metode numerik pada persamaan integral (new)

MATEMATIKA 4

METODE NUMERIK PADA PERSAMAAN INTEGRAL

Bagus Hario SetiadjiJurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Diponegoro

DEFINISI

• Numerical Integration adalah suatu tool yang digunakan untuk memperoleh jawaban perkiraan (approximate answer) dari suatu integral tertentu (definite integral) yang tidak dapat diselesaikan secara analitis.

• Tujuan dari numerical integration adalah untuk menyelesaikan suatu persamaan integral tertentu f(x) pada suatu interval [a, b] dengan melakukan evaluasi terhadap f(x) pada sejumlah titik sampel N.

• Ada 2 metode yang digunakan disini, yaitu:– Penjumlahan luas (Riemann sum)– Quadrature formula

METODE PENJUMLAHAN RIEMANN

• Menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x• Luasan dibagi menjadi N bagian pada interval [a, b], dimana a = x0 < x1 < …

< xn = b dan xi = xi – xi-1; i = 1, 2, …, N

• Hitung luas Li, dimana Li = f(xi) . xi

x0 x1 x2 x3 x4 xn

y = f(x)

L0 L1 L2

x1 x2


• 3 pendekatan pada metode penjumlahan Riemann:– Persegi panjang kiri (left sum), yaitu apabila sudut kiri atas masing-

masing persegi panjang menyentuk kurva– Persegi panjang kanan (right sum), yaitu apabila sudut kanan atas

masing-masing persegi panjang menyentuk kurva– Persegi panjang tengah (middle sum), yaitu apabila titik tengah sisi

atas masing-masing persegi panjang memotong kurva

Left sum Right sum Middle sum


• Persamaan umum penjumlahan Riemann:L = L1 + L2 + L3 + … + Ln

= f(x1).x1 + f(x2).x2 + f(x3).x3 + … + f(xn).xn

= dimana xi = x1 = x2 = … = xn = = h

Maka: L = dan xi = a + ih

– Untuk left sum, L =

– Untuk right sum, L =

– Untuk middle sum, L =

N

iii xxf

1

.N

ab

b

a

N

iixfhdxxf

b

a

N

iixfhdxxf

1

0

b

a

N

iixfhdxxf

1

b

a

N

i

ii xxfhdxxf

1

1

2


• Contoh 1 Penjumlahan Riemann:Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1] dengan N = 10

Solusi:Hitung nilai x = h = = 0.1

Maka:Untuk Left Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L0 + L1 + L2 + … + L9 = 0.1 {(0)2 + (0.1)2 + (0.2)2 + … + (0.9)2}

= 0.1 (2.85) = 0.285

1001

9

0

21

0

1.0i

i

N

ii xxfh


Untuk Right Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {(0.1)2 + (0.2)2 + (0.3)2 + … + (1.0)2}

= 0.1 (3.85) = 0.385

Untuk Middle Sum, L = dan xi = 0 + i (0.1) = 0.1i

L = L1 + L2 + L3 + … + L10 = 0.1 {0.5(0.1+0)2 + 0.5(0.2+0.1)2 + 0.5(0.3+0.2)2 + … + 0.5(1.0+0.9)2}= 0.1 (3.325) = 0.3325

10

1

2

1

1.0i

i

N

ii xxfh

210

1

1

1

1

21.0

2

i

iiN

i

ii xxxxfh


Solusi eksak y =

Galat/error:

Dengan left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048Dengan right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052Dengan middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005

333.03

1

0

31

0

2 x

dxx


• Contoh 2 Penjumlahan Riemann:Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5] dengan N = 10

