Publication de lAPMEP (Association des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public)

MOTS Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes

agrave lusage des instituteurs et des professeurs

TOME VI

GRANDEUR 0o MESURE

) 10-180000 000 000 000 000 1 atto a

10-150000 000 000 000 001 femto f 10-120000 000 000 001 pico p

0000 000 001 nanomiddot n10-9

0000 001 middot10-s micro p

10-30001 milli rn 001 10-2 centi 01 10-1 deacuteci d

100

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1 000 103 kilo k ~ 1 000 000 106 meacutega M

1 000 000 000 109 giga G 1012 teacutera TL 1 000 000 000 000

1 000 000 000 000 000 1015 peta p

1 0 000 000 000 000 000 1018 exa E oo-shy

Brochure APMEP no 46 - 1982

c

Publication de lAPMEP middot (Association des Professeurs de Matheacutematiques

de lEnseignement Public) ndeg 46

MOTS

Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes agrave lusage des instituteurs

et des professeurs

TOME VI Brochure 1982

GRANDEBR - MESURE

Pour tout renseignement concernant lAPMEP

(Association des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public)

bull inscription (cotisation abonnement) bull publications (Bulletin de lAPMEP brochures en particulier les

collections ELEM-~TH ~t MOTS) bull fonctionnement (Reacutegionales Commissiumlons )

sadresser au ~ middot

Secreacutetariat de lAPMEP 13 rue du Jura lt75013 middotPARIS middot middot middot

middotTeacutel (1) 33_13405 middot

Publication de lAPMEP middot (Association des Professeurs de Matheacutematiques

de lEnseignement Public) ndeg 46

MOTS

Reacuteflexions sur quelques mots-cleacutes agrave lusage des instituteurs

et des professeurs

TOME VI Brochure 1982

GRANDEBR - MESURE

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middotTeacutel (1) 33_13405 middot

Quelques brochures ont deacutejagrave partiellement reacutepondu agrave ces attentes Dautres doivent suivre puisque la demande en est parvenue et nous attendons des ideacutees et des collaborateurs

middotLa brochure APMEP enfin nest pas louvrage quon se conshytente de lire chacun pour son propre compte Elle ne trouve sa raison decirctre que dans lexploitation commune Le lieu ideacuteal pour cette tacircche est le chantier reacuteunion de plusieurs enseignants en groupes heacuteteacuterogegravenes ougrave on cherche des problegravemes tireacutes soit de la pratique habituelle de la classe soit de situations pecirccheacutees dans les brochures ou ailleurs

De ces assembleacutees qui veulent surtout ne pas ecirctre doctes surgissent les ideacutees pour les brochures nouvelles

Maurice CARMAGNOLE

Pour se procurer les brochures APMEP on peut soit sadresser agrave la Reacutegionale APMEP soit eacutecrire agrave

A BLONDEL 154 avenue Marcel Cachin 92320 Chacirctillon-sous-Bagneux

2

Les brochures de lAPMEP

LAssociation des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public veut ecirctre une grande eacutequipe

La vie dune eacutequipe cest la libre circulation de linformation entre ses membres le droit qui appartient agrave chacun le devoir qui incombe agrave tous de rechercher et de poser des questions de proposer des reacuteponses de remettre en cause

Il eacutetait ineacuteluctable que leacutequipe ressenticirct le besoin deacutediter des broshychures et leur succegraves grandissant impose middotla neacutecessiteacute de poursuivre lœuvre entreprise en appelant constamment lattention des collegravegues sur la neacutecessiteacute dune collaboration permanente de tous

Nous avons besoin de redeacutefinir peacuteriodiquement nos orientations fonshydamentales et cest dans les chartes ou les textes dorientation que nous publions les mises agrave jour Ces sortes de brochures seraient des bibles sans le fait essentiel quelles ne preacutetendent pas deacutetenir la veacuteriteacute Elles nen doishyvent pas moins nourrir notre action

Il faut aussi assurer agrave nos collegravegues une information de base sur la matheacutematique elle-mecircme (vocabulaire theacuteories diverses )sur les reacutevoshylutions de notre eacutepoque (calculatrices microprocesseurs ) suries scienshyces de leacuteducation (didactique des disciplines eacutevaluation ) sur les mateacuteshyriaux pour la classe (manuels scolaires ) et naturellement deacutevelopper les thegravemes qui sen deacutegagent en tenant compte de la demande soit pour la satisfaire soit pour la compleacuteter soit pour la contester arguments agrave lappui

Nos brochures peacutenegravetrent dans les classes (ainsi les Aides Peacutedagogishyques) elles doivent y subir les feux de lexpeacuterimentation la plus large pour provoquer des deacutebats ou des recherches compleacutementaires

Leacutequipe doit aussi agrave ses membres la permanence de leacutechange cultushyrel Nous avons beaucoup agrave travailler pour faciliter laccegraves de tous les enseignants de matheacutematiques agrave une culture approfondie de la science quils ont agrave faire aimer Nous lavons dit dans la Charte de Caen Le maicirctre doit acqueacuterir des connaissances qui deacutepassent largement celles du niveau de son enseignement

La diversiteacute des formations initiales ne simplifie pas le problegraveme et nous rejetons loin de nous lideacutee de reacutediger des exposeacutes magistraux venant sajouter au nombre de ceux qui provoquegraverent parfois des nauseacutees agrave lacircge du lyceacutee ou mecircme de lUniversiteacute

Nous devons trouver ensemble la langage et la preacutesentation qui suscishyteront de la part de tous une curiositeacute active pour lHistoire des matheacutemashytiques pour la beauteacute dun tregraves grand nombre de reacutesultats ou de deacutemarshyches pour les jeux ou les paradoxes Le maicirctre doit avoir eu loccasion de poser et de reacutesoudre des problegravemes (Charte de Caen)

Collection MOTS

LAPMEP a penseacute aider les instituteurs et dautres enseignants dans leur enseignement de la matheacutematique en reacutedigeant les brochures MOTS

Il ne sagit pas agrave proprement parler dun lexique Cependant il sera loisible agrave chacun de ranger les rubriques par ordre alphabeacutetique Dautre part nous avons tenu compte des suggestions proposeacutees par la Commisshysion du Dictionnaire de lAPMEP dans son recueil de fiches La matheacutematique parleacutee par ceux qui leuseiguent

Il ne sagit pas non plus dunecodification autoritaire du vocabushylaire lAPMEP ne peut pas et ne veut pas codifier Comme dans le Dictionnaire de lAPMEP nous nous sommes neacuteanmoins enhardis agrave suggeacuterer une certaine harmonisation agrave exprimer notre penchant ou notre aversion pour certains termes Nous souhaitons ouvrir ainsi le deacutebat avec nos lecteurs

Enfin il ne sagit pas dun ouvrage de formation theacuteorique ou peacutedashygogique des maicirctres de leacutecole eacuteleacutementaire Nous pensons cependant quune reacuteflexion sur le vocabulaire si on la megravene assez loin deacutebouche sur le fond mecircme des notions matheacutematiques eacutevoqueacutees et sur leur introducshytion peacutedagogique eacuteventuelle Les formateurs (IDEN professeurs dEN animateurs des IREM) trouveront peut-ecirctre dans quelquesshyunes de ces rubriques un outil pour un travail en commun avec les collegraveshygues en formation initiale ou continue Mais nous espeacuterons surtout quelles seront lisibles et utilisables par les instituteurs isoleacutes

Pour se le procurer sadresser agrave M BLONDEL

154 avenue Marcel Cachin 93320 CHATILLON-SOUS-BAGNEUX

3

MOTS I contient EacuteGALITEacute EXEMPLE et CONTRE-EXEMPLE COUPLE RELATION BINAIRE NOMBRE NATUREL ENTIERS et RATIONNELS NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE A VIRGULE FRACTION ENSEMBLES DE NOMBRES

MOTS II contient REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES APPLIshyCATION FONCTION BIJECTION PARTITION EacuteQUIVAshyLENCE PARTAGES DIVISIBILITEacute DIVISION EUCLIshyDIENNE DIVISION

MOTS III contient NUMEacuteRATION OPERATION LOI DE COMPOSITION COMMUTATIVITEacute ASSOCIATIVITEacute DISTRIBUTIVITEacute EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRAshyTIONS CONGRUENCES ORDRE PROPRIEacuteTEacuteS DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE PREacuteshyORDRE COMPARAISON DES ORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANS N DANS D+

MOTS IV contient APPLICATIONS LINEacuteAIRES PROPORTIONshyNALITEacute OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS POURCENshyTAGES EacuteCHELLES EacuteQUATIONmiddot INEacuteQUATION ENSEMBLE CARDINAL APPROXIMATION

MOTS V contient SEGMENT LONGUEUR SECTEUR ANGLE VQCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE _SOLIDES PARALshy

LELE VERTICAL HORIZONTAL EXPOSANT PUISshySANCE Et un index terminologique des mots matheacutematiques figurant dans les cinq premiegraveres brochures

Introdugravection agrave MOTS VI Ce 6e tome a eacuteteacute reacutedigeacute par la mecircme eacutequipe que les preacuteceacutedents

Comme eux- et nous insistons sur ce point- il sadresse aux maicirctres et nullement aux eacutelegraveves middot middot

Il se particularise par le fait qu1il estconsacreacute agrave une seule rubrique intituleacutee Grandeur-Mesure

4

Jadis on trouvillt couramment dans les manuels de matheacutematiques des exercices mettant en jeu des longueurs des aires des volumes des masses des dureacutees des vitesses des deacutebits etc Ces exercices ont agrave peu pregraves disparu on peut le regretter

A juste titre on a reprocheacute agrave ces exercices leur cocircteacute souvent artificiel Il est indeacuteniable que leur aspect eacutetaitparfois fort eacuteloigneacute du veacutecu quotishydien En ce sens ils servaient dalibi agrave des exercices de calcul quon aurait pu preacutesenter plus simplement

Plus contestable eacutetait le fait que bien souvent lanalyse de la situashytion proposeacutee eacutetait neacutegligeacutee au profit de la recherche de mots inducteurs sur lesquels on fondait la traduction en langage matheacutematique

En revanche ces problegravemes permettaient denraciner les concepts matheacutematiques dans lexpeacuterience physique- au niveau eacuteleacutementaire tout au moins

Qui pourrait nier que le maniement des longueurs est eacutetroitement lieacute au maniement des nombres On peut preacutesenter les rationnels comme des classes deacutequivalence une telle preacutesentation a mecircme pu ecirctre en faveur pendant un certain temps mais ce nest pas une raison pour neacutegliger voire pour masquer le fait que les rationnels simposent degraves que lon pra-middot tique des mesures de longueurs

Nous pensons que des grandeurs physiques ont leur place dans 1enseignement des matheacutematiques Longueurs airesmiddot et volumes relegravevent de la geacuteomeacutetrie Pourquoiexcluremiddotmasses dureacutees vitesses deacutebits masses volumiques sous le vain preacutetexte quils relegravevent de la Physique A moins quon estime que les calculs mettant en jeu des grandeurs physiques posent des problegravemes deacutelicats quil est bien agreacuteable de confier au physishycien Ce serait dans ce cas chercher un refuge confortable dans une rigueur matheacutematique fallacieuse et glaceacutee Mais le confort serait-il alors pougraverleacutelegraveve ou pour le professeur middot

MOTS VI coin porte trois parties

bull Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

Partant de lexpeacuterience physique on preacutecise ici les relations quentreshytiennent les grandeurs et les nombres Ainsi se deacutegagent les notions de grandeurs de mecircme nature et de grandeurs mesurables

A son habitude la commission recense les usages examine les expressions courantes critique souvent deacuteconseille parfois Elle souhaite ainsi fournir au lecteur des informations suffisantes pour quil effectue ses choix en connaissance de cause

bull Les grandeurs entre elles Se reacutefeacuterant toujours agrave lexpeacuterience cette deuxiegraveme partie eacutetudie les

relations entre certaines grandeurs

5

Quotients et produits conduisent agrave preacuteciser lalgegravebre des grandeurs Apregraves quoi on effectue une incursion prudente dans les deacutelicates quesshytions dhomogeacuteneacuteiteacute et de dimension physique

bull Consideacuterations peacutedagogiq11es

Ce titre paraicirctra inhabituel aux fervents de nos MOTS Au risque de nous reacutepeacutetermiddot soulignons que conformeacutement agrave nos habitudes cette troishy

siegraveme partie ne dresse pas un catalogue de ce quil faut faire ou de ce quil ne faut pas faire

Tout au plus y trouvera-t-on - agrave la lumiegravere de ce qui preacutecegravede et avec toute la prudence qui simpose agrave propos de ces questions deacutelicates- une bregraveve analyse de certains usages et expressions

Les auteurs y formulent parfois des souhaits plus souvent des mises en garde contre des confusions toujours possibles rarement des condamshynations

Nous espeacuterons que cette brochure inteacuteressera un large public Les maicirctres de lEcole Eleacutementaire pourront y voir comment leur

enseignement agrave propos des grandeurs et des mesures se prolonge dans une perspective qui englobe sciences expeacuterimentales et matheacutematiques

Quant aux maicirctres du Second Degreacute - tant matheacutematiciens que physiciens - puisse cette brochure en un temps ougrave on parle beaucoup dinterdisciplinariteacute leur fournir loccasion deacutechanges dont les eacutelegraveves tireront profit

Au cours de leacutelaboration de cette brochure nous avons demandeacute agrave cinq professeurs de physique et chimie de lire notre projet Ils lont fait avec beaucoup dattention Nous avons tenu compte de leurs remarques Nous les remercions vivement de leur collaboration

Toutes les remarques critiques suggestions seront accueillies avec reconnaissance

Ecrire agrave Jacques LECOQ 16 rue du Plateau Fleuri 14000 CAEN

Juin 1982 La Commission MOTS

6

SOMMAIRE

PREMIEgraveRE PARTIE Grandeur et nombre mesures dune grandeur

1- Notion de grandeur 11

II - Intervention du nombre 15

III - Comparaison des grandeurs Addition Multiplication externe Mesure

III - 1 Un usage tregraves reacutepandu 17 III - 2 Comparaison des longueurs 17 III - 3 Addition des longueurs 18 III - 4 Une multiplication externe 19 III -- 5 Signification du mot mesure 19 III - 6 Proprieacuteteacutes des lois EB et reg et de la relation 20 III - 7 Des eacutecritures commodes 22 III - 8 Grandeurs mesurables 24 III - 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs

quentendre par a+ b 26

IV- Ce quon dit ou devrait dire

VI - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc 29 VI - 2 Deacutesignation des grandeurs 30 VI - 3 Des formulations incorrectes 31 VI - 4 Des formulations simples tregraves acceptables 32 VI - 5 Un langage normaliseacute 32

V - Rapports de grandeursmiddot bull 34

V-1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a 35 V-2 Proportionnaliteacute 36 V-3 Taux dincertitude 38 V-4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs 38 V-5 Ougrave le rapport de deux grandeurs

est indispensable 42

7

DEUXIEgraveME PARTIE Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacutees

VI - Quotients de grandeurs

VI - 1 Grandeur proportionnelle agrave une autre 45 VI - 2

VI- 3

VI - 4 Quotient de deux grandeurs 50 52VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI - 6

Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume 47 Un autre exemple quotient dun volume

Quelques exemples de quotients

par une masse 50

de deux grandeurs 55

VII - Produits de grandeurs

VII - 1 Un exemple travail dune force 59 VII- 2 Aire dun rectangle 62 VII - 3 Produit de deux grandeurs 63 VII - 4 Exemples de produits de deux grandeurs 63

VIII - Algegravebre des grandeurs

VIII - 1 Addition des grandeurs et multiplication externe 65

VIII - 2 Produits de grandeurs 66 VIII - 3 Sommes et produits 66 VIII - 4 Produits et quotients 67 VIII - 5 Exemples de paires de grandeurs inverses bull 69 VIII - 6 Algegravebre des grandeurs 71 VIII - 7 Grandeurs deacuteriveacutees uniteacutes deacuteriveacutees 72 VIII - 8 Exploitation linguistique 73 VIII - 9 Autres exemples de grandeurs deacuteriveacutees 76

IX - Grandeurs discregravetes

IX- 1

IX- 2 Une population grandeur mesurable 78 79

79 IX - 3 Une population grandeur discregravete IX - 4 Exemples de quotients de deux populations IX - 5

IX- 6

Cardinal dun ensemble fini et mesure dune grandeur middot 78

Exemples de grandeurs deacuteriveacutees ougrave intervient

Une grandeur employeacutee en chimie une population 80

la quantiteacute de matiegravere 82

8

X - Dimension physique Homogeacuteneacuteiteacute

X-1 Dimension des grandeurs dorigine geacuteomeacutetrique relativement agrave la longueur 84

X-2 La dimension ensemble de grandeurs homogegravenes 86 X-3 Dimension des grandeurs dans un systegraveme

de dimensions de base 88 X-4 Equations aux dimensions 92 X-5 Exemples demplois du mot homogegravene 92 X-6 Constantes physiques 94 X-7 Coefficients numeacuteriques 96 X-8 Systegraveme international duniteacutes middot 98 X-9 Tableau et scheacutema 101

TROISIEgraveME PARTIE Consideacuterations peacutedagogiques

XI shy 1 Faut-il enseigner agrave leacutecole au egraveoegravege au lyceacutee la notion de grandeur 104

XI - 11 Reconnaicirctre et distinguer les grandeurs du monde qui nous entoure 104 XI shy 12 Pourquoi le nombre quand il ne sert agrave rien shy 106 XI shy 13 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs pour leacutetude des structures numeacuteriques 108 XI- 14 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs dans lenseignement de certaines notions matheacutematiques ~ 110

XI shy 2 Confusions entle grandeurs et mesures

XI - 21 Emplois divers du mot uniteacute 111 XI shy 22 Leacutecriture des calculs sur les grandeurs invite agrave confondre grandeur et nombre middot 112 XI - 23 Exemples de confusions entre grandeur et nombre middot 112 XI - 24 Retour agrave des formulations critiquables tregraves employeacutees 114 XI shy 25 Le signe= etles grandeurs 116 XI- 26 Une autre attitude deacutelibeacutereacutee 117

9

XI - 3 Un enseignement difficile grandeurs deacuteriveacutees de deux autres middot

XI - 31 A quels moments de leur scolariteacute les enfants rencontrent-ils des exemples de grandeurs deacuteriveacutees middot 118 XI - 32 Difficulteacute de la notion de grandeur deacuteriveacutee 119 XI- 33 La vitesse est-elle une longueur La masse volumique est-elle une masse 119 XI - 34 Des pseudo-eacutegaliteacutes agrave proscrire 122 XI - 35 Confusions entre quotients et produits 123 XI- 36 Des complications de langage bien inutiles 124 XI - 37 A propos de reacutedaction 124 XI- 38 Une grammaire pas toujours assureacutee 125

XI - 4 Inteacuterecirct des consideacuterations dhomogeacuteneacuteiteacute 126 Index terminologique 131

Le contenu des pages qui suivent est-il du domaine des matheacutematishyques ou de celui des sciences physiques

Les enseignants se posent peut-ecirctre une telle question mais elle est sans importance un eacutelegraveve est le mecircme enfant pendant lheure de matheacuteshymatique egravet pendant lheure de physique

Nous pensons que lenseignement des matheacutematiques doit contribuer agrave entraicircner les eacutelegraveves au moins pendant la scolariteacute obligatoire

- agrave utiliser et agrave preacuteciser le concept de grandeur -agrave relier aumoins sur quelques exemples usuels simples des granshy

deurs de natures diffeacuterentes

10

PREMIEgraveRE PARTIE

Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

1 - NOTION DE GRANDEUR

Voici des phrases dun type courant Les arecirctes dun cube ont mecircme longueur Sur les autoroutes la vitesse des veacutehicules est limiteacutee Une telle intensiteacute ferait sauter les plombs Cette valise na pas un volume assez grand pour que je puisse y placer toutes mes affaires

Longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume sont des exemples de grandeurs physiques ou simplement grandeurs

1- 1 On peut parler dune intensiteacute eacutelectrique comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs courants indeacutependamment de la deacutefinishytion de lampegravere indeacutependamment de tout choix dune uniteacute dintenshysiteacute On peut parler dune longueur comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs segments indeacutependagravemment de la deacutefinitimi de la coudeacutee de la toise du megravetre On peut utiliser le compas pour reporter une lonshygueur On peut parler dun volume deau ou dessence sans avoir agrave lesprit ni le litre ni le gallon ni aucune autre uniteacute

11

Quand les eacuteconomistes expriment un budget un salaire en francs constants cest quils cherchent agrave atteindre non un nombre mais une grandeur quon pourrait appeler pouvoir dachat pouvoir deacutechange Exemple Laide aux familles dans lenseignement public ou priveacute eacutetait en 1964 de 600 millions de francs elle seacutelevait en 1974 agrave 1800 millions de francs elle a donc tripleacute en dix ans cette affirmation est certaineshyment incorrecte le nombre a tripleacute mais pas la grandeur aide aux familles en raison de ce quon appelle pudiquement leacuterosion moneacutetaire

I - 2 Comment donner un statut agrave la notion de grandeur

Partons de lexemple bien connu de la longueur des segments (1)

Dans un ens~mble de segments la relation qui a pour lien verbal est superposable agrave est une relation deacutequivalence (du moins si lon convient quun segment est superposable agrave lui-mecircme) Les segments dune mecircme classe sont dits de mecircme longueur f et lon dit de chacun des segments de cette classegrave que sa longueur est f Le lien verbal peut se dire a mecircme longueur que

Le mot longueur ne deacutesigne ni uri ensemble de points ni un nomshybre La phrase Soit un triangle eacutequilateacuteral ABC de cocircteacute a a la signifishycation suivante Soit un triangle dont les cocircteacutes [AB] [BC] [CA] sont des segments qui appartiennent agrave une mecircme classe agrave laquelle est assoshycieacutee la longueur a Autrement dit

longueur de [AB] = longueur de [BC] = longueur de [CA] = a

Si lon deacutesigne par MN comme il est dusage la longueur du segshyment [MN] on eacutecrit les eacutegaliteacutes

AB= BC =CA= a A la classe des segments tels que [AA] dont les extreacutemiteacutes sont

confondues est associeacutee la longueur appeleacutee longueur nulle

I - 3 Essayons deacutetendre ce qui preacutecegravede aux grandeurs physiques agrave lintensiteacute eacutelectrique par exemple

Envisageons dans un ensemble de courants eacutelectriques la relation qui a pour lien verbal provoque dr~ulant dans un mecircme conducteur ohmique (2) maintenu dans les mecircmes conditions et pendant une mecircme dureacutee le deacutegagement dune mecircme quantiteacute de chaleur que Cest une relation deacutequivalence les courants dune mecircme classe sont dits de mecircme intensiteacute sil ny a pas de deacutegagement de chaleur lintensiteacute est dite intensiteacute nulle

(1) Dans ce qui suit nous ne consideacuterons que des segments fermeacutes mais cela est sans incishydence sur notre propos car les quatre segments ayant les mecircmes extreacutemiteacutes A et B (agrave savoir [AB] ]AB[ [AB[ et ]AB]) ont aussi la mecircme longueur (voir SEGMENT-LONGUEUR MOTS V)

(2) Un conducteur est dit ohmique lorsque le seul effet du passage du courant est un deacutegashygement de chaleur

12

1 - 4 Malgreacute lapparence lanalogie entre les situations deacutecrites en 1 -- 2 et 1 - 3 nest que partielle

Quand on se propose de comparer deux objets physiques selon un de leurs aspects (tiges qugraveant agrave leurs longueurs reacutecipients quant agrave leurs volumes mobiles quant agrave leurs vitesses courants eacutelectriques quant agrave leurs intensiteacutes etc) cest-agrave-dire quand on se propose de deacutecider si on les place ou non dans une mecircme classe on se heurte agrave deux obstacles fondamentaux middot

1deg) Il faut quon sache en quoi consiste laspect indiqueacute ci-dessus autrement dit quor1 sache de quelle grandeur il sagit

Une telle connaissance de la grandeur est neacutecessairement lieacutee agrave un proceacutedeacute physique de comparaison cest-agrave-dire agrave un ensemble eacutetabli avec preacutecision et pouvant ecirctre pratiqueacute agrave volonteacute dactions dexpeacuterienshyces dobservations On ne peut comparer deux intervalles de temps quapregraves le choix dun tel proceacutedeacute cest-agrave-dire apregraves le choix dune cershytaine horloge aussi rudimentaire soit-elle Lexistence mecircme de cette horloge est un deacutebut de reacuteponse agrave leacutepineuse question quest-ce que le temps

Bien souvent se preacutesentent des proceacutedeacutes physiques de comparaison fort divers Ainsi pour deacuteclarer que deux courants eacutelectriques ont mecircme intensiteacute on peut comme en 1 - 3 faire appel au pheacutenomegravene effet calorifique du courant choix qui suppose deacutefinies preacutealablement leacutegaliteacute entre quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees Mais on peut aussi classer les courants selon linteraction de deux longs conducteurs parallegraveles parcourus (dans le mecircme sens ou non) pagraver le mecircme courant ce choix suppose preacutealablement deacutefinie leacutegaliteacute entre forces (1) Lexpeacuteshyrience montre que cette classification coiumlncide avec la preacuteceacutedente

On peut eacutegalement utiliser les effets chimiques du courant deux courants seraient dune mecircme classe (auraient mecircme intensiteacute) si travershysant pendant un mecircme temps telle cuve agrave eacutelectrolyse quil faudrait elle aussi choisir ils y produisaient les mecircmes effets chimiques qualitativeshyment et quantitativement cet autre choix supposerait deacutefinies leacutegaliteacute entre masses et leacutegaliteacute entre dureacutees (2) Lexpeacuterience montre que cette troisiegraveme classification (cette troisiegraveme deacutefinition de lintensiteacute) est indeacuteshypendante du choix de leacutelectrolyse et coiumlncide avec les deux classificashytions preacuteceacutedentes middot

2deg) Tout proceacutedeacute physique deacutevaluation est entacheacute dune incertishytude Dans un ensemble dobjets physiques deacutecrits matheacutematiquement

(1) Cest cette interaction qui est utiliseacutee pour la deacutefinition leacutegale de lampegravere lampegravere est deacutefini agrave partir du newton uniteacute de force (2) La deacutefinition leacutegale de lampegravere faisait appel jusque 1948 agrave leacutelectrolyse dune solushytion de nitrate dargent

13

par des segments des tiges par exemple on ne peut pas envisager la relashytion deacutequivalence de lien verbal a mecircme longueur que comme nous lavons fait en geacuteomeacutetrie (I ~ 2) un lien verbal utilisable serait du type a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves que Or la relation deacutefinie par un tel lien verbal nest pas transitive en effet si un objet A a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet B et si lobjet Ba mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet C il se peut fort bien que A etC naient pas mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves

Cependant pour les besoins de laction on se comporte comme si lon eacutetait capable en premiegravere approximation de deacutefinir des classes deacutequivalence agrave limage de celles quon utilise en-matheacutematiques Le monde physique est complexe Leacutetudier cest neacutegliger certaines inforshymations tenues temporairement pour secondaires afin deacutelaborer un modegravele abstrait simple avec la perspective du deacutesaveu de lexpeacuterience lequel entraicircnerait la recherche dun nouveau modegravele serrant de plus pregraves la reacutealiteacute

14

II - INTERVENTION DU NOMBRE II - 1 Le nombre intervient constamment agrave propos de grandeurs

Bien quon puisse envisager comme il vient decirctre dit une granshydeur indeacutependamment de toute uniteacute et de tout nombre le nombre simpose degraves quon veut eacutetudier les grandeurs

II-11 Il est solidement implanteacute dans la faccedilon dont on les deacutesigne habituellement par juxtaposition dun nombre et du nom dune uniteacute 3 centimegravetres 20 centimegravetres cubes 220 volts 25 kilowattheures ce quon eacutecrit 3 cm 20 cm 220 V 25 kWh

3 cm deacutesigne la longueur commune des segments cishycontre Cette longueur est aussi bien deacutesigneacutee par 30 mm et lon eacutecrit leacutegaliteacute (agrave propos dEGALITE voir MOTS-I)

3 cm= 30 mm

Une grandeur nest pas un nombre ni 3 ni 30 ne deacutesignent la lonshygueur des segments La phrase Laire de ce polygone est 15 est sansmiddot signification (alors que linformation contenue dans Le nombre de ses cocircteacutes est 6 est claire)

Cette faccedilon de deacutesigner les grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute reacutesulte dune activiteacute le mesurage qui consiste agrave comparer la grandeur agrave une grandeur quon a choisie comme uniteacute Non seulement le mesurage est un moyen de reacutealiser la classification eacutevoqueacutee au cours du chapitre I mais cest sans doute le moyen le plus utiliseacute

II - 12 Toutefois limperfection signaleacutee en I - 4 des proceacuteshydeacutes physiques deacutevaluation dune grandeur fait quun mesurage est neacutecessairement approximatif il convient donc de fournir une autre information appeleacutee incertitude sur la plus ou moins bonne qualiteacute du mesurage Un ordre ayant eacuteteacute deacutefini pour la grandeur en cause (voir III - 2) on cherche agrave estimer leacutecart entre leacutevaluation exacte (dont on postule lexistence) et leacutevaluation fournie par le mesurage

On peut exprimer cette incertitude de diverses faccedilons par exemple (voir APPROXIMATION MOTS IV) bull en donnant deux eacutevaluations lune par deacutefaut lautre par excegraves de la grandeur leacutepaisseur de cette lame est comprise entre 23 mm et 25 mm bull en disant leacutepaisseur de cette lame est 24 mm agrave 01 mm pregraves (avec le mecircme sens que ci-dessus)

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bull en disant simplement leacutepaisseur de cette lame est 24 mm cela sous-entend en principe que leacutepaisseur est comprisemiddot entre 235 mm et 245 mm (donc cette fois leacutevaluation est faite agrave 005 mm pregraves)

Sous ces trois formes lincertitude apparaicirct comme le maximum du module (voir III- 72) de lerreur que lon commet en adoptant leacutevashyluation 24 mm agrave savoir 01 mm dans les deux premiers cas et 005 mm dans le troisiegraveme

Toutefois on tend aujourdhui vers une interpreacutetation probabiliste de lincertitude on dit par exemple que leacutepaisseur est 24 mm plusmn 003 mm pour dire quil y a une probabiliteacute de 95 oo pour que cette eacutepaisseur soit comprise entre 237 mm et 243 mm

II - 2 Quels calculs faire avec les grandeurs

Entre grandeurs (longueurs vitesses intensiteacutes eacutelectriques volushymes etc) on peut deacutefinir des relations dineacutegaliteacute et des opeacuterations mais agrave condition dobserver certaines preacutecautions

Prenons lexemple de laddition quest-ce que a+ b

Dabord au cas ougrave a serait une longueur et bun volume parler de leur somme serait deacutenueacute de sens et a fortiori adopter leacutecriture a + b

Ensuite mecircme si a et b sont lune et lautre des longueurs il faut preacutealablement

1) avoir deacutefini la somme de deux longueurs gracircce agrave un protocole expeacuterimental bien adapteacute

2) disposer dun signe daddition particulier par exemple EB ou leacutegitimer lemploi du signe + jusque-lagrave reacuteserveacute agrave un autre usage (addishytion dans N ou dans un autre ensemble de nombres)

Alors seulement leacutecriture a + b devient licite Ce qui vient decirctre dit vaut naturellement pour a-b 2a alb axb a~b

Le chapitre III sera consacreacute agrave lanalyse des conditions dans lesshyquelles lineacutegaliteacute de deux grandeurs leur somme leur diffeacuterence peushyvent ecirctre envisageacutees On y verra aussi par quel processus le nombre intervient agrave propos des grandeurs et on reacutepondra agrave la question Questshyce quune grandeur uniteacute

On examinera au chapitre IV le langage usuel et le langage matheacuteshymatique adopteacutes pour deacutesigner des grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute

Le chapitre V traitera des cas ougrave le quotient de deux grandeurs est un nombre dans ce cas on lappellera rapport telle rapport de deux longueurs

Aux chapitres VI et VII les quotients et produits de grandeurs seront introduits dans leur geacuteneacuteraliteacute

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III - COMPARAISON DES GRANDEURS ADDITION MULTIPLICATION EXTERNE

MESURE

DI- 1 Un usage tregraves reacutepandu

Les longueurs de divers segments eacutetant deacutesigneacutees par a b c chacun sait donner une signification agrave bull la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur b ce quon eacutecrit a~b

bulllongueur somme des longueurs a et b eacutecrite a+ b ou b +a bull en particulier longueur somme de a et a dite double de a eacutecrite aussi

2 x a ou a x 2 ou 2a bull longueur 2a +a eacutecrite aussi a+ 2a ou 3 x a ou 3a et plus geacuteneacuteshyralement longueur produit de JI par a eacutecrite AgraveX a ou JIa ougrave Agrave est un nombre naturel ou non mai~ positif

Mais il ne faut pas perdre de vue que lemploi quon vient de faire des signes ~ middot + et x de la locution infeacuterieur ou eacutegal agrave et des mots somme et produit se distingue de lemploi quon en fait pour lordre laddition et la multiplication deacutefinis dans des ensembles de nombres

Analysons la deacutemarche qui aboutit agrave propos de longueurs aux notions dordre de somme et de produit par un nombre

lll - 2 Comparaison des longueurs

La comparaison des longueurs se fait agrave laide de repreacutesentants de celles-ci Deux longueurs a et b eacutetant donneacutees consideacuterons des demishydroites dorigines C1 C2 C3 et placcedilons sur elles les points A1 A2

A3 tels que [C1A1] [C2A2] [C3A3] aient pour longueur commune a puis les points B1 B2 B3 tels que [C1B1] [C2B2] [C3B3] aient pour longueur commune b

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Si [C1A1] est inclus dans [C1B1] alors [C2A2] est inclus dans [C2B2] [C3A3] dans [C3B3] etc On dit que la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur middotb et on eacutecrit a(jJ middot

Si [C1B1] est inclus dans [C1A1] alors [C2B2] est inclus dans [C2A2] [C3B3] dans [C3A3] etc On dit que la longueur b est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur a et on eacutecrit bfJ

Ainsi linclusion dans lensemble des segments permet de deacutefinir une relation dordre total dans lensemble des longueurs

III - 3 Addition des longueurs

La somme de deux longueurs a et b se deacutefinit agrave laide de repreacuteshysentants de celles-ci

Placcedilons sur une droite D1 des points E1o F1o 0 1 sur une droite D2 des points E2 F2 0 2 sur une droite D3 des points E3 F3 0 3 tels que F1 soit entre E1 et 0 1 que F 2soit entre E 2et 0 2 que F3 soit entre E3 et 0 3 que [E1F1] [E2F2] [E3F3] aient pour longueur commune a et que [F10 1] [F20 2] [F30 3] aient pour longueur commune b

Alors [E10 1] [E202] [E30 3] ont mecircme lonshygueur Cette longueur indeacutependante du choix d~s

middot segments repreacutesentacircnt les longueurs a et b est dite somme des longueurs a et b Deacutesignons-la par c

(Cest la somme des longueurs quainsi on deacutefinit non la somme des segments)

A tout couple de longueurs on peut de cette faccedilon faire corresshypondre une certaine longueur On est donc en preacutesence dune opeacuteration interne deacutefinie sur lensemble des longueurs On lappelle addition des longueurs middot

Elle est commutative et associative Adoptons (provisoirement) le signe EB pour noter cette opeacuteration Nous eacutecrivons donc leacutegaliteacute

affib=c

Les eacutegaliteacutes c 8 a = b et c 8 b =a sont deacuteclareacutees eacutequivalentes agrave a EB b = c elles deacutefinissent la soustraction des longueurs

On noteragrave que (provisoirement au moins) u 8 v nest deacutefini que si vcopy u

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III - 4 Une multiplication externe Capables de deacutefinir la somme de deux longueurs nous sommes

capables eacutegalement a eacutetant une longueur de deacutefinir de proche en proshyche agrave laide de sommes successives a EB a (a EB a) EB a etc une lonshygueur que nous appelons produit duri nombre naturel p par la lonshygueur a et que nous eacutecrivons (provisoirement) p a cest aussi la longueur dun segment obtenu en portant bout-agrave-bout sur une droite p segments de longueur a On conviendra que quel que soit a 1 a = a et que 0 a deacutesigne la longueur nulle

Lexpeacuterience nous conduit agrave admettre lexistence

bull dune longueur __ ~ ougrave q est un naturel non nul cest la lonshyq gueur dun segment tel que q segments de cette longueur-lagrave porteacutes bout-agrave-bout sur une droite donnent un segment de longueur a

bull dune longueur E_ a pour tout rationnel E_ cest la longueur q q

p ( ~ a) produit du naturel p par la longueur ~ acest aussi

lagrave longueur ~ (p a)

Enfin pour des raisons proprement matheacutematiques nous admetshytrons lexistence dune longueur Agrave a pour tout reacuteel positif Agrave

Envisager comme il vient decirctre fait le produit dun nombre posishytif quelconque par une longueur quelconque cest deacutefinir une opeacuteration externe au couple (a) ougrave Agrave est un reacuteel positif et a une longueur on associe une certaine longueur b quon note Agrave a ce qui permet deacutecrire leacutegaliteacute b = Agrave a

Autrement dit R+ eacutetant lensemble des reacuteels positifs etE lensemble des longueurs agrave tout eacuteleacutement du produit carteacutesien R+ xE on fait corresshypondre un certain eacuteleacutement de E (1)

III - 5 Signification du mot mesure

Etant donneacute deux longueurs a et b a neacutetant pas la longueur nulle nous admettrons quil existe un reacuteel positif Agrave tel que

b =Agrave a Ecrire cette eacutegaliteacute cest exprimer que la mesure de la longueur b

quand on prend la longueur a pour uniteacute est le nombre Agrave Ainsi se trouvent introduits deux mots mesure et uniteacute que nous emploierons constamment par la suite

(1) A et B deacutesignant deux ensembles rappelons que leacutecriture A x B quon lit A croix B deacutesigne le produit carteacutesien de A par B cest-agrave-dire lensemble des couples dont le preshymier terme est eacuteleacutement de A et dont le second est eacuteleacutement de B

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Une uniteacute de longueur nest rien dautre quune longueur arbitraishyrement choisie non nulle cependant Le mot mesure ne saurait ecirctre employeacute sans que le choix de cette uniteacute soit indiqueacute

Le lecteur reconnaicirctra dans lemploi de produits dun nombre par une longueur une attitude qui lui est tregraves familiegravere bull si a est le centimegravetre et si est le nombre 5 alors b est 5centimegravetres et lon eacutecrit b = 5 cm ou couramment b = 5 cm bull si a est le pied anglais (foot) et si b est laltitude du Mont-Blanc alors b = 15 767 ft ou couramment b = 15 767ft

rn - 6 Proprieacuteteacutes des opeacuterations Etgt et reg et de la relation ~

III - 61 Soient a et b des longueurs telles que par exemple a = 3 coudeacutee b = 5 coudeacutee

ce quon eacutecrit couramment a = 3 coudeacutees b = 5 coudeacutees

La longueur somme des longueurs a et b quon a noteacutee a Etgt b est selon la deacutefinition quon a donneacutee en III- 3 eacutegale agrave 8 coudeacutee ou 8 coudeacutees

Dune faccedilon geacuteneacuterale si a=01k et b=f3k

la somme a Etgt b est la longueur (01 + (3) k (01 k) Etgt ((3 k) = (01+(3) k

A cause de la ressemblance de leacutegaliteacute qui preacutecegravede avec celle qui traduit dans un ensemble de nombres la distributiviteacute de la multiplicashytion sur laddition [(3 x 5) + (4 x 5) = 7 x 5] et bien que trois opeacuterashytions interviennent et non deux on dit que lopeacuteration est distributive sur laddition dans R+

En particulier une uniteacute de longueur eacutetant choisie la mesure de la somme de deux longueurs est la somme des mesures de celles-ci

III- 62 De la mecircme faccedilon lopeacuteration est distributive sur laddition des longueurs Si Agrave deacutesigne un reacuteel positif quelconque

(Agrave a) Etgt (Agrave b) = Agrave (a Etgt b) Par exemple si les cocircteacutes dun rectangle ont pour longueurs a et

b le peacuterimegravetre seacutecrit aussi bien (2 a) Etgt (2 b) que 2 (a Etgt b)

III - 63 Dessinons bout-agrave-bout sur Une droite 6 segments dont la longueur commune est 5 centimegravetres Nous obtenons un segment dont la longueur est 30centimegravetres ce qui se traduit par leacutegaliteacute middot

6 (5 cm) = (6x5) cm

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La proprieacuteteacute appeleacutee pseudo-associativiteacute geacuteneacuteralise cette constatashytion agrave tout couple (Agravep) de reacuteels positifs et agrave toute longueur c

Agrave (Il c) = (Agrave x Il) c Cette proprieacuteteacute peut sinterpreacuteter autement

Soit a b c trois longueurs b et c neacutetant pas nulles appeshylons Agrave la mesure de a quand on prend b pour uniteacute et Il la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

a=Agraveblb = Il c a = Agrave (Il c)

la pseudo-associativiteacute exprime q11e a = (Agrave x Il) c

cest-agrave-dire que le nombre Agravell est la mesure de a quand on prend c pour uniteacute

Lagrave mesure de a quand on prend c pour uniteacute est le produit de la mesure de a quand on prend b pour uniteacute par la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

Si lon deacutesigne par mesue la mesure de la longueur e quand on prend u pour uniteacute cet eacutenonceacute seacutecrit

mesca = mesba x mescb Cet eacutenonceacute est dun emploi bien connu Si b est le megravetre quon

eacutecrit rn et si c est le centimegravetre quon eacutecrit cm rn= 100 cm

pour une longueur a de 3 megravetres on eacutecrit 3 rn = 3 (100 cm) = (3 x 100) cm = 300 cm

ce quon raccourcit en 3 rn = 300 cm

Sous une autre forme eacutegalement bien connue les changements duniteacutes sexpriment ainsi si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul k la mesure dune grandeur au moyen de cette nouvelle uniteacute est le quotient par k de la mesure obtenue au moyen de lancienne Ce quon peut eacutecrire ainsi

meshba = mesba

Ou par raccourci Si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul la mesure est diviseacutee par ce nombre Par exemple

1 meskm a = mesm a1000

III - 64 La relation dordre total noteacutee copy est compatible avec laddition et avec la multiplication par un reacuteel positif cest-agrave-dire que bull quelles que soient les longueurs a b c si acopyb alors (affic) copy (bffic) et reacuteciproquement

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bull quelles que soient les longueurs a et b et quel que soit le reacuteel stricteshyment positif a si acopyb alors (a a)copy (a b) et reacuteciproquement

III - 65 Une uniteacute de longueur eacutetant choisie lordre sur les mesures reproduit lordre sur les longueurs quelle que soit la lonshygueur non nulle k et quels que soient les reacuteels positifs a et 3 si (a k) copy (3 k) alors a~3 et reacuteciproquement

III - 7 Des eacutecritures commodes

III - 7 1 Les proprieacuteteacutes qui preacutecegravedent justifient

1deg) que lopeacuteration EB ait eacuteteacute appeleacutee addition et que a EB b ait eacuteteacute appeleacute somme de a et b

2deg) que lopeacuteration ait eacuteteacute appeleacutee multiplication (externe) et que a k ait eacuteteacute appeleacute produit de la longueur k par le nombre a

Elles invitent bull agrave noter par le mecircme signe + laddition dans lensemble des lonshygueurs que nous avons noteacutee provisoirement œ et laddition dans lensemble des reacuteels positifs bull agrave confondre de mecircme le signe e de la soustraction des longueurs (voir III - 3) et le signe - de la soustraction dans lensemble des reacuteels posishytifs bull agrave noter par le mecircme signe x que lon omet volontiers lopeacuteration externe que nous notions provisoirement et la multiplication dans lensemble des reacuteels positifs bull et agrave noter ~ ce que nous notions copy

Ces confusions de signes incorrectes strictement parlant sont sans inconveacutenient matheacutematique Et apparemment sans inconveacutenient peacutedashygogique mais en est-on jamais sucircr Elles ont le tregraves grand avantage de permettre la conduite des calculs exactement comme si les longueurs eacutetaient des nombres

Voyons sur un exemple ce que sont ces confusions et la commoditeacute qui en reacutesulte

Dans leacutecriture (2 + 3) x (a+ b) ougrave a et b sont des longueurs le premier signe + est celui de laddition dans R le signe x est mis pour le second signe + est celui de laddition dans lensemble des longueurs il est mis pour EtJ Conservant les signes provisoires on eacutecrishyrait (2+~) (a EB b)

Exploitant la possibiliteacute de calculer comme si EB eacutetait + comme si eacutetait x et comme si a et b eacutetaient des nombres on remplace cette eacutecriture par 2a + 2b + ( -J3)a + ( ~)b ougrave les trois signes +

middot sont mis pour EB et ougrave les quatre signes sont sous-entendus

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En reacutesumeacute gracircce agrave ces confusions de signes on utilise les mecircmes eacutecritures que si a et b deacutesignaient non deux longueurs mais leurs mesures avec une mecircme uniteacute (arbitraire)

Mais on ne perd pas de vue que par exemple dans 2a 2 est un nombre et que a nen est pas un

III- 72 Cependant cette commoditeacute deacutecriture serait comproshymise par la restriction signaleacutee agrave la fin de III - 3 agrave propos de la sousshytraction Faute de lever cette restriction on perdrait une grande part du beacuteneacutefice escompteacute et de plus on introduirait dans leacutetude des pheacutenomegraveshynes physiques des distinctions artificielles

Ainsi un ressort tendu ayant une longueur a eacutegale agrave PO si par une leacutegegravere modification de la tension on amegravene ce ressort agrave prendre une longueur b eacutegale soit agrave PA soit agrave PB la diffeacuterence b a ne pourrait exprimer la variation de longueur que dans le premier cas cessant decirctre deacutefinie dans le second elle devrait ecirctre remplaceacutee par a-b et il faushydrait mentionner explicitement dans chaquemiddot cas smiddotil sagit dun allongeshyment ou dun raccourcissement

p B 0 H A

Le moyen de se libeacuterer de ces contraintes consiste agrave introduire des longueurs positives et des longueurs neacutegatives gracircce agrave des conventions de signe On convient (1) de deacuteclarer positive la longueur du segment [OM] lorsque M est sur lune des demi-droites dorigine 0 de la deacuteclashyrer neacutegative lorsque M est sur lautre demi-droite et de deacuteclarer opposhyseacutees les longueurs de deux segments [OM] et [ON] lorsquils sont supershyposables et que Met N sont de part et dautre de 0 enfin on deacutefinit le module dune longueur e noteacute lfl comme eacutegal agrave e si e est positive et agrave son opposeacutee si e est neacutegative

III- 73 Gracircce agrave une telle convention lanalogie avec le calcul algeacutebrique devient complegravete et lon geacuteneacuteralise exactement comme on le fait dans lensemble des nombres reacuteels la relation dordre noteacutee ~ laddition et la soustraction deacutesormais deacutefinie dans tous les cas

(1) En fait une telle convention est rarement adopteacutee dans lusage eacuteleacutementaire pour les longueurs en revanche dautres grandeurs donnent lieu de faccedilon courante agrave une convenshytion de ce genre

- un instant origine eacutetant choisi auquel on attribue la date 0 les instants anteacuterieurs sont de dates neacutegatives les instants posteacuterieurs sont de dates positives

un sens eacutetant choisi ie long dune portion de circuit eacutelectrique on convient que les courants qui circulent dans ce sens ont une intensiteacute positive et que ceux qui circulent dans lautre sens ont une intensiteacute neacutegative

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Quant agrave la multiplication externe elle conserve le signe des lonshygueurs si le multiplicateur est un nombre positif elle change ce signe si le multiplicateur est un nombre neacutegatif Degraves lors une uniteacute de longueur (positive par deacutefinition) eacutetant choisie la mesure dune longueur positive est un nombre positif celle dune longueur neacutegative est un nombre neacutegatif Cest la mesure telle quelle vient decirctre deacutefinie de la longueur OM quon appelle couramment abscisse du point M lorigine eacutetant O Sur la figure si on adopte OH pour uniteacute de longueur labscisse de A est 3 cell de B est -2

On voit sans peine que ces conventions qui se sont imposeacutees de faccedilon naturelle dans le passeacute eacutetablissent un rigoureux paralleacutelisme entre les calculs sur les longueurs etles calculs une uniteacute eacutetant choisie sur les nombres qui les mesurent Le seui danger reacutepeacutetons-le serait de confonshydre nombres et longueur~ middot

lill _ 8 Grandeurs mesurables Ce qui vient decirctre dit de III - 1 agrave III - 7 agrave propos de longueurs

(ineacutegaliteacute somme de longueurs puis produit par un nombre) peut-il se reacutepeacuteter agrave propos dautres grandeurs

III- 81 Si on appelle grandeur tout caractegravere dun objet aux sens tregraves larges de ces deux mots susceptible de variations chez cet middotobjet ou dun objet agrave un autre les exemples de grandeurs sont nomshybreux la gentillesse lagressiviteacute lintelligence dune personne la poeacuteshysie dun texte la musicaliteacute dune meacutelodie

Pour aucune de cesgrandeurs onne saurait parler deacutegaliteacute On sait dire agrave loccasion que telle personne est plus gentille que telle autre qe faccedilon dailleurs subjective mais que serait leacutegaliteacute pour les gentillesshyses 7 middot

middot Un test dintelligence permet de dire que les scores obtenus par deux personnes agrave des moments deacutetermineacutes sont eacutegaux et de placer ceuxshyci au mecircme endroit dune certaine eacutechelle il ne permet de deacutefinir middotni leacutegaliteacute ni laddition des intelligences (et encore moins lintelligence elle-mecircme agrave moins de simaginer lintelligence comme eacutetant ce que repegravere le test)

On sait donner une signification agrave Ce mateacuteriau est aussi dur que cet autre La dureteacute donne la possibiliteacute degrave deacutefinir une eacutechelle(eacutechelle de Mohs pour les roches) ou un indice (indice de Brinell pour les meacutetaux) mais on ne saurait parler de la somme de deux dureteacutes

On sait reconnaicirctre que deux points sont au mecircme potentiel eacutelectrishyque (on dit la diffeacuterence de potentiel entre ces deux points est nulle) il ne passerait aucun courant dans un fil meacutetallique qui les joindrait Mais on ne sait pas deacutefinir la somme de deux potentiels

La dureteacute le potentiel eacutelectrique sont des grandeurs repeacuterables mais pas sommables

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III- 82 On a eacuteteacute capable

bull de deacutefinir leacutequivalence de deux segments (par superposabiliteacute) on les a dits repreacutesentants dune mecircme longueur oumiddotplus simplement de mecircme longueur

bull de deacutefinir dans lensemble des longueurs ainsi obtenu une relashytion dordre total qui permet de comparer deux longueurs

bull de deacutefinir dans ce mecircme ensemble une opeacuteration interne 1 addition des longueurs

bull de deacutefinir une opeacuteration externe la multiplication des longueurs par les reacuteels positifs

Legraves grandeurs pour lesquelles il en est ainsi possegravedent les proprieacuteteacutes deacutecrites en III - 6 Elles sont dites grandeurs mesurables

Le matheacutematicien et le physicien quand ils envisagent demiddot telles grandeurs abandonnent geacuteneacuteralement cette eacutepithegravete grandeur est soushyvent employeacute comme synonyme de grandeur mesurable (1)

Deacutefinir la somme de grandeurs (comme deacutefinir leacutegaliteacute voirl3 et 14) ne va pas de soi et pose des problegravemes dordre technique ou theacuteorishyque

Des moyens de reconnaicirctre leacutequivalence de cour~nts eacutelectriques de les dire repreacutesentants dune mecircme intensiteacute eacutelectrique ont eacuteteacute preacutesenshyteacutes en 13 et 14 On pourrait deacutefinir la somme de deux intensiteacutes i1 et i2 comme eacutetant celle dun courant qui produit dans un conducteur ohmique pendant une certaine dureacutee la quantiteacute de chaleur somme des quantiteacutes de chaleur fournies par les courants dintensiteacutes i1 et i2 cirshyculant successivement dans ce conducteur pendant cette dureacutee (ce qui suppose que lon ait deacutefini anteacuterieurement la somme de deux quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees) On pourrait aussi deacutefinir la somme de deux intensiteacutes comme eacutetant celle dun courant qui traversant une cuve agrave eacutelectrolyse pendant une certaine dureacutee y fait apparaicirctre une masse de telle substance qui soit la somme des masses quegrave font apparaicircshytre les courants dintensiteacutes i1 et i2 traversant la cuve successivement pendant cette mecircnie dureacutee (ce qui suppose deacutefinies la somme de decircux masses et leacutegaliteacute entre dureacuteegraves) middot middot middotmiddot

Lexpeacuterience montre que ces deux deacutefinitions ne coiumlncident pas Cest la seconde qui a eacuteteacute retenue (2) Alors (permettons-nous danticiper sur produit de deux grandeurs voir VII) agrave dureacutee eacutegale et dans un conducteur donneacute la quantiteacute de chaleur est fonction lineacuteaire du carreacute de lintensiteacute ainsi deacutefinie (effet Joule) middot

1) Puisque lensemble des nombres reacuteels positifs est muni dune relation dordre tatar dune addition et dune multiplication il peut ecirctre consideacutereacute comme un ensemble de granshydeurs Nous le consideacutererons en effet comme teLagrave partir de VIII- 42 mais nous mainshytiendrons pour linstant la distinction entre nombres et grandeumiddotrs

(2) Cette ~econde deacutefinition de la s~mme d~ deux intensiteacutes coiumlncide avec celle qui utilise linteractionmiddot de middotdeux longs conducteurs comme en I _ 4 middot

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III - 83 Le potentiel eacutelectrique nest pas une grandeur mesurable (car il est non sommable) mais la diffeacuterence de potentiel ou tension eacutelectrique est mesurable

De mecircme la tempeacuterature celle dont parle le meacuteteacuteorologue nest pas une grandeur mesurable (car elle est non sommable) mais la diffeacuteshyrence de tempeacuterature (on dit intervalle de tempeacuterature) est une granshydeur mesurable

On sait dire que deux eacuteveacutenements se produisent agrave un mecircme instant mais on ne donne pas de signification agrave somme de deux instants Par contre la dureacutee cest-agrave-dire le temps eacutecouleacute entre deux instants est une grandeur mesurable

III- 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs quentendre par a + b

III - 9 1 Nous avons laisseacute en suspens la question souleveacutee en II - 2 a et b eacutetant deux grandeurs donneacutees arbitrairement quelles sont les preacutecautions agrave observer pour avoir le droit de les traiter comme nous lavons fait dans ce chapitre III cest-agrave-dire pour donner une signishyfication aux eacutecritures a~ b ou b ~a a+ b a= Agraveb ougrave Agrave est un nomshybre

middotVoici une premiegravere reacuteponse la condition est que a et b soient deux grandeurs de mecircme nature ou de mecircme espegravece (deux longueurs deux masses etc mais pas une longueur et une masse)

On dit de deux grandeurs quelles sont de mecircme nature pour dire quelles interviennent de faccedilon analogue dans un certain protocole expeacuteshyrimental ou si lon veut pour dire que lorsquun proceacutedeacute physique de comparaison (I - 4) est adapteacute agrave lune delles il lest aussi agrave lautre

Pour prendre un exemple tregraves simple peut-on deacuteclarer de mecircme nature le volume dun solide (son encombrement) et le volume dun reacutecishypient (sa contenance) Adoptons le protocole expeacuterimental suivant pour le solide le plonger dans leau dune eacuteprouvette et pour le reacutecishypient le remplir deau et verser celle-ci dans leacuteprouvette Dans les deux cas le niveau de leau seacutelegraveve les deacutenivellations permettent la comparaishyson de ce quil est donc licite dappeler dans les deux cas volume

On va voir (III - 92 et III - 93) quil convient de nuancer cette premiegravere reacuteponse

III- 92 Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles Dans la deacutefinition dune grandeur peut intervenir une direction dans lespace Ainsi si des voitures roulent agrave 40 kilomegravetres agrave lheure mais ont des trashyjectoires de directions diverses relativement agrave un obstacle les conseacuteshyquences pour la voiture dun choc sur cet obstacle peuvent aller de la simple eacuteraflure jusquagrave la deacuteformation grave On attribue agrave chacune de

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ces voitures un vecteur-vitesse dont la direction est celle de la trajectoire au moment du choc et dont le sens est celui du mouvement

C~s vecteurs-vitesses diffegraverent les uns des autres De plus si ~ et ~ sont deux dentre eux de directions distinctes il nexiste pas de reacuteel Agrave tel que ~ = Agrave ii bien quil paraisse normal de dire que ces vecteurs-vitesses sont des grandeurs de mecircme nature il nest pas posshysible de mesurer lun en prenant lautre pour uniteacute Ce que ces degraveux vecteurs-vitesses ont en commun cestleur module quon note v1 ou v2 (ici 40 kmh)

Autre exemple Si lon applique aux deux extreacutemiteacutes dun cacircble passant sur une poulie des forces h et situeacutees dans le plan de celle-ci ce cacircble se tend et les deux brins prennent lesmiddot directions des deux forshyces Supposons leacutequilibre reacutealiseacute mecircme dans ce cas ces directions sont en geacuteneacuteral distinctes quand elles le sont il nexiste

-+ -+pas de reacuteel Agrave tel que 11 = J2 cependant

on peut eacutetablir agrave laide dun dynamomegravetre (peson agrave ressort par exemshyple) quils ont mecircme module quon note 11 ou j 2 bull

-+ -+ Dune maniegravere geacuteneacuterale si on considegravere deux forces 11 et 12 non -+ -+

nulles il nest pas possible de trouver un reacuteel Agrave tel que 11 = Agrave12 sauf si -+ -+11 et 12 sont de mecircme direction par contre il est toujours possible de trouver un reacuteel Agrave (positif) tel que 11 = Agrave12 bull

Nous sommes ainsi ameneacutes agrave distinguer - les grandeurs dont la deacutefinition fait intervenir la direction telles

que vitesses acceacuteleacuterations forces champs magneacutetiques etc ces granshydeurs sont dites vectorielles

- les grandeurs dont la deacutefinition ne fait intervenir aucune direcshytion telles que longueurs masses eacutenergies etc ces grandeurs par opposition aux preacuteceacutedentes sont dites scalaires

Ce qui importe pour notre objet cest quagrave chaque grandeurmiddotvectoshyrielle peut ecirctre associeacutee une grandeur scalaire son module

Dans toute la suite nous exclurons de notre eacutetude les grandeurs vectorielles malgreacute leur grand inteacuterecirct en physique nous nous limiterons aux grandeurs scalaires

Lusage accepte quand le contexte permet deacuteviter la confusion lemploi des mots1orce vitesse etc pour deacutesigner soit la grandeur vecshytorielle soit la grandeur scalaire a~socieacutee

27

III - 93 Une reacuteponse meilleure agrave la question poseacutee serait pourvu que a et b soient des grandeurs scalaires de mecircme nature on a le droit de les traiter suivant les proceacutedeacutes du chapitre III Cette reacuteponse peut ecirctre accepteacutee elle est cependant trop restrictive

Dira-t-on quune quantiteacute dechaleur et un travail sont de mecircme nature La reacuteponse qui ne va pas de soi serait volontiers neacutegative si ie travail se transforme facilement (trop facilement) egraven chaleur la transshyformation de chaleur en travail est loin decirctre aussi facile

On peut pourtant comparer par exemple le travail fourni par la middotmachine qui tire un train un jour dhiver et la quantiteacute de chaleur quelle fournit pour le chauffage de ce train On considegravere en effet avec de bonnes raisons que quantiteacute de chaleur et travail sont deux formes deux aspects dune mecircme grandeur leacutenergie Leacutenergie b neacutecessaire au egravehauffage du train est le tiers de leacutenergie a neacutecessaire agrave sa traction

b = j_ a 3

Bien eacutevidemment leacutecriture b lt a a une signific~tion et aussi leacutecriture a + b eacutenergie totale fournie par la machine

Nombreux sont les exemples de grandeurs qui tout en eacutetant disshysemblables en apparence et mecircme en reacutealiteacute sont cependant comparashybles les unes aux autres et mesurables avec une mecircme uniteacute comme le sont le travail et la chaleur dans lexemple ci-dessus

En reacutesumeacute 1deg) nous conserverons provisoirement lexpression grandeurs

(scalaires) de mecircme nature avec lassurance quelle entraicircne des eacutegalishyteacutes du type b = Agrave a

2deg) mais nous resterons conscients que de telles eacutegaliteacutes se relconshytrent aussi dans un cadre plus large

Cette neacutecessaire extension fera lobj~t du chapitre X ougrave seront introduites his grandeurs homogegravenes entre elles middot middotmiddot

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IV-middot CE QUON DIT ~

OU DEVRAIT DIRE

IV - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc

L~s mots longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume peuvent ecirctre employeacutes de diverses faccedilons

IV - 11 Ils peuvent concerner un objet physique deacutetermineacute

la longueur de cette route la vitesse de ce mobile agrave tel instant

Ils peuvent aussi ecirctre employeacutes indeacutependamment de tout objet physique

15 cm est unegrave longueur 70 kmlh est une vitesse excessive en ville

Dans ces exemples le mot longueur deacutesigne un eacuteleacutement dun ensemble lensemble des longueurs structureacute commeil a eacuteteacute dit plus haut par laddition la multiplication externe lordre Il en est de mecircme pour le mot vitesse

IV- 12 Mais ces-mecircmes mots peuvent aussi acceacuteder agrave un degreacute supeacuterieur dabstraction de mecircme quon dit la bonteacute le calme lhomoshytheacutetie on dit la longueur la vitesse le volume Ce langage est suscepshytible de deux interpreacutetations

bull Le concept de longueur employeacute agrave prppos de telle route particushyliegravere donne la longueur-de-la-route Du point de vue matheacutematique la longueur estune application par exemple dun ensemble de routes vers un ensemble de longueurs la vitesse est une application par exemshyple dun ensemble de veacutehicules en mouvement vers un ensemble de vitesshyses Si on note L et lJ ces applications

route x f longUgraveeur de la ~oUgravete x

auto y lJ v vitesse cie lauto y

ori eacutecrira alors f = r (x) v = ltU (y)

bull De mecircme middotque lhomme peut deacutesigner lespegravece humaine la lonshygueur pourrait deacutesigner lensemble des longueurs la vitesse lensemble des vitesses etc On eacutecrirait volontiers la Longueur la Vitesse middot cotnme on eacute_crit parfois lHomme

IV - 13 Il est agrave pegraveu pregraves impossible dans le langage courant de distinguer ces deux emplois (ceux de IV-- 11 et IV -12) intimement lieacutes et eacutegalement leacutegitimes

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Par contre bien que la confusion entre grandeur et mesure soit freacuteshyquente non seulement dans le langage usuel mais aussi heacutelas dans le langage matheacutematique il est important deacuteviter que les mots longueur vitesse etc soient employeacutes avec la signification de mesure

IV - 2 Deacutesignation des grandenrs

IV - 21 On a vu (III - 5) que la mesure dune grandeur b quand une uniteacute a est choisie est le nombre Agrave tel que

b =Agrave a

On peut deacutesigner cette grandeur aussi bien par b que par le produit Agravea quon eacutenonce en citant successivement le nombre Agrave et le nom a de luniteacute choisie

La longueur de ce segment est 3 centimegravetres Ce segment a pour longueur 3 centimegravetres Les formulations suivantes sont tout aussi acceptables

Ce segment est long de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres de longueur La Loire a 1000 kilomegravetres de long Cet enfant est acircgeacute de 8 ans Ce vin a 8 ans dacircge

IV - 22 On trouve dans les manuels des formes plus complishyqueacutees destineacutees peut-on supposer agrave attirer lattention sur le nombre Agrave

Si luniteacute de longueur est le centimegravetre la mesure de ce segment est 3 Si luniteacute est le centimegravetre la mesure de la longueur de ce segment

est 3 La mesure en centimegravetres de ce segment est 3

On peut reprocher agrave cette derniegravere formulation qui est tregraves employeacutee le risque decirctre interpreacuteteacutee comme suit par les enfants la mesure en centimegravetres est faite de centimegravetres juxtaposeacutes comme une bordure de trottoir est faite de pierres juxtaposeacutees Cette interpreacutetation risque de creacuteer la confusion entre le centimegravetre qui est une longueur et des segments de 1 centimegravetre de longueur

On devrait donc preacutefeacuterer lemploi du singulier la mesure en centishymegravetre de ce segment est 3 comme abreacuteviation de la mesure de ce segshyment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute est 3

On a parfois proposeacute dautres formulations Par exemple celle-ci la centimegravetre-mesure de ce segment est 3 Mais il faudrait dire la centimegravetre-agrave-la-seconde-par-seconde-mesure de lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur est 981 et lanneacutee-mesure de lacircge de cet enfant est 8

La notation mesab preacutesenteacutee en III- 63 est agrave la fois commode et complegravete

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IV - 3 Des formulations incorrectes

Le langage courant et le langage des manuels contiennent de nomshybreuses formes hybrides incorrectes ougrave sont confondues grandeur et mesure

IV- 31 Voici dabord des formulations raccourcies

Attention ce nest pas du 110 cest du 220 Pour cet appareil il faut des pellicules 24 x 36 La vitesse est limiteacutee agrave 50

De telles formulations sont un moindre mal le nom de luniteacute nest pas dit mais si on le cite tout est en ordre Du fait de lusage elles transmettent une information complegravete chacun sait quil sagit de 110 volts et 220 volts de 24 millimegravetres et 36 millimegravetres un panneau de limitation de vitesse indiquant 50 est agrave lire 50 kilomegravetres agrave lheure en France 50 miles per hour en Angleterre (agrave peu pregraves 80 kilomegravetres agrave lheure)

