material didactico

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMERICO

Hugo R. Franco Paats .Hugo R. Franco Paats

Cálculo Numérico Índice

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INDICE

CAPITULO I – ANÁLISIS DEL ERROR Pág. 03 1.1- Introducción 1.2- Representación de números reales 1.3- Errores de Redondeo y Truncamiento 1.4- Errores Absolutos y Relativos

1.4.1- Error Absoluto 1.4.2- Error Relativo 1.4.3- Cifras Significativas

1.5- Análisis del Error en Aritmética de Coma Flotante 1.6- Análisis del Error en las Operaciones Aritméticas

1.6.1- Forma general 1.7- Ejercicios propuestos CAPITULO II – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES Pág 14 2.1 – Introducción 2.2 – Fase 1: Aislamiento de raíces

2.2.1 – Uso de Tablas 2.2.2 – Método Grafico

2.3 – Fase 2: Refinamiento 2.3.1 – Diagrama de Flujo de un método iterativo 2.3.2 – Criterio de Parada

2.4 – Método de la bisección 2.4.1 – Algoritmo del método de la bisección 2.4.2 – Estimativa del número de iteraciones 2.4.3 – Comentarios sobre el método

2.5 – Método de la Falsa Posición 2.5.1 – Algoritmo 2.5.2 – Comentarios sobre el método 2.5.3 – Convergencia

2.6 – Método de la Falsa Posición Modificado 2.6.1 – Algoritmo

2.7 – Método Iterativo Lineal (MIL) 2.7.1 – Estudio para la convergencia 2.7.2 – Criterio de parada 2.7.3 – Algoritmo

2.8 – Metodo de Newton 2.8.1 – Algoritmo

2.9 – Método de al Secante 2.9.1 – Algoritmo

2.10 – Comparación de los métodos 2.11 – Ejercicios CAPITULO III – INTERPOLACIÓN Pág 31 3.1 – Introducción 3.2 – Interpolación polinomica 3.3 – Interpolación de Lagrange 3.4 – Formula de Newton

3.4.1 – Operador de diferencias divididas 3.4.2 – Tabla de diferencias divididas

3.5 – Análisis del Error en la interpolación 3.5.1 – Estimativa del Error

3.6 – Evaluación del grado del polinomio interpolador 3.7 – Fenómeno de Ruge

Cálculo Numérico Índice

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3.8 – Interpolación Segmentaria Spline 3.8.1 – Spline lineal 3.8.2 – Spline cuadratica 3.8.3 – Spline cúbica

3.9 – Ejercicios CAPITULO IV -SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pág 51 4.1 - Introducción 4.2 – Métodos directos

4.2.1 – Regla de Cramer 4.2.2 – Método de Eliminación de Gauss

4.2.2.1 – Algoritmo 4.2.2.2 – Algoritmo para el Método de E. de Gauss

4.2.3 – Método de Descomposición LU 4.2.3.1- Cálculo de los factores LU

4.3 – Métodos Iterativos 4.3.1 – Criterio de parada 4.3.2 – Método Iterativo de Gauss-Jacobi 4.3.3 – Criterio de Convergencia para los métodos Iterativos 4.3.4 – Método Iterativo de Gauss-Seidel 4.3.5 – Criterio de Convergencia para Gauss-Seidel

4.4 – Comparación de los métodos 4.5 – Ejercicios CAPITULO V - AJUSTE DE CURVAS A DATOS DE MEDICIONE S Pág 67 5.1 – Introducción 5.2 – Caso Discreto 5.3 – Métodos de los mínimos cuadrados 5.4 – Caso contínuo 5.5 – Ejercicios CAPITULO VI - INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA Pág 73 6.1 – Integración Numérica 6.2 – Regla del Trapecio 6.2.1 – Regla del Trapecio Repetida 6.2.2 – Cálculo del Error 6.3 – Regla de 1/3 de Simpson 6.3.1 – Regla de Simpson Repetida 6.3.2 – Análisis de Error 6.4 – Regla de 3/8 de Simpson 6.5 – Integración Numérica con límites infinitos o singularidades 6.6 – Aproximación a las derivadas 6.6.1 – Diferencias progresivas y Regresivas 6.6.2 – Diferencia Central 6.7 – Diferencias para las derivadas de orden superior 6.8 – Ejercicios CAPITULO VII - ECUACIONES DIFERENCIALES Pág 85 7.1 – Introducción 7.2 – Método de Euler 7.3 – Método de Euler Modificado 7.4 – Método de Runge-Kutta 7.5 - Ejercicios

Cálculo Numérico CAPITULO I – Análisis del Error

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CAPITULO - I

ANÁLISIS DEL ERROR 1.1 - INTRODUCCIÓN El cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para que, a través de números y reglas matemáticas simples, se pueda simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas simples. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, la no linealidad de las ecuaciones y geometrías complicadas comunes en la ingeniería. Los conocimientos de los conceptos básicos asociados al uso de programas (software) disponibles comercialmente, que aplican métodos numéricos, pueden ser herramientas muy poderosas que ayudan a la resolución de problemas complejos de ingeniería. Al mismo tiempo, es importante conocer y controlar los diferentes tipos de errores que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala, de manera a poder evaluar correctamente los resultados y por ende la solución al problema asociado. El resultado del cálculo numérico es siempre una aproximación, aunque (en principio) los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera. La resolución de tales problemas envuelve varias fases o etapas que pueden ser estructuradas: Problema Recolección Real de datos Construcción del elección del Implementar en modelo matemático mét. Numérico computador adecuado

análisis de reformular modelo los resultados o elegir otro método Cada etapa puede presentar una serie de errores asociados al proceso como:

• Error en la recolección de datos • Errores de apreciación • Precisión de los equipos • Errores en la secuencia de operaciones

Uno de los principales errores se debe a la representación de los números reales dentro del computador. La representación de los números se realiza por medio de un número limitado de dígitos lo que produce una pérdida de precisión.


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1.2 - REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES: Los computadores representan los números en notación científica normalizada o aritmética de coma flotante (A.C.F). Un número está representado en notación científica normalizada cuando todos los dígitos del número están a la derecha de la coma decimal y este primer dígito es diferente de cero.

Ejemplo 1.1: 1411 10785321,010321,785 ×=× Por lo tanto cualquier número real diferente de cero, puede representarse en notación científica normalizada o Aritmética de Coma Flotante, de la siguiente forma:

emI 10×±= ; donde m es un número comprendido entre 0 y 1 en el sistema decimal, denominado mantisa, y “e” es un número positivo o negativo llamado exponente. Para la representación de un número en la base β en

aritmética de coma flotante de “ t ” dígitos para la mantisa, se realiza de la siguiente forma: e

tddddI ββ ×= )...,0( 321

La mantisa ( )...,0 321 tdddd es una fracción en la base β , donde cada dígito está comprendido

por 10 −≤≤ βjd , tj ,...,3,2=∀ y 01 ≠d . La condición 01 ≠d , o de normalización del número, se

impone para asegurar la representación única de cada número en coma flotante. El exponente “e” varía en el intervalo [ ]mM ; , siendo esto valores determinados por la capacidad de la

máquina, y por lo general mM −= . El número máximo de dígitos “ t ” de la mantisa está limitado por la longitud de la palabra que el computador puede representar. La representación de los números en un computador simple que utiliza 32 bits es la siguiente: 32 bits 1 23 1 7

SM Mantisa SE Exponente SM = signo de la mantisa SE = signo del exponente

)...()1(02122

062)....,1.()1( eeSM SE

mmmI −−=

Observemos que el exponente se encuentra en el rango [-127, 127]. Entonces, esta máquina no puede

manejar números con una magnitud mayor que ( ) 38127127 102211...111,0 ≅≅× , ni menor que

( ) 38127127 1022....100,0 −−− ≅≅ . La conversión del sistema decimal a binario para efectuar los cálculos en los computadores, acarrean una serie de errores asociados con el número limitado de dígitos con los que se representan los números (bits). Dado un número “N”, su representación en ACF de “ t ” dígitos está hecha por truncamiento o redondeo. Este número podrá ser representado en el sistema, si el exponente “e” estuviese dentro de los límites “m” y “M”. FORMATO IEEE-754 EN COMA FLOTANTE Existen varios formatos para la representación de números en coma flotante en un computador, aunque el estándar, y por ello el utilizado en la mayoría de los computadores, es el formato ANSI/IEEE standard 754-1985, que llamaremos IEEE-754 para abreviar. Se puede representar números en precisión simple (float), doble (double) y cuádruple (quadruple) que tienen 32, 64 y 128 bits de longitud, respectivamente. En la figura, se muestra este formato en coma flotante, sistema binario (base 2), en doble precisión o de 64bits. 64bits 1 11 52

± Exponente Mantisa Como el primer dígito de la mantisa, que está normalizada, debe ser necesariamente igual a 1, se aprovecha este bit para almacenar en su lugar el signo de la mantisa. Este formato permite representar +0 y -0, lo que a veces puede ser ventajoso. Se utilizan los 11 dígitos siguientes para el exponente y su signo.

Este número entero se representa en exceso a 102312 1 =−−e , por lo que se puede representar

solamente los números enteros en el rango [ ] [ ]1024;10222;12 11 −=+− −− ee . El exponente máximo 1024


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se reserva para representar los números excepcionales como ∞± y NaN (Not a Number). Los primeros se representan cuando la mantisa es 0 y se producen cuando una operación aritmética genera un número más grande que el máximo representable, es decir, se produce un desbordamiento por exceso u overflow. NaN se genera en operaciones aritméticas de resultado no determinado, como 0/0, ∞∞ / , ∞±∞ , etc. 1.2.1 - Exactitud y Precisión La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. 1.3 – ERRORES

La presencia de errores en el resultado de cualquier proceso numérico es inevitable, pueden haber errores en los datos, pero aún con los datos exactos el propio proceso de cálculo puede ser fuente de error. Por lo tanto, existen errores en:

• Datos • Operaciones • Procedimientos

En este capítulo vamos a analizar los dos primeros. 1.3.1 – Errores de Redondeo y Truncamiento Cuando un número “ x ” no tiene representación exacta en su base numérica o si la longitud de la palabra del computador es inferior a “ x ”, se realiza una aproximación al número por redondeo o truncamiento.

♦ Truncamiento: en este caso, la máquina representa el número y se queda con los dígitos de precisión de la mantisa a la vez que descarta el resto.

♦ Redondeo: se utiliza el redondeo simétrico: si el primer dígito a descartar es mayor o igual a 5, entonces sumamos una unidad al dígito que está a la izquierda, si es menor que 5 se mantiene igual.

Ejemplo 1.2: representar los siguientes números en un sistema de ACF de 3 dígitos para 10=β , m = -4 y M= 4, de los siguientes números:

Número representación por trucamiento por redondeo

25,1 110125,0 × 110125,0 ×

15,238− 310238,0 ×− 310238,0 ×−

1828,27 210271,0 × 210272,0 ×

000007,0 Error….exponente menor que –4 (anderflow) Error...

82,221.185.7 Error….exponente mayor que 4 (overflow) Error...

Error numérico total El error numérico total se entiende como la suma de todos los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos, seguramente mayor error de redondeo). En la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.


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1.3.2 - Error Absoluto, Relativo y Porcentual Error Absoluto : Definimos como error absoluto: a la diferencia entre el valor exacto de un número “ x ” y

su valor aproximado “ x ”.

xxEAx −=

En general apenas el valor aproximado x es conocido, siendo que estamos en la búsqueda del valor exacto, por lo que es de interés conocer un “límite superior” o una “estimativa” para valor del error absoluto, a la que denominamos “cota del error absoluto” AXδ y que veremos mas adelante.

Ejemplo 1.3: considerando los siguientes números aproximados 9,119.2=x con error absoluto

1,0<AxE y el número aproximado 3,5=y con 1,0<AxE

¿Se puede concluir que los dos números tienen la misma precisión en la representación? Siendo que ambos tienen el mismo error absoluto no es posible determinar la precisión de cada representación.

Si el valor aproximado x es mayor que el valor exacto x , el error absoluto será negativo, entonces

decimos que la aproximación es por exceso. Si el valor aproximado x es menor que el valor exacto x el error absoluto será positivo y la aproximación será por defecto. Error Relativo : El Error Relativo vamos a definirlo como el cociente entre el error absoluto del número y su valor aproximado:

x

xx

x

EE Ax

Rx

−−==

del ejemplo anterior 410454567,09,199.2

1,0 −×≅<RxE y 02,03,5

1,0≅=AyE

por lo que vemos que AyAx EE < , por lo que concluimos que el número x esta mejor representado que

el valor de y .

El error absoluto no es más que la distancia entre el valor exacto y el valor aproximado, mientras que el error relativo mide el error entendido como una porción del valor exacto o del valor aproximado, para este caso, ya que nos encontramos en la búsqueda del valor exacto.

Ejemplo 1.4: encontrar el error absoluto y el error relativo al aproximar el número ...141592,3=x

por 14,3=x

001593,014,3...141592,3 =−=AxE

000507,014,3

001593,0 ===x

EE Ax

Rx

Error Porcentual : El error porcentual no es otra cosa que el error relativo multiplicado por 100

%100% ×= RxEE . Del ejemplo anterior: %05,0% =PxE 1.3.3 – Cotas del Error Cota del Error Absoluto: La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomar una aproximación. Si el error cometido al tomar 2,718 es menor que una milésima entonces diremos que 0,001 es una cota de dicho error.


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Se llama cota del error absoluto AXδ de un valor aproximado x a cualquier número no menor que el error

absoluto: AxAxE δ≤

Cota del Error Relativo : Se llama cota del error relativo de un valor aproximado x cualquier número no

menor que el valor del error relativo RxRxE δ≤

1.4 – ANÁLISIS DEL ERROR EN ARITMÉTICA DE COMA FLOT ANTE En un sistema que opera en ACF de “t” dígitos en base decimal, cualquier número puede ser representado

de la forma: tex

ex gfx −×+×= 1010 siendo que 11,0 <≤ xf y 11,0 <≤ xg

Ejemplo 1.5: sea el número 56,234=x y t = 4, el número x al ser representado por la forma anterior será equivalente a:

13 106,0102345,0 −×+×=x , siendo 2345,0=xf y 6,0=xg para este caso

Para realizar un análisis general de los errores absoluto y relativo en la representación de los números y

utilizando la aproximación por truncamiento, el número será aproximado eliminando el término texg −×10 ,

que representa los dígitos descartados justamente por el truncamiento.

Calculamos el error absoluto:

xxEAx −= tex

tex

ex

tex

ex ggfgf −−− ×=×=×−×+×= 1010101010

De las condiciones iniciales y dado que 1<xg , el valor máximo del error absoluto será te−< 10 , por lo que

podemos definir como cota del error absoluto por truncamiento AXδ , siendo:

te

Ax−< 10δ

El error relativo será:

ex

texAx

Rxf

g

x

EE

10

10

××

==−

como el error es máximo cuando 1,0=xf y 1<xg , por lo que el máximo error

o cota del error relativo cuando la representación es por truncamiento , será:

t

Rx−< 110δ

Cuando se utiliza el redondeo simétrico xf es modificado para llevar en consideración xg tomando

como valor aproximado x analizamos los siguientes casos:

≥>−+×

<>−×=

− 2/11010

2/110

xtee

x

xe

x

gsif

gsif

x

♦ Si 2/1<xg

Error absoluto es xxEAx −= tex

tex

ex

tex

ex ggfgf −−− ×=×=×−×+×= 1010101010


8 Hugo Franco Paats

Error relativos es e

x

texAx

Rx f

g

x

EE

10

10

||

||

××

==−

considerando que el error es máximo cuando 1,0=xf y

dado que 2/1<xg , la cota del error absoluto es te

Ax−×< 10

2

1δ

La cota del error relativo por redondeo es t

Rx−×< 110

2

1δ

♦ Si 2/1≥xg

Error absoluto tex

teex

tex

ex gfgf −−− ×−=+×−×+×= 10)1()1010(1010

como 2/1≥xg la diferencia 1−xg será siempre 2/1≤ , por lo que tomamos como cota del

error absoluto: te

Ax−×< 10

2

1δ

El error relativo será:

e

x

tex

teex

texAx

Rxf

g

f

g

x

EE

10

101

1010

101

××−

≤+×

×−==

−

−

−

Siendo que para que el error sea máximo 2/1≥xg y 1,0=xf , tenemos que la cota del error

relativo será:

tRx

−×< 1102

1δ

Por lo tanto, para cualquiera de los casos para el redondeo simétrico tenemos que las cotas del error absoluto y el relativo es:

teAx

−×< 102

1δ t

Rx−×< 110

2

1δ

1.4.1- Cifras Significativas

Se considera que las cifras significativas de un número a aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 2.345,6789 m con un error de 0,5 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Por lo tanto podemos afirmar que:

• Se dice que el número x aproxima a x con t decimales correctos si t es el entero no negativo más

grande para el cual txx −×<− 102

1.


Hugo Franco Paats 9

• Se dice que el número x aproxima a x con t dígitos o cifras significativas si t es el entero no

negativo más grande para el cual tt

x

xx−− ×=×<

−10510

2

1 1 .

En virtud de estas definiciones, el número de decimales correctos da una idea de la magnitud del error absoluto, mientras que el número de dígitos significativos da una idea de la magnitud del error relativo.

Ejemplo 1.6: Determinar el número de decimales correctos y cifras significativas del ejemplo 1.4

Si 141592,3=x … aproximamos por 14,3=x , entonces 22 102

110159,0 −− ×<×=AxE ;

por lo tanto, x es una aproximación a x con dos decimales correctos. 3105000506749,0 −×<=RxE , por lo tanto 3=t es el menor entero positivo que verifica la

desigualdad y el número de cifras significativas.

Reglas para contar correctamente el número de cifra s significativas: 1) Todos los dígitos a ambos lados del punto decimal son significativos, si no hay ceros. 23.742 5 cifras significativas 332 3 cifras significativas 1.4 2 cifras significativas 2) Ceros usados para localizar un punto decimal no son significativos. 0.023 2 cifras significativas 0.23 2 cifras significativas 0.0000023 2 cifras significativas 3) Ceros entre números son significativos. 2.003 4 cifras significativas 1.0008 5 cifras significativas 0.002034 4 cifras significativas 4) Ceros a la derecha del último dígito que no es cero y a la derecha del punto decimal son significativos. 0.00000230 3 cifras significativas 0.043000 5 cifras significativas 1.00 3 cifras significativas 10.0 3 cifras significativas

Las reglas para definir el número de cifras significativas para multiplicación y división son diferentes que para suma y resta.

Para multiplicación y división el número de cifras significativas en el resultado final será igual al número de cifras significativas de la medición menos preci sa.

Ejemplo 1.7: Calcular la energía cinética de un cuerpo con una masa de 5.0 g viajando a la velocidad de 1.15 cm/s. la energía cinética es obtenida de la fórmula E.C. = ½mv2

en donde m = masa del cuerpo

v = velocidad del objeto

La respuesta es E.C. = ½(5.0 g)(1.15 cm/s)2 =3.3 g-cm2/s2

¿Cuál número es el menos preciso?


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El número menos preciso tiene dos cifras significativas, así que la respuesta debe tener dos cifras significativas.

En sumas y restas el último dígito que se conserva deberá corresponder a la primera incertidumbre en el lugar decimal.

