METHOD OF INTEGRATION AND FINITE INTEGRAL

Matematika 1AMatematika 1AJurusan Teknik Kimia FT UGM

l d f h lIntegral dari fungsi pecah rasional

Mi l

( )⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−−−+−

=−−−

2323

3323

23

34 111 xxxxxxxxxxx

Misal:

⎠⎝ −−− 232323 xxxxxx

(i).   Semua faktor dari penyebut linier dan berlainan

C h S lContoh Soal

1x2 +∫

( )∫

+ dx1x2....dx

6x7x1x2

3 =+−

+∫

( )( )( )( )∫ +−−

+=

3x2x1xdx1x2

( )( ) ( )( ) ( )( )2x1xC3x1xB3x2xACBA1x2 +++++( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )3x2x1x

2x1xC3x1xB3x2xA3x

C2x

B1x

A3x2x1x

1x2+−−

−−++−++−=

++

−+

−=

+−−+

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x22x1xC3x1xB3x2xA +=−−++−++−

Jadi :

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x22x1xC3x1xB3x2xA +=++++

A, B, C....??? , ,

Cara 1:Cara 1:

∫∫∫∫ ⎠⎞

⎜⎝⎛−++−=

+34

1214

367

123

dxdxdxdxx∫∫∫∫ +⎠

⎜⎝−−+− 34214673 xxxxx

(ii) Semua faktor dari penyebut linier tetapi ada beberapa(ii). Semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapayang sama (berulang)

Contoh Soal

( )dx19x22x3 2 +∫( )( )( )

...3x2x

dx19x22x32 =

−++−

∫

( )( ) ( )22

2

3xC

3xB

2xA

3x2x19x22x3

−+

−+

+=

−++−

( )( ) ( )3x3x2x +

( )( )( ) ( )

dxdxdxxx−

+=

+−∫∫∫ 3

42

33219223

22

2

( )( ) ( )

( ) ( ) cx

xxxx

+++=

−+−+ ∫∫∫

342ln3

3232 22

( )x − 3

(iii) Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis dan tak berulang

Untuk tiap-tiap factor yang berbentuk → nyatakan sebagai pecahan parsiil : BAx +

cbxax2 ++

Contoh Soal

...xx

dx3 =+∫

( ) CxBx1xACBxA11 22 ++++

xx +∫

( )( )

( )1xxCxxx

1xCx

x1xxxx 2223 +=

++=

+=

+

∫∫ ⎥⎤

⎢⎡ dx1dx∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−=

+dx

1xxxx 23

( ) ( ) c1xln21xln

1x1xd

21xln 2

2

2

++−=++

−= ∫ 21x2 +

cxln2

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1x2 ⎥⎦

⎢⎣ +

( )(iv). Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis dan berulang

Untuk faktor kwadratis dengan bentuk yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional yang proper ditulis sebagaipenyebut pada pecahan rasional yang proper → ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk :

BABABA

( ) ( )n2

nn22

222

11

cbxax

BxA...

cbxax

BxAcbxax

BxA

++

+++

++

++

+++

Contoh Soal

3xx2 3 ++∫ ( )

...dx2x

3xx222

=+

++∫

( ) ( )( )( )

( )22

2

22222

3

2xDCx2xBAx

2xDCx

2xBAx

2x3xx2

+

++++=

+

++

++

=+

++

( ) ( ) ( )2x2x2x2x ++++

( ) ( ) 3xx2DB2xCA2BxAxDCxB2Ax2BxAx 32323 ++=+++++=+++++ ( ) ( ) 3xx2DB2xCA2BxAxDCxB2Ax2BxAx ++=+++++=+++++

2A = C41CA2 +==+ 3C −=0B = 3B2D =+ 3D =

( )∫∫∫

+−+

++3 dx3x3xdx2d3xx2( )

( )( )∫∫∫ +

++

=+

22222 2x2xdx

2x

( ) ( ) c2xln2xdxdx2 22

2

2 ++=+

= ∫∫ ( ) c2xln2x2x 22 ++

++ ∫∫

( ) ( ) dd1d33( )( )

( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +

++

−=+−

−=+

+−2222222 2x

dx32x

xdx3dx2x1x3

2xdx3x3

( ) x23x332ld3xx2 23 ⎞

⎜⎛++

∫ ( )( ) ( ) ( ) c

2arctg

82x42x22xlndx

2x 222

22+

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

++

+++=

+∫

( ) ( )( ) c

2xarctg

823

2x42x32xln 2

2 +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

++

++= ( ) 282x4 ⎠⎝+

l d i f i i i lIntegral dari fungsi irrasional

(i). Integral dari bentuk :

⎤⎡

∫ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ dx

baxbax,xF

qp

dimana p dan q bilangan bulat.

