matrice_admitansi_i_impedansi_-_zadaci

Analiza elektroenergetskih mrea

1

1. REAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINA, FORMIRANJE MATRICE ADMITANSI I MATRICE IMPEDANSI VOROVA

1.1. Reiti sistem linearnih jednaina

=

1031

4000010250101001

4

3

2

1

xxxx

koristei trougaonu faktorizaciju (LU dekompozicija).

Reenje: Sistem linearnih jednaina dat u tekstu zadatka moe se napisati u obliku:

BXArr =][ (1.1.1)

gde je:

=

4000010250101001

][A ,

=

4

3

2

1

xxxx

Xr

,

=

1031

Br

.

Matrica ][A moe se predstaviti kao proizvod donje trougaone matrice ][L iji su dijagonalni elementi jednaki jedinici i gornje trougaone matrice ][U , t.j: ][][][ AUL = . (1.1.2) Zamenom (1.1.2) u (1.1.1) dobija se:

BXULrr =][][ ,

pa se uvienjem pomonog vektora Wr

reavanje jednaine (1.1.1) moe razloiti na reavanje dve jednaine

WXUrr =][ , (1.1.3)

BWLrr =][ . (1.1.4)

Najpre je potrebno odrediti elemente donje i gornje trougaone matrice. Nakon toga reava se sistem jednaina (1.1.4) i odreuje pomoni vektor W

r, da bi se u zadnjem koraku reila jednaina (1.1.3).

Matrina jednaina (1.1.2) kada je matrica ][A dimenzije 4x4 (sluaju koji se razmatra u zadatku) ima oblik:

=

44434241

34333231

24232221

14131211

44

3433

242322

14131211

434241

3231

21

00000

0

1010010001

aaaaaaaaaaaaaaaa

uuuuuuuuuu

lllll

l (1.1.5)

Mnoenjem prve vrste matrice ][L sa matricom ][U dobija se:

1111 au = , 1212 au = , 1313 au = , 1414 au = , pa su na ovaj nain odreeni elementi prve vrste matrice ][U . Mnoenjem druge vrste matrice ][L sa matricom ][U u (1.1.5) dobija se:

211121 aul = , 22221221 auul =+ , 23231321 auul =+ , 24241421 auul =+ .


2

U svakoj od ove etiri jednaine pojavljuje se samo po jedna nepoznata poto su elementi prve vrste matrice ][U odreeni u prethodnom koraku, pa se njihovim sreivanjem dobija:

11

2121 u

al = , 12212222 ulau = , 13212323 ulau = , 14212424 ulau = , i na ovaj nain su odreeni svi nepoznati elementi druge vrste matrica ][L i ][U . Ponavljanjem postupka za treu i etvrtu vrstu odreuju se i preostali elementi donje i gornje trougaone matrice:

11

3131 u

al = , 22

12313232 u

ulal = , 233213313333 ululau = , 243214313434 ululau =

11

4141 u

al = , 22

12414242 a

ulal = , 33

234213414343 u

ululal = , 3443244214414444 ulululau = . Jednaine za odreivanje elemenata matrica ][L i ][U u optem sluaju su:

n,j,jn, i,,julau

j-,,n, i,,ju

ulal

niau

j

kikkjijij

ii

i

kikkjij

ij

ii

+===

==

=

==

=

=

132

12132

,...,2,1,

1

1

1

1

11

. (1.1.6)

Zamenom vrednosti elemenata matrice A][ u prethodno izvedenim jednainama dobija se:

=

1000010200100001

][L ,

=40002100

50101001

][U

Jednaina (1.1.4) u sluaju kada je matrica A][ dimenzija 4x4 ima oblik:

=

4

3

2

1

4

3

2

1

434241

3231

21

1010010001

bbbb

wwww

lllll

l

odakle se jednostavno dobija: 11 bw = , 22121 bwwl =+ , 121212122 blbwlbw == 33232131 bwwlwl =++ , 12132232131323213133 bllblblbwlwlbw +== , 44343242141 bwwlwlwl =+++ , 34324214144 wlwlwlbw = 121324323243131433431214224214144 blllbllbllblbllblblbw +++= odakle sledi opta jednaina:

niwlbwi

kkikii ,...,2,1,

1

1

== =

. (1.1.7)

Primenom ove jednaine na sistem jednaina koji se razmatra u zadatku dobija se:


3

=

1031

1000010200100001

4

3

2

1

wwww

11 =w , 32 =w , 02 31 =+ ww , 14 =w ,

=

12-31

Wr

.

