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Colegio Privado

“Juan Mejía Baca” CHICLAYO

¡Es otra forma de educar!

www.cepjuanmejiabaca.com

4ºSECUNDARIA DE MENORES RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

BIMESTRE I Y II

2

3:razón

SUCESIONES SUCESIÓN: Es aquel conjunto cuyos elementos (términos) se encuentran ordenados según una característica determinada, de modo que uno de sus términos es señalado como el primero, el siguiente como el segundo, el otro como el tercero y así sucesivamente, de tal forma que a cada uno de ellos le corresponde un número ordinal en la sucesión. CLASES DE SUCESIONES I. Sucesiones Polinominales o Aritméticas:

Cuando la diferencia entre 2 términos consecutivos de la secuencia es constante también se las denomina “PROGRESIÓN ARITMÉTICA” y la diferencia común que estas presentan, se les conoce como “Razón Aritmética”.

Ejm: Así, la sucesión {an} será polinomial si:

12

31

21 ...... kk

kkkn CnCnCnCnCa

El grado del polinomio señalado, identifica a la sucesión:

A. nn aBAna

Ejm:

;...61;31;01;7;4

3333rrrr

B. nnnn aCBAa 2

Ejm:

C. DCnBnAnan 23

Ejm: {n3 + 2n}

Formula General

......!2

)2)(1(

!1

)1( 321

nnanaa

II. Progresión Geométrica: Es aquella sucesión en la que el primer termino diferente de cero y cada termino posterior a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por un mismo numero (diferente de cero) llamado “razón” de la PG.

Ejm: 4326214146946

2

3

2

3

2

3

2

3

xxxx

11

3134

2123

12

11

..

nqn

xq

xq

xqn

n

aa

qaaa

qaaa

aa

aa

GPa

III. Sucesión Armónica: Es aquella sucesión en la que las inversas de sus términos forman un P.A.

Ejm:

nn 12

1;.......

11

1;

9

1;

7

1;

5

1;

3

1;

1

46

3;.......

32

3;

26

3;

10

3;

14

3;

14

3;

8

3;

2

3

n

1° 2° 3° 4° : Número ordinal

A X G T : Sucesión 1

7 8 8 10 : Sucesión 2 1/2

°

2/3 3/4

4/5 : Sucesión 3

a1 a2

a3

a4 | | | |

… an

Sucesión Polinomial de primer

orden (Sucesión lineal)

{3n} + 1 a1 = 4

r = 3

Sucesión Polinomial de segundo orden (Sucesión Cuadrática)

3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; 51

3 5 7 9 11 13

2 2 2 2 2

Sucesión Polinomial de tercer orden (Sucesión Cúbica)

3 12 33 72 135 228

9 21 39 63 93

12 18 24 30

6 6 6

1° Diferencia 2° Diferencia 3° Diferencia

donde q: es la razón

2

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BIMESTRE I Y II

IV. Sucesión Especial: a) Sucesión de Fibonacci.

342121131388553322111

55;34;21;13;8;5;3;2;1;1

12 nnn aaa Formula de recurrencia

b) Sucesión de Lucas.

29191811117744331

47;29;18;11;7;4;3;1

c) Sucesión de Feinberg.

1374742421211

24;13;7;4;2;1;1

V. Sucesiones Literales:

2754321

.....

ZEDCBA

Ejm1 Literales Simples:

3333

1512963

ÑLIFC

Ejm2 Literales Compuestas: AB ; CD ; EH ; GO Se observan dos sucesiones 1. A C E G (1) (3) (5) (7)

+2 +2 +2 2. B D H O (2) (4) (8) (16)

x2 x2 x2

Sucesiones Literales Alternadas A A B D C I D O

2222 416392411

Sucesiones Literales U D T C C S

Seis Cinco Cuatro Tres Dos Uno

VI. Sucesiones Graficas:

Ejm:

Ejm:

PROGRESIONES (Formulas) I. Aritméticas:

Inicio de la progresión :

Primer termino : a1

Ultimo termino : an

Razón o diferencia : r

Termino de lugar n : tn

Numero de términos : n

Suma de términos : S

rnaan )1(1

n

rnaSon

aaS n

n

2

12

2

11

Interpolación de Medios Aritméticos

cos""

..............aritmetimediosm

ba1

m

abr

II. Geométrica:

PA / PG

3

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111

1 :. taNotaraa nn

qr

tatttóttt nnncnc

11.

1:1

:1

1 11

q

q

tSLLimiteSuma

q

qtS

n

n

Interpolar: 1 m

a

bq “m” medios geométricos.

EJERCICIOS

1. ¿Qué número sigue? 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 16 ; 24 ; 40 ; 59 ; ………

a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99

2. Hallar el par de letras que siguen: C; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ………

a) KR b) LR c) KQ d) KR e) MQ

3. Hallar “x” en:

a) 121 b) 64 c) 72 d) 144 e) 169

4. Hallar el termino que sigue en la siguiente

sucesión:

;......12;8;5;3 201262 xxxx

a) 18x3

2 b) 15x3

0 c) 16x2

4 d) 17x2

8 e) 17x3

0

5. Calcular el t24

4 ; 9 ; 17 ; 28 ; 42 ; ………

a) 878 b) 787 c) 868 d) 856 e) 798

6. Halla “x” en:

a) 54 b) 64 c) 72 d) 60 e) 57

7. Sabiendo que:

AB es AD como CE es a:

a) JK b) IJ c) IK d) HL e) HK


4 (18) 3 16 (16) 2 289 (x) 5

a) 375 b) 430 c) 425 d) 515 e) 455

9. ¿Qué número continua?

17 ; 19 ; 15 ; 14 ; 17 ; 23 ; -1 ; -22 ; …

a) - 78 b) 105 c) - 83 d) 83 e) - 95

10. ¿Qué número sigue?

2 ; 9 ; 93 ; …………

a) 8754

b) 8745

c) 8475

d) 8775

e) 8545

11. ¿Qué figura sigue?

4

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BIMESTRE I Y II

a) b) c)

d) e)


a) 4 b) 3 c) 8 d) 2 e) 5

13. ¿Qué letra sigue?

A ; B ; D ; H ; ………

a) P b) R c) Ñ d) O e) Q

14. Hallar la suma de los 3 términos siguientes:

5 ; 7 ; 10 ; 15 ; 22 ; ………

a) 140 b) 142 c) 137 d) 139 e) 143

15. ¿Qué termino ocupa el lugar 100?

1 ; 4 ; 10 ; 19 ; 31 ;…………

a) 15681

b) 15302

c) 14524

d) 14981

e) 14851

16. Hallar en la siguiente sucesión el primer término mayor que 100.

0 ; 4 ; 9 ; 17 ; 31 ; 55 ; ………

a) 152 b) 118 c) 154 d) 112 e) 123

17. ¿Qué número sigue?

4 ; 2 ; 2 ; 4 ; …………

a) 1 b) 4 c) 2 d) 16 e) 0

18. ¿Qué figura continua?

a)

b) c)

d) e)

19. Señale el grupo alfanumérico que sigue:

13ZD25 ; 16WH36 ; 19TL49 ; ……

a) 22RT64

b) 22QO64

c) 22QR64

d) 22RS64

e) 22RO64

20. Hallar en cada caso el número que falta:

45 (50) 55 15 (30) 45 12 ( ) 40

a) 26 b) 27 c) 29 d) 24 e) 22

21. ¿Qué figura sigue?

a) b) c)

d) e)

22. ¿Qué número falta?

5

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BIMESTRE I Y II

16 (20) 24 26 (33) 40 18 ( ) 12

a) 12 b) 14 c) 18 d) 17 e) 15

23. ¿Qué número falta?

2 (12) 2 3 (10) 1 5 ( ) 3

a) 50 b) 52 c) 48 d) 36 e) 56

24. Señale el grupo de letras que sigue:

BMD ; CÑG ; DPJ ; ………

a) ETS b) EQP c) EQN d) ERM e) ETN

25. Federico reparte a sus nietos caramelos del

modo siguiente: a Paula 2, Andrea 7, Sebastián 12; André 17, Anita 22, así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos recibirá el nieto número 24?.

a) 123 b) 120 c) 117 d) 119 e) 121

26. ¿Qué palabra debe escribirse en el espacio

punteado?

31 (CAFE) 65 49 (………) 71

a) LECHE b) DIGA c) DIME d) DIHA e) BEJE

27. Señale el grupo de letras que sigue:

CTT ; FIV ; IVX ; ………

a) KWZ b) KVZ c) LWZ d) LVM e) LVZ

28. Señale el grupo alfanumérico que sigue:

5ZA18 ; 17WC25 ; 29TE32 ; ………

a) 41QH39

b) 41RG37

c) 39QG38

d) 41QH40

e) 41QG39

29. Calcular el número que continúa en la siguiente

sucesión:

1 ; 6 ; 30 ; 168 ; …………

a) 460 b) 630 c) 810 d) 108

0 e) 121

5

30. Hallar el valor de “x” que completa

correctamente la siguiente distribución numérica:

a) 13 b) 7 c) 15 d) 18 e) 21

31. Calcular la suma de los tres números que tiene

la figura 50, teniendo en cuenta la siguiente secuencia:

a) 597 b) 12 c) 588 d) 1515

0 e) 1487

5

32. ¿Qué valor toma “x” en la siguiente analogía

numérica?

4 (20) 4 2 (10) 6 3 (x) 4

a) 16 b) 13 c) 19 d) 12 e) 18

33. ¿Cuál es el valor de “x”?

6

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BIMESTRE I Y II

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

34. Calcular el valor de “x + y + z” en la siguiente

sucesión:

2115 22 ;125;

3

64;

2

9;2;

1 yx nznnnnn

a) 512 b) 680 c) 724 d) 840 e) 984

35. Calcular la letra que continua en la siguiente secuencia:

A ; A ; B ; C ; E ; H ; ………

a) K b) M c) O d) P e) X

36. Calcular la suma de cifras del término que

c o n t i n u a e n l a s i g u i e n t e s u c e s i ó n :

1 ; 3 ; 13 ; 183 ; ………

a) 28 b) 11 c) 13 d) 22 e) 18

37. ¿Qué término continua?

;.........;;;H

G

E

D

B

C

B

A

a) I

p b)

K

O c)

M

p

d) K

p e)

I

O

38. Indique la alternativa que sigue la serie

mostrada:

a) b) c)

d) e)

39. En la siguiente distribución numérica hallar el

valor de x.

2 3 4 1 4 7 3 5 x

a) 9 b) 12 c) 8 d) 11 e) 10

40. Hallar el valor de x:

2 10 9 4 13 24 6 11 x

a) 32 b) 29 c) 31 d) 26 e) 24

41. En la sucesión:

......;1

4;

2

3;

3

2;

4

1;

1

3;

2

2;

3

1;

1

2;

2

1;

1

1

a) 78 b) 80 c) 75 d) 81 e) 85

42. Indique la alternativa que debe ocupar el

casillero TRILCE:

3 0 0 0 0 5 27 TRILCE

a) 88 b) 80 c) 87 d) 92 e) 85

43. Identifique la alternativa que continua

coherentemente la siguiente sucesión grafica.

a) b) c)

SUCESIONES

1. ¿Qué número sigue en la sucesión?

3 ; 2 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 3 ; ……

a) 0 b) 1 c) 2 d) - 2 e) - 1

2. ¿Cuál es el producto de los dos términos

siguientes en la sucesión?

