Modelos de Asignación de Tránsito:Aplicación a la Red Metropolitana del Valle

de México

Ana G. Fernández, L. Héctor Juárez, Joaquín Delgado, M.Victoría Chávez, Elsa Omaña

Departamento de Matemáticas UAM–I

Junio 13, 2013

Seminario de Matamáticas Aplicadas y Computacionales

Flujo en redes de transporteModelos Matemáticos para Mejorar la Operación de la Red del STC–Metro

Modelos de asignación:

I Modelos de tráfico.

I Modelos de tránsito.

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Objetivos:

I Estudiar la red de tránsito de AMVM

I Satisfacer las demandas del STC–Metro

Ejemplo en una red sencilla

¿Cómo ir de O a D en elmenor tiempo posible?

I La ruta más ‘corta’

I La mejor estrategía

Posibles rutas

O 1 −→ D 6 + 25 = 31 minO 2 −→ A 3 −→ D 6 + 7 + 15 + 8 = 36 minO 2 −→ B 4 −→ D 6 + 13 + 3 + 10 = 32 minO 2 −→ B 3 −→ D 6 + 13 + 15 + 4 = 38 minO 2 −→ A 3 −→ B 4 → D 6 + 7 + 15 + 4 + 3 + 10 = 45 min

Estrategias alternativas

Secuencia de mejor transbordo: tiempo de viaje esperado 30.5 min

Estrategia óptima: tiempo de viaje esperado 27.75 min

Modelo de Spiess–Florian

Se considera que se conocen las líneas disponibles en cada nodo ylas frecuencias de salida de los vehículos.

ESTRATEGIA: Definida por:

1. El conjunto de líneas atractivas en cada nodo.

2. El nodo de bajada para cada línea atractiva (en cada nodo).

REGLAS PARA ALCANZAR EL DESTINO

1. NODO = origen.

2. Abordar el primer vehículo de un conjuntos de líneas atractivas.

3. Bajar en un nodo predeterminado.

4. Si no se ha llegado al destino, poner NODO = al nodo actual yvolver a 1.

Líneas atractivas

Nodo Líneas atractivas Tiempo espera Probabilidad de línealínea→ Nodo bajada minutos 1 2 3 4

O 1→ D 6.0 1.00 −− −− −−O 2→ A 6.0 −− 1.00 −− −−O 2→ B 6.0 −− 1.00 −− −−O 1→ D, 2→ A 3.0 0.50 0.50 −− −−O 1→ D, 2→ B 3.0 0.50 0.50 −− −−

A 2→ B 6.0 −− 1.00 −− −−A 3→ B 15.0 −− −− 1.00 −−A 3→ D 15.0 −− −− 1.00 −−A 2→ B, 3→ B 4.3 −− 0.71 0.29 −−A 2→ B, 3→ D 4.3 −− 0.71 0.29 −−

B 3→ D 15.0 −− −− 1.00 −−B 4→ D 3.0 −− −− −− 1.00B 3→ D, 4→ D 2.5 −− −− 0.17 0.83

Representación nodo-arista del ejemplo

Notación: A: conjunto de arcos, N : conjunto de nodos

Modelo básico con tiempo de viaje fijoTiempo de tránsito = tiempo de espera + tiempo de viaje

(valor esperado) (valor fijo)

Para cada nodo destino r :∑i∈N

ti v ri +

∑a∈A

ta v ra

Tiempos de espera: ti = α/∑

a∈A+i

fa

Tiempos de viaje: ta, fijos y conocidos.

Volumen acumulado en i : v ri =

∑a∈A−

i

v ra + gr

i

Tiempo acumulado en i : w ri = ti v r

i

Problema: minimizar el tiempo de tránsito del sistema.

Empleando w ri como variable, el problema es un problema de programación lineal con

una restricción adicional: v ra ≤ fa ωr

i (Spiess & Florian, 1989).

Primal / Dual

Problema lineal convexo, separable por nodo destino r :

Problema primal

minA⊂A

∑i∈N

ωri +

∑a∈A

ta v ra,

tal que∑a∈A+

i

v ra −

∑a∈A−

i

v ra = gr

i i ∈ N ,

v ra ≤ fa ωi , a ∈ A+

i , i ∈ N ,v r

a ≥ 0, a ∈ A.