Na kraju se odreuje reenje zadatog sistema linearnih jednaina primenom (1.1.3), koja za matricu A][ dimenzija 4x4 ima oblik:

=

4

3

2

1

4

3

2

1

44

3433

242322

14131211

00000

0

wwww

xxxx

uuuuuuuuuu

,

Na slian nain kao i kod reavanja sistema jednaina (1.1.4), ali ovog puta polazei od poslednje umesto od prve vrste dobija se: 4444 wxu = , 3434333 wxuxu =+ , 2424323222 wxuxuxu =++ , 1414313212111 wxuxuxuxu =+++ , odakle se mogu napisati opte jednaine:

1,...,2,1,1 =

=

=

+= ni

u

xuwx

uwx

ii

n

ikkkii

i

nn

nn

. (1.1.8)

U konkretnom sluaju u zadatku dobija se:

43147352322

4114

12

31

40002100

50101001

141

242

343

44

4

3

2

1

==+==+==

==

=

xxx

xxx

xxx

xx

xxxx

,

pa je traeno reenje sistema linearnih jednaine:

=4123

4743

Xr

.


4

1.2. Matrica admitansi vorova ][ vY , uzimajui zemlju za vor nultog potencijala je:

r.j

200100010010020010000100200100

10001002001

][

=jjj

jjjjjj

jjj

vY ,

Izraunati napone vorova Ur

ako su struje injektiranja u vorove:

r.j.

1,000

1,01,009,0

++

=j

jj

Ir

Reenje: Veza izmeu napona vorova i struja injektiranih u vorove data je matrinom jednainom:

IUY vvr =][ . (1.2.1)

koja se moe reiti na nain primenjen u prethodnom zadatku pri emu se matrica admitansi vorova predstavlja proizvodom doje i gornje trougaone matrice: ][][][ ULY v = . Najpre se odreuju elementi donje i gornje trougaone matrice: j200-1 11 =u , 10012 ju = , 013 =u , 10014 ju = , 0025,05,0

2001100

21 jjjl +== , 100)0025,05,0(20022 jjju += ,

15025,025,015022 jju =+= , 10023 ju = , 5025,024 ju += , 031 =l , 0011,06667,015025,0

10032 jj

jl +== , 33,133111,0100)0011,06667,0(20033 jjjju =+= , 33,1332222,0)5025,0()0011,06667,0(10034 jjjju +=++= , 0025,05,0

2001100

41 jjjl +== ,

0022,03333,015025,0

100)0025,05,0(042 jj

jjl +=+= ,

33,133111,0

100)0022,03333,0(0)0025,05,0(10043 j

jjjjl ++= ,

0025,0143 jl += , +++= )5025,0()0022,03333,0(100)0025,05,0(20044 jjjjju )33,1332222,0()0025,01( jj ++ , 0056,09999,044 ju = . Matrice ][L i ][U imaju vrednosti:

++++

+=10025,010022,0333,00025,05,0010011,06667,000010025,05,00001

][

jjjj

jL


5

++

=

0056,09999,000033,1332222,033,133111,000

5025,010015025,0010001002001

][

jjjjjj

jjj

U

Sada se reava sistem jednaina (1.1.4) primenom optih jednaina (1.1.7) da bi se odredio pomoni vektor W

r.