⎦⎣⎠⎝

Substitusi : qubax=

+Substitusi : qu

bax=

−

C t h S l

d4x1 +∫

Contoh Soal

...dx1xx

=+∫

d4x1 +∫ Substitusi : 2u4x + 2 4ux −

=...dx1xx

=+∫ Substitusi : u

1x=

+ 2u1x

−=

( )42 2 ⎤⎡ ( )( )

( ) duu2u1

4uu1u2dx 22

2

2⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−

−−

−=

( ) ( )2222

22

u1duu6du

u14uu1u2

−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+−=

( ) ( )u1u1 −⎥⎦⎢⎣ −

( )∫∫∫

−⎤⎡ − duuduuduu6u1 222

∫+x 41 ( )

( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ −−=

−−−=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4u1u

duu64uu1

duu6u1

duu6u4u

u12222222∫ +

+ dxxx

x 141

⎤⎡ 1111

∫⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−+

−−

++

−

−= du

2u31

2u31

1u61

1u61

6 c2u2uln2

1u1uln +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

=

⎥⎦⎢⎣

Contoh Soal

d( )

...1x4x2x

dx2

=+−−∫

∫dx duu

du2 −

−

∫∫( )∫+−− 142 2 xxx

dx ...u31

du

u311

u2

21

2

2

=−

=

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ∫∫

uu 2⎠

⎜⎝

C t h S lContoh Soal

Fungsi rasional dari sin x dan cos x

2 x2

2 2

2

sin 1 cos22 1 coscos

2

xx xu tg x x

−= = =

+2

Integral Fungsi Ekponensial dan logaritmik

∫ cedue uu +=∫bu

∫

1.

cbln

bdubu +=∫2.

bukti:ln ln

l

bukti:uu b u b

b

b du e du e du= =∫ ∫ ∫ln

ln1 ( ln )ln ln ln

u b uu b e be d u b

b b b= = =∫

I i f i hi b likIntegrasi fungsi hiperbolik

Rumus Dasar

eeusinhuu −−

=uu eeuctgh

−+=2

ee uu −+

uu eeuctgh −−=

22eeucosh +

= uu ee2uhsec −+

=

uu

uu

eeeeutgh −

−

+−

=uu ee

2uechcos −−=

Refreshing: Tentukan integral berikut

∫ 2

2 2

1. sin

2 x

x xdx

d

∫∫ 2 22. xx e dx∫

Ingat integral parsial sbg salah satu metode penyelesaian integrasi:

udv uv vdu= −∫ ∫udv uv vdu∫ ∫

INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU

INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU

Bentuk umum intergral tertentu

[ ]( ) ( ) ( )( )b b

aa

f x dx f b f aF x= = −∫a

a disebut batas bawah

b disebut batas bawah

F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)

F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = bF(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b

F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

INTEGRAL TERTENTU

• Sifat‐sifat intergral tertentu

1. ∫ ∫−=b a

dxxfdxxf )()(

2.

∫ ∫a b

ff )()(

∫ ∫ ∫ ∠∠+=c b c

cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(

3.

∫ ∫ ∫a a b

fff ;)()()(

∫ =a

dxxf 0)(

4.

∫a

∫ ∫=b b

Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(4.  ∫ ∫a a

Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(

Hal.: 30 Integral

Contoh :

∫2

3d 2 Tentukan nilai dari d)32(1

2∫1.Tentukan nilai dari ∫1

3dxx

Penyelesaian

2. Tentukan nilai dari

Penyelesaian

dxxx )32(0

2∫ +

24

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ x

y

∫2

3dxx =

y

dxxx )32(1

0

2∫ + = [ ]1032 xx +12 ⎥⎦⎢⎣∫

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 44 1

412.

41

=

0

=

= ( ) ( )3232 00311 +−+

( ) 011+4 -

41

==

= ( ) 011 −+

2

=433