1

OLASILIK• Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ilealınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğruolmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.

• Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilenörneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi vebunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarlakarşılaşılmasıdır.

• Olasılık, herhangi bir deneyin sonucundagözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıklakarşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkanolayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir.

2

• Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydanagelme şansının sayısal ifadesidir.

Örnekler:• Madeni paranın atılması sonucu tura gelmeolasılığı,• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın enaz birinin papaz olma olasılığı,• Bir kutuda bulunan 5 sarı 6 yeşil bilye içerisindençekilen iki bilyenin de sarı olma olasılığı.

3

Temel Tanımlar ve Kavramlar-I•Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyenbir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bireylem, gözlem ya da süreçtir.

• Sonuç: deney gerçekleştiğinde ortaya çıkangözlemlere deneyin sonucu adı verilir.

• Örneklem Uzayı: Bir deneyin sonucundaelde edilen tüm mümkün basit olaylarınınoluşturduğu kümedir. Genellikle S iletanımlanır.

4

Örnekler

S={ 0, AB, A, B}0, AB, A, BKan grupları

S={1,2,3,4,5}1,2,3,4,5Bir memurun birhaftada işe geçkaldığı gün sayısı

S={1,2,3,4,5,6}1,2,3,4,5,6Zarın atılması

S={Yazı,Tura}Yazı,turaParanın atılması

ÖRENEKLEMUZAYI

SONUÇDENEY

5

•Olay: Bir deneyin bir yada daha fazla sonucununbir araya gelmesi olarak ifade edilir.

• Basit Olay: Herhangi bir deneyin nihaisonuçlarına basit olay adı verilir. Bir basit olaysadece bir sonuç içerir.Örnek: bir zar atıldığında 2 gelmesi.

•Bileşik Olay: İki veya daha fazla basit olayın biraraya gelmesi ile oluşan olaylardır.Örnek: bir zar atıldığında çift sayı gelmesi.

6

Olasılığın İki Temel Kuralı;1) Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1arasındadır.

2) Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıklarıtoplamı toplamı 1’e eşittir.

DİKKAT!!!!

Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük venegatif bir sayı OLAMAZ!!!!

• Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı;P(A)

şeklinde gösterilir.

7

Olasılığa Üç Kavramsal Yaklaşım

• Klasik Olasılık: Sonuçların ortaya çıkmaolasılıları eşit ise buna eşit olasılıklı sonuçlar denir.Klasik olasılık kuralı, tüm sonuçları eşit olasılıklıolan deneylerin sonuçlarına ilişkin olasılıklarıhesaplamada kullanılır.

Klasik olasılık kuralına göre bir deneydeki basit birolayın olasılığı 1’in tüm sonuçların sayısınabölünmesiyle bulunur.

A bileşik olayının olasılığı ise A olayında içerilensonuç sayısının toplam sonuç sayısınabölünmesiyle elde edilir.

8

Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı• Sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde deneydefalarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesidurumlarda olasılıkları hesaplamak için ya eski verilerdenyaralanılmakta ya da deney çok kez tekrarlanarak yeni veritüretilmektedir. Bu verilerden yaralanarak bir olaya ilişkin(yaklaşık) olasılık değeri için göreli sıklıklardanyaralanılmaktadır. Bu yönteme olasılığın göreli sıklıkkavramı adı verilir.•Yaklaşık olasılık için göreli sıklık:Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A olayı

gözlenmiş ise olasılığını göreli sıklık kavramına göreolasılık aşağıdaki gibi hesaplanır.

n

fAP )(

9

Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşilbilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olmaolasılığı nedir?A: Çekilen bir bilyenin sarı olmasın(S): Örneklem uzayı eleman sayısı = 15n(A): Örneklem uzayındaki A elemanı sayısı = 5

3

1

15

5

)(

)()(

Sn

AnAP

• Büyük Sayılar Yasası: Bir deney çok (sonsuz)kez tekrarlanırsa, bir olayın göreli sıklıkları kuramsalolasılığa yaklaşır.

10

• Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar.• Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımızdünyanın problemlerini çözmede kullanılır.

• Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortaknokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarakaynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinimduymasıdır.

•Benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayandurumlarda olasılıkların hesaplanmasında öznel olasılıkkavramı yardımcı olur.

ÖZNEL OLASILIK KAVRAMI

11

• İzmir ilinde Şubat ayı içinde 5 şiddetinden büyükbir deprem meydana gelme olasılığı,• Karşıyaka Altınyol’da 1 saatlik süre içinde en aziki adet trafik kazası olma olasılığı,• 70 yaşındaki birinin en az 2 yıl daha yaşamasıolasılığı,• Nişanlı bir çiftin evlenme olasılığı.