Solusi:Hitung nilai x = h = = 0.4 dan xi = 1 + i (0.4) = 1 + 0.4i

Maka:Untuk Left Sum, L =

L = L0 + L1 + L2 + … + L9

1015

ix

i i

N

ii e

xxfh 2

9

0

1

0

14.0

8803.12175.0...5829.07751.01353.14.0

6.41

...8.1

14.1

114.0 2.96.38.22

eeee


Untuk Right Sum, L =

L = L1 + L2 + L3 + … + L10

Untuk Middle Sum, L =

L = L1 + L2 + L3 + … + L10

ix

i i

N

ii e

xxfh 2

10

11

14.0

5602.12000.0...4668.05829.07751.04.0

51

...2.2

18.1

14.1

14.0 104.46.38.2

eeee

10

1

5.02

11

1

5.01

4.0i

xx

ii

N

ii

iiexx

xfh

6691.12084.0...5183.06658.09241.04.0

6.455.01

...8.12.25.0

1

4.18.15.01

14.15.01

4.06.455.028.12.25.02

4.18.15.0214.15.02

ee

ee


Solusi eksak y =

Galat/error:

Dengan left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080

Kesimpulan:Galat/error terkecil umumnya diperoleh dengan menggunakan middle sum

6771.12

ln1

5

1

25

1

2

xx e

xdxex

QUADRATURE FORMULA

• Anggaplah a = x0 < x1 < … < xN = b. Persamaan dengan bentuk

dimana:

disebut sebagai numerical integration atau quadrature formula.

N

kNNkk xfwxfwxfwxfwfQ

01100 ...

b

a

fEfQdxxf

DEFINISI

• E [f] disebut sebagai truncation error atau kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang diperoleh dikarenakan tidak melakukan hitungan sesuai dengan prosedur yang benar (misalnya pada proses tidak berhingga diganti dengan proses berhingga)

disebut sebagai quadrature nodes. Besarnya nodes ini bisa bervariasi. Misalnya pada aturan trapezoidal, aturan Simpson dan aturan Boole, besarnya nodes ini adalah sama. Sedangkan untuk Gauss-Legendre quadrature, besarnya nodesnya ini adalah sama dengan nol (untuk Legendre polynomial tertentu).

disebut sebagai weight atau bobot.

Niix 0

Niiw 0

NEWTON-COATES QUADRATURE

• Penurunan kuadratur formula didasarkan pada interpolasi polynomial. Jika terdapat persamaan polynomial PM (x) berderajat (degree) M melalui M + 1 titik-titik yang berjarak sama . Jika polynomial ini digunakan untuk menghampiri persamaan f(x) pada rentang [a, b], dan integral dari persamaan f(x) dihampiri oleh integral dari PM (x), maka persamaan yang dihasilkan disebut sebagai persamaan Newton-Coates Quadrature.

• Apabila titik-titik sampel x0 = a dan xm = b digunakan, maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Closed Newton-Coates.

Miii xfx 0,


• Persamaan-persamaan Closed Newton-Coates dengan derajat M = 1, 2, 3, 4 pada interval [x0, xM] adalah sebagai berikut.

Step size, h = dan xi = x0 + ih dimana i = 0, 1, 2, …, M

M = 1, trapezoidal rule dengan h = b - a

M = 2, Simpson’s rule dengan h =

M = 3, Simpson’s rule dengan h =

M = 4, Boole’s rule

dengan h =

102

1

0

ffh

dxxfx

x

210 43

2

0

fffh

dxxfx

x

83 3210 33

83

3

0

ffffh

dxxfx

x

43210 73212327452

4

0

fffffh

dxxfx

x

Mab

2ab

3ab

4ab


Trapezoidal rule y = P1(x) pada [x0, x1) = [0.0, 0.5]

Simpson’s rule y = P2(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.0]

Simpson’s 3/8 rule y = P3(x) pada [x0, x1) = [0.0, 1.5]

Boole’s rule y = P4(x) pada [x0, x1) = [0.0, 2.0]


• Pembuktian persamaan Newton-Coates QuadratureUntuk M = 1, Lagrange interpolating polynomial untuk P1(x) adalah

dengan [x0, xM] = [0, 1]

f0 dan f1 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, maka:

01

01

10

101 xx

xxf

xxxx

fxP

dthhht

fdthh

thf

110

dtthfdtthf 11

01

1

00

dth

xhxxhtx

fdthhxx

hxhtxfxP

00

001

00

0001

10

1

0

2

1

1

0

2

0 222ff

hthf

tthf


Untuk M = 2, Lagrange interpolating polynomial untuk P2(x) adalah

dengan [x0, xM] = [0, 2]

f0 , f1 dan f2 diasumsikan konstan, dan digunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, maka:

1202

102

2101

201

2010

2102 xxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxxxxxxxx

fxP


22

22

2

2

0000

00002

0000

00001

0000

000002

dthhxhxxhxhxhtxxhtx

f

dthhxhxxhxhxhtxxhtx

fdthhxxhxx

hxhtxhxhtxfxP

210210 433

223

432

2 fff

hf

hhff

h

2

1

2

221

210 dthhhthht

fdthhh

thhtfdth

hhthth

f

2

2 232

2

0

22

2

0

21

2

0

20 dtttf

hdttthfdtttf

h

23232

23

32

2

0

23

2

2

0

23

1

2

0

23

0

ttf

ht

thft

ttf

h

1202

102

2101

201

2010

2102 xxxx

xxxxf

xxxxxxxx

fxxxxxxxx

fxP


Silakan dicoba untuk M = 3 dan M = 4.Untuk M = 3, Lagrange interpolating polynomial untuk P3(x) adalah

dengan menggunakan relasi berikut untuk x dan xi:

x = x0 + ht dan dx = h dt; xi = x0 + ih sehingga x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,

dan x3 = x0 + 3h.

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

xxxxxxxxxxxx

fxxxxxx

xxxxxxf

xxxxxxxxxxxx

fxxxxxx

xxxxxxfxP

• Contoh 1 Closed Newton-Coates:Hitung luas yang dibatasi oleh y = x2 pada interval [0, 1]

Solusi:Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 1 – 0 = 1 xi = x0 + ih sehingga x0 = 0 dan x1 = 1

Untuk M = 2, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.5 dan x2 = 1


5.01021

2 22

10

1

0

21

0

xfxfh

dxxdxxfx

x

5.0

201

2

ab

333.015.04035.0

43

222210

1

0

22

0

xfxfxfh

dxxdxxfx

x

Untuk M = 3, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.333, x2 = 0.666 dan x3 = 1

Untuk M = 4, Boole’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75 dan x4 = 1


333.0

301

3

ab83

333.01667.03333.0308333.03

3383

2222

3210

1

0

23

0

xfxfxfxfh

dxxdxxfx

x

25.0

401

4

ab

333.01775.0325.01225.0320745

25.02

73212327452

22222

43210

1

0

24

0

fffffh

dxxdxxfx

x


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

f(x)

x

Trapezoidal rule Simpson’s rule

Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 0.333 – 0.285 = 0.048Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 0.333 – 0.385 = -0.052Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 0.333 – 0.3325 = 0.0005 Dengan Trapezoidal Rule = 0.333 – 0.500 = -0.167Dengan Simpson’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000 Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000 Dengan Boole’s Rule = 0.333 – 0.333 = 0.000


• Contoh 2 Closed Newton-Coates:Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi:Untuk M = 1, Trapezoidal’s rule, h = b – a = 5 – 1 = 4 xi = x0 + ih sehingga x0 = 1 dan x1 = 5

Untuk M = 2, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 3 dan x2 = 5


6708.251

11

24

2 e

1 5212

10

5

1

2x-1

0

eexfxf

hdx

xdxxf

x

x

2

215

2

ab

7858.1

51

31

411

32

43

1 523212

210

5

1

22

0

eeexfxfxf

hdxe

xdxxf x

x

x

Untuk M = 3, Simpson’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2.333, x2 = 3.667 dan x3 = 5

Untuk M = 4, Boole’s rule, h = xi = x0 + ih sehingga x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4 dan x4 = 5