++

=

++++

+

1,000

1,01,009,0

10025,010022,0333,00025,05,0010011,06667,000010025,05,00001

4

3

2

1

j

jj

wwww

jjjj

j

9,01 =w , 0977,055,09,0)0025,05,0(1,01,02 jjjw +=++= , 06455,03668,0)0977,055,0()0011,06667,0(03 jjjw +=++= , +++= )0977,055,0()0022,0333,0(9,0)0025,05,0(1,04 jjjjw )06455,03668,0()0025,01( jj ++ , 00725,00005,14 jw = ,

++=

00725,00005,106455,03668,0

0977,055,09,0

][

jj

jWr

Reavanjem (1.1.3) odnosno primenom optih jednana (1.1.8) dolazi se do reenja matrine jednaine (1.2.1):

++=

++

00725,00005,106455,03668,0

0977,055,09,0

0056,09999,000033,1332222,033,133111,000

5025,010015025,0010001002001

4

3

2

1

jj

j

UUUU

jjjjjj

jjj

0016,00006,10056,09999,0

00725,00005,14 jj

jU == ,

( ) ( )33,133111,0

33,1332222,00016,00006,106455,03668,03 j

jjjU ++= ,

0014,00001,13 jU = ,

15025,0)0016,00006,1)(5025,0()0014,00001,1(1000977,055,0

2 jjjjjjU

++= 00115,09996,02 jU = ,

2001)0016,00006,1(100)00115,09996,0(1009,0

1 jjjjjU

= , 0019,000007,11 jU = , i naponi vorove posmatrane mree imaju vrednost:

r.j.

0016.00006.10014,000008,1

00115,09996,00019,000007,1

=jj

jj

Ur


6

1.3. Odrediti inverznu matricu matrice

=

364622421

][A

Gausovom metodom eliminacije.

Reenje: Najpre je potrebno proiriti matricu jedininom matricom dimenzije kao polazna matrica.

100010001

364622421

Inverzija se obavlja nizom transformacija vrsta u sledeim koracima: - drugoj vrsti dodaje prva pomnoena sa 2, a treoj vrsti dodaje se prva pomnoena sa 4,

104012001

1920220

421

100010001

364622421

,

- druga vrsta se deli sa 2,

10402/11001

1920110421

104012001

1920220

421 ,

- prvoj vrsti dodaje se druga pomnoena sa 2, a treoj vrsti druga pomnoena sa 2,

11202/11011

1700110201

10402/11001

1920110421

,

- trea vrsta deli se sa 17,

17/117/117/202/11011

100110201

11202/11011

1700110201

,

- prvoj vrsti dodaje se trea pomnoena sa 2, a drugoj trea pomnoena sa 1,

17/117/117217/134/1917/1517/217/1517/21

100010001

17/117/117202/11011

100110201

.

Matrica dobijena na desnoj strani predstavlja inverznu matricu matrice A.

=

=

2242193043042

341

17/117/117/217/134/1917/1517/217/1517/21

][ 1A .

Za matrice manjih dimenzija ija se determinanta jednostavno odreuje inverzija moe da se obavi i na klasian nain nalaenjem determinanti adjungovanih matrica. 3422)3(166424462462)3(21det =++=A ,


7

=+++++++++

)2221()1()4261()1()4262()1()4261()1()44)3(1()1()64)3(2()1()4262()1()64)3(2()1()66)3(2()1(

det1][

333213

322212

312111

1

AA ,

=

2242193043042

341][ 1A .

1.4 Za sistem ija je zamenska ema prikazana na slici 1.1 odrediti matricu provodnosti ][ vY . Zatim dati sistem redukovati na vorove:

a) 1,2,3 i 5 , b) 1,3 i 5 . Napomena: Vrednosti admitansi na slici su date u relativnim jedinicama.

Sl.1.1. Test mrea uz zadatak 1.5.

Reenje: Za formiranje matrice admitansi vorova ][ vY primenjuju se sledea pravila: - Dijagonalni elementi matrice admitansi vorova iiY odreuju se kao suma svih admitansi koje se

sustiu u tom voru, ukljuujui i otone admitanse, odnosno admitanse izmeu vora i i nultog vora. - Vandijagonalni elementi matrice admitansi vorova, ikY , su negativne vrednosti admitanse grane koja

povezuje vorove i i k (ikik

yY = ). Ako nema fizike veze izmeu dva vora onda su ovi elementi nula.

