o. a. agust n-aquino utm

O. A. Agustın-Aquino UTM

Del pensamiento aritmetico al lenguaje

algebraico

Octavio Alberto Agustın Aquino

Universidad Tecnologica de la Mixteca

Julio de 2018

1


Numeros disfrazados: aritmetica y algebra

Objetivo

Observar la naturaleza algebraica de algunos problemas surgidos

en el antiguo Egipto y Mesopotamia, pese a que su solucion

aparenta ser puramente aritmetica.

2


EGIPTO

3


Retrato de Alexander Henry Rhindpintado por Alexander S. Mackay,1874.

El papiro de Rhind fue encontra-

do en Tebas en las ruinas de un

pequeno edificio junto al templo

a Ramses. Despues fue compra-

do en Luxor, Egipto, en 1858

por el escoces Alexander Henry

Rhind, y finalmente fue hereda-

do al Museo Britanico en 1864.

4


Fue escrito alrededor del 1650 a. C. por el escriba Ahmose duran-

te el reinado del faraon Apopis, de la quinceava dinastıa. Ahmose

asegura que lo copio de otro hecho durante la doceava dinastıa,

que corrio de 1849 a 1801 a. C.

Escarabajo de esteatita con el nombre del faraon Apopis, Museo de Bellas Artes, Boston.

5


El papiro de Rhind inicia con una tabla de descomposicion de las

fracciones 25,

27, . . . ,

2101. Por ejemplo, 2

15 = 110 + 1

30.

Continua con la descomposicion de 110, . . . ,

910 en fracciones con

numerador unitario o 2. Por ejemplo, 910 = 2

3 + 15 + 1

30.

Despues vienen 84 problemas aritmeticos y geometricos variados.

6


Texto hieratico del papiro matematico de Rhind, Museo Britanico, Londres.

7


El tercer problema del papiro de Rhind pregunta

¿Como se dividen 6 hogazas de pan iguales entre 10 per-

sonas?

Buscamos una fraccion tal que, al multiplicarla por 10, nos de

6. Si postulamos que tal fraccion es 1/2, no funciona porque(1

2

)10 = 5.

¡Pero ya solo nos falta 1!

8


¿Como podemos obtener el que nos falta? Puesto que(1

10

)10 = 1

podemos sumar lo que tenemos hasta ahora para obtener(1

2

)10 +

(1

10

)10 =

(1

2+

1

10

)10 = 5 + 1 = 6.

9


La respuesta 12 + 1

10 era completamente satisfactoria para los

egipcios, pues es una suma de fracciones con numerador igual a

1 o 2. Ademas, es relativamente practica, pues lo que tenemos

que hacer es dividir a la mitad 5 de los panes, en 10 partes al que

falta y darle una mitad y un decimo a cada una de las personas.

10


El metodo egipcio de postular una solucion y despues corregir

segun lo que nos falte para llegar a la respuesta correcta se le

ha llamado metodo de la falsa posicion.

Ejercicio 1. Encuentre, con el metodo egipcio de falsa posicion,

como repartir 9 hogazas entre 10 personas. Explique como puede

obtenerse la respuesta del papiro que es 23 + 1

5 + 130.

11


Al jugar con este metodo un rato, le surgen a uno preguntas

como la numero 25 del papiro: ¿que cantidad mas su mitad es

igual a 16? Postulemos, por ejemplo, que es 10, porque es facil

dividirla entre 2. Nos da

10 +10

2= 10 + 5 = 15.

12


Nos falta 16−15 = 1. A los egipcios les gusta mucho la fraccion23, y como

2

3+

2/3

2= 1,

entonces la respuesta es 10 + 23. En efecto

16 = 15 + 1 =(

1 +1

2

)10 +

(1 + 1

2

) 2

3=(

1 +1

2

)(10 +

2

3

).

Ejercicio 2. Pruebe con el problema 26 del papiro, que pregunta

por una cantidad tal que sumada con su cuarta parte da 15.

13


MESOPOTAMIA

14


Cerca de 3,000 a. C., los “babilonios” (pues en realidad hay to-

da una serie de cambios sociohistoricos en Mesopotamia a lo

largo de los milenios) desarrollaron un sistema de escritura pic-

tografica. Se hacıa con un estilete triangular sobre barro fresco.

Como las marcas parecen pequenos conos, por eso la escritura

se denomina cuneiforme.

