notas de aula do prof alzir de teoria dos nÚmeros. para os alunos das fic que estÃo cursando...

8/14/2019 Notas de Aula Do Prof Alzir de Teoria Dos nmeros. Para Os Alunos Das Fic Que Esto Cursando Teoria Dos nmer

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FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES

NOTAS DE AULAS

T E O R I A D O S N M E R O S

PROF. ALZIR FOURNY MARINHOS


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BASE NUMRICA

O nosso sistema de numerao de base dez.

Cada dez unidades temos uma dezena.Cada dez dezenas temos uma centena.Cada dez centenas temos uma milhar.

Uma quantidade pode ser representada por um numeral na base dez, mas pode ser,tambm, representada em outra base numrica.

COMO ESCREVER, UM NUMERAL NA BASE DECIMAL, NUMA BASEDIFERENTE DA DECIMAL?

a) Escrever 15 na base 2. (Explicao do Professor)

b) Escrever 35 na base 3. (Explicao do Professor)

c) Escrever 145 na base 11. (Explicao do Professor)

d) Escrever 67523 na base 12. (Explicao do Professor)


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COMO PASSAR UM NUMERAL PARA BASE DECIMAL, SENDO DADO NUMAOUTRA BASE NUMRICA?Passar para nosso sistema de numerao decimal.

a) ( 11021) 3 (Explicao do Professor).

b) (234)5 (Explicao do Professor).

EXERCCIOS

1) Escreva o nmero 182 respectivamente nas bases 2, 8 e 12.R: ( 10110110)2; (266)8; (132)12

2) Escrever 2154 na base 12. R: ( 12b6) 123) Passe para o nosso sistema de numerao:

a) (10121) 3b) (10ab) 12 onde a representa 10 e b representa 11.

R: a) 97 b) 1859

4) Efetue:a) (1034)5 + (243) 5 R: ( 1332) 5

b) ( 54302) 6 ( 2134) 6 R: ( 52124)6

5) Determine b em cada um dos casos:a) ( 104) b= 8285 R: b = 91

b) 12551 = ( 30407) b R: b = 86) Determinar o valor de x sabendo-se que ( xxxx )3 = 80 R: x = 2

7) O cubo de ( 12 ) b ( 1750 ) b. Qual a base de numerao? R: 8

8) Prove que:a) em todo sistema de numerao de base b>2 o nmero ( 121 ) b um

quadrado perfeito.b) em todo sistema de numerao de base b>3 o nmero ( 1331) b um

cubo perfeito.

NMEROS NATURAIS


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COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE NMEROS NATURAIS DE A ATB.Os nmeros Naturais : { 1, 2, 3, 4, 5, ... }A quantidade de nmeros de a at b (isto inclui a e b) (b a) + 1.

Fazer um modelo:Qual a quantidade de nmeros naturais de 7 a 16?(16 7) + 1= 10Veja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16Quando tiramos 7 nmeros de 16 nmeros (16 - 7) estamos tirando tambm o nmero7. Da devemos somar o 7, isto mais um nmero. Por isso (16 -7) + 1.

Qual a quantidade de nmeros naturais de 35 a 148? (Explicao do Professor)

Qual a quantidade de nmeros naturais entre 35 e 148 (excluindo 35 e 48)?(Explicao do Professor)

QUANTOS NMEROS, COM X ALGARISMOS, PODEMOS FORMAR COM OSALGARISMOS INDO-ARBICOS?

Neste caso devemos usar o princpio fundamental da contagem.Se um evento composto por duas possibilidades sucessivas e independentes de talmaneira que o nmero de possibilidades na primeira etapa m e o nmero de

possibilidades na segunda etapa n, ento o nmero total de possibilidades de o eventoocorrer dado pelo produto m.n.

1) Quantos nmeros de quatro algarismos podem ser formados no Sistema Decimal?

(Explicao do Professor)

2) Quantos nmeros de quatro algarismos distintos podem ser formados no SistemaDecimal? (Explicao do Professor)


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NMEROS DE ALGARISMOS NECESSRIOS PARA ESCREVER OS NMEROSNATURAIS ENTRE DOIS NMEROS DADOS.Devemos verificar a quantidade de nmeros existentes entre os nmeros dados eobservarmos que de 1 a 9 so nmeros escritos com 1 algarismo; de 10 a 99 sonmeros escritos com 2 algarismos; de 100 a 999 so nmeros escritos com 3

algarismos.

Calcular o nmero de algarismos necessrios para escrever os nmeros naturais de 328,inclusive, at 1959, inclusive? (Explicao do Professor)

QUANTIDADE DE NMEROS ESCRITOS QUANDO SE D O NMERO DEALGARISMOS EMPREGADOS.Ao escrevermos de 1 at o nmero x e igualando ao nmero de algarismos empregados

podemos determinar esse x. Esse x a quantidade de nmeros escritos.

Quantos nmeros naturais foram escritos a partir de um, se empregarmos 21729algarismos na sua escrita? (Explicao do Professor)

COMO DETERMINAR O NMERO DE VEZES QUE UM ALGARISMOAPARECE NUMA SUCESSO DE NMEROS NATURAIS DE 1 AT 10n.

Justificativa da regra:

Vamos ver o algarismo 3.Nas unidades:03; 13; 23; 33; 43; 53; ... Em cada dezena aparece 1 vez.10 n/10 d o nmero de dezenas.

Como em cada dezena aparece uma vez temos 1 x 10n

/10 que resulta 10n-1

.Em cada unidade aparece 10 n 1.


