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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES (CICLO GENERAL)

ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA GUÍA N 02. CONJUNTOS, NÚMEROS REALES, OPERACIONES Y PROPIEDADES ( JL Cuao)

OBJETIVOS:

Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en los números

Reales.

Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de la aplicación de

las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos.

COMPETENCIAS:

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.

Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.

Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos, geométricos, métrico,

variacional, de análisis matemático, estadístico y financiero en diferentes situaciones y problemas de

tipo matemático.

Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para

crear, expresar y representar ideas matemáticas.

DESARROLLO TEMÁTICO.

CONJUNTOS

¿Qué es un conjunto? Al querer agrupar diferentes objetos como: personas, animales, autos, mesas, casas, ideas, creencias, lenguajes, letras, números, etc. Debemos tener presente una o varias características en común, al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algún tipo de característica estamos formando un conjunto. Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos :

En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una o más características en común. Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una propiedad

que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la

colección.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos:

1.- Las vocales: a, e, i, o, u.



2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, ....

3.- Los siete enanitos de Blanca nieves.

4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional.

5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.

Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un elemento y un

conjunto es la de pertenencia.

Se escribe x ∈ A y se lee ”(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A"

Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra

minúscula y entre paréntesis de llave.

Los conjuntos se pueden definir por: EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus

elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)

Ejemplo: A={ Pedro, Juan, Luis, Manuel}

COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional

p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo

contextual ó relativo U”.

Ejemplo: B = { números pares}

C = { números enteros positivos menores de 10 }

CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo .

SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B

si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.

A está incluido en B y se anota A B.

Expresado de otra forma: A B = { x / x A x B }

Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A B. Si A no es subconjunto de B se escribe A B.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota

con la letra U

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E =

{1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 } son conjuntos disjuntos.



DIAGRAMAS DE VENN EULER: Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las

relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área

plana, por lo general delimitada por un círculo.

A = { a, b, c, d, e}

B = { b, c, d} B A

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a

ambos., y se representa por A ∪ B

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

Ejemplo: Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6}, entonces la unión A ∪ B se representa

gráficamente por el diagrama de Venn

INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B ( A B ) es el conjunto de todos los elementos

comunes a A y a B al mismo tiempo.

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos

A = { 1, 2, 3, 4 } entonces la Intersección de A y B es A B = { 3, 4 } y se representa gráficamente mediante

el diagrama de Venn



DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B ( A – B ) o ( A \ B ) es el conjunto de todos los elementos

que pertenecen a A pero no pertenecen a B

A B = A \ B = {x / x ∈ A ∧ x B}

Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferencia de A y B es A - B =

{ 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no

pertenecen a A , pero sí pertenecen a l Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo

y el conjunto A.

Se representa por A’ = A c y es igual a U – A

Representado en un diagrama de Venn, se tiene:

DIFERENCIA SIMÉTRICA: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos.

A B = ( A B ) ∪ ( B A ) = ( A ∪ B ) ( A ∩ B) REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación)



( A ∪ B ) C

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.

Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.

Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

Entonces podemos analizar dos casos:

A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número de elementos en la unión de A

y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B.

Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces:

n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A B =

A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}

n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.

B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número

de elementos de A U B de la siguiente forma:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) (*)

Ejemplo.

Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} y B = {x/ 2 x 6, x Z}



Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A B = {2, 3}

n(A B ) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como BA

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 .

Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más

de dos conjuntos.

Para tres conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los

hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

Estudian trigonometría: 40 Estudian álgebra: 55 Estudian geometría: 55 Estudian trigonometría y álgebra: 15 Estudian trigonometría y geometría: 20 Estudian álgebra y geometría: 30 Estudian las tres materias: 10 No van a la biblioteca: 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

Desarrollo:

Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nos dan los

resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en una biblioteca.

Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los resultados.

Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias para resolver el

problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula.

Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:

A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.



C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier

combinación de materias.

Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema:

Comenzamos por el final:

no van a la biblioteca 5 y estudian las tres materias 10:

Estudian Algebra y Geometría 30, pero como ya hay 10 en la zona de

intersección de algebra y geometría, entonces colocamos 20

Estudian trigonometría y Geometría 20, pero como ya hay 10 en esa zona

de intersección, entonces colocamos 10

15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como ya hay 10 en esa zona, solo

colocamos 5

55 estudian Geometría, pero como en ese conjunto ya hay 40, colocamos solo

15

Hacemos lo mismo hasta completar 55 de Algebra y 40 de geometría

Observamos que hay 95 estudiantes que asisten a la biblioteca a estudiar alguna asignatura y

5 estudiantes que no asisten a biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada.



Analíticamente: empleamos la fórmula:

n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG)

n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95

95 Estudiantes que asisten a la biblioteca.

100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.

Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales R es el conjunto que obtenemos entre la unión de los conjuntos Racionales Q e Irracionales I. Como ya es de tu conocimiento, en los números racionales Q están ya incluidos los naturales N y los enteros Z, entonces basta decir que:

R = Q U I En la siguiente figura puedes observar gráficamente este hecho:

Las siguientes ilustraciones nos muestran algunos aspectos de estos conjuntos numéricos que conforman a los reales:



Cada punto de la recta representa un número racional o un número irracional; los números reales pueden

ser positivos o negativos, además, no tienen ni un primer ni un último elemento.

Algunas características de los números reales son:

El conjunto de los números naturales: N N = {1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12, …} El conjunto de los números enteros: Z Z = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

El conjunto de los números racionales: Q Q = { a/b : a, b Î Z}

Propiedad: todo número racional es entero, decimal exacto o decimal periódico (puro o mixto) Importante: debes recordar de cursos anteriores cómo se expresa un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto en forma de fracción. Por ejemplo:

( decimal

exacto)

representación grafica de fraccionarios

El conjunto de los números irracionales I: está formado por todos aquellos números reales que no son racionales. Tienen infinitas cifras decimales pero no forman período.

1,2345678910111213141516171819202122…

= 1,4142136… p = 3,14155927…

Ejemplo1. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 210 bytes son un kilobyte (1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB), ¿Cuántos caracteres puede almacenarse en una memoria de 500 MB?

Solución.



1. Comprender el problema. El problema nos informa que 1 byte representa a un caracter . además que 1KB equivale a 210 B y que 1MB corresponde a 210 kB. Además nos pide hallar cuántos caracteres se pueden almacenar en una memoria de 500 MB.

2. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Razonamiento directo para resolver el problema.

3. Ejecutar el plan. Como 1 kB equivale a 210 B y 1MB equivale a 210 kB, entonces tenemos que 1MB es 210 veces 210

Bytes, es decir :

1MB = 210x210 Bytes = 220 Bytes = 1.048.576 Bytes

Por lo tanto 500 MB equivalen aproximadamente a:

500 MB = 500x(1.048.576 Bytes) = 524.288.000 Bytes

Ahora como cada byte representa a un carácter, en la memoria de 500 MB caben aproximadamente

524.288.000 caracteres. /R

Ejemplo2 Qué volumen ocupa el átomo de oxígeno, si se considera como una esfera, teniendo en cuenta

que su radio es aproximadamente 6 x 10-6 mm.?

Solución. Primer paso. Entender el problema. Tenemos la siguiente información:

radio del átomo de Oxígeno: 6·10-6 mm Segundo paso. Configurar un plan. Utilizaremos la estrategia de Emplear una fórmula para resolver el

problema. La fórmula que utilizaremos es la del volumen de una esfera, la cual es:

V: volumen de la esfera ; r: radio de la esfera

Tercer paso. Ejecutar el plan. Remplazamos los valores en la fórmula respectiva:

V = 4/3. (3,14).( 6 x 10-6 mm)3

= 904,78·10-18 mm = 9,0478·10-16 mm

Respuesta: el volumen del átomo de oxígeno es de 9,0478·10-16 mm

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. Nota: Se pide al estudiante que repase las operaciones y propiedades con números enteros, racionales, e Irracionales. Así como los conceptos y aplicación de Mínimo Común Múltiplo, Máximo Común divisor y Notación científica.