Certains corps de meacutetier utilisant toujours la mecircme uniteacute sousshyentendent geacuteneacuteralement le nom de celle-ci une planche de 20 une tocircle de 3 (1)

Il nest pas rare que le nom de luniteacute ne soit dit quen partie quand une revue technique eacutecrit des rails de 60 kilogrammes cest 60 kgm quil faut lire Chacun sait compleacuteter la locution 8 litres aux 100 middot

IV- 32 Les formulations donneacutees en IV- 22 sont lourdes et preacutesentent agrave lusage un danger lutilisateur raccourcit la mesure de la longueur de devient la longueur de Cest sans doute lorigine de phrases incorrectes tregraves employeacutees telles que

Si luniteacute est le centimegravetre la longueur de ce segment est 3

IV- 33 Lemploi pourtant fort naturel du verbe mesurer narrange rien

Ce segment mesure 3 centimegravetres Cette formulation est tregraves proche en effet de Ce segment a pour mesure 3 centimegravetres qui est une formushylation incorrecte

lylais qui osera refuser La Tour Eiffel mesure 320 megravetres

(1) Luniteacute est parfois perdue de vue Dans Il chausse du 45 luniteacute est le point Cette uniteacute de pointure est une uniteacute de longueur comprise entre 6 mm et 7 Ilm comme le montre le tableau ~uivant

Mesure en points 38 39 40 41 42 43 44 45

Mesure en centimegravetres 243 25 256 263 27 276 283 ~9

31

IV- 34 Soit a la longueur en centimegravetres de ce segment Cette formulation est peut-ecirctre la plus pernicieuse la longueur en centimegravetres dun segment est-elle autre chose que la longueur de ce segment

Que preacutetend-on deacutesigner par a Ou bien une longueur et il faut enlever ce en centimegravetres ou bien un nombre et il faut dire Soit a la mesure de ce segment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute de lonshygueur

Il y a lagrave une amorce de confusion pour ne pas dire une veacuteritable confusion entre longueur et mesure de cette longueur une certaine uniteacute eacutetant choisie

IV - 4 Des formulations simples tregraves acceptables

Les formulations les plus simples agrave condition quelles ne soient pas eacutequivoques sont les meilleures

Un carreacute de cocircteacute 3 centimegravetres cette formulation na jamais choshyqueacute personne et il faut sen feacuteliciter le cocircteacute est une longueur et 3 centishymegravetres est cette longueur

Un segment de 3 centimegravetres un jardin de 2 ares un bifteck de 100 grammes un bifteck de 8 francs un courant de 4 ampegraveres voilagrave qui est middot agrave la fois simple et correct si vous voulez la nature de la grandeur le nom de luniteacute vous renseigne si vous chegraverchez sa mesure avec cette uniteacute voyez le nombre middot

Terminons par les formulations suivantes

Ce segment est de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres la Loire a 1000 kilomegravetres cet enfant

a 8 ans middot Ce segment fait 3 centimegravetres vaut 3 centimegravetres Elles ne sont pas assez explicites pour que le puriste sache deacutecider

de leur correction Mais elles sont parfaitement claires et on ny confond pas grandeur et mesure Elles sont dun emploi tregraves freacutequent Qui reacuteussishyrait agrave les eacuteviter Qui oserait les bannir

IV- 5 Un langage normaliseacute

Il existe une orthographe et une syntaxe des symboles de grandeurs et duniteacutes Le lecteur qui souhaiterait une information plus deacutetailleacutee agrave leur propos la trouvera dans les publications de lAssociation franccedilaise de normalisation (1)

En particulier le simple bon sens commande deacuteviter dans leacutecrishyture deacutecimale des mesures de grandeurs les nombres qui comporteraient

(1) AFNOR tour Europe Ceacutedex7 -92080 PARIS LA DEacuteFENSE Voir en particulierles normes X02003 X02006 X02020

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une pleacutethore de zeacuteros soit agrave droite sil sagit dun nombre entier soit agrave gauche sil sagit dUgraven nombre deacutecimal Pour y parvegravenir on dispose de deux proceacutedeacutes

1deg) eacutecrire un tel nombre sous forme dun produit dont un facteur est une puissance de 10 dexposant positif dans le premier cas (exemshyple nombre dAvogadro IX- 61) neacutegatif dans le second (exemple constante de gravitation X- 61)

2deg) affecter dun preacutefixe le nom de luniteacute pour former une noushyvelle uniteacute mieux adapteacutee agrave la grandeur agrave mesurer On choisit habituelleshyment cette nouvelle uniteacute de telle sorte que la grandeur sexprime agrave laide dun nombre compris entre 01 et 1000

4

Ces preacutefixes sont preacutesenteacutes sur la couverture de la preacutesente brochure

33

vmiddot- RAPPORTS DE GRANDEURS

A voir deacutefini des multiplications externes menant agrave des eacutegaliteacutes du type b = Agrave a ougrave a et b sont des grandeurs et Agrave un reacuteel cela pose une double question

-est-il possible si AgravefUuml de diviser b par pour obtenir a cestshyagrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ~=a

- est-il possible si a nest pas une grandeur nulle de diviser b par a cest-agrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ]_=Agrave a

La reacuteponse agrave la premiegravere de ces deux questions est simple Du fait de la pseudo-associativiteacute (III - 63)

_l b = _l (Agravea) = ( _l x Agrave) a = aAgrave Agrave Agrave

En conseacutequence si lon donne une signification agrave leacutecriture ~ ce

ne peut ecirctre que ~ b Autrement dit diviser une grandeur par un

reacuteel Agrave non nul est la mecircme chose que la multiplier par middot~

La seconde question introduit leacutecriture 1_ jamais rencontreacutee jus-a

quici Tant que a et b sont des grandeurs de mecircme nature (et mecircme eacuteventuellement dans des cas plus larges comme on la dit en III- 93)

aucune raison ne soppose agrave ce quon deacutesigne par]_ le nombre Agrave tel que a

b = Agrave a On peut lappeler quotient de b par a mais nous preacutefeacuterons lappeler rapport de b agrave a

Le preacutesent chapitre sera consacreacute agrave de tels rapports

Dans l~ cas ougrave a et b sont deux grandeurs quelconques leacutecriture ~

recevra une signification plus geacuteneacuterale au chapitre VI ougrave elle ne deacutesishygnera plus en geacuteneacuteral un nombre nous lappellerons quotient de b par a en eacutevitant de lappeler rapport Lusage ne respecte pas toujours cette distinction (voir par exemple VI - 66)

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V __ 1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a

V - 11 On vient den donner la deacutefinition cest le nombre de

leacutegaliteacute b = a ougrave a nest pas une grandeur nulle on leacutecrit_ ou a

ba Dans ces conditions les eacutegaliteacutes ]_ = et b = a sont eacutequivashy

a lentes En particulier la mesure de b quand on prend a pour uniteacute est le rapport ]_ (voir III - 5) en effet que a soit pris pour uniteacute cela impUumlshy

a que quil nest pas la grandeur nulle

Cest bien la notion de rapportde deux grandeurs quon emploie dans des phrases telles que

- Cette table est trois fois plus longue que large - Le deacutebit moyen du Rhocircne agrave Beaucaire est cinq fois celui de la

Seine agrave Mantes - Lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur agrave 2600 kilomegravetres daltitude

est la moitieacute de ce quelle est au sol Le poids dun corps y est lui aussi la moitieacute de ce quil est au sol

On reconnaicirctra en 3 5 12 des rapports de deux grandeurs Il en est de mecircme pour le nombre 112 dans la moitieacute du parcours et pour le nombre 14 dans un quart dheure

V - 12 Rapports de grandeurs et rapports de mesures La grandeur a neacutetant pas nulle mesurons la grandeur ben prenant

a pour uniteacute soit sa mesure b = a

La grandeur k neacutetant pas nulle mesurons a et b en prenant k pour uniteacute soient a et 3 leurs mesures

a=ak b=3k

Puisque b =a b peut seacutecrire (a k) gracircce agrave la pseudo-associashytiviteacute de III - 63

b = (a) k

Cette eacutegaliteacute exprime que le nombre a est la mesure de b quand on prend k pour uniteacute mesure qui est 3 Ainsi a = 3

Puisque a nest pas la grandeur nulle le nombre a nest pas nul donc

Le rapport de la grandeur b agrave la grandeur non nulle a est eacutegal au

rapport 1 des mesures avec la mecircme uniteacute de b et a et cela quelle queCi

soit cette uniteacute

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V - 13 1reacutesute de ce qui preacutecegravede que le rapport de b agrave a peut prendreles formes suivantes

b (3k et Ji a ak a

Exemple a = 5 cm b = 3 cm

Le rapport ~ est un nombre qui peut seacutecrire indiffeacuteremment ~ ou

0 6 ou 30 ou 3 cm ou 30 mm ou mecircme 0bull03 m etc Les deux premiegraveres middot50 5 cm 50mm 50 mm

de ces eacutecritures sont eacutevidemment les plus maniables

Ainsi de mecircme quon peut remplacer leacutecriture ~ ~ ~ par ~on peut remplacer leacutecriture ~ par ~On a simplifieacute par la grandeur k

comme on simplifie par 5

Cette simplification traduit le fait que le rapport de deux grandeurs est indeacutependant du choix de luniteacute avec laquelle on les mesure

V- 14 Commoditeacute demploi de la notation 2 a

Bornons-nous agrave un exemple

Le produit des d~ux rapports ~ et ~ ougrave a b c sont des grandeurs

de mecircme nature b etc eacutetant distinctes de la grandeur nulle est eacutegal agrave L c

comme ce serait le cas si a b c eacutetaient des nombres En effet une uniteacute eacutetant choisie et a (3 Y eacutetant les mesures de a b c respectivement les

rapports ba et _ sont les nombres (3a et Ji leur produit est donc~ qui c Y Y

nest autre que L c

V - 15 En reacutesumeacute

1) Le rapport dune grandeur agrave une autre est la mesure de la preshymiegravere quand on prend la seconde pour uniteacute

2) Ce rapport est aussi le rapport de la mesure de la premiegravere agrave la mesure de la seconde avec la mecircme uniteacute quel que soit le choix de cette uniteacute

V - 2 Proportionnaliteacute

Exemple 1 Si les peacuterimegravetres de trois carreacutes ont pour longueurs Ptbull p 2 p 3 et si c11 c2 c3 sont les longueurs respectives de leurs cocircteacutes

Ct Cz c3 - =- =- = 025 Pt Pz P3

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Au deacutebut de la rubrique APPLICATIONS LINEacuteAIRES (MOTS IV) agrave propos du mecircme sujet nous avons adopteacute la mecircme eacutecriture Mais elle ne comportait que des nombres c1 c2 c3 deacutesignaient les mesures des cocircteacutes avec une certaine uniteacute et p1 p2 p3 les mesures des peacuterimegravetres avec cette

uniteacute Ici c1 nest pas un nombre p 1 non plus mais c1 est tin nombre Pt

On dit

La suite des longueurs c1 c2 c3 est proportionnelle agrave la suite des longueurs Ptgt p 2 p 3 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 025

Dune faccedilon geacuteneacuterale Etant donneacute des carreacutes les longueurs de leurs cocircteacutes sont proportionnelles aux longueurs de leurs peacuterimegravetres

Ou plus simplement leurs cocircteacutes sont proportionnels agrave leurs peacuterishymegravetres

On dit aussi bien leurs peacuterimegravetres sont proportionnels agrave leurs cocircteacutes

On se permet mecircme dalleacuteger encore par lemploi du singulier le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel agrave son cocircteacute Une telle formulation est dangereuse car elle masque le fait que ce cocircteacute doit ecirctre consideacutereacute comme une variable agrave deacutefaut de quoi elle serait incompreacutehensible Elle signifie que le peacuterimegravetre est une fonction lineacuteaire du cocircteacute x--+ 4x bull

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi bien agrave propos de granshydeurs de mecircme nature quagrave propos de nombres

Exemple 2 Si lon emploie pour la confection dun gacircteau pour 4 personnes une masse a de farine un volume v deau un nombre n dœufs et une masse b de sucre pour 10 personnes il faut une massemiddot a de farine un volume v deau n œufs et une masse b de sucre qui veacuterifient au moins approximativement

a v n b 10a=v-=li=li=4

La suite a v n b 10 qui comporte des nombres et des granshydeurs de natures diverses est dite proportionnelle agrave la suite a v n b 4 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 25

Dans lexemple de mecircme type preacutesenteacute en IX- f de la rubrique PROPORTIONNAJITEacute (MOTS IV) on avait envisag~ des suites de nomshybres a v b et a v et b eacutetaient des mesures

Remarques

1) De leacutegaliteacute a = L peut-on deacuteduire leacutegaliteacute a = iL On ne a v middot v v

peut reacutepondre agrave cette question tant quon na pas donneacute une significashy

tion aux eacutecritures iL et agrave ougrave a et v dune part a et v dautre part ne v v sont pas de mecircme nature quand on donne celle de VI la reacuteponse est affirmative

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De toute faccedilon a et v sont des nombres mais l et a nen sont a v middot v v

pas Nous reparlerons incidemment del et a en X- 51 v v

2) Reacuteponse analogue agrave la question De leacutegaliteacute ccedilE_ = ~ middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middot middot a v peut-on deacuteduire av = av En VII nous preacutesenterons des produits de grandeurs

V - 3 Taux dincertitude

Voici un usage important en physique du rapport de deux granshydeurs

On sait que le mesurage dune grandeur est affecteacute dune incertishy tude (II- 12) On appelle taux dincertitude le rapport de lincertitude

au module de la grandeur elle-mecircme ou ce qui revient pratiquement au mecircme (1) le rapport de lincertitude agrave leacutevaluation du module obtenue par le mesurage

Ainsi si la reacutesistance dun conducteur est 937 ohms agrave 01 ohm pregraves

le taux dincertitude est ~317 soit agrave peu pregraves 0001

Naturellement si lon donne une interpreacutetation probabiliste de lincertitude le taux dincertitude doit ecirctre interpreacuteteacute de faccedilon analoshygue

V - 4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs

V- 41 Un rendement sexprime par un nombre Celui dun moteur eacutelectrique est le rapport de leacutenergie meacutecanique quil fournit agrave leacutenergie eacutelectrique quil a fallu lui fournir Il est par exemple 095 Le rendement dun moteur thermique est de lordre de 13

V - 42 Titre dun alliage dune solution Si une masse m dune substance est contenue dans un meacutelange de

masse M le titre (2) de cette substance dans ce meacutelange est le rapport

~ Il est eacutevidemment compris entre 0 et 1 Un alliage dor et de cuivre

de titre 0835 contient 835 grammes dor par kilogramme dalliage Cette deacutefinition rend compte du fait quil y a proportionnaliteacute entre

les masses m1o m2 m3 bullbullbull dor et les masses dalliage correspondantes Mto M2 M3middotmiddotmiddot

(1) Cela revient pratiquement au mecircme parce quon suppose que lincertitude est petite devant le module de la grandeur si tel neacutetait pas le cas la qualiteacute du mesurage serait tregraves meacutediocre et ces notions deviendraient sans inteacuterecirct

(2) On dit parfois titre massique par opposition agrave titre volumique

38

V- 43 Echelle dune carte Si le segment de droite qui joint deux points dune carte a pour lonshy

gueur a et si le segment quil repreacutesente sur le terrain est horizontal et a

pour longueur b leacutechelle de la carte est le rapport ~

Si on lit 1 cm sur la carte repreacutesente 2 km sur le terrain ou

plus simplement 1 cm pour 2 km leacutechelle est le rapport J~ 1nombre qui peut seacutecrire On trouve parfois leacutecriture

200 000 1 cm 2 km dans laquelle on peut consideacuterer que le signe traduit le mot pour (ou ses eacutequivalents dans des langues eacutetrangegraveres) mais aussi quil est le signe habituel de la division

Les rouages dune montre se dessinent par exemple agrave leacutechelle 10

nombre quon eacutecrit aussi bien 1 cm ou mecircme 1 cmmm ce quon lit 1 mm

1 centimegravetre par millimegravetre

V - 44 Pente dune route La pente de la route [OM] est le rapport de la deacutenivellation qui est

la longueur du segment [PM] agrave la longueur du segment horizontal [OP] (1) Elle est par exemple 005 nombre quon lit souvent 5 0o On adopte aussi un langage consideacutereacute comme plus parlant analogue agrave celui quon vient de rencontrer agrave propos deacutechelle dune carte la pente

de cette route est 51c ou 5 cmm celle de cette voie ferreacutee est

6 mmm La pente des conduites deacutevacuation des eaux useacutees ne doit pas ecirctre infeacuterieure agrave 1 cmm

V- 45 Rapports trigonomeacutetriques Le rapport ~~ qui preacutecegravede

nest autre que la tangente de langle que fait la route avec un plan horishyzontal

Cet angle pourrait aussi bien ecirctre caracteacuteriseacute par son sinus ~~ ou

par son cosinus g~ Ces trois rapports sont appeleacutes rapports trigonoshy

meacutetriques de cet angle

PM(1) On deacutesigne parfois par pente dune route le rapport OM

39

V - 46 Le radian

La mesure des angles peut poser selon le type des angles consideacuteshyreacutes des problegravemes deacutelicats Nous nous bornerons aux cas simples de langle de secteur de langle de paires de demi-droites et de langle de rotations cineacutematiques (voir SECTEUR-ANGLE MOTS V)

On peut mesurer ces angles avec les uniteacutes usuelles degreacute grade tour (angle) droit mais aussi avec le radian

x

Soit des cercles concentriques et une demi-droite issue de leur centre commun 0 qui les coupe en A A A

Une autre demi-droite Ox occupe initialement la mecircme position puis tourne autour de 0 dans un certain sens elle sarrecircte en une posishytion quelconque ougrave elle coupe les cercles en M M M Soit f f f les longueurs des trajets quont deacutecrits les points dintersection de Ox avec ces cercles On sait que ces longueurs sont proportionnelles aux

longueurs r r r des rayons i f_ f sont donc un mecircme r r r

middot nombre a Ce nombre est la mesure de f quand on prend r pour uniteacute Il caracteacuterise langle dont a tourneacute Ox Dire que a = 03 ou a = 12 cest donner si on connaicirct le sens dans lequel a tourneacute la demi-droite Ox une information complegravete quant agrave la position sur laquelle elle sest arrecircteacutee et sur le nombre de fois (eacuteventuellement nul) ougrave elle est passeacutee par cette position auparavant

Pour preacuteciser cette caracteacuterisation en termes dangles on donne la deacutefinition suivante le radian est langle dont a tourneacute Ox lorsque Ma parcouru un arc de longueur r Ainsi langle dont a tourneacute Ox dans les exemples ci-dessus est langle 03 radian langle 12 radians

Cette deacutefinition est eacutequivalente agrave la suivante Le radian est langle des paires de demi-droites issues du centre dun cercle qui interceptent sur celui-ci un arc dont la longueur est celle du rayon du cercle

Leacutetymologie du mot radian (radius rayon) eacutevoque cette deacutefishynition

40

On visualisera facilement le radian un peu moins de 60deg Sur les figures ci-dessous la corde [AB] et larc AM ont mecircme longueur que le-rayon Langle AOM est 1 radian

Il est facile decirctre plus preacutecis si Ox a tourneacute dun tour Ma par~ couru le cercle en entier une seule fois parcours dont la longueur est 21rr le tour cest-agrave-dire 360deg est donc 21r radians 360deg est compris entre 628 radians et 629 radians et le radian est compris entre 57deg et 58deg

Langle plat est 1r radians Langle droit est radian soit environ

157 radian

Sur la quatriegraveme des figures ci-dessus larc AMN de mecircme lonshygueur que la diagonale [AC] du carreacute OADC est tel que AoN est Jiuml radian ou 1 414 radian un peu moins dun droit puisque le droit est 157 radian

Lun des inteacuterecircts du radian reacuteside dans la simpliciteacute de leacutegaliteacute f= ar ougrave fest la longueur dun arc de cercle de rayon r intercepteacute par

un secteur au centre dangle a radians dans cette eacutegaliteacute a est un nomshybre non un angle

La radian est dun usage commode en analyse en topographie en physique

V- 47 Le steacuteradian La deacutefinition de cette uniteacute dangle-solide est calqueacutee sur celle du radian

Soit une sphegravere de centre 0 et une portion S de cetie surface Les demi-droites issues de 0 et sappuyant sur le contour deS deacuteterminent sur des sphegraveres de centre 0 et de rayons r r r des surfaces geacuteomeacuteshytriquement semblables agrave S On sait que les aires a a a de celles-ci sont proportionnelles aux aires des sphegraveres donc aussi aux aires des carshyreacutes dont les cocircteacutes sont r r r Permettons-nous danticiper agrave propos de produits de longueurs (voir VII - 3) pour utiliser un reacutesultat bien connu les aires de ces carreacutes sont r2 r 2 r2

_ ~ a sont donc un m~me nombre cp Ce nombre est r2 r2 r2

dautant plus grand que la surfaces est vue de 0 sous un angle-solide plus grand Il est la mesure de laire a quand on prend pour uniteacute laire dun carreacute de cocircteacute r

Dire middotcp = 07 cest faire connaicirctre langle-solide sous lequel on voit du point 0 la surface S cet angle-solide est 0 7 steacuteradian

Par deacutefinition le steacuteradian est langle-solide sous lequel on voit du centre dune sphegravere une portion de celle-ci dont laire est celle dun carreacute ayant pour cocircteacute le rayon de la sphegravere

On sait que laire dune sphegravere de rayon rest 47rr2 un angle-solide est donc infeacuterieur ou eacutegal agrave 411 steacuteradians Langle-solide dun secteur triegravedre tri-rectangle (voir SOLIDE II- 1 MOTS V) est le huitiegraveme de 411 steacuteradians cest-agrave-dire 157 steacuteradian environ

V- 48 Lensoleillement de lAunis est de 2 200 heures par an Si enmiddot un lieu donneacute au cours dun intervalle de temps de dureacutee D le soleil na brilleacute en tout que pendant une dureacutee d lensoleillement moyen

pendant cet intervalle est le rapport g 2 200 heures par an est un nombre agrave peu pregraves eacutegal agrave ~ puisquun

an cest presque 8 800 heures

Le record dutilisation des Boeing appartient agrave la Swissair pour un appareil il est en moyenne de 137 heures par jour Il sagit lagrave encore dun rapport de deux dureacutees qui est 057 environ

V - 5 Ougrave le rapport de deux grandeurs est indispensable

Bornons-nous agrave trois exemples

V- 51 Lintensiteacute agrave un certain instant ou intensiteacute instantaneacutee

dun courant eacutelectrique alternatif peut seacutecrire lm cos 21r f ougrave lm est

lintensiteacute maximum (celle du courant agrave linstant-origine) et ougrave t et T sont des dureacutees T est la peacuteriode du courant et t est la dureacutee eacutecouleacutee depuis linstant-origine jusquagrave linstant envisageacute Lintensiteacute est foncshytion de t

Leacutecriture lm cos t leacutecriture lm cos 271 t seraient incompreacutehensibles car on ne saurait donner une signification au cosinus dune dureacutee Par

contre 271 f eacutetant un nombre on peut prendre son image par la foncshy

tion cosinus dont la source est R

Bien que les mots cosinus sinus deacutesignent des fonctions de source Ret de but R on dit que lintensiteacute dun tel courant est fonction sinusoiumlshydale du temps ou par raccourci que lintensiteacute est sinusoiumldale ou mecircme que le courant est sinusoiumldal

V- 52 Le calcul de ce que devient un capital placeacute agrave un taux donneacute fait eacutegalement intervenir le rapport de deux dureacutees

Si un capital ou un prix augmente de 15 OJo chaque anneacutee cest-agraveshydire sil est multiplieacute par 115 et sil est Cagrave une Ccedillate donneacutee au bout dune anneacutee il devient C x 115 de deux anneacutees (C x 115) x 115 soit C x (115)2 etc Au bout den anneacutees il est C x (115)n

Lexposant n nest pas une dureacutee il est la mesure de la dureacutee quand on prend lanneacutee pour uniteacute middot

Bien que lexpression fonction exponentielle deacutesigne une foncshytion dont la source est un ensemble de nombres on dit que le capital est une jonction exponentielle du temps

V- 53 Chacun connaicirct lattrape-nigaudsuivant ougrave se preacutesente un calcul analogue

Une feuille de neacutenuphar met une dureacutee d pour doubler son aire Si d est par exemple une journeacutee et sil faut agrave la feuille une semaine pour recouvrir leacutetang il lui faut 6 jours pour en recouvrir la moitieacute(et non 35)

Soit K laire de la feuille agrave un moment donneacute et A(x) son aire quand il sest eacutecouleacute une dureacutee x La fonction A est une fonction exposhynentielle

A(x) = K x 2d

Lexposant du nombre 2 est neacutecessairement un nombre Il ne saushyrait ecirctre par exemple une dureacutee Il est la mesure de la dureacutee x quand on prend d pour uniteacute

Aux dates 0 d 2d 3d lexposant ~ est 0 1 2 3 et la feuille a

pour aires K 2K 4K 8K

43

44

DEUXIEgraveME PARTIE

Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacuteesmiddot

VI - QUOTIENTS DE GRANDEURS

VI -1 Grandeur proportionnelle agrave une autre

Quand une substance est homogegravene() si on en preacutelegraveve une partie de volume v0 llt1 masse in0 de cette partie ne deacutepend pas du choix de celle-ci Il en reacutesulte que si une partie a un volume v1 triple de v0 sa masse m1 est triple de m0 bull

Dune faccedilon geacuteneacuterale le rapport mo des mas~es de deux corps ml

dune mecircme substance homogegravene est eacutegal au rapport Vo de leurs valushy Vl

1mes ci-dessus ces deux rapports eacutetaient mo et Vo cest-agrave-dire - 3mo 3Vo 3

A partir de leacutegaliteacute mo = Vo on est tenteacute deacutecrire cette autre ml vl

eacutegaliteacute mo = ml mais on na donneacute aucune signification aux eacutecri-Vo Vl

(1) Le mot homogegravene a ici un sens tout autre que dans la locution grandeurs homogegraveshynes entre elles mentionneacutee agrave la fin de Ill et preacutesenteacutee en X middotmiddot

45

tures telles que mo ougrave figurent deux grandeurs de natures distinctes Vo

(voir la remarque fin de V - 2)

On peut cependant mettre en regarcL m0 et v0 m1 et v1 et mecircme consideacuterer plusieurs morceaux de la mecircme substance

mo ml m2 ma

Vo vl v2 Va

Le tableau ainsi obtenu possegravede la proprieacuteteacute suivante le rapport de deux termes de la premiegravere suite quels qlils soient est eacutegal au rapport des deux termes correspondants de la seconde

Cette proprieacuteteacute est analogue agravecelle que preacutesentent deux suites proshyportionnelles de nombres par exemple

6 18 9 2

4 12 6 43

A cause de cette analogie on dit que la suite des masses est proporshytionnelle agrave la suite des volumes ou que la suite des volumes est proporshytionnelle agrave la suite des masses ou que les deux suites sont proportionshynelles

De faccedilon abreacutegeacutee on dit que la masse dune substance homogegravene est proportionnelle agrave son volume ce qui signifie que la masse est foncshytion lineacuteaire du volume celui-ci eacutetant consideacutereacute comme une variable Reacuteciproquement le volume est fonction lineacuteaire de la masse

On a deacutejagrave employeacute un tel langage mais agrave propos de deux grandeurs de mecircme nature (V- 2) le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel au cocircteacute de celui-ci

Avec les noqtbres des suites proportionnelles donneacutees plus haut on eacutecrit des eacutegaliteacutes

amp = 18 = 2 = _2_ = 1 5 4 12 6 43

Avec les cocircteacutes et peacuterimegravetres de carreacutes on eacutecrit aussi des eacutegaliteacutes

~ = c2 = ca = 025 P1 P2 Pa

middotLanalogie serait complegravete si les quotients mo m1 m2 v0 v1 v2

recevaient une deacutefinition et pouvaient ecirctre deacuteclareacutes eacutegaux Ils ne sont pas des nombres Peuvent-ils ecirctre consideacutereacutes comme des grandeurs Cette question est lobjet dece qui suit

46

VI - 2 Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume

VI-- 21 Envisageons une opeacuteration noteacutee II] qui agrave tout couple constitueacute dune masse et dun volume non nul associe une certaine grandeur nouvelle dont on deacutecide quelle est

Proprieacuteteacute A proportionnelle agrave la masse cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la masse ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave volume consshytant on multiplie la masse Jtar un nombre alors elle est elle aussi mul- middot tiplieacutee par ce nombre

Proprieacuteteacute B inversement proportionnelle au volume ce qui signishyfie que si agrave masse constante on multiplie le volume par un nombre ncin nul elle est multiplieacutee par linverse de ce nombre

(Cette double deacutecision nest pas arbitraire elle est telle quagrave des morceaux dune mecircme substance homogegravene est associeacutee une valeur unishyque de cette grandeur)

Choisissons une masse et un volume tous deux non nuls m0 v0 car ils serviront bientocirct duniteacutes de masse et de volume Appelons Po la grandeur nouvelle associeacutee au couple (m0 v0)

Po = mo II Vo bull

Soit un corps de masse rn et de volume v Appelons p la granshydeur nouvelle associeacutee au couple (rn v)

p=m[Dv

La connaissance de m et de entraicircne celle de la mesure 01 dem0 rn quand on prend m0 pour uniteacute

rn= am0

La connaissance de v et de v0 entraicircne celle de la mesure 3 de v quand on prend v0 pour uniteacute

v = 3 v0

On peut alors dresser le tableau suivant

Masse Volume Grandeur nouvelle

(1) mo Vo Po

(2) rn Vo 01 Po

(3) mo v 173 Po

(4) rn v 01 d73

p0 c est-a- 1re p

47

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B

On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B

p = ~ (ex p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en

III - 63 agrave propos de longueurs et accepteacutee pour toute grandeur - ex

P - 73 Po

bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

p = ex( ~ p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute

P = ~ Po

La grandeur p qui est m [TI v seacutecrit si lon se souvient que m = exm0 et v = 3v0 des deux faccedilons suivantes

p = (ex mo) III (3 Vo) P = ~ Po

ce qui permet de consideacuterer le nombre ~ comme la mesure de p

quand on prend Po cest-agrave-dire m 0 III v0 pour uniteacute

Si par exemple m0 est le gramme et v0 le centimegravetre cube (abreacuteshyviations g et cm3

) la grandeur f-tp relative par exemple agrave une pierre de 300 grammes et de 120 centimegravetres cubes seacutecrit de deux faccedilons

soit f-tp = (300 g) III (120 cm3 )

300soit p = (g [] cm3)p 120

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux eacutecritures m v m0 middot v0 g et cm3 et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe III et supposons quil soit celui de la division dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishy

tures a m 0 III 3 v0 et ~ (mu III v0) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration III est une division et que lamiddot nouvelle grandeur p est deacutefinie comme le quotient de la masse m par le volume v Et on convient de remplacer

leacutecriture m III v par leacutecriture m Ainsi v

P = ex m 0 = ~ x mo 3 Vo 3 Vo

f-tp = _1QQ_g__ = 25 _L 120 cm3 cm3

48

Ces conventions sont justifieacutees par la commoditeacute du calcul et du langage Comme celles de III - 7 elles sont sans inconveacutenient matheacuteshymatique Et sans inconveacutenient peacutedagogique La simpliciteacute des eacutecritures ne doit pas masquer la signification de celles-ci

VI - 22 Lorsque les masses m0 et m et les volumes v0 et v des lignes (1) et (4) du tableau ci-dessus sont relatifs agrave deux morceaux dune mecircme substance homogegravene on sait (VI- 1) que les suites (m0 m) et (v0 v) sont proportionnelles

Les nombres a et 3 des eacutegaliteacutes m = a m0 v = 3 v0

sont donc eacutegaux et la grandeur p attacheacutee agrave m et v (ligne 4) est eacutegale agrave la grandeur p0 attacheacutee agrave m0 et v0 (ligne 1)

Plus geacuteneacuteralement les eacutecritures mo m1 m2 de la fin de Vo V1 V2

VI - 1 ont reccedilu comme on le souhaitait une signification de plus elles deacutesignent la mecircme grandeur comme on le souhaitait eacutegalement

mo = ml = m2 = p Vo vl v2

La grandeur p qui est la mecircme pour tout morceau dune subsshytance homogegravene peut ecirctre consideacutereacutee comme attacheacutee agrave celle-ci

Il existe dans la langue franccedilaise un qualificatif qui sadapte tregraves bien agrave la situation une substance A est dite 3 fois plus dense quune autre B si agrave volume eacutegal la masse de A est triple de celle de B ou aussi bien si agrave masse eacutegale le volume de A est le tiers du volume de B La grandeur attacheacutee agrave A est triple de la grandeur attacheacutee agrave B

La grandeur p porterait avantageusement le nom de densiteacute() Elle a porteacute longtemps le nom de masse speacutecifique comme eacutetant un des caractegraveres de la substance envisageacutee Elle porte leacutegalement celui de masse volumique

Malgreacute ces deux locutions ougrave un qualificatif suit le mot masse elle nest pas une masse Peut-ecirctre atteacutenuerait-on cet inconveacutenient par lemploi dun trait dunion il serait sage deacutecrire masse-volumique comme on eacutecrit force-eacutelectromotrice grandeur qui nest pas une force

VI- 23 En deacutefinitive 1deg) Si un corps a une masse m et un volume v sa masse volumishy

que p est donneacutee par p = m v

(1) La densiteacute dune substance homogegravene solide ou liquide est par deacutefinition le rapport de deux masses celle dun certain volume de cette substance agrave celle dun mecircme volume deau prise agrave 4degC Elle est donc le rapport de la masse volumique de la substance agrave celle de leau prise agrave 4degC Cette derniegravere eacutetant lgcm la densiteacute dune substance est donc la mesure de sa masse volumique avec luniteacute gcm

49

On dit quon a diviseacute une masse par un volume

ft est la masse volumique de la substance qui le constitue sil est homogegravene sil ne lest pas ft est sa masse volumique moyenne

2deg) Si m a pour mesure a quand on prend m0 pour uniteacute et si v a pour mesure 3 quand on prend v0 pour uniteacute ft a pour mesure a middot m middot

-3 si on prend ~ pour uniteacute de masse volumique Vo

Par exemple m0 et v0 eacutetant respectivement le gramme et le centishymegravetre cube on creacutee agrave partir deux une uniteacute de masse volumique le gramme par centimegravetre cube cest la masse volumique dun corps de masse 1 gramme et de volume 1 centimegravetre cube On leacutecrit gcm3

bull

t Les suites ci-contre sont proportionnelshyles les quotients gcml kgdm3

tm3

m3 deacutesignent donc la mecircme uniteacute de masse volumique On leacutenonce gramme par censhy

timegravetre cube kilogramme par deacutecimegravetre cube tonne par megravetre cube La masse volumique de laluminium est aussi bien 27 gcml que 27 kgdm3 ou 27 tm3

bull

VI - 3 Un autre exemple quotient dun volume par une masse

Tout au long de VI - 2 on agraveurait aussi bien diviseacute des volumes par des masses que des masses par des volumes middot

Une pierre de 120 centimegravetres cubes a une masse de 300 grammes

Elle a un volume massique de j~g cm3g soit 04 cm~g Si cette

pierre est homogegravene tout morceau de masse 1 g a un volume de 04 cm3

bull

VI - 4 Quotient de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee Soit B lensemble des grandeurs (autres que la grandeur nulle) de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee On deacutesigne comme de coutume leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave

(1) En cegrave qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III 4 (2) cette preacutecaution eacuteie langage est rerieacuteiue riecirciessaire par les restrictions quon estpaifois obligeacute dapporter agrave la deacutefinition des opeacuterations restrictions quon mentionnera en VIII- 1

50

celles de VI- 21 on appelle cdle-ei quotient de a par b(I) on dit quon a diviseacute a par b et on eacutecrit

c = b

(Il peut se faire que c soit un nombre le quotient de a par b quon peut alors appeler rapport a eacuteteacute lobjet du chapitre V)

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs

deacutefinies par les quotients ~ et ~ sont de mecircme nature)

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme unishyteacutes puis simplifiant les eacutecritures comme en VI - 2 on eacutecrit successiveshyment a= ah b=(Jk ((J nest pas nul puisque b nest pas la granshydeur nulle)

c = = oth = x J_b (Jk (J k

ce qui exprime que la grandeur c a pour mesure a quand on prend7f

~ pour uniteacute

On eacutecrit aussi bien cette miteacute hlk On leacutenonce h park On dit quon a deacutefini une uniteacute deacuteriveacutee2) ou composeacutee agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave choisir un terme de la langue usuelle pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c ou agrave en creacuteer un

Remarque Pourqugraveoi leacutecriture ~ na-t-elle de signification que

si la grandeur b nest pas nulle Quadvient-il si variable et susceptishyble decirctre nulle elle lest effectivement

Prenons deux exemples

1deg) si avec un volume donneacute a de meacutetal on fait un fil dont laire

de la section est b on en obtient une longueur ~ dautant plus

grande que b est plus petite Mais si laire b est nulle on ne peut pas parshyler de longueur puisquil ny a pas de fil

(1) Par convention le quotient de deux grandeurs positives est positif on en deacuteduit que le quotient de deux grandeurs de signes contraires est neacutegatif et que le quotient de deux grandeurs neacutegatives est positif middot

(2) On se gardera de confondre le sens preacutesent de ladjectif deacuteriveacutee avec le sens qua cet adjectif dans fonction deacuteriveacutee dune fonction Sur ce second sens voir Xl - 14

2deg) la masse volumique dune substance homogegravene est ~ ougrave a et

b sont respectivement la masse et le volume dun eacutechantillon que nous allons dire non vide de cette substance Pour un eacutechantillon vide a est la masse nulle b est le volume nul mais on ne saurait parler de sa masse volumique puisquon ne saurait dire de quelle substance il sagit

Dune maniegravere plus matheacutematique la grandeur b neacutetant pas nulle

les eacutegaliteacutes ~ = e et a= be contiennent les mecircmes informations (le

produit be de deux grandeurs sera deacutefini en VII) Si b est nulle le proshyduit be lest aussi quelle que soit e

Dans le premier exemple la grandeur a nest pas nulle et leacutegaliteacute a = be est fausse Dans le second a est nulle et leacutegaliteacute est vraie quelle

que soit e Dans les deux cas leacutecriture ~ qui devrait deacutefinir e na

pas de signification

Le traitement des eacutecritures est formellement le mecircme que si les letshytres deacutesignaient des nombres

VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI- 51 Proportionnaliteacute Le proceacutedeacute de deacutefinition dune granshydeur e comme quotient dune grandeur a par une autre b est particuliegravereshyment bien adapteacute agrave toute situation ougrave comme en VI - 22 a est proshyportionnelle agrave b

Dans la suite deacutegaliteacutes m m mmiddot_=_=~=p Vo Vt Vz

p apparaicirct comme coefficient de proportionnaliteacute de la suite (m0 m1 m2) agrave la suite (v0 v1 v2) Mais ce coefficient est une grandeur et non un nombre alors que les coefficients de proportionnaliteacute rencontreacutes au chapitre V eacutetaient des nombres

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi aiseacutement avec des granshydeurs de natures distinctes quavec des grandeurs de mecircme nature et quavec des nombres La phrase y est proportionnel agrave x construite au singulier sinterpregravete ainsi

1deg) x et y sont deux variables deacutependant lune de lautre

2deg) cette deacutependance est expliciteacutee par y = Kx ougrave

bull si les variables x et y sont des nombres K est un nombre consshytant on est en preacutesence de 1 application lineacuteaire x _ Kx middot

bull si les variables x et y sont des grandeurs de mecircme nature ce qui eacutetait lobjet du chapitre V K est encore un nombre constant lapplicashytion x _ Kx est encore dite lineacuteaire

52

bull si les variables x et y sont des grandeurs de natures distinctes K est cette fois-ci une grandeur constante et leacutecriture Kx est celle dun produit de deux grandeurs objet de VII Par exemple pour cles morshyceaux daluminium le volume v eacutetant consideacutereacute comme variable la masse est limage de v par lapplication v (27 gcm3

) x v quon dit encore lineacuteaire middot

VI - 52 En labsence de proportionnaliteacute des moyennes Mecircme en labsence de proportionnaliteacute les quotients de grandeurs

preacutesentent de linteacuterecirct

Si un corps a une masse m et un volume v le quotient m est sa v

masse volumique moyenne le quotient Y est son volume massique m

moyen Leacutepithegravete rrioyen est inutile si le corps est homogegravene

Si un mobile a parcouru une distance a pendant une dureacutee b le

quotient ~ est sa vitesse moyenne leacutepithegravete est inutile si le mouveshy

ment est uniforme

VI- 53 Un quotient tregraves employeacute baz- ba1 relatif agrave une granshyz- 1

deur a fonction dune grandeur b Leacutetude d~un pheacutenomegravene physique comporte bien souvent la

recherche des grandeurs dont deacutepend une grandeur a pour eacutetudier le rocircle de chacune delles on les fixe toutes (autant quil est possible) agrave lexception de lune delles b puis on donnemiddot agrave b diffeacuterentes valeurs b1 bz b3 et on observe les valeurs a1 a2 a3 correspondantes que prend a

Pour fixer les ideacutees choisissons bz plus grand que b1bull La diffeacuterence bz- b1 (deacutefinie comme eacutetant la grandeur quil faut additionner agrave b1 pour obtenir bz) est appeleacutee accroissement que prend la variable b quand elle passe de b1 agrave bi

De trois choses lune

a

~middot+-------------~ az est plus grand que a1 leacutecart az- a1 se preacutesente comme une

augmentation

53

a

a

est plus petit que a1 leacutecartat+------ a2 se preacutesente comme une a1 a2

diminution

1 b0

Dans les trois cas a2 - a1 est appeleacute accroissement de a quand b passe de b1 agrave b2bull Cest en effet loccasion dutiliser les grandeurs neacutegatishyves vues en III- 72 et dadopter le mecircme langage que si a eacutetait foncshytion numeacuterique de b laccroissement a2 - a1 est positif dans le premier cas nul dans le second neacutegatif dans le troisiegraveme

Fixons bto donc aussi a1bull Le quotient ba2 -ab1 permet dappreacutecier 2- 1

la faccedilon dont se modifie a au voisinage de a1 quand b se modifie au voishysinage de bto et cela dautant mieux que lon choisit b2 plus proche de b1 (cest lagrave une ideacutee intuitive agrave laquelle leacutetude des pheacutenomegravenes physiques nous a habitueacutes)

Bien sucircr si a se mesure avec luniteacute h et b avec luniteacute k le quotient

ab2 - ab1 se mesure avec 1 uniteacute hlk quel que soit 1 eacutecart (non nul) entre 2- 1

b2 et bt La pression atmospheacuterique p 1 en un lieu donneacute agrave une date estt1

une information utile en meacuteteacuteorologie mais la faccedilon dont la pression se

modifie appreacutecieacutee par le quotient P2 - Pt ougrave p 2 est la valeur quelle t2- tl

prend agrave la date t2 est une information preacutecieuse ce quotient indique par son signe dans quel sens elle se modifie (elle augmente elle est stashytionnaire elle diminue) et par son module si elle se modifie lentement ou rapidement

La tempeacuterature au sein de leacutecorce terrestre deacutepend de la profonshydeur du point ougrave elle est observeacutee Soient 01 et 02 les tempeacuteratures en deux points dune mecircme verticale situeacutes agrave des distances et duz1 z2

54

_ _

sol quand les geacuteographes disent que le degreacute geacuteothermicircque est de 33 rn

pour les couches superficielles ils veulent dire que le quotient Zz- Z1

0z- 01 est 33 megravetres par kelvin

Le quotient ba2 - ab1 peut avoir une signification simple et recevoir - z- 1

un nom Par exemple sur une route rectiligne une voiture aux dates

et t2 a des vitesses et v2 le quotient Vz- v1 informe sur la t1 v1 tz- tl faccedilon dont se modifie la vitesse il est appeleacute acceacuteleacuteration moyenne entre t1 et t2bull Luniteacute hlk est ici par exemple le megravetre agrave la seconde par

seconde uniteacute quon peut eacutecrire ms et quon eacutecrit aussi ms2 1 bull

s Si une bobine est traverseacutee agrave la date t1 par un flux dinduction 4gt1 et

agrave la date t2 par un flux 4gt 2 (luniteacute leacutegale de flux magneacutetique est le

weber) le quotient - qi2 4gt 1 est la forceeacutelectromotrice moyenne tz tl

dont la bobine est le siegravege entre t1 et t2 luniteacute leacutegale de forceshyeacutelectromotrice est le weber par seconde cest-agrave-dire le volt (Le signe - placeacute devant le trait de fraction reacutesulte des conventions habituelles sur lorientation des champs eacutelectriques et magneacutetiques)

Revenons au quotient ba2 - ab1 relatif agrave une grandeur a fonction z- 1

dune autre b Sil se trouve que a est proportionnelle agrave b cest-agrave-dire que a est fonction lineacuteaire de b alors

a1 a2 a2 -a1 b1 - bz - bz- b1

et le quotient ~- ~ est eacutegal au coefficient de proportionnaliteacute de a agrave

b il est constant

Il est eacutegalement constant dans les cas ougrave la grandeur a sans ecirctre proportionnelle agrave b est telle que les accroissements quelle prend sont proportionnels aux accroissements correspondants de b Exemple lonshygueur dune tige meacutetallique fonction de sa tempeacuterature

Hormis ces cas le quotient ba2 - ab1 nest pas constant z- 1

On trouvera en XI - 14 une suite agrave ces consideacuterations

VI - 6 Quelques exemples de quotients de deux grandeurs

VI- 61 Citons dabord quelques exemples classiques outre ceux quon a deacutejagrave rencontreacutes (masse volumique volume massique vitesse acceacuteleacuteration) shy

55

La concentration dune solution est le quotient de la masse de la substance dissoute par le volume de la solution Elle est comme la masse volumique le quotient dune masse par un volume

Un deacutebit est le quotient dun volume par une dureacutee dans un autre contexte il peut ecirctre le quotient dune masse par une dureacutee Le premier est appeleacute deacutebit-volume le second deacutebit-masse

La pression exerceacutee par une force f agissant uniformeacutement sur une

surface daire a est L a

La puissance moyenne dun moteur qui fournit une eacutenergie E penshy

dant une dureacutee d est ~

La diffeacuterence de potentiel agrave un instant donneacute entre deux points dun circuit parcouru par un courant eacutelectrique continu dintensiteacute I est

~ ougrave P est la puissance libeacutereacutee entre ces deux points

Une vitesse angulaire est le quotient dun angle par une dureacutee On a appeleacute vitesse le quotient dune longueur par une dureacutee une vitesse angulaire nest donc pas une vitesse

Une vitesse areacuteolaire est le quotient dune aire par une dureacutee (elle nest donc pas une vitesse) La seconde loi de Kepler eacutenonce que le moushyvement dune planegravete autour du Soleil se fait agrave vitesse areacuteolaire consshytante

VI - 62 Cette voie ferreacutee est eacutequipeacutee de rails de 60 kgm Cette grandeur est une masse lineacuteique quotient dune masse par une lonshygueur On conccediloit que la masse lineacuteique est une caracteacuteristique imporshytante dun rail Et dune fibre textile lindustrie textile utilise le millishygramme par megravetre quelle appelle tex

VI - 63 Dun manuel de jardinage Arroser agrave raison de 2 fm2 bull

Ce qui est une longueur sur une surface de 1 m2 leau ainsi reacutepartie

aurait un volume de 2 litres donc une eacutepaisseur de ~ soit 1 m2

2 000 cm3 soit 2 mm 10 000 cm2

VI- 64 On parlerait aussi bien dun apport deau de 2 kgm 2

on diviserait une masse par une aire

On utilise un tel quotient dune masse par une aire quand on eacutenonce La production moyenne de ces vergers de noyers est dune tonne par hectare Cette tonne par hectare est 100 gm2

bull

On divise aussi une masse par une aire pour obtenir une masse surshyfacique grandeur utile agrave propos de feuilles de papier de plaques de tocircle de dalles de beacuteton

56

VI - 65 Le pouvoir isolant du freacuteon est tregraves bon 14 000 Vrrim

On sait que la tension (1) U middotneacutecessaire pour provoquer une eacutetinshycelle eacutelectrique agrave travers une couche dun isolant donneacute est au moins approximativement proportionnelle agrave leacutepaisseur e de celle-ci La phrase ci-dessus exprime que pour une couche de freacuteon eacutepaisse de 1 mm elle est 14 000 V

Cette proportionnaliteacute conduit agrave sinteacuteresser au quotient u quie

est une grandeur nouvelle appeleacutee champ eacutelectrique Tant que le champ eacutelectrique ne deacutepasse pas 14 000 Vmm le freacuteon est isolant

VI- 66 La lampe agrave vapeur de sodium est celle qui offre le meilshyleur rapport flux-lumineux 1 puissance consommeacutee de 92 agrave 120 lumens par watt Ce rapport nest que JO agrave 20 lumens par watt pour une lampe agrave incandescence

Phrases claires ougrave est introduit le quotient (improprement appeleacute ici rapport) dun flux lumineux par une puissance Cette nouvelle granshydeur porte le nom defficaciteacute lumineuse

VI- 67 Le pouvoir calorifique de lalcool agrave brucircler est 7 calories par gramme celui du benzegravene est 10 calories par gramme Ou mieux puisque les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec les uniteacutes deacutenergie respectivement 29 et 42 kilojoules pat gramme (2) (Pour joule et kiloshyjoule voir VII - 1)

Les kilojoules par gramme se lisent aussi sous la mention valeur eacutenergeacutetique sur les emballages des produits alimentaires (des pays ougrave les consommateurs ont pour souci de ne pas trop grossir) Yaourt X 23 kJg confiture Y 12 kJg

A propos de protection contre les radiations on utilise le joule par kilogramme quon appelle sievert et le rem 1 rem = 001 sievert

(l) Tension est synonyme de diffeacuterence de potentiel

(2) La calorie dont uuml est question ici est la millithermie cest la quantiteacute de chaleur (leacutenergie) quil faut fournir agrave 1 kilogramme deau pour eacutelever sa tempeacuterature dun degreacute (plus preacuteciseacutement pour la porter de 145degC agrave 155degC) On lappelle parfois calorieshykilogramme

La microthermie en est le 11 000 on lappelle parfois calorie-gramme Elles eacutetaient parfois appeleacutees assez curieusement grande calorie et petite calorie resshy

pectivement Elles sont souvent ce qui est plus gecircnant appeleacutees lune et lautre calorie il en reacutesulte des confusions lors de la lecture de certains textes mais aussi chez les auteurs de ceux-ci

Depuis 1978 ces uniteacutes ont cesseacute decirctre leacutegales les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec la mecircme uniteacute que leacutenergie le joule (voir VII - 1) la microthermie est eacutegale agrave 4185 joules et la thermie agrave 4185 kilojoules

Le kilowattheure (voir VIII - 82) eacutetant 3 600 kilojoules la thermie est agrave peu pregraves 116 kilowattheure

57

Ces grandeurs quotients dune eacutenergie par une masse sont des eacutenergies massiques

VI- 68 Le pouvoir calorifique de ce sous-produit gazeux est inteacuteressant 9 000 kJimm Le pouvoir calorifique est ici le quotient dune eacutenergie par un volume il est une eacutenergie volumique La pression et la tempeacuterature du gaz sont supposeacutees constantes et donneacutees

VI - 69 Cette voiture consomme JO litres aux 100 Chacun connaicirct ce langage raccourci de 10 litres dessence pour 100 kilomegravetres de parcours On dirait aussi bien 01 flkm Le litre par kilomegravetre pour un carburant donneacute est une uniteacute dune grandeur souvent appeleacutee consommation

VI - 610 La nervositeacute dune voiture est le quotient de la puisshysance de son moteur par la masse de la voiture cest une puissance masshysique Elle est parfois appeleacutee improprement puissance agrave la tonne

VI- 611 Le kilogramme par heure peut servir agrave mesurer par exemple la capaciteacute de production de cuivre dans une cuve agrave eacutelectrolyse

La production dacide sulfurique dune usine de moyenne imporshytance est 500 tonnes par jour

La pollution atmospheacuterique par le plomb si on construit cette usine daccumulateurs sera de 43 kilogrammes par jour

On reconnaicirct ici la grandeur appeleacutee deacutebit-masse en VI- 61

VI - 612 Limportance du reacuteseau routier du reacuteseau ferreacute dun pays se mesure en kmlkm2

bull

VI- 613 On peut citer ici les grandeurs concernant les eacutechanges commerciaux Si le prix est une grandeur le prix surfacique en est une autre les phrases que voici nont pas la mecircme signification

Ce terrain coucircte 1 000 F Ce terrain coucircte 1 000 Flm 2

Les uniteacutes suivantes permettent agrave elles seules dimaginer ce qui fait lobjet de leacutechange

Flkg Fig Fit Flf Flm Flkm Flha Flm3 Flh FlkWh etc

Et aussi FIF uniteacute inutile qui aurait sa place au chapitre V La taxe locale est 015 franc par franc On a longtemps dit 15 centimes le franc On eacutecrit quelle est 15

58

VII - PRODUITS DE GRANDEURS

La division dans un ensemble numeacuterique est proche parente de la multiplication En est-il de mecircme pour les divisions preacutesenteacutees en VI Autrement dit peut-on deacutefinir une grandeur comme produit de deux autres

La reacuteponse est a priori affirmative si on avait envisageacute dabord les grandeurs vitesse et dureacutee plutocirct que les grandeurs longueur et dureacutee on aurait sans doute deacutefini une grandeur nouvelle la longueur comme produit dune vitesse et dune dureacutee

Cest dailleurs exactement lattitude que lon a dans Leacutetoile la plus proche de nous Soleil excepteacute est situeacutee agrave 42 anneacutees de lumiegravere lanneacutee de lumiegravere est une longueur cest le produit dune vitesse celle de la lumiegravere (300 000 kms) par une dureacutee lanneacutee Lanneacutee de lumiegravere est agrave peu pregraves 910 12 km

Si un ami deacutedare Jhabite agrave dix minutes dici il agit de mecircme sous-entendant la vitesse agrave employer celle dun pieacuteton par exemple

VU - 1 Un exemple travail dune force

Le poids de lhorloge celui quon remonte chaque semaine est une piegravece de fonte de 5 kilogrammes Il exerce sur les rouages une force de 49 newtons (1) Quand cette piegravece de fonte descend de 2 megravetres cette force fournit aux rouages une certaine eacutenergie

La piegravece de fonte de lhorloge du beffroi dune part exerce une force plus grande parce quelle a une plus grande masse dautre part descend dune plus grande hauteur Pour ces deux raisons elle fournit une plus grande eacutenergie

Si leffet dune force est un deacuteplacement du corps sur lequel elle sexerce on dit quelle travaille cest-agrave-dire quelle fournit de leacutenergie

Cette eacuten~rgie est fonction de deux grandeurs de la force elle-mecircme et de la longueur du deacuteplacement Si le deacuteplacement est de mecircme direcshytion et de mecircme sens que la force on deacutecide que leacutenergie est

Proprieacuteteacute A) proportionnelle agrave la force cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la force ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave longueur consshytante de deacuteplacement on multiplie la force par un nombre alors leacutenershygie est elle aussi multiplieacutee par ce nombre middot

(1) Luniteacute leacutegale de force est le newton que le lecteur se repreacutesentera facilement sil retient que le poids dun corps de masse 1 kilogramme (cest-agrave-dire la force quexerce la pesanteur sur ce corps) est 981 newtons agrave peu pregraves 1 deacutecanewton (daN)

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Proprieacuteteacute B) proportionnelle agrave la longueur du deacuteplacement cestshyagrave-dire fonction lineacuteaire de la longueur ce qui signifie que si agrave force constante on multiplie la longueur par un nombre alors leacutenergie est eacutegalement multiplieacutee par ce nombre

On est en preacutesence dune opeacuteration qui agrave tout couple constitueacutemiddot dune force et dune longueur associe une eacutenergie Notons 18] cette opeacuteration Leacutenergie e associeacutee au couple (ji) est middot

e=J[8li Choisissons une force Jo et une longueur f0 non ~mlles (elles sershy

viront duniteacutes) Au couple (j0 fa) est associeacutee leacutenergie e0

eo =Jo 18] io La connaissance de J et Jo entraicircne celle de la mesure œ de J

quand on prend Jo pour uniteacute J = œJo

La connaissance de i et fa entraicircne celle de la mesure (3 de i quand on prend fa pour uniteacute

i = 3fo

On peut alors dresser le tableau suivant

force longueur eacutenergie

(1) Jo io eo

(2) J io œe0

(3) Jo i f3eo

(4) J i (œ(3)eo

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B e = (3(œe0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en III- 63

e = (œ(3) eo bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

e = œ((3e0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-asociativiteacute e = (œ(3) eo

Ainsi e qui est J 18] i seacutecrit de deux faccedilons e = (œJo) l8l (f3fo) e = (œ(3)eo

60

ce qui permet de consideacuterer leuombre a3 comme la mesure de e quand on prend e0 cest-agrave-dire fo [81 f0 pour uniteacute

Si par exemple fo est le newton et f0 le megravetre (abreacuteviations N et rn) leacutenergie E fournie par la descente de la masse de fonte de notre horshyloge seacutecrit de deux faccedilons

soit E = (49 N) [81 (2 rn) soit E = ( 49 x 2)(N [81 rn)

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux1eacutecrituresf

R f 0 R0 Net rn et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe [81 et supposons quil soit celui de la multiplication dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishytures (af0) Qlt1 (3fo) et a3(f0 [81 fo) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration [81 est une multiplication et que 1eacutenergie e est deacutefinie comme le produit

de la force f par la longueur f Et on convient de remplacer leacutecriture f [81 R par jxf ou fR ou fR

Ces conventions sont justifieacutees comme celles de III - 7 et VI - 21 par la cqmmoditeacute des calculs et du langage elles sont sans inconveacutenient matheacutematique

On eacutecrit donc e = afo X f3Ro = af3fofo E = 49 N x 2 rn = 98 N x rn = 98 Nm

En reacutesumeacute Une force f qui provoque un deacuteplacement de longueur Rdans sa propre direction et son propre sens fournit une eacutenergie e donshyneacutee par e = fR

On dit quon a multiplieacute une force par une longueur

Si f a pour mesure ci quand on prend fo pour uniteacute et si Ra pour mesure 3 quand on prend f0 pour uniteacute e a pour mesure a3 si on prend fo f0 pour uniteacute deacutenergie

Par exemple fo et f0 eacutetant respectivement le newton et le megravetre on creacutee agrave partir deux une uniteacute deacutenergie le newton x megravetre Cest leacutenershygie que fournit une force dun newton qui provoque un deacuteplacement dun megravetre la force et le deacuteplacement ayant mecircme direction et mecircme sens On leacutecrit Nxm ou Nm ou Nm (mais non pas mN voir VIII- 21)

On le lit newton-megravetre et surtout pas newton par megravetre qui serait le quotient dunemiddotforce par une longueur

Le newton x megravetre ou newton-megravetre porte un autre nom joule (abreacuteviation J) Cest une uniteacute deacutenergie quil est facile de se repreacutesenshyter eacutelevez dun megravetre un objet dun hectogramme (son poids est agrave peu pregraves 1 newton) vous lui aurez fourni une eacutenergie dun joule (sur la

61

Terre sur la Lune vous lui en auriez fourni le sixiegraveme environ) Lobjet restituera cette eacutenergie sil redescend et sarrecircte apregraves 1 megravetre de deacutenivellation middot

Un retour aux quotients de VI nous permet une parenthegravese la puissance dun moteur eacutetant deacutefinie comme quotient de leacutenergie quil fournit par le tempsmiddot quil lui faut pour la fournir la puissance du moteur de notre horloge est 98 Jsemaine soit

98 joules(7 x 24 x 3 600) secondes soit 000016 jougraveleseconde Ce joule par seconde est le watt Notre horloge est actionneacutee par un moteur de 016 milliwatt La descente dun second poids actionne le marteau de la sonnerie

VIl - 2 Aire dun rectangle

Soient a et bles longueurs des cocircteacutes dun rectangle et A son aire Si laissant lune de ces deux longueurs fixe on double ou triple lautre laire est doubleacutee ou tripleacutee Laire dun rectangle est proportionnelle agrave chacune demiddot ses dimensions

La deacutemarche suivie est la mecircme quen VII- 1 on rattache (sans que cela soit neacutecessaire voir VIII - 62) laire A au produit a x b et lon eacutecrit A= ab

Les calculs se conduisent de la mecircme faccedilon avec cette seule partishyculariteacute que les deux grandeurs dont on fait le produit sont de mecircme nature

Soit f0 une uniteacute de longueur et a et 3 les mesures respectives de a et b avec cette uniteacute

A = (af0) X (3f0) = (a3)(f0 X f0)

Par exemple si f0 est le centimegravetre (abreacuteviation cm) laire dun rectangle dont les cocircteacutes ont pour longueurs 3 cm et 5 cm est 3 cm x 5 cm Pour transformer cette eacutecriture on creacutee une uniteacute daire quon eacutecrit cm x cm et mecircme cm2

bull Ainsi naicirct le centimegravetre carreacute et naissent de la mecircme faccedilon le megravetre carreacute le pouce carreacute le pied carreacute

Le centimegravetre eacutetant 001 rn le centimegravetre carreacute aire dun rectangle dont les cocircteacutes mesurent 1 cm (rectangle carreacute donc) peut seacutecrire 001 rn x 001 rn soit toujours par la mecircme meacutethode de calcul 00001 m2

bull

Dans ce qui preacutecegravede a et b sont mesureacutes avec la mecircme uniteacute mais rien nempecircche de mesurer par exemple a en kilomegravetres et ben megravetres une route de 3 km dont lemprise est large de 8 rn occupe 3 km x 8 rn de terrain soit 24 kmm Cette uniteacute daire le kilomegravetre-megravetre ou aussibienlemegravetre-kilomegravetreseacutecrit 1 mx1 ooomiddotm ou 1 OOOmxm soit 1 000 m 2

bull

62

VII - 3 Produit de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee et B lensemble des grandeurs de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee ensemble eacuteventuellement eacutegal agrave A On deacutesigne selon lusage leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave celles de VII 1 on appelle celle-ci produit de a et b (3) on eacutecrit c=axb ou c=bxa on eacutecrit aussi c=ab c=ba on dit quon a multiplieacute a par b ou b par a

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs deacutefinies par les produits a x b et a x b sont de mecircme nature) middot

Si la grandeur a ou la grandeur b est nulle la grandeur c 1est aussi

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme uniteacutes puis usant largement de simplifications deacutecritures comme en VII -1 on eacutecrit successivement

a = ah b = (3k c =ab= (ah) x ((3k) = (ot3)(h x k)

ce qui exprime que la grandeur ca pour mesure ot3 quand on prend h x k pour uniteacute

On eacutenonce cette uniteacute en citant lun apregraves lautre les noms des deux uniteacutes h et k (ouk eth) on leacutecrit h x k ou hk ou hk On dit lagrave encore quon deacutefinit une uniteacute deacuteriveacutee (on dit aussi composeacutee) agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave adopter un vocable pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c en le prenant dans la langue usuelle si elle en contient un qui convienne ou en le creacuteant

VU - 4 Exemples de produits de deux grandeurs

On a preacutesenteacute ci-dessus eacutenergie fournie par une force qui travaille et aire dun rectangle

La quantiteacute de mouvement agrave un instant donneacute dun corps de masse m et de vitesse v est le produit mv middot

La force qui agrave un instant donneacute communique agrave une masse m une acceacuteleacuteration Y (VI - 53) est mY

(1) En ce qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III - 4 (2) Mecircme remarque quen la note (2) de VI- 4 (p 50) (3) Convention analogue quant au signe de c agrave celle de VI 4

63

En meacutecanique on deacutefinit une action comme produit dune eacutenershygie et dune dureacutee (cf principe de Maupertuis dit de moindre action) On se gardera de confondre ce produit et le quotient dune eacutenergie par une dureacutee qui est une puissance

-+ Etant donneacutee une force f agissant sur un solide mobile autour

dune droite 6 orthogonale agrave sa direction on appelle moment de cette force par rapport agrave cette droite le produitjx OP ougrave OP est la longueur

-+ -+ qui seacutepare 6 du support de f (Sur les notations f etj voir III- 92)

tl-1-------J110

La quantiteacute deacutelectriciteacute qui franchit pendant une dureacutee d un point dun circuit eacutelectrique parcouru par un courant continu dintensiteacute 1 est Id

5 millimegravetres de pluie sur un champ dun hectare cest 50 megravetres cubes deau un volume a eacuteteacute obtenu ici comme produit dune longueur par une aire

Ce chantier de construction dune autoroute a neacutecessiteacute un deacuteplashycement de terres de 40 millions de megravetres-cubes x hectomegravetres Ce quon transformerait en 4 milliards de m3 x rn uniteacute quon eacutecrirait presque m4 bull Par souci de clarteacute on laisse transparaicirctre les grandeurs dont on fait le produit un volume et une longueur

m3Ces 40 millions de x hm sont 40 hm3 x hm ou bien 40 hm3 x 100 rn ou 4 000 hm3 x rn ou 4 km 3 x rn une montashygne de 4 km3 quon aurait deacuteplaceacutee dun megravetre

On mesure aussi un deacuteplacement de terres agrave laide de la tonneshyhectomegravetre ou de la tonne-kilomegravetre produit dune masse par une lonshygueur Un transport de marchandises un trafic ferroviaire sexpriment en tonnes-kilomegravetres

La loi de Mariotte seacutenonce ainsi la pression p et le volume v dune masse donneacutee dun gaz (dun gaz parfait preacutecisent les physiciens) maintenu agrave tempeacuterature fixe sont tels que le produit pv est constant middot