Problema dual

maxN

∑i∈N

gri τ

ri ,

tal queτ r

j + ta + µa ≥ τ ri , a = (i , j) ∈ A,∑

a∈A+i

fa µa = 1, i ∈ N ,

µa ≥ 0, a ∈ A.

τ ri = tiempo total esperado de viaje del nodo i al destino r .

Se resuelve el problema dual utilizando:programación dinámica =⇒ Problemas de gran escala.

Algoritmo de solución basada en el dual

Calcula: I Tiempos esperados totales: τi .

I Estrategia óptima: A∗.

C. de holgura compl.

µa =

{τi − τj − ta, a ∈ A,0, a /∈ A.

Restricción dual∑a∈A+

i

fa µa = 1 =⇒∑

a∈A+i

fa (τi − τj − ta) = 1

τi =1∑

a∈A+i

fa+

∑a∈A+

ifa (ta + τj )∑

a∈A+i

fa

= W (A+i ) +

∑a∈A+

i

Pa(A+i ) (ta + τj )

T. espera en i + T. de viaje de i a r .

ResumenEtapa 1: Estrategia óptima y tiempos τi

Arcos con minimo τj + ta Etiqueta de nodo (τi , fi )n a = (i, j) fa τj + ta a ∈ A O A2 A B3 B D0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 ∞, 0 0, 01 (B3,D) ∞ 4.0 si ′′ ′′ ′′ 4,∞ ′′ ′′

2 (B,B3) 115 4.0 si ′′ ′′ ′′ ′′ 19, 1

15′′

3 (A,B3) 115 8.0 si ′′ ′′ 23, 1

15′′ ′′ ′′

4 (B,D) 13 10.0 si ′′ ′′ ′′ ′′ 11.5, 2

5′′

5 (B3,B) ∞ 11.5 no ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

6 (A2,B) ∞ 17.5 si ′′ 17.5,∞ ′′ ′′ ′′ ′′

7 (A,A2) 16 17.5 si ′′ ′′ 19, 7

30′′ ′′ ′′

8 (A2,A) ∞ 19.0 no ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

9 (O,A2) 16 24.5 si 30.5, 1

6′′ ′′ ′′ ′′ ′′

10 (O,D) 16 25.0 si 27.75, 1

3 17.5,∞ 19, 730 4,∞ 11.5, 2

5 0, 0

Etapa 2: Asignación de la demanda

Asignación inicial: v ri = gr

i .

En cada paso se actualiza vj en el arco a = (i, j) : v rj = v r

j + v ra.

va = Pa(A+i ) vi =

fa∑b∈A+

ifb

vi

Aplicación a la red del Valle de México

Esta red contiene

1,705 centroides y 7,241 nodos.

31,720 arcos.

Modos de transporte:

I Tráfico: automóviles partic-ulares.

I Tránsito: metro, metroferreo, tren ligero, tranvía,metrobús, trolebús, autobúsdel DF, autobús del Estadode México, colectivo, sub-urbano, taxi de sitio y taxiindependiente

I Auxiliar: corresponden-cias del metro, bandastransportadoras, accesosa metrobús, accesos asuburbano y peatonales

Líneas de tránsito: 845 (46981 segmentos de línea):

I 20 líneas del metro,

I 2 líneas de metro férreo,

I 2 líneas de tren ligero,

I 2 líneas de suburbano,

I 102 líneas de autobuses del DF,

I 97 líneas de autobús del Estado de México,

I 16 líneas de trolebús,

I 18 líneas de metrobús

I 586 líneas de colectivos.

Se incluyen los tiempos de recorrido en cada arco y los headways decada línea.

La matriz origen–destino es una proyección al 2012 de la obtenida en2007.

Desbordamiento

Línea A, La Paz – Pantitlán Línea B, Cd. Azteca – Buenavista

El modelo no considera:

I La congetión en horas de mayor demanda.

I Los límites de capacidad de los vehículos.

