1

Siirtojohdot

Luku 2

Siirtojohdot• Siirtojohtoteoria kytkee toisiinsa kenttäteorian ja “tutun”

piiriteorian.• Siirtojohtoteoria tarkastelee vain kenttien etenemistä ja

niiden käyttäytymistä erilaisten “aineiden” rajapinnoilla.• Mutkikkaat kenttätehtävät voidaan korvata yksinkertaisella

“parijohtomallilla”.• Mallin “komponentit” sisältävät tiedon alkuperäisen

tehtävän geometriasta, materiaaleista ja niiden sähköisistä ominaisuuksista.

• Tällöin sähkö- ja magneettikentät voidaan kuvata ekvivalenttisilla jännite- ja virta-aalloilla.

2

Siirtojohdot

• Siirtojohtoteoriaa käytetään kun piirin koko alkaa olla λ:n luokkaa.

• Miksi siirtojohtoteoriaa käytetään?– Kenttien ratkaisut sisältävät paljon “turhaa” tietoa.– Usein riittää tieto, miten teho siirtyy rajapinnasta

toiseen.

Siirtojohtomalli• Siirtojohtoja mallinnetaan sarjainduktanssilla L,

shunttikondensaattorilla C, sarjaresistanssilla R, ja shunttikonduktanssilla G.

3

• Soveltamalla näihin Kirchhoffin jännite- ja virtalakia aikaharmoonisessa tapauksessa saadaan yhtälöt jännite- ja virta-aalloille.

• Sekä aaltoyhtälöt että niiden ratkaisut jännitteelle ja virralle muistuttavat läheisesti tasoaaltoratkaisua sähkömagneettiselle kentälle.

( )( )CjGLjRj

zIdz

zId

zVdz

zVd

ωωβαγ

γ

γ

++=+=

=−

=−

0)()(

0)()(

22

2

22

2

[ ]

CjGLjRLjRZ

zVzVLjR

zI

zIzIzIzVzVzV

ωω

γω

γγω

γγγ

γγ

++=+=

−−+

=

+−=

+−=

−+

−+

−+

0

00

00

00

)exp()exp()(

)exp()exp()(

)exp()exp()(

Häviötön siirtojohto• Edellä esitetyt tulokset yksinkertaistuvat häviöttömän

siirtojohdon tapauksessa.• Tällöin häviötermit R = G = 0, jolloin yhtälöt tulevat

muotoon

LCv

LC

zjZVzj

ZVzIzjVzjVzV

CLZ

LC

LCjj

p1,22

)exp()exp()(),exp()exp()(

0,

0

0

0

000

0

====

−−−=−+−=

=

==

=+=

−+−+

βω

ωπ

βπλ

ββββ

αωβ

ωβαγ

4

Kenttien ja siirtojohtoparametrien yhteys• Tarkastellaan 1m mittaista siirtojohdon pätkää. Jännite ja

virta voidaan ilmaista siirtojohdossa

• Tällöin sähkö- ja magneettikenttiin varastoitunut energia on

)exp(),exp( 00 zjIzjV ββ ±±

∫∫∗∗ ⋅=⋅=

Se

Sm dSWdSW EEHH

4,

4εµ

• Piiriteorian perusteella tiedetään, että magneetti- ja sähkökenttään varastoituneet energiat voidaan ilmaista induktanssin ja kapasitanssin avulla

• Näin saadaan siirtojohtoparametrien L ja C ratkaistua pituusyksikköä kohti

• Ääreellisen johtavuuden aiheuttama tehohäviö on

• Soveltamalla niin ikään piiriteoriaa

4,

4

20

20 VC

WIL

W em ==

∫∫∗∗ ⋅=⋅=

SS

dSV

CdSI

L EEHH 20

20

, εµ

2toisaalta,

2

20

21

IRPdlRP c

CC

sc =⋅= ∫

+

∗HH

∫+

∗ =⋅=21

1,20 CC s

ss Rdl

IRR

σδHH

5

• Vastaavasti eristehäviöt saadaan

• missä ε´´on imaginääriosa dielektrisyysvakiosta ε = ε´-jε´´ = ε´(1 - jtanδ).

• Piiriteorian mukaan eristehäviöt ovat

• jolloin shuntkonduktanssi pituusyksikköä kohti voidaan lausua

∫∗⋅

′′=

Sd dSP EE

2εω

2

20VG

Pd =

∫∗⋅

′′=

S

dSV

G EE20

εω

• Esimerkki: Koaksiaalikaapelin siirtojohtoparametrien laskeminen.