On mesure celui-ci par exemple agrave laide du bar x centimegravetre cube ou mieux en utilisant les uniteacutes leacutegales de pression et de volume agrave laide du pascal x megravetre cube On verra en X- 52 pourquoi on le mesure aussi en joules (le joule est luniteacute leacutegale deacutenergie)

64

VID - ALGEgraveBRE DES GRANDEURS

Les chapitres preacuteceacutedents ont mis en lumiegravere une analogie certaine entre les opeacuterations sur les grandeurs et les opeacuterations sur les reacuteels Essayons de la preacuteciser

VIII - 1 Addition des grandenrs et mnltiplication externe

Les proprieacuteteacutes de ces deux opeacuterations incitent agrave organiser en vectoshyriel sur R(l) lensemble des grande1mi de mecircme nature quune grandeur non nulle a donneacutee comme chacune de ces grandeurs peut seacutecrire Agravea ougrave Agrave est un reacuteel ce vectoriel est de dimension 1 (un vectoriel de dimenshysion 1 est souvent appeleacute droite vectorielle)

On se heurte ici agrave une difficulteacute pour certaines grandeurs ces opeacuteshyrations ne sont pas partout deacutefinies autrement dit ce ne sont pas des lois de composition Ainsi on ne peut parler de la somme des angles de secshyteurs 150deg et 240deg car 150 + 240 gt 360 de mecircme si 33 deg est un angle de secteur leacutecriture 33deg x 125 nen deacutesigne pas un Des remarques analogues sappliquent aux angles de paires de demi-droites ou de droishytes ainsi quaux angles solides (mais pas aux angles qui interviennent dans les mouvements de rotation)

Une difficulteacute du mecircme genre se preacutesente quand on cherche agrave orgashyniser en vectoriel sur R lensemble des grandeurs de toutes natures en effet laddition nest pas une loi de composition elle ne peut ecirctre deacutefishynie que par morceaux addition des longueurs addition des masses addition des eacutenergies etc (2)

En reacutesumeacute on peut dire que les grandeurs entrent dans un modegravele matheacutematique de vectoriel sur Rpourvu quon garde preacutesent agrave lesprit le fait que ce modegravele doit ecirctre restreint aux seules opeacuterations qui ont une signification physique

(1) On dit quun ensemble E est structureacute en vectoriel sur R (ou en R-vectoriel ou en espace vectoriel sur R) lorsque lon a deacutefini dansE 1deg) une addition associative commutative pourvue dun eacuteleacutement neutre et telle que tout eacuteleacutement de E ait un opposeacute 2deg) une multiplication externe qui agrave tout reacuteel Agrave et agrave tout eacuteleacutement x de E associe un eacuteleacuteshyment de E noteacute AgraveX

ces deux lois eacutetant telles que quels que soient les reacuteels Agrave et p et les eacuteleacutements u et v de E (Agrave+p)u = AgraveU+pu Agrave(u+v) = AgraveU+Agravev Agrave(pV) = (Agravep)v lu = u

(2) Tout au plus peut-on espeacuterer que certaines de ces additions partielles deviennent avec les progregraves de la science reacuteductibles les unes aux autres il neacutetait pas eacutevident au XVIIIbull siegravecle quon pourrait un jour additionner des quantiteacutes de chaleur et des eacutenergies cineacutetiques

65

Les brochures de lAPMEP

LAssociation des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public veut ecirctre une grande eacutequipe

La vie dune eacutequipe cest la libre circulation de linformation entre ses membres le droit qui appartient agrave chacun le devoir qui incombe agrave tous de rechercher et de poser des questions de proposer des reacuteponses de remettre en cause

Il eacutetait ineacuteluctable que leacutequipe ressenticirct le besoin deacutediter des broshychures et leur succegraves grandissant impose middotla neacutecessiteacute de poursuivre lœuvre entreprise en appelant constamment lattention des collegravegues sur la neacutecessiteacute dune collaboration permanente de tous

Nous avons besoin de redeacutefinir peacuteriodiquement nos orientations fonshydamentales et cest dans les chartes ou les textes dorientation que nous publions les mises agrave jour Ces sortes de brochures seraient des bibles sans le fait essentiel quelles ne preacutetendent pas deacutetenir la veacuteriteacute Elles nen doishyvent pas moins nourrir notre action

Il faut aussi assurer agrave nos collegravegues une information de base sur la matheacutematique elle-mecircme (vocabulaire theacuteories diverses )sur les reacutevoshylutions de notre eacutepoque (calculatrices microprocesseurs ) suries scienshyces de leacuteducation (didactique des disciplines eacutevaluation ) sur les mateacuteshyriaux pour la classe (manuels scolaires ) et naturellement deacutevelopper les thegravemes qui sen deacutegagent en tenant compte de la demande soit pour la satisfaire soit pour la compleacuteter soit pour la contester arguments agrave lappui

Nos brochures peacutenegravetrent dans les classes (ainsi les Aides Peacutedagogishyques) elles doivent y subir les feux de lexpeacuterimentation la plus large pour provoquer des deacutebats ou des recherches compleacutementaires

Leacutequipe doit aussi agrave ses membres la permanence de leacutechange cultushyrel Nous avons beaucoup agrave travailler pour faciliter laccegraves de tous les enseignants de matheacutematiques agrave une culture approfondie de la science quils ont agrave faire aimer Nous lavons dit dans la Charte de Caen Le maicirctre doit acqueacuterir des connaissances qui deacutepassent largement celles du niveau de son enseignement

La diversiteacute des formations initiales ne simplifie pas le problegraveme et nous rejetons loin de nous lideacutee de reacutediger des exposeacutes magistraux venant sajouter au nombre de ceux qui provoquegraverent parfois des nauseacutees agrave lacircge du lyceacutee ou mecircme de lUniversiteacute

Nous devons trouver ensemble la langage et la preacutesentation qui suscishyteront de la part de tous une curiositeacute active pour lHistoire des matheacutemashytiques pour la beauteacute dun tregraves grand nombre de reacutesultats ou de deacutemarshyches pour les jeux ou les paradoxes Le maicirctre doit avoir eu loccasion de poser et de reacutesoudre des problegravemes (Charte de Caen)

Collection MOTS

LAPMEP a penseacute aider les instituteurs et dautres enseignants dans leur enseignement de la matheacutematique en reacutedigeant les brochures MOTS

Il ne sagit pas agrave proprement parler dun lexique Cependant il sera loisible agrave chacun de ranger les rubriques par ordre alphabeacutetique Dautre part nous avons tenu compte des suggestions proposeacutees par la Commisshysion du Dictionnaire de lAPMEP dans son recueil de fiches La matheacutematique parleacutee par ceux qui leuseiguent

Il ne sagit pas non plus dunecodification autoritaire du vocabushylaire lAPMEP ne peut pas et ne veut pas codifier Comme dans le Dictionnaire de lAPMEP nous nous sommes neacuteanmoins enhardis agrave suggeacuterer une certaine harmonisation agrave exprimer notre penchant ou notre aversion pour certains termes Nous souhaitons ouvrir ainsi le deacutebat avec nos lecteurs

Enfin il ne sagit pas dun ouvrage de formation theacuteorique ou peacutedashygogique des maicirctres de leacutecole eacuteleacutementaire Nous pensons cependant quune reacuteflexion sur le vocabulaire si on la megravene assez loin deacutebouche sur le fond mecircme des notions matheacutematiques eacutevoqueacutees et sur leur introducshytion peacutedagogique eacuteventuelle Les formateurs (IDEN professeurs dEN animateurs des IREM) trouveront peut-ecirctre dans quelquesshyunes de ces rubriques un outil pour un travail en commun avec les collegraveshygues en formation initiale ou continue Mais nous espeacuterons surtout quelles seront lisibles et utilisables par les instituteurs isoleacutes

Pour se le procurer sadresser agrave M BLONDEL

154 avenue Marcel Cachin 93320 CHATILLON-SOUS-BAGNEUX

3

MOTS I contient EacuteGALITEacute EXEMPLE et CONTRE-EXEMPLE COUPLE RELATION BINAIRE NOMBRE NATUREL ENTIERS et RATIONNELS NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE A VIRGULE FRACTION ENSEMBLES DE NOMBRES

MOTS II contient REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES APPLIshyCATION FONCTION BIJECTION PARTITION EacuteQUIVAshyLENCE PARTAGES DIVISIBILITEacute DIVISION EUCLIshyDIENNE DIVISION

MOTS III contient NUMEacuteRATION OPERATION LOI DE COMPOSITION COMMUTATIVITEacute ASSOCIATIVITEacute DISTRIBUTIVITEacute EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRAshyTIONS CONGRUENCES ORDRE PROPRIEacuteTEacuteS DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE PREacuteshyORDRE COMPARAISON DES ORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANS N DANS D+

MOTS IV contient APPLICATIONS LINEacuteAIRES PROPORTIONshyNALITEacute OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS POURCENshyTAGES EacuteCHELLES EacuteQUATIONmiddot INEacuteQUATION ENSEMBLE CARDINAL APPROXIMATION

MOTS V contient SEGMENT LONGUEUR SECTEUR ANGLE VQCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE _SOLIDES PARALshy

LELE VERTICAL HORIZONTAL EXPOSANT PUISshySANCE Et un index terminologique des mots matheacutematiques figurant dans les cinq premiegraveres brochures

Introdugravection agrave MOTS VI Ce 6e tome a eacuteteacute reacutedigeacute par la mecircme eacutequipe que les preacuteceacutedents

Comme eux- et nous insistons sur ce point- il sadresse aux maicirctres et nullement aux eacutelegraveves middot middot

Il se particularise par le fait qu1il estconsacreacute agrave une seule rubrique intituleacutee Grandeur-Mesure

4

Jadis on trouvillt couramment dans les manuels de matheacutematiques des exercices mettant en jeu des longueurs des aires des volumes des masses des dureacutees des vitesses des deacutebits etc Ces exercices ont agrave peu pregraves disparu on peut le regretter

A juste titre on a reprocheacute agrave ces exercices leur cocircteacute souvent artificiel Il est indeacuteniable que leur aspect eacutetaitparfois fort eacuteloigneacute du veacutecu quotishydien En ce sens ils servaient dalibi agrave des exercices de calcul quon aurait pu preacutesenter plus simplement

Plus contestable eacutetait le fait que bien souvent lanalyse de la situashytion proposeacutee eacutetait neacutegligeacutee au profit de la recherche de mots inducteurs sur lesquels on fondait la traduction en langage matheacutematique

En revanche ces problegravemes permettaient denraciner les concepts matheacutematiques dans lexpeacuterience physique- au niveau eacuteleacutementaire tout au moins

Qui pourrait nier que le maniement des longueurs est eacutetroitement lieacute au maniement des nombres On peut preacutesenter les rationnels comme des classes deacutequivalence une telle preacutesentation a mecircme pu ecirctre en faveur pendant un certain temps mais ce nest pas une raison pour neacutegliger voire pour masquer le fait que les rationnels simposent degraves que lon pra-middot tique des mesures de longueurs

Nous pensons que des grandeurs physiques ont leur place dans 1enseignement des matheacutematiques Longueurs airesmiddot et volumes relegravevent de la geacuteomeacutetrie Pourquoiexcluremiddotmasses dureacutees vitesses deacutebits masses volumiques sous le vain preacutetexte quils relegravevent de la Physique A moins quon estime que les calculs mettant en jeu des grandeurs physiques posent des problegravemes deacutelicats quil est bien agreacuteable de confier au physishycien Ce serait dans ce cas chercher un refuge confortable dans une rigueur matheacutematique fallacieuse et glaceacutee Mais le confort serait-il alors pougraverleacutelegraveve ou pour le professeur middot

MOTS VI coin porte trois parties

bull Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

Partant de lexpeacuterience physique on preacutecise ici les relations quentreshytiennent les grandeurs et les nombres Ainsi se deacutegagent les notions de grandeurs de mecircme nature et de grandeurs mesurables

A son habitude la commission recense les usages examine les expressions courantes critique souvent deacuteconseille parfois Elle souhaite ainsi fournir au lecteur des informations suffisantes pour quil effectue ses choix en connaissance de cause

bull Les grandeurs entre elles Se reacutefeacuterant toujours agrave lexpeacuterience cette deuxiegraveme partie eacutetudie les

relations entre certaines grandeurs

5

Quotients et produits conduisent agrave preacuteciser lalgegravebre des grandeurs Apregraves quoi on effectue une incursion prudente dans les deacutelicates quesshytions dhomogeacuteneacuteiteacute et de dimension physique

bull Consideacuterations peacutedagogiq11es

Ce titre paraicirctra inhabituel aux fervents de nos MOTS Au risque de nous reacutepeacutetermiddot soulignons que conformeacutement agrave nos habitudes cette troishy

siegraveme partie ne dresse pas un catalogue de ce quil faut faire ou de ce quil ne faut pas faire

Tout au plus y trouvera-t-on - agrave la lumiegravere de ce qui preacutecegravede et avec toute la prudence qui simpose agrave propos de ces questions deacutelicates- une bregraveve analyse de certains usages et expressions

Les auteurs y formulent parfois des souhaits plus souvent des mises en garde contre des confusions toujours possibles rarement des condamshynations

Nous espeacuterons que cette brochure inteacuteressera un large public Les maicirctres de lEcole Eleacutementaire pourront y voir comment leur

enseignement agrave propos des grandeurs et des mesures se prolonge dans une perspective qui englobe sciences expeacuterimentales et matheacutematiques

Quant aux maicirctres du Second Degreacute - tant matheacutematiciens que physiciens - puisse cette brochure en un temps ougrave on parle beaucoup dinterdisciplinariteacute leur fournir loccasion deacutechanges dont les eacutelegraveves tireront profit

Au cours de leacutelaboration de cette brochure nous avons demandeacute agrave cinq professeurs de physique et chimie de lire notre projet Ils lont fait avec beaucoup dattention Nous avons tenu compte de leurs remarques Nous les remercions vivement de leur collaboration

Toutes les remarques critiques suggestions seront accueillies avec reconnaissance

Ecrire agrave Jacques LECOQ 16 rue du Plateau Fleuri 14000 CAEN

Juin 1982 La Commission MOTS

6

SOMMAIRE

PREMIEgraveRE PARTIE Grandeur et nombre mesures dune grandeur

1- Notion de grandeur 11

II - Intervention du nombre 15

III - Comparaison des grandeurs Addition Multiplication externe Mesure

III - 1 Un usage tregraves reacutepandu 17 III - 2 Comparaison des longueurs 17 III - 3 Addition des longueurs 18 III - 4 Une multiplication externe 19 III -- 5 Signification du mot mesure 19 III - 6 Proprieacuteteacutes des lois EB et reg et de la relation 20 III - 7 Des eacutecritures commodes 22 III - 8 Grandeurs mesurables 24 III - 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs

quentendre par a+ b 26

IV- Ce quon dit ou devrait dire

VI - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc 29 VI - 2 Deacutesignation des grandeurs 30 VI - 3 Des formulations incorrectes 31 VI - 4 Des formulations simples tregraves acceptables 32 VI - 5 Un langage normaliseacute 32

V - Rapports de grandeursmiddot bull 34

V-1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a 35 V-2 Proportionnaliteacute 36 V-3 Taux dincertitude 38 V-4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs 38 V-5 Ougrave le rapport de deux grandeurs

est indispensable 42

7

DEUXIEgraveME PARTIE Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacutees

VI - Quotients de grandeurs

VI - 1 Grandeur proportionnelle agrave une autre 45 VI - 2

VI- 3

VI - 4 Quotient de deux grandeurs 50 52VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI - 6

Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume 47 Un autre exemple quotient dun volume

Quelques exemples de quotients

par une masse 50

de deux grandeurs 55

VII - Produits de grandeurs

VII - 1 Un exemple travail dune force 59 VII- 2 Aire dun rectangle 62 VII - 3 Produit de deux grandeurs 63 VII - 4 Exemples de produits de deux grandeurs 63

VIII - Algegravebre des grandeurs

VIII - 1 Addition des grandeurs et multiplication externe 65

VIII - 2 Produits de grandeurs 66 VIII - 3 Sommes et produits 66 VIII - 4 Produits et quotients 67 VIII - 5 Exemples de paires de grandeurs inverses bull 69 VIII - 6 Algegravebre des grandeurs 71 VIII - 7 Grandeurs deacuteriveacutees uniteacutes deacuteriveacutees 72 VIII - 8 Exploitation linguistique 73 VIII - 9 Autres exemples de grandeurs deacuteriveacutees 76

IX - Grandeurs discregravetes

IX- 1

IX- 2 Une population grandeur mesurable 78 79

79 IX - 3 Une population grandeur discregravete IX - 4 Exemples de quotients de deux populations IX - 5

IX- 6

Cardinal dun ensemble fini et mesure dune grandeur middot 78

Exemples de grandeurs deacuteriveacutees ougrave intervient

Une grandeur employeacutee en chimie une population 80

la quantiteacute de matiegravere 82

8

X - Dimension physique Homogeacuteneacuteiteacute

X-1 Dimension des grandeurs dorigine geacuteomeacutetrique relativement agrave la longueur 84

X-2 La dimension ensemble de grandeurs homogegravenes 86 X-3 Dimension des grandeurs dans un systegraveme

de dimensions de base 88 X-4 Equations aux dimensions 92 X-5 Exemples demplois du mot homogegravene 92 X-6 Constantes physiques 94 X-7 Coefficients numeacuteriques 96 X-8 Systegraveme international duniteacutes middot 98 X-9 Tableau et scheacutema 101

TROISIEgraveME PARTIE Consideacuterations peacutedagogiques

XI shy 1 Faut-il enseigner agrave leacutecole au egraveoegravege au lyceacutee la notion de grandeur 104

XI - 11 Reconnaicirctre et distinguer les grandeurs du monde qui nous entoure 104 XI shy 12 Pourquoi le nombre quand il ne sert agrave rien shy 106 XI shy 13 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs pour leacutetude des structures numeacuteriques 108 XI- 14 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs dans lenseignement de certaines notions matheacutematiques ~ 110

XI shy 2 Confusions entle grandeurs et mesures

XI - 21 Emplois divers du mot uniteacute 111 XI shy 22 Leacutecriture des calculs sur les grandeurs invite agrave confondre grandeur et nombre middot 112 XI - 23 Exemples de confusions entre grandeur et nombre middot 112 XI - 24 Retour agrave des formulations critiquables tregraves employeacutees 114 XI shy 25 Le signe= etles grandeurs 116 XI- 26 Une autre attitude deacutelibeacutereacutee 117

9

XI - 3 Un enseignement difficile grandeurs deacuteriveacutees de deux autres middot

XI - 31 A quels moments de leur scolariteacute les enfants rencontrent-ils des exemples de grandeurs deacuteriveacutees middot 118 XI - 32 Difficulteacute de la notion de grandeur deacuteriveacutee 119 XI- 33 La vitesse est-elle une longueur La masse volumique est-elle une masse 119 XI - 34 Des pseudo-eacutegaliteacutes agrave proscrire 122 XI - 35 Confusions entre quotients et produits 123 XI- 36 Des complications de langage bien inutiles 124 XI - 37 A propos de reacutedaction 124 XI- 38 Une grammaire pas toujours assureacutee 125

XI - 4 Inteacuterecirct des consideacuterations dhomogeacuteneacuteiteacute 126 Index terminologique 131

Le contenu des pages qui suivent est-il du domaine des matheacutematishyques ou de celui des sciences physiques

Les enseignants se posent peut-ecirctre une telle question mais elle est sans importance un eacutelegraveve est le mecircme enfant pendant lheure de matheacuteshymatique egravet pendant lheure de physique

Nous pensons que lenseignement des matheacutematiques doit contribuer agrave entraicircner les eacutelegraveves au moins pendant la scolariteacute obligatoire

- agrave utiliser et agrave preacuteciser le concept de grandeur -agrave relier aumoins sur quelques exemples usuels simples des granshy

deurs de natures diffeacuterentes

10

PREMIEgraveRE PARTIE

Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

1 - NOTION DE GRANDEUR

Voici des phrases dun type courant Les arecirctes dun cube ont mecircme longueur Sur les autoroutes la vitesse des veacutehicules est limiteacutee Une telle intensiteacute ferait sauter les plombs Cette valise na pas un volume assez grand pour que je puisse y placer toutes mes affaires

Longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume sont des exemples de grandeurs physiques ou simplement grandeurs

1- 1 On peut parler dune intensiteacute eacutelectrique comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs courants indeacutependamment de la deacutefinishytion de lampegravere indeacutependamment de tout choix dune uniteacute dintenshysiteacute On peut parler dune longueur comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs segments indeacutependagravemment de la deacutefinitimi de la coudeacutee de la toise du megravetre On peut utiliser le compas pour reporter une lonshygueur On peut parler dun volume deau ou dessence sans avoir agrave lesprit ni le litre ni le gallon ni aucune autre uniteacute

11

Quand les eacuteconomistes expriment un budget un salaire en francs constants cest quils cherchent agrave atteindre non un nombre mais une grandeur quon pourrait appeler pouvoir dachat pouvoir deacutechange Exemple Laide aux familles dans lenseignement public ou priveacute eacutetait en 1964 de 600 millions de francs elle seacutelevait en 1974 agrave 1800 millions de francs elle a donc tripleacute en dix ans cette affirmation est certaineshyment incorrecte le nombre a tripleacute mais pas la grandeur aide aux familles en raison de ce quon appelle pudiquement leacuterosion moneacutetaire

I - 2 Comment donner un statut agrave la notion de grandeur

Partons de lexemple bien connu de la longueur des segments (1)

Dans un ens~mble de segments la relation qui a pour lien verbal est superposable agrave est une relation deacutequivalence (du moins si lon convient quun segment est superposable agrave lui-mecircme) Les segments dune mecircme classe sont dits de mecircme longueur f et lon dit de chacun des segments de cette classegrave que sa longueur est f Le lien verbal peut se dire a mecircme longueur que

Le mot longueur ne deacutesigne ni uri ensemble de points ni un nomshybre La phrase Soit un triangle eacutequilateacuteral ABC de cocircteacute a a la signifishycation suivante Soit un triangle dont les cocircteacutes [AB] [BC] [CA] sont des segments qui appartiennent agrave une mecircme classe agrave laquelle est assoshycieacutee la longueur a Autrement dit

longueur de [AB] = longueur de [BC] = longueur de [CA] = a

Si lon deacutesigne par MN comme il est dusage la longueur du segshyment [MN] on eacutecrit les eacutegaliteacutes

AB= BC =CA= a A la classe des segments tels que [AA] dont les extreacutemiteacutes sont

confondues est associeacutee la longueur appeleacutee longueur nulle

I - 3 Essayons deacutetendre ce qui preacutecegravede aux grandeurs physiques agrave lintensiteacute eacutelectrique par exemple

Envisageons dans un ensemble de courants eacutelectriques la relation qui a pour lien verbal provoque dr~ulant dans un mecircme conducteur ohmique (2) maintenu dans les mecircmes conditions et pendant une mecircme dureacutee le deacutegagement dune mecircme quantiteacute de chaleur que Cest une relation deacutequivalence les courants dune mecircme classe sont dits de mecircme intensiteacute sil ny a pas de deacutegagement de chaleur lintensiteacute est dite intensiteacute nulle

(1) Dans ce qui suit nous ne consideacuterons que des segments fermeacutes mais cela est sans incishydence sur notre propos car les quatre segments ayant les mecircmes extreacutemiteacutes A et B (agrave savoir [AB] ]AB[ [AB[ et ]AB]) ont aussi la mecircme longueur (voir SEGMENT-LONGUEUR MOTS V)

(2) Un conducteur est dit ohmique lorsque le seul effet du passage du courant est un deacutegashygement de chaleur

12

1 - 4 Malgreacute lapparence lanalogie entre les situations deacutecrites en 1 -- 2 et 1 - 3 nest que partielle

Quand on se propose de comparer deux objets physiques selon un de leurs aspects (tiges qugraveant agrave leurs longueurs reacutecipients quant agrave leurs volumes mobiles quant agrave leurs vitesses courants eacutelectriques quant agrave leurs intensiteacutes etc) cest-agrave-dire quand on se propose de deacutecider si on les place ou non dans une mecircme classe on se heurte agrave deux obstacles fondamentaux middot

1deg) Il faut quon sache en quoi consiste laspect indiqueacute ci-dessus autrement dit quor1 sache de quelle grandeur il sagit

Une telle connaissance de la grandeur est neacutecessairement lieacutee agrave un proceacutedeacute physique de comparaison cest-agrave-dire agrave un ensemble eacutetabli avec preacutecision et pouvant ecirctre pratiqueacute agrave volonteacute dactions dexpeacuterienshyces dobservations On ne peut comparer deux intervalles de temps quapregraves le choix dun tel proceacutedeacute cest-agrave-dire apregraves le choix dune cershytaine horloge aussi rudimentaire soit-elle Lexistence mecircme de cette horloge est un deacutebut de reacuteponse agrave leacutepineuse question quest-ce que le temps

Bien souvent se preacutesentent des proceacutedeacutes physiques de comparaison fort divers Ainsi pour deacuteclarer que deux courants eacutelectriques ont mecircme intensiteacute on peut comme en 1 - 3 faire appel au pheacutenomegravene effet calorifique du courant choix qui suppose deacutefinies preacutealablement leacutegaliteacute entre quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees Mais on peut aussi classer les courants selon linteraction de deux longs conducteurs parallegraveles parcourus (dans le mecircme sens ou non) pagraver le mecircme courant ce choix suppose preacutealablement deacutefinie leacutegaliteacute entre forces (1) Lexpeacuteshyrience montre que cette classification coiumlncide avec la preacuteceacutedente

On peut eacutegalement utiliser les effets chimiques du courant deux courants seraient dune mecircme classe (auraient mecircme intensiteacute) si travershysant pendant un mecircme temps telle cuve agrave eacutelectrolyse quil faudrait elle aussi choisir ils y produisaient les mecircmes effets chimiques qualitativeshyment et quantitativement cet autre choix supposerait deacutefinies leacutegaliteacute entre masses et leacutegaliteacute entre dureacutees (2) Lexpeacuterience montre que cette troisiegraveme classification (cette troisiegraveme deacutefinition de lintensiteacute) est indeacuteshypendante du choix de leacutelectrolyse et coiumlncide avec les deux classificashytions preacuteceacutedentes middot

2deg) Tout proceacutedeacute physique deacutevaluation est entacheacute dune incertishytude Dans un ensemble dobjets physiques deacutecrits matheacutematiquement

(1) Cest cette interaction qui est utiliseacutee pour la deacutefinition leacutegale de lampegravere lampegravere est deacutefini agrave partir du newton uniteacute de force (2) La deacutefinition leacutegale de lampegravere faisait appel jusque 1948 agrave leacutelectrolyse dune solushytion de nitrate dargent

13

par des segments des tiges par exemple on ne peut pas envisager la relashytion deacutequivalence de lien verbal a mecircme longueur que comme nous lavons fait en geacuteomeacutetrie (I ~ 2) un lien verbal utilisable serait du type a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves que Or la relation deacutefinie par un tel lien verbal nest pas transitive en effet si un objet A a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet B et si lobjet Ba mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet C il se peut fort bien que A etC naient pas mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves

Cependant pour les besoins de laction on se comporte comme si lon eacutetait capable en premiegravere approximation de deacutefinir des classes deacutequivalence agrave limage de celles quon utilise en-matheacutematiques Le monde physique est complexe Leacutetudier cest neacutegliger certaines inforshymations tenues temporairement pour secondaires afin deacutelaborer un modegravele abstrait simple avec la perspective du deacutesaveu de lexpeacuterience lequel entraicircnerait la recherche dun nouveau modegravele serrant de plus pregraves la reacutealiteacute

14

II - INTERVENTION DU NOMBRE II - 1 Le nombre intervient constamment agrave propos de grandeurs

Bien quon puisse envisager comme il vient decirctre dit une granshydeur indeacutependamment de toute uniteacute et de tout nombre le nombre simpose degraves quon veut eacutetudier les grandeurs

II-11 Il est solidement implanteacute dans la faccedilon dont on les deacutesigne habituellement par juxtaposition dun nombre et du nom dune uniteacute 3 centimegravetres 20 centimegravetres cubes 220 volts 25 kilowattheures ce quon eacutecrit 3 cm 20 cm 220 V 25 kWh

3 cm deacutesigne la longueur commune des segments cishycontre Cette longueur est aussi bien deacutesigneacutee par 30 mm et lon eacutecrit leacutegaliteacute (agrave propos dEGALITE voir MOTS-I)

3 cm= 30 mm

Une grandeur nest pas un nombre ni 3 ni 30 ne deacutesignent la lonshygueur des segments La phrase Laire de ce polygone est 15 est sansmiddot signification (alors que linformation contenue dans Le nombre de ses cocircteacutes est 6 est claire)

Cette faccedilon de deacutesigner les grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute reacutesulte dune activiteacute le mesurage qui consiste agrave comparer la grandeur agrave une grandeur quon a choisie comme uniteacute Non seulement le mesurage est un moyen de reacutealiser la classification eacutevoqueacutee au cours du chapitre I mais cest sans doute le moyen le plus utiliseacute

II - 12 Toutefois limperfection signaleacutee en I - 4 des proceacuteshydeacutes physiques deacutevaluation dune grandeur fait quun mesurage est neacutecessairement approximatif il convient donc de fournir une autre information appeleacutee incertitude sur la plus ou moins bonne qualiteacute du mesurage Un ordre ayant eacuteteacute deacutefini pour la grandeur en cause (voir III - 2) on cherche agrave estimer leacutecart entre leacutevaluation exacte (dont on postule lexistence) et leacutevaluation fournie par le mesurage

On peut exprimer cette incertitude de diverses faccedilons par exemple (voir APPROXIMATION MOTS IV) bull en donnant deux eacutevaluations lune par deacutefaut lautre par excegraves de la grandeur leacutepaisseur de cette lame est comprise entre 23 mm et 25 mm bull en disant leacutepaisseur de cette lame est 24 mm agrave 01 mm pregraves (avec le mecircme sens que ci-dessus)

15

bull en disant simplement leacutepaisseur de cette lame est 24 mm cela sous-entend en principe que leacutepaisseur est comprisemiddot entre 235 mm et 245 mm (donc cette fois leacutevaluation est faite agrave 005 mm pregraves)

Sous ces trois formes lincertitude apparaicirct comme le maximum du module (voir III- 72) de lerreur que lon commet en adoptant leacutevashyluation 24 mm agrave savoir 01 mm dans les deux premiers cas et 005 mm dans le troisiegraveme

Toutefois on tend aujourdhui vers une interpreacutetation probabiliste de lincertitude on dit par exemple que leacutepaisseur est 24 mm plusmn 003 mm pour dire quil y a une probabiliteacute de 95 oo pour que cette eacutepaisseur soit comprise entre 237 mm et 243 mm

II - 2 Quels calculs faire avec les grandeurs

Entre grandeurs (longueurs vitesses intensiteacutes eacutelectriques volushymes etc) on peut deacutefinir des relations dineacutegaliteacute et des opeacuterations mais agrave condition dobserver certaines preacutecautions

Prenons lexemple de laddition quest-ce que a+ b

Dabord au cas ougrave a serait une longueur et bun volume parler de leur somme serait deacutenueacute de sens et a fortiori adopter leacutecriture a + b

Ensuite mecircme si a et b sont lune et lautre des longueurs il faut preacutealablement

1) avoir deacutefini la somme de deux longueurs gracircce agrave un protocole expeacuterimental bien adapteacute

2) disposer dun signe daddition particulier par exemple EB ou leacutegitimer lemploi du signe + jusque-lagrave reacuteserveacute agrave un autre usage (addishytion dans N ou dans un autre ensemble de nombres)

Alors seulement leacutecriture a + b devient licite Ce qui vient decirctre dit vaut naturellement pour a-b 2a alb axb a~b

Le chapitre III sera consacreacute agrave lanalyse des conditions dans lesshyquelles lineacutegaliteacute de deux grandeurs leur somme leur diffeacuterence peushyvent ecirctre envisageacutees On y verra aussi par quel processus le nombre intervient agrave propos des grandeurs et on reacutepondra agrave la question Questshyce quune grandeur uniteacute

On examinera au chapitre IV le langage usuel et le langage matheacuteshymatique adopteacutes pour deacutesigner des grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute

Le chapitre V traitera des cas ougrave le quotient de deux grandeurs est un nombre dans ce cas on lappellera rapport telle rapport de deux longueurs

Aux chapitres VI et VII les quotients et produits de grandeurs seront introduits dans leur geacuteneacuteraliteacute

16

III - COMPARAISON DES GRANDEURS ADDITION MULTIPLICATION EXTERNE

MESURE

DI- 1 Un usage tregraves reacutepandu

Les longueurs de divers segments eacutetant deacutesigneacutees par a b c chacun sait donner une signification agrave bull la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur b ce quon eacutecrit a~b

bulllongueur somme des longueurs a et b eacutecrite a+ b ou b +a bull en particulier longueur somme de a et a dite double de a eacutecrite aussi

2 x a ou a x 2 ou 2a bull longueur 2a +a eacutecrite aussi a+ 2a ou 3 x a ou 3a et plus geacuteneacuteshyralement longueur produit de JI par a eacutecrite AgraveX a ou JIa ougrave Agrave est un nombre naturel ou non mai~ positif

Mais il ne faut pas perdre de vue que lemploi quon vient de faire des signes ~ middot + et x de la locution infeacuterieur ou eacutegal agrave et des mots somme et produit se distingue de lemploi quon en fait pour lordre laddition et la multiplication deacutefinis dans des ensembles de nombres

Analysons la deacutemarche qui aboutit agrave propos de longueurs aux notions dordre de somme et de produit par un nombre

lll - 2 Comparaison des longueurs

La comparaison des longueurs se fait agrave laide de repreacutesentants de celles-ci Deux longueurs a et b eacutetant donneacutees consideacuterons des demishydroites dorigines C1 C2 C3 et placcedilons sur elles les points A1 A2

A3 tels que [C1A1] [C2A2] [C3A3] aient pour longueur commune a puis les points B1 B2 B3 tels que [C1B1] [C2B2] [C3B3] aient pour longueur commune b

17

Si [C1A1] est inclus dans [C1B1] alors [C2A2] est inclus dans [C2B2] [C3A3] dans [C3B3] etc On dit que la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur middotb et on eacutecrit a(jJ middot

Si [C1B1] est inclus dans [C1A1] alors [C2B2] est inclus dans [C2A2] [C3B3] dans [C3A3] etc On dit que la longueur b est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur a et on eacutecrit bfJ

Ainsi linclusion dans lensemble des segments permet de deacutefinir une relation dordre total dans lensemble des longueurs

III - 3 Addition des longueurs

La somme de deux longueurs a et b se deacutefinit agrave laide de repreacuteshysentants de celles-ci

Placcedilons sur une droite D1 des points E1o F1o 0 1 sur une droite D2 des points E2 F2 0 2 sur une droite D3 des points E3 F3 0 3 tels que F1 soit entre E1 et 0 1 que F 2soit entre E 2et 0 2 que F3 soit entre E3 et 0 3 que [E1F1] [E2F2] [E3F3] aient pour longueur commune a et que [F10 1] [F20 2] [F30 3] aient pour longueur commune b

Alors [E10 1] [E202] [E30 3] ont mecircme lonshygueur Cette longueur indeacutependante du choix d~s

middot segments repreacutesentacircnt les longueurs a et b est dite somme des longueurs a et b Deacutesignons-la par c

(Cest la somme des longueurs quainsi on deacutefinit non la somme des segments)

A tout couple de longueurs on peut de cette faccedilon faire corresshypondre une certaine longueur On est donc en preacutesence dune opeacuteration interne deacutefinie sur lensemble des longueurs On lappelle addition des longueurs middot

Elle est commutative et associative Adoptons (provisoirement) le signe EB pour noter cette opeacuteration Nous eacutecrivons donc leacutegaliteacute

affib=c

Les eacutegaliteacutes c 8 a = b et c 8 b =a sont deacuteclareacutees eacutequivalentes agrave a EB b = c elles deacutefinissent la soustraction des longueurs

On noteragrave que (provisoirement au moins) u 8 v nest deacutefini que si vcopy u

18

III - 4 Une multiplication externe Capables de deacutefinir la somme de deux longueurs nous sommes

capables eacutegalement a eacutetant une longueur de deacutefinir de proche en proshyche agrave laide de sommes successives a EB a (a EB a) EB a etc une lonshygueur que nous appelons produit duri nombre naturel p par la lonshygueur a et que nous eacutecrivons (provisoirement) p a cest aussi la longueur dun segment obtenu en portant bout-agrave-bout sur une droite p segments de longueur a On conviendra que quel que soit a 1 a = a et que 0 a deacutesigne la longueur nulle

Lexpeacuterience nous conduit agrave admettre lexistence

bull dune longueur __ ~ ougrave q est un naturel non nul cest la lonshyq gueur dun segment tel que q segments de cette longueur-lagrave porteacutes bout-agrave-bout sur une droite donnent un segment de longueur a

bull dune longueur E_ a pour tout rationnel E_ cest la longueur q q

p ( ~ a) produit du naturel p par la longueur ~ acest aussi

lagrave longueur ~ (p a)

Enfin pour des raisons proprement matheacutematiques nous admetshytrons lexistence dune longueur Agrave a pour tout reacuteel positif Agrave

Envisager comme il vient decirctre fait le produit dun nombre posishytif quelconque par une longueur quelconque cest deacutefinir une opeacuteration externe au couple (a) ougrave Agrave est un reacuteel positif et a une longueur on associe une certaine longueur b quon note Agrave a ce qui permet deacutecrire leacutegaliteacute b = Agrave a

Autrement dit R+ eacutetant lensemble des reacuteels positifs etE lensemble des longueurs agrave tout eacuteleacutement du produit carteacutesien R+ xE on fait corresshypondre un certain eacuteleacutement de E (1)

III - 5 Signification du mot mesure

Etant donneacute deux longueurs a et b a neacutetant pas la longueur nulle nous admettrons quil existe un reacuteel positif Agrave tel que

b =Agrave a Ecrire cette eacutegaliteacute cest exprimer que la mesure de la longueur b

quand on prend la longueur a pour uniteacute est le nombre Agrave Ainsi se trouvent introduits deux mots mesure et uniteacute que nous emploierons constamment par la suite

(1) A et B deacutesignant deux ensembles rappelons que leacutecriture A x B quon lit A croix B deacutesigne le produit carteacutesien de A par B cest-agrave-dire lensemble des couples dont le preshymier terme est eacuteleacutement de A et dont le second est eacuteleacutement de B

19

Une uniteacute de longueur nest rien dautre quune longueur arbitraishyrement choisie non nulle cependant Le mot mesure ne saurait ecirctre employeacute sans que le choix de cette uniteacute soit indiqueacute

Le lecteur reconnaicirctra dans lemploi de produits dun nombre par une longueur une attitude qui lui est tregraves familiegravere bull si a est le centimegravetre et si est le nombre 5 alors b est 5centimegravetres et lon eacutecrit b = 5 cm ou couramment b = 5 cm bull si a est le pied anglais (foot) et si b est laltitude du Mont-Blanc alors b = 15 767 ft ou couramment b = 15 767ft

rn - 6 Proprieacuteteacutes des opeacuterations Etgt et reg et de la relation ~

III - 61 Soient a et b des longueurs telles que par exemple a = 3 coudeacutee b = 5 coudeacutee

ce quon eacutecrit couramment a = 3 coudeacutees b = 5 coudeacutees

La longueur somme des longueurs a et b quon a noteacutee a Etgt b est selon la deacutefinition quon a donneacutee en III- 3 eacutegale agrave 8 coudeacutee ou 8 coudeacutees

Dune faccedilon geacuteneacuterale si a=01k et b=f3k

la somme a Etgt b est la longueur (01 + (3) k (01 k) Etgt ((3 k) = (01+(3) k

A cause de la ressemblance de leacutegaliteacute qui preacutecegravede avec celle qui traduit dans un ensemble de nombres la distributiviteacute de la multiplicashytion sur laddition [(3 x 5) + (4 x 5) = 7 x 5] et bien que trois opeacuterashytions interviennent et non deux on dit que lopeacuteration est distributive sur laddition dans R+

En particulier une uniteacute de longueur eacutetant choisie la mesure de la somme de deux longueurs est la somme des mesures de celles-ci

III- 62 De la mecircme faccedilon lopeacuteration est distributive sur laddition des longueurs Si Agrave deacutesigne un reacuteel positif quelconque

(Agrave a) Etgt (Agrave b) = Agrave (a Etgt b) Par exemple si les cocircteacutes dun rectangle ont pour longueurs a et

b le peacuterimegravetre seacutecrit aussi bien (2 a) Etgt (2 b) que 2 (a Etgt b)

III - 63 Dessinons bout-agrave-bout sur Une droite 6 segments dont la longueur commune est 5 centimegravetres Nous obtenons un segment dont la longueur est 30centimegravetres ce qui se traduit par leacutegaliteacute middot

6 (5 cm) = (6x5) cm

20

La proprieacuteteacute appeleacutee pseudo-associativiteacute geacuteneacuteralise cette constatashytion agrave tout couple (Agravep) de reacuteels positifs et agrave toute longueur c

Agrave (Il c) = (Agrave x Il) c Cette proprieacuteteacute peut sinterpreacuteter autement

Soit a b c trois longueurs b et c neacutetant pas nulles appeshylons Agrave la mesure de a quand on prend b pour uniteacute et Il la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

a=Agraveblb = Il c a = Agrave (Il c)

la pseudo-associativiteacute exprime q11e a = (Agrave x Il) c

cest-agrave-dire que le nombre Agravell est la mesure de a quand on prend c pour uniteacute

Lagrave mesure de a quand on prend c pour uniteacute est le produit de la mesure de a quand on prend b pour uniteacute par la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

Si lon deacutesigne par mesue la mesure de la longueur e quand on prend u pour uniteacute cet eacutenonceacute seacutecrit

mesca = mesba x mescb Cet eacutenonceacute est dun emploi bien connu Si b est le megravetre quon

eacutecrit rn et si c est le centimegravetre quon eacutecrit cm rn= 100 cm

pour une longueur a de 3 megravetres on eacutecrit 3 rn = 3 (100 cm) = (3 x 100) cm = 300 cm

ce quon raccourcit en 3 rn = 300 cm

Sous une autre forme eacutegalement bien connue les changements duniteacutes sexpriment ainsi si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul k la mesure dune grandeur au moyen de cette nouvelle uniteacute est le quotient par k de la mesure obtenue au moyen de lancienne Ce quon peut eacutecrire ainsi

meshba = mesba

Ou par raccourci Si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul la mesure est diviseacutee par ce nombre Par exemple

1 meskm a = mesm a1000

III - 64 La relation dordre total noteacutee copy est compatible avec laddition et avec la multiplication par un reacuteel positif cest-agrave-dire que bull quelles que soient les longueurs a b c si acopyb alors (affic) copy (bffic) et reacuteciproquement

21

bull quelles que soient les longueurs a et b et quel que soit le reacuteel stricteshyment positif a si acopyb alors (a a)copy (a b) et reacuteciproquement

III - 65 Une uniteacute de longueur eacutetant choisie lordre sur les mesures reproduit lordre sur les longueurs quelle que soit la lonshygueur non nulle k et quels que soient les reacuteels positifs a et 3 si (a k) copy (3 k) alors a~3 et reacuteciproquement

III - 7 Des eacutecritures commodes

III - 7 1 Les proprieacuteteacutes qui preacutecegravedent justifient

1deg) que lopeacuteration EB ait eacuteteacute appeleacutee addition et que a EB b ait eacuteteacute appeleacute somme de a et b

2deg) que lopeacuteration ait eacuteteacute appeleacutee multiplication (externe) et que a k ait eacuteteacute appeleacute produit de la longueur k par le nombre a

Elles invitent bull agrave noter par le mecircme signe + laddition dans lensemble des lonshygueurs que nous avons noteacutee provisoirement œ et laddition dans lensemble des reacuteels positifs bull agrave confondre de mecircme le signe e de la soustraction des longueurs (voir III - 3) et le signe - de la soustraction dans lensemble des reacuteels posishytifs bull agrave noter par le mecircme signe x que lon omet volontiers lopeacuteration externe que nous notions provisoirement et la multiplication dans lensemble des reacuteels positifs bull et agrave noter ~ ce que nous notions copy

Ces confusions de signes incorrectes strictement parlant sont sans inconveacutenient matheacutematique Et apparemment sans inconveacutenient peacutedashygogique mais en est-on jamais sucircr Elles ont le tregraves grand avantage de permettre la conduite des calculs exactement comme si les longueurs eacutetaient des nombres

Voyons sur un exemple ce que sont ces confusions et la commoditeacute qui en reacutesulte

Dans leacutecriture (2 + 3) x (a+ b) ougrave a et b sont des longueurs le premier signe + est celui de laddition dans R le signe x est mis pour le second signe + est celui de laddition dans lensemble des longueurs il est mis pour EtJ Conservant les signes provisoires on eacutecrishyrait (2+~) (a EB b)

Exploitant la possibiliteacute de calculer comme si EB eacutetait + comme si eacutetait x et comme si a et b eacutetaient des nombres on remplace cette eacutecriture par 2a + 2b + ( -J3)a + ( ~)b ougrave les trois signes +

middot sont mis pour EB et ougrave les quatre signes sont sous-entendus

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En reacutesumeacute gracircce agrave ces confusions de signes on utilise les mecircmes eacutecritures que si a et b deacutesignaient non deux longueurs mais leurs mesures avec une mecircme uniteacute (arbitraire)

Mais on ne perd pas de vue que par exemple dans 2a 2 est un nombre et que a nen est pas un

III- 72 Cependant cette commoditeacute deacutecriture serait comproshymise par la restriction signaleacutee agrave la fin de III - 3 agrave propos de la sousshytraction Faute de lever cette restriction on perdrait une grande part du beacuteneacutefice escompteacute et de plus on introduirait dans leacutetude des pheacutenomegraveshynes physiques des distinctions artificielles

Ainsi un ressort tendu ayant une longueur a eacutegale agrave PO si par une leacutegegravere modification de la tension on amegravene ce ressort agrave prendre une longueur b eacutegale soit agrave PA soit agrave PB la diffeacuterence b a ne pourrait exprimer la variation de longueur que dans le premier cas cessant decirctre deacutefinie dans le second elle devrait ecirctre remplaceacutee par a-b et il faushydrait mentionner explicitement dans chaquemiddot cas smiddotil sagit dun allongeshyment ou dun raccourcissement

p B 0 H A

Le moyen de se libeacuterer de ces contraintes consiste agrave introduire des longueurs positives et des longueurs neacutegatives gracircce agrave des conventions de signe On convient (1) de deacuteclarer positive la longueur du segment [OM] lorsque M est sur lune des demi-droites dorigine 0 de la deacuteclashyrer neacutegative lorsque M est sur lautre demi-droite et de deacuteclarer opposhyseacutees les longueurs de deux segments [OM] et [ON] lorsquils sont supershyposables et que Met N sont de part et dautre de 0 enfin on deacutefinit le module dune longueur e noteacute lfl comme eacutegal agrave e si e est positive et agrave son opposeacutee si e est neacutegative

III- 73 Gracircce agrave une telle convention lanalogie avec le calcul algeacutebrique devient complegravete et lon geacuteneacuteralise exactement comme on le fait dans lensemble des nombres reacuteels la relation dordre noteacutee ~ laddition et la soustraction deacutesormais deacutefinie dans tous les cas

(1) En fait une telle convention est rarement adopteacutee dans lusage eacuteleacutementaire pour les longueurs en revanche dautres grandeurs donnent lieu de faccedilon courante agrave une convenshytion de ce genre

- un instant origine eacutetant choisi auquel on attribue la date 0 les instants anteacuterieurs sont de dates neacutegatives les instants posteacuterieurs sont de dates positives

un sens eacutetant choisi ie long dune portion de circuit eacutelectrique on convient que les courants qui circulent dans ce sens ont une intensiteacute positive et que ceux qui circulent dans lautre sens ont une intensiteacute neacutegative

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Quant agrave la multiplication externe elle conserve le signe des lonshygueurs si le multiplicateur est un nombre positif elle change ce signe si le multiplicateur est un nombre neacutegatif Degraves lors une uniteacute de longueur (positive par deacutefinition) eacutetant choisie la mesure dune longueur positive est un nombre positif celle dune longueur neacutegative est un nombre neacutegatif Cest la mesure telle quelle vient decirctre deacutefinie de la longueur OM quon appelle couramment abscisse du point M lorigine eacutetant O Sur la figure si on adopte OH pour uniteacute de longueur labscisse de A est 3 cell de B est -2

On voit sans peine que ces conventions qui se sont imposeacutees de faccedilon naturelle dans le passeacute eacutetablissent un rigoureux paralleacutelisme entre les calculs sur les longueurs etles calculs une uniteacute eacutetant choisie sur les nombres qui les mesurent Le seui danger reacutepeacutetons-le serait de confonshydre nombres et longueur~ middot

lill _ 8 Grandeurs mesurables Ce qui vient decirctre dit de III - 1 agrave III - 7 agrave propos de longueurs

(ineacutegaliteacute somme de longueurs puis produit par un nombre) peut-il se reacutepeacuteter agrave propos dautres grandeurs

III- 81 Si on appelle grandeur tout caractegravere dun objet aux sens tregraves larges de ces deux mots susceptible de variations chez cet middotobjet ou dun objet agrave un autre les exemples de grandeurs sont nomshybreux la gentillesse lagressiviteacute lintelligence dune personne la poeacuteshysie dun texte la musicaliteacute dune meacutelodie

Pour aucune de cesgrandeurs onne saurait parler deacutegaliteacute On sait dire agrave loccasion que telle personne est plus gentille que telle autre qe faccedilon dailleurs subjective mais que serait leacutegaliteacute pour les gentillesshyses 7 middot

middot Un test dintelligence permet de dire que les scores obtenus par deux personnes agrave des moments deacutetermineacutes sont eacutegaux et de placer ceuxshyci au mecircme endroit dune certaine eacutechelle il ne permet de deacutefinir middotni leacutegaliteacute ni laddition des intelligences (et encore moins lintelligence elle-mecircme agrave moins de simaginer lintelligence comme eacutetant ce que repegravere le test)

On sait donner une signification agrave Ce mateacuteriau est aussi dur que cet autre La dureteacute donne la possibiliteacute degrave deacutefinir une eacutechelle(eacutechelle de Mohs pour les roches) ou un indice (indice de Brinell pour les meacutetaux) mais on ne saurait parler de la somme de deux dureteacutes

On sait reconnaicirctre que deux points sont au mecircme potentiel eacutelectrishyque (on dit la diffeacuterence de potentiel entre ces deux points est nulle) il ne passerait aucun courant dans un fil meacutetallique qui les joindrait Mais on ne sait pas deacutefinir la somme de deux potentiels

La dureteacute le potentiel eacutelectrique sont des grandeurs repeacuterables mais pas sommables

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III- 82 On a eacuteteacute capable

bull de deacutefinir leacutequivalence de deux segments (par superposabiliteacute) on les a dits repreacutesentants dune mecircme longueur oumiddotplus simplement de mecircme longueur

bull de deacutefinir dans lensemble des longueurs ainsi obtenu une relashytion dordre total qui permet de comparer deux longueurs

bull de deacutefinir dans ce mecircme ensemble une opeacuteration interne 1 addition des longueurs

bull de deacutefinir une opeacuteration externe la multiplication des longueurs par les reacuteels positifs

Legraves grandeurs pour lesquelles il en est ainsi possegravedent les proprieacuteteacutes deacutecrites en III - 6 Elles sont dites grandeurs mesurables

Le matheacutematicien et le physicien quand ils envisagent demiddot telles grandeurs abandonnent geacuteneacuteralement cette eacutepithegravete grandeur est soushyvent employeacute comme synonyme de grandeur mesurable (1)

Deacutefinir la somme de grandeurs (comme deacutefinir leacutegaliteacute voirl3 et 14) ne va pas de soi et pose des problegravemes dordre technique ou theacuteorishyque

Des moyens de reconnaicirctre leacutequivalence de cour~nts eacutelectriques de les dire repreacutesentants dune mecircme intensiteacute eacutelectrique ont eacuteteacute preacutesenshyteacutes en 13 et 14 On pourrait deacutefinir la somme de deux intensiteacutes i1 et i2 comme eacutetant celle dun courant qui produit dans un conducteur ohmique pendant une certaine dureacutee la quantiteacute de chaleur somme des quantiteacutes de chaleur fournies par les courants dintensiteacutes i1 et i2 cirshyculant successivement dans ce conducteur pendant cette dureacutee (ce qui suppose que lon ait deacutefini anteacuterieurement la somme de deux quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees) On pourrait aussi deacutefinir la somme de deux intensiteacutes comme eacutetant celle dun courant qui traversant une cuve agrave eacutelectrolyse pendant une certaine dureacutee y fait apparaicirctre une masse de telle substance qui soit la somme des masses quegrave font apparaicircshytre les courants dintensiteacutes i1 et i2 traversant la cuve successivement pendant cette mecircnie dureacutee (ce qui suppose deacutefinies la somme de decircux masses et leacutegaliteacute entre dureacuteegraves) middot middot middotmiddot

Lexpeacuterience montre que ces deux deacutefinitions ne coiumlncident pas Cest la seconde qui a eacuteteacute retenue (2) Alors (permettons-nous danticiper sur produit de deux grandeurs voir VII) agrave dureacutee eacutegale et dans un conducteur donneacute la quantiteacute de chaleur est fonction lineacuteaire du carreacute de lintensiteacute ainsi deacutefinie (effet Joule) middot

1) Puisque lensemble des nombres reacuteels positifs est muni dune relation dordre tatar dune addition et dune multiplication il peut ecirctre consideacutereacute comme un ensemble de granshydeurs Nous le consideacutererons en effet comme teLagrave partir de VIII- 42 mais nous mainshytiendrons pour linstant la distinction entre nombres et grandeumiddotrs

(2) Cette ~econde deacutefinition de la s~mme d~ deux intensiteacutes coiumlncide avec celle qui utilise linteractionmiddot de middotdeux longs conducteurs comme en I _ 4 middot

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III - 83 Le potentiel eacutelectrique nest pas une grandeur mesurable (car il est non sommable) mais la diffeacuterence de potentiel ou tension eacutelectrique est mesurable

De mecircme la tempeacuterature celle dont parle le meacuteteacuteorologue nest pas une grandeur mesurable (car elle est non sommable) mais la diffeacuteshyrence de tempeacuterature (on dit intervalle de tempeacuterature) est une granshydeur mesurable

On sait dire que deux eacuteveacutenements se produisent agrave un mecircme instant mais on ne donne pas de signification agrave somme de deux instants Par contre la dureacutee cest-agrave-dire le temps eacutecouleacute entre deux instants est une grandeur mesurable

III- 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs quentendre par a + b

III - 9 1 Nous avons laisseacute en suspens la question souleveacutee en II - 2 a et b eacutetant deux grandeurs donneacutees arbitrairement quelles sont les preacutecautions agrave observer pour avoir le droit de les traiter comme nous lavons fait dans ce chapitre III cest-agrave-dire pour donner une signishyfication aux eacutecritures a~ b ou b ~a a+ b a= Agraveb ougrave Agrave est un nomshybre

middotVoici une premiegravere reacuteponse la condition est que a et b soient deux grandeurs de mecircme nature ou de mecircme espegravece (deux longueurs deux masses etc mais pas une longueur et une masse)

On dit de deux grandeurs quelles sont de mecircme nature pour dire quelles interviennent de faccedilon analogue dans un certain protocole expeacuteshyrimental ou si lon veut pour dire que lorsquun proceacutedeacute physique de comparaison (I - 4) est adapteacute agrave lune delles il lest aussi agrave lautre

Pour prendre un exemple tregraves simple peut-on deacuteclarer de mecircme nature le volume dun solide (son encombrement) et le volume dun reacutecishypient (sa contenance) Adoptons le protocole expeacuterimental suivant pour le solide le plonger dans leau dune eacuteprouvette et pour le reacutecishypient le remplir deau et verser celle-ci dans leacuteprouvette Dans les deux cas le niveau de leau seacutelegraveve les deacutenivellations permettent la comparaishyson de ce quil est donc licite dappeler dans les deux cas volume

On va voir (III - 92 et III - 93) quil convient de nuancer cette premiegravere reacuteponse

III- 92 Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles Dans la deacutefinition dune grandeur peut intervenir une direction dans lespace Ainsi si des voitures roulent agrave 40 kilomegravetres agrave lheure mais ont des trashyjectoires de directions diverses relativement agrave un obstacle les conseacuteshyquences pour la voiture dun choc sur cet obstacle peuvent aller de la simple eacuteraflure jusquagrave la deacuteformation grave On attribue agrave chacune de

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ces voitures un vecteur-vitesse dont la direction est celle de la trajectoire au moment du choc et dont le sens est celui du mouvement

C~s vecteurs-vitesses diffegraverent les uns des autres De plus si ~ et ~ sont deux dentre eux de directions distinctes il nexiste pas de reacuteel Agrave tel que ~ = Agrave ii bien quil paraisse normal de dire que ces vecteurs-vitesses sont des grandeurs de mecircme nature il nest pas posshysible de mesurer lun en prenant lautre pour uniteacute Ce que ces degraveux vecteurs-vitesses ont en commun cestleur module quon note v1 ou v2 (ici 40 kmh)

Autre exemple Si lon applique aux deux extreacutemiteacutes dun cacircble passant sur une poulie des forces h et situeacutees dans le plan de celle-ci ce cacircble se tend et les deux brins prennent lesmiddot directions des deux forshyces Supposons leacutequilibre reacutealiseacute mecircme dans ce cas ces directions sont en geacuteneacuteral distinctes quand elles le sont il nexiste

-+ -+pas de reacuteel Agrave tel que 11 = J2 cependant

on peut eacutetablir agrave laide dun dynamomegravetre (peson agrave ressort par exemshyple) quils ont mecircme module quon note 11 ou j 2 bull

-+ -+ Dune maniegravere geacuteneacuterale si on considegravere deux forces 11 et 12 non -+ -+

nulles il nest pas possible de trouver un reacuteel Agrave tel que 11 = Agrave12 sauf si -+ -+11 et 12 sont de mecircme direction par contre il est toujours possible de trouver un reacuteel Agrave (positif) tel que 11 = Agrave12 bull

Nous sommes ainsi ameneacutes agrave distinguer - les grandeurs dont la deacutefinition fait intervenir la direction telles

que vitesses acceacuteleacuterations forces champs magneacutetiques etc ces granshydeurs sont dites vectorielles

- les grandeurs dont la deacutefinition ne fait intervenir aucune direcshytion telles que longueurs masses eacutenergies etc ces grandeurs par opposition aux preacuteceacutedentes sont dites scalaires

Ce qui importe pour notre objet cest quagrave chaque grandeurmiddotvectoshyrielle peut ecirctre associeacutee une grandeur scalaire son module

Dans toute la suite nous exclurons de notre eacutetude les grandeurs vectorielles malgreacute leur grand inteacuterecirct en physique nous nous limiterons aux grandeurs scalaires

Lusage accepte quand le contexte permet deacuteviter la confusion lemploi des mots1orce vitesse etc pour deacutesigner soit la grandeur vecshytorielle soit la grandeur scalaire a~socieacutee

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III - 93 Une reacuteponse meilleure agrave la question poseacutee serait pourvu que a et b soient des grandeurs scalaires de mecircme nature on a le droit de les traiter suivant les proceacutedeacutes du chapitre III Cette reacuteponse peut ecirctre accepteacutee elle est cependant trop restrictive

Dira-t-on quune quantiteacute dechaleur et un travail sont de mecircme nature La reacuteponse qui ne va pas de soi serait volontiers neacutegative si ie travail se transforme facilement (trop facilement) egraven chaleur la transshyformation de chaleur en travail est loin decirctre aussi facile

On peut pourtant comparer par exemple le travail fourni par la middotmachine qui tire un train un jour dhiver et la quantiteacute de chaleur quelle fournit pour le chauffage de ce train On considegravere en effet avec de bonnes raisons que quantiteacute de chaleur et travail sont deux formes deux aspects dune mecircme grandeur leacutenergie Leacutenergie b neacutecessaire au egravehauffage du train est le tiers de leacutenergie a neacutecessaire agrave sa traction

b = j_ a 3

Bien eacutevidemment leacutecriture b lt a a une signific~tion et aussi leacutecriture a + b eacutenergie totale fournie par la machine

Nombreux sont les exemples de grandeurs qui tout en eacutetant disshysemblables en apparence et mecircme en reacutealiteacute sont cependant comparashybles les unes aux autres et mesurables avec une mecircme uniteacute comme le sont le travail et la chaleur dans lexemple ci-dessus

En reacutesumeacute 1deg) nous conserverons provisoirement lexpression grandeurs

(scalaires) de mecircme nature avec lassurance quelle entraicircne des eacutegalishyteacutes du type b = Agrave a

2deg) mais nous resterons conscients que de telles eacutegaliteacutes se relconshytrent aussi dans un cadre plus large

Cette neacutecessaire extension fera lobj~t du chapitre X ougrave seront introduites his grandeurs homogegravenes entre elles middot middotmiddot

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IV-middot CE QUON DIT ~

OU DEVRAIT DIRE

IV - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc

L~s mots longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume peuvent ecirctre employeacutes de diverses faccedilons

IV - 11 Ils peuvent concerner un objet physique deacutetermineacute

la longueur de cette route la vitesse de ce mobile agrave tel instant

Ils peuvent aussi ecirctre employeacutes indeacutependamment de tout objet physique

15 cm est unegrave longueur 70 kmlh est une vitesse excessive en ville

Dans ces exemples le mot longueur deacutesigne un eacuteleacutement dun ensemble lensemble des longueurs structureacute commeil a eacuteteacute dit plus haut par laddition la multiplication externe lordre Il en est de mecircme pour le mot vitesse

IV- 12 Mais ces-mecircmes mots peuvent aussi acceacuteder agrave un degreacute supeacuterieur dabstraction de mecircme quon dit la bonteacute le calme lhomoshytheacutetie on dit la longueur la vitesse le volume Ce langage est suscepshytible de deux interpreacutetations

bull Le concept de longueur employeacute agrave prppos de telle route particushyliegravere donne la longueur-de-la-route Du point de vue matheacutematique la longueur estune application par exemple dun ensemble de routes vers un ensemble de longueurs la vitesse est une application par exemshyple dun ensemble de veacutehicules en mouvement vers un ensemble de vitesshyses Si on note L et lJ ces applications

route x f longUgraveeur de la ~oUgravete x

auto y lJ v vitesse cie lauto y

ori eacutecrira alors f = r (x) v = ltU (y)

bull De mecircme middotque lhomme peut deacutesigner lespegravece humaine la lonshygueur pourrait deacutesigner lensemble des longueurs la vitesse lensemble des vitesses etc On eacutecrirait volontiers la Longueur la Vitesse middot cotnme on eacute_crit parfois lHomme

IV - 13 Il est agrave pegraveu pregraves impossible dans le langage courant de distinguer ces deux emplois (ceux de IV-- 11 et IV -12) intimement lieacutes et eacutegalement leacutegitimes

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Par contre bien que la confusion entre grandeur et mesure soit freacuteshyquente non seulement dans le langage usuel mais aussi heacutelas dans le langage matheacutematique il est important deacuteviter que les mots longueur vitesse etc soient employeacutes avec la signification de mesure

IV - 2 Deacutesignation des grandenrs

IV - 21 On a vu (III - 5) que la mesure dune grandeur b quand une uniteacute a est choisie est le nombre Agrave tel que

b =Agrave a

On peut deacutesigner cette grandeur aussi bien par b que par le produit Agravea quon eacutenonce en citant successivement le nombre Agrave et le nom a de luniteacute choisie

La longueur de ce segment est 3 centimegravetres Ce segment a pour longueur 3 centimegravetres Les formulations suivantes sont tout aussi acceptables

Ce segment est long de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres de longueur La Loire a 1000 kilomegravetres de long Cet enfant est acircgeacute de 8 ans Ce vin a 8 ans dacircge

IV - 22 On trouve dans les manuels des formes plus complishyqueacutees destineacutees peut-on supposer agrave attirer lattention sur le nombre Agrave

Si luniteacute de longueur est le centimegravetre la mesure de ce segment est 3 Si luniteacute est le centimegravetre la mesure de la longueur de ce segment

est 3 La mesure en centimegravetres de ce segment est 3

On peut reprocher agrave cette derniegravere formulation qui est tregraves employeacutee le risque decirctre interpreacuteteacutee comme suit par les enfants la mesure en centimegravetres est faite de centimegravetres juxtaposeacutes comme une bordure de trottoir est faite de pierres juxtaposeacutees Cette interpreacutetation risque de creacuteer la confusion entre le centimegravetre qui est une longueur et des segments de 1 centimegravetre de longueur

On devrait donc preacutefeacuterer lemploi du singulier la mesure en centishymegravetre de ce segment est 3 comme abreacuteviation de la mesure de ce segshyment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute est 3

On a parfois proposeacute dautres formulations Par exemple celle-ci la centimegravetre-mesure de ce segment est 3 Mais il faudrait dire la centimegravetre-agrave-la-seconde-par-seconde-mesure de lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur est 981 et lanneacutee-mesure de lacircge de cet enfant est 8

La notation mesab preacutesenteacutee en III- 63 est agrave la fois commode et complegravete

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IV - 3 Des formulations incorrectes

Le langage courant et le langage des manuels contiennent de nomshybreuses formes hybrides incorrectes ougrave sont confondues grandeur et mesure

IV- 31 Voici dabord des formulations raccourcies

Attention ce nest pas du 110 cest du 220 Pour cet appareil il faut des pellicules 24 x 36 La vitesse est limiteacutee agrave 50