15


Los babilonios representaban los numeros en el sistema sexage-

simal, esto es, en base 60. Sin entrar en las exquisiteces de la

escritura cuineiforme, usaremos la representacion con una mez-

cla de numeros decimales, separando los dıgitos con comas y con

un punto y coma distinguiremos a la parte fraccionaria. Ası

3,25,0; 3,30 = 3 · 602 + 25 · 60 + 0 · 1 +3

60+

30

602

= 12300.053.

16


Coleccion digital de la Universi-dad de Pennsylvania, LJS 201,1990-1700 a. C.

Los matematicos babilonios

preparaban tablas para rapida

consulta, como la que se ve a la

izquierda.

Numero Recıproco2 0; 303 0; 204 0; 157 0; 8,34,178 0; 7,30

11 0; 5,27,16,21,49

17


La suma, resta, y multiplicacion procedıa como lo harıamos no-

sotros con la notacion decimal. Sin embargo, para la division,

aprovechaban la identidad

a

b= a

(1

b

).

Por ejemplo, si queremos calcular 7/8 tenemos

7(0; 7,30) = 0; (7× 7), (7× 30)

= 0; 49,210

= 0; 49, (3× 60 + 30)

= 0; 49 + 3,30

= 0; 52,30.

18


En la tableta MS 2830 de la coleccion de Schøyen, aparece el

siguiente problema, en una formulacion mas comprensible para

el siglo XXI.

Hay cuatro bienes que podemos comprar. Por un shekel

de plata nos dan un volumen del primero, 2 del segundo,

3 del tercero y 4 del ultimo. Si disponemos de 1 she-

kel ¿cuanto podemos comprar de cada bien si hemos de

comprar la misma cantidad de cada uno?

19


20


Para resolver este problema, hay que encontrar el recıproco de

1, de 2, de 3 y de 4 pues ası averiguamos el “precio unitario” de

cada bien. Luego sumamos todos precios y dividimos al shekel

entre este precio total.

Ejercicio 3. Expresar el resultado en notacion sexagecimal.

21


Ejercicio 4. En la tableta de la coleccion de Yale 4652 (1900-

1600 a. C) aparece el siguiente problema:

Tome una piedra, pero no la pese. Le anadı 1/7 de su

peso, y luego le anadı 1/11 de este nuevo peso, y obtuve

2,24,22; 30. ¿Cual era el peso original de la piedra?

Resuelvalo, usando la notacion babilonia de ser posible.

22


ARITMETICA

Y

ALGEBRA

23


Opinion popular:

1. La diferencia entre el algebra y la aritmetica es el uso deletras.

2. Las letras se utilizan para representar cantidades que aun nose conocen o incognitas.

Por ejemplo, Aurelio Baldor en su famoso libro de texto dice:

En Algebra, para lograr la generalizacion, las cantidadesse representan por medio de letras, las cuales puedenrepresentar todos los valores.

24


Estas opiniones de suyo no estan equivocadas, pero hemos vistoque problemas algebraicos y aritmeticos se escribieron en pro-sa llana en la antiguedad, y que ambos piden determinar unacantidad. ¿Cual es la diferencia?

Problema aritmetico ¿Cuanto vale 10 por 610 despues de su-

marle 2?Problema algebraico ¿Cual es la cantidad tal que, despues de

multiplicarla por 10, al sumarle 2 da 8?

El problema aritmetico es simplemente calcular 10 × 610 + 2. Al

problema algebraico lo podemos escribir, denotando con x a lacantidad desconocida como

10x+ 2 = 8.

25


Esquematicamente, el proceso subyacente a ambos problemas es

(datos), (operaciones) −→ (resultado)

pero en el problema aritmetico

nos dan los datos y las operaciones y debemos encontrar

el resultado,

mientras que en el algebraico

nos dan el resultado y las operaciones, y debemos encon-

trar los datos originales.

26


Diferentes clases de numeros

Objetivo

Recordar que hay distintos tipos de numeros que limitan o facul-

tan el encontrar los datos dadas las operaciones y los resultados.

27


Los numeros naturales N a partir del 1 son mas que suficientes

para realizar solamente adiciones y multiplicaciones.

Sin embargo, nos limitan a la pura aritmetica. Es decir, basi-

camente solo nos pueden dar numeros y decirnos si hemos de

sumarlos o multiplicarlos.

