numeriČna analiza kavitacije v toku okoli valjaste …

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO

Primož SKERBIŠ

NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU

OKOLI VALJASTE OVIRE

Diplomsko delo

Univerzitetnega študijskega programa 1.stopnje

Strojništvo

Maribor, September 2014

NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU

OKOLI VALJASTE OVIRE

Diplomsko delo

Študent: Primož Skerbiš

Študijski program: Univerzitetni študijski program strojništvo 1.stopnje

Strojništvo

Smer: Energetsko procesno in okoljsko strojništvo

Mentor: doc.dr. Ignacijo Biluš

Somentor: red.prof.dr. Brane Širok

Maribor, september 2014

V

I Z J A V A

Podpisani Primož Skerbiš izjavljam, da:

je bilo predloženo diplomsko delo opravljeno samostojno pod mentorstvom doc. dr.

Ignacija Biluša in somentorstvom red. prof. dr Braneta Široka;

predloženo diplomsko delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev

kakršnekoli izobrazbe na drugi fakulteti ali univerzi;

soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet

Univerze v Mariboru.

Maribor, __________________ Podpis: __________________________

VII

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju doc.dr. Ignaciju Bilušu

in somentorju red.prof.dr Branetu Široku za pomoč in

vodenje pri opravljanju diplomskega dela.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi

omogočili študij.

IX

NUMERIČNA ANALIZA KAVITACIJE V TOKU OKOLI VALJASTE

OVIRE

Ključne besede: kavitacija, numerična simulacija, homogeni dvofazni model

UDK: [519.6+004.94]:532.528(043.2)

POVZETEK

V diplomskem delu so predstavljeni rezultati numerične simulacije in podana njihova

primerjava za tri različne kavitacijske obratovalne režime. Podatki za primerjavo numeričnih

rezultatov izhajajo iz predhodno opravljenega eksperimenta na laboratorijski merilni progi.

Primerjava temelji na vizualni primerjavi kavitacijskih oblakov, tlačnih polj in nihanja tlaka za

oviro. Podrobneje smo si ogledali tudi hitrostno polje v brazdi, kjer smo zaznali nastanek

Karmanove vrtinčne strukture. Za simulacijo tokovnih razmer in kavitacije je bil uporabljen

programski paket Ansys CFX 14.

Ugotovitve kažejo zadovoljivo ujemanje numeričnih in eksperimentalnih rezultatov.

Za natančnejšo kvantitativno primerjavo bi bilo začeto delo smiselno nadaljevati v smeri

izboljšanja prenosne enačbe homogenega modela ali pa z uporabo zahtevnejših npr. dvo-

enačbnih modelov.

XI

NUMERICAL ANALYSIS OF CAVITATION ON BLUFF BODY

Key words: cavitation, numerical simulation, homogeneus two-phase model

UDK: [519.6+004.94]:532.528(043.2)

ABSTRACT

This thesis presents the results of numerical simulation and the comparison for three different

operating regimes of cavitation. Input data for simulation of cavitation had already existed and

were derived from a previously performed experiment on cavitation station. The comparison is

based on a visual comparison of cavitation clouds, pressure fields and pressure fluctuations

behind the bluff body. We closely examined the velocity field in the groove, where we detected

the formation of Karmana vortex street. Software package Ansys CFX 14 was used for

simulation of flow conditions and cavitation.

The findings show satisfactory match between numerical and experimental results.

For a more detailed quantitative comparison it would make sense to continue the work in

the direction of improving the transmission equation of homogeny model or by using more

complex two equation models.

XIII

Kazalo

1 UVOD ................................................................................................................. - 1 -

1.1 OPIS SPLOŠNEGA PODROČJA DIPLOMSKEGA DELA .......................................... - 1 -

1.2 OPREDELITEV DIPLOMSKEGA DELA ................................................................ - 2 -

1.3 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA .................................................................. - 3 -

2 TEORETIČNE OSNOVE ................................................................................ - 4 -

2.1 OPIS KAVITACIJE ............................................................................................ - 4 -

2.2 VZROKI ZA NASTANEK KAVITACIJE ................................................................ - 5 -

2.3 OSNOVNI PARAMETRI ZA OPIS KAVITACIJSKEGA STANJA ............................... - 6 -

2.3.1 Hidravlični parametri ............................................................................... - 6 -

2.3.2 Lastnosti tekočine ..................................................................................... - 7 -

2.3.3 Kvaliteta tekočine ..................................................................................... - 7 -

2.4 OBLIKE KAVITACIJE V POVEZAVI S KAVITACIJSKIM ŠTEVILOM ....................... - 7 -

2.5 UČINKI KAVITACIJE...................................................................................... - 10 -

2.5.1 Mehanski učinki kavitacije..................................................................... - 10 -

2.5.2 Erozijski učinki ...................................................................................... - 10 -

2.5.3 Akustični učinki ..................................................................................... - 10 -

2.5.4 Ostali učinki kavitacije ........................................................................... - 10 -

2.5.5 Praktična uporaba učinkov kavitacije .................................................... - 10 -

2.6 RAST IN KOLAPS MEHURČKA ........................................................................ - 11 -

2.7 KAVITACIJSKE POŠKODBE ............................................................................ - 13 -

2.8 EKSPERIMENTALNA PROGA .......................................................................... - 14 -

2.9 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN ........................................................... - 15 -

2.9.1 Zakon ohranitve mase ............................................................................ - 16 -

2.9.2 Zakon ohranitve gibalne količine ........................................................... - 16 -

2.9.3 Zakon tečenja – konstitutivni model ...................................................... - 17 -

2.9.4 Navier-Stokesove enačbe ....................................................................... - 17 -

XIV

2.9.5 Reynoldsove enačbe ............................................................................... - 18 -

2.9.6 Turbulentni modeli ................................................................................. - 18 -

2.9.7 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti ............................................. - 19 -

2.9.8 Standardni k-휀 model ............................................................................. - 19 -

2.9.9 Turbulentna viskoznost .......................................................................... - 20 -

2.9.10 Večfazni model ..................................................................................... - 21 -

2.9.11 Kavitacijski model ................................................................................ - 21 -

3 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA ........................................................ - 23 -

3.1 GEOMETRIJA KANALA .................................................................................. - 23 -

3.2 MREŽENJE KANALA ..................................................................................... - 24 -

3.3 ROBNI POGOJI .............................................................................................. - 25 -

3.3.1 Parametri nestacionarnega izračuna ....................................................... - 28 -

3.3.2 Snovske lastnosti .................................................................................... - 29 -

3.4 REZULTATI................................................................................................... - 29 -

3.4.1 Primerjava kavitacijskih oblakov ........................................................... - 29 -

3.4.2 Porazdelitev tlaka ................................................................................... - 31 -

3.4.3 Pulzacije tlaka v tokovni brazdi ............................................................. - 33 -

3.4.4 Karmanova vrtinčna steza ...................................................................... - 34 -

4 DISKUSIJA ..................................................................................................... - 39 -

5 SKLEP .............................................................................................................. - 40 -

SEZNAM UPORABLJENIH VIROV ................................................................... - 41 -

XVI

UPORABLJENI SIMBOLI

𝐴0-kontrolna površina

𝐶𝑐-empirična konstanta

𝐶𝑒- empirična konstanta

𝑐𝑝- specifična toplota pri konstantnem tlaku

𝐶𝜇- konstantna turbulentnega modela k-휀

𝐶1𝜀- konstantna turbulentnega modela k-휀

𝐶2𝜀-konstantna turbulentnega modela k-휀

𝑐0 - hitrost toka v referenčni točki

�⃗�- sila

�⃗�𝑆 – površinske sile

�⃗�𝑉 – volumske sile

f-frekvenca

𝑓𝑚𝑖- gostota masne sile

𝑓𝑝- masni delež pare

𝑓𝑝𝑙- masni delež neraztopljenih plinov

k- povprečna turbulentna kinetična energija

𝐿- karakteristična dolžina

𝑀-Molska masa

�̇�- masni pretok

𝑛-konstanta politrope

𝑛𝑗,𝑖-enotska normala

𝑝 - tlak

𝑝∞-tlak v prostem toku

XVII

𝑝∞∗ - tlak v prostem toku po skočni spremembi

𝑝𝑚𝑎𝑥- največji tlak

𝑝𝑚𝑖𝑛- minimum statičnega tlaka

𝑝𝑝 - uparjalni tlak pare

𝑝𝑝 - uparjalni tlak tekočine

𝑝𝑝𝑙 - parcialni tlak v mehurčku

𝑝0 - tlak v referenčni točki

𝑝𝑝𝑙,0-začetni parcialni tlak plina

𝑅-polmer mehurčka

𝑅0-začetni polmer mehurčka

𝑅𝑐-izvorni člen

𝑅𝑒-izvorni člen

T - temperatura

𝑇0-temperatura v referenčni točki

𝑇∞-temperatura v prostem toki

t-čas

𝑡0 – nihajni čas

�̂�- karakteristična hitrost

𝑉-volumen

𝑉0- kontrolni volumen

�̅�- povprečna hitrost

�⃑�-vektor hitrosti

�⃗�𝑚- vektor hitrosti mešanice

XVIII

𝛼𝑘- inverzno efektivno Prandtlovo število;