Operaciones con fracciones. Si

son números racionales entonces:



Suma de Fracciones con el mismo denominador

Suma de Fracciones de diferentes denominadores

Resta de Fracciones con el mismo denominador

Resta de Fracciones de diferentes denominadores

Multiplicación de Fracciones

División de Fracciones

Potenciación de fracciones

Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.

Una fracción es un número escrito en la forma a/b , de tal modo que b no sea igual a cero. Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional. El numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador es el número de partes en que está dividido el entero, el conjunto o grupo.

En matemáticas, una fracción o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra.

Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes), y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, en sentido estricto, número racional.

A la parte superior de una fracción se le denomina Numerador y la parte inferior Denominador.

Cuando el valor del numerador es menor que el denominador, se dice que tenemos una Fracción Propia, y cuando el valor del numerador es mayor que el denominador, se le llama Fracción Impropia.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (M.C.M), entre dos o más números reales es el número más pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común. Por ejemplo, para determinar el M.C.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus múltiplos.

Múltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} Múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} Y la intersección entre éstos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48, . . .} Luego, como el mínimo de éste último conjunto es 12, entonces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12.



Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: 4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1

Donde se va dividiendo a los números hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. será la multiplicación entre los divisores usados. De manera que obtenemos:

2 · 2 · 3 = 12 Máximo Común Divisor Cuando nos referimos al divisor de un número real estamos hablando de un número que divide exactamente (sin dejar resto) al número en cuestión. El máximo común divisor (M.C.D) entre dos o más números reales es el divisor más grande que tienen en común. Por ejemplo, busquemos el máximo común divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos de sus respectivos divisores.

Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8.

otra manera de hallarlo es la siguiente: 16 40 2 8 20 2 M.C.D(16, 40) = 2x2x2 = 23 = 8 4 10 2 2 5 Observa que . . . El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números enteros siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M será la multiplicación entre ellos, y el M.C.D. ser´a el 1. Ejemplo3. Yon va a Barranquilla cada 18 días, Wilson va a Barranquilla cada 15 días y María va a Barranquilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Barranquilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Barranquilla? SOLUCIÓN 1. Entender el problema. El problema nos pregunta por el tiempo mínimo en que vuelven a encontrarse 3 viajeros en Barranquilla, sabiendo que el primero viaja cada 18 días, el segundo cada 15 días y el tercero cada 8 días. 2. Configurar un plan. La estrategia elegida es la de razonamiento directo. En la que hallaremos el mínimo común múltiplo de 18, 15 y 8. 3. Ejecutar el plan.



El número de días que han de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Barranquilla tiene que ser un múltiplo de 18, de 15 y de 8, y además tiene que ser el menor múltiplo común; luego hay que calcular el m.c.m. (18,15, 8). Otra forma Tenemos que: 18 15 8 2 18 = 2 x 32 9 4 2 15 = 3 x 5 2 2 m.c.m. = 23x32x5= 360 8 = 23 1 3 Por lo tanto el mcm de 18, 15 y 8 es 3 5 3 1 5 m.c.m. (18, 15, 8) = 23 x 32 x 5 = 360 1 Luego Los tres viajeros volverán a coincidir en Barranquilla dentro de 360 días. (RESPUESTA) Ejemplo3. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 litros, 360 litros, y 540 litros. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

1.Entender el problema. El problema nos informa que se tienen 3 toneles de vino así:

Cantidad de litros de vino del primer tonel = 250 Cantidad de litros del segundo tonel = 360 Cantidad de litros del primer tonel = 540 Se nos pide hallar: el número de garrafas de igual capacidad necesarias para envasar todo el vino, y la capacidad máxima de ellas.