• Koaksiaalikaapelin sisällä kulkee TEM-aalto, jolloin kentät noudattavat yhtälöitä

)exp(2

)exp(ln

0

0

zI

z

ab

V

γπρ

γρ

−=

−=

φH

ρE

6

• Lasketaan nyt edellä todettuihin tuloksiin nojautuen siirtojohtoparametrit

( )

( )

( ) πη

πεµ

πεµ

εππµ

επωφρρρ

εω

πφφ

π

επφρρρ

ε

πµφρρ

ρπµ

π

φ ρ

π

φ

π

φ

π

φ ρ

π

φ ρ

2

ln

2

ln

2

ln

ln

2

ln2

ln

21

ln

112

112

ln

21

ln

ln2

12

2

2

0

2

022

2

02

2

022

2

022

2

022

ab

ab

ab

ab

ab

CLZ

abdd

ab

G

baRbd

bad

aRR

abdd

ab

C

abddL

b

a

ss

b

a

b

a

=′

=

′=′==

′′=

′′=

+=

+=

′=

′=

==

∫ ∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

= =

==

= =

= =

Eräiden siirtojohtojen parametrit

7

Siirtojohdon päättäminen• Tarkastellaan tilannetta, jossa siirtojohto on päätetty

kuormaimpedanssilla ZL.• Oletetaan, että tuleva aalto on muotoa V0exp(-jβz) eli

etenee +z-suuntaan alueessa z < 0 ja saavuttaa kuorman kohdassa z = 0.

• Siirtojohdon karakteristinen impedanssi on Z0.

• Kuorman ja siirtojohdon impedanssin ollessa erisuuria tapahtuu heijastus. Näin ollen etenevä ja heijastunut aalto voidaan lausua

• Näin ollen kokonaisjännite ja -virta siirtojohdossa voidaan lausua heijastuskertoimen avulla.

0

0

0

00

0

000

00

00

0

0

0

0

00

,,)0()0(

)exp()exp()(

)exp()exp()(

ZZZZ

VVV

ZZZZVZ

VVVV

IVZ

zZVz

ZVzI

zVzVzV

L

L

L

LL +

−==Γ+−=

−+==

−−=

+−=

+

−+−

−+

−+

−+

−+

γγ

γγ

[ ]

[ ])exp()exp()(

)exp()exp()(

0

0

0

zzZVzI

zzVzV

γγ

γγ

Γ−−=

Γ+−=+

+

8

• Epäsovituksessa kaikkea tehoa ei saada kuormaan.• Tätä häviötä kutsutaan paluuvaimennukseksi (Return

Loss).

• Mitä suurempi luku saadaan sitä paremmin siirtojohto on sovitettu kuormaan.

• Toinen sovitusta mittaava suure on seisovan aallon suhde(SAS) (Standing Wave Ratio, SWR), ja se määritellään

• Mitä lähempänä 1 sen paremmin siirtojohto on sovitettu.

Γ−= log20RL

( ) ( )

Γ−Γ+

==

Γ−=Γ+= ++

11

1,1

min

max

0min0max

VVSWR

VVVV

• Edellä esitetyistä lausekkeista nähdään, että jännitteen ja virran arvot muuttuvat paikan suhteen siirtojohdossa.

• Tästä voidaan päätellä, että ilmeisesti kuorma, jolla siirtojohto on päätetty, näyttää eri impedanssilta eri kohdista siirtojohtoa.

• Tarkastellaan tilannetta kohdassa z = -l.

• Kun tähän lausekkeeseen sijoitetaan heijastuskertoimen lauseke saadaan

[ ][ ] 00

0

0

)2exp(1)2exp(1

)exp()exp()exp()exp(

)()( Z

ljljZ

ljljVljljV

lIlVZin β

βββββ

−Γ−−Γ+=

−Γ−−Γ+=

−−= +

+

ljZZljZZZ

L

Lin β

βtantan

0

0

++=

9

Erikoistapauksia• On olemassa kolme merkittävää erikoistapausta päätetyille

siirtojohdoille.• Tällaisia ovat mm. Oikosuljettu, avoin ja neljännesaallon

mittainen siirtojohto.• Oikosuljetun siitojohdon heijastuskerroin on -1, jolloin

jännite- ja virta-aallot ovat

• ja sisäänmenoimpedanssi kohdassa z = -l.

