Министерство народного образования и науки Удмуртской Республики Муниципального образовательного учреждения «Средней общеобразовательной школы №32».

Исследовательская работа

«Метод вспомогательной окружности»

Выполнила: ученица 9 класса «В»

МОУСОШ №32 Иванова Софья

Андрияновна

Учитель: Стаханова Полина

Александровна

2012

Содержание: Цель, методы исследования …………………………………… 3 Введение …………………………………………………………... 4 Теоретическая часть (Литературный обзор). В чём заключается метод вспомогательной окружности…………………………………………………………. 5 Свойства Метода вспомогательной окружной окружности…………………………………………………………. 7 Практическая часть. Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности….………. 10 Выводы, заключение ………………………………………….......24 Список использованной литературы …………………………………………………………..25

Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач. Методы исследования: 1.Изучение теории по вспомогательной окружности 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к применению вспомогательной окружности 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и решением задач 4. Выполнение практической части.

Актуальность

Эта тема не может быть не актуальной, ведь она может облегчить решения множества задач. Метод вспомогательной окружности - тема достаточно доступная для понимания, и когда её осваиваешь, задачи становятся лёгкими и понятными. Окружность - она как вселенная, множество свойств откроется перед тобой, если ты сможешь правильно описать её. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств окружности. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием метода вспомогательной окружности помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

ВСТУПЛЕНИЕ.

“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.

И.Ф. Шарыгин Геометрия многолика. И одну задачу можно решить большим количеством разных способов. В школе изучается лишь малая часть того, что принято называть геометрией. Данная исследовательская работа называется «Метод вспомогательной окружности. Эта работа помогает «увидеть» окружность там, где её нет. Помогает описать окружность там, где это возможно, что значительно облегчает решение некоторых задач. Мы постараемся как можно подробнее рассмотреть этот уникальный и полезный метод. Исследовательская работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В первой части рассказывается о том, что же такое вспомогательная окружность и в чём заключается метод вспомогательной окружности. А во второй части, практической, рассматривается ряд задач, которые решаются с помощью данного метода. Очень жалко, что метод вспомогательной окружности совсем не рассматривается в школьных учебниках геометрии, с его помощью школьникам было бы легче решать многие задачи геометрии из школьного и олимпиадного курса, а так же доказывать некоторые теоремы. Надеемся, что после нашего исследования у читателя будут чаще появляться «круги перед глазами».

Теоретическая часть (Литературный обзор).

Изучив имеющуюся литературу по данной тематике делаем вывод, что Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных

построений. Причем в школьных общеобразовательных учебниках о нём практически ничего не говорится. Ниже изложена суть этого метода и признаки, при которых он

применяется. Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач. Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность.

Первый признак:

Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Дано: АВСD – четырёхугольник; АВС+ АDС=180°; Доказать, что вокруг АВСD можно описать окружность.

Доказательство: 1. Построим окружность, проходящую через точки А, В, С (вокруг любого

треугольника всегда можно описать окружность);

2. Допустим, что эта окружность не проходит через точку D, а пересекает сторону AD в точке D1;

3. Так как ABCD1 вписан в окружность, то АВС+ АD1C=180°; 4. Тогда АD1С= СDD1, чего быть не может, т. к. AD1C – внешний для ∆

CDD1, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. получается, что АD1С= СDD1+ D1CD=>пришли к противоречию => построенная окружность проходит через точку D. Что и требовалось доказать.

Второй признак:

Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

Дано: 1. Точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD; 2. ABD= ACD; Доказать, что точки А, В, С, D принадлежат одной окружности. Доказательство: Предположим, что точка С не лежит на окружности,

описанной около ∆ ABD. Тогда возможны два случая: a) C лежит вне данной окружности, тогда АСD= АКD- CDK. Но по

теореме вписанном угле ABD= AKD и => ACD< ABD, получили противоречие с ABD= ACD;.

b) С лежит внутри окружности. Здесь ACD= AKD+ CKD и => ACD> ABD получили противоречие с ABD= ACD.

Полученные противоречия и доказывают нужное утверждение.

Третий признак:

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Дано: АВСD- четырёхугольник; Доказать, что если АВ+СD=BC+AD, то в четырёхугольник ABCD можно

вписать окружность; Доказательство: 1. a=a; b=b; c=c; d=d.(как отрезки касательных, разделённые точкой касания). 2.=> a+b+d+c=a+d+c+d; =>АВ+CD=BC+AD; 3. Что и требовалось доказать.

Практическая часть: Решение задач с помощью

метода вспомогательной окружности.

Задача№1: Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана

произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.