Ejemplo 1.8: en la siguiente suma

320.0 4 80.2 20.0 20 20.0

440.2 60 Por lo tanto para la suma tenemos el hasta el primer dígito después de la coma 1.5 – ANÁLISIS DEL ERROR EN LAS OPERACIONES ARITMÉT ICAS Dada una secuencia de operaciones es importante tener la noción de cómo el error se propaga a lo largo de las operaciones. El error total en una operación esta compuesta por las diferentes partes de las operaciones y por el resultado de la operación. Ciertos errores como los motivados por truncamiento y redondeo, reciben también el nombre de errores generados. Al combinar un dato que ya posee un error generado con otros en las mismas condiciones, los errores se propagan. Entonces, error absoluto total será la suma de los errores generados y propagados. El hecho de considerar los errores generados complica excesivamente el cálculo con errores. Por ello, la regla a tener en cuenta es que el error generado es despreciable siempre que sea cien veces más pequeño que el error propagado por hacer intervenir tal término. 1.5.1- Forma General

Considerando AxExx += e AyEyy += , para la operación de:

♦ Suma

AyAx EEyxyx +++=+ ; siendo que yxyx +=+ y el error absoluto de la operación

AyAxyAx EEE +=+

El error relativo yx

E

yx

E

yx

EE

yx

EE AyAxAyAxyAx

yRx ++

+=

++

=+

= ++ =

yx

yE

yx

xE

yx

y

y

E

yx

x

x

ERyRx

AyAx

++

+=

++

+= ....

El error relativo de la suma es: yx

yE

yx

xEE RyRxyRx +

++

=+ ..

♦ Resta AyAx EyExyx −−+=− donde:

Valor aproximado de la diferencia

½ no es un número medido, es parte de la fórmula y por lo tanto tiene un número infinito de dígitos significativos

5.0 tiene 2 cifras significativas

1.15 tiene 3 cifras significativas


Hugo Franco Paats 11

yxyx −=− y el Error absoluto de la diferencia es AyAxyAx EEE −=− la diferencia de los

errores absolutos de x e y . El error Relativo de yx − será:

yx

yE

yx

xE

yx

E

yx

E

yx

EE RyRx

AyAxyAxyRx −

−−

=−

−−

=−

= −− ..

yx

yE

yx

xEE RyRxyRx −

−−

=− ..

♦ Multiplicación ( )AyAx EyExyx ++= ).(.

Valor aproximado del producto es igual al producto de los valores aproximados yxyx .. = y el

error absoluto de yx. es AxAyyAx EyExE ... +=

El error Relativo

RyRxAxAyAxAyyAx

yRx EEx

E

y

E

yx

EyEx

yx

EE +=+=

+==

.

..

..

.

♦ División

+

+=

++

=÷

y

Ey

Ex

Ey

Exyx

AY

AX

AY

AX

1

1.

Representando

+y

EAY1

1. por la serie: ...1

32

+

−

+−

y

E

y

E

y

E AYAYAY

Considerando los dos primeros términos de la serie son significativos, nos queda 0

22

..1

1

1.

y

EE

y

Ex

y

E

y

x

y

E

y

Ex

y

Ey

Ex

y

x AYAXAYAXAYAX

AY

AX −−+=

−

+=

+

+=

2

.

y

Ex

y

E

y

x

y

x AYAX −+= por lo que el valor aproximado del cociente es

y

xyx =÷ y el error absoluto 2/

..

y

ExEyE AYAX

yAx

−=

RyRxAYAXAYAX

yRx EEy

E

x

E

x

y

y

ExEyE −=−=−= .

..2/



Ejemplo 1.9: Calcula los errores absoluto y relativo causado por el redondeo simétrico al efectuar, manejando únicamente tres dígitos para las mantisas, la operación yx + , si 4,765=x e

362,7=y . 310765,0 ×=x ; 0104,0 ×=AxE 410229,5 −×=RxE 110736,0 ×=y ; 2102,0 −×=AyE 4107174,2 −×=RyE ; 310772,0 ×=+ yx

Por tanto el error absoluto 402,0002,04,0 =+=+=+ AyAxyAx EEE

el error relativo:

0005207493,010772.0

10736,0107174,2

10772,0

10765,010229,5..

3

14

3

34 =

×××+

×××=

++

+= −−

+yx

yE

yx

xEE RyRxyRx

de otra manera

0005207253,010772,0

402,03

=×

=+

=+yx

EE Ax

yRx

1.6 – EJERCICIOS 1.1- Expresa las siguientes cantidades en sistema de A.C.F. de tres cifras significativas, por redondeo y

truncamiento: a) 74,24 b) 8.200,02 c) -1.863,55 c) 0,005 d) -13.485 e) 0,02475

1.1- Considerando las cantidades 28.294 y –13.485 y sus respectivas cantidades redondeadas a cuatro y tres cifras significativas, 28.290 y -13.500 encontrar las cotas de los errores absolutos y relativos de tales redondeos.

1.2- Si para 265625,064

17 ==x se toma como valores 0,26 ó 0,27, ¿qué error absoluto se comete en

cada caso? Calcula también las cotas del error absoluto para ambos resultados. 1.3- A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir la longitud con la

misma, se obtiene 15 cm. Determina la verdadera longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el porcentual.

1.4- Un voltímetro marca las lecturas con un error de +0,05. Se toma una lectura de 60 V. Calcular los

errores absolutos y relativos. 1.5- Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un error relativo máximo del

1%. 1.6- Considerando la operación de suma de 1,015 + 0,3572 en el que ambos sumandos tienen todas sus

cifras correctas. Calcula la cota del error absoluto y relativo de la operación 1.8.- Hallar las cifras correctas de la cantidad aproximada 52,135 que posee una cota de error relativo de

valor 4101,0 −×

1.9 - Probar con un ejemplo que, si una cantidad aproximada x tiene n cifras significativas correctas y la primera de ellas es d , una cota del error relativo viene dada por la expresión:

110

1−×

=nx

dδ

1.10- Dadas las cantidades redondeadas que se indican: 01018234,0 ×=x ; 314,12=y 00377,0=z , aplicando la expresión de la cota del error absoluto en el redondeo simétrico para cantidades expresadas en coma flotante, calcula el límite máximo de dicho error.



1.11- Se miden dos longitudes, x ≅ 3.32 e y ≅ 5.39. Calcula el valor de las siguientes operaciones, manteniendo tres dígitos significativos en las sumas.

a) x + y b) x + 0.1 y c) x + 0.01 y Determine las fuentes de error y magnitudes de los mismos y su incidencia en los resultados.

1.12- Evaluar 5.12.31.6)( 23 ++−= xxxxf en x = 4.71 usando aritmética de punto flotante con tres dígitos. Comparar los resultados haciendo truncamiento y redondeo. Calcular el error relativo en cada caso considerando como valor exacto 263899.14)71.4( −=f .

1.13- Determinar las cotas del error absoluto y Relativo en los resultados de las operaciones

siguientes, donde x = 2.00, y = 3.00 y z = 4.00 han sido correctamente redondeados

a) zyxf ++= 3 b) z

yxf ×= c)

=40

yxsenf

1.14- Sea x = 0.045682138, y 5105,0 −×=Axδ una cota de su error absoluto. Dar un intervalo donde se

encuentre el número exacto x . ¿Cuántos dígitos son significativos? 1.15- Si medimos la longitud L, de un pizarrón con una regla graduada hasta los centímetros y determinamos que mide 2.72 m., ¿cuál es una cota para el error absoluto de esta aproximación?

1.16- Sabemos que 17 = 4.1231056... Si tomamos como aproximación de 17 el número 4.12, es

decir, 17 ≅ 4.12, ¿cuál es el error máximo en esta aproximación?

Cálculo Numérico CAPITULO II – Resolución de ecuaciones no lineales


CAPITULO II

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 2.1- INTRODUCCIÓN Los métodos numéricos para resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, converja a la raíz de la ecuación (un número “ξ ” es raíz de una ecuación o cero de una función )(xf , sí 0)( =ξf ). Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales. )(xf

1ξ 2ξ x La idea central de los métodos iterativos es que partiendo de una aproximación inicial para la raíz, se van obteniendo nuevos valores mejorando la aproximación inicial hacia el valor de la raíz. Por lo que podemos separarlos en dos etapas o Fases:

♦ FASE 1: Aislamiento: en esta fase se localizan o aíslan las raíces en un intervalo [ ]ba; .

♦ FASE 2: Refinamiento, que consiste en mejorar sucesivamente las aproximaciones de la fase 1, hasta obtener un valor lo suficientemente próximo a la raíz, dentro de la precisión prefijada.

2.2- FASE 1: AISLAMIENTO DE LAS RAICES En esta fase se realiza un análisis teórico y gráfico de la función )(xf . Es importante señalar que el suceso

de la fase 2, depende de la precisión de este análisis. Para el análisis teórico utilizamos frecuentemente el siguiente teorema: 2.2.1 – Teorema de Bolzano : Dada una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, . Si 0)().( <bfaf ,

entonces existe un punto ξ=x , entre “a” y “b” que es cero de )(xf . Gráficamente: )(bf a b x )(af Observación: bajo la hipótesis del teorema anterior, si )(xf ′ existe y mantiene el signo en el intervalo [ ]ba,

entonces, este contiene un único cero de )(xf



Gráficamente )(af

)(bf a b b a

)(af )(bf [ ]baxxf ,,0)( ∈∀>′ [ ]baxxf ,,0)( ∈∀<′

2.2.2 - Uso de tablas Una de las formas de aislar las raíces de )(xf , usando los conceptos anteriores, es tabular )(xf , analizar

los cambios de signos de )(xf y de la derivada en los intervalos en que )(xf cambia de signo.

Ejemplo 2.1: Determina los intervalos que contienen a las raíces de a) 39)( 3 +−= xxxf y

b) xexxf −−= 5)( , por medio de tablas y considerando apenas los cambios de signos.

a) Para 39)( 3 +−= xxxf la tabla será: x ∞− -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5

)(xf - - - - + + + - - + + +

Siendo que )(xf es continua x∀ tenemos que los intervalos [ ] [ ]1;0;3;5−− y [ ]3;2 la función cambió de signo, por lo que existe por lo menos un cero en estos intervalos

b) Para xexxf −−= 5)( tenemos: x 0 1 2 3 4

)(xf - - + + +

Siendo que )(xf es continua x∀ , existe un cero de )(xf en [ ]2;1 . Para saber si este cero es único

en este intervalo analizamos el signo de )(xf ′ .

xexxf −− +=′ 52

1)( 2/1 que es mayor que 0 0>∀x

Observación: si 0)().( >bfaf entonces podemos tener varias situaciones en [ ]ba, .

Ejemplos:



2.2.3 - El método gráfico El análisis gráfico es fundamental para obtener buenas aproximaciones de las raíces. Existen numerosos programas que auxilian en la obtención del gráfico de )(xf . Esto puede hacerse de dos maneras a)

haciendo directamente el gráfico )(xf de la manera tradicional y b) obteniendo dos funciones )()( xhxg =

tales que 0)()()( =−= xhxgxf . Graficamos )(xg y )(xh en los mismos ejes cartesianos y localizamos lo

puntos sobre el eje x donde las curvas se interceptan.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-30

-20

-10

0

10

20

30

40

39)( 3 +−= xxxf xxh =)( y 9/)3()( 3 += xxg

2.3- FASE II : REFINAMIENTO Un método iterativo consiste en una secuencia de instrucciones que son ejecutadas paso a paso, algunas de las cuales son repetidas por ciclos. La ejecución de un ciclo recibe el nombre de iteración. Cada iteración utiliza los resultados de las iteraciones anteriores y efectúa determinadas pruebas verificado el resultado al esperado. Los métodos iterativos dan una aproximación para la solución, a diferencia de los métodos directos que dan la solución exacta. 2.3.1- Diagrama de flujo de un método iterativo inicio Datos el valor

Iniciales aproximado si Está suficientemente Resultado Cerca de la raíz Cálculos ? Iniciales K=1 no K=K+1 Nueva aproximación

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8



2.3.2- Criterio de parada Todos lo métodos iterativos efectúan un test del tipo: ¿está el valor calculado lo suficientemente próximo a la raíz exacta?. Para tal efecto se introduce el concepto de “raíz aproximada” y “tolerancia del error ε ”, que es la precisión con que se desea el resultado (cuanto menor se ε más próximo de estamos de la raíz exacta). Existen dos interpretaciones de la raíz aproximada que no siempre arrojan el mismo resultado:

1.- εξ <−x

2.- ε<)(xf

Como no conocemos el valor de la raíz exacta ξ , no podemos calcular el punto 1 de esa manera, lo que

hacemos es reducir el intervalo que contiene a la raíz a cada iteración, hasta conseguir un intervalo tal que

[ ]ba,∈ξ y ε<− ab ; entonces [ ]bax ,∈∀ se da que εξ <−x de esa manera cumplimos con el

punto 1). La condición óptima es que se satisfaga las dos condiciones, pero eso no siempre es posible como podemos ver gráficamente

)(xf )(xf

ε<)(af o ε<)(bf )(af ó ε>>)(bf

pero ε>>− ab ε<− ab

b a a ξ b

2.4- MÉTODO DE LA BISECCIÓN (BISECTRIZ) Dada una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, y tal que 0)().( <bfaf . Considerando que )(xf

posee una única raíz en [ ]ba, , el método tiene como objetivo reducir la amplitud del intervalo hasta alcanzar

la precisión requerida: ε<− ab , usando para esto divisiones sucesivas del intervalo por la mitad.

Gráficamente: )(xf 10 aaa ==

21 ax =

210 bbx == 0bb = x

2x los cálculos para evaluar la secuencia de puntos ,....,, 210 xxx es la siguiente:



200

0

abx

+=

>><

0)(

0)(

0)(

0

0

0

xf

bf

af

⇒

[ ]

==∴

∈

01

01

00 ,

xb

aa

xaξ ⇒ ε>− 00 ab

211

1

abx

+=

<><

0)(

0)(

0)(

1

1

1

xf

bf

af

⇒

[ ]

==∴

∈

12

12

11,

bb

xa

bxξ ⇒ ε>− 11 ab

222

2

abx

+=

>><

0)(

0)(

0)(

2

2

2

xf

bf

af

⇒

[ ]

==∴

∈

23

23

22 ,

xb

aa

xaξ ⇒ ε<− 22 ab

Como el método utiliza la división sucesiva del intervalo, el criterio de parada para este método será cuando

ε<− kk ab , tomando como valor aproximado de kxx = .

Ejemplo 2.2- Dada la función 1log)( −= xxxf , que posee un cero en [2, 3] con una precisión

110−<ε , encuentra la raíz aproximada.

5,22

230 =+=x

<×−=>=

<−=

− 01015,5)5,2(

04314,0)3(

03979,0)2(

3f

f

f

[ ]

3

5,2

3;5,2

01

01

====∴

∈

bb

xa

ξ ε>=− 123

75,22

5,231 =+=x

>=>

<

02082,0)75,2(

0)3(

0)5,2(

f

f

f

[ ]

75,2

5,2

75,2;5,2

22

12

====

∈

xb

aa

ξ 5,05,.223 =−−

625,22

5,275,22 =+=x

>=>

<

0100,0)625,2(

0)75,2(

0)5,2(

f

f

f

[ ]

625,2

5,2

625,2;5,2

33

23

====

∈

xb

aa

ξ 25,05,275,2 =−

5625,22

5,2625,23 =+=x

=>

<

0472,0)5625,2(

0)625,2(

0)5,2(

f

f

f

[ ]

5625,2

5,2

5625,2;5,2

33

23

====

∈

xb

aa

ξ ε>=− 125,05,2625,2

53125,22

5,25625,24 =+=x

=>

<

02094,0)53125,2(

0)5625,2(

0)5,2(

f

f

f

[ ]

53125,2

5,2

53125,2;5,2

33

23

====

∈

xb

aa

ξε<=− 06625,05,25625,2

valor aproximado de la raíz es 53125,2=x



2.4.1- Algoritmo del Método de la Bisección Sea )(xf continua en [ ]ba, y tal que 0)().( <bfaf

1) Datos iniciales a) intervalo [ ]ba,

b) precisión ε

2) Si ε<− ab , entonces elegir como x , un [ ]bax ,∈

3) 1=K 4) )(afM =

5) 2

bax

+=

6) Si 0)(. >xfM haga xa = y va para 8)

7) xb =

8) Si ε<− ab , elegir como x , un [ ]bax ,∈ . Fin

9) 1+= KK y vuelve a 5) 2.4.2- Estimativa del número de iteraciones Dada una precisión ε y el intervalo [ ]ba, es posible saber cuantas iteraciones serán efectuadas por el

método de la bisección hasta obtener la condición ε<− ab .

Usando el algoritmo anterior tenemos:

kkk

kk

ababab

2...

20011 −

==−

=− −−

debemos encontrar el valor de k tal que : ε<− kk ab es decir: ε<−

k

ab

200 ó kab

200 <−ε

−>

ε00log)2log(

abk ⇒ εlog)log(2log. 00 −−> abk ;

2log

log)log( 00 ε−−>

abk siendo que k es un número entero

Ejemplo 2.3: Del ejercicio del ejemplo 2.2 tenemos que:

32,32log

)10log()23log( 1

=−−>−

k ⇒ 4=k

por lo tanto son necesarias por lo menos 4 iteraciones para encontrar la raíz aproximada

2.4.3- Comentarios sobre el método

♦ El método siempre converge por lo que se puede aplicar para obtener la raíz aproximada de cualquier ecuación.

♦ Las iteraciones no implican cálculos complejos, pero si ε>>− ab y si ε es muy pequeña el

número de iteraciones puede ser muy grade, como se puede deducir de la fórmula para calcular el número aproximado de iteraciones.



2.5- MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN Considerando la siguiente función:

Podemos constatar que la raíz “ξ ” está más próximo de “ a ” que de “ b ”, siendo que el proceso iterativo de

la bisección sugiere como el próximo paso kx , en la búsqueda de la raíz por 2

kkk

bax

−= , que es la media

aritmética entre a y b . El método de la Falsa Posición, define como el paso kx a la intersección de la recta

)(xr , con el eje x0 , que pasa por )(af y )(bf . Gráficamente:

De la deducción de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos :

ab

afbf

ax

afxf

K

K

−−=

−− )()()()(

; considerando que Kx es raíz de la ecuación por tanto 0)( =Kxf y

despejando Kx de la ecuación, tenemos:

)()(

)()(

)()(

)()()()(

)()(

))((

afbf

abfbaf

afbf

aafabfaafbaf

afbf

abafaxK −

−=−

+−−=−

−−=

)()(

)()(

afbf

abfbafxK −

−=

Posteriormente aplicamos el teorema Bolzano para determinar el intervalo que contiene a la raíz, es decir; si

0)().( <Kxfaf , entonces la raíz se encuentra entre a y Kx y b pasa a ser Kx , y el proceso se repite hasta que cumpla con el criterio de parada.



2.5.1- Algoritmo Si )(xf es continua en [ ]ba; y tal que 0)().( <bfaf

1) leer datos iniciales intervalo [ ]ba; , precisión ε

2) Si ε<− ab , entonces elegir como x cualquier [ ]bax ,∈

Si ε<)(af , entonces ax = ó

Si ε<)(bf , entonces bx = y Fin

3) 1=K ; 4) )(afM = ;

5) )()(

)()(

afbf

abfbafx

−−= ;

6) Si ε<)(xf ; entonces xx = y Fin.

7) Si 0)(. >xfM ; entonces xa = y va la paso 9)

8) xb = ;

9) Si ε<− ab ; entonces elegir como x cualquier [ ]bax ,∈

10) 1+= KK y vuelve a 4) Ejemplo 2.4: Encuentra la raíz de al función 1log.)( −= xxxf , en el intervalo [2; 3] para

210−=ε . Construyendo una tabla con los valores que intervienen tenemos: k

Ka Kb )(af )(bf Kx )(xf

0 2 3 -0,3979 0,4314 2,48 -0,022

1 2,48 3 -0,022 0,4314 2,504 ε<×− −31087,1

Para la primera iteración ya cumple con el criterio de parada por lo tanto 504,2=x

2.5.2- Comentarios del método

♦ El método de la Falsa Posición, en general puede obtener un x en la cuál ε<)(xf sin que el

intervalo [ ]ba, sea pequeño. Entonces, si queremos que los dos criterios de parada sean cumplidos simultáneamente, el método puede ser divergente.

♦ Si )(xf es continua en [ ]ba; y tal que 0)().( <bfaf , entonces el método de la Falsa Posición tiene una convergencia asegurada.

