl. Tudja brzolni az alapvet fggvnyek (3.2.) transzformltjainak grafikonjt [c (ax + b) + d] Fggvnyek jellemzse korltossg szempontjbl. A fggvnyek tulajdonsgait az alapfggvnyek ismeretben transzformcik segtsgvel hatrozza meg. Hasznlja a konvexsg s konkvsg fogalmt a fggvnyek jellemzsre. Egyszerbb, msodfok fggvnyre vezet szlsrtk-feladatok megoldsa. Sorozat jellemzse (korltossg, monotonits), a konvergencia szemlletes fogalma. Egyszer rekurzv kplettel megadott sorozatok. Bizonytsa a szmtani s a mrtani sorozat ltalnos tagjra vonatkoz sszefggseket, valamint az sszegkpleteket.

3.2.2. A fggvnyek jellemzse

3.3. Sorozatok

Ismerje a szmsorozat fogalmt s hasznlja a klnbz megadsi mdjait.

3.3.1. Szmtani s mrtani soroztok

Tudjon olyan feladatokat megoldani a szmtani s mrtani sorozatok tmakrbl, ahol a szmtani, illetve mrtani sorozat fogalmt s az a -re, illetve az S -re n n vonatkoz sszefggseket kell hasznlni.

Vgtelen mrtani sor 3.3.2. Kamatos kamat, jradkszmts 3.4. Az egyvltozs vals fggvnyek analzisnek elemei 3.4.1. Hatrrtk, folytonossg

Ismerje a vgtelen mrtani sor fogalmt, sszegt. Tudja a kamatos kamatra vonatkoz kpletet Tudjon gyjtjradkot s trlesztrszletet hasznlni, s abbl brmelyik ismeretlen adatot szmolni. kiszmolni.

Ismerje a vgesben vett vges, a vgtelenben vett vges s a tgabb rtelemben vett hatrrtk szemlletes fogalmt. A folytonossg szemlletes fogalma.

TMK Kzpszint 3.4.2. Differencilszmts VIZSGASZINTEK Emelt szint Tudja a differencia- s differencilhnyados defincijt. Alkalmazza az sszeg, konstansszoros, szorzat- s hnyadosfggvny derivlsi szablyait. Alkalmazza egyszer esetekben az sszetett fggvny derivlsi szablyt. Tudja bizonytani, hogy (xn) = nxn-1, n N esetn. Ismerje a trigonometrikus fggvnyek derivltjt. Alkalmazza a differencilszmtst: - rint egyenletnek felrsra, - szlsrtk-feladatok megoldsra, - polinomfggvnyek (menet, szlsrtk, alak) vizsglatra. Ismerje folytonos fggvnyekre a hatrozott integrl szemlletes fogalmt s tulajdonsgait. Ismerje a ktoldali kzelts mdszert, az integrlfggvny fogalmt, a primitv fggvny fogalmt, valamint a NewtonLeibniz-ttelt. Tudja polinomfggvnyek, illetve a szinusz s koszinusz fggvny grafikonja alatti terletet szmolni.

3.4.3. Integrlszmts

4. Geometria, koordintageometria, trigonometriaA tmakr kvetelmnyeit abban a tudatban kell megfogalmaznunk, hogy a geometria szerepe, funkcija, hangslyai sokat vltoztak az elmlt vtizedekben. Ennek kvetkeztben a szintetikus geometria egyes terleteken httrbe szorult. Szem eltt kell tartani ugyanakkor, hogy a geometria oktatsa segti a pontos fogalomalkotst, a struktraalkots kpessgt s fejleszti a trszemlletet. TMK 4.1. Elemi geometria 4.1.1. Trelemek VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Ismerje s hasznlja megfelelen az alapfogalom, axima, definilt fogalom, bizonytott ttel fogalmt. Ismerje a trelemeket s a szg fogalmt. Ismerje a szgek nagysg szerinti osztlyozst s a nevezetes szgprokat. Tudja a trelemek tvolsgra s szgre Alakzatok tvolsgnak rtelmezse. (pont s egyenes, pont s sk, prhuzamos egyenesek, prhuzamos skok tvolsga; kt egyenes, egyenes s sk, kt sk hajlsszge) vonatkoz meghatrozsokat.

TMK 4.1.2. A tvolsgfogalom segtsgvel definilt ponthalmazok 4.2. Geometriai transzformcik 4.2.1. Egybevgsgi transzformcik Skban VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Tudja a kr, gmb, szakaszfelez merleges, Parabola fogalma. szgfelez fogalmt.

