mathimatika g gymnasioy theoria askiseis

ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ÂéâëéïìÜèçìá 1ïïïïï

ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÄõíÜìåéòÄõíÜìåéòÄõíÜìåéòÄõíÜìåéòÄõíÜìåéò

ÂéâëéïìÜèçìá 2ÂéâëéïìÜèçìá 2ÂéâëéïìÜèçìá 2ÂéâëéïìÜèçìá 2ÂéâëéïìÜèçìá 2ïïïïï

ÑßæåòÑßæåòÑßæåòÑßæåòÑßæåòÄéÜôáîçÄéÜôáîçÄéÜôáîçÄéÜôáîçÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ïïïïï

taexeiola.blogspot.com

http://taexeiola.blogspot.com/

Πραγµατικοί αριθµοί

Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών;Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α-

ριθµών;

Τι παριστάνει το σύµβολο R* ;

Το σύνολο που αποτελείται απο τους ρητούς και

τους άρρητους αριθµούς, ονοµάζεται σύνολο των πραγµα-

τικών αριθµών.

Το σύνολο όλων αυτών των αριθµών το συµβολίζουµε µε

το γράµµα R.

Με το συµβολισµό R* παριστάνουµε το σύνολο των πραγ-

µατικών αριθµών χωρίς το µηδέν.

Οι πραγµατικοί αριθµοί παριστάνονται µε τα σηµεία ενός άξονα.


14. Οι πραγµατικοί αριθµοί

Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - ∆υνάµεις

Πρόσθεση

Πολλαπλασιασµός

Πώς προσθέτουµε πραγµατικούς αριθµούς;

Πώς πολλαπλασιάζουµε πραγµατικούς αριθµούς;

Αν οι αριθµοί που προσθέτουµε είναι οµόσηµοι,

βάζουµε το κοινό πρόσηµο τους και προσθέτουµε τις από-

λυτες τιµές τους.

Έτσι 2 3 5+ = και 2 3 5− − = − .

Αν οι αριθµοί που προσθέτουµε είναι ετερόσηµοι, βάζουµε

το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή

και αφαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους.

Έτσι 2 3 1− + = και 2 3 1− = − .

Αν οι αριθµοί που πολλαπλασιάζουµε είναι οµόσηµοι, βά-

ζουµε πρόσηµο + και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τι-

µές τους.

Έτσι 2 3 6⋅ = και ( ) ( )2 3 6 6− ⋅ − = + = .

Αν οι αριθµοί που πολλαπλασιάζουµε είναι ετερόσηµοι,

βάζουµε πρόσηµο - και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες

τιµές τους.

Έτσι ( )2 3 6⋅ − = − και ( )2 3 6− ⋅ = − .

Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολ-

λαπλασιασµού;

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ισχύ-

ουν οι ιδιότητες:

Ιδιότητες πράξεων

• ∆ύο αριθµοί λέγονται

αντίθετοι όταν έχουν

άθροισµα µηδέν

• ∆ύο αριθµοί διαφορε-

τικοί από το µηδέν λέ-

γονται αντίστροφοι

όταν έχουν γινόµενο

ίσο µε τη µονάδα

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑ-

ΣΙΑΣΜΟΣ

Αντιµεταθετική α β β α+ = + α β β α⋅ = ⋅

Προσεταιριστική ( )( )α β γ

α β γ

+ + =

+ +

( ) ( )α βγ αβ γ=

α 0 α+ = α 1 α⋅ =

( )α α 0+ − = 1α 1, α 0

α⋅ = ≠

α 0 0⋅ =

Επιµεριστική ( )α β γ αβ αγ⋅ + = +


15.Οι πραγµατικοί αριθµοί


Αφαίρεση - ∆ιαίρεση

Πως αφαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

Πως διαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

Για να αφαιρέσουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς,

προσθέτουµε στο µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου.

∆ηλαδή ( )α β α β− = + − .

Π.χ.: ( ) ( )5 3 5 3 5 3 2− − − = − + + = − + = − .

Για να διαιρέσουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς, πολλα-

πλασιάζουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη.

∆ηλαδή α 1

α : β αβ β

= = ⋅ ,µε β 0≠ .

Π.χ.: 1 1 1 1

: 32 2 3 6

− = − ⋅ = − .

• Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης ορίζονται µέσω της πρόσθεσης

και του πολλαπλασιασµού αντίστοιχα.

• Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης λέγεται άθροισµα, της αφαίρεσης διαφορά, του

πολλαπλασιασµού γινόµενο και της διαίρεσης πηλίκο.

• Όταν στις πράξεις έχουµε άρρητους αριθµούς, συνήθως τους αντικαθιστούµε µε

ρητές προσεγγίσεις τους.

∆υνάµεις

Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη ν

α , µε ν ακέραιο,ενός

πραγµατικού αριθµού α ;

Η δύναµη να ορίζεται ως εξής:

• ν

ν παράγοντες

α α α α... α= ⋅ ⋅ ⋅

, αν ν 1≥

• 0

α 1= , αν ν 0=

• 1α α= , αν ν 1=

• ν

ν

1α

α

− = ,όπου α 0≠




Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;

• µ ν µ ν

α α α+⋅ = , µ και ν είναι φυσικοί.

• µ ν µ ν

α : α α−= , µ και ν είναι φυσικοί.

• ( )νν να β αβ⋅ = , ν είναι φυσικός.

•

νν

ν

α α

ββ

=

, ν είναι φυσικός.

• ( )νµ µνα α= , µ και ν είναι φυσικοί.

•

ν ν

α β

β α

− =

, µ και ν είναι φυσικοί.

Τι εννοούµε όταν λέµε τυποποιηµένη µορφή ενός

αριθµού;

Πότε είναι χρήσιµο να γράφουµε έναν αριθµό σε τυπο-

ποιηµένη µορφή;

Η µορφή να 10⋅ µε 1 α 10≤ < και ν ακέραιο λέγε-

ται τυποποιηµένη µορφή ενός αριθµού.

Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατ’ απόλυτη

τιµή αριθµούς είναι χρήσιµο να τους γράφουµε σε τυποποι-

ηµένη µορφή. Έτσι ο αριθµός 0,00000023 σε τυποποιηµένη

µορφή γράφεται 72,3 10−⋅ .

Όµοια 91700000000 1,7 10− = − ⋅ .

Προϋπόθεση για να ισ-

χύουν οι ιδιότητες των

δυνάµεων είναι να ορί-

ζονται οι δυνάµεις και

οι πράξεις που σηµειώ-

νονται

Τυποποιηµένη

µορφή αριθµών

Η σωστή εφαρµογή των κανόνων των πράξεων και οι δυνάµεις, µας επιτρέπουν

να υπολογίσουµε την τιµή µιάς αριθµητικής παράστασης.

Θυµίζουµε, σε µια παράσταση οι πράξεις γίνονται µε την εξής σειρά:

• ∆υνάµεις

• Πολλαπλασιασµοί και ∆ιαιρέσεις

• Προσθέσεις και Αφαιρέσεις




1. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού εκτελούνται

σύµφωνα µε τα όσα αναφέρονται στους επόµενους πίνακες.

Πρόσθεση


2. Ο υπολογισµός δυνάµεων και οι ιδιότητες τους φαίνονται στον πίνακα*.

Οµόσηµοι αριθµοί

Ετερόσηµοι αριθµοί

Βάζουµε το πρόσηµο

τους

Προσθέτουµε τις απόλυ-

τες τιµές

Βάζουµε το πρόσηµο

του αριθµού µε την µε-

γαλύτερη απόλυτη

τιµή

Αφαιρούµε τις απόλυτες

τιµές

Οµόσηµοι αριθµοί

Ετερόσηµοι αριθµοί

Βάζουµε πάντα το πρό-

σηµο +

Πολλαπλασιάζουµε τις

απόλυτες τιµές

Βάζουµε πάντα πρόση-

µο -

Πολλαπλασιάζουµε τις

απόλυτες τιµές

• ν

ν παράγοντες

α α α α ... α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

για ν 1, 2,3,...= • µ ν µ ν

α α α+⋅ =

• 1α α= •

µ ν µ να : α α

−=

• 0

α 1= • ( )νν να β α β⋅ = ⋅

• ν

ν

1α

α

− = µε α 0≠ και ν 1,2,3,...= •

νν

ν

α α

ββ

=

• ( )νµ µνα α=

•

ν ν

α β

β α

− =

* Σε όλα τα παραπάνω οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθµοί.




Να κάνετε τις πράξεις:

α. 1 4 1

4 + - + 2 + - 52 6 3

β.

3 1 4 1- - + - - +

2 4 5 10

γ. ( ) ( ) ( )⋅-225 : -5 + 4 -7 + 8 - 5 : 3

Λύση

α.1 4 1

4 2 5 4 2 52 6 3

+ − + + − = + − + = 3 4 2 3 4 2

1 16 6 6 6

− ++ − + = + =

6 1 7

6 6

+= =

β. 3 1 4 1

2 4 5 10 − − + − − + =

30 5 16 2 17

20 20

+ − − =

γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )225 : 5 4 7 8 5 : 3 225 : 5 4 7 3 : 3− − + ⋅ − + − = − − + ⋅ − + = 45 28 1 18− + =

Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης:

4 1+ 5 -

3 12A =1 3

4 - + 72 8

( )-34 -5

2B =

6144 : -

5

⋅ ⋅

Λύση




4

4 5 1

3 1 12A

1 34 7

2 8

1

4 5 1 4 5 1 16 60 13 1 12 5 1 12 12

1 1 144 3 4 74 78 2 28

+ −+ − + −= = = =

− ⋅ + ++

75 75 7575 2 512 12 12

1 1 14 15 12 15 672 2 2

⋅= = = =+ ⋅+

.

( ) ( ) ( )3 4 3 54 52 2B

6 5144 : 144

5 6

⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ − = = = − ⋅ −

6030 3 12

144 5 120 12 46

= = − = −− ⋅ −

.

Να χαρακτηρίσετε ως Σ (σωστή) ή Λ (λάθος) καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. Ο -2 είναι φυσικός. β. Το 23

είναι πραγµατικός.

γ. Ο 3 είναι άρρητος. δ. Ο 2,24 είναι ρητός. ε. Ο 102

είναι ακέραιος.

Λύση

α. Λ β. Σ γ. Σ δ. Σ ε. Σ (γιατί 10

52

= )

Ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι:

α. 1, 2313542 ... β. π γ. 4 δ. 4, 212121 ...

Λύση

α. Άρρητος β. άρρητος γ. ρητός δ. ρητός

Να αποδείξετε τα παρακάτω:

α. ( ) ( )⋅-α β = - αβ β. ( ) ( ) ( )α +β + γ - α -β - γ = 2 β + γ

Λύση

α. Πρέπει να δείξουµε ότι ο αντίθετος του αβ είναι ο ( )α β− ⋅ ή ότι ο αβ και ο ( )α β− ⋅




έχουν άθροισµα µηδέν. Πράγµατι.

( )α β αβ− ⋅ + = ( )α α β− + = 0 β 0⋅ =

β. ( ) ( )α β γ α β γ α β γ α β γ+ + − − − = + + − + + =

( )α α β β γ γ 2β 2γ 2 β γ− + + + + = + = +

Αφού απαλείψετε τις παρενθέσεις της παράστασης :

( ) ( )2α 5α 2β 4 2β 3α 8− + − + + − − + +

να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της για α 1= − και β 3= − .

Λύση

( ) ( )2α 5α 2β 4 2β 3α 8− + − + + − − + + 2α 5α 2β 4 2β 3α 8= − − + + + − −

2α 5α 3α 2β 2β 4 8= − − − + + + − ( ) ( )2 5 3 α 2 2 β 4= − − − + + −

10α 4β 4= − + − ( ) ( )10 1 4 3 4= − ⋅ − + − − 10 12 4= − − 6= −

∆ύο ακέραιοι αριθµοί έχουν γινόµενο -6 και άθροισµα 1. Ποιοι είναι οι αριθµοί;

Λύση

Με δοκιµές βρίσκουµε ότι: ( )2 3 6− ⋅ = − και 2 3 1− + = . Εποµένως οι ζητούµενοι αριθ-

µοί είναι οι 2− και 3.

Να υπολογιστούν µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάµεων οι παραστάσεις:

α. ⋅-4 32 2 β. 3 44 : 4 γ. ⋅-2 -22 3

δ. 2

2

255

ε. ( )3210 στ.

-243

Λύση

α. 4 3 4 3 11

1 12 2 2 2

22− − + −⋅ = = = = β. 3 4 3 4 1

1

1 14 : 4 4 4

44− −= = = =

γ. ( ) 22 2 22

1 12 3 2 3 6

366−− − −⋅ = ⋅ = = = δ.

222

2

25 255 25

55 = = =

ε. ( )32 2 3 610 10 10 1000000⋅= = =




στ.

2 2 2

2

4 3 3 9

3 4 164

− = = =

Να γίνουν οι πράξεις:

α. ⋅ ⋅2 3 6 12x y 3xy xy

6 β.

2 3

3 2 3

8x yz ω

64x z ω

γ. ( )22 3-3x yz δ. ⋅

-2 -32

3 3

x 2yy x

Λύση

α. 2 3 6 12x y 3xy xy

6⋅ ⋅ 2 3 61

2 3 x x x y y y6

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 10x y=

β. 2 3 2 3

3 2 3 3 2 3

8x yz ω 8 x z ωy

6464x z ω x z ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 3 2 1 31

x y z ω8

⋅ − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 21x y z ω

8− −= ⋅ ⋅ ⋅ 2

1 1 1y z

8 x ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2

1 yz

8 xω= ⋅

γ. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 3 2 2 33x yz 3 x y z− = − ⋅ ⋅ ⋅ 4 2 69x y z=

δ.

2 2 332 3 3

3 3 2

x 2y y x

2yy x x

− − ⋅ = ⋅

( )( )

( )( )

2 33 3 6 9

2 3 4 32

y x y x

x 8y2yx= ⋅ = ⋅

6 93 5

3 4

1 y x 1y x

8 8y x= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: ⋅

-8 -3 -52003 2003 2004

:2004 2004 2003

Λύση

8 3 52003 2003 2004

:2004 2004 2003

− − − ⋅

( )8 3 52003 2003

2004 2004

− − − = ⋅

8 3 52003 2003

2004 2004

− + = ⋅

5 52003 2003

2004 2004

− = ⋅

5 52003

2004

− + =

02003

12004

= = .

Να υπολογιστεί η αριθµητική τιµή της παράστασης:

( ) ( ) ( )-1 x 2-2x - 2 + x - -1 + -x ,για x 1= − .

Λύση




( ) ( ) ( )1 x 22x 2 x 1 x− −− + − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1

1 2 1 1 1− − −= − − + − − − + − − =

( ) ( ) ( )1 2 1 23 1 1 1− − −= − + − − − +

( ) ( ) ( )1 2 1

1 1 11

3 1 1= + − +

− − − =

1 1 11

3 1 1= + − +

− −( )1

1 1 13

= − + − − + 11 1 1

3= − + + + 1

33

= − + 1 9

3

− += 8

3=

Να λυθούν οι επόµενες εξισώσεις:

α. ⋅2x 52 2 = 2 β. ⋅x 2x+33 3 = 27

γ. ⋅

3 51 1

- x = -2 2

δ. -3 6x : 5 = 5

Λύση

α. 2x 52 2 2⋅ = β. x 2x 33 3 27+⋅ =

2x 1 52 2 2⋅ = x 2x 3 33 3+ + =2x 1 52 2+ = x 2x 3 3+ + =

2x 1 5+ = 3x 0=

2x 4= x 0=

x 2=

γ. 3 5

1 1x

2 2 − ⋅ = −

δ. 3 6x : 5 5− =

5 31 1

x :2 2

= − −

6 3x 5 5−= ⋅

5 31

x2

− = −

6 3x 5 −=

21 1

x2 4

= − =

3x 5 125= =

Να λύσετε τις εξισώσεις και να γράψετε τα αποτελέσµατα σε τυποποιηµένη µορφή.

α. ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅3-2 9

2

14 10 x = 8 10

10β. 10

10,001x =

10




Λύση

α. ( )32 92

14 10 x 8 10

10−⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ β.

10

10,001x

10=

6 2 94 10 10 x 8 10− −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 10

1 1x

1000 10⋅ =

9

6 2

8 10x

4 10 10− −

⋅=⋅ ⋅

3 10

1 1x

10 10⋅ =

9

8

8 10x

4 10−

⋅=⋅

3 1010 x 10− −⋅ =

9

8

8 10x

4 10−= ⋅

10

3

10x

10

−

−=

( )9 8 17x 2 10 2 10− −= ⋅ = ⋅ . ( )10 3 7x 10 10− − − −= = .

Ένα δοχείο σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις 41,5 10 mm⋅ ,

58,5 10 mm⋅ και 33,5 10 mm⋅ . Να υπολογίσετε τον όγκο του και να τον γράψετε σε

τυποποιηµένη µορφή.

Λύση

Ο όγκος του δοχείου είναι: 4 5 3 3V 1,5 10 8,5 10 3,5 10 mm= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 5 3 3V 1,5 8,5 3,5 10 10 10 mm= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 5 3 3V 44,625 10 mm+ += ⋅

12 3V 44,625 10 mm= ⋅

13 3V 4,4625 10 mm= ⋅ .

Να υπολογιστεί η παράσταση:

( ) ( ) ( ) ( )3 1000 32 3A 3 2 1 4 : 8 2 : 4 = − − + − + − + − Λύση

( ) ( ) ( ) ( )3 1000 32 3A 3 2 1 4 : 8 2 : 4 = − − + − + − + − ( ) ( ) ( )3 323 2 1 8 2 : 4= − − + − + −

( ) ( ) ( )3 323 2 7 2 : 4= − − + − + − ( ) ( )27 4 7 8 : 4= − − + − + − ( )27 4 7 2= − − + − −

27 4 7 2= − − − − = – 40.




1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις µε την ένδειξη (Σ) (σωστή) ή (Λ) (λάθος).

• ( )α β γ α βγ+ = + • ( )α α 0+ − = • ( )νµ µ να α −= • α 0 0⋅ =

• 0

α 0= • ( )

ν

ν

1α

α

− =−

• α 1 1⋅ = • µ ν µ ν

α α α+⋅ =

2. Στη στήλη Α έχουµε αριθµητικές παραστάσεις και στη στήλη Β τις τιµές τους. Αντι-

στοιχίστε κάθε αριθµητική παράσταση της στήλης Α µε την τιµή της στη στήλη Β.

3. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας :




4. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:

21 ......− = 31 ......− = ( )22 ......− = ( )3

2 ......− =

( ) 21 ......

−− = 31 ......−− =

5. Αν x 2= − , y 1= και ω 1= − να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( )2x y ω+ − β. ( )3

2x y ω− + γ. ( )23ω x−

6. Να κάνετε τις πράξεις:

α. 2 3 2 5 3 1 2 014α β γ α β γ 15α β γ

12− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β.

2 3 3 2

4 1 4 2

4α β 20α γ:

γ δ β δ

− −

−

7. Να απλοποιηθούν οι επόµενες παραστάσεις:

α. ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

13 4 2 3

10

2

3 2 3 2

1 12

23

−

−

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

β.

3 2 2

2

α 6β α

2β 3α 4β

− − ⋅

8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α. 2x x 1

3

12 2

2+⋅ = β. ( )5x 2

3 27+− = −

γ. ( )323

15 x 1

5−

−⋅ ⋅ = δ. 2 54 x 2 8− ⋅ ⋅ =

9. Να υπολογιστεί η παράσταση:

( ) ( ) ( ) ( )4 20042 2A 2 3 4 8 : 3 1 = − − + − − − − −

10. Να εκφράσετε την παράσταση

3621

16 1284

−−

⋅ ⋅ ως δύναµη του 2.




11. Να εκφράσετε σε τυποποιηµένη µορφή τα αποτελέσµατα των διαιρέσεων.

α. 225000000 : 0,00005 β. 0,000021: 3000000

12. Σε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε Σ (σωστή) ή Λ (λάθος).

α. Οι αριθµοί 1 και 1− είναι αντίστροφοι.

β. Κάθε άρρητος πραγµατικός αριθµός δεν µπορεί να γραφεί ούτε

ως δεκαδικός ούτε ως περιοδικός δεκαδικός.

γ. Κάθε φυσικός αριθµός είναι και ακέραιος.

δ. Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι ρητός.

ε. Κάθε ρητός αριθµός είναι ακέραιος.

στ. Ο αριθµός 0 δεν έχει αντίθετο.

13. Ποιο από τα παρακάτω είναι ίσο µε ( )α β γ⋅ + .

α. ( )α β γ+ ⋅ β. ( )β γ α+ ⋅ γ. αβ βγ+ δ. ( )β α γ+

14. Αν α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η διαφορά α β− είναι ίση µε:

α. α β− + β. ( )β α− − − γ. ( )α β− − δ. α β− −

15. Αν 3α 3β 0− = τότε οι πραγµατικοί αριθµοί α, β είναι:

α. ίσοι β. αντίθετοι γ. αντίστροφοι

δ. κανένα από τα προηγούµενα

16. Αν ( ) 13 2 2Α α β γ−−= ,

2 5Β α β γ− −= και ( )22 3Γ α βγ= , να υπολογίσετε την τιµή της

παράστασης ΑΒ

Γ.

17. Αν οι αριθµοί 2x y ω− + και y 2x φ− + είναι αντίθετοι να αποδείξετε ότι και οι

αριθµοί ω και φ είναι αντίθετοι.

18. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α να αποδείξετε ότι α 0 0⋅ = .




Ερώτηση 1

α. Πως προσθέτουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

β. Πως πολλαπλασιάζουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

γ. Πως αφαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

δ. Πως διαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς;

Ερώτηση 2

α. Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη να ,όπου ο ν είναι ακέραιος , ενός πραγµατικού

αριθµού α ;

β. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;

Άσκηση 1

Να βρεθεί η τιµή της αριθµητικής παράστασης ( )( ) ( )

3

4

11 5

42 3 : 8

− + −

− −

Άσκηση 2

Να βρεθεί η τιµή της αριθµητικής παράστασης

4 33 23

2

α 2β4αβ

αβ

−−

⋅ ⋅

Άσκηση 3

Να λυθούν οι επόµενες εξισώσεις:

α. 2x 3x 1 1

2 464

+⋅ = β. ( )4x 23 243

+− = −


Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθ-

µού α;

Πώς συµβολίζουµε την τετραγωνική ρίζα του α;

Με τι ισούται η 0 ;

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α είναι ο

θετικός αριθµός που όταν τον υψώσουµε στο τετράγωνο,

µας δίνει τον αριθµό α.

∆ηλαδή α x= , αν και µόνον αν , 2x α= (µε x > 0).

Η τετραγωνική ρίζα του αριθµού α συµβολίζεται µε α .

Έτσι 9 3= γιατί 23 9= .Ορίζουµε 0 0= .

Τετραγωνική ρίζα

Για οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό α ισχύει : 2α α= .

Για παράδειγµα , 24 4 4= = και ( )2 24 4 4 4− = = = − .

Πώς αποδεικνύουµε τις παρακάτω ισότητες ;

• α β = αβ⋅ , όπου α 0≥ , β 0≥ .

• α α

=ββ

, όπου α 0≥ , β > 0 .

• Υψώνουµε και τα δύο µέλη της ισότητας στο τε-

τράγωνο. Έτσι η ισότητα γράφεται :



Ρίζες - ∆ιάταξη

Πράξεις µε ρίζες

Το γινόµενο (ή το πη-

λίκο) των τετραγωνι-

κών ριζών δύο αριθ-

µών είναι ίσο µε την

τετραγωνική ρίζα του

γινοµένου (ή του πηλί-

κου) τους.

( ) ( )2 2

α β αβ⋅ = ή ( ) ( )2 2

α β αβ=

ή αβ αβ= , που ισχύει.

• Όµοια έχουµε:

Για το 1ο µέλος:( )( )

22

2

αα α

ββ β

= =

Για το 2ο µέλος:

2

α α

β β

=

Άρα

2 2

α α

ββ

=

ή α α

ββ= .

Ισχύει η ισότητα α + β = α +β ; (µε α > 0 και

β > 0 ).

Έστω α 36= και β 64= τότε :

α β 36 64 6 8 14+ = + = + = .

Όµως α β 36 64 100 10+ = + = = .

Έτσι µε τη βοήθεια του παραπάνω αντιπαραδείγµατος δια-

πιστώσαµε ότι α β α β+ ≠ + .

Άρα το άθροισµα των τετραγώνων ριζών δεν µπορούµε

να το γράψουµε ως τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος.

Όταν θέλουµε να υπολογίσουµε ένα κλάσµα µε άρρητο παρονοµαστή, τότε

βρίσκουµε ένα ισοδύναµο µε το αρχικό κλάσµα του οποίου ο παρονοµαστής είναι

ρητός πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε τον άρρητο παρονοµα-

στή. Για παράδειγµα ,

( )2

2 2 5 2 5 2 5

55 5 5 5

⋅= = =⋅

και

( )2

4 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2

3 2 6 33 2 3 2 2 3 2

⋅= = = = =⋅⋅

.




∆ιάταξη Πως συγκρίνουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α

και β;

Ο αριθµός α είναι µεγαλύτερος από τον β ,όταν και

µόνον όταν, η διαφορά α β− είναι θετικός αριθµός. ∆ηλα-

δή α β ,όταν και µόνον όταν ,α β 0> − > .

Ο αριθµός α είναι µικρότερος από τον β ,όταν και µόνον

όταν, η διαφορά α β− είναι αρνητικός αριθµός. ∆ηλαδή

α β ,όταν και µόνον όταν ,α β 0< − <

Αν α β> τότε ο αριθµός α βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθµό β πάνω στον

άξονα των πραγµατικών αριθµών.

Ποιες ιδιότητες ανισοτήτων γνωρίζετε;

Να τις αποδείξετε .

1. Αν προσθέσουµε και στα δύο µέλη µιας ανισότη-

τας τον ίδιο αριθµό, προκύπτει ανισότητα µε την ίδια φορά.

∆ηλαδή αν

α β> τότε α γ β γ+ > + .

Απόδειξη:

Θέλουµε να συγκρίνουµε τους αριθµούς α γ+ και β γ+ .

Σύµφωνα µε τον ορισµό αν η διαφορά ( ) ( )α γ β γ+ − + εί-

ναι θετικός αριθµός τότε ο α γ+ θα είναι µεγαλύτερος

απο τον β γ+ .

Έίναι

( ) ( )α γ β γ α γ β γ α β 0+ − + = + − − = − >διότι α β> . Συνεπώς α γ β γ+ > + .

∆ιάταξη και

πρόσθεση




Εφαρµογή των ιδιοτήτων των ανισοτήτων βρίσκουµε στη λύση ανισώσεων.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί όταν λύνουµε µία ανίσωση, στο σηµείο που διαι-

ρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου. Αν αυτός είναι αρνητικός διαιρούµε και

αλλάζουµε τη φορά της ανίσωσης.

2. Αν προσθέσουµε κατά µέλη δύο ή περισσότερες ανισότη-

τες της ίδιας φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.

∆ηλαδή αν

α β> και γ δ> τότε α γ β δ+ > + .

Απόδειξη:

Όπως και προηγουµένως σχηµατίζουµε τη διαφορά:

( ) ( )α γ β δ α γ β δ+ − + = + − − ( ) ( )α β γ δ 0= − + − > ,ως

άθροισµα θετικών . Έτσι είναι α γ β δ+ > + .

3. Αν πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας ανισότητας µε θετι-

κό αριθµό, τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.

∆ηλαδή αν

α β> και γ 0> τότε α γ β γ⋅ > ⋅ .

Απόδειξη:

( )αγ βγ γ α β 0− = − > ,διότι γ 0> και α β 0− > .

Έτσι αγ βγ> .

4. Αν πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας ανισότητας µε αρ-

νητικό αριθµό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς.

∆ηλαδή αν

α β> και γ 0< τότε αγ βγ< .

Απόδειξη:

( )αγ βγ γ α β 0− = − < ,διότι γ 0< και α β> άρα α β 0− > .

Έτσι αγ βγ< .




1. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α είναι ο θετικός αριθµός,

που όταν τον υψώσουµε στο τετράγωνο µας δίνει τον αριθµό α.

2. Για τις τετραγωνικές ρίζες ισχύουν οι ιδιότητες:

i. 2α α=

ii. α β αβ⋅ = όπου α 0≥ , β 0≥

iii. α α

ββ= όπου α 0≥ , β 0>

3. Ένας αριθµός α λέγεται µεγαλύτερος από έναν αριθµό β, αν και µόνον αν η διαφο-

ρά α β− είναι θετικός αριθµός.

∆ηλαδή

α β ,όταν και µόνον όταν ,α β 0> − > .

Ένας αριθµός α λέγεται µικρότερος από έναν αριθµό β, αν και µόνον αν η διαφορά

α β− είναι αρνητικός αριθµός.

∆ηλαδή

α β ,όταν και µόνον όταν ,α β 0< − <

4. Για τις ανισότητες ισχύουν οι ιδιότητες:

i. αν α β> τότε α γ β γ+ > +

ii. αν α β> και γ δ> τότε α γ β δ+ > +

iii. αν α β> και γ 0> τότε αγ βγ>

iv. αν α β> και γ 0< τότε αγ βγ<




Να σηµειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασµένη) σε καθεµία από τις παρακάτω

προτάσεις:

α. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει 2

α = α

β. ( )− −24 = 4 γ. 12 = 2 3 δ. + =20 5 3 5

Λύση

α. Λ, διότι 2α α= .

β. Λ, διότι ( )24 16 4− = = ή αλλιώς ( )2

4 4 4− = − = .

γ. Σ, διότι 12 4 3 4 3 2 3= ⋅ = ⋅ = .

δ. Σ, διότι 20 5 4 5 5 4 5 5+ = ⋅ + = + 2 5 5 3 5= + = .

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. 3 3+ β. −4 5 3 5 γ. − − +2 7 4 2 5 7 6 2

Λύση

α. 3 3 2 3+ = β. ( )4 5 3 5 4 3 5 1 5 5− = − = =

γ. 2 7 4 2 5 7 6 2− − + 2 7 5 7 4 2 6 2= − − + ( ) ( )2 5 7 4 6 2= − + − +

3 7 2 2= − + .

Να υπολογιστούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή x ώστε να ορίζεται η

παράσταση: ( )− + −4x 3x 5 16 .

Λύση

Για να ορίζεται η παράσταση πρέπει η υπόρριζος ποσότητα να µην είναι αρνητική

(δηλαδή θετική ή µηδέν). Έτσι:




( )4x 3x 5 16 0− + − ≥ ή 4x 3x 5 16 0− − − ≥ ή 4x 3x 21− ≥ ή x 21≥

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( )= − + − −2 2 9A 5 49 2 144 7 8

16β. = + − +B 2 32 3 45 2 12 5 72

Λύση

α. ( )2 2 9A 5 49 2 144 7 8

16= − + − − ( )2 9

5 7 2 12 7 816

= − + ⋅ − − =

( )2 95 7 24 7 8

16= − + − − 2 9

5 24 816

= − − 35 24 8

4= − − = 5 – 24 – 6 = – 25.

β. B 2 32 3 45 2 12 5 72= + − + 2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ =

2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ 2 4 2 3 3 5 2 2 3 5 6 2= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =

8 2 9 5 4 3 30 2= + − + 38 2 4 3 9 5= − + .


α. ( )−3 2 3 β. ( ) ( )+ ⋅ −3 2 3 2

Λύση

α. ( )3 2 3− β. ( ) ( )3 2 3 2+ ⋅ −

3 2 3 3= ⋅ − ⋅ 3 3 2 3 2 3 2 2= − ⋅ + ⋅ −

26 3= − ( )3 2 3 6 2 2= + − −

6 3= −

Να µετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµο µε ρητό παρο-

νοµαστή:

α. 4

5β.

3

2 3γ.

4

3 7

Λύση




α.

( )2

4 4 5 4 5 4 5

55 5 5 5= = =

⋅β.

3 3 3 3 3 3

2 3 22 3 2 3 3

⋅= = =⋅⋅ ⋅

γ.

( )2

4 4 7 4 7 4 7 4 7

3 7 213 7 3 7 7 3 7= = = =

⋅⋅ ⋅

Να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα ( )− 24 x .

Λύση

( )24 x 4 x− = − . Έτσι αν 4 x 0− ≥ δηλαδή αν x 4≤ τότε ( )2

4 x 4 x− = − και αν

4 x 0− < δηλαδή αν x 4> τότε ( )24 x x 4− = − .

Να υπολογίσετε την τιµή της κάθε παράστασης:

= +A 3 3 , = ⋅B 3 3 , = +Γ 3 3 , = ⋅∆ 3 3

Λύση

A 3 3 6= + = , B 3 3 9 3= ⋅ = = , Γ 3 3 2 3= + =2∆ 3 3 3 3= ⋅ = =

Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )= οΑ 90 . Με πλευρά την υποτείνουσα του

Α Β Γ

σχεδιάζουµε εξωτερικά του ορθογωνίου τριγώνου τετράγωνο ΒΓ∆Ε. Αν

=ΑΒ 6cm και =ΑΓ 8cm να υπολογίσετε το εµβαδόν του τετραγώνου ΒΓ∆Ε και

την πλευρά του.

Λύση

Εφαρµόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρί-

γωνο ΑΒΓ έχουµε:

2 2 2BΓ ΑΒ ΑΓ= + ή 2 2 2ΒΓ 6 8= + ή 2 2ΒΓ 100cm=

Το εµβαδόν του τετραγώνου ΒΓ∆Ε είναι:

2 2E BΓ 100cm= = και η πλευρά του BΓ 100 10cm= = .

Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί και >α β να συγκρίνετε τους αριθµούς +3α 4γ

και +3β 4γ .




Λύση

Αφού α β> τότε ( )3α 3β 1> (πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη της δεδοµένης

ανίσωσης µε το θετικό αριθµό 3 ).

Στην σχέση (1) προσθέτουµε και στα δύο µέλη τον αριθµό 4γ και έχουµε:

3α 4γ 3β 4γ+ > + . Εποµένως ο 3α 4γ+ είναι µεγαλύτερος του 3β 4γ+ .

Να σηµειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασµένη) σε καθεµία από τις παρακάτω

προτάσεις:

α. Αν <α β τότε − > −2α 2β .

β. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει >2α 0 .

γ. Αν <α β τότε + < +α γ β γ .

δ. Αν ⋅ >α β 1 τότε > 1α

β µε ≠β 0 .

ε. Αν >α β τότε − > −α γ β γ .

Λύση

α. (Σ), διότι πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη της δεδοµένης ανίσωσης µε 2− και

αλλάξαµε τη φορά αφού 2 0− < .

β. (Λ), διότι αν α 0= τότε ο 2

α είναι 0.

γ. (Σ), διότι προσθέτουµε και στα δύο µέλη της δεδοµένης ανίσωσης το γ.

δ. (Λ), διότι από τη σχέση α β 1⋅ > για να πάµε στην 1

αβ

> πρέπει ναν πολλαπλασιά-

σουµε µε το 1

β του οποίου δεν ξέρουµε το πρόσηµο.

ε. (Σ), διότι στη δεδοµένη ανίσωση προσθέτουµε και στα δύο µέλη το γ− , οπότε θα

προκύψει ανίσωση της ίδιας φοράς µε την αρχική.

Αν + <2α β 4 και − <4α β 8 τότε:

α. >α 2 β. <α 8 γ. >α 0 δ. <α 2

Λύση

Οι δεδοµένες ανισώσεις είναι της ίδιας φοράς, έτσι µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά

µέλη.

2α β 4α β 4 8+ + − < + ή 6α 12< δηλαδή α 2< .

Σωστή απάντηση είναι η δ.




Αν <α 0 , να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς α,

1α

3 και −α 3 .

Λύση

Για να συγκρίνουµε τους αριθµούς α, 1α

3 σχηµατίζουµε τη διαφορά:

1 3α α 2αα α 0

3 3 3

−− = = < (διότι α 0< άρα 2α 0

3< ). Έτσι ( )1

α α 13

< . Όµοια θα συγ-

κρίνουµε τους αριθµούς α, α 3− . Έχουµε ( )α 3 α α 3 α 3 0− − = − − = − < .

Άρα ( )α 3 α 2− < . Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε: 1

α 3 α α3

− < < .

Αν >x 3 ποια από τις ακόλουθες ανισώσεις είναι λάθος;

α. + > +x 3 3 3 β. − > −x 3 3 3 γ. − > − +3 x 3 3 δ. > ⋅3x 3 3Λύση

Λανθασµένη είναι η ανίσωση (γ) , διότι:

αφού x 3> πολλαπλασιάζουµε µε το 1− και αλλάζουµε τη φορά. Έτσι x 3− < − . Προ-

σθέτουµε το 3 και έχουµε: 3 x 3 3− < − + .

Αν < <2 x 5 και − < <1 y 4 να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχονται οι τιµές

των παραστάσεων:

α. +x 2 β. −y 1 γ. −x δ. +x y ε. −2x y

Λύση

α. 2 x 5< < . Προσθέτουµε το 2 και έχουµε: 2 2 x 2 5 2+ < + < + δηλαδή 4 x 2 7< + < .

β. 1 y 4− < < . Προσθέτουµε το 1− και έχουµε: 1 1 y 1 4 1− − < − < − δηλαδή 32 y <− < .

γ. 2 x 5< < . Πολλαπλασιάζουµε µε το 1− , αλλάζουµε τη φορά και έχουµε:

( ) ( )2 1 1x 5 1⋅ − > − > ⋅ − , δηλαδή 2 x 5− > − > − ή 5 x 2− < − < − .

δ. Τις ανισώσεις 2 x 5< < και 1 y 4− < < τις προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε:

( )2 1 x y 5 4+ − < + < + ή 1 x y 9< + <

ε. Την ανίσωση 2 x 5< < την πολλαπλασιάζουµε µε το 2 και έχουµε: 2 2 2x 2 5⋅ < < ⋅

ή ( )4 2x 10 1< < . Στην ανίσωση 1 y 4− < < πολλαπλασιάζουµε µε το 1− αλλάζο-




ντας τη φορά: ( ) ( )1 1 1y 4 1− ⋅ − > − > ⋅ − ή 1 y 4> − > − ή ( )4 y 1 2− < − < .

Τις σχέσεις (1) και (2) τις προσθέτουµε κατά µέλη:

4 4 2x y 10 1− < − < + , δηλαδή 0 2x y 11< − < .

Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. + −+ ≥ −2x 2 x x 3

13 2 4

β. − − −− > −4x 1 1 2x 1 4 x5 2 10 2

Λύση

α. 2x 2 x x 3

13 2 4

+ −+ ≥ − (Πολλαπλασιάζουµε επί 12 αφού ΕΚΠ ( )2,3,4 12= )

2x 2 x x 312 12 1 12 12

3 2 4

+ −⋅ + ⋅ ≥ ⋅ − ⋅ ή ( ) ( )4 2x 2 12 6x 3 x 3+ + ≥ − −

8x 8 12 6x 3x 9+ + ≥ − + ή 8x 6x 3x 9 8 12− + ≥ − − ή 5x 11≥ − ή 5x 11

5 5≥ −

11x

5≥ − .

β. 4x 1 1 2x 1 4 x

5 2 10 2

− − −− > − ή 4x 1 1 2x 1 4 x

10 10 10 105 2 10 2

− − −− ⋅ > ⋅ − ⋅

( ) ( )2 4x 1 5 1 2x 1 5 4 x− − ⋅ > − − − ή 8x 2 5 2x 1 20 5x− − > − − +

8x 2x 5x 1 20 2 5− − > − − + + ή 1x 14> − ή x 14> − .

Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. ( )− + − > − −5 x 2 5 9x 1 4x β. ( )+ > + −6x 4 13 2 3x 10

Λύση

α. ( )5 x 2 5 9x 1 4x− + − > − − ή 5x 10 5 9x 1 4x− + − > − − ή

5x 9x 4x 1 10 5− + > − + − ή 0x 4> .Η ανίσωση είναι αδύνατη, γιατί δεν υπάρχει




αριθµός που να την επαληθεύει, αφού ο 0x ισούται µε 0 που δεν είναι µεγαλύτερος

του 4.

β. ( )6x 4 13 2 3x 10+ > + − ή 6x 4 13 6x 20+ > + − ή 6x 6x 13 20 4− > − − ή

0x 11> − .

Η ανίσωση αληθεύει για κάθε τιµή του x.

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

( ) ( )− + − ≥ − +2 x 4 6x 8 3 2x 4 10 και ( ) ( )− − + − − > − +2 x 1 3x 4 x 2 2x 1

Λύση

Λύνουµε αρχικά κάθε ανίσωση χωριστά.

( ) ( )2 x 4 6x 8 3 2x 4 10− + − ≥ − + και

2x 8 6x 8 6x 12 10− + − ≥ − +2x 6x 6x 12 10 8 8+ − ≥ − + + +2x 14≥x 7≥

Σηµειώνουµε στον ίδιο άξονα τις παραπάνω λύσεις:

( ) ( )2 x 1 3x 4 x 2 2x 1− − + − − > − +

2x 2 3x 4x 8 2x 1− + + − + > − +2x 3x 4x 2x 1 8 2− + − + > − −1x 9− > −

1x 9

1 1

− −<− −

x 9<




1. Να βρεθεί η αριθµηµική τιµή της παράστασης:

2x 4xy− για x 2 1= − και y 2 3= +

2. Να αποδείξετε ότι:

α. ( )( )12 75 48 27 21+ − =

β. 108 125 8 6 11

212 20 32 24

+ ⋅ + =

3. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή (Λ) (λάθος).

α. α β α β+ = +

β. 29α 3α= αν α 0≥

γ. ( )22 2− = −

δ. 2α β α β⋅ = όπου α είναι πραγµατικός αριθµός

4. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ρητό παρονοµαστή:

α. 4

3β.

2

3 5γ. 1 2

5

+


α. 3 3

5 3 :3 1

++

β. 7

7 2 :2 1−

6. Αν α 7= και β 5= − να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων:

α. ( )2α β+ β. 2 2α 2αβ β+ +

Να συγκρίνετε τα αποτελέσµατα.




7. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε βάση τετράγωνο πλευράς α έχει όγκο 3V 64cm= και

ύψος γ 16cm= . Πόσο είναι η πλευρά του τετραγώνου;

8. Αν 2 50

α 2 105

= − και β είναι η ρίζα της εξίσωσης 3x 7 3 0− = να υπολογίσετε

την τιµή της παράστασης: A 2 71 β 100 α= + − − +

9. Αν 0 α 2< < να διατάξετε από το µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς: 0,

1, α

2, α 2− .

10. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις µε το σωστό σύµβολο ανισό-

τητας.

α. α β α β...0< ⇔ −

β. α β< τότε 1 1

α... β2 2

− −

γ. Αν γ 0< και α β< τότε αγ ... βγ

δ. α 0< και β 0> τότε α β...0−

11. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α. Ένας αριθµός α είναι .......................... από έναν αριθµό β όταν α β 0− < .

β. Κάθε θετικός αριθµός είναι .......................... από κάθε αρνητικό.

γ. Κάθε αριθµός που είναι µικρότερος από το µηδέν λέγεται .......................... αριθµός.

12. Αν για το µήκος α ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ γνωρίζουµε ότι

2,5 < α < 2,6 και το πλάτος του β είναι 1,3 , µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται το

εµβαδόν του;

13. Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. x 1 3x 4 x 2

2 6 4

− − + +− > β. ( )2 x 4x 1

13 5

++ − <

14. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων ( ) ( )2 x 1 4 x 2 x 7− − + > + και

( )2 x 3 2x 12 x 4− + + − < + .




Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α;

Ποιες ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών γνωρίζετε;

Ερώτηση 2

Πως συγκρίνουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και β;

Ποιες ιδιότητες ανισοτήτων γνωρίζετε;

Άσκηση 1

i. Αν x 2 1= + , τότε η τιµή της παράστασης 2x 2x 3− + είναι ίση µε:

α. 1 β. 2 γ. 4 δ. 2 1+

ii.Αν x 4 3 3− = να υπολογιστεί ο 2x .

Άσκηση 2

Αν 2x y 4− < και x y 8+ < τότε:

α. x 4> β. x 4< γ. y 0> δ. x y 1+ +

Άσκηση 3

Έστω ότι ισχύει: ( ) ( )2x y x 2 0− ⋅ + > τότε

α. x y< β. x y= γ. x y> δ. κανένα από τα προη-

γούµενα


ÂéâëéïìÜèçìá 3ï

ÌïíþíõìáÁíáãùãÞ üìïéùí üñùí

Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí


Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò


Ðáñáãïíôïðïßçóç ðïëõùíýìùí


ÊëáóìáôéêÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéòÐñüóèåóç - Áöáßñåóç êëáóìáôéêþí áëãåâñéêþí ðáñá-

óôÜóåùí



Ποιες παραστάσεις λέγονται αλγεβρικές;

Τι ονοµάζεται αριθµητική τιµή µιας αλγεβρικής παρά-

στασης;

Αλγεβρικές ονοµάζονται οι παραστάσεις που περιέ-

χουν αριθµούς και µεταβλητές (γράµµατα) που συνδέονται

µε τα σύµβολα των τεσσάρων πράξεων.

Για παράδειγµα , οι παραστάσεις :

2 23x,2α x, 3y 1+ − +είναι αλγεβρικές. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικα-

ταστήσουµε τη µεταβλητή (ή τις µεταβλητές)µε έναν αριθ-

µού (ή µε αριθµούς) και εκτελέσουµε τις πράξεις που σηµει-

ώνονται προκύπτει ένας αριθµός που λέγεται αριθµητική

τιµή της αλγεβρικής αυτής παράστασης.

Για παράδειγµα: αν α 2= η αριθµητική τιµή της αλγεβρικής

παράστασης 22α 3+ είναι 22 2 3 11⋅ + = .

Τι ονοµάζουµε µονώνυµο;

Μονώνυµο ονοµάζεται η αλγεβρική παράσταση

που οι αριθµοί και οι µεταβλητές συνδέονται µε την πρά-

ξη του πολλαπλασιασµού. Ο αριθµητικός παράγοντας του

µονώνυµου ονοµάζεται συντελεστής του µονωνύµου και

συνήθως γράφεται πρώτος.Το γινόµενο όλων των µετα-

βλητών λέγεται κύριο µέρος.

ÂéâëéïìÜèçìá

3Ìïíþíõìá

ÁíáãùãÞ üìïéùí üñùí


Ìïíþíõìá

ÁíáãùãÞ üìïéùí üñùí



48. Αλγεβρικές παραστάσεις

Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων

Ποιες πράξεις κάνουµε µε τα µονώνυµα;

α. Προσθέτουµε µόνο τα όµοια µονώνυµα και το

άθροισµά τους είναι ένα όµοιο µονώνυµο µε συντελεστή το

άθροισµα των συντελεστών τους.

Παράδειγµα: ( )2 2 2 2 23x y 5x y x y 3 5 1 x y x y− + − = − + − =

β. Πολλαπλασιάζουµε µονώνυµα δίχως περιορισµό και το

γινόµενο τους είναι ένα µονώνυµο µε συντελεστή το γινόµενο

των συντελεστών του και κύριο µέρος όλες τις µεταβλητές

µε εκθέτη σε κάθε µία το άθροισµα των εκθετών της.

Παράδειγµα:

( )( ) ( )2 3 2 2 3 2 2 52x y 5κy 2 5 x κy y 10x κy− = − = −

γ. ∆ιαιρούµε µονώνυµα πολλαπλασιάζοντας τον διαιρετέο

µε τον αντίστροφο του διαιρέτη.

Παράδειγµα: ( ) ( )2 2 14αβ : 8αβx 4αβ

8αβx− − = − =

−2 24αβ 4 α β 1 1 β

8αβx 8 α β x 2 x

− −= = =− −

Τι ονοµάζουµε πολυώνυµο;

Τι είναι η αναγωγή οµοίων όρων πολυωνύµου;

Πολυώνυµο ονοµάζεται µια αλγεβρική παράσταση

όταν είναι άθροισµα ανοµοίων µονωνύµων.

Παράδειγµα: 2 2κx λx µ, x y xy 1+ + − + +

Αναγωγή οµοίων όρων πολυωνύµου ονοµάζεται η

αντικατάσταση των οµοίων όρων του µε το άθροισµά τους.

Παράδειγµα:3 2 3 2 3 3 2 23α 5β 4α β 2 3α 4α 5β β 2− + + − = + − + − =( ) ( )3 2 3 23 4 α 5 1 β 2 7α 4β 2= + + − + − = − − .

Τα µονώνυµα που έχουν το ίδιο κύριο µέρος λέγονται όµοια µονώνυµα. Τα

όµοια µονώνυµα µε τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα. Τα όµοια µονώνυµα µε αντίθε-

τους συντελεστές λέγονται αντίθετα.


49.Αλγεβρικές παραστάσεις


Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυ-

ώνυµο και πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός πολυωνύµων;

Ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυώνυµο

στηρίζεται στην επιµεριστική ιδιότητα:

α(β γ) αβ αγ+ = +Έτσι για να πολλαπλασιάσουµε µονώνυµο µε πολυώνυµο

πολλαπλασιάζουµε το µονώνυµο µε κάθε όρο του

πολυωνύµου και στη συνέχεια κάνουµε αναγωγή οµοίων

όρων.

Για παράδειγµα

( )2 3 2 2 3 22x 3α x 4 2x 3α 2x x 2x 4− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

2 5 26x α 2x 8x= − +Για τον υπολογισµό του γινοµένου πολυωνύµων

εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα:

( )( )α β γ δ αγ αδ βγ βδ+ + = + + +Έτσι για να πολλαπλασιάσουµε δύο πολυώνυµα

πολλαπλασιάζουµε κάθε όρο του ενός µε κάθε όρο του

άλλου και στη συνέχεια κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων


( )( )2 29x 3xy y 2x y+ + − =2 2 2 29x 2x 9x y 3xy 2x 3xy y y 2x y y= ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

3 2 2 2 2 318x 9x y 6x y 3xy 2xy y= − + − + − =3 2 2 318x 3x y xy y= − − −

1. Οι εκθέτες στις µεταβλητές ενός µονώνυµου είναι φυσικοί αριθµοί

2. Οι πραγµατικοί αριθµοί θεωρούνται µονώνυµα

3. Το πηλίκο µονωνύµων δεν είναι πάντα µονώνυµο.

4. Ένα πολυώνυµο µε δύο όρους και µία µεταβλητή λέγεται διώνυµο ενώ όταν έχει

τρεις όρους λέγεται τριώνυµο.

5. Μια αλγεβρική παράσταση δεν έχει υποχρεωτικά αριθµητική τιµή για οποιαδήποτε

τιµή των γραµµάτων της.




Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω

προτάσεις.

α. Η παράσταση −24x yω3

είναι µονώνυµο.

β. Η παράσταση −24x y

3ω είναι µονώνυµο.

γ. Η παράσταση −− 24

x yω3

είναι µονώνυµο.

δ. Το κύριο µέρος του µονώνυµου −3 26x y5

είναι το 3 2x y5

.

ε. Το γινόµενο και το πηλίκο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο.

στ. H παράσταση − + +3 3 33x 2y 9ω 1 είναι ένα πολυώνυµο.

Λύση

α. Η παράσταση 24x yω

3− γράφεται 24

x yω3

− και είναι µονώνυµο διότι µεταξύ των

µεταβλητών και του αριθµητικού παράγοντα µοναδική πράξη που σηµειώνεται είναι

ο πολλαπλασιασµός (Σ).

β. Η παράσταση 24x y

3ω− γράφεται

24 x y

3 ω− και δεν είναι µονώνυµο , διότι υπάρχει

διαίρεση µεταξύ των µεταβλητών (Λ).

γ. Η παράσταση 24

x yω3

−− γράφεται 2

4 yω

3 x− και δεν είναι µονώνυµο, διότι υπάρχει

διαίρεση µεταξύ των µεταβλητών (Λ).

δ. Το µονώνυµο γράφεται 3 26x y

5− και έχει κύριο µέρος το 3 2x y (Λ).




ε. Το γινόµενο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο ενώ το πηλίκο δεν είναι µονώνυµο

π.χ. 4 2 3

4 2 3 4 23 3

1 3 x y 1 x3x y : 6xy 3x y

6 2 y6xy xy= ⋅ = = (Λ)

στ. Η παράσταση είναι άθροισµα ανοµοίων µονωνύµων και είναι πολυώνυµο. (Σ)

Να βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης − + +2 22xy x y 2xy 2003 για

α. για =x 10 και =y 0

β. για =x 0 και =y 10

γ. για = −x 10 και =y 10

δ. για =x 0 και =y 0

Λύση

α. Αντικαθιστούµε όπου x 10= και y 0= στην παράσταση

2 22 10 0 10 0 2 10 0 2003 2003⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + =β. Αντικαθιστούµε όπου x 0= και y 10= στην παράσταση

2 22 0 10 0 10 2 0 10 2003 2003⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + =γ. Αντικαθιστούµε όπου x 10= − και y 10= στην παράσταση

( ) ( ) ( )2 22 10 10 10 10 2 10 10 2003− ⋅ − − + − ⋅ + = 200 1000 2000 2003 1197− − − + = −

δ. Αντικαθιστούµε όπου x 0= και y 0= στην παράσταση

2 22 0 0 0 0 2 0 0 2003 2003⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + =

Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α µε τις ίσες τους παραστάσεις της

στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

α. − +2 25x y 5x y 1. − 25x y

β. − ⋅2 25x y 5x y 2. 4 21ω y

9

γ. − 3 25x y : xy 3. − 4 225x y

δ. − −2 21 1ω y ω y

3 34. 4xyω

ε. − − 2 21 1

ω y ω y

3 35. 0

στ. − +4xyω 8xyω 6. − 22ω y

3




Λύση

α. Είναι 2 25x y 5x y 0− + = . Άρα στο α αντιστοιχίζεται το 5

β. Είναι 2 2 4 25x y 5x y 25x y− ⋅ = − . Άρα στο β αντιστοιχίζεται το 3

γ. Είναι 3 2

3 2 3 2 21 x y5x y : xy 5x y 5 5x y

xy x y− = − ⋅ = − = − . Άρα στο γ αντιστοιχίζεται το 1

δ. Είναι 2 2 2 21 1 1 1 2

ω y ω y ω y ω y3 3 3 3 3

− − = − − = − . Άρα στο δ αντιστοιχίζεται το 6

ε. Είναι 2 2 2 2 4 21 1 1 1 1ω y ω y ω ω yy ω y

3 3 3 3 9 − − = − − =

.

Άρα στο ε αντιστοιχίζεται το 2

στ. Είναι ( )4xyω 8xyω 4 8 xyω 4xyω− + = − + = . Άρα στο στ αντιστοιχίζεται το 4.

Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι µονώνυµα και ποιες όχι;

Στην περίπτωση που µια αλγεβρική παράσταση είναι µονώνυµο ποιος είναι ο συντε-

λεστής και ποιο το κύριο µέρος του; Υπάρχουν µονώνυµα που να είναι όµοια;

α. 25αβ β. 2 25

x y ω

3γ. ( )+3 2 xyω

δ. ( )−ω x

y2

ε. ⋅

22κω x

στ. −2 23x y

ζ.

2 25x y ω

4η. ( )− −1

ω x2

θ. − 2 2x y ω

ι. 3x

4Λύση

α. Η παράσταση 25αβ είναι µονώνυµο µε συντελεστή 5 και κύριο µέρος 2αβ .

β. Η παράσταση 2 25x y ω

3 είναι µονώνυµο µε συντελεστή

5

3 και κύριο µέρος

2 2x y ω .

γ. Η παράσταση ( )3 2 xyω+ είναι µονώνυµο µε συντελεστή 3 2+ και κύριο µέρος

xyω .

δ. Η παράσταση ( ) ( )ω x 1

y ω x y2 2

−= − δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των

µεταβλητών ω, x η πράξη της αφαίρεσης.




ε. Η παράσταση 22κ

ω x⋅ δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών ω, x,

κ η πράξη της διαίρεσης.

στ. Η παράσταση 2

2 22

x3x y 3

y− = δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µετα-

βλητών x, y η πράξη της διαίρεσης.

ζ. Η παράσταση 2 2

2 25x y ω 5x y ω

4 4= είναι µονώνυµο µε συντελεστή

5

4 και κύριο µέρος

2 2x y ω .

η. Η παράσταση ( )1ω x

2− − δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών

ω, x η πράξη της αφαίρεσης.

θ. Η παράσταση 2 2x y ω− είναι µονώνυµο µε συντελεστή 1− και κύριο µέρος 2 2x y ω .

Όµοια µονώνυµα είναι τα 2 2 2 2 2 25 5x y ω, x y ω, x y ω

3 4− .

Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του λ ώστε η αλγεβρική παράσταση − −− ⋅7 λ λ 42x y

3 να

είναι µονώνυµο. Στη συνέχεια για τις τιµές αυτές να βρείτε τα αντίστοιχα µονώνυµα.

Λύση

Για να είναι µονώνυµο η παραπάνω αλγεβρική παράσταση πρέπει οι εκθέτες των µετα-

βλητών x, y να είναι φυσικοί αριθµοί.

∆ηλαδή πρέπει ο λ να είναι ακέραιος και συγρόνως να ισχύουν :

7 λ 0− ≥ και λ 4 0− ≥ ή λ 7− ≥ − και λ 4≥ ή λ 7≤ και λ 4≥ .

Οι κοινές ακέραιες τιµές για τη µεταβλητή λ είναι 4, 5, 6, 7.

Για λ 4= έχουµε: 7 4 4 4 3 0 32 2 2x y x y x

3 3 3− −− = − = − .

Για λ 5= έχουµε: 7 5 5 4 2 1 22 2 2x y x y x y

3 3 3− −− = − = − .

Για λ 6= έχουµε: 7 6 6 4 1 2 22 2 2x y x y xy

3 3 3− −− = − = − .

Για λ 7= έχουµε: 7 7 7 4 0 3 32 2 2x y x y y

3 3 3− −− = − = − .




Να γίνουν οι πράξεις:

α. − + −2 2 2 2 2 2 2 23x y x y 8x y 12x y β. ⋅ − −

2 3 2 24 12x 3x y xyω x ωα

3 8

γ. ( ) − − 3 2 2 21

4xy ω : xy ω

2δ. ( )( )− + + −2 2 3 2 33x y 5y x 4xy 2x y ω

ε. ( )( )2 2xy ω 2x y 4xy 2xy− + − + −

Λύση

α. 2 2 2 2 2 2 2 23x y x y 8x y 12x y− + − = ( ) 2 2 2 23 1 8 12 x y 2x y− + − = − .

