Sutrumpintos daugybos (a±b)²=a²±2ab+b²(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³a²-b²=(a+b)(a-b)a³±b³=(a±b)(a²‡ab+b²),ženklas ‡ reiškia priešingą ženkląxn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) čia x1 irx2 — lygties ax²+bx+c=0 sprendiniai Laipsniai ir šaknys ap·ag = ap+g ap:ag=a p-g (ap)g=a pg ap /bp = (a/b)p

ap⋅bp = abp a0=1; a1=aa-p = 1/a

abba pp =⇒=ppp abba =

pqp q aa = p gpk gk aa =

p

p

bap

ba =

p aa p =1

p qaa qp

=

Kvadratinė lygtisax²+bx+c=0; (a≠0)x1,2= (-b±√D)/2a; D=b²- 4acD>0→ x1≠x2 ;D=0→ x1=x2

D<0, sprendinių nėra. Vijeto teorema: x1+x2 = -b/a x1⋅ x2 = c/a Supaprastinta kvadratinė lygtisx² + px+q =0 x1+x2 = -p x1⋅x2 = q Jei p=2k (p-lyginis.) ir x²+2kx+q=0, tai x1,2 = -k±√(k²-q)

Logaritmailoga x = b => ab = x; a>0,a≠0 a loga x

= x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x=ab

loga b = 1/(log b a) logaxy = logax + loga y loga x/y = loga x - loga yloga xk =k loga x (x >0)loga

k x =1/k loga x loga x = (logc x)/( logca); c>0,c≠1

Aritmetinė progresijaan = an-1 +d d –progresijos skirtumasan= (an-1 + an+1)/2an = a1 + d(n-1)Sn = n(a1 + an )/2 - pirmųjų n narių sumaSn = {a1+d(n-1)}n/2

Sn = a1 + a2 +...+an

Geometrinė progresijabn = bn-1 ⋅ q q - progresijos vardiklisb2

n = bn-1⋅ bn+1

bn = b1⋅qn-1

Sn= (bnq- b1)/(q-1) – n narių sumaSn = b1 (qn-1)/(q-1) S= b1/(1-q)

Trigonometrijasin α = a/c a- statinis prieš kampą αcos α = b/c a- statinis prie kampo αtg x = a/b=sinx/cos xctg x = b/a = cos x/sin xsin (π-α) = sin αsin (π/2 -α) = cos αcos (π/2 -α) = sin αcos (α + 2πk) = cos αsin (α + 2πk) = sin α

tg (α + πk) = tg αctg (α + πk) = ctg αsin² α + cos² α =1tg α = cosα / sinα , α ≠ πn, n∈Ztgα ⋅ ctgα = 1, α ≠ (πn)/2, n∈Z1+tg²α = 1/cos²α , α≠π(2n+1)/21+ ctg²α =1/sin²α , α≠ πn Argumentų s udėties sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin ysin (x-y) = sin x cos y - cos x sin ycos (x+y) = cos x cos y - sin x sin ycos (x-y) = cos x cos y + sin x sin ytg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )x, y, x + y ≠ π/2 + πntg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y ≠ π/2 + πn Dvigubo argumentosin 2α = 2sin α cos αcos 2α = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1 == 1-2 sin²α tg 2α = (2 tgα)/ (1-tg²α)1+ cos α = 2 cos² α/21-cosα = 2 sin² α/2tgα = (2 tg (α/2))/(1-tg²(α/2)) Pusės argumentosin² α/2 = (1 - cos α)/2cos²α/2 = (1 + cosα)/2tg α/2 = sinα/(1 + cosα ) = (1-cos α)/sin α α≠ π + 2πn, n ∈ZSumos išreiškimo sandaugasin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

yxyxtgytgx coscos

)sin( ±=±

Sandaugos išreiškimo sumasin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y))cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y))sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))

Ryšio tarp funkcijų

=xsin2

22

12

x

x

tgtg

+

=xcos2

22

11

x

x

tgtg

+−

Trigonometrinės lygtyssin x = m ; |m| ≤ 1x = (-1)n

arcsin m + πk, k∈ Zsin x =1 sin x = 0 x = π/2 + 2πk x = πksin x = -1x = -π/2 + 2 πkcos x = m; |m| ≤ 1x = ± arccos m + 2πkcos x = 1 cos x = 0x = 2πk x = π/2+πkcos x = -1x = π+ 2πktg x = mx = arctg m + πkctg x = mx = arcctg m +πk

Geometrija . Trikampiai

Sinusų teoremaa² = b²+c² - 2bc cos αb² = a²+c² - 2ac cos βc² = a² + b² - 2ab cos γHerono formulė:

))()(( cpbpappS −−−= - trik.plotas p=½(a+b+c) p - trikampio pusperimetrisS = ½ab sin αSlygiašonis=(a²√3)/4S = bh/2S=abc/4RS=pr r- įbrėžto apskritimo spindulysTrapecija

S = (a+b)/2⋅ hApskritimas

S= πR²Ssektoriaus=(πR²α)/360Stereometrija (V-tūris, S-plotas)LygiagretainisV=SPagrindo⋅РStačiakampis gretasienis V=abcPiramidėV =1/3SPagrindo.⋅HSVisas= SŠoninis+ SPagrindo

Nukirstoji piramidė : H . _____V = 3 (S1+S2+√S1S2)S1 ir S2 — pagrindų plotaiSPilnas=SŠoninis+S1+S2 KūgisV=1/3 πR²HSŠoninis =πRlSŠoninis= πR(R+1)Nukirstasis kūgisSŠoninis= πl(R1+R2)V=1/3πH(R1

2+R1R2+R22)

PrizmėV=SPagrindo⋅HStačiakampė prizmė: SŠoninis=Ppagrindo⋅HSVisas=Sšoninis+2SPagrindo

Pasvirusi prizmė :Sšoninis=PSP⋅aV = SSP⋅a, а -šoninė briaunaPPS — perimetras SSP — statmeno pjūvio plotasCilindrasV=πR²H ; SŠoninis= 2πRHSVisas=2πR(H+R)Sšoninis= 2πRHSfera ir rutulys .V = 4/3 πR³ - rutulysS = 4πR³ - sferaRutulio sektoriusV = 2/3 πR³HH — segmento aukštisRutulio segmentasV=πH²(R-H/3)S=2πRH

MATEMATIKOS FORMULĖS

α + β + γ =180