De telles formulations sont un moindre mal le nom de luniteacute nest pas dit mais si on le cite tout est en ordre Du fait de lusage elles transmettent une information complegravete chacun sait quil sagit de 110 volts et 220 volts de 24 millimegravetres et 36 millimegravetres un panneau de limitation de vitesse indiquant 50 est agrave lire 50 kilomegravetres agrave lheure en France 50 miles per hour en Angleterre (agrave peu pregraves 80 kilomegravetres agrave lheure)

Certains corps de meacutetier utilisant toujours la mecircme uniteacute sousshyentendent geacuteneacuteralement le nom de celle-ci une planche de 20 une tocircle de 3 (1)

Il nest pas rare que le nom de luniteacute ne soit dit quen partie quand une revue technique eacutecrit des rails de 60 kilogrammes cest 60 kgm quil faut lire Chacun sait compleacuteter la locution 8 litres aux 100 middot

IV- 32 Les formulations donneacutees en IV- 22 sont lourdes et preacutesentent agrave lusage un danger lutilisateur raccourcit la mesure de la longueur de devient la longueur de Cest sans doute lorigine de phrases incorrectes tregraves employeacutees telles que

Si luniteacute est le centimegravetre la longueur de ce segment est 3

IV- 33 Lemploi pourtant fort naturel du verbe mesurer narrange rien

Ce segment mesure 3 centimegravetres Cette formulation est tregraves proche en effet de Ce segment a pour mesure 3 centimegravetres qui est une formushylation incorrecte

lylais qui osera refuser La Tour Eiffel mesure 320 megravetres

(1) Luniteacute est parfois perdue de vue Dans Il chausse du 45 luniteacute est le point Cette uniteacute de pointure est une uniteacute de longueur comprise entre 6 mm et 7 Ilm comme le montre le tableau ~uivant

Mesure en points 38 39 40 41 42 43 44 45

Mesure en centimegravetres 243 25 256 263 27 276 283 ~9

31

IV- 34 Soit a la longueur en centimegravetres de ce segment Cette formulation est peut-ecirctre la plus pernicieuse la longueur en centimegravetres dun segment est-elle autre chose que la longueur de ce segment

Que preacutetend-on deacutesigner par a Ou bien une longueur et il faut enlever ce en centimegravetres ou bien un nombre et il faut dire Soit a la mesure de ce segment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute de lonshygueur

Il y a lagrave une amorce de confusion pour ne pas dire une veacuteritable confusion entre longueur et mesure de cette longueur une certaine uniteacute eacutetant choisie

IV - 4 Des formulations simples tregraves acceptables

Les formulations les plus simples agrave condition quelles ne soient pas eacutequivoques sont les meilleures

Un carreacute de cocircteacute 3 centimegravetres cette formulation na jamais choshyqueacute personne et il faut sen feacuteliciter le cocircteacute est une longueur et 3 centishymegravetres est cette longueur

Un segment de 3 centimegravetres un jardin de 2 ares un bifteck de 100 grammes un bifteck de 8 francs un courant de 4 ampegraveres voilagrave qui est middot agrave la fois simple et correct si vous voulez la nature de la grandeur le nom de luniteacute vous renseigne si vous chegraverchez sa mesure avec cette uniteacute voyez le nombre middot

Terminons par les formulations suivantes

Ce segment est de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres la Loire a 1000 kilomegravetres cet enfant

a 8 ans middot Ce segment fait 3 centimegravetres vaut 3 centimegravetres Elles ne sont pas assez explicites pour que le puriste sache deacutecider

de leur correction Mais elles sont parfaitement claires et on ny confond pas grandeur et mesure Elles sont dun emploi tregraves freacutequent Qui reacuteussishyrait agrave les eacuteviter Qui oserait les bannir

IV- 5 Un langage normaliseacute

Il existe une orthographe et une syntaxe des symboles de grandeurs et duniteacutes Le lecteur qui souhaiterait une information plus deacutetailleacutee agrave leur propos la trouvera dans les publications de lAssociation franccedilaise de normalisation (1)

En particulier le simple bon sens commande deacuteviter dans leacutecrishyture deacutecimale des mesures de grandeurs les nombres qui comporteraient

(1) AFNOR tour Europe Ceacutedex7 -92080 PARIS LA DEacuteFENSE Voir en particulierles normes X02003 X02006 X02020

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une pleacutethore de zeacuteros soit agrave droite sil sagit dun nombre entier soit agrave gauche sil sagit dUgraven nombre deacutecimal Pour y parvegravenir on dispose de deux proceacutedeacutes

1deg) eacutecrire un tel nombre sous forme dun produit dont un facteur est une puissance de 10 dexposant positif dans le premier cas (exemshyple nombre dAvogadro IX- 61) neacutegatif dans le second (exemple constante de gravitation X- 61)

2deg) affecter dun preacutefixe le nom de luniteacute pour former une noushyvelle uniteacute mieux adapteacutee agrave la grandeur agrave mesurer On choisit habituelleshyment cette nouvelle uniteacute de telle sorte que la grandeur sexprime agrave laide dun nombre compris entre 01 et 1000

4

Ces preacutefixes sont preacutesenteacutes sur la couverture de la preacutesente brochure

33

vmiddot- RAPPORTS DE GRANDEURS

A voir deacutefini des multiplications externes menant agrave des eacutegaliteacutes du type b = Agrave a ougrave a et b sont des grandeurs et Agrave un reacuteel cela pose une double question

-est-il possible si AgravefUuml de diviser b par pour obtenir a cestshyagrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ~=a

- est-il possible si a nest pas une grandeur nulle de diviser b par a cest-agrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ]_=Agrave a

La reacuteponse agrave la premiegravere de ces deux questions est simple Du fait de la pseudo-associativiteacute (III - 63)

_l b = _l (Agravea) = ( _l x Agrave) a = aAgrave Agrave Agrave

En conseacutequence si lon donne une signification agrave leacutecriture ~ ce

ne peut ecirctre que ~ b Autrement dit diviser une grandeur par un

reacuteel Agrave non nul est la mecircme chose que la multiplier par middot~

La seconde question introduit leacutecriture 1_ jamais rencontreacutee jus-a

quici Tant que a et b sont des grandeurs de mecircme nature (et mecircme eacuteventuellement dans des cas plus larges comme on la dit en III- 93)

aucune raison ne soppose agrave ce quon deacutesigne par]_ le nombre Agrave tel que a

b = Agrave a On peut lappeler quotient de b par a mais nous preacutefeacuterons lappeler rapport de b agrave a

Le preacutesent chapitre sera consacreacute agrave de tels rapports

Dans l~ cas ougrave a et b sont deux grandeurs quelconques leacutecriture ~

recevra une signification plus geacuteneacuterale au chapitre VI ougrave elle ne deacutesishygnera plus en geacuteneacuteral un nombre nous lappellerons quotient de b par a en eacutevitant de lappeler rapport Lusage ne respecte pas toujours cette distinction (voir par exemple VI - 66)

34

V __ 1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a

V - 11 On vient den donner la deacutefinition cest le nombre de

leacutegaliteacute b = a ougrave a nest pas une grandeur nulle on leacutecrit_ ou a

ba Dans ces conditions les eacutegaliteacutes ]_ = et b = a sont eacutequivashy

a lentes En particulier la mesure de b quand on prend a pour uniteacute est le rapport ]_ (voir III - 5) en effet que a soit pris pour uniteacute cela impUumlshy

a que quil nest pas la grandeur nulle

Cest bien la notion de rapportde deux grandeurs quon emploie dans des phrases telles que

- Cette table est trois fois plus longue que large - Le deacutebit moyen du Rhocircne agrave Beaucaire est cinq fois celui de la

Seine agrave Mantes - Lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur agrave 2600 kilomegravetres daltitude

est la moitieacute de ce quelle est au sol Le poids dun corps y est lui aussi la moitieacute de ce quil est au sol

On reconnaicirctra en 3 5 12 des rapports de deux grandeurs Il en est de mecircme pour le nombre 112 dans la moitieacute du parcours et pour le nombre 14 dans un quart dheure

V - 12 Rapports de grandeurs et rapports de mesures La grandeur a neacutetant pas nulle mesurons la grandeur ben prenant

a pour uniteacute soit sa mesure b = a

La grandeur k neacutetant pas nulle mesurons a et b en prenant k pour uniteacute soient a et 3 leurs mesures

a=ak b=3k

Puisque b =a b peut seacutecrire (a k) gracircce agrave la pseudo-associashytiviteacute de III - 63

b = (a) k

Cette eacutegaliteacute exprime que le nombre a est la mesure de b quand on prend k pour uniteacute mesure qui est 3 Ainsi a = 3

Puisque a nest pas la grandeur nulle le nombre a nest pas nul donc

Le rapport de la grandeur b agrave la grandeur non nulle a est eacutegal au

rapport 1 des mesures avec la mecircme uniteacute de b et a et cela quelle queCi

soit cette uniteacute

35

V - 13 1reacutesute de ce qui preacutecegravede que le rapport de b agrave a peut prendreles formes suivantes

b (3k et Ji a ak a

Exemple a = 5 cm b = 3 cm

Le rapport ~ est un nombre qui peut seacutecrire indiffeacuteremment ~ ou

0 6 ou 30 ou 3 cm ou 30 mm ou mecircme 0bull03 m etc Les deux premiegraveres middot50 5 cm 50mm 50 mm

de ces eacutecritures sont eacutevidemment les plus maniables

Ainsi de mecircme quon peut remplacer leacutecriture ~ ~ ~ par ~on peut remplacer leacutecriture ~ par ~On a simplifieacute par la grandeur k

comme on simplifie par 5

Cette simplification traduit le fait que le rapport de deux grandeurs est indeacutependant du choix de luniteacute avec laquelle on les mesure

V- 14 Commoditeacute demploi de la notation 2 a

Bornons-nous agrave un exemple

Le produit des d~ux rapports ~ et ~ ougrave a b c sont des grandeurs

de mecircme nature b etc eacutetant distinctes de la grandeur nulle est eacutegal agrave L c

comme ce serait le cas si a b c eacutetaient des nombres En effet une uniteacute eacutetant choisie et a (3 Y eacutetant les mesures de a b c respectivement les

rapports ba et _ sont les nombres (3a et Ji leur produit est donc~ qui c Y Y

nest autre que L c

V - 15 En reacutesumeacute

1) Le rapport dune grandeur agrave une autre est la mesure de la preshymiegravere quand on prend la seconde pour uniteacute

2) Ce rapport est aussi le rapport de la mesure de la premiegravere agrave la mesure de la seconde avec la mecircme uniteacute quel que soit le choix de cette uniteacute

V - 2 Proportionnaliteacute

Exemple 1 Si les peacuterimegravetres de trois carreacutes ont pour longueurs Ptbull p 2 p 3 et si c11 c2 c3 sont les longueurs respectives de leurs cocircteacutes

Ct Cz c3 - =- =- = 025 Pt Pz P3

36

Au deacutebut de la rubrique APPLICATIONS LINEacuteAIRES (MOTS IV) agrave propos du mecircme sujet nous avons adopteacute la mecircme eacutecriture Mais elle ne comportait que des nombres c1 c2 c3 deacutesignaient les mesures des cocircteacutes avec une certaine uniteacute et p1 p2 p3 les mesures des peacuterimegravetres avec cette

uniteacute Ici c1 nest pas un nombre p 1 non plus mais c1 est tin nombre Pt

On dit

La suite des longueurs c1 c2 c3 est proportionnelle agrave la suite des longueurs Ptgt p 2 p 3 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 025

Dune faccedilon geacuteneacuterale Etant donneacute des carreacutes les longueurs de leurs cocircteacutes sont proportionnelles aux longueurs de leurs peacuterimegravetres

Ou plus simplement leurs cocircteacutes sont proportionnels agrave leurs peacuterishymegravetres

On dit aussi bien leurs peacuterimegravetres sont proportionnels agrave leurs cocircteacutes

On se permet mecircme dalleacuteger encore par lemploi du singulier le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel agrave son cocircteacute Une telle formulation est dangereuse car elle masque le fait que ce cocircteacute doit ecirctre consideacutereacute comme une variable agrave deacutefaut de quoi elle serait incompreacutehensible Elle signifie que le peacuterimegravetre est une fonction lineacuteaire du cocircteacute x--+ 4x bull

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi bien agrave propos de granshydeurs de mecircme nature quagrave propos de nombres

Exemple 2 Si lon emploie pour la confection dun gacircteau pour 4 personnes une masse a de farine un volume v deau un nombre n dœufs et une masse b de sucre pour 10 personnes il faut une massemiddot a de farine un volume v deau n œufs et une masse b de sucre qui veacuterifient au moins approximativement

a v n b 10a=v-=li=li=4

La suite a v n b 10 qui comporte des nombres et des granshydeurs de natures diverses est dite proportionnelle agrave la suite a v n b 4 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 25

Dans lexemple de mecircme type preacutesenteacute en IX- f de la rubrique PROPORTIONNAJITEacute (MOTS IV) on avait envisag~ des suites de nomshybres a v b et a v et b eacutetaient des mesures

Remarques

1) De leacutegaliteacute a = L peut-on deacuteduire leacutegaliteacute a = iL On ne a v middot v v

peut reacutepondre agrave cette question tant quon na pas donneacute une significashy

tion aux eacutecritures iL et agrave ougrave a et v dune part a et v dautre part ne v v sont pas de mecircme nature quand on donne celle de VI la reacuteponse est affirmative

37

De toute faccedilon a et v sont des nombres mais l et a nen sont a v middot v v

pas Nous reparlerons incidemment del et a en X- 51 v v

2) Reacuteponse analogue agrave la question De leacutegaliteacute ccedilE_ = ~ middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middot middot a v peut-on deacuteduire av = av En VII nous preacutesenterons des produits de grandeurs

V - 3 Taux dincertitude

Voici un usage important en physique du rapport de deux granshydeurs

On sait que le mesurage dune grandeur est affecteacute dune incertishy tude (II- 12) On appelle taux dincertitude le rapport de lincertitude

au module de la grandeur elle-mecircme ou ce qui revient pratiquement au mecircme (1) le rapport de lincertitude agrave leacutevaluation du module obtenue par le mesurage

Ainsi si la reacutesistance dun conducteur est 937 ohms agrave 01 ohm pregraves

le taux dincertitude est ~317 soit agrave peu pregraves 0001

Naturellement si lon donne une interpreacutetation probabiliste de lincertitude le taux dincertitude doit ecirctre interpreacuteteacute de faccedilon analoshygue

V - 4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs

V- 41 Un rendement sexprime par un nombre Celui dun moteur eacutelectrique est le rapport de leacutenergie meacutecanique quil fournit agrave leacutenergie eacutelectrique quil a fallu lui fournir Il est par exemple 095 Le rendement dun moteur thermique est de lordre de 13

V - 42 Titre dun alliage dune solution Si une masse m dune substance est contenue dans un meacutelange de

masse M le titre (2) de cette substance dans ce meacutelange est le rapport

~ Il est eacutevidemment compris entre 0 et 1 Un alliage dor et de cuivre

de titre 0835 contient 835 grammes dor par kilogramme dalliage Cette deacutefinition rend compte du fait quil y a proportionnaliteacute entre

les masses m1o m2 m3 bullbullbull dor et les masses dalliage correspondantes Mto M2 M3middotmiddotmiddot

(1) Cela revient pratiquement au mecircme parce quon suppose que lincertitude est petite devant le module de la grandeur si tel neacutetait pas le cas la qualiteacute du mesurage serait tregraves meacutediocre et ces notions deviendraient sans inteacuterecirct

(2) On dit parfois titre massique par opposition agrave titre volumique

38

V- 43 Echelle dune carte Si le segment de droite qui joint deux points dune carte a pour lonshy

gueur a et si le segment quil repreacutesente sur le terrain est horizontal et a

pour longueur b leacutechelle de la carte est le rapport ~

Si on lit 1 cm sur la carte repreacutesente 2 km sur le terrain ou

plus simplement 1 cm pour 2 km leacutechelle est le rapport J~ 1nombre qui peut seacutecrire On trouve parfois leacutecriture

200 000 1 cm 2 km dans laquelle on peut consideacuterer que le signe traduit le mot pour (ou ses eacutequivalents dans des langues eacutetrangegraveres) mais aussi quil est le signe habituel de la division

Les rouages dune montre se dessinent par exemple agrave leacutechelle 10

nombre quon eacutecrit aussi bien 1 cm ou mecircme 1 cmmm ce quon lit 1 mm

1 centimegravetre par millimegravetre

V - 44 Pente dune route La pente de la route [OM] est le rapport de la deacutenivellation qui est

la longueur du segment [PM] agrave la longueur du segment horizontal [OP] (1) Elle est par exemple 005 nombre quon lit souvent 5 0o On adopte aussi un langage consideacutereacute comme plus parlant analogue agrave celui quon vient de rencontrer agrave propos deacutechelle dune carte la pente

de cette route est 51c ou 5 cmm celle de cette voie ferreacutee est

6 mmm La pente des conduites deacutevacuation des eaux useacutees ne doit pas ecirctre infeacuterieure agrave 1 cmm

V- 45 Rapports trigonomeacutetriques Le rapport ~~ qui preacutecegravede

nest autre que la tangente de langle que fait la route avec un plan horishyzontal

Cet angle pourrait aussi bien ecirctre caracteacuteriseacute par son sinus ~~ ou

par son cosinus g~ Ces trois rapports sont appeleacutes rapports trigonoshy

meacutetriques de cet angle

PM(1) On deacutesigne parfois par pente dune route le rapport OM

39

V - 46 Le radian

La mesure des angles peut poser selon le type des angles consideacuteshyreacutes des problegravemes deacutelicats Nous nous bornerons aux cas simples de langle de secteur de langle de paires de demi-droites et de langle de rotations cineacutematiques (voir SECTEUR-ANGLE MOTS V)

On peut mesurer ces angles avec les uniteacutes usuelles degreacute grade tour (angle) droit mais aussi avec le radian

x

Soit des cercles concentriques et une demi-droite issue de leur centre commun 0 qui les coupe en A A A

Une autre demi-droite Ox occupe initialement la mecircme position puis tourne autour de 0 dans un certain sens elle sarrecircte en une posishytion quelconque ougrave elle coupe les cercles en M M M Soit f f f les longueurs des trajets quont deacutecrits les points dintersection de Ox avec ces cercles On sait que ces longueurs sont proportionnelles aux

longueurs r r r des rayons i f_ f sont donc un mecircme r r r

middot nombre a Ce nombre est la mesure de f quand on prend r pour uniteacute Il caracteacuterise langle dont a tourneacute Ox Dire que a = 03 ou a = 12 cest donner si on connaicirct le sens dans lequel a tourneacute la demi-droite Ox une information complegravete quant agrave la position sur laquelle elle sest arrecircteacutee et sur le nombre de fois (eacuteventuellement nul) ougrave elle est passeacutee par cette position auparavant

Pour preacuteciser cette caracteacuterisation en termes dangles on donne la deacutefinition suivante le radian est langle dont a tourneacute Ox lorsque Ma parcouru un arc de longueur r Ainsi langle dont a tourneacute Ox dans les exemples ci-dessus est langle 03 radian langle 12 radians

Cette deacutefinition est eacutequivalente agrave la suivante Le radian est langle des paires de demi-droites issues du centre dun cercle qui interceptent sur celui-ci un arc dont la longueur est celle du rayon du cercle

Leacutetymologie du mot radian (radius rayon) eacutevoque cette deacutefishynition

40

On visualisera facilement le radian un peu moins de 60deg Sur les figures ci-dessous la corde [AB] et larc AM ont mecircme longueur que le-rayon Langle AOM est 1 radian

Il est facile decirctre plus preacutecis si Ox a tourneacute dun tour Ma par~ couru le cercle en entier une seule fois parcours dont la longueur est 21rr le tour cest-agrave-dire 360deg est donc 21r radians 360deg est compris entre 628 radians et 629 radians et le radian est compris entre 57deg et 58deg

Langle plat est 1r radians Langle droit est radian soit environ

157 radian

Sur la quatriegraveme des figures ci-dessus larc AMN de mecircme lonshygueur que la diagonale [AC] du carreacute OADC est tel que AoN est Jiuml radian ou 1 414 radian un peu moins dun droit puisque le droit est 157 radian

Lun des inteacuterecircts du radian reacuteside dans la simpliciteacute de leacutegaliteacute f= ar ougrave fest la longueur dun arc de cercle de rayon r intercepteacute par

un secteur au centre dangle a radians dans cette eacutegaliteacute a est un nomshybre non un angle

La radian est dun usage commode en analyse en topographie en physique

V- 47 Le steacuteradian La deacutefinition de cette uniteacute dangle-solide est calqueacutee sur celle du radian

Soit une sphegravere de centre 0 et une portion S de cetie surface Les demi-droites issues de 0 et sappuyant sur le contour deS deacuteterminent sur des sphegraveres de centre 0 et de rayons r r r des surfaces geacuteomeacuteshytriquement semblables agrave S On sait que les aires a a a de celles-ci sont proportionnelles aux aires des sphegraveres donc aussi aux aires des carshyreacutes dont les cocircteacutes sont r r r Permettons-nous danticiper agrave propos de produits de longueurs (voir VII - 3) pour utiliser un reacutesultat bien connu les aires de ces carreacutes sont r2 r 2 r2

_ ~ a sont donc un m~me nombre cp Ce nombre est r2 r2 r2

dautant plus grand que la surfaces est vue de 0 sous un angle-solide plus grand Il est la mesure de laire a quand on prend pour uniteacute laire dun carreacute de cocircteacute r

Dire middotcp = 07 cest faire connaicirctre langle-solide sous lequel on voit du point 0 la surface S cet angle-solide est 0 7 steacuteradian

Par deacutefinition le steacuteradian est langle-solide sous lequel on voit du centre dune sphegravere une portion de celle-ci dont laire est celle dun carreacute ayant pour cocircteacute le rayon de la sphegravere

On sait que laire dune sphegravere de rayon rest 47rr2 un angle-solide est donc infeacuterieur ou eacutegal agrave 411 steacuteradians Langle-solide dun secteur triegravedre tri-rectangle (voir SOLIDE II- 1 MOTS V) est le huitiegraveme de 411 steacuteradians cest-agrave-dire 157 steacuteradian environ

V- 48 Lensoleillement de lAunis est de 2 200 heures par an Si enmiddot un lieu donneacute au cours dun intervalle de temps de dureacutee D le soleil na brilleacute en tout que pendant une dureacutee d lensoleillement moyen

pendant cet intervalle est le rapport g 2 200 heures par an est un nombre agrave peu pregraves eacutegal agrave ~ puisquun

an cest presque 8 800 heures

Le record dutilisation des Boeing appartient agrave la Swissair pour un appareil il est en moyenne de 137 heures par jour Il sagit lagrave encore dun rapport de deux dureacutees qui est 057 environ

V - 5 Ougrave le rapport de deux grandeurs est indispensable

Bornons-nous agrave trois exemples

V- 51 Lintensiteacute agrave un certain instant ou intensiteacute instantaneacutee

dun courant eacutelectrique alternatif peut seacutecrire lm cos 21r f ougrave lm est

lintensiteacute maximum (celle du courant agrave linstant-origine) et ougrave t et T sont des dureacutees T est la peacuteriode du courant et t est la dureacutee eacutecouleacutee depuis linstant-origine jusquagrave linstant envisageacute Lintensiteacute est foncshytion de t

Leacutecriture lm cos t leacutecriture lm cos 271 t seraient incompreacutehensibles car on ne saurait donner une signification au cosinus dune dureacutee Par

contre 271 f eacutetant un nombre on peut prendre son image par la foncshy

tion cosinus dont la source est R

Bien que les mots cosinus sinus deacutesignent des fonctions de source Ret de but R on dit que lintensiteacute dun tel courant est fonction sinusoiumlshydale du temps ou par raccourci que lintensiteacute est sinusoiumldale ou mecircme que le courant est sinusoiumldal

V- 52 Le calcul de ce que devient un capital placeacute agrave un taux donneacute fait eacutegalement intervenir le rapport de deux dureacutees

Si un capital ou un prix augmente de 15 OJo chaque anneacutee cest-agraveshydire sil est multiplieacute par 115 et sil est Cagrave une Ccedillate donneacutee au bout dune anneacutee il devient C x 115 de deux anneacutees (C x 115) x 115 soit C x (115)2 etc Au bout den anneacutees il est C x (115)n

Lexposant n nest pas une dureacutee il est la mesure de la dureacutee quand on prend lanneacutee pour uniteacute middot

Bien que lexpression fonction exponentielle deacutesigne une foncshytion dont la source est un ensemble de nombres on dit que le capital est une jonction exponentielle du temps

V- 53 Chacun connaicirct lattrape-nigaudsuivant ougrave se preacutesente un calcul analogue

Une feuille de neacutenuphar met une dureacutee d pour doubler son aire Si d est par exemple une journeacutee et sil faut agrave la feuille une semaine pour recouvrir leacutetang il lui faut 6 jours pour en recouvrir la moitieacute(et non 35)

Soit K laire de la feuille agrave un moment donneacute et A(x) son aire quand il sest eacutecouleacute une dureacutee x La fonction A est une fonction exposhynentielle

A(x) = K x 2d

Lexposant du nombre 2 est neacutecessairement un nombre Il ne saushyrait ecirctre par exemple une dureacutee Il est la mesure de la dureacutee x quand on prend d pour uniteacute

Aux dates 0 d 2d 3d lexposant ~ est 0 1 2 3 et la feuille a

pour aires K 2K 4K 8K

43

44

DEUXIEgraveME PARTIE

Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacuteesmiddot

VI - QUOTIENTS DE GRANDEURS

VI -1 Grandeur proportionnelle agrave une autre

Quand une substance est homogegravene() si on en preacutelegraveve une partie de volume v0 llt1 masse in0 de cette partie ne deacutepend pas du choix de celle-ci Il en reacutesulte que si une partie a un volume v1 triple de v0 sa masse m1 est triple de m0 bull

Dune faccedilon geacuteneacuterale le rapport mo des mas~es de deux corps ml

dune mecircme substance homogegravene est eacutegal au rapport Vo de leurs valushy Vl

1mes ci-dessus ces deux rapports eacutetaient mo et Vo cest-agrave-dire - 3mo 3Vo 3

A partir de leacutegaliteacute mo = Vo on est tenteacute deacutecrire cette autre ml vl

eacutegaliteacute mo = ml mais on na donneacute aucune signification aux eacutecri-Vo Vl

(1) Le mot homogegravene a ici un sens tout autre que dans la locution grandeurs homogegraveshynes entre elles mentionneacutee agrave la fin de Ill et preacutesenteacutee en X middotmiddot

45

tures telles que mo ougrave figurent deux grandeurs de natures distinctes Vo

(voir la remarque fin de V - 2)

On peut cependant mettre en regarcL m0 et v0 m1 et v1 et mecircme consideacuterer plusieurs morceaux de la mecircme substance

mo ml m2 ma

Vo vl v2 Va

Le tableau ainsi obtenu possegravede la proprieacuteteacute suivante le rapport de deux termes de la premiegravere suite quels qlils soient est eacutegal au rapport des deux termes correspondants de la seconde

Cette proprieacuteteacute est analogue agravecelle que preacutesentent deux suites proshyportionnelles de nombres par exemple

6 18 9 2

4 12 6 43

A cause de cette analogie on dit que la suite des masses est proporshytionnelle agrave la suite des volumes ou que la suite des volumes est proporshytionnelle agrave la suite des masses ou que les deux suites sont proportionshynelles

De faccedilon abreacutegeacutee on dit que la masse dune substance homogegravene est proportionnelle agrave son volume ce qui signifie que la masse est foncshytion lineacuteaire du volume celui-ci eacutetant consideacutereacute comme une variable Reacuteciproquement le volume est fonction lineacuteaire de la masse

On a deacutejagrave employeacute un tel langage mais agrave propos de deux grandeurs de mecircme nature (V- 2) le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel au cocircteacute de celui-ci

Avec les noqtbres des suites proportionnelles donneacutees plus haut on eacutecrit des eacutegaliteacutes

amp = 18 = 2 = _2_ = 1 5 4 12 6 43

Avec les cocircteacutes et peacuterimegravetres de carreacutes on eacutecrit aussi des eacutegaliteacutes

~ = c2 = ca = 025 P1 P2 Pa

middotLanalogie serait complegravete si les quotients mo m1 m2 v0 v1 v2

recevaient une deacutefinition et pouvaient ecirctre deacuteclareacutes eacutegaux Ils ne sont pas des nombres Peuvent-ils ecirctre consideacutereacutes comme des grandeurs Cette question est lobjet dece qui suit

46

VI - 2 Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume

VI-- 21 Envisageons une opeacuteration noteacutee II] qui agrave tout couple constitueacute dune masse et dun volume non nul associe une certaine grandeur nouvelle dont on deacutecide quelle est

Proprieacuteteacute A proportionnelle agrave la masse cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la masse ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave volume consshytant on multiplie la masse Jtar un nombre alors elle est elle aussi mul- middot tiplieacutee par ce nombre

Proprieacuteteacute B inversement proportionnelle au volume ce qui signishyfie que si agrave masse constante on multiplie le volume par un nombre ncin nul elle est multiplieacutee par linverse de ce nombre

(Cette double deacutecision nest pas arbitraire elle est telle quagrave des morceaux dune mecircme substance homogegravene est associeacutee une valeur unishyque de cette grandeur)

Choisissons une masse et un volume tous deux non nuls m0 v0 car ils serviront bientocirct duniteacutes de masse et de volume Appelons Po la grandeur nouvelle associeacutee au couple (m0 v0)

Po = mo II Vo bull

Soit un corps de masse rn et de volume v Appelons p la granshydeur nouvelle associeacutee au couple (rn v)

p=m[Dv

La connaissance de m et de entraicircne celle de la mesure 01 dem0 rn quand on prend m0 pour uniteacute

rn= am0

La connaissance de v et de v0 entraicircne celle de la mesure 3 de v quand on prend v0 pour uniteacute

v = 3 v0

On peut alors dresser le tableau suivant

Masse Volume Grandeur nouvelle

(1) mo Vo Po

(2) rn Vo 01 Po

(3) mo v 173 Po

(4) rn v 01 d73

p0 c est-a- 1re p

47

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B

On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B

p = ~ (ex p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en

III - 63 agrave propos de longueurs et accepteacutee pour toute grandeur - ex

P - 73 Po

bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

p = ex( ~ p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute

P = ~ Po

La grandeur p qui est m [TI v seacutecrit si lon se souvient que m = exm0 et v = 3v0 des deux faccedilons suivantes

p = (ex mo) III (3 Vo) P = ~ Po

ce qui permet de consideacuterer le nombre ~ comme la mesure de p

quand on prend Po cest-agrave-dire m 0 III v0 pour uniteacute

Si par exemple m0 est le gramme et v0 le centimegravetre cube (abreacuteshyviations g et cm3

) la grandeur f-tp relative par exemple agrave une pierre de 300 grammes et de 120 centimegravetres cubes seacutecrit de deux faccedilons

soit f-tp = (300 g) III (120 cm3 )

300soit p = (g [] cm3)p 120

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux eacutecritures m v m0 middot v0 g et cm3 et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe III et supposons quil soit celui de la division dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishy

tures a m 0 III 3 v0 et ~ (mu III v0) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration III est une division et que lamiddot nouvelle grandeur p est deacutefinie comme le quotient de la masse m par le volume v Et on convient de remplacer

leacutecriture m III v par leacutecriture m Ainsi v

P = ex m 0 = ~ x mo 3 Vo 3 Vo

f-tp = _1QQ_g__ = 25 _L 120 cm3 cm3

48

Ces conventions sont justifieacutees par la commoditeacute du calcul et du langage Comme celles de III - 7 elles sont sans inconveacutenient matheacuteshymatique Et sans inconveacutenient peacutedagogique La simpliciteacute des eacutecritures ne doit pas masquer la signification de celles-ci

VI - 22 Lorsque les masses m0 et m et les volumes v0 et v des lignes (1) et (4) du tableau ci-dessus sont relatifs agrave deux morceaux dune mecircme substance homogegravene on sait (VI- 1) que les suites (m0 m) et (v0 v) sont proportionnelles

Les nombres a et 3 des eacutegaliteacutes m = a m0 v = 3 v0

sont donc eacutegaux et la grandeur p attacheacutee agrave m et v (ligne 4) est eacutegale agrave la grandeur p0 attacheacutee agrave m0 et v0 (ligne 1)

Plus geacuteneacuteralement les eacutecritures mo m1 m2 de la fin de Vo V1 V2

VI - 1 ont reccedilu comme on le souhaitait une signification de plus elles deacutesignent la mecircme grandeur comme on le souhaitait eacutegalement

mo = ml = m2 = p Vo vl v2

La grandeur p qui est la mecircme pour tout morceau dune subsshytance homogegravene peut ecirctre consideacutereacutee comme attacheacutee agrave celle-ci

Il existe dans la langue franccedilaise un qualificatif qui sadapte tregraves bien agrave la situation une substance A est dite 3 fois plus dense quune autre B si agrave volume eacutegal la masse de A est triple de celle de B ou aussi bien si agrave masse eacutegale le volume de A est le tiers du volume de B La grandeur attacheacutee agrave A est triple de la grandeur attacheacutee agrave B

La grandeur p porterait avantageusement le nom de densiteacute() Elle a porteacute longtemps le nom de masse speacutecifique comme eacutetant un des caractegraveres de la substance envisageacutee Elle porte leacutegalement celui de masse volumique

Malgreacute ces deux locutions ougrave un qualificatif suit le mot masse elle nest pas une masse Peut-ecirctre atteacutenuerait-on cet inconveacutenient par lemploi dun trait dunion il serait sage deacutecrire masse-volumique comme on eacutecrit force-eacutelectromotrice grandeur qui nest pas une force

VI- 23 En deacutefinitive 1deg) Si un corps a une masse m et un volume v sa masse volumishy

que p est donneacutee par p = m v

(1) La densiteacute dune substance homogegravene solide ou liquide est par deacutefinition le rapport de deux masses celle dun certain volume de cette substance agrave celle dun mecircme volume deau prise agrave 4degC Elle est donc le rapport de la masse volumique de la substance agrave celle de leau prise agrave 4degC Cette derniegravere eacutetant lgcm la densiteacute dune substance est donc la mesure de sa masse volumique avec luniteacute gcm

49

On dit quon a diviseacute une masse par un volume

ft est la masse volumique de la substance qui le constitue sil est homogegravene sil ne lest pas ft est sa masse volumique moyenne

2deg) Si m a pour mesure a quand on prend m0 pour uniteacute et si v a pour mesure 3 quand on prend v0 pour uniteacute ft a pour mesure a middot m middot

-3 si on prend ~ pour uniteacute de masse volumique Vo

Par exemple m0 et v0 eacutetant respectivement le gramme et le centishymegravetre cube on creacutee agrave partir deux une uniteacute de masse volumique le gramme par centimegravetre cube cest la masse volumique dun corps de masse 1 gramme et de volume 1 centimegravetre cube On leacutecrit gcm3

bull

t Les suites ci-contre sont proportionnelshyles les quotients gcml kgdm3

tm3

m3 deacutesignent donc la mecircme uniteacute de masse volumique On leacutenonce gramme par censhy

timegravetre cube kilogramme par deacutecimegravetre cube tonne par megravetre cube La masse volumique de laluminium est aussi bien 27 gcml que 27 kgdm3 ou 27 tm3

bull

VI - 3 Un autre exemple quotient dun volume par une masse

Tout au long de VI - 2 on agraveurait aussi bien diviseacute des volumes par des masses que des masses par des volumes middot

Une pierre de 120 centimegravetres cubes a une masse de 300 grammes

Elle a un volume massique de j~g cm3g soit 04 cm~g Si cette

pierre est homogegravene tout morceau de masse 1 g a un volume de 04 cm3

bull

VI - 4 Quotient de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee Soit B lensemble des grandeurs (autres que la grandeur nulle) de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee On deacutesigne comme de coutume leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave

(1) En cegrave qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III 4 (2) cette preacutecaution eacuteie langage est rerieacuteiue riecirciessaire par les restrictions quon estpaifois obligeacute dapporter agrave la deacutefinition des opeacuterations restrictions quon mentionnera en VIII- 1

50

celles de VI- 21 on appelle cdle-ei quotient de a par b(I) on dit quon a diviseacute a par b et on eacutecrit

c = b

(Il peut se faire que c soit un nombre le quotient de a par b quon peut alors appeler rapport a eacuteteacute lobjet du chapitre V)

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs

deacutefinies par les quotients ~ et ~ sont de mecircme nature)

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme unishyteacutes puis simplifiant les eacutecritures comme en VI - 2 on eacutecrit successiveshyment a= ah b=(Jk ((J nest pas nul puisque b nest pas la granshydeur nulle)

c = = oth = x J_b (Jk (J k

ce qui exprime que la grandeur c a pour mesure a quand on prend7f

~ pour uniteacute

On eacutecrit aussi bien cette miteacute hlk On leacutenonce h park On dit quon a deacutefini une uniteacute deacuteriveacutee2) ou composeacutee agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave choisir un terme de la langue usuelle pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c ou agrave en creacuteer un

Remarque Pourqugraveoi leacutecriture ~ na-t-elle de signification que

si la grandeur b nest pas nulle Quadvient-il si variable et susceptishyble decirctre nulle elle lest effectivement

Prenons deux exemples

1deg) si avec un volume donneacute a de meacutetal on fait un fil dont laire

de la section est b on en obtient une longueur ~ dautant plus

grande que b est plus petite Mais si laire b est nulle on ne peut pas parshyler de longueur puisquil ny a pas de fil

(1) Par convention le quotient de deux grandeurs positives est positif on en deacuteduit que le quotient de deux grandeurs de signes contraires est neacutegatif et que le quotient de deux grandeurs neacutegatives est positif middot

(2) On se gardera de confondre le sens preacutesent de ladjectif deacuteriveacutee avec le sens qua cet adjectif dans fonction deacuteriveacutee dune fonction Sur ce second sens voir Xl - 14

2deg) la masse volumique dune substance homogegravene est ~ ougrave a et

b sont respectivement la masse et le volume dun eacutechantillon que nous allons dire non vide de cette substance Pour un eacutechantillon vide a est la masse nulle b est le volume nul mais on ne saurait parler de sa masse volumique puisquon ne saurait dire de quelle substance il sagit

Dune maniegravere plus matheacutematique la grandeur b neacutetant pas nulle

les eacutegaliteacutes ~ = e et a= be contiennent les mecircmes informations (le

produit be de deux grandeurs sera deacutefini en VII) Si b est nulle le proshyduit be lest aussi quelle que soit e

Dans le premier exemple la grandeur a nest pas nulle et leacutegaliteacute a = be est fausse Dans le second a est nulle et leacutegaliteacute est vraie quelle

que soit e Dans les deux cas leacutecriture ~ qui devrait deacutefinir e na

pas de signification

Le traitement des eacutecritures est formellement le mecircme que si les letshytres deacutesignaient des nombres

VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI- 51 Proportionnaliteacute Le proceacutedeacute de deacutefinition dune granshydeur e comme quotient dune grandeur a par une autre b est particuliegravereshyment bien adapteacute agrave toute situation ougrave comme en VI - 22 a est proshyportionnelle agrave b

Dans la suite deacutegaliteacutes m m mmiddot_=_=~=p Vo Vt Vz

p apparaicirct comme coefficient de proportionnaliteacute de la suite (m0 m1 m2) agrave la suite (v0 v1 v2) Mais ce coefficient est une grandeur et non un nombre alors que les coefficients de proportionnaliteacute rencontreacutes au chapitre V eacutetaient des nombres

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi aiseacutement avec des granshydeurs de natures distinctes quavec des grandeurs de mecircme nature et quavec des nombres La phrase y est proportionnel agrave x construite au singulier sinterpregravete ainsi

1deg) x et y sont deux variables deacutependant lune de lautre

2deg) cette deacutependance est expliciteacutee par y = Kx ougrave

bull si les variables x et y sont des nombres K est un nombre consshytant on est en preacutesence de 1 application lineacuteaire x _ Kx middot

bull si les variables x et y sont des grandeurs de mecircme nature ce qui eacutetait lobjet du chapitre V K est encore un nombre constant lapplicashytion x _ Kx est encore dite lineacuteaire

52

bull si les variables x et y sont des grandeurs de natures distinctes K est cette fois-ci une grandeur constante et leacutecriture Kx est celle dun produit de deux grandeurs objet de VII Par exemple pour cles morshyceaux daluminium le volume v eacutetant consideacutereacute comme variable la masse est limage de v par lapplication v (27 gcm3

) x v quon dit encore lineacuteaire middot

VI - 52 En labsence de proportionnaliteacute des moyennes Mecircme en labsence de proportionnaliteacute les quotients de grandeurs

preacutesentent de linteacuterecirct

Si un corps a une masse m et un volume v le quotient m est sa v

masse volumique moyenne le quotient Y est son volume massique m

moyen Leacutepithegravete rrioyen est inutile si le corps est homogegravene

Si un mobile a parcouru une distance a pendant une dureacutee b le

quotient ~ est sa vitesse moyenne leacutepithegravete est inutile si le mouveshy

ment est uniforme

VI- 53 Un quotient tregraves employeacute baz- ba1 relatif agrave une granshyz- 1

deur a fonction dune grandeur b Leacutetude d~un pheacutenomegravene physique comporte bien souvent la

recherche des grandeurs dont deacutepend une grandeur a pour eacutetudier le rocircle de chacune delles on les fixe toutes (autant quil est possible) agrave lexception de lune delles b puis on donnemiddot agrave b diffeacuterentes valeurs b1 bz b3 et on observe les valeurs a1 a2 a3 correspondantes que prend a

Pour fixer les ideacutees choisissons bz plus grand que b1bull La diffeacuterence bz- b1 (deacutefinie comme eacutetant la grandeur quil faut additionner agrave b1 pour obtenir bz) est appeleacutee accroissement que prend la variable b quand elle passe de b1 agrave bi

De trois choses lune

a

~middot+-------------~ az est plus grand que a1 leacutecart az- a1 se preacutesente comme une

augmentation

53

a

a

est plus petit que a1 leacutecartat+------ a2 se preacutesente comme une a1 a2

diminution

1 b0

Dans les trois cas a2 - a1 est appeleacute accroissement de a quand b passe de b1 agrave b2bull Cest en effet loccasion dutiliser les grandeurs neacutegatishyves vues en III- 72 et dadopter le mecircme langage que si a eacutetait foncshytion numeacuterique de b laccroissement a2 - a1 est positif dans le premier cas nul dans le second neacutegatif dans le troisiegraveme

Fixons bto donc aussi a1bull Le quotient ba2 -ab1 permet dappreacutecier 2- 1

la faccedilon dont se modifie a au voisinage de a1 quand b se modifie au voishysinage de bto et cela dautant mieux que lon choisit b2 plus proche de b1 (cest lagrave une ideacutee intuitive agrave laquelle leacutetude des pheacutenomegravenes physiques nous a habitueacutes)

Bien sucircr si a se mesure avec luniteacute h et b avec luniteacute k le quotient

ab2 - ab1 se mesure avec 1 uniteacute hlk quel que soit 1 eacutecart (non nul) entre 2- 1

b2 et bt La pression atmospheacuterique p 1 en un lieu donneacute agrave une date estt1

une information utile en meacuteteacuteorologie mais la faccedilon dont la pression se

modifie appreacutecieacutee par le quotient P2 - Pt ougrave p 2 est la valeur quelle t2- tl

prend agrave la date t2 est une information preacutecieuse ce quotient indique par son signe dans quel sens elle se modifie (elle augmente elle est stashytionnaire elle diminue) et par son module si elle se modifie lentement ou rapidement

La tempeacuterature au sein de leacutecorce terrestre deacutepend de la profonshydeur du point ougrave elle est observeacutee Soient 01 et 02 les tempeacuteratures en deux points dune mecircme verticale situeacutes agrave des distances et duz1 z2

54

_ _

sol quand les geacuteographes disent que le degreacute geacuteothermicircque est de 33 rn

pour les couches superficielles ils veulent dire que le quotient Zz- Z1

0z- 01 est 33 megravetres par kelvin

Le quotient ba2 - ab1 peut avoir une signification simple et recevoir - z- 1

un nom Par exemple sur une route rectiligne une voiture aux dates

et t2 a des vitesses et v2 le quotient Vz- v1 informe sur la t1 v1 tz- tl faccedilon dont se modifie la vitesse il est appeleacute acceacuteleacuteration moyenne entre t1 et t2bull Luniteacute hlk est ici par exemple le megravetre agrave la seconde par

seconde uniteacute quon peut eacutecrire ms et quon eacutecrit aussi ms2 1 bull

s Si une bobine est traverseacutee agrave la date t1 par un flux dinduction 4gt1 et

agrave la date t2 par un flux 4gt 2 (luniteacute leacutegale de flux magneacutetique est le

weber) le quotient - qi2 4gt 1 est la forceeacutelectromotrice moyenne tz tl

dont la bobine est le siegravege entre t1 et t2 luniteacute leacutegale de forceshyeacutelectromotrice est le weber par seconde cest-agrave-dire le volt (Le signe - placeacute devant le trait de fraction reacutesulte des conventions habituelles sur lorientation des champs eacutelectriques et magneacutetiques)

Revenons au quotient ba2 - ab1 relatif agrave une grandeur a fonction z- 1

dune autre b Sil se trouve que a est proportionnelle agrave b cest-agrave-dire que a est fonction lineacuteaire de b alors

a1 a2 a2 -a1 b1 - bz - bz- b1

et le quotient ~- ~ est eacutegal au coefficient de proportionnaliteacute de a agrave

b il est constant

Il est eacutegalement constant dans les cas ougrave la grandeur a sans ecirctre proportionnelle agrave b est telle que les accroissements quelle prend sont proportionnels aux accroissements correspondants de b Exemple lonshygueur dune tige meacutetallique fonction de sa tempeacuterature

Hormis ces cas le quotient ba2 - ab1 nest pas constant z- 1

On trouvera en XI - 14 une suite agrave ces consideacuterations

VI - 6 Quelques exemples de quotients de deux grandeurs

VI- 61 Citons dabord quelques exemples classiques outre ceux quon a deacutejagrave rencontreacutes (masse volumique volume massique vitesse acceacuteleacuteration) shy

55

La concentration dune solution est le quotient de la masse de la substance dissoute par le volume de la solution Elle est comme la masse volumique le quotient dune masse par un volume

Un deacutebit est le quotient dun volume par une dureacutee dans un autre contexte il peut ecirctre le quotient dune masse par une dureacutee Le premier est appeleacute deacutebit-volume le second deacutebit-masse

La pression exerceacutee par une force f agissant uniformeacutement sur une

surface daire a est L a

La puissance moyenne dun moteur qui fournit une eacutenergie E penshy

dant une dureacutee d est ~

La diffeacuterence de potentiel agrave un instant donneacute entre deux points dun circuit parcouru par un courant eacutelectrique continu dintensiteacute I est

~ ougrave P est la puissance libeacutereacutee entre ces deux points

Une vitesse angulaire est le quotient dun angle par une dureacutee On a appeleacute vitesse le quotient dune longueur par une dureacutee une vitesse angulaire nest donc pas une vitesse

Une vitesse areacuteolaire est le quotient dune aire par une dureacutee (elle nest donc pas une vitesse) La seconde loi de Kepler eacutenonce que le moushyvement dune planegravete autour du Soleil se fait agrave vitesse areacuteolaire consshytante

VI - 62 Cette voie ferreacutee est eacutequipeacutee de rails de 60 kgm Cette grandeur est une masse lineacuteique quotient dune masse par une lonshygueur On conccediloit que la masse lineacuteique est une caracteacuteristique imporshytante dun rail Et dune fibre textile lindustrie textile utilise le millishygramme par megravetre quelle appelle tex

VI - 63 Dun manuel de jardinage Arroser agrave raison de 2 fm2 bull

Ce qui est une longueur sur une surface de 1 m2 leau ainsi reacutepartie

aurait un volume de 2 litres donc une eacutepaisseur de ~ soit 1 m2

2 000 cm3 soit 2 mm 10 000 cm2

VI- 64 On parlerait aussi bien dun apport deau de 2 kgm 2

on diviserait une masse par une aire

On utilise un tel quotient dune masse par une aire quand on eacutenonce La production moyenne de ces vergers de noyers est dune tonne par hectare Cette tonne par hectare est 100 gm2

bull

On divise aussi une masse par une aire pour obtenir une masse surshyfacique grandeur utile agrave propos de feuilles de papier de plaques de tocircle de dalles de beacuteton

56

VI - 65 Le pouvoir isolant du freacuteon est tregraves bon 14 000 Vrrim

On sait que la tension (1) U middotneacutecessaire pour provoquer une eacutetinshycelle eacutelectrique agrave travers une couche dun isolant donneacute est au moins approximativement proportionnelle agrave leacutepaisseur e de celle-ci La phrase ci-dessus exprime que pour une couche de freacuteon eacutepaisse de 1 mm elle est 14 000 V

Cette proportionnaliteacute conduit agrave sinteacuteresser au quotient u quie

est une grandeur nouvelle appeleacutee champ eacutelectrique Tant que le champ eacutelectrique ne deacutepasse pas 14 000 Vmm le freacuteon est isolant

VI- 66 La lampe agrave vapeur de sodium est celle qui offre le meilshyleur rapport flux-lumineux 1 puissance consommeacutee de 92 agrave 120 lumens par watt Ce rapport nest que JO agrave 20 lumens par watt pour une lampe agrave incandescence

Phrases claires ougrave est introduit le quotient (improprement appeleacute ici rapport) dun flux lumineux par une puissance Cette nouvelle granshydeur porte le nom defficaciteacute lumineuse

VI- 67 Le pouvoir calorifique de lalcool agrave brucircler est 7 calories par gramme celui du benzegravene est 10 calories par gramme Ou mieux puisque les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec les uniteacutes deacutenergie respectivement 29 et 42 kilojoules pat gramme (2) (Pour joule et kiloshyjoule voir VII - 1)

Les kilojoules par gramme se lisent aussi sous la mention valeur eacutenergeacutetique sur les emballages des produits alimentaires (des pays ougrave les consommateurs ont pour souci de ne pas trop grossir) Yaourt X 23 kJg confiture Y 12 kJg

A propos de protection contre les radiations on utilise le joule par kilogramme quon appelle sievert et le rem 1 rem = 001 sievert

(l) Tension est synonyme de diffeacuterence de potentiel

(2) La calorie dont uuml est question ici est la millithermie cest la quantiteacute de chaleur (leacutenergie) quil faut fournir agrave 1 kilogramme deau pour eacutelever sa tempeacuterature dun degreacute (plus preacuteciseacutement pour la porter de 145degC agrave 155degC) On lappelle parfois calorieshykilogramme

La microthermie en est le 11 000 on lappelle parfois calorie-gramme Elles eacutetaient parfois appeleacutees assez curieusement grande calorie et petite calorie resshy

pectivement Elles sont souvent ce qui est plus gecircnant appeleacutees lune et lautre calorie il en reacutesulte des confusions lors de la lecture de certains textes mais aussi chez les auteurs de ceux-ci

Depuis 1978 ces uniteacutes ont cesseacute decirctre leacutegales les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec la mecircme uniteacute que leacutenergie le joule (voir VII - 1) la microthermie est eacutegale agrave 4185 joules et la thermie agrave 4185 kilojoules

Le kilowattheure (voir VIII - 82) eacutetant 3 600 kilojoules la thermie est agrave peu pregraves 116 kilowattheure

57

Ces grandeurs quotients dune eacutenergie par une masse sont des eacutenergies massiques

VI- 68 Le pouvoir calorifique de ce sous-produit gazeux est inteacuteressant 9 000 kJimm Le pouvoir calorifique est ici le quotient dune eacutenergie par un volume il est une eacutenergie volumique La pression et la tempeacuterature du gaz sont supposeacutees constantes et donneacutees

VI - 69 Cette voiture consomme JO litres aux 100 Chacun connaicirct ce langage raccourci de 10 litres dessence pour 100 kilomegravetres de parcours On dirait aussi bien 01 flkm Le litre par kilomegravetre pour un carburant donneacute est une uniteacute dune grandeur souvent appeleacutee consommation

VI - 610 La nervositeacute dune voiture est le quotient de la puisshysance de son moteur par la masse de la voiture cest une puissance masshysique Elle est parfois appeleacutee improprement puissance agrave la tonne

VI- 611 Le kilogramme par heure peut servir agrave mesurer par exemple la capaciteacute de production de cuivre dans une cuve agrave eacutelectrolyse

La production dacide sulfurique dune usine de moyenne imporshytance est 500 tonnes par jour

La pollution atmospheacuterique par le plomb si on construit cette usine daccumulateurs sera de 43 kilogrammes par jour

On reconnaicirct ici la grandeur appeleacutee deacutebit-masse en VI- 61

VI - 612 Limportance du reacuteseau routier du reacuteseau ferreacute dun pays se mesure en kmlkm2

bull

VI- 613 On peut citer ici les grandeurs concernant les eacutechanges commerciaux Si le prix est une grandeur le prix surfacique en est une autre les phrases que voici nont pas la mecircme signification

Ce terrain coucircte 1 000 F Ce terrain coucircte 1 000 Flm 2

Les uniteacutes suivantes permettent agrave elles seules dimaginer ce qui fait lobjet de leacutechange

Flkg Fig Fit Flf Flm Flkm Flha Flm3 Flh FlkWh etc

Et aussi FIF uniteacute inutile qui aurait sa place au chapitre V La taxe locale est 015 franc par franc On a longtemps dit 15 centimes le franc On eacutecrit quelle est 15

58

VII - PRODUITS DE GRANDEURS

La division dans un ensemble numeacuterique est proche parente de la multiplication En est-il de mecircme pour les divisions preacutesenteacutees en VI Autrement dit peut-on deacutefinir une grandeur comme produit de deux autres

La reacuteponse est a priori affirmative si on avait envisageacute dabord les grandeurs vitesse et dureacutee plutocirct que les grandeurs longueur et dureacutee on aurait sans doute deacutefini une grandeur nouvelle la longueur comme produit dune vitesse et dune dureacutee

Cest dailleurs exactement lattitude que lon a dans Leacutetoile la plus proche de nous Soleil excepteacute est situeacutee agrave 42 anneacutees de lumiegravere lanneacutee de lumiegravere est une longueur cest le produit dune vitesse celle de la lumiegravere (300 000 kms) par une dureacutee lanneacutee Lanneacutee de lumiegravere est agrave peu pregraves 910 12 km

Si un ami deacutedare Jhabite agrave dix minutes dici il agit de mecircme sous-entendant la vitesse agrave employer celle dun pieacuteton par exemple

VU - 1 Un exemple travail dune force

Le poids de lhorloge celui quon remonte chaque semaine est une piegravece de fonte de 5 kilogrammes Il exerce sur les rouages une force de 49 newtons (1) Quand cette piegravece de fonte descend de 2 megravetres cette force fournit aux rouages une certaine eacutenergie

La piegravece de fonte de lhorloge du beffroi dune part exerce une force plus grande parce quelle a une plus grande masse dautre part descend dune plus grande hauteur Pour ces deux raisons elle fournit une plus grande eacutenergie

Si leffet dune force est un deacuteplacement du corps sur lequel elle sexerce on dit quelle travaille cest-agrave-dire quelle fournit de leacutenergie

Cette eacuten~rgie est fonction de deux grandeurs de la force elle-mecircme et de la longueur du deacuteplacement Si le deacuteplacement est de mecircme direcshytion et de mecircme sens que la force on deacutecide que leacutenergie est

Proprieacuteteacute A) proportionnelle agrave la force cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la force ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave longueur consshytante de deacuteplacement on multiplie la force par un nombre alors leacutenershygie est elle aussi multiplieacutee par ce nombre middot

(1) Luniteacute leacutegale de force est le newton que le lecteur se repreacutesentera facilement sil retient que le poids dun corps de masse 1 kilogramme (cest-agrave-dire la force quexerce la pesanteur sur ce corps) est 981 newtons agrave peu pregraves 1 deacutecanewton (daN)

59

Proprieacuteteacute B) proportionnelle agrave la longueur du deacuteplacement cestshyagrave-dire fonction lineacuteaire de la longueur ce qui signifie que si agrave force constante on multiplie la longueur par un nombre alors leacutenergie est eacutegalement multiplieacutee par ce nombre

On est en preacutesence dune opeacuteration qui agrave tout couple constitueacutemiddot dune force et dune longueur associe une eacutenergie Notons 18] cette opeacuteration Leacutenergie e associeacutee au couple (ji) est middot

e=J[8li Choisissons une force Jo et une longueur f0 non ~mlles (elles sershy

viront duniteacutes) Au couple (j0 fa) est associeacutee leacutenergie e0

eo =Jo 18] io La connaissance de J et Jo entraicircne celle de la mesure œ de J

quand on prend Jo pour uniteacute J = œJo

La connaissance de i et fa entraicircne celle de la mesure (3 de i quand on prend fa pour uniteacute

i = 3fo

On peut alors dresser le tableau suivant

force longueur eacutenergie

(1) Jo io eo

(2) J io œe0

(3) Jo i f3eo

(4) J i (œ(3)eo

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B e = (3(œe0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en III- 63

e = (œ(3) eo bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

e = œ((3e0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-asociativiteacute e = (œ(3) eo

Ainsi e qui est J 18] i seacutecrit de deux faccedilons e = (œJo) l8l (f3fo) e = (œ(3)eo

60

ce qui permet de consideacuterer leuombre a3 comme la mesure de e quand on prend e0 cest-agrave-dire fo [81 f0 pour uniteacute

Si par exemple fo est le newton et f0 le megravetre (abreacuteviations N et rn) leacutenergie E fournie par la descente de la masse de fonte de notre horshyloge seacutecrit de deux faccedilons

soit E = (49 N) [81 (2 rn) soit E = ( 49 x 2)(N [81 rn)

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux1eacutecrituresf

R f 0 R0 Net rn et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe [81 et supposons quil soit celui de la multiplication dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishytures (af0) Qlt1 (3fo) et a3(f0 [81 fo) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration [81 est une multiplication et que 1eacutenergie e est deacutefinie comme le produit

de la force f par la longueur f Et on convient de remplacer leacutecriture f [81 R par jxf ou fR ou fR

Ces conventions sont justifieacutees comme celles de III - 7 et VI - 21 par la cqmmoditeacute des calculs et du langage elles sont sans inconveacutenient matheacutematique

On eacutecrit donc e = afo X f3Ro = af3fofo E = 49 N x 2 rn = 98 N x rn = 98 Nm

En reacutesumeacute Une force f qui provoque un deacuteplacement de longueur Rdans sa propre direction et son propre sens fournit une eacutenergie e donshyneacutee par e = fR

On dit quon a multiplieacute une force par une longueur

Si f a pour mesure ci quand on prend fo pour uniteacute et si Ra pour mesure 3 quand on prend f0 pour uniteacute e a pour mesure a3 si on prend fo f0 pour uniteacute deacutenergie

Par exemple fo et f0 eacutetant respectivement le newton et le megravetre on creacutee agrave partir deux une uniteacute deacutenergie le newton x megravetre Cest leacutenershygie que fournit une force dun newton qui provoque un deacuteplacement dun megravetre la force et le deacuteplacement ayant mecircme direction et mecircme sens On leacutecrit Nxm ou Nm ou Nm (mais non pas mN voir VIII- 21)

On le lit newton-megravetre et surtout pas newton par megravetre qui serait le quotient dunemiddotforce par une longueur

Le newton x megravetre ou newton-megravetre porte un autre nom joule (abreacuteviation J) Cest une uniteacute deacutenergie quil est facile de se repreacutesenshyter eacutelevez dun megravetre un objet dun hectogramme (son poids est agrave peu pregraves 1 newton) vous lui aurez fourni une eacutenergie dun joule (sur la

61

Terre sur la Lune vous lui en auriez fourni le sixiegraveme environ) Lobjet restituera cette eacutenergie sil redescend et sarrecircte apregraves 1 megravetre de deacutenivellation middot

Un retour aux quotients de VI nous permet une parenthegravese la puissance dun moteur eacutetant deacutefinie comme quotient de leacutenergie quil fournit par le tempsmiddot quil lui faut pour la fournir la puissance du moteur de notre horloge est 98 Jsemaine soit

98 joules(7 x 24 x 3 600) secondes soit 000016 jougraveleseconde Ce joule par seconde est le watt Notre horloge est actionneacutee par un moteur de 016 milliwatt La descente dun second poids actionne le marteau de la sonnerie

VIl - 2 Aire dun rectangle

Soient a et bles longueurs des cocircteacutes dun rectangle et A son aire Si laissant lune de ces deux longueurs fixe on double ou triple lautre laire est doubleacutee ou tripleacutee Laire dun rectangle est proportionnelle agrave chacune demiddot ses dimensions

La deacutemarche suivie est la mecircme quen VII- 1 on rattache (sans que cela soit neacutecessaire voir VIII - 62) laire A au produit a x b et lon eacutecrit A= ab

Les calculs se conduisent de la mecircme faccedilon avec cette seule partishyculariteacute que les deux grandeurs dont on fait le produit sont de mecircme nature

Soit f0 une uniteacute de longueur et a et 3 les mesures respectives de a et b avec cette uniteacute

A = (af0) X (3f0) = (a3)(f0 X f0)

Par exemple si f0 est le centimegravetre (abreacuteviation cm) laire dun rectangle dont les cocircteacutes ont pour longueurs 3 cm et 5 cm est 3 cm x 5 cm Pour transformer cette eacutecriture on creacutee une uniteacute daire quon eacutecrit cm x cm et mecircme cm2

bull Ainsi naicirct le centimegravetre carreacute et naissent de la mecircme faccedilon le megravetre carreacute le pouce carreacute le pied carreacute

Le centimegravetre eacutetant 001 rn le centimegravetre carreacute aire dun rectangle dont les cocircteacutes mesurent 1 cm (rectangle carreacute donc) peut seacutecrire 001 rn x 001 rn soit toujours par la mecircme meacutethode de calcul 00001 m2

bull

Dans ce qui preacutecegravede a et b sont mesureacutes avec la mecircme uniteacute mais rien nempecircche de mesurer par exemple a en kilomegravetres et ben megravetres une route de 3 km dont lemprise est large de 8 rn occupe 3 km x 8 rn de terrain soit 24 kmm Cette uniteacute daire le kilomegravetre-megravetre ou aussibienlemegravetre-kilomegravetreseacutecrit 1 mx1 ooomiddotm ou 1 OOOmxm soit 1 000 m 2

bull

62

VII - 3 Produit de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee et B lensemble des grandeurs de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee ensemble eacuteventuellement eacutegal agrave A On deacutesigne selon lusage leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave celles de VII 1 on appelle celle-ci produit de a et b (3) on eacutecrit c=axb ou c=bxa on eacutecrit aussi c=ab c=ba on dit quon a multiplieacute a par b ou b par a

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs deacutefinies par les produits a x b et a x b sont de mecircme nature) middot

Si la grandeur a ou la grandeur b est nulle la grandeur c 1est aussi

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme uniteacutes puis usant largement de simplifications deacutecritures comme en VII -1 on eacutecrit successivement

a = ah b = (3k c =ab= (ah) x ((3k) = (ot3)(h x k)

ce qui exprime que la grandeur ca pour mesure ot3 quand on prend h x k pour uniteacute

On eacutenonce cette uniteacute en citant lun apregraves lautre les noms des deux uniteacutes h et k (ouk eth) on leacutecrit h x k ou hk ou hk On dit lagrave encore quon deacutefinit une uniteacute deacuteriveacutee (on dit aussi composeacutee) agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave adopter un vocable pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c en le prenant dans la langue usuelle si elle en contient un qui convienne ou en le creacuteant

VU - 4 Exemples de produits de deux grandeurs

On a preacutesenteacute ci-dessus eacutenergie fournie par une force qui travaille et aire dun rectangle

La quantiteacute de mouvement agrave un instant donneacute dun corps de masse m et de vitesse v est le produit mv middot

La force qui agrave un instant donneacute communique agrave une masse m une acceacuteleacuteration Y (VI - 53) est mY

(1) En ce qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III - 4 (2) Mecircme remarque quen la note (2) de VI- 4 (p 50) (3) Convention analogue quant au signe de c agrave celle de VI 4

63

En meacutecanique on deacutefinit une action comme produit dune eacutenershygie et dune dureacutee (cf principe de Maupertuis dit de moindre action) On se gardera de confondre ce produit et le quotient dune eacutenergie par une dureacutee qui est une puissance

-+ Etant donneacutee une force f agissant sur un solide mobile autour

dune droite 6 orthogonale agrave sa direction on appelle moment de cette force par rapport agrave cette droite le produitjx OP ougrave OP est la longueur

-+ -+ qui seacutepare 6 du support de f (Sur les notations f etj voir III- 92)

tl-1-------J110

La quantiteacute deacutelectriciteacute qui franchit pendant une dureacutee d un point dun circuit eacutelectrique parcouru par un courant continu dintensiteacute 1 est Id

5 millimegravetres de pluie sur un champ dun hectare cest 50 megravetres cubes deau un volume a eacuteteacute obtenu ici comme produit dune longueur par une aire

Ce chantier de construction dune autoroute a neacutecessiteacute un deacuteplashycement de terres de 40 millions de megravetres-cubes x hectomegravetres Ce quon transformerait en 4 milliards de m3 x rn uniteacute quon eacutecrirait presque m4 bull Par souci de clarteacute on laisse transparaicirctre les grandeurs dont on fait le produit un volume et une longueur

m3Ces 40 millions de x hm sont 40 hm3 x hm ou bien 40 hm3 x 100 rn ou 4 000 hm3 x rn ou 4 km 3 x rn une montashygne de 4 km3 quon aurait deacuteplaceacutee dun megravetre