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Nas dezenas:030; 031;032;033;034;035;036;037;038;039;130;131,132;133;134;135;136;137;138;139;230;231;232;233;234;235;236;237;238;239;Em cada centena aparece 10 vezes.

10n

/ 100 d o nmero de centenas.Como em cada centena aparece 10 vezes temos 10 x 10 n / 100 que resulta 10 n 1.Em cada dezena aparece 10 n 1.

Nas centenas:0300;0301;0302;0303;0304;0305;0306;0307;0308;0309.................0399;1300;1301;1302;1303;1304;1305;1306;1307;1308;1309.................1399;2300;2301;2302;2303;2304;2305;2306;2307;2308;2309.................2399;Em cada milhar aparece 100 vezes.10 n/ 1000 d o nmero de milhares.Como em cada milhar aparece 100 vezes temos 100 x 10 n/ 1000 que resulta 10 n 1.Em cada milhar aparece 10 n 1 vezes.

Podemos concluir que em cada ordem aparece 10 n 1 vezes.

Determinar o nmero de vezes que o algarismo 4 aparece na sucesso dos nmerosnaturais de 1 at 10 000? (Explicao do Professor)

COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE UM FATOR PRIMO ESCRITO NUMPRODUTO 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ....... x n.

Justificativa da regra:

Por exemplo, fator 5 no produto 1 x 2 x 3 x 4 x5 x . . . x 100.1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 5 x 2 x ... x 5 x 3 ... x 5 x 4 x ........ x 5 x 20.5 x 1 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 4 x . . . x 5 x 20 = 5 20 x ( 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 20 ) =

5

20

(5 x 1 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 4) = 5

20

x 5

4

x ( 1 x 2 x 3 x 4)= 5

24

x 1 x 2 x 3 x 4.Logo temos 24 fatores 5.Veja que ao dividirmos 100 por 5 encontramos 20. ( 20 fatores).Ao dividirmos 20 por 5 encontramos 4 ( 4 fatores) ; Como 4 menor que 5 paramos.Da 24 fatores.


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17) Determinar o nmero de vezes que o algarismo 7 aparece na sucesso dos nmerosnaturais de 1 at 5966 ? R:1786 vezes18) Escreveram-se os nmeros de 1 a 537. Quantas vezes aparece o algarismo 8?R: 10319) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o nmero

de vezes que o fator primo 7 aparece? R: 1620) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o nmerode vezes que o fator primo 2 aparece? R: 9721) Com quantos zeros termina o nmero 100x99x98x . . . x 3x2x1? R: 2422) Com quantos zeros termina o nmero 1000x999x998x997x . . . x3x2x1? R: 24923) Qual o nmero de algarismos necessrios para registrar a operao 2 101 x 5 97.

R: 9924) Determinar o algarismo que ocupa o 1276 lugar na seqncia 123456789101112....

R : 6

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

O estudo dos critrios de divisibilidade ensinado, inicialmente, na quinta sriedo Ensino Fundamental.

Os critrios so realizados de forma mecnica e os alunos podem ser capazes desaber se um nmero divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Conhecendo os critrios de divisibilidade podemos facilitar vrios procedimentos matemticos. Ao escrever uma frao na forma irredutvel, podemossaber, de forma imediata, se o numerador e o denominador so divisveis por ummesmo nmero.

Ocorre que na quinta srie deixamos de apresentar as justificativas dos critriosde divisibilidade, talvez, por acharmos que os alunos no tenham a maturidade paraentender. Mas, para ns, Professores, preciso conhecermos estas justificativas eestarmos preparados para informar aos nossos alunos, quando solicitado.

1- CRITRIO DE DIVISIBILIDADE POR 2

Um nmero ao ser dividido por 2 deixa resto zero ou 1.No desenvolvimento do algoritmo da diviso de um nmero dado por 2, quando

estivermos no ltimo algarismo deste nmero teremos um nmero que ser formado porzero ou um (resto da diviso anterior) e o ltimo algarismo do nmero dado (que podeser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este nmero, de dois algarismos, vai ser dividido por 2,fazendo-se a ltima operao do algoritmo. Se for par, o resto desta ltima operao zero, indicando que o nmero dado dividido por dois deixa resto zero, isto , divisvel

por dois. Se for impar, o resto desta ltima operao um, indicando que o nmerodado dividido por dois deixa resto um, isto , no divisvel por dois.

CRITRIO: Um nmero divisvel por dois quando par.


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2- CRITRIO DE DIVISIBILIDADE POR 3CRITRIO DE DIVISIBILIDADE POR 9

Seja o nmero na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( a diferente de zero).

Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d = a(999+1) + b(99 +1) + c(9+1) + d = 999a + a + 99b + b +9c + c + d = 999a + 99b + 9c + a + b + c+ d.Para que abcd seja divisvel por 3 devemos ter 999a + 99b + 9c + a + b + c + ddivisvel por 3.Da:

33

999999

3

dcba9c99b999a dcbacba ++++

++=

++++++

Veja que3

999999 cba ++ divisvel por 3.

Ento a + b + c + d deve ser divisvel por 3.

Para se divisvel por 9 devemos ter

99

999999

9

dcba9c99b999a dcbacba ++++

++=

++++++

Veja que9

999999 cba ++ divisvel por 9.

Ento a + b + c + d deve ser divisvel por 9.

CRITRIO: Um nmero divisvel por trs se a soma de seus algarismos fordivisvel por trs.