Дано: ∆АВС; С= 90°;точка М ВС; МN АВ. Доказать, что ANC= AMC. Доказательство: 1. Вокруг четырёхугольника ACMN можно описать окружность ( АСМ+ ANM= 180°).

2. ANC и АМС опираются на одну дугу АС => эти углы равны, что и требовалось доказать.

Задача№2:

В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что

вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний. Дано: АВСD- прямоугольник; АРК - равносторонний треугольник; точка К стороне ВС ; точка Р стороне CD; КН- высота ∆АРК. Доказать, что ∆ВНС- равносторонний.

Доказательство:1. АВК + АНК = 180°; => вокруг четырёхугольника АВКН можно описать окружность. 2. КАН= НВК=60°(опираются на одну дугу КН, а ∆АКР – равносторонний). 3. КСР+ КНР=180°=> вокруг четырёхугольника КНРС- можно описать окружность. 4. КСН = КРН =60°(опираются на одну дугу КН, а ∆АКР – равносторонний). 5.=> АКР= 60°( сумма углов в треугольнике=180°) => ∆ВНС- равносторонний, т. к. все углы по 60°. Что и требовалось доказать.

Задача№3:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD . Угол BAC равен α . Радиус окружности, проходящей через точки A , C и D , равен R . Найдите площадь треугольника ABC .

Дано: ∆АВС; АВ=ВС; CD- высота; ВАС= ; радиус окружности равен R. Найти: S ∆ABC. Решение: 1.Из точки D отрезок AC виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром AC 2. А т.к. через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то окружность с диаметром AC — это окружность, о которой говорится в условии задачи. 3. Пусть Е — её центр. Тогда Е — середина основания AC

равнобедренного треугольника ABC , поэтому BЕ — высота этого треугольника. Из прямоугольного треугольника ЕAB находим, что BЕ=ЕA tg ЕAB = R tg α.

Следовательно, SΔ ABC= AC· BЕ = · 2R· R tg α = R2 tg α.

Ответ: SΔ ABC= AC· BЕ = · 2R· R tg α = R2 tg α. Задача№4:

Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.

Дано: 1. угол 2. точка М внутри угла; 3. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла; 4. МВ=a; МС=b; Найти: АМ; Решение:1. АВМС- четырёхугольник; 2. Углы АВМ и АСМ= 3. Угол В+С= (противоположные углы в четырёхугольнике)=>вокруг АВМС можно описать окружность; 4. Соединим точки В и С; Угол ВМС= 180°- 5. АМ -диаметр т. к. опирается на дугу 90°; 6. Диаметр = 2радиуса ; 7. Найдём ВС; теорема косинусов в треугольнике ВМС; 8.

9. 10.

cos222 abbaBC

0900180

sin2

ВСR

cos*2222 abbaBC

sin2

cos222 abbaR

sin

cos*22

22 abbaRAM

Ответ:

Задача№5:

Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.

Первый случай:

Если угол В - тупой

Дано: ABCD- ромб; BN и BM- высоты; 2MN=BD; Найти: Углы ромба. Решение: 1. BMD= BND=90°; 2. BMD+ BND=180°; => вокруг ABCD- можно описать окружность. 3. BD- диаметр; ( BMD=90°); 4. Точка О - центр окружности; 5. так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус). 6. ∆MON-равносторонний (NO=OM=MN=R) => MON=60°

sin

cos*22

22 abbaRAM

5. MON-центральный; MBN-вписанный => MBN=30° => MDN= 150° (так как сумма противоположных углов в четырёхугольнике, который вписан в окружность равна 180°). Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Второй случай: Если угол В –

тупой.

Дано: ABCD- ромб; BN и BM- высоты; 2MN=BD; Найти: Углы ромба. Решение: 1. BMD= BND=90°; 2. BMD+ BND=180°; => вокруг ABCD- можно описать окружность. 3. BD- диаметр; ( BMD=90°); 4. Точка О - центр окружности; 5. MO=ON=MN=R => ∆MNO- равносторонний; => MON=60° 6. MDN- вписанный => MDN=30°( вписанный угол равен половине центрального). 7. => DCB= 150° (так как сумма противоположных углов в четырёхугольнике, который вписан в окружность равна 180°).

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Задача№6:

Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Дано: ABCD- трапеция; ВС=10; AD=26; AC�CD; ВD�AB. Найти: площадь трапеции. Решение: 1. ABD= ACD=90° => ABD+ ACD=180°; т. е. вокруг ABCD можно описать окружность. 2. т. к. ABD=90°, то AD- диаметр; => R=13 (26/2=13) 3. трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность. 4. АН 18; HD= 26-18=8.