𝛼- prostorninski delež pare in plina

Γ- kinemtaična difuzivnost

𝛾-površinska napetost

𝛿𝑖𝑗-kroneckerjeva delta funkcija;

휀�̇�𝑗- tenzor deformacijskih hitrosti;

휀- disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije

𝜂- dinamična viskoznost

𝜇𝑘- dinamična viskoznost kapljevine;

𝜇𝑝-dinamična viskoznost pare

𝜇-dinamična viskoznost

𝜌𝑘-gostota kapljevine

𝜌𝑚- gostota mešanice

𝜌𝑝- gostota parne faze

𝜎𝑖𝑗- napetostni tenzor

𝜎- kavitacijsko število

𝜎𝑘- konstantna turbulentnega modela k-휀

𝜎𝜀- konstantna turbulentnega modela k-휀

𝜏̅-tenzor turbulentnih napetosti

𝜏𝑖𝑗- tenzor viskoznih turbulentih napetosti

𝜐𝑘-kinematična viskoznost kapljevine

XIX

UPORABLJENE KRATICE

CFD – Computinal fluid dynamics

Kr – kritična točka vode

RDT – računalniška dinamika tekočin

Tr – trojna točka vode

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo

- 1 -

1 UVOD

1.1 Opis splošnega področja diplomskega dela

Kavitacija je pojav, ki negativno vpliva na obratovalne lastnosti hidravličnih strojev in pogosto

krajša njihovo življenjsko dobo. Pomeni spremembo agregatnega stanja tekočine, kjer se

tekočina zaradi lokalnega padca tlaka upari. V toku se pojavijo parni mehurčki, ki nato v

območju visokih tlakov implodirajo in pri tem ustvarjajo močne udarne valove, ki vodijo do

erodiranja materiala in okvar posameznih delov v turbinskih strojih. Posledice kavitacije je tako

moč opaziti predvsem na sesalnih straneh lopatic in na obodu rotorja turbinskih strojev. Da

stroj deluje pod vplivom kavitacije, iz prakse navadno sklepamo iz značilnega treskajočega

zvok in povečanih vibracij, ki spremljajo njegovo delovanje.

Kavitacija predstavlja izredno zapleten inženirski in fizikalni problem, katerega

simuliranje je bilo dolgo časa omejeno le na eksperimentalno delo. V praksi je to omogočeno z

različnimi empiričnimi metodami. Šele z razvojem numeričnih metod, ter računalniške in

programske opreme je bilo možno z zadovoljivo natančnostjo kavitacijske strukture preučevati

tudi virtualno. Tako si lahko v zadnjem času pri preučevanju razmer v režimu kavitacije veliko

pomagamo z računalniško dinamiko tekočin (CFD- Computational Fluid Dynamics). S to

metodo dobimo relativno hitro in poceni, glede na eksperiment, zadovoljive rezultate, ki služijo

kot osnovna analiza procesa, oz. dobimo smernice, ki nato služijo kot primerjava z

eksperimentalnimi podatki.


- 2 -

1.2 Opredelitev diplomskega dela

Tema diplomske naloge izhaja iz že prehodno narejene raziskave. Na laboratorijski merilni

progi so se opravile različne meritve pulzacij in fluktacij tlaka z namenom spoznavanja in čim

boljšega nadzora kavitacije. Eksperimentalni del se je izvajal na inštitutu KGH-Godovič [2].

Cilj naloge bo, simulirati potek kavitacije na tej isti merilni progi. S pomočjo

komercialnega računalniškega programskega paketa bomo simulirali tok tekočine okoli valjaste

ovire eksperimentalne merilne proge. Uporabljen bo homogeni dvofazni prenosni kavitacijski

model. Ker se simulacija izvaja na podlagi laboratorijskega eksperimenta so obratovalni režimi,

ki bodo analizirani že znani. Rezultat diplome bo tako primerjava eksperimentalnih in

numeričnih rezultatov.


- 3 -

1.3 Struktura diplomskega dela

V uvodu je predstavljeno splošno področje diplomskega dela.

V drugem poglavju so podane teoretične osnove fizikalnega nastanka kavitacije in

računalniške dinamike tekočin. Skozi poglavja sledi najprej opis kavitacije in njenih učinkov,

pri čemer so podane osnovne enačbe. Pri računalniški dinamiki tekočin so naprej predstavljeni

osnovni ohranitveni zakoni in vodilne enačbe, nato sledi opis uporabljenega turbulentnega in

kavitacijskega modela.

Sledi poglavje z opisom numeričnega modela, kjer podrobneje opišemo geometrijo,

mreženje in robne pogoje numerične simulacije. Na koncu tega poglavja sledi predstavitev in

opis rezultatov.

Četrto poglavje kritično ovrednoti rezultate numerične analize in podaja možnosti

nadaljnjega raziskovalnega dela.

Zadnjo poglavje predstavlja sklep, kjer se celotno diplomsko delo logično zaključi z

kratkim pregledom in oceno celotnega opravljenega dela.


- 4 -

2 TEORETIČNE OSNOVE

V nadaljevanju bodo podana nekatera osnovna teoretična fizikalna pojasnila, ki se nanašajo na

opis same kavitacije, njene vzroke, vrste in posledice, povzeta po znanstvenem delu [4] .

2.1 Opis kavitacije

Kavitacija je proces, ki opisuje spremembo agregatnega stanja kapljevine, kjer se kapljevina

preobrazi iz kapljevite v parno fazo in nazaj. Glavni vzrok zato je lokalno zmanjšanje tlaka, pri

čemer temperatura medija ostaja približno konstantna. Proces lahko primerjamo z vrenjem, kjer

je sprememba stanja posledica dviga temperature ob približno konstantnem tlaku. Oba procesa

sta prikazana na sliki 2.1 v p-T in p-v diagramu [4].

Slika 2.1: Kavitacija in vrenje v v p-T in p-v diagramu [4]

Kratici Tr in Kr na grafu označujeta trojno točko vode ( T=273,16 K in p=611,73 Pa) oz.

kritično točko (T=647,09 K in p=22,05 MPa). Če se najprej osredotočimo na točko A na grafu,

ki se nahaja v območju kapljevite faze, ugotovimo, da lahko dosežemo uparjanje na dva načina

in sicer z povečanjem temperature, pri tem preidemo iz točke A v B. To preobrazbo imenujemo

vrenje. Lahko pa se iz točke A pomaknemo navpično navzdol, tako da zmanjšamo tlak ob

A-B vrenje A-C kavitacija


- 5 -

konstantni temperaturi in se premaknemo v točko C. To preobrazbo imenujemo kavitacija. Ker

kavitcija pomeni tudi obraten proces se krog zaključi ko tlak po uparjanju zopet doseže

približno začetno vrednost. Vrednosti nasičenja vodne pare lahko za različne temperature

odčitamo, napr. iz Strojniškega priročnika [4].

Pri obeh pojavih pride do izločanja pare in plinov, ki so raztopljeni v kapljevini v obliki

mehurčkov. V zadnji stopnji razvoja kavitacijskega mehurčka, ki jo imenujemo tudi faza

kolapsa oziroma implozije, se tlak lokalno močno poveča. Pri tem se nastali kavitacijski

mehurček sesede sam vase. Tlačni val, ki pri tem nastane ob trdnih stenah erodira material z

trdnih sten in v daljšem časovnem obdobju vodi do nepopravljivih poškodb strojnih delov.

Izhajajoč iz tega je zato ta del še posebej zanimiv za raziskave [4].

2.2 Vzroki za nastanek kavitacije

Glede na vzrok zaradi katerega nastane, ločimo štiri vrste kavitacije [4]:

Hidrodinamična kavitacija - povzroči jo geometrija obtekajočega telesa (profil,

lopatica rotorja, propeler)

Akustična kavitacija - povzročijo jo zvočni valovi, ki se širijo po tekočini

Optična kavitacija - povzročijo jo napr. laserska svetloba

Kavitacija delcev - povzročijo jo drugi elementarni delci, na primer fotoni

Hidrodinamična in akustična kavitacija imata za turbinske stroje največji pomen. Njun

nastanek je posledica napetosti v kapljevini, medtem, ko sta ostali dve v glavnem posledica

lokalno dovedene energije [4].

Kavitacijo v najosnovnejši obliki definiramo z,

𝑝𝑚𝑖𝑛 = 𝑝𝑝 (2.1)

kar pomeni, da mora biti minimum statičnega tlaka (𝑝min ) enak uparjalnemu tlaku pare

(𝑝𝑝) [4].


