제 7 장 제어시스템의 시간영역 해석 (B)

[예제 7.9] 시스템의 폐루프 전달함수는 다음과 같다.

의 값에 대하여 이 시스템을 2 차 시스템으로 근사시킨 후

각각의 경우에 대하여 시스템의 단위계단응답을 구하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

2차 근사화 시스템의 전달함수는 다음과 같다.

이제 각 의 값에 대하여 단위계단응답을 구해보자.

(1) 인 경우

CEMTool 프로그램 Ex7_9a.cem

T = 0.1;

num = [1];

den3 = [0.5*T 0.5+T 1+T 1];

den2 = [0. 5 sqrt(1+T 2̂) 1];

t = 0:8:0.1;

[y3, z3, t] = step(num, den3, t);

[y2, z2, t] = step(num, den2, t);

plot(t, y3, t, y2, "-.")

title("Unit-Step Response of Original and Approximated Systems")

xtitle("Time(Sec)")

ytitle("y(t)")

(2) 인 경우

CEMTool 프로그램 Ex7_9b.cem

T = 0.5;

num = [1];

den3 = [0.5*T 0.5+T 1+T 1];

den2 = [0.5 sqrt(1+T 2̂) 1];

t = 0:8:0.1;

[y3, z3, t] = step(num, den3, t);

[y2, z2, t] = step(num, den2, t);

plot(t, y3, t, y2, "-.")

title("Unit-Step Response of Original and Approximated Systems")

xtitle("Time(Sec)")

ytitle("y(t)")

(3) 인 경우

CEMTool 프로그램 Ex7_9c.cem

T = 1.0;

num = [1];

den3 = [0.5*T 0.5+T 1+T 1];

den2 = [0.5 sqrt(1+T 2̂) 1];

t = 0:8:0.1;

[y3, z3, t] = step(num, den3, t);

[y2, z2, t] = step(num, den2, t);

plot(t, y3, t, y2, "-.")

title("Unit-Step Response of Original and Approximated Systems")

xtitle("Time(Sec)")

ytitle("y(t)")

(4) 인 경우

CEMTool 프로그램 Ex7_9d.cem

T = 6;

num = [1];

den3 = [0.5*T 0.5+T 1+T 1];

den2 = [0.5 sqrt(1+T 2̂) 1];

t = 0:8:0.1;

[y3, z3, t] = step(num, den3, t);

[y2, z2, t] = step(num, den2, t);

plot(t, y3, t, y2, "-.")

title("Unit-Step Response of Original and Approximated Systems")

xtitle("Time(Sec)")

ytitle("y(t)")

의 값이 0.1로 작을 때는 3차와 2차 시스템의 단위계단응답은 매우 접근한다. 그러나,

이 두 응답 사이의 편차는 가 0.5, 1.0으로 증가하면 커진다. 과 같이 의 값이

더 커지게 되면 두 시스템의 응답은 다시 접근한다.

[예제 7.11] 교재 7.6절에서 다룬 위치제어시스템이 전방경로에 이산치를 가지게 되어 이

시스템의 블록선도가 교재 그림 7.44와 같다고 생각하자. 에 대하여 제어과정

(control process)의 전달함수는

이다. 샘플링 주기 초와 초에 대하여 시스템을 변환하고, 변환한

이산시간 시스템의 단위계단응답을 구하여라. 그 결과를 연속시간 시스템이 단위계단응답과

비교하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

연속시간 시스템을 변환할 때는 c2dm 함수를 사용한다.

CEMTool 프로그램 Ex7_11.cem

num = 65250;

den = [1 361.2 0];

numc = num;

denc = [0 0 num] + den; // Denominator of closed-loop transfer function

// T = 0.01 sec

T = 0.01;

[numz1, denz1] = c2dm(num, den, T)

numz1 =

0.0000 1.3198 0.4379

denz1 =

1.0000 -1.0270 0.0270

numzc1 = numz1;

denzc1 = denz1 + numz1 // Denominator of closed-loop transfer function

denzc1 =

1.0000 0.2929 0.4649

// T = 0.001 sec

T = 0.001;

[numz2, denz2] = c2dm(num, den, T)

numz2 =

0.0000 0.0290 0.0257

denz2 =

1.0000 -1.6968 0.6968

numzc2 = numz1;

denzc2 = denz2 + numz2 // Denominator of closed-loop transfer function

denzc2 =

1.0000 -1.6678 0.7226

그러므로, 초와 초에 대한 변환과 각각의 폐루프 전달함수는 다음과같다.

(1) 초 일 때

변환 :

폐루프

전달함수 :

(2) 초 일 때

변환 :

폐루프 전달함수 :

이제 각각의 경우에 대하여 단위계단응답을 구해보자. 이산시간 시스템의 단위계단응답을

구할 때는 step 함수대신에 dstep 함수를 사용한다.

CEMTool 프로그램 Ex2_3.cem

// Unit-step response of continuous -time system

t = 0:0.05:0.001;

yc = step(numc, denc, t)

plot(t, y)

holdon

// Unit-step response when T = 0.01 sec

t = 0:0.05:0.01;

yz1 = dstep(numzc1, denzc1, 6);

plot(t, yz1, "*")

// Unit-step response when T = 0.001 sec

t = 0:0.05:0.001;

yz2 = dstep(numzc2, denzc2, 51);

plot(t, yz2, "o")

// Enter title, xtitle, and ytitle

title("Unit-Step Response of Discrete System")

xtitle("Time(Sec)")

ytitle("y(kT)")

초로 샘플링주기가 작을 경우에는 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 단위

계단응답의 거의 같게 나온다. 그러나, 샘플링주기가 초로 커지면 시스템이 안정

적이기는 하지만 오버슈트가 커진다. 그림 7-의 그래프를 보면 초일 때의 표본

6개가 있는데, 기준입력인 단위계단입력보다 많이 벗어나 있음을 알 수 있다. 가 계속

증가하다가 어느 값을 넘어서면 시스템은 불안정해진다. 이 예제의 경우 시스템이 임계안정

적일 때의 의 값은 0.01658초이다. 이 때의 특성방정식은

이다. 따라서, 근은 와 이고, 근 로 인하여

시스템은 임계안정적이 된다. 그러면, 초일 때의 단위계단응답을 구해보자.

CEMTool 프로그램 Ex7_11.cem (계속)

// Unit-step response when T = 0.01658 sec

T = 0.01658;

[numz3, denz3] = c2dm(num, den, T);

numzc3 = numz3;

denzc3 = denz3 + numz3; // Denominator of closed-loop transfer function

i = 0:180; t = i*T;

yz3 = dstep(numzc3, denzc3, 181);

plot(t, yz3, "o")

그림 7-로부터 시스템이 임계안정적이기 때문에 수렴하지도 않고 발산하지도 않는 응답이

나타남을 확인할 수 있다.