7

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BIMESTRE I Y II

4 ; 11 ; 8 ; 7 ; 12 ; 3 ; 16 ; ………

a) 16 b) 20 c) - 8 d) - 12 e) - 20


60 ; 12 ; 3 ; 1 ; ……

a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/6

4. Encuentre m + n + p , de:

30;;19;12;8;2; npm

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

5. De la siguiente sucesión:

....;;)(;;;;;0 xbxbcax

indique el termino que sigue, si a ; b ; c son números consecutivos crecientes, que suman 30 y x ; b ; (a + c) forman una progresión geométrica.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) 25

6. Señale el valor de x2 – y conocida la siguiente

sucesión:

-2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 1 ;(x2 – y2); (x - y)

a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2

7. Hallar la suma de los dos términos que

continúan.

0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 6 ;……

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 15

8. Halle x – y , de :

- 1 ; - 2 ; - 4 ; 4 ; - 7 ; - 8 ; - x ; y

a) 10 b) 6 c) - 4 d) 4 e) 6

9. De la siguiente sucesión, halle la suma de cifras del número que sigue:

- 1 ; - 1 ; 0 ; 3 ; 10 ; ……

a) 2 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10

10. Halle x + y :

x ; 1 ; 19 ; 45 ; 75 ; 107 ; y

a) 130 b) 133 c) 136 d) 139 e) 141

11. Halle x + y :

5 ; 64 ; 1210 ; 1522 ; 6046 ; xy

a) 157 b) 158 c) 159 d) 160 e) 161

12. Encuentre b

a.

;;14

30;

11

24;

9

21;

7

12;

6

6;

5

3

b

a

a) 17

40

b) 2 c)

20

39

d) 17

39 e)

19

40

13. En la sucesión 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; … ¿Cuántos

términos de 3 cifras acaban en 3?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14. Sea la sucesión {an} en la que sus primeros

términos son:

17

14;

14

12;

11

10;1;

5

6

¿A partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores que 0,72?

a) 20° b) 18° c) 16° d) 17° e) 21°

15. ¿Qué termino sigue en la sucesión mostrada?

1 ; 3/2 ; 19/11 ; 11/6 ; 17/9 ; ……

a) 12

19 b)

19

23 c)

37

46

8

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BIMESTRE I Y II

d) 38

73 e)

23

38

16. Dada la sucesión:

...,14

13,1,

8

9,

5

7,

2

5

¿A partir de que lugar los términos de la sucesión son menores que 4/5?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12


1 ; - 4 ; - 8 ; - 8 ; 1 ; 26 ; ……

a) 24 b) 25 c) 50 d) 75 e) 76

18. Calcular el término que ocupa el lugar 30 en la

siguiente sucesión numérica:

...;8

5;1;

2

3;2;2

a) 816

15

b) 184

15

c) 202

15

d) 98

15

e) 715

16

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

1. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética.

- 8 ; - 3 ; 2 ; 7 ; 12 ; ……

a) 597 b) 592 c) 577 d) 582 e) 587

2. Hallar el término de lugar 26 de la P.A.:

....;3

5;

6

7;

3

2

a) 3

72 b)

6

79 c)

6

80

d) 3

80 e)

6

76

3. Obtener el término a40 en una P.A. sabiendo

que: a25 = 52 y r = - 3

a) 1 b) 4 c) 7 d) 10 e) 13

4. Se sabe que una P.A. el término que ocupa el

lugar 12 es 42, la razón es 2. Hallar el primer término de dicha progresión.

a) 24 b) 16 c) 22 d) 18 e) 20

5. En una P.A. el término de lugar 40 es 59; el término de lugar 27 es 33. Hallar el primer término y la diferencia común de dicha progresión.

a) – 21 y 2 b) – 19 y 2 c) – 21 y 3 d) – 19 y 3 e) – 17 y 2

6. ¿Cuántos números pares hay entre: 31 y 128?

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

7. Se desea saber el número de múltiplos de 4

que hay entre 10 y 116.

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

8. ¿Cuánto vale la suma de los 25 términos de una

P.A., cuyo primer término es 4 y cuya razón es 10?

a) 3 090 b) 3 100 c) 3 110 d) 3 120 e) 3 130

9. Una P.A. de 30 términos tiene por primer

termino 200 y por suma 5 130. ¿Cuánto valen la razón y su último término?

a) – 3 y 144 b) – 2 y 140 c) – 2 y 142 d) – 3 y 142 e) – 2 y 144

10. Hallar la suma de los 25 primeros términos de

la P.A.

15

16;

15

11;

5

2

9

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BIMESTRE I Y II

a) 109 b) 110 c) 110 d) 112 e) 113

11. Hallar la suma de los números impares desde

29 hasta 137.

a) 4 565 b) 4 594 c) 4 536 d) 4 702 e) 4 428

12. Hallar el número de términos y la suma de

ellos, en una P.A., cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último termino 123.

a) 39 y 2577 b) 40 y 2580 c) 39 y 2580 d) 41 y 2583 e) 40 y 2577

13. Es una progresión aritmética de 60 términos la diferencia común es igual a 5 y la suma de sus términos es 9 150. ¿Cuánto vale a1 y a60?

a) 10 y 295 b) 5 y 305 c) 0 y 305 d) 5 y 300 e) 0 y 295

14. Sumar los 30 múltiplos de 5 siguientes a 50.

a) 3 825 b) 3 830 c) 3 835 d) 3 840 e) 3 820

15. Una progresión aritmética tiene 33 términos y

su término central vale 8. ¿Cuánto vale la suma de los 33 términos?

a) 263 b) 264 c) 265 d) 266 e) 267

16. En la siguiente: P.A.

(x - 6); (x - 1); (x + 4); (x + 9); ….

a) (x + 184) b) (x + 169) c) (x + 164) d) (x + 179) e) (x + 174)

17. El mayor de tres números que forman una

progresión aritmética es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor de estos tres números, si su producto es 1 296?

a) 15 b) 6 c) 18 d) 12 e) 21

18. Los términos extremos de una P.A. son 3 y 79, y la suma de todos ellos es 820. ¿Cuál es la razón de la progresión y cuántos términos tiene?

a) 4 y 20 b) 5 y 20 c) 3 y 20 d) 4 y 21 e) 5 y 24

19. El menor ángulo de un hexágono irregular

(ángulos desiguales) es de 100° y los seis ángulos están en P.A. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos?

a) 100

° b) 110

° c) 120

° d) 130

° e) 140

°

20. En una progresión aritmética el quinto termino

es 22 y al octavo 34. Calcula la suma de los 60 primeros términos.

a) 704

4 b) 744

0 c) 740

4 d) 470

4 e) 407

4

21. La suma de los tres primeros términos de una

P.A. es la raíz positiva de la ecuación: x2 – 17x – 84 = 0, siendo el sexto termino 15. Hallar la razón.

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

22. Determinar el mayor de los 5 primero términos

de una P.A. sabiendo que la suma de los tres últimos es igual al duplo de la de los tres primeros, y que la suma de estos 5 términos es 90.

a) 18 b) 24 c) 30 d) 6 e) 22

23. Hallar la suma de todos los números de dos

cifras que son múltiplos de 3.

a) 1662

b) 1665

c) 1668

d) 1671

e) 1674

10

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BIMESTRE I Y II

24. ¿Cuántos términos hay que tomar en la progresión aritmética: - 2 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; … para que la suma sea 8190? a) 63 b) 64 c) 65 d) 66 e) 67

25. (x + y); (4x – 3y); (5y + 3x); son tres términos

consecutivos de una progresión aritmética. La relación entre “x” e “y” es:

a) 3

1

y

x

b) 2y

x c) 3

y

x

d) 5y

x

e) 4

1

y

x

26. Si se sabe que: a; a2 y 3ª son los tres términos

de una P.A., entonces la suma de los 10 primeros términos es:

a) 11 + 10a b) 100a + 11 c) 111a d) 55a e) 110a

27. Hallar el valor de c2; en la P.A: a; b; c; e; si se sabe que: a + e = 20

a) 400 b) 100 c) 20 d) 10 e) 160

28. Las dimensiones de un paralelepípedo

rectangular están en P.A. cuya suma de dichas dimensiones es 30m; el volumen del paralelepípedo es de 640 m3. ¿Cuánto mide las aristas?

a) 6; 10; 14 b) 8; 10; 12 c) 2; 10; 11 d) 4; 10; 16 e) 2; 8; 14

29. ¿Cuántos términos de la P.A.?

2

12;

2

14;

2

16

Se deben tomar para que la suma sea - 396.

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

30. Los cuatro primeros términos de una expresión aritmética son: a ; 2x ; b ; 3x. La razón entre “a” y “b” es de:

a) 1:3 b) 2:5 c) 4:7 d) 3:5 e) 5:8

31. El primer término de una progresión aritmética

vale – 7, y la diferencia común es 4. Hallar el termino a34 y la suma de los 34 primeros términos (S34).

a) 125 y 2006 b) 125 y 2002 c) 126 y 2006 d) 126 y 2002 e) 124 y 2006

32. Averiguar las edades que tiene cuarto

individuo sabiendo que forman una progresión aritmética creciente, sabiendo que la suma de la edad del primero con la del cuarto es 71 años y que multiplicando ambas edades resulta 1078. (Dar como respuesta la edad del mayor.)

a) 96 años b) 77 años c) 49 años d) 94 años e) 36 años

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1. El séptimo término de una progresión

geométrica vale 243 y la razón 3, hallar el primer termino.

a) 3 b)

3

1 c)

6

1

d) 9

1 e)

2

1

2. En una progresión geométrica el primer

término vale 6 y el término de lugar 15 vale 54. Hallar el octavo término.

a) 18 b) 36 c) 9 d) 27 e) 6

3. En una progresión geométrica se sabe que: a15

= 512 y a10 = 16, hallar la razón y el primer termino.

a) r = 2 y a1 = 1/16 b) r = 2 y a1 = 1/32 c) r = 2 y a1 = 1/8 d) r = 2 y a1 = 1/64 e) r = 2 y a1 = 1/4

11

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4. Hallar el término de lugar 16 de la progresión

geométrica 81

8:

27

4:

9

2:

3

1

a) 2-15.3-16 b) 2-15.3-16 c) 216.3-15 d) 315.2-16 e) 215.3-16

5. Hallar el producto de los once primeros

términos de una progresión geométrica si sabemos que el término central vale 2.

a) 3 072 b) 1 024 c) 2 048 d) 4 096 e) 5 120

6. Hallar la suma de los seis primeros términos

de la progresión geométrica: 3

1;

3

2;

3

4

a) 21/4 b) 21/8 c) 23/6 d) -21/8 e) -16/3

7. Sabiendo que : a1 = 7 y r = 2, hallar la suma de

los nueve primeros términos de la progresión geométrica.

a) 5 377 b) 3 577 c) 7 735 d) 5 735 e) 7 537

8. En una progresión geométrica el primer término vale – 5 y la razón – 1/5. Hallar el término de lugar 10.

a) 5-7 b) 5-8 c) 5-9 d) 5-10 e) 5-6

9. Nos dan el primer término y la razón de una

progresión geométrica, que valen respectivamente 27 y 1/3. Nos piden hallar el producto de los ocho primeros términos (p8).

a) 27

18 P b)

87

18 P c)

64

18 P

d) 243

18 P e)

16

18 P

10. Hallar la suma de los seis primeros términos

de la progresión geométrica: 2

3;1;

3

2

a) 8

665 b)

48

665 c)

64

647

d) 64

665 e)

32

656

11. Suponiendo que el numerador y el

denominador tiene infinitos términos, calcular el valor de la fracción.