- 6 -

2.3 Osnovni parametri za opis kavitacijskega stanja

Na kavitacijo vplivajo številni različni parametri, s katerimi opišemo razvoj, vrsto in obnašanje

kaviticije. Delimo jih v tri skupine [4]:

hidravlični parametri,

parametre, ki podajo lastnosti tekočine,

parametre, ki podajo kvaliteto tekočine,

2.3.1 Hidravlični parametri

V to skupino razvrstimo lastnosti toka kot na primer hitrost, fluktacije hitrosti, tlak, fluktacije

tlaka in geometrični parametri potopljenih teles, kot so oblika, orientacija in hrapavost [4].

Hidravlične parametre lahko opišemo z kavitacijskim številom, s katerim povežemo tlak

v referenčni točki (𝑝0) v sistemu z uparjalnim tlakom (𝑝𝑝) tekočine in hitrostjo toka tekočine

v referenčni točki [4]:

𝜎 =𝑝0−𝑝𝑝(𝑇)

𝜌𝑐02

2

(2.2)

Kavitacijsko število je univerzalni parameter s katerim določimo vrednosti za posamezno

skupino podobnih kavitacijskih pogojev. Z njim lahko opišemo pogoje glede na tok tekočine

brez kavitacije, z začetno stopnjo kavitacije in v različnih razvojnih fazah kavitacije. V

splošnem velja, da se z zmanjševanjem kavitacijskega števila veča verjetnost za nastanek

kavitacije oz. pomeni, da se s tem povečuje že prisotna kavitacija. Analogno je tudi za

povečevanje, kjer se seveda verjetnost zmanjšuje. V literaturi zasledimo, da kavitacja pri

zmanjševanju tlaka nastopi pri nekem določnem kavitacijskem številu, ki ga imenujemo tudi

kritično ali začetno kavitacijsko število. Dosežemo ga pri nekem kritičnem tlaku, ki ni enak

parnemu tlaku tekočine in je odvisen še od številnih drugih parametrov. Potrebno je tudi

poudariti, da se kavitacijski števili pri prehajanju iz kavitacijskega ( 𝜎𝑖) nazaj v nekavitacijsko

stanje razlikujeta(𝜎𝑑). Ponavadi je vrednost 𝜎𝑖 večja [4] [10].

Izrazit vpliv na nastanek kavitacije pa poleg zmanjševanja hitrosti in statičnega tlaka

predstavljajo še geometrični parametri in hrapavost. Pri geometriji telesa na povečanje vplivajo


- 7 -

predvsem ostri robovi, vpadni kot in orientacija. Hrapavost pridobiva na pomenu z večanjem

Redynoldsovih števil in deluje kot povzročitelj kavitacijskih jeder, kjer se iz tekočine začnejo

izločati v njej raztopljeni plini [4] [10].

2.3.2 Lastnosti tekočine

Stanje tekočine je v splošnem podano z termičnimi in kaloričnimi veličinami stanja. Tako

moramo poleg tlaka, gostote, temperature, notranje energije, entalpije, … še nujno poznati

kalorične, mehanske, snovne in toplotne lastnosti tekočin. Te lastnosti so: viskoznost, uparjalni

tlak, površinska napetost, specifično izobarno in izohorno toploto, topnost plinov, koeficient

difuzivnosti, toplotno prevodnost v tekočini in pari [4] [11].

Pomembnejše vlogo pri razvoju kavitacije imata predvsem znižanje viskoznosti in

zviševanje uparjalnega tlaka. Oba sta odvisna od temperature. Zviševanje temperature vpliva

na znižanje viskoznosti pri kapljevinah in povečanje pri plinih. Prav tako se z temperaturo

povečuje parni tlak in s tem možnost kavitiranja [4] [11].

2.3.3 Kvaliteta tekočine

Sem štejemo količino raztopljenih in neraztopljenih plinov, porazdelitve velikosti mehurčkov,

koncentracije mehurčkov, natezno obremenitev delcev in kavitacijska občutljivost [4].

V tekočini neraztopljeni plini, ki jih po navadi najdemo v obliki mehurčkov ali pa tudi

drugi trdni delci kot napr. pesek, rja, alge delujejo kot kavitacijska jedra in povzročajo rast

mehurčkov. V vodi raztopljeni plin je po navadi zrak, ki sproža rast mehurčkov in povečuje

kavitacijo [4].

2.4 Oblike kavitacije v povezavi s kavitacijskim številom

Na sliki 2.2 je prikazan razvoj kavitacije na osamljenem profilu z vpadnim kotom 𝜑 = 6° in

hitrostjo tekočine 15𝑚

𝑠. V sistemu se pojavi začetno stanje kavitacije ob zmanjšanju tlaka, kjer

tok iz enofaznega preide v dvofazni tok in se ob vpadnem robu profila pojavijo prvi mehurčki

[4].


- 8 -

Slika 2.2: Začetna kavitacija 𝜎=3,5 [4]

Če tlak v sistemu še naprej zmanjšujemo preide začetna kavitacija v stanje razvite

kavitacije, ki je na spodnji sliki prikazana v obliki potujočih strnjenih parnih oblakov [4].

Slika 2.3: Razvita kavitacija 𝜎=2 [4]

Naslednjo fazo kavitacije imenujemo superkavitacija. Nastopi takrat, ko plinasta faza

preseže telo na katerem se pojavlja. Po navadi jo dosežemo v laboratorijih med preizkusi na

merilni progi, medtem ko je v praksi možna napr. v toku okoli torpeda. Za njo je značilna ostra

meja med kapljevito in plinasto fazo [4].


- 9 -

Slika 2.4: Superkavitacija 𝜎=0,3 [4]

Po prenehanju kavitacije oz. ob prehodu iz kavitarajočega nazaj v nekavitarajoči tok

nastopi stanje končne kavitacije. Kot že rečeno, pa se tlaka (kavitacijski števili) začetne in

končne kavitacije ne ujemata. Ponavadi je tlak končne kavitacije višji [4].

Na podlagi meritev je možno za posamezno hidrodinamično telo narisati diagrame, ki

določajo tip kavitacije glede na določene parametre. V spodnjem diagramu je prikazen primer

obtekanja profila iz zgornjih primerov. Kot neodvisna spremenljivka je prikazan napadni kot 𝜑

v odvisnosti od kavitacijskega števila 𝜎 [4].

Slika 2.5: Pojavne oblike kavitacije za osamljeni profil [4]


- 10 -

2.5 Učinki kavitacije

Poznamo različne učinke kavitacije: mehanske, erozijske, akustične… V splošnem velja, da so

nezaželjeni, saj povzročajo erozijo površin, prekomerni hrup in vibracije ter hidrodinamične

izgube. Obstajajo pa tudi izjeme, kjer prisotnosti kavitacije pripisujemo pozitivne učinke saj z

njimi omogočimo ali izboljšamo kak proces. To izkoriščamo na področju čiščenja, medicine in

mešanja [4].

2.5.1 Mehanski učinki kavitacije

Vplivajo predvsem na spremembe kinematike toka in vibracij turbinskih strojev. Njihov vpliv

opazimo v zmanjšanjem pretoku skozi notranje tokovodnike in izgubi tlačne višine pri črpalkah.

To lahko vodi do tega da črpalka deluje izven svoje obratovalne točke [4].

2.5.2 Erozijski učinki

Kavitacija v bližini površnin na katerih nastaja povzroča odnašanje materiala. To je posledica

kolapsa mehurčka ob katerem nastane mikrocurek, ki trči ob površino in s tem povzroči lokalne

napetosti v materialu kar na dolgi rok vodi v njegovo obrabo [4].

2.5.3 Akustični učinki

Povezujemo jih z nastajanjem hrupa, ki spremljajo kolaps mehurčka. Pri tem nastane tlačni val,

ki potuje skozi tekočino. Sestavljen je iz različnih frekvenc, od zelo nizkih velikostnega reda

nekaj 100 Hz pa vse do ultrazvočnih. Praviloma se z večanjem kavitacije zvišuje tudi raven

hrupa, ki doseže maksimum pri razviti kavitaciji. Pri nadaljnjem povečevanju pa se zaradi

dušenja hrup začne zmanjševati [4].

2.5.4 Ostali učinki kavitacije

Med ostale učinke štejemo zvišanje temperature v fazi kolapsa, luminiscenca in elektrokemični,

ki povzročajo korozijo materiala [4].

2.5.5 Praktična uporaba učinkov kavitacije

Danes kavitacijo uporabljamo za številne namene [4]:

Medicina: litotripsije (za razbijanje ledvičnih kamnov)

Čiščenje: imlodiranje mehurčkov v bližini sten odstranjuje nečistoče


- 11 -

Optimizacija procesov: optimizacija mešanja v prehrambeni industirji,

fermacevtski industriji, pri izdelavi barv in emulzij, pri vbrizgavanju goriva v

motorjih

2.6 Rast in kolaps mehurčka

Popis stanja dinamike mehurčka je zelo kompliciran proces, saj je potrebno upoštevati mnoge

različne parametre, od količine raztopljenih plinov, prevoda toplote in viskoznsti do stisljivosti

in prenosa snovi. Ena izmed ključnih vlog razvoja kavitacije predstavljata fazi rasti in kolapsa

mehurčka [4].