28


Si nos preguntamos por el numero x tal que 5 + x = 7, salvo

por tantear la respuesta no podemos contestar eficazmente sin

utilizar la resta. Y para hacerla posible con toda generalidad, se

necesita el 0 y los numeros negativos. Ası obtenemos los numeros

enteros Z.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles an-

dere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker, citado por Heinrich Weber

29


La resta es un mecanismo para “deshacer” la suma y averiguar

un dato. ¿Se puede hacer lo mismo con la multiplicacion y buscar

un numero x tal que

12989x = 194835?

¿O que tal con

5x = 2?

30


Para poder dividir (esto es, deshacer la multiplicacion) excep-

to entre 0, necesitamos los quebrados. Es decir, los numeros

racionales Q.

Con los numeros racionales es posible hacer todas las operaciones

aritmeticas basicas: suma, resta, multiplicacion y division (salvo

entre 0). Por eso se le denomina cuerpo o campo.

31


Sin embargo, como veremos mas adelante, para resolver proble-

mas algebraicos es necesario “deshacer” el elevar al cuadrado,

esto es, multiplicar a un numero por si mismo. Esta operacion

nos lleva fuera de Q.

El numero√

2, que es tal que al elevarlo al cuadrado da 2, no

puede escribirse como un quebrado ab .

Usemos papiroflexia para entender por que.

32


Tomemos un cuadrado de 172 = 8.5 pulgadas de lado. Tenemos

que su diagonal mide√

217

2≈ 12

pulgadas.

¡Pero no puede dar exactamente 12! Para empezar, tendrıamos√2 = 24

17 y es una fraccion en sus mınimos terminos.

33


Doblemos a la mitad el cuadrado para apreciar mejor la diagonal.

34


Ahora tomemos un lado y hagamoslo coincidir con el pliegue

de la diagonal, y marquemos el pliegue resultante. Vean que se

forma un triangulo semejante al original pero mas pequeno.

35


Un cateto mide

12−17

2=

7

2.

Por ser un triangulo isosceles, la hipotenusa mide

17

2−

7

2= 5.

Ahora√

27

2= 5

lo que implica que√

2 = 107 , ¿no que estaba en sus mınimos

terminos?

Ejercicio 5. Adaptar este razonamiento con un pentagono, para

demostrar que 1+√

52 es irracional.

36


Las expresiones que se forman usando un numero finito de ope-

raciones racionales y extraccion de raıces son llamadas formulas

algebraicas.

Hemos apreciado como el cuerpo Q no es suficiente para resolver

todas las ecuaciones, pues x2 = 2 no se puede resolver con

racionales.

37


Otra ecuacion que no se puede resolver en los numeros racionales

es x2 = −1, y que introduce la unidad imaginaria i y con ella los

numeros complejos C.

La invencion ultima de numeros que necesitamos, para que cual-

quier ecuacion que involucre potencias y sumas y numeros del

cuerpo, tenga solucion en el cuerpo es el cuerpo de los numeros

algebraicos A. Este es un cuerpo algebraicamente cerrado. Tam-

bien C es algebraicamente cerrado, por el teorema fundamental

del algebra.

38


Vale recalcar que numeros algebraicos son todos los que pueden

formarse con suma, resta, multiplicacion, division y radicacion.

Por ejemplo, la expresion√

2 +√

3 representa 4 numeros posi-

bles. Son, de hecho, las raıces de una ecuacion con coeficientes

enteros, a saber

x4 − 10x+ 1 = 0.

39


Para apreciar otro poco que significa trabajar en un cuerpo que

no es Q ni C, consideremos todos los numeros de la forma

a+√

2b

con a y b numeros racionales. Podemos sumarlos o restarlos

(a1 +√

2b1)± (a2 +√

2b2) = (a1 ± a2) +√

2(b1 ± b2)

y multiplicarlos

(a1 +√

2b1)(a2 +√

2b2) = (a1a2 + 2b1b2) +√

2(a1b2 + a2b1)

y tienen la forma requerida.

40


La division es mas truculenta, pero funciona

a1 +√

2b1a2 +

√2b2

=a1 +

√2b1

a2 +√

2b2

(a2 −

√2b2

a2 −√

2b2

)

=a1a2 − 2b1b2 +

√2(a2b1 − a1b2)

a22 − 2b22

=a1a2 − 2b1b2a2

2 − 2b22+√

2

(a1a2 − 2b1b2a2

2 − 2b22

).

Este cuerpo se denota con Q(√

2).

Ejercicio 6. Compruebe que los numeros de la forma a+21/3b+

22/3c con a, b y c racionales, conforman un cuerpo.