Modelando la congestiónSe puede modelar con funciones de congestión sobre los segmentosde las líneas de tránsito:

Funciones de costo = costo fijo + función volumen–demora

ta(va) = t0a {1 + da(va)}, d(0) = 0.

en donde, la función volumen–demora d(x) es creciente.

1. BPR (Bureau of Public Roads):

d(x) = xα, α > 1, x =vc

2. Cónicas (Spiess):

d(x) = 2√α2 (1− x)2 + β2−α (1−x)−β.

β = 2 α−12 α−2

Es posible considerar otro tipo de funciones.

Modelo con congestiónProblema (nolineal) de mínimización convexa:

min∑r∈D

{∑i∈N

ωri +

∑a∈A

t0a v r

a︸ ︷︷ ︸ +∑a∈A

t0a

∫ v ra

0da(v) dv

}︸ ︷︷ ︸

Tiempo total de tránsito + Tiempo de congestión

tal que∑a∈A+

i

v ra −

∑a∈A−

i

v ra = gr

i i ∈ N , r ∈ D

v ra ≤ fa ωr

i , a ∈ A+i , i ∈ N , r ∈ D

v ra ≥ 0, a ∈ A, r ∈ D,

I Requiere de un método de aproximación lineal (e.j. Frank-Wolf).

I En cada iteración se resuelve un P.L. básico.

Problema: Este modelo subestima los tiempos de espera.

Modelando la capacidad limitadaEl mecanismo para modelar los tiempos de espera crecientes es el de frecuenciaefectiva: que se obtiene del headway percibido (ó ajustado).

Headway percibido = headway original ∗ factor del headway

= headway original ∗1

1−(

subidascapacidad residual

)β(inspirado en teoría de colas)

Cada pasajero selecciona un subconjuntono vacío de líneas s ⊆ A, y aborda el primervehiculo con capacidad disponible.

En este caso la decisión óptima de cadapasajero se ve afectada por las decisionesde otros!. Por lo tanto, puede haber másde una estrategia óptima s.

Modelo con congestion y límites de capacidad

Una caracterización del equilibrio en términos de la condición deWardrop implica que el flujo de equilibrio de tránsito es solución delsiguiente problema:

Primal − Dual

minv

GAP(v) = minv

∑r∈D

[︷ ︸︸ ︷∑i∈N

ωri +

∑a∈A

ta(v) v ra −︷ ︸︸ ︷∑i∈N

gri τ

ri (v)

]

sujeto a las mismas restricciones que el problema lineal.

En el óptimo:

Tiempo t. de tránsito− Tiempo sobre estrategías más cortas = 0

Problema considerablemente más difícil

Información adicional: capacidades de los vehículos de transporte:(por ej., un vagón del metro soporta 360 sentados y 1530 parados).

El algoritmo de promedios sucesivos

0 Inicialización:Se calcula la solución inicial para cada segmento.

1. Actualización de costos y frecuencias:Se calculan los nuevos costos y headways basados en los flujosrecién calculados.

2. Cálculo de la nueva solución de costo lineal:Se resuelve problema de costo lineal, de estrategía óptima confrecuencia fija, para obtener los nuevos flujos.

3. Promedios sucesivos:Se realiza el promedio. El paso de la iteración es 1/No. deiteración;

4. Criterio de paro:Se calcular el valor de la función Gap;Si la solución es suficientemente pequeña, se para;En caso contrario, se regresa al paso 2

Convergencia de la función GAP

Iteraciones contra el valor de la función GAP

Entre 6:00–9:00 hrs se asignó un total de 5,121,359 viajeros.

Desvanecimiento de la sobresaturación

Líneas del metro a las que les toma más iteraciones descartar el ex-ceso de volumen.

Línea A, Linea B, línea 6: Zonas de alta demanda, bajos recursos ycon pocas opciones de transporte) como: Texcoco, Nezahualcoyotl eIztapalapa (línea A), Ecatepec y Valle de Aragón (línea B), norte delDF (línea 6)

Línea A, dirección Pantitlan: iteraciones 1 y 22.

Línea con mayor exceso de volumenMenos del 1% de los segmentos de la red tienen exceso de volumen.

Línea con mayor exceso de volumen: EE1 de trolebúsInsurgentes–UV Guerrero.