Pri izpeljavi enačb najprej predpostavimo politropno spremembo plina v mehurčku:

𝑝 ∙ 𝑉𝑛 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (2.3)

Na kar ob upoštevanju volumna krogle izpeljemo [4],

𝑝𝑝𝑙 = 𝑝𝑝𝑙,0 (𝑅0

𝑅)

3𝑛

(2.4)

ki nam podaja povezavo med parcialnim tlakom plina (𝑝𝑝𝑙) in začetnim parcialnim

(𝑝𝑝𝑙,0) preko njunih premerov in konstante politrope. Pri nadaljnjem koraku izhajamo iz

posplošene oblike Rayleigh-Plessetove enačbe za mehurček, kjer upoštevamo konstantno

temperaturo, tako da lahko zanemarimo nekatere člene in dobimo enačbo v obliki [4]:

𝑝𝑝(𝑇∞)−𝑝∞(𝑡)

𝜌𝑘+

𝑝𝑝𝑙

𝜌𝑘(

𝑅0

𝑅)

3𝑛

= 𝑅�̈� +3

2�̇�2 +

4𝜐𝑘�̇�

𝑅+

2𝛾

𝜌𝑘𝑅 (2.5)

Zgornja enačba predstavlja difrencialno enačbo drugega reda, katera rešitev je funkcija

R(t), ki nam pove da je odziv kavitacijskih mehurčkov na tlačno motnjo močno odvisen od

njihove velikosti. Na podlagi zgornjih enačb, za premer jedra in enačbe stanja plina, lahko sedaj

določimo tlak in temperaturo ob kolapsu mehurčka [4]:


- 12 -

𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑝𝑝𝑙,0 [(𝑛−1)(𝑝∞

∗ −𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑙,𝑜+3𝛾

𝑅0

𝑝𝑝𝑙,0]

𝑛

𝑛−1

(2.6)

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑇0 [(𝑛−1)(𝑝∞

∗ −𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑙,𝑜+3𝛾

𝑅0

𝑝𝑝𝑙,0] (2.7)

Iz zgornje poenostavljene Rayleigh-Plessetove enačbe lahko določimo tudi čas kolapsa

mehurčka. Tudi tukaj še dodatno zanemarimo nekatere manj pomembne vplive kot sta napr.

vsebnost plinov v mehurčku in površinsko napetost. Po kolapsi je premer mehurčka enak nič,

hitrost kolapsa pa neskončna. Ob upoštevanju tega dobimo čas kolapsa od 𝑅 = 𝑅0 do 𝑅 = 0

[4].

𝑡𝑘𝑜𝑙 = 0915√𝜌𝑘𝑅0

2

𝑝∞∗ −𝑝𝑝

(2.8)

Čas ocenjen z to enačbo je le približen in uporaben v inženirski praksi. V enačbi nismo

upoštevali nekaj pomembnih dejavnikov, kot je stisljivost, spremembe oblike mehurčka in

predpostavka o izotermnem stanji. Plini v mehurčki se namreč v fazi kolapsa močno segrejejo,

ker je prenos toplote v okolico prepočasen [4].

Zgornje enačbe ponazarjajo nekatere parametre v fazi kolapsa. Ko kavitacijski mehurček

raste iz majhnega jedra v večkratnik svoje začetne velikosti se njegov kolaps začne pri nekem

maksimalnem radiju (𝑅𝑚𝑎𝑥). V mehurčku je neki izredno majhen parcialni tlak plina. V

tipičnem kavitacijskem toku se premer mehurčka poveča za red 100 krat, glede na začetno

vrednost. Posledično pa zaradi tega, tlak v mehurčki pade, če je ta na začetki znašal 1 bar, bo

ob pričetku faze kolapsa njegova vrednost 10−6 bar. Če k temu dodamo še padec tlaka okolice

na 0,1 bar dobimo iz zgornjih enačb približne rezultate o tlakih in temperaturah med kolapsom.

Maksimalni generirani tlak bi znašal okrog 1010 bar in temperatura 4 ∙ 104 višja od okoliške.

Kljub temu da tu niso upoštevani nekateri pomembni faktorji v zvezi z difuzijo plina preko sten

mehurčka in stisljivosti tekočine, nam primer nazorno pokaže potencial visokih tlakov in

temperaturo, ki se sprostita med kolapsom in povzročata udarne valove ter hrup [3].


- 13 -

Če lahko v predhodnih fazah vpliv temperature zanemarimo, pa tega v zadnji fazi kolapsa

ne moremo storiti. Izračun vrednosti tlaka in temperature v mehurčku so dokaj visoki vendar je

potrebno poudariti, da so tudi njihovi časi zelo kratki (reda milisekund) in da lahko zaradi tega

predpostavimo, da se nekondenzirajoči plin v mehurčku obnaša adiabatno. Tako so različni

avtorji ocenili različne vrednosti tlaka in temperature v mehurčku. Tako se nekatere vrednosti

tlaka in temperature v centru napr. 6700 𝐾 in 848 bar (Tomita in Shima) [3].

Pomembno vlogo igra tudi oblika mehurčka, ki v realnem svetu ne ohranja vedno

krogelne oblike. Nastanek nesimetrije je posledica spreminjanja tlačenega polja okrog

mehurčka, medtem ko ta v mehurčku ostaja približno enakomerno porazdeljen [4].

2.7 Kavitacijske poškodbe

Verjetno je ena izmed največjih težav, ki jih povzroča kavitacija odnašanje materiala, ki ga

povzroča kavitacijski mehurček ob svojem kolapsu v bližini trdne površine. Zaradi zahtevnosti

problema, ki je kombinacija med nestacionarnim tokom in reakcijo delca materiala ob steni, je

še vedno predmet številnih raziskav. V prejšnjem poglavju smo pokazali kako silovite so

razmere do kolapsa, kjer se lokalno ustvarijo visoko amplitudni valovi in mikrocurki. Ti

povzročijo v materialu napetosti. Če se to ponavlja dlje časa, povzroči poškodbe na površini in

odnašanje materiala, ki nastopi v obliki odcepitve majhnih delčkov. Površino, ki je bila na udaru

kavitacije zlahka prepoznamo po značilnem hrapavem, nazobčano kristalnem videzu. V

povezavi s korozijo proces kavitacije na jeklenih in železnih materialih še pospešuje poškodbe

materiala [3].

Slika 2.6: Kavitacijska erozija na lopatici črpalke [3]


- 14 -

2.8 Eksperimentalna proga

Diplomska naloga temelji na eksperimentalni progi, kjer so bile prehodno že izvedene meritve.

Merilna proga se nahaja na Inštitutu Hidrija Godovič. Shema uporabljene merilne proge je

prikazana na spodnji sliki:

Slika 2.7: Shema merilne proge [2]

S stališča opazovanja pojava, je najpomembnejši del merilne proge kavitacijski tunel, kjer

se preučujejo vplivi kavitacije na posamezne elemente hidravličnih strojev. Sestavljen je iz

jeklenega ohišja, na katerega je privijačeno pleksi steklo, da lahko proces tudi vizualiziramo

[10].


- 15 -

Slika 2.8: Kavitacijski tunel [10]

Na vsaki strani kavitacijskega tunela sta nameščena dva zaporna ventila, ki preprečujeta

odtekanje vode ob posegih. Pri določenih meritvah je potrebno v sistemu doseči podtlak, pri

tem si pomagamo z vakuumsko črpalko. Ta je preko tripotnega ventila povezana z atmosfero

in rezervoarjem. Osnovna naloga rezervoarja je razplinjenje vode, saj ta zaradi kavitacije

vsebuje povečano količino plinov, ki se morajo izločiti. Služi pa tudi za umiritev vode, ki priteče

iz tlačnega cevovoda, da lahko zagotovimo čimbolj konstantne pogoje. V merilni progi so

nameščena tudi razna tlačna zaznavala, termometri in merilnik pretoka. Uporaba zaznaval in

njihova postavitev v kavitacijskem tunelu je odvisna od problema in vrste raziskave [10] [2].

V kavitacijski postaji se je nahajalo približno 1𝑚3 vode. Vodo je po sistemu gnala

radialna črpalka. Voda v naprej ni bila prečiščena ampak je bila uporabljena navadna voda iz

pipe. Parametri za oceno kvaliteto vode niso bili izmerjeni. Delavni tlak v sistemu se zagotavlja

z vakuumsko črpalko skozi tripotni ventil [2].

2.9 Računalniška dinamika tekočin

Namen diplomske naloge predstavlja računalniška simulacija toka okrog valjaste ovire v

kavitacijskem tunelu iz prejšnjega primera. Na začetku bodo podane nekatere teoretične osnove


- 16 -

računalniške dinamike tekočin in njihove enačbe, v nadaljevanju pa sledi konkreten opis

problema in njegovo reševanje.

