orhunt.c.anadoluÜnİversİtesİyayinlarino:1062aÇikÖĞretİmfakÜltesİyayinlarino:584yazar:edit�...

MatematikSoyut

Yazar:Prof.Dr. Orhan ÖZER

Editör: Öğr.Gör.Dr. Nevin ORHUN

T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINLARI NO: 1062

AÇIKÖĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINLARI NO: 584

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış haklarıAnadolu Üniversitesine aittir.

"Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya dabölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt

veya başka şekillerde çoğaltılamaz,basılamaz ve dağıtılamaz.

Copyright © 1998 by Anadolu University

All rights reserved

No part of this book may be reproducedor stored in a retrieval system, or transmitted

in any form or by any means mechanical, electronic,photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN

ISBN 975 - 492 - 820 - 7

iii

İçindekilerÜnite 1Önermeler ve Önerme İşlemleriGiriş: Matematik ve Mantık 3, Önermeler İçin Temel Kavramlar 4, Önerme İşlemleri11, Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması 15, Açık Önermeler17, Matematiksel Kanıtlama 20

Ünite 2Kümeler ve Küme İşlemleriGiriş: Küme Kavramı 31, Kümeler İçin Temel Tanımlar 32, Venn Çizenekleri 37,Küme İşlemleri 38, Küme İşlemlerinin Özellikleri 43, Sonlu ve Sonsuz Kümeler47, Küme Aileleri 54, Çarpım Kümeler 61

Ünite 3BağıntılarGiriş: Bağıntı Kavramı 71, Bağıntılarda Özel Kümeler: Grafik, Tanım Kümesi, DeğerKümesi 78, Bağıntı Türleri 84, Bağıntılarda Özel Öğeler 99

Ünite 4FonksiyonlarFonksiyon Kavramına Giriş 115, Fonksiyonlarda Özel Kümeler 119, Özel Fonksi-yonlar 136, Fonksiyonların Bileşkesi; Bire-Bir, Örten Fonksiyonlar; Ters Fonksiyon141

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ


Önsöz

Bu kitap, Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi İlköğretim Öğretmenliği Li-sans Tamamlama Programı derslerinden Soyut Matematik dersinin kapsamındakikonuları içerecek şekilde hazırlanmıştır. Günümüz matematiğinin hemen her da-lında temel bilgiler olarak öngörülen önerme, küme, bağıntı, fonksiyon konuları,genelde matematik kitaplarının önbilgiler bölümlerinde özetlenerek verilirler. Bu-rada ise bu konular, derinlemesine olmasa da, genişçe ele alınmış, örneklerle destek-lenerek sunulmaya çalışılmıştır. Bol örnek yanında okuyucunun kendisini deneyip,konuyu kavrayıp kavrayamadığını sınayabileceği türden metin içlerinde çokça so-ru bırakılmıştır. Matematik öğrenmenin en iyi yolu kağıt-kalem kullanarak sorula-rın yanıtlanmasıdır. Bu amaçla okuyucuya bırakılan soruların yanına, okuyucunundikkatini çekmek için işareti konulmuştur. Konulara ilişkin ayrıntılı, sıkıcı teo-remlerden kaçınılmıştır. Ama yine de yer yer bazı teoremler ifade edilerek kanıtları-na yer verilmiştir. Sezgiye dayalı olarak görülebilecek birçok sonuç da kanıtlama ya-pılmadan sunulmuştur. Bu tür sonuçlar ya da uyarı niteliğinde görülen ifadeler ya-nına, işareti konulmuştur. Tanımlar iyi kavranır, tanımlarda kullanılan söz-cüklerin günlük dildeki anlamları üzerinde düşünülür, örnekler iyi incelenirse me-tin içinde bırakılan sorular ve değerlendirme soruları kolayca yanıtlanabilir. Bütünbu sıralananlar yapılırsa, Soyut Matematik dersinin konuları kavranmış olur veamaca ulaşılır.

Gerekli önemin ve dikkatin verilmiş olmasına rağmen, kitapta gözden kaçmış kimiyazım ya da hesaplama yanlışlıklarının olabileceği düşünülmektedir. Bu tür bir du-rumla karşılaşılırsa okuyucunun bunu bildirmesinden memnun olacağımı bildirirşimdiden teşekkür ederim.

Kasım 1998, Prof. Dr. Orhan ÖZER

?

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• modern mantık (sembolik mantık) konusunda bir fikir edine-

ceksiniz, önermelerin matematikteki önemini kavrayacaksınız.• önermeleri, önerme işlemlerini ve kullanılan simgeleri tanıya-

caksınız. Sembolik mantığın dilini öğreneceksiniz.• matematiksel kanıtlamanın ne olduğunu kavrayıp ve matema-

tiksel kanıtlama yöntemlerini göreceksiniz.

İçindekiler

• Giriş: Matematik ve Mantık• Önermeler İçin Temel Kavramlar• Önerme İşlemleri• Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması• Açık Önermeler• Matematiksel Kanıtlama• Değerlendirme Soruları

ÜNİTE

1Önermeler ve Önermeİşlemleri


Çalışma Önerileri

• Tanımlanan kavramları örneklerle açıklamaya çalışacağız. Do-layısıyla tanım ve örnek arasındaki ilişkiyi iyi kurmanız gereke-cektir. Ayrıca, örneklerden sonra sizin yanıtlamanızı istediğimizsorular olacaktır. Bu soruları doğru olarak yanıtladığınız ölçüdekonuyu kavramış sayılırsınız. Değerlendirme sorularını topluolarak yanıtladıktan sonra yanıt anahtarıyla karşılaştırınız.

• Kavramları tanımlamada kullandığımız terimlerin büyük birçoğunluğu günlük yaşantımızda taşıdıkları anlama yakın bir bi-çimde seçilmiştir. Sözcüklerin günlük dildeki kullanılışları ilekonu içindeki taşıdıkları anlam arasındaki ilişkiye dikkat etmeli-siniz.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1.1. Giriş: Matematik ve Mantık

İnsan aklının bir ürünü olan matematik, bir bilim alanı olarak, insanlık tarihi kadareskidir. Matematik, başlangıçtan günümüze kadar doğrultusundan ve tutarlığın-dan hiçbir sapma yapmadan sürekli gelişen bir bilim alanı olmuştur; aynı zamandabütün bilimlerin gelişmesine öncülük etmiştir. Uygarlığın ulaştığı bugünkü düzey-de matematiğin önemi, rolü açıklanmaya gerek duyulmayacak kadar açıktır. Gele-cekte de matematiğin yol göstericiliği olmadan hiçbir bilimin gelişebileceği düşü-nülemez.

Matematik, kendi içinde tutarlı, çelişkilerden arındırılmış, başka hiçbir bilim ala-nında olmayacak kadar sarsılmaz bir yapıya sahiptir. Matematiği bu derece önemliyapan, sağlam kılan şey, temelinde akıl yürütmeyle çıkartılan evrensel kurallarınolmasıdır; ya da bir başka deyişle, kesin kurallar içinde aklın süzgecinden geçmiş ol-masıdır, denilebilir.

Akıl yürütme ya da usavurma, doğru düşüncelerden başka doğruların çıkartılma-sıdır. Şimdi burada düşünce nedir, doğru düşünce nedir gibi soruların açıklanması-na girmeyeceğiz. Bunların açıklanması mantık bilim alanı içine girer. Ancak esas ko-numuz olan önermeler için kısa değinmeler yapmak yerinde olur.