♦ Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que otros métodos.

♦ Una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse. Muchas veces es importante conocer cual de los extremos del intervalo es el que permanece inalterado y eso es posible analizando el signo de la segunda derivada de la función, como se muestra a continuación:



Gráficamente: a 0x 1x a

1x 0x b

b

bbf

xf

>>′′0)(

0)( es punto fijo a

af

xf

<<′′0)(

0)( punto fijo

1x 0x b b

a a 0x 1x

aaf

xf

>>′′0)(

0)( punto fijo b

bf

xf

<<′′0)(

0)( punto fijo

2.6- MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN MODIFICADO O MÉTOD O DE HAMMING

Podemos observar que el método de la Falsa Posición obtiene un x donde )(xf es pequeña, pero falla con

relación a la longitud del intervalo final que contiene a la raíz. Una de las modificaciones, en la que se verifica que 0)()( 1 <− KK xfxf , o sea en el intervalo que contiene a la raiz, es cambiar la recta que pasa por

)(af y )(bf por una recta de menor inclinación, como se muestra en la figura: )(bf

a x 2

)(bf

b



2.6.1- Algoritmo Si )(xf es continua en [ ]ba; y tal que 0)().( <bfaf

1) leer datos iniciales intervalo [ ]ba; , precisión ε

2) FA = )(af y FB = )(bf ;

3) Si ε<− ab , entonces elegir como x cualquier [ ]bax ,∈

Si ε<)(af , entonces ax = ó

Si ε<)(bf entonces bx = y Fin

4) ;0 ax =

5) 1=K ;

6) FAFB

FAbFBax

−−= ..

1

7) Si ε<)( 1xf , entonces 1xx = y Fin

8) Si 0)(. 1 >xfFA va a 10)

9) 1xb = y )( 1xfFB = ,

10) si 0)().( 01 >xfxf haga 2/FAFA = y va a 12)

11) 1xa = y )( 1xfFA =

12) si 0)().( 01 >xfxf , haga 2/FBFB =

13) )()( 10 xfxf =

14) 1+= KK y vuelve a 6) 2.7- MÉTODO ITERATIVO LINEAR (M.I.L) El M.I.L. consiste en transformar una ecuación en otra equivalente tal que )(xx ϕ= ; es decir de una

aproximación inicial 0x , generar una secuencia de kx de aproximaciones para ξ por la relación

)(1 kk xx ϕ=+ , pues la función )( kxϕ es tal que 0)( =ξf , si y solo si )(ξϕξ = .

Una función )(xϕ que cumple esta condición es llamada de “función de iteración” para la ecuación

0)( =xf

Ejemplo 2.5 Para la ecuación 062 =−+ xx podemos obtener varias funciones de iteración:

1) 21 6)( xx −=ϕ

3) 16

)(3 −=x

xϕ

2) xx −= 6)(2ϕ

4) 1

6)(4 +

=x

xϕ

Dada la función )(xf , existen infinitas funciones )(xϕ que son funciones de iteración. La forma general de

esta función es: )().()( xfxAxx +=ϕ , con la condición que en el punto fijo de )(xϕ , se tenga

ξξϕξ =⇔= )(0)(A



Graficamente xy =

)(xϕ xy =

)(xϕ

2x 1x 0x 1x 2x 0x

ξ→kx ; ∞→k ξ→kx ; ∞→k

)(xϕ xy = )(xϕ xy = 0x 1x 2x 1x 0x 2x

ξ→kx ; ∞→k ξ→kx ; ∞→k .

2.7.1- Estudio de Convergencia del M.I.L. Vimos que dada una ecuación 0)( =xf , puede existir más de una función )(xϕ tal que

).(0)( xxxf ϕ=⇔= Pero no cualquier )(xϕ , que en un proceso recursivo definido por )(1 kk xx ϕ=+ ,

genera una secuencia que converge para la raíz.

Ejemplo 2.6: De la ecuación 062 =−+ xx , que tiene raíces en 31 −=ξ y 22 =ξ , probamos dos

funciones de iteración para un punto inicial 5,10 =x

a) 21 6)( xx −=ϕ

75,35,16)( 201 =−== xx ϕ

0625,875,36)( 212 −=−== xx ϕ

...00396,59)0625,8(6)( 223 −=−−== xx ϕ

...no converge para la raíz 22 =ξ



Gráficamente )(xϕ xy = 0x

b) xx −= 6)(2ϕ

..12132,25,16)( 01 =−== xx ϕ

96944,1)( 12 == xx ϕ )(xϕ

00763,2)( 23 == xx ϕ xy =

99809,1)( 34 == xx ϕ

00048,2)( 45 == xx ϕ

Las condiciones suficientes para que el proceso sea convergente, las da el siguiente teorema: TEOREMA: Sea ξ una raíz de la ecuación 0)( =xf , aislada en el intervalo [ ]ba, . Sea )(xϕ una función

de iteración para la ecuación 0)( =xf . Si

a) )(xϕ y )(xϕ ′ son continuas en [ ]ba, ,

b) 1)( <≤′ Mxϕ , ∈∀x [ ]ba,

c) ∈0x [ ]ba,

Entonces la secuencia 1+kx generada por el proceso iterativo )(1 kk xx ϕ=+ , converge para ξ .

Ejemplo: 2.7 Analizar las condiciones de convergencia para las funciones de iteración de la ecuación del ejemplo anterior.

a) 21 6)( xx −=ϕ derivada xx 2)(1 −=′ϕ en I = [1,5; 2]

)(1 xϕ y )(1 xϕ ′ son continuas en I ;

1)(1 >′ xϕ Ix ∈∀

b) xx −= 6)(2ϕ derivada x

x−

=′62

1)(2ϕ en I = [1,5; 2]

)(2 xϕ es continuas en 6/ ≤∈= xIRxS ;



)(2 xϕ ′ es continua en 6/ <∈= xIRxS ;

1)(2 <′ xϕ 75,5162

1 <⇔<−

⇔ xx

∴es posible obtener un intervalo centrado en

I tal que ξ→kx

c) 16

)(3 −=x

xϕ ; derivada 23

6)(

xx −=′ϕ en I = [1,5; 2]

)(3 xϕ y )(3 xϕ ′ tienen una discontinuidad en 0=x ,fuera del intervalo I

1)(3 <′ xϕ en I ∴ 16

2<

x 6−<x o 6>x . Los intervalos que la función generará

un proceso convergente son [ ]6;−∞− y [ ]∞;6 por lo tanto esta función encontrara la

raíz negativa o sea 3−=ξ , pero no la raíz positiva. 2.7.2- Criterio de Parada Los dos criterios de paradas pueden ser utilizados con este método indistintamente, pero no en forma simultánea. 2.7.3- Algoritmo Sea 0)( =xf y la ecuación equivalente )(xx ϕ= , suponiendo que cumpla las condiciones de

convergencia. 1) Datos iniciales 0x aproximación inicial

ε precisión

2) Si ε<)( 0xf entonces 0xx = y Fin.

3) 1=K ; 4) )( 01 xx ϕ= ;

5) Si ε<)( 1xf ó si ε<− 01 xx , entonces 1xx = y Fin.

6) 10 xx = ;

7) 1+= KK , y vuelve a 4) 2.8- MÉTODO DE NEWTON Consideremos que )(xf es continua en [ ]ba, , y que 0)( ≠′ xf . Considerando el primer polinomio de

Taylor para )(xf expandido alrededor de 0x

( ) ( ))),((

2)()()(

20

000 pfxx

xfxxxfxf ′′−+′−+=

donde el último término representa el error y p está entre x y 0x . Dado que 0)( =ξf y que 0x−ξ es

muy pequeño, el término 20 )( x−ξ es mucho menor y la expresión queda

( ) )()(0 00 xfxxf ′−+≈ ξ despejando ξ de esta ecuación, tenemos )(

)(

0

00 xf

xfx

′−=ξ



Esto nos prepara para introducir el método de Newton, el cual comienza con una aproximación inicial 0x y

genera la sucesión ∞=0nkx definida por

)(

)(1

k

kkk xf

xfxx

′−=+

Gráficamente pendiente )( 1xf ′ 0x pendiente )( 0xf ′

2x 1x La figura muestra gráficamente cómo se obtiene las aproximaciones usando tangentes sucesivas. Comenzando con la aproximación inicial 0x , 1x , 2x ,....

2.8.1- Algoritmo Dada la función )(xf y )(xf ′ continuas en [ ]ba, ;

1) Datos iniciales

0x aproximación inicial

ε precisión

2) Si ε<)( 0xf ; entonces 0xx = y Fin

3) 1=k

4) )(

)(

0

001 xf

xfxx

′−=

5) Si ε<)( 1xf o

si ε<− 01 xx entonces 1xx = y Fin

6) 10 xx =

7) 1+= kk y vuelve a 4)

Ejercicio: Aplique el método de Newton – Raphson para encontrar al raíz aproximada x con una precisión 4101 −×=ε , para un valor inicial 5,00 =x , de la función 39)( 3 +−= xxxf

2.9- MÉTODO DE LA SECANTE Una gran desventaja del método de Newton es obtener y calcular la derivada de la función. Una forma de evitar ese inconveniente es sustituir la derivada por:



1

1)()()(

−

−

−−

=′kk

kk

xx

xfxfxf , donde kx y 1−kx son dos aproximaciones para la raíz, sustituyendo en

la ecuación de iteración de Newton tenemos:

1

1)()()(

)(

−

−

−−

−=

kk

kk

kkk

xx

xfxfxf

xxϕ

)()(

)()()(

1

11

−

−−

−−

=kk

kkkkk xfxf

xfxxfxxϕ

Gráficamente: 0x 1x

3x 2x

Dependiendo de la función el método puede ser oscilante, es decir el error puede aumentar en algunas iteraciones pero no en forma continua, luego deberá ir disminuyendo. Caso contrario el método será divergente.

Ejemplo 2.3.7- Aplicar el método de la secante para encontrar la raíz aproximada de la ecuación

062 =−+ xx . 2=ξ 5,10 =x 7,11 =x

03571,225,241,1

)25,2.(7,1)41,1.(5,1

)()(

)()(

01

01102 =

+−−−−=

−−

=xfxf

xfxxfxx ; 17983,0)( 2 =xf ; 2,001 =− xx

9974,141,119983,0

)41,1(03571,2)17983,0(7,13 =

+−−=x ; 01131,0)( 3 −=xf ; 2974,012 =− xx

...9999,117983,001131,0

)17983,0(9974,1)01131,0(0357,24 =

−−−−=x 004099,0)( 4 =xf ; 03831,023 =− xx

2.9.1- Algoritmo Dada la función )(xf y )(xf ′ continuas en [ ]ba, ;

1) Datos iniciales

0x y 1x aproximaciones iniciales

ε precisión

2) Si ε<)( 0xf entonces 0xx = y Fin

ε<)( 1xf ; entonces 1xx = y Fin

3) 1=k



4) )()(

)()(

01

01102 xfxf

xfxxfxx

−−

=

5) Si ε<)( 2xf o entonces 2xx = y Fin

6) 10 xx = y 21 xx =

7) 1+= kk y vuelve a 4)

2.10- COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS

a) Los métodos de la bisección y Falsa Posición tienen convergencia asegurada desde que )(xf sea

continua en [ ]ba, y tal que 0)().( <bfaf ; mientras que el Método Iterativo Lineal, de Newton y de la Secante, tienen condiciones especiales para la convergencia. Siendo las últimas de convergencia más rápida.

b) El método de la bisección efectúa cálculos simples, mientras que el de Newton requiere cálculos más

elaborados en cada iteración. Por otro lado, el número de iteraciones efectuadas por el método de la bisección es mucho mayor que el método de Newton.

2.11- EJERCICIOS 2.1- Encuentra las soluciones reales de las ecuaciones siguientes, por el método de la bisección y de la

Falsa Posición con una precisión de <ε 210− a) xxxf −= )cos()(

b) 65)( 3 −−= xxxf 2.2- Localiza la raíz positiva de )(5,0)( xsenxxf −= . Donde x esta dada en radianes. Utiliza el método gráfico y después calcula tres iteraciones con el método de Newton Rapshon, con valor inicial de 2. Repita los cálculos con un valor inicial de 1. Utiliza el método gráfico para explicar los resultados 2.3- Calcula las soluciones reales de las ecuaciones siguientes por el método de Newton Rapshon y el de la secante, para una tolerancia del error del 0,05% a) 12)ln()( −+= xxxf

b) xxsenxf −= )(2)( 2.4- Determina varias funciones de iteración para el M.I.L. y en cada caso comprueba su convergencia para

la raíz de la función 1)(.2)( 2 −+= xsenxxxf ; en el intervalo [0; 1]. 2.5- Utiliza los métodos de la bisección, Falsa Posición, Iterativo Lineal, de Nw –R y el de la secante para encontrar la raíz aproximada de las siguientes funciones:

a) )cos()(2

xexf x −= − ; intervalo [ 1; 2]; aproximación 210−

b) 1)( 3 −−= xxxf intervalo [1; 2]; aproximación 210−

c) xexsenxf −= )(4)( intervalo [0; 1]; aproximación 210− Determina la aproximación inicial utilizando el método gráfico de la Fase I y haga una tabla que contenga los valores de ‘x’, el error relativo aproximado y el número de iteraciones de los diferentes métodos. Comente los resultados.

2.6- Determina la raíz mayor de 6116)( 23 −+−= xxxxf a) Gráficamente b) Por el método de la bisección (dos iteraciones a = 2,5 y b = 3,6)



c) Por el método de la Falsa Posición (dos iteraciones a = 2,5 y b = 3,6) d) Por el método de Newton - Raphson (dos iteraciones x 0 = 3.6)

e) Por el método de la Secante (dos iteraciones [2,5; 3.6]) 2.7- Aplicar el método de la Falsa Posición para encontrar la primera raíz positiva de la

función4

1)(2x

xxf −+= . ¿Qué ocurre con la convergencia del método? Explica.

2.8- Deduzca un esquema iterativo para encontrar la raíz cuadrada de un número a con base en la iteración

de Newton. Prueba el esquema para 7=a utilizando 0,1 como valor inicial y una aproximación 510−<ε

2.9- Encuentra la raíz de la función xexf x ln4)( cos −= , con una precisión 510−<ε . Determine el intervalo que contiene a la raíz y el criterio de parada según el método seleccionado.

2.10- Aplica el método de Newton Raphon para obtener la solución, con una exactitud de 310− , para la

función senxxxf 2,08,0)( −−=

2;0π

Cálculo Numérico CAPITULO III - Interpolación


CAPITULO III

INTERPOLACIÓN

3.1- INTRODUCCIÓN Con frecuencia se tiene que estimar valores intermedios entre datos o valores conocidos, como por ejemplo; se conocen los valores específicos del agua a ciertas temperaturas.

Temp °C 20 25 30 35 40 45 50

Calor esp. 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 0,99849 0,99878 Supongamos que se quiera calcular

a) Calor específico del agua a 33 ºC b) La temperatura para la cual el calor específico es 0.99837

La interpolación permite realizar los cálculos aproximados. INTERPOLAR una función, consiste en sustituir esta, por otra función )(xp con el objeto de facilitar ciertas operaciones. Podemos realizar la interpolación cuando: • Conocemos los valores numéricos de )(xf solamente en un conjunto de puntos y necesitamos )(xf en un

punto no tabulado. • La expresión )(xf es difícil de derivar o integrar. 3.1.1 – Problema general de la interpolación Consideremos 1+n puntos distintos; nxxxx ,...,,, 210 llamados puntos de interpolación y los valores de

)(xf en esos puntos; )( 0xf , )( 1xf ,..., )( nxf . La forma de interpolación de )(xf consiste en obtener una

función )(xp tal que:

( )00 )( xfxp = ;

)()( 11 xfxp = ); Siendo que )(xp es un polinomio. : :

( )nn xfxp =)( ;

Gráficamente x1 x2 x3 . . . Dado los puntos ))(;()),...,(;()),(;( 1100 nn xfxxfxxfx por lo tanta 1+n puntos distintos, queremos

aproximar )(xf por un polinomio de grado < n , )(xpn tal que :

=)( ixf )( in xp ; para i = 1,2,3,...., n



si representamos )(xpn de la forma )(xpn = nnxaxaxaa ++++ ...2

210 ; debemos encontrar los

valores de los coeficientes, naaaa ,...,,, 210 de )(xpn .

3.2 – INTERPOLACIÓN POLINOMIAL De la condición definida por )()( ini xpxf = ; podemos montar el siguiente sistema lineal:

)(... 00201010 xfxaxaxaa n

n =++++

)(... 11212110 xfxaxaxaa n

n =++++ 1+n ecuaciones con 1+n incógnitas .

)(...2210 n

nnnnn xfxaxaxaa =++++

Resolviendo este sistema lineal, obtenemos los valores de los coeficientes aa , 1a ,..., na de )(xpn . La

matriz A de los coeficientes es:

nnnn

n

n

xxx

xxx

xxx

2

1211

0200

1

....

...1

...1

Matriz de Valdermonde

Ejemplo 3.1: Dada la siguiente tabla, encuentre )(xpn = 2210 xaxaa ++

x -1 0 2 f(x) 4 1 -1

)( 02 xp = 4)1()1( 2210 =−+−+ aaa

)( 12 xp = 1)0()0( 2210 =++ aaa

)( 22 xp = 1)2()2( 2210 −=++ aaa

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que 10 =a ; 3/71 −=a ; 3/22 =a ; por tanto, el

polinomio interpolador es:

22 3

2

3

71)( xxxp +−=

3.3 – INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Dado los siguientes puntos nxxxx ,...,,, 210 , es decir n+1 puntos distintos y )( ii xfy = ; para todo i = 1,

2, ...., n . Considerando )(xpn , el polinomio de grado < n que interpola la función )(xf en nxxx ,...,, 10 .

Representamos )(xpn por: iinniin yxLYxLYxLYxp =+++= )(...)()()( 1100 La forma más simple de

satisfacer la relación anterior es imponer la siguiente condición: 0 si ik ≠

)( iK xL =

1 si ik =



Definimos entonces

))...()()...()((

))...()()...()(()(

1110

1110

nKKKKKKK

nKKK xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

−−−−−−−−−−

=+−

+−

En síntesis

∑=

=

=nK

KKKn xLYxp

0

)()( ; donde

∏

∏=

≠=

=

≠=

−

−

=nj

jkj

jK

nj

jkoj

j

K

xx

xx

xL

0

)(

)(

)(

Ejemplo 3.2: Utiliza la interpolación de Lagrange para un polinomio de segunda orden con los siguientes valores :

x -1 0 2 f(x) 4 1 -1

n = 2; y )()()()( 2211002 xLYxLYxLYxp ++= ; donde:

3

2

)21)(01(

)2)(0(

))((

))(()(

2

2010

210

xxxx

xxxx

xxxxxL

−=−−−−

−−=−−

−−=

2

2

)20))(1(0(

)2))(1((

))((

))(()(

2

2101

201 −

−−=−−−−−−=

−−−−

= xxxx

xxxx

xxxxxL

6)02)(12(

)0))(1((

))((

))(()(

2

1202

102

xxxx

xxxx

xxxxxL

+=−+

−−−=−−

−−=

de la tabla 40 =Y ; ;11 =Y y 12 −=Y . Sustituyendo los valores en la fórmula tenemos:

)2(6

1)2(

2

1)2(

3

4)( 222

2 xxxxxxxp +−−−−−=

Simplificando, obtenemos el polinomio de segundo grado que interpola a la función en los puntos dados

22 3

2

3

71)( xxxp +−=

3.4- FORMULA DE NEWTON La fórmula de Newton para el polinomio )(xpn que interpola f(x) en nxxx ,...,, 10 , con n+1 puntos distintos

es: ))...()((...))(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxdxxxxdxxddxp



Donde kd es el operador de diferencias divididas y donde los coeficientes nk ,...,1.,0= son diferencias

divididas de orden k entre los puntos [ ])(; jj xfx nj ,...,1.,0=∀

3.4.1-Operador de Diferencias Divididas

Sea )(xf una función tabulada en nxxxx ,...,,, 210 ; en n+1 puntos distintos.