β. 2 3 2 24 1

2x 3x y xyω x ωα3 8

− − = 2 3 2 24 1

2 3 x x xx y yω ω α3 8

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ = 8 2 3x y ω α .

γ. ( )3 2 2 2 3 2

2 2 2

1 14xy ω : xy ω 4xy ω

12 x y ω2

− − = − ⋅ = −

3 3 2

2 2 2

4x y ω8xy

1x y ω

2

− =−

.

δ. ( )( )2 2 3 2 33x y 5y x 4xy 2x y ω− + + − =

( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 33x y 2x y ω 5y x 2x y ω 4xy 2x y ω= − − + − + − =5 3 3 4 4 3 4 3 36x y ω 10y x ω 8x y ω= − − .

ε. ( )( )2 2xy ω 2x y 4xy 2xy− + − + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4xy 2x y xy 4xy xy 2xy ω 2x y ω 4xy ω 2xy= − − − − − + − + + − =

3 2 2 2 2 3 2 22x y 4x y 2x y 2ωx y 4xyω 2ωxy= − + − + − .





α. ( )( ) ( )( ) ( )α β 3α β 4β α 2α β 2β 2α β+ − − − − − +

β. ( )( ) ( )( ) ( )2x 3y x 4y x 5y y x 3xy x y+ − − + − − − −

γ. ( )( ) ( )( ) ( )x 1 y 2 3y 4 x 6 2 x 6y+ − − + − + −

δ. ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22x 3y 3x 2y 3 x y 4 x xy y+ − − − + − +

ε. ( )( ) ( )x y 3x y [xy x 2x y ]+ − − − −

στ. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )α β γ α β α β γ α γ β γ α β γ+ − + + − + ⋅ + + + − +

η. ( )( )2 2 2 23α 2αβ β 2α 3αβ β+ + − + −

ζ. ( )( )2 3 21 2x 4x 2 5x 4x− + − +

θ. ( ) ( )5 4 3 312x 6x 3x : 3x− − −

ι. ( ) ( )µ 1 ν µ ν 1 µ 1 ν 1 µ ν 112α β 3α β 6α β : 2α β+ + + + −− −

2. Να αντικαταστήσετε τους παρακάτω αστερίσκους ώστε να ισχύει κάθε µια από τις

παρακάτω ισότητες:

α. ( )2 3 2* 4β 7β 8 28β 49β 56β− + = − +

β. ( )2 5* 3x 8x 7 36x * *+ − = + −

γ. ( )2 3 2 5 7 4 95α β * 9β * 20α β * α β− + = − +

3. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις και µετά να βρείτε την αριθµητική τιµή του

αποτελέσµατος για τις τιµές των γραµµάτων που αναφέρονται:

α. ( )( ) ( ) ( )( )2 2 3 3x y 2xy 2x y 2x x y x y 2y− − − + − − − για x 1, y 2= − =

β. ( )( )2 2 3 2 2α αβ [α α β α β ]+ − − + + για 1

α 2, β2

= − =




4. 3Α 2x y= − , 2 4B x y= − , 3Γ xy=Να υπολογίσετε:

α. A B⋅ β. B Γ⋅ γ. A B Γ⋅ ⋅ δ. Α : Β

ε. Α : Γ στ. Β : Γ ζ. Γ : Β η. Β : Α

5. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η παρακάτω αλγεβρική παράσταση να είναι

µονώνυµο και στη συνέχεια να βρείτε το µονώνυµο:

3 κ 2 λ 1 43 1x y x y

4 3− +−




Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε µονώνυµο;

Ερώτηση 2

Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυώνυµο και πως γίνεται ο πολλα-

πλασιασµός πολυωνύµων;

Άσκηση 1

α. Για να είναι το πηλίκο ν µα : α µονώνυµο πρέπει ν .... µ. Να σηµειώσετε το κατάλ-

ληλο σύµβολο ανισότητας.

β. ∆ίνονται τα µονώνυµα ( ) 2 λ 1α 1 x y ++ και µ 5 23x y+− . Να βρείτε τους α, λ και µ ώστε

τα µονώνυµα να είναι ίσα.

Άσκηση 2

Να υπολογισθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α για 2004

α 13= , β 3= , γ 1= −όπου:

( ) ( )( )Α (α β) α β γ α β α β γ= − + + − + − +

Άσκηση 3


( )( )µ κ 2 µ 1 κ 1 µ 2 κ 2 2x y x y x y x y− − − −+ + −


Τι ονοµάζουµε ταυτότητα και ποιες είναι οι βασικές

ταυτότητες;

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µετα-

βλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιµές των µεταβλη-

τών αυτών.

Οι βασικές ταυτότητες είναι:

1. Τετράγωνο αθροίσµατος και τετράγωνο διαφοράς

( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + + ( )2 2 2α β α 2αβ β− = − +

Παράδειγµα

α. ( ) ( )2 22x 2y x 2x 2y 2y+ = + ⋅ +

( )2 2 2x 2y x 4xy 4y+ = + +

β. ( )2 2

22 2 2αβ αβ αβx x 2x

2 2 2 − = − +

2 2 22 4 2αβ α β

x x x αβ2 4

− = − +

2. Γινόµενο αθροίσµατος µονωνύµων επί τη διαφορά τους

( )( ) 2 2α β α β α β− + = −


( )( ) ( )22 2 2 2 4 22 x y 2 x y 2 x y 4 x y− + = − = −


4Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåòÁîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò

∆ιαφορά τετραγώνων

Ανάπτυγµα

τετραγώνου



Ταυτότητες

3. Κύβος αθροίσµατος και κύβος διαφοράς

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −


α. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 33α 2 3α 3 3α 2 3 3α 2 2+ = + + +

( )2 3 23α 2 27α 54α 36α 8+ = + + +

β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 22 2 2 22y x 2y 3 2y x 3 2y x x− = − + ⋅ ⋅ −

( )32 3 2 2 4 62y x 8y 12y x 6yx x− = − + −

4. Άθροισµα κύβων και διαφορά κύβων

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +

( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +


α. ( )( )3 2x 1 x 1 x x 1+ = + − +

β. ( ) ( ) ( )3 26 2 3 2 2 2 2y 8 y 2 y 2 y y 2 2 − = − = − + ⋅ +

( )( )6 2 4 2y 8 y 2 y 2y 4− = − + +

5. Τετράγωνο αθροίσµατος τριών µονώνυµων

( )2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2αγ 2βγ+ + = + + + + +


( )22κ 3λ µ+ + =

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22κ 3λ µ 2 2κ 3λ 2 2κ µ 2 3λ µ+ + + ⋅ ⋅ + +

( )2 2 2 22κ 3λ µ 4κ 9λ µ 12κλ 4κµ 6λµ+ + = + + + + +

Ανάπτυγµα

κύβου

Άθροισµα κύβων και

διαφορά κύβων

Τετράγωνο

αθροίσµατος




1. Οι παραστάσεις των δεύτερων µελών των ταυτοτήτων λέγονται α-

ναπτύγµατα

2. Οι παραστάσεις ( ) ( )2 2α β , α β+ − λέγονται και τέλεια τετράγωνα

3. Είναι ( )2 2 2α β α β+ ≠ + και ( )2 2 2α β α β− ≠ −

4. Οι παραστάσεις της µορφής α β+ και α β− λέγονται συζυγείς παραστάσεις

5. Στις εκφράσεις ( ) ( )3 3α β και α β+ − τα αναπτύγµατα του δεύτερου µέλους είναι

διατεταγµένα ως προς τις φθίνουσες δυνάµεις του α.

6. Ταυτότητα του τριωνύµου

( )( ) ( )2x α x β x α β x αβ+ + = + + +


( )( )x 2 x 3+ − = ( ) ( )( )x 2 x 3+ + − = ( )( ) ( )2 2x 2 3 x 2 3 x x 6+ + − + − = − −




Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω

ισότητες.

α. ( )− = + +2 2x 2 x 4x 4 β. ( )+ = + +2 2x 2 x 2x 4

γ. ( ) ( )− = − +2 2x 2 2 x δ. ( ) ( )− − = +2 2

κ λ κ λ

ε. ( ) ( )− + = −2 2κ λ λ κ στ. ( ) ( )− + = −2 2

κ λ κ λ

ζ. ( )+ = +2 2 2x y x y η. ( )+ = +2 2x 4 x 16

θ. ( )( )− = − +2x 9 x 9 x 9 ι. ( )− = − 22 2α β α β

Λύση

α. ( )2 2 2 2x 2 x 2x 2 2 x 4x 4− = − ⋅ + = − + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδει-

ξη λάθος Λ.

β. ( )2 2 2 2x 2 x 2 2x 2 x 4x 4+ = + ⋅ + = + + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη

λάθος. Λ

γ. x 2 2 x− = − + λόγω της αντιµεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης οπότε

( ) ( )2 2x 2 2 x− = − + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη σωστό Σ.

δ. ( ) ( ) ( )2 22κ λ [ κ λ ] κ λ− − = − + = + . Άρα η ισότητα χαακτηρίζεται µε την ένδειξη σωστό

Σ.

ε. κ λ λ κ− + = − οπότε ( ) ( )2 2κ λ λ κ− + = − Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την

ένδειξη σωστό Σ.

στ. ( ) ( ) ( )2 22κ λ [ κ λ ] κ λ− + = − − = − . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη

σωστό Σ.

ζ. ( )2 2 2x y x 2xy y+ = + + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ.

η. ( )2 2 2 2x 4 x 2 x 4 4 x 8x 16+ = + ⋅ ⋅ + = + + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την




ένδειξη λάθος Λ.

θ. ( )( )2 2 2x 9 x 3 x 3 x 3− = − = − + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος

Λ.

ι. ( )( )2 2α β α β α β− = − + . Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ.


στήλης Β.


α. ( )− 24x 1 1. + +2 24x 4xy y

β. ( )+ 22x y 2. −2 24x 9y

γ. ( )( )+ −2x 3y 2x 3y 3. − + −3 2x 3x 3x 1

δ. ( )− 3x 1 4. − −2x 2x 15

ε. ( )+ 32x 1 5. − +216x 8x 1

στ. ( )( )+ −x 3 x 5 6. + + +3 28x 12x 6x 1

Λύση

α. ( ) ( )2 2 2 24x 1 4x 2 4x 1 1 16x 8x 1− = − ⋅ ⋅ + = − + . Εποµένως στο α αντιστοιχίζεται το 5.

β. ( ) ( )2 2 2 2 22x y 2x 2 2x y y 4x 4xy y+ = + ⋅ ⋅ + = + + . Εποµένως στο β αντιστοιχίζεται

το 1.

γ. ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22x 3y 2x 3y 2x 9y 4x 9y+ − = − = − . Εποµένως στο γ αντιστοιχίζεται το 2.

δ. ( )3 3 2x 1 x 3x 3x 1− = − + − . Εποµένως στο δ αντιστοιχίζεται το 3.

ε. ( ) ( ) ( )3 3 2 2 32x 1 2x 3 2x 1 3 2x 1 1+ = + ⋅ + ⋅ ⋅ + 3 28x 12x 6x 1= + + + . Εποµένως στο ε

αντιστοιχίζεται το 6.

στ. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2x 3 x 5 x 3 x 5 x [3 5 ]x 3 5+ − = + + − = + + − + − 2x 2x 15= − − .

Εποµένως στο στ αντιστοιχίζεται το 4.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

α. ( )+ = + +2 2... ... y 2y ... β. − = − +2 2 2(... ...) 9α ... 16β

γ. − = − +

21

x ... ... xy ...2

δ. ( )+ = + +22... 2x 9 ... ...




ε. ( )( )+ − = −κ ... κ ... ... 25 στ. ( )( )+ − = −2... 3x ... 3x 16β ...

ζ. ( )+ = + + +3 3 2... ... 8α 12α ... ... η. ( )− = − + −3 3... 2 27x ... .. ...

θ. ( )( )+ + = + +x 2 x ... ... ... 6 ι. ( )( )+ + = + +x 4 x 3 ... ... ...

Λύση

α. ( )2 2y 1 y 2y 1+ = + + β. ( )2 2 23α 4β 9α 24αβ 16β− = − +

γ.

22 21 1

x y x xy y2 4

− = − + δ. ( )22 2 43 2x 9 12x 4x+ = + +

ε. ( )( ) 2κ 5 κ 5 κ 25+ − = − στ. ( )( ) 2 24β 3x 4β 3x 16β 9x+ − = −

ζ. ( ) ( )3 23 2 3 3 22α 1 8α 3 2α 1 3 2α 1 1 8α 12α 6α 1+ = + ⋅ + ⋅ ⋅ + = + + +

η. ( ) ( )3 23 3 3 23x 2 27x 3 3x 2 3 3x 2 2 27x 54x 18x 8− = − ⋅ + ⋅ ⋅ + = − + +

θ. ( )( ) 2x 2 x 3 x 5x 6+ + = + + ι. ( )( ) 2x 4 x 3 x 7x 12+ + = + +

Να βρείτε τα αναπτύγµατα:

α. ( )+22x 2y β.

+

2x y3 2

γ. ( )+22 2x 2y δ.

+

21

xy2

ε. ( )− −23 3x y

στ. −

2y

2x2

ζ. −

21

2xx

η. − +

2β

3α3

θ. − +

24

xyx

ι. − +

2x y2 3

Λύση

α. ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2x 2y x 2x 2y 2y+ = + ⋅ + 4 2 2x 4x y 4y= + +

β.

2 2 2 2 2x y x x y y x xy y2

3 2 3 3 2 2 9 3 4 + = + + = + +

γ. ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 4 2 2 4x 2y x 2x 2y 2y x 4x y 4y+ = + + = + +

δ. ( )2 2

2 2 21 1 1 1xy xy 2xy x y xy

2 2 2 4 + = + + = + +

ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 6 3 3 6x y [ x y ] x y x 2x y y x 2x y y− − = − + = + = + + = + +

στ. ( )2 2 2

2 2y y y y2x 2x 2 2x 4x 2xy

2 2 4 4 − = − ⋅ + = − +




ζ. ( )2 2

2 22

1 1 1 12x 2x 2 2x 4x 4

x x x x − = − ⋅ + = − +

η. ( )2 2 2 2

2 2β β β β β3α 3α 2 3α 3α 2βα 9α

3 3 3 3 9 − + = − = − + = − +

θ. ( )2 2 2

2 2 22

4 4 4 4 16xy xy 2 xy xy 8y x y

x x x x x − + = − = − + = − +

ι.

2 2 2 2 2 2x y y x y y x x y yx x2

2 3 3 2 3 3 2 2 9 3 4 − + = − = − + = − +

Nα βρείτε τα αναπτύγµατα:

α. ( ) ( )+ ⋅ −xy 1 xy 1 β. ( ) ( )− ⋅ +2 22 x 2 x

γ. ( ) ( )+ ⋅ −3 3 3 3x y x y δ. − + ⋅ +

2 3 2 31 1 1 1α β α β

3 2 3 2

ε. ( ) ( )− ⋅ +4xy 3αβ 4xy 3αβ στ. ( ) ( )− − ⋅ −2x κ 2x κ

ζ. ( ) ( )+ + ⋅ + −x y ω x y ω η. ( ) ( )κ 2λ 1 κ 2λ 1+ + ⋅ + −

θ. ( ) ( )+ + − ⋅ + − +x y ω 3 x y ω 3 ι. ( ) ( )− + ⋅ + +4 2 4 2x 2y 1 x 2y 1

Λύση

α. ( )( ) ( )2 2 2 2xy 1 xy 1 xy 1 x y 1+ − = − = −

β. ( )( ) ( )22 2 2 2 42 x 2 x 2 x 4 x− + = − = −

γ. ( )( ) ( ) ( )2 23 3 3 3 3 3 6 6x y x y x y x y+ − = − = −

δ.

2 22 3 2 3 3 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

α β α β β α β α β α3 2 3 2 2 3 2 3 2 3

− + + = − + = − =

6 41 1β α

4 9= −

ε. ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24xy 3αβ 4xy 3αβ 4xy 3αβ 16x y 9α β− + = − = −

στ. ( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 22x κ 2x κ 2x κ 2x κ [ 2x κ ] 4x κ− − − = − + − = − − = − +

ζ. ( )( ) ( )2 2 2 2 2x y ω x y ω x y ω x 2xy y ω+ + + − = + − = + + −

η. ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2κ 2λ 1 κ 2λ 1 κ 2λ 1 κ 2κ2λ 2λ 1 κ 4κλ 4λ 1+ + + − = + − = + + − = + + −




θ. ( )( ) ( ) ( ) ( )x y ω 3 x y ω 3 [ x y ω 3 ][x y ω 3 ]+ + − + − + = + + − + − − =

( ) ( )2 2 2 2 2x y ω 3 x 2xy y ω 6ω 9= + − − = + + − + −

ι. ( )( ) ( )( )4 2 4 2 4 2 4 2x 2y 1 x 2y 1 x 1 2y x 1 2y− + + + = + − + +

( ) ( ) ( )2 2 24 2 4 4 4 8 4 4x 1 2y x 2x 1 4y x 2x 1 4y= + − = + + − = + + −

Nα βρείτε τα αναπτύγµατα:

α. ( )+ 3α 3 β.

+

3α

12

γ. −

32 1

x3

δ. ( )− − 3x 2y ε. ( )− +

32x 2y στ. ( )+32 2x y

ζ. ( )− −32 2x y η.

+

31

xx

θ. −

32

2

1x

x ι.

−

3x 1

3

Λύση

α. ( )3 3 2 2 3 3 2α 3 α 3α 3 3α 3 3 α 9α 27α 27+ = + + ⋅ + = + + +

β.

3 3 2 3 23α α α α α α 3α

1 3 3 1 3 12 2 2 2 8 4 2

+ = + + + = + + +

γ. ( ) ( )3 2 3 2

3 22 2 2 2 6 41 1 1 1 x 1x x 3 x 3x x x

3 3 3 3 3 27 − = − + − = − + −

δ. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 33 2x 2y x 2y [x 3x 2y 3x 2y 2y ]− − = − + = − + ⋅ + +3 2 2 3x 6x y 12xy 8y= − − − −

ε. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 22 2 2 2 2 3x 2y 2y x 2y x 3 2y x 3 2y x x− + = − = − + ⋅ ⋅ − =

6 4 2 2 38y 12y x 6y x x= − + −

στ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 32 2 2 2 2 2 2 2x y x 3 x y 3x y y+ = + + + =

6 4 2 2 4 6x 3x y 3x y y= + + +

ζ. ( ) ( )(στ)3 32 2 2 2 6 4 2 2 4 6x y x y x 3x y 3x y y− − = − + − − − −=

η.

3 2 33 2 3

3

1 1 1 1 3 1x x 3x 3x x 3x

x x x x x x + = + + + = + + +




θ. ( ) ( )3 2 3

3 22 2 2 2 6 22 2 2 2 2 6

1 1 1 1 3 1x x 3 x 3x x 3x

x x x x x x − = − + − = − + −

ι. ( ) ( )

333 2

3

x 1x 1 1x 3x 3x 1

3 273

−− = = − + +

Nα κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. ( ) ( ) ( )+ − + − −2 2 22α β 3 α β 2β 5α β. ( )( ) ( ) ( )+ − − − − −2

2 α β β α 2β α 3α α β

γ. ( )( ) ( )( )+ − + − + −2x 3y 3y 2x 2x y y 2x δ. ( )( ) ( )+ − − − 21 x 1 x 1 2x

ε. ( ) ( )( ) ( )+ − − + − +2 22 25κ λ 4κ 3λ 4κ 3λ κ 2λ

Λύση

α. ( ) ( ) ( )2 2 22α β 3 α β 2β 5α+ − + − − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22α 2 2α β β 3 α 2αβ β 2β 2 2β 5α 5α = + ⋅ ⋅ + − + + − − ⋅ ⋅ + = 2 2 2 2 2 24α 4αβ β 3α 6αβ 3β 4β 20αβ 25α= + + − − − − + − = 2 224α 18αβ 6β− + −

β. ( )( ) ( ) ( )22 α β β α 2β α 3α α β+ − − − − − =

( ) ( )22 2 2 22 β α 2β 2 2βα α 3α 3αβ = − − − ⋅ + − + = 2 2 2 2 22β 2α 4β 4αβ α 3α 3αβ= − − + − − + = 2 26α 2β 7αβ− − +

γ. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 222x 3y 3y 2x 2x y y 2x 2x 3y [y 2x ]+ − + − + − = − − − =2 2 2 2 2 24x 9y y 4x 8x 10y= − − + = −

δ. ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 x 1 x 1 2x 1 x 1 2 2x 4x 1 x 1 4x 4x+ − − − = − − − ⋅ + = − − + − =25x 4x= − +

ε. ( ) ( )( ) ( )2 22 25κ λ 4κ 3λ 4κ 3λ κ 2λ+ − − + − + =

( ) ( )2 2 4 2 2 225κ 10κλ λ 16κ 9λ κ 4κλ 4λ= + + − − − + + =

2 2 4 2 2 225κ 10κλ λ 16κ 9λ κ 4κλ 4λ= + + − + − − − =4 2 216κ 24κ 6λ 6κλ= − + + +

Nα αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες:

α. ( )( ) ( ) ( )+ + − + = +2 22 2α 2 β 2 αβ 2 2 α β β. ( )+ = + −22 2

α β α β 2αβ




γ. ( ) ( )+ = + − +33 3α β α β 3αβ α β δ.

+ − − =

2 21 1

x x 4x x

ε. ( )( ) ( ) ( )+ + = + + −2 22 2 2 2α β x y αx βy αy βx

Λύση

α. ( )( ) ( )22 2α 2 β 2 αβ 2+ + − + = ( )2 2 2 2 2 2α β 2α 2β 4 α β 4αβ 4+ + + − − + =

2 2 2 2 2 2α β 2α 2β 4 α β 4αβ 4= + + + − + − = 2 22α 2β 4αβ+ + =

2 2 2 2α β 2αβ α β 2αβ= + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2α β α β 2 α β= + + + = +

β. ( )2 2 2 2 2α β 2αβ α 2αβ β 2αβ α β+ − = + + − = +

γ. ( ) ( )3α β 3αβ α β+ − + = 3 2 2 3 2 2 3 3α 3α β 3αβ β 3α β 3αβ α β+ + + − − = +

δ.

2 21 1

x xx x

+ − − = 2 2

2 2

1 1 1 1x 2x x 2x

x xx x+ + − + − = 2 2 4+ =

ε. ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2α β x y α x α y β x β y+ + = + + + (1)

( ) ( )2 2αx βy αy βx+ + − = 2 2 2 2 2 2 2 2α x 2αxβy β y α y 2αyβx β x+ + + − + =

2 2 2 2 2 2 2 2α x α y β x β y= + + + (2)

Aπό (1) και (2) προκύπτει ότι :

( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2α β x y αx βy αy βx+ + = + + −

Αν = +A 7 3 και = −B 7 3 τότε να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

α. ⋅A B β. −2 2A B

Λύση

α. ( )( )A B 7 3 7 3⋅ = + −

( ) ( )2 2

A B 7 3⋅ = − ή A B 7 3 4⋅ = − =

β. ( ) ( )2 22 2A B 7 3 7 3− = + − −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2A B 7 2 7 3 3 [ 7 2 7 3 3 ]− = + + − − +

2 2A B 7 2 21 3 7 2 21 3− = + + − + − ή 2 2A B 4 21− =




Aν + =x y 5 και ⋅ =x y 4 τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης = +2 2A x y .

Λύση

Ισχύει ότι: ( )2 2 2x y x 2xy y+ = + + ή ( )2 2 2x y 2xy x y+ − = + ή 2 2 2x y 5 2 4+ = − ⋅

ή 2 2x y 17+ = .

Αν 1

2+ =xx

τότε να υπολογιστεί η παράσταση = +22

1A x

x.

Λύση

Ισχύει:

2 221 1 1

x x 2xx x x

+ = + + ή

22

2

1 1x x 2

x x + = + +

Οπότε

22

2

1 1x x 2

xx + = + −

ή 2A 2 2= − ή A 2= .

Αν είναι −= +2004 2004x 2 2 και −= −2004 2004y 2 2 τότε να υπολογιστεί η παράσταση

= −2 2A x y .

Λύση

2 2A x y= − ή ( )( )A x y x y= − + ή

( )( )2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004 2004A 2 2 2 2 2 2 2 2− − − −= + − + + + − ή

2004 2004A 2 2 2 2−= ⋅ ⋅ ⋅ ή 1 2004 1 2004A 2 − + += ή 2A 2 4= = .

Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: ( )+ ≥2α β 4αβ

Λύση

( )2α β 4αβ+ ≥ ή 2 2α 2αβ β 4αβ+ + ≥ ή 2 2α 2αβ β 4αβ 0+ + − ≥ ή 2 2α 2αβ β 0− + ≥

( )2α β 0− ≥ αληθές.

Αν ( ) ( )+ = + 22 22 x y x y να αποδείξετε ότι =x y .

Λύση

( ) ( )22 22 x y x y+ = + ή 2 2 2 22x 2y x 2xy y+ = + + ή 2 2 2 22x 2y x y 2xy 0+ − − − =

2 2x y 2xy 0+ − = ή ( )2x y 0− = ή x y 0− = ή x y= .




1. Να βρείτε τα αναπτύγµατα:

α. ( )2x ψα β+ β. ( )2x 1x 3αβ− + γ.

223α β

2 3

−

δ. ( )22 2α x β y− ε.

221 1

αβ xy3 2

− στ.

23 3x y

4 3

−

ζ.

32 1

x3

− + η. ( )3

αβ γ− + θ. ( )3κα λβ− −

2. Nα κάνετε τις πράξεις.

α. ( ) ( )( ) ( )2x 2 x 3 x 3 2 2x 3+ − + − − −

β. ( ) ( ) ( )( )2 22x 1 3x 2 2x 5 5 2x+ − − − + −

γ. ( ) ( ) ( )( )2 22 α 2β 3 α 3β 2α 3β 3α 3β+ − + − + −

δ. ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2 2 22x x 1 2x x 1 x 3 x 1 4 x 1 x 1 x 1+ − − + + − + − − + +

ε. ( ) ( ) ( )( )3 3x 1 2 3x 2 x x 2 x 2− − + − + −

στ. ( ) ( )( ) ( )3 2x ψ ψ x ψ x ψ x x ψ+ − − + + −

ζ. ( ) ( ) ( )( )( )3 2x 2 3x x 1 x 1 x 1 x 2+ − − + − + −

η. ( )( ) ( )22 2x 9 y 4 xy 6+ + − + θ. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 4 42x y x 5 x y 2x y− − − + − − +

3. Nα αντικατασταθούν τα κενά ώστε να προκύψουν τριώνυµα που να είναι τετράγωνα

διωνύµων:

α. 2x 2x+ + β. 2α αβ− + γ. 2 29x 4y+ +

δ. 2 1

α4

+ + ε. 4 2α 2α+ + στ. 6 849α β+ +




ζ. 2x x− + η. 24x 1+ − θ. 1 2

x25 5

+ +

4. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

α. ( )2 2... ... α 2αβ ...+ = + + β. ( )25y ... 40yω ... ...− = − + +

γ. ( )2x ... βx ... ...+ = + + δ. ( )2

... 1 4xy ... ...+ = + +

ε. ( )( ) 2... ... 3x ... 9x 1+ − = − στ. ( )3 3 3... ... x ... ... y+ = + + +

ζ. ( )( )x 1 x 2 ... ... ...− − = − + η. ( )1xy ... ... ... 1 ...

2 − + = − +

θ. ( )( )x 3 x 5 ... ... ...+ − = − + ι. ( )( ) 2... 3 x ... x 9− + = −

5. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:

α. ( ) ( ) ( )2 2 2 2α β α β 2 α β+ + − = + β. ( ) ( )2 22κx κy κ x y+ = +

γ. ( ) ( ) ( )5 3 2α β α β β α 0− − − − = δ.

2 2κ λ κ λ

κλ2 2

+ − − =

ε.

2 2 2 2κ λ κ λ κ λ

2 2 2

+ − + + = ζ.

( ) ( )2 2

3x x 1 x x 1x

2 2

+ − − =

στ. ( )( ) ( ) ( )2 22α β 3γ 2α β 3γ 2α β 3γ+ − − + = − −

6. Αν 1

x 2x

− = τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης 22

1A x

x= + .

7. Αν 7

x y2

+ = και 5

x y2

⋅ = − να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων 2 2A x y= +

και ( )( )B x 2 y 2= + + .

8. Αν είναι 1821 1821A 3 3−= + και 1821 1821B 3 3−= − τότε να υπολογιστεί η παράσταση

2 2A B− .

9. Να αποδείξετε τις επόµενες ανισότητες

α. 2 2α β 2αβ+ ≥ β. 2x 1

x2

+ ≥ − `γ. 1

α 2α

+ ≥ αν α 0>

10. Αν Α 11 5= − και Β 11 5= + να υπολογισθούν οι παραστάσεις:

α. Α Β⋅ β. 2 2

Α Β+ γ. 2 2

Α Β−




Ερώτηση 1

Τι ονοµάζουµε ταυτότητα και ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες;

Άσκηση 1

Να γραφούν οι βασικές ταυτότητες και να αποδειχθεί ότι:

( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −

Άσκηση 2

Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αλγεβρική παράσταση:

( )( )( )( )2 2 4 4xy 1 xy 1 x y 1 x y 1− + + +

Άσκηση 3

Αν A 4 3 5= − και B 4 3 5= + να υπολογίσετε την παράσταση:

2 2A B

AB

+



5Ðáñáãïíôïðïßçóç

ðïëõùíýìùí

Ðáñáãïíôïðïßçóç

ðïëõùíýìùí

Τι είναι η παραγοντοποίηση πολυωνύµων;

Παραγοντοποίηση ή ανάλυση σε γινόµενο πρώτων

παραγόντων ονοµάζεται η διαδικασία µε την οποία µετα-

τρέπουµε µια αλγεβρική παράσταση ή ένα πολυώνυµο από

άθροισµα σε γινόµενο.

Με ποιους τρόπους γίνεται η παραγοντοποίηση;

α. Κοινός παράγοντας

Όταν όλοι οι όροι του πολυωνύµου έχουν τον ίδιο συντελε-

στή ή και ίδιες µεταβλητές, κοινό παράγοντα όπως λέµε

τότε αυτό µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη βοήθεια της επι-

µεριστικής ιδιότητας. Έτσι αν έχουµε την παράσταση

αβ αγ αδ− + παρατηρούµε ότι όλοι οι όροι της έχουν κοινό

παράγοντα τον α. Εποµένως βγάζουµε κοινό παράγοντα

τον α και γράφουµε ( )αβ αγ αδ α β γ δ− + = − + .

β. Οµαδοποίηση

Όταν όλοι οι όροι του πολυωνύµου δεν έχουν κοινό παρά-

γοντα, τους χωρίζουµε σε οµάδες φροντίζοντας ώστε:

• κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα

• οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού

παράγοντα να είναι ίδιες



Παραγοντοποίηση πολυωνύµων

γ. ∆ιαφορά τετραγώνων

Αυτή η µέθοδος στηρίζεται στην ταυτότητα

( )( )2 2α β α β α β− = + −

Αν το πολυώνυµο γράφεται σε µορφή διαφοράς τετραγώ-

νων δύο µονωνύµων τότε µετατρέπεται σε γινόµενο αθροί-

σµατος µονωνύµων επι την διαφορά τους.

δ. Ανάπτυγµα τετραγώνου (τέλειο τετράγωνο)

Αν το πολυώνυµο γράφεται σε µια από τις µορφές

2 2α 2αβ β+ + ή 2 2α 2αβ β− + τότε µετατρέπεται σε τετρά-

γωνο αθροίσµατος ή τετράγωνο διαφοράς

( )22 2α 2αβ β α β+ + = +

( )22 2α 2αβ β α β− + = −

ε. Τριώνυµο

Το πολυώνυµο ( ) 2f x αx βx γ= + + , α 0≠ λέγεται τριώνυ-

µο 2ου βαθµού.

Η παραγοντοποίηση του τριωνύµου όταν α 1= δηλαδή

2x βx γ+ + γίνεται ως εξής:

κάνουµε τον πολλαπλασιασµό των πολυωνύµων x κ+ ,

x λ+ και έχουµε:

( )( ) ( )2 2x κ x λ x λx κx κλ x λ κ x κλ+ + = + + + = + + +

οπότε πρέπει λ κ β+ = και κ λ γ⋅ = . ∆ηλαδή για να παρα-

γοντοποιήσουµε το 2x βx γ+ + αναζητούµε δύο αριθµούς

που να έχουν γινόµενο γ και άθροισµα β.

1. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει δύο όρους δίχως κοινό παράγοντα θα

προσέχουµε µήπως είναι διαφορά ή άθροισµα τετραγώνων. Στην περίπτωση που

είναι άθροισµα τετραγώνων προσθαφαιρούµε κατάλληλο όρο.

2. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τρεις όρους θα προσέχουµε αν :

α. είναι ανάπτυγµα τετραγώνου

β. είναι τριώνυµο

γ. µπορούµε να διασπάσουµε κάποιον όρο και στη συνέχεια να οµαδοποιήσουµε




3. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τέσσερις όρους θα προσέχουµε αν:

α. µπορούµε να οµαδοποιήσουµε ανά δύο

β. µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία οµάδα τριών όρων που να αποτελούν τέλειο

τετράγωνο το οποίο σε συνδυασµό µε τον όρο που αποµένει να µπορεί να παρα-

γοντοποιηθεί.




Να παραγοντοποήσετε τις παραστάσεις:

α. +5x 5y β. +4x 4 γ. −16 8x

δ. −3 2x x y ε. −26x 4x στ. −2 3 23α xy 12α x y

ζ. −2 2xy x y η. 2 3 2 2

αβ γ α βγ− θ. − −κλ 3κ

ι. −2x 6y

Λύση

α. ( )5x 5y 5 x y+ = + β. ( )4x 4 4 x 1+ = +

γ. ( )16 8x 8 2 x− = − δ. ( )3 2 2x x y x x y− = −

ε. ( )26x 4x 2x 3x 2− = − στ. ( )2 3 2 23α xy 12α x y 3α xy 1 4αx− = −

ζ. ( )2 2xy x y xy y x− = − η. ( )2 3 2 2 2αβ γ α βγ αβγ βγ α− = −

θ. ( )κλ 3κ κ λ 3− − = − +

ι. ( )2x 6y 2x 3 2y 2x 2 3y 2 x 3y− = − ⋅ = − ⋅ = −

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. ( ) ( )− + −2x x y 5y x y β. ( ) ( )+ + +10 x y 2α x y

γ. ( )− − +µ x y x y δ. ( ) ( )− − −ρ α β 2 β α

ε. ( )+ − −4ω α β α β στ. ( )− − +2x x 1 x 1

ζ. ( ) ( )− + −3 25x α 1 α 1 η. ( ) ( )− − −2

γ α 1 1 α

θ. ( ) ( ) ( ) ( )+ ⋅ − + + ⋅ −2x 3 3x 5 4x 5 5 3x

Λύση

α. ( ) ( ) ( ) ( )2x x y 5y x y x y 2x 5y− + − = − ⋅ +

β. ( ) ( ) ( ) ( )10 x y 2α x y 2 x y 5 α+ + + = + ⋅ +




γ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )µ x y x y µ x y x y x y µ 1− − + = − − − = − ⋅ −

δ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ α β 2 β α ρ α β 2 α β α β ρ 2− − − = − + − = − ⋅ +

ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4ω α β α β 4ω α β α β α β 4ω 1+ − − = + − + = + ⋅ −

στ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x x 1 x 1 2x x 1 x 1 x 1 2x 1− − + = − − − = − ⋅ −

ζ. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 25x α 1 α 1 α 1 5x α 1 1− + − = − − +

η. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2γ α 1 1 α γ α 1 α 1 α 1 γ α 1 1− − − = − + − = − − +

θ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 3 3x 5 4x 5 5 3x 2x 3 3x 5 4x 5 3x 5+ ⋅ − + + ⋅ − = + ⋅ − − + ⋅ − =

( )( ) ( ) ( )3x 5 2x 3 4x 5 3x 5 2x 8= − + − + = − ⋅ − +


α. − + −2βx αβ x αx β. + − −x y αx αy

γ. − − +3αx αy 3βx βy δ. + − −2 2xy xω y z ωz

ε. − − +26x 4αx 9βx 6αβ στ. − + −5γx 8γy 5βx 8βy

ζ. + + +3 2 2 3x x y xy y η. + + +3 2α 15 5α 3α

θ. − + −3 2x 5x 2x 10 ι. + + +3 2 3 2αx αy x βx βy x

Λύση

α. ( ) ( ) ( ) ( )2βx αβ x αx β x α x x α x α β x− + − = − + − = − ⋅ +

β. ( ) ( ) ( ) ( )x y αx αy x αx y αy x 1 α y 1 α 1 α x y+ − − = − + − = − + − = − ⋅ +

γ. ( ) ( ) ( ) ( )3αx αy 3βx βy 3αx 3βx βy αy 3x α β y α β α β 3x y− − + = − + − = − − − = − ⋅ −

δ. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2xy xω y z ωz x y ω z y ω y ω x z+ − − = + − + = + ⋅ −

ε. ( ) ( ) ( ) ( )26x 4αx 9βx 6αβ 2x 3x 2α 3β 3x 2α 3x 2α 2x 3β− − + = − − − = − ⋅ −

στ. ( ) ( )5γx 8γy 5βx 8βy 5γx 5βx 8γy 8βy 5x γ β 8y γ β− + − = + − − = + − + =

( ) ( )γ β 5x 8y= + ⋅ −

ζ. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 2 2x x y xy y x x y y x y x y x y+ + + = + + + = + ⋅ +

η. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2 2α 15 5α 3α α 3α 15 5α α α 3 5 α 3 α 3 α 5+ + + = + + + = + + + = + ⋅ +

θ. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2x 5x 2x 10 x x 5 2 x 5 x 5 x 2− + − = − + − = − ⋅ +




ι. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2 2 2 2 2αx αy x βx βy x αx x y βx x y x x y α β+ + + = + + + = + ⋅ +


α. −2 2y α β. −225α 1

γ. −2 2α 16β δ. − 21 4x

ε. −2 216α 9β στ. −24x 25

ζ. −2 2 2 425α x 36β γ η. ( )− + 236 x 4

θ. −2µ 2νx x ι. −2 2 4α 36β γ

Λύση

α. ( ) ( )2 2y α y α y α− = − ⋅ +

β. ( ) ( ) ( )22 225α 1 5α 1 5α 1 5α 1− = − = − ⋅ +

γ. ( ) ( ) ( )22 2 2α 16β α 4β α 4β α 4β− = − = − ⋅ +

δ. ( ) ( ) ( )22 21 4x 1 2x 1 2x 1 2x− = − = − ⋅ +

ε. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 216α 9β 4α 3β 4α 3β 4α 3β− = − = − ⋅ +

στ. ( ) ( ) ( )22 24x 25 2x 5 2x 5 2x 5− = − = − ⋅ +

ζ. ( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 4 2 2 225α x 36β γ 5αx 6βγ 5αx 6βγ 5αx 6βγ− = − = − ⋅ +

η. ( ) ( ) ( ) ( )2 2236 x 4 6 x 4 6 x 4 6 x 4− + = − + = + + ⋅ − −

θ. ( ) ( ) ( ) ( )2 22µ 2ν µ ν µ ν µ νx x x x x x x x− = − = − ⋅ +

ι. ( ) ( ) ( )22 2 4 2 2 2 2α 36β γ α 6βγ α 6βγ α 6βγ− = − = − ⋅ +

Να γραφούν ως γινόµενο οι παραστάσεις:

α. − +2α 10α 25 β. + +2x 8x 16

γ. − +2 29x y 12xy 4 δ. − +4 2 2 49α 6α β β

ε. ( ) ( )+ − + +2x y 2 x y 1 στ. − +

2 2α αβ β

4 3 9

ζ. ( ) ( )− + − +2x y 8 x y 16 η. − +2 216x 24xy 9y

θ. + +2x 2 2x 2 ι. − +4 2 2 4x 2x y y




Λύση

α. ( )22 2 2α 10α 25 α 2 5 α 5 α 5− + = − ⋅ ⋅ + = −

β. ( )22 2 2x 8x 16 x 2 4x 4 x 4+ + = + ⋅ + = +

γ. ( ) ( )2 22 2 29x y 12xy 4 3xy 2 3xy 2 2 3xy 2− + = − ⋅ ⋅ + = −

δ. ( ) ( ) ( )2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 29α 6α β β 3α 2 3α β β 3α β− + = − ⋅ ⋅ + = −

ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22x y 2 x y 1 x y 2 x y 1 x y 1+ − + + = + − + + = + −

στ. 2 2 22 2α αβ β α α β β α β

24 3 9 2 2 3 3 2 3

− + = − ⋅ + = −

ζ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22x y 8 x y 16 x y 2 4 x y 4 x y 4− + − + = − + ⋅ − + = − +

η. ( ) ( ) ( )2 2 22 216x 24xy 9y 4x 2 4x 3y 3y 4x 3y− + = − ⋅ ⋅ + = −

θ. ( ) ( )2 22 2x 2 2x 2 x 2 2x 2 x 2+ + = + + = +

ι. ( ) ( ) ( )2 2 24 2 2 4 2 2 2 2 2 2x 2x y y x 2x y y x y− + = − + = −

Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυµα:

α. − +2x 8x 15 β. − −2x 2x 15 γ. − − 214 5x x

δ. + +2x 9x 20 ε. + −2x x 30

Λύση

α. ( ) ( )2x 8x 15 x 3 x 5− + = − ⋅ − , διότι ( ) ( )3 5 15− ⋅ − = και ( )3 5 8− + − = −

β. ( ) ( )2x 2x 15 x 3 x 5− − = + ⋅ − , διότι ( )3 5 15⋅ − = − και ( )3 5 2+ − = −

γ. ( ) ( ) ( )2 214 5x x x 5x 14 x 2 x 7− − = − + − = − − ⋅ + , διότι 2 7 14− ⋅ = − και 2 7 5− + =

δ. ( ) ( )2x 9x 20 x 5 x 4+ + = + ⋅ + , διότι 4 5 20⋅ = και 5 4 9+ =

ε. ( ) ( )2x x 30 x 6 x 5+ − = + ⋅ − , διότι ( )6 5 30⋅ − = − και ( )6 5 1+ − =

Να γραφούν σε µορφή γινοµένου οι παραστάσεις:

α. − − +2 2x 2x y 1 β. − + −2 2x 6x 9 y

γ. − − +2 2y x 10y 25 δ. − − +2 29x 36y 30x 25




ε. − − −2 2ω x 6x 9 στ. − − +2 2x y 4x 4

ζ. − − −2 2 2x y 4yz 4z η. + − +2 2 2x 6αx 9y 9α

Λύση

α. ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2x 2x y 1 x 2x 1 y x 1 y x 1 y x 1 y− − + = − + − = − − = − + ⋅ − −

β. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2x 6x 9 y x 6x 9 y x 3 y x 3 y x 3 y− + − = − + − = − − = − + ⋅ − −

γ. ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2y x 10y 25 y 10y 25 x y 5 x y 5 x y 5 x− − + = − + − = − − = − + ⋅ − −

δ. ( ) ( )2 22 2 2 29x 36y 30x 25 9x 30x 25 36y 3x 5 6y− − + = − + − = − − =

( ) ( )3x 5 6y 3x 5 6y= − + ⋅ − −

ε. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2ω x 6x 9 ω x 6x 9 ω x 3 ω x 3 ω x 3− − − = − + + = − + = + + ⋅ − −

στ. ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2x y 4x 4 x 4x 4 y x 2 y x 2 y x 2 y− − + = − + − = − − = − + ⋅ − −

ζ. ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2x y 4yz 4z x y 4yz 4z x y 2z− − − = − + + = − + =

( ) ( )x y 2z x y 2z= + + ⋅ − −

η. ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2x 6αx 9y 9α x 6αx 9α 9y x 3α 3y+ − + = + + − = + − =

( ) ( )x 3α 3y x 3α 3y= + + ⋅ + −




1. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

α. 3x 16x− β. 4 2x 9x− γ. 34x 36x−

δ. 23x 27− ε. ( )22 464α β 2αβ−

2. Όµοια τις παραστάσεις:

α. ( )22 2x 4 16x+ − β. ( )22 417x 1 64x− − γ. ( )224x 12x 9 1+ + −

δ. ( ) ( )2 22 2 2 213x 5ψ 12x 4ψ− − + ε. ( ) ( )2x 4x 7 8x 1− + ⋅ +


α. ( ) ( )8α 2α β 2α β− ⋅ + β. ( ) ( )2x 6 x 5− ⋅ +

γ. ( ) ( )7 x 11y x y+ ⋅ − δ. ( ) ( )4x 3 8x 9+ ⋅ −


α. ( )4 4 2 2α β 2αβ α β− + − β. ( ) ( )22x 4 3 3x 2 x 2− − − ⋅ +

γ. ( )2 4x 2x 1 x+ + − δ. ( ) ( )2x ψ 1 xψ x ψ 1+ − − + +

ε. 2 2 2 24α 4αβ β 9α β− + − στ. 7 5 3x x x x− − +


α. 2 2 2x α β 2αβ− − + β. 3 2 2 3α α β αβ β− + −

γ. 2 2x ψ 4x 4− + + δ. ( ) ( ) ( )22 2α 9 x 4 αx 6+ ⋅ + − +

ε. 4 2x 22x 121− + στ. ( ) ( )x x 2 ψ ψ 2+ − +


α. ( ) ( ) ( )2 2 24xψ x ψ 6x x ψ 2x x ψ− − − + −




β. ( ) ( ) ( )22 2 23x 2 3x 2 3x 4 9x+ − + − − γ. ( ) ( ) ( )22 2α 4 β 1 α 2β+ ⋅ + − +

δ. ( ) ( ) ( )2 22x 9 x 5 x 3− − + ⋅ − ε. ( ) ( )22 2x x 14 x x 24+ − + +

στ. 2 25αx ψ 10αxψ 5α− + ζ. ( ) ( )2 2 2 2αβ x ψ xψ α β+ + +

η. 2 2α x αβx αβψ β ψ αγ βγ+ + + − −


α. 28x 32− β. ( )216 3x 2ψ− −

γ. ( ) ( )4 2x ψ x ψ+ − + δ. 3 2x x 4 4x− + −

ε. ( ) ( ) ( )3 2x ψ x ψ x ψ+ − + ⋅ − στ.

2 2α β α β− + −


α. 4 3 3 4x x ψ xψ ψ+ − − β.

2 2 2 2 2 2 4x ψ x ω ψ ω ω− − +

γ. 4 2 2 4α 6α β 8β+ + δ. 2 23x 4xψ ψ+ +

ε. ( ) ( )2 22x 4 x 2− − + στ. 7 3 4x x 8x 8− + −

ζ. 2 2 2α γ βγ α γ β+ − − η. ( ) ( )2 2 2αβ x 1 x α β+ + +


α. ( ) ( ) ( ) ( )2 2x 2 2x 1 2 x 2x 5− ⋅ + − − ⋅ − β. ( ) ( )x x 6 x 4 9x 36− ⋅ + + + .

γ. ( ) ( )2 29 2x 1 25 x 3− − − δ. ( ) ( ) ( ) ( )8x 6 2x 4 6x 3 4 2x− ⋅ − − + ⋅ −

ε. ( ) ( ) ( )2 2x 5 x 25 x 5 2x 1− + − + − ⋅ + στ. ( ) ( )2 22α 9 α 3− − +

ζ. ( ) ( )2 22 2 2 217x 10ψ 6ψ 8x− − − η. ( ) ( ) 22x 5 7 x 4x 25+ ⋅ − + −


α. ( )22 2 2 2 2α x 2α xψ α ψ α β+ + − + β. ( ) ( )2x 2ψ 2 x 2ψ 1− − − +

γ. ( )2x α β x αβ− + + δ. 2 21

3α 2αβ β3

+ +





α. ( ) ( ) ( )2 2x 4 x 16 x 4 2x 1− + − + − ⋅ +

β. ( ) ( )2x 2 2x 1 16x 32+ ⋅ + − −

γ. ( ) ( ) ( ) ( )23 x 9 x 1 2 x 3 x 1− ⋅ + − + ⋅ +

δ. ( ) ( ) ( ) ( )2 2x 1 x 2 x 4 x 1− ⋅ + − − ⋅ +

ε. 3 2x 2x x 2+ − −

στ. 3 2x 5x 4− +ζ. 3 2x 2x x 2− − +η. 2x xψ ψ 1− + −


α. 3121x 49x− β. 2 29x 6xψ ψ 25− + −

γ. 2 2 2x α ψ 2αx+ − + δ. 4 2 2x αx βx αβ+ − −

ε. 2 2 2 29x 12xψ 4ψ 81x ψ+ + − στ. ( ) ( ) ( )2 22x 9 8 x 1 x 3− + − ⋅ +


α. 2 2 2α 2αβ β γ− + − β. 2 2ψ 2x x 1+ − −

γ. 2 2α 2αβ β α β− + − + δ. 2 2 2α 2αβ β x 4x 4+ + − + −

ε. ( )22 2α 1 4α+ − στ. ( )22 2 2 2 2α β γ 4α β+ − −

ζ. 4 2 2 4x 5x ψ 9ψ+ + η. 4 4 2 2α 4β 13α β+ −

θ. 4 2x 4x 16+ + ι. 4 4α 4β+


α. 2x 3x 2− + β. 22x 4x 2− +γ. 29x 12x 4+ + δ. 2x 7x 6− +ε. 2x 6x 5+ + στ. 23x 21x 30− +ζ. 22x x 1− − η. 23x 5x 2− +θ. 22x 3x 5+ −




Ερώτηση 1

Να παραγοντοποιήσετε ρις παραστάσεις:

α. ( ) ( )2 22x 6x 3 x 9− + − −

β. ( ) ( )2 2 2α x α β x α− + −

Ερώτηση 2

Να βρείτε τις τιµές του α ώστε καθένα από τα παρακάτω τριώνυµα να µπορεί να

γραφεί ως γινόµενο

α. 2x αx 6+ −β. 2x αx 8+ +

Ερώτηση 3


στήλης Β.


α. ( ) ( ) ( )x y α 2β 3 α 2β+ ⋅ − − − 1. ( )22 2α 2β−

β. ( )α x y 3βx 3βy+ − − 2. ( ) ( )α 2β x y 3− ⋅ + −

γ. ( )5x α β α β− − + 3. ( ) ( )x y α 3β+ ⋅ −

δ. 2 24α β 4− 4. ( ) ( )α β 5x 1− ⋅ −

ε. 4 2 2 4α 4α β 4β− + 5. ( ) ( )4 αβ 1 αβ 1+ ⋅ −



Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý


Åîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý


ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò



Ποια εξίσωση λέγεται πρώτου βαθµού µ’ έναν ά-γνωστο;

Ποιος είναι ο άγνωστος;

Ποιοι είναι οι γνωστοί και ποιοι οι άγνωστοι όροι;

Πόσα και ποια µέλη έχει µια τέτοια εξίσωση;

Αν µια εξίσωση έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή

⋅α x = β

όπου α, β είναι γνωστοί πραγµατικοί αριθµοί και ο x είναι

µεταβλητή, λέγεται εξίσωση 1ου βαθµού µ’ έναν άγνωστο.

Η µεταβλητή σε µια τέτοια εξίσωση λέγεται άγνωστος. Συµ-

βολίζεται συνήθως µε τα γράµµατα x, y, ω, φ, t, s, ...

Οι όροι που δεν περιέχουν τη µεταβλητή λέγονται γνωστοί

όροι και αυτοί που την περιέχουν λέγονται άγνωστοι όροι.

Μια εξίσωση 1ου βαθµού έχει δύο µέλη, αυτό που βρίσκεται

αριστερά από το ίσον ( = ) και λέγεται πρώτο µέλος και

εκείνο που βρίσκεται δεξιά και λέγεται δεύτερο µέλος.

Για παράδειγµα , η εξίσωση 5 x 10⋅ = είναι πρώτου βαθ-

µού .

x : άγνωστος 5x : άγνωστος όρος

10 : γνωστός όρος 5x : πρώτο µέλος

10 : δεύτερο µέλος

2. Η εξίσωση 2x 4 5x 6+ = + είναι επίσης πρώτου βαθµού

x : άγνωστος 2x, 5x : άγνωστοι όροι

Εξίσωση 1ου βαθµού

Άγνωστος

Γνωστοί όροι

Άγνωστοι όροι

1ο µέλος

2ο µέλος

Παραδείγµατα


98. Εξισώσεις

Εξισώσεις 1ου βαθµού

Λύση ή ρίζα εξίσωσης

1ου βαθµού

Τι ονοµάζουµε λύση ή ρίζα εξίσωσης πρώτου βαθ-

µού; Πότε είναι αδύνατη; Πότε είναι αόριστη;

Εάν στη θέση της µεταβλητής θέσουµε έναν αριθµό

και επαληθεύεται η εξίσωση, ( δηλ. ισχύει η ισότητα ) τότε

ο αριθµός αυτός λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

Εάν δεν υπάρχει αριθµός που να επαληθεύει την εξίσωση,

λέµε ότι είναι αδύνατη.

Εάν η εξίσωση επαληθεύεται οποιονδήποτε αριθµό και να

βάλουµε στη θέση της µεταβλητής, λέµε ότι είναι αόριστη

ή ταυτότητα.


• Η εξίσωση 5 x 10⋅ = έχει λύση το 2, διότι : 5 2 10⋅ = .

• Η εξίσωση 0 x 4⋅ = είναι αδύνατη, διότι : 0 x 0⋅ = και όχι

0 x 4⋅ = .

• Η εξίσωση 0 x 0⋅ = είναι ταυτότητα, διότι : 0 x 0⋅ =όποια τιµή και να βάλουµε στη θέση του x.

Τι είναι η επίλυση µιας εξίσωσης;

Επίλυση µιας εξίσωσης είναι η διαδικασία µε την

οποία βρίσκουµε τη λύση της, εάν φυσικά υπάρχει.

Αδύνατη εξίσωση

Επίλυση εξίσωσης

4, 6 : γνωστοί όροι 2x 4+ : πρώτο µέλος

5x 6+ : δεύτερο µέλος

Ταυτότητα ή αόριστη

Πρέπει να γνωρίζουµε ότι µια εξίσωση πρώτου βαθµού της µορφής : ⋅α x = β

• έχει µοναδική λύση την β

x =α

, όταν ≠α 0

• είναι αδύνατη, όταν α = 0 και ≠β 0

• είναι ταυτότητα ή αόριστη, όταν α = 0 και β = 0


99.Εξισώσεις


Τι είναι η γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους;

Τι ονοµάζουµε λύση µιας τέτοιας εξίσωσης;

Μια εξίσωση της µορφής

⋅ ⋅α x+β y = γ

όπου α, β, γ είναι γνωστοί πραγµατικοί αριθµοί, λέγεται

γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους τους x, y.

Κάθε ζεύγος τιµών των µεταβλητών x και y, που επαληθεύει

την εξίσωση α x β y γ⋅ + ⋅ = , λέγεται λύση της εξίσωσης.


• Η εξίσωση 2x 4y 20+ = είναι γραµµική εξίσωση µε δύο

αγνώστους τους x και y. Τα ζεύγη (2, 4) και (4, 3) είναι

λύσεις της εξίσωσης 2x 4y 20+ = ,διότι :

2 4 20⋅ + ⋅ =2 4 2 4 20⋅ + ⋅ =4 3

Για την επίλυση µιας εξίσωσης πρώτου βαθµού ακολουθούµε συνήθως τα

παρακάτω βήµατα:

1ο ΒΗΜΑ: Απαλείφουµε τους παρονοµαστές ( αν υπάρχουν )

Πολλαπλασιάζουµε τα δύο µέλη µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών, προ-

σέχοντας µετά την απαλοιφή να βάζουµε τους αριθµητές σε παρένθεση.

2ο ΒΗΜΑ: Απαλείφουµε τις παρενθέσεις

Χρησιµοποιoύµε την επιµεριστική ιδιότητα αν έχουµε πολλαπλασιασµό

αριθµού µε παρένθεση ή µε το γνωστό κανόνα απαλοιφής παρενθέσεων

ανάλογα µε το αν η παρένθεση έχει µπροστά της το (+) ή το (-) .

3ο ΒΗΜΑ: Χωρίζουµε τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους

Μεταφέρουµε τους άγνωστους όρους στο πρώτο µέλος και τους γνωστούς

στο δεύτερο µέλος, αλλάζοντας πρόσηµο στους όρους που µεταφέρονται.

4ο ΒΗΜΑ: Κάνουµε αναγωγή των οµοίων όρων

Σε αυτό το βήµα επίλυσης φέρνουµε την εξίσωση στην µορφή α x β⋅ =

5ο ΒΗΜΑ: ∆ιαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου

Αρκεί αυτός να µην είναι το µηδέν, γιατί διαφορετικά είναι αόριστη ή

αδύνατη.

Γραµµική εξίσωση

Λύση γραµµικής

εξίσωσης




1. Μία εξίσωση πρώτου βαθµού µ’ έναν άγνωστο µπορεί να έχει µία

λύση, µπορεί να είναι αδύνατη ή µπορεί να είναι ταυτότητα.

2. Η εξίσωση ⋅0 x = 0 , είναι ταυτότητα ή αόριστη.

Η εξίσωση ⋅0 x = β , είναι αδύνατη όταν ≠β 0

Η εξίσωση ⋅α x = β , έχει µοναδική λύση β

x =α

όταν ≠α 0 .

3. Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή ⋅ ⋅α x+β y = γ , λέγεται

γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους τους x και y.

4. Λύση της εξίσωσης ⋅ ⋅α x+β y = γ ,λέγεται κάθε ζεύγος αριθµών που την επαλη-

θεύει.

5. Για να βρούµε λύσεις της ⋅ ⋅α x+β y = γ , δίνουµε αυθαίρετα τιµή στον έναν

άγνωστο και βρίσκουµε την αντίστοιχη τιµή του άλλου.




Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. − = − +3x 4 5 2x 1 β. − = +4x 1 4x 3

γ. − = − +x 4 x 6 2 δ. + = +4x 1 2x 1

Λύση

α. 3x 4 5 2x 1− = − + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x 2x 5 4 1+ = + + (αναγωγή όµοιων όρων)

5x 10= (διαιρούµε µε το συντελεστή αγνώστου)

5x 10

5 5=

x = 2

β. 4x 1 4x 3− = + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

4x 4x 1 3− = + (αναγωγή όµοιων όρων)

0 x 4⋅ = , είναι αδύνατη.