Düşünce, insan aklında oluşan zihinsel bir olgudur; dil aracılığıyla ortaya çıkar,tümcelerle ifade edilir. Düşünceyi konu alan birçok bilim alanı vardır; bunlardan bi-ri de mantıktır. Mantık, doğru ve sistemli düşünmenin adıdır; aynı zamanda doğruve sistemli düşünmenin yollarını arayan, kurallarını koyan bilim alanıdır. Belki deen eski bilim alanlarından biridir. Mantık bilim alanı düşünceyi her yönüyle ele al-maz; bir yargı taşıyan düşünceler mantığın konusu içindedir. Dolayısıyla, bu türdüşüncelerin dildeki ifadesi olan yargı tümceleri mantığın konusu içindedir. Yargıtümcelerine bundan böyle önerme diyeceğiz.

Önermenin açık tanımı aşağıda verilecektir. Mantığın konusu önermelerdir. Akılyürütme "öncül önermelerden yargı çıkarma (hipotezden hüküm çıkarma)" olarakifade edilebilir. Mantık bilimciler akıl yürütmeyle doğru bilgi üretmenin bilimselyollarını tümdengelim ve tümevarım diye ikiye ayırırlar. Gerçeğe varmak amacıylaaklın uyması gereken genel düşünce yasalarını ve işlemlerini araştıran Aristoteles(İ.Ö. 384-322), tümdengelimi esas alarak, bugün Klasik Mantık dediğimiz mantıktürünün temellerini atmıştır. İki bin yılı aşkın bir süre aklın yoluna egemen olan bumantık türü, ortaçağ sonlarına doğru, yeni bilgi üretiminde tümdengelimin tek ba-şına yeterli olamayacağı, tümevarımın da önemli olduğu görüşünün yaygınlaşma-ya başlamasıyla yeni bir ivme kazanmıştır.

18. yüzyıla girildiğinde, Francis Bacon (1561-1626) ile başlayan tümdengelime karşıçıkış ve tümevarımın öne çıkarılması, matematikçilerin konuya ilgi duymaya başla-malarıyla yeni bir döneme girmiştir. Alman matematikçilerinden G. Wilhelm Von

Ö N E R M E L E R V E Ö N E R M E İ Ş L E M L E R İ 3


Leibniz (1646-1716) ile başlayan yeni yaklaşım, yine Alman matematikçi FriedrichL.G. Frege (1848-1925) in niceleyicileri ve değişkenleri simgelerle göstermesiyle ma-tematiği tamamen mantıksal bir temele dayandırma çabaları hem mantığın gelişi-mini hızlandırmış hem de matematiğe yeni bir anlayış kazandırılmıştır. Böylece budönemde, De Morgan (1806-1871), G. Boole (1815-1864), B. Russel (1872-1970) ile ge-liştirilen ve simgesel akıl yürütme denilen yöntemle matematikselleşen mantık Mo-dern Mantık (ya da sembolik mantık, matematiksel mantık) adını almıştır.

Matematik ve mantığın tarihsel gelişimleri pek çok farklılık göstermesine rağmen,bugün bu iki bilim alanını kesin çizgilerle birbirlerinden ayırma olanağı yoktur. Ön-celeri matematiğin mantıksal bir temele dayandırılması biçiminde başlayan geliş-meler, sonradan mantığın matematikselleştirilmesine yol açmıştır. Dolayısıyla buiki alan birbirlerinin içine girmiştir. Gene de bugün, Klasik Mantık, Felsefe bilim ala-nı ve Modern Mantık da Matematik bilim alanı içinde düşünülür.

Bu ünitede, Modern Mantığın temel kavramlarını tanıyacağız. Önermeleri, önermeişlemlerini, kullanılan simgeleri ele alacağız. Önermelerin matematikteki yerini,önemini göreceğiz. Matematiksel kanıtın ne olduğunu, kanıtlama yöntemlerinigözden geçireceğiz. Açık önermeler konusu üzerinde duracağız.

1.2. Önermeler İçin Temel Kavramlar

Dilimizdeki tümceleri emir, istek, ünlem, soru, yargı tümceleri diye sınıflarız. Bizimkonumuz yargı tümceleri olacaktır. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:

(i) Ankara, Türkiye'nin başkentidir.(ii) Ankara, Türkiye'nin en kalabalık kentidir.(iii) Güneş kuzeyden doğar.(iv) Yağmur yağıyor.(v) 2 x 3 , 5 etmez.(vi) Buraya geliniz.(vii) Bugün günlerden nedir?(viii) Ah! güzel İstanbul.

Yukarıdaki tümcelerin her birini okuduktan sonra "doğru mu?", "yanlış mı?" soru-larını soralım. (i) ve (v) için yanıtınız "doğru", (ii) ve (iii) için "yanlış" olacaktır. (iv)deki yanıt o andaki duruma bağlıdır; o anda yağmur yağıyorsa "doğru", yağmıyorsa"yanlış" olacaktır. (vi), (vii), (viii) deki tümceler, için bu soruların anlamlı olmayaca-ğı açıktır.

Bu örneklerden anlaşılabileceği gibi kimi tümceleri taşıdıkları yargıya göre "doğru"ya da "yanlış" diye değerlendirebilmekteyiz. ((i) - (v) deki örneklerde olduğu gibi).İşte bu tür bir yargı tümcesine önerme diyeceğiz. Şimdi önermenin açık bir tanımınıverelim.

Ö N E R M E L E R V E Ö N E R M E İ Ş L E M L E R İ4


1.2.1. Tanım

Bir yargı taşıyan ve bu yargının doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olarak belirlenebi-len tümcelere önerme denir.

1.2.2. Örnek

Aşağıdaki tümcelerin önerme olup olmadıklarını belirleyiniz.

(i) Kar beyazdır.(ii) Paris İngiltere'dedir.(iii) Nereye gidiyorsunuz?(iv) Uçan kuşlar kanatlıdır.(v) Sinemaya gidelim.(vi) Pırasa yararlı bir sebzedir.(vii) Yüzme tehlikeli bir spordur.(viii) { Bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce yanlıştır }

Çözüm

Bu tümcelerden (i) ve (iv) dekinin doğru, (ii) dekinin yanlış olduğunu hemen söyle-yebiliriz. O halde, (i), (ii) ve (iv) deki tümcelerin her biri birer önermedir. (iii) ve (v)deki tümceler yargı tümcesi olmadıklarından önerme değildirler. (vi) ve (vii) dekitümcelerin taşıdıkları yargı yanıtlayan kişiye göre değişecektir. Kimine göre yüzmetehlikeli bir spordur, kimine göre de değildir. Fakat bir kimse bu tümce için ya "doğ-ru" ya da "yanlış" diyebilecektir; hem "doğru" hem de "yanlış" diyemeyecektir. Ohalde (vi) ve (vii) tümceleri de birer önermedirler. (viii) deki tümceyi ele alalım. Ön-ce bu tümcenin doğru olduğunu varsayalım. O zaman bu tümce yanlıştır, çünkükendisi de bir ayraç içinde yazılıdır. Şimdi bu tümcenin yanlış olduğunu varsaya-lım. Öyleyse bir ayraç içinde yazılı olan bir tümce doğru olacaktır, demektir. Bu ne-denle bu tümce doğrudur. Böylece (viii) deki tümce hem doğru hem de yanlış ol-maktadır; bir başka ifadeyle, bu tümcenin yargısı kesin olarak belirlenememektedir.Bu nedenle bu tümce bir önerme değildir.

Aşağıdaki tümcelerden hangileri birer önermedir?• Güneş doğudan doğar, batıdan batar.• Dünya yuvarlaktır.• Kimi canlılar ölümsüzdür.• Oksijen yakıcı, hidrojen yanıcı bir gazdır.• Bahçeye çıkalım mı?• Kapınızı kilitli tutunuz.