Definimos el operador de diferencias divididas por: )(][ 00 xfxf = orden 0

01

01

01

0110

)()(][][],[

xx

xfxf

xx

xfxfxxf

−−

=−−

= orden 1

02

1021210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

−−

= orden 2

. .

0

1102110

],...,,[],...,,[],...,,[

xx

xxxfxxxfxxxf

n

nnn −

−= − orden n

se dice que ],...,,[ 10 kxxxf es la diferencia dividida de orden k de la función )(xf sobre los k + 1 puntos:

kxxxx ,...,,, 210 .

3.4.2- Tabla de Diferencias Divididas

Dada la función )(xf y conocidos los valores de )(xf en los puntos nxxxx ,...,,, 210 ; podemos construir

la siguiente tabla con los operadores de diferencias divididas X orden 0 orden 1 orden 2 orden 3 orden n Xo f[xo]

f[xo,x1] X1 f[x1] f[xo,x1,x2]

f[x1,x2] f[xo,x1,x2,x3] X2 f[x2] f[x1,x2,x3] : . . . f[xo,x1,...,xn]

f[x2,x3] : f[x-3,x-2,x-1,xn] : : :

f [ ]nnn xxx ,, 12 −− f[Xn-3,Xn-2,xn-1,xn]

xn f[xn] f[xn-1,xn] .

Ejemplo 3.2: dada la siguiente tabla, construya la tabla de diferencias divididas de Newton

x -1 0 1 2 3

)(xf 1 1 0 -1 -2

Tabla de diferencias divididas:



X orden 0 orden 1 orden 2 orden 3 orden 4 -1 1

0 0 1 -1/2

-1 1/6 1 0 0 -1/24

-1 0 2 -1 0

-1 3 -2 de la tabla concluimos que los valores de do = 1; d1 = 0; d2 = -1/2; d3 = 1/6; d4 = -1/24; por tanto utilizando la fórmula de Newton para un polinomio de cuarto orden y sustituyendo los valores tenemos

))...((...))(()()( 3041020102 xxxxdxxxxdxxddxp −−++−−+−+=

)2)(1)(0)(1(24

1)1)(0)(1(

6

1)0)(1(

2

101)(2 −−−+−−−++−+−+= xxxxxxxxxxp

4322 24

1

4

1

8

5

12

71)( xxxxxp −+−−=

Ejemplo 3.3: utilice la interpolación de Newton para un polinomio de segunda orden

Con los siguientes valores x -1 0 2

)(xf 4 1 -1

construimos la tabla de diferencias divididas

x orden 0 orden 1 orden 2 -1 4

-3 0 1 2/3

-1 2 -1

de la tabla concluimos que ;40 =d ; ;31 −=d ;3

22 =d el polinomio interpolador de segunda orden de

Newton será: 2

22 3

2

3

71)0)(1(3/2)1(34)( xxxxxxp +−=++++−=

2

2 3

2

3

71)( xxxp +−=

3.5 – ANALISIS DE ERROR EN LA INTERPOLACIÓN Al aproximar )(xf por un polinomio interpolador de grado < n se comete un error que esta dado por:

)()()( xpxfxE nn −= [ ]nxxx ;0∈∀

El estudio del error es importante para saber cuan próximo está )(xf de )(xpn .

Graficamente.



Podemos ver que el mismo polinomio interpola )(1 xf y

)(2 xf en 0x y 1x el error será portanto:

)()()( 111 xpxfxE −=

)()()( 122 xpxfxE −= donde )()( 21 xExE >

10 xxx <>

Consideremos un intervalo [a, b] de la función )(xf y a =<<<= nxxxx ....210 b; en 1+n puntos. Por el

método de Newton construimos )(xpn que interpola )(xf en los puntos nxxxx ,...,,, 210 . Entonces )(0 xp

es el polinomio de grado cero que interpola )(xf en 0xx = =)(0 xp )( 0xf . Del mismo modo ∈∀x [a,b] y

0xx = tendremos

[ ]0

00

)()(,

xx

xfxfxxf

−−

= ⇒ [ ] )()(,)( 000 xfxfxxfxx −=− ⇒ [ ]xxfxxxfxf ,)()()( 000 −−=

Donde =)(0 xp )( 0xf y el segundo término del segundo miembro de la ecuación corresponde al error, o

sea ( ) [ ]xxfxxxE ,)( 000 −=

Considerando ahora )(1 xp que es el polinomio de grado 1 que interpola )(xf en 10 , xx

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )( ) [ ]

( )( )10

01100

1

010

0

1

00010

,,

,,,...,,

xxxx

xxfxxxxxfxf

xx

xxfxx

xfxf

xx

xxfxxfxxxf

−−−−−−

=−

−−−

=−−

=

( ) [ ]000 ,)()( xxfxxxfxf −+= + ( )( ) [ ]xxxfxxxx ,, 1010 −−

)(1 xp )(1 xE

Aplicando sucesivamente el mismo raciocinio para nxxxx ,...,,, 210 tendremos la forma de Newton de grado

< n que interpola )(xf en nxxxx ,...,,, 210 ;

( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( ) [ ]nnn xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxp ,...,,......,,,)()( 1010210101000 −−−++−−+−+=

Y el error dado por: ( )( ) ( ) [ ]nnn xxxfxxxxxxxE ,...,,...)( 1010 −−−=

3.5.1- Estimativas del Error Existen diferentes maneras para estimar el error cometido cuando se interpola una función )(xf por un

polinomio )(xpn . Una manera práctica de estimar el error cuando usamos el polinomio de interpolación de

Newton es:

( )( ) ( )nn xxxxxxxE −−−= ...)( 10 Max| diferencias divididas de orden 1+n |



Ejemplo 3.4 : dada una función f(x) en la forma tabular

x O,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72

)(xf 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37 a) obtener f(0.47) usando un polinomio de segundo grado b) dar una estimativa del error cometido

construimos la tabla de diferencias divididas de Newton

x orden 0 orden 1 orden 2 orden 3

0.2 0.16 0.4286

0.34 0.22 2.022 0.8333 -17.8916

0.4 0.27 -3.7033 0.1667 18.2492

0.52 0.29 1.0415 0.375 -2.6031

0.6 0.32 0.2085 0.4167

0.72 0.37

dado que 0.47 pertenece al intervalo [0.42; 0.52] y como el polinomio interpolador es de segunda orden por lo tanto tenemos que elegir 3 puntos para obtener el polinomio; tomando: xo = 0.4; x1 = 0.52; x2 = 0.6; obtenemos:

a) p2(x) = 0.27 + (x - 0.4)(0.1667) + (x – 0.4)(x – 0.52)(1.0415)

p2(0.47) = 0.2780 E2(0.47) = |(x – xo)(x – x1)(x – x2)| Máx |dif. Divididas de orden 3| b) E2(0.47) = |(0.47 – 0.4)(0.47 – 0.52)(0.47 – 0.6)||18.2492| = 0.0083 La estimativa del error es de 0.0083

Estimativa del error en la interpolación de Lagrang e Teorema: si nxxx ,...,, 10 son n+1 puntos distintos contenidos en el intervalo [a,b] y f(x) es una función

derivable n+1 veces en [a,b], entonces si x está contenido en el intervalo existe un número z(x) tal que

[ ] )!1/())...()(())(()()( 101 +−−−+= + nxxxxxxxzfxpxf n

nn

Colorario: una cota para el error válida para todo punto x del intervalo es

)!1(

))...()(()()()()( 101

+−−−

≤−= +

n

xxxxxxxfmáxxpxfxE nn

nn

3.6- EVALUACION DEL GRADO DEL POLINOMIO INTERPOLADO R La tabla de diferencias divididas puede auxiliar en la elección del grado del polinomio que usamos para interpolar una función dada.



En primer lugar debemos construir la tabla de las diferencias divididas. Enseguida, examinamos las diferencias divididas de la función en las proximidades del punto de interés. Si en estas proximidades las diferencias divididas de orden ‘n’ son prácticamente constantes, o si las diferencias divididas de orden ‘n+1’ varían en torno de cero, podemos concluir que un polinomio interpolador de orden ‘n’ será el que mejor aproximará a la función en la región considerada.

Ejemplo 3.5: consideremos f(x) dada por: x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05

)(xf 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247

Construyendo la tabla de diferencias divididas

x orden 0 orden 1 orden 2 1 1.0

0.5 1.01 1.005 0

0.5 1.02 1.01 -0.5

0.49 1.03 1.0149 0

0.49 1.04 1.0198 0

0.49 1.05 1.0247

Decimos entonces que en el intervalo [1; 1.05] un polinomio de orden 1=n es una buena aproximación para )(xf

3.7- FENOMENO DE RUNGE Cuando hacemos interpolación polinomial para una función f(x) se desea que la secuencia pn(x) de los polinomios de grado <n converja a f(x) cuando n crece. Pero existen ejemplos de divergencia como el conocido fenómeno de Runge .

Ejemplo: sea 2121

1)(

xxf

+= definida ]1;1[−∈∀

Vamos a interpolar f(x) en puntos igualmente espaciados, tales que:

nixi /21+−= y tomamos 14=n .

Lo que ocurre gráficamente es:



Ejemplo de Runge.

Aproximamos la función

por el polinomio de interpolación

que pasa por los

puntos en asterisco. Se

puede observar que la

aproximación es mala

cerca de los extremos

del intervalo.

La divergencia ocurre en los extremos del intervalo. En este ejemplo conforme n crece, los puntos de interpolación se vuelven cada vez más próximos y la diferencia | f(x) – p(x) | se vuelve arbitrariamente grande. 3.8 – INTERPOLACIÓN SPLINES Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letras, imágenes, etc. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Definición . (Splines de grado k). Dada nuestra tabla de datos

donde suponemos que nxxx <<< L10 , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k , para la tabla de datos, es una función )(xS tal que :

i) ii yxs =)( , para toda para todo i = 1, 2, ...., n .

ii) ( )xs es un polinomio de grado k≤ en cada subintervalo [ ]ii xx ,1− .

iii ) ( )xs tiene derivada continua hasta de orden 1−k en [ ]nxx ,0 .

x 0x 1x … nx

y 0y 1y … ny



3.8.1 – Funciones spline lineal

Dados los 1+n puntos Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para este caso:

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈∈

=

− nnn xxxsixs

xxxsxs

xxxsixs

xs

,

,

,

)(

1

212

101

M

donde:

i) ( )xsj es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii) ( )xs tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) ( ) jj yxs = , para nj ,...1,0=

Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

( )

[ ]( ) [ ][ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

∈−+

∈−+∈−+

=

−−−− nnnnnn xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xs

,,

,,

,,

1111

211121

100010

M

donde ],[ ji xxf es la diferencia dividida de Newton. 3.8.2 – Funciones spline cuadrática Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos : Ejemplo 3.6 Utilice la spline cuadratica para interpolar los puntos de la tabla

Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2. Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :

x 0x 1x … nx

y 0y 1y … ny

x 3 4,5 7 9 y 2,5 1 2,5 0,5



[ ][ ][ ]9,7

7,5.4

5.4,3

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

( )[ ][ ][ ]

∈++∈++∈++

=9,7

7,5.4

5.4,3

332

3

222

2

112

1

xsicxbxa

xsicxbxa

xsicxbxa

xs

Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:

5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ==== ssss Así, se forman las siguientes ecuaciones:

5.2395.2)3( 111 =++⇒= cbas

=++=++

⇒=15.4)5.4(

15.4)5.4(1)5.4(

2222

1112

cba

cbas

=++=++

⇒=5.2749

5.27495.2)7(

333

222

cba

cbas

5.09815.0)9( 333 =++⇒= cbas

Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada:

( )[ ][ ][ ]

∈+∈+∈+

=′9,72

7,5.42

5.4,32

33

22

11

xsibxa

xsibxa

xsibxa

xs

Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar

discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 5.4=x y

7=x . Por lo tanto para que ( )xs′ sea continua, se debe cumplir que:

( ) ( ) 2211 5.425.42 baba +=+ o lo que es lo mismo,

2211 99 baba +=+

También debe cumplirse que:

( ) ( ) 3322 7272 baba +=+ o lo que es lo mismo,

3322 1414 baba +=+

Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incógnitas; esto nos da un grado de libertad para

elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia 01 =a .

De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:



3322

221

333

333

222

222

11

11

1414

9

5.0981

5.2749

5.2749

15.425.20

15.4

5.23

baba

bab

cba

cba

cba

cba

cb

cb

+=++=

=++=++=++

=++=+

=+

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

=

−−−−

0

0

5.0

5.2

5.2

1

1

5.2

0114011400

00001901

198100000

174900000

000174900

00015.425.2000

00000015.4

00000013

3

3

3

2

2

2

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

Usando Matlab se obtiene la siguiente solución:

3.91

6.24

6.1

46.18

76.6

64.0

5.5

1

3

3

3

2

2

2

1

1

−==

−==

−===

−=

c

b

a

c

b

a

c

b

Sustituyendo estos valores (junto con 01 =a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:

( )[ ][ ][ ]

∈−+−∈+−∈+−

=9,73.916.246.1

7,5.446.1876.664.0

5.4,35.5

2

2

xsixx

xsixx

xsix

xs

La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos,

así como la spline cuadrática.



3 4 5 6 7 8 90.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos. 3.8.3 – Funciones spline cúbica Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3).

Dados los 1+n datos:

Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función )(xs definida como sigue :

( )

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈∈

=

−− nnn xxxsixs

xxxsixs

xxxsixs

xs

,

,

,

11

211

100

M

donde cada ( )xsi es un polinomio cúbico; ( ) iii yxs = , para toda nki ,...,..,1,0= y tal que ( )xs tiene

primera y segunda derivadas contínuas en [ ]nxx ,0 .

Ejemplo 3.7: Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :

Solución. Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:

( ) [ ][ ]

∈+++∈+++

=5,3

3,2

222

23

2

112

13

1

xsidxcxbxa

xsidxcxbxaxs

A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

x 0x 1x … nx

y 0y 1y … ny

x 2 3 5 y -1 2 -7



( ) 124812 1111 −=+++⇒−= dcbas

( ) 2392723 1111 =+++⇒= dcbas

23927)3( 2222 =+++= dcbas

( ) 752512575 2222 −=+++⇒−= dcbas

Ahora calculamos la primera derivada de ( )xs :

( ) [ ][ ]

∈++∈++

=′5,323

3,223

222

2

112

1

xsicxbxa

xsicxbxaxs

Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se

cambia de intervalo, en este caso 3=x . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 3=x en los dos polinomios e igualamos:

( ) ( ) ( ) ( ) 222

2112

1 32333233 cbacba ++=++

o lo que es lo mismo:

222111 627627 cbacba ++=++

Análogamente procedemos con la segunda derivada :

( ) [ ][ ]

∈+∈+

=′′5,326

3,226

22

11

xsibxa

xsibxaxs

Para lograr que ( )xs′′ sea continua :

( ) ( ) 2211 236236 baba +=+ 2211 218218 baba +=+∴

En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:

( )( ) 0

00

=′′=′′

nxs

xs

De lo cual vamos a obtener :

( ) ( ) 022602 11 =+⇒=′′ bas

0212 11 =+∴ ba ( ) ( ) 025605 22 =+⇒=′′ bas

0230 22 =+∴ ba

Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente:



0230

0212

218218

627627

7525125

23927

23927

1248

22

11

2211

222111

2222

2222

1111

1111

=+=+

+=+++=++

−=+++=+++

=+++−=+++

ba

ba

baba

cbacba

dcba

dcba

dcba

dcba

Cuya forma matricial es la siguiente :

−

−

=

−−−−−

0

0

0

0

7

2

2

1

002300000

000000212

0021800218

0162701627

15251250000

139270000

000013927

00001248

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

Usando Matlab, obtenemos la siguiente solución:

125.50

875.39

375.9

625.0

5.0

75.10

5.7

25.1

2

2

2

2

1

1

1

1

−==

−===

−==

−=

d

c

b

a

d

c

b

a

Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:

( ) [ ][ ]

∈−+−∈+−+−

=5,3125.50875.39375.9625.0

3,25.075.105.725.123

23

xsixxx

xsixxxxs

Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio



Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes! Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un carácter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad.

Ejemplo 3.8: Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas:

Solución. Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos:

[ ][ ][ ]

∈+++∈+++

−∈+++=

4,2

2,1

1,1

)(

332

33

3

222

23

2

112

13

1

xsidcxbxa

xsidxcxbxa

xsidxcxbxa

xs

Después, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

1)1( −=−s implica que, 11111 −=+−+− dcba

1)1( =s implica que, 11111 =+++ dcba

12222 =+++ dcba

5)2( =s implica que, 5248 2222 =+++ dcba

5248 3333 =+++ dcba

Y finalmente 2)4( −=s implica que,

241664 3333 −=+++ dcba Enseguida, calculamos la primera derivada:

[ ][ ][ ]

∈++∈++

−∈++=′

4,223

2,123

1,123

)(

332

3

222

2

1112

1

xsicxbxa

xsicxbxa

xsicxbxa

xs

Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de )(xs′ son 1=x y 2=x . Por lo tanto,

para hacer que )(xs′ sea contínua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores:

222111 2323 cbacba ++=++

333222 412412 cbacba ++=++

x -1 1 2 y -1 1 ,5



Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:

[ ][ ][ ]

∈+∈+

−∈+=′′

4,226

2,126

1,126

)(

33

22

11

xsibxa

xsibxa

xsibxa

xs

Nuevamente, las posibles discontinuidades son 1=x y 2=x . Por lo tanto, para que )(xs′′ sea contínua , se igualan las ecuaciones en ambos valores:

22112211 332626 babababa +=+→+=+

33223322 66212212 babababa +=+→+=+ Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En este caso,

030260)1( 1111 =+−→=+−→=−′′ babas 01202240)4( 3333 =+→=+→=′′ babas

Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incógnitas:

11111 −=+−+− dcba 11111 =+++ dcba 12222 =+++ dcba

5248 2222 =+++ dcba 5248 3333 =+++ dcba

241664 3333 −=+++ dcba

222111 2323 cbacba ++=++

333222 412412 cbacba ++=++

2211 33 baba +=+

3322 66 baba +=+ 03 11 =+− ba 012 33 =+ ba

Este sistema tiene la siguiente forma matricial:

−

−

=

−−−

−−−−−

−−−

−−

0

0

0

0

0

0

2

5

5

1

1

1

0011200000000

000000000013

001600160000

000000130013

01412014120000

000001230123

14166400000000

124800000000

000012480000

000011110000

000000001111

000000001111

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

Usando Matlab, obtenemos la solución :



140

511 =a

, 10

212 −=a

, 35

243 =a

140

1531 =b

, 35

2972 =b

, 35

2883 −=b

140

891 =c

, 70

4732 −=c

, 70

18673 =c

40

1531 −=d

, 35

482 =d

, 35

7323 −=d

Por lo tanto, la spline cúbica es:

[ ][ ][ ]

∈−+−∈+−+−

−∈−++=

4,2

2,1

1,1

)(

35732

7018672

352883

3524

3548

704732

352973

1021

40153

140892

1401533

14051

xsixxx

xsixxx

xsixxx

xs

Finalmente, mostramos la gráfica correspondiente 3.8- EJERCICIOS 3.1- Dada la siguiente tabla:

x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 xe 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.26 36.59 44.70

a) Calcula 1.3e usando un polinomio de interpolación sobre tres puntos utilizando: a.1- la forma de Lagrange a.2- la forma de Newton.

b) De una estimativa del error para ambos casos. 3.2- Construya una tabla que contenga valores de )cos(x para puntos igualmente espaciados en el intervalo [1; 2]. ¿Cuál debe ser el menor número de puntos de esta tabla para obtener, a partir de ella, el