γ. x 4 x 6 2− = − + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

x x 4 6 2− = − + (αναγωγή όµοιων όρων)

0 x 0⋅ = , είναι αόριστη.

δ. 4x 1 2x 1+ = + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

4x 2x 1 1− = − + (αναγωγή όµοιων όρων)


2x 0

2 2=

x = 0 .




Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. ( ) ( )− − = − − +3 x 1 6 3 x 2 3 β. ( ) ( )2 x 3 x 1 4 x− − − = −

γ. ( ) ( ) − = + − − + 4x 15 5x 3 x 1 4x 1

Λύση

α. ( ) ( )3 x 1 6 3 x 2 3− − = − − + (απαλοιφή παρενθέσεων µε επιµεριστική)

3x 3 6 3x 6 3− − = − + + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x 3x 3 6 6 3+ = + + + (αναγωγή όµοιων όρων)

6x 18= (διαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου)

6x 18

6 6=

x = 3

β. ( ) ( )2 x 3 x 1 4 x− − − = − (απαλοιφή παρενθέσεων)

2x 6 x 1 4 x− − + = − (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

2x x x 6 1 4− + = − + (αναγωγή όµοιων όρων)


2x 9

2 2=

9x =

2

γ. ( ) ( )4x 15 5x 3 x 1 4x 1− = + − − + (απαλοιφή παρενθέσεων)

( )4x 15 5x 3x 3 4x 1− = + − − − (πράξεις µέσα στις αγκύλες)

( )4x 15 4x 4− = − (απαλοιφή παρενθέσεων)

4x 15 4x 4− = − (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

4x 4x 15 4− = − (αναγωγή όµοιων όρων)

0 x 14⋅ = , είναι αδύνατη.




Οµοίως να λύσετε τις εξισώσεις:

α. − −− = −x 3 1 2x 3x 14 2 6 12

β. − −+ = +x 3 2 x

6 44 6

γ. − −=x 2 3 x3 2

δ. ( )− +− =

2 2 x x 310

3 4

Λύση

α. x 3 1 2x 3x 1

4 2 6 12

− −− = − (πολ/ζουµε µε το Ε.Κ.Π που είναι το 12)

x 3 1 2x 3x 112 12 12 12

4 2 6 12

− −⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (απλοποίηση)

( ) ( )3 x 3 6 2 2x 3x 1− − = ⋅ − − (απαλοιφή παρενθέσεων)

3x 9 6 4x 3x 1− − = − + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x 4x 3x 9 6 1− + = + + (αναγωγή όµοιων όρων)


2x 16

2 2=

x = 8

β. x 3 2 x

6 44 6

− −+ = + (πολ/ζουµε µε το Ε.Κ.Π που είναι το12)

x 3 2 x12 6 12 12 4 12

4 6

− −⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ (απλοποίηση)

( ) ( )72 3 x 3 48 2 2 x+ − = + ⋅ − (απαλοιφή παρενθέσεων)

72 3x 9 48 4 2x+ − = + − (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x 2x 72 9 48 4+ = − + + + (αναγωγή όµοιων όρων)

5x 11= − (διαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου)

5x 11

5 5

−=

11x = -

5




γ. Όταν έχουµε ισότητα κλασµάτων πολλαπλασιάζουµε “χιαστί”.

x 2 3 x

3 2

− −= (χιαστί)

( ) ( )2 x 2 3 3 x⋅ − = ⋅ − (απαλοιφή παρενθέσεων)

2x 4 9 3x− = − (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

2x 3x 9 4+ = + (αναγωγή όµοιων όρων)


5x 13

5 5=

13x =

5.

δ. ( )2 2 x x 3

103 4

− +− = (πολ/ζουµε µε το Ε.Κ.Π που είναι το 12)

( )2 2 x x 312 10 12 12

3 4

− +⋅ − ⋅ = ⋅ (απλοποίηση)

( ) ( )120 4 2 2 x 3 x 3− ⋅ ⋅ − = ⋅ +

( ) ( )120 8 2 x 3 x 3− − = ⋅ + (απαλοιφή παρενθέσεων)

120 16 8x 3x 9− + = + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

8x 3x 120 16 9− = − + + (αναγωγή όµοιων όρων)

5x 95= − (διαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου)

5x 95

5 5

−=

x 19= − .

Να βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού λ, ώστε η εξίσωση ( )2λ -1 x = 5 να είναι

αδύνατη.

Λύση

Μία εξίσωση 1ου βαθµού στη µορφή ⋅α x = β είναι αδύνατη, όταν α = 0 και ≠β 0 .




Στην περίπτωση µας στην εξίσωση ( )2λ 1 x 5− = είναι α = 2λ -1 και β = 5 . Συνεπώς

για να είναι αδύνατη η εξίσωση , πρέπει:

2λ 1 0− =

2λ 1=

2λ 1

2 2=

1

λ =2

.

Άρα όταν 1

λ =2

η εξίσωση είναι αδύνατη.

Να βρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών µ και λ, ώστε η εξίσωση 2λx+µ = 2

να είναι αόριστη.

Λύση

Μία εξίσωση 1ου βαθµού στη µορφή ⋅α x = β είναι αόριστη, όταν α = 0 και β = 0 .

Η εξίσωση 2λx µ 2+ = δεν είναι στην παραπάνω µορφή γι’ αυτό πρώτα πρέπει να τη

φέρουµε σ’ αυτή τη µορφή.

2λx µ 2+ = ή 2λx 2 µ= − , άρα πρέπει να ισχύουν συγχρόνως :

2λ 0 και 2 µ 0= − = ή λ 0 και µ 2= =

Συνεπώς για λ = 0 και µ = 2 η εξίσωση είναι αόριστη.

Να βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού µ, ώστε η εξίσωση 2µx + 3 = µ +13 να

έχει ρίζα τον αριθµό 3.

Λύση

Αφού η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθµό 3, αν το x αντικατασταθεί από το 3 θα επαληθεύ-

εται η ισότητα, δηλαδή θα ισχύει :

2 µ 3 3 µ 13⋅ ⋅ + = + (πράξεις)

6µ 3 µ 13+ = + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

6µ µ 3 13− = − + (αναγωγή όµοιων όρων)

5µ 10= (διαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώστου)




5µ 10

5 5= ή µ = 2 , άρα για µ = 2 η εξίσωση έχει ρίζα το 3.

∆ίνεται η γραµµική εξίσωση 2x - y = 4 .

α. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

β. Να παραστήσετε τα ζεύγη του πίνακα στους άξονες.

γ. Τι παρατηρείτε για τα σηµεία που παριστάνουν τα παραπάνω ζεύγη;

δ. Να εξετάσετε αν τα ζεύγη (4, 1) και (6, 8) αποτελούν λύσεις της εξίσωσης.

ε. Να βρεθεί η µορφή λύσεων της εξίσωσης.

Λύση

α. • Για x = 0 έχουµε: 2 0 y 4⋅ − = ή 0 y 4− = ή y 4− = ή y = -4 .

• Για y = -2 έχουµε: ( )2 x 2 4⋅ − − = ή 2x 2 4+ = ή 2x 4 2= − ή 2x 2=

2x 2

2 2= ή x = 1 .

• Για x = 3 έχουµε: 2 3 y 4⋅ − = ή 6 y 4− = ή y 4 6− = − ή y 2− = − ή

y = 2 .

• Για y = 0 έχουµε: 2 x 0 4⋅ − = ή 2x 4= ή 2x 4

2 2= ή x = 2 .

Εποµένως ο πίνακας γίνεται :

β. Τα σηµεία στα οποία αντιστοιχούν τα ζεύγη του πίνακα είναι:

( )A 0, 4− , ( )B 1, 2− , ( )Γ 3,2 , ( )∆ 2,0

γ. Τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, όπως

φαίνεται στο σχήµα.

δ. Για να ελέγξουµε εάν τα ζεύγη αποτελούν λύσεις της εξίσω-

σης, εξετάζουµε εάν οι τιµές των x,y επαληθεύουν την εξίσω-

ση .

• H εξίσωση 2x - y = 4 για x = 4 και y = 1 γράφεται




2 4 1 4⋅ − = ή 8 1 4− = ή 7 4= ,που δεν ισχύει . Άρα το ζεύγος (4, 1) δεν είναι λύση της

παραπάνω εξίσωσης.

• Η εξίσωση 2x - y = 4 για x = 6 και y = 8 γράφεται :

2 6 8 4⋅ − = ή 12 8 4− = ή 4 4= , που ισχύει άρα το ζεύγος (6, 8) είναι λύση

της εξίσωσης.

ε. Λύνουµε την εξίσωση ως προς y και έχουµε:

2x y 4− = ή y 4 2x− = − ή y 4 2x= − + ή y 2x 4= − .

Συνεπώς η µορφή λύσεων της εξίσωσης είναι ( )x,2x - 4 µε x οποιοδήποτε πραγµατικό.

Μπορούσαµε να λύσουµε την εξίσωση ως προς x :

2x y 4− = ή 2x y 4= + ή 2x y 4

2 2

+= ή y 4

x2

+= . Άρα η µορφή λύσεων της εξίσωσης

είναι y 4

,y2+

µε y οποιοδήποτε πραγµατικό.

Τα δύο παραπάνω διαφορετικά ως πρός την εµφάνιση ζεύγη µας δίνουν τις ίδιες λύσεις.

Σήµερα ο θείος του Νίκου είναι 27 χρόνων.Αν ο Νίκος είναι 3 χρόνων να βρεθεί µετά

από πόσα χρόνια η ηλικία του Νίκου θα είναι το 13

της ηλικίας του θείου του.

Λύση

Έστω ότι µετά από x χρόνια η ηλικία του Νίκου θα είναι το 1

3 της ηλικίας του θείου του.

Μετά από x χρόνια ο Νίκος θα είναι x 3+ χρονών και ο θείος του x 27+ χρονών,

εποµένως έχουµε:

( )1x 3 x 27

3+ = + (πολλαπλασιάζουµε τα δύο µέλη µε το 3)

( ) ( )13 x 3 3 x 27

3+ = ⋅ +

( ) ( )3 x 3 x 27+ = + (απαλοιφή παρενθέσεων)

3x 9 x 27+ = + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x x 27 9− = − (αναγωγή όµοιων όρων)


2x 18

2 2= ή x 9= .Εποµένως µετά από 9 χρόνια ο Νίκος θα έχει το

13

της ηλικίας του

θείου του.




Να βρεθούν δύο διαδοχικοί ακέραιοι έτσι ώστε το τριπλάσιο του µικρότερου να

είναι κατά 10 µονάδες µεγαλύτερο από το διπλάσιο του µεγαλύτερου.

Λύση

Έστω x ο µικρότερος ακέραιος, τότε x +1 θα είναι ο µεγαλύτερος, 3x το τριπλάσιο του

µικρότερου και ( )2 x +1 το διπλάσιο του µεγαλύτερου. Έχουµε:

( )3x 2 x 1 10= + + (απαλοιφή παρενθέσεων)

3x 2x 2 10= + + (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

3x 2x 2 10− = + (αναγωγή όµοιων όρων)

x = 12 είναι ο µικρότερος ακέραιος και x +1 = 13 , είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος.

Κάποιος ανάµειξε 45 λίτρα διαλύµατος ενός οξέος περιεκτικότητας 40% µε 55

λίτρα διαλύµατος του ίδιου οξέος περιεκτικότητας 20%. Να βρεθεί η περιεκτικό-

τητα σε οξύ του µίγµατος.

Λύση

Ισχύει ότι: Ποσότητα οξέος Ποσότητα οξέος Ποσότητα οξέος

1ου διαλύµατος 2ου διαλύµατος µίγµατος

+ =

Έστω x η ποσότητα οξέος του µίγµατος.

Η ποσότητα οξέος στο 1ο διάλυµα είναι: 40 1800

45 18 λίτρα100 100

⋅ = =

Η ποσότητα οξέος στο 2ο διάλυµα είναι: 20 1100

55 11 λίτρα100 100

⋅ = =

Οπότε σε 55 45 100 λίτρα+ = µίγµατος υπάρχουν: x = 18 + 11 = 29 λίτρα οξέος.

Εποµένως η περιεκτικότητα σε οξύ του µίγµατος είναι: 29%





α. ( )5 x 2 8 4x− = − β. ( ) ( )3 x 2 4 1 x+ = −

γ. ( ) ( )2 x 3 7 x 3 5x 5+ + − = − δ. ( ) ( )3 x 4 2 1 x x 2+ − + = −

ε. ( )9x 15 3 3x 5− = − στ. ( )5x 4 5x 8 0− + + =

2. Οµοίως να λυθούν οι εξισώσεις:

α. ( ) ( )2 x 3x 1 3 2 x 2 x 1+ − − = − +

β. ( ) ( )5y 3 y 2 26 3 1 3 5 y 2− − = − − − +

γ. ( ) ( )8 5ω 3 ω 3 ω 1 6 7 1 ω− = − − − − −

δ. ( ) ( )6 3κ 2κ 10 κ 1 6 9 κ 1− − − − = − − −

3. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις.

α. 12x 26 10 2x 6

2 6 3

+ += − β. y 3 2y 5

12 3

+ −+ =

γ. 2 6x 3x 12

8 10

− −= δ. 2p 3 3p 4

3p 43 3

− −− = +

ε.3k 2 1 k

19 6

− −= + στ. 2µ 13 6µ 2µ 3

3 12 4

− −+ =


α. ( ) ( )2 x 1 3 x 1 7

03 2 6

− ++ + = β.

( )3 2y 1 2y 3 5 y

2 4 2

− − −− =

γ. ( ) ( ) ( )3 2ω 7 2 ω 8 4 ω 14ω 61

5 15 3 15

− − −+− = +




δ. ( ) ( )2 7x 11 2 4 5x 4x 3

15 3 5

− + −= +

5. Να σηµειώσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί και ποιοι λάθος:

α. Η εξίσωση 3x 3= είναι αδύνατη

β. Η εξίσωση 3x 0= είναι αδύνατη

γ. Η εξίσωση λx 1= δεν είναι ποτέ αδύνατη

δ. Οι εξισώσεις ( )λ 4 x 0− = και ( )λ 3 x 0− = δεν µπορούν να είναι ταυτόχρονα

αόριστες.

ε. Η εξίσωση 2x x= είναι αδύνατη

στ. Η εξίσωση 2x 4= έχει λύση το x 2=

6. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις.

α. Η εξίσωση λx 0= είναι αδύνατη όταν:

Α. λ 1= Β. λ 0= Γ. ποτέ ∆. πάντα

β. Η εξίσωση ( )λ 1 x λ 1− = − είναι ταυτότητα όταν:

Α. λ 0= Β. λ 2= Γ. πάντα ∆. λ 1=

γ. Η εξίσωση 2x 3x= έχει λύση τον αριθµό:

Α. 0 Β. 1 Γ. 2 ∆. 3

δ. Η εξίσωση 2x y 1− = έχει λύση το ζεύγος:

Α. (2, 2) Β. (1, 1) Γ. (0, 0) ∆. καµία

ε. Η µορφή λύσεων της εξίσωσης x y 1− = είναι:

Α. ( )x, x 1+ Β. ( )x, x Γ. ( )y 1, y+ ∆. ( )y, y

7. Εάν k είναι η λύση της εξίσωσης x x x 3 3

3 6 3 2

++ = − και λ η λύση της εξίσωσης

x 3 5x 12

3 4 12

−+ = , τότε να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων 2 2A k λ= + και

Β 3k λ= − .




8. Να βρεθεί η τιµή του αριθµού λ ώστε η εξίσωση ( )x 12 λ

3x λ3

− +− = να έχει ρίζα

τον αριθµό x 2= .

9. Να βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού λ για την οποία η εξίσωση 3λy 2y=είναι αόριστη.

10. Να βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού λ για την οποία η εξίσωση 5x 2λx 3− =είναι αδύνατη.

11. ∆ίνεται η εξίσωση 2x y 8+ =α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

β. Να παραστήσετε τα ζεύγη του πίνακα µε σηµεία του επιπέδου

γ. Να εξετάσετε εάν τα ζεύγη ( )10, 12− και ( )5,2 είναι λύσεις της εξίσωσης

δ. Να βρεθεί η µορφή λύσεων της εξίσωσης

12. Το πενταπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 3 είναι ίσο µε το διπλάσιο του

αυξηµένο κατά 30. Να βρεθεί ο αριθµός.

13. Η περίµετρος ενός ορθογωνίου είναι 24cm, εάν το µήκος του είναι 2cm µεγαλύτερο

από το πλάτος του, τότε ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου;

14. Κάποιος ρώτησε τον Νίκο πόσο χρονών είναι και του απάντησε: “Σε 7 χρόνια η ηλικία

µου θα είναι η διπλάσια της ηλικίας που είχα πριν από 15 χρόνια αυξηµένη κατά 4”.

Ποια είναι σήµερα η ηλικία του Νίκου;

15. Να υπολογίσετε το x και στη συνέχεια τις γωνίες του παρακάτω τριγώνου:




Ερώτηση 1

Ποια εξίσωση λέγεται πρώτου βαθµού µ’ έναν άγνωστο και τι ονοµάζουµε λύση

αυτής ;

Πότε η εξίσωση α x β⋅ = είναι αδύνατη;

Πότε είναι αόριστη;

Πότε έχει µοναδική λύση;

Ερώτηση 2

Ποια µορφή έχει µια γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y;

Ποιες είναι οι λύσεις µιας γραµµικής εξίσωσης;

Τι παριστάνουν στο επίπεδο οι λύσεις µιας γραµµικής εξίσωσης ;

Άσκηση 1

Να λυθεί η εξίσωση 2x 1 3x

3 43 4

−− = +

Άσκηση 2

∆ίνεται η εξίσωση 2x 3y 5+ =α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα

β. Να παραστήσετε τις παραπάνω λύσεις µε σηµεία του επιπέδου.

Άσκηση 3

Να βρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών µ και λ, ώστε η εξίσωση

( )2λ 1 x µ 2− + = να είναι αόριστη.


Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση 2ου βαθµού µ’ έναν

άγνωστο ή αλλιώς δευτεροβάθµια εξίσωση;

Ποιοι είναι οι όροι της;

Τι είναι η επίλυση µιας τέτοιας εξίσωσης;

Μια εξίσωση µ’ έναν άγνωστο, όπου η µεγαλύτερη

δύναµη του αγνώστου είναι η 2η δύναµη, λέγεται εξίσωση

2ου βαθµού µ’ έναν άγνωστο ή δευτεροβάθµια εξίσωση.

Όταν µεταφέρουµε όλους τους όρους της στο πρώτο µέλος

και κάνουµε τις αναγωγές, η εξίσωση παίρνει τη µορφή

2αx + βx + γ = 0 µε ≠α 0 και α, β, γ πραγµατικούς αριθ-

µούς.

Μια εξίσωση 2ου βαθµού έχει γενική µορφή :

2αx βx γ 0+ + = , µε α 0≠

γ είναι ο σταθερός όρος, β x⋅ είναι ο πρωτοβάθµιος όρος,

2αx είναι ο δευτεροβάθµιος όρος αυτής.

Η διαδικασία µε την οποία βρίσκουµε τις τιµές του αγνώ-

στου που επαληθεύουν την εξίσωση, λέγεται επίλυση της

εξίσωσης.

∆ευτεροβάθµια

εξίσωση2

αx + βx + γ = 0 , ≠α 0

Όροι δευτεροβάθµιας

εξίσωσης

Επίλυση


8Åîéóþóåéò 2ïõ

âáèìïý

Åîéóþóåéò 2ïõ

âáèìïý

Μια βασική ιδιότητα στην οποία βασίζεται η επίλυση µιας δευτεροβάθµιας

εξίσωσης είναι:

⋅α β = 0 αν και µόνο αν α = 0 ή β = 0 . ∆ηλαδή ένα γινόµενο είναι ίσο µε το µηδέν

αν και µόνο αν κάποιος όρος του γινοµένου είναι ίσος µε µηδέν.




Πως λύνουµε µια δευτεροβάθµια εξίσωση, όταν έχει

την ελλειπή µορφή 2

αx + βx = 0 µε ≠α,β 0 , δηλαδή όταν

γ = 0 και ≠β 0 .

2αx βx 0+ = ή

( )x αx β 0⋅ + = (βγάλαµε κοινό παράγοντα τον άγνω-

στο)

x 0= ή αx β 0+ = (στηριζόµαστε στην ιδιότητα ⋅α β = 0

αν και µόνον αν α = 0 ή β = 0 )

x 0= ή αx β= − (χωρίσαµε γνωστούς από αγνώστους)

x 0= ή β

xα

= − (διαιρούµε µε το συντελεστή του αγνώ-

στου, ≠α 0 )

Θα λύσουµε την εξίσωση: 23x 4x 0− =

Η εξίσωση 23x 4x 0− = γράφεται : ( )x 3x 4 0− = . Άρα

x 0= ή 3x 4 0− =x 0= ή 3x 4=

x 0= ή 4

x3

=

Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε την ελλειπή µορφή 2αx + βx = 0 µε ≠α,β 0

έχει δύο λύσεις, µία εκ των οποίων είναι το µηδέν.

Επίλυση της2

αx + βx = 0


την ελλειπή µορφή 2αx + γ = 0 µε ≠α, γ 0 , δηλαδή όταν

β = 0 και ≠γ 0 ;





αx + γ = 0

2αx γ 0+ =

2αx γ= − (χωρίζουµε το σταθερό όρο από το δευτερο-

βάθµιο)

2 γx

α= − (διαιρούµε µε το συντελεστή του δευτερο-

βάθµιου όρου, ≠α 0 )

Σε αυτό το βήµα κοιτάµε τον αριθµό γ

α− στο δεύτερο µέ-

λος της εξίσωσης.

• Αν γ

- < 0α

, η εξίσωση είναι αδύνατη.

• Αν γ

- > 0α

, η εξίσωση έχει δύο λύσεις που είναι:

1

γx = -

α , 2

γx = - -

α

1. Θα λύσουµε την εξίσωση 22x + 5 = 0 :

22x 5 0+ =22x 5= −

2 5x

2= − , που είναι αδύνατη αφού

50

2− < .

2. Θα λύσουµε την εξίσωση 24x -1 = 0 :

24x 1 0− =24x 1=

2 1x

4= , επειδή

10

4> έχουµε δύο λύσεις που είναι:

1

1x

4= , 2

1x

4= −




Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε την ελλειπή µορφή 2αx + γ = 0 µε ≠α, γ 0

- είναι αδύνατη, όταν α, γ είναι οµόσηµοι (παράδειγµα 1)

- έχει δύο λύσεις, όταν α, γ είναι ετερόσηµοι (παράδειγµα 2).


την πλήρη µορφή 2αx + βx + γ = 0 µε ≠α,β, γ 0 ;

Η επίλυση της δευτεροβάθµιας 2αx βx γ 0+ + = µε

α,β, γ 0≠ , βασίζεται στην µέθοδο συµπλήρωσης τετρα-

γώνου, που παρουσιάζεται αναλυτικά πιο κάτω:

Έστω η εξίσωση 2αx βx γ 0+ + = , µε α ≠ 0.

2 β γx x 0

α α+ + = [διαιρούµε όλους τους όρους µε ≠α 0 ]

2 β γx x

α α+ = − [µεταφέρουµε το

γ

α στο δεύτερο µέλος]

2 β γx 2 x

2α α+ ⋅ = − [πολλαπλασιάζουµε και διαιρούµε µε

2 το συντελεστή του x]

2 22 β β β γ

x 2 x2α 2α 2α α

+ ⋅ + = − [προσθέτουµε και στα

δύο µέλη το

2β

2α]

2 2β β γ

x2α 2α α

+ = − [το πρώτο µέλος είναι ανάπτυγ-

µα τέλειου τετραγώνου]

2 2

2

β β γx

2α α4α + = −

[υπολογίζουµε τη δύναµη στο

δεύτερο µέλος]

2 2

2 2

β β 4αγx

2α 4α 4α

+ = − [κάνουµε οµώνυµα τα κλάσµατα]

2 2

2

β β 4αγx

2α 4α

− + = (1) [αφαιρούµε τα κλάσµατα]


αx + βx + γ = 0




Επειδή 24α 0> έχουµε τις εξής περιπτώσεις:

- Αν 2β - 4αγ > 0 , τότε από (1) έχουµε:

2

2

β β 4αγx

2α 4α

−+ = ±

δηλαδή 2

2

β β 4αγx

2α 4α

−= − ± ή

2β 4αγβ

x2α 2α

−= − ±

οπότε έχουµε δύο λύσεις που είναι:

2

1

-β + β - 4αγ

x =2α

,

2

2

-β - β - 4αγ

x =2α

- Αν =2β - 4αγ 0 , τότε από (1) έχουµε :

2β

x 02α

+ =

οπότε β

x 02α

+ = , δηλαδή έχουµε µία λύση τη β

x = -2α

.

- Αν <2β - 4αγ 0 , τότε από (1) έχουµε :

2β

x 02α

+ < , οπό-

τε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Θα λύσουµε την εξίσωση 22x 6x 4 0− + = :

22x 6x 4 0− + = Εδώ είναι

α 2

β 6

γ 4

= = − =

2x 3x 2 0− + = [διαιρούµε µε α = 2 ]

2x 3x 2− = − [µεταφέραµε το γ

= 2α

στο 2ο µέλος]

2 3x 2 x 2

2− ⋅ = − [πολ/µε και διαιρούµε µε 2 το συντε-

λεστή του x]

2 22 3 3 3

x 2 x 22 2 2

− ⋅ + = − [προσθέτουµε και στα 2

µέλη το

2 2β 3

=2α 2

−




1. Η εξίσωση 2αx + βx + γ = 0 είναι εξίσωση 2ου βαθµού όταν ≠α 0 .

2. Το πλήθος λύσεων µιας δευτεροβάθµιας εξίσωσης 2αx + βx + γ = 0

µε ≠α 0 , εξαρτάται από τη διακρίνουσα 2∆ = β - 4αγ .

Ειδικότερα:

- Αν ∆ > 0 , έχουµε δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους:

1

-β + ∆x =

2α,

2

-β - ∆x =

2α

- Αν ∆ = 0 , έχουµε δύο ρίζες ίσες ή όπως αλλιώς λέµε µία διπλή ρίζα που δίνεται

από τον τύπο: -β

x =2α

- Αν <∆ 0 , τότε δεν έχουµε ρίζες στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, δηλαδή


3. Αν κάποιος από τους β, γ είναι 0, τότε µπορούµε πιο εύκολα να τη λύσουµε χωρίς

να χρησιµοποιήσουµε τους τύπους λύσεων που αναφέραµε.

23 9

x 22 4

− = − [το 1ο µέλος είναι ανάπτυγµα τέλειου

τετραγώνου]

23 9 8

x2 4 4

− = − ή

23 1

x2 4

− =

οπότε : 3 1

x2 4

− = ή 3 1

x2 4

− = −

3 1

x2 2

− = ή 3 1

x2 2

− = −

3 1

x 22 2

= + = ή 3 1

x 12 2

= − =

Τον αριθµό 2β - 4αγ τον ονοµάζουµε διακρίνουσα της δευτεροβάθµιας εξί-

σωσης 2αx + βx + γ = 0 µε ≠α 0 και τον συµβολίζουµε µε ∆.




Να λυθούν οι πιο κάτω εξισώσεις:

α. =2x 9 β. + =2x 2 0 γ. =2x 2 δ. − =34x x 0

ε. ( ) ( )+ − + =2 22x 1 4x 3 0 στ. − =4x 25 0 ζ. − =2x 4x 0

η. 24x 12x= θ. ( )= −22x 5x x 3

Λύση

α. 2x 9= β. 2x 2 0+ = γ. 2x 2=

x 9= ή x 9= − 2x 2= − x 2= ή x 2= −x 3= ή x 3= − αδύνατη

δ. 34x x 0− =

( )2x 4x 1 0− =

x 0= ή 24x 1 0− = µπορούµε και µε παραγοντοποίηση

x 0= ή 24x 1= 24x 1 0− =

x 0= ή 2 1

x4

= ( )( )2x 1 2x 1 0− + = [διαφορά τετραγώνων]

x 0= ή 1

x4

= ή 1

x4

= − 2x 1 0− = ή 2x 1 0+ =

2x 1= ή 2x 1= −

x 0= ή 1

x2

= ή 1

x2

= − 1x

2= ή

1x

2= −

ε. ( ) ( )2 22x 1 4x 3 0+ − + =

( )( )2x 1 4x 3 2x 1 4x 3 0+ + + + − − = [διαφορά τετραγώνων]




( )( )6x 4 2x 2 0+ − − = [αναγωγές]

6x 4 0+ = ή 2x 2 0− − =6x 4= − ή 2x 2− =

4x

6= − ή

2x

2=

− άρα

2x

3= − ή x 1= − [απλοποίηση]

στ. 4x 25 0− =

( )22 2x 5 0− =

( )( )2 2x 5 x 5 0− + = [διαφορά τετραγώνων]

2x 5 0− = ή 2x 5 0+ =2x 5= ή 2x 5= − [ 2x 5= − , αδύνατη]

x 5= ή x 5= −

ζ. 2x 4x 0− =

( )x x 4 0− = [κοινός παράγοντας]

x 0= ή x 4 0− =x 0= ή x 4=

η. 24x 12x=24x 12x 0− = [όλα στο 1ο µέλος]

( )4x x 3 0− = [κοινός παράγοντας]

4x 0= ή x 3 0− =

x 0= ή x 3=

θ. ( )22x 5x x 3= −2 22x 5x 15x= − [απαλοιφή παρενθέσεων]

2 22x 5x 15x 0− + = [όλα στο 1ο µέλος]

23x 15x 0− + = [αναγωγές]

( )3x x 5 0− − = [κοινός παράγοντας]

3x 0− = ή x 5 0− =x 0= ή x 5=




Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. − + =2x 4x 3 0 β. − + =22x 10x 12 0

γ. − − − =2x x 1 0 δ. − + =22x 4x 2 0

Λύση

α. 2x 4x 3 0− + = , είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -4 , γ = 3 βρίσκουµε πρώ-

τα τη διακρίνουσα ( )22∆ β 4αγ 4 4 1 3 16 12 4= − = − − ⋅ ⋅ = − = .

Επειδή ∆ = 4 > 0 έχουµε δύο ρίζες άνισες που είναι:

β ∆ 4 4 4 2x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

4 2 6x 3

2 24 2 2

x 12 2

+→ = = =

−→ = = =

οπότε x = 3 ή x = 1 είναι οι λύσεις.

β. 22x 10x 12 0− + =

( )22 x 5x 6 0− + = [εάν βγαίνει κοινός παράγοντας ο συντελεστής του δευτερο-

βάθµιου όρου, τότε τον βγάζω]

2x 5x 6 0− + = , είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -5 , γ = 6 .

Βρίσκουµε πρώτα τη διακρίνουσα ( )22∆ β 4αγ 5 4 1 6 25 24 1= − = − − ⋅ ⋅ = − = .

Επειδή ∆ = 1 > 0 έχουµε δύο ρίζες άνισες που είναι:

β ∆ 5 1 5 1x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

5 1x 3

25 1

x 22

+→ = =

−→ = =

οπότε x = 3 ή x = 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης.

γ. 2x x 1 0− − − =

( )2x x 1 0− + + =

2x x 1 0+ + = , είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = 1 , γ = 1 .

Βρίσκουµε πρώτα τη διακρίνουσα 2 2∆ β 4αγ 1 4 1 1 1 4 3= − = − ⋅ ⋅ = − = − .

Επειδή ∆ = -3 < 0 , η εξίσωση είναι αδύνατη

δ. 22x 4x 2 0− + =




( )22 x 2x 1 0− + = [βγάζουµε κοινό παράγοντα το συντελεστή του δευτεροβάθ-

µιου όρου]


Βρίσκουµε πρώτα τη διακρίνουσα ( )22∆ β 4αγ 2 4 1 1 4 4 0= − = − − ⋅ ⋅ = − =

Επειδή ∆ = 0 η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα που είναι:

β 2 2x 1

2α 2 1 2

−= = = =⋅

.

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. 2 22x 5x x 9 x− = − + β. ( )− + = −2 2x 2 x 2

γ. ( )+ − =22 2x 1 4x 0 δ. ( ) ( )− − − + =2

x 1 4 x 1 3 0

ε. ( ) ( ) ( )− + ⋅ + + ⋅ − =2 2x 7x 12 x x 1 x 1 0 στ. + −− = −

22x 1 2x 2 x1

2 3 6

Λύση

α. 2 22x 5x x 9 x− = − +2 22x 5x x 9 x 0− − + − = [όλα στο 1ο µέλος]


Βρίσκουµε τη διακρίνουσα: ( )22∆ β 4αγ 6 4 1 9 36 36 0= − = − − ⋅ ⋅ = − =

Επειδή ∆ = 0 η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα που είναι:

β 6 6x 3

2α 2 1 2

−= = = =⋅

, άρα x = 3 λύση της εξίσωσης.

β. ( )2 2x 2 x 2− + = −2 2x 4x 4 x 2− + + = − [ταυτότητα]

2 2x 4x 4 x 2 0− + + + = [όλα στο 1ο µέλος]

22x 4x 6 0− + = [αναγωγές]

( )22 x 2x 3 0− + = [κοινός παράγοντας ο συντελεστής του δευτεροβάθµιου]


Βρίσκουµε τη διακρίνουσα: ( )22∆ β 4αγ 2 4 1 3 4 12 8= − = − − ⋅ ⋅ = − = − .

Επειδή ∆ < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη




γ. ( )22 2x 1 4x 0+ − =

4 2 2x 2x 1 4x 0+ + − = [ταυτότητα]

4 2x 2x 1 0− + = [αναγωγές]

Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή και ως διτετράγωνη. Γενικότερα οι διτετράγωνες

έχουν την µορφή 4 2αx + βx + γ = 0 µε α, β, γ πραγµατικούς αριθµούς και ≠α,β 0 . Σ’

αυτές τις εξισώσεις θέτουµε 2x = ω 0≥ και προκύπτει δευτεροβάθµια.

Πράγµατι η εξίωση γίνεται: ( )2 4 2x = ω,x = ω .

2ω 2ω 1 0− + = , είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -2 , γ = 1 .

Βρίσκουµε τη διακρίνουσα: ( )22∆ β 4αγ 2 4 1 1 4 4 0= − = − − ⋅ ⋅ = − = .

Επειδή ∆ = 0 έχει διπλή ρίζα την: β 2 2

ω 12α 2 1 2

−= = = =⋅

.

Εποµένως: 2x 1= , άρα x 1= ή x 1= −δηλαδή x 1= ή x 1= −

δ. ( ) ( )2x 1 4 x 1 3 0− − − + =

Εάν θέσουµε x -1 = ω η εξίσωση γίνεται:

2ω 4ω 3 0− + = , είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -4 , γ = 3 .

Βρίσκουµε τη διακρίνουσα: ( )22∆ β 4αγ 4 4 1 3 16 12 4= − = − − ⋅ ⋅ = − = .

Επειδή ∆ = 4 > 0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες που είναι:

β ∆ 4 4 4 2ω

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

4 2 6ω 3

2 24 2 2

ω 12 2

+→ = = =

−→ = = =

Εποµένως ω 3= ή ω 1= , άρα

x 1 3− = ή x 1 1− = , άρα

x 1 3= + ή x 1 1= + , άρα

x 4= ή x 2= οι λύσεις της εξίσωσης

ε. ( ) ( ) ( )2 2x 7x 12 x x 1 x 1 0− + ⋅ + + ⋅ − =

2x 7x 12 0− + = ή 2x x 1 0+ + = ή x 1 0− = .




Λύνουµε την κάθε µία εξίσωση και έχουµε:

• 2x 7x 12 0− + = , α = 1 , β = -7 , γ = 12

( )22∆ β 4αγ 7 4 1 12 49 48 1= − = − − ⋅ ⋅ = − =

β ∆ 7 1 7 1x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

7 1 84

2 27 1 6

32 2

+→ = =

−→ = =

άρα x = 4 ή x = 3

• 2x x 1 0+ + = , α = 1 , β = 1 , γ = 1

2 2∆ β 4αγ 1 4 1 1 1 4 3 0= − = − ⋅ ⋅ = − = − <

Επειδή ∆ < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη

• x 1 0− = , άρα x = 1

Συνολικά λοιπόν οι λύσεις της αρχικής µας εξίσωσης είναι x = 4 , x = 3 , x = 1 .

στ. 22x 1 2x 2 x

12 3 6

+ −− = −

22x 1 2x 2 x6 6 6 1 6

2 3 6

+ −⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ [πολ/µε µε E.K.Π = 6 ]

( ) ( )23 2x 1 2 2x 6 2 x+ − ⋅ = − − [απλοποίηση]

26x 3 4x 6 2 x+ − = − + [απαλοιφή παρενθέσεων]

26x 3 4x 6 2 x 0+ − − + − = [όλα στο 1ο µέλος]

26x 5x 1 0− − = , α = 6 , β = -5 , γ = -1 [αναγωγές]

( ) ( )22∆ β 4αγ 5 4 6 1 25 24 49= − = − − ⋅ ⋅ − = + = , οπότε

β ∆ 5 49 5 7x

2α 2 6 12

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

5 7 12x 1

12 125 7 2 1

x12 12 6

+→ = = =

− −→ = = = −

άρα x = 1 ή 1

x = -6

Να βρεθούν οι τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η εξίσωση 2x - 2x + 3λ = 0

α. να έχει δύο ρίζες άνισες




β. να έχει διπλή ρίζα

γ. να είναι αδύνατη

Λύση

Η εξίσωση 2x 2x 3λ 0− + = είναι 2ου βαθµού µε α 1= , β 2= − , γ 3λ= .

Βρίσκουµε τη διακρίνουσα ( )22∆ β 4αγ 2 4 1 3λ 4 12λ= − = − − ⋅ ⋅ = − .

α. Για να έχει δύο ρίζες άνισες πρέπει ∆ > 0 , δηλαδή:

4 12λ 0− > ή 4 12λ> ή 4

λ12

> ή 1

λ3

< .

Εποµένως για 1

λ <3

η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.

β. Για να έχει διπλή ρίζα πρέπει ∆ = 0 , δηλαδή:

4 12λ 0− = ή 4 12λ= ή 4

λ12

= ή 1

λ3

= .


λ =3

η εξίσωση έχει διπλή ρίζα.

γ. Για να είναι αδύνατη πρέπει ∆ < 0 , δηλαδή:

4 12λ 0− < ή 4 12λ< ή 4

λ12

< ή 1

λ3

> .


λ >3


Να βρεθεί η τιµή του α, αν η εξίσωση ( )2x - α +1 x -15α = 0 έχει ρίζα το -3 . Στη

συνέχεια να βρεθεί και η άλλη ρίζα της εξίσωσης.

Λύση

• Εφόσον η εξίσωση ( )2x - α +1 x -15α = 0 έχει ρίζα το -3 , θα πρέπει το -3 στη θέση

του x να επαληθεύει την εξίσωση.

Εποµένως: ( ) ( ) ( )23 α 1 3 15α 0− − + ⋅ − − = (όπου x = -3 )

9 3α 3 15α 0+ + − = (πράξεις)

3α 15α 9 3− = − − (χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους)

12α 12− = − (αναγωγές)

12α 1

12

−= =−

(διαιρούµε µε συντελεστή αγνώστου)




Οπότε εάν α = 1 η εξίσωση έχει ρίζα το -3 .

• Για α 1= η εξίσωση ( )2x α 1 x 15α 0− + − = γίνεται:

2x 2x 15 0− − = , είναι 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -2 , γ = -15 .

( ) ( )22∆ β 4αγ 2 4 1 15 4 60 64= − = − − ⋅ ⋅ − = + = . Άρα:

β ∆ 2 64 2 8x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

2 8 10x 5

2 22 8 6

x 32 2

+→ = = =

− −→ = = = −

Άρα x = 5 , x = -3 οι ρίζες της εξίσωσης.

Οπότε η άλλη ρίζα της είναι το 5.

Να βρείτε δύο αριθµούς µε άθροισµα 7 και γινόµενο 12.

Λύση

Έστω ότι x είναι ο ένας αριθµός, τότε ο άλλος θα είναι ο 7 - x , αφού έχουν άθροισµα

7. Επειδή τώρα ο x και ο 7 x− έχουν γινόµενο 12, έχουµε:

( )x 7 x 12⋅ − = ή 27x x 12− = ή 2x 7x 12 0− + − = ή ( )2x 7x 12 0− − + = , οπότε

2x 7x 12 0− + = , µε α 1= , β 7= − , γ 12= . Είναι

( )22∆ β 4αγ 7 4 1 12 49 48 1= − = − − ⋅ ⋅ = − =

β ∆ 7 1 7 1x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

7 1 8x 4

2 27 1 6

x 32 2

+→ = = =

−→ = = =

Εποµένως x 4= ή x 3=• Για x 4= , 7 x 7 4 3− = − =• Για x 3= , 7 x 7 3 4− = − =Οπότε οι δύο αριθµοί είναι οι 4 και 3.

Να βρεθούν δύο αριθµοί µε διαφορά 13 και γινόµενο 264.

Λύση

Έστω x ο ένας αριθµός, τότε ο άλλος θα είναι ο x 13+ , αφού έχουν διαφορά 13. Επειδή

τώρα οι x και x 13+ έχουν γινόµενο 264, έχουµε: ( )x x 13 264⋅ + =2x 13x 264+ = , είναι 2ου βαθµού µε α 1= , β 13= , γ 264= − . Είναι




( )2 2∆ β 4αγ 13 4 1 264 169 1056 1225= − = − ⋅ ⋅ − = + = , οπότε

β ∆ 13 1225 13 35x

2α 2 1 2

− ± − ± − ±= = = =⋅

1

2

13 35 22x 11

2 213 35 48

x 242 2

− +→ = = =

− − −→ = = = −

• Για x 11= , x 13 11 13 24+ = + =• Για x 24= − , x 13 24 13 11+ = − + = −

Άρα οι ζητούµενοι αριθµοί είναι: 11 και 24 ή -11 και -24

Σε ένα ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι µεγαλύτερη από την

κάθετη πλευρά κατά 2. Να βρεθούν η υποτείνουσα και οι κάθετες πλευρές.

Λύση

Εάν x είναι κάθε µία από τις κάθετες πλευρές (είναι ίσες) και x 2+ η υποτείνουσα, αφού

είναι κατά 2 µεγαλύτερη, εφαρµόζοντας το πυθαγόρειο έχουµε:

( )2 2 2x 2 x x+ = +

2 2 2x 4x 4 x x+ + = +2 2 2x 4x 4 x x 0+ + − − =

2x 4x 4 0− + + =

( )2x 4x 4 0− − − = ή 2x 4x 4 0− − = , µε α 1= , β 4= − ,

γ 4= − . Είναι

( ) ( )22∆ β 4αγ 4 4 1 4 16 16 32= − = − − ⋅ ⋅ − = + = οπότε

β ∆ 4 32 4 16 2 4 4 2x

2α 2 1 2 2

− ± ± ± ⋅ ±= = = = =⋅

( ) ( )( ) ( )

1

2

4 1 24 4 2x 2 1 2 2 2 2

2 2

4 1 24 4 2x 2 1 2 0

2 2

++→ = = = ⋅ + = +

−−→ = = = − < (απορρίπτεται διότι x 0> )

Εποµένως x = 2 + 2 2 , είναι η κάθετη πλευρά και x + 2 = 2 + 2 2 + 2 = 4 + 2 2 , είναι

η υποτείνουσα.





α. 2x 5x 0+ = β. 22y 16y 0− = γ. 2 5

ω ω 04

+ =

δ. 2k 4k= ε. 22ρ 4ρ ρ= + στ. 24

µ µ3

= −

2. Οµοίως να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. 2x 1= β. 2y 4= − γ. 2ω 9 0− =

δ. 2k 1 0+ = ε. 24ρ 16 9− = στ. 24µ 36=


α.2x 7x 12 0− + = β. 2y 6y 9 0− + = γ. 23ω 2ω 1 0− + =

δ. 2 24k 3k 3k k 3− = − + ε. 24ρ 1 4ρ+ = − στ. 24µ 7 10µ+ =


α. ( ) ( ) ( )22 x 1 x x 1 2 x 1− = ⋅ − + ⋅ + β. ( ) ( )2y 1 2y 3 2 0+ ⋅ + − =

γ. ( ) ( )2ω 1 2ω ω 1 3− = + + δ. ( ) ( ) ( ) ( )2

2k k 2 2 k 2 k 1 k 1− − − = − ⋅ +

ε. ( ) ( ) ( ) ( )2ρ 2 ρ 2 2ρ ρ 1 ρ 2− ⋅ + + − = −

στ. ( ) ( ) ( ) ( )2 24 ρ 1 4 ρ 2 ρ 3 10 3ρ 2− + + − ⋅ − = − +

5. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α. 2x x 15

4 3 12+ = β.

2y 3 y 1 2y 3

2 3 6

− − += −

γ. ( )22 6ω 1ω 2ω 1 6 14ω

75 10 4

−− + −− = − δ. ( ) ( )2 2k 3 3k 22k 2k 8 5

3 6 9

− ⋅ −− + − =




6. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. ( ) ( )x x 1 x 3 0− ⋅ − = β. ( ) ( )22x 1 x 4 0− ⋅ − =

γ. ( ) ( )24 8x x 8x 0− ⋅ + = δ. ( ) ( )2 24x 4x 1 x 2x 1 0+ + ⋅ − + =

ε. ( ) ( )3 2x x x 6x 8 0− ⋅ − + = στ. ( ) ( )2 24x 4x 1 x 3x 2 0− + ⋅ − + =

ζ. ( ) ( )32x 5 x 9 0− ⋅ − = η. ( ) ( )53x x 2 x 1 0⋅ + ⋅ − =


α. 4 24x 8 5x+ = β. ( )2y 9 49 0− − =

γ. ( ) ( )22 2x 4 12 x 4 36 0− + − + = δ. ( ) ( )2x 3 5 x 3− = − −

ε. ( ) ( )22 2x 1 x 1 2+ = + + στ. x 7 x 12 0− + =

8. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις µε τη µέθοδο συµπλήρωσης τετραγώνου:

α. 2x 13x 36 0− + = β. 2x 2x 5 0− + = γ. 2x 4x 4 0− + =


α. ( )2x 2 1 x 2 0− − − = β. ( )2y 3 2 2 y 4 3 2 0− − + − =

γ. 2x 2x 2 x− = − δ.

2 6 3k k 2 0

3

+− + =

ε. ( )2ρ 3 3 1 ρ+ = +

10. Να βρεθούν οι τιµές του πραγµατικού αριθµού λ για τις οποίες η εξίσωση

22x 6x 8 2λ 0+ + − = είναι αδύνατη.

11. Εάν γνωρίζεται ότι η εξίσωση ( ) ( )2x λ 5 x λ 6 0− + − + = έχει ρίζα τον αριθµό 5, να

βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού λ.

12. Έστω η εξίσωση 2 λx 2x 0

4− + = .




α. Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ ώστε να έχει µία διπλή ρίζα.

β. Για την τιµή του λ που βρήκατε στο α) ερώτηµα να λύσετε την εξίσωση.

13. Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ η εξίσωση 2x 4x λ 1 0− + + = έχει δύο

ρίζες άνισες;

14. Έστω ( ) ( ) ( ) ( )Α 5 3x x 4 3x 5 x 3= − ⋅ + + − ⋅ − και 2B 9x 25= − , να λύσετε τις εξισώ-

σεις: α. A 0= β. B 0=

15. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακεραίους µε άθροισµα τετραγώνων 61.

16. Να βρεθούν δύο διαδοχικοί περιττοί µε άθροισµα τετραγώνων 74.

17. Βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους, για τους οποίους γνωρίζετε ότι το άθροισµα τους

και το γινόµενό τους είναι ίσα.

18. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου έχει περίµετρο 30 m και

εµβαδό 256 m . Να βρεθούν οι διαστάσεις του.

19. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα 10 cm, η µία κάθετη πλευρά είναι µεγαλύτε-

ρη από την άλλη κατά 2 cm. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές του τριγώνου.

20. Το ορθογώνιο τρίγωνο και το τετράγωνο του παρακάτω σχήµατος, έχουν το ίδιο εµβα-

δό. Να υπολογίσετε το x.




Ερώτηση 1

Πότε ένα γινόµενο είναι ίσο µε το µηδέν;

Ερώτηση 2

Η εξίσωση 2kx 3x 2 0− + = είναι 2ου βαθµού;

Ερώτηση 3

Μπορεί µια εξίσωση 2ου βαθµού να έχει περισσότερες από 2 λύσεις;

Ερώτηση 4

Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση 2αx βx γ 0+ + = , α 0≠ , όταν 2β 4αγ= ;

Άσκηση 1

Συµπλήρωσε τα κενά της παρακάτω πρότασης :

Για να λύσουµε µια εξίσωση 2ου βαθµού 2αx βx γ 0+ + = µε α 0≠ πρώτα υπολογί-

ζουµε τη ............................... που είναι ...............................

• Αν αυτή είναι ......................, έχει δύο ρίζες ...................... που είναι 1x = ...............

και 2x = ...............

• Αν αυτή είναι ......................, έχει µία ρίζα ...................... που είναι x = ...............

• Αν αυτή ειναι ......................, τότε η εξίσωση είναι ......................

Άσκηση 2

α. Η εξίσωση 23x x 5= − είναι 2ου βαθµού µε α 3= , β 1= και γ 5= − ;

β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.

Άσκηση 3

Είναι οι αριθµοί 2 και 3 ρίζες της εξίσωσης 2x 5x 6= − − ;


Ποια είναι η κλασµατική εξίσωση;

Αν σε µια εξίσωση υπάρχουν κλάσµατα και σε ένα

τουλάχιστον απ’ αυτά υπάρχει ο άγνωστος στον παρονο-

µαστή, η εξίσωση λέγεται κλασµατική εξίσωση.

Ποια βήµατα ακολουθούµε για να λύσουµε µια κλα-

σµατική εξίσωση;

Όταν θέλουµε να λύσουµε µια κλασµατική εξίσωση

ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα:

1. Βρίσκουµε τις τιµές του αγνώστου που µηδενίζουν τους

παρονοµαστές.

Αυτό γίνεται γιατί σε µια κλασµατική παράσταση ο πα-

ρονοµαστής δεν µπορεί να είναι ίσος µε µηδέν.

2. Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές και βρίσκουµε

το Ε.Κ.Π. αυτών.

3. Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε

το Ε.Κ.Π.

4. Απαλείφουµε τους παρονοµαστές κάνοντας απλοποίη-

ση.

Προσέχουµε µετά την απαλοιφή οι αριθµητές των κλα-

Κλασµατική

εξίσωση


9ÊëáóìáôéêÝò

Åîéóþóåéò

ÊëáóìáôéêÝò

Åîéóþóåéò



Kλασµατικές εξισώσεις

σµάτων να µπαίνουν µέσα σε παρένθεση (αν είναι αθροί-

σµατα ή διαφορές).

5. Λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει µετά την απαλοι-

φή των παρονοµαστών.

Συνήθως η εξίσωση που προκύπτει µετά την απαλοιφή

των παρονοµαστών είναι 1ου βαθµού ή 2ου βαθµού µ’

έναν άγνωστο.

6. Ελέγχουµε αν κάποια από τις λύσεις που βρήκαµε, µη-

δενίζει τους παρονοµαστές στο βήµα 1. Αν τυχόν συµ-

βαίνει αυτό, τότε την απορρίπτουµε.

1. Είναι σηµαντικό για τη σωστή επίλυση µιας κλασµατικής εξίσω-

σης να µην ξεχνάµε, τόσο τους περιορισµούς στην αρχή (τις τιµές

του αγνώστου που µηδενίζουν τους παρονοµαστές), όσο και τον έ-

λεγχο στο τέλος (αν είναι δηλαδή δεκτές όλες οι λύσεις που βρήκα-

µε).

2. Αν όλες οι λύσεις που βρήκαµε εξαιρούνται από τους περιορισµούς, τότε η εξίσω-

ση είναι αδύνατη.

3. Αν βρούµε ότι η εξίσωση είναι αόριστη, τότε η κλασµατική εξίσωση έχει λύσεις

όλες τις πραγµατικές τιµές εκτός απ’ αυτές που έχουν εξαιρεθεί από τους περιο-

ρισµούς.



Κλασµατικές εξισώσεις

Να λυθεί η εξίσωση: + = +−4

5 x 3x 2

Λύση

• Βρίσκουµε πρώτα τους περιορισµούς.

Πρέπει: x 2 0− ≠ δηλαδή ≠x 2 .

• 4

5 x 3x 2

+ = +−

( ) ( ) ( ) ( )4x 2 x 2 5 x 2 x 3

x 2− ⋅ + − ⋅ = − ⋅ +

−[πολ/µε µε το E.K.Π. x 2= − ]

( ) ( ) ( )4 x 2 5 x 2 x 3+ − ⋅ = − ⋅ + [κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών]

24 5x 10 x 3x 2x 6+ − = + − − [πράξεις]

2x 3x 2x 6 4 5x 10 0− − + + + + − = [µεταφέρουµε όλους τους όρους στο 1ο µέλος]

2x 4x 0− + = [κοινός παράγοντας το -x ]

( )x x 4 0− − =

x 0− = ή x 4 0− = δηλαδή x = 0 ή x = 4και οι δύο λύσεις είναι δεκτές, γιατί δεν εξαιρούνται από τους περιορισµούς.

Ένας αριθµός είναι µικρότερος από τον τριπλάσιο του αντιστρόφου του κατά 2. Να

βρεθεί ο αριθµός αυτός και ο αντίστροφός του.

Λύση

Έστω ότι ο αριθµός είναι ο x και µάλιστα ≠x 0 , εφόσον έχει αντίστροφο.

Ο αντίστροφος του αριθµού είναι ο 1x

. Ο τριπλάσιος του αντίστροφου είναι ο ⋅ 1 33 =

x x

Επειδή ο x είναι µικρότερος από τον 3x

κατά 2 έχουµε την εξίσωση :




3x 2

x= − [πολ/µε µε το E.K.Π. = x ]

3x x x x 2

x⋅ = ⋅ − ⋅

2x 3 2x= − [απαλοιφή παρονοµαστή]

2x 2x 3 0+ − = [όλα στο 1ο µέλος]

Είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α 1= , β 2= , γ 3= − και διακρίνουσα

( )2 2∆ β 4αγ 2 4 1 3 4 12 16= − = − ⋅ ⋅ − = + = .

άρα β ∆ 2 16 2 4

x2α 2 1 2

− ± − ± − ±= = = =⋅

1

2

2 4 2x 1

2 22 4 6

x 32 2

− +→ = = =

− − −→ = = = −

Εποµένως ο αριθµός µπορεί να είναι το 1 ή το 3− και ο αντίστροφός του αντίστοιχα το

1 ή το 13

− .

Να λυθεί εξίσωση: 1 2 - x

=x x +1

Λύση

• Βρίσκουµε πρώτα τους περιορισµούς. Πρέπει: x 0≠ και x 1 0+ ≠ ή x 1≠ −Άρα έχουµε : ≠x 0 και ≠x -1 .

• Όταν έχουµε ισότητα δυο κλασµάτων πολλαπλασιάζουµε “χιαστί”.∆ηλαδή

1 2 x

x x 1

−=+

ή ( )x 1 x 2 x+ = −

2x 1 2x x+ = − [επιµεριστική]

2x 2x x 1 0− + + = [όλα στο 1ο µέλος]

2x x 1 0− + = [αναγωγές]

Έχουµε εξίσωση 2ου βαθµού µε α = 1 , β = -1 , γ = 1

( )22∆ β 4αγ 1 4 1 1 1 4 3= − = − − ⋅ ⋅ = − = −

Επειδή ∆ < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη, οπότε και η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη.




Να λύθεί η εξίσωση: 2

2

x 2 x - 4x + 2+ =

x -1 2 - x x - 3x + 2

Λύση

• Βρίσκουµε πρώτα τους περιορισµούς

Πρέπει: x 1 0− ≠ , άρα x 1≠ και

2 x 0− ≠ , άρα 2 x≠ και

2x 3x 2 0− + ≠ ή ( )( )x 2 x 1 0− − ≠ , δηλαδή x 2≠ και x 1≠ .

• ( ) ( )2x 2 x 4x 2

x 1 2 x x 2 x 1

− ++ =− − − ⋅ −

ή ( ) ( )2x 2 x 4x 2

x 1 x 2 x 2 x 1

− +− =− − − ⋅ −

Πολλαπλασιάζουµε µε το ( )( )E.K.Π. x 2 x 1= − − και έχουµε :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 2 x 4x 2

x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1x 1 x 2 x 2 x 1

− +− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ −− − − ⋅ −

( ) ( ) ( )2x x 2 x 1 2 x 4x 2⋅ − − − ⋅ = − + [απλοποίηση]

2 2x 2x 2x 2 x 4x 2− − + = − + [πράξεις]

2 2x 2x 2x 2 x 4x 2 0− − + − + − = [όλα στο 1ο µέλος]

0 x 0⋅ = , η οποία είναι αόριστη

Οπότε η αρχική εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιµή του x εκτός από x = 2 και x = 1(βλέπε περιορισµούς)

Να λυθεί η εξίσωση: 2 2

1 2 x - 6+ =

x x - x x - 4x + 3

Λύση

Πρέπει: x 0≠ και

2x x 0− ≠ , άρα ( )x x 1 0− ≠ , δηλ. x 0≠ και x 1≠ και

2x 4x 3 0− + ≠ ή ( )( )x 1 x 3 0− − ≠ δηλ. x 3≠ και x 1≠ .

• Γράφουµε την εξίσωση µε παραγοντοποιηµένους τους παρονοµαστές και πολ/µε µε

το ( )( )⋅E.K.Π. = x x -1 x - 3 .

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 x 6

x x 1 x 3 x x 1 x 3 x x 1 x 3x x x 1 x 1 x 3

−⋅ − − ⋅ + ⋅ − − = ⋅ − − ⋅⋅ − − −

( )( ) ( ) ( )x 1 x 3 x 3 2 x x 6− − + − ⋅ = ⋅ − [απλοποίηση]




2 2x 3x x 3 2x 6 x 6x− − + + − = − [απαλοιφή παρενθέσεων]

2 2x 3x x 3 2x 6 x 6x 0− − + + − − + = [τα µεταφέρουµε όλα στο 1ο µέλος]

4x 3 0− = , άρα 4x 3= , άρα 3

x4

=

η λύση είναι δεκτή, αφού δεν εξαιρείται από τους περιορισµούς.