Vandijagonalni elementi ][ busY

=+

= =ki;

ki;

ik

0i

1ik

ij

za-Y

zaYYY

g

N

k

g

(1.4.1)

Primenom ovih pravila na mreu prikazanu na slici dobija se:

=

1313000133320000204052000020402000020202

][

jjjjj

jjjjjj

jj

vY .

Matrica admitansi vorova moe se predstaviti i kao: ]j[][][ vvv BGY += , (1.4.2) gde je:

=

0000000000005000000000002

][ vG ,

=

13130001333200002040200002040200002020

][ vB .


8

a) eliminacija vora 4 vorovi u kojima nema injektiranja snaga niti otonih elemenata mogu se eliminisati iz matrice admitansi. Najpre se vri prenumeracija vorova tako da vorovi koji se eliminiu budu oznaeni najveim brojevima. Prenumeracijom vorova i preureenjem ][ vY dobija se :

Sl.1.2. Mrea sa slike 1.1 nakon prenumeracije

=

3313200013130002004052000020402000020202

][

jjjjjjjj

jjjjj

vY .

Nova matrica admitansi dobija se tako to prve tri vrste etvrte i pete kolone zamene mesta, prve tri kolone etvrte i pete kolone zamene mesta i dijagonalni elementi 44Y i 55Y zamene mesta. Sa novom numeracijom treba eliminisati vor 5.

=][][][][

][bbba

abaav YY

YYY , T][][ abba YY = , (1.4.3)

=

b

a

UU

YYYY

0I

bbba

abaaa rr

rv

][][][][

. (1.4.4)

Matrina jednaina (1.4.4) moe se razdvojiti na dve matrine jednaine:

baa UYUYI abaarrr

][][ += , (1.5.5) ba UYUY0 bbba

rrr][][ += . (1.5.6)

U prethodnim jednainama su sa

=b

a

III rrr

i

=b

a

UUU rrr

su oznaeni vektori struje injektiranja u

vorove i vektori napona vorova koji odgovaraju novoj numeraciji. Iz matrine jednaine (1.4.6) izraava se vektor napona vorova koji se eliminiu preko vektora napona preostalih vorova:

ab UYYU babbrr

][][ 1= , pa se zamenom u (1.4.5) dobija:

aaa UYUYYYYIekvbabbabaa

rrr][)][][][][( 1 == ,

odakle se dobija da se ekvivalntna matrica admitansi vorova odreuje kao:

][][][][][ 1 babbabaaekv YYYYY

= . (1.4.7) Za mreu na slici 1.1 submatrice imaju vrednosti:

=13000

040520002040200020202

][

jjj

jjjjj

aaY ,

=

132000

][

jjab

Y , [ ]

==

33

]Y[

33]Y[1 j

j

bb

bb .

Ekvivalentna matrica admitansi vorova mree sa slike 1.1 nakon eliminacije vora 4 je:


9

[ ]13200033

132000

13000040520002040200020202

][ jjj

jj

jjj

jjjjj

=ekvY ,

=

33169

3326000

33260

3340000

00000000

13000040520002040200020202

][

jj

jj

jjj

jjjjj

ekvY ,

=

33260

3326000

33260

339205200

02040200020202

][

jj

jjj

jjjjj

ekvY .

Do matrice ][ ekvY moglo se doi i na drugi nain. Zbog eliminacije vora 4 postoji vod koji povezuje vorove 3 i 5 (prvobitna slika), admitanse:

33

260331320

131

201

1

35j

jjjy =

=

+=

.

Kada se sa ovim formira nova ]Y[ v ona je naravno identina se ]Y[ekv .

b) eliminacija vorova 2 i 4

Sl.1.3. Mrea sa slike 1.1 nakon prenumeracije

Da bi se vorovima koji se eliminiu dodeli najvei brojevi dovoljno je da se u ovom sluaju zameni numeracija vorova 2 i 5. Matrica admitasi vorova nakon prenumeracije dobija se na sledei nain: - svi elementi druge i pete kolone izuzev elemenata u drugoj i petoj vrsti zamenjuju mesta, - dijagonalni elementi 22Y i 55Y zamenjuju mesta.