2. Configurar un plan. Elegimos la estrategia de razonamiento directo. 3. Ejecutar el Plan.

Para poder envasar la cantidad total de vino en forma exacta en garrafas de igual capacidad, esta debe ser un número divisor de 250, 360 y 540; y además debe ser el máximo. Por lo tanto hallamos el máximo común divisor de estos números. M.C:D (250, 360, 540). 250 360 540 2 125 180 270 5 M.C:D (250, 360, 540) = 2x5 = 10

25 36 54

Por lo tanto la Capacidad de las garrafas = 10 litros

Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25



Número total de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

Respuesta: se necesitan 115 garrafas de 10 litros de capacidad.



Representación gráfica de operaciones con racionales: Multiplicación.

Martina va a una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta, para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. El resto de la torta, la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. Martina se preguntaba, al cortar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos, si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos.

¿Podría Martina tener una respuesta a esa pregunta?

Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano:

Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa, que es un cuarto del total. Por lo tanto, comerán la siguiente fracción de la torta completa:

Comerán 1/12, es decir la doceava parte de la torta.

De las tres cuartas partes que quedaron para los que estaban en la fiesta, Martina se comió una novena parte, es decir, la fracción de la torta completa que ella comió, fue:

En conclusión, Martina comió la misma porción de torta que sus hermanos ( 1/12).

División.

Repartiendo

Doña Luisa tiene 3/4 de una pizza grande que quiere compartir, para la cena, con sus tres hijas en partes iguales. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una?

Para poder responder debemos realizar una división:

Recordemos que para dividir tenemos que multiplicar por el inverso. En este caso el inverso de 4 es 1/4, por lo tanto:



A cada una le corresponden tres porciones de las 16 partes en que se dividió la pizza.

Ejemplo 4. José Luis gana mensualmente $1.200.000. Gasta en alimentación y de lo que le queda

en otros gastos. ¿Cuánto dinero puede ahorrar mensualmente?

Solución:

Paso1. Comprender el problema: El problema plantea una situación en la cual nos informan acerca de los

ingresos y gastos de José. La información suministrada es la siguiente:

Tenemos un ingreso mensual de $1.200.000 Se tiene un gasto inicial equivalente a los 2/6 del ingreso mensual Un tercer gasto equivalente a los 5/8 de lo que queda Se nos pregunta por la cantidad de dinero que le queda para ahorrarla mensualmente

Paso2. Configurar un plan. Para abordar la solución del problema se proponen las estrategias:

Razonamiento directo y representación gráfica

Paso3. Ejecutar el plan : los datos corresponden del ingreso y los gastos mensuales de jose Luis, algunos de

los cuales se dan en forma fraccionaria, para que hallemos el saldo o diferencia entre ellos y determinar así la

cantidad de dinero que podría ahorrar mensualmente dicha persona, que corresponde a lo que nos pide el

problema.

Partimos inicialmente de un ingreso mensual de $1.200.000 que representa la unidad. Como el gasto inicial fue de 2/6 del total inicial, entonces lo que queda corresponde a los 4/6 de dicho valor:

1 - 2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6

$1.200.000 2/6 4/6

$400.000 $800.000 El saldo que le queda hasta ahora a José (S1) sería entonces de:

S1 = 4/6.($1.200.000) = (4x1.2000)/6 = $800.000 = 4/6 5/8 3/8 $800.000 $500.000 $300.000



De estos $ 800.000 que quedan gastó los 5/8, luego le quedan los 3/8 de dicho valor. Luego el saldo final S2 de José Luis es de:

O también: S2 = 3/8.($800.000) = $300.000

Respuesta / José Luis puede ahorrar mensualmente $300.000

Nota: según la gráfica también podemos calcular los 3/8 de los 4/6 del ingreso mensual para obtener la respuesta final así : 3/8.[4/6.($1.200.000)] = (3x4x$1.200.00)/(8x6) = 14.400.000/48 = $300.000 Paso 4. Mirar hacia atrás: comprobamos la respuesta, empezando por el final:

Si el ultimo gasto G2 fue 5/8 de lo que le quedaba (S1), entonces lo que sobra, $300.000, es los 3/8 de ese saldo ( 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1 ), luego: 3/8(S1) = $300.000 ; luego 1/8(S1) = $300.000/3 y 8/8(S1) = (300.000 x 8)/3 = $800.000 S1 = $8000.000 Como inicialmente se gastó los 2/6 de su sueldo (I), lo que le quedó equivale a los 4/6, que corresponde a los $800.000 . 4/6(I) = $800.000 ; entonces 1/6( I ) = $800.000/4 y 6/6 (I) = ( 800.000 x 6)/4 Luego I = 4.800.000/4 = $ 1.200.000

Por lo tanto la respuesta obtenida satisface todas las condiciones del problema.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. En una encuesta realizada a 60 familias del barrio “El Pando Reservado”, sobre uso de servicios públicos, se obtuvo entre otros los siguientes datos: 25 familias tienen servicio de Energía y Agua, 12 tienen servicio Energía y gas, pero no de Agua, 8 familias tienen los tres servicios, 4 tiene solamente servicio de Agua, 40 familias tienen servicio de Agua y 33 familias tienen servicio de Gas. Halla: a. El número de familias que tienen solamente servicio de Energía b. El número de familias que tienen servicio de agua y gas

2. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11 francés, 6

estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?

3. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente

información : 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9; 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Sólo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V., 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9. Señale:

a. La cantidad de personas encuestadas b. La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9

4. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la

siguiente información:



Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil, también querían estudiar Ingeniería de Ejecución Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Prescolar. 10 alumnos preferían estudiar otras carreras 60 querían estudiar Educación Prescolar e Ingeniería de Ejecución. 440 quieren estudiar Ingeniería de Ejecución 180 quieren estudiar Ingeniería Civil.

a. ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Educación de Prescolar? b. ¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas?

Aplicando las operaciones y propiedades con números reales y teniendo en cuenta los pasos de Polya en la resolución de problemas, resuelve los siguientes ejercicios:

5. Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). Si 210 bytes son un kilobyte ( 1kB), 210 kilobytes son un Megabyte (1MB) y 210 MB son un Gigabyte (1GB), ¿Cuántos caracteres puede almacenar una memoria de 4 GB?

6. ¿Cuántos litros hay que sacar de un barril que contiene 560 para que quede en él los del

contenido?

7. En una excursión, Pepe lleva 4 bocadillos y Rafa, 2 bocadillos. Cuando van a empezar a comer llega Javier, que no tiene comida. Reparten los bocadillos entre los tres por igual. Javier, como pago de lo que comió, les da 6 €. ¿Cómo se los deben repartir?

8. Dos puntos A y B se encuentran a 81 cm de distancia. Un tercer punto C se encuentra entre A y B a

16 cm de B. Un saltamontes se desplaza desde A hasta C haciendo saltos. ¿Cuántos saltos hace si cada vez brinca 1/3 de la distancia que lo separa del punto B?

9. En una habitación hay taburetes de tres patas y sillas de cuatro patas. Cuando hay una persona sentada en cada uno de ellos, el número total de patas y piernas es 27. ¿Cuántos asientos hay?

10. Al gastar de mi capital y después los de lo que me quedó, tengo aún $200.000 ¿Cuál era mi

capital?

11. Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m?

12. En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada pregunta fallada equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos?

13. El largo de un rectángulo equivale a 3 veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo es de 120cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

14. Un granjero quiere cercar un potrero que tiene forma de triángulo rectángulo. Un cateto mide 50 m y el otro 64 m. Explica por qué el no puede determinar la cantidad exacta de cerca que necesita.

15. Los proteasomas son estructuras dentro de las células que destruyen proteínas. El peso molecular de un proteasoma es aproximadamente 2.52 x 105 veces el peso atómico del oxígeno, el cual es igual a 1.599x10. Determina el peso molecular de un proteasoma.



16. Si el peso molecular de una proteína es aproximadamente 9.398x103 veces el peso atómico del carbono, el cual es 1.2011x 10 encuentra las diferencia entre los pesos moleculares de un proteasoma y una proteína.

17. Tengo $500.00, gasto los y después los de lo que me quedó. ¿Cuánto me queda?

18. Una joven emplea en estudiar la cuarta parte del día, la sexta parte en hace ejercicios, la novena en

divertirse y la restante en dormir ¿Qué fracción del día duerme?