On mesure aussi un deacuteplacement de terres agrave laide de la tonneshyhectomegravetre ou de la tonne-kilomegravetre produit dune masse par une lonshygueur Un transport de marchandises un trafic ferroviaire sexpriment en tonnes-kilomegravetres

La loi de Mariotte seacutenonce ainsi la pression p et le volume v dune masse donneacutee dun gaz (dun gaz parfait preacutecisent les physiciens) maintenu agrave tempeacuterature fixe sont tels que le produit pv est constant middot

On mesure celui-ci par exemple agrave laide du bar x centimegravetre cube ou mieux en utilisant les uniteacutes leacutegales de pression et de volume agrave laide du pascal x megravetre cube On verra en X- 52 pourquoi on le mesure aussi en joules (le joule est luniteacute leacutegale deacutenergie)

64

VID - ALGEgraveBRE DES GRANDEURS

Les chapitres preacuteceacutedents ont mis en lumiegravere une analogie certaine entre les opeacuterations sur les grandeurs et les opeacuterations sur les reacuteels Essayons de la preacuteciser

VIII - 1 Addition des grandenrs et mnltiplication externe

Les proprieacuteteacutes de ces deux opeacuterations incitent agrave organiser en vectoshyriel sur R(l) lensemble des grande1mi de mecircme nature quune grandeur non nulle a donneacutee comme chacune de ces grandeurs peut seacutecrire Agravea ougrave Agrave est un reacuteel ce vectoriel est de dimension 1 (un vectoriel de dimenshysion 1 est souvent appeleacute droite vectorielle)

On se heurte ici agrave une difficulteacute pour certaines grandeurs ces opeacuteshyrations ne sont pas partout deacutefinies autrement dit ce ne sont pas des lois de composition Ainsi on ne peut parler de la somme des angles de secshyteurs 150deg et 240deg car 150 + 240 gt 360 de mecircme si 33 deg est un angle de secteur leacutecriture 33deg x 125 nen deacutesigne pas un Des remarques analogues sappliquent aux angles de paires de demi-droites ou de droishytes ainsi quaux angles solides (mais pas aux angles qui interviennent dans les mouvements de rotation)

Une difficulteacute du mecircme genre se preacutesente quand on cherche agrave orgashyniser en vectoriel sur R lensemble des grandeurs de toutes natures en effet laddition nest pas une loi de composition elle ne peut ecirctre deacutefishynie que par morceaux addition des longueurs addition des masses addition des eacutenergies etc (2)

En reacutesumeacute on peut dire que les grandeurs entrent dans un modegravele matheacutematique de vectoriel sur Rpourvu quon garde preacutesent agrave lesprit le fait que ce modegravele doit ecirctre restreint aux seules opeacuterations qui ont une signification physique

(1) On dit quun ensemble E est structureacute en vectoriel sur R (ou en R-vectoriel ou en espace vectoriel sur R) lorsque lon a deacutefini dansE 1deg) une addition associative commutative pourvue dun eacuteleacutement neutre et telle que tout eacuteleacutement de E ait un opposeacute 2deg) une multiplication externe qui agrave tout reacuteel Agrave et agrave tout eacuteleacutement x de E associe un eacuteleacuteshyment de E noteacute AgraveX

ces deux lois eacutetant telles que quels que soient les reacuteels Agrave et p et les eacuteleacutements u et v de E (Agrave+p)u = AgraveU+pu Agrave(u+v) = AgraveU+Agravev Agrave(pV) = (Agravep)v lu = u

(2) Tout au plus peut-on espeacuterer que certaines de ces additions partielles deviennent avec les progregraves de la science reacuteductibles les unes aux autres il neacutetait pas eacutevident au XVIIIbull siegravecle quon pourrait un jour additionner des quantiteacutes de chaleur et des eacutenergies cineacutetiques

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Collection MOTS

LAPMEP a penseacute aider les instituteurs et dautres enseignants dans leur enseignement de la matheacutematique en reacutedigeant les brochures MOTS

Il ne sagit pas agrave proprement parler dun lexique Cependant il sera loisible agrave chacun de ranger les rubriques par ordre alphabeacutetique Dautre part nous avons tenu compte des suggestions proposeacutees par la Commisshysion du Dictionnaire de lAPMEP dans son recueil de fiches La matheacutematique parleacutee par ceux qui leuseiguent

Il ne sagit pas non plus dunecodification autoritaire du vocabushylaire lAPMEP ne peut pas et ne veut pas codifier Comme dans le Dictionnaire de lAPMEP nous nous sommes neacuteanmoins enhardis agrave suggeacuterer une certaine harmonisation agrave exprimer notre penchant ou notre aversion pour certains termes Nous souhaitons ouvrir ainsi le deacutebat avec nos lecteurs

Enfin il ne sagit pas dun ouvrage de formation theacuteorique ou peacutedashygogique des maicirctres de leacutecole eacuteleacutementaire Nous pensons cependant quune reacuteflexion sur le vocabulaire si on la megravene assez loin deacutebouche sur le fond mecircme des notions matheacutematiques eacutevoqueacutees et sur leur introducshytion peacutedagogique eacuteventuelle Les formateurs (IDEN professeurs dEN animateurs des IREM) trouveront peut-ecirctre dans quelquesshyunes de ces rubriques un outil pour un travail en commun avec les collegraveshygues en formation initiale ou continue Mais nous espeacuterons surtout quelles seront lisibles et utilisables par les instituteurs isoleacutes

Pour se le procurer sadresser agrave M BLONDEL

154 avenue Marcel Cachin 93320 CHATILLON-SOUS-BAGNEUX

3

MOTS I contient EacuteGALITEacute EXEMPLE et CONTRE-EXEMPLE COUPLE RELATION BINAIRE NOMBRE NATUREL ENTIERS et RATIONNELS NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE A VIRGULE FRACTION ENSEMBLES DE NOMBRES

MOTS II contient REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES APPLIshyCATION FONCTION BIJECTION PARTITION EacuteQUIVAshyLENCE PARTAGES DIVISIBILITEacute DIVISION EUCLIshyDIENNE DIVISION

MOTS III contient NUMEacuteRATION OPERATION LOI DE COMPOSITION COMMUTATIVITEacute ASSOCIATIVITEacute DISTRIBUTIVITEacute EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRAshyTIONS CONGRUENCES ORDRE PROPRIEacuteTEacuteS DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE PREacuteshyORDRE COMPARAISON DES ORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANS N DANS D+

MOTS IV contient APPLICATIONS LINEacuteAIRES PROPORTIONshyNALITEacute OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS POURCENshyTAGES EacuteCHELLES EacuteQUATIONmiddot INEacuteQUATION ENSEMBLE CARDINAL APPROXIMATION

MOTS V contient SEGMENT LONGUEUR SECTEUR ANGLE VQCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE _SOLIDES PARALshy

LELE VERTICAL HORIZONTAL EXPOSANT PUISshySANCE Et un index terminologique des mots matheacutematiques figurant dans les cinq premiegraveres brochures

Introdugravection agrave MOTS VI Ce 6e tome a eacuteteacute reacutedigeacute par la mecircme eacutequipe que les preacuteceacutedents

Comme eux- et nous insistons sur ce point- il sadresse aux maicirctres et nullement aux eacutelegraveves middot middot

Il se particularise par le fait qu1il estconsacreacute agrave une seule rubrique intituleacutee Grandeur-Mesure

4

Jadis on trouvillt couramment dans les manuels de matheacutematiques des exercices mettant en jeu des longueurs des aires des volumes des masses des dureacutees des vitesses des deacutebits etc Ces exercices ont agrave peu pregraves disparu on peut le regretter

A juste titre on a reprocheacute agrave ces exercices leur cocircteacute souvent artificiel Il est indeacuteniable que leur aspect eacutetaitparfois fort eacuteloigneacute du veacutecu quotishydien En ce sens ils servaient dalibi agrave des exercices de calcul quon aurait pu preacutesenter plus simplement

Plus contestable eacutetait le fait que bien souvent lanalyse de la situashytion proposeacutee eacutetait neacutegligeacutee au profit de la recherche de mots inducteurs sur lesquels on fondait la traduction en langage matheacutematique

En revanche ces problegravemes permettaient denraciner les concepts matheacutematiques dans lexpeacuterience physique- au niveau eacuteleacutementaire tout au moins

Qui pourrait nier que le maniement des longueurs est eacutetroitement lieacute au maniement des nombres On peut preacutesenter les rationnels comme des classes deacutequivalence une telle preacutesentation a mecircme pu ecirctre en faveur pendant un certain temps mais ce nest pas une raison pour neacutegliger voire pour masquer le fait que les rationnels simposent degraves que lon pra-middot tique des mesures de longueurs

Nous pensons que des grandeurs physiques ont leur place dans 1enseignement des matheacutematiques Longueurs airesmiddot et volumes relegravevent de la geacuteomeacutetrie Pourquoiexcluremiddotmasses dureacutees vitesses deacutebits masses volumiques sous le vain preacutetexte quils relegravevent de la Physique A moins quon estime que les calculs mettant en jeu des grandeurs physiques posent des problegravemes deacutelicats quil est bien agreacuteable de confier au physishycien Ce serait dans ce cas chercher un refuge confortable dans une rigueur matheacutematique fallacieuse et glaceacutee Mais le confort serait-il alors pougraverleacutelegraveve ou pour le professeur middot

MOTS VI coin porte trois parties

bull Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

Partant de lexpeacuterience physique on preacutecise ici les relations quentreshytiennent les grandeurs et les nombres Ainsi se deacutegagent les notions de grandeurs de mecircme nature et de grandeurs mesurables

A son habitude la commission recense les usages examine les expressions courantes critique souvent deacuteconseille parfois Elle souhaite ainsi fournir au lecteur des informations suffisantes pour quil effectue ses choix en connaissance de cause

bull Les grandeurs entre elles Se reacutefeacuterant toujours agrave lexpeacuterience cette deuxiegraveme partie eacutetudie les

relations entre certaines grandeurs

5

Quotients et produits conduisent agrave preacuteciser lalgegravebre des grandeurs Apregraves quoi on effectue une incursion prudente dans les deacutelicates quesshytions dhomogeacuteneacuteiteacute et de dimension physique

bull Consideacuterations peacutedagogiq11es

Ce titre paraicirctra inhabituel aux fervents de nos MOTS Au risque de nous reacutepeacutetermiddot soulignons que conformeacutement agrave nos habitudes cette troishy

siegraveme partie ne dresse pas un catalogue de ce quil faut faire ou de ce quil ne faut pas faire

Tout au plus y trouvera-t-on - agrave la lumiegravere de ce qui preacutecegravede et avec toute la prudence qui simpose agrave propos de ces questions deacutelicates- une bregraveve analyse de certains usages et expressions

Les auteurs y formulent parfois des souhaits plus souvent des mises en garde contre des confusions toujours possibles rarement des condamshynations

Nous espeacuterons que cette brochure inteacuteressera un large public Les maicirctres de lEcole Eleacutementaire pourront y voir comment leur

enseignement agrave propos des grandeurs et des mesures se prolonge dans une perspective qui englobe sciences expeacuterimentales et matheacutematiques

Quant aux maicirctres du Second Degreacute - tant matheacutematiciens que physiciens - puisse cette brochure en un temps ougrave on parle beaucoup dinterdisciplinariteacute leur fournir loccasion deacutechanges dont les eacutelegraveves tireront profit

Au cours de leacutelaboration de cette brochure nous avons demandeacute agrave cinq professeurs de physique et chimie de lire notre projet Ils lont fait avec beaucoup dattention Nous avons tenu compte de leurs remarques Nous les remercions vivement de leur collaboration

Toutes les remarques critiques suggestions seront accueillies avec reconnaissance

Ecrire agrave Jacques LECOQ 16 rue du Plateau Fleuri 14000 CAEN

Juin 1982 La Commission MOTS

6

SOMMAIRE

PREMIEgraveRE PARTIE Grandeur et nombre mesures dune grandeur

1- Notion de grandeur 11

II - Intervention du nombre 15

III - Comparaison des grandeurs Addition Multiplication externe Mesure

III - 1 Un usage tregraves reacutepandu 17 III - 2 Comparaison des longueurs 17 III - 3 Addition des longueurs 18 III - 4 Une multiplication externe 19 III -- 5 Signification du mot mesure 19 III - 6 Proprieacuteteacutes des lois EB et reg et de la relation 20 III - 7 Des eacutecritures commodes 22 III - 8 Grandeurs mesurables 24 III - 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs

quentendre par a+ b 26

IV- Ce quon dit ou devrait dire

VI - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc 29 VI - 2 Deacutesignation des grandeurs 30 VI - 3 Des formulations incorrectes 31 VI - 4 Des formulations simples tregraves acceptables 32 VI - 5 Un langage normaliseacute 32

V - Rapports de grandeursmiddot bull 34

V-1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a 35 V-2 Proportionnaliteacute 36 V-3 Taux dincertitude 38 V-4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs 38 V-5 Ougrave le rapport de deux grandeurs

est indispensable 42

7

DEUXIEgraveME PARTIE Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacutees

VI - Quotients de grandeurs

VI - 1 Grandeur proportionnelle agrave une autre 45 VI - 2

VI- 3

VI - 4 Quotient de deux grandeurs 50 52VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI - 6

Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume 47 Un autre exemple quotient dun volume

Quelques exemples de quotients

par une masse 50

de deux grandeurs 55

VII - Produits de grandeurs

VII - 1 Un exemple travail dune force 59 VII- 2 Aire dun rectangle 62 VII - 3 Produit de deux grandeurs 63 VII - 4 Exemples de produits de deux grandeurs 63

VIII - Algegravebre des grandeurs

VIII - 1 Addition des grandeurs et multiplication externe 65

VIII - 2 Produits de grandeurs 66 VIII - 3 Sommes et produits 66 VIII - 4 Produits et quotients 67 VIII - 5 Exemples de paires de grandeurs inverses bull 69 VIII - 6 Algegravebre des grandeurs 71 VIII - 7 Grandeurs deacuteriveacutees uniteacutes deacuteriveacutees 72 VIII - 8 Exploitation linguistique 73 VIII - 9 Autres exemples de grandeurs deacuteriveacutees 76

IX - Grandeurs discregravetes

IX- 1

IX- 2 Une population grandeur mesurable 78 79

79 IX - 3 Une population grandeur discregravete IX - 4 Exemples de quotients de deux populations IX - 5

IX- 6

Cardinal dun ensemble fini et mesure dune grandeur middot 78

Exemples de grandeurs deacuteriveacutees ougrave intervient

Une grandeur employeacutee en chimie une population 80

la quantiteacute de matiegravere 82

8

X - Dimension physique Homogeacuteneacuteiteacute

X-1 Dimension des grandeurs dorigine geacuteomeacutetrique relativement agrave la longueur 84

X-2 La dimension ensemble de grandeurs homogegravenes 86 X-3 Dimension des grandeurs dans un systegraveme

de dimensions de base 88 X-4 Equations aux dimensions 92 X-5 Exemples demplois du mot homogegravene 92 X-6 Constantes physiques 94 X-7 Coefficients numeacuteriques 96 X-8 Systegraveme international duniteacutes middot 98 X-9 Tableau et scheacutema 101

TROISIEgraveME PARTIE Consideacuterations peacutedagogiques

XI shy 1 Faut-il enseigner agrave leacutecole au egraveoegravege au lyceacutee la notion de grandeur 104

XI - 11 Reconnaicirctre et distinguer les grandeurs du monde qui nous entoure 104 XI shy 12 Pourquoi le nombre quand il ne sert agrave rien shy 106 XI shy 13 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs pour leacutetude des structures numeacuteriques 108 XI- 14 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs dans lenseignement de certaines notions matheacutematiques ~ 110

XI shy 2 Confusions entle grandeurs et mesures

XI - 21 Emplois divers du mot uniteacute 111 XI shy 22 Leacutecriture des calculs sur les grandeurs invite agrave confondre grandeur et nombre middot 112 XI - 23 Exemples de confusions entre grandeur et nombre middot 112 XI - 24 Retour agrave des formulations critiquables tregraves employeacutees 114 XI shy 25 Le signe= etles grandeurs 116 XI- 26 Une autre attitude deacutelibeacutereacutee 117

9

XI - 3 Un enseignement difficile grandeurs deacuteriveacutees de deux autres middot

XI - 31 A quels moments de leur scolariteacute les enfants rencontrent-ils des exemples de grandeurs deacuteriveacutees middot 118 XI - 32 Difficulteacute de la notion de grandeur deacuteriveacutee 119 XI- 33 La vitesse est-elle une longueur La masse volumique est-elle une masse 119 XI - 34 Des pseudo-eacutegaliteacutes agrave proscrire 122 XI - 35 Confusions entre quotients et produits 123 XI- 36 Des complications de langage bien inutiles 124 XI - 37 A propos de reacutedaction 124 XI- 38 Une grammaire pas toujours assureacutee 125

XI - 4 Inteacuterecirct des consideacuterations dhomogeacuteneacuteiteacute 126 Index terminologique 131

Le contenu des pages qui suivent est-il du domaine des matheacutematishyques ou de celui des sciences physiques

Les enseignants se posent peut-ecirctre une telle question mais elle est sans importance un eacutelegraveve est le mecircme enfant pendant lheure de matheacuteshymatique egravet pendant lheure de physique

Nous pensons que lenseignement des matheacutematiques doit contribuer agrave entraicircner les eacutelegraveves au moins pendant la scolariteacute obligatoire

- agrave utiliser et agrave preacuteciser le concept de grandeur -agrave relier aumoins sur quelques exemples usuels simples des granshy

deurs de natures diffeacuterentes

10

PREMIEgraveRE PARTIE

Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

1 - NOTION DE GRANDEUR

Voici des phrases dun type courant Les arecirctes dun cube ont mecircme longueur Sur les autoroutes la vitesse des veacutehicules est limiteacutee Une telle intensiteacute ferait sauter les plombs Cette valise na pas un volume assez grand pour que je puisse y placer toutes mes affaires

Longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume sont des exemples de grandeurs physiques ou simplement grandeurs

1- 1 On peut parler dune intensiteacute eacutelectrique comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs courants indeacutependamment de la deacutefinishytion de lampegravere indeacutependamment de tout choix dune uniteacute dintenshysiteacute On peut parler dune longueur comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs segments indeacutependagravemment de la deacutefinitimi de la coudeacutee de la toise du megravetre On peut utiliser le compas pour reporter une lonshygueur On peut parler dun volume deau ou dessence sans avoir agrave lesprit ni le litre ni le gallon ni aucune autre uniteacute

11

Quand les eacuteconomistes expriment un budget un salaire en francs constants cest quils cherchent agrave atteindre non un nombre mais une grandeur quon pourrait appeler pouvoir dachat pouvoir deacutechange Exemple Laide aux familles dans lenseignement public ou priveacute eacutetait en 1964 de 600 millions de francs elle seacutelevait en 1974 agrave 1800 millions de francs elle a donc tripleacute en dix ans cette affirmation est certaineshyment incorrecte le nombre a tripleacute mais pas la grandeur aide aux familles en raison de ce quon appelle pudiquement leacuterosion moneacutetaire

I - 2 Comment donner un statut agrave la notion de grandeur

Partons de lexemple bien connu de la longueur des segments (1)

Dans un ens~mble de segments la relation qui a pour lien verbal est superposable agrave est une relation deacutequivalence (du moins si lon convient quun segment est superposable agrave lui-mecircme) Les segments dune mecircme classe sont dits de mecircme longueur f et lon dit de chacun des segments de cette classegrave que sa longueur est f Le lien verbal peut se dire a mecircme longueur que

Le mot longueur ne deacutesigne ni uri ensemble de points ni un nomshybre La phrase Soit un triangle eacutequilateacuteral ABC de cocircteacute a a la signifishycation suivante Soit un triangle dont les cocircteacutes [AB] [BC] [CA] sont des segments qui appartiennent agrave une mecircme classe agrave laquelle est assoshycieacutee la longueur a Autrement dit

longueur de [AB] = longueur de [BC] = longueur de [CA] = a

Si lon deacutesigne par MN comme il est dusage la longueur du segshyment [MN] on eacutecrit les eacutegaliteacutes

AB= BC =CA= a A la classe des segments tels que [AA] dont les extreacutemiteacutes sont

confondues est associeacutee la longueur appeleacutee longueur nulle

I - 3 Essayons deacutetendre ce qui preacutecegravede aux grandeurs physiques agrave lintensiteacute eacutelectrique par exemple

Envisageons dans un ensemble de courants eacutelectriques la relation qui a pour lien verbal provoque dr~ulant dans un mecircme conducteur ohmique (2) maintenu dans les mecircmes conditions et pendant une mecircme dureacutee le deacutegagement dune mecircme quantiteacute de chaleur que Cest une relation deacutequivalence les courants dune mecircme classe sont dits de mecircme intensiteacute sil ny a pas de deacutegagement de chaleur lintensiteacute est dite intensiteacute nulle

(1) Dans ce qui suit nous ne consideacuterons que des segments fermeacutes mais cela est sans incishydence sur notre propos car les quatre segments ayant les mecircmes extreacutemiteacutes A et B (agrave savoir [AB] ]AB[ [AB[ et ]AB]) ont aussi la mecircme longueur (voir SEGMENT-LONGUEUR MOTS V)

(2) Un conducteur est dit ohmique lorsque le seul effet du passage du courant est un deacutegashygement de chaleur

12

1 - 4 Malgreacute lapparence lanalogie entre les situations deacutecrites en 1 -- 2 et 1 - 3 nest que partielle

Quand on se propose de comparer deux objets physiques selon un de leurs aspects (tiges qugraveant agrave leurs longueurs reacutecipients quant agrave leurs volumes mobiles quant agrave leurs vitesses courants eacutelectriques quant agrave leurs intensiteacutes etc) cest-agrave-dire quand on se propose de deacutecider si on les place ou non dans une mecircme classe on se heurte agrave deux obstacles fondamentaux middot

1deg) Il faut quon sache en quoi consiste laspect indiqueacute ci-dessus autrement dit quor1 sache de quelle grandeur il sagit

Une telle connaissance de la grandeur est neacutecessairement lieacutee agrave un proceacutedeacute physique de comparaison cest-agrave-dire agrave un ensemble eacutetabli avec preacutecision et pouvant ecirctre pratiqueacute agrave volonteacute dactions dexpeacuterienshyces dobservations On ne peut comparer deux intervalles de temps quapregraves le choix dun tel proceacutedeacute cest-agrave-dire apregraves le choix dune cershytaine horloge aussi rudimentaire soit-elle Lexistence mecircme de cette horloge est un deacutebut de reacuteponse agrave leacutepineuse question quest-ce que le temps

Bien souvent se preacutesentent des proceacutedeacutes physiques de comparaison fort divers Ainsi pour deacuteclarer que deux courants eacutelectriques ont mecircme intensiteacute on peut comme en 1 - 3 faire appel au pheacutenomegravene effet calorifique du courant choix qui suppose deacutefinies preacutealablement leacutegaliteacute entre quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees Mais on peut aussi classer les courants selon linteraction de deux longs conducteurs parallegraveles parcourus (dans le mecircme sens ou non) pagraver le mecircme courant ce choix suppose preacutealablement deacutefinie leacutegaliteacute entre forces (1) Lexpeacuteshyrience montre que cette classification coiumlncide avec la preacuteceacutedente

On peut eacutegalement utiliser les effets chimiques du courant deux courants seraient dune mecircme classe (auraient mecircme intensiteacute) si travershysant pendant un mecircme temps telle cuve agrave eacutelectrolyse quil faudrait elle aussi choisir ils y produisaient les mecircmes effets chimiques qualitativeshyment et quantitativement cet autre choix supposerait deacutefinies leacutegaliteacute entre masses et leacutegaliteacute entre dureacutees (2) Lexpeacuterience montre que cette troisiegraveme classification (cette troisiegraveme deacutefinition de lintensiteacute) est indeacuteshypendante du choix de leacutelectrolyse et coiumlncide avec les deux classificashytions preacuteceacutedentes middot

2deg) Tout proceacutedeacute physique deacutevaluation est entacheacute dune incertishytude Dans un ensemble dobjets physiques deacutecrits matheacutematiquement

(1) Cest cette interaction qui est utiliseacutee pour la deacutefinition leacutegale de lampegravere lampegravere est deacutefini agrave partir du newton uniteacute de force (2) La deacutefinition leacutegale de lampegravere faisait appel jusque 1948 agrave leacutelectrolyse dune solushytion de nitrate dargent

13

par des segments des tiges par exemple on ne peut pas envisager la relashytion deacutequivalence de lien verbal a mecircme longueur que comme nous lavons fait en geacuteomeacutetrie (I ~ 2) un lien verbal utilisable serait du type a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves que Or la relation deacutefinie par un tel lien verbal nest pas transitive en effet si un objet A a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet B et si lobjet Ba mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet C il se peut fort bien que A etC naient pas mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves

Cependant pour les besoins de laction on se comporte comme si lon eacutetait capable en premiegravere approximation de deacutefinir des classes deacutequivalence agrave limage de celles quon utilise en-matheacutematiques Le monde physique est complexe Leacutetudier cest neacutegliger certaines inforshymations tenues temporairement pour secondaires afin deacutelaborer un modegravele abstrait simple avec la perspective du deacutesaveu de lexpeacuterience lequel entraicircnerait la recherche dun nouveau modegravele serrant de plus pregraves la reacutealiteacute

14

II - INTERVENTION DU NOMBRE II - 1 Le nombre intervient constamment agrave propos de grandeurs

Bien quon puisse envisager comme il vient decirctre dit une granshydeur indeacutependamment de toute uniteacute et de tout nombre le nombre simpose degraves quon veut eacutetudier les grandeurs

II-11 Il est solidement implanteacute dans la faccedilon dont on les deacutesigne habituellement par juxtaposition dun nombre et du nom dune uniteacute 3 centimegravetres 20 centimegravetres cubes 220 volts 25 kilowattheures ce quon eacutecrit 3 cm 20 cm 220 V 25 kWh

3 cm deacutesigne la longueur commune des segments cishycontre Cette longueur est aussi bien deacutesigneacutee par 30 mm et lon eacutecrit leacutegaliteacute (agrave propos dEGALITE voir MOTS-I)

3 cm= 30 mm

Une grandeur nest pas un nombre ni 3 ni 30 ne deacutesignent la lonshygueur des segments La phrase Laire de ce polygone est 15 est sansmiddot signification (alors que linformation contenue dans Le nombre de ses cocircteacutes est 6 est claire)

Cette faccedilon de deacutesigner les grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute reacutesulte dune activiteacute le mesurage qui consiste agrave comparer la grandeur agrave une grandeur quon a choisie comme uniteacute Non seulement le mesurage est un moyen de reacutealiser la classification eacutevoqueacutee au cours du chapitre I mais cest sans doute le moyen le plus utiliseacute

II - 12 Toutefois limperfection signaleacutee en I - 4 des proceacuteshydeacutes physiques deacutevaluation dune grandeur fait quun mesurage est neacutecessairement approximatif il convient donc de fournir une autre information appeleacutee incertitude sur la plus ou moins bonne qualiteacute du mesurage Un ordre ayant eacuteteacute deacutefini pour la grandeur en cause (voir III - 2) on cherche agrave estimer leacutecart entre leacutevaluation exacte (dont on postule lexistence) et leacutevaluation fournie par le mesurage

On peut exprimer cette incertitude de diverses faccedilons par exemple (voir APPROXIMATION MOTS IV) bull en donnant deux eacutevaluations lune par deacutefaut lautre par excegraves de la grandeur leacutepaisseur de cette lame est comprise entre 23 mm et 25 mm bull en disant leacutepaisseur de cette lame est 24 mm agrave 01 mm pregraves (avec le mecircme sens que ci-dessus)

15

bull en disant simplement leacutepaisseur de cette lame est 24 mm cela sous-entend en principe que leacutepaisseur est comprisemiddot entre 235 mm et 245 mm (donc cette fois leacutevaluation est faite agrave 005 mm pregraves)

Sous ces trois formes lincertitude apparaicirct comme le maximum du module (voir III- 72) de lerreur que lon commet en adoptant leacutevashyluation 24 mm agrave savoir 01 mm dans les deux premiers cas et 005 mm dans le troisiegraveme

Toutefois on tend aujourdhui vers une interpreacutetation probabiliste de lincertitude on dit par exemple que leacutepaisseur est 24 mm plusmn 003 mm pour dire quil y a une probabiliteacute de 95 oo pour que cette eacutepaisseur soit comprise entre 237 mm et 243 mm

II - 2 Quels calculs faire avec les grandeurs

Entre grandeurs (longueurs vitesses intensiteacutes eacutelectriques volushymes etc) on peut deacutefinir des relations dineacutegaliteacute et des opeacuterations mais agrave condition dobserver certaines preacutecautions

Prenons lexemple de laddition quest-ce que a+ b

Dabord au cas ougrave a serait une longueur et bun volume parler de leur somme serait deacutenueacute de sens et a fortiori adopter leacutecriture a + b

Ensuite mecircme si a et b sont lune et lautre des longueurs il faut preacutealablement

1) avoir deacutefini la somme de deux longueurs gracircce agrave un protocole expeacuterimental bien adapteacute

2) disposer dun signe daddition particulier par exemple EB ou leacutegitimer lemploi du signe + jusque-lagrave reacuteserveacute agrave un autre usage (addishytion dans N ou dans un autre ensemble de nombres)

Alors seulement leacutecriture a + b devient licite Ce qui vient decirctre dit vaut naturellement pour a-b 2a alb axb a~b

Le chapitre III sera consacreacute agrave lanalyse des conditions dans lesshyquelles lineacutegaliteacute de deux grandeurs leur somme leur diffeacuterence peushyvent ecirctre envisageacutees On y verra aussi par quel processus le nombre intervient agrave propos des grandeurs et on reacutepondra agrave la question Questshyce quune grandeur uniteacute

On examinera au chapitre IV le langage usuel et le langage matheacuteshymatique adopteacutes pour deacutesigner des grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute

Le chapitre V traitera des cas ougrave le quotient de deux grandeurs est un nombre dans ce cas on lappellera rapport telle rapport de deux longueurs

Aux chapitres VI et VII les quotients et produits de grandeurs seront introduits dans leur geacuteneacuteraliteacute

16

III - COMPARAISON DES GRANDEURS ADDITION MULTIPLICATION EXTERNE

MESURE

DI- 1 Un usage tregraves reacutepandu

Les longueurs de divers segments eacutetant deacutesigneacutees par a b c chacun sait donner une signification agrave bull la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur b ce quon eacutecrit a~b

bulllongueur somme des longueurs a et b eacutecrite a+ b ou b +a bull en particulier longueur somme de a et a dite double de a eacutecrite aussi

2 x a ou a x 2 ou 2a bull longueur 2a +a eacutecrite aussi a+ 2a ou 3 x a ou 3a et plus geacuteneacuteshyralement longueur produit de JI par a eacutecrite AgraveX a ou JIa ougrave Agrave est un nombre naturel ou non mai~ positif

Mais il ne faut pas perdre de vue que lemploi quon vient de faire des signes ~ middot + et x de la locution infeacuterieur ou eacutegal agrave et des mots somme et produit se distingue de lemploi quon en fait pour lordre laddition et la multiplication deacutefinis dans des ensembles de nombres

Analysons la deacutemarche qui aboutit agrave propos de longueurs aux notions dordre de somme et de produit par un nombre

lll - 2 Comparaison des longueurs

La comparaison des longueurs se fait agrave laide de repreacutesentants de celles-ci Deux longueurs a et b eacutetant donneacutees consideacuterons des demishydroites dorigines C1 C2 C3 et placcedilons sur elles les points A1 A2

A3 tels que [C1A1] [C2A2] [C3A3] aient pour longueur commune a puis les points B1 B2 B3 tels que [C1B1] [C2B2] [C3B3] aient pour longueur commune b

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Si [C1A1] est inclus dans [C1B1] alors [C2A2] est inclus dans [C2B2] [C3A3] dans [C3B3] etc On dit que la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur middotb et on eacutecrit a(jJ middot

Si [C1B1] est inclus dans [C1A1] alors [C2B2] est inclus dans [C2A2] [C3B3] dans [C3A3] etc On dit que la longueur b est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur a et on eacutecrit bfJ

Ainsi linclusion dans lensemble des segments permet de deacutefinir une relation dordre total dans lensemble des longueurs

III - 3 Addition des longueurs

La somme de deux longueurs a et b se deacutefinit agrave laide de repreacuteshysentants de celles-ci

Placcedilons sur une droite D1 des points E1o F1o 0 1 sur une droite D2 des points E2 F2 0 2 sur une droite D3 des points E3 F3 0 3 tels que F1 soit entre E1 et 0 1 que F 2soit entre E 2et 0 2 que F3 soit entre E3 et 0 3 que [E1F1] [E2F2] [E3F3] aient pour longueur commune a et que [F10 1] [F20 2] [F30 3] aient pour longueur commune b

Alors [E10 1] [E202] [E30 3] ont mecircme lonshygueur Cette longueur indeacutependante du choix d~s

middot segments repreacutesentacircnt les longueurs a et b est dite somme des longueurs a et b Deacutesignons-la par c

(Cest la somme des longueurs quainsi on deacutefinit non la somme des segments)

A tout couple de longueurs on peut de cette faccedilon faire corresshypondre une certaine longueur On est donc en preacutesence dune opeacuteration interne deacutefinie sur lensemble des longueurs On lappelle addition des longueurs middot

Elle est commutative et associative Adoptons (provisoirement) le signe EB pour noter cette opeacuteration Nous eacutecrivons donc leacutegaliteacute

affib=c

Les eacutegaliteacutes c 8 a = b et c 8 b =a sont deacuteclareacutees eacutequivalentes agrave a EB b = c elles deacutefinissent la soustraction des longueurs

On noteragrave que (provisoirement au moins) u 8 v nest deacutefini que si vcopy u

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III - 4 Une multiplication externe Capables de deacutefinir la somme de deux longueurs nous sommes

capables eacutegalement a eacutetant une longueur de deacutefinir de proche en proshyche agrave laide de sommes successives a EB a (a EB a) EB a etc une lonshygueur que nous appelons produit duri nombre naturel p par la lonshygueur a et que nous eacutecrivons (provisoirement) p a cest aussi la longueur dun segment obtenu en portant bout-agrave-bout sur une droite p segments de longueur a On conviendra que quel que soit a 1 a = a et que 0 a deacutesigne la longueur nulle

Lexpeacuterience nous conduit agrave admettre lexistence

bull dune longueur __ ~ ougrave q est un naturel non nul cest la lonshyq gueur dun segment tel que q segments de cette longueur-lagrave porteacutes bout-agrave-bout sur une droite donnent un segment de longueur a

bull dune longueur E_ a pour tout rationnel E_ cest la longueur q q

p ( ~ a) produit du naturel p par la longueur ~ acest aussi

lagrave longueur ~ (p a)

Enfin pour des raisons proprement matheacutematiques nous admetshytrons lexistence dune longueur Agrave a pour tout reacuteel positif Agrave

Envisager comme il vient decirctre fait le produit dun nombre posishytif quelconque par une longueur quelconque cest deacutefinir une opeacuteration externe au couple (a) ougrave Agrave est un reacuteel positif et a une longueur on associe une certaine longueur b quon note Agrave a ce qui permet deacutecrire leacutegaliteacute b = Agrave a

Autrement dit R+ eacutetant lensemble des reacuteels positifs etE lensemble des longueurs agrave tout eacuteleacutement du produit carteacutesien R+ xE on fait corresshypondre un certain eacuteleacutement de E (1)

III - 5 Signification du mot mesure

Etant donneacute deux longueurs a et b a neacutetant pas la longueur nulle nous admettrons quil existe un reacuteel positif Agrave tel que

b =Agrave a Ecrire cette eacutegaliteacute cest exprimer que la mesure de la longueur b

quand on prend la longueur a pour uniteacute est le nombre Agrave Ainsi se trouvent introduits deux mots mesure et uniteacute que nous emploierons constamment par la suite

(1) A et B deacutesignant deux ensembles rappelons que leacutecriture A x B quon lit A croix B deacutesigne le produit carteacutesien de A par B cest-agrave-dire lensemble des couples dont le preshymier terme est eacuteleacutement de A et dont le second est eacuteleacutement de B

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Une uniteacute de longueur nest rien dautre quune longueur arbitraishyrement choisie non nulle cependant Le mot mesure ne saurait ecirctre employeacute sans que le choix de cette uniteacute soit indiqueacute

Le lecteur reconnaicirctra dans lemploi de produits dun nombre par une longueur une attitude qui lui est tregraves familiegravere bull si a est le centimegravetre et si est le nombre 5 alors b est 5centimegravetres et lon eacutecrit b = 5 cm ou couramment b = 5 cm bull si a est le pied anglais (foot) et si b est laltitude du Mont-Blanc alors b = 15 767 ft ou couramment b = 15 767ft

rn - 6 Proprieacuteteacutes des opeacuterations Etgt et reg et de la relation ~

III - 61 Soient a et b des longueurs telles que par exemple a = 3 coudeacutee b = 5 coudeacutee

ce quon eacutecrit couramment a = 3 coudeacutees b = 5 coudeacutees

La longueur somme des longueurs a et b quon a noteacutee a Etgt b est selon la deacutefinition quon a donneacutee en III- 3 eacutegale agrave 8 coudeacutee ou 8 coudeacutees

Dune faccedilon geacuteneacuterale si a=01k et b=f3k

la somme a Etgt b est la longueur (01 + (3) k (01 k) Etgt ((3 k) = (01+(3) k

A cause de la ressemblance de leacutegaliteacute qui preacutecegravede avec celle qui traduit dans un ensemble de nombres la distributiviteacute de la multiplicashytion sur laddition [(3 x 5) + (4 x 5) = 7 x 5] et bien que trois opeacuterashytions interviennent et non deux on dit que lopeacuteration est distributive sur laddition dans R+

En particulier une uniteacute de longueur eacutetant choisie la mesure de la somme de deux longueurs est la somme des mesures de celles-ci

III- 62 De la mecircme faccedilon lopeacuteration est distributive sur laddition des longueurs Si Agrave deacutesigne un reacuteel positif quelconque

(Agrave a) Etgt (Agrave b) = Agrave (a Etgt b) Par exemple si les cocircteacutes dun rectangle ont pour longueurs a et

b le peacuterimegravetre seacutecrit aussi bien (2 a) Etgt (2 b) que 2 (a Etgt b)

III - 63 Dessinons bout-agrave-bout sur Une droite 6 segments dont la longueur commune est 5 centimegravetres Nous obtenons un segment dont la longueur est 30centimegravetres ce qui se traduit par leacutegaliteacute middot

6 (5 cm) = (6x5) cm

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La proprieacuteteacute appeleacutee pseudo-associativiteacute geacuteneacuteralise cette constatashytion agrave tout couple (Agravep) de reacuteels positifs et agrave toute longueur c

Agrave (Il c) = (Agrave x Il) c Cette proprieacuteteacute peut sinterpreacuteter autement

Soit a b c trois longueurs b et c neacutetant pas nulles appeshylons Agrave la mesure de a quand on prend b pour uniteacute et Il la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

a=Agraveblb = Il c a = Agrave (Il c)

la pseudo-associativiteacute exprime q11e a = (Agrave x Il) c

cest-agrave-dire que le nombre Agravell est la mesure de a quand on prend c pour uniteacute

Lagrave mesure de a quand on prend c pour uniteacute est le produit de la mesure de a quand on prend b pour uniteacute par la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

Si lon deacutesigne par mesue la mesure de la longueur e quand on prend u pour uniteacute cet eacutenonceacute seacutecrit

mesca = mesba x mescb Cet eacutenonceacute est dun emploi bien connu Si b est le megravetre quon

eacutecrit rn et si c est le centimegravetre quon eacutecrit cm rn= 100 cm

pour une longueur a de 3 megravetres on eacutecrit 3 rn = 3 (100 cm) = (3 x 100) cm = 300 cm

ce quon raccourcit en 3 rn = 300 cm

Sous une autre forme eacutegalement bien connue les changements duniteacutes sexpriment ainsi si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul k la mesure dune grandeur au moyen de cette nouvelle uniteacute est le quotient par k de la mesure obtenue au moyen de lancienne Ce quon peut eacutecrire ainsi

meshba = mesba

Ou par raccourci Si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul la mesure est diviseacutee par ce nombre Par exemple

1 meskm a = mesm a1000

III - 64 La relation dordre total noteacutee copy est compatible avec laddition et avec la multiplication par un reacuteel positif cest-agrave-dire que bull quelles que soient les longueurs a b c si acopyb alors (affic) copy (bffic) et reacuteciproquement

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bull quelles que soient les longueurs a et b et quel que soit le reacuteel stricteshyment positif a si acopyb alors (a a)copy (a b) et reacuteciproquement

III - 65 Une uniteacute de longueur eacutetant choisie lordre sur les mesures reproduit lordre sur les longueurs quelle que soit la lonshygueur non nulle k et quels que soient les reacuteels positifs a et 3 si (a k) copy (3 k) alors a~3 et reacuteciproquement

III - 7 Des eacutecritures commodes

III - 7 1 Les proprieacuteteacutes qui preacutecegravedent justifient

1deg) que lopeacuteration EB ait eacuteteacute appeleacutee addition et que a EB b ait eacuteteacute appeleacute somme de a et b

2deg) que lopeacuteration ait eacuteteacute appeleacutee multiplication (externe) et que a k ait eacuteteacute appeleacute produit de la longueur k par le nombre a

Elles invitent bull agrave noter par le mecircme signe + laddition dans lensemble des lonshygueurs que nous avons noteacutee provisoirement œ et laddition dans lensemble des reacuteels positifs bull agrave confondre de mecircme le signe e de la soustraction des longueurs (voir III - 3) et le signe - de la soustraction dans lensemble des reacuteels posishytifs bull agrave noter par le mecircme signe x que lon omet volontiers lopeacuteration externe que nous notions provisoirement et la multiplication dans lensemble des reacuteels positifs bull et agrave noter ~ ce que nous notions copy

Ces confusions de signes incorrectes strictement parlant sont sans inconveacutenient matheacutematique Et apparemment sans inconveacutenient peacutedashygogique mais en est-on jamais sucircr Elles ont le tregraves grand avantage de permettre la conduite des calculs exactement comme si les longueurs eacutetaient des nombres

Voyons sur un exemple ce que sont ces confusions et la commoditeacute qui en reacutesulte

Dans leacutecriture (2 + 3) x (a+ b) ougrave a et b sont des longueurs le premier signe + est celui de laddition dans R le signe x est mis pour le second signe + est celui de laddition dans lensemble des longueurs il est mis pour EtJ Conservant les signes provisoires on eacutecrishyrait (2+~) (a EB b)

Exploitant la possibiliteacute de calculer comme si EB eacutetait + comme si eacutetait x et comme si a et b eacutetaient des nombres on remplace cette eacutecriture par 2a + 2b + ( -J3)a + ( ~)b ougrave les trois signes +

middot sont mis pour EB et ougrave les quatre signes sont sous-entendus

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En reacutesumeacute gracircce agrave ces confusions de signes on utilise les mecircmes eacutecritures que si a et b deacutesignaient non deux longueurs mais leurs mesures avec une mecircme uniteacute (arbitraire)

Mais on ne perd pas de vue que par exemple dans 2a 2 est un nombre et que a nen est pas un

III- 72 Cependant cette commoditeacute deacutecriture serait comproshymise par la restriction signaleacutee agrave la fin de III - 3 agrave propos de la sousshytraction Faute de lever cette restriction on perdrait une grande part du beacuteneacutefice escompteacute et de plus on introduirait dans leacutetude des pheacutenomegraveshynes physiques des distinctions artificielles

Ainsi un ressort tendu ayant une longueur a eacutegale agrave PO si par une leacutegegravere modification de la tension on amegravene ce ressort agrave prendre une longueur b eacutegale soit agrave PA soit agrave PB la diffeacuterence b a ne pourrait exprimer la variation de longueur que dans le premier cas cessant decirctre deacutefinie dans le second elle devrait ecirctre remplaceacutee par a-b et il faushydrait mentionner explicitement dans chaquemiddot cas smiddotil sagit dun allongeshyment ou dun raccourcissement

p B 0 H A

Le moyen de se libeacuterer de ces contraintes consiste agrave introduire des longueurs positives et des longueurs neacutegatives gracircce agrave des conventions de signe On convient (1) de deacuteclarer positive la longueur du segment [OM] lorsque M est sur lune des demi-droites dorigine 0 de la deacuteclashyrer neacutegative lorsque M est sur lautre demi-droite et de deacuteclarer opposhyseacutees les longueurs de deux segments [OM] et [ON] lorsquils sont supershyposables et que Met N sont de part et dautre de 0 enfin on deacutefinit le module dune longueur e noteacute lfl comme eacutegal agrave e si e est positive et agrave son opposeacutee si e est neacutegative

III- 73 Gracircce agrave une telle convention lanalogie avec le calcul algeacutebrique devient complegravete et lon geacuteneacuteralise exactement comme on le fait dans lensemble des nombres reacuteels la relation dordre noteacutee ~ laddition et la soustraction deacutesormais deacutefinie dans tous les cas

(1) En fait une telle convention est rarement adopteacutee dans lusage eacuteleacutementaire pour les longueurs en revanche dautres grandeurs donnent lieu de faccedilon courante agrave une convenshytion de ce genre

- un instant origine eacutetant choisi auquel on attribue la date 0 les instants anteacuterieurs sont de dates neacutegatives les instants posteacuterieurs sont de dates positives

un sens eacutetant choisi ie long dune portion de circuit eacutelectrique on convient que les courants qui circulent dans ce sens ont une intensiteacute positive et que ceux qui circulent dans lautre sens ont une intensiteacute neacutegative

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Quant agrave la multiplication externe elle conserve le signe des lonshygueurs si le multiplicateur est un nombre positif elle change ce signe si le multiplicateur est un nombre neacutegatif Degraves lors une uniteacute de longueur (positive par deacutefinition) eacutetant choisie la mesure dune longueur positive est un nombre positif celle dune longueur neacutegative est un nombre neacutegatif Cest la mesure telle quelle vient decirctre deacutefinie de la longueur OM quon appelle couramment abscisse du point M lorigine eacutetant O Sur la figure si on adopte OH pour uniteacute de longueur labscisse de A est 3 cell de B est -2

On voit sans peine que ces conventions qui se sont imposeacutees de faccedilon naturelle dans le passeacute eacutetablissent un rigoureux paralleacutelisme entre les calculs sur les longueurs etles calculs une uniteacute eacutetant choisie sur les nombres qui les mesurent Le seui danger reacutepeacutetons-le serait de confonshydre nombres et longueur~ middot

lill _ 8 Grandeurs mesurables Ce qui vient decirctre dit de III - 1 agrave III - 7 agrave propos de longueurs

(ineacutegaliteacute somme de longueurs puis produit par un nombre) peut-il se reacutepeacuteter agrave propos dautres grandeurs

III- 81 Si on appelle grandeur tout caractegravere dun objet aux sens tregraves larges de ces deux mots susceptible de variations chez cet middotobjet ou dun objet agrave un autre les exemples de grandeurs sont nomshybreux la gentillesse lagressiviteacute lintelligence dune personne la poeacuteshysie dun texte la musicaliteacute dune meacutelodie

Pour aucune de cesgrandeurs onne saurait parler deacutegaliteacute On sait dire agrave loccasion que telle personne est plus gentille que telle autre qe faccedilon dailleurs subjective mais que serait leacutegaliteacute pour les gentillesshyses 7 middot

middot Un test dintelligence permet de dire que les scores obtenus par deux personnes agrave des moments deacutetermineacutes sont eacutegaux et de placer ceuxshyci au mecircme endroit dune certaine eacutechelle il ne permet de deacutefinir middotni leacutegaliteacute ni laddition des intelligences (et encore moins lintelligence elle-mecircme agrave moins de simaginer lintelligence comme eacutetant ce que repegravere le test)

On sait donner une signification agrave Ce mateacuteriau est aussi dur que cet autre La dureteacute donne la possibiliteacute degrave deacutefinir une eacutechelle(eacutechelle de Mohs pour les roches) ou un indice (indice de Brinell pour les meacutetaux) mais on ne saurait parler de la somme de deux dureteacutes

On sait reconnaicirctre que deux points sont au mecircme potentiel eacutelectrishyque (on dit la diffeacuterence de potentiel entre ces deux points est nulle) il ne passerait aucun courant dans un fil meacutetallique qui les joindrait Mais on ne sait pas deacutefinir la somme de deux potentiels

La dureteacute le potentiel eacutelectrique sont des grandeurs repeacuterables mais pas sommables

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III- 82 On a eacuteteacute capable

bull de deacutefinir leacutequivalence de deux segments (par superposabiliteacute) on les a dits repreacutesentants dune mecircme longueur oumiddotplus simplement de mecircme longueur

bull de deacutefinir dans lensemble des longueurs ainsi obtenu une relashytion dordre total qui permet de comparer deux longueurs

bull de deacutefinir dans ce mecircme ensemble une opeacuteration interne 1 addition des longueurs

bull de deacutefinir une opeacuteration externe la multiplication des longueurs par les reacuteels positifs

Legraves grandeurs pour lesquelles il en est ainsi possegravedent les proprieacuteteacutes deacutecrites en III - 6 Elles sont dites grandeurs mesurables

Le matheacutematicien et le physicien quand ils envisagent demiddot telles grandeurs abandonnent geacuteneacuteralement cette eacutepithegravete grandeur est soushyvent employeacute comme synonyme de grandeur mesurable (1)

Deacutefinir la somme de grandeurs (comme deacutefinir leacutegaliteacute voirl3 et 14) ne va pas de soi et pose des problegravemes dordre technique ou theacuteorishyque

Des moyens de reconnaicirctre leacutequivalence de cour~nts eacutelectriques de les dire repreacutesentants dune mecircme intensiteacute eacutelectrique ont eacuteteacute preacutesenshyteacutes en 13 et 14 On pourrait deacutefinir la somme de deux intensiteacutes i1 et i2 comme eacutetant celle dun courant qui produit dans un conducteur ohmique pendant une certaine dureacutee la quantiteacute de chaleur somme des quantiteacutes de chaleur fournies par les courants dintensiteacutes i1 et i2 cirshyculant successivement dans ce conducteur pendant cette dureacutee (ce qui suppose que lon ait deacutefini anteacuterieurement la somme de deux quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees) On pourrait aussi deacutefinir la somme de deux intensiteacutes comme eacutetant celle dun courant qui traversant une cuve agrave eacutelectrolyse pendant une certaine dureacutee y fait apparaicirctre une masse de telle substance qui soit la somme des masses quegrave font apparaicircshytre les courants dintensiteacutes i1 et i2 traversant la cuve successivement pendant cette mecircnie dureacutee (ce qui suppose deacutefinies la somme de decircux masses et leacutegaliteacute entre dureacuteegraves) middot middot middotmiddot

Lexpeacuterience montre que ces deux deacutefinitions ne coiumlncident pas Cest la seconde qui a eacuteteacute retenue (2) Alors (permettons-nous danticiper sur produit de deux grandeurs voir VII) agrave dureacutee eacutegale et dans un conducteur donneacute la quantiteacute de chaleur est fonction lineacuteaire du carreacute de lintensiteacute ainsi deacutefinie (effet Joule) middot

1) Puisque lensemble des nombres reacuteels positifs est muni dune relation dordre tatar dune addition et dune multiplication il peut ecirctre consideacutereacute comme un ensemble de granshydeurs Nous le consideacutererons en effet comme teLagrave partir de VIII- 42 mais nous mainshytiendrons pour linstant la distinction entre nombres et grandeumiddotrs

(2) Cette ~econde deacutefinition de la s~mme d~ deux intensiteacutes coiumlncide avec celle qui utilise linteractionmiddot de middotdeux longs conducteurs comme en I _ 4 middot

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III - 83 Le potentiel eacutelectrique nest pas une grandeur mesurable (car il est non sommable) mais la diffeacuterence de potentiel ou tension eacutelectrique est mesurable

De mecircme la tempeacuterature celle dont parle le meacuteteacuteorologue nest pas une grandeur mesurable (car elle est non sommable) mais la diffeacuteshyrence de tempeacuterature (on dit intervalle de tempeacuterature) est une granshydeur mesurable

On sait dire que deux eacuteveacutenements se produisent agrave un mecircme instant mais on ne donne pas de signification agrave somme de deux instants Par contre la dureacutee cest-agrave-dire le temps eacutecouleacute entre deux instants est une grandeur mesurable

III- 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs quentendre par a + b

III - 9 1 Nous avons laisseacute en suspens la question souleveacutee en II - 2 a et b eacutetant deux grandeurs donneacutees arbitrairement quelles sont les preacutecautions agrave observer pour avoir le droit de les traiter comme nous lavons fait dans ce chapitre III cest-agrave-dire pour donner une signishyfication aux eacutecritures a~ b ou b ~a a+ b a= Agraveb ougrave Agrave est un nomshybre

middotVoici une premiegravere reacuteponse la condition est que a et b soient deux grandeurs de mecircme nature ou de mecircme espegravece (deux longueurs deux masses etc mais pas une longueur et une masse)

On dit de deux grandeurs quelles sont de mecircme nature pour dire quelles interviennent de faccedilon analogue dans un certain protocole expeacuteshyrimental ou si lon veut pour dire que lorsquun proceacutedeacute physique de comparaison (I - 4) est adapteacute agrave lune delles il lest aussi agrave lautre

Pour prendre un exemple tregraves simple peut-on deacuteclarer de mecircme nature le volume dun solide (son encombrement) et le volume dun reacutecishypient (sa contenance) Adoptons le protocole expeacuterimental suivant pour le solide le plonger dans leau dune eacuteprouvette et pour le reacutecishypient le remplir deau et verser celle-ci dans leacuteprouvette Dans les deux cas le niveau de leau seacutelegraveve les deacutenivellations permettent la comparaishyson de ce quil est donc licite dappeler dans les deux cas volume

On va voir (III - 92 et III - 93) quil convient de nuancer cette premiegravere reacuteponse

III- 92 Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles Dans la deacutefinition dune grandeur peut intervenir une direction dans lespace Ainsi si des voitures roulent agrave 40 kilomegravetres agrave lheure mais ont des trashyjectoires de directions diverses relativement agrave un obstacle les conseacuteshyquences pour la voiture dun choc sur cet obstacle peuvent aller de la simple eacuteraflure jusquagrave la deacuteformation grave On attribue agrave chacune de

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ces voitures un vecteur-vitesse dont la direction est celle de la trajectoire au moment du choc et dont le sens est celui du mouvement

C~s vecteurs-vitesses diffegraverent les uns des autres De plus si ~ et ~ sont deux dentre eux de directions distinctes il nexiste pas de reacuteel Agrave tel que ~ = Agrave ii bien quil paraisse normal de dire que ces vecteurs-vitesses sont des grandeurs de mecircme nature il nest pas posshysible de mesurer lun en prenant lautre pour uniteacute Ce que ces degraveux vecteurs-vitesses ont en commun cestleur module quon note v1 ou v2 (ici 40 kmh)

Autre exemple Si lon applique aux deux extreacutemiteacutes dun cacircble passant sur une poulie des forces h et situeacutees dans le plan de celle-ci ce cacircble se tend et les deux brins prennent lesmiddot directions des deux forshyces Supposons leacutequilibre reacutealiseacute mecircme dans ce cas ces directions sont en geacuteneacuteral distinctes quand elles le sont il nexiste

-+ -+pas de reacuteel Agrave tel que 11 = J2 cependant

on peut eacutetablir agrave laide dun dynamomegravetre (peson agrave ressort par exemshyple) quils ont mecircme module quon note 11 ou j 2 bull

-+ -+ Dune maniegravere geacuteneacuterale si on considegravere deux forces 11 et 12 non -+ -+

nulles il nest pas possible de trouver un reacuteel Agrave tel que 11 = Agrave12 sauf si -+ -+11 et 12 sont de mecircme direction par contre il est toujours possible de trouver un reacuteel Agrave (positif) tel que 11 = Agrave12 bull

Nous sommes ainsi ameneacutes agrave distinguer - les grandeurs dont la deacutefinition fait intervenir la direction telles

que vitesses acceacuteleacuterations forces champs magneacutetiques etc ces granshydeurs sont dites vectorielles

- les grandeurs dont la deacutefinition ne fait intervenir aucune direcshytion telles que longueurs masses eacutenergies etc ces grandeurs par opposition aux preacuteceacutedentes sont dites scalaires

Ce qui importe pour notre objet cest quagrave chaque grandeurmiddotvectoshyrielle peut ecirctre associeacutee une grandeur scalaire son module

Dans toute la suite nous exclurons de notre eacutetude les grandeurs vectorielles malgreacute leur grand inteacuterecirct en physique nous nous limiterons aux grandeurs scalaires

Lusage accepte quand le contexte permet deacuteviter la confusion lemploi des mots1orce vitesse etc pour deacutesigner soit la grandeur vecshytorielle soit la grandeur scalaire a~socieacutee

27

III - 93 Une reacuteponse meilleure agrave la question poseacutee serait pourvu que a et b soient des grandeurs scalaires de mecircme nature on a le droit de les traiter suivant les proceacutedeacutes du chapitre III Cette reacuteponse peut ecirctre accepteacutee elle est cependant trop restrictive

Dira-t-on quune quantiteacute dechaleur et un travail sont de mecircme nature La reacuteponse qui ne va pas de soi serait volontiers neacutegative si ie travail se transforme facilement (trop facilement) egraven chaleur la transshyformation de chaleur en travail est loin decirctre aussi facile

On peut pourtant comparer par exemple le travail fourni par la middotmachine qui tire un train un jour dhiver et la quantiteacute de chaleur quelle fournit pour le chauffage de ce train On considegravere en effet avec de bonnes raisons que quantiteacute de chaleur et travail sont deux formes deux aspects dune mecircme grandeur leacutenergie Leacutenergie b neacutecessaire au egravehauffage du train est le tiers de leacutenergie a neacutecessaire agrave sa traction

b = j_ a 3

Bien eacutevidemment leacutecriture b lt a a une signific~tion et aussi leacutecriture a + b eacutenergie totale fournie par la machine

Nombreux sont les exemples de grandeurs qui tout en eacutetant disshysemblables en apparence et mecircme en reacutealiteacute sont cependant comparashybles les unes aux autres et mesurables avec une mecircme uniteacute comme le sont le travail et la chaleur dans lexemple ci-dessus

En reacutesumeacute 1deg) nous conserverons provisoirement lexpression grandeurs

(scalaires) de mecircme nature avec lassurance quelle entraicircne des eacutegalishyteacutes du type b = Agrave a

2deg) mais nous resterons conscients que de telles eacutegaliteacutes se relconshytrent aussi dans un cadre plus large

Cette neacutecessaire extension fera lobj~t du chapitre X ougrave seront introduites his grandeurs homogegravenes entre elles middot middotmiddot

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IV-middot CE QUON DIT ~

OU DEVRAIT DIRE

IV - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc

L~s mots longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume peuvent ecirctre employeacutes de diverses faccedilons

IV - 11 Ils peuvent concerner un objet physique deacutetermineacute

la longueur de cette route la vitesse de ce mobile agrave tel instant

Ils peuvent aussi ecirctre employeacutes indeacutependamment de tout objet physique

15 cm est unegrave longueur 70 kmlh est une vitesse excessive en ville

Dans ces exemples le mot longueur deacutesigne un eacuteleacutement dun ensemble lensemble des longueurs structureacute commeil a eacuteteacute dit plus haut par laddition la multiplication externe lordre Il en est de mecircme pour le mot vitesse

IV- 12 Mais ces-mecircmes mots peuvent aussi acceacuteder agrave un degreacute supeacuterieur dabstraction de mecircme quon dit la bonteacute le calme lhomoshytheacutetie on dit la longueur la vitesse le volume Ce langage est suscepshytible de deux interpreacutetations

bull Le concept de longueur employeacute agrave prppos de telle route particushyliegravere donne la longueur-de-la-route Du point de vue matheacutematique la longueur estune application par exemple dun ensemble de routes vers un ensemble de longueurs la vitesse est une application par exemshyple dun ensemble de veacutehicules en mouvement vers un ensemble de vitesshyses Si on note L et lJ ces applications

route x f longUgraveeur de la ~oUgravete x

auto y lJ v vitesse cie lauto y

ori eacutecrira alors f = r (x) v = ltU (y)

bull De mecircme middotque lhomme peut deacutesigner lespegravece humaine la lonshygueur pourrait deacutesigner lensemble des longueurs la vitesse lensemble des vitesses etc On eacutecrirait volontiers la Longueur la Vitesse middot cotnme on eacute_crit parfois lHomme

IV - 13 Il est agrave pegraveu pregraves impossible dans le langage courant de distinguer ces deux emplois (ceux de IV-- 11 et IV -12) intimement lieacutes et eacutegalement leacutegitimes

29

Par contre bien que la confusion entre grandeur et mesure soit freacuteshyquente non seulement dans le langage usuel mais aussi heacutelas dans le langage matheacutematique il est important deacuteviter que les mots longueur vitesse etc soient employeacutes avec la signification de mesure

IV - 2 Deacutesignation des grandenrs

IV - 21 On a vu (III - 5) que la mesure dune grandeur b quand une uniteacute a est choisie est le nombre Agrave tel que

b =Agrave a

On peut deacutesigner cette grandeur aussi bien par b que par le produit Agravea quon eacutenonce en citant successivement le nombre Agrave et le nom a de luniteacute choisie

La longueur de ce segment est 3 centimegravetres Ce segment a pour longueur 3 centimegravetres Les formulations suivantes sont tout aussi acceptables

Ce segment est long de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres de longueur La Loire a 1000 kilomegravetres de long Cet enfant est acircgeacute de 8 ans Ce vin a 8 ans dacircge

IV - 22 On trouve dans les manuels des formes plus complishyqueacutees destineacutees peut-on supposer agrave attirer lattention sur le nombre Agrave

Si luniteacute de longueur est le centimegravetre la mesure de ce segment est 3 Si luniteacute est le centimegravetre la mesure de la longueur de ce segment

est 3 La mesure en centimegravetres de ce segment est 3

On peut reprocher agrave cette derniegravere formulation qui est tregraves employeacutee le risque decirctre interpreacuteteacutee comme suit par les enfants la mesure en centimegravetres est faite de centimegravetres juxtaposeacutes comme une bordure de trottoir est faite de pierres juxtaposeacutees Cette interpreacutetation risque de creacuteer la confusion entre le centimegravetre qui est une longueur et des segments de 1 centimegravetre de longueur

On devrait donc preacutefeacuterer lemploi du singulier la mesure en centishymegravetre de ce segment est 3 comme abreacuteviation de la mesure de ce segshyment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute est 3

On a parfois proposeacute dautres formulations Par exemple celle-ci la centimegravetre-mesure de ce segment est 3 Mais il faudrait dire la centimegravetre-agrave-la-seconde-par-seconde-mesure de lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur est 981 et lanneacutee-mesure de lacircge de cet enfant est 8

La notation mesab preacutesenteacutee en III- 63 est agrave la fois commode et complegravete

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IV - 3 Des formulations incorrectes

Le langage courant et le langage des manuels contiennent de nomshybreuses formes hybrides incorrectes ougrave sont confondues grandeur et mesure

IV- 31 Voici dabord des formulations raccourcies

Attention ce nest pas du 110 cest du 220 Pour cet appareil il faut des pellicules 24 x 36 La vitesse est limiteacutee agrave 50

De telles formulations sont un moindre mal le nom de luniteacute nest pas dit mais si on le cite tout est en ordre Du fait de lusage elles transmettent une information complegravete chacun sait quil sagit de 110 volts et 220 volts de 24 millimegravetres et 36 millimegravetres un panneau de limitation de vitesse indiquant 50 est agrave lire 50 kilomegravetres agrave lheure en France 50 miles per hour en Angleterre (agrave peu pregraves 80 kilomegravetres agrave lheure)

Certains corps de meacutetier utilisant toujours la mecircme uniteacute sousshyentendent geacuteneacuteralement le nom de celle-ci une planche de 20 une tocircle de 3 (1)

Il nest pas rare que le nom de luniteacute ne soit dit quen partie quand une revue technique eacutecrit des rails de 60 kilogrammes cest 60 kgm quil faut lire Chacun sait compleacuteter la locution 8 litres aux 100 middot

IV- 32 Les formulations donneacutees en IV- 22 sont lourdes et preacutesentent agrave lusage un danger lutilisateur raccourcit la mesure de la longueur de devient la longueur de Cest sans doute lorigine de phrases incorrectes tregraves employeacutees telles que

Si luniteacute est le centimegravetre la longueur de ce segment est 3

IV- 33 Lemploi pourtant fort naturel du verbe mesurer narrange rien

Ce segment mesure 3 centimegravetres Cette formulation est tregraves proche en effet de Ce segment a pour mesure 3 centimegravetres qui est une formushylation incorrecte

lylais qui osera refuser La Tour Eiffel mesure 320 megravetres

(1) Luniteacute est parfois perdue de vue Dans Il chausse du 45 luniteacute est le point Cette uniteacute de pointure est une uniteacute de longueur comprise entre 6 mm et 7 Ilm comme le montre le tableau ~uivant

Mesure en points 38 39 40 41 42 43 44 45

Mesure en centimegravetres 243 25 256 263 27 276 283 ~9

31

IV- 34 Soit a la longueur en centimegravetres de ce segment Cette formulation est peut-ecirctre la plus pernicieuse la longueur en centimegravetres dun segment est-elle autre chose que la longueur de ce segment

Que preacutetend-on deacutesigner par a Ou bien une longueur et il faut enlever ce en centimegravetres ou bien un nombre et il faut dire Soit a la mesure de ce segment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute de lonshygueur

Il y a lagrave une amorce de confusion pour ne pas dire une veacuteritable confusion entre longueur et mesure de cette longueur une certaine uniteacute eacutetant choisie