333.1

315

3

ab83

7343.1

51

667.31

3333.21

311

8333.13

3383

x1

52667.32333.2212

3210

5

1

23

0

eeee

xfxfxfxfh

dxedxxf xx

x

1

415

4

ab

6877.1

51

741

3231

1221

3211

74512

73212327452

x1

)5(2)4(2)3(2)2(2)1(2

43210

5

1

24

0

eeeee

fffffh

dxedxxf xx

x


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Trapezoidal rule Simpson’s rule

Simpson’s 3/8 rule Boole’s rule

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087 Dengan Simpson’s 3/8 Rule = 1.6771 – 1.7343 = -0.0572 Dengan Boole’s Rule = 1.6771 – 1.6877 = -0.0106

Kesimpulan:Metode Newton-Coates Quadrature mempunyai kelemahan dalam menghampiri persamaan yang kompleks.


• Seperti telah disebutkan, bahwa permasalahan utama dari Newton-Coates Quadrature adalah apabila digunakan untuk menghampiri fungsi y = f(x) yang kompleks.

• Untuk mengatasi hal ini, maka pendekatan yang dapat dilakukan adalah mendekati fungsi y = f(x) yang berinterval [a, b] tersebut dengan sejumlah bentuk trapezoidal.

• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, M.

COMPOSITE TRAPEZOIDAL RULE

• Composit Trapezoidal Rule dengan subinterval M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut.

Bentuk 1:

atau

Bentuk 2:

atau

Bentuk 3:


M

iii xfxf

hhfT

112

,

MMM ffffffh

hfT 12210 22...222

,

1

12,

M

iixfhbfaf

hhfT

• Dari contoh 2 :Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi: Asumsikan nilai M = 5, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.8, x2 = 2.6, x3 = 3.4, x4 = 4.2 dan x5 = 5

Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule


8.0

515

Mab

432150

1

1 22xfxfxfxfhxfxf

hxfhbfaf

hh,fTdx xf

M

ii

b

a

7394.12383.02952.03901.05828.08.02000.01353.14.0

2.41

4.31

6.21

8.11

8.0

51

11

28.0

2.424.326.228.12

5212

eeee

ee

Dicoba dengan menggunakan M = 10, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,

x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5

Gunakan bentuk 3 dari Composite Trapezoidal Rule


4.0

1015

Mab

921100

1

1 22xf...xfxfhxfxf

hxfbfaf

hh,fTdx xf

M

ii

b

a

6933.12175.02383.0...5829.07751.04.02000.01353.12.0

6.41

2.41

...8.1

14.1

14.0

51

11

24.0

6.422.428.124.12

5212

eeee

ee

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x


Comp. Trapezoidal Rule, M = 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Comp. Trapezoidal Rule, M = 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x

Trapezoidal rule


Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Trapezoidal Rule = 1.6771 – 2.6708 = -0.9937Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 5) = 1. 6771 – 1.7394 = -0.0623Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162

Kesimpulan:Composite Trapezoidal Rule memberikan perbaikan terhadap pendekatan Trapezoidal Rule, walaupun galat yang diberikan masih relatif cukup besar.Penghalusan (refinement) bisa dilakukan dengan meningkatkan nilai M.

• Anggap bahwa interval [a, b] dibagi menjadi 2M subinterval [xi, xi+1] dengan step size h = (b – a)/2M, dengan menggunakan titik-titik yang berjarak sama xi = a + ih, untuk i = 0, 1, …, 2M.