En los siguientes problemas escoger la respuesta y justificar.

19. Supongamos que dos cometas pasan cerca de la tierra cada 15 y 25 años respectivamente. Si los dos coincidieron en el año 2002, entonces podemos afirmar que el encuentro más próximo ocurrirá en el año:

a. 2.017 b. 2.027 c. 2.077 d. 2.375

20. Gabriela el día de su cumpleaños le regalaron una caja de chocolatina. Cuando entra al colegio le regala 1/6 de las chocolatinas a Carmen, un 1/5 del resto a Adriana, a María le da 2/8 de lo que le quedo y por último a Diana le da 1/3 del resto. Si Gabriela aún le queda 8 chocolatinas. A la niña que le dio más chocolatinas es:

a. Carmen b. Adriana c. Diana d. María e. Ninguna

21. Una alberca tiene una capacidad de 4.000 litros de agua, al terminar el día lunes solo tenía los 4/5 de la capacidad total y el martes se consumió los 3/8 de lo que tenia el día lunes. La cantidad de agua disponible para el día miércoles es:

a. 1.200 litros. b. 2.000 litros c. 1.000 litros d. 500 litros

22. Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares de zapatos que produce a un precio de $60 mil cada par. El fabricante tiene costos fijos mensuales de $24 millones. Si el cuero e insumos necesarios para producir cada par le cuesta $20 mil, el menor número de pares que debe producir y vender al mes para obtener utilidades es:

a. 300 b. 600 c. 1200 d. 4000

23. Un comerciante rebaja en un 20% el precio x de cierto producto y, posteriormente, incrementa el nuevo precio en un 20%. Si r denota el monto de la rebaja y a denota el monto del aumento, entonces a. r = a b. r > a c. r < a d. r = 2a

24. Un depósito de agua cuya capacidad es de 425,43 litros se puede llenar por medio de dos llaves. La primera vierte 25,23 litros en 3 minutos y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse si estando por la mitad se abren las dos llaves simultáneamente? A. 14,5 minutos B. 14,5 segundo C. 14,5 horas D. 14,5 días

25. En un galpón, 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Después de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes. Con base en lo anterior, El dueño decidió vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. Si tenía 600 conejos, entonces el dinero que se recibe por la venta:

a. Fue mayor de $ 600.000 b. Fue menor de $ 500.000 c. Esta entre $ 500.000 y $ 600.000 d. Fue menor de $550.000



26. Un frutero compró 120 naranjas, a $600 la docena y las vende un valor de $75 la unidad, se le dañaron treinta naranjas. En el negocio a. Gana en el negocio b. Pierde en el negocio c. Ni gana ni pierde d. Pierde $15 por naranja.

27. Un padre deja al morir 4500 euros para repartir entre sus tres hijos. El Mayor recibe 2/9 de la herencia; el segundo 1/5 de la parte del mayor y el menor lo restante. El dinero que recibió el menor fue de:

a. 1000 euros b. 3000 euros c. 200 euros d. 3300 euros.

28. Pedro tiene 65 dólares, Patricio el doble de lo que tiene Pedro menos 16 dólares y Juan tanto como los dos anteriores juntos más 18 dólares. Si entre todos gastan 124 dólares, el capital común que queda es:

a. 252 dólares b. 452 dólares c. 352 dólares d. 152 dólares

BIBLIOGRAFÍA.

Aritmética, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor

Geómetra, Decima Tercera Edición —1997 Dr. Aurelio Baldor

Ejercicios PSU Matemática, Primera Edición —2004 Danny Perich C.

Matemática Hoy 7_ Básico, Primera Edición —1991 Ana María Panesi P. Y Carmen Gloria Bascuñan B.

Matemática PSU, Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática, Volúmenes 1 Y 2, Primera Edición —2006

Swokowiski Earl W. Cole Jeffery A. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición.

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Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Culturales. Mc. Graw Hill, Madrid México. 1983.

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