Um nmero divisvel por nove se a soma de seus algarismos for divisvel por

nove.3- CRITRIO DE DIVISIBILIDADE POR 4 e 25

Seja o nmero na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( a diferente de zero).Veja que 100 divisvel por 4.Ento:100 x 10 divisvel por 4, pois 100 divisvel por 4.100 x 100 divisvel por 4, pois 100 divisvel por 4.100 x 1000 divisvel por 4, pois 100 divisvel por 4.

100 x 10n

divisvel por 4 (n nmero natural), pois 100 divisvel por 4.Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d.Para ser divisvel por 4 devemos ter

4

10

4

1001000

4

d10c100b1000a dcba ++

+=

+++

Como 1000a + 100b divisvel por quatro devemos ter 10c + d tambm divisvelpor quatro.Veja que 10c + d representa o nmero cd.Este nmero cd representa o nmero formado pelos dois ltimos algarismos donmero abcd. O nmero cd tem que ser divisvel por quatro.


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Este critrio vlido para nmeros com classes maiores que a milhar pois toda potncia 100 n, com n natural, divisvel por quatro, gerando nesta demonstrao,apenas a verificao da divisibilidade do nmero formado pela dezena e unidade.

Este procedimento o mesmo para verificao da divisibilidade por 25. ( Vejaque 100 divisvel por 25, levando ao mesmo procedimento de justificao).

Veja que ao termos um nmero ab00, c=0 e d=0, teremos cx10+d=0x10+0=0.Da resta ax1000+bx100 que divisvel por 4. Logo, nmeros que terminam com doiszeros so divisveis por quatro.

CRITRIO: Um nmero divisvel por quatro ou vinte e cinco se o nmeroformado pelos algarismos da dezena e unidade for divisvel por quatro ou vinte e cinco(isso inclui os nmeros que terminam em 00).


Um nmero ao ser dividido por 5 deixa resto 0, 1, 2, 3 ou 4.

Veja que 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 . . ., nmeros mltiplos de 5, so divisveispor 5. Estes nmeros terminam em 0 ou 5.

No desenvolvimento do algoritmo da diviso de um nmero dado por 5, quandoestivermos no ltimo algarismo deste nmero dado teremos um nmero que serformado por 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 (resto da diviso anterior) e o ltimo algarismo donmero dado (que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este nmero, de doisalgarismos, vai ser dividido por 5, fazendo-se a ltima operao do algoritmo. Se estenmero terminar em 0 ou 5, o resto desta ltima operao zero, indicando que onmero dado dividido por cinco deixa resto zero, isto , divisvel por cinco. Se for umnmero que no termina em 0 ou 5, o resto desta ltima operao no zero, indicandoque o nmero dado dividido por cinco deixa resto, isto , no divisvel por cinco.

CRITRIO: Um nmero divisvel por cinco quando termina em zero ou cinco.


Veja a seqncia de nmeros mltiplos de 6:0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...Veja que os mltiplos de 6 so sempre pares.6 = (2x3)xk=2x(3k).Veja que os mltiplos de 6 so divisveis por 3.

6 = (2x3)xk=3x(2k).CRITRIO: Um nmero divisvel por 6 se for divisvel por 2 e 3.


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Seja N = 100c + 10 d + uN = ( 98c + 2c) + ( 7d + 3d) + u

98c e 7d so mltiplos de 7, logo 98c + 7d mltiplo de 7.N =

7

32

7

)798 udcdc +++

+

N divisvel por 7 se 2c + 3d + u for divisvel por 7.

Agora veja:10 0 = 1 = 0 x 7 = m7 +1 (mltiplo de 7 mais 1).101 = 10 = 7 + 3 = m7 + 3 ( mltiplo de 7 mais 3).102 = 100 = 98 + 2 = m7 + 2.103 = 1000 = 1001 1 = m7 1.104 = 10000 = 1 0003 3 = m7 - 3.

105 = 1 00000 = 100002 2 = m7 2.106 = 1000000 = 999999 + 1= m7 + 1.107= 106 x 10 = ( m7 + 1) x ( (m7 + 1) = m7xm7+3m7+m7+3 = m7 +3.108 = 106 x 102 = (m7 + 1 ) x ( m7 + 2)= m7 + 2.109 = 106 x 10 3 = ( m7 + 1 ) ( m7 1 ) = m7 1.10 10 = 106x 104 = (m7 +1)x( m7 3 ) = m7 3.1011 = 106x 105 = ( m7 + 1) x ( m7 2) = m7 2.

Vamos escrever abcdef como

a 105 + b 104 + c 103 + d 102 + e d + f = a ( m7 2 ) + b ( m7 3) + c ( m7 1 ) +d ( m7 + 2) + e ( m7 + 3) + f ( m7 + 1 ) = a m7 + b m7 + c m7 + d m7 + e m7 + f m7+ 2d +3e + f 2a 3b c.Veja que a m7 + b m7 + c m7 + d m7 + e m7 + f m7 divisvel por 7.Para que abcdef seja divisvel por 7 necessrio que + 2d +3c + +f 2a 3d cseja divisvel por 7.def uma classe impar.abc uma classe par.

CRITRIO: Um nmero divisvel por 7 se a soma do dobro da centena e triplo dadezena e da unidade das classes mpares subtrda da soma do dobro da centena e

triplo da dezena e da unidade das classes pares for divisvel por 7.7- CRITRIO DE DIVISIBILIDADE POR 8

Seja o nmero na milhar abcde, onde a, b, c, d, e podem ser os algarismos 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( a diferente de zero).Veja que 1000 divisvel por 8.Ento:1000 x 10 divisvel por 8.1000 x 100 divisvel por 8.1000 x 1000 divisvel por 8.