5. НС- высота в прямоугольном треугольнике CHD => СН= √18 ∗ 8 = 12;

6. Sтр. = ∗ 12= 18*12= 216.

Ответ: Sтр. =216

Задача№7:

ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.

Дано: ABCD- параллелограмм; точка О лежит внутри параллелограмма; AOD= OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO. Решение: 1. Перенесём точку О на вектор => OЕD= OAD; ( по

свойству параллелограмма)=>AOЕD- параллелограмм. 2. Точки O, Е, C, D – лежат на одной окружности( ODC= CEO- опираются

на одну дугу). 3. ВС=ОЕ и ВС││ОЕ=> ВСЕО- параллелограмм. 4. ODC= OEC= OBC=> CBO= CDO. Что и требовалось доказать.

Задача №8(теорема о квадрате биссектрисы):

Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.

Дано: ∆АВС; l –биссектриса; ВС =a; СА=b; BD= a1; DA= b1; BCD= DCA.

Доказать, что ∗ ∗ . Доказательство: 1. Опишите окружность вокруг ∆ АВС ( вокруг любого треугольника можно

описать окружность). 2. Продолжим биссектрису до точки пересечении её с окружностью( в точке

К). 3. Соединим точки В и К. 4. BCD= DCA- по условию, ВКС= САВ- опираются на одну дугу =>∆СВК

подобен ∆CAD (по двум углам).

5. Составим пропорцию => + l*x=a*b => ∗ ∗ ( l*x=a1*b1

– по теореме об отрезках пересекающихся хорд). Что и требовалось доказать.

Задача№9(вспомогательная):

Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?

Дано: ∆АВС; АА1┴ВС.; СС1┴АВ. Найти: R - ? Решение: 1. Так как С1= А1=90° и лежат по одну сторону от прямой АС => точки А1, С1,

А, С лежат на одной окружности. 2. Четырёхугольник АС1А1С – вписан в окружность. 3. Пусть С1АС=α, тогда С1А1С=180°- α(сумма противоположных углов

четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°) => С1А1В=α(как смежный с углом АА1С).

4. => ∆АВС подобен ∆А1ВС1 ( угол В- общий, С1АС = С1А1В).

5. R= =cos B.

Ответ: R=cos B.

Задача № 10:

В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN. Дано: АBCD-параллелограмм; BN и BM- высоты; MN=15; BD=17; Н- точка пересечения высот треугольника BMN.

Найти: Расстояние от точки В до точки Н. Решение: 1. BNDM- четырёхугольник, BNM+ BMN=180°(BN и BM-высоты, BNM=

BMN=90°) => вокруг BNDM- можно описать окружность. 2. BD- диаметр (BMD=90°, опирается на BD) => RBMND=17/2=RBMN .

3. => => ;

4. ; .

5. Проведём высоты в ∆BMN; MM1 пересекается с NN1 в точке Н.

6. Вокруг BM1N1H- можно описать окружность( BM1H= BN1H=90°)

7. BH- диаметр ( BM1H=90°);

8. RM1HN1B=RM1BN1 = .

9. ∆BM1N1 подобен ∆BMN => R= ;( смотрите задачу №9).

10. M1N1= ;

11. R= ;

12. BH=2*4=8;(диаметр). Ответ: ВН=8.

Задача№11(задача Брахмагупта):

Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.

Дано: АВС - треугольник, h-высота, проведённая к основанию СВ, R- радиус, описанной около треугольника окружности. Доказать: b*c=h*2R. Доказательство: 1. Вокруг ∆АВС можно описать окружность( вокруг любого ∆ можно описать окружность). 2. Проведём диаметр АА1 , соединим точки С и А1.

3. АСА1 =90° (так как опирается на диаметр). 4. СА1А= АВС (опираются на одну дугу).

5. sin СА А ;; 6. sin ABC ; 7. Так как СА1А= АВС, можно составить пропорцию: => b*c=h*2R.

Что и требовалось доказать.

Выводы:

1. Анализ теоретического материала по методу вспомогательной окружности позволил узнать свойства и область применения данного метода. 2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные можно решить с помощью метода вспомогательной окружности, сэкономив при этом и время, и силы. 3.При выполнении работы были подобраны прорешаны нестандартные задачи олимпиадного уровня. 4. Для построения сложных чертежей пришлось познакомиться с программной средой «1С: Математический конструктор» (МК4.5). И научиться работать с компьютером.

Список использованной литературы:

1. «Учимся решать задачи по геометрии» А. Г. Мерзляк, Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.

2. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. «Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач».

Заключение: В заключении хотелось бы повторить слова эпиграфа:

“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.

И.Ф. Шарыгин