...625

1

125

1

25

1

5

1

...81

1

27

1

9

1

3

1

a) 3/5 b) 5/2 c) 3 d) 2 e) 4

12. La suma de los términos de una P.G.

decreciente y prolongada indefinidamente, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón.

a) 4

1 b)

2

1 c)

3 4

1

d) 5 2

1

e) 3 2

1

13. Sumar:

...

3

1

3

1

3

1

3

1432

S

a) 3

1 b)

3

2 c)

2

1

d) 7

1 e)

3

3

14. La suma de los 6 primeros términos de una

P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón.

a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1/3

15. La diferencia del tercer termino menos el

sexto termino de una P.G. es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.

12

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a) 245 b) 234 c) 243 d) 1/4 e) 5/9

16. Hallar el término de lugar 12 de la progresión

geométrica.

...:4

3:

2

3:3:6

a) 6 x 10-10 b) 3 x 2-11 c) 2 x 3-10 d) 3 x 2-10 e) 6 x 10-12

17. El primer término de una progresión

geométrica vale 1 y la razón es 2. Hallar el término a7 y el producto de los siete primeros términos (p7)

a) a7 = 37; p7 = 210 b) a7 = 64; p7 = 221 c) a7 = 16; p7 = 218 d) a7 = 64; p7 = 220 e) a7 = 32; p7 = 221

18. Calcular la suma de los 12 primeros términos

de la progresión:

...:3:3:1

a) 13728 b) 13364 c) 13364

d) 13182 e) 13346

19. La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es 4; y su primer término es 3. ¿Cuál será la suma de los términos a los cuadrados de los del anterior?

a) 16 b) 9,6 c) 12 d) 15 e) 7,2

20. Uniendo los puntos medios de los lados de un

triangulo equilátero, cuya área es de 16cm2 se obtiene un segundo triangulo equilátero; repitiendo la construcción con este segundo triangulo se obtiene un tercero y así se prosigue indefinidamente. Hallar la suma de todas las áreas de los triángulos obtenidos por el procedimiento descrito, cuando el número de ellos tiende a infinito.

a) 8 cm2 b) 16 cm2 c) 8/3 cm2

d) 64/3 cm2 e) 32/3 cm2 21. Una hoja de papel se parte por la mitad;

después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes. ¿Cuántos trocitos de papel habrá?

a) 256 b) 260 c) 510 d) 501 e) 105

22. Un circulo tiene un diámetro de 2m; un

segundo circulo tangente exterior al primero tiene un diámetro de 1m, un tercer circulo, tangente exterior al segundo (y con el centro alineado con el del primero) tiene un diámetro igual a 1/2m; si se continua indefinidamente construyendo círculos en las mismas condiciones. ¿Cuánto suma las áreas de estos infinitos círculos?

a) 2m2 b) (4/3)m2 c) (3/4)m2

d) (3/2)m2 e) 3m2

23. Si el segundo y el sexto término de una

progresión geométrica son 24 y 96, ¿Cuál es el cuarto término positivo?

a) 302 b) 16

c) 48

d) 24

e) 34

24. Sabiendo que A; B y C están en progresión

geométrica en ese orden, entonces el producto (A + B + C) . (A – B - C) es igual a:

a) A2 + B2 + C2 b) A2 - B2 + C2

c) A2 + B2 - C2 d) A2 - B2 - C2

e) -A2 + B2 + C2

25. La suma de los 7 primeros términos de una

progresión geométrica creciente es 2 186, y la

13

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razón del séptimo término sobre el segundo termino es 243. Hallar el término de lugar 4.

a) 12 b) 18 c) 54 d) 24 e) 162

26. Una progresión geométrica admite 4 términos

siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

27. Los tres números positivos en progresión

aritmética que aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28 son:

a) 3; 5 y 7 b) 2; 6 y 10 c) 3; 6 y 9 d) 1; 5 y 9 e) 3; 7 y 11

28. La diferencia del tercer término menos el

sexto de una progresión geométrica es 312 y el cociente 27. Calcular el primer término.

a) 10 b) 12 c) 291

6 d) 5 e) 8

SERIES Y SUMATORIAS Principales Series y Sumas Notables

1. Suma de los “n” primeros números naturales.

n

k sumandosn

nnnk

1 ""2

1...54321

2. Suma de los “n” primeros números pares

naturales.

n

k

nnnk1

12...8642

3. Suma de los “n” primeros números impares

naturales.

n

k

nnk1

212...753112

4. Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos.

6

121...321 2222

1

2

nnnnk

n

k

5. Suma de los “n” primeros números cubos

perfectos.

233333

1

3

2

1...4321

nnnk

n

k

6. Suma de los “n” primeros productos consecutivos.

a) Tomados de 2 en 2

3

21

1...5.44.33.22.111 ""

nnn

nnkkn

k sumandosn

b) Tomados de 3 en 3

4

321

...5.4.34.3.23.2.1211 ""

nnnn

kkkn

k sumandosn

7. Suma de los inversos de productos binarios.

Uar

UPaaaaaaaaS

rrr

111

1...

1111

54433221

8. Suma de una serie asociado a una sucesión

polinómica de orden superior.

zz

zba

yqpr

CCrCCTTTTTT nnnn

4321154321

12...321

21

3

xkkkk

nnnCn

k

9. Suma de los cuadrados de los primeros números

impares.

14

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6

12212

12...53112

min""

2222

1

2

nnn

nk

ostern

n

k

10. Suma de cuadrados de los primeros números

pares.

6

22122

2...6422

min""

2222

1

nnn

nk

ostern

n

k

11. Suma de los cubos de los primeros números

pares.

2

min""

33333

1

3 122...86422

nnnn

ostern

n

k

12. Suma de potencia.

1

1...54321

b

bbbbbbbb

nn

Propiedades

Si:

nbnn

abnabanSn

k

n

k

n

k

.2

1.

11 1

Si:

cn

nnb

nnna

cnbnacbnanSn

k

n

k

n

k

.2

1

6

121.

111

22

EJERCICIOS

1. Una progresión geométrica admite 4 términos

siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números.

a) 250

0 b) 195

5 c) 232

5 d) 194

0 e) 215

0

2. Calcular:

S = 5 + 12 + 21 + ……….. + 486 a) 364

0 b) 359

0 c) 232

5

d) 3774

e) 3910

3. Calcular “m”

m + (m - 1) + (m - 2) + …… + 3 + 2+ 1 = 105

a) 7 b) 12 c) 16 d) 14 e) 15

4. Calcular y3 en:

1 + 3 + 5 + …….. + (3y - 2) = 169

a) 64 b) 729 c) 512 d) 125 e) 100

0

5. Hallar:

S = 22 + 42 + 62 + …… + 302

a) 2450

b) 4960

c) 2800

d) 5200

e) 3650

6. Hallar la suma total del siguiente arreglo:

2 + 4 + 6 + ………………………….. + 60 4 + 6 + …………………………… + 60 6 + …………………………… + 60 . . .

60

a) 9455 b) 95560

c) 10500

d) 86550

e) 18910

7. Hallar el resultado de sumar:

20 + 19 + 18 + ……………… + 5 + 4 + 3 + 2 +1 20 + 19 + 18 + ……………… + 5 + 4 + 3 + 2 20 + 19 + 18 + ……………… + 5 + 4 + 3 20 + 19 + 18 + ……………… + 5 + 4 . . . 20 + 19 20

a) 3450 b) 1870 c) 4070 d) 2870 e) 4230

15

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8. En la base cuadrangular de una pirámide se ha usado 900 bolas. ¿Cuántas bolas se ha usado en total?

a) 9215 b) 7215 c) 9455 d) 3025 e) 1708

5

9. Se forma una pirámide triangular regular (tetraedro) con 1540 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base?

a) 200 b) 930 c) 210 d) 190 e) 420

10. Calcular el valor de “S” si:

sumandos

S100

....242322

a) 834

5 b) 725

0 c) 817

d) 8475

e) 8320

11. ¿Cuantos términos hay que considerar en las dos sumas siguientes para que tengan el mismo valor?

S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. S2 = 100 + 98 + 96 + 94 + …………

a) 61 b) 100 c) 67 d) 50 e) 48

12. Sabiendo que la suma de 20 números impares consecutivos es 400, hallar la suma de los 20 posteriores a los 20 siguientes números impares consecutivos, si todos son positivos.

a) 800 b) 120

0 c) 210

0 d) 200

0 e) 400

0

13. Hallar “S” :

S = 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + …… + 49 x 51

a) 22075

b) 22050

c) 21025

d) 15625

e) 21525

14. Hallar la suma de los 20 primeros términos:

S = 1 x 3 – 3 x 5 - + 5 x 7 – 7 x 9 + ……

a) – 820 b) - 700 c) 820 d) - 840 e) 0

15. Halle el valor de “S”

oster

S

min20

...97

16

75

12

53

8

31

4

a) 19/2

0 b) 21/2

0 c) 39/4

0 d) 41/4

0 e) 40/4

1

16. Hallar el valor de “x” :

4 + 7 + 10 + ……… + x = 175

a) 26 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

17. Calcular:

...11

18

11

13

11

8

11

3432

S

a) 3

1 b)

20

7 c)

11

3

d) 21

5 e)

32

3

18. Hallar la suma limite de :

...3

242

3

26

3

21

1062S

a) 10/80 b) 31/81 c) 100/80 d) 101/79 e) 101/81

19. Calcular:

16

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22

222222

20

1

19

11

...5

1

4

11

4

1

3

11

3

1

2

11

a) 3

19 b)

9

28

c) 3

120

d) 20

98

e) 1

20. Calcular la cifra de las decenas de la siguiente suma:

1! + 2! + 3! + 4! + ………. + 2002!

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 8

21. Indicar la suma de cifras del resultado de:

cifras 40

..99999 . 999 99 9

a) 45 b) 90 c) 99 d) 360 e) 48

22. Calcular “S” :

productos

S20

.....9584736251

a) 250 b) - 250 c) 320 d) - 320 e) - 800

23. Sea: 12 24

0

xxxan

k

kk

Calcular:

n

kka

0

a) 4 b) 2 c) 0 d) 3 e) 8

24. Cuál es la suma de la serie :

44.42.40

1...

10.8.6

1

8.6.4

1

6.4.2

1S

a) 115

4 b)

3696

115

c) 294

230

d) 7392

115

e) 7320

236

25. Si:

edncnbnan

kkkn

k

234

1

23 2000200120022003

Calcular a + b + c + d + e

a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) - 1

EJERCICIOS

1. La suma de 20 números enteros consecutivos

es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?

a) 830 b) 720 c) 630 d) 820 e) 900

2. Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745. Hallar el mayor de los sumandos.

a) 75 b) 74 c) 73 d) 76 e) 77

3. La suma de todos los números naturales desde “n” hasta “5n” es 1230. Calcular el valor de “n” y dar como respuesta el producto de sus cifras.

a) 0 b) 24 c) 12 d) 32 e) 40

4. Si :

1 + 2 + 3 + … + n = 990 3 + 6 + 9 + … + 3m = 360

Hallar : nm

a) 10 b) 12 c) 7 d) 8 e) 6

5. Calcular el valor de :

J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + …… + 7

17

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a) 200

2 b) 200

4 c) 200

6 d) 120

0 e) 802

6. Determinar el valor de la siguiente suma : S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ……. + 18,81

a) 90,2

8 b) 92,8

5 c) 98,2

5 d) 92,2

8 e) 93,2

3

7. Calcular el valor de los 100 primeros términos de:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , -8 , 9 , 10 , 11 , -12

a) 2640

b) 2650

c) 2660

d) 2670

e) 2680

8. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30.