Hasznlja a fogalmakat feladatmegoldsokban. A geometriai transzformci mint fggvny.

Ismerje a skbeli egybevgsgi transzformcik (eltols, tengelyes tkrzs, kzppontos tkrzs, pont krli forgats) lerst, tulajdonsgaikat. Alkalmazza a feladatokban az eltols, tengelyes tkrzs, kzppontos tkrzs, egybevgsgi transzformcikat. Tudjon vgrehajtani transzformcikat konkrt esetekben. Ismerje s tudja alkalmazni feladatokban a hromszgek egybevgsgi alapeseteit. Ismerje fel s hasznlja feladatokban a klnbz alakzatok szimmetriit.

Tudja pontosan megfogalmazni az egybevgsgi transzformcik definciit, a skidomok egybevgsgnak fogalmt, valamint a sokszgek egybevgsgnak elgsges felttelt. Pont krli forgats alkalmazsa.

Trben

4.2.2. Hasonlsgi Ismerje a transzformcik lerst, transzformcik tulajdonsgait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a kzppontos nagytst, kicsinytst egyszer, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arny felosztsa. Hasonl alakzatok felismerse, (pl. hromszgek hasonlsgi alapesetei) alkalmazsa, arny felrsa. Tudja s alkalmazza feladatokban a hasonl skidomok terletnek arnyrl s a hasonl testek felsznnek s trfogatnak arnyrl szl tteleket. 4.2.3. Egyb Tudja a merleges vetts defincijt, transzformcik tulajdonsgait. Merleges vetts Legyen kpes gyakorlati pldkban alkalmazni (pl. alaprajz rtelmezse). Ismerje a skidomok, testek csoportostst 4.3. Skbeli s trbeli alakzatok klnbz szempontok szerint.

Ismerje s alkalmazza a trbeli egybevgsgi transzformcikat (eltols, tengely krli forgats, pontra vonatkoz tkrzs, skra vonatkoz tkrzs). Ismerje a hasonlsgi transzformci defincijt.

TMK Kzpszint 4.3.1. Skbeli alakzatok Hromszgek Tudja csoportostani a hromszgeket oldalak s szgek szerint. Ismerje s alkalmazza az alapvet sszefggseket hromszgek oldalai, szgei, oldalai s szgei kztt (hromszgegyenltlensg, bels, illetve kls szgek sszege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szg van). Ismerje s alkalmazza specilis hromszgek tulajdonsgait. Tudja a hromszg nevezetes vonalaira, pontjaira s kreire vonatkoz defincikat, tteleket (oldalfelez merleges, szgfelez, magassgvonal, slyvonal, kzpvonal, krlrt, illetve bert kr). Ismereteit alkalmazza egyszer feladatokban. Ismerje s alkalmazza a Pitagorasz-ttelt s megfordtst. Ismerje s alkalmazza feladatokban a magassg- s a befogttelt. Ismerje a ngyszgek fajtit (trapz, paralelogramma, deltoid) s tulajdonsgaikat, alkalmazza ismereteit egyszer feladatokban. Konvex skngyszg bels s kls szgeinek sszege, alkalmazsuk egyszer feladatokban. Ismerje s alkalmazza konvex sokszgeknl az tlk szmra, a bels s kls szgsszegre vonatkoz tteleket. Tudja a szablyos sokszgek defincijt. A kr rszeinek ismerete, alkalmazsa egyszer feladatokban. Tudja s hasznlja, hogy a kr rintje merleges az rintsi pontba hzott sugrra, s hogy kls pontbl hzott rintszakaszok egyenl hosszak. A szg mrse fokban s radinban. VIZSGASZINTEK Emelt szint

Bizonytsa a hromszg nevezetes vonalaira, pontjaira s kreire vonatkoz tteleket (krlrt s bert kr kzppontja; magassgpont, slypont, kzpvonal tulajdonsgai). Bizonytsa a Pitagorasz-ttelt s megfordtst. Bizonytsa a magassg- s a befogttelt.

Ngyszgek

Hrngyszg, rintngyszg ttelnek ismerete (bizonytssal) s alkalmazsa. A konvex sokszg tlinak szma, a bels s kls szgsszegre vonatkoz ttel bizonytsa.