[ ]

[ ] zZVzjzj

ZVzI

zjVzjzjVzV

βββ

βββ

cos2)exp()exp()(

sin2)exp()exp()(

0

0

0

0

00

++

++

=+−=

−=−−=

ljZZin βtan0=

• Vastaavasti saadaan avoimelle siirtojohdolle, jonka heijastuskerroin on +1.

• Puolenaallon ja neljännesaallon mittaiselle siirtojohdolle saadaan lausekkeet

ljZZin βtan0=

LinLin Z

ZZZZ20, ==

10

Häviölliset siirtojohdot

• Siirtojohtojen häviöt johtuvat johteiden ääreellisestä johtavuudesta ja eristeen häviöistä.

• Yleensä nämä häviöt ovat hyvin pieniä, jolloin ne voidaan unohtaa.

• Toisinaan häviöden tietäminen voi olla tarpeellista, jos halutaan tutkia aaltojen vaimenemista.

• Käytännöllisissä siirtojohdoissa häviöt ovat pieniä, muuten niillä ei olisi mitään käyttöä.

• Tällöin kompleksista etenemiskerrointa voidaan mukavasti approksimoida.

• Pienihäviöiselle siirtojohdolle edellinen esitys saadaan

• jos tähän sovelletaan Taylorin sarjakehitelmää,etenemiskerroin yksinkertaistuu

( )( )

( )( )

γ ω ω

γ ω ωω ω

ωω ω ω

= + +

= +

+

= − +

−

R j L G j C

j L j CRL

GC

j LC jRL

GC

RGLC

1 1

1 2

γ ωω ω

ω ω= − +

<< <<j LC j

RL

GC

R L G C1 , kun ja

γ ωω ω

α

β ωωω

≅ − +

≈ +

= +

≈ ≈++

=

j LCj R

LGC

RCL

GLC

RZ

GZ

LC ZR j LG j C

LC

12

12

12 0

0

0,

11

• Esimerkki: Käytetään jälleen jo tutuksi tullutta koaksiaalikaapeliesimerkkiä. Lasketaan vaimennuskerroin laskettujen siirtojohtoparametrien avulla.

α

αη

ωε η

ηµε

β ω ω µε

ηπ

= +

= +

+ ′′

=′

= = ′

= =

12

12

1 1

20

RCL

GLC

Rba

a b

LC

ZLC

ba

s

ln

,

ln

ja näin ollen

Siirtojohdon vaimennuksen laskeminen

• Pienihäviöisen siirtojohdon vaimennuksen laskemiseen onkaksi standarditapaa:

• Perturbaatiomenetelmä ja Wheelerin induktanssisääntö• Perturbaatiomenetelmässä ei tarvita siirtojohtoparametrejä

R, L, C ja G, vaan käytetään häviöttömän siirtojohdon kenttäyhtälöitä.

• Oletuksena on, että kenttien yhtälöt ovat likimain samat sekä pienihäviöisessä että häviöttömässä siirtojohdossa,tästä nimitys perturbaatio.

12

• Tehon virtaus häviöllisessä siirtojohdossa on muotoa P(z) = P0exp(-2αz),

• missä P0 on teho tasossa z = 0. α on vaimennuskerroin,joka tulisi määrittää.

• Määritellään teho siirtojohdossa pituusyksikköä kohti

• missä negatiivinen merkki on valittu, jotta olisi Plpositiivinen. Näin ollen vaimennuskerroin on

• Tämä yhtälö tarkoittaa sitä, että vaimennus α voidaan määrittää siirtojohdossa etenevän ja siinä vaimenevan tehon avulla.

PPz

P z P zl = − = − =∂∂

α α α2 2 20 exp( ) ( )

α = ==P z

P zP z

Pl l( )

( )( )

20

2 0

• Esimerkki: Lasketaan pertubaatiomenetelmällä koaksiaalikaapelin vaimennus.