..

1514131211

10987

654

32

1

a) 465 b) 850 c) 890 d) 910 e) 999

9. Hallar la suma total si hay 20 filas :

..

55555

4444

333

22

1

a) 2870 b) 2780 c) 2875 d) 2872 e) 2880

10. Se arreglan números en forma de “diamante”, como se muestra en el diagrama.

1

221

333221

4444333221

333221

221

1

........

Cual es la suma de todos los números en el siguiente diamante.

a) 84 b) 74 c) 72 d) 94 e) 82

11. Calcular:

20

12

23 2021

k kk

kkkS

a) 240 b) 220 c) 230 d) 210 e) 250

12. Hallar el valor de:

10

1

342k

k k

a) 204

6 b) 220

0 c) 185

6 d) 102

3 e) 480

13. Calcular:

18

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22

2

15k

kk

a) 120 b) 100 c) 105 d) 110 e) 117

14. Calcular el valor de E:

26

710

1

1 9

kn

k

n

k

kkE 100n

a) 1 236 b) 1 296 c) 1 342 d) 1 242 e) 1 316

15.

10

5 2k

kCos

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

16. Calcular:

30

4

114k

kkM

a) 31

12 b)

31

23 c)

31

26

d) 31

27 e)

31

25

17.

5

3 2a a

a

a) 3

18 b)

3

20 c)

3

22

d) 3

24 e)

3

21

18.

270

11

kkk aa

Donde: ak = 1 + 3k

a) 800 b) 805 c) 810 d) 820 e) 825

19.

20

0

22

20

0

20

0

44

11

221

k

k k

kk

kk

a) – 3 b) - 2 c) – 1 d) - 4 e) – 5

20. Calcular:

100

1

2

1

1

k kk

kk

a) 101

100 b)

101

10099 c)

101

51500

d) 101

10200 e)

101

10300

21. Calcular:

99

1 2

1

k kk

kk

a) 0,9 b) 1 c) 0,9

9 d) 1,1 e) 2,9

9

22. Halle el valor de “m”, si :

aabbm ...66687072

Donde : 13

32

2

ab

ba

Siendo “a” y “b” cifras significativas diferentes entre si.

a) 12 b) 18 c) 30 d) 40 e) 44

23. Hallar M:

M = 50 + 50 + 49 + 51 + 48 + 52 + ….. + 1

a) 4 000 b) 4 500 c) 4 900 d) 4 901 e) 5 000

24. Halle la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética:

19

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BIMESTRE I Y II

...;;;;;

min

ostercc

caabaaba

a) 1 045 b) 1 177 c) 1 221 d) 1 771 e) 2 772

25. Halle la suma de los 6 términos de una

progresión aritmética cuyo primer término es , siendo el último término y además :

nmn

m 32

27

a) 240 b) 225 c) 216 d) 210 e) 195

26. La suma de los “n” primeros números impares, más 47, es igual a la suma de los (n + 1) primeros números impares. ¿En cuánto es mayor la suma de los (n + 1) primeros números pares a la suma de los “n” primeros números pares? a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

27. Halle S:

abcbaabS ...41

Si los términos forman una progresión aritmética, donde a, b y e son cifras significativas. a) 2 375 b) 3 275 c) 3 525 d) 3 575 e) 5 275

28. Determine M = S + V donde:

sumandos

S40

...1920202119202021

Sumandos

V50

...13813881381388

a) 6 000 b) 4 500 c) 3 200 d) 1 300 e) 1 600

29. Halle la suma de todos los números que utilizan 4 cifras pares que empiezan en 2 y acaban en 4.

a) 59 600 b) 52 900 c) 59 200 d) 61 100 e) 62 500

30. Indique el valor de la suma de todos los

términos del siguiente arreglo:

4931292725.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.31...131197

29...11975

27...9753

25...7531

a) 4 225 b) 4 280 c) 4 500 d) 4 850 e) 4 950

31. Halle el valor de sumar las cifras de S, si:

sumandosn

S""

...8642

donde 1 + 2 + 3 + …… + n = 55

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5

32. Halle a + b + c de la siguiente suma :

aabc 70...674969467143

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

33. Encuentre la suma de cifras del resultado que se obtiene al sumar todos los números diferentes de 9 cifras diferentes que se pueden formar al colocar la última cifra como primera del número siguiente:

1234 … 9 ; 9123 … 8 ; 8912 … 7 y así sucesivamente : a) 20 b) 27 c) 36 d) 72 e) 81

34. La suma de los “n” primeros números naturales es igual a 45 veces el último sumando.

20

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¿Cuál es la suma de los “n” primeros números impares? a) 2 025 b) 2 116 c) 2 601 d) 7 921 e) 8 100

35. Al hallar el valor de S :

S = 1 + 12 + 123 + … + 123 … 89 sus cuatro últimas cifras son : a) 3 2 0 5 b) 2 0 0 5 c) 2 1 0 5 d) 4 2 0 5 e) 4 1 0 5

36. Calcule el valor de la siguiente expresión:

3333

2

40...642

39...531

E

a) 100/14

7 b) 200/44

7 c) 200/44

1 d) 141/12

1 e) 21/20

37. Se conoce : sumandoslosDe

S10

1 ...11852

a) 248 b) 249 c) 250 d) 247 e) 246

OPERACIONES MATEMÁTICAS

OPERACIÓN MATEMÁTICA: Procedimiento que valiéndose de reglas o leyes previamente establecidas, transforma cantidades o funciones en otra. OPERADOR MATEMÁTICO: Es un símbolo que representa a una operación matemática. Aquí mostramos otros operadores:

* Operador asterisco

Operador cuadrado

Operador nabla # Operador grilla

Operador triángulo Operador rectángulo

Operador diamante @ Operador arroba

Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar. Ejemplo: Operador

m n = m + n

operador regla de formación

Ejercicio:

Si: m n = m + n2 a) 11 b) 10 c) 14

Calcular: 5 3 d) 12 e) 13 Solución:

En este caso el operador es . La regla de formación es m + n2. Lo que tenemos que hacer, es hallar el V.N. de tal regla para m = 5 y n= 3, ya que:

m n

5 3

m n = m + n 2

5 3 = 5 + 32 = 5 + 9

5 3 = 14 Ejercicio:

Si A * B = A2 – 2B. Calcular 5 * 2 Solución: De la condición: A * B = A2 – 2B

5 * 2 = 52 – 2(2) 5 * 2 = 25 – 4

5 * 2 = 21

EJERCICIOS 1) es un operador

x = 7x – 25 Si x 4 x = 25 – 7x Si x < 4

OPERADOR OPERACIÓN

+ - x

Adición Sustracción Multiplicación División Radicación

21

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Calcular el valor de: P = 2 + 5 a) 114 b) 108 c) 96 d) 101 e) 122

2) Si se cumple que: x = 3x – 1

Hallar: 4 - 2 2 a) 2 b) 3 c) 7 d) 11 e) 5

3) Si: a b = 5a – 3b

Calcular: (5 2) (3 1) a) 30 b) 35 c) 59 d) 56 e) 61

4) x * y = 3y – x; Si x y x * y = 3x – y; Si x > y Calcular de izquierda a derecha: 7 * 3 * 20 * 16 a) 82 b) 64 c) 32 d) 110 e) 84

5) Una operación representada por se define así:

x = 2x si x es par x = x si x es impar Hallar el valor de: 3 + 7 - 5 – 3 – 7 a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12

6) es un operador de tal modo que:

x = 7x – 25, Si x 4 x = 25 – 7x, Si x < 4 Calcular el valor de: 2 + 5 – 1 a) - 4 b) 4 c) 3 d) -2 e) 1

7) Si: a b = a2 – b2

a b = (a - b)2

a * b = bba

ba

Hallar C, Si: )2*4()43(

21C

a) -1 b) 3 c) 1 d) -2 e) 2

8) Sabiendo que:

a = 2

2x , si a es par

a = 2

1x , si a es impar

Hallar: 7 – 4 a) 2 b) -2 c) -1 d) 1 e) 3

9) Si se define

x = 2x, si x es par x = x + 1; si x es impar. Calcula: 4 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 3 e) 5

10) Si: a = 2a – 1; Si a es par

a = a + 1; Si a es impar Calcula: 2 a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

22

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11) Definimos la operación ( * ) mediante la

siguiente tabla.

Hallar ( 2 * 1) * ( 1 * 2)

* 0 1 2 3

0 0 1 0 1

1 1 1 2 1

2 0 2 4 0

3 1 1 0 2

a) 3 * 2 b) 3 * 3 c) 0 * 3 d) 2 * 2 e) 4 * 1

12) Según la tabla:

1 2 3 4

1 1 3 2 1

2 2 2 1 2

3 3 4 3 3

4 1 1 3 4

Calcular:

)22(

)44()23(

)13()22(

E

a) 1/16 b) 1/4 c) 0 d) 2 e) 1/5

13) Si: a b = a –b - b –a Calcular el valor de M = 24 + 2 2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 0

14) Dada la tabla

* 2 3 5

2 5 3 2

3 3 2 5

5 2 5 3

Calcular el valor de:

)2*3(*)2*5(

)2*3(*)5*3(M

a) 5/3 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4

15) Se define: m * n = n : (n : m) 2 Entonces hallar: N = 2 * 16 a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4

c) 1/8 e) 1/5

16) Z = 3Z – 2; Si Z 0 Z = 2Z + 1; Si z < 0 Hallar “x” si además: x + - 3 = 12 – 4

a) 4 ó 3

11 b) 5 ó

5

12 c) -5 ó

2

7

d) 5

6ó 3 e) 3 ó

5

4

17) Se define: a * b3 = a – b 2

Calcular el valor de:

(4 * 27) * (6 2 * 512)

a) 33 b) 45 c) 47 d) 64 e) 8

18) Si: a % b =

1b

10a

2

2

Hallar: (5 % 2) % (4 % 2) a) -1/10 b) 1/10 c) 1/14 d) 1/3 e) 5

19) Dado: p * q = p + q

p # q = 5p + q2

p % q = p2 + q2

Hallar: (3 # 2) * [(3%2) # (3*2)]

a) 105 b) 107 c) 110

d) 109 e) 116

20) Si: a* b = ba

ba ab

Hallar: 6*5*4*3*)2*1(

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21) Si: a % b = 1

2

bxa4

b3ba

Hallar: 3% (3%{3%[3% (...)]})

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23

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22) Si a b = ;ba

a*a

x * y = y - 2y

Hallar: 6 2

a) 3/4 b) -3/4 c) 1/2

d) -1/2 e) 2

23) Si a * b = 4a 2 + 3

Hallar: 6 * [(a*(b*(c*(d * … ))))]

a) 36 b) 72 c) 108

d) 147 e) 150

24) Si: x + 5 = x - 3

Hallar: 49 + 69

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

25) Si: x % = 2x – 3

X = 3x – 4

Hallar: (x ) % - (x %) a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

26) Si: a * = 2 (a%)