Sokszgek

Kr

4.3.2. Trbeli alakzatok 4.4. Vektorok skban s trben

Tudja s alkalmazza feladatokban, hogy a kzpponti szg arnyos a krvvel s a hozz tartoz krcikk terletvel. Tudja s alkalmazza feladatokban a Thalsz- Bizonytsa a Thalsz-ttelt s megfordtst. ttelt s megfordtst. Forgshenger, forgskp, gla, hasb, gmb, csonkagla, csonkakp ismerete, alkalmazsa egyszer feladatokban. Ismerje s alkalmazza feladatokban a kvetkez defincikat, tteleket: - vektor fogalma, abszoltrtke, - nullvektor, ellentett vektor,

Bizonytsa, hogy a kr rintje merleges az rintsi pontba hzott sugrra, valamint hogy a kls pontbl hzott rintszakaszok egyenl hosszak. Igazolja s alkalmazza feladatokban a kerleti s kzpponti szgek ttelt. Ismerje s hasznlja a ltkr fogalmt.

TMK

4.5. Trigonometria

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint - vektorok sszege, klnbsge, vektor skalrszorosa, - vektormveletekre vonatkoz mveleti azonossgok, - vektor felbontsa sszetevkre. Skalris szorzat defincija; tulajdonsgai. Ismerje s alkalmazza feladatokban a kvetkez defincikat, tteleket: - vektor koordinti, - a vektor 90-os elforgatottjnak koordinti, - vektorok sszegnek, klnbsgnek, skalrral val szorzatnak koordinti, - skalrszorzat kiszmtsa A skalrszorzat koordintkbl val koordintkbl. kiszmtsnak bizonytsa. Vektorok alkalmazsa feladatokban. Tudja hegyesszgek szgfggvnyeit derkszg hromszg oldalarnyaival definilni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szgfggvnyek ltalnos defincijt. Tudja s alkalmazza a szgfggvnyekre vonatkoz alapvet sszefggseket: ptszgek, kiegszt szgek, negatv szg szgfggvnye, pitagoraszi sszefggs. Tudjon hegyes szgek esetn Tudjon szgfggvnyeket kifejezni szgfggvnyeket kifejezni egymsbl. egymsbl. Ismerje s alkalmazza a nevezetes szgek Fggvnytblzat segtsgvel tudja (30, 45, 60) szgfggvnyeit. alkalmazni egyszer feladatokban az addcis sszefggseket [sin ( ), cos ( ), tg ( )].

Tudja s hasznlja a szinusz- s a Bizonytsa a szinusz- s a koszinuszttelt. koszinuszttelt. Tudjon szmolsokat vgezni ltalnos hromszgben. 4.6. Koordintageomet Tudja AB vektor koordintit, abszoltrtkt. ria 4.6.1. Pontok, Kt pont tvolsgnak, szakasz Szakasz felezpontja s harmadol pontjai vektorok felezpontjnak, harmadol pontjainak koordintinak kiszmtsra vonatkoz felrsa, alkalmazsa feladatokban. sszefggsek igazolsa. A hromszg slypontja koordintinak felrsa, alkalmazsa feladatokban. 4.6.2. Egyenes Tudja felrni klnbz adatokkal meghatrozott egyenesek egyenlett. Egyenesek metszspontjnak szmtsa. Ismerje egyenesek prhuzamossgnak s merlegessgnek koordintageometriai feltteleit. Igazolja a hromszg slypontjnak koordintira vonatkoz sszefggst. Az egyenes egyenletnek levezetse klnbz kiindulsi adatokbl a skban.

TMK

4.6.3. Kr

4.6.4. Parabola

VIZSGASZINTEK Kzpszint Emelt szint Elemi hromszg- s ngyszg-geometriai feladatok megoldsa koordintageometriai eszkzkkel. Adott kzppont s sugar krk A kr egyenletnek levezetse. egyenletnek felrsa. Ktismeretlenes msodfok egyenletbl a kr A kr s a ktismeretlenes msodfok kzppontjnak s sugarnak meghatrozsa. egyenlet kapcsolata. Kr s egyenes metszspontjnak Kt kr klcsns helyzetnek meghatrozsa. meghatrozsa, metszspontjainak felrsa. A kr adott pontjban hzott rint Kls pontbl hzott rint egyenletnek egyenletnek felrsa. felrsa. Alkalmazza ismereteit feladatokban. A parabola x2 = 2py alak egyenletnek levezetse. Feladatok a koordintatengelyekkel prhuzamos tengely parabolkra.

4.7. Kerlet, terlet

Ismerje a kerlet s a terlet szemlletes fogalmt. Hromszg terletnek kiszmtsa klnbz adatokbl: ; .

A hromszg terletnek kiszmtsra hasznlt kpletek bizonytsa, tovbbi sszefggsek: t = sr (bizonytssal), alkalmazsa.