)cos(x usando interpolación cuadrática con un error menor que 610− [ ]2;1∈∀x

-1 1 2 4

-2

2

4

6

8



3.3- Construya la tabla de diferencias divididas de Newton con los siguientes datos:

x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

)(xf -2.78 -2.241 -1.65 -0.594 1.340 4.564

a) Calcula el valor de f(1,23) de la mejor manera posible de forma que se pueda calcular el error cometido. b) Justifique el grado del polinomio elegido para resolver el item a) 3.4- Dado los siguientes datos:

x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

)(xf 1 2,119 2,910 3,945 5,72 8,695 a) Calcula f(1,6) usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1, orden 2 y orden 3. Elija la

secuencia de puntos. b) Haga una estimativa del error en cada predicción. c) Repita el item a) utilizando la interpolación de Lagrange. 3.5- Encuentre el polinomio de 2º grado que interpola la función )(xf , utilizando la interpolación polinómica,

cuyos valores son indicados en la siguiente tabla:

x -1 0 1,5

)(xf 1 0,5 3 3.6- Calcule f(3), utilizando la fórmula de Lagrange si f(1) =2; f(2) = 11 y f(4) = 77. 3.7- Suponiendo que f(x) tiene un cero en el intervalo 1<x<2 y sabiendo que f(0) = 16; f(1) = 1 y f(2) =2, estime la localización de este cero. 3.8 - Dada la siguiente tabla. Ajuste con un polinomio p(x) de grado tres o menor. Para tal polinomio ¿qué valor de b hace p(1) igual a 1

x -2 0 2 3 )(xf 0 1 b -1

3.9 - Calcula el polinomio de interpolación de Newton para cada una de las siguientes tablas de datos:

x -2 1 2 4 y -3 2.4 0,5 7,8

Soluciones:

)1)(2)(2(4625.0)2)(2(925.0)2(875.05.0)() −+−++−−−+= xxxxxxxfi )9.0)(6.0)(3.0(18519.185)6.0)(3.0(50)3.0(103)() −−−+−−−−+−= xxxxxxxfii

)2.1)(9.0)(6.0)(3.0(53088.447 −−−−− xxxx

x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

y -3 0 -6 9 -12



3.10 - Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos: i)

ii)

x -1,5 -0,5 1 -2 -4

y 9 -2 5 33 0 Soluciones:

++−−

+−−+

−+−+=

80

)5)(2)(1(57.2

45

)5)(3)(1(54.3

36

)5)(3)(2(56.1)()

xxxxxxxxxxpi

−−+−−

144

)3)(2)(1(9.8

xxx

−++−+−

++−+=875.7

)4)(2)(1)(5.1(2

125.3

)4)(2)(1)(5.0(9)()

xxxxxxxxxpii

−+−+++

+++++5.4

)4)(1)(5.0)(5.1(33

25.56

)4)(2)(5.0)(5.1(5

xxxxxxxx

3.11 - Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos: i)

x -2 1 3 y 40 -5 -20

ii) x -2 1 3

y 40 -5 -20

Soluciones:

[ ][ ]

∈+−+−−∈+−+

=3,1125.8125.16375.3375.0

1,25.725.145.125.0)()

23

23

xsixxx

xsixxxxsi

[ ][ ][ ]

∈+−+−−∈−−+

−−∈−−−−=

7,3

3,2

2,5

)()

263860

789105112

52620933

1578299

13158012

3945156192

263022573

78901241

7895860

78947032

526753

5265

xsixxx

xsixxx

xsixxx

xsii

x 1 -2 3 -5

y 1,56 3,54 -2,57 -8,9

Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones lineales


CAPITULO IV

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.1- INTRODUCCIÓN

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En este capitulo veremos algunos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

El problema a resolver es un sistema de necuaciones con n incógnitas nxxxx ,...,,, 321 de la forma

bAx = donde:

nnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

....

...

...

321

2232221

1131211

=

nx

x

x

x.2

1

=

nb

b

b

b.2

1

=

Hay dos grupos de métodos de resolución: los métodos directos los métodos iterativos o aproximados. 4.2 – MÉTODOS DIRECTOS Son aquellos que dan los valores exactos, (sin errores de redondeo) caso exista. De estos métodos tenemos: la Regla de Cramer, el método de Eliminación de Gauss y el método de Descomposición LU 4.2.1- Regla de Cramer : que aplicada a la solución de un sistema nn× ; implica en calcular

1+n determinantes de orden n . Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas . • El determinante de la matriz de los coeficientes es dist into de cero .

4.2.2 - Método de Eliminación de Gauss El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar el sistema lineal en un sistema lineal equivalente donde la matriz de los coeficientes es triangular superior. El método de basa en tres operaciones permitidas que no cambian la solución del sistema:

a) Una ecuación puede multiplicarse por una constante diferente de cero. b) Una ecuación puede ser sustituida por una combinación lineal de ella con otra. c) Se puede intercambiar ecuaciones.

El resultado de la transformación, por lo tanto será una matriz triangular superior, del tipo:

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

=

=+++=+++

.......

...

...

22323222

11313212111

donde la resolución será de atrás hacia delante, calculamos nn

nn a

bx =

Cálculo Numérico CAPITULO IV – Sistemas de ecuaciones Lineales


)1(),1(

),1(11

−−

−−−

−=

nn

nnnnn a

xabx , así sucesivamente:

hasta; 11

131321211

...

a

xaxaxabx nn−−−−

=

4.2.2.1 – Algoritmo Dado un sistema triangular superior nn× con elementos con elementos de la diagonal de la matriz A no nulos,

las variables nxxxx ,...,,, 321 son obtenidas por:

nn

nn a

bx =

de 1−= nk a 1; haga:

kk

n

kjjjkk

k a

xab

x,

1,∑

+=−

=

fin Descripción del Método Consideremos que la matriz de los coeficientes A tiene su determinante diferente a cero, también llamaremos de etapa k del proceso de eliminar la variable kx de la ecuación nkk ,...,2,1 ++

)(,kjia coeficiente de la línea i , columna j al final de la etapa k

)(kib coeficiente de la línea i en la etapa k

Se toma la matriz de los coeficientes A ampliada

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

|...

:::::

|...

|...

321

22232221

11131211

⇒

)0()0()0(3

)0(2

)0(1

)0(2

)0(2

)0(23

)0(22

)0(21

)0(1

)0(1

)0(13

)0(12

)0(11

|...

:::::

|...

|...

nnnnnn

n

n

baaaa

baaaa

baaaa

= )0(A

Etapa (1) ( )1=k

• el elemento )0(11a es llamado de pívot de la etapa (1) (asumimos que 0)0(

11 ≠a )

• los elementos )0(

11

)0(1

1a

am i

i = ni ,...,3,2=∀ son los multiplicadores de la etapa (1)

• eliminamos las variables 1x de las ecuaciones 2, 3, ..., n , sustituyendo la −i ésima línea por ella misma,

menos la primera ecuación (línea) multiplicada por 1im .

Al final de la etapa (1) tendremos:



)1()1()1(3

)1(2

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

)1(1

)1(1

)1(13

)1(12

)1(11

|...0

:::::

|...0

|...

nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaaa

)1(A=

donde njaa jj ,...,2,1)0(1

)1(1 =∀= ;

nibmbb

nj

niamaa

bb

iii

jiijij

,...,3,2;

,...,2,1

,...,3,2;

;

)0(11

)0()1(

)0(11

)0()1(

)0(1

)1(1

=∀×−=

==

∀×−=

=

Etapa (2) (k = 2)

• pívot )1(22a

• multiplicadores )1(

22

)1(2

2a

am i

i = ni ,...,4,3=∀

• eliminamos la variable 2x de la línea 3 y queda:

)2()2()2(3

)2(2

)2(2

)2(23

)2(22

)2(1

)2(1

)2(13

)2(12

)2(11

|...00

:::::

|...0

|...

nnnn

n

n

baa

baaa

baaaa

donde:

nibmbb

nj

niamaa

ibb

nj

iaa

iiii

jiijij

ii

ijij

,...,4,3

,...,3,2

,...,4,3

;2,1

,....,2,1

2,1

)1(2

)1()2(

)1(22

)1()2(

)1()2(

)1()2(

=⇒×−=

==

∀×−=

=⇒=

==

∀=

y así sucesivamente, por último tenemos la matriz triangular superior, equivalente a la matriz original A

)1()1(

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

)1(1

)1(1

)1(13

)1(12

)1(11

|...000

:::::

|...0

|...

−−

−−−−

−−−−−

nn

nnn

nnn

nn

nnn

nnn

ba

baaa

baaaa

( ) ( )11 −− =⇒ nn bxA



4.2.2.2- Algoritmo del Método de eliminación de Gau ss Dado un sistema lineal bAx = , siendo 1, ×× nnn xA y nnb × . Suponiendo que 1,...,2,1,0)1( −=∀≠− nka k

kk

Para 1=k hasta 1−n Para 1+= ki hasta n → (líneas)

Calcular: kk

ik

a

am = ;

;0=ika

Para 1+= kj hasta n → (columnas)

;kjijij amaa ×−=

;kii bmbb ×−=

;nn

nn a

bx =

Para 1−= nk hasta 1

kk

n

kjjijk

k a

xab

x∑

+=

×−= 1

Fin

Ejemplo 4.1: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método de eliminación de Gauss

=−+=++=++

3234

22

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

donde la matriz A de los coeficientes ampliada será

.3234

.2211

.1423

)0()0()0()0(

)0()0()0()0(

)0()0()0()0(

−

Etapa k = 1 eliminar 1x

• pívot 311 =a

• multiplicadores 3

1)0(

11

)0(21

21 ==a

am

3

4)0(

11

)0(31

31 ==a

am la operación en las líneas será:

13133

12122

LmLL

LmLL

×−=×−=

y al final de la etapa (1) la matriz de los coeficientes queda

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

3

5

3

22

3

10

3

5

3

2

3

10

.1423

−

Etapa k = 2, eliminar 2x

• pívot 3

1)1(22 =a



• multiplicadores 1)1(

22

)1(31

31 ==a

am

haciendo 23233 LmLL ×−= al final de la etapa 2 tenemos que la matriz de los coeficientes es:

)2()2(

)2()2()2(

)2()2()2()2(

0800

3

5

3

2

3

10

.1423

−

donde la solución es

−=−−=

=−=

=

⇒

33

0521

53/1

03/5

0

1

2

3

xx

x

x

y la solución del sistema es [ -3, 5 y 0] 4.2.3 - Descomposición LU Dado un sistema lineal bAx = , el método de solución por descomposición LU consiste en transformar la matriz de los coeficientes A en el producto de dos o más matrices. Si hacemos ULA .= ; tendremos:

bUxL =. , si llamamos yxU =. tendremos el sistema original escrito como byL =. , resolviendo este sistema

y luego podemos resolver yDx = .

La ventaja de este método de resolución es que si el vector de los términos independientes b es alterado, la solución se obtiene casi inmediatamente sin necesidad de volver a calcular todo de nuevo. La matriz L es triangular inferior con diagonal unitaria y la matriz U es una matriz triangular superior. 4.2.3.1- Cálculo de los factores LU Como obtener las matrices L y U veremos a través de un sistema 3x3. Para el efecto aplicamos el método de eliminación de Gauss.

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++=++=++

trabajando solamente con la matriz de los coeficientes

A

aaa

aaa

aaa

A ==)0(

33)0(

32)0(

31

)0(23

)0(22

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

)0( . pivot )0(11a , multiplicadores:

)0(11

)0(21

31

)0(11

)0(21

21

a

am

a

am

=

=

Para eliminar 1x de al linea 3,2=i hacemos: )0(

1)0()1(

jijijij amaa −= donde 3,2=i y 3,2,1=j quedando )0(1

)1(1 jj aa = para 3,2,1=j

Estas operaciones equivalen a multiplicar la matriz )0(A por la matriz )0(M , donde

10

01

001

31

21)0(

m

mM

−−=



⇒ )0(

33)0(

32)0(

31

)0(23

)0(22

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

31

21)0()0( .

10

01

001

aaa

aaa

aaa

m

mAM

−−= = =

−−−−−−

)0(3331

)0(33

)0(1231

)0(32

)0(1131

)0(31

)0(2321

)0(23

)0(1221

)0(22

)0(1121

)0(21

)0(13

)0(12

)0(11

amaamaama

amaamaama

aaa

)1(

)1(33

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

0

0. A

aa

aa

aaa

==

Por lo tanto )1()0()0( AAM = es la matriz obtenida de la primera etapa del proceso de eliminación de Gauss. Para la segunda etapa las operaciones de eliminar la variable 2x es equivalente a multiplicar la matriz

10

010

001

32

)1(

m

M

−= por

)1(33

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

)1(

0

0.

aa

aa

aaa

A = y que es igual a

)2(

)1(2332

)1(33

)1(2232

)1(32

)1(23

)1(22

)1(13

)1(12

)1(11

0

0. A

amaama

aa

aaa

=−−

=

Por lo tanto )2()1()1( AAM = que es la misma matriz obtenida en la segunda etapa del proceso de eliminación de Gauss. Tenemos entonces que:

AA =)0( y que )1()0()0()0( AAMAM == ;

AMMAMA )0()1()1()1()2( ==

donde )2(A es triangular superior. Entonces: [ ] [ ] [ ] )2(1)0(1)1()2(1)0()1( AMMAMMA−−− ==

como [ ]10

01

001

31

21

1)0(

m

mM =− y [ ]

10

010

001

23

1)1(

m

M =− entonces [ ] [ ]

1

01

001

3231

21

1)0(1)1(

mm

mMM =−−

y LU

a

aa

aaa

mm

mA ==)2(

33

)2(23

)2(22

)2(13

)2(12

)2(11

3231

21

00

0

1

01

001

donde

1

01

001

3231

21

mm

mL = y )2(

33

)2(23

)2(22

)2(13

)2(12

)2(11

00

0.

a

aa

aaa

U =

Ejemplo 4.2: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolver por el método LU

=−+=++=++

3234

22

1423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

donde la matriz A de los coeficientes es: )0()0()0(

)0()0()0(

)0()0()0(

234

211

423

−

Etapa k = 1 eliminar 1x

• pívot 311 =a



• multiplicadores 3

1)0(

11

)0(21

21 ==a

am

3

4)0(

11

)0(31

31 ==a

am

3/103/10

3/23/10

423

− donde la matriz LU se pueden almacenar en una misma matriz

3/103/13/4

3/23/13/1

423)1(

−=A

pívot 3

1)1(22 =a

multiplicadores 1)1(

22

)1(31

31 ==a

am

413/4

3/23/13/1

423)2(

−=A Por tanto:

113/4

013/1

001

=L y la matriz

400

3/23/10

423

−=U . Resolviendo bLy =

3

2

1

113/4

013/1

001

3

2

1

=y

y

y

=−−==−=

=⇒

03/53/43

3/53/12

1

3

2

1

y

y

y

para obtener x resolvemos yUx =

0

3/5

1

400

3/23/10

423

3

2

1

=− x

x

x

−=×−=

==

=

⇒

33

521

53/1

3/5

0

1

2

3

x

x

x

la solución del sistema es

0

5

3−=x

Ejercicio: Dado el siguiente sistema lineal, resolver utilizando el método LU, y muestre los valores de las matrices L y U

234

322

943

31

321

321

−=−=++

=+−

xx

xxx

xxx



4.2.4 – Pivoteamiento parcial Los métodos directos presentan un inconveniente cuando el pívot, en el proceso de eliminación, es igual a cero. Para evitar la división por cero, se utiliza la técnica del pivoteamiento que consiste en comparar todos los elementos de la columna donde se encuentra el pívot. Se elije el mayor elemento en módulo y lo llevamos como pívot por medio del intercambio de filas, entre aquella que tiene el pívot y la que posee el mayor elemento. Este proceso se repite en cada etapa del proceso de eliminación y además minimiza los errores de redondeo que se propagan el a través de las operaciones. 4.3 – MÉTODOS ITERATIVOS Si bien los métodos directos dan la solución teórica, no siempre se pueden aplicar. Para ver la razón consideremos las fuentes de error. El error inherente, de momento lo podemos despreciar. El error de truncamiento es 0. El error de redondeo esencialmente depende del número de cálculos. Mientras mayor sea el número de ecuaciones, se requieren más operaciones y por lo tanto existiría más error de redondeo. En pocas palabras, si el número de ecuaciones es grande el error de redondeo puede crecer tanto, que puede invalidar la solución. En la practica no es raro usar cientos ó a un miles de ecuaciones. Por esta razón, se crearon los métodos iterativos. Estos son esencialmente inmunes al redondeo. Los sistemas lineales de grande porte en general poseen un gran porcentaje de ceros en la matriz de los coeficientes. Para estos sistemas el método de eliminación de Gauss no es aconsejable, dado que durante el proceso de eliminación muchos elementos nulos pasaran a ser no-nulos.

Los métodos iterativos consisten en algoritmos simples para convertir cualquier vector )(kx en otro )1( +kx que

depende de )(kx , A y b , y preserva la característica de A , dado que los coeficientes de Ano son alterados. La idea central de los métodos iterativos es generalizar el método iterativo lineal, utilizado en la búsqueda de raíces de una ecuación, visto en el capítulo II, donde dado el sistema lineal bAx = , este es convertido en un sistema similar del tipo )(xgCxx ϕ=+= , donde C es una matriz nn× ; g es un vector 1×n .

Entonces gCxx +=)(ϕ es la función de iteración en forma matricial. El método parte de )0(x , llamado de valor inicial (vector), y va calculando otros vectores llamados de vectores de aproximación a la raiz:

);( )0()0()1( xgCxx ϕ=+= primera aproximación;

);( )1()1()2( xgCxx ϕ=+= Segunda aproximación….

De forma genérica )( )()()1( kkk xgCxx ϕ=+=+

4.3.1- Criterio de parada El criterio de parada comúnmente usado por los métodos iterativos, consiste en medir cuan próximo esta )1( +kx

de )(kx . Calculamos nixxM ki

ki

k ,...,1;max )()1()1( =∀−= ++

Dada una precisión ε , e vector )(kx será elegido como solución aproximada si ε<+ )1(kM . Es más conveniente utilizar como criterio de parada el tes del error relativo

)1(

)1()1(

+

++ =

ki

kk

Rxmáx

MM ;∀ ni ≤≤1

Otro criterio de parada es el máximo número de iteraciones k



4.3.2 – Método Iterativo de Gauss-Jacobi La forma como el método de Gauss-Jacobi transforma el sistema lineal bAx = en gCxx += es el siguiente:

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=+++

=+++=+++

...

...:::

...

...

332211

22323222121

11313212111

Suponiendo que 0≠kka nk ,...,2,1=∀ y despejando x , tenenmos:

[ ]

[ ]

[ ]nnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

1,2211

2323121222

2

1313212111

1

...1

:

...1

...1

−−−−−=

−−−−=

−−−−=

Entonces; de gCxx += tenemos que:

0:....

:0::

...0

...0

.