IV - 4 Des formulations simples tregraves acceptables

Les formulations les plus simples agrave condition quelles ne soient pas eacutequivoques sont les meilleures

Un carreacute de cocircteacute 3 centimegravetres cette formulation na jamais choshyqueacute personne et il faut sen feacuteliciter le cocircteacute est une longueur et 3 centishymegravetres est cette longueur

Un segment de 3 centimegravetres un jardin de 2 ares un bifteck de 100 grammes un bifteck de 8 francs un courant de 4 ampegraveres voilagrave qui est middot agrave la fois simple et correct si vous voulez la nature de la grandeur le nom de luniteacute vous renseigne si vous chegraverchez sa mesure avec cette uniteacute voyez le nombre middot

Terminons par les formulations suivantes

Ce segment est de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres la Loire a 1000 kilomegravetres cet enfant

a 8 ans middot Ce segment fait 3 centimegravetres vaut 3 centimegravetres Elles ne sont pas assez explicites pour que le puriste sache deacutecider

de leur correction Mais elles sont parfaitement claires et on ny confond pas grandeur et mesure Elles sont dun emploi tregraves freacutequent Qui reacuteussishyrait agrave les eacuteviter Qui oserait les bannir

IV- 5 Un langage normaliseacute

Il existe une orthographe et une syntaxe des symboles de grandeurs et duniteacutes Le lecteur qui souhaiterait une information plus deacutetailleacutee agrave leur propos la trouvera dans les publications de lAssociation franccedilaise de normalisation (1)

En particulier le simple bon sens commande deacuteviter dans leacutecrishyture deacutecimale des mesures de grandeurs les nombres qui comporteraient

(1) AFNOR tour Europe Ceacutedex7 -92080 PARIS LA DEacuteFENSE Voir en particulierles normes X02003 X02006 X02020

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une pleacutethore de zeacuteros soit agrave droite sil sagit dun nombre entier soit agrave gauche sil sagit dUgraven nombre deacutecimal Pour y parvegravenir on dispose de deux proceacutedeacutes

1deg) eacutecrire un tel nombre sous forme dun produit dont un facteur est une puissance de 10 dexposant positif dans le premier cas (exemshyple nombre dAvogadro IX- 61) neacutegatif dans le second (exemple constante de gravitation X- 61)

2deg) affecter dun preacutefixe le nom de luniteacute pour former une noushyvelle uniteacute mieux adapteacutee agrave la grandeur agrave mesurer On choisit habituelleshyment cette nouvelle uniteacute de telle sorte que la grandeur sexprime agrave laide dun nombre compris entre 01 et 1000

4

Ces preacutefixes sont preacutesenteacutes sur la couverture de la preacutesente brochure

33

vmiddot- RAPPORTS DE GRANDEURS

A voir deacutefini des multiplications externes menant agrave des eacutegaliteacutes du type b = Agrave a ougrave a et b sont des grandeurs et Agrave un reacuteel cela pose une double question

-est-il possible si AgravefUuml de diviser b par pour obtenir a cestshyagrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ~=a

- est-il possible si a nest pas une grandeur nulle de diviser b par a cest-agrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ]_=Agrave a

La reacuteponse agrave la premiegravere de ces deux questions est simple Du fait de la pseudo-associativiteacute (III - 63)

_l b = _l (Agravea) = ( _l x Agrave) a = aAgrave Agrave Agrave

En conseacutequence si lon donne une signification agrave leacutecriture ~ ce

ne peut ecirctre que ~ b Autrement dit diviser une grandeur par un

reacuteel Agrave non nul est la mecircme chose que la multiplier par middot~

La seconde question introduit leacutecriture 1_ jamais rencontreacutee jus-a

quici Tant que a et b sont des grandeurs de mecircme nature (et mecircme eacuteventuellement dans des cas plus larges comme on la dit en III- 93)

aucune raison ne soppose agrave ce quon deacutesigne par]_ le nombre Agrave tel que a

b = Agrave a On peut lappeler quotient de b par a mais nous preacutefeacuterons lappeler rapport de b agrave a

Le preacutesent chapitre sera consacreacute agrave de tels rapports

Dans l~ cas ougrave a et b sont deux grandeurs quelconques leacutecriture ~

recevra une signification plus geacuteneacuterale au chapitre VI ougrave elle ne deacutesishygnera plus en geacuteneacuteral un nombre nous lappellerons quotient de b par a en eacutevitant de lappeler rapport Lusage ne respecte pas toujours cette distinction (voir par exemple VI - 66)

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V __ 1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a

V - 11 On vient den donner la deacutefinition cest le nombre de

leacutegaliteacute b = a ougrave a nest pas une grandeur nulle on leacutecrit_ ou a

ba Dans ces conditions les eacutegaliteacutes ]_ = et b = a sont eacutequivashy

a lentes En particulier la mesure de b quand on prend a pour uniteacute est le rapport ]_ (voir III - 5) en effet que a soit pris pour uniteacute cela impUumlshy

a que quil nest pas la grandeur nulle

Cest bien la notion de rapportde deux grandeurs quon emploie dans des phrases telles que

- Cette table est trois fois plus longue que large - Le deacutebit moyen du Rhocircne agrave Beaucaire est cinq fois celui de la

Seine agrave Mantes - Lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur agrave 2600 kilomegravetres daltitude

est la moitieacute de ce quelle est au sol Le poids dun corps y est lui aussi la moitieacute de ce quil est au sol

On reconnaicirctra en 3 5 12 des rapports de deux grandeurs Il en est de mecircme pour le nombre 112 dans la moitieacute du parcours et pour le nombre 14 dans un quart dheure

V - 12 Rapports de grandeurs et rapports de mesures La grandeur a neacutetant pas nulle mesurons la grandeur ben prenant

a pour uniteacute soit sa mesure b = a

La grandeur k neacutetant pas nulle mesurons a et b en prenant k pour uniteacute soient a et 3 leurs mesures

a=ak b=3k

Puisque b =a b peut seacutecrire (a k) gracircce agrave la pseudo-associashytiviteacute de III - 63

b = (a) k

Cette eacutegaliteacute exprime que le nombre a est la mesure de b quand on prend k pour uniteacute mesure qui est 3 Ainsi a = 3

Puisque a nest pas la grandeur nulle le nombre a nest pas nul donc

Le rapport de la grandeur b agrave la grandeur non nulle a est eacutegal au

rapport 1 des mesures avec la mecircme uniteacute de b et a et cela quelle queCi

soit cette uniteacute

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V - 13 1reacutesute de ce qui preacutecegravede que le rapport de b agrave a peut prendreles formes suivantes

b (3k et Ji a ak a

Exemple a = 5 cm b = 3 cm

Le rapport ~ est un nombre qui peut seacutecrire indiffeacuteremment ~ ou

0 6 ou 30 ou 3 cm ou 30 mm ou mecircme 0bull03 m etc Les deux premiegraveres middot50 5 cm 50mm 50 mm

de ces eacutecritures sont eacutevidemment les plus maniables

Ainsi de mecircme quon peut remplacer leacutecriture ~ ~ ~ par ~on peut remplacer leacutecriture ~ par ~On a simplifieacute par la grandeur k

comme on simplifie par 5

Cette simplification traduit le fait que le rapport de deux grandeurs est indeacutependant du choix de luniteacute avec laquelle on les mesure

V- 14 Commoditeacute demploi de la notation 2 a

Bornons-nous agrave un exemple

Le produit des d~ux rapports ~ et ~ ougrave a b c sont des grandeurs

de mecircme nature b etc eacutetant distinctes de la grandeur nulle est eacutegal agrave L c

comme ce serait le cas si a b c eacutetaient des nombres En effet une uniteacute eacutetant choisie et a (3 Y eacutetant les mesures de a b c respectivement les

rapports ba et _ sont les nombres (3a et Ji leur produit est donc~ qui c Y Y

nest autre que L c

V - 15 En reacutesumeacute

1) Le rapport dune grandeur agrave une autre est la mesure de la preshymiegravere quand on prend la seconde pour uniteacute

2) Ce rapport est aussi le rapport de la mesure de la premiegravere agrave la mesure de la seconde avec la mecircme uniteacute quel que soit le choix de cette uniteacute

V - 2 Proportionnaliteacute

Exemple 1 Si les peacuterimegravetres de trois carreacutes ont pour longueurs Ptbull p 2 p 3 et si c11 c2 c3 sont les longueurs respectives de leurs cocircteacutes

Ct Cz c3 - =- =- = 025 Pt Pz P3

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Au deacutebut de la rubrique APPLICATIONS LINEacuteAIRES (MOTS IV) agrave propos du mecircme sujet nous avons adopteacute la mecircme eacutecriture Mais elle ne comportait que des nombres c1 c2 c3 deacutesignaient les mesures des cocircteacutes avec une certaine uniteacute et p1 p2 p3 les mesures des peacuterimegravetres avec cette

uniteacute Ici c1 nest pas un nombre p 1 non plus mais c1 est tin nombre Pt

On dit

La suite des longueurs c1 c2 c3 est proportionnelle agrave la suite des longueurs Ptgt p 2 p 3 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 025

Dune faccedilon geacuteneacuterale Etant donneacute des carreacutes les longueurs de leurs cocircteacutes sont proportionnelles aux longueurs de leurs peacuterimegravetres

Ou plus simplement leurs cocircteacutes sont proportionnels agrave leurs peacuterishymegravetres

On dit aussi bien leurs peacuterimegravetres sont proportionnels agrave leurs cocircteacutes

On se permet mecircme dalleacuteger encore par lemploi du singulier le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel agrave son cocircteacute Une telle formulation est dangereuse car elle masque le fait que ce cocircteacute doit ecirctre consideacutereacute comme une variable agrave deacutefaut de quoi elle serait incompreacutehensible Elle signifie que le peacuterimegravetre est une fonction lineacuteaire du cocircteacute x--+ 4x bull

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi bien agrave propos de granshydeurs de mecircme nature quagrave propos de nombres

Exemple 2 Si lon emploie pour la confection dun gacircteau pour 4 personnes une masse a de farine un volume v deau un nombre n dœufs et une masse b de sucre pour 10 personnes il faut une massemiddot a de farine un volume v deau n œufs et une masse b de sucre qui veacuterifient au moins approximativement

a v n b 10a=v-=li=li=4

La suite a v n b 10 qui comporte des nombres et des granshydeurs de natures diverses est dite proportionnelle agrave la suite a v n b 4 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 25

Dans lexemple de mecircme type preacutesenteacute en IX- f de la rubrique PROPORTIONNAJITEacute (MOTS IV) on avait envisag~ des suites de nomshybres a v b et a v et b eacutetaient des mesures

Remarques

1) De leacutegaliteacute a = L peut-on deacuteduire leacutegaliteacute a = iL On ne a v middot v v

peut reacutepondre agrave cette question tant quon na pas donneacute une significashy

tion aux eacutecritures iL et agrave ougrave a et v dune part a et v dautre part ne v v sont pas de mecircme nature quand on donne celle de VI la reacuteponse est affirmative

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De toute faccedilon a et v sont des nombres mais l et a nen sont a v middot v v

pas Nous reparlerons incidemment del et a en X- 51 v v

2) Reacuteponse analogue agrave la question De leacutegaliteacute ccedilE_ = ~ middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middot middot a v peut-on deacuteduire av = av En VII nous preacutesenterons des produits de grandeurs

V - 3 Taux dincertitude

Voici un usage important en physique du rapport de deux granshydeurs

On sait que le mesurage dune grandeur est affecteacute dune incertishy tude (II- 12) On appelle taux dincertitude le rapport de lincertitude

au module de la grandeur elle-mecircme ou ce qui revient pratiquement au mecircme (1) le rapport de lincertitude agrave leacutevaluation du module obtenue par le mesurage

Ainsi si la reacutesistance dun conducteur est 937 ohms agrave 01 ohm pregraves

le taux dincertitude est ~317 soit agrave peu pregraves 0001

Naturellement si lon donne une interpreacutetation probabiliste de lincertitude le taux dincertitude doit ecirctre interpreacuteteacute de faccedilon analoshygue

V - 4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs

V- 41 Un rendement sexprime par un nombre Celui dun moteur eacutelectrique est le rapport de leacutenergie meacutecanique quil fournit agrave leacutenergie eacutelectrique quil a fallu lui fournir Il est par exemple 095 Le rendement dun moteur thermique est de lordre de 13

V - 42 Titre dun alliage dune solution Si une masse m dune substance est contenue dans un meacutelange de

masse M le titre (2) de cette substance dans ce meacutelange est le rapport

~ Il est eacutevidemment compris entre 0 et 1 Un alliage dor et de cuivre

de titre 0835 contient 835 grammes dor par kilogramme dalliage Cette deacutefinition rend compte du fait quil y a proportionnaliteacute entre

les masses m1o m2 m3 bullbullbull dor et les masses dalliage correspondantes Mto M2 M3middotmiddotmiddot

(1) Cela revient pratiquement au mecircme parce quon suppose que lincertitude est petite devant le module de la grandeur si tel neacutetait pas le cas la qualiteacute du mesurage serait tregraves meacutediocre et ces notions deviendraient sans inteacuterecirct

(2) On dit parfois titre massique par opposition agrave titre volumique

38

V- 43 Echelle dune carte Si le segment de droite qui joint deux points dune carte a pour lonshy

gueur a et si le segment quil repreacutesente sur le terrain est horizontal et a

pour longueur b leacutechelle de la carte est le rapport ~

Si on lit 1 cm sur la carte repreacutesente 2 km sur le terrain ou

plus simplement 1 cm pour 2 km leacutechelle est le rapport J~ 1nombre qui peut seacutecrire On trouve parfois leacutecriture

200 000 1 cm 2 km dans laquelle on peut consideacuterer que le signe traduit le mot pour (ou ses eacutequivalents dans des langues eacutetrangegraveres) mais aussi quil est le signe habituel de la division

Les rouages dune montre se dessinent par exemple agrave leacutechelle 10

nombre quon eacutecrit aussi bien 1 cm ou mecircme 1 cmmm ce quon lit 1 mm

1 centimegravetre par millimegravetre

V - 44 Pente dune route La pente de la route [OM] est le rapport de la deacutenivellation qui est

la longueur du segment [PM] agrave la longueur du segment horizontal [OP] (1) Elle est par exemple 005 nombre quon lit souvent 5 0o On adopte aussi un langage consideacutereacute comme plus parlant analogue agrave celui quon vient de rencontrer agrave propos deacutechelle dune carte la pente

de cette route est 51c ou 5 cmm celle de cette voie ferreacutee est

6 mmm La pente des conduites deacutevacuation des eaux useacutees ne doit pas ecirctre infeacuterieure agrave 1 cmm

V- 45 Rapports trigonomeacutetriques Le rapport ~~ qui preacutecegravede

nest autre que la tangente de langle que fait la route avec un plan horishyzontal

Cet angle pourrait aussi bien ecirctre caracteacuteriseacute par son sinus ~~ ou

par son cosinus g~ Ces trois rapports sont appeleacutes rapports trigonoshy

meacutetriques de cet angle

PM(1) On deacutesigne parfois par pente dune route le rapport OM

39

V - 46 Le radian

La mesure des angles peut poser selon le type des angles consideacuteshyreacutes des problegravemes deacutelicats Nous nous bornerons aux cas simples de langle de secteur de langle de paires de demi-droites et de langle de rotations cineacutematiques (voir SECTEUR-ANGLE MOTS V)

On peut mesurer ces angles avec les uniteacutes usuelles degreacute grade tour (angle) droit mais aussi avec le radian

x

Soit des cercles concentriques et une demi-droite issue de leur centre commun 0 qui les coupe en A A A

Une autre demi-droite Ox occupe initialement la mecircme position puis tourne autour de 0 dans un certain sens elle sarrecircte en une posishytion quelconque ougrave elle coupe les cercles en M M M Soit f f f les longueurs des trajets quont deacutecrits les points dintersection de Ox avec ces cercles On sait que ces longueurs sont proportionnelles aux

longueurs r r r des rayons i f_ f sont donc un mecircme r r r

middot nombre a Ce nombre est la mesure de f quand on prend r pour uniteacute Il caracteacuterise langle dont a tourneacute Ox Dire que a = 03 ou a = 12 cest donner si on connaicirct le sens dans lequel a tourneacute la demi-droite Ox une information complegravete quant agrave la position sur laquelle elle sest arrecircteacutee et sur le nombre de fois (eacuteventuellement nul) ougrave elle est passeacutee par cette position auparavant

Pour preacuteciser cette caracteacuterisation en termes dangles on donne la deacutefinition suivante le radian est langle dont a tourneacute Ox lorsque Ma parcouru un arc de longueur r Ainsi langle dont a tourneacute Ox dans les exemples ci-dessus est langle 03 radian langle 12 radians

Cette deacutefinition est eacutequivalente agrave la suivante Le radian est langle des paires de demi-droites issues du centre dun cercle qui interceptent sur celui-ci un arc dont la longueur est celle du rayon du cercle

Leacutetymologie du mot radian (radius rayon) eacutevoque cette deacutefishynition

40

On visualisera facilement le radian un peu moins de 60deg Sur les figures ci-dessous la corde [AB] et larc AM ont mecircme longueur que le-rayon Langle AOM est 1 radian

Il est facile decirctre plus preacutecis si Ox a tourneacute dun tour Ma par~ couru le cercle en entier une seule fois parcours dont la longueur est 21rr le tour cest-agrave-dire 360deg est donc 21r radians 360deg est compris entre 628 radians et 629 radians et le radian est compris entre 57deg et 58deg

Langle plat est 1r radians Langle droit est radian soit environ

157 radian

Sur la quatriegraveme des figures ci-dessus larc AMN de mecircme lonshygueur que la diagonale [AC] du carreacute OADC est tel que AoN est Jiuml radian ou 1 414 radian un peu moins dun droit puisque le droit est 157 radian

Lun des inteacuterecircts du radian reacuteside dans la simpliciteacute de leacutegaliteacute f= ar ougrave fest la longueur dun arc de cercle de rayon r intercepteacute par

un secteur au centre dangle a radians dans cette eacutegaliteacute a est un nomshybre non un angle

La radian est dun usage commode en analyse en topographie en physique

V- 47 Le steacuteradian La deacutefinition de cette uniteacute dangle-solide est calqueacutee sur celle du radian

Soit une sphegravere de centre 0 et une portion S de cetie surface Les demi-droites issues de 0 et sappuyant sur le contour deS deacuteterminent sur des sphegraveres de centre 0 et de rayons r r r des surfaces geacuteomeacuteshytriquement semblables agrave S On sait que les aires a a a de celles-ci sont proportionnelles aux aires des sphegraveres donc aussi aux aires des carshyreacutes dont les cocircteacutes sont r r r Permettons-nous danticiper agrave propos de produits de longueurs (voir VII - 3) pour utiliser un reacutesultat bien connu les aires de ces carreacutes sont r2 r 2 r2

_ ~ a sont donc un m~me nombre cp Ce nombre est r2 r2 r2

dautant plus grand que la surfaces est vue de 0 sous un angle-solide plus grand Il est la mesure de laire a quand on prend pour uniteacute laire dun carreacute de cocircteacute r

Dire middotcp = 07 cest faire connaicirctre langle-solide sous lequel on voit du point 0 la surface S cet angle-solide est 0 7 steacuteradian

Par deacutefinition le steacuteradian est langle-solide sous lequel on voit du centre dune sphegravere une portion de celle-ci dont laire est celle dun carreacute ayant pour cocircteacute le rayon de la sphegravere

On sait que laire dune sphegravere de rayon rest 47rr2 un angle-solide est donc infeacuterieur ou eacutegal agrave 411 steacuteradians Langle-solide dun secteur triegravedre tri-rectangle (voir SOLIDE II- 1 MOTS V) est le huitiegraveme de 411 steacuteradians cest-agrave-dire 157 steacuteradian environ

V- 48 Lensoleillement de lAunis est de 2 200 heures par an Si enmiddot un lieu donneacute au cours dun intervalle de temps de dureacutee D le soleil na brilleacute en tout que pendant une dureacutee d lensoleillement moyen

pendant cet intervalle est le rapport g 2 200 heures par an est un nombre agrave peu pregraves eacutegal agrave ~ puisquun

an cest presque 8 800 heures

Le record dutilisation des Boeing appartient agrave la Swissair pour un appareil il est en moyenne de 137 heures par jour Il sagit lagrave encore dun rapport de deux dureacutees qui est 057 environ

V - 5 Ougrave le rapport de deux grandeurs est indispensable

Bornons-nous agrave trois exemples

V- 51 Lintensiteacute agrave un certain instant ou intensiteacute instantaneacutee

dun courant eacutelectrique alternatif peut seacutecrire lm cos 21r f ougrave lm est

lintensiteacute maximum (celle du courant agrave linstant-origine) et ougrave t et T sont des dureacutees T est la peacuteriode du courant et t est la dureacutee eacutecouleacutee depuis linstant-origine jusquagrave linstant envisageacute Lintensiteacute est foncshytion de t

Leacutecriture lm cos t leacutecriture lm cos 271 t seraient incompreacutehensibles car on ne saurait donner une signification au cosinus dune dureacutee Par

contre 271 f eacutetant un nombre on peut prendre son image par la foncshy

tion cosinus dont la source est R

Bien que les mots cosinus sinus deacutesignent des fonctions de source Ret de but R on dit que lintensiteacute dun tel courant est fonction sinusoiumlshydale du temps ou par raccourci que lintensiteacute est sinusoiumldale ou mecircme que le courant est sinusoiumldal

V- 52 Le calcul de ce que devient un capital placeacute agrave un taux donneacute fait eacutegalement intervenir le rapport de deux dureacutees

Si un capital ou un prix augmente de 15 OJo chaque anneacutee cest-agraveshydire sil est multiplieacute par 115 et sil est Cagrave une Ccedillate donneacutee au bout dune anneacutee il devient C x 115 de deux anneacutees (C x 115) x 115 soit C x (115)2 etc Au bout den anneacutees il est C x (115)n

Lexposant n nest pas une dureacutee il est la mesure de la dureacutee quand on prend lanneacutee pour uniteacute middot

Bien que lexpression fonction exponentielle deacutesigne une foncshytion dont la source est un ensemble de nombres on dit que le capital est une jonction exponentielle du temps

V- 53 Chacun connaicirct lattrape-nigaudsuivant ougrave se preacutesente un calcul analogue

Une feuille de neacutenuphar met une dureacutee d pour doubler son aire Si d est par exemple une journeacutee et sil faut agrave la feuille une semaine pour recouvrir leacutetang il lui faut 6 jours pour en recouvrir la moitieacute(et non 35)

Soit K laire de la feuille agrave un moment donneacute et A(x) son aire quand il sest eacutecouleacute une dureacutee x La fonction A est une fonction exposhynentielle

A(x) = K x 2d

Lexposant du nombre 2 est neacutecessairement un nombre Il ne saushyrait ecirctre par exemple une dureacutee Il est la mesure de la dureacutee x quand on prend d pour uniteacute

Aux dates 0 d 2d 3d lexposant ~ est 0 1 2 3 et la feuille a

pour aires K 2K 4K 8K

43

44

DEUXIEgraveME PARTIE

Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacuteesmiddot

VI - QUOTIENTS DE GRANDEURS

VI -1 Grandeur proportionnelle agrave une autre

Quand une substance est homogegravene() si on en preacutelegraveve une partie de volume v0 llt1 masse in0 de cette partie ne deacutepend pas du choix de celle-ci Il en reacutesulte que si une partie a un volume v1 triple de v0 sa masse m1 est triple de m0 bull

Dune faccedilon geacuteneacuterale le rapport mo des mas~es de deux corps ml

dune mecircme substance homogegravene est eacutegal au rapport Vo de leurs valushy Vl

1mes ci-dessus ces deux rapports eacutetaient mo et Vo cest-agrave-dire - 3mo 3Vo 3

A partir de leacutegaliteacute mo = Vo on est tenteacute deacutecrire cette autre ml vl

eacutegaliteacute mo = ml mais on na donneacute aucune signification aux eacutecri-Vo Vl

(1) Le mot homogegravene a ici un sens tout autre que dans la locution grandeurs homogegraveshynes entre elles mentionneacutee agrave la fin de Ill et preacutesenteacutee en X middotmiddot

45

tures telles que mo ougrave figurent deux grandeurs de natures distinctes Vo

(voir la remarque fin de V - 2)

On peut cependant mettre en regarcL m0 et v0 m1 et v1 et mecircme consideacuterer plusieurs morceaux de la mecircme substance

mo ml m2 ma

Vo vl v2 Va

Le tableau ainsi obtenu possegravede la proprieacuteteacute suivante le rapport de deux termes de la premiegravere suite quels qlils soient est eacutegal au rapport des deux termes correspondants de la seconde

Cette proprieacuteteacute est analogue agravecelle que preacutesentent deux suites proshyportionnelles de nombres par exemple

6 18 9 2

4 12 6 43

A cause de cette analogie on dit que la suite des masses est proporshytionnelle agrave la suite des volumes ou que la suite des volumes est proporshytionnelle agrave la suite des masses ou que les deux suites sont proportionshynelles

De faccedilon abreacutegeacutee on dit que la masse dune substance homogegravene est proportionnelle agrave son volume ce qui signifie que la masse est foncshytion lineacuteaire du volume celui-ci eacutetant consideacutereacute comme une variable Reacuteciproquement le volume est fonction lineacuteaire de la masse

On a deacutejagrave employeacute un tel langage mais agrave propos de deux grandeurs de mecircme nature (V- 2) le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel au cocircteacute de celui-ci

Avec les noqtbres des suites proportionnelles donneacutees plus haut on eacutecrit des eacutegaliteacutes

amp = 18 = 2 = _2_ = 1 5 4 12 6 43

Avec les cocircteacutes et peacuterimegravetres de carreacutes on eacutecrit aussi des eacutegaliteacutes

~ = c2 = ca = 025 P1 P2 Pa

middotLanalogie serait complegravete si les quotients mo m1 m2 v0 v1 v2

recevaient une deacutefinition et pouvaient ecirctre deacuteclareacutes eacutegaux Ils ne sont pas des nombres Peuvent-ils ecirctre consideacutereacutes comme des grandeurs Cette question est lobjet dece qui suit

46

VI - 2 Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume

VI-- 21 Envisageons une opeacuteration noteacutee II] qui agrave tout couple constitueacute dune masse et dun volume non nul associe une certaine grandeur nouvelle dont on deacutecide quelle est

Proprieacuteteacute A proportionnelle agrave la masse cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la masse ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave volume consshytant on multiplie la masse Jtar un nombre alors elle est elle aussi mul- middot tiplieacutee par ce nombre

Proprieacuteteacute B inversement proportionnelle au volume ce qui signishyfie que si agrave masse constante on multiplie le volume par un nombre ncin nul elle est multiplieacutee par linverse de ce nombre

(Cette double deacutecision nest pas arbitraire elle est telle quagrave des morceaux dune mecircme substance homogegravene est associeacutee une valeur unishyque de cette grandeur)

Choisissons une masse et un volume tous deux non nuls m0 v0 car ils serviront bientocirct duniteacutes de masse et de volume Appelons Po la grandeur nouvelle associeacutee au couple (m0 v0)

Po = mo II Vo bull

Soit un corps de masse rn et de volume v Appelons p la granshydeur nouvelle associeacutee au couple (rn v)

p=m[Dv

La connaissance de m et de entraicircne celle de la mesure 01 dem0 rn quand on prend m0 pour uniteacute

rn= am0

La connaissance de v et de v0 entraicircne celle de la mesure 3 de v quand on prend v0 pour uniteacute

v = 3 v0

On peut alors dresser le tableau suivant

Masse Volume Grandeur nouvelle

(1) mo Vo Po

(2) rn Vo 01 Po

(3) mo v 173 Po

(4) rn v 01 d73

p0 c est-a- 1re p

47

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B

On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B

p = ~ (ex p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en

III - 63 agrave propos de longueurs et accepteacutee pour toute grandeur - ex

P - 73 Po

bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

p = ex( ~ p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute

P = ~ Po

La grandeur p qui est m [TI v seacutecrit si lon se souvient que m = exm0 et v = 3v0 des deux faccedilons suivantes

p = (ex mo) III (3 Vo) P = ~ Po

ce qui permet de consideacuterer le nombre ~ comme la mesure de p

quand on prend Po cest-agrave-dire m 0 III v0 pour uniteacute

Si par exemple m0 est le gramme et v0 le centimegravetre cube (abreacuteshyviations g et cm3

) la grandeur f-tp relative par exemple agrave une pierre de 300 grammes et de 120 centimegravetres cubes seacutecrit de deux faccedilons

soit f-tp = (300 g) III (120 cm3 )

300soit p = (g [] cm3)p 120

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux eacutecritures m v m0 middot v0 g et cm3 et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe III et supposons quil soit celui de la division dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishy

tures a m 0 III 3 v0 et ~ (mu III v0) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration III est une division et que lamiddot nouvelle grandeur p est deacutefinie comme le quotient de la masse m par le volume v Et on convient de remplacer

leacutecriture m III v par leacutecriture m Ainsi v

P = ex m 0 = ~ x mo 3 Vo 3 Vo

f-tp = _1QQ_g__ = 25 _L 120 cm3 cm3

48

Ces conventions sont justifieacutees par la commoditeacute du calcul et du langage Comme celles de III - 7 elles sont sans inconveacutenient matheacuteshymatique Et sans inconveacutenient peacutedagogique La simpliciteacute des eacutecritures ne doit pas masquer la signification de celles-ci

VI - 22 Lorsque les masses m0 et m et les volumes v0 et v des lignes (1) et (4) du tableau ci-dessus sont relatifs agrave deux morceaux dune mecircme substance homogegravene on sait (VI- 1) que les suites (m0 m) et (v0 v) sont proportionnelles

Les nombres a et 3 des eacutegaliteacutes m = a m0 v = 3 v0

sont donc eacutegaux et la grandeur p attacheacutee agrave m et v (ligne 4) est eacutegale agrave la grandeur p0 attacheacutee agrave m0 et v0 (ligne 1)

Plus geacuteneacuteralement les eacutecritures mo m1 m2 de la fin de Vo V1 V2

VI - 1 ont reccedilu comme on le souhaitait une signification de plus elles deacutesignent la mecircme grandeur comme on le souhaitait eacutegalement

mo = ml = m2 = p Vo vl v2

La grandeur p qui est la mecircme pour tout morceau dune subsshytance homogegravene peut ecirctre consideacutereacutee comme attacheacutee agrave celle-ci

Il existe dans la langue franccedilaise un qualificatif qui sadapte tregraves bien agrave la situation une substance A est dite 3 fois plus dense quune autre B si agrave volume eacutegal la masse de A est triple de celle de B ou aussi bien si agrave masse eacutegale le volume de A est le tiers du volume de B La grandeur attacheacutee agrave A est triple de la grandeur attacheacutee agrave B

La grandeur p porterait avantageusement le nom de densiteacute() Elle a porteacute longtemps le nom de masse speacutecifique comme eacutetant un des caractegraveres de la substance envisageacutee Elle porte leacutegalement celui de masse volumique

Malgreacute ces deux locutions ougrave un qualificatif suit le mot masse elle nest pas une masse Peut-ecirctre atteacutenuerait-on cet inconveacutenient par lemploi dun trait dunion il serait sage deacutecrire masse-volumique comme on eacutecrit force-eacutelectromotrice grandeur qui nest pas une force

VI- 23 En deacutefinitive 1deg) Si un corps a une masse m et un volume v sa masse volumishy

que p est donneacutee par p = m v

(1) La densiteacute dune substance homogegravene solide ou liquide est par deacutefinition le rapport de deux masses celle dun certain volume de cette substance agrave celle dun mecircme volume deau prise agrave 4degC Elle est donc le rapport de la masse volumique de la substance agrave celle de leau prise agrave 4degC Cette derniegravere eacutetant lgcm la densiteacute dune substance est donc la mesure de sa masse volumique avec luniteacute gcm

49

On dit quon a diviseacute une masse par un volume

ft est la masse volumique de la substance qui le constitue sil est homogegravene sil ne lest pas ft est sa masse volumique moyenne

2deg) Si m a pour mesure a quand on prend m0 pour uniteacute et si v a pour mesure 3 quand on prend v0 pour uniteacute ft a pour mesure a middot m middot

-3 si on prend ~ pour uniteacute de masse volumique Vo

Par exemple m0 et v0 eacutetant respectivement le gramme et le centishymegravetre cube on creacutee agrave partir deux une uniteacute de masse volumique le gramme par centimegravetre cube cest la masse volumique dun corps de masse 1 gramme et de volume 1 centimegravetre cube On leacutecrit gcm3

bull

t Les suites ci-contre sont proportionnelshyles les quotients gcml kgdm3

tm3

m3 deacutesignent donc la mecircme uniteacute de masse volumique On leacutenonce gramme par censhy

timegravetre cube kilogramme par deacutecimegravetre cube tonne par megravetre cube La masse volumique de laluminium est aussi bien 27 gcml que 27 kgdm3 ou 27 tm3

bull

VI - 3 Un autre exemple quotient dun volume par une masse

Tout au long de VI - 2 on agraveurait aussi bien diviseacute des volumes par des masses que des masses par des volumes middot

Une pierre de 120 centimegravetres cubes a une masse de 300 grammes

Elle a un volume massique de j~g cm3g soit 04 cm~g Si cette

pierre est homogegravene tout morceau de masse 1 g a un volume de 04 cm3

bull

VI - 4 Quotient de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee Soit B lensemble des grandeurs (autres que la grandeur nulle) de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee On deacutesigne comme de coutume leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave

(1) En cegrave qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III 4 (2) cette preacutecaution eacuteie langage est rerieacuteiue riecirciessaire par les restrictions quon estpaifois obligeacute dapporter agrave la deacutefinition des opeacuterations restrictions quon mentionnera en VIII- 1

50

celles de VI- 21 on appelle cdle-ei quotient de a par b(I) on dit quon a diviseacute a par b et on eacutecrit

c = b

(Il peut se faire que c soit un nombre le quotient de a par b quon peut alors appeler rapport a eacuteteacute lobjet du chapitre V)

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs

deacutefinies par les quotients ~ et ~ sont de mecircme nature)

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme unishyteacutes puis simplifiant les eacutecritures comme en VI - 2 on eacutecrit successiveshyment a= ah b=(Jk ((J nest pas nul puisque b nest pas la granshydeur nulle)

c = = oth = x J_b (Jk (J k

ce qui exprime que la grandeur c a pour mesure a quand on prend7f

~ pour uniteacute

On eacutecrit aussi bien cette miteacute hlk On leacutenonce h park On dit quon a deacutefini une uniteacute deacuteriveacutee2) ou composeacutee agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave choisir un terme de la langue usuelle pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c ou agrave en creacuteer un

Remarque Pourqugraveoi leacutecriture ~ na-t-elle de signification que

si la grandeur b nest pas nulle Quadvient-il si variable et susceptishyble decirctre nulle elle lest effectivement

Prenons deux exemples

1deg) si avec un volume donneacute a de meacutetal on fait un fil dont laire

de la section est b on en obtient une longueur ~ dautant plus

grande que b est plus petite Mais si laire b est nulle on ne peut pas parshyler de longueur puisquil ny a pas de fil

(1) Par convention le quotient de deux grandeurs positives est positif on en deacuteduit que le quotient de deux grandeurs de signes contraires est neacutegatif et que le quotient de deux grandeurs neacutegatives est positif middot

(2) On se gardera de confondre le sens preacutesent de ladjectif deacuteriveacutee avec le sens qua cet adjectif dans fonction deacuteriveacutee dune fonction Sur ce second sens voir Xl - 14

2deg) la masse volumique dune substance homogegravene est ~ ougrave a et

b sont respectivement la masse et le volume dun eacutechantillon que nous allons dire non vide de cette substance Pour un eacutechantillon vide a est la masse nulle b est le volume nul mais on ne saurait parler de sa masse volumique puisquon ne saurait dire de quelle substance il sagit

Dune maniegravere plus matheacutematique la grandeur b neacutetant pas nulle

les eacutegaliteacutes ~ = e et a= be contiennent les mecircmes informations (le

produit be de deux grandeurs sera deacutefini en VII) Si b est nulle le proshyduit be lest aussi quelle que soit e

Dans le premier exemple la grandeur a nest pas nulle et leacutegaliteacute a = be est fausse Dans le second a est nulle et leacutegaliteacute est vraie quelle

que soit e Dans les deux cas leacutecriture ~ qui devrait deacutefinir e na

pas de signification

Le traitement des eacutecritures est formellement le mecircme que si les letshytres deacutesignaient des nombres

VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI- 51 Proportionnaliteacute Le proceacutedeacute de deacutefinition dune granshydeur e comme quotient dune grandeur a par une autre b est particuliegravereshyment bien adapteacute agrave toute situation ougrave comme en VI - 22 a est proshyportionnelle agrave b

Dans la suite deacutegaliteacutes m m mmiddot_=_=~=p Vo Vt Vz

p apparaicirct comme coefficient de proportionnaliteacute de la suite (m0 m1 m2) agrave la suite (v0 v1 v2) Mais ce coefficient est une grandeur et non un nombre alors que les coefficients de proportionnaliteacute rencontreacutes au chapitre V eacutetaient des nombres

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi aiseacutement avec des granshydeurs de natures distinctes quavec des grandeurs de mecircme nature et quavec des nombres La phrase y est proportionnel agrave x construite au singulier sinterpregravete ainsi

1deg) x et y sont deux variables deacutependant lune de lautre

2deg) cette deacutependance est expliciteacutee par y = Kx ougrave

bull si les variables x et y sont des nombres K est un nombre consshytant on est en preacutesence de 1 application lineacuteaire x _ Kx middot

bull si les variables x et y sont des grandeurs de mecircme nature ce qui eacutetait lobjet du chapitre V K est encore un nombre constant lapplicashytion x _ Kx est encore dite lineacuteaire

52

bull si les variables x et y sont des grandeurs de natures distinctes K est cette fois-ci une grandeur constante et leacutecriture Kx est celle dun produit de deux grandeurs objet de VII Par exemple pour cles morshyceaux daluminium le volume v eacutetant consideacutereacute comme variable la masse est limage de v par lapplication v (27 gcm3

) x v quon dit encore lineacuteaire middot

VI - 52 En labsence de proportionnaliteacute des moyennes Mecircme en labsence de proportionnaliteacute les quotients de grandeurs

preacutesentent de linteacuterecirct

Si un corps a une masse m et un volume v le quotient m est sa v

masse volumique moyenne le quotient Y est son volume massique m

moyen Leacutepithegravete rrioyen est inutile si le corps est homogegravene

Si un mobile a parcouru une distance a pendant une dureacutee b le

quotient ~ est sa vitesse moyenne leacutepithegravete est inutile si le mouveshy

ment est uniforme

VI- 53 Un quotient tregraves employeacute baz- ba1 relatif agrave une granshyz- 1

deur a fonction dune grandeur b Leacutetude d~un pheacutenomegravene physique comporte bien souvent la

recherche des grandeurs dont deacutepend une grandeur a pour eacutetudier le rocircle de chacune delles on les fixe toutes (autant quil est possible) agrave lexception de lune delles b puis on donnemiddot agrave b diffeacuterentes valeurs b1 bz b3 et on observe les valeurs a1 a2 a3 correspondantes que prend a

Pour fixer les ideacutees choisissons bz plus grand que b1bull La diffeacuterence bz- b1 (deacutefinie comme eacutetant la grandeur quil faut additionner agrave b1 pour obtenir bz) est appeleacutee accroissement que prend la variable b quand elle passe de b1 agrave bi

De trois choses lune

a

~middot+-------------~ az est plus grand que a1 leacutecart az- a1 se preacutesente comme une

augmentation

53

a

a

est plus petit que a1 leacutecartat+------ a2 se preacutesente comme une a1 a2

diminution

1 b0

Dans les trois cas a2 - a1 est appeleacute accroissement de a quand b passe de b1 agrave b2bull Cest en effet loccasion dutiliser les grandeurs neacutegatishyves vues en III- 72 et dadopter le mecircme langage que si a eacutetait foncshytion numeacuterique de b laccroissement a2 - a1 est positif dans le premier cas nul dans le second neacutegatif dans le troisiegraveme

Fixons bto donc aussi a1bull Le quotient ba2 -ab1 permet dappreacutecier 2- 1

la faccedilon dont se modifie a au voisinage de a1 quand b se modifie au voishysinage de bto et cela dautant mieux que lon choisit b2 plus proche de b1 (cest lagrave une ideacutee intuitive agrave laquelle leacutetude des pheacutenomegravenes physiques nous a habitueacutes)

Bien sucircr si a se mesure avec luniteacute h et b avec luniteacute k le quotient

ab2 - ab1 se mesure avec 1 uniteacute hlk quel que soit 1 eacutecart (non nul) entre 2- 1

b2 et bt La pression atmospheacuterique p 1 en un lieu donneacute agrave une date estt1

une information utile en meacuteteacuteorologie mais la faccedilon dont la pression se

modifie appreacutecieacutee par le quotient P2 - Pt ougrave p 2 est la valeur quelle t2- tl

prend agrave la date t2 est une information preacutecieuse ce quotient indique par son signe dans quel sens elle se modifie (elle augmente elle est stashytionnaire elle diminue) et par son module si elle se modifie lentement ou rapidement

La tempeacuterature au sein de leacutecorce terrestre deacutepend de la profonshydeur du point ougrave elle est observeacutee Soient 01 et 02 les tempeacuteratures en deux points dune mecircme verticale situeacutes agrave des distances et duz1 z2

54

_ _

sol quand les geacuteographes disent que le degreacute geacuteothermicircque est de 33 rn

pour les couches superficielles ils veulent dire que le quotient Zz- Z1

0z- 01 est 33 megravetres par kelvin

Le quotient ba2 - ab1 peut avoir une signification simple et recevoir - z- 1

un nom Par exemple sur une route rectiligne une voiture aux dates

et t2 a des vitesses et v2 le quotient Vz- v1 informe sur la t1 v1 tz- tl faccedilon dont se modifie la vitesse il est appeleacute acceacuteleacuteration moyenne entre t1 et t2bull Luniteacute hlk est ici par exemple le megravetre agrave la seconde par

seconde uniteacute quon peut eacutecrire ms et quon eacutecrit aussi ms2 1 bull

s Si une bobine est traverseacutee agrave la date t1 par un flux dinduction 4gt1 et

agrave la date t2 par un flux 4gt 2 (luniteacute leacutegale de flux magneacutetique est le

weber) le quotient - qi2 4gt 1 est la forceeacutelectromotrice moyenne tz tl

dont la bobine est le siegravege entre t1 et t2 luniteacute leacutegale de forceshyeacutelectromotrice est le weber par seconde cest-agrave-dire le volt (Le signe - placeacute devant le trait de fraction reacutesulte des conventions habituelles sur lorientation des champs eacutelectriques et magneacutetiques)

Revenons au quotient ba2 - ab1 relatif agrave une grandeur a fonction z- 1

dune autre b Sil se trouve que a est proportionnelle agrave b cest-agrave-dire que a est fonction lineacuteaire de b alors

a1 a2 a2 -a1 b1 - bz - bz- b1

et le quotient ~- ~ est eacutegal au coefficient de proportionnaliteacute de a agrave

b il est constant

Il est eacutegalement constant dans les cas ougrave la grandeur a sans ecirctre proportionnelle agrave b est telle que les accroissements quelle prend sont proportionnels aux accroissements correspondants de b Exemple lonshygueur dune tige meacutetallique fonction de sa tempeacuterature

Hormis ces cas le quotient ba2 - ab1 nest pas constant z- 1

On trouvera en XI - 14 une suite agrave ces consideacuterations

VI - 6 Quelques exemples de quotients de deux grandeurs

VI- 61 Citons dabord quelques exemples classiques outre ceux quon a deacutejagrave rencontreacutes (masse volumique volume massique vitesse acceacuteleacuteration) shy

55

La concentration dune solution est le quotient de la masse de la substance dissoute par le volume de la solution Elle est comme la masse volumique le quotient dune masse par un volume

Un deacutebit est le quotient dun volume par une dureacutee dans un autre contexte il peut ecirctre le quotient dune masse par une dureacutee Le premier est appeleacute deacutebit-volume le second deacutebit-masse

La pression exerceacutee par une force f agissant uniformeacutement sur une

surface daire a est L a

La puissance moyenne dun moteur qui fournit une eacutenergie E penshy

dant une dureacutee d est ~

La diffeacuterence de potentiel agrave un instant donneacute entre deux points dun circuit parcouru par un courant eacutelectrique continu dintensiteacute I est

~ ougrave P est la puissance libeacutereacutee entre ces deux points

Une vitesse angulaire est le quotient dun angle par une dureacutee On a appeleacute vitesse le quotient dune longueur par une dureacutee une vitesse angulaire nest donc pas une vitesse

Une vitesse areacuteolaire est le quotient dune aire par une dureacutee (elle nest donc pas une vitesse) La seconde loi de Kepler eacutenonce que le moushyvement dune planegravete autour du Soleil se fait agrave vitesse areacuteolaire consshytante

VI - 62 Cette voie ferreacutee est eacutequipeacutee de rails de 60 kgm Cette grandeur est une masse lineacuteique quotient dune masse par une lonshygueur On conccediloit que la masse lineacuteique est une caracteacuteristique imporshytante dun rail Et dune fibre textile lindustrie textile utilise le millishygramme par megravetre quelle appelle tex

VI - 63 Dun manuel de jardinage Arroser agrave raison de 2 fm2 bull

Ce qui est une longueur sur une surface de 1 m2 leau ainsi reacutepartie

aurait un volume de 2 litres donc une eacutepaisseur de ~ soit 1 m2

2 000 cm3 soit 2 mm 10 000 cm2

VI- 64 On parlerait aussi bien dun apport deau de 2 kgm 2

on diviserait une masse par une aire

On utilise un tel quotient dune masse par une aire quand on eacutenonce La production moyenne de ces vergers de noyers est dune tonne par hectare Cette tonne par hectare est 100 gm2

bull

On divise aussi une masse par une aire pour obtenir une masse surshyfacique grandeur utile agrave propos de feuilles de papier de plaques de tocircle de dalles de beacuteton

56

VI - 65 Le pouvoir isolant du freacuteon est tregraves bon 14 000 Vrrim

On sait que la tension (1) U middotneacutecessaire pour provoquer une eacutetinshycelle eacutelectrique agrave travers une couche dun isolant donneacute est au moins approximativement proportionnelle agrave leacutepaisseur e de celle-ci La phrase ci-dessus exprime que pour une couche de freacuteon eacutepaisse de 1 mm elle est 14 000 V

Cette proportionnaliteacute conduit agrave sinteacuteresser au quotient u quie

est une grandeur nouvelle appeleacutee champ eacutelectrique Tant que le champ eacutelectrique ne deacutepasse pas 14 000 Vmm le freacuteon est isolant

VI- 66 La lampe agrave vapeur de sodium est celle qui offre le meilshyleur rapport flux-lumineux 1 puissance consommeacutee de 92 agrave 120 lumens par watt Ce rapport nest que JO agrave 20 lumens par watt pour une lampe agrave incandescence

Phrases claires ougrave est introduit le quotient (improprement appeleacute ici rapport) dun flux lumineux par une puissance Cette nouvelle granshydeur porte le nom defficaciteacute lumineuse

VI- 67 Le pouvoir calorifique de lalcool agrave brucircler est 7 calories par gramme celui du benzegravene est 10 calories par gramme Ou mieux puisque les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec les uniteacutes deacutenergie respectivement 29 et 42 kilojoules pat gramme (2) (Pour joule et kiloshyjoule voir VII - 1)

Les kilojoules par gramme se lisent aussi sous la mention valeur eacutenergeacutetique sur les emballages des produits alimentaires (des pays ougrave les consommateurs ont pour souci de ne pas trop grossir) Yaourt X 23 kJg confiture Y 12 kJg

A propos de protection contre les radiations on utilise le joule par kilogramme quon appelle sievert et le rem 1 rem = 001 sievert

(l) Tension est synonyme de diffeacuterence de potentiel

(2) La calorie dont uuml est question ici est la millithermie cest la quantiteacute de chaleur (leacutenergie) quil faut fournir agrave 1 kilogramme deau pour eacutelever sa tempeacuterature dun degreacute (plus preacuteciseacutement pour la porter de 145degC agrave 155degC) On lappelle parfois calorieshykilogramme

La microthermie en est le 11 000 on lappelle parfois calorie-gramme Elles eacutetaient parfois appeleacutees assez curieusement grande calorie et petite calorie resshy

pectivement Elles sont souvent ce qui est plus gecircnant appeleacutees lune et lautre calorie il en reacutesulte des confusions lors de la lecture de certains textes mais aussi chez les auteurs de ceux-ci

Depuis 1978 ces uniteacutes ont cesseacute decirctre leacutegales les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec la mecircme uniteacute que leacutenergie le joule (voir VII - 1) la microthermie est eacutegale agrave 4185 joules et la thermie agrave 4185 kilojoules

Le kilowattheure (voir VIII - 82) eacutetant 3 600 kilojoules la thermie est agrave peu pregraves 116 kilowattheure

57

Ces grandeurs quotients dune eacutenergie par une masse sont des eacutenergies massiques

VI- 68 Le pouvoir calorifique de ce sous-produit gazeux est inteacuteressant 9 000 kJimm Le pouvoir calorifique est ici le quotient dune eacutenergie par un volume il est une eacutenergie volumique La pression et la tempeacuterature du gaz sont supposeacutees constantes et donneacutees

VI - 69 Cette voiture consomme JO litres aux 100 Chacun connaicirct ce langage raccourci de 10 litres dessence pour 100 kilomegravetres de parcours On dirait aussi bien 01 flkm Le litre par kilomegravetre pour un carburant donneacute est une uniteacute dune grandeur souvent appeleacutee consommation

VI - 610 La nervositeacute dune voiture est le quotient de la puisshysance de son moteur par la masse de la voiture cest une puissance masshysique Elle est parfois appeleacutee improprement puissance agrave la tonne

VI- 611 Le kilogramme par heure peut servir agrave mesurer par exemple la capaciteacute de production de cuivre dans une cuve agrave eacutelectrolyse

La production dacide sulfurique dune usine de moyenne imporshytance est 500 tonnes par jour

La pollution atmospheacuterique par le plomb si on construit cette usine daccumulateurs sera de 43 kilogrammes par jour

On reconnaicirct ici la grandeur appeleacutee deacutebit-masse en VI- 61

VI - 612 Limportance du reacuteseau routier du reacuteseau ferreacute dun pays se mesure en kmlkm2

bull

VI- 613 On peut citer ici les grandeurs concernant les eacutechanges commerciaux Si le prix est une grandeur le prix surfacique en est une autre les phrases que voici nont pas la mecircme signification

Ce terrain coucircte 1 000 F Ce terrain coucircte 1 000 Flm 2

Les uniteacutes suivantes permettent agrave elles seules dimaginer ce qui fait lobjet de leacutechange

Flkg Fig Fit Flf Flm Flkm Flha Flm3 Flh FlkWh etc

Et aussi FIF uniteacute inutile qui aurait sa place au chapitre V La taxe locale est 015 franc par franc On a longtemps dit 15 centimes le franc On eacutecrit quelle est 15

58

VII - PRODUITS DE GRANDEURS

La division dans un ensemble numeacuterique est proche parente de la multiplication En est-il de mecircme pour les divisions preacutesenteacutees en VI Autrement dit peut-on deacutefinir une grandeur comme produit de deux autres

La reacuteponse est a priori affirmative si on avait envisageacute dabord les grandeurs vitesse et dureacutee plutocirct que les grandeurs longueur et dureacutee on aurait sans doute deacutefini une grandeur nouvelle la longueur comme produit dune vitesse et dune dureacutee

Cest dailleurs exactement lattitude que lon a dans Leacutetoile la plus proche de nous Soleil excepteacute est situeacutee agrave 42 anneacutees de lumiegravere lanneacutee de lumiegravere est une longueur cest le produit dune vitesse celle de la lumiegravere (300 000 kms) par une dureacutee lanneacutee Lanneacutee de lumiegravere est agrave peu pregraves 910 12 km

Si un ami deacutedare Jhabite agrave dix minutes dici il agit de mecircme sous-entendant la vitesse agrave employer celle dun pieacuteton par exemple

VU - 1 Un exemple travail dune force

Le poids de lhorloge celui quon remonte chaque semaine est une piegravece de fonte de 5 kilogrammes Il exerce sur les rouages une force de 49 newtons (1) Quand cette piegravece de fonte descend de 2 megravetres cette force fournit aux rouages une certaine eacutenergie

La piegravece de fonte de lhorloge du beffroi dune part exerce une force plus grande parce quelle a une plus grande masse dautre part descend dune plus grande hauteur Pour ces deux raisons elle fournit une plus grande eacutenergie

Si leffet dune force est un deacuteplacement du corps sur lequel elle sexerce on dit quelle travaille cest-agrave-dire quelle fournit de leacutenergie

Cette eacuten~rgie est fonction de deux grandeurs de la force elle-mecircme et de la longueur du deacuteplacement Si le deacuteplacement est de mecircme direcshytion et de mecircme sens que la force on deacutecide que leacutenergie est

Proprieacuteteacute A) proportionnelle agrave la force cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la force ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave longueur consshytante de deacuteplacement on multiplie la force par un nombre alors leacutenershygie est elle aussi multiplieacutee par ce nombre middot

(1) Luniteacute leacutegale de force est le newton que le lecteur se repreacutesentera facilement sil retient que le poids dun corps de masse 1 kilogramme (cest-agrave-dire la force quexerce la pesanteur sur ce corps) est 981 newtons agrave peu pregraves 1 deacutecanewton (daN)

59

Proprieacuteteacute B) proportionnelle agrave la longueur du deacuteplacement cestshyagrave-dire fonction lineacuteaire de la longueur ce qui signifie que si agrave force constante on multiplie la longueur par un nombre alors leacutenergie est eacutegalement multiplieacutee par ce nombre

On est en preacutesence dune opeacuteration qui agrave tout couple constitueacutemiddot dune force et dune longueur associe une eacutenergie Notons 18] cette opeacuteration Leacutenergie e associeacutee au couple (ji) est middot

e=J[8li Choisissons une force Jo et une longueur f0 non ~mlles (elles sershy

viront duniteacutes) Au couple (j0 fa) est associeacutee leacutenergie e0

eo =Jo 18] io La connaissance de J et Jo entraicircne celle de la mesure œ de J

quand on prend Jo pour uniteacute J = œJo

La connaissance de i et fa entraicircne celle de la mesure (3 de i quand on prend fa pour uniteacute

i = 3fo

On peut alors dresser le tableau suivant

force longueur eacutenergie

(1) Jo io eo

(2) J io œe0

(3) Jo i f3eo

(4) J i (œ(3)eo

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B e = (3(œe0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en III- 63

e = (œ(3) eo bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

e = œ((3e0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-asociativiteacute e = (œ(3) eo

Ainsi e qui est J 18] i seacutecrit de deux faccedilons e = (œJo) l8l (f3fo) e = (œ(3)eo

60

ce qui permet de consideacuterer leuombre a3 comme la mesure de e quand on prend e0 cest-agrave-dire fo [81 f0 pour uniteacute

Si par exemple fo est le newton et f0 le megravetre (abreacuteviations N et rn) leacutenergie E fournie par la descente de la masse de fonte de notre horshyloge seacutecrit de deux faccedilons

soit E = (49 N) [81 (2 rn) soit E = ( 49 x 2)(N [81 rn)

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux1eacutecrituresf

R f 0 R0 Net rn et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe [81 et supposons quil soit celui de la multiplication dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishytures (af0) Qlt1 (3fo) et a3(f0 [81 fo) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration [81 est une multiplication et que 1eacutenergie e est deacutefinie comme le produit

de la force f par la longueur f Et on convient de remplacer leacutecriture f [81 R par jxf ou fR ou fR

Ces conventions sont justifieacutees comme celles de III - 7 et VI - 21 par la cqmmoditeacute des calculs et du langage elles sont sans inconveacutenient matheacutematique

On eacutecrit donc e = afo X f3Ro = af3fofo E = 49 N x 2 rn = 98 N x rn = 98 Nm

En reacutesumeacute Une force f qui provoque un deacuteplacement de longueur Rdans sa propre direction et son propre sens fournit une eacutenergie e donshyneacutee par e = fR

On dit quon a multiplieacute une force par une longueur

Si f a pour mesure ci quand on prend fo pour uniteacute et si Ra pour mesure 3 quand on prend f0 pour uniteacute e a pour mesure a3 si on prend fo f0 pour uniteacute deacutenergie

Par exemple fo et f0 eacutetant respectivement le newton et le megravetre on creacutee agrave partir deux une uniteacute deacutenergie le newton x megravetre Cest leacutenershygie que fournit une force dun newton qui provoque un deacuteplacement dun megravetre la force et le deacuteplacement ayant mecircme direction et mecircme sens On leacutecrit Nxm ou Nm ou Nm (mais non pas mN voir VIII- 21)

On le lit newton-megravetre et surtout pas newton par megravetre qui serait le quotient dunemiddotforce par une longueur

Le newton x megravetre ou newton-megravetre porte un autre nom joule (abreacuteviation J) Cest une uniteacute deacutenergie quil est facile de se repreacutesenshyter eacutelevez dun megravetre un objet dun hectogramme (son poids est agrave peu pregraves 1 newton) vous lui aurez fourni une eacutenergie dun joule (sur la

61

Terre sur la Lune vous lui en auriez fourni le sixiegraveme environ) Lobjet restituera cette eacutenergie sil redescend et sarrecircte apregraves 1 megravetre de deacutenivellation middot

Un retour aux quotients de VI nous permet une parenthegravese la puissance dun moteur eacutetant deacutefinie comme quotient de leacutenergie quil fournit par le tempsmiddot quil lui faut pour la fournir la puissance du moteur de notre horloge est 98 Jsemaine soit

98 joules(7 x 24 x 3 600) secondes soit 000016 jougraveleseconde Ce joule par seconde est le watt Notre horloge est actionneacutee par un moteur de 016 milliwatt La descente dun second poids actionne le marteau de la sonnerie

VIl - 2 Aire dun rectangle

Soient a et bles longueurs des cocircteacutes dun rectangle et A son aire Si laissant lune de ces deux longueurs fixe on double ou triple lautre laire est doubleacutee ou tripleacutee Laire dun rectangle est proportionnelle agrave chacune demiddot ses dimensions

La deacutemarche suivie est la mecircme quen VII- 1 on rattache (sans que cela soit neacutecessaire voir VIII - 62) laire A au produit a x b et lon eacutecrit A= ab

Les calculs se conduisent de la mecircme faccedilon avec cette seule partishyculariteacute que les deux grandeurs dont on fait le produit sont de mecircme nature

Soit f0 une uniteacute de longueur et a et 3 les mesures respectives de a et b avec cette uniteacute

A = (af0) X (3f0) = (a3)(f0 X f0)

Par exemple si f0 est le centimegravetre (abreacuteviation cm) laire dun rectangle dont les cocircteacutes ont pour longueurs 3 cm et 5 cm est 3 cm x 5 cm Pour transformer cette eacutecriture on creacutee une uniteacute daire quon eacutecrit cm x cm et mecircme cm2

bull Ainsi naicirct le centimegravetre carreacute et naissent de la mecircme faccedilon le megravetre carreacute le pouce carreacute le pied carreacute

Le centimegravetre eacutetant 001 rn le centimegravetre carreacute aire dun rectangle dont les cocircteacutes mesurent 1 cm (rectangle carreacute donc) peut seacutecrire 001 rn x 001 rn soit toujours par la mecircme meacutethode de calcul 00001 m2

bull

Dans ce qui preacutecegravede a et b sont mesureacutes avec la mecircme uniteacute mais rien nempecircche de mesurer par exemple a en kilomegravetres et ben megravetres une route de 3 km dont lemprise est large de 8 rn occupe 3 km x 8 rn de terrain soit 24 kmm Cette uniteacute daire le kilomegravetre-megravetre ou aussibienlemegravetre-kilomegravetreseacutecrit 1 mx1 ooomiddotm ou 1 OOOmxm soit 1 000 m 2

bull

62

VII - 3 Produit de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee et B lensemble des grandeurs de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee ensemble eacuteventuellement eacutegal agrave A On deacutesigne selon lusage leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave celles de VII 1 on appelle celle-ci produit de a et b (3) on eacutecrit c=axb ou c=bxa on eacutecrit aussi c=ab c=ba on dit quon a multiplieacute a par b ou b par a

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs deacutefinies par les produits a x b et a x b sont de mecircme nature) middot

Si la grandeur a ou la grandeur b est nulle la grandeur c 1est aussi

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme uniteacutes puis usant largement de simplifications deacutecritures comme en VII -1 on eacutecrit successivement

a = ah b = (3k c =ab= (ah) x ((3k) = (ot3)(h x k)

ce qui exprime que la grandeur ca pour mesure ot3 quand on prend h x k pour uniteacute

On eacutenonce cette uniteacute en citant lun apregraves lautre les noms des deux uniteacutes h et k (ouk eth) on leacutecrit h x k ou hk ou hk On dit lagrave encore quon deacutefinit une uniteacute deacuteriveacutee (on dit aussi composeacutee) agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave adopter un vocable pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c en le prenant dans la langue usuelle si elle en contient un qui convienne ou en le creacuteant

VU - 4 Exemples de produits de deux grandeurs

On a preacutesenteacute ci-dessus eacutenergie fournie par une force qui travaille et aire dun rectangle

La quantiteacute de mouvement agrave un instant donneacute dun corps de masse m et de vitesse v est le produit mv middot

La force qui agrave un instant donneacute communique agrave une masse m une acceacuteleacuteration Y (VI - 53) est mY

(1) En ce qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III - 4 (2) Mecircme remarque quen la note (2) de VI- 4 (p 50) (3) Convention analogue quant au signe de c agrave celle de VI 4

63

En meacutecanique on deacutefinit une action comme produit dune eacutenershygie et dune dureacutee (cf principe de Maupertuis dit de moindre action) On se gardera de confondre ce produit et le quotient dune eacutenergie par une dureacutee qui est une puissance

-+ Etant donneacutee une force f agissant sur un solide mobile autour

dune droite 6 orthogonale agrave sa direction on appelle moment de cette force par rapport agrave cette droite le produitjx OP ougrave OP est la longueur

-+ -+ qui seacutepare 6 du support de f (Sur les notations f etj voir III- 92)

tl-1-------J110

La quantiteacute deacutelectriciteacute qui franchit pendant une dureacutee d un point dun circuit eacutelectrique parcouru par un courant continu dintensiteacute 1 est Id

5 millimegravetres de pluie sur un champ dun hectare cest 50 megravetres cubes deau un volume a eacuteteacute obtenu ici comme produit dune longueur par une aire

Ce chantier de construction dune autoroute a neacutecessiteacute un deacuteplashycement de terres de 40 millions de megravetres-cubes x hectomegravetres Ce quon transformerait en 4 milliards de m3 x rn uniteacute quon eacutecrirait presque m4 bull Par souci de clarteacute on laisse transparaicirctre les grandeurs dont on fait le produit un volume et une longueur

m3Ces 40 millions de x hm sont 40 hm3 x hm ou bien 40 hm3 x 100 rn ou 4 000 hm3 x rn ou 4 km 3 x rn une montashygne de 4 km3 quon aurait deacuteplaceacutee dun megravetre

On mesure aussi un deacuteplacement de terres agrave laide de la tonneshyhectomegravetre ou de la tonne-kilomegravetre produit dune masse par une lonshygueur Un transport de marchandises un trafic ferroviaire sexpriment en tonnes-kilomegravetres

La loi de Mariotte seacutenonce ainsi la pression p et le volume v dune masse donneacutee dun gaz (dun gaz parfait preacutecisent les physiciens) maintenu agrave tempeacuterature fixe sont tels que le produit pv est constant middot

On mesure celui-ci par exemple agrave laide du bar x centimegravetre cube ou mieux en utilisant les uniteacutes leacutegales de pression et de volume agrave laide du pascal x megravetre cube On verra en X- 52 pourquoi on le mesure aussi en joules (le joule est luniteacute leacutegale deacutenergie)

64

VID - ALGEgraveBRE DES GRANDEURS

Les chapitres preacuteceacutedents ont mis en lumiegravere une analogie certaine entre les opeacuterations sur les grandeurs et les opeacuterations sur les reacuteels Essayons de la preacuteciser

VIII - 1 Addition des grandenrs et mnltiplication externe

Les proprieacuteteacutes de ces deux opeacuterations incitent agrave organiser en vectoshyriel sur R(l) lensemble des grande1mi de mecircme nature quune grandeur non nulle a donneacutee comme chacune de ces grandeurs peut seacutecrire Agravea ougrave Agrave est un reacuteel ce vectoriel est de dimension 1 (un vectoriel de dimenshysion 1 est souvent appeleacute droite vectorielle)

On se heurte ici agrave une difficulteacute pour certaines grandeurs ces opeacuteshyrations ne sont pas partout deacutefinies autrement dit ce ne sont pas des lois de composition Ainsi on ne peut parler de la somme des angles de secshyteurs 150deg et 240deg car 150 + 240 gt 360 de mecircme si 33 deg est un angle de secteur leacutecriture 33deg x 125 nen deacutesigne pas un Des remarques analogues sappliquent aux angles de paires de demi-droites ou de droishytes ainsi quaux angles solides (mais pas aux angles qui interviennent dans les mouvements de rotation)

Une difficulteacute du mecircme genre se preacutesente quand on cherche agrave orgashyniser en vectoriel sur R lensemble des grandeurs de toutes natures en effet laddition nest pas une loi de composition elle ne peut ecirctre deacutefishynie que par morceaux addition des longueurs addition des masses addition des eacutenergies etc (2)

En reacutesumeacute on peut dire que les grandeurs entrent dans un modegravele matheacutematique de vectoriel sur Rpourvu quon garde preacutesent agrave lesprit le fait que ce modegravele doit ecirctre restreint aux seules opeacuterations qui ont une signification physique