2

a4a%a

2 ; a b = ab -1

Hallar: [(2*)*] (4*)

a) 6 b) 9 c) 8 d) 10 e) 12

27) Si: a * b =

baSi;ba2

baSi;bxa 22

Además: a # b = a2 x b2

Hallar: 4#4*4

)1*3(*)1*1(

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

28) En el conjunto de los números naturales se define el operador * por:

mn:Si;m2n3

nm:Si;n2m3n*m

Hallar:

5

2*1*)2*5( 2

a) 71 b) 80 c) 60

d) 100 e)120 29) Calcule :

a) 1 000 b) 4 000 c) 10 000 d) 2 000 e) 100 000

30) Sabiendo que:

Calcular:

a) x – 398 b) x – 399 c) x - 400 d) x - 401 e) x - 402

31) Si : Hallar el valor de : a) 16 b) 12 c) 20 d) 18 e) 24

32) Se define una operación matemática mediante

la tabla :

* 1 2 3

123 231 123 312

Calcular : [(1 * 2) * 3 ] * [(3 * 2) * 1] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

33) Si : 2

)1(

nnn

24

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Calcular “x”: Si: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 3/4 e) 2

34) Si : P Q = 5p2 - 3 Calcular:

E = 2 (3 (4 (… (19 20)…))) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

35) Hallar : ...444E

Si: m * n = (2n)2 – 3m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

36) Dado : 31

1

1

1)(

x

xf

x

xf x

Halle: )2/1(f

a) 5

12 b)

12

5 c)

12

5

d) 5

12 e)

2

1

37) Si :

13

xx bax

Calcule: 374

1

a) ab

1

b) ab

c) - ab

d) 3

1

ab

e) – 2

38) Se define :

Si: 500 = 3 Halle el valor de 600 a) 1

b) 2 c)

2

5

d) 3 e)

5

18

39) Si : 1

1

x

xx

Calcule “n” en : 2 x 4 x 6 x … x 2n = 145 a) 72 b) 145 c) 73 d) 146 e) 147

40) Dado :

Halle : M = 1 + 2 + 3 + … + 10 a) - 25 b) 165 c) 220 d) - 55 e) 11

41) Se define : mnnmnm

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

42) Se define en Z+ , la siguiente operación :

100;5

100;3

xx

xxx

Calcule: 97 a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón o Relación: Es el resultado de comparar dos

cantidades por medio de una diferencia o por

medio de un cociente.

25

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A. COMPARACIÓN POR DIFERENCIA: consiste en

determinar en cuanto excede una de las

cantidades a la otra.

La razón por diferencia, se le saber llamar

“Razón Aritmética”.

Ejm: 615 = 9 razón aritmética = 9 unidades

15 excede a seis en 9 unidades

TÉRMINOS DE LA RAZÓN ARITMÉTICA: Los términos de la razón aritmética son el antecedente y consecuente.

Ejemplo: 615 = 9 → razón aritmética

antecedente consecuente B. COMPARACIÓN POR COCIENTE: Consiste en

determinar cuantas veces una de las

cantidades contiene a la otra.

La razón por cociente se le sabe llamar

“Razón Geométrica”

Ejemplo: 1

3

4

12 razón geométrica = 3

Términos de la razón geométrica: los

términos de la razón geométrica son el

antecedente y consecuente.

Ejemplo:

antecedente

4

12 = razón geométrica

consecuente

b

a se lee “a es a b”

PROPORCIÓN: Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas ó geométricas.

1. Proporción Aritmética: Es la comparación de

dos razones aritméticas iguales. Ejemplo 13 - 6 = 11 - 4 Razón aritmética = 7 razón aritmética = 7

Se lee: “13 es a 6 como once es a 4”

En general: a - b = c - d

Donde:

dyb

cya

Además:

)mediososmintér(byc

)extremososmintér(dya

CLASES DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS:

Proporción Aritmética Discreta: Es aquella cuyos términos son diferentes. Ejemplo: 16 – 9 = 11 – 4

16 9 11 4 En toda proporción aritmética debe cumplirse que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios o sea: 16 + 4 = 9 + 11

Extremos Medios

Proporción aritmética Continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales llamándose a cada uno de estos términos medios. Media diferencial o Media Aritmética.

Ejemplo: 9 - 6 = 6 - 3 “La media diferencial es 6”

En la proporción aritmética continua se cumple que la media diferencial es igual a la semisuma

de los extremos 2

396

¿Cómo se halla la media diferencial? Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” colocando “x” dos veces como término medio repetido. Se halla el valor de “x” y ese valor es la media diferencial. Ejemplo: Hallar la media diferencial de 8 y 2

8 - x = x – 2 8 + 2 = x + x 10 = 2x medios 5 = x

(La media diferencial de 8 y 2 es 5) ¿Cómo se halla la tercera o tercia diferencial? Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” repitiéndose como

3

Extremos

medios

Extremos

medios

Son antecedentes

Son consecuentes

26

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término medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x”; y ese valor es la tercera diferencial. Ejemplo: Hallar la tercera diferencial de 2 y 8. 2 - 8 = 8 – x trasponiendo términos tenemos:

medios x = 8 – 2 + 8 = 14

(La tercera diferencial de 8 y 2 es 14)

¿Cómo se halla la cuarta diferencial?

Se forma una proporción aritmética con los tres

números dados y con “x”, colocándolos en

cualquier orden. Se halla el valor de “x” y ese

valor es la cuarta diferencial.

Ejemplo: Hallar la cuarta diferencial de 10; 4 y 8

10 – 4 = 8 – x

x = 8 – 10 + 4

x = 2

PROMEDIOS PROMEDIO: Es un valor representativo de un conjunto de números que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor. Los promedios más utilizados son: Dado un conjunto de números: x1, x2, x3... xn El promedio aritmético se define:

Este promedio es quizá el que más usamos. Por ejemplo lo utilizamos para obtener la nota promedio. Si un alumno tiene por ejemplo, notas como 12; 15; 17 y 16 en cada uno de los bimestres, su nota promedio se obtendrá así:

Particularmente para 2 números se le llama media aritmética:

El promedio geométrico se define:

Veamos un ejemplo: Calcular el promedio geométrico de 2; 4 y 8. De acuerdo con la definición:

P.G. = 3 8.4.2 = 4

Particularmente para 2 números se le llama media geométrica:

El promedio armónico se define:

Veamos un ejemplo; Calcular el promedio armónico de 2; 4; 6. De acuerdo con la definición:

P.H. = 11

36

12

236

3

6

1

4

1

2

1

3

Particularmente para 2 números se le llama media armónica.

Cuando un móvil recorre espacios iguales con velocidades diferentes, la velocidad promedio se calcula por medio del promedio armónico.

PROPIEDADES 1) La relación de orden entre los promedios es:

RA. P.G. RH. Ejemplo: sean los números 6 y 24

P.A. = 152

246

P.G. = 1224x6

P.H. = 6,95

48

24

1

6

1

2

se cumple que: 15 > 12 > 9,6

2) M.G. = .)H.M().A.M(

Ejemplo:

P.A. =n

nx...3x2x1x

P.A. = 154

60

4

16171512

M.A. =2

ba

P.G. = nn321 x....x.x.x

M.G. = bxa

P.H. =

n321 x

1...

x

1

x

1

x

1

n

M. H. =ba

ab2

27

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Tomaremos los valores de la propiedad

anterior. 1445

48x1512

3) Si una constante multiplica a todos los núme-

ros, también multiplica a su promedio. Por ejemplo:

P.A. =

3

aaak

3

KaKaKa 321321

Cuando tenemos el promedio aritmético de dos o más grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado: Donde:

Pa1 = promedio aritmético del primer grupo. Pa2 - promedio aritmético del segundo grupo. y así sucesivamente; también: n1 = número de elementos del primer grupo. n2 = número de elementos del segundo grupo.

Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.

1) La media aritmética de dos números es 13 y la

media armónica de los mismos es 13

144. Hallar

la media geométrica. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Solución: La media aritmética, la media geométrica y la media armónica cumplen una propiedad que las relaciona entre sí. La aplicación de esta relación da solución al problema. •

Por la propiedad: M.G. .)H.M(.)A.M(

Reemplazando:

M.G. = 1214413/144x13

2) La media arimética y la media geométrica de

dos números son entre sí como 7 es a 5. En qué relación se encuentra la media aritmética y la media armónica.

a) 21/25 b) 25/40 c) 140/125 d) 25/49 e) 49/25 Solución: La palabra relación implica cociente, es decir razón geométrica, así la razón entre la media aritmética y la media armónica debe entenderse.

Como: .H.M

.A.M

Luego; por dato: 5

7

.H.M

.A.M ;

y como: M.G. .)H.M(.)A.M(

Reemplazando: 5

7

.)H.M(.)A.M(

.A.M

Elevando al cuadrado:

25

49

.)H.M(.)A.M(

.A.M 2

Simplificando

25

49

.H.M

.A.M

3) El promedio armónico de 20 números es 12.

Calcular el promedio armónico del doble de cada uno de los números. a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 Solución: Recurrimos a la propiedad siguiente: Sí una constante multiplica a todos los números de una serie, también multiplicará a su respectivo promedio; para este caso particular se cumplirá: P.H. (Kx1; Kx2; Kx3; … Kxn) = K P.H. (x1; x2; … xn) = Luego, si: P.H. = (x1; x2; x3;...x20)= 12 entonces: P.H. (2x1 + 2x2 + 2x3+ ......2x20)= 2 x 12 = 24

4) El producto de notas de 12 alumnos es 15 y el

promedio de notas de otros 4 alumnos es 13. Hallar el promedio de los 16 alumnos. a) 15 b) 14 c) 14,5 d) 13 e) 13,5 Solución: Son dos grupos con número de elementos dife-rentes por lo que hay que aplicar el promedio aritmético ponderado.

P.A. =m321

mm332211

n...nnn

nPa...nPanPanPa

28

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21

221x1

nn

nx.A.Pn.A.P

Donde: P.A.1 y PA.2 son los promedios aritméticos y n1 y n2 son los números de elementos de cada grupo.

Operando: P.A.= 5,14412

4x1312x15

5) En un salón de clase de 45 alumnos el promedio de nota en Matemática es de 15. Si el promedio de las mujeres es 18 y de los varones es 13, ¿Cuántas mujeres hay? a) 27 b) 18 c) 24 d) 36 e) 25 Solución: En este problema identificamos el promedio de dos grupos y un promedio de todos los integrantes del grupo, por lo tanto reúne las características del promedio ponderado, por lo tanto: Según el problema: P.A. = 15

En la relación: 1545

)x45(13x18

18x + 585 - 13x = 675 5x = 90 x = 18

Por lo tanto hay 18 mujeres.

6) La media geométrica de dos números es 2 2

y la media geométrica de otros dos números es

9 2 . Hallar el promedio geométrico de los 4

números. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Solución: Este problema corresponde al cálculo del promedio geométrico ponderado:

P.G.= mn...2n1n mnm

2n2

1n1 ).G.P(....).G.P().G.P(

Para nuestro caso particular.