41


Ecuaciones polinomiales y sus raıces

Objetivo

Veremos el proceso seguido por Al-Juarismi para plantear ecua-

ciones polinomiales de segundo grado y resolverlas, y como lo-

graba esto para algunas ecuaciones polinomiales de tercer grado

Omar Jayam combinando maravillosamente el algebra y la geo-

metrıa.

42


Imagen tomada de Espo-sito, John L., The Ox-ford History of Islam, OUP,2000, p. 186.

Mohammed ibn Musa al-Juarismi es

famoso por su tratado “Al-kitab al-

almukthtasar fi hisab al-gabr wa’l-

muqabala” (Tratado sobre el calculo

por algebra y almucabala), que le dio

el nombre al algebra, y que escribio al-

rededor de 820 d. C.

43


Para Al-Juarismi todo se construıa alrededor de las unidades

(dırhames), las raıces (jidhr o shay) y los cuadrados (mal) y

las ecuaciones que se podıan construir con ellos. Nosotros sim-

plemente escribiremos numeros, x y x2 en su lugar para ilustrar.

44


Al-Juarismi reducıa todas las ecuaciones posibles, lineales o cuadrati-

cas, a seis tipos:

1. Cuadrados iguales a raıces (x2 = x).

2. Cuadrados iguales a unidades (x2 = 2).

3. Raıces iguales a numeros (x = 3).

4. Cuadrados y raıces iguales a numeros (x2 + 10x = 39).

5. Cuadrados y unidades iguales a raıces (x2 + 21 = 10x).

6. Raıces y numeros iguales a cuadrados (3x+ 4 = x2).

45


Para realizar reduccion es que usaba el “algebra” y el ’almuca-bala”.

1. El algebra significaba completamiento o restauracion, lo queremovıa terminos negativos de una ecuacion. Por ejemplo,

x2 = 40x− 4x2,

5x2 = 40x.

2. El almucabala significa balanceamiento, lo que implica can-celar los terminos positivos de una misma potencia cuandoaparecen en ambos lados de la ecuacion. Por ejemplo

50 + 3x+ x2 = 29 + 10x,

21 + 3x+ x2 = 10x,

21 + x2 = 7x.

46


¡El algebra y el almucabala no son mas que pasar terminos su-

mando y restando!

La razon para separarlos y para hacerlos un poco rebuscados es

que a los arabes de la epoca de Al-Juarismi no les gustaban los

numeros negativos como coeficientes.

47


Veamos un problema planteado por Al-Juarismi.

Un cuadrado mas diez raıces son iguales a treinta y nueve

unidades.

Es del tipo cuatro, el primero que no es trivial. En sımbolos

modernos es

x2 + 10x = 39.

La estrategia de Al-Juarismi es la de completar el cuadrado.

48


Al-Juarismi basicamente dice: “Hay 10 raıces. Tomemos la mitad

de 10, que es 5. Sumemos de ambos lados 52 = 25”. En sımbolos

esto se ve ası

x2 + 10x+ 52 = 39 + 25 = 64.

“Tomemos la raız de 64, que es 8, y restemos a esto al numero

que es mitad de las raıces, que es 5, lo que nos deja 3. El numero

3 es entonces la raız”. En sımbolos

(x+ 5)2 = 84,

x+ 5 =√

84 = 8,

x = 8− 5 = 3.

49


Los pasos de Al-Juarismi son, pues, como sigue. Si tenemos

x2 + bx = c

entonces sumamos (b/2)2

x2 + bx+ (b/2)2 = c+ (b/2)2,

factorizamos

(x+ b/2)2 = c+ (b/2)2,

sacamos raız y “despejamos”

x =√c+ (b/2)2 − b/2.

50


Ejercicio 7. Utilice la completacion de cuadrados de Al-Juarismi

para resolver el problema: dos cuadrados y diez raıces son iguales

a 48 unidades. Al-Juarismi recomienda que, antes de empezar,

hay que “reducir” la ecuacion dividiendo todas las cantidades

entre dos.

51


Veamos otro ejemplo de Al-Juarismi del quinto tipo.

Dividı a 10 en dos partes y las multiplique por sı mismas, y

la suma de estos cuadrados es 58. ¿Cuales son las partes?

Sea x una parte. La otra es 10 − x. Si multiplicamos a 10 − xpor sı mismo, nos da 100− 20x+ x2. Sumando esto con x2, nos

debe dar

100− 20x+ x2 + x2 = 100− 20x+ 2x2 = 58.