Να λυθεί η εξίσωση: 2

2 4 1- =

x - 2 x + 2x - 4

Λύση


Πρέπει: x 2 0− ≠ , άρα x 2≠ και

x 2 0+ ≠ , άρα x 2≠ − και

2x 4 0− ≠ , άρα 2x 4≠ , άρα x 2≠ και x 2≠ −

• 2

2 4 1

x 2 x 2x 4− =

− +−[πολ/µε µε το ( )( )E.K.Π. = x + 2 x - 2 ]

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 4 1x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 2 x 2+ − ⋅ − + − ⋅ = + −

− + − +

( )x 2 2 4 x 2+ ⋅ − = − [κάναµε απλοποίηση]

2x 4 4 x 2+ − = − [επιµεριστική]

2x x 2= − [πράξεις]

2x x 2− = − [χωρίσαµε γνωστούς από αγνώστους]

x 2= − [αναγωγές]

Η λύση δεν είναι δεκτή γιατί απορρίπτεται από τους περιορισµούς ( ≠x 2 και ≠x -2 ).

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

Κάποιος παραγωγός υπολόγισε να εισπράξει από την πώληση του προϊόντος του στη

λαϊκή 450 €. Στο δρόµο για τη λαϊκή του έπεσαν 5 κλούβες από το φορτηγό του, µε

αποτέλεσµα να καταστραφούν 50 κιλά προϊόντος. Για να µπορέσει λοιπόν να εισπρά-

ξει το ποσό που είχε υπολογίσει αρχικά, αναγκάστηκε να αυξήσει την τιµή του προ-

ϊόντος κατά 0,3 € το κιλό. Να βρείτε πόσα κιλά προϊόντος υπήρχαν στο φορτηγό.

Λύση

Έστω ότι το προϊόν ήταν αρχικά x κιλά. Αν πουλούσε όλο το προϊόν στην αγορά και

εισέπραττε 450 €, τότε το κάθε κιλό θα κόστιζε 450

x €. Τελικά όµως αυτά που πούλησε




στην αγορά ήταν x 50− κιλά προϊόντος και εισέπραξε 450 €, άρα το κάθε κιλό πούλησε

450

x 50−. Η διαφορά στην τιµή που είχε υπολογίσει αρχικά και την τελική ήταν 0,3 € ή

3

10 €.

Εποµένως έχουµε: 450 450 3

x 50 x 10− =

−


Πρέπει: x 50≠ και x 0≠ , καθώς επίσης x 0> εφόσον είναι κιλά.

• Πολ/µε µε το ( )E.K.Π. = 10x x - 50 και έχουµε:

( ) ( ) ( )450 450 310x x 50 10x x 50 10x x 50

x 50 x 10⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

−

( ) ( )10x 450 10 x 50 450 x x 50 3⋅ − − = ⋅ − ⋅ [απλοποίηση]

24500x 4500x 225000 3x 150x− + = − [πράξεις]

23x 150x 4500x 4500x 225000 0− + + − + = [όλα στο 1ο µέλος]

23x 150x 225000 0− + + = [διαιρούµε µε -3 ]

2x 50x 75000 0− − =Είναι εξίσωση 2ου βαθµού µε α 1= , β 50= − , γ 75000= − .

( ) ( )22∆ β 4αγ 50 4 1 75000 2500 300000 302500= − = − − ⋅ ⋅ − = + =

β ∆ 50 302500 50 550x

2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

1

2

50 550x 300

250 550

x 2502

+→ = =

−→ = = −

άρα x 300= ή x 250= − (απορρίπτεται επειδή x είναι κιλά και δεν µπορεί να είναι

αρνητικός αριθµός). Άρα ο παραγωγός είχε αρχικά 300 κιλά προϊόντος.

∆ύο ποδηλάτες ξεκίνησαν ταυτόχρονα από το Μαραθώνα και κατευθύνθηκαν προς

το Παναθηναϊκό Στάδιο, καλύπτοντας απόσταση 40 Km. Ο ένας έφθασε στο Πανα-

θηναϊκό Στάδιο ένα τέταρτο νωρίτερα. ∆εδοµένου ότι ο πιο γρήγορος ποδηλάτης

πήγαινε µε 10 Km/h γρηγορότερα, να βρεθούν οι ταχύτητες τους. (Θεωρούµε ότι οι

ταχύτητες είναι σταθερές).

Λύση

Έστω x Km/h η ταχύτητα του πρώτου ποδηλάτη, τότε η ταχύτητα του δεύτερου ποδη-




λάτη θα είναι ( )x 10 Km / h− .

Γνωρίζοντας ότι: ( )διάστηµα ταχύτητα χρόνος S υ t= ⋅ = ⋅

ο χρόνος που χρειάστηκε ο πρώτος ποδηλάτης είναι 40

hx

, ενώ ο χρόνος που χρειάστη-

κε ο δεύτερος είναι 40

hx 10−

. Έχοντας το δεδοµένο ότι ο πρώτος έφθασε 1

h4

γρηγορό-

τερα έχουµε: 40 40 1

x x 10 4= −

−.

Πρέπει: x 0≠ και x 10≠ , και x 0> εφόσον το x παριστάνει το µέτρο της ταχύτητας

• Πολ/µε µε το ( )E.K.Π. = 4x x -10 και έχουµε:

( ) ( ) ( )40 40 14x x 10 4x x 10 4x x 10

x x 10 4⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

−

( ) ( )4 x 10 40 4x 40 x x 10− ⋅ = ⋅ − − [απλοποίηση]

2160x 1600 160x x 10x− = − + [απαλοιφή παρενθέσεων]

2160x 1600 160x x 10x 0− − + − = [όλα στο 1ο µέλος]

2x 10x 1600 0− − = [αναγωγές]

Εξίσωση 2ου βαθµού µε α 1= , β 10= − , γ 1600= − και διακρίνουσα

( ) ( )22∆ β 4αγ 10 4 1 1600 100 6400 6500= − = − − ⋅ ⋅ − = + =

Εποµένως β ∆ 10 6500 10 80,6

x2α 2 1 2

− ± ± ±= = = =⋅

10 80,645,3

210 80,6

35,32

+→ =

−→ = −

Άρα x 45,3Km / h= ή x 35,3Km / h= − (απορρίπτεται διότι x 0> )

Οπότε η ταχύτητα του πρώτου ήταν περίπου 45,3 Km/h και του δεύτερου 35,3 Km/h.




1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α. 5 1

x 8 x 8=

+ −β.

8 5y 5y

y y 2

+ =−

γ. 3 3ω 2

ω 2 ω

+=+


α. 2 3

3x x 2

+ =+

β. y 2

y 0y 4 y 4

+ + =− −

γ. 1 1 7

ω ω 1 12+ =

−δ.

1 20

t 3 1 t+ =

− −


α. 2

2x 2 3x 1 8

x 2 x 2 x 4

− −+ =+ − −

β. 2

2

y 3 y 250

5 y y 5 25 y

++ − =− + −

γ. 2

6 7 48

ω 4 ω 4 ω 16− =

− + −δ.

2

t 64

t 1 t 1+ =

− −

ε. 2

12 8 2 33ρ0

3ρ 2 3ρ 2 4 9ρ

−− − =− + −


α. 2

x 2 4 8

x x 2 x 2x

− + =− −

β. 2

2y 21

y 1y y= −

++

γ. 2

ω 2 ω 3 4

ω ω 4 ω 4ω

+ += −+ +

δ. 2

3 2 t 4

t 2 t t 2t

−= ++ +

5. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

α. ( )

2

2 x 1 x 34

x 2 x 3 x 5x 6

−+ = +

− − − +β.

2

y 1 y y 1

y 2 y 1 y y 2

− += +− + − −




γ. 2

2ω 1 1 7ω 71

ω 3 1 ω ω 4ω 3

+ −+ − =− − − +

δ. 2

t 2 t

t 4 t 3t 7t 12+ =

− −− +ε.

2

1 ρ 1 1

2ρ 4 ρ 1ρ 3ρ 2

+= ++ ++ +


α. ( )2

3x 64

x 6 x 6= +

+ +β.

( )2

4y 145

y 4 y 4− =

− −

γ. 2

3 2

2ω 3 2ω ω 6 5ω 32

ω ω ω

− − − −− = −


α. 2

x 1 2 2x 1

x 2 2x 2x x 2

+ −= −− +− −

β. 2 2 2

1 3y 10

y 4 y y 2 y 3y 2+ + =

− + − − +

γ. 2 3 2 2

3 2ω 5 4

ω 3ω 4 ω 2ω ω ω 4ω

+= +− − + + −

8. Εάν 2

4x 12Α

x 6x 9

−=− +

και 2

2

x 2x 15B

x 9

− −=−

, να λύσετε την εξίσωση B A 0− = .

9. Να εξετάσετε εάν οι εξισώσεις 2x 1 2x− = και 1 1

1 0x 1 x 1

− + =− +

έχουν τις ίδιες

λύσεις.

10. Εάν γνωρίζετε ότι A

1B

= , µε ( ) ( )2 2A x 3 x 3= − − + και 2B 3x 2x= − , να υπολο-

γίσετε το x.


α.

2x 1 x 1

4 3 0x 1 x 1

+ + − + = − − β.

23 3

y 2 yy y

− = + −




12. Να βρείτε δύο αριθµούς, εάν γνωρίζετε ότι έχουν διαφορά 1 ενώ οι αντίστροφοί

τους έχουν άθροισµα 7

12.

13. Έστω η εξίσωση 2 2x 2αx α 0− + = . Eάν γνωρίζετε πως η ρίζα της παραπάνω εξί-

σωσης και ο αντίστροφός της έχουν άθροισµα 5

2, να βρείτε την τιµή του α.

14. Μια δεξαµενή αδειάζει µε τη βοήθεια δύο βρυσών. Να βρεθεί σε πόσο χρόνο αδειάζει

η κάθε µία βρύση τη δεξαµενή, αν είναι γνωστό πως αν είναι ανοικτές και οι δύο τότε

την αδειάζουν σε 18 ώρες, ενώ µόνη της η µια βρύση χρειάζεται 27 ώρες λιγότερες, από

τις ώρες που χρειάζεται µόνη της η άλλη βρύση, για να την αδειάσει.

15. Ένα υπεραστικό λεωφορείο εκτελεί το δροµολόγιο Αθήνα - Σπάρτη. Ο οδηγός µαθαί-

νει πως αν αυξήσει τη ταχύτητά του κατά 14 Km / h, τότε θα διανύσει την απόσταση σε

1/2 ώρες γρηγορότερα. Να βρείτε την ταχύτητα του λεωφορείου, εάν γνωρίζεται ότι η

απόσταση Αθήνα - Σπάρτη είναι 210 Km.




Ερώτηση 1

Ποια εξίσωση λέγεται κλασµατική;

Ερώτηση 2

α. Ποια βήµατα ακολουθούµε για να λύσουµε µια κλασµατική εξίσωση;

β. Ποιος περιορισµός είναι απαραίτητος σε µια κλασµατική εξίσωση και γιατί;

Άσκηση 1

Οι εξισώσεις 2

1 1 12

x 3 x 3 x 9+ =

+ − − και ( ) ( )x 3 x 3 12+ + − = έχουν ακριβώς τις ίδιες

λύσεις;

Άσκηση 2

Να λυθεί η εξίσωση :

2

x 1 1 x

x 2 x 3x 5x 6

− = −− −− +

Άσκηση 3

Να λυθεί η εξίσωση :

( )2 2

2 2 1 3

y 1 y y y 1− = −

+ +



Ç Ýííïéá ôçò óõíáñôÞóçò


Ïé óõíáñôÞóåéò y = αx êáé y = αx + β


Ïé óõíáñôÞóåéò 2y = αx , 2y = αx + βx + γ , α

y =x




10Ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçòÇ Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

Tι είναι συνάρτηση;

Συνάρτηση είναι µια διαδικασία µε την οποία σε κάθε

τιµή της µεταβλητής x αντιστοιχίζεται µια µόνο τιµή της

µεταβλητής y.

Παραδείγµατα σχετικά µε την διαδικασία αντιστοίχισης:

1. Αν σε κάθε αριθµό διάφορο του µηδενός αντιστοιχίσου-

µε τον αντίστροφό του έχουµε τη συνάρτηση 1

yx

= .

Μπορούµε να γράφουµε και ( ) 1f x

x= αντί για

1y

x= .

2. Αν σε κάθε αριθµό αντιστοιχίσουµε το τετράγωνο του

τότε έχουµε τη συνάρτηση ( ) 2f x x= .

Τι είναι τιµή της συνάρτησης;

Το αποτέλεσµα που προκύπτει όταν στον τύπο µιας

συνάρτησης θέσουµε όπου x κάποιο συγκεκριµένο αριθµό

κ, λέγεται τιµή της συνάρτησης όταν x είναι κ και συµβολί-

ζεται µε ( )f κ .

π.χ. Αν έχουµε την ( ) 2f x 3x 2= − . Η τιµή όταν x 4= είναι

( ) 2f 4 3·4 2 3·16 2 46= − = − = .

Η ισότητα ( )y f x= λέγεται εξίσωση της συνάρτησης. Η παράσταση ( )f x

είναι ο τύπος της συνάρτησης. Το x ονοµάζεται ανεξάρτητη µεταβλητή και το y

εξαρτηµένη µεταβλητή.


148. Συναρτήσεις

Η έννοια της συνάρτησης

Tι είναι η γραφική παράσταση συνάρτησης;

Είναι το σύνολο των σηµείων του καρτεσιανού επιπέ-

δου που έχουν τετµηµένη x και τεταγµένη ( )f x . ∆ηλαδή τα

σηµεία που εκφράζονται από τα ζεύγη της µορφής

( )( )x, f x . Στο προηγούµενο παράδειγµα το σηµείο

Κ ( )4, 46 είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της f.

Πίνακας τιµών.

Παράδειγµα: Να γίνει η γραφική παράσταση της

( ) 3f x 2x= . Πρώτα κάνουµε τον πίνακα των τιµών.

Πώς ελέγχουµε αν ένα σηµείο ( )0 0A x ,y ανήκει

στην γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f;

Βρίσκουµε την αριθµητική τιµή στο x0 δηλαδή το

( )0f x .

• Για να σχεδιάσουµε τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης βρίσκουµε

µερικά από τα σηµεία της και στη συνέχεια τα ενώνουµε µε µια συνεχή γραµµή. Στην

εύρεση των σηµείων µας διευκολύνει ο πίνακας τιµών.

• Όσο περισσότερα σηµεία έχουµε στη διάθεσή µας τόσο πιο ακριβής θα είναι η

γραφική παράσταση.

x

y=f(x)

–3

–54

–2

–16

–1 2

–2 16

(2, 16)

0 3

0 54

(3, 54)

1

2

(1, 2)(x, f(x)) (–3, –54) (–2, –16) (–1, –2) (0, 0)

(0,0)

(-2,-16)

(2,16)

(-1,-2)

(1,2)


149.Συναρτήσεις


Αν ( )0 0f x y= τότε το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της f.

Αν ( )0 0f x y≠ τότε το Α δεν ανήκει στην γραφική παρά-

σταση της f.

π.χ. Το σηµείο ( )Β 2,1 δεν ανήκει στην γραφική παράστα-

ση της ( ) 2f x x 2x= − , αφού ( ) 2f 2 2 2·2 0 1= − = ≠ .

Πώς βρίσκουµε το σηµείο που τέµνει η γραφική

παράσταση της f τον άξονα y΄y;

Αυτό το σηµείο θα έχει τετµηµένη 0, άρα τεταγµένη

( )f 0 . Το σηµείο είναι ( )( )0, f 0 .

π.χ. Αν ( ) 2f x x 5x 4= + + τότε σηµείο που η γραφική της

παράσταση τέµνει τον y΄y είναι το ( )( )0, f 0 4= .

Πώς βρίσκουµε τα σηµεία που τέµνει η γραφική

παράσταση της f τον άξονα x΄x;

Στο σχήµα βλέπουµε ότι κάποια συνάρτηση τέµνει

τον x΄x σε τρία σηµεία Α, Β, Γ και τα τρία σηµεία έχουν

τεταγµένη 0. ∆ηλαδή θα είναι ( )1f x 0= και ( )2f x 0= και

( )3f x 0= .


Να βρεθούν τα σηµεία που η γραφική παράσταση της

( ) ( )( )( )f x x 1 x 1 x 2= + − − τέµνει τους άξονες x΄x και y΄y.

Λύση

• Αν µια συνάρτηση δεν ορίζεται στο x 0= τότε δεν θα τέµνει τον y΄y.

(0, f(0))

x

y

• Γενικά βρίσκουµε τα σηµεία της γραφικής παράστασης που έχουν τεταγµένη 0.

Αυτό προκύπτει από την λύση της εξίσωσης ( )f x 0= .

A(x , f(x ))1

1

B(x , f(x ))2

2

Ã(x , f(x ))3

3

x

y




Είναι ( ) ( )( )f 0 1 1 2 2= − − = . Άρα τέµνει τον y΄y στο σηµείο

( )0,2 .

Λύνουµε την εξίσωση ( )f x 0= ή ( )( )( )x 1 x 1 x 2 0+ − − =

x 1 0+ = ή x 1 0− = ή x 2 0= =x 1= − ή x 1= ή x 2= .

Άρα τα σηµεία είναι ( )A 1,0− , ( )B 1,0 , ( )Γ 2,0 .

Πώς βρίσκουµε τα κοινά σηµεία των γραφικών

παραστάσεων δύο συναρτήσεων ( )y = f x και ( )y = g x ;

Το κοινό σηµείο ( )A α, y αφού είναι σηµείο της γρα-

φικής παράστασης της f έχει τεταγµένη ( )y f α= . Είναι

όµως και σηµείο της γραφικής παράστασης της g ,οπότε

θα είναι και ( )y g α= . Άρα θα είναι ( ) ( )f α g α= .

Για την εύρεση των κοινών σηµείων λύνουµε την εξίσωση

( ) ( )f x g x= κι έτσι βρίσκουµε τις τετµηµένες των κοινών

σηµείων τους.


Να βρεθούν το κοινά σηµεία της ( ) 2f x x= µε την ( )g x x=Λύση

Λύνουµε την εξίσωση ( ) ( )f x g x=2x x 0− =

( )x x 1 0− =

x 0= ή x 1= .

Βλέπουµε ( ) ( )f 0 g 0 0= = και ( ) ( )f 1 g 1 1= = . Άρα τα κοι-

νά τους σηµεία είναι τα ( )0,0 και ( )1,1 .

A( y)á,

f(x)

g(x)

y

x

y´

x´ 0

y

x

y´

x´ 0




Έστω ( )3x - 8

f x =x +1

. Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης όταν x = 0, x = 1 και x = 2 .

Λύση

Η τιµή της f στο 0 είναι ( ) 0 8f 0 8

0 1

−= = −+

.

Η τιµή της f στο 1 είναι ( )31 8 7

f 11 1 2

−= = −+

.

Η τιµή της f στο 2 είναι ( )32 8 0

f 2 02 1 3

−= = =+

.

Έστω ( ) 21S t = αt

2. Να βρεθεί η τιµή της συνάρτησης όταν t = 3 .

Λύση

( ) 21 9αS 3 α3

2 2= =

Αν ( ) 2f h = 3x + 2h -10 , να βρεθεί το ( )f 5 .

Λύση

( ) 2f 5 3x 2·5 10= + − και ( ) 2f 5 3x=

Η συνάρτηση ( ) 2f x = 2x - 5 παίρνει τιµή y = 195 ;

Λύση

Έχουµε: ( )2

y f x

195 2x 5

=

= −

Εδώ η ανεξάρτητη µε-

ταβλητή εκφράζεται µε

το t.

Ανεξάρτητη µεταβλητή είναι το

h. Το x που εµφανίζεται στο

τύπο είναι σταθερά.




2

2

2x 200

x 100

x 10

==

= ±

Πράγµατι παίρνει την τιµή 195 όταν x 10= ή x 10= − .

∆ηλαδή είναι ( )f 10 195= και ( )f 10 195− = .

Έχουµε τη συνάρτηση µε τύπο ( ) 3x -1f x =

x - 4. Για ποιές τιµές του x ορίζεται η f;

Λύση

Παρατηρούµε ότι ο παρονοµαστής x 4− µηδενίζεται όταν x 4= . Άρα η f ορίζεται για

x 4≠ .

Για ποιές τιµές του x ορίζεται η συνάρτηση µε τύπο ( )g x = 5 - x ;

Λύση

Γνωρίζουµε ότι για να ορίζεται η α πρέπει α 0≥ . Έτσι αναζητούµε τα x για τα οποία

η υπόρριζη παράσταση είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός.

Πρέπει 5 x 0 ή x 5− ≥ ≤ . Άρα η g ορίζεται για τα x που είναι µικρότερα ή ίσα του 5.

Υπάρχει συνάρτηση που διέρχεται από τα σηµεία ( )A 1,8 και ( )B 1,10 ;

Λύση

Όχι γιατί το x 1= απεικονίζεται στο 8 και στο 10.

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) 5f x = 3x + λx διέρχεται από το σηµείο

( )A 1,7 να βρείτε το λ.

Λύση

Αφού διέρχεται απο το ( )A 1,7 θα ισχύει: ( )5

f 1 7

3·1 λ·1 7

λ 4

=

+ ==

Αν η εξίσωση ( )y f x= έχει λύση ως

προς x τότε η f παίρνει την τιµή y.




Οι θερµοκρασία στα διάφορα στρώµατα της ατµόσφαιρας δεν µεταβάλλονται κανο-

νικά όταν µεταβάλλεται το ύψος. Οι δύο µεταβλητές είναι το ύψος h και η θερµο-

κρασία θ. Έχουµε µια συνάρτηση θ(h) που περιγράφει το φαινόµενο αυτό και έχει

την παρακάτω γραφική παράσταση.

Με την βοήθεια της παράστασης αυτής να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήµατα:

α. Ποιά είναι η θερµοκρασία σε ύψος 10km;

β. Ποια είναι η ελάχιστη θερµοκρασία της ατµόσφαιρας σε ποιο ύψος παρατηρείται;

γ. Σε ποιό στρώµα της ατµόσφαιρας η θερµοκρασία αυξάνεται συνεχώς;

δ. Σε ποιά σηµεία της ατµόσφαιρας η θερµοκρασία είναι µηδέν;

ε. Ποια είναι η ελάχιστη θερµοκρασία που παρατηρείται στην περιοχή της τροπόσφαιρας;

στ. Σε ποιες περιοχές της ατµόσφαιρας η θερµοκρασία είναι υπο του µηδενός;

0

20

–20

–40

–50–54

–60

–70–74

–80

1012

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

ôñïð

üó

öá

éñá

óôñá

ôüó

öá

éñá

èåñì

ïê

ñá

óßá

åó

üó

öá

éñá

èåñì

üó

öá

éñá

(Km)

A

B

Ã

÷éëéüìåôñá

Από τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησεις παίρνουµε όλες τις πληρο-

φορίες που µας ενδιαφέρουν.

• Αν έχει ελάχιστη ή µέγιστη τιµή και ποια.

• Αν σε κάποιο διάστηµα αυξάνει συνεχώς ή µειώνεται.

• Αν και που µηδενίζεται.

• Σε ποια διαστήµατα παίρνει θετικές ή αρνητικές τιµές.




Λύση

Στον x΄x είναι οι τιµές του ύψους και στον y΄y οι τιµές της θερµοκρασίας.

α. Φέρνουµε κάθετη στον x΄x στο σηµείο 10 και βλέπουµε ότι τέµνει τον y΄y στο –50.

Άρα η θερµοκρασία στο 10Km είναι –50. Γράφουµε ( )h 10 50= − .

β. Από την γραφική παράσταση βλέπουµε ότι το σηµείο Γ είναι αυτό που έχει την πιο

µικρή τεταγµένη. Το προβάλλουµε στον x΄x και βρίσκουµε το ύψος h 90= . Το

προβάλλουµε στον y΄y και βρίσκουµε την ελάχιστη θερµοκρασία ( )h 90 74= − .

γ. Συνεχής αύξηση παρατηρείται µόνο στην στρατόσφαιρα.

δ. Η θερµοκρασία είναι 0 στις τετµηµένες των σηµείων που η γραφική παράσταση

τέµνει τον x΄x. Κι αυτά είναι h 2, h 57, h 112= = = .

ε. Η περιοχή της τροπόσφαιρας είναι µεταξύ του 0 και 18Km και σ’αυτό το διάστηµα το

σηµείο Β έχει τη µικρότερη τεταγµένη y 54= − .

στ. Τονίζουµε τα σηµεία της γραφικής παράστασης που είναι κάτω από τον x΄x και

εντοπίζουµε τις τετµηµένες αυτών των σηµείων. Η θ παίρνει αρνητικές τιµές όταν το

ύψος h είναι: 2 h 45< < και όταν 57 h 110< < .

Θεωρούµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η πλευρά του είναι x

α. Να εκφράσετε το εµβαδόν του ως συνάρτηση του x

β. Να βρείτε την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου αν γνωρίζετε ότι έχει εµβαδόν

E = 25 3 .

Λύση

Έστω Α∆ το ύψος του ΑΒΓ τότε: BΓ·Α∆

E2

= η πλευρά

ΒΓ είναι x. Πρέπει να εκφράσουµε το Α∆ συναρτήσει του

x. Το τρίγωνο Α∆Β είναι ορθογώνιο ( )0∆ 90= . Από το

πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε:2

2 2 2 2Β∆ xΑΒ Α∆ ή x A∆ ή

2 2 = + = +

22 2 x

Α∆ x4

= −

2 22 4x x

Α∆4

−=

22 3x

Α∆4

=

( )2 2 23x 3x 3 x 3

A∆ x , x 04 24 4

= = = = >

Έκφραση ενός µεγέθους y ως

συνάρτηση ενός άλλου µεγέ-

θους x.




1. Έχουµε την συνάρτηση ( ) 2f x 3x 1= − + .

α. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών.

β. Να κάνετε την γραφική της παράσταση.

2. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράστα-

ση µια συνάρτηση f.

α. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 0=β. Να εξετάσετε αν έχει ελάχιστη τιµή;

γ. Παίρνει η συνάρτηση την τιµή – 4.

δ. Πόσες φορές η συνάρτηση παίρνει την τιµή – 2.

3. Αν η συνάρτηση ( ) 3f x 2x αx= − διέρχεται από το σηµείο ( )A 1,5− να βρείτε το α.

4. Η γραφική παράσταση την συνάρτησης ( ) 2f x 3x 2x 1= − −

α. Σε ποια σηµεία τέµνει τον y΄y.

β. Σε ποια σηµεία τέµνει τον x΄x.

5. Ποια είναι τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων 2y x= και y 2 x= − .

6. Μια καµπύλη που διέρχεται από τα σηµεία ( )A 1,2 και ( )B 1, 3− µπορεί να είναι

γραφική παράσταση συνάρτησης;

2

x

y

–2–4 4

–3




7. Τα κέρδη µιας επιχείρησης σε x, χρόνια δίνονται από τον τύπο ( ) 3K x x 4x= −

εκατοµµύρια €. Να βρείτε τις τιµές ( ) ( ) ( )K 1 , K 2 , K 3 . Πώς ερµηνεύεται τις προϋ-

γούµενες τιµές;




Ερώτηση 1

Χαρακτηρίστε µε σωστό ή λάθος τις προτάσεις που ακολουθούν:

α. Αν ( )f x 3x 8= − τότε ( )f 2 2=

β. Αν ( ) 3f x x 5x 2003= − + τότε η γραφική παράσταση της f τέµνει τον y΄y στο

σηµείο ( )0,2003 .

γ. Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία

( )A 3,7 , ( )B 3,7−δ. Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα

( ) ( )Γ 1,5 ,∆ 1,0 .

ε. Η ( ) ( )( )( )f x x x 1 x 2 x 3= − − − τέµνει τον x΄x σε 4 σηµεία.

Ερώτηση 2

α. ( ) 8 7f x x 31x 42x 1821x= + + + διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

β. Υπάρχει συνάρτηση που τέµνει τον y΄y σε δύο σηµεία.

γ. Αν ( ) ( )f x g x≠ για κάθε πραγµατικό αριθµό x τότε οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων δεν τέµνονται.

δ. Αν η ( )f x έχει ελάχιστη τιµή το 3 τότε η ( )f x 2= είναι αδύνατη.

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα είναι η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f.

α. Να βρείτε τις παρακάτω τιµές

( ) ( ) ( ) ( )f 0 , f 1 , f 2 , f 5−β. Να βρείτε την ελάχιστη και την µέγιστη τιµή της.

2

–2

–1

4 53

2




γ. Για ποια x η f παίρνει µόνο θετικές τιµές.

Άσκηση 2

∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο ( ) 2f x x 4x 3− +α. Να βρείτε που τέµνει τον y΄y.

β. Να βρείτε που τέµνει τον x΄x.

γ. Να δείξετε ότι ( ) ( )f 1 f 5− = .

Άσκηση 3

Αν η γραφική παράσταση της ( ) 3 2f x x λx 2λx 1= − + − διέρχεται από το σηµείο

( )A 1,10− να βρείτε την τιµή του λ.



11Ïé óõíáñôÞóåéò á êáé á + ây= x y = xÏé óõíáñôÞóåéò á êáé á + ây= x y = x

Τι πρέπει να γνωρίζουµε για την συνάρτηση y = αx .

• Η y αx= έχει γραφική παράσταση που είναι ευθεία

και διέρχεται από την αρχή των αξόνων ( )Ο 0,0 .

• Για να σχεδιάσουµε την y αx= ,αφού είναι ευθεία µας

αρκούν δύο σηµεία. Το ένα όµως (το προφανές) είναι το

( )Ο 0,0 , οπότε θέλουµε άλλο ένα σηµείο.

• Από την y αx= για x 0≠ ,προκύπτει y

αx

= . ∆ηλαδή ο

λόγος y

x είναι σταθερός και ίσος µε α. Αυτό σηµαίνει ότι

τα ποσά y, x είναι ανάλογα.

• Γεωµετρικά σηµαίνει ότι η εφαπτοµένη της γωνίας ω που

σχηµατίζει η ευθεία µε τον x΄x είναι ίση µε α.

ΜΚ ΟΛ yεφω

ΟΚ ΟΚ xεφω α

yα

x

= = = ==

Ο χαρακτηριστικός αριθµός α λέγεται συντελεστής διεύθυνσης της y αx=Αν α > 0 η γωνία ω είναι οξεία.

Αν α < 0 η γωνία ω είναι αµβλεία.

Αν α = 0 έχουµε y 0x ή y 0= = .

Η εξίσωση y 0= δηλώνει τα σηµεία που έχουν σταθερή τεταγµένη 0 και τετµηµένη

οποιοδήποτε αριθµό x και αυτά είναι τα σηµεία του άξονα x΄x.

M(x, y)M(x, y)

K

(x, 0)

(0, y)Ë

O

ù

x

y



Η συνάρτηση y = αx και y = αx + β µε γραφική παράσταση ευθεία

Τί πρέπει να γνωρίζουµε για την y = αx +β .

• Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία παράλληλη

στην y αx= .

• Για να την σχεδιάσουµε µας αρκούν δύο σηµεία αφού

είναι ευθεία.

• Το άξονα y΄y τον τέµνει στο σηµείο µε τεταγµένη

y α·0 β β= + = . Άρα στο σηµείο ( )0,β

• Τον άξονα x΄x τον τέµνει στο σηµείο µε τεταγµένη y 0= .

Λύνουµε την εξίσωση αx β 0+ = . Βρίσκουµε β

xα

= −

Άρα τέµνει τον άξονα x΄x σηµείο β

, 0α

−

.

• Αν α 0= τότε η y αx β= + γίνεται y α·0 β

y β

= +=

Η εξίσωση y β= εκφράζει το σύνολο των σηµείων µε στα-

θερή τεταγµένη β, που είναι ευθεία παράλληλη στον x΄x και

διέρχεται απο το ( )0,β .

Τι γνωρίζετε για τις ευθείες που είναι κάθετες στον

άξονα x΄x;

Αυτές δεν είναι συναρτήσεις και δεν ανάγονται στους

τύπους y αx= ή y αx β= + .π.χ. Τα σηµεία της ευθείας

x 3= αντιστοιχίζονται σε άπειρα y.

Είναι εφω α=

O

y = â

O

y = 3

y = 1

y = –2

3

1

–2

(O, )â

y=

x+

á

ây

=

xá

O ùù




Υπάρχει γενική εξίσωση ευθείας που περιλαµ-

βάνει όλες τις ευθείες του επιπέδου (ακόµα και τις

κάθετες στον x΄x).

Είναι η εξίσωση αx βy γ+ = µε α 0≠ ή β 0≠ . Αν

β 0≠ από την εξίσωση αx βy γ+ = έχουµε:

βy αx γ

αx γ

yβ

α γ

y xβ β

= − ++= −

= − +

που θα είναι ευθεία της µορφής y΄ α΄x β΄= + που µας είναι

ήδη γνωστή.

Αν β 0= η αx βy γ+ = γίνεται αx γ

γx

α

=

=

που είναι ευθεία (όχι συνάρτηση) κάθετη στον x΄x στο

σηµείο γ

,0α

.

1.∆ύο ευθείες της µορφής ( )( )

1

2

y = αx + β ε

y = γx + δ ε

είναι παράλληλες αν και µόνο αν α = γ .

* Στην περίπτωση που εκτός από α = γ είναι και β = δ τότε οι

( ) ( )1 2ε , ε ταυτίζονται.

2. ∆ύο ευθείες της µορφής y = β, y = γ είναι παράλληλες .

3. ∆ύο ευθείες της µορφής ( )1x = k ε , ( )2x = λ ε επίσης είναι παράλληλες.

4. Στην ευθεία µε εξίσωση y = αx +β . Ο αριθµός α (συντελεστής του x, που

ονοµάζεται και συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας) καθορίζει την διεύθυνση

της.

Μάθαµε ότι ισούται µε την εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία

µε τον x΄x.




Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες.

( )1

xε y =

2( )4ε y = 3 ( )7ε 2y - 6x + 7 = 0

( )2ε y = 3x +1 ( )5ε x - 2y + 7 = 0 ( )8ε x = 1

( )3ε y = 1 ( )6ε x = 8 ( )9ε y = 4x +1

Λύση

Αρχικά είναι ( ) ( )3 4ε // ε αφού είναι παράλληλες στον x΄x.

Επίσης είναι ( ) ( )6 8ε // ε αφού είναι παράλληλες στον y΄y.

Η ( )5ε γράφεται : x 7 1 7

2y x 7 ή y ή y x2 2 2

+= + = = +

Η ( )1ε είναι 1

y x2

= . Άρα η ( ) ( )5 1ε // ε .

Η ( )7ε είναι 6x 7 7

2y 6x 7 ή y ή y 3x2 2 2

= − = − = −

Άρα η ( )7ε είναι παράλληλη στην ( )2ε y 3x 1= + .

Να βρεθεί εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην y = -5x + 4 και διέρχεται

από το σηµείο ( )A 3,8 .

Λύση

Η ζητούµενη ευθεία θα είναι της µορφής y αx β= + . Επειδή είναι παράλληλη στην

y 5x 4= − + θα είναι α 5= − . Οπότε η ευθεία είναι η y 5x β= − + .

Αφού διέρχεται από το ( )Α 3,8 θα ισχύει:




8 5 3 β ή β 8 15 ή β 23= − ⋅ + = + =

Άρα η ευθεία είναι η y 5x 23= − + .

Να βρεθεί εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία ( ) ( )Α 2,5 , Β 4,11 .

Λύση

Η ευθεία θα έχει εξίσωση y αx β= + . Αφού διέρχεται από το ( )Α 2,5 θα ισχύει 5 2α β= + (1)

Αφού διέρχεται από το ( )Β 4,11 θα ισχύει 11 4α β= + (2)

Λύνουµε το σύστηµα των (1), (2). Αφαιρούµε κατά µέλη (1) – (2) και έχουµε:

5 11 2α 4α ή 6 2α ή α 3− = − − = − =

Η (1) για α 3= δίνει 5 2·3 β ή β 1= + = − . Συνεπώς η ευθεία είναι η y 3x 1= − .

Να εξετάσετε ποια από τα σηµεία ( ) ( ) ( ) ( )Α 2,5 , Β 4,11 , Γ 0,-1 , ∆ -2,-6 είναι συ-

νευθειακά.

Λύση

Βρίσκουµε την ευθεία που ορίζουν τα σηµεία Α, Β. Από

την άσκηση (3) βρήκαµε ότι η ευθεία έχει εξίσωση

y 3x 1= − . Ελέγχουµε αν το σηµείο ( )Γ 0,-1 ανήκει στην

ευθεία. Θέτουµε όπου x 0= και y 1= − και έχουµε :

1 3·0 1 ή 1 1− = − − = −Άρα οι συντεταγµένες του Γ επαληθεύουν την εξίσωση

της ευθείας και συνεπώς το Γ ανήκει στην ευθεία ΑΒ.

Για το σηµείο ( )∆ 2, 6− − οµοίως έχουµε :

( )6 3 2 1 ή 6 1− = − − − = −άρα το ∆ δεν ανήκει στην ΑΒ. Τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

Να βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες ( )21y = λ - 5λ x + 3 (ε ) και ( )2y = -6x + λ - 2 ε

ειναι παράλληλες.

Λύση

Πρέπει: 2 2 35 1λ 5λ 6 ή λ 5λ 6 0 ή λ

22

±− = − − + = = =

Για να ελέγξουµε αν 3 σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Βρίσκουµε την ευθεία

που ορίζουν τα 2 από αυτά και στη συνέχεια ελέγχουµε αν και το τρίτο σηµείο είναι

σηµείο της ευθείας. ∆ηλαδή αν οι συντεταγµένες του επαληθεύουν την εξίσωση της

ευθείας που βρήκαµε.

5 A(2, 5)

B(4, 11)

Ã(0, 1)

Ä(–6, –7)




1.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλες.

( )1

xε y

4= ( )4ε y 3= ( )7ε 3y 9x 0− =

( )2ε y 3x 10= + ( )5ε 4x 8y 3 0− − = ( )8ε x 7=

( )3ε y 5= − ( )6ε x 1960= ( )9ε y 4x 43= −

2. Να βρεθεί εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην y = 5x + 4− και διέρχεται

από το σηµείο ( )A 3,8 .

3. Να βρεθεί εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία ( ) ( )Α 2,5 , Β 4,11 .

4. Να εξετάσετε ποια από τα σηµεία ( ) ( ) ( ) ( )Α 1,0 , Β 2,1 , Γ 4,3 , ∆ 1,7 είναι συνευ-

θειακά.

5. Να βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες ( )21y = λ 4λ x +10 (ε )− και ( )2y = 3x + 7λ 1 ε− −

ειναι παράλληλες.




Ερώτηση 1

Ποια είναι η γενική µορφή της εξίσωσης ευθείας;

Ερώτηση 2

Τι µορφή έχουν οι ευθείες που διέρχονται απο την αρχή των αξόνων;

Άσκηση 1

Να βρεθεί εξίσωση ευθείας που είναι παράλληλη στην 3x 6y 4− = και διέρχεται

από το σηµείο ( )A 1,3− .

Άσκηση 2

Να βρεθεί εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία ( ) ( )A 1,4 ,B 1, 3− .

Άσκηση 3

Να βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες µε εξισώσεις :

( )2y λ 3λ x 6 και= + − y 4x 2λ 1= + − να είναι παράλληλες.



12Ïé óõíáñôÞóåéò á ,y = x

2

y = x x y = -á +â +ã,2

Ïé óõíáñôÞóåéò á ,y = x2

y = x x y = -á +â +ã,2 á

x

Τι γνωρίζετε για την συνάρτηση ( ) 2f x αx , α 0= ≠ .

• Η γραφική της παράσταση είναι µια καµπύλη που

ονοµάζεται παραβολή.

Αν α 0>

• Παρουσιάζει ελάχιστο για x 0= το ( )f 0 0=• Η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον x΄x.

• Λέµε ότι η κορυφή την παραβολής είναι το ( )O 0,0 .

• Έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x 0= (δηλαδή τον y΄y).

Αν α 0<

• Παρουσιάζει µέγιστο για x 0= το ( )f 0 0=• Η γραφική της παράσταση βρίσκεται κάτω από τον x΄x.

• Η κορυφή της παραβολής είναι ( )O 0,0 .

• Έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x 0= (δηλαδή τον y΄y).

Τι γνωρίζετε για την τετραγωνική συνάρτηση

( ) 2f x = αx +βx + γ µε α 0≠ .

Είναι επίσης µια παραβολή όµοια µε την 2y αx= .

Αλλά η θέση της στο σύστηµα αξόνων είναι διαφορετική.

Η κορυφή της παραβολής είναι το σηµείο Ο΄ µε συντεταγ-

µένες β β ∆

, f2α 2α 4α

− − = − . Οι συντεταγµένες της κο-

O

y

y = x2

X

O



Παραβολή - Υπερβολή

ρυφής µας πληροφορούν για το ελάχιστο η το µέγιστο της

συνάρτησης.

Αν α 0>

Η συνάρτηση έχει ελαχιστο στο β

x2α

= − το οποίο είναι:

β ∆y f

2α 4α

= − = − .

Παράδειγµα γραφικών παραστάσεων µε α 0> .

Αν α 0<

Η συνάρτηση έχει µέγιστο στο 0

βx

2α= − το οποίο είναι

β ∆y f

2α 4α

= − = − . Παραδείγµατα γραφικών παραστά-

σεων µε α 0< .

O´

O´

O´

Ä > 0

Ä = 0 Ä < 0

σχ. 4 σχ. 5 σχ. 6

O´ O´

O´

Ä > 0 Ä = 0

Ä < 0

σχ. 1 σχ. 2 σχ. 3




α. Στο σχ. 1 και στο σχ. 4 είναι ∆ 0> . Αφού η γραφική

παράσταση τέµνει τον άξονα x΄x σε δύο σηµεία.

β. Στο σχ. 2 και στο σχ. 5 είναι ∆ 0= . Αφού η γραφική

παράσταση εφάπτεται στον άξονα x΄x σ’ ένα σηµείο.

γ. Στο σχ. 3 και στο σχ. 6 είναι ∆ 0< . Αφού η γραφική

παράσταση δεν τέµνει τον άξονα x΄x.

• Η παραβολή 2y αx βx γ= + + έχει άξονα συµµετρίας την

ευθεία β

x2α

= − .

Τα σηµεία Α, Α΄ και Β, Β΄ είναι συµµετρικά ως προς την

ευθεία β

x2α

= − .

• Η παραβολή ( ) 2f x αx βx γ= + + τέµνει τον άξονα y΄y

στο σηµείο ( )( )0, f 0 γ= .

• Αν η διακρίνουσα 2∆ β 4αγ= − είναι θετική τότε η

παραβολή τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία που είναι οι ρίζες

(λύσεις) της εξίσωσης ( )f x 0= .

• Αν η διακρίνουσα 2∆ β 4αγ 0= − = τότε η παραβολή

εφάπτεται στον x΄x σ’ ένα σηµείο µε τετµηµένη β

x2α

= − .

Τι γνωρίζετε για τη συνάρτηση ( ) = αf x

x ή = α

yx

;

• Τα x, y παριστάνουν τιµές δύο αντιστρόφως ανά-

λογων ποσών.

• Οι καµπύλες πλησιάζουν τους άξονες x΄x και y΄y απεριό-

ριστα χωρίς να τους τέµνουν.

Ο άξονας x΄x ονοµάζεται οριζόντια ασύµπτωτη και ο άξο-

νας y΄y ονοµάζεται κατακόρυφη ασύµπτωτη.

Η γραφική παράσταση της α

yx

= ονοµάζεται υπερβολή

και οι δύο καµπύλες που την αποτελούν κλάδοι της υπερ-

βολής.

O´

A

B B´

A´

â Ä,

2á 4á

â

2á

âx

2á

á > 0

o

áy

x

á < 0

o

áy

x

x

y




Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραβολής 2y x x 1= + + .

Λύση

α΄ τρόπος Με την βοήθεια του πίνακα τιµών

β΄ τρόπος Ποιοτικά

Γνωρίζουµε ότι είναι παραβολή. Είναι 2∆ β 4αγ= −21 4 1 1= − ⋅ ⋅ 3= −

Η κορυφή Ο΄ έχει συντεταγµένες β ∆

Ο΄ ,2α 4α

− − άρα

( )31 1 3Ο΄ , ,

2 4 2 4

− − − = − .

Επειδή α 1= παρουσιάζει ελάχιστο .

Έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία 1

x2

= .Επειδή ∆ 3 0= − < δεν έχει ρίζες και συνεπώς

δεν τέµνει τον άξονα x΄x. Για x 0= είναι y 1= .

-3 -2 -1 1 2

7

3

1

O´ 1 3,

2 4

y

x

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 7 3 1 1 3 7 3




Ν’ αντιστοιχίσετε τις παραβολές:

1. 2y x 3x 1= + − 2. 2y 3x 4= − 3.

2y x 5x= − 4. 2y 5x= −µε τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ που είναι οι κορυφές τους και να συµπληρώσετε τα κενά.

5A ,

2

, ( )B 0, 4− , 3

Γ ,

2 −

, ( )∆ 0, 0 .

Λύση

Είναι 1Γ , 2Β , 3Α , 4∆ και 5 25

Α ,2 4

−

, ( )Β 0, 4− ,3 13

Γ ,2 4

− −

.

Μια δορυφορική κεραία έχει διάµετρο ΑΒ = 16m . Η καµπύλη ΑΟΒ είναι τόξο

παραβολής µε εξίσωση 21

y x4

= . Πόσο απέχουν τα Α, Β από το έδαφος που θεωρεί-

ται ο x΄x.

Λύση

Είναι 16

AΡ ΡΒ2

= = , οπότε ( )Α 8, y− και ( )B 8, y .

Το Α είναι σηµείο της παραβολής άρα

( )21 1y 8 64 16

4 4= − = ⋅ = .

Το ύψος του σηµείου Α από το έδαφος είναι 16m όπως και του Β λόγω συµµετρίας.

Να βρείτε τις εξισώσεις των παραβολών του διπλανού

σχήµατος. Αν γνωρίζετε ότι το ( )A 2, 1 , ( )B 1, 1 ,

1Γ , 1

2

.

Λύση

Οι παραβολές είναι της µορφής 2y αx= και έχουν

κορυφή το Ο(0, 0).

Για το σηµείο Α: 2 11 α 2 ή α

4= ⋅ = .

Άρα η παραβολή που διέρχεται από το Α είναι 21y x

4= .




x 3− 2− 1− 1 1 2 3

g (x) 1

31

2 1 1− 3

1

2−

1

3−

Οµοίως για το σηµείο Β βρίσκουµε την 2y x= και για το σηµείο Γ την 2y 4x= , διότι:

21

1 α ή α 42

= ⋅ =

Σε οικόπεδο που έχει σχήµα ισοσκελούς ορθογωνίου

τριγώνου µε κάθετη πλευρά 20m, θα χτίσουµε σπίτι

σχήµατος ορθογωνίου Α∆ΕΖ όπως φαίνεται στο σχή-

µα.α. Αν AZ x= να εκφράσετε το εµβαδόν Ε σαν συ-

νάρτηση του x. β. Να βρείτε για ποια τιµή του x το

εµβαδόν Α∆ΕΖ γίνεται µέγιστο.

Λύση

α. Το εµβαδόν είναι: E A∆ ΑΖ= ⋅ όµως

ΑΖ ∆Ε Γ∆ x= = = , οπότε:

Α∆ ΑΓ Γ∆ 20 x= − = − . Συνεπώς ( ) ( )E E x x 20 x= = − .

β. Η συνάρτηση ( ) ( )E x x 20 x= − 220x x= − 2x 20x= − + . Είναι τετραγωνική και

αφού α 1= − παρουσιάζει µέγιστο όταν ( )β 20

x 102α 2 1

= − = − =−

.

Συνεπώς µέγιστο εµβαδόν θα έχουµε όταν ΑΖ 10= και Α∆ 20 10 10= − = δηλαδή

όταν το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) 1f x

x= και

( ) 1g x

x= − .

Λύση

BA

Ã

E

Zx

45o

45o

45o

45o

Ä

x 3− 2− 1− 1 1 2 3

f (x) 1

3− 1

2− 1− 1 3

1

2

1

3




Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

1y

x= − , για ( )x 1 1< − y x= − , για ( )1 x 0 2≤ ≤

y x= , για ( )0 x 1 3≤ ≤ 1y

x= , για ( )1 x 4≤

Λύση

Σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση της (1) 1

yx

= − και κρα-

τάµε µόνο το τµήµα της µε τετµηµένες x 1≤ .

“Ο κύκλος δείχνει ότι το σηµείο δεν ανήκει στην γραφική πα

ράσταση. Κάνουµε την γραφική παράσταση της (2) y x= −και κρατάµε µόνο το τµήµα που τα σηµεία έχουν τετµηµένες x

µε : 1 x 0− ≤ < .

Κάνουµε την γραφ. παράσταση της y x= και διατηρούµε µόνο

τα σηµεία µε 0 x 1≤ <

Από τη γραφική παράσταση της 1

yx

= κρατάµε το τµήµα της

µε τα σηµεία που έχουν τετµηµένες x µε x 1≥ .

(-1, 1)

1

-1

(1, 1)1

0

y

x1

(1, 1)

x

y

1




Αν ενώσουµε τις προηγούµενες γραφικές παραστάσεις έχουµε την καµπυλή:

Αυτή η γραµµή είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τους εξής τύπους :

• 1

yx

= − , x 1< − • y x= − , 1 x 0≤ <

• y x= , 0 x 1≤ < • 1

yx

= , x 1>

Συνήθως τη γράφουµε ως εξής:

( )

1, x 1

xx , 1 x 0

f xx , 0 x 1

1, x 1

x

− < −

− − ≤ <= ≤ <

>




1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και

είναι παράλληλη στην ευθεία y 3x 10= + .

2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το ( )A 2, 1− − και είναι παράλ-

ληλη στην ευθεία 2x 5y 4− = .

3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α (1, 2), ( )B 3, 1− .

4. Για ποιες τιµές του λ οι ευθείες µε εξισώσεις ( )2y λ 2λ x 3= + − και y 3x 5= − είναι

παράλληλες;

5. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε ( ) 2f x x 4x 3= − + − .

6. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε ( ) 10f x

x

−= .

7. Να βρείτε τις συναρτήσεις που έχουν τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις.

0

-2 (1)

0

(1 ), -1

0

(1 ), 1

y

x

x

x

y y




Ερώτηση 1

Θα δείτε παρακάτω 8 εξισώσεις. Να χαρακτηρίσετε την κάθε µία αν είναι εξισώσεις

ευθείας, παραβολής, υπερβολής ή τίποτα από τα προηγούµενα.

1. y 8 0− = 2. 23x 5x y− =

3. 7

yx

= , x 0≠ 4. 3x 5y 1 0− + =

5. 2x y 4 0+ + = 6. xy 12= , x 0≠

7. 2 2x y 100+ = 8. 3x 2x 1 y− + =

Άσκηση 1

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

( ) 2f x x 5x 6= − +

8. ∆ίνεται η f µε ( ) 2f x x 2x 11= − + . Να δείξετε ότι ( ) ( )f 1 α f 1 α+ = − .

9. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων 1

yx

= και y x= .

10. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράστα-

ση µιας συνάρτησης f.

α. Ποιο είναι το µέγιστο της f;

β. Ποιο είναι το ελάχιστο της f;

γ. Ποια είναι η λύση της ανίσωσης ( )f x 0> ;




( ) 2g x x 4= +

( ) ( )2h x 3 x 1 5= − +

Άσκηση 2

α. Να βρεθεί εξίσωση ευθείας (ε) που διέρχεται από σηµείο Α (2, 3) και είναι παράλληλη

στην y 2x= − .

β. Στη συνέχεια να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από την

προηγούµενη ευθεία (ε) και τους ηµιάξονες Ox, Oy.

Άσκηση 3

Ένα δεξαµενόπλοιο έχει 5.000 τόνους πετρέλαιο. Αδειάζει το φορτίο του σε δεξαµε-

νή που έχει ήδη 1.000 τόνους µε ρυθµό 20 τόνους το λεπτό. Αν ∆ είναι η ποσότητα

του πετρελαίου που έχει το δεξαµενόπλοιο µετά από t λεπτά και Α είναι η ποσότητα

του πετρελαίου που έχει η δεξαµενή µετά από t λεπτά.

Να βρείτε τα παρακάτω:

α. Τον τύπο της συνάρτησης ∆ (t).

β. Πόσο χρόνο θα διαρκέσει η µετάγγιση.

γ. Τον τύπο της συνάρτησης Α (t).

δ. Τη χρονική στιγµή κατά την οποία το δεξαµενόπλοιο και η δεξαµενή θα έχουν την

ίδια ποσότητα πετρελαίου.



ÓôáôéóôéêÜ äåäïìÝíáÏñéóìïß - äéáãñÜììáôá

Óõ÷íüôçôåò - ÁèñïéóôéêÝò óõ÷íüôçôåòÌÝôñá èÝóçò


ÌÝôñá äéáóðïñÜò


Ç Ýííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò



Τι είναι πληθυσµός και τι απογραφή του πληθυ-σµού;

Πληθυσµός λέγεται το σύνολο, τα στοιχεία του οποίου

θέλουµε να εξετάσουµε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτη-

ριστικά.

Παραδείγµατα

1. Τις προτιµήσεις των ψηφοφόρων εν όψει των προσεχών

εκλογών.

Εδώ ο πληθυσµός είναι το σύνολο των ψηφοφόρων και

χαρακτηριστικό η προτίµηση σε κάποιο κόµµα.

2. Το ύψος και το βάρος των µαθητών ενός σχολείου.

Εδώ ο πληθυσµός είναι το σύνολο των µαθητών του

σχολείου και χαρακτηριστικά το ύψος και το βάρος.

Απογραφή λέγεται η εξέταση όλων των ατόµων του

πληθυσµού.


13

ÓôáôéóôéêÜ ÄåäïìÝíá

Ïñéóìïß - ÄéáãñÜììáôá

Óõ÷íüôçôåò - ÁèñïéóôéêÝò Óõ÷íüôçôåò

ÌÝôñá èÝóçò

ÓôáôéóôéêÜ ÄåäïìÝíá

Ïñéóìïß - ÄéáãñÜììáôá

Óõ÷íüôçôåò - ÁèñïéóôéêÝò Óõ÷íüôçôåò

ÌÝôñá èÝóçò

Τι είναι δείγµα και τι µέγεθος του δείγµατος;

Πληθυσµός -

Απογραφή

Στις περισσότερες περιπτώσεις η απογραφή είναι δύσκολη, οικονοµικά ασύµ-

φορη ή και αδύνατη. Στις περιπτώσεις αυτές εξετάζουµε ένα υποσύνολο του πληθυ-

σµού κατάλληλα επιλεγµένο.


182. Στατιστική

Στατιστικά δεδοµένα - Ορισµοί - ∆ιαγράµµατα - Συχνότητες - Αθροιστικές συχνότητες - Μέτρα θέσης

∆είγµα ονοµάζεται το υποσύνολο του πληθυσµού

που επιλέγεται κατάλληλα, ώστε να είναι αντιπροσωπευ-

τικό, για να εξετασθεί ως προς τα χαρακτηριστικά που µας

ενδιαφέρουν.

Μέγεθος του δείγµατος (n) ονοµάζεται το πλήθος των στοι-

χείων του δείγµατος.

Τι ονοµάζουµε στατιστικά δεδοµένα;

Στατιστικά δεδοµένα ονοµάζονται οι πληροφορίες

που προκύπτουν από την εξέταση του δείγµατος.

Τι ονοµάζουµε µεταβλητές ενός πληθυσµού;

Μεταβλητές ονοµάζονται τα χαρακτηριστικά ως

προς τα οποία εξετάζουµε έναν πληθυσµό.

Τι είναι µέση τιµή n παρατηρήσεων;

Όταν σε ένα δείγµα µεγέθους n οι παρατηρήσεις της

µεταβλητής x είναι 1 nx ,..., x , τότε η µέση τιµή συµβολίζεται

µε x και δίνεται από τη σχέση 1 2 nx x ...xx

n

+ += .


Η βαθµολογία των 10 γραπτών ενός µαθητή στις εξετάσεις

ήταν: 13, 15, 18, 13, 14, 15, 16, 15, 16, 15.

∆είγµα - µέγεθος

Στατιστικά δεδοµένα

Μεταβλητές

Μέση τιµή

(µέσος όρος)

Κάθε µεταβλητή παίρνει ένα σύνολο τιµών. Τις µεταβλητές τις διακρίνουµε σε:

α. ποσοτικές που οι τιµές τους είναι αριθµοί όπως π.χ. ο αριθµός των παιδιών σε µια

οικογένεια ή το βάρος των µαθητών και β. ποιοτικές που οι τιµές τους δεν είναι

αριθµοί όπως π.χ. το επάγγελµα ή η οµάδα αίµατος κάποιων ανθρώπων.


183.Στατιστική


Ο µέσος όρος των γραπτών του είναι:

13 15 18... 15

x 1510

+ + += =

Για λόγους συντοµίας το άθροισµα των παρατηρήσεων 1 2 nx x ... x+ + + το

συµβολίζουµε µε Σx. Έτσι η µέση τιµή των παρατηρήσεων δίνεται από τον τύπο

Σxx

n=

Τι είναι διάµεσος ενός δείγµατος n παρατηρήσεων;

∆ιάµεσος δ ενός δείγµατος n παρατηρήσεων οι

οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η

µεσαία παρατήρηση όταν το n είναι περιττός αριθµός ή το

ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων όταν το n είναι άρτιος.


Να βρείτε τη διάµεσο των παρακάτω παρατηρήσεων.

α. 3, 4, 0, 1, 2, 5, 7

β. 3, 4, 0, 1, 2, 5, 7, 1

α. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7

Το µέγεθος του δείγµατος είναι n 7= . Ο µεσαίος όρος

είναι ο τέταρτος άρα δ = 3.

β. 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7

Το µέγεθος του δείγµατος είναι n 8= . Οι µεσαίοι όροι

είναι ο τέταρτος και ο πέµπτος. Άρα 2 3

δ 2,52

+= = .

∆ιάµεσος

Ακριβέστερα η διάµεσος είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατη-

ρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγα-

λύτερες από αυτήν.