P.G.= 61296162x82922 4422 22

EJERCICIOS

1) El promedio de edad de 5 personas es 24 años. Si la mínima edad que puede tener cada uno de ellos es 19 años, ¿Cuál es la mayor edad que puede tener una de ellas? a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

2) Un alumno sabe que su máxima nota puede ser 15. Si el promedio de los cuatro bimestres es 13, ¿Cuál es la menor nota que pudo haber obtenido? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3) El promedio de puntos obtenidos por los cinco miembros de un equipo de básquet es 29, pero ninguno de ellos ha conseguido más de 32 puntos. ¿Cuál es el mínimo puntaje obtenido por uno de ellos? a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 17

4) Si. 3

5

.G.M

.A.M ; Hallar

.H.M

.A.M

a) 25/9 b) 20/9 c) 17/5 d) 14/6 e) 30/9

5) Si M.A. = 7

75 y M.H. =

3

28hallar M.G.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

6) Si M. G. = 10 3 y M.A.= 20, hallar M.H.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

7) Hallar el promedio aritmético de: 2x;3(x-2);5(2-x) a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 7/3

8) Hallar el promedio geométrico de:

ba

2;ba;8;

ba

1 22

a) 0 b)1 c) 2 d) 3 e) 4

9) Hallar el promedio armónico de:

4

1;

3

1;

2

1

a) 13

102 b)

13

10 c)

13

35 d)

26

8 e) 1

10) Hallar el promedio de los números enteros

positivos cuyos cuadrados sean menores que 25. a) 1 b) 5/2 c) 3/5 d) 4 e) 2

11) El promedio de notas de 4 alumnos es 12 y el promedio de notas de otros 6 alumnos es 17. ¿Cuál es el promedio de los 10 alumnos? a) 10 b) 13 c) 15 d) 16 e) 17

29

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BIMESTRE I Y II

12) La media aritmética de 2 números enteros positivos es 10 y la media geométrica es 6. ¿Cuál es la media armónica? a) 3 b) 3,6 c) 4 d) 4,5 e) 0

13) Si: 7

8

b

a y a + b = 45, hallar: a3 - b2

a) 108 b) 135 c) 144 d)153 e)162

14) Hallar la media diferencial de la media

diferencial de 28 y 22; y la tercera diferencial de 8 y 12. a) 11 b)12 c)13 d) 14 e) 15

15) Hallar la media proporcional de la media

proporciona! de 3 y 12, y la cuarta proporcional de 3; 9 y 8. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

16) Si: 7

4

b

a y b - a = 15, hallar: 2a + 3b

a) 80 b) 90 c)105 d) 135 e) 145

17) Si: 7

c

3

b

2

a , y a + b + c = 72

Hallar: c - (a + b) a) 6 b) 12 c)18 d) 24 e) 30

18) Las notas de un alumno son 13; 11; 08; ¿Cuál

deberá ser su cuarta nota, para que tenga el puntaje mínimo aprobatorio en su promedio? a) 11 b) 13 c) 14 d) 10 e) 12

19) El promedio de 8 números es 36. Si se agrega

el número 72, ¿Cuál será el nuevo promedio? a) 40 b) 42 c) 41 d) 38 e) 39

20) En un grupo de 4 muchachos, el promedio de

sus edades es 1 5 años; ninguno de ellos es menor que 13 años. ¿Cuál es la mayor, edad que puede tener uno de de ellos? a) 19 b) 18 c) 21 d) 17 e) 16

21) El promedio de goles por partido de 4 equipos

de fútbol es de 3 goles. ¿Cuál es el mayor número de goles que hace uno de estos

equipos en un partido, si ninguno de ellos hace menos de 2 goles por partido? a) 4 b) 5 c)7 d) 6 e) 8

22) El promedio de 15 números es 32. Si se

eliminan el 20, el 30 y el 10, ¿Cuál es el promedio de los números que quedan? a) 35 b) 36 c) 37 d) 34 e) 38

23) Si: 13

10

b

a y b – a = 24

Hallar: a . b a) 8320 b) 9760 c) 9960 d) 7260 e) 6420

24) La media diferencial de la tercera proporcional

de 8 y 16, y la media proporcional de 4 y 16, es: a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28

25) Si la suma de los cuadrados de los cuatro

términos de una proporción geométrica continua es igual a 1600, hallar el valor de la media proporcional si la diferencia de los extremos es 24. a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

26) La suma de los cuadrados de los cuatro

términos de una proporción geométrica continua es igual a 6084. Si la diferencia de los extremos es 30, hallar la razón de la proporción. a) 1/2 b) 1/3 c)2/3 d) 1/4 e)3/4

27) En un salón de clase hay 36 alumnos entre los cuales unos residen en el distrito en el cual queda ubicado el centro educativo y otros no. ¿Cuál de las siguientes no podría ser la relación de los unos y los otros? a) 1/3 b) 5/12 c)2/7 d) 7/11 e) 1/8

28) El promedio aritmético de 3 números pares consecutivos es 10. ¿Cuál es su promedio geométrico?

a) 8 5 b) 3

52 c) 3

154

d) 3

25 e) 4 15

30

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29) El promedio de 12 números es 15. Si a cada uno se le aumenta 2 unidades, ¿Cuál será el nuevo promedio? a) 16 b) 17 d) 15 e) 18 e) 19

30) En una colección de 5 tomos, ninguno sobrepasa de las 450 páginas. ¿Cuál será el menor número de páginas que tendrá uno de dichos libros, si el promedio de páginas de los 5 tomos es 400? a) 200 b) 220 c) 300 d) 275 e) 350

31) Un alumno obtiene 12 de nota en un primer examen, 10 en un segundo examen y 12 en el tercer examen. Si los pesos de dichas notas son sucesivamente 1; 2 y 3, ¿Cuál es el promedio ponderado de dichas notas? a) 10,7 b) 11,1 c) 11,6 d) 11,3 e) 11,8

32) Un automóvil ha recorrido 105 000 km y usó 7 llantas en tota!. El promedio recorrido por cada llanta será (en km): a) 60 000 b) 15 000 c) 26 500 d) 80 000 e) 70 000

33) La razón de la suma con la diferencia de 2

números enteros positivos es 11/5. Calcular la media armónica de dichos números si su producto es 216. a) 13 1/11 b) 13 2/11 c) 13 3/11 d) 14 4/11 e) 13 5/11

34) María tuvo su primer hijo cuando tenía 24

años. Actualmente sus edades son entre sí como 8 es a 5. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 98 b) 100 c) 104 d) 108 e) 120

35) La suma, la diferencia y el producto de dos

números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. Hallar el mayor de los números y dar como respuesta la suma de las cifras del número. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 16

36) Si: kz

c

y

b

x

a

Y: 36zyx,8x y

bxay 333

Hallar: A = a3 + b 3 + c3 a) 1 000 b) 1872 c) 2304 d) 2700 e) 3624

37) ¿Qué fracción se deberá añadir a las siguientes

fracciones: 3/5;1/4; 1/10 y 1/2 para tener un promedio de 3/10?

a) 20

1 b)

3

2 c)

5

8

d) 20

29 e)

20

121

38) La edad promedio de 3 personas es 54 años;

ninguno de ellos es mayor de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener el menor? a) 54 b) 48 c) 50 d) 56 e) 44

39) De un total de 14 números, 3 eran 5; 5 eran 8;

4 eran 9 y el resto eran 14. ¿Cuál es el promedio de estos números? a) 12 b) 10,4 c) 13 d) 8,5 e) 22

40) El doble de la media aritmética de dos números es igual al cuadrado de su media geométrica más 1. Si uno de los números es 120, e! otro será: a) 10 b) 100 c) 1 d) 20 e) 30

41) Hallar dos números sabiendo que su media

aritmética es 9 y su media geométrica es 6 2

a) 36; 1 b) 6; 12 c) 8; 9 d) 18; 4 e) 7 ;10

42) Dos números son entre sí como 12 es a 7. Si se le disminuye al primero 20 y al segundo se le aumenta 30, se obtienen 2 números iguales ¿Cuál es el menor número? a) 68 b) 70 c) 77 d) 84 e) 105

43) Sea la siguiente serie: f

e

d

c

b

a

Además: 150fd

ec

bd

ac

33

33

Hallar: f3d2b

e3c2a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

44) Sea la siguiente serie: f

e

d

c

b

a

Además: 18fxd

exc

dxb

cxa

31

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Hallar: fxdxb

excxa

a) 9 b) 18 c) 24 d) 27 e) 36

45) En las fracciones dadas, hallar el promedio armónico de las tres menores.

7

6;

15

11;

9

7;

3

2;

5

3

a) 0,67 b) 0,53 c) 0,72 d) 0,48 e) 0,68

46) Si la media geométrica de 2 cantidades es 200 y su media armónica es 160; ¿Cuál es la media aritmética? a) 180 b) 179 c) 250 d) 236 e) 186

47) Siendo la media aritmética de dos cantidades 18/5 y su media armónica 2,5; la media geométrica es: a) 3 1/3 b) 6 c) 33/16 d) 3 e) 9

48) Un avión va de una ciudad A a B, con una velocidad de 80 km/h y regresa con una velocidad de 40 km/h. ¿Cuál es la "velocidad promedio"? a) 60 b) 20 c) 531/3 d) 120 e) F.D.

49) Si la semisuma de dos números es x2 y su media geométrica es y, la media armónica de ellos será:

a) ba

y2

b)

2y

ba c) y2 y

d) 2

2

x

y e) yx2

50) Calcular la media diferencial de la media diferencia! de 28 y 12; y la tercia diferencial de 20 y 14. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)14

51) Calcular la cuarta diferencial de la media diferencia! de 34 y 28, la tercia diferencial de 29 y 26; y la cuarta diferencial de 24; 19 y 21. a) 6 b)7 c) 8 d) 9 e) 10

52) Calcular la cuarta diferencial de la media diferencial de 20 y 12; !a tercia diferencial de 22 y 15; y la cuarta diferencial de 24; 20 y 25. a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

53) ¿Cuál es el producto de dos números si su media aritmética es 16 y su media armónica es 12? a) 36 b) 12 c) 144 d) 96 e) 192

54) Si la media geométrica de dos números a y b es k veces la media armónica de dichos números y ambos números cumplen: a = 9b; entonces k es: a) 1 b) 4/3 c) 5/3 d) 2 e) 3

55) La media geométrica de 2 números es 12; si aumentamos ambos números en 10 unidades, la media aritmética sería 23. La media armónica es:

a) 13

144 b) 13

288 c) 144

13

d)

288

13 e) 10

56) Hace 10 años la media geométrica de tu edad y la mía eran 10 años; ¿Cuál es la media armónica de nuestras edades actuales?

a) 20

1 b) 10 c) 30

d) 20 e) 18

57) Se hacen las siguientes compras de alcohol en diferentes farmacias:

- 30 lt a S/. 15 por litro

- 35 lt a S/.18 por litro




Hallar el precio promedio de alcohol.

a) 80 b) 12,8 c) 21,5

d) 42 e) 20

58) Si: cd

c

ab

ay

d

c

b

a 22

= 10

Hallar: db

ca

a) 5 b) 6 c) 10

d) 12 e) 15

59) Dos números son tales que la suma, la diferencia y el producto -de ellos son proporcionales a los números 10; 4 y 105. Hallar la suma de las cifras del mayor de ellos.