Zonas de mayor demanda asignada

12

435

539

730

953

Zonas con mayor volumen asignado

La zona 539 es la de mayor demanda (70 mil), seguida de otrascuatro de 25 mil.

Nodos con mayor actividad

Node value 1Node value 2

Node value 3

Node value 4

Numero de abordajes, transbordos y descensos.

El mayor número de transbordosocurre en la estación del metroPantitlán (zona oriente), en variasde las estaciones de la línea 1(zona central), en la estación In-dios Verdes (zona norte), en Bar-ranca del Muerto y Mixcoac (zonasur–poniente), en Taxqueña (sur),asi como en la zona de Tlahuac–Canal de Chalco sobre el Per-iférico.

Esto último justifica la reciente in-troducción de la línea 12 del metro.

Comparación de tiempos de viajeLínea headway t. real. t. calc. v. Lin. v. CAP.

1a 1.92 31.00 28.62 150286 1146931b 1.92 31.25 28.62 32815 171502a 2.17 37.17 35.44 51613 387762b 2.17 36.83 35.44 119209 738483a 2.08 38.17 36.91 79801 797283b 2.08 38.25 36.91 31140 523704a 5.83 15.58 14.98 21320 38474b 5.83 15.42 14.98 16178 11855a 4.17 22.08 22.09 7713 35675b 4.17 22.83 22.11 7658 204486a 4.00 17.75 17.67 34787 67456b 4.00 18.08 17.67 28020 113357a 3.75 25.25 24.05 56125 163967b 3.75 25.25 24.05 59283 109718a 2.83 29.00 27.39 25115 42108b 2.83 29.00 27.39 139436 777379a 2.33 21.25 20.05 215892 618239b 2.33 21.50 20.05 10758 4355aa 2.50 26.50 20.62 5423 1146ab 2.50 26.50 20.62 437437 69135ba 3.25 34.50 34.09 316409 74934bb 3.25 35.00 34.09 53116 6425

La Matriz de demanda

En la planecación del transporte uno de los requerimientos másimportantes es el conocimiento del patrón de tráfico/tránsito entrevarias zonas.

Usualmente la demanda de transporte se especifica por medio de laestimación de la matriz origen destino (O–D).

Problemas fundamentales:

I No es posible obtener una matriz O–D exacta, especialmente enredes de gran tamaño.

I La matriz O–D cambia constantemente: variación de la oferta yde la demanda, modificación de la infraestructura, etc.

I La generación de matrices O–D es sumamente costoso

Por lo tanto, hay necesidad de estimar las matrices O–D a partir deinformación incompleta que puede tener errores de medición.

Métodos:

I Método tradicional: Muestras de gran tamaño, que se obtienenpor medio de encuestas.

I Modelos de estimación de demanda.

Categorías:

I Estáticos: se utilizan en planeación a largo plazo, se calcula lademanda promedio en un horizonte de tiempo.

I Dinámicos: se utilizan para la planeación de estrategias decorto plazo: guía de rutas, control del tráfico, etc.

La precisión de la estimación puede variar dependiendo de

I El modelo de estimación.

I Errores en los datos.

I Decisión sobre dónde y cómo realizar los conteos.

Modelo de Transporte de Entropía Máxima

Entropia : E(g) =

(∑pq gpq

)!(∏

pq gpq

)!

Se conocen:

I Una matriz de demanda G = {Gpq} no actualizada.

I Las producciones Op, para todo origen p.

I Las atracciones Dq , para todo destino q.

La matriz actualizada g = {gpq} resuelve

ming

∑pq

gpq (log gpq − log Gpq − 1)

sujeto a∑p

gpq = Op ∀ p

∑q

gpq = Dq ∀ q

El mínimo satisface:

gpq = ap bq Gpq ,

con ap = e−αp ,bq = e−βq

Mínimos cuadrados

Se conocen

I Una matriz de demanda no actualizada G = {Gpq}.I Mediciones de volúmenes en ciertos arcos {Va}a∈A

La matriz actualizada g = {gpq} resuelve

ming

Z (g) =12

∑a∈A

(va(g)− Va)2 +k2

∑pq

(gpq −Gpq)2

sujeto av(g) = volumenes asignados con la matriz g