Σε κάθε περίπτωση δια-

τάσσουµε τις παρατη-

ρήσεις σε αύξουσα σει-

ρά και εντοπίζουµε το

µεσαίο ή τους µεσαί-

ους όρους




Τι είναι οµαδοποίηση n παρατηρήσεων και πότε

χρησιµοποιείται;

Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που το πλήθος των

τιµών µιας µεταβλητής είναι αρκετά µεγάλο. Σ’ αυτές τις

περιπτώσεις είναι απαραίτητο να οµαδοποιηθούν τα δεδο-

µένα σε µικρό πλήθος οµάδων που ονοµάζονται κλάσεις

ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µιά µόνο κλάση.

Οι κλάσεις έχουν ίσα ή άνισα πλάτη ανάλογα µε τη φύση

του προβλήµατος. Σε µια οµαδοποιηµένη κατανοµή κάθε

κλάση αντιπροσωπεύεται από το κέντρο της και η κατανο-

µή παριστάνεται µε ιστόγραµµα. (Βλέπε λυµένη άσκηση 2).

Αυστηρός κανόνας για

τον αριθµό των κλάσε-

ων δεν υπάρχει αλλά

κάθε φορά εξαρτάται

από το είδος του προ-

βλήµατος, το σκοπό

της έρευνας και την

επιθυµητή ακρίβεια.




Από την ερώτηση ενός δείγµατος 800 οικογενειών ως

προς τον αριθµό των παιδιών τους προέκυψε ο διπλα-

νός πίνακας.

α. Να κάνετε κατανοµή σχετικών και αθροιστικών συ-

χνοτήτων και να φτιάξετε το ραβδόγραµµα σχετι-

κών συχνοτήτων.

β. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της κατανο-

µής.

γ. Επίδοµα παίρνουν οι οικογένειες µε περισσότερα από

τρια παιδιά. Τι ποσοστό οικογενειών θα πάρουν επιδο-

µα;

Λύση

α. Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η παρατήρηση x 0= εµφα-

νίστηκε 128 φορές. Ο αριθµός 128 ονοµάζεται συχνότητα

της αντίστοιχης παρατήρησης. Σχετική συχνότητα (f) της

παρατήρησης x 0= είναι 128

f 0,16800

= = ή 16%. Όµοια

ορίζονται οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες των

άλλων παρατηρήσεων.

Κατανοµή των οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών

αριθµός αριθµός

παιδιών οικογενειών

0 128

1 184

2 248

3 160

4 48

5 24

6 8

Συχνότητα (ν)

µιας παρατήρησης ονο-

µάζεται ο αριθµός ν που

δείχνει πόσες φορές εµ-

φανίζεται αυτή η παρα-

τήρηση στο σύνολο του

δείγµατος.

•Η µεταβλητή x

που εξετάζουµε εί-

ναι ο αριθµός των

παιδιών κάθε οικο-

γένειας και οι τιµές

που παίρνει είναι

x 0,1,...,6= .

•Προσέξτε ότι

0 f 1≤ ≤ και ότι το

άθροισµα όλων των

σχετικών συχνοτή-

των ισούται µε 1




Η αθροιστική συχνότητα (Ν) ή η αθροιστική σχετική συχνότητα (F) µιας παρατήρη-

σης x, εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι

µικρότερες ή ίσες της τιµής x.

Ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων

β. Το άθροισµα όλων των παρατηρήσεων είναι:

Σv x 0 128 1 148 ... 6 8 1520⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

Σv x 1520x 1,9

n 800

⋅= = =

Η διάµεσος είναι το ηµιάθροισµα της 400ης και 401ης παρατήρησης όταν τις διατά-

ξουµε σε αύξουσα σειρά. Όπως φαίνεται από τον πίνακα των αθροιστικών συχνοτή-

των οι παρατηρήσεις αυτές έχουν τιµή 2. Άρα 2 2

δ 22

+= = .

γ. Από τον πίνακα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων φαίνεται ότι µέχρι και τρία

παιδιά έχουν το 90% των οικογενειών. Άρα το ποσοστό των οικογενειών που θα

πάρει επίδοµα είναι: 100% 90% 10%− = .

Το ύψος των µαθητών της Γ΄ Γυµνασίου ενός

σχολείου φαίνεται στον διπλανό πίνακα.

α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις σχετικές

συχνότητες και τις σχετ. αθροιστ. συχνότητες.

β. Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα και πολύγωνο

συχνοτήτων.

γ. Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα σχετικών α-

θροιστικών συχνοτήτων.

δ. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της

κατανοµής.

Όταν έχουµε κατανοµή συχνοτήτων

Σvxx

n=

Στον παραπάνω τύπο, το Σ δηλώ-

νει άθροισµα. Το Σνx δηλώνει το

άθροισµα όλων των όρων νx, όπου

ν η συχνότητα της παρατήρησης x.

ύψος υ αριθµός

σε εκατοστά παιδιών

156 υ 162≤ < 2

162 υ 168≤ < 8

168 υ 174≤ < 12

174 υ 180≤ < 11

180 υ 186≤ < 5

186 υ 192≤ < 2

σύνολο 40




Λύση

α.

β. Ιστόγραµµα και πολύγωνο συχνοτήτων

Σε οµαδοποιηµένη κατανοµή µε ίσα πλάτη το ιστόγραµµα

αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια που το καθένα έχει

βάση ίση µε το πλάτος κάθε κλάσης και ύψος την αντίστοι-

χη συχνότητα της κλάσης. Αν ενώσουµε τα µέσα των άνω

βάσεων όλων των ορθογωνίων µε µια τεθλασµένη γραµµή

προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων. Για να ολοκληρωθεί

το πολύγωνο συχνοτήτων θεωρούµε στην αρχή και το τέ-

λος δύο ακόµη κλάσεις ίδιου πλάτους µε τις υπάρχουσες

µε µηδενική συχνότητα.

Αν η οµαδοποιηµένη κα-

τανοµή δεν έχει ίσα

πλάτη το ύψος υ του πο-

λυγώνου δίνεται από τη

σχέση συχνότητα

υπλάτος

=

ύψος σε κέντρο συχνότητα Σχ. συχν. αθροιστική αθροιστική v x⋅εκατοστά κλάσης x v f % συχνότ. N σχ. συχν. F%

156 υ 162≤ <162 υ 168≤ <168 υ 174≤ <174 υ 180≤ <180 υ 186≤ <186 υ 192≤ <

159

165

171

177

183

189

2

8

12

11

5

2

5

20

30

27,5

12,5

5

2

10

22

33

38

40

5

25

55

82,5

95

100

318

1320

2052

1947

915

378

40 100 6930Σύνολα

Όταν οι κλάσεις είναι πολλές και µε µικρό πλάτος το

πολύγωνο συχνοτήτων παριστάνει µε µια λεία καµπύλη που

λέγεται καµπύλη συχνοτήτων.




γ . Το ιστόγραµµα των αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων αποτελείται από διαδοχικά ορ-

θογώνια µε βάση το πλάτος της κλάσης και

ύψος την αντίστοιχη αθροιστική σχετική συ-

χνότητα της κλάσης.

Το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτή-

των προκύπτει αν ενώσουµε τα δεξιά άκρα

των άνω βάσεων των ορθογωνίων µε µια

τεθλασµένη γραµµή.

δ. Αφού κάθε κλάση αντιπροσωπεύεται από το κέντρο της x, το άθροισµα όλων των

παρατηρήσεων είναι Σv x 2 159 ... 2 189 6930⋅ = ⋅ + + ⋅ = και επειδή το µέγεθος του

δείγµατος είναι n 40= έχουµε 6930

x 173,25cm40

= = .

Η διάµεσος κατά προσέγγιση είναι η τετµηµένη εκείνου του σηµείου του πολυγώνου

των αθροιστικών συχνοτήτων που έχει τεταγµένη 50%. Από το αντίστοιχο πολύγω-

νο (βλέπε ερώτηµα γ) φαίνεται ότι δ 172≈ .

Το µέσο ύψος 9 παικτών µιας οµάδας µπάσκετ είναι 205 cm.

α. Για να ψηλώσει την οµάδα ο προπονητής πήρε ένα ακόµη παίκτη µε ύψος 216.

Ποιο είναι τώρα το µέσο ύψος της οµάδας τώρα;

β. Αν ήθελε το µέσο ύψος της οµάδας να είναι 208 cm πόσο ύψος έπρεπε να έχει ο

παίκτης που πήρε;

Λύση

α. Πριν την απόκτηση του νέου παίκτη το µέσο ύψος ήταν Συ

x9

= (όπου το Συ το

άθροισµα των υψών των παικτών). Άρα Συ

2059

= ή Συ 9 205 1845cm= ⋅ = . Με την

απόκτηση του νέου παίκτη το συνολικό ύψος της οµάδας έγινε 1845 216 2061+ = .

Επειδή η οµάδα έχει πλέον 10 παίκτες το µέσο ύψος είναι 2061

x ' 206,110

= = .

β. Αν υποθέσουµε ότι ο νέος παίκτης έχει ύψος x, το µέσο ύψος της οµάδας θα ήταν

1845 xx

10

+= , άρα 1845 x

20810

+= οπότε x 235cm= .

F%




1. Η βαθµολογία 50 µαθητών στις εξετάσεις των Μαθηµα-

τικών φαίνεται στο διπλανό πίνακα.

α. Να κάνεται πίνακα κατανοµής συχνοτήτων, σχετικών

συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.

β. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διάµεσο της κατανοµής.

γ. Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που έγραψαν κάτω

από τη βάση.

2. Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθµό των επισκέψεων 40

µαθητών σε διάφορα µουσεία της χώρας, κατά τη διάρ-

κεια ενός έτους.

α. Να κάνετε ιστόγραµµα συχνοτήτων και πολύγωνο συ-

χνοτήτων.

β. Να κάνεται ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συ-

χνοτήτων.

γ. Να βρείτε µέση τιµή και τη διάµεσο.

3. Μια τάξη έχει 30 µαθητές που έχουν µέσο βάρος 60 kg. Η τάξη έχει 16 αγόρια µε

µέσο βάρος 65 kg. Να βρείτε το µέσο βάρος των κοριτσιών.

4. H µέση τιµή και η διάµεσος πέντε αριθµών είναι 10. Αν οι τρεις από αυτούς είναι 5,

12, 15 να βρείτε τους άλλους δύο.

βαθµός συχνότητα

2 3

4 2

6 5

8 3

10 7

12 9

14 7

16 7

18 5

20 2

σύνολο 50

Επισκέψεις συχνότητα

0 x 2≤ < 8

2 x 4≤ < 12

4 x 6≤ < 10

6 x 8≤ < 6

8 x 10≤ < 4

σύνολο 40




5. Σε µια έρευνα 500 ανέργων για το χρόνο σε µήνες που είναι άνεργοι προέκυψε ο

παρακάτω πίνακας.

α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα

β. Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα σχ. αθροιστικών συχνοτήτων και να εκτιµήσετε τη

διάµεσο.

6. Ο παρακάτως πίνακας παρουσιάζει τη διάρκεια ζωής 400 λαµπτήρων.

α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις αθροιστικές συχνότητες σχετικές συχνότη-

τες, σχετικές αθροιστικές συχνότητες.

β. Να κατασκευάσετε ιστόγραµµα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.

7. Το µέσο ύψος 30 µαθητών µιας τάξης είναι 165 cm. Ποιο θα είναι το µέσο ύψος αν:

α. φύγει ένας µαθητής µε ύψος 175 cm

β. έρθει µια µαθήτρια ύψους 168 cm

γ. φύγει ένας µαθητής ύψους 175 cm και έρθει µια µαθήτρια 168 cm.

∆ιάρκεια ζωής συχνότητα

σε ώρες

400 x 500≤ < 15

500 x 600≤ < 45

600 x 700≤ < 60

700 x 800≤ < 75

800 x 900≤ < 70

900 x 1000≤ < 60

1000 x 1100≤ < 50

1100 x 1200≤ < 25

Χρόνος

ανεργίας x

συχνότητα

v

σχ. συσχ.

f %

αθροιστική

σχ. συχν.

0 x 3≤ <3 x 6≤ <6 x 12≤ <12 x 24≤ <24 x 36≤ <

25

27

28

12

8

100σύνολα




Ερώτηση 1α. Τι ονοµάζεται πληθυσµός;

β. Τι ονοµάζεται δείγµα και τι µέγεθος του δείγµατος;

γ. Πότε κάνουµε οµαδοποίηση παρατηρήσεων;

Ερώτηση 2α. Πως βρίσκουµε τη µέση τιµή και τη διάµεσο n παρατηρήσεων;

β. Πως βρίσκονται τα παραπάνω µέτρα θέσης σε µία οµαδοποιηµένη κατανοµή;

Άσκηση 1Μαθητής της Γ΄ Γυµνασίου, στις εξετάσεις του Ιουνίου, έγραψε τους παρακάτω βαθµούς:

12, 17, 10, 11, 16, 15, 13, 8, 18, 13.

α. Ο µέσος όρος των γραπτών του µαθητή είναι:

i. 17 ii. 12,7 iii. 13,3 iv. 15,1

β. Η διάµεσος των γραπτών είναι:

i. 12,5 ii. 13 iii. 13,5 iv. 15

Άσκηση 2Στο διπλανό ιστόγραµµα συχνοτήτων φαίνονται

οι πόντοι που πέτυχε ένας παικτης της οµάδας

µπάσκετ του Περιστερίου σε κάποιο τουρνουά.

α. Σε ποιούς αγώνες συµµετείχε ο παίκτης;

β. Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών

συχνοτήτων (f%).

γ. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των πόντων

ανά παιγνίδι.

Άσκηση 3To µέσο ύψος των 70 κατοίκων ενός ακριτικού νησιού είναι 170 cm. Το περασµένο

καλοκαίρι φιλοξένησε 30 επισκέπτες που είχαν µέσο ύψος 185 cm. Πόσο ήταν εκείνη

την περίοδο το µέσο ύψος των ανθρώπων που βρίσκονταν στο νησί;


Ας υποθέσουµε ότι εξετάζουµε τις πιο κάτω οµάδες Α, Β

παρατηρήσεων ως προς το ίδιο χαρακτηριστικό.

Α: 1 10 15 20 29

Β: 10 14 15 16 20

Παρατηρούµε ότι οι δύο οµαδες έχουν ίδια µέση τιµή x 15= .

Όµως οι τιµές της οµάδας Β είναι πιο κοντά στη µέση τιµή

απ’ ότι αυτές της οµάδας Α. Γι’ αυτό το γεγονός η µέση

τιµή δεν δίνει καµια πληροφορία. Τέτοιες πληροφορίες δί-

νουν τα µέτρα ή παράµετροι διασποράς.

Τι είναι εύρος n παρατηρήσεων;

Εύρος µεταβολής ονοµάζεται η διαφορά µεταξύ της

µέγιστης και της ελάχιστης τιµής των παρατηρήσεων. Για

την οµαδα Α το εύρος είναι 29 1 28− = ενώ για την οµάδα

Β το εύρος είναι 20 10 10− = .

Τι είναι τυπική απόκλιση n παρατηρήσεων;

Η τυπική απόκλιση σ δίνεται από τον τύπο

( )2Σ x x

σn

−= και είναι αξιόπιστο µέτρο διασποράς αφού

• αναφέρεται σε όλες τις τιµές.

• εκφράζεται στις ίδιες µονάδες µε την µέση τιµή.


14ÌÝôñá äéáóðïñÜòÌÝôñá äéáóðïñÜò

Τυπική απόκλιση

Εύρος

Το εύρος δεν θεωρείται αξιόπιστο µέτρο διασποράς διότι στηρίζεται µόνο σε

δύο ακραίες τιµές.



Μέτρα διασποράς

Ποια κατανοµή συχνοτήτων λέγεται κανονική;

Μια κατανοµή συχνοτήτων που παίζει σπουδαίο ρόλο

στη Στατιστική είναι η κανονική κατανοµή η οποία έχει

σηµαντικές ιδιότητες. Η καµπύλη συχνοτήτων της δίνεται

στο ππαρακάτω σχήµα και οι ιδιότητες της ακριβώς δίπλα.

Για την οµάδα Α:

( ) ( ) ( )2 2 2Σ x x 1 15 10 15− = − + − + ( )2

15 15− +

( ) ( )2 220 15 29 15+ − + − = 196 25 0 25 196 442+ + + + =

Άρα Α

442σ 88, 4 9, 4

5= =

Για την οµάδα Β:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2Σ x x 10 15 14 15 15 15− = − + − + −

( ) ( )2 216 15 20 15+ − + − = 25 1 0 1 25 52+ + + + =

Άρα Α

52σ 10, 4 3, 2

5= =

Παρατηρούµε ότι Α Β

σ σ> , δηλαδή οι τιµές της οµάδας Α

που είναι περισσότερο διασπαρµένες γύρω από τη µέση τιµή

έχουν µεγαλύτερη τυπική απόκλιση.

Κανονική κατανοµή

Καµπύλη συχνοτήτωνΙδιότητες:

• Η διάµεσος, η µέση τιµή

και η επικρατούσα τιµή

συµπτίπτουν δηλαδή

x δ= = επικρατούσα τιµή

• Η καµπύλη συχνοτή-

των έχει άξονα συµµε-

τρίας την ευθεία x x= .

• Το 68% των παρατηρή-

σεων βρίσκεται µεταξύ

x σ− και x σ+ , το 95%

µεταξύ x 2σ− και

x 2σ+ και το 99,7% µε-

ταξύ x 3σ− και x 3σ+ .




Οι γεννήσεις σε µια πόλη κατά τη διάρκεια του έτους

φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Να υπολογίσετε τη

µέση τιµή και την τυπική απόκλιση της κατανοµής.

Λύση

Σvx 824x 2,26

n 365= =

( )2Σv x x 757,794

σ 1,44n 365

⋅ −= = .

Κατασκευάζουµε κα-

τάλληλο πίνακα. Οι δύο

τελευταίες στήλες γίνο-

νται αφού πρώτα βρού-

µε την x .

0 75

1 10

2 117

3 90

4 55

5 18

σύνολο 365

Αριθµός

γεννήσεων

ανά ηµέρα

Συχνότητα

(αριθµός

ηµερών)




Σε µια οµαδοποιηµένη κατανοµή προέκυψε ο διπλανός

πίνακας συχνοτήτων. Να βρείτε τη µέση τιµή και την

τυπική απόκλιση της κατανοµής.

Λύση

Σv x 466x 9,32

n 50

⋅= = =

290,88σ 5,8176 2, 412

50= =

Ο µέσος χρόνος που παρακολουθούν τηλεόραση οι µαθητές µιας επαρχιακής πόλης

είναι 60΄ ηµερησίως, µε τυπική απόκλιση 5΄. Αν υποθέσουµε ότι έχουµε µία περίπου

κανονική κατανοµή να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των µαθητών που παρα-

κολουθούν τηλεόραση.

α. κάτω από 55 λεπτά

β. περισσότερο από 60 λεπτά

γ. µεταξύ 50 και 65 λεπτών

Λύση

α. Επειδή η κατανοµή είναι περίπου κανονική η καµπύλη συχνοτήτων και τα αναµενό-

µενα ποσοστά των παρατηρήσεων θα είναι όπως παρακάτω:

κλάσεις συχνότητες

4 x 6≤ < 5

6 x 8≤ < 10

8 x 10≤ < 15

10 x 12≤ < 12

12 x 14≤ < 8

σύνολο 50

κλάσεις κέντρα v

5

7

9

11

13

5

10

15

12

8

25

70

135

132

104

18,6624

5,3824

0,1024

2,8224

13,5424

93,132

53,824

1,536

33,8688

108,3392

50 466 290,88

4 x 6≤ <6 x 8≤ <8 x 10≤ <10 x 12≤ <12 x 14≤ <

v x⋅ ( )2x - x ( )2

v x - x⋅

σύνολο




Στην κανονική κατανοµή ισχύει x δ= και η καµπύλη συχνοτήτων είναι συµετρική ως

προς τον άξονα συµµετρίας της, δηλαδή την ευθεία x x= . Άρα από

x 5 60 5 55λεπτά− = − = ως x 60λεπτά= αναµένεται να βρίσκεται το 34% των παρα-

τηρήσεων (68/2).

Από 0 ως και 60 λεπτά αναµένεται το 50% των παρατηρήσεων. Άρα από 0 ως 55 λεπτά

αναµένεται το 50% 34% 16%− = των παρατηρήσεων. Άρα κάτω από 55 λεπτά αναµέ-

νεται να παρακολουθούν τηλεόραση το 16% των µαθητών.

β. Περισσότερο από 60 λεπτά αναµένεται να παρακολου-

θούν τηλεόραση το 50% των µαθητών.

γ. Από 50 ως 60 λεπτά αναµένεται ποσοστό 95

%2

ή 47,5%,

ενώ από 60 ως 65 λεπτά ποσοστό 68

%2

ή 34%. Άρα

από 50 ως 65 λεπτά αναµένεται ποσοστό 81,5%.

Επειδή x δ= το πολύ

50% των παρατηρήσε-

ων είναι µικρότερο από

τη µέση τιµή ενώ το

πολύ 50% των παρατη-

ρήσεων µεγαλύτερο από

τη µέση τιµή




1. Ο διπλανός πίνακας δείχνει την κατανοµή των τιµών

µιας µεταβλητής x. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και

την τυπική απόκλιση.

(Απ.: x 58,8= , σ 7,14 )

2. Η βαθµολογία δέκα µαθητών σε ένα διαγώνισµα ήταν 7, 11, 10, 13, 15, 3, 12, 11, 4 και

14. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο, το εύρος και την τυπική απόκλιση της

βαθµολογίας των µαθητών.

3. Ο διπλανός πίνακας δίνει τη διάρκεια ζωής δύο τύπων λυχνιών Α

και Β σε χιλιάδες ώρες. Να συγκρίνετε τα µέτρα διασποράς των

δύο τύπων λυχνιών.

4. Αν η καµπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είναι κανονική,

τότε το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

( )Α : x σ, x σ− + ( )Β: x 2σ, x σ− +

( )Γ : x 2σ, x 2σ− + ( )∆ : x 3σ, x 3σ− +

5. Ο µέσος χρόνος που χρειάζονται οι µαθητές ενός σχολείου να πάνε στο σχολείο από

το σπίτι τους είναι 10 λεπτά µε τυπική απόκλιση 2 λεπτά. Αν υποθέσουµε ότι η

κατανοµή είναι περίπου κανονική να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που χρειάζονται

για να πάνε στο σχολείο τους.

α. κάτω από 8 λεπτά

β. µεταξύ 6 και 12 λεπτών

κλάσεις συχνότητες

40 x 48≤ < 3

48 x 56≤ < 7

56 x 64≤ < 5

64 x 72≤ < 8

Α Β

12 12

14 13

23 16

30 22

36 32




Ερώτηση 1Ποια είναι τα µέτρα διασποράς; Να δώσετε τους ορισµούς τους.

Ερώτηση 2Να κάνετε την καµπύλη συχνοτήτων της κανονικής κατανοµής. Ποια είναι τα κύρια

χαρακτηριστικά αυτής της κατανοµής;

Να σηµειώσετε στο διάγραµµα της καµπύλης συχνοτήτων τα ποσοστά των παρατη-

ρήσεων που αναµένεται να βρίσκονται µεταξύ:

α. x σ, x σ− + β. x 2σ, x 2σ− + γ. x 3σ, x 3σ− +

Άσκηση 1Σε ένα δείγµα µεγέθους n = 50 ισχύουν:

2Σνx 560 και Σν(x x) 1800= − =Να βρείτε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλιση σ.

Άσκηση 2Τα κόρνερ που κέρδισε ο Παναθηναϊκός τα τελευταία 10 παιγνίδια του πρωταθλή-

µατος είναι:7, 5, 14, 6, 12, 6, 7, 11, 13, 10.

Να βρείτε:

α. Τη µέση τιµή x β. Τη διάµεσο δ γ. Την τυπική απόκλιση των κόρνερ που

παρατηρήθηκαν.

Μπορούµε να χαρακτηρίσουµε την κατανοµή των κόρνερ ως κανονική;

Άσκηση 3Παρατηρήθηκε ότι η µέση θερµοκρασία τον Ιούνιο στην Αθήνα ήταν 30 oC και η

τυπική απόκλιση 4 οC, ενώ του Ιουλίου κάθε µέρα ήταν κατά 2 οC πιο ζεστή από την

αντίστοιχη του Ιουνίου.

Να δικαιολογήσετε ότι η µέση θερµοκρασία τον Ιούλιο ήταν 32 οC, ενώ η τυπική

απόκλιση παρέµεινε 4 oC.

(Ο Ιούλιος να υπολογιστεί µε 30 ηµέρες, όσες δηλαδή και ο Ιούνιος.)



15Ç Ýííïéá ôçò ðéèáíüôçôáòÇ Ýííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò

Πείραµα 1: Ρίχνουµε ένα ζάρι. Όλες οι δυνατές ενδείξεις που

µπορεί να φέρουµε είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Αν δεχτούµε ότι όλες οι ενδείξεις είναι ισοπίθανες τότε η πιθα-

νότητα εµφάνισης κάθε ενδείξης είναι 1

6, π.χ. της ένδειξης 2.

Συµβολίζουµε τότε ( ) 1P 2

6= .

Πείραµα 2: Ρίχνουµε ένα νόµισµα. Όλες οι δυνατές ενδείξεις

είναι: κεφαλή (Κ) ή γράµµατα (Γ). Αν δεχτούµε ότι οι περιπτώ-

σεις είναι ισοπίθανες τότε η πιθανότητα εµφάνισης καθεµιάς

είναι ίση µε 1

2. Συµβολίζουµε τότε

( ) 1P K

2= και ( ) 1

P Γ2

= .

Παρατηρούµε ότι:

( ) ( ) 1 1P K P Γ 1

2 2+ = + = .

Εκτελούµε ξανά το πείραµα 2 πολλές φορές και σηµειώνουµε

µε Κ την ένδειξη “κεφαλή”. Τα αποτελέσµατα του πειράµατος

φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

αριθµός ρίψεων συχνότητα εµφάνισης Κ σχετ. συχνότ.

10 7 0,7

20 13 0,65 . . . . . . . . . 100 46 0,46 . . . . . . . . . 200 99 0,495

Πειράµατα όπως τα

πιο πάνω που δεν

µπορούµε να προ-

βλέψουµε εκ των

προτέρων το αποτέ-

λεσµά τους λέγονται

πειράµατα τύχης.

Στο πείραµα 1 καθεµία

από τις διαφορετικές

ενδείξεις 1, 2, 3, 4, 5, 6

λέγεται απλό ή στοι-

χειώδες ενδεχόµενο µε

πιθανότητες αντίστοιχα

( ) ( ) ( )Ρ 1 , Ρ 2 , ... Ρ 6

Έστω ότι θέλουµε την

πιθανότητα κατά την

ρίψη του ζαριού να έρ-

θει άρτιος αριθµός.

Ένα τέτοιο ενδεχόµε-

νο λέγεται σύνθετο

αφού αποτελείται από

περισσότερα απλά εν-

δεχόµενα (0 ή 2 ή 4).

Στο παράδειγµα 2 τα

απλά ενδεχόµενα εί-

ναι: Κ, Γ µε πιθανότη-

τες αντίστοιχα. ( )Ρ Κ ,

( )Ρ Γ



Η έννοια της πιθανότητας

Τι είναι αδύνατο και τι βέβαιο ενδεχόµενο;

Αδύνατο ενδεχόµενο είναι αυτό που αποκλείεται

να συµβεί π.χ. να ρίξουµε ζάρι και να φέρουµε 7. Η πιθανό-

τητα του αδύνατου ενδεχόµενου είναι 0.

Βέβαιο ενδεχόµενο είναι αυτό που συµβαίνει σε κάθε εκ-

τέλεση του πειράµατοςκαι η πιθανότητά του είναι ίση µε 1.

Π.χ. Έστω Ω το ενδεχόµενο κατά τη ρίψη του ζαριού να

εµφανισθεί αριθµός x µε 1 x 6≤ ≤ τότε ( )Ρ Ω 1= .

Παρατηρούµε ότι η σχετική συχνότητα, µετά από ένα µεγάλο

αριθµό ρίψεων πλησιάζει στον αριθµό 0,5. Με βάση το πείρα-

µα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ( )P K 0,5= . Εδώ δηλαδή,

η σχετική συχνότητα είναι αυτή που µας δίνει την πιθανότητα

του συγκεκριµένου ενδεχοµένου δηλαδή συµπεραίνουµε ότι η

πιθανότητα ενός ενδεχοµένου είναι η σχετική συχνότητα εµ-

φάνισης του ενδεχοµένου αυτού*.

Βέβαιο - αδύνατο

ενδεχόµενο

* Το συµπέρασµα ισχύει

για κάθε ενδεχόµενο Α

ενός πειράµατος τύχης.

Οπότε για την πιθανότη-

τα ( )P A ισχύει η ιδιότη-

τα της σχετικής συχνότη-

τας δηλ.: ( )0 P A 1≤ ≤

Πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ενός

πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα;

Γενικότερα όταν όλα τα ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύ-

χης είναι ισοπίθανα η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ορίζεται

ως εξής:

πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεωνΠιθανότητα ενδεχοµένου

πλήθος δυνατών περιπτώσεων=

Στο παράδειγµα 1: η πιθανότητα Ρ(µ) να φέρουµε µονό αριθ-

µό είναι: ( ) 3 1Ρ µ

6 2= = γιατί το πλήθος των ευνοϊκών περιπ-

τώσεων είναι 3 ενώ το πλήθος όλων των περιπτώσεων είναι 6.

Κλασικός ορισµός

της πιθανότητας




Πότε δύο ενδεχόµενα λέγονται αντίθετα;

Αντίθετα ονοµάζονται δύο ενδεχόµενα για τα οποία

ισχύει: το ένα πραγµατοποιείται όταν δεν πραγµατοποιεί-

ται το άλλο. Αν π.χ. Α είναι το ενδεχόµενο να εµφανισθεί

µόνος αριθµός κατά τη ρίψη ενός ζαριού και Β το ενδεχόµε-

νο να εµφανισθεί άρτιος τότε τα Α και Β είναι αντίθετα.

Αντίθετα ενδεχόµενα

Αν δύο ενδεχόµενα Α και Β είναι αντίθετα τότε ισχύει ( ) ( )P A P B 1+ =




Ένα κιβώτιο περιέχει 2 πράσινες, 5 µαύρες και 3 κόκκινες σφαίρες. Επιλέγουµε µία

σφαίρα στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα Ρ, η σφαίρα να είναι µαύρη ή κόκκινη.

Λύση

Το σύνολο όλων των δυνατών περιπτώσεων είναι 10. Το πλήθος των ευνοϊκών περιπ-

τώσεων είναι 5 3 8+ = . Άρα 8

P 0,810

= = .

Ρίχνουµε ένα ζάρι και έστω x η ένδειξη. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες:

α. ( )≥P x 4 β. ( )≤P x 4

Είναι τα ενδεχόµενα ≥x 4 και ≤x 4 αντίθετα;

Λύση

α. Το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι 3 ενώ το σύνολο των περιπτώσεων είναι

6. Άρα ( ) 3 1P x 4

6 2≥ = = .

β. Εδώ το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι 4. Άρα

( ) 4 2P x 4

6 3≤ = = . Παρατηρούµε ότι

( ) ( ) 1 2 7P x 4 P x 4 1

2 3 6≥ + ≤ = + = > .

Άρα τα ενδεχόµενα δεν είναι αντίθετα(*).

Ένας αριθµός σχηµατίζεται µε τα ψηφία 2, 3, 4, 5 και 6 που χρησιµοποιούνται

υποχρεωτικά όλα από µία φορά το καθένα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο αριθ-

µός:

α. να είναι περιττός

β. να διαιρείται µε 5

γ. να είναι µεγαλύτερος από 20.000

δ. να αρχίζει από 6.

(*) Μπορούµε επί-

σης να προσέξουµε

ότι ο αριθµός 4 α-

νήκει και στα δύο

ενδεχόµενα. Άρα

µπορούν να πραγ-

µατοποιηθούν ταυ-

τόχρονα




Λύση

α. Ο αριθµός που θα σχηµατιστεί µπορεί να τελειώνει σε ένα από τα δοσµένα ψηφία.

Άρα το σύνολο των περιπτώσεων είναι 5. Για να είναι µονός θα πρέπει να τελειώνει

σε 3 ή σε 5. Άρα το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι 2 και η αντίστοιχη

πιθανότητα είναι 2

ρ 0, 45

= = .

β. Ένας αριθµός διαιρείται µε 5 όταν τελειώνει σε 0 ή σε 5. Άρα το πλήθος των ευνοϊ-

κών περιπτώσεων είναι 1 και η πιθανότητα 1

q 0,25

= = .

γ. Το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι 5 αφού από όποιο ψηφίο και αν αρχίζει

ο αριθµός είναι σίγουρα µεγαλύτερος από 20.000. Άρα η πιθανότητα είναι 5

r 15

= =

(βέβαιο ενδεχόµενο).

δ. Εδώ το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι 1 και η αντίστοιχη πιθανότητα

1S 0,2

5= = .

Ένα δείγµα 50 οικογενειών ρωτήθηκε ως προς τον α-

ριθµό των παιδιών τους. Τα αποτελέσµατα των απαντή-

σεων φαίνονται στο διπλανό πίνακα.

Επιλέγουµε µια από τις 50 οικογένειες. Να βρείτε την

πιθανότητα των ενδεχοµένων:

Α: να µην έχει παιδιά

Β: να έχει παιδιά αλλά όχι περισσότερα από 3

Γ: να έχει περισσότερα από 3 παιδιά

∆: να έχει λιγότερα από 2 ή περισσότερα από 4 παιδιά.

Λύση

Η σχετική συχνότητα άρα και η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α είναι ( ) 6P A 0,12

50= = .

Για το Β πρέπει να αθροίσουµε τις σχετικές συχνότητες για 1, 2 και 3 παιδιά. Άρα

( ) 14 13 9 36P B 0,72

50 50 50 50= + + = = .

Όµοια για 4 και 5 παιδιά

( ) 5 3 8P Γ 0,16

50 50 50= + = =

Όµοια για 0,1 και 5 παιδιά

( ) 6 14 3 23P ∆ 0,46

50 50 50 50= + + = = .

αριθµός αριθµός

παιδιών οικογενειών

0 6

1 14

2 13

3 9

4 5

5 3




1. Απο µια τράπουλα µε 52 φύλα παίρνουµε ένα στην τύχη

α. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων

Α: το χαρτί να είναι δέκα

Β: το χαρτί να µην είναι 10

β. Είναι τα παραπάνω ενδεχόµενα αντίθετα

2. Ένα κουτί περιέχει 10 µαύρες 12 άσπρες, 18 κόκκινες και 10 πράσινες µπάλες. Παίρ-

νουµε µια µπάλα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων η µπάλα να

είναι:

α. µαύρη β. κόκκινη ή πράσινη γ. ούτε µαύρη, ούτε κόκκινη

3. ∆ίνεται το σύνολο Ω 12,13,14,...25= . Επιλέγουµε στην τύχη έναν αριθµό. Να

βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων, ο αριθµός να διαιρείται:

α. µε 5 β. µε 7 γ. µε 3

4. Αν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι αντίθετα και ( ) ( )P A 2 P B= ⋅ , να βρείτε τις πιθανό-

τητες ( )P A και ( )P B .

5. Μια βιοµηχανία κατασκευάζει λαµπτήρες µε µέσο χρόνο ζωής 1500 ώρες και τυπική

απόκλιση 250 ώρες. Η κατανοµή των λαµπτήρων ως προς το χρόνο ζωής τους είναι

κανονική. Επιλέγουµε ένα λαµπτήρα στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδε-

χοµένου ο λαµπτήρας να έχει χρόνο ζωής λιγότερο από 1000 ώρες.




6. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στους ασθενείς που πάσχουν από υπέρταση και

νοσηλεύονται σε µια κλινική.

Επιλέγουµε στην τύχη έναν ασθενή.

Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων

Α: να είναι σοβαρή περίπτωση

Β: να είναι κάτω των 50

Γ: να έχει υπερτασικούς γονείς.

Ηλικία Ελαφρά περίπτωση

Υπερτασικοί γονείς

ΝΑΙ ΟΧΙ

Σοβαρή περίπτωση

Υπερτασικοί γονείς

ΝΑΙ ΟΧΙ

άνω των 50

κάτω των 50

20 % 15 %

15 % 10 %

8 % 5 %

12 % 15 %




Ερώτηση 1∆ιεξάγουµε ένα πείραµα τύχης µε πεπερασµένο πλήθος δυνατών αποτελεσµάτων.

α. Πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου, όταν τα στοιχειώδη ενδεχόµενα

είναι ισοπίθανα;

β. Πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου στατιστικά;

Ερώτηση 2α. Ποιο ενδεχόµενο ονοµάζεται βέβαιο;

β. Ποιο ενδεχόµενο ονοµάζεται αδύνατο;

γ. Ποια ενδεχόµενα ονοµάζονται στοιχειώδη;

δ. Μεταξύ ποιων τιµών βρίσκεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου;

Άσκηση 1Ρίχνουµε ένα νόµισµα 2 φορές. Να γράψετε το σύνολο δων δυνατών αποτελεσµά-

των και να βρείτε την πιθανότητα να εµφανιστεί µία τουλάχιστον φορά γράµµατα.

Άσκηση 2Έστω t η πιθανότητα κατά την ρίψη ενός ζαριού να φέρουµε αριθµό µικρότερο του

3, p η πιθανότητα να ισχύει: 2α2 – 2α + 1 > 0, όπου α πραγµατικός αριθµός, q η

πιθανότητα να ισχύει µ2 < 0, όπου µ πραγµατικός αριθµός.

Να βρείτε την τιµή της παράστασης: Α(2t – 12)9 + p12 – t2(25q –27)

Άσκηση 3Tα Α και Β είναι αντίθετα ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης.

α. Αν P(A) ≠ 1 να δικαιολογίσετε ότι P(Β) ≠ 0.

β. Αν P(A)/P(B) = 3/5 να βρείτε το P(A) και το P(B).



ºóá ôñßãùíá


ºóá ôìÞìáôá ìåôáîý ðáñáëëÞëùíÈåþñçìá ôïõ ÈáëÞ


¼ìïéá ðïëýãùíá¼ìïéá ôñßãùíá


ÅìâáäÜ üìïéùí ó÷çìÜôùí¼ãêïé üìïéùí óôåñåþí




16ºóá ôñßãùíáºóá ôñßãùíá

Ποια ονοµάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοι-

χεία τριγώνου;

Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονοµάζουµε τις πλευ-

ρές και τις γωνίες του.

∆ευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου ονοµάζουµε τα ύψη

του, τις διαµέσους του και τις διχοτόµους των γωνιών του.

• ύψος ενός τριγώνου ονοµάζεται η απόσταση µιας κορυφής

του από την απέναντι πλευρά του

• διάµεσος ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει την

κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς

• διχοτόµος ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια

κορυφή µε την απέναντι πλευρά και χωρίζει την γωνία σε δύο

ίσα µέρη.

Τι γνωρίζετε για τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου;

Για τα κύρια στοιχεία του τριγώνου γνωρίζουµε ότι:

α. Κάθε πλευρά του είναι µικρότερη από το άθροισµα των

δύο άλλων δηλ. α β γ< + , β α γ< + , γ α β< +

β. Το άθροισµα των γωνιών του είναι 180ο δηλ.

οˆ ˆ ˆΑ Β Γ 180+ + = .

Κύρια στοιχεία


212. Ισότητα - Οµοιότητα σχηµάτων

Ίσα τρίγωνα

Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων;

Κριτήρια ισότητας τριγώνων είναι:

1ο Κριτήριο: ∆ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευ-

ρές τους ίσες µία προς µία και τις περιεχόµενες γωνίες στις

πλευρές αυτές αντίστοιχα ίσες. ∆ηλαδή για τα τρίγωνα του

σχήµατος.

Αν

β β '

γ γ ' τότε Α ΒΓ Α΄Β΄Γ΄

ˆ ˆΑ Α '

=

= ==

2ο Κριτήριο: ∆ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν µια πλευρά

ίση και τις προσκείµενες γωνίες στην πλευρά αυτή αντί-

στοιχα ίσες. ∆ηλαδή για τα τρίγωνα του σχήµατος.

Αν

α α΄

ˆ ˆΒ Β' τότε Α ΒΓ Α΄Β΄Γ΄

ˆ ˆΓ Γ '

=

= ==

• Το σηµείο τοµής των τριών ύψων ενός τριγώνου ονοµάζεται ορθόκεντρο

• Το σηµείο τοµής των διαµέσων ενός τριγώνου ονοµάζεται βαρύκεντρο

• Το σηµείο τοµής των διχοτόµων ενός τριγώνου ονοµάζεται έγκεντρο

Κριτήρια ισότητας

τριγώνων


213.Ισότητα - Οµοιότητα σχηµάτων


Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τρι-

γώνων;

∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

α. τις δύο κάθετες πλευρές τους ίσες

β. µια κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίσες

γ. µια κάθετη πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες

δ. την υποτείνουσα και µια οξεία γωνία ίσες

• Για την σύγκριση δύο τριγώνων πρέπει οπωσδήποτε να χρησιµοποιήσουµε

τρία κύρια στοιχεία από τα οποία ένα τουλάχιστον είναι πλευρά

• Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε έχουν ίσες όλες τις πλευρές τους και όλες τις γωνίες

τους

Κριτήρια ισότητας

ορθογωνίων τριγώ-

νων

Γενικά δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν εκτός από τις ορθές γωνίες

τους δύο ακόµα κύρια στοιχεία τους ίσα εκ’ των οποίων το ένα τουλάχιστον είναι

πλευρά.

3ο Κριτήριο: ∆ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές

τους ίσες µία προς µία. ∆ηλαδή για τα τρίγωνα του σχήµα-

τος . Αν

α α΄

β β ' τότε ΑΒΓ Α΄Β΄Γ΄

γ γ '

= = ==




∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑBΓ και Α∆ το ύψος του. Να δείξετε ότι το ∆ είναι µέσο

της ΒΓ, και η Α∆ διχοτόµος της γωνίας Α .

Λύση

Α Β∆

= Α ∆ Γ

διότι:

Eίναι ορθογώνια

ΑΒ ΑΓ (πλευρές ισοσκελούς τριγώνου)

Α∆ Α∆ (κοινή πλευρά)

==

i

i

i

Αφού Α Β∆ Α ∆ Γ=

τότε και: Β∆ ∆Γ= άρα ∆ µέσο ΒΓ και

1 2ˆ ˆΑ Α= άρα Α∆ διχοτόµος

∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Να δείξετε ότι η διαγώνιος Β∆ χωρίζει το παραλ-

ληλόγραµµο σε δύο ίσα τρίγωνα.

Λύση

Α Β∆ ΒΓ∆

= διότι:

ΑΒ Γ∆ (απέναντι πλευρές παραλ / µου)

Α∆ ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλ / µου)

Β∆ Β∆ (κοινή πλευρά)

===

i

i

i

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάµεσος. Προεκτείνουµε την ΑΜ κατά Μ∆ = ΑΜ .

Να δείξετε ότι:

α. =Μ Α Β Μ Γ ∆

β. ΑΒ = Γ∆ γ. +< ΑΒ ΑΓ

ΑΜ2

Λύση

α. Μ Α Β Μ Γ∆=

διότι:




1 2

ΜΑ Μ∆ (υπόθεση)

ΜΒ ΜΓ (Μ µέσο Α∆)

ˆ ˆΜ Μ (κατακορυφήν γωνίες)

i

i

i

==

=

β. Αφού Μ Α Β Μ Γ∆=

τότε και ΑΒ Γ∆= (1)

γ. Στο τρίγωνο Α∆Γ ισχύει: Α∆ ΑΓ Γ∆< + και

επειδή ισχύει η σχέση Α∆ = 2ΑΜ καθώς και η

(1) έχουµε:

2ΑΜ

2

ΑΓ ΑΒ

2

+< τότε ΑΒ ΑΓ

ΑΜ2

+<

∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) όπου ΑΕ, ΒΖ τα ύψη του. Να δείξετε ότι:

α. Τα τρίγωνα Α∆Ε και ΒΓΖ είναι ίσα.

β. =∆Ε ΖΓ

γ. −= Γ∆ ΑΒ

∆Ε2

Λύση

ΑΕ//ΒΖ γιατί είναι κάθετες στην Γ∆, ΑΒ//Γ∆ άρα το

ΑΒΖΕ είναι παραλ/µο οπότε ΑΕ ΒΖ= (1) και

ΕΖ ΑΒ= (2)

α. Α ∆ Ε

= ΒΖΓ

διότι:

( )Είναι ορθογώνια

ΑΕ ΒΖ (λόγω 1 )

Α∆ ΒΓ (σκέλη ισοσκ. τραπεζίου)

==

i

i

i

β. Αφού Α ∆ Ε

= ΒΖΓ

(από α. ερώτηµα) τότε και ∆Ε ΖΓ= (3).

γ. Παρατηρούµε ότι: ∆Ε ΕΖ ΖΓ Γ∆+ + =∆Ε ΑΒ ∆Ε Γ∆⇔ + + =

Και λόγω (2) και (3) έχουµε: 2∆Ε = Γ∆ – ΑΒ ή Γ∆ ΑΒ

∆Ε2

−=

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( =ΑΒ ΑΓ ) προεκτείνουµε την ΒΓ κατά τµήµατα

Β∆ = ΓΕ . Να δείξετε ότι Α∆ = ΑΕ .




Λύση

Αφού το Α ΒΓ

είναι ισοσκελές τότε 2 2ˆ ˆΒ Γ= οπότε και

1 1ˆ ˆΒ Γ= ως παραπληρωµατικές των ίσων γωνιών Γ

2, Β

2.

Α Β∆

= Α Γ Ε

διότι:

1 1

ΑΒ ΑΓ (πλευρές ισοσκελούς τριγώνου)

Β∆ ΓΕ (υπόθεση)

ˆ ˆΒ Γ

i

i

i

==

=

Αφού Α Β∆

= Α Γ Ε

είναι και Α∆ = ΑΕ.

Να δείξετε ότι τα ύψη Β∆, ΓΕ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) είναι ίσα.

Λύση

Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές τότε ˆ ˆΒ Γ=

ΒΓ Ε ΒΓ∆

= διότι:

Είναι ορθογώνια

ΒΓ ΒΓ (κοινή)

ˆ ˆΒ Γ

=

=

i

i

i

Αφού ΒΓ Ε ΒΓ∆

= είναι και Β∆ = ΓΕ.

∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ε, Ζ στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ

αντίστοιχα ώστε Α∆ = ΒΕ = ΓΖ . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ∆ΕΖ είναι ισόπλευρο.

Λύση

Α ∆ Ζ

= ΒΕ ∆

διότι:

( )

ο

ΑΖ ∆Β ∆ιαφορά ίσων τµηµάτων

Α∆ ∆Ε (υπόθεση)

ˆΒ Α 60

i

i

i

==

= =

Αφού Α ∆ Ζ

= ΒΕ ∆

είναι και ∆Ζ = ∆Ε (1)

Α ∆ Ζ

= Γ Ε Ζ

διότι:

( )

ο

ΑΖ ΕΓ ∆ιαφορά ίσων τµηµάτων

Α∆ ΖΓ (υπόθεση)

ˆΓ Α 60

i

i

i

==

= =

Αφού Α ∆ Ζ

= Γ Ε Ζ

είναι και ∆Ζ = ∆Ε (2)

Από (1) και (2) έχουµε: ∆Ε = ΕΖ = Ζ∆ άρα το τρίγωνο ∆ΕΖ είναι ισόπλευρο.




1. Να αποδείξετε ότι οι διάµεσοι ΒΜ και ΓΝ ισοσκελούς τριγώνου ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ=είναι ίσες.

2. Στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε ίσα τµήµατα Α∆,

ΑΕ. Αν Μ είναι το µέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι Μ∆ ΜΕ= .

3. Στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε τα ίσα τµήµατα

Α∆, ΑΕ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των σηµείων ∆, Ε από την ΒΓ είναι

ίσες.

4. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ= . Αν Κ, Λ, Μ µέσα των πλευρών του

ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα να δείξετε ότι το Κ Λ Μ

είναι ισοσκελές.

5. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάµεσος του. Να δείξετε ότι οι κορυφές Β, Γ

ισαπέχουν από την διάµεσο ΑΜ.

6. Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο. Προεκτείνουµε τις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ κατά τµή-

µατα Β∆ ΓΕ= . Να δείξετε ότι ΒΕ Γ∆= .

7. Έστω A BΓ

ισοσκελές τρίγωνο και Μ, Ν τα µέσα των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ.

Προεκτείνουµε την ΒΓ κατά Β∆ ΓΕ= . Να δείξετε ότι Μ∆ ΝΕ= .

8. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ= . Να δείξετε ότι οι διχοτόµοι Β∆, ΓΕ

είναι ίσες.

9. Αν ∆, Ε, Ζ σηµεία των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα, τριγώνου ΑΒΓ να δείξετε ότι:

∆Ε ΕΖ Ζ∆ ΑΒ ΒΓ ΓΑ+ + < + + .

10. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να δείξετε ότι το άθροισµα των διαγωνίων του είναι

µικρότερο από το άθροισµα των πλευρών.




11. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ= . Με πλευρά την ΒΓ και εξωτερικά του

τριγώνου κατασκευάζουµε το τετράγωνο ΒΓ∆Ε. Να δείξετε ότι το τρίγωνο Α∆Ε

είναι ισοσκελές.

12. Έστω ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο. Στην προέκταση της ΒΓ παίρνουµε τµήµα

Γ∆ ΒΓ= . Να δείξετε ότι: α. η ο∆ 30=

β. το Α Β∆

είναι ορθογώνιο

γ. Β∆

ΑΓ2

=

13. ∆ίνεται η γωνία ˆxOy . Πάνω στις Ox, Oy παίρνω τα σηµεία Α, Β και Γ, ∆ αντίστοιχα

ώστε OA OΓ= και OΒ O∆= . Να δείξετε ότι Α∆ ΒΓ= .

14. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ= και Μ µέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι το

σηµείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ.

15. ∆ίνεται τρίγωνο ABΓ και στο εσωτερικό του σηµείο Ρ. Να δείξετε ότι

ΑΒ ΑΓ ΒΓΡΑ ΡΒ ΡΓ

2

+ ++ + > .

16. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α και στις

προεκτάσεις παίρνουµε τα τµήµατα ΒΚ ΓΛ ∆Μ ΑΝ= = = . Να δείξετε ότι το ΚΛΜΝ

είναι τετράγωνο.

17. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )AΒΓ ΑΒ ΑΓ= . Στις προεκτάσεις της ΒΓ παίρνουµε

τµήµατα Β∆ ΓΕ= . Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των ∆, Ε από τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ

αντίστοιχα είναι ίσες.

18. ∆ίνονται δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ, Α∆Ε µε ˆ ˆΒΑΓ ∆ΑΕ= . Να δείξετε ότι

Β∆ ΓΕ= .

19. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ παίρνουµε τµή-

µατα Β∆ ΑΒ= , ΓΕ ΑΓ= . Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των σηµείων ∆, Ε από την

ΒΓ είναι ίσες.




Ερώτηση 1

Ποια είναι τα κύρια και ποια τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου;

Τι γνωρίζετε για αυτά;

Ερώτηση 2

α. ∆ιατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

β. ∆ιατυπώστε δύο από τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Άσκηση 1

Στο διπλανό σχήµα να δείξετε ότι:

α. ΚΒ = ΚΓ β. ΑΒΚ ΑΓΚ=

Άσκηση 2

Στο διπλανό σχήµα να δείξετε ότι:

α. ΚΛ = ΛΜ = ΜΝ = ΝΚ

β. Το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.

Άσκηση 3

Στο διπλανό σχήµα να δείξετε ότι: ∆Κ = ΕΛ

BA

Ä Ã

Ë

K

N

M


Τι γνωρίζετε για τα τµήµατα που ορίζονται µεταξύ

παραλλήλων ευθειών;

Όταν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν

ίσα τµήµατα σε µια ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα τµήµατα και

σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέµνει.

∆ηλαδή στο διπλανό σχήµα

αν:

1 2 3ε // ε // ε

τότεAB BΓ

=

Α΄Β΄ Β΄Γ΄=

Τι γνωρίζετε για την ευθεία που περνάει από το

µέσο πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς µια

άλλη πλευρά του;

Η ευθεία που περνάει από το µέσο µιας πλευράς

ενός τριγώνου και είναι παράλληλη προς µια άλλη πλευρά

του, περνάει από το µέσο της τρίτης πλευράς.

∆ηλαδή στο διπλανό σχήµα:

Αν Μ µέσο ΑΒ

τότε Ν µέσο της ΑΓΜΝ // BΓ


17ºóá ôìÞìáôá ìåôáîý ðáñáëëÞëùí

Èåþñçìá ôïõ ÈáëÞ

ºóá ôìÞìáôá ìåôáîý ðáñáëëÞëùí

Èåþñçìá ôïõ ÈáëÞ

Ίσα τµήµατα µεταξύ

παραλλήλων



Ίσα τµήµατα µεταξύ παραλλήλων - Θεώρηµα Θαλή

Χρησιµοποιώντας την πιο πάνω θεωρία θα δείξουµε ότι:

Η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υ-

ποτείνουσα είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας.

∆ηλαδη στο διπλανό σχήµα:

Αν ( )οˆ ΒΓΑΒΓ Α 90τότε ΑΜ

2ΑΜ : διάµεσος

= =

Απόδειξη:

Έστω Ν το µέσο της ΑΓ τότε Μ µέσο ΒΓ

εποµένως ΜΝ // ΑΒΝ µέσο ΑΓ

αρα ΜΝ ΑΓ⊥ (αφού

ΑΒ ΑΓ⊥ ). ∆ηλαδή το ΜΝ είναι µεσοκάθετος της ΑΓ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα

άκρα Α, Γ οπότε ΑΜ ΜΓ= , δηλ. ΒΓ

ΑΜ2

= .

Με τι ισούται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα

µέσα δύο πλευρών τριγώνου;

Το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευ-

ρών ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της τρίτης πλευράς

και είναι παράλληλο προς αυτήν.


Αν Μ µέσο ΑΒ ΒΓ

τότε ΜΝ //Ν µέσο ΑΓ 2

=

Μια εφαρµογή της πιο πάνω θεωρίας είναι η διαίρεση τµήµατος σε ν ίσα µέρη.

π.χ. σε 5 ίσα µέρη

Για να διαιρεθεί το ΑΒ σε 5 ίσα µέρη φέρνουµε µια

ηµιευθεία Αx και πάνω σ’ αυτήν 5 ίσα τµήµατα.

ΑΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΡ= = = = (τυχαία)

Ενώνουµε το Ρ µε το Β και απο τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν

φέρνουµε παράλληλες προς την ΒΡ. Τα τµήµατα που

ορίζονται στο ΑΒ είναι ίσα δηλ.

ΑΓ Γ∆ ∆Ε ΕΖ ΖΒ= = = =




Ποιο είναι το θεώρηµα Θαλή;

Όταν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες

τέµνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τµήµατα που ορίζο-

νται στη µια είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τµήµατα

που ορίζονται στην άλλη ευθεία.


Αν 1 2 3n // n // n , τότε AB ∆Ε ΑΓ

ΒΓ ΕΖ ∆Ζ= =

(ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήµατος).

Ποια είναι η εφαρµογή του θεωρήµατος Θαλή στο

τρίγωνο;

Κάθε ευθεία παράλληλη προς µια πλευρά ενός τρι-

γώνου τέµνει τις δύο άλλες πλευρές σε ίσους λόγους.


Αν 2

Α∆ ΑΕ ΑΒε // ΒΓ τότε

∆Β ΕΓ ΑΓ= = ή

Αν 1

ΑΖ ΑΗ ΖΓε // ΒΓ τότε

ΑΓ ΑΒ ΗΒ= =

Φέρνοντας την ∆Ε//ΒΓ σχηµατίζονται τα τρίγωνα Α∆Ε, ΑΒΓ. Αν εφαρµόσουµε

Θ. Θαλή χρησιµοποιόντας τις πλευρές των τριγώνων αυτών τότε ισχύει:

Α∆ ΑΕ ∆Ε

ΑΒ ΑΓ ΒΓ= =

Θεώρηµα Θαλή




∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ∆, Ε, Ζ µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα να

δείξετε ότι Α∆ΕΖ είναι παραλ/µο.

Λύση

Στο ΑΒΓ

∆ µέσο ΑΒάρα ∆Ε // ΑΓ

και Ε µέσο ΒΓ

(1)

Στο ΑΒΓ

Ε µέσο ΒΓάρα ΕΖ // ΑΒ

και Ζ µέσο ΑΓ

(2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το Α∆ΕΖ είναι παραλληλόγραµµο γιατί έχεις τις απέναντι

πλευρές παράλληλες.

∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να δείξετε ότι τα µέσα των πλευρών του είναι κορυφές

παραλληλογράµµου.

Λύση

Φέρνουµε τις διαγώνιες ΑΓ, Β∆.

Στο ΑΒΓ

Κ µέσο ΑΒτότε και ΚΛ // ΑΓ

και Λ µέσο ΒΓ

(1)

Στο Α∆Γ

Μ µέσο Γ∆τότε και ΜΝ // ΑΓ

και Ν µέσο Α∆

(2)




Από (1) και (2) προκύπτει: ΚΛ //ΜΝ (3)

Στο ΑΒ∆

Κ µέσο ΑΒτότε ΚΝ // Β∆

και Ν µέσο Α∆

(4)

Στο ΒΓ∆

Λ µέσο ΒΓτότε ΜΛ // Β∆

και Μ µέσο Γ∆

(5)

Από (4) και (5) προκύπτει: ΚΝ //ΜΛ (6)

Από τις σχέσεις (3) και (6) έχουµε ότι το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραµο.

Ένα τµήµα ΑΒ = 20cm να το χωρίσετε σε τρια ίσα τµήµατα.

Λύση

Φέρνουµε µια ηµιευθεία Αx και πάνω σ’ αυτήν τα διαδο-

χικά ίσα τµήµατα ΑΜ, ΜΝ, ΝΚ. Φέρνουµε την ΒΚ και

από τα Μ, Ν παραλλήλους προς την ΒΚ που τέµνουν

την ΑΒ στα ∆, Ε αντίστοιχα, τότε Α∆ ∆Ε ΕΒ= = .

∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Από το µέσο Μ της ΑΒ φέρνουµε παράλληλη στην ΑΓ η

οποία τέµνει την ΒΓ στο Ν, από το Ν φέρνουµε παράλληλη στην Β∆ η οποία τέµνει

την Γ∆ στο Λ και από το Λ φέρνουµε παράλληλη στην Α∆ που τέµνει την ΑΓ στο Ο.

Να δείξετε ότι το Ο είναι µέσο της ΑΓ.