4.8. Felszn, trfogat

Nevezetes ngyszgek terletnek szmtsa. Szablyos sokszgek kerletnek s terletnek szmtsa. Kr, krcikk, krszelet kerlete, terlete. Kerlet- s terletszmtsi feladatok. Ismerje a felszn s a trfogat szemlletes fogalmt. Hasb, gla, forgshenger, forgskp, gmb, csonkagla s csonkakp felsznnek s trfogatnak kiszmtsa kpletbe val behelyettestssel.

A terletkpletek bizonytsa. Trgeometriai feladatok megoldsa.

5. Valsznsg-szmts, statisztikaA modern tudomnyelmlet egyik fontos pillre az a gondolkodsmd, amellyel a sztochasztikus jelensgek lerhatk. A trsadalomtudomnyi, a termszettudomnyi s a kzgazdasgi trvnyeink nagy rsze csak statisztikusan igaz. A mindennapi let trtnseit sem lehet megrteni statisztikai ismeretek nlkl, mivel ott is egyre gyakrabban olyan tmegjelensgekkel kerlnk szembe, amelyek a statisztika eszkzeivel kezelhetk. A sztochasztika gondolkodsmdja a XXI. szzad elejre az emberi gondolkodsnak, dntseknek s cselekvseknek olyannyira alapvet rsze lesz, hogy elsajttsa semmikppen sem kerlhet meg. Ebben a tmakrben kzpszinten csak az alapfogalmak megrtst s hasznlatt kveteljk meg, mg emelt szinten a tma matematikai felptsnek egyes rszeirl is szmot kell adni. E fejezet kvetelmnyrendszere kt ellenttes tendencia kztti kompromisszum jegyben szletett, mely szerint alapvet trsadalmi szksg mutatkozik a tma irnt, mikzben a tantsban elfoglalt helye ma mg igencsak perifrikus.

TMK 5.1. Ler statisztika 5.1.1. Statisztikai adatok gyjtse, rendszerezse, klnbz brzolsai

VIZSGASZINTEK Kzpszint Tudjon adott adathalmazt szemlltetni. Tudjon adathalmazt tblzatba rendezni s tblzattal megadott adatokat feldolgozni.

Emelt szint

5.1.2. Nagy adathalmazok jellemzi, statisztikai mutatk

rtse a vletlenszer mintavtel fogalmt. Tudjon krdiagramot s oszlopdiagramot kszteni. Tudjon adott diagramrl informcit kiolvasni. Tudja s alkalmazza a kvetkez fogalmakat: osztlyba sorols, gyakorisgi diagram, relatv gyakorisg. Ismerje s alkalmazza a kvetkez fogalmakat: - aritmetikai tlag (slyozott szmtani kzp), - medin (rendezett minta kzepe), - mdusz (leggyakoribb rtk). Ismerje s hasznlja a kvetkez fogalmakat: terjedelem, tlagos abszolt eltrs, szrs. Szrs kiszmolsa adott adathalmaz esetn szmolgppel. Tudjon adathalmazokat sszehasnltani a tanult statisztikai mutatk segtsgvel. Vges sok kimenetel esetn szimmetriamegfontolsokkal szmthat valsznsgek (egyenl esly elemi esemnyekbl) egyszer feladatokban. Esemny, esemnytr konkrt pldk esetn.

Tudjon hisztogramot kszteni, s adott hisztogramrl informcit kiolvasni.

Ismerje az adathalmazok egyestse s tlaguk kztti kapcsolatot.

5.2. A valsznsgszmts elemei

Ismerje s alkalmazza a kvetkez fogalmakat: esemnyek egyestsnek, metszetnek s komplementernek valsznsge, feltteles valsznsg, fggetlensg, fggsg. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. A nagy szmok trvnynek szemlletes tartalma Szemlletes kapcsolat a relatv gyakorisg s (nagyobb n-ekre valsznbb, hogy a valsznsg kztt. |k/n - p| < ). Geometriai valsznsg. Valsznsgek kiszmtsa visszatevses A binomilis eloszls (visszatevses modell) mintavtel esetn, binomilis eloszls. s a hipergeometriai eloszls (visszatevs nlkli modell) tulajdonsgai s brzolsa. Vrhat rtk, szrs fogalma s kiszmtsa a diszkrt egyenletes s a binomilis eloszls esetn. A binomilis eloszls alkalmazsa. A minta relatv gyakorisgnak becslse a sokasg paramternek ismeretben.