Računalniška dinamika tekočin (RDT) oz. v angleščin Computational fluid

dynamice(CFD) predstavlja pomembno vejo inženirskih znanosti. Ukvarja se z reševanjem

zahtevnih inženirskih problemov iz področja prenosnih pojavov (prenosa gibalne količine,

snovi in toplote). Za razliko od klasičnih analitičnih postopkov, ki so tukaj praktično nemogoči

se reševanja problema loteva numerično. Osnova modeliranja je sistem ohranitvenih zakonov

mase, gibalne količine, snovi in toplote v diferencialni obliki. Najosnovnejša obliko teh

zakonov predstavljajo Navier-Stokes enačbe, s katerimi opisujemo laminarni in turbulentni tok.

Rezultat računanja so vrednosti odvisnih spremenljivk v posameznih točkah računskega

območja [5].

2.9.1 Zakon ohranitve mase

Masa sistema je konstantna, na podlagi tega izpeljemo zakon ohranitve mase sistema. Če

napišemo enačbo za kontrolni volumen 𝑉0 in kontrolno površino, dobimo naslednjo integralsko

obliko [11],

𝜕

𝜕𝑡∫

𝑉0 𝜌 𝑑𝑉 + ∫

𝐴0𝜌�⃑� 𝑑𝐴 = 0 (2.9)

ki pravi da sprememba mase v kontrolnem volumnu enaka pretoku preko kontrolnih

površin. Z Gaussovim stavkom lahko površinski integral spremenimo v volumskega in dobimo

diferencialno obliko zakona [11],

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕𝜌𝑣𝑗

𝜕𝑥𝑗= 0 (2.10)

ki je poznana tudi pod imenom kontinuitetna enačba [11].

2.9.2 Zakon ohranitve gibalne količine

Rezultirajoča sila okolice, ki deluje na kontrolni volumen je enaka časovni spremembi gibalne

količine v kontrolnem volumni in njenemu dotoku preko kontrolnih površin [11].

�⃗� = ∫𝑉0

𝜕(𝑣𝑖 𝜌)

𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∫

𝐴0 𝑣𝑖𝑛𝑗 𝑣𝑗𝜌 𝑑𝐴 (2.11)

Rezultanto zunanjih sil podamo kot vsoto površinskih in volumskih sil [11].

�⃗� = �⃗�𝑉 + �⃗�𝑆 = ∫𝑉0

𝑓𝑚𝑖 𝜌 𝑑𝑉 + ∫𝐴0

𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗𝑑𝐴 (2.12)


- 17 -

Če zgornji enačbi med seboj povežemo dobimo [11],

∫𝑉0

𝑓𝑚𝑖 𝜌 𝑑𝑉 + ∫𝐴0

𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗𝑑𝐴 = ∫𝑉0

𝜕(𝑣𝑖 𝜌)

𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∫

𝐴0 𝜌𝑣𝑖𝑛𝑗 𝑣𝑗 𝑑𝐴 (2.13)

dobimo integralsko obliko zakona ohranitve gibalne količine, ki jo lahko ob uporabi

Gaussovega izreka pretvorimo v diferenicalno [11].

𝜌𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+ 𝜌𝑣𝑗

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗= 𝜌𝑓𝑚𝑖 +

𝜕𝜎𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑗 (2.14)

2.9.3 Zakon tečenja – konstitutivni model

Z zakoni tečenja ali kot jih imenujemo tudi drugače konstitutivnimi modeli povezujemo

funkcijsko odvisnost med napetostnim tenzorejm 𝜎𝑖𝑗 oziroma viskoznim napetostnim

tenzorjem 𝜏𝑖𝑗[11],

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 (2.15)

in hitrostnim deformacijskim tenzorjem 휀�̇�𝑗 [11].

휀�̇�𝑗 =1

2(

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑥𝑖) (2.16)

Stisljivo viskozno newtonsko tekočino podamo z enačbo [11],

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜂휀�̇�𝑗 −2

3𝜂휀�̇�𝑘𝛿𝑖𝑗 (2.17)

kjer je 𝛿𝑖𝑗kroneckerjeva delta funkcija in 휀�̇�𝑘 = 𝑑𝑖𝑣 �⃗� [11].

2.9.4 Navier-Stokesove enačbe

Dinamiko realne nestacionarne viskozne tekočine opišemo z Navier-Stokesovimi enačbami,

kjer poleg zunanjih sil upoštevamo še viskozne sile. Izpeljemo jih iz upoštevanja zakonov

tečenja 2.9.3 in gibalne enačbe [11].

𝜌𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+ 𝜌𝑣𝑗

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗= 𝜌𝑓𝑚𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+ 𝜂

𝜕

𝜕𝑥𝑗(

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑥𝑖) (2.18)

Zgornja enačba predstavlja tenzorski zapis Navier-Stoksevih enačb. Če sistemu

priključimo še kontinuitetno in energijsko enačbo dobimo tako imenovani sistem Navier-

Stokesovih enačb, ki predstavlja nelinearni sistem, parcialnih diferencialnih enačb osnovnih

zakonov [11].


- 18 -

Zgornja enačba je napisana v nekonzervativni obliki, če upoštevamo še [11],

𝑣𝑗𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗=

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑗𝑣𝑖) − 𝑣𝑖

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑥𝑗=

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑖𝑣𝑗) (2.19)

jo lahko zapišemo v konzervativni obliki, ki je v mnogih primerih bolj primerna za

uporabo [11],

𝜌𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+ 𝜌

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑗𝑣𝑖) = 𝜌𝑓𝑚𝑖 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+ 𝜂

𝜕

𝜕𝑥𝑗(

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑥𝑖) (2.20)

2.9.5 Reynoldsove enačbe

Z Navier-Stokesovimi enačbami popišemo laminarni kot tudi turbulentni tok, vendar pa je v

praski zaradi velikosti sistema direktno reševanje enačb neprimerno. Pri tem si pomagamo z

rešitvami za časovno povprečne vrednosti toka tekočine. Pri povprečenju enačbe iz prejšnjega

poglavja lahko zapišemo tenzorski zapis kot [11]:

𝜌𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑡+ 𝜌

𝜕

𝜕𝑥𝑗(�̅�𝑗�̅�𝑖) = 𝜌𝑓𝑚𝑖 −

𝜕�̅�

𝜕𝑥𝑖+ 𝜂

𝜕

𝜕𝑥𝑗(

𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕�̅�𝑗

𝜕𝑥𝑖) − 𝜌0

𝜕

𝜕𝑥𝑗(𝑣𝑖

,𝑣𝑗,̅̅ ̅̅ ̅) (2.21)

Enačba predstavlja Reynoldsove enačbe turbulentnega toka newtonske nestisljive za

časovno povprečne vrednosti veličin toka. Od Navier-Stokesovih enačb se razlikujejo za člen

turbulentnih napetosti [11],

𝜏̅ = −𝜌0(𝑣𝑖,𝑣𝑗

,̅̅ ̅̅ ̅) (2.22)

Reynoldsov tenzor turbulentnih napetosti je simetričen, tako da ima šest neodvisnih

komponent. Sistem poleg osnovnih časovno povprečenih veličin tokovnega polja vsebuje

komponente turbulentnih napetosti, da je sistem rešljiv potrebujemo dodatne enačbe oz. zveze

v obliki turbulentnih modelov, s katerimi sistem Reynoldsovi sistem enačb končamo oz.

sklenemo [11].

2.9.6 Turbulentni modeli

Turbulentni modeli povezujejo Reynoldsove napetosti s srednjimi vrednostnimi toka tekočine.

Predstavlja sistem parcialnih diferencialnih enačb s katerimi opisujemo vpliv turbulence na

časovno povprečne vrednosti toka. Poznamo več vrst turbulentnih modelov, ki jih delimo na

podlagi števila dodanih enačb, na modele ničtega reda, enoenačbne, dvoenačbne in modele

Reynoldsovih napetostih [11].


- 19 -

2.9.7 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti

Pri tej metodi izrazimo turbulentne napetosti (−𝜌0(𝑣𝑖,𝑣𝑗

,̅̅ ̅̅ ̅) iz Boussinsequeovo apriksimacijo

[11],

−𝜌0𝑣𝑖,𝑣𝑗

,̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌0𝜈𝑇 (𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕�̅�𝑗

𝜕𝑥𝑖) −

2

3𝛿𝑖𝑗𝑘 (2.23)

kjer je k povprečna turbulentna kinetična energija turbulentnih fluktacij [11],

𝑘 =1

2𝑣𝑖

,𝑣𝑗,̅̅ ̅̅ ̅ (2.24)

in 𝜈𝑇 turbulentna viskoznost [11].