Verilen bir önerme yalnızca bir yargı taşıyorsa, böyle bir önermeye yalın önermedenir. Birden çok yargı taşıyan bir önermeye de bileşik önerme denir. Bileşik öner-meler yalın önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlar yardı-mıyla elde edilirler. Bileşik önermeleri oluşturmak için kullanılan bu tür bağlaçlara


?


mantık bağlaçları adı verilir. Örneğin, "Bugün hava soğuk ve yağışlıdır", "iki çift sa-yının toplamı bir çift sayıdır veya Ankara Türkiye'nin başkentidir." önermeleri bile-şik önermelerdir. Bunlardan birincisi "ve", ikincisi "veya" bağlacıyla yalın önerme-lerden elde edilmişlerdir. Yine ikincisinden görüldüğü gibi iki yalın önermenin birmantık bağlacıyla bağlanması için bu yalın önermeler arasında bir ilişki olması ge-rekmez. Ayrıca "ve" bağlacıyla birleştirilen önermelerde "ve" sözcüğü yerine "vir-gül" konulabilir: "Bugün hava soğuktur, yağışlıdır" örneğinde olduğu gibi.

Önermeleri ve mantık bağlaçlarını simgelerle göstermek, önerme işlemlerini sim-gelere dayandırmak hem kısalık hem de kolaylık sağlayacaktır. Bu nedenle genel-likle yalın önermeleri p, q, r, ... gibi küçük harfler ile "ve", "veya", "ise", "ancak ve an-cak" mantık bağlaçlarını da, sırasıyla, "∧", "∨", "→", "↔" simgeleriyle gösterece-ğiz. Sözgelişi

p: Bugün hava soğuktur,q: Bugün hava yağışlıdır

yalın önermelerinden "ve" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme

p ∧ q: Bugün hava soğuk ve yağışlıdır

olur. p, q önermelerinden "ise" bağlacıyla oluşturulan bileşik önerme

p → q: Bugün hava soğuk ise yağışlıdır

biçiminde yazılır.

Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığına o önermenin doğruluk değeri adı veri-lir. Doğru bir önermenin doğruluk değerini D, yanlış bir önermenin doğruluk değe-rini Y ile göstereceğiz. Yalın bir önermenin doğruluk değerini kolayca belirleriz. Bi-leşik bir önermenin doğruluk değeri ise, söz konusu bileşik önermeyi oluşturan ya-lın önermelerin doğruluk değerleri ve mantık bağlaçlarına bağlı olarak tanımlanır.Bir önermenin doğruluk değeri seçeneklere bağlı olarak bir çizelge ile gösterilebilir.Böyle bir çizelgeye, o önermenin doğruluk çizelgesi adı verilir. Bileşik önermelerindoğruluk değerlerinin belirlenmesinde sıkça başvuracağımız doğruluk çizelgeleriönerme işlemleri için de yararlı bir araç olacaktır.

1.2.3. Tanım (Bir Önermenin Değili)

Bir p önermesinin doğruluk değeri doğru iken yanlış, yanlış iken doğru yapılarakelde edilen önermeye p nin değili denir ve ~p (değil p diye okunur) simgesiyle gös-terilir.

~p nin doğruluk çizelgesi p nin doğruluk değerlerine bağlı olarak şöyle olacaktır:



1.2.4. Örnek

p: Kedi bir kuştur,q: 5 ≤ 7 dir

önermelerinin değillerini yazınız ve doğruluk değerlerini belirleyiniz.

Çözüm

~p: Kedi bir kuş değildir,~q: 5 ≤ 7 değildir (çoğunlukla bunun yerine ~q: 5 ≤ 7 dir, yazarız)

olur. Burada p nin doğruluk değerinin Y, ~p nin D; q nun doğruluk değerinin D, ~qnun Y olduğuna dikkat ediniz.

Aşağıda verilen önermelerin değillerini de siz bulunuz ve doğruluk değerlerinibelirleyiniz.• Kuş kanatlı bir hayvandır.• Ayda canlı yoktur.• 3 = 5 dir.• 3 < 4 dür.

1.2.5. Tanım ("ve" Bağlacı)

Verilen p, q önermelerinin "ve" bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşturulan bileşikönerme, ancak p ile q birlikte doğru olduklarında doğru, diğer durumlarda yanlışolarak tanımlanan önermedir. Bu bileşik önermeye p ve q nun tümel evetlenmesidenir ve p ∧ q (p ve q diye okunur) simgesiyle gösterilir.

Bu tanıma göre p ve q nun doğruluk değerleri için bütün seçenekler göz önüne alı-narak p ∧ q nun doğruluk çizelgesi şöyle verilir:


?

p ~pD YY D

p q p ∧ qD D DD Y YY D YY Y Y


1.2.6. Örnek

p: Yağmur yağıyor,q: Bir hafta 9 gündür,r: 4 bir çift sayıdır

önermeleri veriliyor. p ∧ q, (~q ∧ r) önermelerini ifade ediniz ve doğruluk de-ğerlerini belirleyiniz.

Çözüm

p ∧ q: Yağmur yağıyor ve bir hafta 9 gündür (Doğruluk değeri yanlış),(~q) ∧ r: Bir hafta 9 gün değildir ve 4 bir çift sayıdır (Doğruluk değeri doğru)

olur. Birinci örnekte p nin doğruluk değeri D de olsa Y de olsa p ∧ q nun doğru-luk değerinin değişmeyeceğine dikkat ediniz.

1.2.6. örnekte verilen p, q, r önermeleri için p ∧∧∧∧ r, q ∧∧∧∧ (~r) önermelerini ifadeediniz ve doğruluk değerlerini belirleyiniz.

1.2.7. Tanım ("veya" Bağlacı)

Verilen p, q önermelerinin "veya" bağlacıyla birleştirilmesiyle oluşturulan bileşikönerme, ancak p ile q birlikte yanlış olduklarında yanlış diğer durumlarda doğruolarak tanımlanan önermedir. Bu bileşik önermeye p ve q nun tikel evetlenmesi de-nir ve p ∨ q (p veya q diye okunur) simgesiyle gösterilir.

Bu tanıma göre p ∨ q nun doğruluk çizelgesi şöyle olur:

1.2.8. Örnek

p: Ekonomi iyiye gidiyor,q: Fiyatlar düşüyor

önermeleri için p ∨ q bileşik önermesini ifade ediniz. p ∨ q nun doğruluk değerinedir?


?

p q p ∨ qD D DD Y DY D DY Y Y


Çözüm

p ∨ q: Ekonomi iyiye gidiyor veya fiyatlar düşüyor

bileşik önermesi elde edilir. Burada p, q önermelerinin doğruluk değerlerini belirle-meden p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk değeri için birşey söylenemez.

Öte yandan, p, q önermeleri için kimi doğru kimi de yanlış diyecektir. Dolayısıyla p,q önermelerinin doğruluk değerleri ve buna bağlı olarak p ∨ q bileşik önermesi-nin doğruluk değeri, değerlendiren kişiye göre değişecektir. Bu durum şunu göste-riyor: Her önermenin doğruluk değeri evrensel değildir; bazen görelidir; yani kişiyebağlı olabilir, yere bağlı olabilir, zamana bağlı olabilir.

Sözgelişi, "Dünya dönüyor" önermesi bugün doğru bir önermedir; ama ortaçağdayanlış bir önerme idi. Yeniden yukarıdaki p ∨ q bileşik önermesine dönecek olur-sak, bunun doğru olması ya da yanlış olması gerçek hayattaki durumu göstermez,sadece bileşen önermelerin doğruluk değerlerinin mantıksal sonucunu verir.