1000 x 10n

divisvel por 8 (n nmero natural).Podemos escrever abcde como ax10000 + bx1000 + cx100 + dx10+e.


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Para ser divisvel por 8 devemos ter

8

10100

8

1000b10000a edc +++

+

Como 10000a + 1000b divisvel por oito devemos ter 100c + 10d + e tambmdivisvel por oito.

Veja que 100c + 10d + e representa o nmero cde.Este nmero cde representa o nmero formado pelos trs ltimos algarismos donmero abcde. O nmero cde tem que ser divisvel por oito.

Este critrio vlido para nmeros com classes maiores que a milhar pois todapotncia 1000 n, com n natural, divisvel por oito, gerando nesta demonstrao, apenasa verificao da divisibilidade do nmero formado pela centena, dezena e unidade.

Veja que ao termos um nmero ab000, c = 0, d = 0, e = 0 teremos cx100 +dx10+ e = =0x100 + 0x10 + 0 = 0. Da resta ax10000+bx1000 que divisvel por 8. Logo,nmeros que terminam com trs zeros so divisveis por 8.

CRITRIO: Um nmero divisvel por oito se o nmero formado pelos

algarismos da centena, dezena e unidade for divisvel por oito (isso inclui os nmerosque terminam em 000).


Veja que o nmero 10 igual a 11 1.Veja que 100 = (11 1)x (11 1)= 11x11-11-11+1=11(11-1-1)+1, que umnmero mltiplo de 11 mais 1. Escreveremos m11+1.1000=(11-1)x(11-1)x(11-1)=(m11+1)x(11-1)= (m11x11-m11+11)-1=m11-110000=(m11-1)(11-1)=(m11x11-m11-11)+1=m11+110n, n = 1, 3, 5, 7... um nmero mltiplo de 11, menos 1.10n, n = 2, 4, 6, 8... um nmero mltiplo de 11, mais 1.Seja o nmero abcd.ax1000+bx100+cx10+d=ax(m11-1)+b(m11+1)+c(m11-1)+d==am11-a+bm11+b+cm11-c+d=am11+bm11+cm11-a+b-c+d.Veja que am11+bm11+cm11 divisvel por 11.Para que abcd seja divisvel por 11 devemos ter, ento, -a+b-c+d divisvel por 11.

CRITRIO: Um nmero divisvel por 11 se a soma dos valores absolutos dosalgarismos de ordem impar menos a soma dos valores absolutos dos algarismos deordem par for divisvel por 11.


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EXERCCIOS

1- Substituir a letra a pelo algarismo de menor valor absoluto de modo que 57a4seja divisvel por 3? R: a = 2

2- Qual o maior nmero de 5 algarismos diferentes que mltiplo de 4?R: 987643- Qual o menor nmero de 5 algarismos diferentes que mltiplo de 4?

R: 102364- Qual o menor nmero que se deve somar a 21407 para que o resultado seja

divisvel por 3 e 5? R: 135- Qual o valor de a para que 314a8 seja divisvel por 11.

R: a = 36- Determinar os valores de a e b em 43a7b para que ele seja divisvel por 4 e

11. R: 43472 e 430767- Calcular o valor de a em 7324a, sabendo que ele divisvel por 6 mas no

por 9. R: a = 88- Qual o menor valor de n para que o nmero 22222222n, composto de 9

algarismos, seja divisvel por 3? R: 29- O nmero 583ab divisvel por 9. Qual o valor mximo da soma dos algarismos

a e b? R: 1110- Se cdu o maior nmero de trs algarismos divisvel por 11, ento qual a soma

c + d + u? R: 1811- Quantos nmeros naturais entre 1 e 1000 so divisveis por 9?

R: 11112- Achar o resto da diviso por 9 da expresso 275 x 3834 + 170 x 31509 x 1746 .

R: 213- Achar o resto da diviso por 11 da expresso 362 x 4389 25 . R: zero14- Determinar o resto da diviso por 4 do nmero 157331959 .

R: um15-Determinar o resto da diviso por 11 do nmero 4735231.

R: 5

NMEROS PRIMOS

A PROVA QUE EXISTEM INFINITOS NMEROS PRIMOS.

Suponha por absurdo, que existem n (uma quantidade finita) nmeros primos,denotados por p1, p2, ... , pn. Considere o nmerox = p1p2 ... pn + 1. O nmerox no divisvel por nenhum dos nmeros p1, p2, ... , pn (o resto da diviso sempre 1). Logo,

x primo. Isto contradiz a nossa hiptese inicial de que existem apenas n nmerosprimos. Ento nossa hiptese inicial est errada e portanto existem infinitos nmerosprimos.


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TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

Todo nmero que no primo um produto de fatores primos.(A fatorao nica)

Seja n um nmero no primo.

Ele admite um divisor primo. (Todo nmero no primo admite um divisor primodiferente da unidade.)Seja a este divisor e seja q o quociente exato da diviso de n por a. Podemos entoescrever n = a.q.Se q primo est demonstrado o teorema; em caso contrrio, q admite um divisor primoa. Representando por q o quociente da diviso de q por a, podemos escrever q = a.qe, portanto, n = a.q = a.a.q. Se q primo, est demonstrado o teorema.Verificamos, ento, que enquanto no for achado um quociente primo poderemos

prosseguir analogamente, obtendo o quocientes qii, q iii, q iv, ... cada vez menores, e,portanto em nmero limitado. O ltimo desses quocientes ser , ento, necessariamenteprimo, o que demonstra o teorema.