=

4002002003320130202040500013013020000202

][

jjjjjj

jjjjj

jj

vY ,

Kako se prema novoj numeraciji eliminiu vorovi 4 i 5 submatrice koje se koriste u (1.4.7) su:

=400

033][

jj

bbY ,

=

=

400

033

330040

13201][ 1 j

j

jj

bbY ,

i za ekvivalentu matricu admitansi vorova dobija se:


10

=

2002020130

400

033

2020013200

40500013000202

][jjjj

j

j

jjj

j

jj

jekvY

=

2002020130

21

3320

03313

210

40500013000202

][jjjj

jj

jekvY ,

=

33730

3326010

33260

331690

10010

40500013000202

][

jjj

jj

jj

jj

jekvY ,

=

335905

3326010

33260

332600

100102

][

jjj

jj

jjekvY .

1.5. Za sistem prikazan na slici odrediti matricu impedansi vorova ][ vZ :

Sl. 1.4 Test mrea uz zadatak 1.7

Reenje:

Matrica impedansi nezavisnih vorova mree ][ vZ daje vezu izmeu napona vorova mree Ur

i struja injektiranja u te vorove I

r:

[ ] IZU v rr = . (1.5.1) Matrica impedansi vorova moe se odrediti na tri naina. Prvi nain je inverzija matrice admitansi vorova. S obzirom da se matrica admitansi veoma jednostavno kreira ovo je najjednostavniji nain ali u sluajevima realnih EES zahteva inverziju matrice velikih dimenzija. Drugi nain zasniva se na principu superpozicije i reavanju kola pri zadatoj struji injektiranja u samo jednom voru. i-ta vrsta odnosno kolona matrice impedansi jednaka je vektoru napona vorova koji se ima kada se u voru i injektira struja intenziteta 1 A. Ovaj nain se praktino ne primenjuje ali se na osnovu njega najlake moe razumeti ta predstavlja matrica admitansi vorova. Trei nain se zasniva na algoritmu graenja korak po korak i najee se koristi. Osnovna prednost ovog algoritma je ta da omoguava brzo i jednostavno izmenu matrice impedansi pri promenama topoloke strukture mree, na primer pri izgradnji novog voda, iskljuenju nekog postojeeg voda ili izgradnji odnosno formiranju novog vora.


11

Prvi nain: inverzija matrice ][ vY

=311121112

][ vY ,

==

11113/53/413/43/5

][][ 1vv YZ ,

Drugi nain: individualno izraunavanje elemenata IU /

Sl. 1.5 Raspodela struje u mrei pri injektiranju struje inenziteta 1 A u voru 1

Najpre se u voru 1 injektira struja A11 =I kao to je prikazano na slici 1.5. Elementi prve kolone matrice impedansi vorova iznose:

=== 3/51

3/5

1

111 I

UZ ,

==== 3/41

3/4

1

22112 I

UZZ ,

=== 11

33113 I

UZZ .

Izraunavanjem napona u mrei pri injektiranju struje intenziteta 1 A u voru 2 (slika 1.6) odreuju se elementi druge vrste/kolone matrice impedansi.


Elementi druge kolone matrice admitani su:

=== 3/51

3/5

2

222 I

UZ ,

=== 12

33223 I

UZZ ,

a poslednji elemenat matrice admitansi dobija se na osnovu slike 1.7 kada se u voru 3 injektira struja intenziteta 1 A:

=== 111

3

333 I

UZ .


12


Trei nain: algoritam graenja korak po korak Postupak formiranja matrice baziran na algoritmu graenja korak po korak polazi od vora 1 i zatim ukljuuje vorove prema redosledu kojim su numerisani. Dodavanjem grane impedanse grz mogu se uoiti etiri netrivijalna sluaja:

- dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i referentnog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i starog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu starog i referentnog vora, - dodavanje grane impedanse grz izmeu dva stara vora. Ova etiri netrivijalna sluaja definiu etiri tipa modifikacije matrice. Prvi tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i referentnog vora.

=

grz|00_|___

|0|][0|

][

L

Mstaro

novo

ZZ (1.5.2)

Drugi tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu novog i starog vora j.