𝜈𝑇 = (𝜂𝑡

𝜌) (2.25)

Zadnji člen v enačbi 2

3𝛿𝑖𝑗𝑘 pomeni razširitev Boussinsequeove hipoteze, ki se poistoveti

s tlakom in ga prištejemo statičnemu tlaku. Z upoštevanje zgornjih odvisnosti pa lahko sistem

Reynoldsovih enačb zapišemo kot [11],

𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑥𝑖= 0 (2.26)

𝐷�̅�𝑖

𝐷𝑡=

𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑡+

𝜕�̅�𝑖�̅�𝑗

𝜕𝑥𝑗= 𝑓𝑚𝑖 −

1

𝜌0

𝜕�̅�

𝜕𝑥𝑖+ [𝜈𝑒 (

𝜕�̅�𝑖

𝜕𝑥𝑗+

𝜕�̅�𝑗

𝜕𝑥𝑖)] (2.27)

neznanka �̅� = (�̅� +2

3𝜌0𝑘) predstavlja modificiran tlak in 𝜈𝑒 = (𝜈0 + 𝜈𝑡) dejansko

viskoznost. Pogoj za veljavnost modela je izotropija turbulence, ker jo podamo s skalarno

veličino turbulentne viskoznosti 𝜂𝑡. Za anizotropno turbulenco primer ni primeren [11].

2.9.8 Standardni k-휀 model

Je najpomembnejši in najbolj razširjen dvoenačbni model. Spremenljivka k je turbulentna

kinetična energija, 휀 pa pomeni disipacijo hitrosti turbulentne kinetične energije. Model je v

literaturi pogosto uporabljen za simulacijo kavitirajočih tokov. Karakteristične veličine

definiramo z [11]:


- 20 -

Karakteristična hitrost

�̂� = √𝑘 (2.28)

Karakteristična dolžina

𝐿 = 𝐶𝜇𝑘3/2

𝜀 (2.29)

Turbulentna viskoznost

𝜈𝑡 = 𝐶𝜇𝑘2

𝜀 (2.30)

Disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije

휀 = 𝜈0

𝜕𝑣𝑖, 𝑣𝑗

,̅̅ ̅̅ ̅̅

𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑗 (2.31)

Disipacijska hitrost turbulentne kinetične energije podaja spremembo turbulentne energije toka

v toplotno. Pri določanju veličin k in 휀 uporabimo dodatni parcialni diferencialni enačbi, ki

vsebujeta nove empirične konstante in funkcije, npr. za k [11],

𝜕𝑘

𝜕𝑡+ �̃�𝑖

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑖=

𝜕

𝜕𝑥𝑖[(𝜈0 +

𝜈𝑡

𝜎𝑘)

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑖] + 𝑃 − 휀 (2.32)

in za 휀 [11],

𝜕𝜀

𝜕𝑡+ �̅�𝑖

𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑖=

𝜕

𝜕𝑥𝑖[(𝜈0 +

𝜈𝑡

𝜎𝜀)

𝜕𝜀

𝜕𝑥𝑖] + 𝐶1𝜀

𝜀

𝑘𝑃 − 𝐶2𝜀

𝜀2

𝑘 (2.33)

Konstante modela so: 𝐶𝜇 = 0.09, 𝜎𝑘 = 1.0, 𝜎𝜀 = 1.3, 𝐶1𝜀 = 1.44, 𝐶2𝜀 = 1,92

2.9.9 Turbulentna viskoznost

V nekaterih primerih simuliranja kavitacije je potrebno upoštevati popravek turbulentne

viskoznosti z namenom izboljšanja simulacije. V območju z velikim odstotkom parne faze

spremenimo izračunano turbulentno viskoznost [4].

𝜇𝑡 = 𝑓(𝑝) ∙ 𝐶𝜇 ∙𝑘2

𝜖 (2.34)

Kjer je 𝑓(𝑝) funkcija gostote in konstante n [4].

𝑓(𝑝) = 𝜌𝑝 +𝜌−𝜌𝑝

(𝜌𝑘−𝜌𝑝)𝑛 (2.35)


- 21 -

2.9.10 Večfazni model

Poznamo različne pristope modeliranja večfaznih tokov. Večina metod, ki modelira kavitacijo

obravnava dvofazni tok kot enofazni - parno kapljeviti tok mešanice, lahko pa obe fazi

modeliramo neodvisni ena od druge (napr. tok v šobi) [4].

2.9.10.1 Homogeni tok mešanice

Za stanje kavitacije je značilno, da se pojavi pri večjih hitrostih, pri tem lahko predpostavimo,

da ni zdrsa med posameznima fazama. Tukaj obravnavamo kavitirajoči tok, ki je mešanica

kapljevine in pare kot enofazni tok mešanice. Lastnosti posamezne faze priključimo k lastnosti

enofazne mešanice. Lastnosti podamo kot funkcije lokalnega deleža posamezne faze 𝛼 [4] [1].

𝛼 =𝑃𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑣 𝑐𝑒𝑙𝑖𝑐𝑖

𝑃𝑟𝑜𝑠𝑡𝑜𝑟𝑛𝑖𝑛 𝑐𝑒𝑙𝑖𝑐𝑒 (2.36)

Lastnosti mešanice, kot sta gostota in viskoznost definiramo s prostorskim deležem pare

𝛼, z modelom, ki ga je predlagal BAN-KOFF. Za gostoto [4][ 1],

𝜌 = 𝛼𝜌𝑝 + (1 − 𝛼)𝜌𝑘 (2.37)

in za viskoznost,

𝜇 = 𝛼𝜇𝑝 + (1 − 𝛼)𝜇𝑘 (2.38)

Ko obravnavamo dvofazni tok s homogenim pristopom poleg kontinuitetne enačbe in

ohranitve gibalne količine, kjer upoštevamo lastnosti mešanice (𝜌𝑚 , 𝑣𝑚,𝜇𝑚), računamo še

enačbo ohranitve deleža faze [4] [1],

𝜕

𝜕𝑡(𝛼𝑘𝜌𝑘) + 𝛻(𝛼𝑘𝜌𝑘�⃗�𝑚) = �̇� (2.39)

ta se od modela do modela nekoliko razlikuje v osnovi pa je za vse enaka [4] [1].

2.9.11 Kavitacijski model

Uporabljen je bil kavitacijski model iz komercialnega programa, ki temelji na transportni

Rayleigh-Plessetovi enačbi. Model temelji na prenosu prostorninskega (masnega) deleža

kapljevite (parne) faze. Metoda upošteva vpliv časa na transport mase preko empiričnih enačb

za izvorni člen. Prednost se izkaže tudi v modeliranju vpliva notranjih sil na kavitacijske


- 22 -

strukture, ki se kažejo pri podaljševanju, odcepitvah in odnašanju mehurčkov. Pri določanju

gostote izhajamo iz enačbe iz prejšnjega poglavja, s to razliko da namesto prostorninskega,

uporabimo masni delež f [4],

1

𝜌=

𝑓𝑝

𝜌𝑝+

1−𝑓𝑝

𝜌𝑘 (2.40)

masni delež pare dobimo iz transportne enačbe [4],

𝜕

𝜕𝑡(𝑓𝑝𝜌𝑚) + 𝛻(𝑓𝑝𝜌𝑚�⃗�) = 𝛻(Γ𝛻𝑓𝑝) + 𝑅𝑒 − 𝑅𝑐 (2.41)

izvorna člena podajata nastajanje (uparjanje kapljevine) in ponor (kondenzacijo pare).

Člena sta odvisna od tokovnih razmer (hitrosti in statičnega tlaka) in lastnosti tekočine (gostota

kapljevina in pare, uparjalnega tlaka in površinske napetosti). Izpeljemo jo iz Rayleigh-

Plessetove enačbe ob zanemarjanju nekaterih členov višjega reda [4].

𝑅𝑒 = 𝐶𝑒 ∙√𝑘

𝛾∙ 𝜌𝑘 ∙ 𝜌𝑝 ∙ (1 − 𝑓𝑝 − 𝑓𝑝𝑙), ko je 𝑝 < 𝑝𝑝 (2.42)

𝑅𝑐 = 𝐶𝑐 ∙√𝑘

𝛾∙ 𝜌𝑘

2 ∙ √2(𝑝−𝑝𝑝)

3∙𝜌𝑘 ∙ 𝑓𝑝, ko je 𝑝 > 𝑝𝑝 (2.43)


- 23 -

3 NUMERIČNI PRERAČUN MODELA

3.1 Geometrija kanala

Da povečamo možnosti za nastanek kavitacije moramo zadovoljiti nekaterim fizikalnim

pogojem. Izhajajoč iz najpreprostejše energijske (Bernullijeve) enačbe vidimo, da moramo ob

želji po zmanjšanju tlaka v sistemu povečati hitrost. To storimo tako, da na določenem mestu v

sistemu zmanjšamo presek z vgradnjo ovire. V primeru eksperimenta izvedenega v laboratoriju

v Godoviči je ovira dolga 670 mm in široka 50 mm. Širina ovire je enaka širni kavitacijskega

kanala, to pa zato, da se izognemo špranjski kavitaciji. Na vsaki strani je radij velikosti 200

mm, ki skrbi za enakomeren prehod tekočine med presekoma. Na zgornji površini ovire se

nahaja valjasto telo, ki služi za intenzivnejšo kavitacijo. Premer ovire je 16 mm njena višina je

enaka višini testnega dela, kar je 10mm. Valjasta ovira je bila izdelana iz trde gume [2] [10].