Λύση

Στο ΑΒΓ

Μ µέσο ΑΒ τότε Ν µέσο ΒΓ

και ΜΝ // ΑΓ

Στο ΒΓ∆

Ν µέσο ΒΓ τότε Λ µέσο Γ∆

και ΝΛ // Β∆

A B

Ã

Ä

M

Ë

O N




Στο ΑΓ∆

Λ µέσο Γ∆τότε Ο µέσο ΑΓ

και ΛΟ // Α∆

Να σχεδιάσετε ένα τµήµα ΑΒ = 12cm και στη συνέχεια να βρείτε τµήµατα ίσα µε:

1AB

5,

4AB

5,

7AB

5.

Λύση

Παίρνουµε µια βοηθητική ευθεία Αx.

Πάνω στην Ax τα διαδοχικά και ίσα τµήµατα

AK KΛ ΛΜ ΜΝ ΝΞ ΞΟ ΟΠ= = = = = = . Ενώνου-

µε το Ξ µε το Β και από τα υπόλοιπα σηµεία φέρνου-

µε παράλληλες προς την ΒΞ.

άρα 1

AB Α∆5

= , 4

AB ΑΗ5

= , 7

AB ΑΙ5

=

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Β∆, ΓΕ τα ύψη του. Αν Μ µέσο της ΒΓ να δείξετε ότι το

τρίγωνο Μ∆Ε είναι ισοσκελές.

Λύση

Αφού Β∆, ΓΕ είναι ύψη του ΑΒΓ τα τρίγωνα Β∆Γ, ΒΕΓ είναι ορθογώνια τότε:

Στο Β∆ Γ

ορθογώνιο η ∆Μ είναι διάµεσος, οπότε

ΒΓ∆Μ

2= (1)

Στο ΒΕ Γ

ορθογώνιο η ΕΜ είναι διάµεσος, οπότε

ΒΓΕΜ

2= (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συµπεραίνουµε ότι ∆Μ ΕΜ= άρα το τρίγωνο Μ∆Ε είναι

ισοσκελές.




Να βρείτε το x εφαρµόζοντας θ.Θαλή στα τρίγωνα.

Λύση

α.

∆Ε//ΒΓ (αφού οι εντός εκτός και επί ταυτά γωνίες

ˆΒ, ∆ είναι ίσες) άρα Α∆ ΑΕ

∆Β ΕΓ= ή

x 5

3 2= ή 2x 15=

ή x 7,5=

β.

Επειδή ΚΜ// ΑΒ από θ. Θαλή έχουµε:

ΑM ΒΚ

MΓ ΚΓ= ή

3 x

6 4= ή 6x 12= ή x 2= .

γ.

Αφού BΓ 12= και ΒΗ 8= τότε ΗΓ 4=

Επειδή ΖΗ // ΑΓ από θ. Θαλή έχουµε: ΒΖ ΒΗ

ΑΖ ΗΓ= ή

x 8

2 4= ή 4x 16= ή x 4=

δ.

∆Ε // ΚΜ (αφού οι εντός εκτός και επί ταυτά γωνίες

ˆΚ, ∆ είναι ίσες) . Άρα από θ. Θαλή έχουµε:

ΚΛ ΛΜ

Κ∆ ΜΕ= ή

x 9

2 3= ή 3x 18= ή x 6=




ε.

Επειδή ∆Ε // ΒΓ από θ. Θαλή έχουµε:

Α∆ ΑΕ

∆Β ΕΓ= ή

x 9

4 x= ή 2x 36= ή x 6=

∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ και ΕΖ//ΑΒ//∆Γ. Αν Α∆ = 9cm και AE = 3cm , BZ = 9cm .

Να βρείτε το x.

Λύση

Ε∆ = Α∆ – ∆Ε = 9 – 3 = 6

ΕΖ//ΑΒ//∆Γ τότε από θ. Θαλή έχουµε:

AE ΒΖ

E∆ ΖΓ= ή

3 9

6 x= ή 3x 54= ή x 18cm=

Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x, y αν ∆Ε // ΒΓ.

Λύση

α. ∆Ε // ΒΓ τότε από θ. Θαλή έχουµε: Α∆ ΑΕ

∆Β ΕΓ= ή

x y

4x 16= ή

1 y

4 16= ή 4y 16= ή y 4=

β. Όµοια από θ. Θαλή έχουµε:

A∆ ΑΕ

∆Β ΕΓ= δηλ.

x 6

x 4 8=

+ ή ( )8x 6 x 4= + ή

8x 6x 24= + ή 8x 6x 24− = ή 2x 24= ή x 12=




∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Α∆ η διχοτόµος της γωνίας Α . Να δείξετε ότι B∆ ΑΒ

=∆Γ ΑΓ

(θεώρηµα διχοτόµων)

Λύση

Α∆ διχοτόµος άρα 1 2

ˆ ˆΑ Α= . Από το Β φέρνουµε παράλ-

ληλη προς την Α∆ που τέµνει την ΑΓ στο Ε.

( )Β∆ ΑΕΑ∆ // ΒΕ τότε από θ.Θαλή 1

∆Γ ΑΓ=

1 2

1 1 1

2

ˆ ˆΑ Α

ˆ ˆ ˆ ˆΑ Β (εντός εναλλάξ) τότε Β Ε

ˆ ˆΑ Ε (εντός εκτός και επι τα αυτά)

== ==

οπότε το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές άρα ΑΕ ΑΒ= (2) .

Από (1) και (2) προκύπτει η ζητούµενη σχέση.

Στο διπλανό σχήµα ισχύει: ΑΒ 1

=ΒΓ 4

, ΑΚ//ΒΛ//ΓΜ. Να υπολογίσετε τους λόγους:

α. ΚΛ

ΛΜβ.

ΑΓ

ΒΓγ.

ABΑΓ

δ. ΚΜ

ΚΛ

Λύση

α. ΑΒ ΚΛ

ΒΓ ΛΜ= άρα

1 ΚΛ

4 ΛΜ=

β. ΑΒ 1

ΒΓ 4= ή

ΑΓ ΒΓ 1

ΒΓ 4

− = ή ΑΓ 1

1ΒΓ 4

− =

ΑΓ 11

ΒΓ 4= + ή

ΑΓ 5

ΒΓ 4=

γ. ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ 4 1

1ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΓ 5 5

−= = − = − =

δ. ΚΜ ΑΓ 5

5ΚΛ ΑΒ 1

= = =




Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε την διάµεσο ΑΜ και Κ ένα σηµείο της διαµέσου. Από το

Κ φέρνουµε παράλληλες προς τις ΑΒ, ΑΓ που τέµνουν την ΒΓ στα ∆, Ε. Να δείξετε

ότι το Μ είναι µέσο του τµήµατος ∆Ε.

Λύση

ΚΜ ∆ΜΚ∆//ΑΒ τότε από θ.Θαλή

∆Μ ΜΕΑΜ ΒΜτότε

ΚΜ ΜΕ ΒΜ ΜΓΚΕ //ΑΓ τότε από θ.Θαλή

ΑΜ ΜΓ

= ==

(1)

Αφού Μ µέσο της ΒΓ τότε ΒΜ ΜΓ= οπότε στην σχέση

(1) οι παρονοµαστές είναι ίσοι άρα και οι αριθµητές.

∆ηλ. ∆Μ ΜΕ= άρα Μ µέσο του ∆Ε.




1. Να αποδείξετε ότι τα µέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόµβου.

2. Να αποδείξετε ότι τα µέσα των πλευρών ενός ρόµβου είναι κορυφές ορθογωνίου.

3. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, Μ, Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Γ∆ αντί-

στοιχα. Αν οι ΑΝ, ΓΜ τέµνουν την Β∆ στα Κ, Λ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι

∆Κ ΚΛ ΛΒ= = .

4. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )οˆA BΓ Α 90=

µε οΒ 30= . Να δείξετε ότι ΒΓ

ΑΓ2

= .

5. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆, Κ µέσο της ΑΒ. Από το Κ φέρνουµε την παράλληλη

προς την Α∆ η οποία τέµνει την Β∆ στο Λ. Από το Λ παράλληλη προς την Γ∆ η

οποία τέµνει την ΒΓ στο Μ και από το Μ παράλληλη προς την Β∆ η οποία τέµνει

την Γ∆ στο Ν. Να δείξετε ότι το Ν µέσο της Γ∆.

6. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Α∆ το ύψος του. Αν Κ, Λ, Μ µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ

αντίστοιχα να δείξετε ότι το ΚΛΜ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

7. ∆ίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ∆ΒΓ µε κοινή υποτείνουσα την ΒΓ. Αν Κ µέσο

της ΒΓ να δείξετε ότι ο κύκλος ΒΓ

Κ,2

περνάει από τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆.

8. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο ∆ της ΒΓ ώστε 1

Β∆ ΒΓ4

= . Αν Ε µέσο της διαµέ-

σου ΒΜ να δείξετε ότι ∆Ε//ΑΒ και 1

∆Ε ΑΒ4

= .

9. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΜ η διάµεσος του και Ε το µέσο της ΒΜ. Αν η ΑΕ τέµνει

την ΒΓ στο ∆ να δείξετε ότι Α∆

∆Ε4

= .




10. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ=

και Μ το µέσο της ΒΓ. Από το Μ

φέρνουµε παράλληλες προς τις ΑΒ, ΑΓ που τέµνουν τις ΑΓ, ΑΒ στα ∆, Ε αντίστοι-

χα. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Α∆ΜΕ είναι ρόµβος.

11. Έστω ΑΒΓ∆ ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι διαγώνιες ΑΓ, Β∆ τέµνονται κάθετα

στο Ο. Αν Μ, Ν τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών Α∆, ΒΓ να δείξετε ότι το

τρίγωνο ΟΜΝ είναι ισοσκελές.

12. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε το x αν ∆Ε // ΒΓ.

13. Στα παρακάτω τρίγωνα να υπολογίσετε το x αν ∆Ε // ΑΓ.

14. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε το x αν ∆Ε // ∆Γ.




15. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )oA 90= µε AB 6cm= και AΓ 8cm= . Μ, Ν

µέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να βρείτε

α. την ΒΓ β. την ΜΝ

16. Στο τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) Ε, Ζ σηµεία των Α∆, ΒΓ ώστε ΕΖ//ΑΓ//Γ∆. Αν

ΑΕ x= , A∆ 2x 1= − , ΒΖ 1= , ΓΖ x= να βρείτε το x.

17. Θεωρούµε τρεις ηµιευθείες Οx, Οy, Oz και Α, Β δύο σηµεία της Οx. Απο αυτά

φέρνουµε δύο ευθείες παράλληλες µεταξύ τους που τέµνουν την Οy, στα Α΄, Β΄.

Και από τα Α΄, Β΄ δύο άλλες ευθείες παράλληλες µεταξύ τους που τέµνουν την Οz

στα Α΄΄, Β΄΄. Να δείξετε ότι ΑΑ΄΄//ΒΒ΄΄.

18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω ΑΜ η διάµεσος του. Από σηµείο ∆ τη ΒΓ φέρνουµε παράλ-

ληλα προς την ΑΜ η οποία τέµνει την ΑΓ στο Ζ και την ΑΒ στο Η. Να δείξετε ότι

ΑΒ ΑΖ ΑΓ ΑΗ⋅ = ⋅ .

19. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ και Ο το σηµείο τοµής των διαγώνιων του ΑΓ, Β∆. Από το

Ο φέρνουµε παράλληλες προς τις µη παράλληλες πλευρές Α∆, ΒΓ οι οποίες τέ-

µνουν την Γ∆ στα Ζ, Η αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ∆Ζ ΗΓ= .

20. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Από το Α φέρνουµε ευθεία που τέµνει τις Β∆,

ΒΓ, Γ∆ στα Κ, Λ, Μ αντίστοιχα.

α. Να γίνει σύγκριση των λόγων: ΚΑ

ΚΜ,

ΚΛ

ΚΑ,

ΚΒ

Κ∆

β. να δείξετε ότι: 2ΚΑ ΚΜ ΚΛ= ⋅

21. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) και Μ, Ν µέσα των βάσεων του ΑΒ, Γ∆ αντίστοι-

χα. Από το Μ φέρνουµε παράλληλες προς τις Α∆, ΒΓ οι οποίες τέµνουν την Γ∆

στα Ε, Ζ. Να δείξετε ότι το Ν είναι µέσο του ΕΖ.

22. Β∆, ΓΕ ύψη του τριγώνου ΑΒΓ, και ΕΗ, ∆Ζ ύψη του τριγώνου Α ∆ Ε

. Να δείξετε

ότι: α. ΑΕ ΑΗ

ΑΒ Α∆= ,

Α∆ ΑΖ

ΑΓ ΑΕ= β. ΖΗ//ΒΓ




Ερώτηση 1

Με τι ισούται το τµήµα που ενώνει τα µέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου;

Ερώτηση 2

Ποια είναι η εφαρµογή του θεωρήµατος του Θαλή σε τρίγωνο;

Άσκηση 1

Να βρεθεί το x στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. β.

Άσκηση 2

∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε οˆB ∆ 90= = . Αν Ο µέσο της ΑΓ να δείξετε ότι το

τρίγωνο ΟΒ∆ είναι ισοσκελές.

Άσκηση 3

∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆). Αν Κ, Λ µέσα των µη παράλληλων πλευρών Α∆,

ΒΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΚΛ // ΑΒ // Γ∆.


Πότε δύο πολύγωνα λέγονται όµοια;

∆ύο πολύγωνα λέγονται όµοια όταν έχουν τις πλευ-

ρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Τι ονοµάζεται λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώ-

νων.

Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων ονοµά-

ζεται ο λόγος δύο οµόλογων πλευρών του.


18¼ìïéá ðïëýãùíá

¼ìïéá ôñßãùíá

¼ìïéá ðïëýãùíá

¼ìïéá ôñßãùíá

• Οµόλογες είναι οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες.

• Για δύο όµοια τρίγωνα A BΓ

, ∆ Ε Ζ

συµβολικά γράφουµε A BΓ ∆ Ε Ζ≈

• ∆ύο ίσα σχήµατα είναι όµοια όµως δύο όµοια σχήµατα δεν είναι απαραίτητα ίσα.

• ∆ύο ίσα σχήµατα έχουν λόγο οµοιότητας ίσο µε την µονάδα

• ∆ύο κανονικά πολύγωνα µε τον ίδιο αριθµό πλευρών είναι όµοια

• Αν τα παρακάτω πολύγωνα είναι όµοια τότε :

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A , Β Β , Γ Γ , ∆ ∆ , Ε Ε΄

και

ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Ε ΕΑ

Α΄Β΄ Β΄Γ΄ Γ΄∆΄ ∆΄Ε΄ Ε΄Α΄

= = = = = = = = =

Όµοια πολύγωνα

Λόγος οµοιότητας



Όµοια πολύγωνα - Όµοια τρίγωνα

Πότε δύο τρίγωνα λέγονται όµοια;

∆ύο τρίγωνα λέγονται όµοια όταν έχουν τις γωνίες

τους ίσες µια προς µια και τις οµόλογες πλευρές τους ανά-

λογες.

Πότε δύο τρίγωνα είναι όµοια;

( κριτήρια οµοιότητας )

1. ∆ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν δύο γωνίες του ενός

τριγώνου είναι ίσες µια προς µια µε δύο γωνίες του άλλου

τριγώνου.

2. ∆ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν οι πλευρές τους είναι ανάλογες.

• ∆ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν µια γωνία του ενός είναι ίση µε µια γωνία του άλλου

και οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες.

• Σε δύο ορθογώνια τρίγωνα όταν µια οξεία γωνία του ενός είναι ίση µε µια οξεία

γωνία του άλλου τότε αυτά είναι όµοια.

• Αν A BΓ ∆ Ε Ζ≈

µε ˆ ˆΑ ∆= , ˆ ˆΒ Ε= , ˆ ˆΓ Ζ= τότε για να γράψουµε τις ανάλογες

πλευρές εργαζόµαστε ως εξής:

Αφού ˆ ˆΑ ∆= , ˆ ˆΒ Ε= , ˆ ˆΓ Ζ= γράφουµε Α , Β , Γ

και∆ , Ε , Ζ

σχηµατίζουµε τρεις ίσους

λόγους οι οποίοι έχουν αριθµητές τα ευθύγραµµα τµήµατα µε άκρα όλους τους δυνα-

τούς συνδυασµούς των γραµµάτων Α, Β, Γ και παρονοµαστές τα ευθύγραµµα τµήµα-

τα µε άκρα όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των γραµµάτων ∆, Ε, Ζ δηλ.

ΑΒ ΒΓ ΓΑ

∆Ε ΕΖ ΖΑ= = .

Όµοια τρίγωνα

Κριτήρια οµοιότητας

τριγώνων




Να εξετάσετε αν τα παρακάτω παραλληλόγραµµα είναι όµοια.

α. β.

Λύση

α. Αφού ο ο

ο ο

ˆ ˆˆ ˆΑ 90 τότε Β Γ ∆ 90,οι γωνίες τους είναι ίσεςµια πρόςµια.

ˆ ˆˆ ˆΑ΄ 90 τότε Β΄ Γ΄ ∆΄ 90

= = = =

= = = =Επίσης ισχύουν:

ΑΒ 12 3

Α΄Β΄ 8 2

ΒΓ 6 3

ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α 3Β΄Γ΄ 4 2δηλαδή

Γ∆ 12 3 Α΄Β΄ Β΄Γ΄ Γ΄∆΄ ∆΄Α΄ 2

Γ΄∆΄ 8 2

∆Α 6 3

∆΄Α΄ 4 2

= = = = = = = == == =

Άρα τα πολύγωνα έχουν γωνίες αντίστοιχα ίσες και πλευρές ανάλογες που σηµαίνει

ότι είναι όµοια.




β. Είναι

ΑΒ 182

ΑΒ ΒΓΑ΄Β΄ 9παρατηρoύµε ότι . Άρα τα πολύγωναδεν είναι όµοια.

ΒΓ 6 3 Α΄Β΄ Β΄Γ΄

Β΄Γ΄ 4 2

= = ≠= =

∆ύο τετράπλευρα ΑΒΓ∆, ΕΖΗΘ είναι όµοια µε λόγο οµοιότητας 25

. Αν η περίµετρος

του ΕΖΗΘ είναι 40 cm να βρείτε την περίµετρο του ΑΒΓ∆.

Λύση

Έστω 1Π , 2Π οι περίµετροι των ΑΒΓ∆, ΕΖΗΘ αντίστοιχα . Τα ΑΒΓ∆, ΕΖΗΘ είναι

όµοια οπότε ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α 2

ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ 5= = = = .Απο την

ΑΒ 2

ΕΖ 5= έχουµε 5ΑΒ 2ΕΖ= ή

2ΑΒ ΕΖ

5= . Οµοια παίρνουµε

2ΒΓ ΖΗ

5= ,

2Γ∆ ΗΘ

5= ,

2∆Α ΘA

5= .

1

2

2 2 2 2ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ

Π ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α 5 5 5 5Π ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ

+ + ++ + += = =+ + + + + +

( )2ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ 25

ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ 5

+ + +=

+ + +.

Έχουµε λοιπόν 1

2

Π 2

Π 5= ή 1Π 2

40 5= ή 15Π 80= ή 1Π 16cm= .

∆ύο κανονικά 8 - γωνα είναι εγγεγραµµένα σε κύκλους µε ακτίνες 8cm, 3cm αντί-

στοιχα. Να δείξετε ότι είναι όµοια και να βρείτε το λόγο οµοιότητας τους.

Λύση

• Τα κανονικά πολύγωνα µε ίδιο πλήθος πλευρών έχουν γωνίες ίσες :

ˆ ˆA A΄= , ˆ ˆΒ Β΄= , ..., ˆ ˆΘ Θ΄=Eπίσης είναι

• ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑοπότε

Α΄Β΄ Β΄Γ΄ Γ΄∆΄ ∆΄Ε΄ Ε΄Ζ΄ Ζ΄Η΄ Η΄Θ΄ Θ΄Α΄

= = = = = = = = = = = = = =




ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΑ

Α΄Β΄ Β΄Γ΄ Γ΄∆΄ ∆΄Ε΄ Ε΄Ζ΄ Ζ΄Η΄ Η΄Θ΄ Θ΄Α΄= = = = = = =

Άρα τα κανονικά 8-γωνα είναι όµοια.

Όµοια όµως είναι και τα τρίγωνα ΟΒΓ

, Ο΄Β΄Γ΄

(αποδ. εύκολη), οπότε ΒΓ ΟΒ

Β΄Γ΄ Ο΄Β΄=

ή ΒΓ 8

Β΄Γ΄ 3= . Άρα ο λόγος οµοιότητας είναι

8λ

3= .

∆ίνονται τα παραλ/µα ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ για τα οποία ισχύουν: ΑΒ ΚΛ

=Α∆ ΚΝ

και

+ = οˆ ˆΑ Λ 180 . Να εξετάσετε αν είναι όµοια.

Λύση

ο

ο

ˆˆΑφού τοΚΛΜΝ είναι παραλ / µο ισχύει Κ Λ 180

ˆ ˆαπό την υπόθεση ισχύει Α Λ 180

+ =

+ = .Άρα ˆ ˆΑ Λ+ ˆΚ Λ= + ή ˆ ˆΑ Κ=

οπότε προφανώς ˆ ˆΓ Μ= (απέναντι γωνία).Είναι

ο

ο

ˆ ˆΑ Β 180 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆοπότε Α Β Α Λ ή Β Λˆ ˆΑ Λ 180

+ = + = + =+ =

οπότε και ˆ ˆ∆ Ν= . Άρα τα παραλ/µα έχουν τις απέναντι

γωνίες τους ίσες και επειδή

ΑΒ ΚΛ

Α∆ ΚΝ= θα είναι

ΑΒ Α∆

ΚΛ ΚΝ= ή

.Άρα και οι αντίστοιχες πλευ-

ρές τους είναι ανάλογες οπότε τα παραλληλόγραµµα ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ είναι όµοια.

K Ë

MN

A B

Ä Ã




∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και Ο σήµειο της διαγωνίου του Β∆. Αν Ε, Ζ σηµεία

των πλευρών ΑΒ, ΒΓ τέτοια ώστε το ΒΕΟΖ παραλ/µο να δείξετε ότι:

τα ΑΒΓ∆, ΒΕΟΖ είναι όµοια.

Λύση

ˆ ˆΒ Β= (κοινή γωνία των δύο παραλ/µων) τότε EOZ ∆=

(απέναντι γωνίες από την Β )

ο

11 1

ο

ˆ ˆΒ Ε 180 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆΆρα Β Ε Β Α Ε ΑˆΒ Α 180

+ = + = + ⇔ =+ =

.

Τότε προφανώς ˆ ˆΓ Ζ= .

Επειδή

ΕΒ ΟΒ ΟΕΟΕ // Α∆ τα τρίγωναΒΕΟ, ΒΑ∆ είναι όµοια,οπότε :

ΑΒ Β∆ Α∆

ΒΖ ΟΒ ΟΖΟΖ // Γ∆ τα τρίγωνα ΒΟΖ, Β∆Γ είναι όµοια,οπότε :

ΒΓ Β∆ Γ∆

= = = =

Άρα ΕΒ ΟΕ ΟΖ ΒΖ

ΑΒ Α∆ Γ∆ ΒΓ= = = ,δηλαδή οι πλευρές είναι ανάλογες που σηµαίνει ότι τα

παραλληλόγραµµα ΑΒΓ∆, ΒΕΟΖ είναι όµοια .

Στο παρακάτω σχήµα να δείξετε ότι τα τρίγωνα AB Γ , Α ∆Ε είναι όµοια και να

γράψετε την αναλογία των πλευρών τους.

Λύση

Eίναι Α Ε ∆ A BΓ≈

διότι : • ( )ˆ ˆΑ Α κοινή=

• ( )ˆΕ ∆ υπόθεση=

οπότε ισχύει και ΑΕ Ε∆ ∆Α

ΑΒ ΒΓ ΑΓ= = .

Στο διπλανό σχήµα να δείξετε ότι τα τρίγωνα AB Γ

, Α ∆Ε

είναι όµοια και να γράψετε την αναλογία των πλευρών τους.

Λύση

Eίναι Γ Α Β Γ∆ Ε≈

διότι : • ( )Γ Γ κοινή=

• 0A ∆ 9 0= =

οπότε ισχύει και ΓΑ ΑΒ ΒΓ

Γ∆ ∆Ε ΕΓ= = .

A B

Ä Ã

O

E

Z




Έστω Α∆ το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ( )= οˆΑΒΓ Α 90 . Να δείξετε ότι:

α. Τα τρίγωνα ΑΒΓ , Α∆Γ είναι όµοια.

β. Τα τρίγωνα ΑΒΓ , ΑΒ∆ είναι όµοια.

γ. Τα τρίγωνα ΑΒ∆ , Α∆Γ είναι όµοια

Σε κάθε περίπτωση να γράψετε τους λόγους των

πλευρών των όµοιων τριγώνων.

Λύση

α. Eίναι Α ΒΓ Α ∆ Γ≈

διότι : • ( )Γ Γ κοινή=

• 01A ∆ 90= = ,οπότε ισχύει και

ΒΓ ΑΓ ΑΓ

ΑΓ Α∆ Γ∆= = .

β. Eίναι Γ Α Β Γ∆ Ε≈

διότι : • ( )B B κοινή=

• 02A ∆ 90= = ,οπότε ισχύει και

BΓ ΑΓ ΑΒ

ΑΒ Α∆ Β∆= = .

γ. ( )

ο

1ο

1

ˆ ˆστο ΑΒΓ : Β 90 Γ ˆˆΆρα Β Α 1ˆ ˆστο Α∆Γ : Α 90 Γ

= − == −

Eίναι Α Β∆ Α ∆ Γ≈

διότι : 01 2

ˆ ˆ∆ ∆ 90= =i

( )( )1ˆΒ Α λόγω 1=i ,οπότε ισχύει και

ΑΒ Α∆ Β∆

ΑΓ Γ∆ Α∆= = .

Ένας πολιτικός µηχανικός µετράει την σκιά ενός κτιρίου η οποία είναι 15 m. Ταυτό-

χρονα µετράει και την σκιά του βοηθού του ο οποίος έχει ύψος 1,85m και την βρί-

σκει 1,5m. Ισχυρίζεται λοιπόν ότι το κτίριο έχει ύψος 18,5 m. Έχει δίκιο ή όχι;

Λύση

Τα τρίγωνα Α ΒΓ

, ∆ Ε Ζ

είναι όµοια αφού

( )ˆ ˆΑ ∆ ορθές= και

( )ˆ ˆΒ Ε εντός εκτός και επί τ 'αυτά= . Oι ακτίνες του

ηλίου θεωρούνται παράλληλες.

Άρα Α ΒΓ ∆ Ε Ζ

∼ οπότε ΒΓ ΑΒ ΑΓ

ΖΕ ∆Ε ∆Ζ= = και

15 x

1,5 1,85= , 1,5x 15 1,85= ⋅ ή 1,5x 27,75= ή

x 18,5= άρα ο µηχανικός έχει δίκιο.

A B

Ã

Ä E1,5

x

Z




∆ίνεται τρίγωνο Α Β Γ

και Β∆, ΓΕ τα ύψη του. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α Β ∆

,

Α Γ Ε

είναι όµοια και να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών τους.

Λύση

( )0

Α Β∆ Α Γ Ε διότι :

ˆ ˆΑ Α κοινήΆρα

ˆ ˆ∆ Ε 90

≈

=

= =

i

i

Α∆ ∆Β ΒΑ

ΑΕ ΕΓ ΓΑ= =

∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και ΑΜ, ΑΝ κάθετες στις πλευρές Γ∆, ΒΓ αντίστοι-

χα. Να δείξετε ότι ⋅ = ⋅ΑΜ ΑΒ ΑΝ Α∆ .

Λύση

( )

0

Α Β Ν Α ∆ Μ διότι :

ˆ ˆΝ Μ 90Άρα

ˆΒ ∆ απέναντι γωνίες παραλ / µου

≈

= =

=

ΑΒ ΒΝ ΝΑ

Α∆ ∆Μ ΜΑ= =

Απο την ΑΒ ΝΑ

Α∆ ΜΑ= παίρνουµε ΑΜ ΑΒ ΑΝ Α∆⋅ = ⋅ .




1. ∆ίνονται τα ορθογώνια ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ. Να εξετάσετε αν είναι όµοια και να βρείτε

το λόγο οµοιότητας στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. ΑΒ 20cm= , Α∆ 5cm= , ΚΛ 8cm= , ΛΜ 2cm=

β. ΑΒ 24cm= , Α∆ 100cm= , ΚΛ 12cm= , ΛΜ 40cm=

2. ∆ίνονται τα παραλ/µα ΑΒΓ∆, ΚΛΜΝ. Να εξετάσετε αν είναι όµοια, και να βρείτε τον

λόγο οµοίοτητας (αν είναι όµοια) στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. ΑΒ 4cm= , Α∆ 8cm= , ΚΛ 16cm= , ΚΝ 32cm=οˆ ˆΑ Κ 68= =

β. ΑΒ 6cm= , Α∆ 5cm= , ΚΛ 12cm= , ΚΝ 10cm=οˆ ˆΑ Λ 105= =

3. Έστω ΑΒΓ∆, Α΄Β΄Γ΄∆΄ ορθογώνια τραπέζια (Α∆ // ΒΓ, Α΄∆΄// Β΄Γ ,

οˆ ˆˆ ˆΑ Β Α΄ Β΄ 90 )= = = = . Αν τα τραπέζια είναι όµοια µε λόγο οµοιότητας 2

3 και

Α∆ 4cm= , ΑΒ 6cm= , ΒΓ 12cm= τότε:

α. Να βρείτε την Γ∆

β. Να βρείτε τις πλευρές του Α΄Β΄Γ΄∆

4. ∆ίνεται το παραλ/µο ΑΒΓ∆, Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων και ∆, Ε, Ζ, Η τα µέσα

των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο∆ να δείξετε ότι τα παραλ/µα ΑΒΓ∆ και ∆ΕΖΗ είναι όµοια.

5. Αν οι διαγώνιοι δύο ορθογωνίων ΑΒΓ∆, ΚΛΜΝ τέµνονται υπό γωνία 50ο να δείξετε

ότι είναι όµοια.

6. ∆ύο κανονικά εξάγωνα είναι εγγεγραµµένα σε κύκλους ακτίνων 12 cm και 20 cm

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι είναι όµοια και να βρείτε το λόγο οµοιότητας.




7. ∆ύο τετράπλευρα ΑΒΓ∆, ΚΛΜΝ είναι όµοια µε λόγο οµοιότητας 4

7. Αν η περίµε-

τρος του ΑΒΓ∆ είναι 60 cm να υπολογίσετε την περίµετρο του ΚΛΜΝ.

8. Ο λόγος οµοιότητας δύο τετραγώνων είναι 1

4. Η διαφορά των εµβαδών τους είναι

2225cm . Να βρείτε τις πλευρές τους.

9. Eξηγήστε γιατί τα παρακάτω τρίγωνα είναι όµοια και γράψτε τα ζεύγη των ίσων

γωνιών.

10. ∆ίνεται τρίγωνο Α ΒΓ

και ∆, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ. Να δείξετε

ότι τα τρίγωνα Α ΒΓ

, ∆ Ε Ζ

είναι όµοια και να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών

τους. Ποιος είναι ο λόγος οµοιότητας τους;

11. ∆ίνονται τα όµοια τρίγωνα Α ΒΓ

, Κ Λ Μ

µε λόγο οµοιότητας 3

4. Αν Α∆, ΚΕ οι

διχοτόµοι των γωνιών Α , Κ να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α Β∆

, Κ Λ Ε

είναι όµοια.

Ποιο είναι το µήκος της Α∆ αν η ΚΕ 4cm= ;

12. ∆ίνεται τρίγωνο ( )οˆA BΓ Α 90=

και ∆ σηµείο της ΒΓ. Η κάθετη στην ΒΓ στο

σηµείο ∆ τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

α. Α Ε Ζ

, A BΓ

όµοια

β. Α Ε Ζ

, Γ∆ Ζ

όµοια

Και στις δύο περιπτώσεις να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών των οµοίων

τριγώνων.




13. Βρείτε τον x στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. β.

14. α. Να εξηγήσετε γιατί δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν από µια οξεία γωνία ίση

είναι όµοια.

β.

A B

Ã

Ä

y z

x

E

8

4

6

Στο παραπάνω σχήµα να βρείτε τα µήκη x, y, z

15. ∆ίνεται το τρίγωνο ( )οˆA BΓ Α 90=

και Α∆ το ύψος του. ∆Ε, ∆Ζ οι κάθετες στις

πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.

α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α ∆ Ζ

, A BΓ

είναι όµοια

β. ∆Ε ΑΓ ∆Ζ ΑΒ⋅ = ⋅

16. Στο σχήµα που ακολουθεί να δείξετε ότι τα τρίγωνα Ρ Α ∆

, Ρ ΒΓ

είναι όµοια και

ισχύει η σχέση ΡΑ ΡΒ ΡΓ Ρ∆⋅ = ⋅ .




17. ∆ίνεται κύκλος (0,ρ) και δύο χορδές του ΑΒ, Γ∆ που τέµνονται στο Ρ (εσωτερικά

του κύκλου). Να δείξετε ότι:

α. Ρ Α ∆

, Ρ Γ Β

όµοια

β. ΡΑ ΡΒ ΡΓ Ρ∆⋅ = ⋅

18. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )οˆA BΓ Α 90=

και Α∆ το ύψος του. Να δείξετε ότι

2ΑΒ ΒΓ Β∆= ⋅ και 2

ΑΓ ΒΓ Γ∆= ⋅ .

19. ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Α∆, ΒΕ τα ύψη του που τέµνονται στο Η. Να

δείξετε ότι: ΑΗ Η∆ ΗΒ ΗΕ⋅ = ⋅ .

20. ∆ίνεται το παραλ/µο ΑΒΓ∆. Από το Α φέρνουµε ευθεία που τέµνει την ΒΓ στο Μ

και την Γ∆ στο Ν. Να δείξετε ότι ΑΒ Α∆ ΒΜ ∆Ν⋅ = ⋅ .

21. Αν Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων τραπεζίου ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) να δείξετε:

α. ΟΑ Ο∆ ΟΓ ΟΒ⋅ = ⋅β. ΟΑ Γ∆ ΟΓ ΑΒ⋅ = ⋅




Ερώτηση 1

α. Πότε δύο πολύγωνα είναι όµοια;

β. Τι ονοµάζουµε λόγο οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων;

Ερώτηση 2

α. Τι λόγο οµοιότητας έχουν δύο ίσα σχήµατα;

β. Τα κανονικά πολύγωνα µε ίδιο αριθµό πλευρών είναι όµοια; (Ναι ή οχι).

Άσκηση 1

∆ίνονται δύο παραλληλόγραµµα όµοια. Αν ο λόγος οµοιότητας τους είναι 1

3 να

βρείτε την διαγώνιο του ενός αν του άλλου η διαγώνιος είναι 9cm (δύο περιπτώσεις).

Άσκηση 2

∆ίνονται δύο ορθογώνια ΑΒΓ∆, ΚΛΜΝ. Αν AB 4cm= , BΓ 3cm= και τα ορθογώ-

νια είναι όµοια να βρείτε την διαγώνιο ΚΜ αν ο λόγος οµοιότητας τους είναι 1

2.

Άσκηση 3

Εξετάστε αν είναι όµοια τα παρακάτω παραλληλόγραµα.

A B

Ä Ã

4

3

40o

K Ë

Í Ì

10

6

40o


Τι ονοµάζεται λόγος οµοιότητας δύο οµοίων σχηµά-

των;

Λόγος οµοιότητας ονοµάζεται ο λόγος δύο οµόλο-

γων πλευρών των δύο οµοίων σχηµάτων.

Τι γνωρίζετε για το λόγο των εµβαδών δύο όµοιων

σχηµάτων;

Ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων σχηµάτων ισού-

ται µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας τους.

Αν 1 2Ε , Ε τα εµβαδά των δύο οµοίων σχηµάτων τότε:

21

2

Eλ

E= .

Τι γνωρίζετε για το λόγο των όγκων δύο όµοιων

στερεών;

Ο λόγος των όγκων δύο όµοιων στερεών είναι ίσος

µε τον κύβο του λόγου οµοιότητας.

Αν 1V , 2V οι όγκοι των δύο όµοιων στερεών τότε:

31

2

Vλ

V= .


19ÅìâáäÜ üìïéùí ó÷çìÜôùí

¼ãêïé üìïéùí óôåñåþí

ÅìâáäÜ üìïéùí ó÷çìÜôùí

¼ãêïé üìïéùí óôåñåþí

Λόγος οµοιότητας

Σχέση όγκων όµοιων

στερεών



Εµβαδά - Όγκοι όµοιων σχηµάτων

∆ύο όµοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν λόγο οµοιότητας 12

. Το εµβαδόν του ΚΛΜ

είναι 236cm . Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

Έστω 1E , 2E τα εµβαδά των τριγώνων ΑΒΓ, ΚΛΜ αντίστοιχα τότε:

212

21 1 121 1

2 2

Eλ

Ε Ε Ε1 1 1Eή ή ή ή 4Ε 36 ή Ε 9cmΕ 2 Ε 4 36 41

λ2

= = = = = = =

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ∆, Ε, Ζ τα µέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. Να βρείτε τον

λόγο των εµβαδών των όµοιων τριγώνων ΑΒΓ, ∆ΕΖ.

Λύση

Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα ∆, Ε, Ζ είναι µέσα των πλευρών του, άρα: ( )ΑΓ∆Ε 1

2= ,

( )ΒΓ∆Ζ 2

2= , ( )ΑΒ

ΕΖ 32

= .

Από (1), (2), (3) έχουµε:

ΑΒ ΒΓ ΑΓ2

ΖΕ ∆Ζ ∆Ε= = = οπότε λ 2=

2ΑΒΓ

2ΑΒΓ ΑΒΓ

∆ΕΖ

∆ΕΖ ∆ΕΖ

Eλ E E

E ή 2 ή 4E E

λ 2

= = ==

∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )= οˆΑ Β Γ Α 90

µε ΑΒ = 1cm , AΓ = 3cm . Ένα τρίγω-

νο ∆ Ε Ζ

όµοιο µε το Α Β Γ

έχει εµβαδό δεκαπλάσιο από το εµβαδόν του Α Β Γ

. Να

βρείτε την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές του ∆ Ε Ζ

.

A

B Ã

Ä

E

Z




Λύση

Βρίσκουµε τον λόγο οµοιότητας λ.

∆ΕΖ ΑΒΓΕ 10Ε= ή ∆ΕΖ

ΑΒΓ

Ε10

Ε= ή 2

λ 10= ή λ 10= (1). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

από πυθαγώριο θεώρηµα έχουµε: 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ= + ή 2 2 2

ΒΓ 1 3= + ή 2ΒΓ 10= ή

ΒΓ 10= (2).

ΕΖλ

ΒΓ= ή (από (1), (2))

ΕΖ10

10= ή ΕΖ 10 10= ⋅ ή ΕΖ 10cm=

Ο λόγος οµοιότητας δύο κύβων είναι 23

. Να βρείτε την σχέση των όγκων τους.

Λύση

Οι δύο κύβοι προφανώς είναι όµοια στερεά άρα ισχύει:

313

12

2

Vλ

V 2Vή

V 32λ

3

= = =

ή 1

2

V 8

V 27= ή 1 227V 8V= ή

1 2

8V V

27=

∆ύο όµοιοι κύλινδροι έχουν ακτίνες βάσεων 5cm , 10cm αντίστοιχα. Αν ο όγκος του

πρώτου είναι = 31V 320cm να βρείτε τον όγκο του δεύτερου κύλινδρου.

Λύση

Επειδή οι δύο κύλινδροι είναι όµοιοι ισχύει:

313

2 1

1 2

2

Vλ

V V 1ή

ρ 5 1 V 2λ

ρ 10 2

= = = = =

ή 1

2

V 1

V 8= ή 2 1V 8V= ή 2V 8 320= ⋅ ή 3

2V 2560cm=

Ο λόγος των εµβαδών δύο σφαιρών είναι 2516

. Να βρείτε τον λόγο των όγκων τους.

Λύση

Επειδή οι δύο σφαίρες είναι όµοια στερεά ισχύει:

1

2 2

21

2

E 25

E 16 25 5ή λ ή λ

E 16 4λ

E

= = ==




τότε 31

2

Vλ

V= ή

3

1

2

V 5

V 4 =

ή 1

2

V 125

V 64=

Η ακµή ενός κύβου είναι κατά 20% µεγαλύτερη από την ακµή ενός άλλου κύβου. Να

βρείτε ποσο % διαφέρουνε:

α. τα εµβαδά των επιφανειών τους

β. οι όγκοι τους

Λύση

Αν α, β οι ακµές των δύο κύβων τότε α β 0,2β 1,2β= + = τότε α

1,2β

= δηλ. λ 1,2=

α. ( )21

2

Ε1,2

Ε= ή 1

2

Ε1,44

Ε= ή 1 2Ε 1,44Ε=

δηλ. 1 2 2Ε Ε 0,44 Ε= + δηλ. το 1Ε είναι κατά 44% µεγαλύτερο από το εµβαδόν 2Ε .

β. ( )31

2

V1,2

V= ή 1

2

V1,728

V= ή

1 2V 1,728V= ή 1 2 2V V 0,728V= +

δηλ. ο όγκος 2V διαφέρει από τον 1V κατά 72,8%

Ο λόγος των όγκων δύο σφαιρών είναι 827

. Αν η επιφάνεια της µικρότερης είναι

2100cm να βρείτε την επιφάνεια της άλλης σφαίρας.

Λύση

Έστω V1 ο όγκος της µικρότερης σφαίρας και V

2 της µεγαλύτερης τότε:

13

2 3 3

31

2

V 8

V 27 8 2 2ή λ ή λ ή λ

V 27 3 3λ

V

= = = = =

Ισχύει επίσης: 212

1 12

2 2 2

Ελ

Ε Ε2 4 100 4Εή ή ήΕ 3 Ε 9 Ε 92

λ3

= = = = =

ή 24Ε 900= ή 2

900Ε

4= ή 2

2Ε 225cm=




1. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α 8cm= και β 12cm= . Ένα δεύτερο ορθογώνιο

όµοιο προς αυτό µε διαστάσεις x,y έχει εµβαδόν τετραπλάσιο από το πρώτο. Να

βρείτε τις διαστάσεις x, y.

2. Ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων τριγώνων είναι 49

25 και η διάµεσος του µικρότερου

είναι 7 cm. Να βρείτε την διάµεσο του άλλου.

3. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α. Αν η πλευρά του αυξηθεί κατά 30% του µήκους της

να βρείτε πόσο θα αυξηθεί το εµβαδόν του.

4. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ//Γ∆) και Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Αν

AB 6cm= και Γ∆ 12cm= να βρείτε τον λόγο των εµβαδών των τριγώνων ΟΑΒ

,

ΟΓ∆

.

5. Ένα κανονικό εξάγωνο έχει εµβαδόν 2400cm . Αν τετραπλασιάσουµε τα µήκη των

πλευρών του να βρείτε το εµβαδόν του νέου κανονικού εξαγώνου.

6. Στο διπλανό σχήµα να βρείτε τον λόγο των όγκων

των δύο κώνων. Αν ο όγκος του µεγάλου κώνου εί-

ναι 32700cm να βρείτε τον όγκο του µικρότερου κώ-

νου.

∆ίνεται 31V πρ

3= .

A

B

O

P

K

õ=

12

cm

Ë

8 cm




7. O λόγος των όγκων δύο κύβων είναι 64

27. Να βρείτε τον λόγο των ακµών τους και

τον λόγο των εµβαδών των επιφανειών τους.

8. Η ακµή µιας πυραµίδας είναι 8 cm . Να βρείτε την αντίστοιχη ακµή µιας άλλης

πυραµίδας όµοιας µε την πρώτη η οποία έχει όγκο 125 φορές µεγαλύτερο.

9. Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων κυλίνδρων είναι 4

5. Αν ο όγκος του ενός είναι

32350cm να βρείτε τον όγκο του άλλου.




Ερώτηση 1

Τι γνωρίζετε για το λόγο των εµβαδών δύο όµοιων σχηµάτων;

Ερώτηση 2

Τι γνωρίζετε για το λόγο των όγκων δύο όµοιων στερεών;

Άσκηση 1

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α. Αν η πλευρά του αυξηθεί κατά 20% του µήκους της

να βρείτε πόσο θα αυξηθεί το εµβαδόν του τετραγώνου.

Άσκηση 2

Ένα κανονικό εξάγωνο έχει εµβαδόν 2100cm . Αν διπλασιάσουµε τα µήκη των πλευ-

ρών του να βρείτε το εµβαδόν του νέου κανονικού εξαγώνου.

Άσκηση 3

O λόγος των όγκων δύο κύβων είναι 3

4. Να βρείτε τον λόγο των ακµών τους και τον

λόγο των εµβαδών των επιφανειών τους.



Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò ãùíßáòÔñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïðïéáóäÞðïôå ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí


Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáòãùíßáò

Íüìïò çìéôüíùíÍüìïò óõíçìéôüíùí



Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί µιας

οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο;

• Το ηµίτονο της οξείας γωνίας Β σε ορθογώνιο

τρίγωνο ορίζεται ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευ-

ράς, προς την υποτείνουσα, δηλαδή

β απέναντι κάθετηηµB

α υποτείνουσα

=

• Το συνηµίτονο της οξείας γωνίας Β σε ορθογώνιο τρίγω-

νο ορίζεται ως το πηλίκο της προσκείµενης κάθετης πλευ-

ράς, προς την υποτείνουσα, δηλαδή

γ προσκείµενη κάθετησυνΒ

α υποτείνουσα

=

• Η εφαπτοµένη της οξείας Β γωνίας σε ορθογώνιο τρίγω-

νο ορίζεται ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς

προς την προσκείµενη δηλαδή

β απέναντι κάθετηεφΒ

α προσκείµενη κάθετη

=

Οµοίως ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας Γ.

• γ

ηµΓα

=

• β

συνΓα

=

• γ

εφΓβ

=


20

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïðïéáóäÞðïôå ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí

ãùíéþí

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïðïéáóäÞðïôå ãùíßáò

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí

ãùíéþí

Τριγωνοµετρικοί

αριθµοί οξείας γωνίας

σε ορθογώνιο τρίγωνο

A B

Ã

áâ

ã


260. Τριγωνοµετρία

Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξεία γωνίας - Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οποιασδήποτε γωνίας -

Τριγωνοµετρικοί αριθµοί παραπληρωµατικών γωνιών

Ποιες γωνίες ονοµάζονται συµπληρωµατικές;

Ποια από τα παρακάτω ζεύγη γωνιών είναι συµπληρωµα-

τικές 35ο µε 55ο, 28ο µε 68ο, 40ο µε 50ο ;

Συµπληρωµατικές ονοµάζονται οι γωνίες που έχο-

υν άθροισµα 90ο. Η µια ονοµάζεται και συµπληρωµατική

της άλλης.

Οι συµπληρωµατικές γωνίες είναι: 35ο µε 55ο γιατίο ο ο35 55 90+ = και οι γωνίες 40ο µε 50ο γιατίο ο ο40 50 90+ = .

Σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων xOy θεωρούµε ένα

σηµείο Μ(x, y). Πως ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθ-

µοί της γωνίας που σχηµατίζεται από τις ηµιευθείες Οx

και ΟΜ;

Έστω ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων xOy, ένα

σηµείο Μ(x, y) και ω η γωνία που σχηµατίζεται από την

ηµιευθεία Οx, όταν αυτή περιστραφεί γύρω από το Ο αντίθε-

τα µε τους δείκτες του ρολογιού ή όπως λέµε κατά τη θετι-

κή φορά, µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΜ. Η γωνία

ω παίρνει τιµές από 0ο εώς 360ο. Έστω ότι ΟΜ ρ= . Τότε οι

τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας ω ορίζονται ως εξής:

y τεταγµένη του Μηµω

ρ ΟΜ

=

x τετµηµένη του Μσυνω

ρ ΟΜ

=

y τεταγµένη του Μεφω

x τετµηµένη του Μ

=

(όταν οω 90≠ και ο

ω 270≠ ).


αριθµοί συµπληρωµα-

τικών γωνιών


αριθµοί οποιασδήποτε

γωνίας

O

y

x

ù

ñM (x,y)

O

y

x

ùñ

M (x,y)

O

y

x

ù

ñ

M (x,y)

O

y

xù

ñ

M (x,y)

Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί µιας γωνίας ω είναι το ηµίτονο, το συνηµίτονο και

η εφαπτοµένη και συµβολίζονται αντίστοιχα ηµω, συνω, εφω.

• Υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου λέµε την πλευρά που βρίσκεται απέναντι

από την ορθή γωνία.


261.Τριγωνοµετρία



Τι τιµές µπορεί να πάρει το ηµίτονο και το συνηµί-

τονο µιας γωνίας ω;

Ισχύει η ισότητα: ηµω = 2,3;

Επειδή ρ ΟΜ x= > και ρ y> για οποιαδήποτε

γωνία ω ισχύουν:

1 ηµω 1− ≤ ≤ και

1 συνω 1− ≤ ≤Το ηµω δεν µπορεί να ισούται µε 2,3 γιατί 2,3 > 1.

Από τι εξαρτάται το πρόσηµο των τριγωνοµετρικών

αριθµών µιας γωνίας ω = ˆΧOΜ ;

Να βρεθεί το πρόσηµο των παρακάτω τριγωνοµετρικών

αριθµών: ηµ280ο, συν35ο, εφ87ο και συν300ο.

Το πρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών ηµω,

συνω και εφω εξαρτάται από το τεταρτηµόριο στο οποίο

βρίσκεται το σηµείο Μ. Έτσι:

• στο 1ο τεταρτηµόριο είναι x 0> και y 0> άρα

yηµω 0

ρ= > ,

xσυνω 0

ρ= > και

yεφω 0

x= > .

• στο 2ο τεταρτηµόριο είναι x 0< και y 0> άρα

yηµω 0

ρ= > ,

xσυνω 0

ρ= < και

yεφω 0

x= < .

• στο 3ο τεταρτηµόριο είναι x 0< και y 0< άρα

yηµω 0

ρ= < ,

xσυνω 0

ρ= < και

yεφω 0

x= > .

• στο 4ο τεταρτηµόριο είναι x 0> και y 0< άρα

yηµω 0

ρ= < ,

xσυνω 0

ρ= > και

yεφω 0

x= < .

Πρόσηµο τριγωνοµε-

τρικών αριθµών

x > 0, y > 0

x < 0, y > 0

x < 0, y < 0

x > 0, y < 0

O

y

x

ù

ñM (x,y)

O

y

x

ùñ

M (x,y)

O

y

x

ù

ñ

M (x,y)

O

y

xù

ñ

M (x,y)





Συνοπτικά το πρόσηµο των τριγωνοµετρικών αριθµών φαί-

νεται στον παρακάτω πίνακα:

ο ο ο οηµ280 0, συν35 0, εφ87 0, συν300 , 0< > > >

τεταρτηµό-

ριοΤριγ. Αριθ. 1ο 2ο 3ο 4ο

ηµx

συνx

εφx

+

+

+

+

+

+-

-

-

-

-

-

Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς

των 0ο, 90ο, 180ο, 270ο.

• Αν oω 0= έχουµε:

ο y 0ηµ0 0

ρ ρ= = = ,

ο x xσυν0 1

ρ x= = = ,

ο y 0εφ0 0

x x= = =


ο y yηµ90 1

ρ y= = = ,

ο x 0συν90 0

ρ y= = =

Η ο yεφ90

x= , δεν ορίζεται αφού x 0= .


ο y 0ηµ180 0

ρ ρ= = = ,

ο x xσυν180 1

ρ x

−= = = −

ο y 0εφ180 0

x x= = =

−


ο y yηµ270 1

ρ y

−= = = − , ο x 0

συν270 0ρ y

= = =

Η ο yεφ270

x= δεν ορίζεται αφού x 0= .


αριθµοί των

0ο, 90ο, 180ο, 270ο

O

y

xñ

M (0,y)

x = 0 , y > 0 , yñ =

ù

O

y

x

M (-x,0)

x < 0 , y = 0 , xñ =

O

y

x

M (0,-y)

x = 0 , y < 0 , yñ =





Ποιες γωνίες ονοµάζονται παραπληρωµατικές;

Ποια από τα παρακάτω ζεύγη γωνιών: 120ο µε 60ο, 30ο µε

130ο και 70ο µε 110ο ειναι παραπληρωµατικές;

Παραπληρωµατικές ονοµάζονται οι γωνίες που

έχουν άθροισµα 180ο. Η µία ονοµάζεται και παραπλή-

ρωµατική της άλλης.

Για παράδειγµα, παραπληρωµατικές γωνίες είναι:

120ο µε 60ο γιατί o o o120 60 180+ =

70ο µε 110ο γιατί o o o70 110 180+ =

Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των

παραπληρωµατικών γωνιών;

Για δύο παραπληρωµατικές γωνίες, έστω φ και

o180 φ− ισχύουν:

M(–x, y) M(x, y)y

–x x

ö

ñ ñ

y

x

• ( )ο yηµ 180 φ ηµφ

ρ− = =

• ( )ο x xσυν 180 φ συνφ

ρ ρ

−− = = − = −

• ( )ο y yεφ 180 φ εφφ

x x− = = − = −

−


αριθµοί

παραπληρωµατικών

γωνιών

Οι παραπάνω ισότητες µας βοηθούν να υπολογίζουµε µε τη χρήση των πινά-

κων τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς αµβλείας γωνίας.

π.χ.3

ηµ120 ηµ(180 60) ηµ60 0,872

= − = =





1. Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο

είναι:

• β

ηµΒα

= • γ

ηµΓα

=

• γ

συνΒα

= • β

συνΓα

=

• β

εφΒγ

= • γ

εφΓβ

=

2. Για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς συµπληρωµατικών γωνιών ισχύουν:

• ( )ο

ηµ 90 φ = συνφ− και ( )ο

συν 90 φ = ηµφ− .

3. Για οποιαδήποτε γωνία ˆω = ΧΟΜ µε τελική πλευρά 0Μ = ρ και Μ(x,y), ισχύουν:

yηµω =

ρ,

xσυνω =

ρ,

yεφω =

x (βλ. επόµενο σχήµα)

4. Για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς παραπληρωµατικών γωνιών ισχύουν τα

εξής:

( )ο

ηµ 180 -ω = ηµω ( )ο

συν 180 -ω = -συνω ( )ο

εφ 180 -ω = -εφω

5. Ισχύει ότι: 1 ηµω 1− ≤ ≤ και 1 συνω 1− ≤ ≤ για οποιαδήποτε γωνία ω.

A B

Ã

áâ

ã

M(–x, y) M(x, y)y

–x x

ù

ñ ñ

y

x





Να βρεθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των οξειών γωνιών των παρακάτω τριγώνων:

α. A B

Ã

4cm

3cm

5cm

β.

Z

EÄ

15cm

9cm

12cm

Λύση

α. Από τον ορισµό κάθε τριγωνοµετρικού αριθµού έχουµε:

απέναντι κάθετη ΑΒ 4cmηµΓ 0,8

υποτείνουσα ΒΓ 5cm= = = =

προσκείµενη κάθετη ΑΓ 3cmσυνΓ 0,6

υποτείνουσα ΒΓ 5cm= = = =

απέναντι κάθετη ΑΒ 4cmεφΓ 1,33

προσκείµενη κάθετη ΑΓ 3cm= = = =

Οµοίως:

ΑΓ 3cmηµΒ 0,6

ΒΓ 5cm= = = ,

ΑΒ 4cmσυνΒ 0,8

ΒΓ 5cm= = = ,

ΑΓ 3cmεφΒ 0,75

ΑΒ 4cm= = =

β. Όµοια για το τρίγωνο στην περίπτωση β. έχουµε:

∆Ζ 9cmηµΕ 0,6

ΕΖ 15cm= = = ,

∆Ε 12cmσυνΕ 0,8

ΕΖ 15cm= = = ,

∆Ε 9cmεφΕ 0,75

∆Ζ 12cm= = =

∆Ε 12cmηµΖ 0,8

ΕΖ 15cm= = = ,

∆Ζ 9cmσυνΖ 0,6

ΕΖ 15cm= = = ,

∆Ε 12cmεφΖ 1,33

∆Ζ 9cm= =





Σχόλιο: Μπορούσαµε να γράψουµε ( )οηµΒ ηµ 90 Γ συνΓ 0,6= − = =

και ( )οσυνΒ συν 90 Γ ηµΓ 0,8= − = =

Να υπολογιστούν οι γωνίες ω και φ σε κάθε µία περίπτωση:

α. A B

Ã

4cm8cm

ù

ö

β. Z

EÄ

5cm

2cm

ù

ö

Λύση

α. Για να υπολογίσουµε τη γωνία ω θα βρούµε το ηµίτονο της, εφόσον γνωρίζουµε την

ΑΓ που είναι η απέναντι κάθετη και την ΒΓ που είναι η υποτείνουσα. Έχουµε:

ΑΓ 4cmηµω 0,5

ΒΓ 8cm= = = . Από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες ή µε υπολογιστή τσέ-

πης (κοµπιουτεράκι) βρίσκουµε πως η τιµή 0,5 αντιστοιχεί στη γωνία των 30ο. Άρα

oω 30= .

Γνωρίζουµε επίσης ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται µε 180ο.

∆ηλαδή οA ω φ 180+ + = , οπότε ο ο ο90 30 φ 180+ + = άρα ο ο οφ 180 120 60= − = .

β. Για να υπολογίσουµε τη γωνία φ θα βρούµε το συνηµίτονο της αφού γνωρίζουµε την

προσκείµενη κάθετη και την υποτείνουσα. Είναι: ∆Ε 2cm

συνφ 0,4ΕΖ 5cm

= = = . Από τους

τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε ότι το συνηµίτονο µε τιµή 0,4 αντιστοιχεί περί-

που στη γωνία των 66ο. Άρα oφ 66= και επειδή o∆ φ ω 180+ + = είναι

ο ο ο90 66 ω 180+ + = , δηλαδή o ο οω 180 156 24= − = .

Σχόλιο: Τις γωνίες φ και ω στις περιπτώσεις α και β αντίστοιχα µπορούµε να τις

υπολογίσουµε χρησιµοποιώντας το συνηµίτονο, για τη γωνία φ στην περίπ-

τωση α και το ηµίτονο για την γωνία ω στην περίπτωση β. Προσπαθήστε να

το λύσετε και µε αυτόν τον τρόπο µόνοι σας για εξάσκηση.