1.2.9. Tanım (Koşullu Önerme)

p ile q önermelerinden oluşan bir bileşik önerme, ancak p doğru ve q yanlış oldu-ğunda yanlış diğer durumlarda doğru ise, bu bileşik önermeye koşullu önerme adıverilir ve p → q (p ise q diye okunur) simgesiyle gösterilir.

Bu tanıma göre bir koşullu önermenin doğruluk çizelgesi

biçimindedir.

1.2.10. Örnek

p: Ekonomi iyiye gidiyor,q: Fiyatlar düşüyor

önermeler için p → q koşullu önermesi nasıl ifade edilir?


p q p → qD D DD Y YY D DY Y D


Çözüm

p → q: Ekonomi iyiye gidiyorsa fiyatlar düşer

biçimindedir.

Yukarıdaki örnekte genelde p doğru ise q da doğrudur; dolayısıyla p → q bileşikönermesi de doğrudur. Fakat p doğru olmadan da q doğru olabilir (ekonomi iyiyegitmediği halde fiyatlar başka nedenlerle de düşebilir). Bu durumda p → q öner-mesi yine doğrudur. O halde, genel duruma dönüp herhangi p, q önermeleri alırsak,p → q bileşik önermesinin doğru olması için p nin doğru olma zorunluluğu yok-tur. Fakat p → q doğru ise, p nin doğru olması q nun da doğru olmasını zorunlukılar. Bu durumda, p → q koşullu önermesine "gerektirme" deriz ve p ⇒ q (p ge-rektirir q diye okunur) simgesiyle gösteririz.

Ayrıca p ⇒ q ise, p ye q için yeterli koşul ve q ya da p için gerekli koşul denir. Örne-ğin, a2 < 9 ⇒ a< 3.

1.2.11. Tanım (Karşılıklı Koşullu Önerme)

Verilen p, q önermelerinin oluşturduğu bir bileşik önerme, ancak p ve q nun aynıdoğruluk değerlerini taşıdığında doğru oluyorsa, bu bileşik önermeye karşılıklıkoşullu önerme adı verilir ve p ↔ q (p ancak ve ancak q diye okunur) simgesiy-le gösterilir.

p ↔ q önermesinin doğruluk çizelgesi

biçiminde olacaktır.

Eğer p ↔ q bileşik önermesi doğru ise, bu önermeye bir çift gerektirme denir ve p ⇔ q (p çift gerektirme q diye okunur) simgesiyle gösterilir. Bu durumda, "p için ge-rekli ve yeterli koşul q" ya da "q için gerekli ve yeterli koşul p" dir, denir.

1.2.12. Örnek

p: a2 ≤ 9,q: -3 ≤ a ≤ 3

önermeleri veriliyor. p ↔ q bileşik önermesi bir çift gerektirme midir?


p q p ↔ qD D DD Y YY D YY Y D


Çözüm

Verilen önermeler aynı doğruluk değerini taşıdıklarından; yani p doğru (yanlış) iseq doğru (yanlış), q doğru (yanlış) ise p de doğru (yanlış) olduğundan p ↔ q bile-şik önermesi doğrudur. Bu nedenle p ↔ q bileşik önermesi bir çift gerektirmedir.Kısaca

p ⇔ q: a2 ≤ 9 ⇔ -3 ≤ a ≤ 3

olur.

p → q ya da p ↔ q bileşik önermelerini oluşturan p, q bileşenleri arasında herzaman neden-sonuç ilişkisi olmayabilir.

Sözgelişi,

p: Ekonomi iyiye gidiyor,q: 3 bir asal sayıdır

önermeleri için, q doğru bir önerme olduğundan

p → q: Ekonomi iyiye gidiyor ise 3 bir asal sayıdır

bileşik önermesi 1.2.9. tanıma göre doğru bir önermedir. Fakat

p ↔ q: Ekonomi iyiye gider ancak ve ancak 3 asal sayıdır

bileşik önermesinin doğruluk değeri p için belirlenecek doğruluk değerine bağlıdır.p doğru ise p ↔ q doğrudur, p yanlış ise p ↔ q yanlıştır.

1.3. Önerme İşlemleri

Şimdiye dek bir ya da iki yalın önermeden bileşik önerme oluşturmak için tanımla-dığımız ~, ∧, ∨, →, ↔ mantık bağlaçlarına bundan böyle önerme işlemleri diye-ceğiz. Şimdi bu işlemlerden herhangi ikisinin ya da daha fazla sayıdakinin birliktekullanılmasıyla oluşturulan bileşik önermelerin doğruluk çizelgelerini ve bu işlem-lerin sağladığı kimi özellikleri gözden geçirelim. Bir örnekle başlayalım:

1.3.1. Örnek

p, q, r önermeleri için p ∨ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk çizelgesini kurunuz.



Çözüm

Burada herhangi üç önerme verildiğinden ve bileşen önermelerin her birinin doğ-ruluk değeri için 2 seçenek olduğundan, p ∨ (q ∧ r) bileşik önermesinin doğruluk de-ğeri için 23 seçenek söz konusudur. Dolayısıyla doğruluk çizelgesinin 8 satırı ola-caktır. Aşağıdaki doğruluk çizelgesi bu seçeneklerin toplu olarak birarada görülme-sini sağlamaktadır.

Sözgelimi bu çigelgenin altıncı satırına bakacak olursak, p yanlış, q doğru ve r yanlışolduğu durumda bileşik önerme p ∨ (q ∧ r) nin yanlış olduğunu görürüz.

p ∨ (q ∧ r) nin doğruluk değerlerinin bulunduğu son sütuna çizelgenin esas sütunudiyeceğiz.

(p ∧∧∧∧ [q ∨∨∨∨ (~p)] →→→→ (~p) önermesinin aşağıdaki doğruluk çizelgesinin esas sütu-nunu doldurunuz.

1.3.2. Tanım

Bileşik bir önerme kendisini oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerlerindenbağımsız olarak doğru ise, böyle bir önermeye tüm geçerli önerme denir. Tüm ge-çerli bir önermenin doğruluk çizelgesinin esas sütununda hep D vardır.

Eğer bileşik önerme kendisini oluşturan yalın önermelerin doğruluk değerlerindenbağımsız olarak yanlış ise, böyle bir önermeye de tüm geçersiz önerme adı verilir.Tüm geçersiz bir önermenin doğruluk çizelgesinin esas sütununda hep Y vardır.


p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) D D D D DD D Y Y DD Y D Y DD Y Y Y DY D D D DY D Y Y YY Y D Y YY Y Y Y Y

p q ~p q ∨ (~p) p ∧ [q ∨ (~p)] (p ∧ [q ∨ (~p)] → (~p)

D D Y D D . . .D Y Y Y Y . . .Y D D D Y . . .Y Y D D Y . . .

?


1.3.3. Örnek

Herhangi bir p önermesi için p ∨ (~p) nin tüm geçerli p ∧ (~p) nin de tüm geçersiz ol-duğunu gösteriniz.

Çözüm

p ∨ (~p) tüm geçerli p ∧ (~p) tüm geçersiz

Aşağıdaki önermelerin tüm geçerli olduklarını doğrulayınız.• ~(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ (~p) ∨∨∨∨ (~q) • ~(p ∨∨∨∨ q) ⇔⇔⇔⇔ (~p) ∧∧∧∧ (~q) • p ∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧ r) ⇔⇔⇔⇔ (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r) • p ∧∧∧∧ (q ∨∨∨∨ r) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r)

1.3.4. Tanım

Aynı yalın önermelerden oluşan iki bileşik önerme A ve B olsun. Eğer bileşen öner-melerin aynı doğruluk değerleri için A ve B nin doğruluk değerleri eşit oluyorsa, Ave B ye eşdeğer önermeler ya da denk önermeler denir ve bu durum A ≡ B yazılarakbelirtilir.