VERIFICAO SE UM NMERO PRIMO

Supor que n>1 seja um nmero composto.Ento n = a.b, 1


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Nmeros primos entre si - admitem como divisores comuns somente a unidade.Exemplos: 3 e 8; 7 e 15; 5 e 13; 6 e 7Dois nmeros inteiros e consecutivos so primos entre si.

Primos gmeos- dois inteiros positivos mpares consecutivos que so ambos primos.3 e 5 ; 5 e 7; 17 e 19; 29 e 31.Existe apenas um terno de inteiros positivos mpares e consecutivos que so todos

primos: 3, 5, 7.

EXERCCIOS

1- Determinar a mais elevada potncia de 3 que divide o produto dos 50 primeirosnmeros naturais 1,2,3,4,.... R:322

2- Verifique se so primos ou no os nmeros 269, 287 e 409.R: Sim; No; Sim

3 - Decomponha em fatores primos.a) 3600 b) 7560R: a) 24 x 32 x 52 b) 23 x33 x 5 x 7

4- Determinar os nmeros primos com 735 e divisores do produto 735x462.R: 2, 11, 22

5- Decompor em fatores primos o produto 1x2x3x. . . x 29x30.

DIVISORES

Algoritmo para achar os divisores de um inteiro:

Determinar os divisores de 200. ( Explicao do Professor)

Um nmero divisor de outro nmero quando contm, desse outro nmero, fatoresprimos com expoentes iguais ou menores.

Verificar se 169 divisor de 338000, sem fazer a diviso.(Explicao do Professor)


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Como determinar quantos divisores tem um nmero?

Justificativa da regra:Vamos ver, como exemplo, 200.

200 = 23

x 52

2 0, 21, 2 2, 2 3

5 0, 51, 5 2

Os produtos abaixo geram os divisores:2 0x 5 0; 2 0 x 5 1; 2 0 x 5 2

2 1x 5 0; 2 1 x 5 1; 2 1 x 5 2

2 2 x 5 0; 2 2 x 5 1; 2 2 x 5 2

2 3 x 5 0; 2 3 x 5 1; 2 3 x 5 2

Pelo princpio fundamental de contagem temos 4 x 3 = 12.O expoente de 2 3. Para formar os divisores foi acrescido 2 0, da 3 +1.O expoente de 5 2. para formar os divisores foi acrescido 5 0, da 2 + 1.

Ento ao fatorar 200 teremos 2 3 x 5 2 e o nmero de divisores ser (3+1) x ( 2+1) = 12.

EXERCCIOS

1 - D os divisores de 36.2- D os divisores de 120.3- D o nmero de divisores de 420. R: 244- D o nmero de divisores de 19 800. R: 725- Calcular o nmero de divisores de N sendo N = 242 x 152 x 92. R: 1896- Quantos divisores tm o nmero 103x 122 x 18 5? R: 6767- Quantos divisores mpares tm o nmero 420? R: 88- Quantos divisores pares tm o nmero 140? R: 89 - Sendo A = 83 x 9 x 15 2 e B = 65 x 12 x 7, qual o que tem mais divisores? R: A10- Qual o valor de x para que o nmero 23 x 3x x 52 tenha 36 divisores. R: 211- Determinar x e y (positivos) para que o nmero 3x x 7y admita 10 divisores.R: x = 1 e y = 4; x = 4 e y = 1; x = 0 e y = 9; x = 9 e y = 0.12 - Calcular os valores de a e b afim de que o nmero 2 a x 3b admita 8 divisores.R: a = 1 e b = 3 ; a = 3 e b = 1; a = 0 e b = 7 ; a = 7 e b = 013- Dados os nmeros A = 27 x 315 x 5 e B = 23 x 34x 52, dizer porque o nmero A ouno mltiplo do nmero B. R: A no mltiplo de B

14- Calcular o menor nmero que admite 20 divisores. R: 2

4

x 3

3


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COMO DETERMINAR O MDC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIO EM

FATORES PRIMOS.

Calcular o mdc entre 468 e 396 pelo processo da decomposio em fatores primos.(Explicao do Professor)

A justificativa do mtodo. Explicao do Professor.

COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DIVISIBILIDADE.Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da divisibilidade. (Explicao doProfessor)

COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIO EMFATORES PRIMOS.Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da decomposio em fatores primos.(Explicao do Professor)

A justificativa do mtodo. Explicao do Professor.


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EXERCCIOS

1- Determinar o mdc dos nmeros 80, 50, 70 e 60 pelo processo das divises sucessivas epelo processo da decomposio em fatores primos. R: 102- Determinar o mmc dos nmeros 15, 30 e 80 pelo processo da divisibilidade e pelo

processo da decomposio em fatores primos. R: 2403- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 4 . 5 3 , B = 2 4 . 3 y . 5 2 e omdc ( A, B) = 2 3 . 3 . 5 z . R: x = 3; y = 1; z = 24- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 . 5 2 , B = 2 3 . 3 y . 5 e ommc ( A, B) = 2 4 . 3 3 . 5 z . R: x = 4; y = 3; z = 25- Calcular o maior nmero que divide 396 e 341 e encontra-se respectivamenterestos 4 e 5. R: 56.6- Calcular os dois menores nmeros pelos quais devemos multiplicar 56 e 80 paraobtermos produtos iguais. R: 10 e 7