52


Por algebra nos da

100 + 2x2 = 58 + 20x,

“reduciendo” por 2 nos da

50 + x2 = 29 + 10x

y por almucabala

21 + x2 = 10x.

53


Para resolver esto, Al-Juarismi otra vez completa cuadrados. Pa-

ra esto, toma la mitad del numero de raıces, esto es, 10/2 = 5,

y suma el cuadrado de ambos lados

21 + x2 + 25 = 10x+ 25.

Usando almucabala,

x2 + 25 = 10x+ 4.

54


Aquı Al-Juarismi se hace pato y como que aplica un algebra para

pensar que

x2 − 10x+ 25 = 4

lo que se factoriza como

(x− 5)2 = 4

y ya puede sacar raıces de modo que

x =√

4 + 5 = 7.

55


Ejercicio 8. Divida a 10 en dos partes de modo que cuando una

parte se divida entre la otra, la fraccion resultante sea 4.

Finalmente veamos como el polımata persa Omar Jayam (1048-

1131) resolvıa geometricamente la ecuacion cubica

x3 +Bx = C

con B y C numeros positivos. Observese que definiendo b =√B

y c = C/b2, se puede reescribir esto como

x3 + b2x = b2c.

56


Dibujemos una parabola con vertice en el origen y latus rectum

igual a b y luego un semicırculo de radio c/2 sobre dicho eje de

modo que pase por el origen.

x

y

Q RS

Pb

c

α

57


Sea P el punto donde se cortan el semicırculo y la parabola, y

PS el segmento perpendicular al eje de las abcisas. Afirmamos

que α = QS es una raız de la ecuacion.

x

y

Q RS

Pb

c

α

58


x

y

Q RS

Pb

c

α

La parabola tiene por ecuacion a y = x2/b, por lo que

PS =α2

bo sea

α

PS=

b

α.

59


x

y

Q RS

Pb

c

α

Una propiedad de los cırculos nos dice que PS es la mediageometrica de α y c− α, es decir

PS =√α(c− α)

y de aquı que

PS

c− α=

α

PS.

60


Juntando las ecuaciones obtenidas, resulta

b

α=

PS

c− α,

pero como PS = α2

b , al sustituir nos da

b

α=

α2/b

c− α,

y que basta transponer para verificar la ecuacion deseada.

61


Para terminar por hoy, un fragmento del Rubaiyat de Jayam.

Y allı estaba la puerta cuya llave no vi;

y allı se alzaba el velo que lo ocultaba todo:

un vago murmurar cerca de ti y de mi

se escucho... y despues nada, ni de mi ni de ti.

62


Enfoques numericos y simbolicos respecto a las ecuaciones

Objetivo

Estudiaremos un algoritmo clasico que describio Qin Jiushao pa-

ra aproximar las raıces (reales) de un polinomio con precision

arbitraria, y lo contrastaremos con las ideas babilonias y de del

Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Abel y Galois para encontrar-

las de manera exacta por medio de formulas algebraicas.

63


En el siglo trece presencio una de las cuspides en el desarrollo

de la matematica china. Los mejores matematicos, curiosamen-

te y para este caso, no eran funcionarios necesariamente sino

maestros errantes y academicos enclaustrados.

Es interesante que estos avances matematicos ocurrieran du-

rante un periodo de mucha inestabilidad del imperio chino. A

principios del siglo XIII se registraron las primeras avanzadas del

ejercito de Gengis Kan, que finalmente tomo el control de todo

el paıs para 1279.

64


Uno de los exponentes de este periodo es Qin Jiushao, el autor

del “Tratado Matematico en Nueve Secciones”, donde atribuye

su conocimiento a un maestro itinerante cuyo nombre omite.

Jiushao no era una persona particularmente agradable: se dice

que envenenaba a sus enemigos, y aunque llego a gobernador de

dos provincias, en un caso fue removido del cargo por corrupcion.

65


A diferencia de los arabes del siglo IX, los chinos del siglo XIII

aceptaban a los numeros negativos (que se imprimıan en rojo en

el tratado de Qin) y ya tenıan un sımbolo para el 0.

El tratado de Qin tambien es el primer escrito chino donde apa-

recen ecuaciones polinomiales de grado mayor a 3. Por ejemplo

−x4 + 736200x2 − 40642560000 = 0.

Ademas, la resuelve usando un algoritmo iterativo, como veremos

mas adelante.