21

22

2

22

23

22

11

11

1

33

13

11

12

nn

n

nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

C

−−

−−−

−−−

= ;

nn

n

a

b

a

b

a

b

g

:

22

2

11

1

:.=

El método de Gauss-Jacobi consiste en que dado un vector de aproximación inicial )0(x , obtenemos )()2()1( ,...,, kxxx a través de la relación recursiva gCxx kk +=+ )()1( . Entonces gCxx +=)(ϕ es una función

en forma matricial. La forma general para la función recursiva está dada por:

[ ]

[ ]

[ ])(11,

)(22

)(11

)1(

)(2

)(323

)(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

...1

:

...1

...1

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

−−+

+

+

−−−−=

−−−−=

−−−−=



Ejemplo 4.3 Resuelve el siguiente sistema lineal, utilizando el método de Gauss-Jacobi

=++−=++

=++

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

siendo vector inicial

6,0

6,1

7,0)0( −=x y una tolerancia del error 05,0≤ε

El proceso recursivo de Gauss-Jacobi será:

( )

( )

( ))(2

)(1

)1(3

)(3

)(1

)1(2

)(3

)(2

)1(1

32610

1

85

1

2710

1

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

−−=

−−−=

−−=

+

+

+

Para 0=k

( )

( )

( ) 94,0)6,1(37,02610

1

86.16,07,085

1

96,06,0)6,1(2710

1

)1(3

)1(2

)1(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

=−=−

=+−=−

=−=−

324,06,094,0

16,06,186,1

96,07,096,0

)0(3

)1(3

)0(3

)1(2

)0(1

)1(1

xx

xx

xx

34,0)1( =M y ε>===⇒ 1828,086,1

34,0)1(

)1()1(

i

Rxmáx

MM

Para 1=k

( )

( )

( ) 966,0)86,1(396,02610

1

98,194,096,085

1

978,094,0)86,1(2710

1

)2(3

)2(2

)2(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

=−=−

=+−=−

=−=−

324,094,0966,0

12,086,198,1

018,096,0978,0

)1(3

)2(3

)1(3

)2(2

)1(1

)2(1

xx

xx

xx

12,0)2( =M y ε>= 0606,098,1

12,0)2(RM

Para 2=k

( )

( )

( ) 9984,0)98,1(3978,02610

1

9888,1966,0978,085

1

9994,0966,0)98,1(2710

1

)3(3

)3(2

)3(1

=−−×−=

−=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes

=−=−

=+−=−

=−=−

0324,0966,09984,0

00888,098,19888,1

0214,0978,09994,0

)2(3

)3(3

)2(3

)3(2

)2(1

)3(1

xx

xx

xx

0324,3)3( =M y ε<== 0163,09888,1

0324,0)3(RM y el proceso de cálculo para



por lo tanto el vector solución es

9984,0

9888,1

9994,0

−=x

4.3.3 – Criterio de Convergencia para los Métodos Iterativos El siguiente teorema establece una condición suficiente para la convergencia del método de Gauss-Jacobi. Teorema: (Criterio de las Líneas) Dado un sistema lineal bAx = , y considerando

kk

n

kjj

kj

k a

a∑≠=

=1

α Si 1. <= kmáxαα nk ≤≤∀1 ,

E

ntonces el método de Gauss-Jacobi genera una secuencia )(kkx convergente a la solución del sistema,

independientemente de la elección de la aproximació n inicial )0(x .

Ejemplo 4.4 – Dado el siguiente sistema lineal, haz un estudio para la convergencia para la aplicación del método de Gauss-Jacobi.

=++−=++

=++

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

5,010

32

4,05

11

3,010

12

3

2

1

=+

=

=+

=

=+

=

α

α

α

15,0. 3 <=== ααα kmáx

Por el criterio de las líneas tenemos asegurada la convergencia para el método de Gauss-Jacobi, para cualquier valor inicial.

4.3.4 – Método Iterativo de Gauss-Seidel Análogamente al método de Gauss-Jacobi, en el método de Gauss-Seidel, el sistema lineal bAx = es escrito en la forma equivalente gCxx += . El proceso consiste en que, partiendo de una aproximación inicial a la

solución )0(x , calcula )()2()1( ,...,, kxxx por medio del proceso recursivo:

La fórmula iterativa de Gauss- Seidel está dada por:



[ ]

[ ]

[ ])1(11,

)1(22

)1(11

)1(

)(2

)(323

)1(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

...1

:

...1

...1

+−−

+++

++

+

−−−−=

−−−−=

−−−−=

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Entonces el proceso de Gauss-Seidel, en el momento de calcular )1( +kjx usamos todos los valores de

)1(1

)1(2

)1(1 ,...,, +

−++ k

jkk xxx que ya fueron calculados.

Ejemplo 4.5 – Resuelve el siguiente sistema lineal por Gauss-Seidel, 0)0( =x y una tolerancia del error

2105 −×<ε

=++=++=++

0633

643

55

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Proceso iterativo:

( )

( )

( ))1(2

)1(1

)1(3

)(3

)1(1

)1(2

)(3

)(2

)1(1

3306

1

364

1

55

1

+++

++

+

−−=

−−=

−−=

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

Para 0=k

( )

( )

( ) 875,0)75,0(3)1(306

1

75,00)1(364

1

10)0(255

1

)1(3

)1(2

)1(1

−=−−=

=−−=

=−−=

x

x

x

tes de parada

=+=−

=−=−

=−=−

875,0875,00

75,075,00

110

)0(3

)1(3

)0(3

)1(2

)0(1

)1(1

xx

xx

xx

1)1( =M y ε>===⇒ 11

1)1(

)10)1(

i

Rxmáx

MM

Para 1=k

( )

( )

( ) 9875,0)95,0(3)025,1(306

1

95,0)875,0()025,1(364

1

025,1)875,0()75,0(255

1

)2(3

)2(2

)2(1

−=−−=

=−−−=

=−−−=

x

x

x

parada

=+−=−

=−=−

=−=−

1125,0875,009875

2,075,095,0

025,01025,1

)1(3

)2(3

)1(3

)2(2

)1(1

)2(1

xx

xx

xx



2,0)2( =M y ε>== 19,0025,1

2,0)2(RM

Para 2=k

( )

( )

( ) 9993,0)9912,0(3)0075,1(306

1

9912,0)9875,0()0075,1(364

1

0075,1)9875,0()95,0(255

1

)3(3

)3(2

)3(1

−=−−=

=−−−=

=−−−=

x

x

x

tes de parada

=−

=−

=−

0118,0

0412,0

0175,0

)2(3

)3(3

)2(3

)3(2

)2(1

)3(1

xx

xx

xx

0412,0)3( =M y ε<== 0408,00075,1

0412,0)3(RM

por lo tanto el vector solución es

9993,0

9912,0

0075,1

−=x

4.3.5 – Criterio de Convergencia para Gauss-Seidel El criterio de las líneas visto en el método de Gauss-Jacobi puede ser aplicado para el método de Gauss-Seidel. Si no cumple con este criterio, aún se puede aplicar el criterio de Sassenfeld, válido solamente para este método. Criterio de Sassenfeld: definimos como:

jj

jnjjjjjjj

j

n

n

a

aaaaa

a

aaa

a

aaa

++++++=

+++=

+++=

+−− ......

:

...

...

1,11,2211

.

22

2231212

11

112121

ββββ

ββ

β

Sea jnj

máxββ≤≤

=1

si 1<β entonces, el método de Gauss-Seidel genera una secuencia convergente para

cualquier valor inicial )0(x . Además cuando menor sea el valor de β más rápida será la convergencia al vector

solución. En caso de que no cumplan con los criterios de convergencia, no indica que el método sea divergente , sino que ello dependerá de la elección del valor inicial

Ejemplo 4.6: Verifica la convergencia a la solución del siguiente sistema de ecuaciones, a través del criterio de Sassenfeld, si aplicáramos el método de Gauss-Seidel, ,:

5,22,03,01,0

12,02,01,0

6,21,02,02,0

2,014,01,05,0

4321

4321

4321

4321

−=+++=++−−−=−−+

=−−+

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx



Calculamos los valores de β

2736,01

)358,0(2,0)44,0(3,0)7,0(1,0

358,01

2,0)44,0(2,0)7,0(1,0

44,01

1,02,0)7,0(1,0

7,01

1,01,05,0

4

3

2

1

=++=

=++=

=++=

=++=

β

β

β

β

17,041

<==≤≤ j

jmáxββ

Por lo tanto el método de Gauss-Seidel será convergente independientemente de la elección del valor inicial.

4.4 – SISTEMAS MAL CONDICIONADOS Dado un sistema bAx = ,se dice que una matriz A está mal condicionada cuando pequeños cambios en A o b provocan grandes cambios en la solución del sistema. Una circunstancia que suele llevar aparejada la mala condición es que la matriz sea “casi singular” y su determinante sea casi cero. Sin embargo, para detectar el mal condicionamiento, primero es necesario escalar todas las ecuaciones de forma tal que la matriz sea diagonalmente dominante. Otra posible causa es que un sistema de dos ecuaciones corresponde a dos líneas rectas casi paralelas, o en un sistema de tres ecuaciones corresponda a tres planos casi paralelos

Ejemplo 4.7:

4,1021.1

102

21

21

=+=+

xx

xx

Que tiene como solución del sistema 4=x e 3=y , si se modifica ligeramente el coeficiente de

1x de la segunda ecuación por 1,05, el resultado cambia drásticamente a 81 =x y 12 =x . Si sustituimos estos valores en la ecuación original

8,10)1(2)8(1,1

10)1(28

=+=+

Por lo tanto, aunque 81 =x y 12 =x no son las soluciones reales al problema original, la prueba del error es casi igual, lo que puede provocar el error al hacer creer que las soluciones son correctas

4.5 – COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS

a) Convergencia: los métodos directos son procesos finitos, es decir, teóricamente se obtiene la solución exacta de cualquier sistema no singular. Los métodos iterativos tienen convergencia asegurada solo bajo ciertas condiciones.

b) Esparcidad de la matriz A. Muchos sistemas lineales poseen la matriz de los coeficientes, esparza, es decir, muchos de sus elementos son nulos. Para estos sistemas no es recomendable adoptar los métodos directos, dado que durante el proceso de triangulación muchos elementos nulos pasan a ser no-nulos. Para estos sistemas se recomienda los métodos iterativos.

c) Número de operaciones. Los métodos directos requieren un número mayor de operaciones aritméticas.



d) Errores de Redondeo.

Lo métodos directos presentan serios problemas de redondeo y que para atenuar este inconveniente se adopta la técnica de pivoteamiento descrita anteriormente. Los métodos iterativos no presentan problemas con el redondeo.

4.6 – EJERCICIOS 4.1- Para el conjunto de ecuaciones

841064

1352

49837

−=+−=−−−=−

zyx

zyx

zyx

a) calcula su determinante b) resuelve utilizando la regla de Cramer c) sustituye los resultados en la ecuación original y compruebe los resultados. 4.2- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

92102

546

80712

321

321

321

=+−−=+−−=−+−

xxx

xxx

xxx

a) resuelve por eliminación de Gauss, mostrando todos los pasos b) comprueba los resultados 4.3- Usa el método de eliminación de Gauss, con pivoteamiento parcial para resolver el sistema de ecuaciones

484

4462

50133

31

321

32

=+=+−

−=−

xx

xxx

xx

4.4- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

a) por eliminación de Gauss

0232

6251

10113

=++=++

=+−

zyx

zyx

zyx

b) por el método L-U 4.5- Analiza los siguientes sistemas con relación al número de soluciones, usando el método de eliminación de Gauss

a)

1115646

231969

9846

7523

4321

4321

4321

4321

=+−−=++−

−=+−+−=++−

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

b)

925.021.0147.0

824.016.011.0

712.036.0252.0

321

321

321

=++=++=++

xxx

xxx

xxx

4.6- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

32328

82125

16123

321

321

321

=++=++=+−

xxx

xxx

xxx

a) utilizando a) el método de eliminación de Gauss



b) el método iterativo de Gauss-Seidel con ε < 5% c) el método iterativo de Gauss-Jacobi con ε < 5% 4.7- Verifica la convergencia para la solución para los sistemas dados a continuación, utilizando la iteración de Gauss – Seidel. Efectúa tres pasos partiendo de una aproximación inicial de [1, 1, 1].

a)

610

610

610

=++=++=++

zyx

zyx

zyx

b)

208

105

1424

=++=−+=++

zyx

zyx

zyx

4.8- Aplicar Gauss – Seidel (tres iteraciones) a los sistemas del problema anterior partiendo de a)[0, 0, 0] b)[10, 10, 10] compare y haga un comentario (analiza el error en cada iteración). 4.9- Utilizando la ley de Kirchhoff para resolver el circuito siguiente, encuentra las intensidades de la

corriente 21, II e 3I para los siguientes casos:

a) 29,23,4,2,1,2,1,1 21654321 ======== VVRRRRRR

b) 38,413,5,1,3,4,2,1 21654321 ======== VVRRRRRR

c) con las mismos valores de R del item 1) pero cambiando 20,10 21 == VV 4.10- Haga un programa que dada una matriz A nxn verifique el criterio de las líneas para la convergencia de los

métodos iterativos. 4.11- Haga un programa que resuelva un sistema de n x n por el método de Gauss – Jacobi 4.12- Repita el problema anterior para el método de Gauss – Seidel 4.13 – Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando uno de los métodos numéricos

235

6514

652

22

432

4321

4321

321

=++=+++−=+++=−+

xxx

xxxx

xxxx

xxx

CÁLCULO NUMERICO CAPITULO V – Ajuste de Curvas a datos de Mediciones

67 Ing Hugo Franco Paats

CAPITULO V

AJUSTE DE CURVAS A DATOS DE MEDIONES 5.1- INTRODUCCIÓN En muchos casos podemos buscar aproximar un cierto conjunto de datos por algún tipo de funciones prefijadas, aún cuando no se consiga que toda la función de aproximación coincida con los valores de los datos en todos los puntos. Así pues, el problema de la aproximación es diferente al de interpolación estudiada en el que

mixi ,...,2,1, = son un conjunto de mpuntos diferentes. El problema de ajuste de datos consiste en buscar

un polinomio de un orden dado mn < que se aproxime lo más posible al conjunto de datos, y en el cual utilizamos más datos de los que sería estrictamente necesario para calcular un polinomio de interpolación. 5.2 – CASO DISCRETO El problema del ajuste de curvas consiste en que tenemos una tabla de puntos

)(,(),...,(,(),(,( 2211 nn xfxxfxxfx , donde los puntos pertenecen a un intervalo [ ]ba; y seleccionamos

n funciones )(),...,(),( 21 xgxgxg n continuas en [ ]ba; , para obtener nconstantes nααα ,...,, 21 tales

que: )(...)()()( 2211 xgxgxgx nnαααϕ +++= se aproxime lo máximo posible a )(xf . ¿Cómo elegir las

funciones )(),...,(),( 21 xgxgxg n ? La elección puede ser hecha observando el gráfico de los puntos dados

en la tabla, colocándolos en un gráfico cartesiano para visualizar la curva que mejor se ajusta a los datos. Ejemplo 5.1 – Dados los datos de la siguiente tabla

x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0

)(xf 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

x

f(x)

Este diagrama nos sugiere aproximar la función dada por una parábola pasando por el origen. Por lo tanto

elegimos 2)( xxg = y buscaremos la solución para 2.)(.)( xxgx ααϕ == donde α debe ser tal que

)()( ii xxf ϕ− sea mínimo; mi ,...,2,1=∀ .

Cálculo Numérico CAPITULO V – Ajuste de Curvas

Ing Hugo Franco Paats 68

5.3 – METODO DE LOS MÍMINOS CUADRADOS Definimos kd como siendo: )()( kkk xxfd ϕ−= y lo llamamos como el desvío en kx , el método de los

mínimos cuadrados consiste en elegir los coeficientesα de tal forma que la suma de los cuadrados de los desvíos sea mínimo.

[ ]∑ ∑∑= ==

−−−−=−==m

k

m

kknnkkkkk

m

kkn xgxgxgxfxxfdF

1 1

22211

2

1

221 )(...)()()())()((),...,,( αααϕααα

Sabemos por cálculo diferencial que para obtener un punto mínimo de cualquier función debemos encontrar los puntos críticos. Imponiendo dicha condición:

0),...,,( 21=

∂∂

n

j

Fαααα

nj ,...,2,1=∀

tendremos:

1=j [ ]∑=

=×−−−−m

kkknnkkK xgxgxgxgxf

112211 0)(())(...)()()((2 ααα

2=j [ ]∑=

=×−−−−m

kkknnkkK xgxgxgxgxf

122211 0)(())(...)()()((2 ααα

:

nj = [ ]∑=

=×−−−−m

kknknnkkK xgxgxgxgxf

12211 0)(())(...)()()((2 ααα

Resolviendo

∑∑∑∑====

=

++

+

m

kkkn

m

kknk

m

kkk

m

kkk xgxfxgxgxgxgxgxg

11

112

1211

111 )()()()(...)()()()( ααα

∑∑∑∑====

=

++

+

m

kkkn

m

kknk

m

kkk

m

kkk xgxfxgxgxgxgxgxg

12

122

1221

112 )()()()(...)()()()( ααα

: :

∑∑∑∑====

=

++

+

m

kknkn

m

kknkn

m

kkkn

m

kkkn xgxfxgxgxgxgxgxg

112

121

11 )()()()(...)()()()( ααα

Tenemos un sistema lineal con n ecuaciones y n incógnitas. Podemos expresarlo en forma matricial

bAx =

∑

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

=

=

=

====

====

====

=

=

=

=

m

kn

m

k

m

k

n

m

kn

m

knn

m

kn

m

kn

m

k

m

kn

m

k

m

k

m

k

m

kn

m

k

m

k

xgxf

xgxf

xgxf

xgxfxgxgxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxgxgxg

1

12

11

2

1

1112

11

12

12

122

112

11

11

121

111

)()(

:

)()(

)()(

:

.

)()()()(...)()()()(

::::

)()()()(...)()()()(

)()()()(...)()()()(

α

α

α



Ejemplo 5.2: tomamos como ejemplo la tabla anterior el cual, a través del diagrama de dispersión

sugería una parábola pasando por el origen como función de aproximación. Por lo tanto 2)( xx αϕ = De la ecuación general tenemos:

∑∑==

=

11

1

11

1

)()()()(k

kk

kk xgxfxgxg α

∑∑==

=

11

1

11

1

2 )()()(k

kk

k xgxfxg α siendo 2)( xxg =

∑∑==

=

11

1

211

1

22 )()(k

kk

xxfx α

x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0

22xx 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464

2)( xxf 2,05 0,6486 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756

Por lo tanto nuestra ecuación se transforma en 8756,58464,2 =α ⇒ 0642,2=α y la ecuación

es 20642,2)( xx =ϕ es la parábola que se aproxima a )(xf . 5.4 – CASO CONTINUO En el caso continuo el problema de ajuste de curva consiste en dada una función )(xf continua en [ ]ba, y

seleccionadas las funciones )(),...(),( 21 xgxgxg n todas continuas en [ ]ba, , determinar n constantes

nααα ,...,, 21 de modo que la función )(...)()()( 2211 xgxgxgx nnαααϕ +++= se aproxime lo máximo

posible a )(xf en el intervalo [ ]ba, .

Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la recta que mejor se aproxima de 34)( xxf = , en un

intervalo [ ]1;0 . También en este caso, nuestro 1)(1 =xg y xxg =)(2 , debiendo encontrar el valor de 1α y

2α tal que )()()( 2211 xgxgx ααϕ += se aproxima lo máximo a )(xf . Por el criterio de los mínimos cuadrados, los coeficientes α a ser obtenidos deben ser tal que

[ ]∫ −b

a

dxxxf 2)()( ϕ sea mínimo, entonces vamos a obtener el mínimo de

[ ] [ ]∫∫ +−=−b

a

b

a

dxxxxfxfdxxxf )()()(2)()()( 222 ϕϕϕ ,

Considerando también que )()()( 2211 xgxgx ααϕ += tenemos

( ) ( )[ ]∫ +++−b

a

dxxgxgxgxgxfxf 222112211

2 )()()()()(2)( αααα



debemos hacer que [ ] ),...,,()()( 212

n

b

a

Fdxxxf αααϕ =−∫ sea mínimo, para ello encontrando los puntos

críticos para lo que hacemos 0=∂∂

i

F

α ni ,...,2,1=∀

0)()(2)(2)()(2 2211211

1

=

+

+−=

∂∂

∫∫ ∫ ααα

b

a

b

a

b

a

dxxgxgdxxgdxxgxfF

0)(2)(2)()(2 2221212

2

=

+

+−=

∂∂

∫∫ ∫ ααα

b

a

b

a

b

a

dxxgdxgxgdxxgxfF

reagrupando términos, tenemos entonces en forma matricial:

∫

∫

∫∫

∫∫=

b

a

b

ab

a

b

z

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfxg

dxxgdxxgxg

dxxgxgdxxg

)()(

)()(

)()()(

)()()(

2

1

2

1

2221

2121

α

α

2

1

2

1

2221

1211

b

b

aa

aa=⇒

αα

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de 1α y 2α

Ejemplo 5.3: Aproximar la función 34)( xxf = por una recta en el intervalo [ ]1;0 .