(1) On dit quun ensemble E est structureacute en vectoriel sur R (ou en R-vectoriel ou en espace vectoriel sur R) lorsque lon a deacutefini dansE 1deg) une addition associative commutative pourvue dun eacuteleacutement neutre et telle que tout eacuteleacutement de E ait un opposeacute 2deg) une multiplication externe qui agrave tout reacuteel Agrave et agrave tout eacuteleacutement x de E associe un eacuteleacuteshyment de E noteacute AgraveX

ces deux lois eacutetant telles que quels que soient les reacuteels Agrave et p et les eacuteleacutements u et v de E (Agrave+p)u = AgraveU+pu Agrave(u+v) = AgraveU+Agravev Agrave(pV) = (Agravep)v lu = u

(2) Tout au plus peut-on espeacuterer que certaines de ces additions partielles deviennent avec les progregraves de la science reacuteductibles les unes aux autres il neacutetait pas eacutevident au XVIIIbull siegravecle quon pourrait un jour additionner des quantiteacutes de chaleur et des eacutenergies cineacutetiques

65

MOTS I contient EacuteGALITEacute EXEMPLE et CONTRE-EXEMPLE COUPLE RELATION BINAIRE NOMBRE NATUREL ENTIERS et RATIONNELS NOMBRE DEacuteCIMAL NOMBRE A VIRGULE FRACTION ENSEMBLES DE NOMBRES

MOTS II contient REPREacuteSENTATIONS GRAPHIQUES APPLIshyCATION FONCTION BIJECTION PARTITION EacuteQUIVAshyLENCE PARTAGES DIVISIBILITEacute DIVISION EUCLIshyDIENNE DIVISION

MOTS III contient NUMEacuteRATION OPERATION LOI DE COMPOSITION COMMUTATIVITEacute ASSOCIATIVITEacute DISTRIBUTIVITEacute EacuteLEacuteMENTS REMARQUABLES POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIEacuteTEacuteS DES OPEacuteRAshyTIONS CONGRUENCES ORDRE PROPRIEacuteTEacuteS DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE PREacuteshyORDRE COMPARAISON DES ORDRES USUELS DANS LE DICTIONNAIRE DANS N DANS D+

MOTS IV contient APPLICATIONS LINEacuteAIRES PROPORTIONshyNALITEacute OPEacuteRATEURS MULTIPLICATIFS POURCENshyTAGES EacuteCHELLES EacuteQUATIONmiddot INEacuteQUATION ENSEMBLE CARDINAL APPROXIMATION

MOTS V contient SEGMENT LONGUEUR SECTEUR ANGLE VQCABULAIRE DE LA GEacuteOMEacuteTRIE _SOLIDES PARALshy

LELE VERTICAL HORIZONTAL EXPOSANT PUISshySANCE Et un index terminologique des mots matheacutematiques figurant dans les cinq premiegraveres brochures

Introdugravection agrave MOTS VI Ce 6e tome a eacuteteacute reacutedigeacute par la mecircme eacutequipe que les preacuteceacutedents

Comme eux- et nous insistons sur ce point- il sadresse aux maicirctres et nullement aux eacutelegraveves middot middot

Il se particularise par le fait qu1il estconsacreacute agrave une seule rubrique intituleacutee Grandeur-Mesure

4

Jadis on trouvillt couramment dans les manuels de matheacutematiques des exercices mettant en jeu des longueurs des aires des volumes des masses des dureacutees des vitesses des deacutebits etc Ces exercices ont agrave peu pregraves disparu on peut le regretter

A juste titre on a reprocheacute agrave ces exercices leur cocircteacute souvent artificiel Il est indeacuteniable que leur aspect eacutetaitparfois fort eacuteloigneacute du veacutecu quotishydien En ce sens ils servaient dalibi agrave des exercices de calcul quon aurait pu preacutesenter plus simplement

Plus contestable eacutetait le fait que bien souvent lanalyse de la situashytion proposeacutee eacutetait neacutegligeacutee au profit de la recherche de mots inducteurs sur lesquels on fondait la traduction en langage matheacutematique

En revanche ces problegravemes permettaient denraciner les concepts matheacutematiques dans lexpeacuterience physique- au niveau eacuteleacutementaire tout au moins

Qui pourrait nier que le maniement des longueurs est eacutetroitement lieacute au maniement des nombres On peut preacutesenter les rationnels comme des classes deacutequivalence une telle preacutesentation a mecircme pu ecirctre en faveur pendant un certain temps mais ce nest pas une raison pour neacutegliger voire pour masquer le fait que les rationnels simposent degraves que lon pra-middot tique des mesures de longueurs

Nous pensons que des grandeurs physiques ont leur place dans 1enseignement des matheacutematiques Longueurs airesmiddot et volumes relegravevent de la geacuteomeacutetrie Pourquoiexcluremiddotmasses dureacutees vitesses deacutebits masses volumiques sous le vain preacutetexte quils relegravevent de la Physique A moins quon estime que les calculs mettant en jeu des grandeurs physiques posent des problegravemes deacutelicats quil est bien agreacuteable de confier au physishycien Ce serait dans ce cas chercher un refuge confortable dans une rigueur matheacutematique fallacieuse et glaceacutee Mais le confort serait-il alors pougraverleacutelegraveve ou pour le professeur middot

MOTS VI coin porte trois parties

bull Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

Partant de lexpeacuterience physique on preacutecise ici les relations quentreshytiennent les grandeurs et les nombres Ainsi se deacutegagent les notions de grandeurs de mecircme nature et de grandeurs mesurables

A son habitude la commission recense les usages examine les expressions courantes critique souvent deacuteconseille parfois Elle souhaite ainsi fournir au lecteur des informations suffisantes pour quil effectue ses choix en connaissance de cause

bull Les grandeurs entre elles Se reacutefeacuterant toujours agrave lexpeacuterience cette deuxiegraveme partie eacutetudie les

relations entre certaines grandeurs

5

Quotients et produits conduisent agrave preacuteciser lalgegravebre des grandeurs Apregraves quoi on effectue une incursion prudente dans les deacutelicates quesshytions dhomogeacuteneacuteiteacute et de dimension physique

bull Consideacuterations peacutedagogiq11es

Ce titre paraicirctra inhabituel aux fervents de nos MOTS Au risque de nous reacutepeacutetermiddot soulignons que conformeacutement agrave nos habitudes cette troishy

siegraveme partie ne dresse pas un catalogue de ce quil faut faire ou de ce quil ne faut pas faire

Tout au plus y trouvera-t-on - agrave la lumiegravere de ce qui preacutecegravede et avec toute la prudence qui simpose agrave propos de ces questions deacutelicates- une bregraveve analyse de certains usages et expressions

Les auteurs y formulent parfois des souhaits plus souvent des mises en garde contre des confusions toujours possibles rarement des condamshynations

Nous espeacuterons que cette brochure inteacuteressera un large public Les maicirctres de lEcole Eleacutementaire pourront y voir comment leur

enseignement agrave propos des grandeurs et des mesures se prolonge dans une perspective qui englobe sciences expeacuterimentales et matheacutematiques

Quant aux maicirctres du Second Degreacute - tant matheacutematiciens que physiciens - puisse cette brochure en un temps ougrave on parle beaucoup dinterdisciplinariteacute leur fournir loccasion deacutechanges dont les eacutelegraveves tireront profit

Au cours de leacutelaboration de cette brochure nous avons demandeacute agrave cinq professeurs de physique et chimie de lire notre projet Ils lont fait avec beaucoup dattention Nous avons tenu compte de leurs remarques Nous les remercions vivement de leur collaboration

Toutes les remarques critiques suggestions seront accueillies avec reconnaissance

Ecrire agrave Jacques LECOQ 16 rue du Plateau Fleuri 14000 CAEN

Juin 1982 La Commission MOTS

6

SOMMAIRE

PREMIEgraveRE PARTIE Grandeur et nombre mesures dune grandeur

1- Notion de grandeur 11

II - Intervention du nombre 15

III - Comparaison des grandeurs Addition Multiplication externe Mesure

III - 1 Un usage tregraves reacutepandu 17 III - 2 Comparaison des longueurs 17 III - 3 Addition des longueurs 18 III - 4 Une multiplication externe 19 III -- 5 Signification du mot mesure 19 III - 6 Proprieacuteteacutes des lois EB et reg et de la relation 20 III - 7 Des eacutecritures commodes 22 III - 8 Grandeurs mesurables 24 III - 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs

quentendre par a+ b 26

IV- Ce quon dit ou devrait dire

VI - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc 29 VI - 2 Deacutesignation des grandeurs 30 VI - 3 Des formulations incorrectes 31 VI - 4 Des formulations simples tregraves acceptables 32 VI - 5 Un langage normaliseacute 32

V - Rapports de grandeursmiddot bull 34

V-1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a 35 V-2 Proportionnaliteacute 36 V-3 Taux dincertitude 38 V-4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs 38 V-5 Ougrave le rapport de deux grandeurs

est indispensable 42

7

DEUXIEgraveME PARTIE Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacutees

VI - Quotients de grandeurs

VI - 1 Grandeur proportionnelle agrave une autre 45 VI - 2

VI- 3

VI - 4 Quotient de deux grandeurs 50 52VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI - 6

Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume 47 Un autre exemple quotient dun volume

Quelques exemples de quotients

par une masse 50

de deux grandeurs 55

VII - Produits de grandeurs

VII - 1 Un exemple travail dune force 59 VII- 2 Aire dun rectangle 62 VII - 3 Produit de deux grandeurs 63 VII - 4 Exemples de produits de deux grandeurs 63

VIII - Algegravebre des grandeurs

VIII - 1 Addition des grandeurs et multiplication externe 65

VIII - 2 Produits de grandeurs 66 VIII - 3 Sommes et produits 66 VIII - 4 Produits et quotients 67 VIII - 5 Exemples de paires de grandeurs inverses bull 69 VIII - 6 Algegravebre des grandeurs 71 VIII - 7 Grandeurs deacuteriveacutees uniteacutes deacuteriveacutees 72 VIII - 8 Exploitation linguistique 73 VIII - 9 Autres exemples de grandeurs deacuteriveacutees 76

IX - Grandeurs discregravetes

IX- 1

IX- 2 Une population grandeur mesurable 78 79

79 IX - 3 Une population grandeur discregravete IX - 4 Exemples de quotients de deux populations IX - 5

IX- 6

Cardinal dun ensemble fini et mesure dune grandeur middot 78

Exemples de grandeurs deacuteriveacutees ougrave intervient

Une grandeur employeacutee en chimie une population 80

la quantiteacute de matiegravere 82

8

X - Dimension physique Homogeacuteneacuteiteacute

X-1 Dimension des grandeurs dorigine geacuteomeacutetrique relativement agrave la longueur 84

X-2 La dimension ensemble de grandeurs homogegravenes 86 X-3 Dimension des grandeurs dans un systegraveme

de dimensions de base 88 X-4 Equations aux dimensions 92 X-5 Exemples demplois du mot homogegravene 92 X-6 Constantes physiques 94 X-7 Coefficients numeacuteriques 96 X-8 Systegraveme international duniteacutes middot 98 X-9 Tableau et scheacutema 101

TROISIEgraveME PARTIE Consideacuterations peacutedagogiques

XI shy 1 Faut-il enseigner agrave leacutecole au egraveoegravege au lyceacutee la notion de grandeur 104

XI - 11 Reconnaicirctre et distinguer les grandeurs du monde qui nous entoure 104 XI shy 12 Pourquoi le nombre quand il ne sert agrave rien shy 106 XI shy 13 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs pour leacutetude des structures numeacuteriques 108 XI- 14 Inteacuterecirct de leacutetude des grandeurs dans lenseignement de certaines notions matheacutematiques ~ 110

XI shy 2 Confusions entle grandeurs et mesures

XI - 21 Emplois divers du mot uniteacute 111 XI shy 22 Leacutecriture des calculs sur les grandeurs invite agrave confondre grandeur et nombre middot 112 XI - 23 Exemples de confusions entre grandeur et nombre middot 112 XI - 24 Retour agrave des formulations critiquables tregraves employeacutees 114 XI shy 25 Le signe= etles grandeurs 116 XI- 26 Une autre attitude deacutelibeacutereacutee 117

9

XI - 3 Un enseignement difficile grandeurs deacuteriveacutees de deux autres middot

XI - 31 A quels moments de leur scolariteacute les enfants rencontrent-ils des exemples de grandeurs deacuteriveacutees middot 118 XI - 32 Difficulteacute de la notion de grandeur deacuteriveacutee 119 XI- 33 La vitesse est-elle une longueur La masse volumique est-elle une masse 119 XI - 34 Des pseudo-eacutegaliteacutes agrave proscrire 122 XI - 35 Confusions entre quotients et produits 123 XI- 36 Des complications de langage bien inutiles 124 XI - 37 A propos de reacutedaction 124 XI- 38 Une grammaire pas toujours assureacutee 125

XI - 4 Inteacuterecirct des consideacuterations dhomogeacuteneacuteiteacute 126 Index terminologique 131

Le contenu des pages qui suivent est-il du domaine des matheacutematishyques ou de celui des sciences physiques

Les enseignants se posent peut-ecirctre une telle question mais elle est sans importance un eacutelegraveve est le mecircme enfant pendant lheure de matheacuteshymatique egravet pendant lheure de physique

Nous pensons que lenseignement des matheacutematiques doit contribuer agrave entraicircner les eacutelegraveves au moins pendant la scolariteacute obligatoire

- agrave utiliser et agrave preacuteciser le concept de grandeur -agrave relier aumoins sur quelques exemples usuels simples des granshy

deurs de natures diffeacuterentes

10

PREMIEgraveRE PARTIE

Grandeur et nombre Mesures dune grandeur

1 - NOTION DE GRANDEUR

Voici des phrases dun type courant Les arecirctes dun cube ont mecircme longueur Sur les autoroutes la vitesse des veacutehicules est limiteacutee Une telle intensiteacute ferait sauter les plombs Cette valise na pas un volume assez grand pour que je puisse y placer toutes mes affaires

Longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume sont des exemples de grandeurs physiques ou simplement grandeurs

1- 1 On peut parler dune intensiteacute eacutelectrique comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs courants indeacutependamment de la deacutefinishytion de lampegravere indeacutependamment de tout choix dune uniteacute dintenshysiteacute On peut parler dune longueur comme eacutetant un caractegravere commun agrave plusieurs segments indeacutependagravemment de la deacutefinitimi de la coudeacutee de la toise du megravetre On peut utiliser le compas pour reporter une lonshygueur On peut parler dun volume deau ou dessence sans avoir agrave lesprit ni le litre ni le gallon ni aucune autre uniteacute

11

Quand les eacuteconomistes expriment un budget un salaire en francs constants cest quils cherchent agrave atteindre non un nombre mais une grandeur quon pourrait appeler pouvoir dachat pouvoir deacutechange Exemple Laide aux familles dans lenseignement public ou priveacute eacutetait en 1964 de 600 millions de francs elle seacutelevait en 1974 agrave 1800 millions de francs elle a donc tripleacute en dix ans cette affirmation est certaineshyment incorrecte le nombre a tripleacute mais pas la grandeur aide aux familles en raison de ce quon appelle pudiquement leacuterosion moneacutetaire

I - 2 Comment donner un statut agrave la notion de grandeur

Partons de lexemple bien connu de la longueur des segments (1)

Dans un ens~mble de segments la relation qui a pour lien verbal est superposable agrave est une relation deacutequivalence (du moins si lon convient quun segment est superposable agrave lui-mecircme) Les segments dune mecircme classe sont dits de mecircme longueur f et lon dit de chacun des segments de cette classegrave que sa longueur est f Le lien verbal peut se dire a mecircme longueur que

Le mot longueur ne deacutesigne ni uri ensemble de points ni un nomshybre La phrase Soit un triangle eacutequilateacuteral ABC de cocircteacute a a la signifishycation suivante Soit un triangle dont les cocircteacutes [AB] [BC] [CA] sont des segments qui appartiennent agrave une mecircme classe agrave laquelle est assoshycieacutee la longueur a Autrement dit

longueur de [AB] = longueur de [BC] = longueur de [CA] = a

Si lon deacutesigne par MN comme il est dusage la longueur du segshyment [MN] on eacutecrit les eacutegaliteacutes

AB= BC =CA= a A la classe des segments tels que [AA] dont les extreacutemiteacutes sont

confondues est associeacutee la longueur appeleacutee longueur nulle

I - 3 Essayons deacutetendre ce qui preacutecegravede aux grandeurs physiques agrave lintensiteacute eacutelectrique par exemple

Envisageons dans un ensemble de courants eacutelectriques la relation qui a pour lien verbal provoque dr~ulant dans un mecircme conducteur ohmique (2) maintenu dans les mecircmes conditions et pendant une mecircme dureacutee le deacutegagement dune mecircme quantiteacute de chaleur que Cest une relation deacutequivalence les courants dune mecircme classe sont dits de mecircme intensiteacute sil ny a pas de deacutegagement de chaleur lintensiteacute est dite intensiteacute nulle

(1) Dans ce qui suit nous ne consideacuterons que des segments fermeacutes mais cela est sans incishydence sur notre propos car les quatre segments ayant les mecircmes extreacutemiteacutes A et B (agrave savoir [AB] ]AB[ [AB[ et ]AB]) ont aussi la mecircme longueur (voir SEGMENT-LONGUEUR MOTS V)

(2) Un conducteur est dit ohmique lorsque le seul effet du passage du courant est un deacutegashygement de chaleur

12

1 - 4 Malgreacute lapparence lanalogie entre les situations deacutecrites en 1 -- 2 et 1 - 3 nest que partielle

Quand on se propose de comparer deux objets physiques selon un de leurs aspects (tiges qugraveant agrave leurs longueurs reacutecipients quant agrave leurs volumes mobiles quant agrave leurs vitesses courants eacutelectriques quant agrave leurs intensiteacutes etc) cest-agrave-dire quand on se propose de deacutecider si on les place ou non dans une mecircme classe on se heurte agrave deux obstacles fondamentaux middot

1deg) Il faut quon sache en quoi consiste laspect indiqueacute ci-dessus autrement dit quor1 sache de quelle grandeur il sagit

Une telle connaissance de la grandeur est neacutecessairement lieacutee agrave un proceacutedeacute physique de comparaison cest-agrave-dire agrave un ensemble eacutetabli avec preacutecision et pouvant ecirctre pratiqueacute agrave volonteacute dactions dexpeacuterienshyces dobservations On ne peut comparer deux intervalles de temps quapregraves le choix dun tel proceacutedeacute cest-agrave-dire apregraves le choix dune cershytaine horloge aussi rudimentaire soit-elle Lexistence mecircme de cette horloge est un deacutebut de reacuteponse agrave leacutepineuse question quest-ce que le temps

Bien souvent se preacutesentent des proceacutedeacutes physiques de comparaison fort divers Ainsi pour deacuteclarer que deux courants eacutelectriques ont mecircme intensiteacute on peut comme en 1 - 3 faire appel au pheacutenomegravene effet calorifique du courant choix qui suppose deacutefinies preacutealablement leacutegaliteacute entre quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees Mais on peut aussi classer les courants selon linteraction de deux longs conducteurs parallegraveles parcourus (dans le mecircme sens ou non) pagraver le mecircme courant ce choix suppose preacutealablement deacutefinie leacutegaliteacute entre forces (1) Lexpeacuteshyrience montre que cette classification coiumlncide avec la preacuteceacutedente

On peut eacutegalement utiliser les effets chimiques du courant deux courants seraient dune mecircme classe (auraient mecircme intensiteacute) si travershysant pendant un mecircme temps telle cuve agrave eacutelectrolyse quil faudrait elle aussi choisir ils y produisaient les mecircmes effets chimiques qualitativeshyment et quantitativement cet autre choix supposerait deacutefinies leacutegaliteacute entre masses et leacutegaliteacute entre dureacutees (2) Lexpeacuterience montre que cette troisiegraveme classification (cette troisiegraveme deacutefinition de lintensiteacute) est indeacuteshypendante du choix de leacutelectrolyse et coiumlncide avec les deux classificashytions preacuteceacutedentes middot

2deg) Tout proceacutedeacute physique deacutevaluation est entacheacute dune incertishytude Dans un ensemble dobjets physiques deacutecrits matheacutematiquement

(1) Cest cette interaction qui est utiliseacutee pour la deacutefinition leacutegale de lampegravere lampegravere est deacutefini agrave partir du newton uniteacute de force (2) La deacutefinition leacutegale de lampegravere faisait appel jusque 1948 agrave leacutelectrolyse dune solushytion de nitrate dargent

13

par des segments des tiges par exemple on ne peut pas envisager la relashytion deacutequivalence de lien verbal a mecircme longueur que comme nous lavons fait en geacuteomeacutetrie (I ~ 2) un lien verbal utilisable serait du type a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves que Or la relation deacutefinie par un tel lien verbal nest pas transitive en effet si un objet A a mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet B et si lobjet Ba mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves quun objet C il se peut fort bien que A etC naient pas mecircme longueur agrave un centimegravetre pregraves

Cependant pour les besoins de laction on se comporte comme si lon eacutetait capable en premiegravere approximation de deacutefinir des classes deacutequivalence agrave limage de celles quon utilise en-matheacutematiques Le monde physique est complexe Leacutetudier cest neacutegliger certaines inforshymations tenues temporairement pour secondaires afin deacutelaborer un modegravele abstrait simple avec la perspective du deacutesaveu de lexpeacuterience lequel entraicircnerait la recherche dun nouveau modegravele serrant de plus pregraves la reacutealiteacute

14

II - INTERVENTION DU NOMBRE II - 1 Le nombre intervient constamment agrave propos de grandeurs

Bien quon puisse envisager comme il vient decirctre dit une granshydeur indeacutependamment de toute uniteacute et de tout nombre le nombre simpose degraves quon veut eacutetudier les grandeurs

II-11 Il est solidement implanteacute dans la faccedilon dont on les deacutesigne habituellement par juxtaposition dun nombre et du nom dune uniteacute 3 centimegravetres 20 centimegravetres cubes 220 volts 25 kilowattheures ce quon eacutecrit 3 cm 20 cm 220 V 25 kWh

3 cm deacutesigne la longueur commune des segments cishycontre Cette longueur est aussi bien deacutesigneacutee par 30 mm et lon eacutecrit leacutegaliteacute (agrave propos dEGALITE voir MOTS-I)

3 cm= 30 mm

Une grandeur nest pas un nombre ni 3 ni 30 ne deacutesignent la lonshygueur des segments La phrase Laire de ce polygone est 15 est sansmiddot signification (alors que linformation contenue dans Le nombre de ses cocircteacutes est 6 est claire)

Cette faccedilon de deacutesigner les grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute reacutesulte dune activiteacute le mesurage qui consiste agrave comparer la grandeur agrave une grandeur quon a choisie comme uniteacute Non seulement le mesurage est un moyen de reacutealiser la classification eacutevoqueacutee au cours du chapitre I mais cest sans doute le moyen le plus utiliseacute

II - 12 Toutefois limperfection signaleacutee en I - 4 des proceacuteshydeacutes physiques deacutevaluation dune grandeur fait quun mesurage est neacutecessairement approximatif il convient donc de fournir une autre information appeleacutee incertitude sur la plus ou moins bonne qualiteacute du mesurage Un ordre ayant eacuteteacute deacutefini pour la grandeur en cause (voir III - 2) on cherche agrave estimer leacutecart entre leacutevaluation exacte (dont on postule lexistence) et leacutevaluation fournie par le mesurage

On peut exprimer cette incertitude de diverses faccedilons par exemple (voir APPROXIMATION MOTS IV) bull en donnant deux eacutevaluations lune par deacutefaut lautre par excegraves de la grandeur leacutepaisseur de cette lame est comprise entre 23 mm et 25 mm bull en disant leacutepaisseur de cette lame est 24 mm agrave 01 mm pregraves (avec le mecircme sens que ci-dessus)

15

bull en disant simplement leacutepaisseur de cette lame est 24 mm cela sous-entend en principe que leacutepaisseur est comprisemiddot entre 235 mm et 245 mm (donc cette fois leacutevaluation est faite agrave 005 mm pregraves)

Sous ces trois formes lincertitude apparaicirct comme le maximum du module (voir III- 72) de lerreur que lon commet en adoptant leacutevashyluation 24 mm agrave savoir 01 mm dans les deux premiers cas et 005 mm dans le troisiegraveme

Toutefois on tend aujourdhui vers une interpreacutetation probabiliste de lincertitude on dit par exemple que leacutepaisseur est 24 mm plusmn 003 mm pour dire quil y a une probabiliteacute de 95 oo pour que cette eacutepaisseur soit comprise entre 237 mm et 243 mm

II - 2 Quels calculs faire avec les grandeurs

Entre grandeurs (longueurs vitesses intensiteacutes eacutelectriques volushymes etc) on peut deacutefinir des relations dineacutegaliteacute et des opeacuterations mais agrave condition dobserver certaines preacutecautions

Prenons lexemple de laddition quest-ce que a+ b

Dabord au cas ougrave a serait une longueur et bun volume parler de leur somme serait deacutenueacute de sens et a fortiori adopter leacutecriture a + b

Ensuite mecircme si a et b sont lune et lautre des longueurs il faut preacutealablement

1) avoir deacutefini la somme de deux longueurs gracircce agrave un protocole expeacuterimental bien adapteacute

2) disposer dun signe daddition particulier par exemple EB ou leacutegitimer lemploi du signe + jusque-lagrave reacuteserveacute agrave un autre usage (addishytion dans N ou dans un autre ensemble de nombres)

Alors seulement leacutecriture a + b devient licite Ce qui vient decirctre dit vaut naturellement pour a-b 2a alb axb a~b

Le chapitre III sera consacreacute agrave lanalyse des conditions dans lesshyquelles lineacutegaliteacute de deux grandeurs leur somme leur diffeacuterence peushyvent ecirctre envisageacutees On y verra aussi par quel processus le nombre intervient agrave propos des grandeurs et on reacutepondra agrave la question Questshyce quune grandeur uniteacute

On examinera au chapitre IV le langage usuel et le langage matheacuteshymatique adopteacutes pour deacutesigner des grandeurs agrave laide dun nombre et dune uniteacute

Le chapitre V traitera des cas ougrave le quotient de deux grandeurs est un nombre dans ce cas on lappellera rapport telle rapport de deux longueurs

Aux chapitres VI et VII les quotients et produits de grandeurs seront introduits dans leur geacuteneacuteraliteacute

16

III - COMPARAISON DES GRANDEURS ADDITION MULTIPLICATION EXTERNE

MESURE

DI- 1 Un usage tregraves reacutepandu

Les longueurs de divers segments eacutetant deacutesigneacutees par a b c chacun sait donner une signification agrave bull la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur b ce quon eacutecrit a~b

bulllongueur somme des longueurs a et b eacutecrite a+ b ou b +a bull en particulier longueur somme de a et a dite double de a eacutecrite aussi

2 x a ou a x 2 ou 2a bull longueur 2a +a eacutecrite aussi a+ 2a ou 3 x a ou 3a et plus geacuteneacuteshyralement longueur produit de JI par a eacutecrite AgraveX a ou JIa ougrave Agrave est un nombre naturel ou non mai~ positif

Mais il ne faut pas perdre de vue que lemploi quon vient de faire des signes ~ middot + et x de la locution infeacuterieur ou eacutegal agrave et des mots somme et produit se distingue de lemploi quon en fait pour lordre laddition et la multiplication deacutefinis dans des ensembles de nombres

Analysons la deacutemarche qui aboutit agrave propos de longueurs aux notions dordre de somme et de produit par un nombre

lll - 2 Comparaison des longueurs

La comparaison des longueurs se fait agrave laide de repreacutesentants de celles-ci Deux longueurs a et b eacutetant donneacutees consideacuterons des demishydroites dorigines C1 C2 C3 et placcedilons sur elles les points A1 A2

A3 tels que [C1A1] [C2A2] [C3A3] aient pour longueur commune a puis les points B1 B2 B3 tels que [C1B1] [C2B2] [C3B3] aient pour longueur commune b

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Si [C1A1] est inclus dans [C1B1] alors [C2A2] est inclus dans [C2B2] [C3A3] dans [C3B3] etc On dit que la longueur a est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur middotb et on eacutecrit a(jJ middot

Si [C1B1] est inclus dans [C1A1] alors [C2B2] est inclus dans [C2A2] [C3B3] dans [C3A3] etc On dit que la longueur b est infeacuterieure ou eacutegale agrave la longueur a et on eacutecrit bfJ

Ainsi linclusion dans lensemble des segments permet de deacutefinir une relation dordre total dans lensemble des longueurs

III - 3 Addition des longueurs

La somme de deux longueurs a et b se deacutefinit agrave laide de repreacuteshysentants de celles-ci

Placcedilons sur une droite D1 des points E1o F1o 0 1 sur une droite D2 des points E2 F2 0 2 sur une droite D3 des points E3 F3 0 3 tels que F1 soit entre E1 et 0 1 que F 2soit entre E 2et 0 2 que F3 soit entre E3 et 0 3 que [E1F1] [E2F2] [E3F3] aient pour longueur commune a et que [F10 1] [F20 2] [F30 3] aient pour longueur commune b

Alors [E10 1] [E202] [E30 3] ont mecircme lonshygueur Cette longueur indeacutependante du choix d~s

middot segments repreacutesentacircnt les longueurs a et b est dite somme des longueurs a et b Deacutesignons-la par c

(Cest la somme des longueurs quainsi on deacutefinit non la somme des segments)

A tout couple de longueurs on peut de cette faccedilon faire corresshypondre une certaine longueur On est donc en preacutesence dune opeacuteration interne deacutefinie sur lensemble des longueurs On lappelle addition des longueurs middot

Elle est commutative et associative Adoptons (provisoirement) le signe EB pour noter cette opeacuteration Nous eacutecrivons donc leacutegaliteacute

affib=c

Les eacutegaliteacutes c 8 a = b et c 8 b =a sont deacuteclareacutees eacutequivalentes agrave a EB b = c elles deacutefinissent la soustraction des longueurs

On noteragrave que (provisoirement au moins) u 8 v nest deacutefini que si vcopy u

18

III - 4 Une multiplication externe Capables de deacutefinir la somme de deux longueurs nous sommes

capables eacutegalement a eacutetant une longueur de deacutefinir de proche en proshyche agrave laide de sommes successives a EB a (a EB a) EB a etc une lonshygueur que nous appelons produit duri nombre naturel p par la lonshygueur a et que nous eacutecrivons (provisoirement) p a cest aussi la longueur dun segment obtenu en portant bout-agrave-bout sur une droite p segments de longueur a On conviendra que quel que soit a 1 a = a et que 0 a deacutesigne la longueur nulle

Lexpeacuterience nous conduit agrave admettre lexistence

bull dune longueur __ ~ ougrave q est un naturel non nul cest la lonshyq gueur dun segment tel que q segments de cette longueur-lagrave porteacutes bout-agrave-bout sur une droite donnent un segment de longueur a

bull dune longueur E_ a pour tout rationnel E_ cest la longueur q q

p ( ~ a) produit du naturel p par la longueur ~ acest aussi

lagrave longueur ~ (p a)

Enfin pour des raisons proprement matheacutematiques nous admetshytrons lexistence dune longueur Agrave a pour tout reacuteel positif Agrave

Envisager comme il vient decirctre fait le produit dun nombre posishytif quelconque par une longueur quelconque cest deacutefinir une opeacuteration externe au couple (a) ougrave Agrave est un reacuteel positif et a une longueur on associe une certaine longueur b quon note Agrave a ce qui permet deacutecrire leacutegaliteacute b = Agrave a

Autrement dit R+ eacutetant lensemble des reacuteels positifs etE lensemble des longueurs agrave tout eacuteleacutement du produit carteacutesien R+ xE on fait corresshypondre un certain eacuteleacutement de E (1)

III - 5 Signification du mot mesure

Etant donneacute deux longueurs a et b a neacutetant pas la longueur nulle nous admettrons quil existe un reacuteel positif Agrave tel que

b =Agrave a Ecrire cette eacutegaliteacute cest exprimer que la mesure de la longueur b

quand on prend la longueur a pour uniteacute est le nombre Agrave Ainsi se trouvent introduits deux mots mesure et uniteacute que nous emploierons constamment par la suite

(1) A et B deacutesignant deux ensembles rappelons que leacutecriture A x B quon lit A croix B deacutesigne le produit carteacutesien de A par B cest-agrave-dire lensemble des couples dont le preshymier terme est eacuteleacutement de A et dont le second est eacuteleacutement de B

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Une uniteacute de longueur nest rien dautre quune longueur arbitraishyrement choisie non nulle cependant Le mot mesure ne saurait ecirctre employeacute sans que le choix de cette uniteacute soit indiqueacute

Le lecteur reconnaicirctra dans lemploi de produits dun nombre par une longueur une attitude qui lui est tregraves familiegravere bull si a est le centimegravetre et si est le nombre 5 alors b est 5centimegravetres et lon eacutecrit b = 5 cm ou couramment b = 5 cm bull si a est le pied anglais (foot) et si b est laltitude du Mont-Blanc alors b = 15 767 ft ou couramment b = 15 767ft

rn - 6 Proprieacuteteacutes des opeacuterations Etgt et reg et de la relation ~

III - 61 Soient a et b des longueurs telles que par exemple a = 3 coudeacutee b = 5 coudeacutee

ce quon eacutecrit couramment a = 3 coudeacutees b = 5 coudeacutees

La longueur somme des longueurs a et b quon a noteacutee a Etgt b est selon la deacutefinition quon a donneacutee en III- 3 eacutegale agrave 8 coudeacutee ou 8 coudeacutees

Dune faccedilon geacuteneacuterale si a=01k et b=f3k

la somme a Etgt b est la longueur (01 + (3) k (01 k) Etgt ((3 k) = (01+(3) k

A cause de la ressemblance de leacutegaliteacute qui preacutecegravede avec celle qui traduit dans un ensemble de nombres la distributiviteacute de la multiplicashytion sur laddition [(3 x 5) + (4 x 5) = 7 x 5] et bien que trois opeacuterashytions interviennent et non deux on dit que lopeacuteration est distributive sur laddition dans R+

En particulier une uniteacute de longueur eacutetant choisie la mesure de la somme de deux longueurs est la somme des mesures de celles-ci

III- 62 De la mecircme faccedilon lopeacuteration est distributive sur laddition des longueurs Si Agrave deacutesigne un reacuteel positif quelconque

(Agrave a) Etgt (Agrave b) = Agrave (a Etgt b) Par exemple si les cocircteacutes dun rectangle ont pour longueurs a et

b le peacuterimegravetre seacutecrit aussi bien (2 a) Etgt (2 b) que 2 (a Etgt b)

III - 63 Dessinons bout-agrave-bout sur Une droite 6 segments dont la longueur commune est 5 centimegravetres Nous obtenons un segment dont la longueur est 30centimegravetres ce qui se traduit par leacutegaliteacute middot

6 (5 cm) = (6x5) cm

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La proprieacuteteacute appeleacutee pseudo-associativiteacute geacuteneacuteralise cette constatashytion agrave tout couple (Agravep) de reacuteels positifs et agrave toute longueur c

Agrave (Il c) = (Agrave x Il) c Cette proprieacuteteacute peut sinterpreacuteter autement

Soit a b c trois longueurs b et c neacutetant pas nulles appeshylons Agrave la mesure de a quand on prend b pour uniteacute et Il la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

a=Agraveblb = Il c a = Agrave (Il c)

la pseudo-associativiteacute exprime q11e a = (Agrave x Il) c

cest-agrave-dire que le nombre Agravell est la mesure de a quand on prend c pour uniteacute

Lagrave mesure de a quand on prend c pour uniteacute est le produit de la mesure de a quand on prend b pour uniteacute par la mesure de b quand on prend c pour uniteacute

Si lon deacutesigne par mesue la mesure de la longueur e quand on prend u pour uniteacute cet eacutenonceacute seacutecrit

mesca = mesba x mescb Cet eacutenonceacute est dun emploi bien connu Si b est le megravetre quon

eacutecrit rn et si c est le centimegravetre quon eacutecrit cm rn= 100 cm

pour une longueur a de 3 megravetres on eacutecrit 3 rn = 3 (100 cm) = (3 x 100) cm = 300 cm

ce quon raccourcit en 3 rn = 300 cm

Sous une autre forme eacutegalement bien connue les changements duniteacutes sexpriment ainsi si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul k la mesure dune grandeur au moyen de cette nouvelle uniteacute est le quotient par k de la mesure obtenue au moyen de lancienne Ce quon peut eacutecrire ainsi

meshba = mesba

Ou par raccourci Si lon multiplie luniteacute par un nombre non nul la mesure est diviseacutee par ce nombre Par exemple

1 meskm a = mesm a1000

III - 64 La relation dordre total noteacutee copy est compatible avec laddition et avec la multiplication par un reacuteel positif cest-agrave-dire que bull quelles que soient les longueurs a b c si acopyb alors (affic) copy (bffic) et reacuteciproquement

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bull quelles que soient les longueurs a et b et quel que soit le reacuteel stricteshyment positif a si acopyb alors (a a)copy (a b) et reacuteciproquement

III - 65 Une uniteacute de longueur eacutetant choisie lordre sur les mesures reproduit lordre sur les longueurs quelle que soit la lonshygueur non nulle k et quels que soient les reacuteels positifs a et 3 si (a k) copy (3 k) alors a~3 et reacuteciproquement

III - 7 Des eacutecritures commodes

III - 7 1 Les proprieacuteteacutes qui preacutecegravedent justifient

1deg) que lopeacuteration EB ait eacuteteacute appeleacutee addition et que a EB b ait eacuteteacute appeleacute somme de a et b

2deg) que lopeacuteration ait eacuteteacute appeleacutee multiplication (externe) et que a k ait eacuteteacute appeleacute produit de la longueur k par le nombre a

Elles invitent bull agrave noter par le mecircme signe + laddition dans lensemble des lonshygueurs que nous avons noteacutee provisoirement œ et laddition dans lensemble des reacuteels positifs bull agrave confondre de mecircme le signe e de la soustraction des longueurs (voir III - 3) et le signe - de la soustraction dans lensemble des reacuteels posishytifs bull agrave noter par le mecircme signe x que lon omet volontiers lopeacuteration externe que nous notions provisoirement et la multiplication dans lensemble des reacuteels positifs bull et agrave noter ~ ce que nous notions copy

Ces confusions de signes incorrectes strictement parlant sont sans inconveacutenient matheacutematique Et apparemment sans inconveacutenient peacutedashygogique mais en est-on jamais sucircr Elles ont le tregraves grand avantage de permettre la conduite des calculs exactement comme si les longueurs eacutetaient des nombres

Voyons sur un exemple ce que sont ces confusions et la commoditeacute qui en reacutesulte

Dans leacutecriture (2 + 3) x (a+ b) ougrave a et b sont des longueurs le premier signe + est celui de laddition dans R le signe x est mis pour le second signe + est celui de laddition dans lensemble des longueurs il est mis pour EtJ Conservant les signes provisoires on eacutecrishyrait (2+~) (a EB b)

Exploitant la possibiliteacute de calculer comme si EB eacutetait + comme si eacutetait x et comme si a et b eacutetaient des nombres on remplace cette eacutecriture par 2a + 2b + ( -J3)a + ( ~)b ougrave les trois signes +

middot sont mis pour EB et ougrave les quatre signes sont sous-entendus

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En reacutesumeacute gracircce agrave ces confusions de signes on utilise les mecircmes eacutecritures que si a et b deacutesignaient non deux longueurs mais leurs mesures avec une mecircme uniteacute (arbitraire)

Mais on ne perd pas de vue que par exemple dans 2a 2 est un nombre et que a nen est pas un

III- 72 Cependant cette commoditeacute deacutecriture serait comproshymise par la restriction signaleacutee agrave la fin de III - 3 agrave propos de la sousshytraction Faute de lever cette restriction on perdrait une grande part du beacuteneacutefice escompteacute et de plus on introduirait dans leacutetude des pheacutenomegraveshynes physiques des distinctions artificielles

Ainsi un ressort tendu ayant une longueur a eacutegale agrave PO si par une leacutegegravere modification de la tension on amegravene ce ressort agrave prendre une longueur b eacutegale soit agrave PA soit agrave PB la diffeacuterence b a ne pourrait exprimer la variation de longueur que dans le premier cas cessant decirctre deacutefinie dans le second elle devrait ecirctre remplaceacutee par a-b et il faushydrait mentionner explicitement dans chaquemiddot cas smiddotil sagit dun allongeshyment ou dun raccourcissement

p B 0 H A

Le moyen de se libeacuterer de ces contraintes consiste agrave introduire des longueurs positives et des longueurs neacutegatives gracircce agrave des conventions de signe On convient (1) de deacuteclarer positive la longueur du segment [OM] lorsque M est sur lune des demi-droites dorigine 0 de la deacuteclashyrer neacutegative lorsque M est sur lautre demi-droite et de deacuteclarer opposhyseacutees les longueurs de deux segments [OM] et [ON] lorsquils sont supershyposables et que Met N sont de part et dautre de 0 enfin on deacutefinit le module dune longueur e noteacute lfl comme eacutegal agrave e si e est positive et agrave son opposeacutee si e est neacutegative

III- 73 Gracircce agrave une telle convention lanalogie avec le calcul algeacutebrique devient complegravete et lon geacuteneacuteralise exactement comme on le fait dans lensemble des nombres reacuteels la relation dordre noteacutee ~ laddition et la soustraction deacutesormais deacutefinie dans tous les cas

(1) En fait une telle convention est rarement adopteacutee dans lusage eacuteleacutementaire pour les longueurs en revanche dautres grandeurs donnent lieu de faccedilon courante agrave une convenshytion de ce genre

- un instant origine eacutetant choisi auquel on attribue la date 0 les instants anteacuterieurs sont de dates neacutegatives les instants posteacuterieurs sont de dates positives

un sens eacutetant choisi ie long dune portion de circuit eacutelectrique on convient que les courants qui circulent dans ce sens ont une intensiteacute positive et que ceux qui circulent dans lautre sens ont une intensiteacute neacutegative

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Quant agrave la multiplication externe elle conserve le signe des lonshygueurs si le multiplicateur est un nombre positif elle change ce signe si le multiplicateur est un nombre neacutegatif Degraves lors une uniteacute de longueur (positive par deacutefinition) eacutetant choisie la mesure dune longueur positive est un nombre positif celle dune longueur neacutegative est un nombre neacutegatif Cest la mesure telle quelle vient decirctre deacutefinie de la longueur OM quon appelle couramment abscisse du point M lorigine eacutetant O Sur la figure si on adopte OH pour uniteacute de longueur labscisse de A est 3 cell de B est -2

On voit sans peine que ces conventions qui se sont imposeacutees de faccedilon naturelle dans le passeacute eacutetablissent un rigoureux paralleacutelisme entre les calculs sur les longueurs etles calculs une uniteacute eacutetant choisie sur les nombres qui les mesurent Le seui danger reacutepeacutetons-le serait de confonshydre nombres et longueur~ middot

lill _ 8 Grandeurs mesurables Ce qui vient decirctre dit de III - 1 agrave III - 7 agrave propos de longueurs

(ineacutegaliteacute somme de longueurs puis produit par un nombre) peut-il se reacutepeacuteter agrave propos dautres grandeurs

III- 81 Si on appelle grandeur tout caractegravere dun objet aux sens tregraves larges de ces deux mots susceptible de variations chez cet middotobjet ou dun objet agrave un autre les exemples de grandeurs sont nomshybreux la gentillesse lagressiviteacute lintelligence dune personne la poeacuteshysie dun texte la musicaliteacute dune meacutelodie

Pour aucune de cesgrandeurs onne saurait parler deacutegaliteacute On sait dire agrave loccasion que telle personne est plus gentille que telle autre qe faccedilon dailleurs subjective mais que serait leacutegaliteacute pour les gentillesshyses 7 middot

middot Un test dintelligence permet de dire que les scores obtenus par deux personnes agrave des moments deacutetermineacutes sont eacutegaux et de placer ceuxshyci au mecircme endroit dune certaine eacutechelle il ne permet de deacutefinir middotni leacutegaliteacute ni laddition des intelligences (et encore moins lintelligence elle-mecircme agrave moins de simaginer lintelligence comme eacutetant ce que repegravere le test)

On sait donner une signification agrave Ce mateacuteriau est aussi dur que cet autre La dureteacute donne la possibiliteacute degrave deacutefinir une eacutechelle(eacutechelle de Mohs pour les roches) ou un indice (indice de Brinell pour les meacutetaux) mais on ne saurait parler de la somme de deux dureteacutes

On sait reconnaicirctre que deux points sont au mecircme potentiel eacutelectrishyque (on dit la diffeacuterence de potentiel entre ces deux points est nulle) il ne passerait aucun courant dans un fil meacutetallique qui les joindrait Mais on ne sait pas deacutefinir la somme de deux potentiels

La dureteacute le potentiel eacutelectrique sont des grandeurs repeacuterables mais pas sommables

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III- 82 On a eacuteteacute capable

bull de deacutefinir leacutequivalence de deux segments (par superposabiliteacute) on les a dits repreacutesentants dune mecircme longueur oumiddotplus simplement de mecircme longueur

bull de deacutefinir dans lensemble des longueurs ainsi obtenu une relashytion dordre total qui permet de comparer deux longueurs

bull de deacutefinir dans ce mecircme ensemble une opeacuteration interne 1 addition des longueurs

bull de deacutefinir une opeacuteration externe la multiplication des longueurs par les reacuteels positifs

Legraves grandeurs pour lesquelles il en est ainsi possegravedent les proprieacuteteacutes deacutecrites en III - 6 Elles sont dites grandeurs mesurables

Le matheacutematicien et le physicien quand ils envisagent demiddot telles grandeurs abandonnent geacuteneacuteralement cette eacutepithegravete grandeur est soushyvent employeacute comme synonyme de grandeur mesurable (1)

Deacutefinir la somme de grandeurs (comme deacutefinir leacutegaliteacute voirl3 et 14) ne va pas de soi et pose des problegravemes dordre technique ou theacuteorishyque

Des moyens de reconnaicirctre leacutequivalence de cour~nts eacutelectriques de les dire repreacutesentants dune mecircme intensiteacute eacutelectrique ont eacuteteacute preacutesenshyteacutes en 13 et 14 On pourrait deacutefinir la somme de deux intensiteacutes i1 et i2 comme eacutetant celle dun courant qui produit dans un conducteur ohmique pendant une certaine dureacutee la quantiteacute de chaleur somme des quantiteacutes de chaleur fournies par les courants dintensiteacutes i1 et i2 cirshyculant successivement dans ce conducteur pendant cette dureacutee (ce qui suppose que lon ait deacutefini anteacuterieurement la somme de deux quantiteacutes de chaleur et leacutegaliteacute entre dureacutees) On pourrait aussi deacutefinir la somme de deux intensiteacutes comme eacutetant celle dun courant qui traversant une cuve agrave eacutelectrolyse pendant une certaine dureacutee y fait apparaicirctre une masse de telle substance qui soit la somme des masses quegrave font apparaicircshytre les courants dintensiteacutes i1 et i2 traversant la cuve successivement pendant cette mecircnie dureacutee (ce qui suppose deacutefinies la somme de decircux masses et leacutegaliteacute entre dureacuteegraves) middot middot middotmiddot

Lexpeacuterience montre que ces deux deacutefinitions ne coiumlncident pas Cest la seconde qui a eacuteteacute retenue (2) Alors (permettons-nous danticiper sur produit de deux grandeurs voir VII) agrave dureacutee eacutegale et dans un conducteur donneacute la quantiteacute de chaleur est fonction lineacuteaire du carreacute de lintensiteacute ainsi deacutefinie (effet Joule) middot

1) Puisque lensemble des nombres reacuteels positifs est muni dune relation dordre tatar dune addition et dune multiplication il peut ecirctre consideacutereacute comme un ensemble de granshydeurs Nous le consideacutererons en effet comme teLagrave partir de VIII- 42 mais nous mainshytiendrons pour linstant la distinction entre nombres et grandeumiddotrs

(2) Cette ~econde deacutefinition de la s~mme d~ deux intensiteacutes coiumlncide avec celle qui utilise linteractionmiddot de middotdeux longs conducteurs comme en I _ 4 middot

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III - 83 Le potentiel eacutelectrique nest pas une grandeur mesurable (car il est non sommable) mais la diffeacuterence de potentiel ou tension eacutelectrique est mesurable

De mecircme la tempeacuterature celle dont parle le meacuteteacuteorologue nest pas une grandeur mesurable (car elle est non sommable) mais la diffeacuteshyrence de tempeacuterature (on dit intervalle de tempeacuterature) est une granshydeur mesurable

On sait dire que deux eacuteveacutenements se produisent agrave un mecircme instant mais on ne donne pas de signification agrave somme de deux instants Par contre la dureacutee cest-agrave-dire le temps eacutecouleacute entre deux instants est une grandeur mesurable

III- 9 Retour agrave la question a et b eacutetant deux grandeurs quentendre par a + b

III - 9 1 Nous avons laisseacute en suspens la question souleveacutee en II - 2 a et b eacutetant deux grandeurs donneacutees arbitrairement quelles sont les preacutecautions agrave observer pour avoir le droit de les traiter comme nous lavons fait dans ce chapitre III cest-agrave-dire pour donner une signishyfication aux eacutecritures a~ b ou b ~a a+ b a= Agraveb ougrave Agrave est un nomshybre

middotVoici une premiegravere reacuteponse la condition est que a et b soient deux grandeurs de mecircme nature ou de mecircme espegravece (deux longueurs deux masses etc mais pas une longueur et une masse)

On dit de deux grandeurs quelles sont de mecircme nature pour dire quelles interviennent de faccedilon analogue dans un certain protocole expeacuteshyrimental ou si lon veut pour dire que lorsquun proceacutedeacute physique de comparaison (I - 4) est adapteacute agrave lune delles il lest aussi agrave lautre

Pour prendre un exemple tregraves simple peut-on deacuteclarer de mecircme nature le volume dun solide (son encombrement) et le volume dun reacutecishypient (sa contenance) Adoptons le protocole expeacuterimental suivant pour le solide le plonger dans leau dune eacuteprouvette et pour le reacutecishypient le remplir deau et verser celle-ci dans leacuteprouvette Dans les deux cas le niveau de leau seacutelegraveve les deacutenivellations permettent la comparaishyson de ce quil est donc licite dappeler dans les deux cas volume

On va voir (III - 92 et III - 93) quil convient de nuancer cette premiegravere reacuteponse

III- 92 Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles Dans la deacutefinition dune grandeur peut intervenir une direction dans lespace Ainsi si des voitures roulent agrave 40 kilomegravetres agrave lheure mais ont des trashyjectoires de directions diverses relativement agrave un obstacle les conseacuteshyquences pour la voiture dun choc sur cet obstacle peuvent aller de la simple eacuteraflure jusquagrave la deacuteformation grave On attribue agrave chacune de

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ces voitures un vecteur-vitesse dont la direction est celle de la trajectoire au moment du choc et dont le sens est celui du mouvement

C~s vecteurs-vitesses diffegraverent les uns des autres De plus si ~ et ~ sont deux dentre eux de directions distinctes il nexiste pas de reacuteel Agrave tel que ~ = Agrave ii bien quil paraisse normal de dire que ces vecteurs-vitesses sont des grandeurs de mecircme nature il nest pas posshysible de mesurer lun en prenant lautre pour uniteacute Ce que ces degraveux vecteurs-vitesses ont en commun cestleur module quon note v1 ou v2 (ici 40 kmh)

Autre exemple Si lon applique aux deux extreacutemiteacutes dun cacircble passant sur une poulie des forces h et situeacutees dans le plan de celle-ci ce cacircble se tend et les deux brins prennent lesmiddot directions des deux forshyces Supposons leacutequilibre reacutealiseacute mecircme dans ce cas ces directions sont en geacuteneacuteral distinctes quand elles le sont il nexiste

-+ -+pas de reacuteel Agrave tel que 11 = J2 cependant

on peut eacutetablir agrave laide dun dynamomegravetre (peson agrave ressort par exemshyple) quils ont mecircme module quon note 11 ou j 2 bull

-+ -+ Dune maniegravere geacuteneacuterale si on considegravere deux forces 11 et 12 non -+ -+

nulles il nest pas possible de trouver un reacuteel Agrave tel que 11 = Agrave12 sauf si -+ -+11 et 12 sont de mecircme direction par contre il est toujours possible de trouver un reacuteel Agrave (positif) tel que 11 = Agrave12 bull

Nous sommes ainsi ameneacutes agrave distinguer - les grandeurs dont la deacutefinition fait intervenir la direction telles

que vitesses acceacuteleacuterations forces champs magneacutetiques etc ces granshydeurs sont dites vectorielles

- les grandeurs dont la deacutefinition ne fait intervenir aucune direcshytion telles que longueurs masses eacutenergies etc ces grandeurs par opposition aux preacuteceacutedentes sont dites scalaires

Ce qui importe pour notre objet cest quagrave chaque grandeurmiddotvectoshyrielle peut ecirctre associeacutee une grandeur scalaire son module

Dans toute la suite nous exclurons de notre eacutetude les grandeurs vectorielles malgreacute leur grand inteacuterecirct en physique nous nous limiterons aux grandeurs scalaires

Lusage accepte quand le contexte permet deacuteviter la confusion lemploi des mots1orce vitesse etc pour deacutesigner soit la grandeur vecshytorielle soit la grandeur scalaire a~socieacutee

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III - 93 Une reacuteponse meilleure agrave la question poseacutee serait pourvu que a et b soient des grandeurs scalaires de mecircme nature on a le droit de les traiter suivant les proceacutedeacutes du chapitre III Cette reacuteponse peut ecirctre accepteacutee elle est cependant trop restrictive

Dira-t-on quune quantiteacute dechaleur et un travail sont de mecircme nature La reacuteponse qui ne va pas de soi serait volontiers neacutegative si ie travail se transforme facilement (trop facilement) egraven chaleur la transshyformation de chaleur en travail est loin decirctre aussi facile

On peut pourtant comparer par exemple le travail fourni par la middotmachine qui tire un train un jour dhiver et la quantiteacute de chaleur quelle fournit pour le chauffage de ce train On considegravere en effet avec de bonnes raisons que quantiteacute de chaleur et travail sont deux formes deux aspects dune mecircme grandeur leacutenergie Leacutenergie b neacutecessaire au egravehauffage du train est le tiers de leacutenergie a neacutecessaire agrave sa traction

b = j_ a 3

Bien eacutevidemment leacutecriture b lt a a une signific~tion et aussi leacutecriture a + b eacutenergie totale fournie par la machine

Nombreux sont les exemples de grandeurs qui tout en eacutetant disshysemblables en apparence et mecircme en reacutealiteacute sont cependant comparashybles les unes aux autres et mesurables avec une mecircme uniteacute comme le sont le travail et la chaleur dans lexemple ci-dessus

En reacutesumeacute 1deg) nous conserverons provisoirement lexpression grandeurs

(scalaires) de mecircme nature avec lassurance quelle entraicircne des eacutegalishyteacutes du type b = Agrave a

2deg) mais nous resterons conscients que de telles eacutegaliteacutes se relconshytrent aussi dans un cadre plus large

Cette neacutecessaire extension fera lobj~t du chapitre X ougrave seront introduites his grandeurs homogegravenes entre elles middot middotmiddot

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IV-middot CE QUON DIT ~

OU DEVRAIT DIRE

IV - 1 Emploi des mots longueur vitesse etc

L~s mots longueur vitesse intensiteacute eacutelectrique volume peuvent ecirctre employeacutes de diverses faccedilons

IV - 11 Ils peuvent concerner un objet physique deacutetermineacute

la longueur de cette route la vitesse de ce mobile agrave tel instant

Ils peuvent aussi ecirctre employeacutes indeacutependamment de tout objet physique

15 cm est unegrave longueur 70 kmlh est une vitesse excessive en ville

Dans ces exemples le mot longueur deacutesigne un eacuteleacutement dun ensemble lensemble des longueurs structureacute commeil a eacuteteacute dit plus haut par laddition la multiplication externe lordre Il en est de mecircme pour le mot vitesse

IV- 12 Mais ces-mecircmes mots peuvent aussi acceacuteder agrave un degreacute supeacuterieur dabstraction de mecircme quon dit la bonteacute le calme lhomoshytheacutetie on dit la longueur la vitesse le volume Ce langage est suscepshytible de deux interpreacutetations

bull Le concept de longueur employeacute agrave prppos de telle route particushyliegravere donne la longueur-de-la-route Du point de vue matheacutematique la longueur estune application par exemple dun ensemble de routes vers un ensemble de longueurs la vitesse est une application par exemshyple dun ensemble de veacutehicules en mouvement vers un ensemble de vitesshyses Si on note L et lJ ces applications

route x f longUgraveeur de la ~oUgravete x

auto y lJ v vitesse cie lauto y

ori eacutecrira alors f = r (x) v = ltU (y)

bull De mecircme middotque lhomme peut deacutesigner lespegravece humaine la lonshygueur pourrait deacutesigner lensemble des longueurs la vitesse lensemble des vitesses etc On eacutecrirait volontiers la Longueur la Vitesse middot cotnme on eacute_crit parfois lHomme

IV - 13 Il est agrave pegraveu pregraves impossible dans le langage courant de distinguer ces deux emplois (ceux de IV-- 11 et IV -12) intimement lieacutes et eacutegalement leacutegitimes

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Par contre bien que la confusion entre grandeur et mesure soit freacuteshyquente non seulement dans le langage usuel mais aussi heacutelas dans le langage matheacutematique il est important deacuteviter que les mots longueur vitesse etc soient employeacutes avec la signification de mesure

IV - 2 Deacutesignation des grandenrs

IV - 21 On a vu (III - 5) que la mesure dune grandeur b quand une uniteacute a est choisie est le nombre Agrave tel que

b =Agrave a

On peut deacutesigner cette grandeur aussi bien par b que par le produit Agravea quon eacutenonce en citant successivement le nombre Agrave et le nom a de luniteacute choisie

La longueur de ce segment est 3 centimegravetres Ce segment a pour longueur 3 centimegravetres Les formulations suivantes sont tout aussi acceptables

Ce segment est long de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres de longueur La Loire a 1000 kilomegravetres de long Cet enfant est acircgeacute de 8 ans Ce vin a 8 ans dacircge

IV - 22 On trouve dans les manuels des formes plus complishyqueacutees destineacutees peut-on supposer agrave attirer lattention sur le nombre Agrave

Si luniteacute de longueur est le centimegravetre la mesure de ce segment est 3 Si luniteacute est le centimegravetre la mesure de la longueur de ce segment

est 3 La mesure en centimegravetres de ce segment est 3

On peut reprocher agrave cette derniegravere formulation qui est tregraves employeacutee le risque decirctre interpreacuteteacutee comme suit par les enfants la mesure en centimegravetres est faite de centimegravetres juxtaposeacutes comme une bordure de trottoir est faite de pierres juxtaposeacutees Cette interpreacutetation risque de creacuteer la confusion entre le centimegravetre qui est une longueur et des segments de 1 centimegravetre de longueur

On devrait donc preacutefeacuterer lemploi du singulier la mesure en centishymegravetre de ce segment est 3 comme abreacuteviation de la mesure de ce segshyment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute est 3

On a parfois proposeacute dautres formulations Par exemple celle-ci la centimegravetre-mesure de ce segment est 3 Mais il faudrait dire la centimegravetre-agrave-la-seconde-par-seconde-mesure de lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur est 981 et lanneacutee-mesure de lacircge de cet enfant est 8

La notation mesab preacutesenteacutee en III- 63 est agrave la fois commode et complegravete

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IV - 3 Des formulations incorrectes

Le langage courant et le langage des manuels contiennent de nomshybreuses formes hybrides incorrectes ougrave sont confondues grandeur et mesure

IV- 31 Voici dabord des formulations raccourcies

Attention ce nest pas du 110 cest du 220 Pour cet appareil il faut des pellicules 24 x 36 La vitesse est limiteacutee agrave 50

De telles formulations sont un moindre mal le nom de luniteacute nest pas dit mais si on le cite tout est en ordre Du fait de lusage elles transmettent une information complegravete chacun sait quil sagit de 110 volts et 220 volts de 24 millimegravetres et 36 millimegravetres un panneau de limitation de vitesse indiquant 50 est agrave lire 50 kilomegravetres agrave lheure en France 50 miles per hour en Angleterre (agrave peu pregraves 80 kilomegravetres agrave lheure)

Certains corps de meacutetier utilisant toujours la mecircme uniteacute sousshyentendent geacuteneacuteralement le nom de celle-ci une planche de 20 une tocircle de 3 (1)

Il nest pas rare que le nom de luniteacute ne soit dit quen partie quand une revue technique eacutecrit des rails de 60 kilogrammes cest 60 kgm quil faut lire Chacun sait compleacuteter la locution 8 litres aux 100 middot

IV- 32 Les formulations donneacutees en IV- 22 sont lourdes et preacutesentent agrave lusage un danger lutilisateur raccourcit la mesure de la longueur de devient la longueur de Cest sans doute lorigine de phrases incorrectes tregraves employeacutees telles que

Si luniteacute est le centimegravetre la longueur de ce segment est 3

IV- 33 Lemploi pourtant fort naturel du verbe mesurer narrange rien

Ce segment mesure 3 centimegravetres Cette formulation est tregraves proche en effet de Ce segment a pour mesure 3 centimegravetres qui est une formushylation incorrecte

lylais qui osera refuser La Tour Eiffel mesure 320 megravetres

(1) Luniteacute est parfois perdue de vue Dans Il chausse du 45 luniteacute est le point Cette uniteacute de pointure est une uniteacute de longueur comprise entre 6 mm et 7 Ilm comme le montre le tableau ~uivant

Mesure en points 38 39 40 41 42 43 44 45

Mesure en centimegravetres 243 25 256 263 27 276 283 ~9

31

IV- 34 Soit a la longueur en centimegravetres de ce segment Cette formulation est peut-ecirctre la plus pernicieuse la longueur en centimegravetres dun segment est-elle autre chose que la longueur de ce segment

Que preacutetend-on deacutesigner par a Ou bien une longueur et il faut enlever ce en centimegravetres ou bien un nombre et il faut dire Soit a la mesure de ce segment quand on prend le centimegravetre pour uniteacute de lonshygueur

Il y a lagrave une amorce de confusion pour ne pas dire une veacuteritable confusion entre longueur et mesure de cette longueur une certaine uniteacute eacutetant choisie

IV - 4 Des formulations simples tregraves acceptables

Les formulations les plus simples agrave condition quelles ne soient pas eacutequivoques sont les meilleures

Un carreacute de cocircteacute 3 centimegravetres cette formulation na jamais choshyqueacute personne et il faut sen feacuteliciter le cocircteacute est une longueur et 3 centishymegravetres est cette longueur

Un segment de 3 centimegravetres un jardin de 2 ares un bifteck de 100 grammes un bifteck de 8 francs un courant de 4 ampegraveres voilagrave qui est middot agrave la fois simple et correct si vous voulez la nature de la grandeur le nom de luniteacute vous renseigne si vous chegraverchez sa mesure avec cette uniteacute voyez le nombre middot

Terminons par les formulations suivantes

Ce segment est de 3 centimegravetres Ce segment a 3 centimegravetres la Loire a 1000 kilomegravetres cet enfant

a 8 ans middot Ce segment fait 3 centimegravetres vaut 3 centimegravetres Elles ne sont pas assez explicites pour que le puriste sache deacutecider

de leur correction Mais elles sont parfaitement claires et on ny confond pas grandeur et mesure Elles sont dun emploi tregraves freacutequent Qui reacuteussishyrait agrave les eacuteviter Qui oserait les bannir

IV- 5 Un langage normaliseacute

Il existe une orthographe et une syntaxe des symboles de grandeurs et duniteacutes Le lecteur qui souhaiterait une information plus deacutetailleacutee agrave leur propos la trouvera dans les publications de lAssociation franccedilaise de normalisation (1)

En particulier le simple bon sens commande deacuteviter dans leacutecrishyture deacutecimale des mesures de grandeurs les nombres qui comporteraient

(1) AFNOR tour Europe Ceacutedex7 -92080 PARIS LA DEacuteFENSE Voir en particulierles normes X02003 X02006 X02020

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une pleacutethore de zeacuteros soit agrave droite sil sagit dun nombre entier soit agrave gauche sil sagit dUgraven nombre deacutecimal Pour y parvegravenir on dispose de deux proceacutedeacutes

1deg) eacutecrire un tel nombre sous forme dun produit dont un facteur est une puissance de 10 dexposant positif dans le premier cas (exemshyple nombre dAvogadro IX- 61) neacutegatif dans le second (exemple constante de gravitation X- 61)

2deg) affecter dun preacutefixe le nom de luniteacute pour former une noushyvelle uniteacute mieux adapteacutee agrave la grandeur agrave mesurer On choisit habituelleshyment cette nouvelle uniteacute de telle sorte que la grandeur sexprime agrave laide dun nombre compris entre 01 et 1000

4

Ces preacutefixes sont preacutesenteacutes sur la couverture de la preacutesente brochure

33

vmiddot- RAPPORTS DE GRANDEURS

A voir deacutefini des multiplications externes menant agrave des eacutegaliteacutes du type b = Agrave a ougrave a et b sont des grandeurs et Agrave un reacuteel cela pose une double question

-est-il possible si AgravefUuml de diviser b par pour obtenir a cestshyagrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ~=a

- est-il possible si a nest pas une grandeur nulle de diviser b par a cest-agrave-dire de deacuteclarer eacutequivalentes les eacutegaliteacutes

b=Agravea et ]_=Agrave a

La reacuteponse agrave la premiegravere de ces deux questions est simple Du fait de la pseudo-associativiteacute (III - 63)