Bu tanıma göre, eşdeğer önermelerin doğruluk çizelgelerinin esas sütunlarıaynı olacaktır. Bu nedenle eşdeğer önermelere genelde aynı önermeler gözüyle ba-kılır.

1.3.5. Örnek

Herhangi p, q önermeleri için (p → q) ≡ [(~p) ∨ q] olduğunu doğrulayınız.

Çözüm

Bu eşdeğerliği doğrulamanın en kolay yolu doğruluk çizelgelerinin esas sütunları-nın çakıştığını göstermektir. Bu da aşağıdaki çizelgelerden görülmektedir.


?

p ~p p ∨ (~p)D Y DY D D

p ~p p ∧ (~p)D Y YY D Y


( p → q) ≡ (~p) ∨ q

Şimdi ∧, ∨, ~ işlemlerinin kimi özelliklerinin kanıtını aşağıdaki teorem ile vere-lim.

1.3.6. Teorem

Aşağıdaki eşdeğerlikler geçerlidir.

(i) (p ∨ p) ≡ p , (p ∧ p) ≡ p (Eşgüçlülük kuralları)

(ii) (p ∨ q) ≡ q ∨ p , (p ∧ q) ≡ q ∧ p (Değişme kuralları)

(iii) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Dağılma kuralları)

(v) ~ (p ∧ q) ≡ (∼ p) ∨ (~q)~ (p ∨ q) ≡ (∼ p) ∧ (~q) (De Morgan Kuralları)

(vi) (p→ q) ≡ [(~q) → (~p)]

KanıtÖnermelerin doğruluk çizelgeleri kurulur ve 1.3.4. Tanım kullanılırsa istenilenlerkolayca görülür. Bir örnek olarak, (iii)'deki ikinci eşdeğerliği kanıtlayalım.

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)


p q p → qD D DD Y YY D DY Y D

p q ~p (~p) ∨ qD D Y DD Y Y YY D D DY Y D D

p q r q ∧ r p ∨ (q∧r)

D D D D DDDDY

DY

YD

YD

YD

YY

DD

YD

DD

YYY

DY

YD

Y Y

YY

YY

Y Y

p q r p ∨ q p ∨ r (p∨q) ∧ (p∨r)

D D D D D DDDDY

DY

YD

YD

YD

DD

DD

DD

DD

DDDD

YYY

DY

YD

Y Y

DY

YD

Y Y

YYY


1.3.7. Örnek

a, b doğal sayılar olmak üzere, (a < b) → a = b önermesinin değilini bulunuz.

Çözüm

Herhangi bir p, q önermeleri için (p → q) ≡ (∼p) ∨ q olduğundan

~ [a < b → a = b] ≡ ∼ [∼ (a < b) ∨ (a = b)] ≡ ∼ [(a ≥ b) ∨ (a = b)]≡ ∼ [a ≥ b] ≡ a < b

olur.

Gerektiği yerde tümgeçerli bir önerme için 1, tümgeçersiz bir önerme için 0 simgele-rini kullanırsak ve p ∨ 0 ≡ p, p ∧ 1 ≡ p, p ∨ (~p) ≡ 1, p ∧ (~p) ≡ 0 eşdeğerliklerini gözö-nüne alırsak, kimi durumlarda bileşik önermeleri daha sonra eşdeğer önermeleredönüştürebiliriz.

1.3.8. Örnek

{ (p ∨ q) ∧ [~p ∨ ~q) ∧ q] } ∨ p önermesini daha sade eşdeğer bir önermeye dönüştürü-nüz.

Çözüm

{ (p ∨ q) ∧ [~p ∨ ~q) ∧ q] } ∨ p ≡ { (p ∨ q) ∧ [(~p ∧ q) ∨ (~q ∧ q)] } ∨ p≡ { (p ∨ q) ∧ [(~p ∧ q) ∨ 0] } ∨ p≡ { (p ∨ q) ∧ (~p ∧ q) } ∨ p≡ [(p ∨ q) ∨ p] ∧ [(~p ∧ q) ∨ p]≡ (p ∨ q ∨ p) ∧ [(~p ∨ p) ∧ (q ∨ p)]≡ (p ∨ p ∨ q) ∧ [1 ∧ (q ∨ p)]≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q

1.4. Önerme İşlemlerinin Elektrik Devrelerine Uygulanması

Bir elektrik ya da elektronik devre denildiğinde içinde en az bir güç kaynağı, elekt-rik tüketen bir rezistans ve devreden akımın geçip-geçmemesini sağlayan bir anah-tardan oluşan bir şebeke düşünülür. Böyle bir devreyi çizerek



biçiminde gösteririz. A anahtarı açık olduğunda üzerinden, dolayısıyla devredenakım geçer, kapalı olduğunda devreden akım geçmez. Şimdi amacımız bir elektrikdevresinde birden çok anahtar bulunduğunda anahtarların açık ya da kapalı olma-larına göre devreden ne zaman akım geçer, ne zaman geçmez durumunu önerme iş-lemleriyle belirlemektir.

Önce seri bağlı ya da paralel bağlı anahtarlar tanımını anımsatalım: Bir elektirikdevresinde bulunan p, q gibi iki anahtarın seri bağlanması ya da paralel bağlanma-sı aşağıdaki şekillerde görüldüğü gibi gösterilebilir.

"p anahtarı açıktır" önermesini p, "q anahtarı açıktır" önermesini q ve "Devredenakım geçer" önermesini de r ile gösterelim. Seri anahtarlar için p doğru, q doğruysa rde doğrudur. p ve q dan biri yanlış ise r de yanlıştır. O halde seri bağlı anahtarlar içinp ∧ q ≡ r dir. Benzer olarak, paralel bağlı anahtarlar için p ∨ q ≡ r dir. Bu nedenle, seribağlı anahtarlar p ∧ q önermesiyle, paralel bağlı anahtarlar p ∨ q önermesiyle göste-rilirler. Ayrıca, ~p önermesi "p anahtarı açık değildir" yerine "p anahtarı kapalıdır"biçiminde ifade edilebilir. Bir de kısalık için, burada önermelerimizin doğruluk de-ğerleri D ve Y yerine, sırasıyla, 1 ve 0 kullanılacaktır.

Bu bilgiler ışığı altında aşağıdaki örnekte çok anahtarlı bir devreyi ele alalım:

1.4.1. Örnek

Aşağıdaki şekil ile verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız.Eğer p, q anahtarları açık ve r, s anahtarları kapalı ise devreden akım geçer mi? Araş-tırınız.


A

G

R

qpp

p

q

~qp

r

~s

~r

p, q anahtarları seri bağlı p, q anahtarları paralel bağlı


Çözüm

Bu devreye karşılık gelen bileşik önerme

{ [p ∧ (~q)] ∨ [r ∨ (~s)] } ∧ (~r)

olur. Bu devreden akım geçmesi için bu bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olmalı-dır. Eğer p, q anahtarları açık ise p ve q nun doğruluk değerleri 1; r, s anahtarları ka-palı ise r ve s'nin doğruluk değerleri 0 dır. Buna göre,

{ [1 ∧ (0)] ∨ [0 ∨ (1)] } ∧ (1) ≡ (0 ∨ 1) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1

olduğundan devreden akım geçer.

1.4.2. Örnek

[p ∧ ( (~q) ∨ r)] ∨ [q ∧ (~r)] bileşik önermesine karşılık gelen elektrik devresini kuru-nuz.

Çözüm

şeklinde olur.