Siendo una recta 1)(1 =xg y xxg =)(2

11

0

11 == ∫dxa ; 2

1

2

1

0

21

0

12 === ∫x

xdxa ; 2

11221 == aa ;

3

1

3

1

0

31

0

222 === ∫

xdxxa ;

14

44

1

0

41

0

31 === ∫

xdxxb ;

5

4

5

44

1

0

51

0

32 === ∫

xxdxxb ;

y tenemos el siguiente sistema:

5/4

1

3/12/1

2/11

2

1 =αα

resolviendo tenemos que 5

41 −=α y

5

182 =α y la recta que se ajusta a la función en [0;1] es:

5

4

5

18)( −= xxϕ

5.3 – LINEALIZACIÓN En algunos casos, la familia de funciones escogidas puede no ser lineal en los parámetros. Por ejemplo, si el

diagrama de dispersión se ajusta a una exponencial del tipo xBAexy 2)( == ϕ . Para aplicar el método de los mínimos cuadrados es necesario efectuar una linearización, a través de una transformación conveniente.



Si aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación tenemos: BxAy += lnln , si comparamos con la

ecuación lineal xx 21)( ααϕ += la transformación será:

B

A

yxz

==

==

2

1 ln

ln)(

αα

ϕ

Ejemplo: Suponiendo que tenemos los siguientes mediciones x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1

y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,82 0,86 0,406 0,246

Colando estos valores en un gráfico:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

el diagrama nos sugiere un ajuste del tipo BxAexy −== )(ϕ

haciendo la transformación, y llamando

)ln()ln( BxAeyz α−==

BxAz −= )ln( ;

tenemos que ))(ln( xfz = ; )ln(1 A=α y B−=2α , por lo que los valores de 1)(1 =xg y de

xxg =)(2 . De la tabla anterior, ampliamos los cálculos a los valores siguientes:

∑

x -1 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1 0,3 2x 1 0,49 0,16 0,01 0,04 0,25 0,64 1 3,59

yz ln= 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402 8,041 xz× 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402 -8,646

818

111 ==∑

=k

a 21

8

112 3,0 axa

k

===∑=

59,38

1

222 ==∑

=k

xa

041,8)()(8

111 ==∑

=k

xgxfb 646,8)()(8

122 −==∑

=k

xgxfb



luego resolvemos el sistema 646,8

041,8

59,33,0

3,08

2

1

−=

αα

obtenemos que 099,11 =α y 5,22 −=α

por la transformación obtenemos que 001,3099,11 === eeA α y 5,22 =−= αB , por lo tanto el

ajuste será por la ecuación xex 5,2001,3)( −=ϕ

5.5-EJERCICIOS

5.1 – Obtenga la recta de mínimos cuadrados para los datos de la siguiente tabla:

x -1 1 3

f(x) 6 1 11

5.2 – Ajusta una parábola por el método de los mínimos cuadrados a los datos de la siguiente tabla:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) 2.1 3.3 3.9 4.4 4.6 4.8 4.6 4.2 3.4

5.3 – Los beneficios, en millones de Gs, obtenidos por varias compañías del mismo grupo durante los años 1999 y 2000 vienen indicados por:

Año 1999 70 260 150 100 20 60 Año 2000 60 320 230 120 50 60

Obtener la recta de mínimos cuadrados y la parábola de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos anteriores e indica cuál de ellas se ajusta mejor.

5.4 – Calcula el ajuste de la función xxexf =)( mediante un polinomio de segundo grado en [0;2] 5.5 – Dada la siguiente tabla, haga e gráfico de los datos y ajuste una curva de la mejor manera posible

x 0.5 0.75 1 1.5 2.0 2.5 3.0

f(x) -2.8 -0.6 1 3.2 4.8 6.0 7.0

5.6 – Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primero, segundo y tercer grados para los datos de la tabla anexa. En cada caso calcula el error y grafica los datos y los polinomios.

x 1 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1 )(xf 1.84 1.96 2.21 2.45 2.94 3.18

5.7 – Repita el problema anterior para aproximar por una función del tipo xey 21

αα −=

Cálculo Numérico CAPITULO VI – Integración y Derivación Numérica


CAPITULO VI

INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 6.1- INTEGRACIÓN NUMERICA Es común en ingeniería encontrar el problema de integrar funciones que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones explícitas. La idea de integración numérica es la de sustituir la función )(xf por un polinomio que se aproxima a )(xf en ],[ ba , por lo tanto necesitamos una fórmula

para aproximar dxxfb

a∫ )( de la forma siguiente:

)(...)()()( 1100 nn

b

axfAxfAxfAdxxf +++=∫ ; ],[ baxi ∈ (6.1)

Esta fórmula es conocida como fórmula de Newton-Cotes, siendo el polinomio que aproxima a )(xf en

puntos igualmente espaciados y tal que m

abhxx ii

−==−+1 ,0=∀i 1, 2, . . ., ;1−n siendo ax =0 y

bxn = , por lo tanto:

∫ ∫ ∑=

=+++≈=b

a

x

x

n

oiiixn

n

xfAxfAxfAxfAdxxfdxxf0

)()(...)()()()( 1100 (6.2)

siendo que iA se determina de acuerdo al grado del polinomio aproximador. Dentro de las fórmulas de

Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de )(af y )(bf , en caso contrario, se llaman formas abiertas. Nos remitiremos únicamente las formas

cerradas, y por lo tanto, siempre supondremos que conocemos los valores en los extremos.

6.2- REGLA DEL TRAPECIO ( 1=m ); [ ba; ] =[ 10 ; xx ]

Usando la fórmula de Lagrange para expresar el polinomio de primer grado )(1 xp que interpola a )(xf en

los puntos 21, xx y sea ax =0 ; bx =1 y abh −= para ;1=m el polinomio de Lagrange es:

).()()( 101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxp

−−

+−−

= Luego

∫ ∫ ∫ −−′′+

−−

+−−

=b

a

x

x

x

xdxxxxxxfdxxf

xx

xxxf

xx

xxdxxf

1

0

1

0

))())(((2

1)()()( 101

01

00

10

1 ξ

El segundo término representa el error cometido.

[ ]∫ ′′−−−

=′′−

−−

+−

−=

b

a

x

x

fh

xfxfxx

fh

xfxx

xxxf

xx

xxdxxf )(

12)()(

2)(

12)(

)(2

)()(

)(2

)()( 3

1001

3

101

20

010

21

1

0

ξξ

siendo que 01 xxh −= tenemos que: [ ]∫ ′′−+=b

af

hxfxf

hdxxf )(

12)()(

2)(

3

10 ξ (6.3)



Esta fórmula es conocida por la Regla del Trapecio por que representa el área de un trapecio, como se muestra en la figura: )(1 xp )(bf

)(af

ax =0 bx =1

Como el término de error de la Regla del Trapecio contiene la segunda derivada, esta regla da el resultado exacto cuando se aplica a una función cuya segunda derivada sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado 1 o menor. 6.2.1- REGLA DEL TRAPECIO REPETIDA La ecuación (6.3) puede extenderse a múltiples intervalos. Si la función integrada se representa mediante

1+n puntos de datos con puntos de abscisa igualmente espaciados, la ecuación (6.3) puede aplicarse repetidamente a cada intervalo. La ecuación así obtenida es la regla del Trapecio Repetida.

[ ]∫ ′′−+++++= −

b

a nn fmh

xfxfxfxfxfh

dxxf )(12

)()](....(([2)(2

)(3

1210 ξ (6.4)

El último término corresponde al error

[ ]∫ +++++≅= −

b

a nnTR xfxfxfxfxfh

dxxfI )()](....(([2)(2

)( 1210 (6.5)

Gráficamente

6.2.2- Cálculo del Error de la Regla del Trapecio R epetida De la ecuación (6.4) el error está dado por:



)(12

3

ξfmh

ETR ′′= siendo que nxx << ξ0 y que m

abh

−= , donde mes el número de subintervalos, nos

queda que:

)(12

)( 2

ξfhab

ETR ′′−= podemos deducir una cota del error, o valor máximo del error considerando que

],[

)()( 2 bax

xfmáxMf

∈′′

=≤′′ ξ por lo que queda:

2

2

12

)(M

habETR

−≤ (6.6)

Ejemplo 6.1 – Dada la función xexf =)( definida en el intervalo [0; 1] a) Calcula el valor de la integral utilizando 10 subintervalos y la regla del trapecio b) Evalúa el error cometido

c) ¿Cuántos subintervalos serán necesarios para que el error cometido sea menor que 310− Respuesta:

a) Debemos calcular ∫1

0dxex , siendo que 10=m y 1,0

10

01 =−=−=m

abh

aplicamos la fórmula del trapecio repetida y tenemos

( )[ ] ..7197134914.1...22

1,0 19.03.02.01.00 =++++++= eeeeeeI

el valor exacto de la integral es ...7182818284,11

0== xeI

el error absoluto es 001431663.0=AE

b) Aplicando la fórmula 2

2

12

)(M

habETR

−≤ calculamos que xexf =′′ )( por tanto 12 eM =

valor aproximado del error 002265.012

1,0 12

=×= eETR

c) si el error 310−<TRE entonces: 32

2

1012

)( −<−M

hab debemos despejar el valor de h

0044146.010121

32 =×<

−

eh 064425.0004414.0 =<h y el valor de mserá

52,15064414.0

1 ==−>h

abm , siendo que mdebe ser un número entero y mayor que 15,52

asumimos que el valor de 16=m 6.3 – REGLA DE SIMPSON DE 1/3 [ ] [ ]20;;).;2( xxbam ==

Utilizando la fórmula de Lagrange para un polinomio de 2º grado, )(2 xp que aproxima a )(xf en ax =0 ,

hxx += 01 y bhxx =+= 202 ; tenemos:



)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()( 2

1202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxp

−−−−

+−−

−−+

−−−−

=

)())(2(

))(()(

))((

))(()(

)2)((

))(()( 2

101

200

212 xf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxf

hh

xxxxxp

−−+

−−−

+−−

−−=

así: [ ]∫ ∫ ++=≈=b

a

x

xSxfxfxf

hdxxpdxxfI

2

0

)()(4)(3

)()( 2102

3

1 (6.7)

El error cometido esta dado por )(90

)4(5

ξfh

ESR −= , donde [ ]ba,∈ξ

6.3.1- Regla Simpson de 1/3 Repetida

Si aplicamos repetidas veces la Regla de Simpson en [ ] [ ]mxxba ,, 0= . Suponiendo mxxx ,.....,, 10 ,

puntos igualmente espaciados y siendo ii xxh −= +1 y mes par:

[ ] [ ] )()(...)()(2)(...)()(4)(3 2421310 mmmSR xfxfxfxfxfxfxfxfh

I +++++++++= −− (6.8)

El error cometido es )(180

)4(5

ξfmh

ESR −= donde [ ]ba;∈ξ (6.9)

6.3.2- Análisis del Error de la Regla de Simpson de 1/3 Repetida De la ecuación (6.9) el error está dado por:

)(180

)4(5

ξfmh

ESR = siendo que nxx << ξ0 y que ∑= ∈

≤≤∈

2/

1

)4()4(

)4(

],[

)()(

2

],[

)(min n

jj bax

xmáxff

nbax

xf ξ

donde mes el número de subintervalos nos queda: que abmh −= ,

44

180Mh

abERS

−≤ siendo que

( )

],[

)()( 4

)4(

bax

xfmáxMf

IV

∈=≤ξ

Ejemplo 6.2 – Dada la función xexf =)( definida en el intervalo [0; 1] a) Calcula el valor de la integral utilizando 10 subintervalos y la regla de 1/3 de Simpson b) Evalúa el error cometido

c) ¿Cuántos subintervalos serán necesarios para que el error cometido sea menor que 310− Respuesta:

a) siendo que 10=m y 1,010

01 =−=−=m

abh

aplicamos la fórmula se 1/3 de Simpson repetida y tenemos

( ) ( )[ ] ...718282782.1...2...43

1,0 18.04.029.03.01.00 =+++++++++= eeeeeeeeI SR

el error absoluto es ...60000009534,0=AE

b) Aplicando la fórmula 4

4

180

)(M

habETR

−≤ calculamos que xIV exf =)( por tanto 14 eM =

valor aproximado del error 614

1051,1180

1,0 −×=×= eETR



c) si el error 310−<TRE entonces: 34

4

10180

)( −<−M

hab debemos despejar el valor de h

06621.0101801

34 =×<

−

eh 5073.006621.04 =<h y el valor de mserá

9712,15073.0

1 ==−>h

abm , siendo que mdebe ser un número entero y mayor que 1,9712

asumimos que el valor de 2=m

6.4 – REGLA DE SIMPSON DE 3/8 ( )3=m ; [ ] [ ]baxx ,; 30 =

La función )(xf se aproxima por un polinomio de tercer grado )(3 xp

)()(3)(3)(8

3)()( 32103

8

3

3

0

xfxfxfxfhdxxpdxxfIb

a

x

xS+++≅== ∫ ∫

El análisis del error nos conduce a que en este caso: 44

8

3 80Mh

abE

S

−≤

6.3.2- Regla de Simpson de 3/8 Repetida Si aplicamos repetidas veces la Regla de Simpson de 3/8 en [ ] [ ]mxxba ,, 0= . Suponiendo mxxx ,.....,, 10 ,

son puntos igualmente espaciados y siendo ii xxh −= +1 y mes múltiplo de 3:

∫ ≅=b

aSR dxxfI )(8/3

[ ] [ ] )()(...)()(2)(...)()(3)(8

33631210 mmm xfxfxfxfxfxfxfxf

h +++++++++= −−

6.5- INTEGRACIÓN NUMÉRICA CON LÍMITES INFINITOS O S INGULARIDADES Algunos tipos de integrales que requieren atención especial como por ejemplo

∫∞

∞−

−= dxeI x2

, se extiende sobre un dominio infinito conforme 0→x

∫ +=

1

0 1)(

1dx

exI

x

∫=1

0

7.0 )cos( dxxxI tienen singularidades en 0=x

Una función es integrable en un dominio infinito o semi-infinito, solo si es significativamente distinta de cero en un dominio pequeño y se aproxima de cero conforme x se aproxima de ∞− ó ∞ .

El paso para efectuar la integral ∫∞

∞−= dxxfI )( , consiste en sustituir los límites infinitos por límites finitos

∫−=X

XdxxfI )( , donde X es un número tan grande que fuera de ese intervalo el valor es insignificante.



Gráficamente: )(xf x− x 6.6 – APROXIMACIÓN A LAS DERIVADAS La derivación o diferenciación numérica consiste en evaluar derivadas de una función usando únicamente los valores que toma la función en una serie de puntos. La técnica de aproximar las derivadas por diferencias tiene muchas aplicaciones, en particular a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales. 6.6.1- Diferencias Progresivas y Regresivas Se define como derivada )( ixf ′ de una función )(xfy = , en un punto ix , a la expresión:

h

xfhxf

hxf ii

i

)()(

0

lim)(

−+→

=′

Según la fórmula, una aproximación a la derivada en un punto cualquiera ix puede conseguirse utilizando

un valor pequeño de h . Así se obtiene la fórmula aproximada:

h

xfhxfxf ii

i

)()()(

−+≅′ ; denominada “primera deferencia progresiva”, que representa la

pendiente de la recta BC de la figura C B A hxi − ix hxi +

De cara a analizar el error de la aproximación, supongamos que )(xf es derivable dos veces en un

entorno del punto x y apliquemos la fórmula de Taylor a 2

2

)()()()( h

fxfhxfhxf

ξ′′+′+=+

Para algún ( )hxx +∈ ,ξ . Despejando tendremos:

h

xfhxfxf

)()()(

−+≈′ , Cota del Error 22M

hE ≤



6.6.2- Diferencia Regresiva Otra aproximación a la derivada se consigue empleando la “primera diferencia regresiva” que es

h

hxfxfxf ii

i

)()()(

−−≅′ ; Cota del Error 22

Mh

E ≤

que proporciona la pendiente de la recta AB 6.6.3- Diferencia Central Por último, otra aproximación útil se obtiene empleando la “diferencia central” que se calcula como:

h

hxfhxfxf ii

i 2

)()()(

−−+≅′ ; Cota del Error 4

2

12M

hE ≤

que corresponde a la pendiente de la recta AC. La mejor aproximación se obtiene con esta última fórmula. 6.7- DIFERENCIAS PARA LAS DERIVADAS DE ORDEN SUPERI OR Es posible obtener, por el mismo procedimiento, derivadas de orden superior al primero, considerando la derivada de una función del tipo )(xfy ′= . Teniendo en cuenta las aproximaciones

anteriores, calculamos la segunda derivada:

hh

xfhxf

h

hxfhxf

h

xfhxfxf

iiii

iii

)()()()2()()(

)(

−+−

+−+

≅′−+′

≅′′

2

)()(2)2()(

h

xfhxfhxfxf iii

i

++−+≅′′ Cora del Error 4

2

12M

hE ≤

Que constituye la fórmula de las diferencias progresivas para el cálculo aproximado de la derivada de 2º orden. )(xf

h h h h h ix

Nomenclaturas:

ii fxf =)(

1)( ±=± ii fhxf

2)2( ±=± ii fhxf . .. etc.



Fórmulas:

2212

h

ffff iii

i−− +−

≅′ ; diferencias regresivas

211 2

h

ffff iii

i−+ +−

≅′ ; diferencias centrales (mejor aproximación)

Para 3º y 4º orden:

Diferencias progresivas:3

123 33

h

fffff iiii

i

−+−=′′′ +++

4

1234)( 464

h

ffffff iiiiiIV

i

+−+−= ++++

Diferencias regresivas: 3

321 33

h

fffff iiii

i−−− −+−

=′′′

4

4321)( 464

h

ffffff iiiiiIV

i−−−− +−+−

=

Diferencias centrales: 3

2112

2

22

h

fffff iiii

i−−++ −+−

=′′′

4

2112)( 464

h

ffffff iiiiiIV

i−−++ +−+−

=

Como ya se ha visto, es usual expresar las derivadas en relación con los distintos valores que toma una función dada en puntos del eje x igualmente espaciados. La expresión general de una derivada depende de: orden de la misma, grado deseado para el polinomio de interpolación empleado para aproximar la función dada y el tipo de diferencias empleado. Según lo anterior, la derivación aproximada de una función tiene las expresiones que de indican a continuación, en la que se ha hecho ii fxf ≡)(

a) Empleo de diferencias progresivas a partir del punto 1x

1) Grado del polinomio de aproximación igual a 1:

h

fff 121

−≅′


h

ffff

2

34 1231

−+−≅′ ;

2123

1

2

h

ffff

−−=′′


h

fffff

6

111892 12341

−+−=′ ;

21234

1

254

h

fffff

+−+−=′′

3

12341

33

h

fffff

−+−=′′′

b) Empleo de diferencias regresivas a partir del punto 4x


h

fff 34

4

−≅′




h

ffff

2

43 2344

+−≅′ ;

2234

4

2

h

ffff

+−=′′


h

fffff

6

291811 12344

−+−=′ ;

21234

4

452

h

fffff

−+−=′′

3

12344

33

h

fffff

−+−=′′′

c) Empleo de diferencias centrales a partir del punto 3x


h

fff

224

3

−≅′


h

fff

224

3

−≅′ ;

2234

3

2

h

ffff

+−=′′


h

fffff

6

88 12453

+−+−=′ ;

2234

3 12

2

h

ffff

+−=′′

3

12453 2

22

h

fffff

−+−=′′′

Los resultados anteriores también pueden obtenerse manejando tablas de diferencias sobre funciones evaluadas en puntos equidistantes separados por una distancia h TABLA DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS

ix if if∆ if

2∆ if3∆ if

4∆ . . .