66


Otro ejemplo impresionante proviene de plantear la ecuacion pararesolver el siguiente problema.

Hay una ciudad circular amurallada de diametro desco-nocido con cuatro puertas. Un arbol se encuentra a 3 lial norte de la puerta norte. Si uno camina 9 li hacia eleste desde la puerta sur, el arbol de divisa por primeravez. Calcule el radio de la ciudad.

Tomando a x2 como el diametro de la ciudad, Qin llega a laecuacion de decimo grado

x10 + 15x8 + 72x6 − 864x4 − 11664x2 − 34992 = 0.

(Aunque si se toma a x2 como el radio me sale

16x8 + 48x6 + 36x4 − 1944x2 − 2916 = 0.)

67


Figura del problema de la ciudad amurallada circular y el arbol de Qin Jiushao.

68


Fotografıa: Tang Ge.

Tambien es el notable “Espejo de Jade

de las Cuatro Incognitas” escrito por

Zhu Shijie, donde introduce en sus pri-

meras paginas los coeficientes de la ex-

pansion del binomio (x + 1)n hasta la

octava potencia.

69


El metodo para encontrar raıces cuadradas y cubicas aparecen

en el legendario libro “Nueve Capıtulos del Arte Matematico”,

que es una obra colectiva realizada entre los siglos decimo a.

C. y segundo d. C. Durante el siglo XI d. C. Liu I encontro

como extender el metodo para resolver ecuaciones cuadraticas,

y aunque su obra se perdio, quedo registrado en el libro de Yang

Hui de 1275.

En el curso de ocho siglos varias generaciones de matematicos

chinos encontraron como extender esto a ecuaciones de grado

cada vez mayor.

70


Precisamente Qin Jiushao explica en su libro el algoritmo general

para resolver ecuaciones polinomiales, en principio de cualquier

orden. Hay que considerar primero que para esto se necesitan

evaluar polinomios en diferentes numeros, y por eso descubrio

el llamado algoritmo de la division sintetica. Recordemos como

procede para el polinomio x4 − 10x2 + 1 al evaluarlo en 3 y 4.

x4 x3 x2 x 13 1 0 −10 0 1

3 9 −3 −91 3 −1 −3 −8

x4 x3 x2 x 14 1 0 −10 0 1

4 16 24 961 4 6 24 97

71


Por el calculo infinitesimal sabemos que los polinomios son fun-

ciones continuas, y como el polinomio cambio de signo entre 3

y 4, sabemos que tiene que anularse en algun lugar entre esos

numeros. Lo que hacıan los chinos es ahora poner que la solucion

es de la forma x = 3 + h, y sustituıan en el polinomio

(3 + h)4 − 10(3 + h)2 + 1.

Es para esto que querıan el triangulo de “Pascal”.

72


Lo anterior queda como

34 + 4(33)h+ 6(32)h2 + 4(3)h3 + h4 − 10(9 + 6h+ h2) + 1

= 81 + 108h+ 54h2 + 12h3 + h4 − 90− 60h− 10h2 + 1

= h4 + 12h3 + 44h2 + 48h− 8.

Vale notar que si p(x) es el polinomio, entonces los coeficientes

son p(k)(3)/k!, por la expansion de Taylor.

Ahora hay que probar con h = 0,0.1,0.2,0.3, . . . ,0.9 para averi-

guar el primer decimal.

73


Para no hacer mas largo un cuento ya de suyo muy largo, tene-

mos las siguientes evaluaciones.

x4 x3 x2 x 10.1 1 12 44 48 −8

0.1 1.21 4.521 5.25211 12.1 45.21 52.521 −2.7479

x4 x3 x2 x 10.2 1 12 44 48 −8

0.2 2.44 9.288 11.45761 12.2 46.44 57.288 3.4576

Esto quiere decir que la raız esta entre 3.1 y 3.2.

74


Ejercicio 9. Realizar los computos para encontrar otro decimal

de la raız del polinomio x4 − 10x2 + 1 con el metodo chino.

Vale mencionar que el matematico y astronomo persa Sharaf

al-Din al-Tusi descubrio este metodo para ecuaciones de tercer

grado en el siglo XII d. C.

Tambien que la matematica china entro en un declive en el siglo

XIV, al grado de practicamente ser olvidada y ni siquiera docu-

mentada sino fuera por algunos libros que llegaron a Corea y

Japon. En el siglo XVI y XVII algunos misioneros jesuitas (co-

mo el italiano Mateo Ricci) intentaron introducir la matematica

desarrollada por los occidentales en China, pero los academicos

chinos la rechazaron en favor de la “tradicional”. Esto saco del

mapa matematico a China durante otros trescientos anos mas.