Slika 3.1: 3D model ovire

670

50

D16

10


- 24 -

Pravo geometrijo oz. tokovni prostor za numerično domeno dobimo, ko od testnega dela

kavitacijskega kanala odštejemo volumen ovire. Grobe mere zunanjega dela kavitacijskega

tunela znašajo 800 × 50 × 100.

Slika 3.2: Tokovni prostor za numerično domeno

3.2 Mreženje kanala

Z računsko mrežo izbrano geometrijo definiramo in jo diskretiziramo. Numerična mreža mora

čim bolj natančno opisati geometrijo, saj ima ključen pomen za potek simulacije. Kvaliteta

mreže neposredno vpliva tudi na rezultate. Zato ji je pri simulaciji smiselno posvetiti nekoliko

več pozornosti. Z zahtevno geometrijo z veliko detajli se poveča njena kompleksnost kot tudi

njen čas izgradnje in njena končna velikost oz. število elementov. Poleg geometrije in računske

mreže pa je za dobre rezultate potreben tudi dober numerični model. Z večanjem mreže linearno

rastejo zahteve po večji računalniški zmogljivosti, zato se je potrebno pri generiranju mreže

prilagajati tudi zunanjim dejavnikom in včasih upoštevati številne kompromise. Natančnost

800

50

100


- 25 -

reševanja numeričnih enačb je odvisna od števila elementov oz. od števila vozlišč mreže v

katerih s programom iščemo rešitve, po navadi večje mreže rezultirajo tudi k boljšim rešitvam.

Ker kot že rečeno velike mreže zahtevajo veliko računalniško moč, temu pa se po navadi

poskušamo izogniti na ta način, da gosteje zamrežimo le lokalna območja, kjer predvidevamo,

da se bodo za naš proces odvijale nekatere pomembne spremembe. To so navadno območja

velikih prostorskih in časovnih gradientov reševalnih veličin [9].

V obravnavanem primeru smo za mreženje uporabili program Ansys in sicer smo to storili

kar z sistemskim orodjem Mesh. Uporabljene so bile standardne nastavitve, s popravkom da so

bile nastavljene največje in najmanjše velikosti elementov. Za popis stanja v bližini sten je bila

uporabljena funkcija »Infaltion«.

Za potrebe simulacije so bile s testirane tri različne računske mreže, rezultati so zbrani v

spodnji tabeli.

Tabela 3.1 : Primerjava mrež

Št. Elementov Št. vozlišč Hitrost na izstopu

(m/s)

Mreža 1 211230 67896 1,15

Mreža 2 458349 135787 1,09

Mreža 3 545457 158273 1,10

Mreža 4 740780 208969 1,08

Za voljo boljšega popisa dogajanja in omejene računalniške moči, smo se na koncu

vseeno odločili za mrežo številka 4, saj smo predvidevali, da bodo v simulaciji prisotne

spremembe na manjši skali.

3.3 Robni pogoji

Pri določanju robnih pogojev smo izhajali iz treh osnovnih računskih točk, ki so bile določene

na merilni progi v kavitacijskem tunelu. Izvedena je bila časovno odvisna oz. nestacionarna

simulacija.


- 26 -

Na podlagi drugih izkušenj raziskovalcev kavitacije je bil uporabljen popravek

turbulentne viskoznosti. To smo naredili tako, da smo v izračunu upoštevali teoretične izraze

za turbulentno viskoznost, ki so bili predstavljeni v poglavju 2.9.9. Za vrednost konstante n je

bila uporabljena vrednost 10 [2]. Po tem so se rezultati izboljšali in možna je bila primerjava

numeričnih rezultatov z eksperimentalnimi. Uporabljen je bil homogeni kavitacijski model.

Vzgona pri simulaciji nismo upoštevali.

Za boljši nadzor procesa med računanjem je bila izbrana točka (na sliki nadzorna točka),

kjer se je tekom simulacije spremljal potek tlaka, ki bi moral za oviro drastično pasti in pulzirati.

Slika 3.3: Domena z označenimi robnimi pogoji

Za vstopni robni pogoj je bil uporabljen tip »Inlet«, predpisana je bila hitrost iz spodnjih

obratovalnih točk. Ker pa imamo opravka z dvofaznim modelom je bilo potrebno predpisati še

vstopna deleža vodne in parne faze. Za izstop je bil uporabljen tip »Outlet«, predpisan je bil

statčni tlak.

Vstop

Nadzorna točka

Izstop


- 27 -

Eksperimentalne točke za katere je bil model preračun se nahajajo v spodnji tabeli:

Tabela 3.2: Obratovalne točke

Pri čemer smo kavitacijsko število izračunali iz enačbe 2.3.1 in upoštevali tlak nasičenja

vode pri 25℃, ki znaša 3166 Pa [7].

Iz volumskega pretoka je bilo potrebno za potrebe simulacije izračunati hitrost na vstopu

v kanal, ki ji dobimo iz spodnje enačbe,

𝑣 =�̇�

𝐴 [

𝑚

𝑠] (3.1)

�̇�- Volumski pretok

𝐴- površina

Obratovala točka 1 Obratovalna točka 2 Obratovalna točka 3

Referenčni tlak

[bar] 1,5 1,44 1,4

Volumski

pretok [𝑚3

𝑠]

5,5 ∙ 10−3 5,44 ∙ 10−3 5,42 ∙ 10−3

Hitrost[𝑚

𝑠] 1,1 1,09 1,08

Kavitacijsko

število- 𝜎 1,31 1,26 1,22


- 28 -

3.3.1 Parametri nestacionarnega izračuna

V spodnji tabeli 3.3 so podani parametri ne – stacionarnega izračuna, ki smo jih uporabili

pri nastavitvah:

Tabela 3.4 : Parametri časovno odvisne simulacije

Parameter časovne simulacije Vrednost

Časovnik korak 0,005 s

Število iteracij znotraj časovnega koraka 25

Ciljni ostanek 5 ∙ 10−4

Na spodnji sliki 3.4 je prikazan potek konvergiranja posameznih veličin med računanjem:

Slika 3.4 : Diagram konvergence


- 29 -

3.3.2 Snovske lastnosti

Kot medija, ki sta sodelovala v analizi sta bila voda in vodna para pri 25℃. Njune osnovne

lastnosti so zbrane v spodnjih tabelah:

Tabela 3.5: Uporabljene snovske lastnosti

Lastnost

Snov

Voda Vodna para

𝑇𝑟𝑒𝑓 [℃] 25 25

𝑀 [kg/kmol] 18,02 18,02

𝜌 [kg/𝑚3] 997 0,02308

𝑐𝑝 [J/kgK] 4181,7 1911,6

𝜂 [kg/ms] 8,89 ∙ 10−4 9,86∙ 10−6

3.4 Rezultati

V nadaljevanju so primerjani režimi kavitacije različne intenzitete.

3.4.1 Primerjava kavitacijskih oblakov

V tabeli 3.6 na slikah a – f je podana vizualna primerjava kavitacijskih oblakov. Iz slike pa tudi

iz simulacije je ravidno, da je točka 3, točka v kateri je kavitacija najintenzivnejša, saj je

vrednost kavitacijskega števila najnižja (𝜎 = 1,22). Pri simulaciji se kavitacijski oblak začne

približno na eni tretjini gledano od začetka ovire. Postopno se začenja debeliti. Največjo

debelino doseže nekoliko za oviro in znaša okrog 3,5 cm. V dolžino ocenimo oblak približno

na 4,8 cm. Najbolj intenzivna kavitacija se pojavi neposredno na površini čepa, kjer vidimo da

je tudi največji volumski delež pare (93%), od katere se oblak odtrga in potuje zopet v območje

visokega tlaka, kjer implodira. Če sedaj to primerjamo s sliko iz eksperimenta in upoštevamo

premer čepa, ki nam v tem primeru služi kot referenca, vidimo, da se dolžini oblaka še kar

dobro ujemata medtem, ko pa je širina oblika nekoliko prevelika. Po konturah vidimo, da je

delež pare na sliki 3a, ki je obarvana z najbolj svetlo barvo že zelo majhen, nekje med 9 in 18%.


- 30 -

Iz navedenega sledi, da vizualna primerjava ni najbolj primerna, saj iz fotografije težko

razberemo volumske deleže.

V obratovalni točki 2 ( pri 𝜎 = 1,26) je v primerjavi z ostalima obratovalnima točkama

prišlo do srednje intenzivne kavitacije. Tudi po primerjavi kavitacijskih števil se točka nahaja

nekje na polovici, kavitacijski oblak pa je še relativno velik. Če zopet ocenimo dolžino oblaka

vidimo, da je nekoliko krajša, kot iz prehodnega primera in znaša okrog 4 cm. Debelina ostaja

približno enaka. Dokaj opazna je razlika za oviro, kjer vidimo, da para ne objame več celotne

ovire, ampak se znotraj oblaka pojavi žep kjer pare ni. Vidimo, da je v eksperimentalnem

primeru ta žep dosti manj očiten. Simulacija pokaže, da v njem samo voda, medtem ko

fotografija pokaže tam še na videz dokaj velik delež pare. Največji delež pare se pojavi ob

stenah čepa in znaša 93%.

