moment補充資料
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2011.10.13統計補充資料TRANSCRIPT
動差 (moment)
動差 Moment
• Moment Generating Function (m.g.f)
定義• 隨機變項的次方的期望值• A moment of a random variable is just the
expected value of a power of the random variable
參數 R 級動差平均數 1
變異數 2
偏態 3
峰度 4
如何計算期望值• 間斷變項
• 連續變項
1
( ) *n
R Rj
j
E X X PMF
( ) ( )R RE X X PDF
dx
動差計算法• 動差的定義公式
• [MGF] Moment generating function
動差類型• Raw moment (moment about origin)
• Central moment
' [( 0) ] [( ) ]R RR E X E X
[( ) ]RR E X
比較• 一級 raw 動差
• 一級 central 動差
11' [( 0) ] ( )E X E X
11 [( ) ] ( ) ( )E X E X E
( ) [ ( )] ( )E E E X E X
1 ( ) ( ) 0E X E X
R 級動差 Raw Central
1
2
3
4
1' ( )E X
22' ( )E X
33' ( )E X
44' ( )E X
11 [( ) ]E X
22 [( ) ]E X
33 [( ) ]E X
44 [( ) ]E X
比較• 平均數：一級 raw 動差
• 變異數：二級 central 動差
1' ( )E X
22 [( ) ]E X
2 2
2 2 21 1
( )( )
n n
i ii i
X X XX E X
n n
)( tXX eEtM
隨機變數 X 的動差生成函數是：
步驟• 1) To find MGF you need to solve this
expectation• 2) To find moments you need to differentiate
the MGF and evaluate at 0
已知泰勒展開式（ Taylor series ）：
...)(!3
)()(
!2
)('')(
!1
)(')(
)(!
)(
3)3(
2
0
)(
axaf
axaf
axaf
af
axn
afn
nn
在 a = 0 時展開 Mx(t) ，得到：
...
!3!2!11
...!3!2!1
...)0(!3
)0(!2
)0(!1
3322
33220
33
22
0
tXEtXEtXEE
tXtXXteE
tX
tX
tX
eE
對上個式子進行微分：
XE
tXEtXEXE
tXEtXEtXEE
dt
d
t
t
0
232
0
3322
...!3
3
!2
2
!10
...!3!2!1
1
得到 First moment
2
0
32
0
232
...!3
23
!2
20
...!3
3
!2
2
!1
XE
tXEXE
tXEtXEXE
dt
d
t
t
再次進行微分：
得到 second moment
3
0
3
0
32
...!3
23
...!3
23
!2
20
XE
tXE
tXEXE
dt
d
t
t
再次進行微分：
得到 third moment
範例• X ~ exponential(λ) 的動差生成函數
)()(
)(
10
)(
)(
0
)(
)(
tt
tt
e
dxe
dxee
dxee
pdfdxeeEtM
x
x
tx
tx
xxt
xxt
xtxtX
1
)0(
)(
)1()()1(
)(
2
02
0
2
1
t
t
t
t
tdt
d
tdt
dFirst raw moment
1
)( 1 XE
230
3
0
3
2
2
2
2
2
)0(
2
)(
2
)1()()2(
))((
))(
(
t
t
t
t
tdt
d
tdt
d
tdt
d Second raw moment
2
2
22
2222
22 112
)()()(
XEXEXE
340
4
0
4
3
3
3
3
2
)0(
6
)(
6
)1()(2)3(
)(2
)(
2
t
t
t
t
tdt
d
tdt
d
tdt
d Third moment
05
0
5
4
4
4
4
)(
24
)1()(3)4(
))(3(
))(
3(
t
t
t
t
tdt
d
tdt
d
tdt
d
Fourth moment