75


A continuacion veremos como pudo haber aprovechado Al-Juarismi

los computos y razonamientos babilonios para encontrar sus meto-

dos generales de solucion de ecuaciones cuadraticas. Si sabemos

que todo polinomio de segundo grado x2+bx+c tiene dos raıces,

digamos u y v, sabemos que se puede escribir

x2 + bx+ c = (x− u)(x− v) = x2 − (u+ v)x+ uv

o sea

b = −(u+ v), c = uv.

A estas se le conocen como las formulas de Viete para el poli-

nomio de segundo grado.

76


Los babilonios, ası como tenıan tablas de recıprocos, tambien

tenıan tablas de cuadrados. La razon es que la multiplicacion se

puede escribir en terminos de cuadrados, por la famosa identidad

de polarizacion.

xy =(x+ y)2 − (x− y)2

4

Ası, si un babilonio querıa multiplicar dos numeros, sacaba su

diferencia, su suma, consultaba sus cuadrados en la tabla, restaba

los resultados y dividıa entre 4. Parece un proceso largo, pero

en notacion sexagesimal es mucho mas breve que si se hace la

multiplicacion directa.

77


De la identidad de polarizacion se deduce que(u− v

2

)2=(u+ v

2

)2− uv

y podemos “romper la simetrıa” tomando la raız cuadrada

u− v2

=

√(u+ v

2

)2− uv.

Recordando que u+ v = −b, entonces tenemos el sistema linealu+ v

2=−b2,

u− v2

=

√b2

4− c

que es muy facil de resolver y nos lleva a los algoritmos (!) de

Al-Juarismi.78


Retrato de fray Luca Pacioli haciendo matematica, pintado en 1495 tal vez por Jacopo

de’Barbari.

79


En 1494, en su libro “Summa de Arithmetica, Geometria, Pro-

portioni et Proportionalita”, el fraile Luca Pacioli declaraba que

la resolucion de ecuaciones cubicas era “tan imposible como la

cuadratura del cırculo”. Pero el matematico bolones Scipione del

Ferro (1465-1526) demostro que estaba equivocado, resolviendo

ecuaciones de la forma x3+px = q, para p y q positivos, de forma

simbolica (recordemos que Jayam ya podıa resolveras de forma

geometrica). Del Ferro nunca publico su solucion y solamente se

la confio a su discıpulo Antonio Maria Fiore.

80


En 1535, Niccolo “Tartaglia” Fontana logro resolver tambien las

cubicas de la forma x3 + px2 = q. Fiore creyo que mentıa y lo

reto a un duelo matematico: cada uno propondrıa 30 ecuaciones

y ganarıa el que pudiera resolver la mayor cantidad en 50 dıas.

Obviamente, gano Tartaglia.

81


Niccolo “Tartaglia” Fontana (1499-1557).

82


Cuando Girolamo Cardano escucho del duelo de Fontana y Fio-

re, fue a visitar al primero para suplicarle le diera a conocer su

formula, de modo que en un libro de matematica que estaba

escribiendo la pudiera publicar con su nombre. Al principio Tar-

taglia se nego, pero despues de mucha insistencia accedio, bajo

la promesa de que Cardano nunca revelara el secreto.

83


Girolamo Cardano (1501-1576) y su “Ars Magna”.

84


Sin embargo, en 1543 Cardano fue a Bolona, pues habıa escu-

chado que Tartaglia no habıa descubierto la formula primero. Al

revisar los manuscritos de Scipione del Ferro concluyo que el ver-

dadero descubridor era del Ferro y que la promesa ante Tartaglia

ya no era valida.

85


Cardano publico su “Ars Magna” con la formula para la cubica

en 1545, dando credito a Tartaglia por la formula para resolver

las ecuaciones de la forma x3 + px = q. Algo en lo que Cardano

fue original es en demostrar que todas las ecuaciones de la forma

x3 + ax2 + bx+ c = 0

pueden reducirse a otra sin el termino de segundo grado. Para

ello, se hace el cambio de variable x = y − a/3 de modo que al

final queda

y3 + py = q

con

p = b−a2

3y q = −

(2a3

27−ab

3+ c

).