7- Calcular o menor nmero que dividido por 18, 32 e 54 deixe sempre resto 11. R: 875.8- Calcular o menor nmero que dividido por 10, 16 e 24 deixa, respectivamente, os restos3, 9 e 17. R 2339- O produto de dois nmeros igual a 3584 e o mdc 16. Ache o mmc. R: 22410- Calcule B, sabendo que o mdc (A,B) = 18, mmc (A,B) = 1260 e A=180. R: 12611- Do Rio de Janeiro, partem nibus para a cidade A de 10 em 10 minutos; para a cidadeB de 6 em 6 minutos e para a cidade C de 5 em 5 minutos. Sabendo-se que s 10 horas e 20minutos partiram juntos os nibus dessas trs linhas, a que horas partiro juntos novamente?R: 10 horas e 50 minutos12- Para cercar um terreno retangular de 1680 m de comprimento e 480 m de largura, comrvores que tenham a mesma distncia entre elas e que seja a maior possvel. Quantasrvores sero necessrias? R: 18 rvores13- Calcular m, no nmero A = 2 m-1. 32. 5m, de modo que o MDC entre o nmero A e onmero 9000 seja 45. R: m = 1


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OPERAES ARITMTICAS FUNDAMENTAIS

ESTA UNIDADE SER APRESENTADA EM FORMA DE EXERCCIOS.

EXERCCIOS

1) A soma dos elementos de uma subtrao 780 e o resto excede o subtraendo de 30.Calcular o minuendo, subtraendo e o resto.

2) Que alterao sofre um produto de dois fatores quando se soma um nmero a um dosfatores?

3) Que alterao sofre um produto de dois fatores quando se soma o mesmo nmero a cadaum dos fatores?

4) Que alterao sofre um produto de dois fatores quando se soma um nmero m ao

multiplicando e um nmero n ao multiplicador?5) O produto de dois nmeros 1200. Somando-se 5 ao multiplicador, o produto aumenta

de 240. Achar o multiplicando e multiplicador.6) Achar um nmero composto de 2 algarismos cuja soma 13, sabendo-se que, trocando-

se a ordem desses algarismos, o nmero aumenta de 45.7) Numa diviso, a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto 333. Sendo o

quociente 5 e o resto 20, pede-se determinar o dividendo e o divisor.8) A soma de dois nmeros 215. O quociente da diviso do maior pelo menor 10 e o

resto o maior possvel. Ache esses nmeros.9) Numa diviso exata o quociente 15. Somando-se 6 ao divisor, e efetuando-se

novamente a diviso, obtm-se quociente 12 e resto zero. Achar o dividendo e o divisor.10) Dois trens partem no mesmo instante de duas estaes distantes a 500 Km uma da outra

e se dirigem em sentido contrrio. O primeiro tem velocidade de 60 Km/h e o segundo80 Km/h. Qual a distncia entre os dois no fim de 4 h?

11) As 12 h sai um trem de A para B com a velocidade de 50Km/h. s 16 h sai outro de Bpara A, com velocidade de 80 Km/h. A que horas se encontram e a que distncia de B,sabendo-se que entre as duas cidades so 980 Km.

12) Uma caixa dgua comporta 1000 litros e tem uma torneira que a enche em 20 h e outraque a esvazia em 25 h. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo em quantas horasa caixa ficar cheia?

13) Um pai tem 40 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o

dobro da idade do filho?14)Trs caixas contm o mesmo nmero de mas. Passou-se para a terceira caixa 13mas da primeira e 15 da segunda. Com quantas mas mais que cada uma das ourasficar a terceira caixa?Colocando-se o algarismo 3 direita de um nmero, este aumenta de 237 unidades.Calcule esse nmero


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NMEROS PARES E MPARES

Os nmeros pares tm a forma 2k, kZ.Os nmeros mpares tm a forma 2k + 1, kZ.

EXERCCIOS

1) Mostre que a soma de um nmero par e um mpar sempre mpar.2) Mostre que o produto de dois nmeros pares sempre par e que o produto de

dois nmeros mpares sempre mpar.

NMEROS POLIGONAIS

Lei de formao dos nmeros triangulares. ( Explicao do Professor)

Nmeros triangulares: tn =2

2nn +

Lei de formao dos nmeros quadrangulares. ( Explicao do Professor)Nmeros quadrado: Qn = n2


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Nmeros pentagonais: Pn =2

)13( nn

Lei de formao dos nmeros pentagonais. ( Explicao do Professor)

EXERCCIOS

1) Ache o 200 nmero triangular.2) O nmero 105 triangular?3) Prove que se somarmos a unidade a oito vezes um nmero triangular, obtemos oquadrado de um nmero mpar ( Diofanto -250 dC)4) Prove que dois nmeros triangulares consecutivos formam um quadrado perfeito.5) Verifique se 145 nmero pentagonal.

NMEROS PERFEITOSUm inteiro positivo n diz-se um nmero perfeito se e somente se igual soma detodos os seus divisores positivos, exceto o nmero n.Os nmeros perfeitos so raros: 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...

NMEROS AMIGOSDois inteiros m e n so amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m,exceto o divisor m, igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto n, igual am.

EXERCCIOSMostrar que 220 e 284 so nmeros amigos.Mostrar que 2620 e 2924 so nmeros amigos.

TERNOS PITAGRICOSChama-se terno pitagrico todo terno de inteiros positivos ( a, b, c) tais que a2+b2 = c2

2k + 1, 2k2 + 2k e 2k2 + 2k + 1 onde k um inteiro positivo qualquer do umainfinidade de ternos pitagricos.

EXERCCIO

Prove que 2k + 1, 2k2

+ 2k e 2k2

+ 2k + 1 formam ternos pitagricos.


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EQUAES DIOFANTINAS

A equao ax + by = c, tal que a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos nmerosinteiros chamada Equao Diofantina.