• 1.4.2. Örnekte verilen devrede p anahtarı açık, q ve r kapalı ise devredenakım geçer mi?• (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ t ∧∧∧∧ (r ∨∨∨∨ s) bileşik önermesine karşılık gelen devreyi kurunuz.

1.5. Açık Önermeler

Aşağıdaki türden tümceleri ele alalım:

(i) x kanatlı bir hayvandır.(ii) x sıfırdan büyük bir tamsayıdır.(iii) O bir öğretmendir.(iv) x ve y tamsayılar olmak üzere x+y=7 dir.

Bu tümcelerden hiçbiri bir önerme değildir. Çünkü bu tümceleri okuduktan sonra"doğru mu?", "yanlış mı?" soruları için ne "doğru" ne de "yanlış" denilebilir. Fakat (i)


?

~rq

r

p

~q


de x yerine "güvercin" yazarsak doğru, "kedi" yazarsak yanlış bir önerme elde ede-riz. (iii) de "O" sözcüğü yerine tanınan bir kişinin adını yazarsak, diyelim ki Utkan,doğru veya yanlış bir önerme elde ederiz. (iv) de x=2, y=5 yazınca doğru bir önerme,x=3, y=5 yazınca yanlış bir önerme elde ederiz.

Yukarıdaki türden tümceler içinde geçen x veya y simgelerine "belirsiz" ya da "de-ğişken" deriz. (i) ve (ii) içinde bir değişken, (iv) de iki değişken bulunan tümcelerdir.(iii) deki "O" sözcüğünü de belirsiz olarak kabul edeceğiz. Dolayısıyla "O" yerine birx değişkeni yazarsak (iii) deki tümceyi de "x bir öğretmendir" şeklinde ele alacağız.

Şimdi açık önerme tanımını verebiliriz.

1.5.1. Tanım

İçerisinde en az bir değişken (belirsiz) bulunan ve bu değişkene verilen değerleregöre doğru ya da yanlış (yani önerme olan) tümcelere açık önerme denir.

Değişkenler belli bir topluluk içinden seçilmek üzere, açık önermeleri p(x), q(x),s(x,y), ... gibi simgelerle göstereceğiz.

Kısaca tekrarlayacak olursak, açık önerme bir önerme değildir. Ancak değişken ye-rine konulacak değerler için bir önerme olur. Sözgelişi, "q(x): x sıfırdan büyük birtamsayıdır" açık önermesi bir önerme değil, fakat

q(1): 1 sıfırdan büyük bir tamsayıdır,q(-2): -2 sıfırdan büyük bir tamsayıdır

tümcelerinden birincisi doğru, ikincisi yanlış bir önermedir.

1.5.2. Örnek

p(x): x2 + 3x - 5 ≤ 0 açık önermesinde x değişkeni yerine -1, 0, 3 yazarak eldeedilen önermelerin doğruluk değerlerini belirleyiniz.

Çözüm

p(-1): (-1)2 + 3(-1) - 5 ≤ 0 ya da p(-1): -7 ≤ 0, doğru bir önerme.p(0): 02 + 3.0 - 5 ≤ 0 ya da p(0): -5 ≤ 0, doğru bir önerme.p(3): 32 + 3.3 - 5 ≤ 0 ya da p(3): 13 ≤ 0, yanlış bir önerme.

q(x,y): x + 3y = 8, x ve y tamsayılaraçık önermesi için q(-1,3) önermesinin doğruluk değerini belirleyiniz.


?


"Bütün", "her", "en az", "bazı", "hiçbir" gibi sözcükler bulundukları tümcelerde nice-lik "çokluk" belirten sözcüklerdir. Önermelerde bu tür sözcüklere niceleyicilerdenir. İçinde bir niceleyici bulunan bir kaç önerme örneği verelim:

Bütün öğrenciler çalışkandır.Her kuş kanatlı değildir.En az bir asal sayı vardır.Bazı kanatlı hayvanlar kuştur.Hiçbir canlı ölümsüz değildir.

Şimdi açık önermeler içinde geçen niceleyici sözcükler üzerinde biraz duralım. x de-ğişkeni belli bir S topluluğu içindeki üyeleri göstermek üzere, p(x) açık önermesi ve-rilsin. "S topluluğu içindeki her x için p(x) doğrudur" tümcesi bir önermedir. Buönermeyi kısaca "her x için p(x) doğrudur" biçiminde ifade edelim. Açıktır ki, "her xiçin p(x) doğrudur", "bütün x'ler için p(x) doğrudur", "tüm x'ler için p(x) doğrudur","herhangi bir x için p(x) doğrudur" önermeleri birbirine eşdeğer önermelerdir. Bueşdeğer önermelerden herhangi birini (dolayısıyla her birini) simgesel olarak,

∀x için p(x) ya da kısa olarak ∀x, p(x)

biçiminde yazacağız. Burada ∀ (her diye okunur) simgesi "her", "herhangi bir","tüm", "bütün" niceleyicileri karşılığı olarak kullanılan bir simgedir. Yinelersek "∀x,p(x)" bir önermedir ve bu önermenin sözel ifadesi "her x için p(x) doğrudur" biçim-dedir.

Benzer olarak, "en az", "bazı", "kimi" ... gibi niceleyiciler için ∃ (en az bir diye okunur)simgesini kullanacağız. "En az bir x için p(x) doğrudur" önermesinin simgesel yazı-lışı

∃x, p(x)

biçiminde olacaktır. ∃ simgesine varlık niceleyicisi de denir. Çünkü bir varlık belir-tecidir.

1.5.3. Örnek

x hayvanlar topluluğuna ait bir değişken olmak üzere,

p(x): x tüysüz bir hayvandır

açık önermesi için "∀x, p(x)" ve "∃x, p(x)" önermelerini sözel olarak ifade ediniz.

Çözüm

Birincisi "Her hayvan tüysüzdür" ya da "Bütün hayvanlar tüysüzdür", ikincisi "Bazı



hayvanlar tüysüzdür" ya da "En az bir hayvan tüysüzdür" biçiminde olabilir. Açık-tır ki, birincisi yanlış bir önerme, ikincisi doğru bir önermedir.

x değişkeni bir insan, "p(x): x mutludur" açık önermesi olmak üzere∀∀∀∀x, p(x) ve ∃∃∃∃x, p(x)önermelerini sözel olarak ifade ediniz.

Bir p(x) açık önermesi için "∀x, p(x)" bir önerme olduğundan bu önermenin de-ğili tanımlanabilir. Sözgelimi, "Her insan mutludur" önermesinin değili "Kimi in-sanlar mutlu değildir" biçiminde olacaktır. Öyleyse "∀x, p(x)" önermesinin değili"∃x, ~p(x)" olacaktır. Benzer olarak, "∃x, p(x)" önermesinin değil "∀x, ~p(x)" dır.Kısaca, simgesel olarak,

~( ∀x, p(x) ) ≡ ∃x, ~p(x)~( ∃x, p(x) ) ≡ ∀x, ~p(x)

özdeşlikleri vardır.

Sözgelimi, 1.5.3. Örnekteki p(x) açık önermesi için ∀x, p(x) önermesinin açık ifa-desi "Her hayvan tüysüzdür" idi. O zaman, bu önermenin değili "Her hayvan tüysüzdeğildir" ya da buna eşdeğer önerme olarak "Kimi hayvanlar tüysüz değildir" olur.Bu son önermenin simgesel yazılışı da ∃x, ~p(x) dır: Yani

~( ∀x, p(x) ) ≡ ∃x, ~p(x)

dır.