_l b = _l (Agravea) = ( _l x Agrave) a = aAgrave Agrave Agrave

En conseacutequence si lon donne une signification agrave leacutecriture ~ ce

ne peut ecirctre que ~ b Autrement dit diviser une grandeur par un

reacuteel Agrave non nul est la mecircme chose que la multiplier par middot~

La seconde question introduit leacutecriture 1_ jamais rencontreacutee jus-a

quici Tant que a et b sont des grandeurs de mecircme nature (et mecircme eacuteventuellement dans des cas plus larges comme on la dit en III- 93)

aucune raison ne soppose agrave ce quon deacutesigne par]_ le nombre Agrave tel que a

b = Agrave a On peut lappeler quotient de b par a mais nous preacutefeacuterons lappeler rapport de b agrave a

Le preacutesent chapitre sera consacreacute agrave de tels rapports

Dans l~ cas ougrave a et b sont deux grandeurs quelconques leacutecriture ~

recevra une signification plus geacuteneacuterale au chapitre VI ougrave elle ne deacutesishygnera plus en geacuteneacuteral un nombre nous lappellerons quotient de b par a en eacutevitant de lappeler rapport Lusage ne respecte pas toujours cette distinction (voir par exemple VI - 66)

34

V __ 1 Rapport dune grandeur b agrave une grandeur a

V - 11 On vient den donner la deacutefinition cest le nombre de

leacutegaliteacute b = a ougrave a nest pas une grandeur nulle on leacutecrit_ ou a

ba Dans ces conditions les eacutegaliteacutes ]_ = et b = a sont eacutequivashy

a lentes En particulier la mesure de b quand on prend a pour uniteacute est le rapport ]_ (voir III - 5) en effet que a soit pris pour uniteacute cela impUumlshy

a que quil nest pas la grandeur nulle

Cest bien la notion de rapportde deux grandeurs quon emploie dans des phrases telles que

- Cette table est trois fois plus longue que large - Le deacutebit moyen du Rhocircne agrave Beaucaire est cinq fois celui de la

Seine agrave Mantes - Lacceacuteleacuteration due agrave la pesanteur agrave 2600 kilomegravetres daltitude

est la moitieacute de ce quelle est au sol Le poids dun corps y est lui aussi la moitieacute de ce quil est au sol

On reconnaicirctra en 3 5 12 des rapports de deux grandeurs Il en est de mecircme pour le nombre 112 dans la moitieacute du parcours et pour le nombre 14 dans un quart dheure

V - 12 Rapports de grandeurs et rapports de mesures La grandeur a neacutetant pas nulle mesurons la grandeur ben prenant

a pour uniteacute soit sa mesure b = a

La grandeur k neacutetant pas nulle mesurons a et b en prenant k pour uniteacute soient a et 3 leurs mesures

a=ak b=3k

Puisque b =a b peut seacutecrire (a k) gracircce agrave la pseudo-associashytiviteacute de III - 63

b = (a) k

Cette eacutegaliteacute exprime que le nombre a est la mesure de b quand on prend k pour uniteacute mesure qui est 3 Ainsi a = 3

Puisque a nest pas la grandeur nulle le nombre a nest pas nul donc

Le rapport de la grandeur b agrave la grandeur non nulle a est eacutegal au

rapport 1 des mesures avec la mecircme uniteacute de b et a et cela quelle queCi

soit cette uniteacute

35

V - 13 1reacutesute de ce qui preacutecegravede que le rapport de b agrave a peut prendreles formes suivantes

b (3k et Ji a ak a

Exemple a = 5 cm b = 3 cm

Le rapport ~ est un nombre qui peut seacutecrire indiffeacuteremment ~ ou

0 6 ou 30 ou 3 cm ou 30 mm ou mecircme 0bull03 m etc Les deux premiegraveres middot50 5 cm 50mm 50 mm

de ces eacutecritures sont eacutevidemment les plus maniables

Ainsi de mecircme quon peut remplacer leacutecriture ~ ~ ~ par ~on peut remplacer leacutecriture ~ par ~On a simplifieacute par la grandeur k

comme on simplifie par 5

Cette simplification traduit le fait que le rapport de deux grandeurs est indeacutependant du choix de luniteacute avec laquelle on les mesure

V- 14 Commoditeacute demploi de la notation 2 a

Bornons-nous agrave un exemple

Le produit des d~ux rapports ~ et ~ ougrave a b c sont des grandeurs

de mecircme nature b etc eacutetant distinctes de la grandeur nulle est eacutegal agrave L c

comme ce serait le cas si a b c eacutetaient des nombres En effet une uniteacute eacutetant choisie et a (3 Y eacutetant les mesures de a b c respectivement les

rapports ba et _ sont les nombres (3a et Ji leur produit est donc~ qui c Y Y

nest autre que L c

V - 15 En reacutesumeacute

1) Le rapport dune grandeur agrave une autre est la mesure de la preshymiegravere quand on prend la seconde pour uniteacute

2) Ce rapport est aussi le rapport de la mesure de la premiegravere agrave la mesure de la seconde avec la mecircme uniteacute quel que soit le choix de cette uniteacute

V - 2 Proportionnaliteacute

Exemple 1 Si les peacuterimegravetres de trois carreacutes ont pour longueurs Ptbull p 2 p 3 et si c11 c2 c3 sont les longueurs respectives de leurs cocircteacutes

Ct Cz c3 - =- =- = 025 Pt Pz P3

36

Au deacutebut de la rubrique APPLICATIONS LINEacuteAIRES (MOTS IV) agrave propos du mecircme sujet nous avons adopteacute la mecircme eacutecriture Mais elle ne comportait que des nombres c1 c2 c3 deacutesignaient les mesures des cocircteacutes avec une certaine uniteacute et p1 p2 p3 les mesures des peacuterimegravetres avec cette

uniteacute Ici c1 nest pas un nombre p 1 non plus mais c1 est tin nombre Pt

On dit

La suite des longueurs c1 c2 c3 est proportionnelle agrave la suite des longueurs Ptgt p 2 p 3 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 025

Dune faccedilon geacuteneacuterale Etant donneacute des carreacutes les longueurs de leurs cocircteacutes sont proportionnelles aux longueurs de leurs peacuterimegravetres

Ou plus simplement leurs cocircteacutes sont proportionnels agrave leurs peacuterishymegravetres

On dit aussi bien leurs peacuterimegravetres sont proportionnels agrave leurs cocircteacutes

On se permet mecircme dalleacuteger encore par lemploi du singulier le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel agrave son cocircteacute Une telle formulation est dangereuse car elle masque le fait que ce cocircteacute doit ecirctre consideacutereacute comme une variable agrave deacutefaut de quoi elle serait incompreacutehensible Elle signifie que le peacuterimegravetre est une fonction lineacuteaire du cocircteacute x--+ 4x bull

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi bien agrave propos de granshydeurs de mecircme nature quagrave propos de nombres

Exemple 2 Si lon emploie pour la confection dun gacircteau pour 4 personnes une masse a de farine un volume v deau un nombre n dœufs et une masse b de sucre pour 10 personnes il faut une massemiddot a de farine un volume v deau n œufs et une masse b de sucre qui veacuterifient au moins approximativement

a v n b 10a=v-=li=li=4

La suite a v n b 10 qui comporte des nombres et des granshydeurs de natures diverses est dite proportionnelle agrave la suite a v n b 4 le coefficient de proportionnaliteacute eacutetant 25

Dans lexemple de mecircme type preacutesenteacute en IX- f de la rubrique PROPORTIONNAJITEacute (MOTS IV) on avait envisag~ des suites de nomshybres a v b et a v et b eacutetaient des mesures

Remarques

1) De leacutegaliteacute a = L peut-on deacuteduire leacutegaliteacute a = iL On ne a v middot v v

peut reacutepondre agrave cette question tant quon na pas donneacute une significashy

tion aux eacutecritures iL et agrave ougrave a et v dune part a et v dautre part ne v v sont pas de mecircme nature quand on donne celle de VI la reacuteponse est affirmative

37

De toute faccedilon a et v sont des nombres mais l et a nen sont a v middot v v

pas Nous reparlerons incidemment del et a en X- 51 v v

2) Reacuteponse analogue agrave la question De leacutegaliteacute ccedilE_ = ~ middotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middot middot a v peut-on deacuteduire av = av En VII nous preacutesenterons des produits de grandeurs

V - 3 Taux dincertitude

Voici un usage important en physique du rapport de deux granshydeurs

On sait que le mesurage dune grandeur est affecteacute dune incertishy tude (II- 12) On appelle taux dincertitude le rapport de lincertitude

au module de la grandeur elle-mecircme ou ce qui revient pratiquement au mecircme (1) le rapport de lincertitude agrave leacutevaluation du module obtenue par le mesurage

Ainsi si la reacutesistance dun conducteur est 937 ohms agrave 01 ohm pregraves

le taux dincertitude est ~317 soit agrave peu pregraves 0001

Naturellement si lon donne une interpreacutetation probabiliste de lincertitude le taux dincertitude doit ecirctre interpreacuteteacute de faccedilon analoshygue

V - 4 Autres exemples de rapports de deux grandeurs

V- 41 Un rendement sexprime par un nombre Celui dun moteur eacutelectrique est le rapport de leacutenergie meacutecanique quil fournit agrave leacutenergie eacutelectrique quil a fallu lui fournir Il est par exemple 095 Le rendement dun moteur thermique est de lordre de 13

V - 42 Titre dun alliage dune solution Si une masse m dune substance est contenue dans un meacutelange de

masse M le titre (2) de cette substance dans ce meacutelange est le rapport

~ Il est eacutevidemment compris entre 0 et 1 Un alliage dor et de cuivre

de titre 0835 contient 835 grammes dor par kilogramme dalliage Cette deacutefinition rend compte du fait quil y a proportionnaliteacute entre

les masses m1o m2 m3 bullbullbull dor et les masses dalliage correspondantes Mto M2 M3middotmiddotmiddot

(1) Cela revient pratiquement au mecircme parce quon suppose que lincertitude est petite devant le module de la grandeur si tel neacutetait pas le cas la qualiteacute du mesurage serait tregraves meacutediocre et ces notions deviendraient sans inteacuterecirct

(2) On dit parfois titre massique par opposition agrave titre volumique

38

V- 43 Echelle dune carte Si le segment de droite qui joint deux points dune carte a pour lonshy

gueur a et si le segment quil repreacutesente sur le terrain est horizontal et a

pour longueur b leacutechelle de la carte est le rapport ~

Si on lit 1 cm sur la carte repreacutesente 2 km sur le terrain ou

plus simplement 1 cm pour 2 km leacutechelle est le rapport J~ 1nombre qui peut seacutecrire On trouve parfois leacutecriture

200 000 1 cm 2 km dans laquelle on peut consideacuterer que le signe traduit le mot pour (ou ses eacutequivalents dans des langues eacutetrangegraveres) mais aussi quil est le signe habituel de la division

Les rouages dune montre se dessinent par exemple agrave leacutechelle 10

nombre quon eacutecrit aussi bien 1 cm ou mecircme 1 cmmm ce quon lit 1 mm

1 centimegravetre par millimegravetre

V - 44 Pente dune route La pente de la route [OM] est le rapport de la deacutenivellation qui est

la longueur du segment [PM] agrave la longueur du segment horizontal [OP] (1) Elle est par exemple 005 nombre quon lit souvent 5 0o On adopte aussi un langage consideacutereacute comme plus parlant analogue agrave celui quon vient de rencontrer agrave propos deacutechelle dune carte la pente

de cette route est 51c ou 5 cmm celle de cette voie ferreacutee est

6 mmm La pente des conduites deacutevacuation des eaux useacutees ne doit pas ecirctre infeacuterieure agrave 1 cmm

V- 45 Rapports trigonomeacutetriques Le rapport ~~ qui preacutecegravede

nest autre que la tangente de langle que fait la route avec un plan horishyzontal

Cet angle pourrait aussi bien ecirctre caracteacuteriseacute par son sinus ~~ ou

par son cosinus g~ Ces trois rapports sont appeleacutes rapports trigonoshy

meacutetriques de cet angle

PM(1) On deacutesigne parfois par pente dune route le rapport OM

39

V - 46 Le radian

La mesure des angles peut poser selon le type des angles consideacuteshyreacutes des problegravemes deacutelicats Nous nous bornerons aux cas simples de langle de secteur de langle de paires de demi-droites et de langle de rotations cineacutematiques (voir SECTEUR-ANGLE MOTS V)

On peut mesurer ces angles avec les uniteacutes usuelles degreacute grade tour (angle) droit mais aussi avec le radian

x

Soit des cercles concentriques et une demi-droite issue de leur centre commun 0 qui les coupe en A A A

Une autre demi-droite Ox occupe initialement la mecircme position puis tourne autour de 0 dans un certain sens elle sarrecircte en une posishytion quelconque ougrave elle coupe les cercles en M M M Soit f f f les longueurs des trajets quont deacutecrits les points dintersection de Ox avec ces cercles On sait que ces longueurs sont proportionnelles aux

longueurs r r r des rayons i f_ f sont donc un mecircme r r r

middot nombre a Ce nombre est la mesure de f quand on prend r pour uniteacute Il caracteacuterise langle dont a tourneacute Ox Dire que a = 03 ou a = 12 cest donner si on connaicirct le sens dans lequel a tourneacute la demi-droite Ox une information complegravete quant agrave la position sur laquelle elle sest arrecircteacutee et sur le nombre de fois (eacuteventuellement nul) ougrave elle est passeacutee par cette position auparavant

Pour preacuteciser cette caracteacuterisation en termes dangles on donne la deacutefinition suivante le radian est langle dont a tourneacute Ox lorsque Ma parcouru un arc de longueur r Ainsi langle dont a tourneacute Ox dans les exemples ci-dessus est langle 03 radian langle 12 radians

Cette deacutefinition est eacutequivalente agrave la suivante Le radian est langle des paires de demi-droites issues du centre dun cercle qui interceptent sur celui-ci un arc dont la longueur est celle du rayon du cercle

Leacutetymologie du mot radian (radius rayon) eacutevoque cette deacutefishynition

40

On visualisera facilement le radian un peu moins de 60deg Sur les figures ci-dessous la corde [AB] et larc AM ont mecircme longueur que le-rayon Langle AOM est 1 radian

Il est facile decirctre plus preacutecis si Ox a tourneacute dun tour Ma par~ couru le cercle en entier une seule fois parcours dont la longueur est 21rr le tour cest-agrave-dire 360deg est donc 21r radians 360deg est compris entre 628 radians et 629 radians et le radian est compris entre 57deg et 58deg

Langle plat est 1r radians Langle droit est radian soit environ

157 radian

Sur la quatriegraveme des figures ci-dessus larc AMN de mecircme lonshygueur que la diagonale [AC] du carreacute OADC est tel que AoN est Jiuml radian ou 1 414 radian un peu moins dun droit puisque le droit est 157 radian

Lun des inteacuterecircts du radian reacuteside dans la simpliciteacute de leacutegaliteacute f= ar ougrave fest la longueur dun arc de cercle de rayon r intercepteacute par

un secteur au centre dangle a radians dans cette eacutegaliteacute a est un nomshybre non un angle

La radian est dun usage commode en analyse en topographie en physique

V- 47 Le steacuteradian La deacutefinition de cette uniteacute dangle-solide est calqueacutee sur celle du radian

Soit une sphegravere de centre 0 et une portion S de cetie surface Les demi-droites issues de 0 et sappuyant sur le contour deS deacuteterminent sur des sphegraveres de centre 0 et de rayons r r r des surfaces geacuteomeacuteshytriquement semblables agrave S On sait que les aires a a a de celles-ci sont proportionnelles aux aires des sphegraveres donc aussi aux aires des carshyreacutes dont les cocircteacutes sont r r r Permettons-nous danticiper agrave propos de produits de longueurs (voir VII - 3) pour utiliser un reacutesultat bien connu les aires de ces carreacutes sont r2 r 2 r2

_ ~ a sont donc un m~me nombre cp Ce nombre est r2 r2 r2

dautant plus grand que la surfaces est vue de 0 sous un angle-solide plus grand Il est la mesure de laire a quand on prend pour uniteacute laire dun carreacute de cocircteacute r

Dire middotcp = 07 cest faire connaicirctre langle-solide sous lequel on voit du point 0 la surface S cet angle-solide est 0 7 steacuteradian

Par deacutefinition le steacuteradian est langle-solide sous lequel on voit du centre dune sphegravere une portion de celle-ci dont laire est celle dun carreacute ayant pour cocircteacute le rayon de la sphegravere

On sait que laire dune sphegravere de rayon rest 47rr2 un angle-solide est donc infeacuterieur ou eacutegal agrave 411 steacuteradians Langle-solide dun secteur triegravedre tri-rectangle (voir SOLIDE II- 1 MOTS V) est le huitiegraveme de 411 steacuteradians cest-agrave-dire 157 steacuteradian environ

V- 48 Lensoleillement de lAunis est de 2 200 heures par an Si enmiddot un lieu donneacute au cours dun intervalle de temps de dureacutee D le soleil na brilleacute en tout que pendant une dureacutee d lensoleillement moyen

pendant cet intervalle est le rapport g 2 200 heures par an est un nombre agrave peu pregraves eacutegal agrave ~ puisquun

an cest presque 8 800 heures

Le record dutilisation des Boeing appartient agrave la Swissair pour un appareil il est en moyenne de 137 heures par jour Il sagit lagrave encore dun rapport de deux dureacutees qui est 057 environ

V - 5 Ougrave le rapport de deux grandeurs est indispensable

Bornons-nous agrave trois exemples

V- 51 Lintensiteacute agrave un certain instant ou intensiteacute instantaneacutee

dun courant eacutelectrique alternatif peut seacutecrire lm cos 21r f ougrave lm est

lintensiteacute maximum (celle du courant agrave linstant-origine) et ougrave t et T sont des dureacutees T est la peacuteriode du courant et t est la dureacutee eacutecouleacutee depuis linstant-origine jusquagrave linstant envisageacute Lintensiteacute est foncshytion de t

Leacutecriture lm cos t leacutecriture lm cos 271 t seraient incompreacutehensibles car on ne saurait donner une signification au cosinus dune dureacutee Par

contre 271 f eacutetant un nombre on peut prendre son image par la foncshy

tion cosinus dont la source est R

Bien que les mots cosinus sinus deacutesignent des fonctions de source Ret de but R on dit que lintensiteacute dun tel courant est fonction sinusoiumlshydale du temps ou par raccourci que lintensiteacute est sinusoiumldale ou mecircme que le courant est sinusoiumldal

V- 52 Le calcul de ce que devient un capital placeacute agrave un taux donneacute fait eacutegalement intervenir le rapport de deux dureacutees

Si un capital ou un prix augmente de 15 OJo chaque anneacutee cest-agraveshydire sil est multiplieacute par 115 et sil est Cagrave une Ccedillate donneacutee au bout dune anneacutee il devient C x 115 de deux anneacutees (C x 115) x 115 soit C x (115)2 etc Au bout den anneacutees il est C x (115)n

Lexposant n nest pas une dureacutee il est la mesure de la dureacutee quand on prend lanneacutee pour uniteacute middot

Bien que lexpression fonction exponentielle deacutesigne une foncshytion dont la source est un ensemble de nombres on dit que le capital est une jonction exponentielle du temps

V- 53 Chacun connaicirct lattrape-nigaudsuivant ougrave se preacutesente un calcul analogue

Une feuille de neacutenuphar met une dureacutee d pour doubler son aire Si d est par exemple une journeacutee et sil faut agrave la feuille une semaine pour recouvrir leacutetang il lui faut 6 jours pour en recouvrir la moitieacute(et non 35)

Soit K laire de la feuille agrave un moment donneacute et A(x) son aire quand il sest eacutecouleacute une dureacutee x La fonction A est une fonction exposhynentielle

A(x) = K x 2d

Lexposant du nombre 2 est neacutecessairement un nombre Il ne saushyrait ecirctre par exemple une dureacutee Il est la mesure de la dureacutee x quand on prend d pour uniteacute

Aux dates 0 d 2d 3d lexposant ~ est 0 1 2 3 et la feuille a

pour aires K 2K 4K 8K

43

44

DEUXIEgraveME PARTIE

Les grandeurs entre elles Grandeurs deacuteriveacuteesmiddot

VI - QUOTIENTS DE GRANDEURS

VI -1 Grandeur proportionnelle agrave une autre

Quand une substance est homogegravene() si on en preacutelegraveve une partie de volume v0 llt1 masse in0 de cette partie ne deacutepend pas du choix de celle-ci Il en reacutesulte que si une partie a un volume v1 triple de v0 sa masse m1 est triple de m0 bull

Dune faccedilon geacuteneacuterale le rapport mo des mas~es de deux corps ml

dune mecircme substance homogegravene est eacutegal au rapport Vo de leurs valushy Vl

1mes ci-dessus ces deux rapports eacutetaient mo et Vo cest-agrave-dire - 3mo 3Vo 3

A partir de leacutegaliteacute mo = Vo on est tenteacute deacutecrire cette autre ml vl

eacutegaliteacute mo = ml mais on na donneacute aucune signification aux eacutecri-Vo Vl

(1) Le mot homogegravene a ici un sens tout autre que dans la locution grandeurs homogegraveshynes entre elles mentionneacutee agrave la fin de Ill et preacutesenteacutee en X middotmiddot

45

tures telles que mo ougrave figurent deux grandeurs de natures distinctes Vo

(voir la remarque fin de V - 2)

On peut cependant mettre en regarcL m0 et v0 m1 et v1 et mecircme consideacuterer plusieurs morceaux de la mecircme substance

mo ml m2 ma

Vo vl v2 Va

Le tableau ainsi obtenu possegravede la proprieacuteteacute suivante le rapport de deux termes de la premiegravere suite quels qlils soient est eacutegal au rapport des deux termes correspondants de la seconde

Cette proprieacuteteacute est analogue agravecelle que preacutesentent deux suites proshyportionnelles de nombres par exemple

6 18 9 2

4 12 6 43

A cause de cette analogie on dit que la suite des masses est proporshytionnelle agrave la suite des volumes ou que la suite des volumes est proporshytionnelle agrave la suite des masses ou que les deux suites sont proportionshynelles

De faccedilon abreacutegeacutee on dit que la masse dune substance homogegravene est proportionnelle agrave son volume ce qui signifie que la masse est foncshytion lineacuteaire du volume celui-ci eacutetant consideacutereacute comme une variable Reacuteciproquement le volume est fonction lineacuteaire de la masse

On a deacutejagrave employeacute un tel langage mais agrave propos de deux grandeurs de mecircme nature (V- 2) le peacuterimegravetre dun carreacute est proportionnel au cocircteacute de celui-ci

Avec les noqtbres des suites proportionnelles donneacutees plus haut on eacutecrit des eacutegaliteacutes

amp = 18 = 2 = _2_ = 1 5 4 12 6 43

Avec les cocircteacutes et peacuterimegravetres de carreacutes on eacutecrit aussi des eacutegaliteacutes

~ = c2 = ca = 025 P1 P2 Pa

middotLanalogie serait complegravete si les quotients mo m1 m2 v0 v1 v2

recevaient une deacutefinition et pouvaient ecirctre deacuteclareacutes eacutegaux Ils ne sont pas des nombres Peuvent-ils ecirctre consideacutereacutes comme des grandeurs Cette question est lobjet dece qui suit

46

VI - 2 Un exemple de quotient de deux grandeurs quotient dune masse par un volume

VI-- 21 Envisageons une opeacuteration noteacutee II] qui agrave tout couple constitueacute dune masse et dun volume non nul associe une certaine grandeur nouvelle dont on deacutecide quelle est

Proprieacuteteacute A proportionnelle agrave la masse cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la masse ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave volume consshytant on multiplie la masse Jtar un nombre alors elle est elle aussi mul- middot tiplieacutee par ce nombre

Proprieacuteteacute B inversement proportionnelle au volume ce qui signishyfie que si agrave masse constante on multiplie le volume par un nombre ncin nul elle est multiplieacutee par linverse de ce nombre

(Cette double deacutecision nest pas arbitraire elle est telle quagrave des morceaux dune mecircme substance homogegravene est associeacutee une valeur unishyque de cette grandeur)

Choisissons une masse et un volume tous deux non nuls m0 v0 car ils serviront bientocirct duniteacutes de masse et de volume Appelons Po la grandeur nouvelle associeacutee au couple (m0 v0)

Po = mo II Vo bull

Soit un corps de masse rn et de volume v Appelons p la granshydeur nouvelle associeacutee au couple (rn v)

p=m[Dv

La connaissance de m et de entraicircne celle de la mesure 01 dem0 rn quand on prend m0 pour uniteacute

rn= am0

La connaissance de v et de v0 entraicircne celle de la mesure 3 de v quand on prend v0 pour uniteacute

v = 3 v0

On peut alors dresser le tableau suivant

Masse Volume Grandeur nouvelle

(1) mo Vo Po

(2) rn Vo 01 Po

(3) mo v 173 Po

(4) rn v 01 d73

p0 c est-a- 1re p

47

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B

On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B

p = ~ (ex p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en

III - 63 agrave propos de longueurs et accepteacutee pour toute grandeur - ex

P - 73 Po

bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

p = ex( ~ p0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute

P = ~ Po

La grandeur p qui est m [TI v seacutecrit si lon se souvient que m = exm0 et v = 3v0 des deux faccedilons suivantes

p = (ex mo) III (3 Vo) P = ~ Po

ce qui permet de consideacuterer le nombre ~ comme la mesure de p

quand on prend Po cest-agrave-dire m 0 III v0 pour uniteacute

Si par exemple m0 est le gramme et v0 le centimegravetre cube (abreacuteshyviations g et cm3

) la grandeur f-tp relative par exemple agrave une pierre de 300 grammes et de 120 centimegravetres cubes seacutecrit de deux faccedilons

soit f-tp = (300 g) III (120 cm3 )

300soit p = (g [] cm3)p 120

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux eacutecritures m v m0 middot v0 g et cm3 et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe III et supposons quil soit celui de la division dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishy

tures a m 0 III 3 v0 et ~ (mu III v0) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration III est une division et que lamiddot nouvelle grandeur p est deacutefinie comme le quotient de la masse m par le volume v Et on convient de remplacer

leacutecriture m III v par leacutecriture m Ainsi v

P = ex m 0 = ~ x mo 3 Vo 3 Vo

f-tp = _1QQ_g__ = 25 _L 120 cm3 cm3

48

Ces conventions sont justifieacutees par la commoditeacute du calcul et du langage Comme celles de III - 7 elles sont sans inconveacutenient matheacuteshymatique Et sans inconveacutenient peacutedagogique La simpliciteacute des eacutecritures ne doit pas masquer la signification de celles-ci

VI - 22 Lorsque les masses m0 et m et les volumes v0 et v des lignes (1) et (4) du tableau ci-dessus sont relatifs agrave deux morceaux dune mecircme substance homogegravene on sait (VI- 1) que les suites (m0 m) et (v0 v) sont proportionnelles

Les nombres a et 3 des eacutegaliteacutes m = a m0 v = 3 v0

sont donc eacutegaux et la grandeur p attacheacutee agrave m et v (ligne 4) est eacutegale agrave la grandeur p0 attacheacutee agrave m0 et v0 (ligne 1)

Plus geacuteneacuteralement les eacutecritures mo m1 m2 de la fin de Vo V1 V2

VI - 1 ont reccedilu comme on le souhaitait une signification de plus elles deacutesignent la mecircme grandeur comme on le souhaitait eacutegalement

mo = ml = m2 = p Vo vl v2

La grandeur p qui est la mecircme pour tout morceau dune subsshytance homogegravene peut ecirctre consideacutereacutee comme attacheacutee agrave celle-ci

Il existe dans la langue franccedilaise un qualificatif qui sadapte tregraves bien agrave la situation une substance A est dite 3 fois plus dense quune autre B si agrave volume eacutegal la masse de A est triple de celle de B ou aussi bien si agrave masse eacutegale le volume de A est le tiers du volume de B La grandeur attacheacutee agrave A est triple de la grandeur attacheacutee agrave B

La grandeur p porterait avantageusement le nom de densiteacute() Elle a porteacute longtemps le nom de masse speacutecifique comme eacutetant un des caractegraveres de la substance envisageacutee Elle porte leacutegalement celui de masse volumique

Malgreacute ces deux locutions ougrave un qualificatif suit le mot masse elle nest pas une masse Peut-ecirctre atteacutenuerait-on cet inconveacutenient par lemploi dun trait dunion il serait sage deacutecrire masse-volumique comme on eacutecrit force-eacutelectromotrice grandeur qui nest pas une force

VI- 23 En deacutefinitive 1deg) Si un corps a une masse m et un volume v sa masse volumishy

que p est donneacutee par p = m v

(1) La densiteacute dune substance homogegravene solide ou liquide est par deacutefinition le rapport de deux masses celle dun certain volume de cette substance agrave celle dun mecircme volume deau prise agrave 4degC Elle est donc le rapport de la masse volumique de la substance agrave celle de leau prise agrave 4degC Cette derniegravere eacutetant lgcm la densiteacute dune substance est donc la mesure de sa masse volumique avec luniteacute gcm

49

On dit quon a diviseacute une masse par un volume

ft est la masse volumique de la substance qui le constitue sil est homogegravene sil ne lest pas ft est sa masse volumique moyenne

2deg) Si m a pour mesure a quand on prend m0 pour uniteacute et si v a pour mesure 3 quand on prend v0 pour uniteacute ft a pour mesure a middot m middot

-3 si on prend ~ pour uniteacute de masse volumique Vo

Par exemple m0 et v0 eacutetant respectivement le gramme et le centishymegravetre cube on creacutee agrave partir deux une uniteacute de masse volumique le gramme par centimegravetre cube cest la masse volumique dun corps de masse 1 gramme et de volume 1 centimegravetre cube On leacutecrit gcm3

bull

t Les suites ci-contre sont proportionnelshyles les quotients gcml kgdm3

tm3

m3 deacutesignent donc la mecircme uniteacute de masse volumique On leacutenonce gramme par censhy

timegravetre cube kilogramme par deacutecimegravetre cube tonne par megravetre cube La masse volumique de laluminium est aussi bien 27 gcml que 27 kgdm3 ou 27 tm3

bull

VI - 3 Un autre exemple quotient dun volume par une masse

Tout au long de VI - 2 on agraveurait aussi bien diviseacute des volumes par des masses que des masses par des volumes middot

Une pierre de 120 centimegravetres cubes a une masse de 300 grammes

Elle a un volume massique de j~g cm3g soit 04 cm~g Si cette

pierre est homogegravene tout morceau de masse 1 g a un volume de 04 cm3

bull

VI - 4 Quotient de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee Soit B lensemble des grandeurs (autres que la grandeur nulle) de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee On deacutesigne comme de coutume leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave

(1) En cegrave qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III 4 (2) cette preacutecaution eacuteie langage est rerieacuteiue riecirciessaire par les restrictions quon estpaifois obligeacute dapporter agrave la deacutefinition des opeacuterations restrictions quon mentionnera en VIII- 1

50

celles de VI- 21 on appelle cdle-ei quotient de a par b(I) on dit quon a diviseacute a par b et on eacutecrit

c = b

(Il peut se faire que c soit un nombre le quotient de a par b quon peut alors appeler rapport a eacuteteacute lobjet du chapitre V)

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs

deacutefinies par les quotients ~ et ~ sont de mecircme nature)

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme unishyteacutes puis simplifiant les eacutecritures comme en VI - 2 on eacutecrit successiveshyment a= ah b=(Jk ((J nest pas nul puisque b nest pas la granshydeur nulle)

c = = oth = x J_b (Jk (J k

ce qui exprime que la grandeur c a pour mesure a quand on prend7f

~ pour uniteacute

On eacutecrit aussi bien cette miteacute hlk On leacutenonce h park On dit quon a deacutefini une uniteacute deacuteriveacutee2) ou composeacutee agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave choisir un terme de la langue usuelle pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c ou agrave en creacuteer un

Remarque Pourqugraveoi leacutecriture ~ na-t-elle de signification que

si la grandeur b nest pas nulle Quadvient-il si variable et susceptishyble decirctre nulle elle lest effectivement

Prenons deux exemples

1deg) si avec un volume donneacute a de meacutetal on fait un fil dont laire

de la section est b on en obtient une longueur ~ dautant plus

grande que b est plus petite Mais si laire b est nulle on ne peut pas parshyler de longueur puisquil ny a pas de fil

(1) Par convention le quotient de deux grandeurs positives est positif on en deacuteduit que le quotient de deux grandeurs de signes contraires est neacutegatif et que le quotient de deux grandeurs neacutegatives est positif middot

(2) On se gardera de confondre le sens preacutesent de ladjectif deacuteriveacutee avec le sens qua cet adjectif dans fonction deacuteriveacutee dune fonction Sur ce second sens voir Xl - 14

2deg) la masse volumique dune substance homogegravene est ~ ougrave a et

b sont respectivement la masse et le volume dun eacutechantillon que nous allons dire non vide de cette substance Pour un eacutechantillon vide a est la masse nulle b est le volume nul mais on ne saurait parler de sa masse volumique puisquon ne saurait dire de quelle substance il sagit

Dune maniegravere plus matheacutematique la grandeur b neacutetant pas nulle

les eacutegaliteacutes ~ = e et a= be contiennent les mecircmes informations (le

produit be de deux grandeurs sera deacutefini en VII) Si b est nulle le proshyduit be lest aussi quelle que soit e

Dans le premier exemple la grandeur a nest pas nulle et leacutegaliteacute a = be est fausse Dans le second a est nulle et leacutegaliteacute est vraie quelle

que soit e Dans les deux cas leacutecriture ~ qui devrait deacutefinir e na

pas de signification

Le traitement des eacutecritures est formellement le mecircme que si les letshytres deacutesignaient des nombres

VI - 5 Usages du quotient de deux grandeurs

VI- 51 Proportionnaliteacute Le proceacutedeacute de deacutefinition dune granshydeur e comme quotient dune grandeur a par une autre b est particuliegravereshyment bien adapteacute agrave toute situation ougrave comme en VI - 22 a est proshyportionnelle agrave b

Dans la suite deacutegaliteacutes m m mmiddot_=_=~=p Vo Vt Vz

p apparaicirct comme coefficient de proportionnaliteacute de la suite (m0 m1 m2) agrave la suite (v0 v1 v2) Mais ce coefficient est une grandeur et non un nombre alors que les coefficients de proportionnaliteacute rencontreacutes au chapitre V eacutetaient des nombres

Ainsi le mot proportionnel semploie aussi aiseacutement avec des granshydeurs de natures distinctes quavec des grandeurs de mecircme nature et quavec des nombres La phrase y est proportionnel agrave x construite au singulier sinterpregravete ainsi

1deg) x et y sont deux variables deacutependant lune de lautre

2deg) cette deacutependance est expliciteacutee par y = Kx ougrave

bull si les variables x et y sont des nombres K est un nombre consshytant on est en preacutesence de 1 application lineacuteaire x _ Kx middot

bull si les variables x et y sont des grandeurs de mecircme nature ce qui eacutetait lobjet du chapitre V K est encore un nombre constant lapplicashytion x _ Kx est encore dite lineacuteaire

52

bull si les variables x et y sont des grandeurs de natures distinctes K est cette fois-ci une grandeur constante et leacutecriture Kx est celle dun produit de deux grandeurs objet de VII Par exemple pour cles morshyceaux daluminium le volume v eacutetant consideacutereacute comme variable la masse est limage de v par lapplication v (27 gcm3

) x v quon dit encore lineacuteaire middot

VI - 52 En labsence de proportionnaliteacute des moyennes Mecircme en labsence de proportionnaliteacute les quotients de grandeurs

preacutesentent de linteacuterecirct

Si un corps a une masse m et un volume v le quotient m est sa v

masse volumique moyenne le quotient Y est son volume massique m

moyen Leacutepithegravete rrioyen est inutile si le corps est homogegravene

Si un mobile a parcouru une distance a pendant une dureacutee b le

quotient ~ est sa vitesse moyenne leacutepithegravete est inutile si le mouveshy

ment est uniforme

VI- 53 Un quotient tregraves employeacute baz- ba1 relatif agrave une granshyz- 1

deur a fonction dune grandeur b Leacutetude d~un pheacutenomegravene physique comporte bien souvent la

recherche des grandeurs dont deacutepend une grandeur a pour eacutetudier le rocircle de chacune delles on les fixe toutes (autant quil est possible) agrave lexception de lune delles b puis on donnemiddot agrave b diffeacuterentes valeurs b1 bz b3 et on observe les valeurs a1 a2 a3 correspondantes que prend a

Pour fixer les ideacutees choisissons bz plus grand que b1bull La diffeacuterence bz- b1 (deacutefinie comme eacutetant la grandeur quil faut additionner agrave b1 pour obtenir bz) est appeleacutee accroissement que prend la variable b quand elle passe de b1 agrave bi

De trois choses lune

a

~middot+-------------~ az est plus grand que a1 leacutecart az- a1 se preacutesente comme une

augmentation

53

a

a

est plus petit que a1 leacutecartat+------ a2 se preacutesente comme une a1 a2

diminution

1 b0

Dans les trois cas a2 - a1 est appeleacute accroissement de a quand b passe de b1 agrave b2bull Cest en effet loccasion dutiliser les grandeurs neacutegatishyves vues en III- 72 et dadopter le mecircme langage que si a eacutetait foncshytion numeacuterique de b laccroissement a2 - a1 est positif dans le premier cas nul dans le second neacutegatif dans le troisiegraveme

Fixons bto donc aussi a1bull Le quotient ba2 -ab1 permet dappreacutecier 2- 1

la faccedilon dont se modifie a au voisinage de a1 quand b se modifie au voishysinage de bto et cela dautant mieux que lon choisit b2 plus proche de b1 (cest lagrave une ideacutee intuitive agrave laquelle leacutetude des pheacutenomegravenes physiques nous a habitueacutes)

Bien sucircr si a se mesure avec luniteacute h et b avec luniteacute k le quotient

ab2 - ab1 se mesure avec 1 uniteacute hlk quel que soit 1 eacutecart (non nul) entre 2- 1

b2 et bt La pression atmospheacuterique p 1 en un lieu donneacute agrave une date estt1

une information utile en meacuteteacuteorologie mais la faccedilon dont la pression se

modifie appreacutecieacutee par le quotient P2 - Pt ougrave p 2 est la valeur quelle t2- tl

prend agrave la date t2 est une information preacutecieuse ce quotient indique par son signe dans quel sens elle se modifie (elle augmente elle est stashytionnaire elle diminue) et par son module si elle se modifie lentement ou rapidement

La tempeacuterature au sein de leacutecorce terrestre deacutepend de la profonshydeur du point ougrave elle est observeacutee Soient 01 et 02 les tempeacuteratures en deux points dune mecircme verticale situeacutes agrave des distances et duz1 z2

54

_ _

sol quand les geacuteographes disent que le degreacute geacuteothermicircque est de 33 rn

pour les couches superficielles ils veulent dire que le quotient Zz- Z1

0z- 01 est 33 megravetres par kelvin

Le quotient ba2 - ab1 peut avoir une signification simple et recevoir - z- 1

un nom Par exemple sur une route rectiligne une voiture aux dates

et t2 a des vitesses et v2 le quotient Vz- v1 informe sur la t1 v1 tz- tl faccedilon dont se modifie la vitesse il est appeleacute acceacuteleacuteration moyenne entre t1 et t2bull Luniteacute hlk est ici par exemple le megravetre agrave la seconde par

seconde uniteacute quon peut eacutecrire ms et quon eacutecrit aussi ms2 1 bull

s Si une bobine est traverseacutee agrave la date t1 par un flux dinduction 4gt1 et

agrave la date t2 par un flux 4gt 2 (luniteacute leacutegale de flux magneacutetique est le

weber) le quotient - qi2 4gt 1 est la forceeacutelectromotrice moyenne tz tl

dont la bobine est le siegravege entre t1 et t2 luniteacute leacutegale de forceshyeacutelectromotrice est le weber par seconde cest-agrave-dire le volt (Le signe - placeacute devant le trait de fraction reacutesulte des conventions habituelles sur lorientation des champs eacutelectriques et magneacutetiques)

Revenons au quotient ba2 - ab1 relatif agrave une grandeur a fonction z- 1

dune autre b Sil se trouve que a est proportionnelle agrave b cest-agrave-dire que a est fonction lineacuteaire de b alors

a1 a2 a2 -a1 b1 - bz - bz- b1

et le quotient ~- ~ est eacutegal au coefficient de proportionnaliteacute de a agrave

b il est constant

Il est eacutegalement constant dans les cas ougrave la grandeur a sans ecirctre proportionnelle agrave b est telle que les accroissements quelle prend sont proportionnels aux accroissements correspondants de b Exemple lonshygueur dune tige meacutetallique fonction de sa tempeacuterature

Hormis ces cas le quotient ba2 - ab1 nest pas constant z- 1

On trouvera en XI - 14 une suite agrave ces consideacuterations

VI - 6 Quelques exemples de quotients de deux grandeurs

VI- 61 Citons dabord quelques exemples classiques outre ceux quon a deacutejagrave rencontreacutes (masse volumique volume massique vitesse acceacuteleacuteration) shy

55

La concentration dune solution est le quotient de la masse de la substance dissoute par le volume de la solution Elle est comme la masse volumique le quotient dune masse par un volume

Un deacutebit est le quotient dun volume par une dureacutee dans un autre contexte il peut ecirctre le quotient dune masse par une dureacutee Le premier est appeleacute deacutebit-volume le second deacutebit-masse

La pression exerceacutee par une force f agissant uniformeacutement sur une

surface daire a est L a

La puissance moyenne dun moteur qui fournit une eacutenergie E penshy

dant une dureacutee d est ~

La diffeacuterence de potentiel agrave un instant donneacute entre deux points dun circuit parcouru par un courant eacutelectrique continu dintensiteacute I est

~ ougrave P est la puissance libeacutereacutee entre ces deux points

Une vitesse angulaire est le quotient dun angle par une dureacutee On a appeleacute vitesse le quotient dune longueur par une dureacutee une vitesse angulaire nest donc pas une vitesse

Une vitesse areacuteolaire est le quotient dune aire par une dureacutee (elle nest donc pas une vitesse) La seconde loi de Kepler eacutenonce que le moushyvement dune planegravete autour du Soleil se fait agrave vitesse areacuteolaire consshytante

VI - 62 Cette voie ferreacutee est eacutequipeacutee de rails de 60 kgm Cette grandeur est une masse lineacuteique quotient dune masse par une lonshygueur On conccediloit que la masse lineacuteique est une caracteacuteristique imporshytante dun rail Et dune fibre textile lindustrie textile utilise le millishygramme par megravetre quelle appelle tex

VI - 63 Dun manuel de jardinage Arroser agrave raison de 2 fm2 bull

Ce qui est une longueur sur une surface de 1 m2 leau ainsi reacutepartie

aurait un volume de 2 litres donc une eacutepaisseur de ~ soit 1 m2

2 000 cm3 soit 2 mm 10 000 cm2

VI- 64 On parlerait aussi bien dun apport deau de 2 kgm 2

on diviserait une masse par une aire

On utilise un tel quotient dune masse par une aire quand on eacutenonce La production moyenne de ces vergers de noyers est dune tonne par hectare Cette tonne par hectare est 100 gm2

bull

On divise aussi une masse par une aire pour obtenir une masse surshyfacique grandeur utile agrave propos de feuilles de papier de plaques de tocircle de dalles de beacuteton

56

VI - 65 Le pouvoir isolant du freacuteon est tregraves bon 14 000 Vrrim

On sait que la tension (1) U middotneacutecessaire pour provoquer une eacutetinshycelle eacutelectrique agrave travers une couche dun isolant donneacute est au moins approximativement proportionnelle agrave leacutepaisseur e de celle-ci La phrase ci-dessus exprime que pour une couche de freacuteon eacutepaisse de 1 mm elle est 14 000 V

Cette proportionnaliteacute conduit agrave sinteacuteresser au quotient u quie

est une grandeur nouvelle appeleacutee champ eacutelectrique Tant que le champ eacutelectrique ne deacutepasse pas 14 000 Vmm le freacuteon est isolant

VI- 66 La lampe agrave vapeur de sodium est celle qui offre le meilshyleur rapport flux-lumineux 1 puissance consommeacutee de 92 agrave 120 lumens par watt Ce rapport nest que JO agrave 20 lumens par watt pour une lampe agrave incandescence

Phrases claires ougrave est introduit le quotient (improprement appeleacute ici rapport) dun flux lumineux par une puissance Cette nouvelle granshydeur porte le nom defficaciteacute lumineuse

VI- 67 Le pouvoir calorifique de lalcool agrave brucircler est 7 calories par gramme celui du benzegravene est 10 calories par gramme Ou mieux puisque les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec les uniteacutes deacutenergie respectivement 29 et 42 kilojoules pat gramme (2) (Pour joule et kiloshyjoule voir VII - 1)

Les kilojoules par gramme se lisent aussi sous la mention valeur eacutenergeacutetique sur les emballages des produits alimentaires (des pays ougrave les consommateurs ont pour souci de ne pas trop grossir) Yaourt X 23 kJg confiture Y 12 kJg

A propos de protection contre les radiations on utilise le joule par kilogramme quon appelle sievert et le rem 1 rem = 001 sievert

(l) Tension est synonyme de diffeacuterence de potentiel

(2) La calorie dont uuml est question ici est la millithermie cest la quantiteacute de chaleur (leacutenergie) quil faut fournir agrave 1 kilogramme deau pour eacutelever sa tempeacuterature dun degreacute (plus preacuteciseacutement pour la porter de 145degC agrave 155degC) On lappelle parfois calorieshykilogramme

La microthermie en est le 11 000 on lappelle parfois calorie-gramme Elles eacutetaient parfois appeleacutees assez curieusement grande calorie et petite calorie resshy

pectivement Elles sont souvent ce qui est plus gecircnant appeleacutees lune et lautre calorie il en reacutesulte des confusions lors de la lecture de certains textes mais aussi chez les auteurs de ceux-ci

Depuis 1978 ces uniteacutes ont cesseacute decirctre leacutegales les quantiteacutes de chaleur se mesurent avec la mecircme uniteacute que leacutenergie le joule (voir VII - 1) la microthermie est eacutegale agrave 4185 joules et la thermie agrave 4185 kilojoules

Le kilowattheure (voir VIII - 82) eacutetant 3 600 kilojoules la thermie est agrave peu pregraves 116 kilowattheure

57

Ces grandeurs quotients dune eacutenergie par une masse sont des eacutenergies massiques

VI- 68 Le pouvoir calorifique de ce sous-produit gazeux est inteacuteressant 9 000 kJimm Le pouvoir calorifique est ici le quotient dune eacutenergie par un volume il est une eacutenergie volumique La pression et la tempeacuterature du gaz sont supposeacutees constantes et donneacutees

VI - 69 Cette voiture consomme JO litres aux 100 Chacun connaicirct ce langage raccourci de 10 litres dessence pour 100 kilomegravetres de parcours On dirait aussi bien 01 flkm Le litre par kilomegravetre pour un carburant donneacute est une uniteacute dune grandeur souvent appeleacutee consommation

VI - 610 La nervositeacute dune voiture est le quotient de la puisshysance de son moteur par la masse de la voiture cest une puissance masshysique Elle est parfois appeleacutee improprement puissance agrave la tonne

VI- 611 Le kilogramme par heure peut servir agrave mesurer par exemple la capaciteacute de production de cuivre dans une cuve agrave eacutelectrolyse

La production dacide sulfurique dune usine de moyenne imporshytance est 500 tonnes par jour

La pollution atmospheacuterique par le plomb si on construit cette usine daccumulateurs sera de 43 kilogrammes par jour

On reconnaicirct ici la grandeur appeleacutee deacutebit-masse en VI- 61

VI - 612 Limportance du reacuteseau routier du reacuteseau ferreacute dun pays se mesure en kmlkm2

bull

VI- 613 On peut citer ici les grandeurs concernant les eacutechanges commerciaux Si le prix est une grandeur le prix surfacique en est une autre les phrases que voici nont pas la mecircme signification

Ce terrain coucircte 1 000 F Ce terrain coucircte 1 000 Flm 2

Les uniteacutes suivantes permettent agrave elles seules dimaginer ce qui fait lobjet de leacutechange

Flkg Fig Fit Flf Flm Flkm Flha Flm3 Flh FlkWh etc

Et aussi FIF uniteacute inutile qui aurait sa place au chapitre V La taxe locale est 015 franc par franc On a longtemps dit 15 centimes le franc On eacutecrit quelle est 15

58

VII - PRODUITS DE GRANDEURS

La division dans un ensemble numeacuterique est proche parente de la multiplication En est-il de mecircme pour les divisions preacutesenteacutees en VI Autrement dit peut-on deacutefinir une grandeur comme produit de deux autres

La reacuteponse est a priori affirmative si on avait envisageacute dabord les grandeurs vitesse et dureacutee plutocirct que les grandeurs longueur et dureacutee on aurait sans doute deacutefini une grandeur nouvelle la longueur comme produit dune vitesse et dune dureacutee

Cest dailleurs exactement lattitude que lon a dans Leacutetoile la plus proche de nous Soleil excepteacute est situeacutee agrave 42 anneacutees de lumiegravere lanneacutee de lumiegravere est une longueur cest le produit dune vitesse celle de la lumiegravere (300 000 kms) par une dureacutee lanneacutee Lanneacutee de lumiegravere est agrave peu pregraves 910 12 km

Si un ami deacutedare Jhabite agrave dix minutes dici il agit de mecircme sous-entendant la vitesse agrave employer celle dun pieacuteton par exemple

VU - 1 Un exemple travail dune force

Le poids de lhorloge celui quon remonte chaque semaine est une piegravece de fonte de 5 kilogrammes Il exerce sur les rouages une force de 49 newtons (1) Quand cette piegravece de fonte descend de 2 megravetres cette force fournit aux rouages une certaine eacutenergie

La piegravece de fonte de lhorloge du beffroi dune part exerce une force plus grande parce quelle a une plus grande masse dautre part descend dune plus grande hauteur Pour ces deux raisons elle fournit une plus grande eacutenergie

Si leffet dune force est un deacuteplacement du corps sur lequel elle sexerce on dit quelle travaille cest-agrave-dire quelle fournit de leacutenergie

Cette eacuten~rgie est fonction de deux grandeurs de la force elle-mecircme et de la longueur du deacuteplacement Si le deacuteplacement est de mecircme direcshytion et de mecircme sens que la force on deacutecide que leacutenergie est

Proprieacuteteacute A) proportionnelle agrave la force cest-agrave-dire fonction lineacuteaire de la force ce qui signifie (voir VI - 1) que si agrave longueur consshytante de deacuteplacement on multiplie la force par un nombre alors leacutenershygie est elle aussi multiplieacutee par ce nombre middot

(1) Luniteacute leacutegale de force est le newton que le lecteur se repreacutesentera facilement sil retient que le poids dun corps de masse 1 kilogramme (cest-agrave-dire la force quexerce la pesanteur sur ce corps) est 981 newtons agrave peu pregraves 1 deacutecanewton (daN)

59

Proprieacuteteacute B) proportionnelle agrave la longueur du deacuteplacement cestshyagrave-dire fonction lineacuteaire de la longueur ce qui signifie que si agrave force constante on multiplie la longueur par un nombre alors leacutenergie est eacutegalement multiplieacutee par ce nombre

On est en preacutesence dune opeacuteration qui agrave tout couple constitueacutemiddot dune force et dune longueur associe une eacutenergie Notons 18] cette opeacuteration Leacutenergie e associeacutee au couple (ji) est middot

e=J[8li Choisissons une force Jo et une longueur f0 non ~mlles (elles sershy

viront duniteacutes) Au couple (j0 fa) est associeacutee leacutenergie e0

eo =Jo 18] io La connaissance de J et Jo entraicircne celle de la mesure œ de J

quand on prend Jo pour uniteacute J = œJo

La connaissance de i et fa entraicircne celle de la mesure (3 de i quand on prend fa pour uniteacute

i = 3fo

On peut alors dresser le tableau suivant

force longueur eacutenergie

(1) Jo io eo

(2) J io œe0

(3) Jo i f3eo

(4) J i (œ(3)eo

On passe de la ligne (1) agrave la ligne (2) par utilisation de la proprieacuteteacute A On passe de la ligne (1) agrave la ligne (3) par utilisation de la proprieacuteteacute B On obtient la ligne (4)

bull ou bien en partant de (2) et en utilisant la proprieacuteteacute B e = (3(œe0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-associativiteacute deacutecrite en III- 63

e = (œ(3) eo bull ou bien en partant de (3) et en utilisant la proprieacuteteacute A

e = œ((3e0) ce qui donne gracircce agrave la pseudo-asociativiteacute e = (œ(3) eo

Ainsi e qui est J 18] i seacutecrit de deux faccedilons e = (œJo) l8l (f3fo) e = (œ(3)eo

60

ce qui permet de consideacuterer leuombre a3 comme la mesure de e quand on prend e0 cest-agrave-dire fo [81 f0 pour uniteacute

Si par exemple fo est le newton et f0 le megravetre (abreacuteviations N et rn) leacutenergie E fournie par la descente de la masse de fonte de notre horshyloge seacutecrit de deux faccedilons

soit E = (49 N) [81 (2 rn) soit E = ( 49 x 2)(N [81 rn)

Oublions les significations que nous avons donneacutees aux1eacutecrituresf

R f 0 R0 Net rn et supposons quelles deacutesignent des nombres oublions aussi la signification donneacutee au signe [81 et supposons quil soit celui de la multiplication dans lensemble des nombres positifs Alors les eacutecrishytures (af0) Qlt1 (3fo) et a3(f0 [81 fo) deacutesigneraient le mecircme nombre

Se fondant sur cette analogie on convient de dire que lopeacuteration [81 est une multiplication et que 1eacutenergie e est deacutefinie comme le produit

de la force f par la longueur f Et on convient de remplacer leacutecriture f [81 R par jxf ou fR ou fR

Ces conventions sont justifieacutees comme celles de III - 7 et VI - 21 par la cqmmoditeacute des calculs et du langage elles sont sans inconveacutenient matheacutematique

On eacutecrit donc e = afo X f3Ro = af3fofo E = 49 N x 2 rn = 98 N x rn = 98 Nm

En reacutesumeacute Une force f qui provoque un deacuteplacement de longueur Rdans sa propre direction et son propre sens fournit une eacutenergie e donshyneacutee par e = fR

On dit quon a multiplieacute une force par une longueur

Si f a pour mesure ci quand on prend fo pour uniteacute et si Ra pour mesure 3 quand on prend f0 pour uniteacute e a pour mesure a3 si on prend fo f0 pour uniteacute deacutenergie

Par exemple fo et f0 eacutetant respectivement le newton et le megravetre on creacutee agrave partir deux une uniteacute deacutenergie le newton x megravetre Cest leacutenershygie que fournit une force dun newton qui provoque un deacuteplacement dun megravetre la force et le deacuteplacement ayant mecircme direction et mecircme sens On leacutecrit Nxm ou Nm ou Nm (mais non pas mN voir VIII- 21)

On le lit newton-megravetre et surtout pas newton par megravetre qui serait le quotient dunemiddotforce par une longueur

Le newton x megravetre ou newton-megravetre porte un autre nom joule (abreacuteviation J) Cest une uniteacute deacutenergie quil est facile de se repreacutesenshyter eacutelevez dun megravetre un objet dun hectogramme (son poids est agrave peu pregraves 1 newton) vous lui aurez fourni une eacutenergie dun joule (sur la

61

Terre sur la Lune vous lui en auriez fourni le sixiegraveme environ) Lobjet restituera cette eacutenergie sil redescend et sarrecircte apregraves 1 megravetre de deacutenivellation middot

Un retour aux quotients de VI nous permet une parenthegravese la puissance dun moteur eacutetant deacutefinie comme quotient de leacutenergie quil fournit par le tempsmiddot quil lui faut pour la fournir la puissance du moteur de notre horloge est 98 Jsemaine soit

98 joules(7 x 24 x 3 600) secondes soit 000016 jougraveleseconde Ce joule par seconde est le watt Notre horloge est actionneacutee par un moteur de 016 milliwatt La descente dun second poids actionne le marteau de la sonnerie

VIl - 2 Aire dun rectangle

Soient a et bles longueurs des cocircteacutes dun rectangle et A son aire Si laissant lune de ces deux longueurs fixe on double ou triple lautre laire est doubleacutee ou tripleacutee Laire dun rectangle est proportionnelle agrave chacune demiddot ses dimensions

La deacutemarche suivie est la mecircme quen VII- 1 on rattache (sans que cela soit neacutecessaire voir VIII - 62) laire A au produit a x b et lon eacutecrit A= ab

Les calculs se conduisent de la mecircme faccedilon avec cette seule partishyculariteacute que les deux grandeurs dont on fait le produit sont de mecircme nature

Soit f0 une uniteacute de longueur et a et 3 les mesures respectives de a et b avec cette uniteacute

A = (af0) X (3f0) = (a3)(f0 X f0)

Par exemple si f0 est le centimegravetre (abreacuteviation cm) laire dun rectangle dont les cocircteacutes ont pour longueurs 3 cm et 5 cm est 3 cm x 5 cm Pour transformer cette eacutecriture on creacutee une uniteacute daire quon eacutecrit cm x cm et mecircme cm2

bull Ainsi naicirct le centimegravetre carreacute et naissent de la mecircme faccedilon le megravetre carreacute le pouce carreacute le pied carreacute

Le centimegravetre eacutetant 001 rn le centimegravetre carreacute aire dun rectangle dont les cocircteacutes mesurent 1 cm (rectangle carreacute donc) peut seacutecrire 001 rn x 001 rn soit toujours par la mecircme meacutethode de calcul 00001 m2

bull

Dans ce qui preacutecegravede a et b sont mesureacutes avec la mecircme uniteacute mais rien nempecircche de mesurer par exemple a en kilomegravetres et ben megravetres une route de 3 km dont lemprise est large de 8 rn occupe 3 km x 8 rn de terrain soit 24 kmm Cette uniteacute daire le kilomegravetre-megravetre ou aussibienlemegravetre-kilomegravetreseacutecrit 1 mx1 ooomiddotm ou 1 OOOmxm soit 1 000 m 2

bull

62

VII - 3 Produit de deux grandeurs

Soit A lensemble des grandeurs de mecircme nature quune grandeur donneacutee et B lensemble des grandeurs de mecircme nature quune autre grandeur donneacutee ensemble eacuteventuellement eacutegal agrave A On deacutesigne selon lusage leur produit carteacutesien (1) par A x B

Si au moins dans une partie de A x B (2) on peut associer agrave tout couple (ab) une grandeur c satisfaisant agrave des conditions analogues agrave celles de VII 1 on appelle celle-ci produit de a et b (3) on eacutecrit c=axb ou c=bxa on eacutecrit aussi c=ab c=ba on dit quon a multiplieacute a par b ou b par a

On deacutefinit ainsi une opeacuteration fonction de A x B vers lensemble C des grandeurs de mecircme nature que c (On deacuteclare en effet que lorsque a et a sont de mecircme nature et b et b eacutegalement les grandeurs deacutefinies par les produits a x b et a x b sont de mecircme nature) middot

Si la grandeur a ou la grandeur b est nulle la grandeur c 1est aussi

On choisit un eacuteleacutement h de A et un eacuteleacutement k de B comme uniteacutes puis usant largement de simplifications deacutecritures comme en VII -1 on eacutecrit successivement

a = ah b = (3k c =ab= (ah) x ((3k) = (ot3)(h x k)

ce qui exprime que la grandeur ca pour mesure ot3 quand on prend h x k pour uniteacute

On eacutenonce cette uniteacute en citant lun apregraves lautre les noms des deux uniteacutes h et k (ouk eth) on leacutecrit h x k ou hk ou hk On dit lagrave encore quon deacutefinit une uniteacute deacuteriveacutee (on dit aussi composeacutee) agrave partir de h et k

Il reste si on le juge utile agrave adopter un vocable pour deacutesigner les grandeurs de mecircme nature que c en le prenant dans la langue usuelle si elle en contient un qui convienne ou en le creacuteant

VU - 4 Exemples de produits de deux grandeurs

On a preacutesenteacute ci-dessus eacutenergie fournie par une force qui travaille et aire dun rectangle

La quantiteacute de mouvement agrave un instant donneacute dun corps de masse m et de vitesse v est le produit mv middot

La force qui agrave un instant donneacute communique agrave une masse m une acceacuteleacuteration Y (VI - 53) est mY

(1) En ce qui concerne le produit carteacutesien de deux ensembles voir la note de III - 4 (2) Mecircme remarque quen la note (2) de VI- 4 (p 50) (3) Convention analogue quant au signe de c agrave celle de VI 4

63

En meacutecanique on deacutefinit une action comme produit dune eacutenershygie et dune dureacutee (cf principe de Maupertuis dit de moindre action) On se gardera de confondre ce produit et le quotient dune eacutenergie par une dureacutee qui est une puissance

-+ Etant donneacutee une force f agissant sur un solide mobile autour

dune droite 6 orthogonale agrave sa direction on appelle moment de cette force par rapport agrave cette droite le produitjx OP ougrave OP est la longueur

-+ -+ qui seacutepare 6 du support de f (Sur les notations f etj voir III- 92)

tl-1-------J110

La quantiteacute deacutelectriciteacute qui franchit pendant une dureacutee d un point dun circuit eacutelectrique parcouru par un courant continu dintensiteacute 1 est Id

5 millimegravetres de pluie sur un champ dun hectare cest 50 megravetres cubes deau un volume a eacuteteacute obtenu ici comme produit dune longueur par une aire

Ce chantier de construction dune autoroute a neacutecessiteacute un deacuteplashycement de terres de 40 millions de megravetres-cubes x hectomegravetres Ce quon transformerait en 4 milliards de m3 x rn uniteacute quon eacutecrirait presque m4 bull Par souci de clarteacute on laisse transparaicirctre les grandeurs dont on fait le produit un volume et une longueur

m3Ces 40 millions de x hm sont 40 hm3 x hm ou bien 40 hm3 x 100 rn ou 4 000 hm3 x rn ou 4 km 3 x rn une montashygne de 4 km3 quon aurait deacuteplaceacutee dun megravetre

On mesure aussi un deacuteplacement de terres agrave laide de la tonneshyhectomegravetre ou de la tonne-kilomegravetre produit dune masse par une lonshygueur Un transport de marchandises un trafic ferroviaire sexpriment en tonnes-kilomegravetres

La loi de Mariotte seacutenonce ainsi la pression p et le volume v dune masse donneacutee dun gaz (dun gaz parfait preacutecisent les physiciens) maintenu agrave tempeacuterature fixe sont tels que le produit pv est constant middot

On mesure celui-ci par exemple agrave laide du bar x centimegravetre cube ou mieux en utilisant les uniteacutes leacutegales de pression et de volume agrave laide du pascal x megravetre cube On verra en X- 52 pourquoi on le mesure aussi en joules (le joule est luniteacute leacutegale deacutenergie)

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VID - ALGEgraveBRE DES GRANDEURS

Les chapitres preacuteceacutedents ont mis en lumiegravere une analogie certaine entre les opeacuterations sur les grandeurs et les opeacuterations sur les reacuteels Essayons de la preacuteciser

VIII - 1 Addition des grandenrs et mnltiplication externe

Les proprieacuteteacutes de ces deux opeacuterations incitent agrave organiser en vectoshyriel sur R(l) lensemble des grande1mi de mecircme nature quune grandeur non nulle a donneacutee comme chacune de ces grandeurs peut seacutecrire Agravea ougrave Agrave est un reacuteel ce vectoriel est de dimension 1 (un vectoriel de dimenshysion 1 est souvent appeleacute droite vectorielle)

On se heurte ici agrave une difficulteacute pour certaines grandeurs ces opeacuteshyrations ne sont pas partout deacutefinies autrement dit ce ne sont pas des lois de composition Ainsi on ne peut parler de la somme des angles de secshyteurs 150deg et 240deg car 150 + 240 gt 360 de mecircme si 33 deg est un angle de secteur leacutecriture 33deg x 125 nen deacutesigne pas un Des remarques analogues sappliquent aux angles de paires de demi-droites ou de droishytes ainsi quaux angles solides (mais pas aux angles qui interviennent dans les mouvements de rotation)

Une difficulteacute du mecircme genre se preacutesente quand on cherche agrave orgashyniser en vectoriel sur R lensemble des grandeurs de toutes natures en effet laddition nest pas une loi de composition elle ne peut ecirctre deacutefishynie que par morceaux addition des longueurs addition des masses addition des eacutenergies etc (2)

En reacutesumeacute on peut dire que les grandeurs entrent dans un modegravele matheacutematique de vectoriel sur Rpourvu quon garde preacutesent agrave lesprit le fait que ce modegravele doit ecirctre restreint aux seules opeacuterations qui ont une signification physique

(1) On dit quun ensemble E est structureacute en vectoriel sur R (ou en R-vectoriel ou en espace vectoriel sur R) lorsque lon a deacutefini dansE 1deg) une addition associative commutative pourvue dun eacuteleacutement neutre et telle que tout eacuteleacutement de E ait un opposeacute 2deg) une multiplication externe qui agrave tout reacuteel Agrave et agrave tout eacuteleacutement x de E associe un eacuteleacuteshyment de E noteacute AgraveX

ces deux lois eacutetant telles que quels que soient les reacuteels Agrave et p et les eacuteleacutements u et v de E (Agrave+p)u = AgraveU+pu Agrave(u+v) = AgraveU+Agravev Agrave(pV) = (Agravep)v lu = u

(2) Tout au plus peut-on espeacuterer que certaines de ces additions partielles deviennent avec les progregraves de la science reacuteductibles les unes aux autres il neacutetait pas eacutevident au XVIIIbull siegravecle quon pourrait un jour additionner des quantiteacutes de chaleur et des eacutenergies cineacutetiques

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