a) 6 b) 7 c) 8

32

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d) 9 e) 10

60) Si: h

g

f

e

d

c

b

a

y: 54dfg

ceg

bdf

ace

Hallar: 2222

2222

hf5d3b2

ge5c3a2

a) 3 b) 1/3 c) 1/9

d) 9 e) 12

61) Si: f

e

d

c

b

a

y : 20f5d3b2

e5c3a2

d3b5

c3a5

22

22

Hallar: a + c + e, si además:

b + d + f = 42

a) 168 b) 210 c) 288

d) 280 e) 360

62) En la siguiente serie de razones:

4

4

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a

la suma de tos antecedentes es 56 y la suma

de los consecuentes 14. Calcular el valor de P,

si:

P= 44332211 babababa

a) 20 b) 24 c) 28

d) 30 e) 32

EJERCICIOS DE RAZONES Y PROPORCIONES

1. Si: a . b . c = 1008, hallar “a + b + c” en:

Kcba

153530

a) 26 b) 30 c) 32 d) 36 e) 48

2. En una serie de cuatro razones geométricas iguales, el producto de los antecedentes es 1485 y el producto de los consecuentes es 120285. Hallar el valor de la razón.

a) 4

1 b)

5

1 c)

8

1

d) 3

1 e)

6

1

3. En una serie de tres razones iguales, el

producto de los antecedentes es 16128 y el de los consecuentes es 252. Si la suma de los antecedentes es 88, hallar la suma de los consecuentes.

a) 11 b) 22 c) 44 d) 66 e) 33

4. Dada la serie de razones iguales:

Kh

g

f

e

d

c

b

a

Se cumple: a2 + c2 + e2 + g2 = 296 y; b2 + d2 + f2 + h2 = 1850 Hallar “k”

a) 0,2 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,1 e) 0,4

5. Sabiendo que :

7653

dcba

Además: a.b + c.d = 513 Hallar: “a + b + c + d”

a) 63 b) 60 c) 75 d) 81 e) 45

6. Si la suma de los antecedentes de una serie de tres razones iguales es los 5/6 de la suma de los consecuentes, hallar el producto de los antecedentes es 7500.

a) 14520 b) 12960 c) 24620 d) 18540 e) 32400

7. Si se cumple:

Kd

D

c

C

b

B

a

A y 2401

dcba

DCBA

33

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Hallar:

40404040

40404040

dcba

DCBAM

a) 720 b) 7 c) 710 d) 730 e) 740

8. La suma, la diferencia y el producto de dos

números están en la misma relación que los números 7; 3 y 30. ¿Cuál es la mayor de los números?

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

9. Dada la serie:

f

e

d

c

b

a

se cumple que el producto de los antecedentes es 448 y el producto de los consecuentes es 1512. Determinar la suma de los antecedentes sabiendo que: a + b + c + d + e + f = 65 a) 42 b) 39 c) 26 d) 50 e) 24

10. Si se cumple:

Kc

C

b

B

a

A y 576 cbaCBA

Calcular: CcBbAaE 4

3

a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

11. Dada la serie:

kf

e

d

c

b

a

Hallar:

2

222222

bdf

fedcba

a) K6 b) K2 + 1 c) K3 d) K3/2 e) (K2 + 1)3

12. En un avión viajan 170 personas, se sabe que

por cada 2 peruanos hay 20 brasileños y 12

uruguayos. ¿En cuánto excede el número de

brasileños al número de peruanos?.

a) 70 b) 80 c) 90 d) 95 e) 75

13. Lucero dispone de $ 180 para gastar en la

compra de tres artículos cuyos precios son

entre si como 2; 1 (1/2) y 2 (1/2). ¿Cuánto

gasto en cada uno?.

a) 50;45;75 b) 72;30;78 c) 20;30;130 d) Otro valor e) 60;75;45

14. Una persona por cada 100 huevos que compran

se le rompe 10 y por cada 100 huevos que

vende da 10 de regalo. Si vendió 1800 huevos,

¿cuántos huevos ha comprado?.

a) 1980 b) 2100 c) 2000 d) 2200 e) 2400

15. A una convención diplomática asistieron

Argentinos (A); Bolivianos (B); Colombianos (c)

y daneses (D). Si con dichas cantidades se

forman razones continuas:

D

C

C

B

B

A,, e igual a

3

1

Si hay 90 colombianos más que bolivianos. ¿Cuántos diplomáticos asistieron en total? a) 720 b) 750 c) 600 d) 900 e) 800

16. Para dibujar un terreno rectangular se empleo

una escala de 800

9. Si resulta un dibujo cuyo

perímetro es 324cm. Hallar el área del terreno sabiendo que la razón de sus dimensiones es

13

5.

a) 7200m

2 b) 4160m2 c) 7488m

2 d) 5265m

2 e) 5200m2

34

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17. En un trueque, por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos?.

a) 30 b) 24 c) 36 d) 48 e) 12

18. El producto de tres números enteros es 13824

y el primero es al segundo como el segundo es al tercero, si el primero es cuatro veces el tercero. Hallar la suma de los tres números. a) 104 b) 90 c) 84 d) 58 e) 72

19. A avanza en 28 pasos lo que B en 30; B en 35 Io que C en 40 y C en 21 lo que D en 18. Si A y D hacen un mismo recorrido y A da 8575 pasos. ¿cuál será la longitud del paso de D, si la longitud de este recorrido es 7920 metros?.

a) 0,80 m b) 0,88 m c) 0,90 m d) 0,85 m e) 0,82 m

20. Se adultera 60l de leche con 15l de agua.

Después de haber vendió 25l de leche adulterada se agrega igual cantidad de leche pura a la que quedó. ¿Cuántos litros de agua contiene 18l de la nueva mezcla?.

a) 1l b) 2l c) 3l d) 4l e) 5l

21. La suma del antecedente y el consecuente de

una razón es 84. Si el valor de la razón es 0,05; entonces la diferencia de sus cuadrados es:

a) 3684 b) 6334 c) 3846 d) 3486 e) 6348

PROBLEMAS DE EDADES

Para la solución de este tipo de problemas, es

necesario definir bien las edades incógnitas ya que

a base de ellas leyendo el problema a resolver se

podrán formar las ecuaciones que se requieran de

acuerdo a la cantidad de incógnitas pedidas.

Este tipo de problemas forma una ecuación con

una o dos incógnitas. Los problemas sobre edades

se orientan a indagar la edad de las personas en

una determinada época. Para lo cual debemos

verificar los elementos siguientes:

a) Personas: A las que corresponden las edades.

b) Tiempos: Pasado, presente y futuro.

c) Conducciones: Relaciones entre las edades

que intervienen.

RELACIÓN DE TIEMPOS

Tenemos los siguientes casos; usando cuadros para

colocar los datos del problema:

CASO I: Pasado y Presente

Tiempo Persona

Pasado Presente

Persona 1 Persona 2

CASO II: Presente y Futuro

Tiempo Persona

Presente Futuro

Persona 1 Persona 2

CASO III: Pasado, Presente y Futuro

Tiempo Persona

Pasado Presente Futuro

Persona 1 Persona 2

Ejemplo: El año pasado la edad de Ana era

seis veces la edad de su hijo y dentro de 19 años será el doble. Halla la suma de las edades actuales.

Edad del hijo = x

Edad de Ana = 6x (en el pasado)

Edad actual del hijo = x + 1

Edad de Ana = 6x + 1 (actual)

Edad El año pasado

Actual Dentro de 19 años

Ana 6x 6x + 1 6x + 20

Hijo x x + 1 x + 20

A = 2h

35

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Ana: 6x + 1 = 6 (5) + 1 = 31 años 6x + 20 = 2 (x + 20)

Hijo: x + 1 = 5 + 1 = 6 años x = 5

31 + 6 = 37 años

EJERCICIOS

1. Marilyn dice “Dentro de 16 años mi edad será 4 veces la edad que tenía hace 14 años” ¿Qué edad tengo en años?

a) 26 b) 20 c) 18 d) 29 e) 24

2. Antonio le dice a María: “Yo tengo el doble de

la edad que tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8”. Hallar la edad de María. a) 18 años b) 21 años c) 24 años d) 28 años e) 32 años

3. Judith tuvo su primer hijo a los 25 años, su

segundo hijo a los 30 y 3 años después a su tercer hijo. Si actualmente (2005) la suma de todas las edades es 84. ¿En qué año nació Judith? a) 1959 b) 1962 c) 1958 d) 1960 e) 1956

4. José le dice a Walter: “Hace 21 años mi edad

era la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años, cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes”. ¿Qué edad nene José? a) 28 años b) 30 años c) 32 años d) 34 años e) 11 años

5. En el mes de Agosto una persona sumó a los años que tiene los meses que ha vivido y obtuvo 226. ¿En qué mes nació dicha persona? a) Febrer

o b) Abril c) Mayo

d) Junio e) Julio

6. Si al año en que cumplí 20 años, le restamos el

año en que cumplí 12 años, obtendríamos la cuarta parte de mi edad actual. Si mi edad es como 8 y la de Andrea es como 7.

¿Qué edad tendrá Andrea dentro de 7 años? a) 28 b) 35 c) 39 d) 42 e) 21

7. El año en que nació Rosa representa el cuadrado de su edad que tenía en el año 1980, año en que Erik también cumplía la misma edad. ¿Qué edad tendrá Erik en el 2005? a) 49 b) 59 c) 69 d) 46 e) 52

8. Luis Armando nació en ab19 y actualmente

(2001) tiene una edad igual a la suma de cifras

de su año de nacimiento.

¿Qué edad tiene? a) 18 b) 23 c) 24 d) 21 e) 19

9. Mary tuvo en 1988 tantos años como el

producto de las dos últimas cifras del año de

su nacimiento.

¿Cuál es la suma de cifras del número que expresa el año en que cumplió 15 años?

a) 26 b) 22 c) 24 d) 16 e) 18

10. Si Manuel tuviese 27 años menos, el tiempo

que hubiera permanecido durmiendo sería la

quinta parte del tiempo que hubiese

permanecido despierto si es que tuviese 27

años más. Si en el transcurso de su vida

duerme un promedio de 8 horas diarias.

¿Cuántos años lleva durmiendo?

a) 16 b) 10 c) 12 d) 15 e) 21

11. Liliana le pregunta su edad al profesor de R M

y él para confundirla le responde “Si hubieran

pasado 2 veces más los años que han pasado,

me faltaría la tercera parte de los años que

supongo que pasaron para duplicar la edad que

tengo, y la suma de esta supuesta edad actual

con mi edad actual sería 80 años.

¿Qué edad tiene el profesor de R.M.?

a) 20 años b) 25 años c) 30 años d) 35 años

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e) 18 años

12. Richi tiene ab años y Chicha 3

ab años. Le

preguntaron a Cucho por su edad y éste indica que Richi le lleva tantos años como los años que le lleva él a Chichi. Actualmente la suma de las edades de los tres es 36 años. Calcular: (a + b) a) 9 b) 12 c) 5 d) 15 e) 6

13. Las edades de dos personas hace “n” años

estaban en la relación de 1 a 3, actualmente

sus edades están en la relación de 4 a 7. Si

dentro de “2n” años sus edades sumarán 126.

Halle la suma de sus edades dentro de “n” años. a) 90 b) 95 c) 80 d) 98 e) 96

14. Dentro de 4 años la suma de las edades de 2

hermanos será “k” años. Si hace 4 años la edad

del mayor era el triple de la edad del menor.