Örnekler

12

Örneklem Uzayı ve Olay SayısınıBelirleyen Sayma Yöntemleri

• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olaylarıngeçerli olduğu durumlarda:– Örnek uzayının eleman sayısı,– İlgilenilen olayın eleman sayısınınbelirlenmesi gereklidir.Eğer bir deneyde, ilk aşamada m tane, ikinci aşamadan tane ve üçüncü aşamada k tane sonuç olmak üzereüç aşama bulunuyorsa, bu deneydeki toplam sonuçsayısı m.n.k olarak hesaplanır.

13

k farklı sonuç veren bir deney r keztekrar edilirse ortaya çıkan tümdurumların sayısı;

kr

olarak hesaplanır.

Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortayaçıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı;

63 = 216 adettir.

• Örneklem uzayının eleman sayısı 216’dır.

14

Bileşen(Marjinal) Olasılık• Basit olasılık olarak da bilinen bileşen olasılık,herhangi başka bir olay dikkate alınmaksızın,sadece bir olaya ilişkin olasılıktır.

1585BAY2080BAYAN

BAŞARISIZBAŞARILI

İSTATİSTİK DERSİ

100( ) 0,50

200P BAY

35( ) 0,18

200P BA

ŞARISIZ

15

Koşullu OlasılıkA ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiğidurumda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayınınşartlı olasılığı denir .P( A / B ) ile gösterilir. B olayı olduğunda A olayının olmasıolasılığı biçiminde okunur.

85( / ) 0,85

100

başarılı bay sayısı

P BA

ŞARILI BAY

toplam bay say

ısı

20( / ) 0,57

35

başarısız bayan sayısı

P BAYAN BA

ŞARISIZ

toplam ba

şarısız sayısı

16

Ayrık Olaylar

•Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayanolaylara ayrık olaylar adı verilir.

Örnekler: Bir zarın atılmasında yazı veya tura gelmesi Bir dersten başarılı ya da başarısız olmak.

17

Ağaç Diyagramı

• Her birinin sonucununsonlu sayıda olduğubirden fazla deneyin tümmümkün sonuçlarınıgörsel bir şekilde ortayakoymak için kullanılır.

18

Bağımsız ve Bağımlı OlaylarEle alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesininolasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığınıetkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. İki olayınbağımsız olabilmeleri için aşağıdaki koşullarıngerçekleşmesi gereklidir.

P ( A / B ) = P ( A ) ve P ( B / A ) = P ( B )

Yukarıdaki koşullardan herhangi biri gerçekleşmiyorsa A veB olaylarına bağımsız olmayan ( bağımlı olaylar ) adı verilir ;

P ( A / B ) ≠ P ( A) ve P ( B / A ) ≠ P ( B ) olur.

19

•A olayının tamamlayıcısı olarakgösterilir.

Bir A olayının gerçekleşme olasılığı 0,25 isetamamlayıcısının gerçekleşme olasılığı

A

)AP(1)AP(

TAMAMLAYICI ( BÜTÜNLEYİCİ ) OLAY

P(A) 1 P(A)=1-0,25=0,75

20

OLAYLARIN ARA KESİTİ VE ÇARPMA KURALI

A ve B gibi iki olayda hem A’da hem B’de mevcut sonuçlar ikiolayın ara kesitini oluşturur.A ve B olaylarının ara kesiti ( kesişimi ) A ∩ B ya da ABşeklinde gösterilir.

Çarpma Kuralı:

A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığına bileşikolasılık adı verilir ve P ( A ve B ) şeklinde gösterilir.

İki olayın ara kesitinin olasılığıi bir olayın bileşen olasılığı ileikinci olayın koşullu olasılığından elde edilir ve bu kuralaçarpma kuralı denir.

A ve B olayının bileşik olasılığı P (A ∩ B ) ya da P ( AB )olarak da gösterilir.

21

Koşullu OlasılıkEğer A ve B, P ( A ) ≠ 0 ve P ( B ) ≠ 0 olmak üzere

iki olay ise bulara ilişkin koşullu olasılıklaraşağıdaki gibi elde edilir.

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

ABPABP

22

BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN ÇARPMA KURALI

•A ve B olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle Bolayının meydana gelme olasılığı A olayının meydanagelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı andameydana gelebiliyor ise;

•P ( A / B ) = P ( A) ve P ( B / A ) = P ( B )olur.

•Sonuç olarak A ve B olayları bağımsız iseler

•P ( A ve B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B )eşitliği elde edilir.Aynı şekilde P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B ) ise A ve Bolayları bağımsızdır denir.