86


Una vez puesto en esta forma, la solucion general de y3 +py = q

es

x =3

√√√√q2

+

√q2

4+p3

27−

3

√√√√−q2

+

√q2

4+p3

27

y que se conoce, por supuesto, como la formula de Cardano.

Ejercicio 10. Compruebe que la transformacion x = y − a/3

remueve el termino cuadratico de la ecuacion cubica x3 + ax2 +

bx+ c = 0 y aplique la formula de Cardano para resolver

x3 −11

6x2 + x−

1

6= 0.

87


Fue un estudiante de Cardano, Ludovico Ferrari, el que encontra-ra una formula para la ecuacion de cuarto grado, y que tambienfue publicada en el “Ars Magna”. La formula general es endiabla-damente complicada. Dada la ecuacion ax4 +bx3 +cx2 +dx+e =0, sus raıces estan dadas por

x1,2 = −b

4a− S ±

1

2

√−4S2 − 2p+

q

S

x3,4 = −b

4a+ S ±

1

2

√−4S2 − 2p−

q

S

donde p y q son

p =8ac− 3b2

8a2

q =b3 − 4abc+ 8a2d

8a3

88


y

S =1

2

√√√√−2

3p+

1

3a

(Q+

∆0

Q

)

Q =3

√√√√∆1 +√

∆21 − 4∆3

0

2

con

∆0 = c2 − 3bd+ 12ae,

∆1 = 2c3 − 9bcd+ 27b2e+ 27ad2 − 72ace.

89


¿Pueden encontrarse formulas semejantes para ecuaciones degrado mas alto?

En 1824, el matematico noruego Niels Henrik Abel demostroque, en general, para ecuaciones polinomiales de grado 5 omas no hay formulas algebraicas para sus raıces. Natural-mente, hay casos en los que sı, por ejemplo x5 − 3125 = 0,el punto es que, si traen una ecuacion de quinto grado cual-quiera, no hay una unica formula algebraica que nos de lassoluciones.

Hacia 1832, el matematico frances Evariste Galois creo lo queahora se denomina teorıa de grupos y con ella caracterizo alas ecuaciones polinomiales para las que existe una formulaalgebraica para sus raıces.

90


Niels Henrik Abel (1802-1829, izquierda) y Evariste Galois (1811-1832, derecha).

91


Algunos problemas clasicos (egipcios, babilonios, chinos y

arabes)

Objetivo

Practicar lo aprendido con problemas algebraicos de las fuentes

originales.

92


Ejercicio 11 (Problema 57 del Papiro de Rhind). Una cantidad,

su mitad y su cuarta parte, reunidas, dan diez. ¿Cual es la can-

tidad? (Trate de expresar su resultado en fracciones egipcias).

Ejercicio 12 (Tableta AO 8862, depositada en el Louvre, Paris).

Multiplico la longitud por el ancho para obtener el area. Le anado

la cantidad por la que el largo excede al ancho al area y obtengo

183. La suma de la longitud y el ancho es 27. ¿Cuales son la

longitud, el ancho y el area?

93


Ejercicio 13 (Del capıtulo 7 de “Los Nueve Capıtulos del Arte

Matematico”). Un grupo de personas se juntan para comprar

gallinas de costo identico. Si cada persona contribuye 9 wen,

entonces sobran 11 wen, y si cada persona contribuye 6 wen

entonces faltan 16 wen. Encuentre el numero de personas y el

precio de cada gallina.

Ejercicio 14 (Del “Al-kitab al-almukthtasar fi hisab al-gabr-

wa’l-muqabala” de Mohammed Al-Juarismi). Divido una unidad

entre un numero de muchachas, de modo que todas reciben la

misma cantidad. Luego llega otra muchacha y, si reparto la mis-

ma unidad nuevamente de forma equitativa, ahora reciben un

sexto menos de lo que antes. ¿Cuantas muchachas habıa origi-

nalmente?

94


Ejercicio 15 (Del “Tratado Matematico en Nueve Secciones” de

Qin Jiushao). Calcule, usando el metodo chino, la raız cuadrada

de 71824; esto es, resuelva x2 − 71824 = 0.

Ejercicio 16 (Problema 3 del capıtulo 17 del “Ars Magna” de

Girolamo Cardano). Un oraculo le ordena a un prıncipe construir

un templo sagrado cuyo espacio sea de 400 unidades cubicas,

cuya longitud sea 6 unidades mas que el ancho, y cuyo ancho

sea 3 unidades mas que la altura. Encuentre las dimensiones.

95

o. a. agust n-aquino utm

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