Exemplos de Equaes Diofantinas:

2x + 3y = 7

- 4x + 7y = - 6

- 3x 5 y = 4

Diofanto foi um matemtico grego que viveu entre 200 e 290 dC.

Escreveu A aritmtica com a resoluo de problemas de lgebra que foramresolvidos utilizando equaes do primeiro e segundo graus e sistemas de equaes. Poresse motivo chamado o pai da lgebra e as equaes do primeiro grau e segundo grauem duas variveis, envolvendo os nmeros inteiros, so chamadas EquaesDiofantinas.

CONDIO DE EXISTNCIA DA SOLUO DE UMA EQUAODIOFANTINA.

Seja a equao diofantina ax + by = c, com soluo.

a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos nmeros inteiros.

Existe (x0, y0) que satisfaz a equao ax + by = c, x 0 e y0 nmeros inteiros.

(x0, y0) uma soluo da equao.

ax0 + b y0 = c

Seja mdc ( a, b) = d


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sd

br

d

a== ; ( r e s so nmeros inteiros)

Logo a = dr; b = ds

ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d ( rx0 + sy0) = c

rx0 + sy0 nmero inteiro

rx0 + sy0 =d

c

Logo d divide c. ( se d no dividir c, rx0 + sy0 no ser nmero inteiro, masrx0 + sy0 tem que ser nmero inteiro)

Para existir soluo na equao diofantina ax + by = c, o mdc entre a e b tem quedividir c.

SOLUO GERAL DA EQUAO DIOFANTINA.

Seja a equao ax + by = c, no conjunto dos inteiros.

Seja (x0, y0) uma soluo particular.

Seja mdc(a, b) = d.

Seja a soluo, qualquer, (x, y).

ax0 + by0 = ax+by=c.

mdc(a, b) = d, ento:

1.),(;;; 212121 === kkmdcsientreprimosnmeroskekkd

bk

d

a

ax0 + by0 = ax+by

ax-ax0=by0-by

a(x-x0)=b(y0-y) ; dividindo por d.

d

yyb

d

xxa )()('

00

'

=

Como 21; kd

bk

d

a==

k1(x-x0)=k2(y0-y)

')'(

2

01 yyk

xxko =


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Veja que y0 y nmero inteiro. ( y0 e y so nmeros inteiros).

Veja que k1 e k2 so nmeros primos entre si, logo k2 no divide k1,consequentemente, k2 divide (x-x0).

inteiro.,'2

0 ttkxx =

x- x0=k2t

como 2kd

b=

x-x0= td

b

x = x0 + td

b

Substituindo x = x0 + td

bem a(x-x0)=b(y0-y).

a(x0 + td

b- x0) = b(y0-y)

)'( yybd

abt

o

=

;Dividindo por b.'yy

d

ato =

y= y0 - td

a

Logo as solues de uma equao diofantina dada por:

x = x0 + td

be y= y0 - t

d

a, onde x0 e y0 uma soluo particular, d o mdc

entre a e b, t so nmeros inteiros que, ao serem colocados, vo gerar as solues.

REPRESENTAO GEOMTRICA DAS SOLUES DE UMA EQUAODIOFANTINA.

Veja que ax + by = c, com a, b, c, x, y pertencente ao conjunto dos nmeros reaisrepresenta uma reta. Os infinitos pontos que vo gerar a reta so as solues desta

equao. Neste caso seria simples achar as solues. Bastaria atribuir valores arbitrriospara x e achar, na equao, os valores correspondentes para y.


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Nas equaes diofantinas as coordenadas dos pontos so nmeros inteiros. Aoatribuir para x um nmero inteiro, pode ocorrer que y no seja inteiro. Neste caso o par(x, y) no soluo. Pode ocorrer que uma reta no tenha nenhum ponto comcoordenadas inteiras. Neste caso a equao diofantina no tem soluo.

Veja a equao 18 x + 5 y = 48 representada pela reta abaixo

- 4.0 - 3. 0 - 2. 0 - 1. 0 1 .0 2 .0 3 .0 4 .0 5 .0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

x

y

Somente os pontos de coordenadas inteiras da reta sero solues da equao

diofantina 18x + 5y = 48.Veja que o ponto (6, -12) no representado na figura pertence reta, pois

18 x 6 + 5 x ( -12 ) = 48. O par x = 6 e y = -12 uma das solues da equaodiofantina.

RESOLUES DE EQUAES DIOFANTINAS.

1- Mostre que a equao diofantina 4x + 6y = 9 no tem soluo.

Resoluo:

Verificar a condio de existncia das solues.

mdc ( 6, 4 ) = 2

2 no divide 9, logo, no h soluo.

2- a) Resolver a equao diofantina 2x + 3y = 9.b) Determine quatro solues particulares.c) Determine os valores de t para que as solues sejam positivas.d) Determine os valores de t para que as solues sejam negativas.

Resoluo a)Verificar a condio de existncia das solues.


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mdc ( 3, 2 ) = 1

1 divide 9, logo tem soluo.

Vamos, por tentativa, achar uma soluo particular.

Tirar o valor de x :2

39 yx

= .

Atribuir valores inteiro para y, at encontrarmos o x correspondente tambminteiro.Veja que y = 1 teremos x = 3.

Uma soluo particular ser x0 = 3 e y0 = 1.

A soluo geral dada por x = x0 + td

b e y = y0 - td

a , t nmeros inteiros.

Soluo geral da equao diofantina.

x = 3 + t1

3e y = 1 - t

1

2, t nmeros inteiros.