23

Ayrık Olayların Bileşik Olasılığı

İki ayrık olayın bileşik olasılığı her zaman 0 dır.

Bu durum A ve B ayrık olaylar ise

P ( A ve B ) = P ( A ∩ B ) = 0

olarak gösterilir.

24

OLAYLARIN BİLEŞİMİ VE ÇARPMA KURALIAynı örneklem uzayında tanımlı A ve B olaylarının bileşimi A’da ya daB’de ya da A ve B’de birlikte yer alan tüm olaylarının bileşkesi olup A yada B biçiminde gösterilir.

Toplama Kuralı:Olayların bileşimine ilişkin olasılık hesaplamada kullanılan yönteme,toplama kuralı denir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.

A ve B olaylarının bileşiminin olasılığı,

P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ve B )

biçiminde gösterilir.

Ayrık Olaylar İçin Toplama Kuralı:

P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B )

biçiminde gösterilir.

25

Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya,% 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgiduyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duymaolasılığı nedir?b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duymaP ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35

a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?

b)

P(S)

S)P(TP(T/S)

0,140,35*0,40P(S)*P(T/S)S)P(T

91,00,14-0,350,70

S)P(T-P(S)P(T)S)UP(T

26

Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıklarısırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikteateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir?A = Ali’nin hedefi vurması P ( A ) = 0,65C = Can’ın hedefi vurması P ( C ) = 0,40P ( A U C ) = ?

P( A U C ) = P ( A )+ P ( C ) – P ( A ∩ C )

Ali ile Can’nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsızolduğundan;

P ( A ∩ C ) = P ( A ) . P ( C ) = 0,65 * 0,40 = 0,26

P( A U C ) = 0,65 + 0,40 – 0,26 = 0,79

27

1)Kusursuz bir madeni para 2 kez atılmıştır.Birinci para yazı iken, ikinci paranın da yazıolma olasılığı kaçtır?a)¼ b) 1/3 c) ½ d) 2/3 e) 3/4

2) 1 den 10 a kadar (10 dahil) olan tam sayılararasından rastgele seçilen bir sayının 2 ve 3 ilebölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10

3) Bir işyerinde 3 erkek ve 20 kadın olmak üzere 50kişi çalışmaktadır. Erkeklerin 1/3’ü ve kadınlarında1/10’u gözlük takmaktadır. Rasgele seçilen biriningözlük takan bir erkek olma olasılığı kaçtır?a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10

28

4) Bir kutuda 5 tanesi beyaz, 10 tanesi siyah olmaküzere 15 tane top vardır. Bu kutudan çekilen topunyerine konulması şartıyla 3 kez top çekilmiştir.Çekilen toplardan ikisinin beyaz olma olasılığı nedir?a) 1/27 b) 4/27 c) 2/9 d) 4/9 e) 5/9

5) Kusursuz bir madeni paranın 3 kez atılmasıdeneyinde hiç yazı gelmeme olasılığı kaçtır?a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 5/8 e) 7/8

6) Kusursuz bir madeni para n kez atılmıştır. Bunagöre toplam sonuç sayısı aşağıdakilerden hangisidir?a) 2n b) 2n c) n2 d) 2n2 e) n2 /2

29

7) P(B) = 0,60 ve P(A/B)= 0,75 değerleri için A ve Bolaylarının bileşik olasılığı kaçtır?a) 0,40 b) 0,45 c) 0,50 d) 0,55 e) 0,60

8) Bir işletmede 15 kadın ve 25 erkek vardır.Uygulanan bir sınavda 5 kadın ve 15 erkek başarısızolmuştur. Bu işletmeden seçilen bir kişinin başarısızolduğu bilindiğine göre bu kişinin kadın olma olasılığıkaçtır?a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 5/8 e) 7/8

9) Kusursuz iki madeni paranın aynı anda atılmasıdeneyinde bir yazı bir tura gelmesi olasılığı kaçtır?a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00

30

10) Hilesiz bir zarı ardı ardına iki kez atalım. Üste gelensayıların toplamının 3’ten büyük olma olasılığı nedir?a) 25/36 b) 27/36 c) 30/36 d) 33/36 e) 35/36

11) Bir avcının arka arkaya yaptığı üç atışta hedefinivurma olasılıkları sırasıyla 0,2, 0,7 ve 0,9 olarakbelirlenmiştir. Bu avcının en az bir hedefi vurma olasılığınedir?a) 0,20 b) 0,70 c) 0,90 d) 0,976 e) 0,99

12) Bir torbada 4 siyah ve 5 beyaz bilye bulunmaktadır.Arka arkaya iadesiz seçim yöntemiyle rastgele seçileniki bilyenin siyah olma olasılığı nedir?a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00