V zadnji obratovalni točki ( 𝜎 = 1,31) je kavitacija najmanj intenzivna. Kavitacija se

pojavi le ob stenah čepa, pa še to v dokaj majhni meri. Iz simulacije je razvidno, da prihaja do

trganja kavitacijskega oblaka, ki se tvori ob steni in nato potuje skupaj s tokom do implozije.

Tukaj znaša največji volumski delež pare 92%.

Tabela 3.6: Vizualna primerjava kavitacijskih oblakov

Kavitacijsko

število

CFX Eksperiment

𝜎=

1,2

2

a)

b)


- 31 -

𝜎=

1,2

6

c)

d)

𝜎=

1,3

1

e)

f)

3.4.2 Porazdelitev tlaka

Na slikah 3.5 do 3.7, je prikazana porazdelitev absolutnega tlaka vzdolž geometrije.

Vidimo, da na začetku (gledano od leve proti desni), ko voda naleti na oviro in se presek zooži

pride do spremembe tlaka. Tlak pada do valjaste ovire, kjer kot posledica zastojnega tlaka,

absolutni tlak zopet naraste. Za oviro tlak pade na tlak nasičenja, ki je v našem primeru v najnižji

točki enkak 3166 Pa. V tem delu pride do kavitacije. Zatem se tlak zopet začne postopno

dvigovati. Vrednsoti tlakov v posmeznih primerih so razvidne iz legende.


- 32 -

Slika 3.5: Porazdelitev tlaka v obratovalni točki 3




- 33 -

3.4.3 Pulzacije tlaka v tokovni brazdi

Kavitacijo v fazi kolapsa oblaka oz. mehurčka spremljajo tlačne pulzacije. V ta namen

smo med časovno odvisnim izračunom spremljali vrednost tlaka v točki za valjasto oviro

(koordinate točke x = 0.395, y = 0.095, z = 0.025, glede na izhodiščni koordinatni sistem). Na

sliki 3.8 je razvidno, da je frekvenca pulzacij tlaka enaka 20 Hz, kar se ujema z velikostnim

razredom merjenih pulzacij v [2].

𝑓 =1

𝑡0=

1

0,05= 20 𝐻𝑧 (3.2)

Slika 3.8: Tlačne pulzacije v tokovni brazdi za valjasto oviro

0,05 s

s

0,05 s

s

0,05 s

s

0,05 s

s


- 34 -

3.4.4 Karmanova vrtinčna steza

Porazdelitev hitrosti po domeni lahko prikažemo na različne načine. V nadaljevanju smo pod

drobnogled vzeli tokovno dogajanje za oviro. Pričakovano se v sistemu pojavijo veliki gradienti

hitrosti v brazdi, kjer intenziteta turbulence velika. Enako velja za območje na koncu domene,

pri ponovni razširitvi kanala.

V primeru obratovalne točke 3 (𝜎 = 1,22), kjer je bila kavitacija najintenzivnejša, se za

oviro pojavijo vrtinci, ki ustrezajo Karmanovi vrtinčni sledi. V tabeli 3.7 je po časovnih korakih

prikazano vektorsko polje hitrosti za obratovalno točko z največjo hitrostjo oz. Reynoldsovim

številom (Re =190889) v časovnem intervalu 0,2 s.


- 35 -

Tabela 3.7: Časovni prikaz slik karmanovega vrtinca

t =0,00s

t =0,005s

t =0,01s

t =0,02s

t =0,03s

t =0,04s


- 36 -

t =0,05s

t =0,06s

t =0,07s

t =0,08s

t =0,09s

t =0,1s


- 37 -

t =0,11s

t =0,12s

t =0,13s

t =0,14s

t =0,15s

t =0,16s


- 38 -

t =0,17s

t =0,18s

t =0,19s

t =0,2s


- 39 -

4 DISKUSIJA

Tok kavitacije je bil z numeričnim modelom preračun za tri različne obratovalne točke, za

katere smo že imeli na voljo eksperimentalne vrednosti. Te točke so se med seboj razlikovale

po vrednostih hitrosti in referenčnih tlakih. S tem smo dobili tri različna kavitacijska števila, na

podlagi katerih vrednosti smo nato pričakovali tudi tri različno intenzivne kavitacije. To je

simulacija tudi potrdila. Dobili smo tri različne kavitacijske oblake, ki smo jih vizualno

primerjali s slikami iz eksperimenta.

Ugotovili smo, da je mogoča le kvalitativna primerjava rezultatov. Zaradi poenostavljenega

homogenega transportnega modela namreč ni mogoča podrobnejša in kvantitativna primerjava.

Razlog za to so empirični parametri s katerimi se modelira faza uparjanja in implozije

kavitacijskih mehurčkov in so odvisni od posameznega tokovnega primera. Modifikacija

turbulentne viskoznosti se je izkazala za učinkovito saj so bile izračunane dolžine oblakov

primerljive z eksperimentalno dobljenimi.

Numerični preračun oz. programsko orodje Ansys CFX se je izkazalo za učinkovito orodje pri

iskanju osnovnih smernic analiziranja procesa, vendar pa je potrebno za podrobnejšo analizo

še vedno uporabiti eksperiment. V bodoče bi bilo pametno izboljšati prenosno enačbo ali pa

uporabiti dvoenačbni model z upoštevanjem interakcije med obema faza, ki v domeni nastopata

in nato primerjati rezultate z rezultati te simulacije in eksperimentom.


- 40 -

5 SKLEP

Izvedena numerična analiza kavitacije v kavitacijskem tunelu je bila narejena za tri različne

obratovalne točke v katerih smo kvalitativno primerjali velikosti kavitacijskih oblakov, tlačno

polje in nihanje tlaka za oviro.

Rezultati časovno odvisne simulacije so pokazali zadovoljivo ujemanje med simulacijo in

eksperimentom. Za natančnejšo oz. kvantitativno primerjavo rezultatov numerične analize z

eksperimentom bi bilo nujno izboljšati matematično – fizikalni model.

Programsko orodje Ansys CFX se je izkazalo kot učinkovito orodje za osnovni študij

kavitacije. Na takšen način lahko relativno hitro in poceni pridemo do zadovoljivih rezultatov.


- 41 -

SEZNAM UPORABLJENIH VIROV

[1] Bachert Rudolf, Dular Matevž, Stoffel Bernard. Časovno odvisna simulacija,

vizualizacija in meritve kavitacije z metodo PIV-LIF na različnih osamljenih profilih.

Strojniški Vestnik, (2005), vol.51, no.1, str.13-27.

[2] Biluš Ignacijo, Bombek Gorazd, Cenčič Tine, Hočevar Marko,Petkovšek Martin, Širok

Brane. The experimetal Analysis of cavitating structure Fluctuations and pressure

pulsations in the cavitation station. Strojniški vestnik, (2014), vol.60, no.3, str.147-157.

[3] Brennen E.Christopher. Cavitation and Bubble Dynamics. New York, Oxford: Oxford

University Press, 1995.

[4] Dular Matevž, Stoffel Bernard, Širok Brane. Kavitacija, prvi natis. Ljubljana: i2 družba

za založništvo, izobraževanje in raziskovanje d.o.o, 2006.

[5] Hriberšek Matjaž, Škerget Leopold. Računalniška dinamika tekočin [svetovni splet].

Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2005, Dostopno preko: http://iepoi.uni-

mb.si/hribersek/Stud_gradivo/cfd-temp.pdf [12.8.2014].

[6] Karman vortex street [svetovni splet]. Wikipedia The Free Encyclopedia. Dostopna na:

http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street[12.8.2014].

[7] Kraut Bojan. Krautov strojniški priročnik, 15 slovenska izdaja/ izdajo pripravila Jože

Puhar, Jože Stropnik. Ljubljana: Littera picta, 2011.

[8] Razvrstitev turbostrojev in osnove mehanike tekočin[svetovni splet], Turbolab Ljubljana.

Dostopna na: http://lab.fs.uni-lj.si/lvts/datoteke/crpalke%20predavanja%20skripta.pdf

[12.8.2014].

[9] Rojc Grega. Numerična analiza obratovalnih karakteristik aksialnega ventilatorja z

lopaticami, vpetimi v pesto na obodu rotorja: diplomsko delo. Maribor: Fakulteta za

Strojništvo, februar 2014.

[10] Rudolf Jan. Vpliv vgradnje zaznaval pri diagnostiki v turbinskih strojih: diplomska

naloga. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, avgust 2011.

[11] Škerget Leopold. Mehanika tekočin. V Mariboru: Tehniška fakulteta Maribor in v

Ljubljani Fakulteta za strojništvo, 1994.

[12] Von Karmanova vrtinčna steza [svetovni splet]. Shrani.si. Dostopna na:

http://shrani.si/files/vonkarman1070v.pdf [12.8.2014].

numeriČna analiza kavitacije v toku okoli valjaste …

Documents