Resoluo b)

Atribuir t = 0; t = 1; t = - 1; t = 2

Para t = 0 temos x = 3 e y = 1;Para t = 1 temos x = 6 e y = - 1Para t = - 1 temos x = 0 e y = 3Para t = 2 temos x = 9 e y = -3( faa a verificao, de cada soluo encontrada, na equao 2x + 3 y = 9)

Resoluo c)

x = 3 + t1

3e y = 1 - t

1

2

3 + 3t > 0

3t > -3

t > - 1

1 2 t > 0

- 2 t > - 1

2t < 1


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t 2

1

No existe t inteiro que satisfaa t >2

1e t < -1.

No h solues inteiras, com x e y ambos negativos.(Verifique fazendo uma anlise na soluo geral da equao)

3 - Escrever o mdc entre 143 e 17 como combinao linear entre esses doisnmeros, isto , mdc ( 143, 17) = 143 a + 17 b.

Abaixo, o algoritmo do mdc:

8 2 2 3

143

17 7 3 1


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7 3 1 0

mdc ( 143, 17) = 1

143 = 17 x 8 + 7 7 = 143 17 x 8

17 = 7 x 2 + 3 3 = 17 7 x 2

7 = 3 x 2 + 1 1 = 7 3 x 2

1 = 7 3 x 2 ; substituir 3 = 17 7 x 2.

1 = 7 ( 17 7 x 2) x 2 = 7 x 1 17 x 2 + 7 x 4 = 7 x 5 17 x 2

substituir 7 = 143 17 x 8.

1 = ( 143 17 x 8) x 5 17 x 2.

1 = 143 x 5 17 x 40 17 x 2

1 = 143 x 5 17 x 42

Logo 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42) . Veja que verdade.

Logo a = 5 e b = - 42.

4 - Escrever o mdc entre -345 e 215 como combinao linear entre essesnmeros, isto , mdc ( - 345, 215) = - 345 a + 215 b.

Abaixo, o algoritmo do mdc:

1 1 1 1 1 8345

215

130

85

45

40

5

13

0

85 45 4

0

5 0

mdc ( - 345, 215) = mdc ( 345 , 215 ) = 5

345 = 215 x 1 + 130 130 = 345 215 x 1

215 = 130 x 1 + 85 85 = 215 130 x 1

130 = 85 x 1 + 45 45 = 130 85 x 1

85 = 45 x 1 + 40 40 = 85 45 x 1

45 = 40 x 1 + 5 5 = 45 40 x 1


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5 = 45 40 x 1; substituir 40 = 85 45 x 1.

5 = 45 (85 - 45 x 1) x 1= 45 85 x 1 + 45 x 1 = 45 x 2 85 x 1

Substituir 45 = 130 85 x 1

5 = (130 85 x 1) x 2 85 x 1= 130 x 2 85 x 2 85 x 1 = 130 x 2 85 x 3.

Substituir 85 = 215 130 x 1.

5 = 130 x 2 ( 215 130 x 1 ) x 3.

5 = 130 x 2 215 x 3 + 130 x 3 = 130 x 5 215 x 3.

Substituir 130 = 345 215 x 1.

5 = (345 215 x 1) x 5 215 x 3 = 345 x 5 215 x 5 215 x 3 =

345 x 5 215 x 8.

5 = 345 x 5 215 x 8.

Vamos escrever a combinao linear entre 345 e 215.

5 = - 345 x ( -5) + 215 x ( -8 ). Veja que verdade.

Logo a = -5 e b = -8

5) Resolver a equao diofantina 143 x + 17 y = 132.D trs solues particulares.

Vamos verificar se tem soluo.mdc (143, 17) = 1. 1 divide 132, logo tem soluo.

Se fizermos a combinao linear entre o mdc (143 e 17) e os nmeros 143 e 17encontraremos 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42). Veja o exerccio 3 acima.

Como a equao 143 x + 17 y = 132, teremos:

143 x 5 + 17 x ( - 42 ) = 1. Multiplicando os dois membros por 132.

143 x 5 x 132 + 17 x ( - 42 ) x 132 = 1 x 132

143 x 660 + 17 x ( - 5544) = 132.

Soluo particular : x0 = 660 e y0 = - 5544

Soluo geral:


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x = 660 + t1

17e y = - 5554 - t

1

143

x = 660 + 17 t e y = - 5554 143 t.

Solues particulares:

Substituir t inteiro, arbitrrio, na soluo geral:

t = 0 : x = 660 e y = -5554.

t = 1 : x = 677 e y = - 5697

t = 2 : x = 694 e y = - 5840

6) Determinar todos os mltiplos de 11 e de 9 cuja soma seja 270.Resoluo:

11 x + 9 y = 270 , x e y so inteiros.Abaixo, o algoritmo do mdc( 11, 9)

1 4 211

9 2 1

2 1 0

mdc ( 11, 9 ) = 1. A equao admite soluo.

11 = 9x1+2 2 = 11 9x1

9 = 2x4 +1 1 = 9 2x4

1 = 9 2x4 = 9 (11 9x1)x4 = 9 11 x 4 + 9x4 = -11x4 + 9x5.

11x(-4) + 9x5 = 1 . Multiplicando os dois membros por 270 temos:

11x(-4)x270 + 9x5x270 = 1x270.

11x ( -1080) + 9x1350 = 270

Logo x0= -1080 e y0=1350 uma soluo particular.

A soluo geral :

x = -1080 + 9 t e y = 1350 11 t.

- 1080 + 9t >0

9t > 1080


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t >9

1080

t > 120

1350 11 t > 0

- 11 t > - 1350

11 t < 1350

t

notas de aula do prof alzir de teoria dos nÚmeros. para os alunos das fic que estÃo cursando...

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