1.6. Matematiksel Kanıtlama

Matematikte kanıtlama yapmak, verilen öncül önermelerden belli bir sonucunmantıksal olarak çıkartılabileceğini göstermek demektir. Bir çok kanıtlama yöntemivardır. Bu kesimde, bu yöntemlerden önemli saydığımız dört yöntem üzerinde du-racağız. Bu yöntemleri sıralamadan önce teorem, varsayım, sonuç, matematikselkanıt kavramları üzerinde biraz durmakta yarar var.

Doğrulukları verilen ya da varsayılan öncül önermelerin birlikte bir önermenindoğruluğunu gerektirdiğini öne sürmeye teorem denir. Bir teoremde doğruluk-ları verilen ya da varsayılan öncül önermelerin tümel evetlenmesi olan önermeye te-oremin varsayımı (hipotezi), doğruluğu öne sürülen önermeye de sonucu denir.Varsayımın sonucu gerektirdiğini göstermeye de teoremin matematiksel kanıtı adıverilir. Burada ele alacağımız kanıtlama yöntemleri doğrudan kanıtlama yöntemi,dolaylı kanıtlama yöntemi, olmayana ergi yöntemi ve tümevarım yöntemi olacak-tır.


?


1.6.1. Doğrudan Kanıtlama Yöntemi

p önermesi doğru iken p → q koşullu önermesi de doğru ise, q nun doğru olmakzorunda olduğunu biliyoruz. Doğrudan kanıt yönteminin temelini bu kural oluştu-rur. Bir başka ifadeyle, doğrudan kanıt yöntemi p ⇒ q gerektirmesini kanıtlamaktır.O halde, bir teoremin varsayımı olan önermeyi H, sonucu olan önermeyi S ile göste-rirsek, teoremi doğrudan kanıt yöntemiyle kanıtlamak H ⇒ S gerektirmesini gös-termek demektir.

1.6.2. Örnek

İki çift sayının toplamı bir çift sayıdır, teoremini doğrudan kanıt yöntemiyle kanıtla-yınız.

Kanıt

H : a ve b çift sayılardır (Varsayım)S : a + b çift sayıdır (Sonuç)

Varsayım önerme H nın doğruluğunu kabul ediyoruz. O halde, m ve n tamsayılarolmak üzere,

a = 2 m ve b = 2 n

yazılabilir. Buradan

a + b = 2m + 2n = 2 (m + n)

sonucu çıkar. m + n bir tamsayı olduğundan 2(m + n) bir çift sayıdır; yani sonuçönerme "a + b bir çift sayıdır" doğrudur.

1.6.3. Dolaylı Kanıtlama Yöntemi

Herhangi p, q önermeleri için 1.3.6. Teorem (vi) de (p → q) ≡ [ (~q) → (~p) ] denkliğiverilmişti. Dolaylı kanıt yönteminin temelini bu denklik oluşturur. O halde, bir teo-remde H ⇒ S gerektirmesi yerine ona denk olan ~S ⇒ ~H gerektirmesi kanıtlanabi-lir; başka bir ifadeyle, bir teoremde sonucun değilinin doğruluğunu kabul edilip bu-nun varsayımın değilinin doğruluğunu gerektirdiği gösterilirse, dolaylı kanıtlamayöntemiyle teorem kanıtlanmış olur.

1.6.4. Örnek

4x2 - 4xy + y2 ≠ 9 ise 2x - y ≠ 3 dür, önermesini (teoremini) dolaylı kanıt yönte-miyle kanıtlayınız.



Kanıt

Sonucun değilinin doğruluğunu kabul edelim; yani 2x - y = 3 olsun. O zaman, (2x - y)2 = 32 ya da 4x2 - 4xy + y2 = 9 olur. Öyleyse 4x 2 - 4xy + y 2 ≠ 9 ise 2x - y ≠ 3 dür.

İki doğal sayının çarpımı bir tek sayı ise, bu sayıların her ikisinin de tek olduğu-nu dolaylı kanıtlama yöntemiyle kanıtlayınız.

1.6.5. Olmayana Ergi Yöntemi

Bir teoremi olmayana ergi yöntemiyle kanıtlamada, teoremin varsayımının (H nin)ve sonucun değilinin (~S nin) doğruluğu kabul edilir. Böylece H ve ~S nin tümelevetlenmesi olan H ∧ (~S) önermesinin doğru olduğu düşünülmüş olur. Bu ka-bulün, doğruluğu bilinen bir önermenin ya da öncül önermelerden birinin yanlışlı-ğını gerektirdiği gösterilirse, bu durum H nin doğruluğu ile birlikte (~S) nin doğru-luğunu varsaymanın olanaklı olmadığını gösterir. O halde, H doğru iken ~S yanlış,yani S doğru olmalıdır. Bu yolla yapılan kanıtlama olmayana ergi yöntemi diyeadlandırılır.

1.6.6. Örnek

Aşağıdaki teoremi olmayana ergi yöntemiyle kanıtlayınız.

Farklı iki noktada kesişen iki çemberin kesim noktalarının birinden geçen çaplarınuç noktalarını birleştiren doğru parçası öteki kesim noktasından geçer.

Kanıt

O1 ve O2 çemberlerinin kesim noktaları A ve B olsunlar. A noktasından geçençapları R1 ve R2 ile gösterilim. Bu çapların diğer uçları C ve D olsunlar. C ve Dnoktalarını birleştiren doğru parçasının B noktasından geçmediğini kabul edelim. Ozaman, CD doğru parçası O1 ve O2 çemberlerini H ve K gibi iki farklı noktadakesecektir. Şimdi açısı O1 çemberinde çapı gören bir çevre açı olduğundan

birdik açıdır. Benzer olarak, açısı O2

çemberinde çapı gören çevre açı olduğun-dan bir dik açı-dır. Böylece üçge-ni iki dik açılı bir üçgen olur. Bu sonuç, birüçgenin iç açıları toplamı iki dik açıdır,gerçeğiyle çelişir. Öyleyse CD doğru par-çası B noktasından geçmek zorundadır.Böylece teoremin kanıtı tamamlanmışolur.


?

H∧

K∧

AHK∆A

C

B

H K D

R 1

O1

R 2

O2

●●●●●●●●

. .


Bir üçgende iki iç açının toplamı bunlara komşu olmayan bir dış açıya eşittir, teo-remini olmayana ergi yöntemiyle kanıtlayınız.

1.6.7. Tümevarım Yöntemi

Klasik Mantıkta tümevarım, usavurmanın (akıl yürütmenin) tikelden tümele gidenbir biçimidir; bir başka söyleyişle, bir bütünü oluşturan bireylere dayanarak bütünkonusunda yargıda bulunmaktır, diyebiliriz. Ancak burada sözünü edeceğimiz tü-mevarım, Modern Mantıkta matematiksel kanıtlama yöntemlerinden biri olan, do-ğal sayılara bağımlı bir özelliğin kanıtlanmasında izlenen yoldur. Bu yöntem ço-ğunlukla tümevarım ilkesi olarak bilinir.

Tümevarım ilkesi: 0, 1, 2, 3, ..., n, ... doğal sayıları üzerine kurulmuş bir p(n) açıkönermesi aşağıdaki iki koşulu sağlamış olsun:

1°. p(0) doğrudur.2°. Herhangi bir m doğal sayısı için p(m) doğru ise, p(m + 1) de doğrudur.

Bu durumda her n doğal sayısı için p(n) önermesi doğrudur.

1.6.8. Örnek

Her n doğal sayısı için

1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2

eşitliğini tümevarım yöntemiyle kanıtlayınız.

Kanıt

p(n) açık önermesi verilen eşitlik olsun; yani

p(n) : 1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2

diyelim.

1°. n = 0 için p(0) : 1 = (0 + 1)2 = 12 olduğundan p(0) önermesi doğrudur.