+

=

grjjjj

j

j

zZZZ

ZZ

|______|___

||][|

][

21

2

1

L

Mstaro

novo

ZZ (1.5.3)

Trei tip modifikacije Dodavanju grane impedanse grz izmeu starog vora j i referentnog vora.

[ ]jNjjjN

j

j

grjjZZZ

Z

ZZ

zZLM 21

2

1

1][][

+= staronovo ZZ . (1.5.4)


13

etvrti tip modifikacije Dodavanje grane impedanse grz izmeu dva stara vora i i j.

[ ]jNiNjijijNiN

ji

ji

ijjjiigr

ZZZZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZZz

++=

L

M

2211

22

11

21][][ novonovo ZZ . (1.5.5)

S obzirom na to da se najpre uvodi vor numerisan brojem jedan potrbno je da izmeu njega i referentnog vora bude povezana impedansa. Ukoliko to nije sluaj postoje dva reenja: - prenumeracija mree pri emu se broj 1 dodeljuje voru koji ima direktnu vezu sa zemljom, - fiktivno postavljanje dve paralelne grane izmeu vora 1 i zemlje, prva impedanse grz , a druga

impedanse grz . Impedansa ovakve paralelne veze je beskonana to je identino sluaju da vor 1 nije povezan sa zemljom.

Pretpostavie se najpre da je u voru 1 prikljuena impedansa 1 , koja e kasnije biti neutralisana obuhvatanjem paralelne grane impedanse 1 . - Grana izmeu vora 1 i 0 (prvi tip modifikacije)

]1[][ =novoZ

- Dodavanje grane izmeu vora 1 i 2 (drugi tip modifikacije):

j=1 - stari vor, 1=jjZ

=

+= 21

11111

11][ novoZ

- Dodavanje grane izmeu vora 1 i 3 (drugi tip modifikacije):

j=1 stari vor, 1=jjZ

=

+=

211121111

1111121111

][ novoZ

- Dodavanje grane izmeu vora 2 i 3 (etvrti tip modifikacije):

i=2 stari vor, 2=iiZ , j=2 stari vor, 2=jjZ , 1=ijZ ,

[ ]

=

++

=

3/53/413/43/51

111211211

211211

122211

211121111

][ novoZ


14

- Dodavanje grane izmeu vora 3 i 0 (trei tip modifikacije):

j=2 stari vor, 3/5=jjZ ,

[ ]

=

+

=

8/52/18/32/112/18/32/18/5

3/53/413/53/4

1

3/511

3/53/413/43/51

111][ novoZ .

- Dodavanje grane (negativne impedanse) izmeu vora 1 i 0 (trei tip modofikacije):

1=j stari vor, 8/5=jjZ ,

[ ]

=

+

=

11113/53/413/43/5

8/32/18/58/32/18/5

8/511

8/52/18/32/112/18/32/18/5

][ novoZ ,

=

11113/53/413/43/5

][ vZ .

1.6. Matrica impedansi vorova jednog EES u relativnim jedinicama je:

=

05,004,001,004,005,001,001,001,01,0

][ vZ .

Pri iskljuenju voda 2-1 element 33Z promeni svoju vrednost sa 05,0 na 1,0 . Odrediti impedansu iskljuenog voda.

Reenje: Ako se impedansa grane koja se iskljuuje oznai sa grZ , nova matrica impedansi vorova koja odgovara stanju mree sa iskljuenim vodom 2-1 moe se dobiti iz polazne matrice impedanse primenom etvrtog tipa modifikacije pri emu se ukljuuje grana sa impedansom grZ izmeu vorova 2 i 3.

[ ]3132212211123132

2122

1112

122211 21][][ ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZ g

++= staroovon ZZ

[ ]03,004,009,003,004,0

09,0

01,0205,01,01

05,004,001,004,005,001,001,001,01,0

][

++

=

gZovonZ .

Elemenat 33Z nove matrice odreuje se kao:

13,0

0009,03333 += gstaronovo

ZZZ ,

148,013,0

0009,005,01,0 =+= ggZ

Z.

matrice_admitansi_i_impedansi_-_zadaci

Documents