• Composit Simpson’s Rule dengan subinterval 2M dapat dinyatakan dalam tiga bentuk sebagai berikut. Bentuk 1:

atau

Bentuk 2:

atau

Bentuk 3:

COMPOSIT SIMPSON’S RULE

M

iiii xfxfxf

hhfS

121222 4

3,

MMM fffffffh

hfS 212223210 42...4243

,

1

112

1

12 3

432

3,

M

ii

M

ii xf

hxf

hbfaf

hhfS

• Dari contoh 2 :Tentukan solusi hampiran untuk y = 1/x + e-2x pada interval [1, 5]

Solusi: Asumsikan nilai 2M = 10, maka h = xi = a + ih sehingga x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.8, x3 = 2.2, x4 = 2.6, x5 = 3,

x6 = 3.4, x7 = 3.8, x8 = 4.2, x9 = 4.6, dan x10 = 5

COMPOSITE SIMPSON’S RULE

4.0

1015

2

Mab

Gunakan bentuk 3 dari Composite Simpson’s Rule


1

1 1122 3

432

3,

M

i

M

iii

b

a

xfh

xfh

bfafh

hfSdxxf

97531

8642

34

32

3

xfxfxfxfxfh

xfxfxfxfh

bfafh

6779.1

2175.0...7751.05333.02383.0...5829.02667.0)2000.01353.1(333.1

6.41

8.31

0.31

2.21

4.11

34.04

6.41

4.31

6.21

8.11

34.02

51

11

34.0

6.428.320.322.224.12

6.424.326.228.12

5212

eeeee

eeee

ee

Galat/error:

Dengan Penjumlahan Riemann left sum = 1.6771 – 1.8803 = -0.2032Dengan Penjumlahan Riemann right sum = 1. 6771 – 1.5602 = 0.1709Dengan Penjumlahan Riemann middle sum = 1. 6771 – 1.6691 = 0.0080Dengan Composite Trapezoidal Rule (M = 10) = 1. 6771 – 1.6933 = -0.0162Dengan Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.7858 = -0.1087Dengan Composite Simpson’s Rule = 1.6771 – 1.6779 = -0.0008

Kesimpulan:Composite Simpson’s Rule memberikan perbaikan yang signifikan terhadap pendekatan Simpson’s Rule. Dan galat yang diberikan jauh lebih baik dibandingkan dengan metode Penjumlahan Riemann maupun Composite Trapezoidal Rule.


• Contoh 3 :Bandingkan solusi hampiran yang diberikan Composite Trapezoidal Rule dan Composite Simpson’s Rule untuk y = 2 + pada interval [1, 6] dengan nilai M = 10 (Composite Trapezoidal Rule) dan M = 5 atau 2M = 10 (Composite Simpson’s Rule).

Mohon dicek jawabannya dan penyelesaian dengan Penjumlahan Riemann!


x2sin

• Solusi dengan Composite Trapezoidal Rule.

h =

xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,

x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6


5.010

16

921100

1

1

...2

2

, xfxfxfhxfxfh

xfhbfafh

hfTM

ii

5.5...25.1612

fffhffh

0002.10287.11083.12432.14353.16831.19793.13081.26382.25.0

0174.19093.225.0

1939.84244.145.0 9267.3.250

• Solusi dengan Composite Simpson’s Rule.

h =

xi = 1 + 0.5h sehingga x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0, x5 = 3.5,

x6 = 4.0, x7 = 4.5, x8 = 5.0, x9 = 5.5, dan x10 = 6


05.020

012

Mab

9753134

864232

613

34

32

3,

1

1 1122

fffffh

ffffh

ffh

xfh

xfh

bfafh

hfSdxxfM

i

M

iii

b

a

0002.11083.14353.19793.16382.23

5.04

0287.12432.16831.13081.23

5.020174.19093.2

35.0

1830.81613.832

2630.631

9267.361


Solusi eksak y =

(lihat http://integrals.wolfram.com/index.jsp untuk mencari solusi eksak)

Galat/error:

Dengan Composite Trapezoidal Rule = 8.1835 – 8.1939 = -0.0104Dengan Composite Simpson’s Rule = 8. 1835 – 8.1830 = 0.0005

1835.8

22sin

2cos22sin25

1

6

1

x

xxxdxx

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

AKHIR MATERI METODE NUMERIK

TERIMA KASIH.

metode numerik pada persamaan integral (new)

Documents