• Häviöttömän koaksiaalikaapelin kentät ovat

• missä Z0 on johdon karakteristinen impedanssi. V0johtimen jännite kohdassa z = 0. Lasketaan ensin teho P0

• Häviöt lasketaan erikseen johteelle ja eristeelle 1mmatkalla

abZzj

ZVzj

ab

V ln2

),exp(2

),exp(ln

00

00

πηβ

πρβ

ρ=−=−= φHρE

P dV

Zd d

ba

VZa

b

S0

0

2

0 20

20

2

0

12 2 2 2

= × ⋅ = =∗

==∫∫∫Re

lnE H S

ρ ρ φ

πρφ

π

ρ

PR

H dSR

H a ad H b bd dz

R VZ a b

lcs

tS

s

z

s

= = = + =

= +

∫ ∫∫∫===2 2

41 1

2 2 2

0

2

0

2

0

1

0

2

02

φ φφ

π

φ

π

ρ φ ρ φ

π

( ) ( )

13

• missä e´´ on imaginääriosa kompleksisesta dielektrisyysvakiosta.

• Yhdistämällä häviöiden ja P0 lausekkeet saadaan vaimennuskertoimeksi

20

2

0

1

0

22

ln

22

V

ab

dzddEdVPb

a zVld

επω

φρρεωεω

ρ

π

φρ

′′=

′′=

′′= ∫ ∫ ∫∫

= = =

E

απ

πωε

η

ωε η

ηµε

=+

= +

+

′′

= +

+

′′

=′

P PP

RZ a b

Zba

Rba

a b

lc ld s

s

2 41 1

2

1 12

0 0

0

ln

ln

missä

Wheelerin menetelmä

• Wheelerin menetelmä perustuu siirtojohdon induktanssin ja resistanssin yhtälöiden samankaltaisuuteen.

• Johdinhäviöt aiheutuvat johtimen sisäpinnoilla kulkevista virroista, jotka ovat yhteydessä magneettikentän tangentiaalikomponentteihin.

• Tehon vaimeneminen hyvässä johtessa voidaan laskea lausekkeesta

• jolloin induktanssi pituusyksikköä kohti on

∫∫ ==S

ts

Ss

sl dSRdSRP 22

22HJ

LI

dSS

= ∫µ

22H

14

• Kun johdin on vähähäviöinen, niin H ei ole enää nolla,vaan kenttä aiheuttaa lisä-induktanssin ∆L.

• Kuten on aiemmin todettu, kentät johteessa vaimenevat eksponentiaalisesti, jolloin ∆L voidaan laskea

• Nyt häviöteho voidaan lausua ∆L avulla

• Nyt vaimennuskertoimen määritelmän mukaan

• missä Z0 on siirtojohdon karakteristinen impedanssi.

∆LI

dls

c

= ∫µ δ0

22

2H

PR I L I L I L

Rls

s ss

s= = = = =

2

0

2

02

20

2 21∆ ∆ ∆

µ δ σµ δω ωµ

σ σδ,

αω

clPP

LZ

PI Z

= = =2 2 20 0

0

20∆

,

• Vaimennuskerroin voidaan myös lausua karakteristisen impedanssin muutoksena, jossa johtimen seinämät ovat ikään kuin vetäytyneet δs/2 verran.

• Vielä on yksi mahdollisuus lausua vaimennuskerroin.• Tässä käytetään hyväksi Taylorin sarjakehitelmän kahta

ensimmäistä termiä Z0:lle

• Tämä viimeisin esitys on ehkä kaikkein käyttökelpoisin esitys Wheelerin menetelmästä.

ZLC

LLC

LvZ

Zp c00

02= = = =, α

β∆

∆Z Z ZdZdl Z

dZdl

RZ

dZdl

s sc

s s0 0 0

0

0

0

0

0

2 2 4 2=

− = = =

δ δα

βδη

,

15

• Esimerkki. Käytetään jälleen samaa koaksiaalikaapeli-esimerkkiä.

• Koaksiaalikaapelin karakteristinen impedanssi on

• Sovelletaan tähän lausekkeeseen Wheelerin menetelmän viimeksi esitettyä muotoa vaimennuskertoimen määrittämiseksi.

• Tulos vastaa aiemman esimerkin kanssa johdin häviöiden osalta.

• Todellisuudessa huolimatta siitä kumpaa menetelmää onkäytetty, vaimennuskertoimet ovat yleensä suurempia.

Zba0 2

=ηπ

ln

αη π πc

s s sRZ

dZdl

RZ

dba

db

dba

daRZ b a

= = −

= +

2 4 41 1

0

0

0 0

ln ln