1x 1f

1f∆

2x 2f 1

2 f∆

2f∆

13 f∆

3x 3f 2

2 f∆ 1

4 f∆

3f∆

if23∆ .

4x 4f 3

2 f∆ . .

4f∆ .

. . .

5x

.

.

.

5f

.

.

.

.

.

.

. . . . .



Basada en la tabla anterior, 1f ′ valdría, empleando diferencias progresivas:

∆−++

∆−

∆+

∆−∆≅′

+

n

fffff

hf

nn1

11

41

31

2

11

)1(...

432

1

de la misma forma 1f ′′ sería:

−∆+∆−∆≅′′ ...12

1111

41

31

21 fff

hf

Se obtienen fórmulas análogas utilizando las diferencias regresivas o centrales. 6.8 – EJERCICIOS 6.1- Calcula las siguientes integrales usando la regla de los trapecios y la regla de Simpson, usando cuatro y seis divisiones para los intervalos de integración.

a) ∫2

1dxex b) ∫

4

1dxx

6.2- Usando las integrales del ejercicio anterior determine con cuantas divisiones del intervalo, en lo

mínimo, podemos esperar obtener un margen de error menor que 5101 −×

6.3- Calcule el valor aproximado de ∫ +6.0

0 1 x

dx con tres casas decimales de precisión

a) la regla de Simpson 1/3 b) la fórmula del trapecio c) ¿En que sentido la regla de Simpson es mejor que la del trapecio?.

6.4- ¿Cuál es el error máximo cometido en la aproximación de ∫ +−4

0

3 )133( dxxx por la regla de Simpson

con 4 sub-intervalos?. Calcule por Trapecios y compare los resultados.

6.5- Utiliza medios analíticos para evaluar: 1) ∫ +−+10

0

42 )56210( dxxxx 2) ∫ +π

0)sen58( dxx

a) Evalúa las integrales con la regla del Trapecio simple y repita utilizando m=2, 4 y 6 b) Evalúa las integrales con la regla de Simpson de 1/3, con m = 4 y 6 c) Evalúa con la regla de Simpson de 3/8 y m = 5.

6.6- Calcula la siguiente integral ∫ +π

0)sen24( dxx

a) Analíticamente b) Por la regla del Trapecio y calcula el margen de error . c) Por la regla de Simpson de 1/3 y evalúa el error asociado. d) Por la regla de Simpson de 3/8 evaluando la cota máxima del error

6.7- Calcula la integral de los siguientes datos tabulados mediante la regla del trapecio x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x) 1 7 4 3 5 9

Repita el problema utilizando la regla de Simpson.



6.8- Determine el valor de h h necesario para aproximar la integral: ∫−5

0senxdxe x , usando la regla de

Simpson 1/3 repetida y la regla del Trapecio repetida con precisión de 510− 6.9- Utilizando uno de los métodos numéricos para calcular las siguientes integrales con 3 decimales exactos.

a) ∫ +2

1 21 x

dx b) ∫

2

1

2cosh dxx

6.10- Calcule la sección transversal del canal mostrado en la figura, donde las flechas indican donde fueron efectuadas las mediciones. Utilice uno de los métodos numéricos para resolverlo. Profundidad 0 1.8 2.0 4 4 6 4 3.4 3.6 2.8 2 4 6 0 10 distancia en metros 6.11 – La distribución de velocidad de un fluido cerca de una superficie plana dada por la tabla:

x(mm) 0 2 4 6 8 v 0.0 9.8853 15.4917 18.2075 19.0210

Evalúa las derivadas de vque pueda en x = 0 6.12 – Los tiempos y velocidades correspondiente a un móvil viene dados por la tabla siguiente. Calcula la aceleración, en los instantes 0, 120, y 300 segundos

t 0 60 120 180 240 300 v 0,0 0,0824 0,2747 0,6502 1,3851 3,2229

6.13 – La siguiente tabla se obtiene por medio de la función xxexf =)( : x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2

)(xf 10,8894 12,7032 14,7781 17,1490 19,8550

Evalúa )2(f ′ utilizando dos y tres puntos. Calcula los errores absolutos de las aproximaciones obtenidas. Emplear diferencias progresivas. 6.14 – Sea )cos()( xxf = , con x medido en radianes. Utilizando diferencias centradas

a) Calcula aproximaciones a )8,0(f ′ , utilizando las diferencias centradas y tomando 1,0=h y

01,0=h . Compara los valores obtenidos con )8,0()8,0( senf =′ .

b) Calcula aproximaciones a )8,0(f ′′ utilizando las diferencias centradas y tomando 1,0=h y

01,0=h . Compara los valores obtenidos con )8,0cos()8,0( −=′′f .

6.15.- Se dan los puntos de coordenadas )5:2(1 −P y )5:2(2P . Obtener una estimación para )0(f ′ y

)0(f ′′ , sabiendo que es 1)0( =f



6.16 – Utilice la fórmula de tres puntos más conveniente para determinar las aproximaciones para calcular

)3,1(f ′ y )3,1(f ′′ x 1,1 1,2 1,3 1,4

)(xf 9,025013 11,02318 13,46374 16,44465

Sabiendo que los datos corresponden a la función xexf 2)( = , calcula los errores reales. 6.17- Considerando que el voltaje de un circuito eléctrico es RiiLtE +′=)( , Siendo Ω= 2R , 05,0=L

H y los valores de la corriente en amperios se relaciona con la tabla siguiente: t 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 )(ti 8.2277 7.2428 5.9908 4.5260 2.91222

a) Determina )2.1(i ′ mediante derivación numérica y utiliza este valor para calcular )2.1(E

b) Compara con la expresión que se obtiene de )2(10)( 10/ tseneti t−=

Cálculo Numérico CAPITULO VII - Ecuaciones diferenciales


CAPITULO VII

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

7.1- INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.

7.2- MÉTODO DE EULER

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto 1x como una aproximación al valor deseado )( 1xy .



Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto ( )00 ; yx . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

00 )( yxxmy +−=

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

),( 00 yxym ′=

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:

0000 ))(,( yxxyxfy +−=

Ahora bien, suponemos que 1x es un punto cercano a 0x , y por lo tanto estará dado como hxx += 01 .

De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

0000001 ))(()()( yxhxyxfhxyxy +−+≈+=

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

),()( 0000 yxfhyhxy ⋅+≈+

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la

distancia 01 xxh −= en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente

pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un

paso a otro, con la nueva h e igual a n

xx 01 −.

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que: ( )0001 ; yxhfyy +=

Para obtener 2y únicamente hay que pensar que ahora el papel de ( )00 ; yx lo toma el punto ( )11; yx , y

por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:

);( 1112 yxhfyy +=

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

( )nnnn yxhfyy ;1 +=+

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de )( 1xy aplicándola

sucesivamente desde 0x hasta 1x en pasos de longitud h .



Ejemplo 7.1 - Dada la siguiente ecuación diferencial y la condición inicia, aproximar ( )5,0y

xyy 2=′ ; 1)0( =y

Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones.

Solución Analítica . xydx

dy2=

xdxy

dy2=

∫ ∫= xdxy

dy2

cxy += 2ln

Sustituyendo la condición inicial: ⇒= 0x 1=y

c=1ln

0=c

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 2ln xy =

2ln xy ee =

2xey =

por lo tanto, la solución exacta es: ( ) ( ) 28403,15,025,0 == ey

Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre 00 =x y 5,01 =x

no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de 1,0=h y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos.

De esta forma, tenemos los siguientes datos: 00 =x ; 10 =y ; 1,0=h

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

( )( )[ ]

=+=+==+=

11021,01);(

1,0

0001

01

yxhfyy

hxx

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

( )( )[ ]

=+=+==+=

02,111,021,01);(

2,0

1112

12

yxhfyy

hxx

Y así sucesivamente hasta obtener 5y .Resumimos los resultados en la siguiente tabla:



n nx ny

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 1.02

3 0.3 1.0608

4 0.4 1.12445

5 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:

2144,1)5,0( ≈y

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error elativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

%2,5%10028402,1

2144,128402,1 =×−=E

Ejemplo 7.2 - Aplicar el método de Euler para aproximar )3,1(y , dada la ecuación diferencial:

22 5,0 yxy +=′ ; ( ) 21 =y

Solución Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente

1,0=h para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes dato

10 =x ; 20 =y ; 1,0=h para 22 5,0),( yxyxf +=

En un primer paso, tenemos que:

( )[ ]

=++=+==+=

3,225,011,02);(

1,122

0001

01

yxhfyy

hxx

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n nx ny

0 1 2

1 1.1 2.3

2 1.2 2.6855

3 1.3 3.1901

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es: 1901,3)3,1( ≈y



7.2.1- Algoritmo del Método de Euler Dado los valores iniciales

1) a , b , )(0 ayy = y h

2) Para 1=i hasta n

Obtener ),(1 iiii yxhfyy +=+

Hacer hxx ii +=+1

7.3 - MÉTODO DE EULER MEJORADO O MÉTODO DE HEUN

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:

2

),(),(( *11

1++

++

+= nnnnnn

yxfyxfhyy ; Donde ),(.*

1 nnnn yxfhyy +=+

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio m corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto ( )11; yx , donde 1y es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto 1xx = como la aproximación de Euler mejorada.

Ejemplo 7.3 - Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar )5,0(y si: xyy 2=′ si

1)0( =y

Solución: Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos 1,0=h y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1,

en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de *ny primero y

posteriormente el de ny .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 00 =x ; 10 =y ; 1,0=h y xyyxf 2),( =

En nuestra primera iteración tenemos:



1,01,0001 =+=+= hxx

( )( )[ ] 11021,01);( 000*1 =+=+= yxhfyy

01,12

;();( *1100

01 =

++=∴

yxfyxfhyy

Nótese que el valor de *1y coincide con el 1y (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues

para calcular *2y se usará 1y y no *

1y .

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

2,01,01,012 =+=+= hxx

0302,1);( 111*2 =+= yxhfyy

040704,12

;();( *2211

12 =

++=∴

yxfyxfhyy

Nótese que ya no coinciden los valores de 2y (Euler 1) y el de *2y . El proceso debe seguirse

hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n nx ny

0 0 1

1 0.1 1.01

2 0.2 1.040704

3 0.3 1.093988

4 0.4 1.173192

5 0.5 1.28336

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: 28336,1)5,0( ≈y

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

%05,0%10028402,1

28336,128402,1 =×−=E

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

Veamos un segundo ejemplo.

Ejemplo 7.4 - Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar )3,1(y si 5+−=′ yxy ,

condición inicial 2)1( =y



Solución Tenemos los siguientes datos: 1,0=h ; 10 =x ; 20 =y y 5),( +−= yxyxf

En una primera iteración, tenemos lo siguiente:

1,112 =+= hxx

4,2);( 000*1 =+= yxhfyy

( )

385,22

54,21,141,021 =

+−++=y

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n nx ny

0 1 2

1 1.1 2.385

2 1.2 2.742925

3 1.3 3.07635

Concluimos entonces que la aproximación buscada es: 07635,3)3,1( ≈y

Finalmente, veamos el tercero y último método que estudiaremos en este curso. Por simplicidad del curso, no veremos la justificación formal de estas últimas fórmulas.

7.3.1- Algoritmo del Método de Heun Dado los valores iniciales a , b , )(0 ayy = y h

1) Hacer ax =0

2) Hacer habn /)( −=

3) Para 0=k hasta n haga:

Calcular khxxk +=+ 01

Calcular ),(*1 kkkk yxhfyy +=+

Calcular [ ]),(),(2

*111 +++ ++= kkkkkk yxfyxf

hyy

4) Imprimir los valores de 11, ++ kk yx

7.4- MÉTODO DE RUNGE – KUTTA

Consideremos nuevamente la ecuación diferencial ordinaria: ),( yxfy =′ con 00 )( yxy =

Para calcular 1+ny en hxx nn +=+1 , dado un valor de ny , podemos integrar la ecuación anterior en el

intervalo [ ]1, +nn xx



∫++=+1

),(1

n

n

x

xnn dtyxfyy

Los diferentes métodos de Runge-Kutta surgen de las diferentes aproximaciones tomadas para calcular la integral de ),( yxf

Método de Runge-Kutta de orden 2 Si aplicamos la regla del trapecio para integrar ),( yxfy =′ la sucesión de valores aproximados a la solución real es ahora:

[ ]),(),(2 111 nnnnnn yxfyxfh

yy ++= +++

Este método es conocido con el nombre de Método de Euler Modificado o Método de Heun . El problema

con este método es que del lado derecho aparece 1+ny que es lo que queremos encontrar. Si ),( yxf es

lineal en y entonces podemos despejar 1+ny .

Si aproximamos a ),( 11 ++ nn yxf mediante el método de Euler, entonces tenemos el Método de Runge-

Kutta de orden 2

),(*1 nnnn yxfyy +=+

[ ]),(),(2

*111 nnnnnn yxfyxf

hyy ++= +++

Este método suele aparecer en los libros bajo lo que se conoce como notación canónica, que es la siguiente

),(1 nn yxfk =

),( 12 kyhxfk nn ++=

[ ]211 2kk

hyy nn ++=+

Método de Runge-Kutta de orden 3 Se define el métdo de Runge-Kutta de orden 3 como:

[ ]3211 46

1kkkyy nn +++=+

donde:

)2,(

);2

,2

(

);,(

123

12

1

kkyhxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

nn

nn

nn

−++=

++=

=

Método de Runge-Kutta de orden 4 Este es el método más empleado en la práctica. Surge de aproximar la integral de ),( yxf por la regla 1/3 de Simpson



[ ]43211 226

1kkkkyy nn ++++=+

Dependiendo del número de pasos intermedios empleados para calcular la derivada, es que surgen los métodos de Runge-Kutta de tercer y cuarto orden. Este último, en notación canónica se escribe como

),(1 nn yxfhk ⋅=

( )34

23

12

,

2,

2

2,

2

kyhxfhk

ky

hxfhk

ky

hxfhk

nn

nn

nn

++⋅=

++⋅=

++⋅=

La deducción de este método no se expone aquí por ser muy extensa, se puede ver en cualquier libro de texto. Este método coincide con un desarrollo de Taylor de la solución exacta hasta el cuarto orden, por lo que el error por truncamiento local es O(h5).

Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.

Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler.

Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:

),( yxfy =′ ; ( ) 00 yxy =

Ejemplo 7.5 – Usar el método de Runge-Kutta para aproximar )5,0(y dada la siguiente ecuación

diferencial: xyy 2=′ ; 1)0( =y

Solución Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos métodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos: 00 =x ; 10 =y ; 1,0=h

Para poder calcular el valor de 1y , debemos calcular primeros los valores de 321 ,, kkk y 4k

Tenemos entonces que:

0);( 001 == yxhfk

( )( )[ ] 01,0105,021,02

;2

1002 ==

++=k

yh

xhfk

( )( )[ ] 01005,0005,105,021,02

;2

2003 ==

++=k

yh

xhfk

( ) ( )( )[ ] 020201,001005,11,021,0; 3004 ==++= kyhxhfk

( ) ( )[ ] 01005,1020201,001005,0201.0206

111 =++++=∴ y



Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:

2,012 =+= hxx

( ) ( )( )[ ] 020201,001005,11,021,0; 111 === yxhfk

( )( )[ ] 03060,002010,115,021,02

;2

1112 ==

++=k

yh

xhfk

( )( )[ ] 03076,002535,115,021,02

;2

2113 ==

++=k

yh

xhfk

( ) ( )( )[ ] 04163,004081,12,021,0; 3114 ==++= kyhxhfk

[ ] 04081.1226

1432112 =++++=∴ kkkkyy

El proceso debe repetirse hasta obtener 5y . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n nx ny

0 0 1

1 0.1 1.01005

2 0.2 1.04081

3 0.3 1.09417

4 0.4 1.17351

5 0.5 1.28403

Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es: 28403,15 ≈y

Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

%0007,0%10028402,1

28403,128402,1 =×−=E

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación!

Ejemplo 7.6 – Usar el método de Runge-Kutta para aproximar )2,2(y dada la ecuación

diferencial: yxy +=′ ; ( ) 42 =y

Solución Igual que siempre, tomamos 1,0=h y llegaremos a la aproximación en dos pasos.

Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos: 20 =x ; 40 =y ; 1,0=h



Primera Iteración :

[ ] 6,0421,0);( 001 =+== yxhfk

[ ] 635,03,405,21,02

;2

1002 =+=

++=k

yh

xhfk

[ ] 020201,03175,405,21,02

;2

2003 =+=

++=k

yh

xhfk

( ) [ ] 673675,063675,41,21,0; 3004 =+=++= kyhxhfk

[ ] 6362,4226

1432101 =++++=∴ kkkkyy

Segunda Iteración :

1,201 =+= hxx

[ ] 67362,06362,41,21,0);( 111 =+== yxhfk

[ ] 7123,097301,415,21,02

;2

1112 =+=

++=k

yh

xhfk

[ ] 71424,099235,415,21,02

;2

2113 =+=

++=k

yh

xhfk

( ) [ ] 75504,035044,52,21,0; 3114 =+=++= kyhxhfk

[ ] 34982,5226

1432112 =++++=∴ kkkkyy

Concluimos entonces que el valor buscado es: 34982,5)2,2( ≈y

7.3.1- Algoritmo del Método de Runge-Kutta de Orden 4 Dado los valores iniciales a , b , )(0 ayy = y h

1) Hacer ax =0

2) Hacer habn /)( −=

3) Para 0=i hasta n haga:

Calcular ),(1 ii yxhfk = ;

Calcular )2/,2/( 12 kyhxhfk ii ++= ;

Calcular )2/,2/( 23 kyhxhfk ii ++= ;

Calcular ),( 34 kyhxhfk ii ++= ;

Calcular [ ]43211 226

1kkkkyy ii ++++=+

Calcular hxx ii +=+1



4) Imprimir los valores de 11, ++ kk yx

7.5 – EJERCICIOS 7.1- Resuelva la ecuación diferencial usando el método de Euler:

2'

yxy

−= en [0,3] con 1)0( =y ; y

comparando las soluciones que se obtienen con 1=h y 5.0=h

7.2- Resuelva la ecuación diferencial yxy −= 2' , con 1)0( =y ; usando el método de Euler. Tome h = 0.2 y dé dos pasos calculando los valores. Repita los cálculos para h = 0.1 y dé cuatro pasos. 7.3- Utilizando el método de Euler, resuelva la ecuación diferencial xyy −=' , con 1)0( =y para encontrar

)4,0(y , siendo h = 0,2. 7.4- Resolver el problema 1 utilizando el método de Heun.

7.5- Utilizando el método de Heun, resuelve la siguiente ecuación diferencial yey x 2' 2 −= − con

1,0)0( =y para calcular )4.0(y en dos pasos. Repita para el método de Euler y compare los resultados y comente. 7.6- Mediante el método de Euler modificado encuentre una aproximación de )3,1(y en la solución de la

ecuación diferencial 132' +−= yxy siendo que 5)1( =y , utilizando cuatro decimales redondeados en los cálculos y h = 0,1. 7.7- Resuelva utilizando el método de Runge- Kutta de segunda orden para resolver el problema del valor inicial )(5,0' yxy −= en [0;3] con 1)0( =y y h = 1 7.8- Repita el problema anterior utilizando el método de Runge Kutta de 3ª. Orden 7.9- Determinar el valor aproximado de )1,0(y en la ecuación diferencial yxy +=' , 1)0( =y mediante el método de Runge-Kutta de 2ª. orden con h = 0,1 7.10- Encuentre la solución a la ecuación siguiente con un grado de precisión tan alto como sea posible. Puede elegir el método que considere razonable y la longitud del paso de modo que esté tan cerca de la respuesta exacta como sea posible. 12' += xyy 1)0( =y ; determine )5.1(y

material didactico

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