Να υπολογίσετε τα x και y σε κάθε µία περίπτωση:

α.

B

AÃ

x

2cm

30o

β.

Z

EÄ

y

5cm

60o

Λύση

α. Γνωρίζουµε τη γωνία Γ και την απέναντί της κάθετη ενώ ψάχνουµε τη ΒΓ που είναι η

υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου. Άρα θα χρησιµοποιήσουµε το ηµίτονο για

να υπολογίσουµε το x. Οπότε: ΑΒ

ηµΓΒΓ

= , ο 2cmηµ30

x= . Από τους τριγωνοµετρι-

κούς πίνακες βρίσκουµε ότι οηµ30 0,5= . Άρα

2cm0,5

x= , οπότε

2cmx 4cm

0,5= = .

β. Όµοια µε την περίπτωση α) έχουµε:

∆ΖσυνΖ

ΖΕ= , ο 5cm

συν60y

= . Από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε ότι το

οσυν60 0,5= . Τότε 5cm

0,5y

= οπότε 5cm

y 10cm0,5

= = .

Να αποδείξετε ότι ( )− − =ο2συνx ηµ 90 x συνx , για οποιαδήποτε γωνία x.

Λύση

Ξέρουµε ότι ( )οηµ 90 x συνx− = . Τότε η σχέση που δίνεται γράφεται:

( )ο2συνx ηµ 90 x 2συνx συνx συνx− − = − = .

Να υπολογίσετε το ύψος στο οποίο βρίσκεται η ολυµπιακή φλόγα.

Λύση





Στο τρίγωνο ΦΒΑ για τη γωνία οΑ 55= έχουµε:

ο xηµ55

10m= , ή

x0,819

10m= . Άρα x 0,819 10m 81,9m= ⋅ = . Έχουµε όµως και ένα

βάθρο µε ύψος 1,1 m. Άρα το ύψος που βρίσκεται η φλόγα είναι 81,9m 1,1m 83m+ = .

Να υπολογίσετε το γινόµενο: ⋅ ⋅ ⋅ο ο ο ο

συν180 συν360 ηµ90 ηµ270 .

Λύση

Γνωρίζουµε ότι: οηµ90 1= + , οσυν180 1= − , οηµ270 1= − , ο

συν360 1= .

Οπότε: ( ) ( ) ( ) ( )ο ο ο οσυν180 συν360 ηµ90 ηµ270 1 1 1 1 1⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = +

Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των παραστάσεων.

α. = +Α 2ηµx 1 β. = +B 2συνx ηµx

Λύση

α. Γνωρίζουµε ότι 1 ηµx 1− ≤ ≤

Πολλαπλασιάζουµε µε 2: ( )2 1 2ηµx 2 1− ≤ ≤ ⋅2 2ηµx 2− ≤ ≤

Προσθέτουµε το 1 2 1 2ηµx 1 2 1− + < + ≤ +

Κάνουµε πράξεις 1 2ηµx 1 3− ≤ + ≤Άρα η παράσταση Α έχει ελάχιστη τιµή το 1− και µέγιστη το 3+ .

β. Γνωρίζουµε ότι 1 συνx 1− ≤ ≤

( )2 1 2συνx 2 1− ≤ ≤ ⋅

2 2συνx 2− ≤ ≤ και 1 ηµx 1− ≤ ≤Προσθέτουµε τις δύο ανισώσεις κατά µέλη και έχουµε:

( )2 1 2συνx ηµx 2 1− + − ≤ + ≤ +

3 2συνx ηµx 3− ≤ + ≤Άρα η παράσταση Β έχει ελάχιστη τιµή το 3− και µέγιστη το 3+ .

55o

1,1m

x

Ö

B A





Να υπολογίσετε το πρόσηµο των παρακάτω τριγωνοµετρικών αριθµών:

α. ηµ120ο , συν120ο , εφ120ο β. ηµ70ο , συν70ο , εφ70ο

Λύση

α. Η γωνία των 120ο έχει τελική πλευρά στο 2ο τεταρτηµόριο στο οποίο το ηµίτονο έχει

θετικό πρόσηµο.Το συνηµίτονο στο ίδιο τεταρτηµόριο έχει αρνητικό πρόσηµο και η

εφαπτοµένη έχει αρνητικό πρόσηµο.

β. Η γωνία των 70ο έχει τελική πλευρά στο πρώτο τεταρτηµόριο στο οποίο όλοι οι

τριγωνοµετρικοί αριθµοί είναι θετικοί. Άρα οηµ70 0> , οσυν70 0> , οεφ70 0> .

Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας των 130ο.

Λύση

Σχεδιάζουµε ένα σύστηµα αξόνων και µια γωνία 130ο.

Στην τελική πλευρά της παίρνουµε τυχαίο σηµείο Κ και

βρίσκουµε τις συντεταγµένες του ( )K 3,21, 3,83− και

ΟK 5= , τότε:

ο y 3,83ηµ130 0,766

OΚ 5= = =

ο x 3,215συν130 0,643

OΚ 5

−= = = −

οy 3,83

εφ130 1,19x 3,21

= =−

Αν ≤ ≤o o90 x 180 και =3ηµx 0,9 να υπολογίσετε τη γωνία x.

Λύση

3ηµx 0,9= . Άρα 0,9

ηµx 0,33

= = . Από τους τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε ότι

η τιµή ηµx 0,3= αντιστοιχεί σε γωνία 18ο ή ( )o o o180 18 162− = . Επειδή o o90 x 180≤ ≤

θα είναι οx 162= .

y

y´

xx´

K

O

130o

-3,21

3,83





Αν ≤ ≤o ο0 x 270 και + =συνx 0,8 0, 3 να υπολογίσετε το x.

Λύση

συνx 0,8 0,3+ = . Άρα συνx 0,3 0,8 0,5= − = − . Από

τους τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε ότι

συνx 0,5= αντιστοιχεί στη γωνία των 60ο. Οπότε

συνηµίτονο 0,5− έχουν οι γωνίες:

ο ο ο180 60 120− = και

ο ο ο180 60 240+ =

120o

60o

240o

-0,5





1. Με βάση το σχήµα να υπολογίσετε τις πλευρές και το εµβαδόν του παρακάτω τριγώνου.

2. Με βάση το σχήµα να υπολογίσετε την απόσταση των σηµείων Α, Β, Γ, ∆ του

σχήµατος, από την ΗΖ.

3. Να υπολογίσετε την απόσταση του πλοίου από το λιµάνι Α.

A

B

Ã

40o

30o

Ä

60o 50

o

H E1m 8m 10m 2mÄ ÆO

4km

60o

A





4. Με βάση τα σχήµατα να υπολογίσετε το x σε κάθε µία περίπτωση.

α. β.

5. Να βρεθεί το ύψος που βρίσκεται ο λαµπτήρας του παρακάτω σχήµατος.


α. ( )συνx ηµ 90 x 0− − = β. ( )ηµx 2συν 90 x 3ηµx+ − =

γ. ( )2συνx 3ηµ 90 x 5συνx+ − =

7. Σε σύστηµα αξόνων xOy να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των

γωνιών:

α. 200ο β. 310ο γ. 140ο δ. 80ο

8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα:

α. ο ο ο ο οσυν360 ηµ270 συν180 ηµ90 ηµ180⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β. ( ) ( )ο οσυν180 1 ηµ270 1− ⋅ −

γ. ( ) ( )ο ο1 ηµ90 1 συν0+ ⋅ + δ. ( )ο2003 1 συν180+ +

9. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

α. Α 2ηµx 3= + β. B 4συνx 1= − γ. Γ 3ηµx 2συνx= +

δ. ∆ 4συνx 3ηµx= − ε. Ε 2συνx 8ηµx= −

40o

0,8m

2m

60o





10. Με τη βοήθεια των τριγωνοµετρικών πινάκων να υπολογίσετε:

α. ηµ130ο β. συν170ο γ. ηµ150ο δ. εφ110ο

ε. εφ160ο στ. ηµ140ο ζ. συν145ο η. συν178ο

11. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 2ηµx 0,16= να υπολογίσετε το x.

12. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 3ηµx 0,12= να υπολογίσετε το x.

13. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 4συνx 0,12 0+ = να υπολογίσετε το x.

14. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 3συνx 0,21= − να υπολογίσετε το x.

15. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 2ηµ x 0,25= να υπολογίσετε το x.

16. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και 2εφx 20= − να υπολογίσετε το x.

17. Αν ο o0 x 180≤ ≤ και εφx 1= − να υπολογίσετε το x.

18. Αν η παραπληρωµατική γωνία της φ είναι τριπλάσια

από την φ, να υπολογίσετε την γωνία ω και τα µήκη των

πλευρών β και α του σχήµατος.

19. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων:

ο ο οΑ 2ηµ110 3ηµ120 4συν130= + − ο ο οB 10ηµ 60 10ηµ120 συν360= − +ο ο οΓ 4ηµ163 4συν158 2εφ136= + − ο ο ο∆ 3εφ113 4εφ168 3εφ113= − +

20. Με βάση το σχήµα να υπολογίσετε την απόσταση ∆Β.

â á

ö

ù

30cm


Ποιες σχέσεις µεταξύ των τριγωνοµετρικών αριθ-

µών µιας γωνίας γνωρίζετε;

Οι σχέσεις µεταξύ των τριγωνοµετρικών αριθµών

µιας γωνίας είναι:

1. ηµω

εφωσυνω

= , συνω 0≠ , δηλ. ο

ω 90≠ και 270ο.

2. 2 2ηµ ω συν ω 1+ =

Πώς διατυπώνεται ο νόµος των ηµιτόνων;

Σε κάθε τρίγωνο, οι πλευρές του είναι ανάλογες µε

τα ηµίτονα των απέναντι γωνιών του.

∆ηλαδή: α β γ

ηµΑ ηµΒ ηµΓ= =

Πώς εκφράζεται ο νόµος των συνηµιτόνων;

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:

2 2 2α β γ 2βγσυνΑ= + −2 2 2β α γ 2αγσυνΒ= + −2 2 2γ α β 2αβσυνΓ= + −

Βασικές σχέσεις


21

Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí

áñéèìþí ìéáò ãùíßáò

Íüìïò çìéôüíùí

Íüìïò óõíçìéôüíùí

Ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí

áñéèìþí ìéáò ãùíßáò

Íüìïò çìéôüíùí

Íüìïò óõíçìéôüíùí

Νόµος ηµιτόνων

Νόµος συνηµιτόνων



Σχέσεις τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας - Νόµος των ηµιτόνων - Νόµος συνηµιτόνων

1. Για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µιας γωνίας ω, ισχύουν:

ηµω

εφωσυνω

= και 2 2ηµ ω συν ω 1+ = .

2. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει α β γ

ηµΑ ηµΒ ηµΓ= = (Νόµος ηµιτόνων).

3. Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν:2 2 2α β γ 2βγσυνΑ= + −2 2 2β α γ 2αγσυνΒ= + −2 2 2γ α β 2αβσυνΓ= + − (Νόµος συνηµιτόνων).




Να αποδείξετε ότι =ηµx : εφx συνx .

Λύση

Επειδή ηµx

εφxσυνx

= έχουµε: ηµx συνx

ηµx : εφx ηµx : ηµx συνxσυνx ηµx

= = ⋅ =

Να υπολογίσετε την γωνία x όταν ≤ ≤ο o0 x 90 και − =ηµx 3συνx 0 .

Λύση

ηµx 3συνx 0− = ή ηµx 3συνx= ή ηµx

3συνx

= . Όµως ηµx

εφxσυνx

= . Οπότε εφx 3= . Από

τους τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε ότι η τιµή εφx 3= αντιστοιχεί περίπου στη

γωνία των 72ο. Άρα ox 72= .

Να αποδείξετε ότι 2 0 2 ο

συν 120 ηµ 60 1+ = .

Λύση

Γνωρίζουµε ότι ( )ο ο ο οηµ60 ηµ 180 60 ηµ120= − = .

Άρα 2 0 2 ο 2 0 2 οσυν 120 ηµ 60 συν 120 ηµ 120 1+ = + = , αφού 2 2συν x ηµ x 1+ = για κάθε

γωνία x.

Να αποδείξετε ότι + =2 25ηµ ω 5συν ω 5 .

Λύση

Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος : 2 25ηµ ω 5συν ω+ =

Βγάζουµε κοινό παράγοντα το 5 : ( )2 25 ηµ ω συν ω+ = 5 1 5⋅ =




10cm

A B

Ã

30o

20o

x

Αν α = 3ηµx και β = 3συνx να αποδείξετε ότι:

( ) ( )+ = ⋅ ⋅ +2α β 9 2ηµx συνx 1

Λύση

Αντικαθιστούµε τα α και β και έχουµε:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2α β 3ηµx 3συνx 3ηµx 2 3ηµx 3συνx 3συνx+ = + = + ⋅ ⋅ + =

( )2 2 2 29ηµ x 18συνx ηµx 9συν x 9 συν x ηµ x 18ηµx συνx= + ⋅ + = + + ⋅ =

( ) ( )9 18συνx ηµx 9 1 2συνx ηµx 9 2ηµx συνx 1= + ⋅ = + ⋅ = ⋅ ⋅ +

Αν =ηµω 0,5 και ≤ ≤ο ο90 ω 180 να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς

αριθµούς της γωνίας ω.

Λύση

Από τη βασική ταυτότητα 2 2ηµ ω συν ω 1+ = έχουµε:

( )2 20,5 συν ω 1+ = ή

221

συν ω 12

+ = ή 21

συν ω 14

+ = ή 2 1συν ω 1

4= − ή

2 3συν ω

4= . Άρα

3συνω

4= + ή

3συνω

4= − .

Επειδή στο διάστηµα 90ο έως 180ο το συνηµίτονο µιας γωνίας έχει αρνητικό πρόσηµο

είναι: 3

συνω 0,874

= − − . Επίσης ηµω 0,5

εφω 0,57συνω 0,87

= = = −−

.

Στο παρακάτω τρίγωνο να υπολογίσετε το µήκος x της πλευράς ΒΓ.

Λύση

Σύµφωνα µε το νόµο των ηµιτόνων έχουµε:

x 10cm

ηµΑ ηµΒ= ή

ο ο

x 10cm

ηµ20 ηµ30= . Από τους

τριγωνοµετρικούς πίνακες βρίσκουµε:

οηµ20 0,342= και οηµ30 0,5= . Οπότε

x 10cm

0,342 0,5= δηλαδή

x20cm

0,342= . Οπό-

τε x 20cm 0,342 6,84cm= ⋅ = .




Στο παρακάτω τρίγωνο να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ.

Λύση

Από το νόµο των ηµιτόνων έχουµε: ο

12cm 10cm

ηµωηµ80= ή

12cm 10cm

0,985 ηµω= ή

10cm12,18cm

ηµω= ή

10cmηµω 0,821

12,18cm= = . Οπότε

ο

ω 55 .

Τότε, ο οω φ 80 180+ + = ή ( )ο ο ο οφ 180 55 80 45= − + =

Στο παρακάτω τρίγωνο να υπολογίσετε την πλευρά x.

Λύση

Σύµφωνα µε το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ,

έχουµε:

2 2 2 οx α γ 2 α γ συν70= + − ⋅ ⋅ ⋅ ή

( ) ( )2 22x 4cm 14cm 2 4cm 14cm 0,342= + − ⋅ ⋅ ⋅ ή

2 2 2 2x 16cm 196cm 38,3cm= + − ή 2 2x 173,7 cm= .

Άρα 2x 173,7cm 13,18cm=

Στο παρακάτω τρίγωνο να υπολογίσετε τη γωνία ω.

Λύση

Σύµφωνα µε το νόµο των συνηµιτόνων στο τρί-

γωνο ΑΒΓ, έχουµε: 2 2 2γ α β 2αβ συνω= + − ⋅2 2 2 236cm 144cm 64cm 192cm συνω= + − ⋅

ή 2 2 236cm 208cm 192cm συνω= − ⋅

ή 2 2 236cm 208cm 192cm συνω− = − ⋅

ή 2172cm 192συνω− = − ή 2

2

172cmσυνω 0,895

192cm

−= =−

Άρα ο

ω 27

12cm

A

B Ã

80o

ö

ù

10 cm

4cm

A

B Ã

70o

x

14

6cm

A

B Ã

ù

8cm

12cm




1. Να δείξετε ότι:

α. 2 1ηµ x ηµ x ηµx−⋅ = β.

1εφ x ηµx συνx− ⋅ =

γ. 2 2 2 3ηµ x συν x εφ x ηµ x ηµx−⋅ ⋅ ⋅ =

2. Να υπολογίσετε την γωνία x όταν:

α. 2ηµx 3συνx= β. 4συνx 8ηµx 0− =

γ. 10ηµx 4συνx 0− = δ. 2ηµx συνx 3ηµx 5συνx− = −

3. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

2 2 2Α ηµ x συν x εφ x= ⋅ ⋅

( )2 2Β ηµx συνx 2συν x εφx= + − ⋅

2 2

2

ηµ x εφ xΓ

συν x

−⋅=

2 3∆ συνx ηµ x εφx ηµ x συνx−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


α. 2 ο 2 οσυν 100 ηµ 80 1+ = β.

2 ο 2 οσυν 50 ηµ 130 1+ =

γ. 2 ο 2 οσυν 133 ηµ 47 1+ = δ. 2 ο 2 οσυν 178 ηµ 2 1+ =

5. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς σε κάθε µία περίπτωση

όταν ο o90 x 180≤ ≤ :

α. 2

ηµx6

= β. 5

συνx20

= −

6. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x, σε κάθε µία

περίπτωση, όταν ο o180 x 270≤ ≤ :




α. ηµx 0,8= − β. εφx 6=

7. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x, σε κάθε µία

περίπτωση, όταν ο o270 x 360≤ ≤ :

α. συνx 0,86= β. ηµx 0,6= −


α. ( ) ( ) ( )2 2 2x συνω x ηµω 2 συνω ηµω

2− + − = − + , αν

22x 1=

β. 2 2συνα ηµ x συνα συν x συνα⋅ + ⋅ =

γ. 2 218συν α 18ηµ α 18+ =

9. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

2 2 2 2

2

ηµ ω συν x ηµ ω ηµ xΑ

συν ω

⋅ + ⋅=4 4ηµ x συν x

Βηµx συνx

−=+

10. Αν x 4συνω= και y 4ηµω= να δείξετε ότι: ( )2 2 1x y 16x y 16 1 εφω−+ + ⋅ = +

11. Να υπολογίσετε τις πλευρές των παρακάτω τριγώνων:

α. β.

12. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε οΑ 60= , οΒ 40= και α 12= . Να υπολογίσετε τις πλευρές

και τις γωνίες του τριγώνου.




13. Να υπολογίσετε τις γωνίες σε καθένα από τα παρακάτω τρίγωνα:

α. β. γ.

14. Στο παρακάτω σχήµα να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ γνωρίζο-

ντας ΑΒ 2ΑΓ= .

15. Ένα αυτοκίνητο πραγµατοποίησε την διαδροµή από την πόλη Α στην πόλη Β

διαµέσου της πόλης Γ. Να βρεθεί πόση απόσταση διάνυσε.

16. Αν 1 2ε // ε να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ.




17. Στο επόµενο σχήµα να υπολογίσετε την πλευρά x.

18. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε:

α. τη γωνία Β αν α 40cm= , β 50cm= και γ 60cm=

β. την πλευρά α αν οΑ 60= , β 10cm= και γ 20cm=

19. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε περίµετρο 24cm και α 8cm= , β 6 cm= . Να υπολογίσετε

το εµβαδόν και τις γωνίες του.

20. Έστω τρίγωνο ∆ΓΕ αν η παραπληρωµατική της γωνίας ∆ είναι 120ο και γ 10cm= ,

ε 6cm= να βρεθεί η πλευρά δ.



ÓõóôÞìáôá ãñáììéêþí åîéóþóåùíÁëãåâñéêÞ åðßëõóç óõóôçìÜôùí

ÃñáììéêÝò áíéóþóåéò



Ποια είναι η µορφή ενός συστήµατος δύο γραµµικών

εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγµα.

Η µορφή είναι ( )α x β y γΣ

α΄ x β΄ y γ΄

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

όπου α, β,

α΄, β΄ είναι οι συντελεστές των αγνώστων x, y και γ, γ΄ είναι

οι σταθεροί όροι του συστήµατος.

Παράδειγµα: 2x 5ψ 1

6x 2ψ 1

+ = + = −

Τι ονοµάζουµε επίλυση ενός συστήµατος;

Επίλυση ονοµάζουµε τη διαδικασία κατά την οποία

προσπαθούµε να βρούµε κάθε ζεύγος της µορφής (x, y) το

οποίο να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήµα-

τος.

Τι ονοµάζουµε λύση ενός συστήµατος;Να δοθεί πα-

ράδειγµα.

Λύση ενός συστήµατος ονοµάζουµε κάθε ζεύγος

της µορφής (x, y) το οποίο ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις

του συστήµατος.

Για παράδειγµα , το σύστηµα :

2x ψ 5

3x 2ψ 8

+ = + =

έχει λύση το ζεύγος (2, 1) ,δηλαδή x 2= , y 1= .


22ÓõóôÞìáôá ãñáììéêþí åîéóþóåùí

ÁëãåâñéêÞ åðßëõóç óõóôçìÜôùí


ÓõóôÞìáôá ãñáììéêþí åîéóþóåùí

ÁëãåâñéêÞ åðßëõóç óõóôçìÜôùí



288. Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και ανισώσεων

Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων - Γραµµικές ανισώσεις

Τι παριστάνει στο επίπεδο κάθε µια από τις εξισώ-

σεις ενός γραµµικού συστήµατος µε δύο αγνώστους;

Κάθε εξίσωση του συστήµατος παριστάνει στο επί-

πεδο µια ευθεία.

Πώς επιλύουµε γραφικά ένα σύστηµα; Να δοθούν

παραδείγµατα.

Στο ίδιο σύστηµα αξόνων σχεδιάζουµε τις δύο ευ-

θείες που αντιπροσωπεύουν τις δύο εξισώσεις του συστή-

µατος και στη συνέχεια παρατηρούµε εάν τέµνονται, εάν

είναι παράλληλες ή αν ταυτίζονται (ίδια ευθεία).

Αναλυτικότερα:

α. Αν τέµνονται τότε οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής τους

(του κοινού τους σηµείου) θα επαληθεύουν και τις δύο εξι-

σώσεις του συστήµατος, άρα θα είναι ζευγάρι λύσεων αυτού.

β. Αν είναι παράλληλες (κανένα κοινό σηµείο) το σύστηµα δεν

θα έχει κανένα ζευγάρι λύσεων και σ’ αυτή την περίπτωση θα

χαρακτηρίζεται αδύνατο.

γ. Αν οι δύο ευθείες ταυτίζονται τότε σηµαίνει ότι όλα τα σηµεία

τους (που είναι άπειρα) θα ικανοποιούν µε τις συντεταγµένες

τους και τις δύο εξισώσεις. Εποµένως το σύστηµα θα έχει

άπειρα ζευγάρια λύσεων και θα χαρακτηρίζεται αόριστο.

Παράδειγµα 1

Να λυθεί γραφικά το σύστηµα :

( )( )1x ψ 1

22x ψ 2

+ = + =

Σχεδιάζουµε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις ευθείες ( )1ε ,

( )2ε που είναι οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων

(1) και (2).

Παρατηρούµε ότι τέµνονται στο σηµείο Α (1, 0), δηλαδή

x 1= , ψ 0= που επαληθεύουν τις δύο εξισώσεις.

Πράγµατι είναι : 1 0 1+ = και 2 1 0 2⋅ + = .

(å )2

(å )1

y

y´

xx´

1

2

1


289.Συστήµατα γραµµικών εξισώσεων και ανισώσεων

Συστήµατα γραµµικών εξισώσεις - Γραµµικές ανισώσει

Παράδειγµα 2

Να λυθεί γραφικά το σύστηµα

2x ψ 1

6x 3ψ 6

+ = + =

Σχεδιάζουµε και πάλι τις γραφικές παραστάσεις των εξι-

σώσεων και διαπιστώνουµε ότι πρόκειται για παράλλη-

λες ευθείες. Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο.

Αν λύναµε την κάθε εξίσωση ως προς ψ θα είχαµε

ψ 2x 1= − + και 3ψ 6x 6= − + ή ψ 2x 2= − + .

∆ηλαδή έχουν τον ίδιο συντελεστή του x. Άρα οι ευθείες

είναι παράλληλες πρός την ευθεία µε εξίσωση y = –2x

και επειδή τέµνουν τον άξονα y΄y σε διαφορετικά ση-

µεία θα είναι µεταξύ τους παράλληλες.

Ποιες είναι οι αλγεβρικές µέθοδοι επίλυσης ενός

συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων δύο αγνώστων;

1. Μέθοδος της αντικατάστασης.

2. Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών.

Πώς επιλύουµε ένα σύστηµα µε τη µέθοδο της αντι-

κατάστασης;

Να λυθεί το σύστηµα x + 2y = 5

3x + 5y = 13

Λύνουµε τη µία από τις δύο εξισώσεις ως πρός έναν

άγνωστο και αντικαθιστούµε την τιµή του στην άλλη.


( )x 5 2yx 2y 5

ή ή3 5 2y 5y 133x 5y 13

= −+ = − + =+ =

y

y´

xx´1

2

½0 1

[λύνουµε την

πρώτη εξίσωση

ως προς x]

[αντικαθιστούµε

την τιµή του x

στη 2η εξίσωση]




x 5 2y x 5 2y x 5 2 2ή ή

15 6y 5y 13 y 13 15 y 2

= − = − = − ⋅ − + = − = − =

x 1

y 2

= =

. Άρα η λύση του συστήµατος είναι η (1, 2).

Πώς επιλύουµε ένα σύστηµα µε τη µέθοδο των αντί-

θετων συντελεστών; Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα µε

τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών

2x + 5y = 7

3x + 8y = 13

Πολλαπλασιάζουµε µε κατάλληλο αριθµό τα µέλη

κάθε εξίσωσης,ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συ-

ντελεστές στις δύο εξισώσεις.

η

η

πολλαπλασιάζουµε την 1 µε 3

πολλαπλασιάζουµε τη 2 µε 2

2x 5y 7 6x 15y 21

3x 8y 13 6x 16y 26−

+ = + = + = − − = − Προσθέτουµε κατά µέλη και παίρνουµε : – y = – 5 ή y = 5.

Αντικαθιστούµε την τιµή y = 5 σε µία απο τις δύο αρχικές

( συνήθως σ’αυτήν που έχει τους µικρότερους συντελεστές)

εδώ αντικαθιστούµε στην πρώτη εξίσωση και παίρνουµε :

2x 5 5 7 ή 2x 18 ή x 9+ ⋅ = = − = −

Άρα η λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος ( )9,5− .

Αν α και α΄ είναι οι συντελεστές του αγνώστου τους οποίους επιλέξαµε να

κάνουµε αντίθετους και δ το Ε.Κ.Π. αυτών τότε επιλέγουµε κατάλληλους αριθµούς

να πολλαπλασιάσουµε τις εξισώσεις ώστε οι συντελεστές α και α΄να γίνουν δ και δ− .

Όποια µέθοδο και να επιλέξουµε φροντίζουµε κατά τη διαδικασία της επίλυσης να

εµφανίσουµε στο σύστηµα µια εξίσωση µ’ έναν άγνωστο.




Όταν θέλουµε να επιλύσουµε ένα σύστηµα , αποφα-

σίζουµε άµεσα για τη µέθοδο που θα ακολουθήσουµε ή

απλοποιούµε πρώτα τη µορφή του;

Να λυθεί το σύστηµα

x - 1 y - 2 1+ =

3 6 2x + y = 2

Πρώτα απλοποιούµε τη µορφή των εξισώσεων του

συστήµατος (εάν είναι αναγκαίο) ώστε να πάρουµε δύο γραµ-

µικές εξισώσεις.

Στο συγκεκριµένο σύστηµα θα απλοποιήσουµε την πρώτη

εξίσωση . Έχουµε

x 1 y 2 1ή 6

3 6 2

− −+ =2 x 1

3

−⋅ 6+ y 2

6

−⋅ 6=3 1

ή2

⋅

( )2 x 1 y 2 3 ή 2x 2 y 2 3 ή 2x y 7− + − = − + − = + =

Οπότε το σύστηµα γίνεται ( )( )

2x y 7 1

x y 2 2

+ =

+ =Με αφαίρεση κατά µέλη ((1) – (2)) , παίρνουµε : x = 5 και µε

αντικατάσταση στην δεύτερη εξίσωση παίρνουµε :

5 + y = 2 ή y = – 3.

Ένα σύστηµα 2 γραµµικών εξισώσεων, µε δύο

αγνώστους είναι δυνατό να έχει δύο µόνο λύσεις; (αιτιολό-

γηση)

Όχι, µπορεί να έχει µόνο µία ή καµία ή άπειρες λύ-

σεις.

Πώς λύνεται ένα σύστηµα δύο εξισώσεων, όπου η

µία εξίσωση είναι 2ου βαθµού και η άλλη 1ου;

←

2 σύστηµα 2 εξισώσεωνx + y = 102 αγνώστων,όχι γραµµικό2x - y = 5




1. Λύση ενός συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους x και ψ

είναι κάθε ζεύγος (x, ψ) το οποίο επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του

συστήµατος.

2. Για να είναι γραµµικό το σύστηµα πρέπει να είναι στη µορφή

αx βy γ

α΄x β΄y γ΄

+ = + =

3. Πριν αποφασίσουµε τρόπο επίλυσης, του συστήµατος απαλοίφουµε παρονοµαστές

(εάν υπάρχουν) και εκτελούµε πράξεις ώστε να απλοποιήσουµε όσο το δυνατόν

περισσότερο τη µορφή του.

4. Αν η µία εξίσωση του συστήµατος αναιρεί την άλλη τότε το σύστηµα είναι αδύνατο

π.χ. x ψ 2

x ψ 1

+ = + =

5. Αν η µία εξίσωση είναι ή µπορεί άµεσα να γίνει ίδια µε την άλλη, τότε το σύστηµα

είναι αόριστο π.χ. x ψ 5

2x 2ψ 10

+ = + =

6. Αφού επιλύσουµε ένα σύστηµα επιβάλλεται να κάνουµε µια επαλήθευση για να

δούµε εάν πράγµατι η λύση που βρήκαµε ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις.

Κατά κύριο λόγο ακολουθούµε τη µέθοδο αντικατά-

στασης. Λύνουµε τη γραµµική εξίσωση ως πρός ένα άγνω-

στο.

Από την εξίσωση 2x y 5− = παίρνουµε y 2x 5= − και µε

αντικατάσταση στην πρώτη έχουµε :

2x 2x 5 10+ − = ή 2x 2x 15 0+ − = .

Είναι ∆ 4 60 64 0= + = > οπότε οι λύσεις της είναι :

11,2

2

x 52 8x

x 32

= −− ±==

<Για x 5= − από την (2) παίρνουµε y = – 15.

Για x 3= από την (2) παίρνουµε y = 1.

Εποµένως οι λύσεις του συστήµατος είναι οι ( )5, 15− − , ( )3,1 .




Να λυθεί γραφικά το παρακάτω σύστηµα: ( )

( )1

2

εx +ψ = 2

εx = ψ

Λύση

Παρατηρούµε ότι οι ευθείες ( )1ε και ( )2ε τέµνονται στο

σηµείο Α (1, 1). Άρα το ζεύγος (1, 1) αποτελεί λύση του

συστήµατος.Πράγµατι έχουµε :

1 + 1 = 2 και 1 = 1.

Ποια από τα παρακάτω συστήµατα είναι αδύνατα ή αόριστα;

( ) ( )1 2

x + ψ = 2 x - ψ = 1Σ Σ

3x + 3ψ = 5 2x - 2ψ = 2

( ) ( )3 4

2x + 5ψ = 7 y = xΣ Σ

4x +10ψ = 14 y = x + 2

Λύση

Αδύνατα είναι το ( )1Σ και το ( )4Σ . Αόριστα είναι το ( )2Σ και το ( )3Σ

Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα.

α. x

x +ψ =3

2x -ψ = 1

β. 2x +ψ = 7

x -ψ = -4

Λύση

α. Με πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε : x

3x 13

= + ή 9x = x + 3 ή 8x = 3 ή x = 3/8.

y

y´

xx´

2

0

2

(å )2

(å )1

A(1,1)




Με αντικατάσταση στην 2x - y = 1, παίρνουµε : 14

32 - y = 1 ή y

8= −

Άρα η λύση του συστήµατος είναι ( )3/8, 1/ 4− .

β. 2x ψ 7 2x ψ 7ή ή

x ψ 4 x ψ 4

+ = + = − = − − = −

3x 3 x 1 x 1ή ή

x ψ 4 ψ x 4 ψ 5

= = = − = − = + =

Άρα λύση του συστήµατος είναι το ζεύγος (1, 5).

Να λυθεί το σύστηµα:

23x - 2y x = 1

y = x

⋅

Λύση

2 23x 2y x 1 3x 2x x 1ή ή

y x y x

− ⋅ = − ⋅ =

= =

2 2 2 x 1 ή x 13x 2x 1 x 1ή ή

ψ xψ x ψ x

= = − − = = == =

Για x 1= είναι ψ 1= και για x 1= − είναι ψ 1= − .

Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι τα ζεύγη (1, 1) και ( )1,1− .

Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισµα των δύο κάθετων πλευρών του είναι 7cm

ενώ το εµβαδόν του είναι 26cm . Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές.

Λύση

Αν ονοµάσουµε x και ψ τις κάθετες πλευρές τότε έχουµε :

x ψ 7x 7 ψ

ή ήx ψx ψ 126

2

+ = = − ⋅ ⋅ == ( )

( )( )2

x 7 ψ 2x 7 ψή

7 ψ ψ 12 7ψ ψ 12 1

= −= − − ⋅ = − =

Λύνουµε την (1).Έχουµε 2ψ 7ψ 12 0− + − = µε α 1= − , β 7= ,

γ 12= − , οπότε :

1

1,2

2

6ψ 3

β ∆ 7 1 2ψ

82α 2ψ 4

2

−= =− ± − ± −= = =−− = =−

<Για ψ 3= από την (2) παίρνουµε x = 4 και για ψ 4= από την (2)

παίρνουµε x = 3.




Μια ευθεία διέρχεται από τα σηµεία ( )A 1,3 και ( )B 2,-1 . Να βρεθεί η εξίσωσή της.

Λύση

Έστω ψ αx β= + η εξίσωση της ευθείας (ε) που αναζητάµε. Εφ’ όσον διέρχεται από τα

σηµεία Α και Β οι συντεταγµένες των Α και Β ικανοποιούν την εξίσωσή της.

∆ηλαδή για x 1= και ψ 3= πρέπει 3 α β= + και

για x 2= και ψ 1= − πρέπει 1 2α β− = +

Λύνουµε το σύστηµα α β 3

2α β 1

+ = + = −

. Με αφαίρεση κατά µέλη παίρνουµε α 4= − οπότε

β 7= . Άρα η ευθεία (ε) είναι η ψ 4x 7= − + .

Το εµβαδόν του τριγώνου είναι 23cm , ενώ του τετραγώνου είναι 225cm . Να βρε-

θούν οι διαστάσεις του τετραγώνου.

Λύση

Σύµφωνα µε τα δεδοµένα, έχουµε :

( )

( )2

x ψ3 5 ψ ψ 6x ψ 6

2 ή ήx ψ 5 x 5 ψ

x ψ 25

⋅ = − ⋅ =⋅ = + = = − + =

( )( )

22 ψ 5ψ 6 0 15ψ ψ 6ή

x 5 ψ x 5 ψ 2

− + − = − =

= − = −

Η (1) έχει διακρίνουσα ∆ 25 24 1 0= − = > , οπότε :

11,2

2

ψ 35 1ψ

ψ 22

=− ±= = =−

Για ψ 3= από τη (2) έχουµε x 5 3 2= − =

Για ψ 2= από τη (2) έχουµε x 5 2 3= − =Άρα οι κάθετες πλευρές είναι (x, ψ) = (2, 3) ή (x, ψ) = (3, 2).




Σ’ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ο λόγος των δύο πλευρών του είναι 2. Ενώ το

εµβαδόν του είναι 18. Να βρεθούν τα µήκη των πλευρών του.

Λύση

2

x2 x 2ψx 2ψ

ψ ή ή ή2ψ ψ 18 2ψ 18

x ψ 18

= == ⋅ = = ⋅ =

2

x 2ψ x 6ή

ψ 3 ή ψ 3ψ 9

= = = = −=

Η τιµή ψ 3= − απορρίπτεται, αφού ψ 0> .

Ένας διψήφιος αριθµός έχει άθροισµα ψηφίων 3. Αν αυξήσουµε το πρώτο ψηφίο του

κατά 2 και το δεύτερο κατά 4, τότε ο νέος αριθµός που προκύπτει είναι τριπλάσιος

του αρχικού. Να βρεθεί ο αριθµός αυτός.

Λύση

Έστω x το πρώτο ψηφίο του αριθµού και ψ το δεύτερο ψηφίο αυτού. Τότε ο αριθµός έχει

( x 10 ψ⋅ + ) µονάδες

Ο νέος αριθµός θα έχει πρώτο ψηφίο x 2+ και δεύτερο ψηφίο ψ 4+ οπότε θα έχει

( ( )x 2 10 ψ 4+ ⋅ + + ) µονάδες

Σύµφωνα µε τα δεδοµένα έχουµε :

( )x ψ 3 1+ = και ( ) ( )x 2 10 ψ 4 3 x 10 ψ+ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + (2)

Η (2) γράφεται :

10x 20 ψ 4 30x 3ψ+ + + = + ή 24 20x 2ψ= + ή ( )12 10x ψ 3= +

Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων (1), (3).

x ψ 3 x ψ 3 x 1ή ή

10x ψ 12 10x ψ 12 ψ 2

+ = + = = + = − − = − = . Άρα ο αριθµός είναι ο 12.

Έστω ρ1, ρ

2 οι ακτίνες δύο κυκλικών δίσκων. Το άθροισµα των ακτίνων των δύο

δίσκων είναι 5cm , ενώ η διαφορά των εµβαδών τους είναι 215cm . Να βρεθούν οι

ακτίνες ρ1, ρ2 . ( )1 2ρ > ρ .

Λύση

Σύµφωνα µε τα δεδοµένα έχουµε :

( )1 21 2

2 22 21 21 2

ρ ρ 5ρ ρ 5ή ή

π ρ ρ 15πρ πρ 15

+ =+ = − =− = ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

ρ ρ 5 ρ ρ 5ή

π ρ ρ ρ ρ 15 π 5 ρ ρ 15

+ = + = + ⋅ − = ⋅ ⋅ − =




1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1

ρ ρ 5 ρ ρ 5 ρ ρ 5

ή ή ή15 3 3ρ ρ ρ ρ 2ρ 5

5 π π π

+ = + = + = − = − = = + ⋅

11

2 1 2

5 3 / π5 3/ π ρ

ρ 2ή2

5 3/ πρ 5 ρ ρ 5

2

++ = = + = − = −

1 1

2 2

5 3 / π 5 3/ πρ ρ

2 2ή

10 5 3/ π 5 3/ πρ ρ

2 2

+ + = = − − − = =

Να λυθεί το επόµενο µη γραµµικό σύστηµα:( )xψ + x + ψ = 11

x + ψ = 5

Λύση

( )xψ x ψ 11 xψ 5 11 xψ 6ή ή ή

x ψ 5 x 5 ψx ψ 5

+ + = + = = + = = −+ =

( )5 ψ ψ 6ή

x 5 ψ

− ⋅ =

= −

2 ψ 2 ή ψ 3ψ 5ψ 6 0ή

x 5 ψx 5 ψ

= =− + − = = −= − Άρα οι λύσεις είναι (x , ψ) = (3, 2) και (x , ψ) = (2, 3)




1. Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα:

α.

4x y 11

5 3x y

− + = =

β. 2x y 7

5x y 12

+ = − =

γ. 2x y 5

2y x 7

+ = + =

δ.

x 1 y 2 1

3 6 2x 1 y 1

4 3 3

+ − + = − + =


α. 2x y 1

x y 0

+ =

⋅ = β.

2 2x y 34

x y 8

+ =

+ =


α.

1 1 5

x y 6

x y 6

+ = ⋅ =

β.

1 1 1

x y 2

2 3 1

x y 5

+ = + =

4. Να υπολογίσετε δύο αριθµούς όπου το άθροισµά τους είναι 4 και το άθροισµα των

τετραγώνων τους είναι 10.

5. Να βρεθεί η εξίσωση µιας ευθείας η οποία διέρχεται από τα σηµεία ( )A 1, 2 και

( )B 0, 3− .




6. Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου το οποίο έχει υποτείνου-

σα µήκους 5cm και εµβαδό 26cm .

7. Να βρεθεί ο διψήφιος αριθµός του οποίου τα ψηφία έχουν άθροισµα 7, ενώ αν

αλλάξουµε τη θέση τους ο αριθµός που προκύπτει είναι µεγαλύτερες κατά δύο

µονάδες από το διπλάσιο του αρχικού, αριθµού.

8. Να βρεθεί η εξίσωση µιας ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και

το σηµείο ( )A 1, 2 .

9. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει εµβαδό 230cm και ηµιπερίµετρο 11. Να

βρεθούν οι διαστάσεις του.

10. Σ’ ένα αγρόκτηµα υπάρχουν κουνέλια και κότες. Το πλήθος όλων είναι 20 και το

σύνολο των ποδιών τους είναι 56. Να βρείτε πόσα κουνέλια και πόσες κότες υπάρ-

χουν στο αγρόκτηµα.

11. Σ’ ένα ξενοδοχείο υπάρχουν δωµάτια δίκλινα και τρίκλινα. Ο αριθµός των τρίκλι-

νων δωµατίων είναι κατά 5 µεγαλύτερος από τον αριθµό των δίκλινων. Επίσης

υπάρχουν συνολικά 60 κλίνες. Να βρείτε πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλι-

να δωµάτια.




Τι ονοµάζουµε ηµιεπίπεδο;

Έστω (ε) µια ευθεία του επιπέδου. Παρατηρούµε ότι

το χωρίζει σε δύο µέρη. Κάθε ένα µέρος απ’ αυτά µαζί µε τα

σηµεία της ευθείας (ε), ονοµάζεται ηµιεπίπεδο.

Ποια είναι η µορφή µιας γραµµικής ανίσωσης µε δύο

αγνώστους;

αx βy γ+ ≥ ή αx βy γ+ ≤

όπου α, β, γ, πραγµατικοί αριθµοί µε α 0≠ ή β 0≠

Ποια διαδικασία ακολουθούµε για να λύσουµε µια

γραµµική ανίσωση της παραπάνω µορφής;

α. Θεωρούµε την εξίσωση αx βy γ+ = η οποία πα-

ριστάνει ευθεία στο επίπεδο την οποία και σχεδιάζουµε.

β. Στη συνέχεια ,άν η ευθεία δεν διέρχεται από το Ο (0, 0)

ελέγχουµε άν οι συντεταγµένες του ικανοποιούν την ανί-

σωση ή όχι.

Αν ναι τότε οι συντεταγµένες όλων των σηµείων του

ηµιεπιπέδου που βρίσκεται το Ο (0, 0) είναι λύσεις της

ανίσωσης.

Αν όχι τότε οι συντεταγµένες των σηµείων του άλλου

ηµιεπιπέδου είναι λύσεις της ανίσωσης.

γ. Αφού εντοπίσουµε το ηµιεπίπεδο που δίνει τις λύσεις

της ανίσωσης, γραµµοσκιάζουµε το άλλο ηµιεπίπεδο.

Στην παραπάνω διαδικασία, αν η ευθεία αx βy γ+ = διέρχεται από το Ο (0, 0),

προκειµένου να εντοπίσουµε το ηµιεπίπεδο στο οποίο ανήκουν τα σηµεία των οποίων

οι συντεταγµένες επαληθεύουν την ανίσωση, χρησιµοποιούµε τις συντεταγµένες κά-

ποιου άλλου σηµείου αντί του Ο (0, 0).

y

x0

I

II

x y

Αν 0 ≥ γ τότε λύσεις της

ανίσωσης είναι οι συντεταγ-

µένες όλων των σηµείων

του ηµιεπιπέδου I.

Αν 0 ≤ γ τότε λύσεις της

ανίσωσης είναι οι συντεταγ-

µένες όλων των σηµείων

του ηµιεπιπέδου IΙ.

Σε κάθε περίπτωση γραµµο-

σκιάζουµε το επίπεδο του

οποίου οι συντεταγµένες

των σηµείων του δεν απο-

τελούν λύσεις της ανίσω-

σης.

III




Αν η ανίσωση είναι της µορφής : αx βy γ+ > ή αx βy γ+ < ακολουθούµε την

παραπάνω διαδικασία επίλυσής της. Όταν εντοπίσουµε το ηµιεπίπεδο εκείνο που

δίνει τις λύσεις φροντίζουµε να εξαιρέσουµε τα σηµεία της ίδιας της ευθείας.

Πώς επιλύουµε ένα σύστηµα γραµµικών ανισώσε-

ων;

Λύνουµε κάθε ανίσωση ξεχωριστά στο ίδιο σύστη-

µα αξόνων. Τα σηµεία των οποίων οι συντεταγµένες ικα-

νοποιούν όλες τις ανισώσεις του συστήµατος θα βρίσκο-

νται στο χωρίο του επιπέδου το οποίο δεν έχουµε γραµµο-

σκιάσει.

Ποια είναι τα προβλήµατα του γραµµικού προγραµ-

µατισµού;

Είναι τα προβλήµατα εκείνα στα οποία ζητάµε να

βρούµε τη µέγιστη ή την ελάχιστη τιµή που µπορεί να πάρει

µια παράσταση της µορφής αx βy+ , όπου x, y είναι µετα-

βλητές αριθµητικές ποσότητες και α, β σταθεροί αριθµοί.




(å )1

y

y´

xx´

2

2

0

(å )2

Να λυθεί γραφικά η ανίσωση 3x + y 2≤ .

Λύση

Θεωρούµε την εξίσωση 3x y 2+ = δηλαδή την y 3x 2= − + που έχει γραφική παρά-

σταση την ευθεία (ε) που στη συνέχεια σχεδιάζουµε.

Εφ’ όσον η (ε) δε διέρχεται από το Ο (0, 0) ελέγχουµε εάν

πληρεί µε τις συντεταγµένες του την ανίσωση.

Έχουµε για x 0= , y 0= ότι 3 0 0 0 2⋅ + = ≤ , που ισχύει

Άρα οι συντεταγµένες των σηµείων του ηµιεπιπέδου στο οποίο βρίσκεται το Ο (0, 0)

ικανοποιούν την ανίσωση. Εποµένως γραµµοσκιάζουµε το άλλο ηµιεπίπεδο.

Παρατήρηση: Οι συντεταγµένες των σηµείων της (ε) ικανοποιούν την ανίσωση αφού

σ’ αυτήν υπάρχει το ≤ όχι το < .

Να λυθεί γραφικά το σύστηµα : ( )( )

1

2

x y 2 A

y x A

+ ≥

≥

Λύση

Θεωρούµε τις εξισώσεις :

( )1x y 2 ή y x 2 ε+ = = − + και ( )2y x ε=

(å)

y

y´

xx´

2

10

-1

x 0 1

y 2 1−




Οι συντεταγµένες των σηµείων που βρίσκονται στο µη γραµµοσκιασµένο χωρίο επαλη-

θεύουν τις δύο ανισώσεις.Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι συντεταγµένες των

σηµείων του µη γραµµοσκιασµένου χωρίου.

Να βρείτε ποια ανίσωση παριστάνει το παρακάτω σχήµα.

Λύση

Η εξίσωση της ευθείας είναι

( )1ε : x y 2+ = και για x 0= , y 0= (συντεταγµένες του

Ο (0, 0)) παίρνουµε : 0 0 2+ ≤ ή 0 2≤ (Ι).

Παρατηρούµε ότι οι συντεταγµένες του Ο (0, 0) είναι λύση

της ανίσωσης, αφού το Ο (0, 0) βρίσκεται σε µη γραµµο-

σκιασµένο χωρίο. Το Ο (0, 0) και όλα τα σηµεία του

ηµιεπιπέδου που βρίσκεται αυτό ικανοποιούν την ανίσωση x y 2+ ≤ .

(å )1

2

2

0

η ( )1ε διέρχεται από τα

σηµεία (0, 2) και (2, 0)

Το Ο (0, 0), για x 0=και y 0= δεν ικανοποι-

εί την ( )1A

x 0 2

y 2 0

η ( )2ε διέρχεται από τα

σηµεία (0, 0) και (2, 2)

Το (0, 2) για x 0= και

y 2= ικανοποιεί την ( )2A

x 0 2

y 0 2




12. Το άθροισµα δύο φυσικών αριθµών είναι µικρότερο ή ίσο του 7. Ποιες είναι οι

δυνατές τιµές που µπορούν να πάρουν οι αριθµοί αυτοί;

13. Να λύσετε τις ανισώσεις:

α. x y 2− ≥ β. 2x 3y 7+ > γ. x 7≥δ. x 2y 5+ ≤ ε. x 3< στ. y 7>

14. Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα ανισώσεων:

α.

x 2

y 1

x y 4

> < + >

β. 2x y 7

x y 3

+ ≥ − <

γ. x y

x y 4

≥ + ≥

δ. x y

x y 2

≤ + ≥

15. Ποια ανίσωση παριστάνεται από το επόµενο σχήµα; (αιτιολόγηση)

16. Να βρείτε ποιο είναι το σύστηµα ανισώσεων που παριστάνει το διπλανό σχήµα.

( )1ε : y 3x 2= − +

( )2ε : y x=

0

y

y´

xx´

y=

x

(å )1

y

y´

xx´

2

1

(å )2

-1




Ερώτηση 1

∆ίνονται τα παρακάτω συστήµατα 2 εξισώσεων µε 2 αγνώστους. Ποιο είναι το γραµ-

µικό, ποιο όχι και γιατί;

α. 2x y 5

4x 3y 13

+ = + =

β. 2x y 0

x y 5

+ =

+ =Στη συνέχεια να επιλυθούν.

Ερώτηση 2

∆ίνονται τα παρακάτω συστήµατα τα οποία είναι αόριστο και αδύνατο αντίστοιχα,

να αιτιολογηθεί το γιατί χωρίς να επιλυθούν.

α.

2x y 3

4 2x y 2

3 3

+ = − + = −

β. 2

2

x y 0

x y 500

+ =

⋅ =

Άσκηση 1

Να λυθεί το σύστηµα µε χρήση κατάλληλου µετασχηµατισµού:

2 11

x y

4 53

x y

+ = ⋅ =

Άσκηση 2

Να βρεθούν οι τιµές των x, y που ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα :

( ) ( )2 2x y 2 x y 0+ + + − =

Άσκηση 3

Οι αριθµοί x, y είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς, 3 και 5 αντίστοιχα. Επίσης το

άθροισµά τους διαιρούµενο µε το 16 δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 0. Να βρεθούν οι

αριθµοί x, y.



ÄéáíýóìáôáÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò

Ðñüóèåóç - Áöáßñåóç äéáíõóìÜôùíÐïëëáðëáóéáóìüò áñéèìþí ìå äéáíýóìáôá



Ποια µεγέθη ονοµάζονται µονόµετρα;

Μεγέθη όπως το µήκος, η µάζα, ο χρόνος, που κα-

θορίζονται µόνο µε την αριθµητική τους τιµή, ονοµάζονται

µονόµετρα µεγέθη.

Ποια µεγέθη ονοµάζονται διανυσµατικά; Τι είναι το

διάνυσµα; Πως συµβολίζεται; Ποια είναι τα χαρακτηρι-

στικά ενός διανύσµατος AB

;

• Μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναµη, η επιτάχυνση,

που για τον προσδιορισµό τους δεν αρκεί µόνο η αριθµη-

τική τους τιµή, ονοµάζονται διανυσµατικά µεγέθη.

• Το διάνυσµα είναι η παράσταση ενός διανυσµατικού µεγέ-

θους ,είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα µε καθορισµένα άκρα.

Το ένα άκρο καθορίζεται να είναι η αρχή και το άλλο το

πέρας του.

• Ένα διάνυσµα AB

, συµβολίζεται µε α

όπως στο παρακά-

τω σχήµα.

• Τα χαρακτηριστικά ενός διανύσµατος AB

είναι:

i. Η διεύθυνση, η ευθεία δηλαδή που ορίζουν τα άκρα του

ΑΒ ή οποιοδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη µε αυτή.

ii. Η φορά του διανύσµατος, η οποία καθορίζεται από την

κίνηση που οδηγεί από την αρχή Α προς το πέρας Β.

iii. Το µέτρο του, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµή-

µατος ΑΒ το οποίο συµβολίζεται µε AB

.

Μονόµετρα µεγέθη

∆ιανυσµατικά µεγέθη

Οι ε1, ε2, ε3 είναι διευθύνσεις

του AB

.

Τα α

, β

έχουν αντίθετη φορά

ενώ τα α

, γ

έχουν την ίδια

φορά


23

Äéáíýóìáôá

ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò

Ðñüóèåóç - Áöáßñåóç äéáíõóìÜôùí

Ðïëëáðëáóéáóìüò áñéèìþí ìå äéÜíõóìá

Äéáíýóìáôá

ÓõíôåôáãìÝíåò äéáíýóìáôïò

Ðñüóèåóç - Áöáßñåóç äéáíõóìÜôùí

Ðïëëáðëáóéáóìüò áñéèìþí ìå äéÜíõóìá


310. ∆ιανύσµατα

∆ιανύσµατα - Συντεταγµένες διανύσµατος - Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσµάτων

1. Μονόµετρα είναι τα µεγέθη που για να προσδιοριστούν απαιτείται

µόνο η αριθµητική τους τιµή.

2. ∆ιανυσµατικά είναι τα µεγέθη που για να προσδιοριστούν δεν αρκεί

µόνο η αριθµητική τους τιµή αλλά και το µέτρο, η διεύθυνση και η

φορά τους.

3. Ίσα διανύσµατα είναι αυτά που έχουν ίδια φορά, ίδια διεύθυνση και ίσα µέτρα.

4. Αντίθετα είναι τα διανύσµατα που έχουν ίδια διεύθυνση, ίσα µέτρα αλλά αντίθετη

φορά.

5. ∆ιεύθυνση ενός διανύσµατος είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσµα

και κάθε άλλη ευθεία παράλληλη µε αυτή.

6. Φορά ενός διανύσµατος ονοµάζεται η κίνηση του διανύσµατος που οδηγεί από το

ένα άκρο στο άλλο.

7. Μέτρο ενός διανύσµατος ονοµάζεται το µήκος του διανύσµατος.

Ίσα διανύσµατα Ποια διανύσµατα λέγονται ίσα; Στο παραλληλόγραµ-

µο ΑΒΓ∆ βρείτε τα ίσα διανύσµατα.

Ίσα διανύσµατα ονοµάζονται τα διανύσµατα που

έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια φορά και ίσα µέτρα.

Ίσα είναι τα A∆, BΓ

και AB, ∆Γ

καθώς και τα ∆Α, ΓΒ

και BA, Γ∆

Πότε δύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα; Στο δι-

πλανό σχήµα ποια είναι τα αντίθετα διανύσµατα;

∆ύο διανύσµατα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν ίδια

διεύθυνση, ίσα µέτρα και αντίθετη φορά.

Αντίθετα είναι τα διανύσµατα ΚΑ

και ΚΒ

.

Β: Βάρος του ανθρώπου , Α: Αντίσταση του εδάφους.

Αντίθετα διανύσµατα


311.∆ιανύσµατα


Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ρόµβος. Να βρείτε τα διανύσµα-

τα:

α. που είναι ίσα,

β. που έχουν το ίδιο µέτρο

Λύση

α. AB ∆Γ=

αφού ΑΒ//∆Γ, ΑΒ = ∆Γ και έχουν ίδια φορά

β. AB

, BΓ

, Γ∆

, ∆Α

αφού στον ρόµβο όλες οι πλευρές είναι

ίσες.

Στο διπλανό σχήµα να βρείτε ποιά διανύσµατα είναι

ίσα και ποια είναι αντίθετα.

Λύση

Ίσα είναι τα ε

, ζ

και τα α

και γ

.

Αντίθετα είναι τα α

µε γ

, β

µε δ

.

Σε ένα σύστηµα αξόνων Οxy να πάρετε τα σηµεία Α(4,2) και Β(–1,3). Να σχεδιάσε-

τε διάνυσµα ΒΓ ΟΑ=

και διάνυσµα Α∆

αντίθετο µε το ΟΒ

.

Λύση

2

A

Ä

Ã

O

B

2

1-1

1

43

3




∆ίνεται ο διπλανός κύβος. Από τα διανύσµατα που είναι

σηµειωµένα να διακρίνεται εκείνα που:

i. Έχουν ίδια διεύθυνση µε το Α∆

.

ii. Έχουν ίδια φορά µε το ΖΓ

.

iii. Είναι ίσα µε το AB

.

iv. Είναι αντίθετα µε το BΕ

.

Λύση

i. Είναι τα BΓ

, ΕΖ

και ΗΘ

. ii. Είναι το ΘΑ

.

iii. Είναι τα ΘΕ

και ∆Γ

. iv. Είναι τα ΘΑ

και ΖΓ

.

α. Είναι τα αντίθετα διανύσµατα ίσα;

β. Τα αντίθετα διανύσµατα έχουν την ίδια διεύθυνση;

Λύση

α. Όχι, γιατί έχουν αντίθετη φορά όπως στο σχήµα τα α

και β

.

β. Ναι, όπως στο προηγούµενο σχήµα τα α

και β

.




1. Να εξετάσετε αν τα παρακάτω διανύσµατα είναι ίσα.

2. Ποια από τα παρακάτω διανύσµατα είναι αντίθετα µε το α

;

3. Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το γράµµα (Σ) αν είναι

σωστή και το γράµµα (Λ) αν είναι λανθασµένη.

i. Τα αντίθετα διανύσµατα έχουν αντίθετα µέτρα.

ii. Το µέτρο ενός διανύσµατος είναι αρνητικός αριθµός.

iii. Τα ίσα διανύσµατα έχουν ίδια φορά.

iv. Τα διανύσµατα που έχουν την ίδια φορά είναι ίσα.

4. Στο διπλανό κανονικό εξάγωνο το διάνυσµα AB

µε ποιο διάνυσµα είναι ίσο;




Πως ορίζονται οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος;

Βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΟΑ

και Γ∆

του παρακάτω σχήµατος.

• Οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος παριστάνο-

νται µε ένα ζεύγος πραγµατικών αριθµών σε ορθογώνια

διάταξη x

y

, όπου το x ονοµάζεται τετµηµένη και το y

ονοµάζεται τεταγµένη του διανύσµατος και εκφράζουν

τη µετατόπιση από την αρχή πρός το πέρας του διανύσµα-

τος .Η µετατόπιση αυτή πραγµατοποιείται ως εξής :

κινούµαστε κατά x µονάδες παράλληλα προς τον άξονα

x΄x και κατά y µονάδες παράλληλα προς τον άξονα y΄y.

Στο διπλανό σχήµα για να πάµε απο το Α στο Β πρέπει να

κινηθούµε 4 µονάδες παράλληλα πρός τον άξονα x΄x και

2 µονάδες παράλληλα πρός τον άξονα y΄y.Οµοίως για να

πάµε απο το Γ στο ∆ πρέπει να κινηθούµε 4 µονάδες πα-

ράλληλα πρός τον άξονα x΄x και 1 µονάδα παράλληλα

πρός τον άξονα y΄y αλλά πρός την αρνητική φορά του,

γι’αυτό γράφουµε – 1 αντί 1.

• Σύµφωνα µε τα παραπάνω στο σχήµα του ερωτήµατος

είναι 3

OA0

=

και 3

Γ∆3

=

.

Τι ονοµάζουµε µέτρο ενός διανύσµατος x

αy

=

;

Ποιο είναι το µέτρο των διανυσµάτων 4

α3

=

και 0

β4

= −

;

Συντεταγµένες ενός

διανύσµατος

Μέτρο διανύσµατος

Ä

A

Ã

B

x

y

4,2 4, 1




Μπορεί το µέτρο ενός διανύσµατος να είναι µηδέν;

Μπορεί το µέτρο ενός διανύσµατος να είναι αρνητικός α-

ριθµός;

• Μέτρο ενός διανύσµατος x

αy

=

ονοµάζεται η

τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των συντεταγµένων

τους, είναι δηλαδή: 2 2α x y= +

• 2 2α 4 3 25 5= + = =

, ( )22β 0 4 16 4= + − = =

• Ναι, αν 0

α0

=

.

• Όχι, αφού α 0≥

.

Πότε δύο διανύσµατα 1

1

xα

y

=

και 2

2

xβ

y

=

είναι

ίσα;

Όταν έχουν ίδιες συντεταγµένες δηλαδή όταν :

1 2 1 2x x και y y= =

Πότε δύο διανύσµατα 1

1

xα

y

=

και 2

2

xβ

y

=

είναι

αντίθετα;

Ποια από τα παρακάτω διανύσµατα είναι αντίθετα:

2α

4

=

,2

β4

− = −

, 2

γ4

− =

,2

δ4

= −

∆ύο διανύσµατα είναι αντίθετα όταν έχουν αντίθε-

τες συντεταγµένες, δηλαδή όταν : x2 = – x

1, y

2 = –y

1.

Aντίθετα διανύσµατα είναι το α

µε το β

και το γ

µε το δ

.

Πως προσθέτουµε δύο διανύσµατα α

, β

;

Με τι ισούται το άθροισµα δύο αντίθετων διανυσµάτων;

Συντεταγµένες ίσων

διανυσµάτων

Συντεταγµένες

αντίθετων διανυσµάτων

Πρόσθεση


2 2α ΟΑ x y= = +




Βρείτε το άθροισµα των 3

α5

=

και 1

β8

− =

.

Ποιο διάνυσµα λέγεται µηδενικό;

Για να προσθέσουµε δύο διανύσµατα α

, β

τα κά-

νουµε διαδοχικά, δηλαδή το τέλος του ενός να είναι η αρχή

του άλλου οπότε το άθροισµά τους είναι το διάνυσµα που

έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του

δεύτερου (βλ. σχήµα).

Γενικά αν 1

1

xα

y

=

και 2

2

xβ

y

=

, τότε 1 2

1 2

x xα β

y y

+ + = +

.

Είναι: 3 1 2

α β5 8 13

− + = = +

• Το άθροισµα δύο αντίθετων διανυσµάτων ισούται µε το

µηδενικό διάνυσµα, δηλαδή το διάνυσµα όπου η αρχή

και το πέρας ταυτίζονται και συµβολίζεται µε 0

. Είναι

00

0

=

.

Πως αφαιρούµε δύο διανύσµατα α

και β

που έχουν

την ίδια αρχή;


και β

που δεν έχουν

την ίδια αρχή;


και β

αν1

1

xα

y

=

και 2

2

xβ

y

=

; Να βρείτε το α β−

όταν 2

α3

=

και

1β

0

=

.

• Η διαφορά δύο διανυσµάτων α

, β

που έχουν την

ίδια αρχή είναι το διάνυσµα µε αρχή το πέρας του β

και

πέρας το πέρας του α

.

Αφαίρεση





• Για να βρούµε τη διαφορά δύο διανυσµάτων α

, β

που

δεν έχουν κοινή αρχή,τα µετατοπίζουµε παράλληλα ώστε

να έχουν κοινή αρχή και βρίσκουµε τη διαφορά τους όπως

προηγουµένως.

• Είναι 1 2

1 2

x xα β

y y

− − = −

• 2 1 2 1 1

α β3 0 3 0 3

− − = − = = −

Πως υπολογίζουµε το γινόµενο ενός διανύσµατος α

µε έναν πραγµατικό αριθµό λ;

Αν x

αy

=

, τότε πως ορίζεται το διάνυσµα λ α⋅ , λ R∈ ;

Αν λ = 0, τότε το 0 α⋅ ποιο διάνυσµα είναι;

Αν λ = –1, τότε το 1 α− ⋅ ποιο διάνυσµα είναι;

Αν 3

α8

=

, τότε ποιο είναι το 3α

;

• Το γινόµενο ενός διανύσµατος α

µε έναν πραγµα-

τικό αριθµό λ είναι ένα διάνυσµα που έχει την ίδια διεύ-

θυνση µε το α

, µέτρο ίσο µε λ α⋅ και αν το λ > 0 έχει την

ίδια φορά µε το α

, ενώ αν λ < 0 έχει αντίθετη φορά µε το

α

.


αριθµού µε διάνυσµα

Η διαφορά δύο διανυσµάτων α

, β

, ανάγεται σε πρόσθεση αφου

( )α β α β− = + −




1. Aν x

αy

=

τότε το x είναι η τετµηµένη του α

και το y είναι η τεταγ-

µένη του α

και το µέτρο του α

είναι 2 2α x y= +

.

2. Ίσα διανύσµατα είναι αυτά που έχουν ίδια διεύθυνση ίδια φορά και

ίσα µέτρα ή όταν έχουν ίδιες συντεταγµένες.

3. Αντίθετα διανύσµατα είναι αυτά που έχουν ίδια διεύθυνση ίσα µέτρα αλλά αντίθετη

φορά, ή όταν έχουν αντίθετες συντεταγµένες.

4. Για να βρούµε το άθροισµα δύο διανυσµάτων τα κάνουµε διαδοχικά και δηµιουρ-

γούµε ένα νέο διάνυσµα µε αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του

δεύτερου .Το άθροισµα δύο διανυσµάτων έχει συντεταγµένες το άθροισµα των οµω-

νύµων συντεταγµένων των προσθετέων.

5. Τα αντίθετα διανύσµατα έχουν άθροισµα το 0

.

6. Μηδενικό είναι το διάνυσµα που η αρχή και το πέρας του συµπίπτουν.

7. Η διαφορά δύο διανυσµάτων, υπολογίζεται αν στο πρώτο διάνυσµα προσθέσουµε

το αντίθετο του δεύτερου.

8. Το γινόµενο πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα είναι ένα διάνυσµα που έχει ίδια

διεύθυνση µε το αρχικό, µέτρο ίσο µε το γινόµενο του µέτρου του αρχικού διανύσµα-

τος µε τον πραγµατικό αριθµό και φορά ίδια µε του αρχικού αν ο πραγµατικός είναι

θετικός και αντίθετη µε τη φορά του αρχικού αν ο πραγµατικός είναι αρνητικός.

• x λx

λ α λy λy

⋅ = =

• 0 α 0⋅ =

, δηλαδή το µηδενικό διάνυσµα.

• 1 α α− ⋅ = −

, δηλαδή το αντίθετο του α

. • 3 9

3α 38 24

= =

αν 1

1

xα

y

=

, 2

2

xβ

y

=

τότε 1 2

1 2

x xα β

y y

+ + = +

1 2

1 2

x xα β

y y

− − = −

1

1

λxλ α

λy

⋅ =

1

1

xα

y

− − = −

00 α 0

0

⋅ = =




Σε ένα σύστηµα αξόνων Οxy να σχεδιάσετε τα διανύσµατα:

− =

2OA

1

, 3

OB4

=

, 2

OΓ3

− = −

Λύση

Σε ένα σύστηµα αξόνων Οxy µε αρχή το σηµείο ( )Α 1,3− να σχεδιάσετε τα διανύ-

σµατα:

4ΑΒ

5

=

, 4

ΑΓ5

− =

, 4

Α∆5

= −

, 4

AE5

− = −

Λύση




Έστω x 1

αy 2

− = −

και 7

β2

=

. Να βρείτε τα x, y ώστε να είναι α β=

.

Λύση

Αρκεί να είναι: x 1 7 x 7 1 x 8

ή ήy 2 2 y 2 2 y 4

− = = + = − = = + =

Να βρεθούν οι τιµές των λ, µ R∈ ώστε τα διανύσµατα µ 2

αλ 3

− = +

, 4

β2λ 6

= −

να

είναι αντίθετα.

Λύση

Αρκεί να ισχύουν: ( )

µ 2 4 µ 2 µ 2ή ή

λ 3 2λ 6 λ 3 2λ 6 λ 1

− = − = − = − + = − − + = − + =

Έστω x

α3

=

, x R∈ . Να βρεθεί ο πραγµατικός x αν α 5=

.

Λύση

Είναι: 2 2α x 3

α 5

= +

=

Άρα ( )22 2 2x 9 5 ή x 9 5+ = + =

2 2ή x 9 25 ή x 16 ή x 4+ = = = ± .

Να βρεθούν οι συντεταγµένες και τα µέτρα των διανυσµάτων του παρακάτω σχήµα-

τος. Υπάρχουν αντίθετα διανύσµατα µετα-

ξύ αυτών:

Λύση

Είναι 2

OA3

=

και 2 2OA 2 3 13= + =

Είναι 2

BH3

− = −

και

( ) ( )2 2BH 2 3 13

= − + − =

Είναι 3

AΓ4

=

και

2-3

A

H

E

Z

Ä

Ã

O

B

2

1-4 -1

1

43-2

3

5

5

6

4

7




2 2ΑΓ 3 4 25 5= + = =

. Είναι 3

ΖΕ4

− = −

και ( ) ( )2 2ΖΕ 3 4 25 5= − + − = =

Είναι 2

∆Α3

− =

και ( )2 2∆Α 2 3 13= − + =

Αντίθετα είναι τα ΑΓ

, ΖΕ

.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε το άθροισµα ΑΒ ΒΓ ΓΑ+ +

.

Λύση

Είναι ΑΒ ΒΓ ΑΓ+ =

Οπότε ΑΒ ΒΓ ΓΑ ΑΓ ΓΑ ΑΑ 0

+ + = + = =

Στο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ να υπολογίσετε τα αθροίσµατα

α. ΑΒ ΒΓ Γ∆+ +

β. ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α+ + +

Λύση

α. ΑΒ ΒΓ Γ∆ ΑΓ Γ∆ Α∆+ + = + =

β. ( )α

ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α Α∆ ∆Α ΑΑ 0+ + + = + = =

Στο παρακάτω σχήµα να βρεθούν οι συντεταγµένες των διανυσµάτων α

, β

, γ

, δ

,

α β+

, α β−

, γ δ+

, γ δ−

.

Λύση

2α

1

=

,1

β2

= −

, 1

γ1

= −

, 2

δ2

=

2 1 3α β

1 2 1

+ = + = − −

2 1 1α β

1 2 3

− = − = −

, 1 2 3

γ δ1 2 1

+ = + = −

,




1 2 1γ δ

1 2 3

− − = − = − −

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΜ η διάµεσος του. Να δειχθεί ότι: ΑΒ ΑΓ

ΑΜ

2+=

.

Λύση

Είναι ΑΜ ΑΒ ΒΜ= +

ΑΜ ΑΓ ΓΜ= +

Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε:

2ΑΜ ΑΒ ΒΜ ΑΓ ΓΜ= + + +

2ΑΜ ΑΒ ΒΜ ΑΓ ΒΜ= + + −

2ΑΜ ΑΒ ΑΓ= +

ΑΒ ΑΓΑΜ

2

+=

.

Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το διάνυσµα x

.

Λύση

Είναι x α β Α∆ άρα x α β δ γ

x δ γ α βΕπίσης δ γ Α∆

+ + = + + = + ⇔

= + − −+ =

Έστω 1

α3

= −

, 2

γ6

= −

. Να βρεθεί το διάνυσµα β α γ= −

.

Λύση

1 2 1 2 1β

3 6 3 6 3

− − = − = = − − − +

Να σχεδιάσετε τα διανύσµατα 3

ΟΑ0

=

και 1

ΟΒ0

− =

σε ένα σύστηµα αξόνων

και µετά να βρείτε την διαφορά ΟΑ ΟΒ−

και ΟΑ ΟΒ−

.




Λύση

Είναι 3 1

ΟΑ ΟΒ0 0

− − = −

( )3 1 4ΒΑ

00 0

− − = = = −

και 2 2 2ΟΑ ΟΒ 4 0 4 4− = + = =

.

Σε ένα σύστηµα αξόνων Οxy να πάρετε τα σηµεία ( )Α 2,4 , ( )Β 1,3− , ( )Γ 3,8 . Να

σχηµατίσετε το διάνυσµα ΑΒ ΑΓ−

και να βρεί-

τε τις συντεταγµένες και το µέτρο του.

Λύση

Είναι 4

ΓΒ5

− = −

.

Οπότε ( ) ( )2 2ΓΒ 4 5= − + −

16 25 41= + = .

Αν 5

α2

=

και 3

β1

=

να υπολογιστούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος

ω 2α 4β= −

καθώς και το µέτρο του.

Λύση

Είναι 5 3 10 12 10 12 2

ω 2 42 1 4 4 4 4 0

− − = − = − = = −

.

Τώρα ( )2 2ω 2 0 4 0 2= − + = + =

.

Έστω 1

ω3

− =

, 2

v1

= −

. Να βρεθουν οι συντεταγµένες του διανύσµατος

( )u x,y=

σε κάθε µια απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις.

α. u ω v= +

β. u ω v+ =

γ. u 2v 3ω+ =

Λύση

α. 1 2 1 2 1

u ω v3 1 3 1 2

− − +

= + = + = = − −




β. 2 1 2 1 1

u ω v ή u v ω1 3 3 1 4

− +

+ = = − = + = = − − − −

γ. [ ] 1 21 1u 2v 3ω ή u ω 2v 2

3 13 3

−

+ = = = + = + = −

1 4 1 4 3 11 1 1

3 2 3 2 1 1/ 33 3 3

− − + = + = = = − −

Να βρεθούν τα x, y R∈ ώστε να ισχύει: α xβ yγ= +

όπου 2

α6

− =

, 2

β1

= −

,

3γ

1

=

.

Λύση

Είναι 2 2 3 2 2x 3y

x y ή6 1 1 6 x y

− − = + = + − −

( )2x 3 6 x 22 2x 3y 2x 3y 2ή ή ή

6 x y x y 6 y 6 x

+ + = −− + + = − = − + − + = = +

2x 18 3x 2 5x 20 x 4ή ή ή

y 6 x y 6 x y 6 4 2

+ + = − = − = − = + = + = − =

Έστω 2

ω1

= −

, 4

v3

− =

. Να βρεθεί το διάνυσµα x

στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. x 3ω v+ =

β. 2ω x 3v− =

γ. 2x ω x v− = − +

Λύση

α. Είναι ( )4 64 2 4 6 10

x v 3ω 33 33 1 3 3 6

− − − − − = − = − = − = = − −− −

β. Είναι 2 4 4 12 16

x 2ω 3v 2 31 3 2 9 7

− − = − = − = − = − −

γ. Είναι ( )12x x ω v ή 3x ω v ή x ω v ή

3

+ = + = + = +

2 4 2 2 31 1x

1 3 2 2 33 3

− − − = + = = −




5. Να βρεθούν τα x, y R∈ ώστε τα διανύσµατα 2x 3

αy 1

− = −

και 1

β4

=

να είναι ίσα.

6. Να βρεθούν τα x, y R∈ ώστε τα διανύσµατα x 1

α2y

− =

και 2x 3

βy 2

− = − +

να είναι

αντίθετα.

7. Να υπολογιστούν τα µέτρα των παρακάτω διανυσµάτων:

α. 2

α0

=

β. 3

β4

=

γ. 1/ 2

γ3 / 2

=

8. Έστω ( )Α 10,1 και ( )Β 2, 7 . Να βρεθεί το µέτρο του διανύσµατος ΑΒ

.

9. Έστω 1

α2

=

, 1

β4

− =

, 2

γ1

= −

. Να βρεθούν τα διανύσµατα:

α. ω α 2β= +

β. v 3α 2β 4γ= − +

γ. ω 2α β 3γ= − − +

10. Έστω ( )Α 2, 5 και 5

AB8

=

. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Β.

11. Έστω 2

OA3

=

και 1

OB2

= −

. Να βρεθούν : το AB

και το διάνυσµα OM

,

όπου Μ είναι το µέσο του ΑΒ.

12. Αν Κ, Λ τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί ότι: 1

KΛ ΒΓ2

= .

Υπόδειξη: KΛ ΑΛ ΑK ...= − =




13. Στο διπλανό σχήµα είναι 1

Β∆ ∆Ε ΕΓ ΒΓ3

= = = . Να

δείξετε ότι: ( )1y 2α β

3= +

, ( )1x α 2β

3= +

.

Υπόδειξη: x β B∆ ...= + =

y α ΓΕ ...

= + =

14. Έστω x

α6

=

. Να βρεθεί ο πραγµατικός x ώστε να ισχύει α 10 = .

15. Έστω

2

2

x 5xα

3x x

−= − +

και 6

β2

− = −

. Να βρεθεί ο πραγµατικός x ώστε να είναι

α β=

.

16. Έστω

2

2

x 2xα

x 3x 2

−= − +

. Για ποια τιµή του x R∈ είναι α 0

= .

17. Στα παρακάτω σχήµατα να εκφράσετε το x

, y

ως συνάρτηση των α

, β

.

α. β.

18. Έστω 1

α3

= −

, 1

β3

− =

και 2

γ6

= −

. Να δειχθεί ότι γ α β= −

. Να δειχθεί ότι

γ α β= −

και να βρεθεί το µέτρο του γ

.

19. Στο διπλανό σχήµα να εκφράσετε το διάνυσµα x

συναρτήσει

των υπολοίπων διανυσµάτων.




20. Να βρεθεί ένα διάνυσµα x

που βρίσκεται στον x΄x και ένα διάνυσµα y

που βρίσκε-

ται τον y΄y ώστε να ισχύει:

5x 3y α+ =

, όπου 10

α9

=

21. Αν 1

i0

=

και 0

j1

=

να βρεθεί το διάνυσµα 2α 3β−

όπου α i j= −

και

β 3i 4 j

= − + . Στη συνέχεια να βρεθεί το µέτρο του διανύσµατος 2α 3β−

.

22. Έστω 2

α3

=

, 1

β2

− =

και 3

γ8

=

. Να βρεθούν πραγµατικοί αριθµοί κ, λ ώστε

να ισχύει: κα λβ γ+ =

.

23. Συµπληρώστε τα κενά µε βάση το παρακάτω σχήµα:

α. ΑΟ ΟΓ ΓΒ ...+ + =

β. Α∆ ∆Ο ... ΑΓ+ + =

γ. Α∆ ... ΑΟ ...+ = +

24. Έστω ( )Α 1, 2− − και ( )Β 2, 3− . Να βρεθούν οι συντεταγµένες του ΑΒ

και µετά το

µέτρο του.




Ερώτηση 1

Με τι ισούται το µέτρο ενός διανύσµατος x

αy

=

;

Πότε είναι αντίθετα δύο διανύσµατα;

Πώς προσθέτουµε και πως αφαιρούµε δύο διανύσµατα;

Ερώτηση 2

Ποια είναι η διεύθυνση και η φορά του µηδενικού διανύσµατος;

Πως ορίζεται ο πολλαπλασιασµός πραγµατικού αριθµού µε διάνυσµα;

Πότε δύο διανύσµατα είναι ίσα;

Άσκηση 1

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µκαι Α∆, ΒΕ, ΓΖ οι διαµέσοι του. Να δειχθεί ότι:

Α∆ ΒΕ ΓΖ 0+ + =

.

Άσκηση 2

Έστω 3

α1

=

, 2

β0

=

, 1

γ2

− = −

. Να υπολογισθεί το µέτρο του διανύσµατος

u 2α β 3γ= − +

.

Άσκηση 3

Έστω

2

2

x 7x 12α

x 4x

− += −

. Για πια τιµή του x είναι α // x΄x

και α 0 ≠ .



Ó÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõÓ÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõÓ÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõÓ÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõÓ÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõ



Τι σχήµα προκύπτει από τα κοινά σηµεία µιάς σφαί-

ρας και ενός επιπέδου;

Όταν ένα επίπεδο τέµνει µια σφαίρα τα κοινά τους

σηµεία ανήκουν σε κύκλο.

Ποιος είναι ο µέγιστος κύκλος µιας σφαίρας;

Όταν ένα επίπεδο τέµνει µια σφαίρα και διέρχεται από

το κέντρο της, ο κύκλος που αποτελείται από τα κοινά τους


24Ó÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõÓ÷åôéêÝò èÝóåéò óöáßñáò - åðéðÝäïõ

Τι είναι σφαίρα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Σφαίρα είναι το στερεό που προκύπτει αν περιστρα-

φεί πλήρως (κατά 360ο) ένας ηµικυκλικός δίσκος κέντρου

Ο και ακτίνας ρ γύρω από µία διάµετρο του ΑΒ.

Κέντρο της σφαίρας είναι το κέντρο Ο του ηµικυκλικού δί-

σκου.

Ακτίνα της σφαίρας είναι η ακτίνα του ηµικυκλικού δίσκου.

Επιφάνεια της σφαίρας είναι η επιφάνεια που δηµιουργεί-

ται από την περιστροφή του ηµικυκλικού δίσκου.

Εµβαδόν επιφάνειας

σφαίρας

Όγκος σφαίρας

Εσφ

= 4 π ρ2

όπου ρ η ακτίνα της σφαίρας

V = 4

3 π ρ3

M

ñ

O

B

A


332. Η σφαίρα

Σχετικές θέσεις σφαίρας - επιπέδου

σηµεία λέγεται µέγιστος κύκλος της σφαίρας. Τα δύο τµήµατα

στα οποία ο µέγιστος κύκλος χωρίζει τη σφαίρα λέγονται ηµι-

σφαίρια.

Ποιο είναι το σχήµα της γης;

Το σχήµα της γης είναι περίπου σφαιρικό. Για πρακ-

τικούς λόγους θεωρούµε ότι η γη είναι µία σφαίρα που την

ονοµάζουµε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα.

Ποιοι είναι οι γεωγραφικοί πόλοι της γης;

Η γη στρέφεται γύρω από ένα νοητό άξονα ο οποίος

την τέµνει σε δύο σηµεία Π και Π΄. Αυτά τα δύο σηµεία είναι

γεωγραφικοί πόλοι της γης, ο βόρειος γεωγραφικός πόλος

Π και ο νότιος γεωγραφικός πόλος Π΄.

Τι είναι ο Ισηµερινός;

Ισηµερινός είναι ο µέγιστος κύκλος του οποίου το

επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα της γης. Ο Ισηµερινός

χωρίζει τη γη σε δύο ηµισφαίρια, το βόρειο ηµισφαίριο (στο

οποίο ανήκει και η χώρα µας) και το νότιο ηµισφαίριο.

Τι είναι Μεσηµβρινός ενός τόπου;

Μεσηµβρινός ενός τόπου Τ είναι το ηµικύκλιο µε

διάµετρο τους πόλους Π, Π΄ το οποίο διέρχεται από τον

τόπο Τ. Ο Μεσηµβρινός ο οποίος διέρχεται από το αστερο-

σκοπείο του Greenwich (στην Αγγλία) λέγεται πρώτος µε-

σηµβρινός. Το επίπεδο του χωρίζει τη γη σε δύο ηµισφαίρια

το ανατολικό ηµισφαίριο και το δυτικό ηµισφαίριο.

Ποιες είναι οι γεωγραφικές συντεταγµένες ενός τό-

που Τ;

O

ÐÂüñåéïò

ðüëïò

Âüñåéï

çìéóöáßñéï

Éóçìåñéíüò

Íüôéï

çìéóöáßñéïÐ´


333.Η σφαίρα


Οι γεωγραφικές συντεταγµένες ενός τόπου Τ είναι

το γεωγραφικό µήκος και το γεωγραφικό πλάτος. Έστω Κ

το σηµείο στο οποίο ο µεσηµβρινός του τόπου τέµνει τον

ισηµερινό και Α το σηµείο στο οποίο ο πρώτος µεσηµβρι-

νός (Greenwich) τέµνει τον ισηµερινό. Η επίκεντρη ˆAOK(Ο το κέντρο της γης) λέγεται γεωγραφικό µήκος του τό-

που. Το γεωγραφικό µήκος ενός τόπου Τ το µετράµε από

το τόξο AK µε αρχή το Α και η µέτρηση γίνεται σε µοίρες

από το 0ο έως 180ο. Το σηµείο Α έχει γεωγραφικό µήκος 0ο.

Το γεωγραφικό µήκος χαρακτηρίζεται ως ανατολικό (Ε) αν

ο τόπος Τ βρίσκεται στο ανατολικό ηµισφαίριο και δυτικό

(W) αν βρίσκεται στο δυτικό ηµισφαίριο. Η επικέντρη γω-

νία ˆTOK λέγεται γεωγραφικό πλάτος του τόπου Τ. Με-

τριέται από το τόξο ΚΤ µε αρχή το Κ από 0ο έως 90ο. Αν ο

τόπος Τ βρίσκεται στο βόρειο ηµισφαίριο, το γεωγραφικό

πλάτος χαρακτηρίζεται ως βόρειο (Ν) ενώ αν ο τόπος βρί-

σκεται στο νότιο ηµισφαίριο το γεωγραφικό πλάτος χαρακ-

τηρίζεται ως νότιο (S).

Τι είναι οι παράλληλοι κύκλοι;

Παράλληλοι κύκλοι ονοµάζονται οι τοµές της γήι-

νης σφαίρας από επίπεδα παράλληλα προς το επίπεδο του

ισηµερινού.

Ð

Ð´

(N)

O

ë

ö

AK

(E)(W)

(S)

G T

1 Éóçìåñéíüòïò

Η Αθήνα έχει γεω-

γραφικό µήκος 24ο

ανατολικό το οποίο

γράφουµε 24οΕ και

γεωγραφικό πλάτος

38ο βόρειο το οποίο

γράφουµε 38οΝ.




Η διάµετρος σφαίρας είναι D = 10cm . Να βρεθεί το εµβαδόν και ο όγκος της σφαί-

ρας (θεωρείστε π = 3,14 ).

Λύση

Η ακτίνα της σφαίρας είναι R 5cm= . Εποµένως το εµβαδόν είναι 2E 4π R= ⋅ ή

2E 4 3,14 25 314cm= ⋅ ⋅ = και ο όγκος της 3 3 34 4V π R 3,14 5 523,3cm

3 3= ⋅ = ⋅ ⋅ = .

Σε δοσµένη σφαίρα ο όγκος της αριθµητικά (σε 3m ) είναι τριπλάσιος από το εµβα-

δόν της επιφάνειάς της (σε 2m ). Να υπολογιστεί η διάµετρος της σφαίρας.

Λύση

Ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τη σχέση 34V π R

3= ⋅ και το εµβαδόν της από τη

σχέση 2E 4π R= ⋅ . Σύµφωνα µε αυτά που µας δίνει η άσκηση έχουµε V 2E= δηλαδή

3 24π R 3 4π R

3⋅ = ⋅ ⋅ , από όπου προκύπτει ότι R 9= (R είναι η ακτίνα της σφαίρας).

Εποµένως η διάµετρος της είναι 18m.

∆ίνεται σφαίρα µε κέντρο Ο και ακτίνα R = 5cm . Η τοµή της µε ένα επίπεδο είναι

κυκλικός δίσκος κέντρου Κ για το οποίο ισχύει OK = 3 . Να υπολογισθεί το µήκος

και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου.

Λύση

Το τρίγωνο OKA είναι ορθογώνιο ( oK 90= ). Από το Πυθα-

γόρειο θεώρηµα έχουµε στο τρίγωνο ΟΚΑ:

2 2 2AK OA OK= − ή

2 2 2AK 5 3= − ή

2AK 25 9= − ή

AK 4cm=

K

O

A


335.Η σφαίρα


Η ΑΚ είναι η ακτίνα του κυκλικού δίσκου. Εποµένως το µήκος του είναι L 2π ΑΚ= ⋅

δηλαδή L 25,12cm= και το εµβαδόν του ( )2 2

2

E π ΑΚ 3,14 16cm

50,24cm

= = ⋅ =

=

Η τοµή σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R µε επίπεδο, είναι κυκλικός δίσκος κέντρου

Κ και ακτίνας ρ = 8cm . Η απόσταση των δύο κέντρων Ο και Κ είναι OK = 6cm . Να

υπολογισθεί η ακτίνα της σφαίρας και το εµβαδόν της.

Λύση

Το τρίγωνο ΟΚΑ είναι ορθογώνιο στο Κ (oK 90= ). Εφαρ-

µόζουµε το Πυθαγόρειο θεώρηµα και έχουµε:

2 2 2OA OK AK= + ή 2 2 2OA 36cm 64cm= + ή

2 2OA 100cm= ή OA 10cm= . Το εµβαδόν της σφαίρας εί-

ναι δηλαδή 2 2E 4 3,14 100cm 1256cm= ⋅ ⋅ = .

Μία σφαίρα κέντρου Ο τέµνεται από ένα επίπεδο κατά έναν κυκλικό δίσκο κέντρου

Κ και ακτίνας ρ. Η απόσταση ΟΚ είναι ίση µε 3cm και το εµβαδόν του κυκλικού

δίσκου είναι 50,24cm2. Να βρεθεί το εµβαδόν της σφαίρας.

Λύση

Το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου κέντρου Κ δίνεται από τον τύπο 2E π ρ= ⋅ .

Εποµένως 2 2 50,2450,24 3,14 ρ ή ρ ή

3,14= ⋅ =

2ρ 16 ή ρ 4cm= = . Εφαρµόζουµε το Πυθαγόρειο θεώρηµα

στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ: 2 2 2OA OK AK= + δηλαδή

2 2 2 2 2OA 3 4 OA 25cm OA 5cm= + ⇔ = ⇔ = . Η ΟΑ είναι

η ακτίνα R της σφαίρας. Το εµβαδόν της σφαίρας δίνεται

από τον τύπο 2 2 2E 4π R 4 3,14 5 cm= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Άρα 2E 314cm= .

Μία σφαιρική δεξαµενή πρόκειται να βαφτεί εξωτερικά. Η διάµετρος της δεξαµενής

είναι 4m. Να βρεθεί πόσο θα κοστίσει το βάψιµο αν για κάθε τετραγωνικό µέτρο

χρειαζόµαστε 1,5 €.

Λύση

Η ακτίνα της δεξαµενής είναι R 2m= και το εµβαδόν της δίνεται από τον τύπο

2E 4π R= ⋅ . Άρα 2 2E 4 3,14 4m 50,24m= ⋅ ⋅ = . Το κόστος του βαψίµατος της δεξαµε-

νής είναι 50,24 1,5 75,36⋅ = .

K

O

A

K

O

A




1. Η διάµετρος σφαίρας είναι D 8cm= . Να βρεθεί το εµβαδόν και ο όγκος της σφαί-

ρας.

2. Σε δοσµένη σφαίρα ο όγκος της αριθµητικά (σε 3m ) είναι διπλάσιος από το εµβαδόν

της επιφάνειάς της (σε 2m ). Να υπολογιστεί η ακτίνα της σφαίρας.

3. ∆ίνεται σφαίρα µε κέντρο Ο και ακτίνα R 4cm= . Η τοµή της µε ένα επίπεδο είναι

κυκλικός δίσκος κέντρου Κ για το οποίο ισχύει OK 2= . Να υπολογισθεί το µήκος

και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου.

4. Η τοµή σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R µε επίπεδο, είναι κυκλικός δίσκος κέντρου

Κ και ακτίνας ρ 10cm= . Η απόσταση των δύο κέντρων Ο και Κ είναι OK 15cm= .

Να υπολογισθεί η ακτίνα της σφαίρας και το εµβαδόν της.

5. Μία σφαίρα κέντρου Ο τέµνεται από ένα επίπεδο κατά έναν κυκλικό δίσκο κέντρου Κ

και ακτίνας ρ. Η απόσταση ΟΚ είναι ίση µε 3cm και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

είναι 140 cm2. Να βρεθεί το εµβαδόν της σφαίρας.

6. Μία σφαιρική δεξαµενή πρόκειται να βαφτεί εξωτερικά. Η διάµετρος της δεξαµενής

είναι 10m. Να βρεθεί πόσο θα κοστίσει το βάψιµο αν για κάθε τετραγωνικό µέτρο

χρειαζόµαστε 2 €.


337.Η σφαίρα


Ερώτηση 1

Τι είναι Μεσηµβρινός ενός τόπου;

Ερώτηση 2

Τι είναι σφαίρα; Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της;

Άσκηση 1

∆ίνεται σφαίρα µε κέντρο Ο και ακτίνα R 4cm= . Η τοµή της µε ένα επίπεδο είναι

κυκλικός δίσκος κέντρου Κ για το οποίο ισχύει OK 1cm= . Να υπολογισθεί το µή-

κος και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου.

Άσκηση 2Η τοµή σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R µε επίπεδο, είναι κυκλικός δίσκος κέντρου

Κ και ακτίνας ρ 3cm= . Η απόσταση των δύο κέντρων Ο και Κ είναι OK 9cm= . Να

υπολογισθεί η ακτίνα της σφαίρας και το εµβαδόν της.

Άσκηση 3Μία σφαίρα κέντρου Ο τέµνεται από ένα επίπεδο κατά έναν κυκλικό δίσκο κέντρου Κ

και ακτίνας ρ. Η απόσταση ΟΚ είναι ίση µε 2cm και το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

είναι 64 cm2. Να βρεθεί το εµβαδόν της σφαίρας.


339.Απαντήσεις

ÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéòÁðáíôÞóåéò



Κεφάλαιο 1ο

Βιβλιοµάθηµα 1ο

Ώρα για εξάσκηση:

1. α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ, στ. Λ, ζ. Λ, η. Σ

2. α. 1 → δ, β. 2 → α, γ. 3 → β, δ. 4 → γ

4. α. 1, 1, 4, 8, 1, 1− − − −5. α. 0, β. 216− , γ. 1

6. α.

6 2α β5

γ, β.

2 3

6

1 α βδ

5 γ⋅

7. α. 192− , β.

3α

2β

8. α. x 4 / 3= − , β. x 1/ 5= , γ. x 125= ,

δ. x 4=9. A 14=10. 234

11. α. 124,5 10⋅ , β. 127 10−⋅

12. α. Λ , β. Σ , γ. Σ , δ. Λ , ε. Λ , στ. Λ

13. β 14. β

15. α 16. ( ) 33 3α β γ−

17. Αφού ο 2x y ω− + και ο y 2x Φ− + είναι

αντίθετοι τότε έχουν άθροισµα 0. Έτσι

2x y ω y 2x Φ 0− + + − + = άρα

ω Φ 0+ = δηλαδή ω, Φ αντίθετοι

18. 0



1. α. 11 10 2 4 6 4 3− − +2. α.

3. α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Λ

4. α. 4 3

3, β.

2 5

15, γ.

5 10

5

+

5. α. 5, β. ( )2 2 7−

6. α. 4, β. 4. Έτσι ( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +

7. α. 2cm

8. α. Α 2 2= −

9. α

α 2 0 12

− < < <

10. α. < , β. > , γ. > , δ. <

11. α. µικρότερος, β. µεγαλύτερος, γ. αρνητι-

κός

12. 3,25 Ε 3,38< < όπου Ε είναι το εµβαδόν

του ορθογωνίου παραλληλογράµµου

13. α. 20

x9

> , β. x 34> −

14. 22 x 17 /3− < < −




1. α. 2 25α 9αβ 3β− + ,

β. 2 2 2 23x xy 7y 3x y 3xy+ − − + ,

γ. 2xy 7y 22− + + , δ. 2 27x xy y+ + , ε. 2 25x y− ,

στ. 2 2 22α β γβ γ+ − + ,

η. 4 3 2 2 3 46α 5α β α β αβ β− + + + − ,

ζ. 2 4 52 9x 4x 26x 20x− + + − , θ. 24x 2x 1− + + ,

ι. 2 23

6αβ β 3αβ2

− −

2. α. 7β, β. 312x ,

496x , 384x , γ. 3 44α β ,

2 545α β , 2 61α β

5

3. α. 2 2 3 4 45x y 4xy 2x 2y− + − − για x 1= − και

y 2= έχουµε –86

β. 2 2 2 3α 2αβ βα β+ + + για α 2= − και 1

β2

=

έχουµε 9

8


342. Απαντήσεις

4. α. 5 52x y− , β. 3 7x y− , γ. 6 82x y , δ. 3

2x

y,

ε. 2

2

2x

y, στ. xy− , ζ.

1

xy− , η.

31 y

2 x⋅

5. κ 6= , λ 1= −



1. α. 2x x y 2yα 2α β β+ + ,

β. ( )2 x 1 x 1 2 2x 6x αβ 9α β− −+ + , γ.

2 429α β

αβ4 9

− + ,

δ. 4 2 2 2 4 2α x 2α xβ y β y− + ,

ε. 2 2 2 2 41 1 1α β αβxy x y

9 3 4− + ,

στ. 6 3 3 6x x y y

·16 2 3 9

− + , ζ. 2 4 61 1x x x

27 3− + − ,

η. 3 2 2 2 3 3γ 3γ αβ 3γα β α β− + − ,

θ. 3 3 2 2 2 2 3 3κ α 3κ α λβ 3καλ β λ β− − −

2. α. 19, β. 2x 16x 28− + − ,

γ. 2 25α 26αβ 10β− − − , δ. 0,

ε. 3 254x 111x 65x 16− − − − ,

στ. 3 2 32x 4xy 2y+ + , ζ. 3 2x 10x 8x 6− + + + ,

η. 2 24x 9y 12xy+ − ,

θ. 4 2 2 2x 5x 10x 4xy 2x y− + − − −

3. α. ( )2x 1+ , β.

21

α2

− , γ. ( )2

3x 2y+ ,

δ.

21

α2

+ , ε. ( )22α 1+ , στ. ( )23 27α β+ ,

ζ. ( )2x 1− , η. ( )2

2x 1− , θ.

21

x5

+ 4. α. 2 2α 2αβ β+ + , β. 2 240yω 25y 16ω− + + ,

γ. 2 21xβ β x

4+ + , δ.

2 24xy 1 4x y+ + , ε. 29x 1− ,

στ. 3 2 2 3x 3x y 3xy y+ + + , ζ.

2x 3x 2− + ,

η. 2 21

1 x y4

− + , θ. 2x 2x 15− − , ι. 2x 9−

5. α. ( )2 22 α β+ , β. ( )22κ x y+ , γ. 0, δ. κλ ,

ε. 2 2κ λ

2

+, στ. ( ) ( )2 2

2α β 3γ− −

6. 2 ή 4

7. 49

54

+

8. 2 2 2 2

Α Β ή Α Β− −

9. α. 2 2α β 2αβ+ ≥ , β. ( )2x 1 0− ≥ ,

γ. ( )2α 1 0− ≥

10. α. AB 6= , β. 2 2A B 32+ = ,

γ. 2 2A B 2 55− =



1. α. ( )( )x x 4 x 4+ − , β. ( )( )2x x 3 x 3− + ,

γ. ( )( )4x x 3 x 3− + , δ. ( )( )3 x 3 x 3+ − ,

στ. ( )2 2 22α β 32β 1−

2. α. ( )( )4 2x 4 4x x 4 4x+ + + − ,

β. ( )( )( )( )5x 1 5x 1 3x 1 3x 1− + − + ,

γ. ( )( )( )24 x 3x 4 x 2 x 3+ + + + ,

δ. ( )( )( )( )5x y 5x y x 3y x 3y− + − + ,

ε. ( ) ( )x 7 4x x 2x 7− +

3. α. ( )( )8α 2α β 2α β− + ,

β. ( ) ( )( )2x 5 x 4 x 6+ − − ,

γ. ( )( )11y x 5x 7y− − , δ. ( )( )4x 3 8x 9+ −

4. α. ( )( )22 2α β α β− + ,

β. ( )( )2x 1 9x 9x 10+ − − + ,

γ. ( )( )2 2x 1 x x 1 x+ − + + ,

δ. ( )( )( )x y 1 1 y x 1+ + − + ,

ε. ( )( )2α β 3αβ 2α β 3αβ− + − − ,



στ. ( ) ( )2 3x x 1 x 1− +

5. α. ( )( )x α β x α β− − + − , β. ( )( )2 2α β α β− + ,

γ. ( )( )x 2 y x 2 y+ − + + , δ. ( )22α 3x− ,

ε. ( )22x 11− , στ. ( )( )x y x y 2− + +

6. α. ( )4x y x− , β. ( ) ( )2 22 3x 9x 15x 5+ − + − ,

γ. ( ) ( )2 2x 3 x 5x 4− + − ,

δ. ( )( )2 2x x 2 x x 12+ − + − , ε. ( )25α xy 1− ,

στ. ( )( )α β αx βy γ+ + −

7. α. ( )( )8 x 2 x 2− + ,

β. ( )( )4 3x 2y 4 3x 2y− + + − .

γ. ( ) ( )( )2x y x y 1 x y 1+ + − + + ,

δ. ( )( )( )x 1 x 2 x 2− − + , ε. ( )x y κx+

στ. ( )( )α β α β 1− + +

8. α. ( )( )( )2 2x y x y x y xy− + + + ,

β. ( )( )( )( )x ω x ω y ω y ω− + + − ,

γ. ( )( )2 2α 2β α 4β+ + , γ. ( )( )x y 3x y+ + ,

δ. ( ) ( )( )2x 2 x 3 x 1+ − − ,

ε. ( )( )( )( )( )2 2x 1 x 1 x 1 x 2 x 2x 4− + + + + + ,

στ. ( )( )2γ 1 α γ β− + , ζ. ( )( )βx α αx β+ +

9. α. ( ) ( )2x 2 4x 6− + , β. ( )( )2

x 4 x 3+ − ,

γ. ( )( )11x 18 x 12− + , δ. ( )( )2x 4 14x 9− − ,

ε. ( )( )x 5 4x 1− − , στ. ( ) ( )( )2α 3 α 4 α 2+ − − ,

ζ. ( )( )8x 6y 2y 2x− − , η. ( )( )2x 5 x 2+ −

10. α. ( )( )αx αy α β αx αy α β+ − − + + + ,

β. ( )2x 2y 1− − , γ. ( )( )x α x β− − , δ.

21

3 α3

+

11. α. ( )( )x 4 4x 1− + , β. ( )( )x 2 2x 15+ − ,

γ. ( )( )( )x 3 x 1 3x 11+ + − , δ. ( )( )x 2 x 1+ + ,

ε. ( )( )( )x 1 x 1 x 2− + + , στ. ( )( )2x 1 x 4x 4− − − ,

ζ. ( )( )( )x 1 x 1 x 2− + − , η. ( )( )y 1 1 x− −

12. α. ( )( )x 11x 7 11x 7− + ,

β. ( )( )3x y 5 3x y 5+ − + + ,

γ. ( )( )x α y x α y+ − + + , δ. ( )( )2 2x β x α− + ,

ε. ( )( )3x 2y 9xy 3x 2y 9xy+ − + +

13. α. ( )( )α β γ α β γ− − − + ,

β. ( )( )y x 1 y x 1− + − − , γ. ( )( )α β α β 1− − − ,

δ. ( )( )α β x z α β x z+ − + + + − ,

ε. ( ) ( )2 2α 1 α 1− + ,

στ. ( )( )( )( )α β γ α β γ α β γ α β γ− + − − + − + + ,

ζ. ( )( )2 2 2 2x 3y xy x 3y xy+ − + + ,

η. ( )( )2 2 2 2α 2β 3αβ α 2β 3αβ− − − + ,

θ. ( )( )2 2x 4 2x x 4 2x+ − + + ,

ι. ( )( )2 2 2 2α 2β 2αβ α 2β 2αβ+ − + +

14. α. ( )( )x 1 x 2− − , β. ( )22 x 1− , γ. ( )2

3x 2+ ,

δ. ( )( )x 6 x 1− − , ε. ( )( )x 1 x 5+ + ,

στ. ( )( )3 x 2 x 5− − , ζ. ( ) 12 x 1 x

2 − +

,

η. ( ) 23 x 1 x

3 − +

, θ. ( ) 52 x 1 x

2 − +



1. α. x 1≠ − , β. x 7≠ , γ. x 3= − , δ. x 3≠ ± ,

ε. x 5≠ ±

2. α. x

x 4−, β.

x 2

x 1

−−

, γ. x 1

2

−, δ.

x 2

x 3

−−

,

ε. 3x y

3x y

−+

, στ. x 2

x 3

−+

, ζ. x 1

x 8

−−

, η. ( )α

3 α 5−,

θ. ( )( )

( )2 2

2

x 2 x 1

x x 1

− −

−

3. α. x 3

x 3

−+

, β. 2

x 1+, γ. 1, δ.

( )x 1

5

+,



ε. ( )x 4

2 x 3

++

, στ. 2x x− , ζ. x ,

η. ( )( )

( )( )2 x 2 x 3

x 3 x 2

− +− +

, θ. 6

x 1+, ι.

18y

16

−

4. α. 2

x 2−

−, β.

y x

xy

−, γ.

( )x 1

x 1 x

−+

,

δ. ( )2

5

x x 1+, ε.

( )( )5 7x

x 2 x 2

−− +

,

στ. ( )

24x 3x 9

3x x 1

− ++

, ζ. x 1

x 1

−+

, η. 3y

2x 3y+, θ.

2

3,

ι. ( )2α β

β α

+−

5. α. 5x 1

x 2

++

, β. ( )2x 2+ , γ.

5 3x

x 1

−−

,

δ. ( )( )2 2 2 2x xy y x y+ + + ,

ε. ( )( )

( )

2x 3 x 5x 4

x 4

− + −

+

6. α. ( )( )2α β x y

2α

− −, β.

( )α β

2 β α

+−

,

γ. ( )x α β

2

−, δ. 2 2α β− , ε.

( )7 α β

γ

−

7. α. x , β. x 2

x

+ , γ. ( )2

4

x x 2−, δ.

7

8

8x

1 x−,

ε. x 3

x 3

−+

, στ. 2

2

x 2x 4

x 4

− −−

, ζ. 3

4x 6

x

+− ,

η. ( )( )

3 2

2

α α α 1

α 1 α 1

+ + ++ +

, θ. β α−




1. α. 2, β. 2

7− , γ.

5

2 δ. αδύνατη, ε. αόριστη,

στ. αδύνατη

2. α. 1

10, β.

56

11, γ. ω 5= − , δ. 4−

3. α. 2− , β. 1, γ. 116

84, δ.

5

4, ε. 25

9, στ.

22

4

4. α. 12

13− , β.

13

12, γ. αδύνατη, δ.

53

48−

5. α. Λ, β. Λ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ, στ. Σ

6. α. Α, β. ∆, γ. Α, δ. Β, ε. Γ

7. A 450= , B 51= −

8. 14 9. 2

310.

5

2

11. γ. (10, 12), δ. ( )x, 8 2x−

12. 9

13. 5cm πλάτος, 7cm µήκος

14. 33

15. x 20= , oA 110= , oB 40= , οΓ 30=



1. α. x 0= ή x 5= − , β. y 0= ή y 8= , γ. ω 0=

ή 5

ω4

= − , δ. k 0= ή k 4= , ε. ρ 0= ή

1ρ

4= , στ. µ 0= ή

4µ

3= −

2. α. x 1= ± , β. αδύνατη, γ. ω 3= ± , δ. αδύνα-

τη, ε. 5

ρ2

= ± , στ. µ 3= ±

3. α. x 4= ή x 3= , β. y 3= , γ. αδύνατη,

δ. k 3= ή k 1= − , ε. 1

ρ2

= − , στ. αδύνατη

4. α. x 0= ή x 5= , β. 2 3

y2

− += ή

2 3y

2

− −= , γ. ω 2 2= − + ή



ω 2 2= − − , δ. αδύνατη, ε. 1

1 17ρ

2

− +=

ή 2

1 17ρ

2

− −= , στ. αδύνατη

5. α. 1

5x

3= ή 2x 3= − , β. αδύνατη,

γ. 1

45 90 2ω

4

+= ή 2

45 90 2ω

2

−= ,

δ. 3

k2

= − , ε. 1

37 1945ρ

12

+= ή

2

37 1945ρ

12

−=

6. α. x 0= ή x 1= ή x 3= , β. 1

x2

= ή x 2= ή

x 2= − , γ. 1

x2

= ή x 0= ή x 8= ,

δ. 1

x2

= − ή x 1= , ε. x 0= ή x 1= ή x 1= −

ή x 2= ή x 4= , στ . 1

x2

= ή x 1= ή

x 2= , ζ. x 9= ή 5

x2

= , η. x 0= ή x 2= −

ή x 1=7. α. αδύνατη, β. y 16= ή y 2= , γ. αδύνατη,

δ. x 3= ή x 2= − , ε. x 1= ή x 1= − , στ.

x 16= ή x 9=8. α. x 9= ή x 4= , β. αδύνατη, γ. x 2=

9. α. x 2= ή x 1= − , β. y 2 2= − ή

y 1 2= − , γ. x 2= ή x 1= − , δ. x 2=

ή x 1= , ε. ρ 3= ή ρ 1=

10. 7

λ4

<

11. λ 7= ή λ 8=

12. α. λ 4= , β. x 1=

13. λ 3<

14. α. 5

x3

= , β. 5

x3

= ή 5

x3

= −

15. ( )5,6 , ( )5, 6− −

16. ( )5, 7− − , ( )5,7

17. ( )1,0,1− , ( )1,2,3 , ( )3, 2, 1− − −

18. Έχει µήκος 8 m και πλάτος 7 m

19. x 6= και x 2 8+ =

20. x 2=



1. α. 12, β. y 8= − , γ. 1ω 1= − , 2

4ω

3= −

2. α. 1x 1= , 2

4x

3= − , β. 1y 1= , 2y 2= , γ.

1ω 4= , 2

3ω

7= , δ. t 5=

3. α. 1

6x

5= , 2x 1= − , β. y 20= , γ. αδύνατη,

δ. 1t 2= , 2

5t

6

−= , ε. ρ 2=

4. α. x 2= ± , β. y 3= ή y 0= απορ., γ. αδύνα-

τη, δ. αόριστη

5. α. x 7= , β. αδύνατη, γ. ω 2= , δ. t 1= ,

t 6= , ε. ρ 3= − , ρ 1= −

6. α. ( )x 5 3 3= − ± , β. y 12 5 2= ± ,

γ. ω 3=

7. α. 1x 0= , 2

7x

2= , β. 1y 1= απορ., 2

1y

3= ,

γ. 1ω 2= , 2

8ω

3= −

8. 1x 9= , 2x 3= − , 3x 3=

9. κοινές 1,2x 1 2= ±

10. 1x 0= , 2

10x

3= −



11. α. x 2= , β. 1y 3= , 2y 1= , 3,4

1 13y

2

±=

12. α. ( )3,4 , 4 3

,7 7

−

13. 1α 2= , 2

1α

2=

14. 27, 54

15. 70 Km/h




1. α. -26,-11,-2,-1,0,-1,-2,-11,-26.

β. (-3,-26),(-2,-11),(-1,-2),(0,1),(1,-2),

(2,-11),(3,-26).

2. α. - 4,0,4 , β. Το - 3, γ. όχι, δ. 4 φορές.

3. α = - 2/5.

4. α. (0,-1) β. (1,0) και (-1/3,0).

5. (1,0) και (- 2,0).

6. όχι , διότι έχουν ίδια τετµηµένη.

7. -3 ,0 ,15.



1. 4 3 8 6 2 7ε // ε , ε // ε , ε // ε

2. y 5x 23= − +

3. y 3x 1= −

4. Τα Α, Β και Γ

5. λ 1, λ 3= =



1. y 3x=

2. ( )2y 1 x 2

5+ = +

3. 3x 2y 7+ =

4. λ 1, λ 3= = −

7. y 2, y x , y x= − = − =8.

9. ( )1,1 και ( )1, 1− −

10. α. 1, β. 1− , γ. x 0<




1. β. x 11,72= , δ 12= , γ. 26%

2. α. x 4,3= , δ 4=3. α. 54,28 kg

4. α. 8,10

5. α. δ 4,5 µήνες≈

7. α. x 164,6cm , β. x 165,1cm ,

γ. x 164,77cm



1. x 58,8 , σ 7,134=

2. x 10= , δ 11= , εύρος: 12, σ 3,87

3. Εύρος Α 24 ΕύροςΒ 20= > = ,

Α Βσ 9,165 σ 7,376>

4. Γ

5. α. 16%, β. 81,5%



1. α. ( ) 4 1P A

52 13= = , ( ) 48 12

P B52 13

= = , β. ναί

2. α. P 0,2= , β. q 0,56= , γ. r 0,44=

3. α. 3

Ρ14

= , β. 2 1

q14 7

= = , γ. 5

r14

=

4. ( ) 2P A

3= , ( ) 1

P B3

=

5. 0,025

6. ( )P A 0,4= , ( )P B 0,52= , ( )P Γ 0,55=






12. x 4= , x 4= , x 8=

13. 5

x3

= , x 7,5=

14. x 5= , x 7=15. α. 10, β. 5 16. 1

19. α. 10, β. 5



2. 1

λ2

= 3. Γ∆ 3cm=

7. 105 8. 15

10. 1

211.

3

4

13. α. 200

x13

= , β. x 5=

14. x 80= , y 4= , 80

z2

=



1. x 16= , y 24=

2. 5cm 3. 69%

4. 1

45. 26400cm

6. 1

27, 100 7.

4 16,

3 9

8. 40 cm 9. 31504cm




1. AB 6cm , AΓ 7,6cm , ΒΓ 11,6cm= ,

2Ε 22,2cm=

2. ΑΟ 5,77m= , BΟ 6,712m= , ΓΟ 14,3m= ,

∆Ο 15,588m=

3. x 4,62km=

4. α. x 8,66m= , β. 8

x0,643

=

5. 1,8m

8. α. 0, β. 4, γ. 4, δ. 2003

9. α. 1 A 6≤ ≤ , β. 5 B 3− ≤ ≤ , γ. 5 Γ 5− ≤ ≤ ,

δ. 3 ∆ 7− ≤ ≤ , ε. 10 Ε 10− ≤ ≤10. α. 0,766, β. 0,985− , γ. 0,5, δ. 2,748− ,

ε. 0,364− , στ. 0,643, ζ. 0,819− , η. 0,999−

11. o o ox 180 5 175= − =

12. Oµοίως µε 11






18. β 30 1 30cm= ⋅ =

19. A 7,05= , B 1= , Γ 0,608= − , ∆ 13,284= −20. 69,8m



2. α. ox 57 , β. ox 27 , γ. ox 22 , δ. ox 76

5. α. συνx 0,86, εφx 0,58= = − ,

β. ηµx 0,966, εφx 3,732= = −

6. α. συνx 0,58, εφx 1,42= − =

β. ηµx 0,99, συνx 0,15= − =

7. α. ηµx 0,51, εφx 0,59= =

β. συνx 0,80, εφx 0,75= = −

9. 2Α εφ ω= , Β ηµx συνx= −

11. α. AΓ 16,3, ΑΒ 10,9= =

β. ΖΕ 15,04, ∆Ε 10,24= =

12. οΓ 80=

13. ο οˆ ˆΓ 28 , Β 72 , ΑΓ 13,4cm= = =



14. BΓ 5,95=

15. ΑΓ ΒΓ 17,01km+ =

16. AB 5,12= 17. 4,8

18. α. oB 56 , β. 17,3

19. oA 53= , oB 37= , οΓ 90= , Ε 32τ.µ.=

20. δ 8,7=




1. α. 20

x y17

= = , β. 19

x7

= , 11

y7

= , γ. x 1= ,

y 3= , δ. x y 1= =

2. α. (0, 1), ( 1− , 0) , (1, 0), β. (3, 5), (5, 3)

3. α. (2, 3), (3, 2),

4. (1, 3), (3, 1) 5. y 5x 3= −

6. (4,3) 7. 25

8. y 2x= 9. (5, 6), (6, 5)

10. (8, 12) 11. (9, 14)

12. 25 13. y 2x=14. (5, 6), (6, 5) 15. (8, 12)

16. (9, 14)




2. Όχι

3. δ

4. i. Λ, ii. Λ, iii. Σ, iv. Λ

5. Με το E∆

6. x 2= , y 5=

7. ( ) 4x, y , 2

3 = −

8. α. α 2=

, β. β 5=

, γ. γ 1=

9. ΑΒ 10

=

10. 1

ω10

− =

, 13

v6

= −

, 5

ω11

= −

11. ( )B 7,13

12. AB 26=

, 3/ 2

OM1/ 2

=

15. x 8= ±16. x 2=17. x 2=

18. 1

x α β2

= +

, y α β= +

, β. x α 3β= −

,

y α 2β= −

19. γ 2 10=

20. x α β γ= + −

21. 2

x0

=

, 0

y3

=

22. 11

2α 3β14

− = −

και 2α 3β 317− =

23. κ 2= , λ 1=

24. α. ΑΒ

, β. ΟΓ

, γ. ∆Γ

, ΟΓ

25. ( )ΑΒ 3, 1= −

, ΑΒ 10=




1. E 64π= , 256π

V3

=

2. R 6=

3. 5 2π 12= , E 12π=4. R 325= , E 1300π=

5. 140

E 4π 9π

= ⋅ + 6. 628 ευρώ


mathimatika g gymnasioy theoria askiseis

Documents