2°. n = m için p(m) önermesinin doğru, yani

1 + 3 + ... + (2m + 1) = (m + 1)2

eşitliğinin doğruluğunu kabul edelim. Şimdi p(m + 1) önermesinin doğruluğunukanıtlayalım. 2° deki bu eşitliğin her iki tarafına 2(m + 1) + 1 ekleyelim:


?


1 +3 + ... + (2m + 1) + [2 (m + 1) + 1] = (m + 1)2 + [2 (m + 1) + 1]= m2 + 2m + 1 + 2m + 3= m2 + 4m + 4= (m + 2)2

= [ (m + 1) + 1]2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik p(m + 1) önermesinin doğruluğunu gösterir. O halde,tüm n doğal sayılar için p(n) önermesi doğru; yani verilen eşitlik doğrudur.

• Tümevarım ilkesinde ilk adım deneme ya da kontrol amaçlıdır. n = 0yerine n = 1, n = 2, n = 3, ... ya da büyük bir k sayısı için p(k) önermesinin doğruolup olmadığı kontrol edilebilir. Bazen ilk doğal sayılar için doğru olmayanbir p(n) açık önermesi belli bir doğal sayıdan sonraki bütün doğal sayılar içindoğru olabilir. Böyle bir durumda tümevarım ilkesinin ilk adımını p(n) nindoğru olduğu ilk doğal sayı ile başlatırız.

• Tümevarımın ikinci adımına bazen varsayım adımı da denir. Burada esasolan, tümevarımın ilk adımında doğruluğu saptanan p(k) önermesindeki kdan daha büyük herhangi bir m doğal sayısı için p(m) önermesinin doğrulu-ğunu kabul edip, bir sonraki sayı m + 1 için p(m + 1) önermesinin doğruluğu-nun kanıtlanmasıdır.

Her n ≥ 1 doğal sayısı için eşitsizliğini tümevarımla ka-

nıtlayınız (Yol gösterme: Tümevarımı n = 0 dan değil n = 1 den başlatmalısınız).

Yukarıda sıralanan matematiksel kanıtlama yöntemleri dışında doğruluk çizelgele-ri yöntemi, tümdengelim yöntemi, ters örnek yöntemi gibi başka yöntemlerde var-dır. Bu konu üzerinde daha fazla durmayacağız. Ancak şu gerçek unutulmamalıdır:Hangi kanıtlama yöntemi olursa olsun, bir matematiksel kanıtlama yöntemiyle ula-şılan sonucun doğruluğu, kimi zaman bir gerçeği değil, sadece varsayımla doğrukabul edilen öncül önermelerin mantıksal sonucunu gösterir.

Değerlendirme SorularıAşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz.

1. Aşağıdaki önermelerin hangisi doğrudur?A. 4 + 5 = 9 ve 4 x 5 = 15 dir.B. 3 bir tamsayı değildir veya 2 x 3 = 6 dır. C. Gümüş bir madense bakır bir taştır.D. x2 ≥ 9 ancak ve ancak x ≤ 3 dir. E. Dünya bir gezegen değildir.


? 13 + 23 + ... + n3 > n4

4


2. Aşağıdaki önermelerin hangisi yanlıştır?A. 3 bir asal sayı ve 2 de bir çift sayıdır.B. 3 + 5 = 7 veya 3 x 5 = 15 dir.C. 12 sayısı 5 in bir katı ise 36 sayısıda 15 in bir katıdır.D. İki tek sayının toplamı bir tek sayı veya çarpımı bir çift sayıdır.E. x2 ≤ 9 ancak ve ancak -3 ≤ x ≤ 3 dür.

3. p : Deniz mavidir; bir tamsayıdır; r : kar beyazdır, yalın önermeleri veri-liyor. Aşağıdaki simgesel yazılışlardan hangisi "Deniz mavidir veya (1/2 tamsayıise kar beyazdır)" bileşik önermesidir? A. p ∨ (q ∧ r)B. p ∧ (q ∨ r)C. p ∨ (q → r)D. p → (q ∨ r)E. p ∧ (q → r)

4. Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçerlidir?A. (p → q) ∧ qB. ∼p → qC. (p → q) ∨ qD. p ∨ (q ∧ r) → (p ∨ q) ∧ rE. (p ∧ q) → (~q → ~p)

5. Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçerli değildir?A. (p ∧ q) ↔ qB. ∼ (p ∧ q) ↔ (~p ∨ ~q)C. ∼ (p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q)D. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)E. (p ∨ q) ∧ p

6. Aşağıdaki önermelerden hangisi tümgeçersizdir?A. (p ∨ q) ∧ [~(p ∨ q) ]B. (p → q) ↔ (~p ∨ q) C. (p → q) ∧ ~qD. p → (~p → q)E. ∼ (~p) ↔ p

7. (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?A. p ⇒ qB. ~p ⇒ ~qC. p ⇔ qD. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p) E. (p → q) ∨ (q → p)


q : 12


8. (p ∨ q) ∧ r önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?A. p ∨ (q ∧ r)B. (p ∧ q) ∨ rC. (p → q) → r D. (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)E. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

9. p, q, r, s, t gibi beş yalın önermenin doğruluk çizelgesinin birbirinin aynı ol-mayan kaç satırı vardır?A. 24

B. 24 + 1C. 25

D. 25 + 1E. 52

10. ~(~p → (~q) ) önermesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?A. p → qB. ~p ∧ qC. ~p ∨ qD. p ∧ ~qE. p ∨ ~q

11.

elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermenin eşdeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?A. p ∧ (~q)B. (p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)C. (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~q)D. ~p ∨ qE. p ∨ ~q

12. "Ateş olmayan yerden duman tütmez" önermesinin mantıksal gösterilişihangisidir?A. ateş var ⇒ duman tüterB. duman tüter ⇒ ateş varC. ateş var ⇔ duman tüterD. duman tütmez ⇒ ateş yokE. Hiçbiri


p q

p ~q

~p ~q


13. a, b doğal sayılar olmak üzere, (a = b ) → (a ≤ b) önermesinin değili aşağı-dakilerden hangisidir?A. a < bB. a ≤ bC. a = bD. a ≥ bE. a > b

14. p(x) : x bir öğrencidir; q(x) : x ailesine mektup yazar, açık önermeleri veri-liyor. "Bazı öğrenciler ailesine mektup yazmaz" önermesinin simgesel yazılışıaşağıdakilerden hangisidir?A. ∃x, p(x) ∧ (~q(x))B. ∃x, (~p(x)) ∧ q(x) C. ∃x, p(x) ∨ q(x)D. ∀x, p(x) ∧ q(x)E. ∀x, p(x) ∧ (~q(x))

15. x bir gerçel sayı olmak üzere,∀x, x2 + 2 > 0 ; ∃x, x2 + 3x - 4 < 0 ; ∃x, x2 = -1

önermelerin doğruluk değerleri aşağıdakilerden hangisidir?A. D, D, DB. D, D, YC. D, Y, DD. Y, D, DE. Y, D, Y

16. ( ∃x, x2 - 9 < 0 ) ∨ (∀x, x2 + 6x + 9 ≥ 0) önermesinin değili aşağıdakilerdenhangisidir?A. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 ≥ 0)B. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∨ ( ∃x, x2 + 6x + 9 ≥ 0) C. ( ∀x, x2 - 9 < 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)D. ( ∀x, x2 - 9 < 0 ) ∨ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)E. ( ∀x, x2 - 9 ≥ 0 ) ∧ ( ∃x, x2 + 6x + 9 < 0)


orhunt.c.anadoluÜnİversİtesİyayinlarino:1062aÇikÖĞretİmfakÜltesİyayinlarino:584yazar:edit�...

Documents