Hallar la edad actual del mayor.

a) 4

k b)

8

k c)

4

323 k

d) 4

283 k

e) 23 k

15. Dentro de 10 años tendré el doble de la edad

que tuve, si tendría lo que tengo tuve y

tendré, mi edad sería el triple de la edad que

tengo.

¿Qué edad tuve hace 5 años? a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15

16. Si la edad que tendré dentro de “n” años se le toma tantas veces como años tendré y a dicha edad se le resta tantas veces los años que tuve hace “n” años, como años tenía, obtendré 36 veces el valor de mi edad. ¿Cuántos años más tendré de aquellos años que tuve?

a) 22 b) 9 c) 18 d) 20 e) 10

17. Hace 6 años tenía la mitad de los años que tendrá dentro de 4 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años? a) 28 b) 29 c) 32 d) 26 e) 18

18. Si hubiera nacido 15 años antes, entonces toque me faltaría actualmente para cumplir 78 años, sería los cinco tercios de la edad que tendría si hubiese nacido 7 años después. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? a) 38 años b) 32 años c) 34 años d) 33 años e) 35 años

19. Una persona en el año 1975 se le preguntó su edad y contestó: “Tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. Halla la suma de las cifras de su edad. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

20. Hace 5 años de edad de un hijo se diferenciaba en el doble de su edad con la edad de su padre y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano menor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Hallar la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo. a) 28 b) 26 c) 24 d) 30 e) 32

21. Las edades actuales de Cristina y Carlos están en la relación de 5 a 4 respectivamente. La edad que tendrá Carlos dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Cristina hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Cristina cuando nació Carlos? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

22. El año 1984 ha sido declarado en el Perú: Año del Sesquicentenario del Natalicio del Almirante Miguel Grau. Si Grau murió el 8 de Octubre de 1879. ¿A qué edad murió Grau? a) 48 años b) 56 años c) 45 años d) 50 años e) 53 años

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23. Un coche tiene ahora la mitad de años que tenía Martin cuando el coche era nuevo. Hoy Martín tiene 12 años. ¿Cuántos años tiene el coche? a) 4 b) 6 c) 3 d) 5 e) 2

24. Martín nació 14 años antes que Adam. Hace

“4a” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4b” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6a” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10b” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente? a) 41 años b) 42 años c) 43 años d) 44 años e) 45 años

25. La edad de Mauricio es un número de 2 cifras, que es igual a “n” veces la suma de sus cifras. Si a la edad de Mauricio se le invierten sus cifras, ésta sería igual a la suma de sus cifras multiplicada por:

a) 12 - n b) n + 1 c) 11 - n d) 11 + n e) 12 + n

26. Andrea le dice a Erik, hace tantos años como

la mitad de los años que tendré, tenía tantos años como los que deben pasar para tener los años que te dije que tendría. Si los años que tenía y tendrá Andrea suman 70 años. ¿Qué edad tiene Eric si es mayor por 5 años que Andrea?

a) 47 b) 41 c) 54 d) 68 e) 30

27. La edad de Antonio es un número de 2 dígitos

y la ele su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden inverso. Sus dos nietos tienen edades que coinciden con cada uno de los dígitos de la edad de Antonio, respectivamente. Se sabe que la edad del hijo es 5 veces la edad del mayor de los nietos. ¿En qué relación está la edad de Antonio y la del nieto menor? a) 24 a 1 b) 25 a 1 c) 26 a 1 d) 27 a 1 e) 28 a 1

28. La edad de un padre sobrepasa en 5 años a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad de su hijo mayor, dentro de 20 años, él tendrá el

triple del segundo. Dentro de 30 años tendrá el doble de la edad del tercero. Hallar la edad del padre. a) 75 b) 80 c) 90 d) 95 e) 85

29. Al preguntarle a Berenice por su edad ella contestó: “Mi edad es la suma de todos aquellos números naturales tales que al cuadrado de su quíntuplo disminuido en 4 son mayores que 16, pero menores que 896. ¿Cuál es la edad de Lucía si ésta nació 20 años antes que Berenice? a) 25 b) 20 c) 35 d) 24 e) 30

30. Dentro de 2x años tendré 3 veces más de los años que tuve hace x años. Si a los años que tuve agrego los que tengo y los que tendré obtendría 84. ¿Qué edad tendré dentro de los mismos años que viví? a) 84 años b) 48 años c) 80 años d) 72 años e) 24 años

31. A un joven se le preguntó por su edad y respondió: “Mi abuelo tenía 65 años cuando yo nací y cuando él murió (justamente en el día de su cumpleaños), su edad era la raíz cuadrada del año en el cual nació sumada a la raíz cuadrada de uno de los años en que hubo un gran concurso de Matemáticas en Lima”. ¿Qué edad tuvo el joven cuando murió el abuelo? a) 22 años b) 20 años c) 24 años d) 23 años e) 21 años

32. Cuando tenga q años tendré p veces la edad que tenía hace x años. Entonces la edad que tendré dentro de x años será:

a) p

pxq

b) p

qp c)

p

qxq 2

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d) p

xpq

e) qx

33. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años. ¿Cuál es la edad de cada hermano?. (De como respuesta el producto de dichas edades) a) 180 b) 250 c) 200 d) 144 e) 360

34. El año en que yo tenía la edad que tienes era 1980 y el año en que tú tendrás la edad que yo tengo es el año 2000. ¿Cuándo naciste cuántos años yo tenía? a) 12 b) 10 c) 15 d) 20 e) 18

35. Un hombre fue condenado a prisión Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí, pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?. Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: 25 Carcelero: Yo tengo 54, dime que día naciste. Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble, ¡También es el mío!, bueno por si te sirve de ayuda te diré que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto dura la condena del preso? a) 4 b) 8 c) 12 d) 6 e) 5

36. “Yo tengo el doble de tu edad; pero él tiene el

triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía será 18 años menos que la edad de él” ¿Qué edad tengo?

a) 12 años b) 14 años c) 18 años d) 25 años e) 16 años 37. Hace 5 años las edades de Popis y Ángel

estaban en la relación de 9 a 1, actualmente la

relación es de 5 a 1. ¿Dentro de cuántos años la relación será de 2 a 1?

a) 24 b) 30 c) 35 d) 20 e) 27 38. La edad actual de Alejandro y la de Elian son

entre sí como 9 es a 8. Cuando Elian tenga la edad que tiene ahora Alejandro, éste tendrá el doble de la edad que tenía Elian hace 18 años. ¿Cuántos años tenía Alejandro cuando nació Elian?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 10 39. María le dice a Janina. “La suma de nuestras

edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Qué edad tiene Janina?

a) 21 años b) 24 años c) 26 años d) 18 años e) 48 años 40. Una persona nacida en la segunda mitad del

siglo XX, tendrá “a” años en el año a2 ¿Cuántos años tenía dicha persona en 1995?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 14 41. Cuando yo tenía lo que te falta actualmente

para tener el doble de mi edad, tú tenías la mitad de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que me falta actualmente para tener 70 años. Si la suma de nuestras edades actuales es 50 años. Calcule la diferencia de nuestras edades dentro de 40 años?

a) 5 años b) 12 años c) 6 años

d) 8 años e) 12 años

42. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si actualmente el hijo ha cumplido 25 años. ¿Qué edad tenía el hijo cuando las edades de los tres sumaban 95 años?

a) 25 años b) 29 años c) 15 años

d) 12 años e) 22 años

43. Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas veces como años tendré y restémosle los años que tuve hace los mismos algunos años, tantas veces como años tuve y obtendremos una cantidad 23 veces mayor que mi edad actual. De aquellos años que tuve. ¿Cuántos años más son los que tengo?

a)3 b)6 c)5 d)4 e)7 44. Yo tengo la edad que tú tendrás cuando yo

tenga el triple de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo

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ahora. Si hace 5 años nuestras edades sumaban 35 años. ¿Cuántos años tengo?

a) 24 b) 29 c) 26 d) 28 e) 20 45. Para fiestas patrias, en el año 1981, la suma

de las edades de Rocío, Angélica y Carlos, más los años de sus nacimientos fue 5941. Si Rocío nació en setiembre y Carlos en mayo. ¿En qué mes nació Angélica?

a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) noviembre 46. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú

tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos 20n2 años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo, y si tuviese lo que tuve, tengo y tendré, tendría 17 n2 años. ¿Qué edad tengo?

a) 70 años b) 85 años c) 24 años d) 75 años e) 80 años 47. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía,

cuando él tenía la octava parte de lo que tendré, cuando tengas lo que yo tengo, y él tenga 6 años más de lo que tuve; si lo que tuve es 6 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo?

a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 37 años e) 42 años 48. Mi abuela Matilde me decía : “El 31 de

diciembre del año en que sus tres últimas cífras se obtienen al intercambiar las cifras de las unidades y centenas del año de mi nacimiento, mi edad no pasaba de un siglo”. ¿Cuál es la edad de mi abuela actualmente, si es la mínima posible? (considere fecha actual enero del 2004)

a) 104 años b) 106 años c) 105 años d) 109 años e) 96 años 49. Magali le dice a Gisela: “Mi edad hace muchos

años era mayor de 20, pero menor de 30, y en dicho año se podía calcular de la siguiente manerq : sumando los cuadrados de cada una de las dos primeras cifras y restándole la suma de cada uno de los cuadrados de las dos últimas cifras de aquel año”. ¿Cuántos años tiene Magali actualmente (2004), sabiendo que es la mayor posible?

a) 104 b) 106 c) 98 d) 109 e) 96 50. Qué edad tendré cuando tú tengas el triple de

la edad que tuve, que es cuando tuviste la mitad de los años que tengo. Si tu edad era el cuadrado más próximo a mi edad, en ese

entonces, cuando ya no éramos adolescentes, además nuestras edades suman 98 años.

a) 70 años b) 51 años c) 96 años d) 83 años e) 88 años 51. Dentro de algunos años, la relación de mi edad

y tu edad será de 15 a 19. Hace tantos años como la tercera parte de los años que tengo, la relación de nuestras edades era de 3 a 5. Si la diferencia de nuestras edades fue un cubo perfecto. ¿Qué edad tienes?

a) 21 años b) 22 años c) 23 años d) 24 años e) 26 años 52. Angélica dice : “El año pasado fue un año

bisiesto, en el cual mí edad fue tanto como las dos últimas cifras del año de mi nacimiento” y Adolfo contesta “El próximo año mi edad también será las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. ¿Cuántos años tenía Adolfo cuando la edad de uno era el doble de la del otro?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 53. Salvajito reflexionaba así : “Si cambiara el

calendario de 1994 por el nuevo 1995, en mi último cumpleaño, mi edad sería igual a la cuarta parte del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento”. Determine qué edad cumplirá Salvajito en su próximo cumpleaños.

a) 17 años b) 18 años c) 19 años d) 20 años e) 21 años 54. Marlene comenta : “Hoy tengo 10 años menos

de la edad que tenía mi padre cuando nací, además las dos últimas cifras del año en que nació mi padre son iguales a las dos últimas cifras del año en que nos encontramos, pero en orden invertido”. Entonces en que año su padre tuvo 23 años, si el próximo año ella cumplirá esa edad (año actual 1990) a) 1972 b) 1 962 c) 1 982 d)1963 e)1964

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